ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα 2 ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ Ο όρος ευκλείδειος χώρος δηλώνει κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης εφοδιασμένο με την πράξη του εσωτερικού γινομένου Το μαθηματικό ισομορφικό πρότυπο κάθε - διάστατου ευκλείδειου χώρου είναι ο πραγματικός διανυσματικός χώρος Η διανυσματική δομή προσδίδει στα σημεία του διανυσματική υπόσταση και στο πλαίσιό της ισχύουν οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού τους με πραγματικούς αριθμούς Το εσωτερικό γινόμενο αποδίδει σε κάθε ζεύγος διανυσμάτων x, y έναν πραγματικό αριθμό < x, y > που ορίζεται διαμέσου μιας διγραμμικής, συμμετρικής, θετικά ορισμένης, απεικόνισης: 1 <,>: Η μετρική δομή του ευκλείδειου χώρου, στο πλαίσιο της οποίας προσμετρούνται οι απο- στάσεις των σημείων του, προκύπτει από το εσωτερικό του γινόμενο Συγκεκριμένα, σε κάθε διάνυ- σμα αποδίδεται το μέτρο του: x = < x, x > 1 Γενικότερα, ένας οποιοσδήποτε - διάστατος πραγματικός διανυσματικός χώρος Ε αποχτά ευκλείδεια δομή όταν εφοδιαστεί με μια διγραμμική συμμετρική θετικά ορισμένη απεικόνιση: Η διγραμμικότητα σημαίνει: <,>: E E < x + x, y >= < x, y > + < x, y >, x, x, y E, < x, y + y >= < x, y > + < x, y >, x, y, y E, λ < x, y >= < λ x, y >= < x,λ y >, x, y E, λ, και η συμμετρικότητα δηλώνει: ενώ ο όρος θετικά ορισμένη σημαίνει: < x, y > = < y, x >, x, y E, < x, x > 0, x E, < x, x > = 0 x = 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 1

2 Η απόσταση δυο σημείων του ευκλείδειου χώρου προσμετράται ως εξής: d(x, y) = x y Το εσωτερικό γινόμενο αποδίδει σε κάθε ζεύγος μη μηδενικών διανυσμάτων τη γωνία τους που ορίζεται από τη σχέση: < x, y > = x y cosθ και έτσι προκύπτει η συνθήκη ορθογωνιότητας: < x, y >= 0 x y Η συνθήκη ορθογωνιότητας 2 δηλώνει ότι: x + y = x y και από αυτήν απορρέει ο χαρακτηρισμός των ορθοκανονικών βάσεων: < e i, e j > = δ ij (σύμβολο Kroecker), i, j = 1,, Κάθε προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση ορίζει ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων στον ευκλείδειο χώρο και οι ορθογώνιες προβολές σε αυτούς τους άξονες αποδίδουν στα σημεία του τις καρτεσιανές τους συντεταγμένες: x i :, i = 1,, Αποσυνθέτοντας σε μια βάση του ευκλείδειου χώρου τα διανύσματα: προκύπτει: x = x ei και i y = y ej j i=1 j=1 < x, y > = x i y j < e i, e j > i,j=1 και στις ορθοκανονικές βάσεις προκύπτει η κανονική έκφραση: < x, y >= x 1 y x y Από την κανονική έκφραση του εσωτερικού γινομένου καθορίζεται η ευκλείδεια στάθμη: και η ευκλείδεια μετρική: x = x 2 2 ( x ) 1/2 d(x, y) = x i y i 2 i=1 1/2 2 Η γωνία που αποδίδεται από το εσωτερικό γινόμενο σε κάθε ζεύγος μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μη προσανατολισμένη και παίρνει τις τιμές της στο διάστημα από 0 έως π όπως υποδεικνύεται από την ανισότητα Cauchy- Schwarz: < x, y > 2 x 2 y 2, x, y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 2

3 Από την ευκλείδεια μετρική απορρέει η τοπολογία του ευκλείδειου χώρου στο πλαίσιο της οποίας ορίζονται οι έννοιες της γειτονικότητας, του ορίου και της συνέχειας Συγκεκριμένα, για κάθε σημείο a, θέτοντας: s ρ (a) = {x / d(a,x) < ρ}, ρ> 0, ορίζονται οι περιοχές του ως τα σύνολα V a που πληρούν τη συνθήκη: Έτσι, διατυπώνονται οι ορισμοί: ρ > 0 : s ρ (a) V a - Μια ακολουθία (x k ) k σημείων του ευκλείδειου χώρου συγκλίνει στο σημείο a όταν πληρούται η συνθήκη: ρ > 0, k o : k k o x k s ρ (a) - Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο a f : όταν πληρούται η συνθήκη: ε > 0, ρ > 0 : x s ρ (a) f (x) ] f (a) ε, f (a) + ε[ - Μια απεικόνιση είναι συνεχής στο σημείο a όπου f : m όταν στο σημείο αυτό είναι συνεχείς οι συνιστώσες συναρτήσεις: f i :, i = 1,, m, ( ) f() x f (),, x f () x, = 1 m γεγονός που εκφράζεται με τη συνθήκη: ε > 0, ρ > 0 : x s ρ (a) f (x) s ε ( f (a)) m Όταν δοθεί ένα υποσύνολο Σ, τότε τα σημεία του ευκλείδειου χώρου διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: Εσωτερικά σημεία του Σ : τα σημεία που διαθέτουν περιοχή εγκλεισμένη στο Σ, Εξωτερικά σημεία του Σ : τα σημεία που διαθέτουν περιοχή εγκλεισμένη στο Σ, Συνοριακά σημεία του Σ : τα σημεία που δεν είναι εσωτερικά ή εξωτερικά του Σ Τα υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου που αποτελούνται μόνο από εσωτερικά σημεία καλούνται ανοιχτά σύνολα και τα συμπληρώματά τους καλούνται κλειστά σύνολα της τοπολογίας του Προ- φανώς, τα ανοιχτά σύνολα χαρακτηρίζονται από το ότι αποτελούν περιοχή κάθε σημείου τους, ενώ τα κλειστά σύνολα αποτελούν περιοχή μόνο των εσωτερικών σημείων τους 3 3 Βλ Θεμελιώδεις Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ Πνευματικού, Αθήνα 2002 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 3

4 Η συνέχεια μιας απεικόνισης: f : m χαρακτηρίζεται από το ότι η προεικόνα κάθε ανοιχτού υποσυνόλου του είναι ανοιχτό υποσύ- νολο του και, προφανώς, ο χαρακτηρισμός αυτός είναι ισοδύναμος με το ότι η προεικόνα κάθε κλειστού υποσυνόλου του είναι κλειστό υποσύνολο του Οι αμφιμονοσήμαντες και αμφι- συνεχείς απεικονίσεις καλούνται ομοιομορφισμοί του ευκλείδειου χώρου : f : Το σύνολο των ομοιομορφισμών του ευκλείδειου χώρου, εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθε- σης, έχει δομή ομάδας με ουδέτερο στοιχείο την ταυτοτική απεικόνιση Οι ομοιομορφισμοί μετασχη- ματίζουν αμφιμονοσήμαντα τα ανοιχτά σύνολα σε ανοιχτά σύνολα και τα κλειστά σύνολα σε κλειστά σύνολα μέσα στον ευκλείδειο χώρο Οι ιδιότητες του ευκλείδειου χώρου που διατηρούνται αναλλοίωτες από τους ομοιομορφισμούς του καλούνται τοπολογικές ιδιότητες Μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου : f : U λέγεται διαφορίσιμη στο σημείο a U όταν υπάρχει γραμμική απεικόνιση: τέτοια ώστε: d a f : f (a + u) = f (a) + d a f (u) + o( u ) Η γραμμική αυτή απεικόνιση όταν υπάρχει είναι μοναδική και καλείται διαφορικό της συνάρτησης στο δεδομένο σημείο του πεδίου ορισμού της Προφανώς οι γραμμικές συναρτήσεις είναι διαφορί- σιμες και ταυτίζονται παντού με το διαφορικό τους Ο ορισμός αυτός δίνει ενδογενή χαρακτήρα στην έννοια του διαφορικού μιας συνάρτησης στα σημεία του πεδίου ορισμού της αφού δεν υπεισέρχεται σε αυτόν κάποιο σύστημα συντεταγμένων Η επαύξηση u οφείλει να διατηρεί τη μεταβλητή στο πεδίο ορισμού a+ u U και με τη διανυσματική της υπόσταση υπεισέρχεται ως μεταβλητή της γραμμικής μορφής που ορίζει το διαφορικό στο σημείο a U Ο συμβολισμός o( u ) του Ladau δηλώνει μια συνάρτηση ou ( ) τέτοια ώστε: lim ou ( )/ u = 0 u 0 Ας θεωρήσουμε τώρα ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορισμένο από μια βάση { e1,, e } του ευκλείδειου χώρου Ο πραγματικός αριθμός df ( e ) δηλώνει την κλίση της συνάρτησης f στο σημείο a U a i ως προς τον i- οστό άξονα του συστήματος των αξόνων που ορίζεται από αυτή τη βάση και ο αριθμός αυτός συμβολίζεται f ( a) i ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 4

5 Η μερική παράγωγος της συνάρτησης f ως προς την i- οστή μεταβλητή της είναι η συνάρτηση: i f : U, x f( x), i = 1,,, i και στο πεδίο ορισμού της ορίζεται το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης (gradiet): 4 Λέμε ότι η συνάρτηση f είναι κλάσης ( ) f() x = f(),, x f() x, x U 1 1 C όταν όλες οι μερικές της παράγωγοι υπάρχουν και είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού της και γενικότερα λέμε ότι είναι κλάσης r 1 παράγωγοι είναι κλάσης C, r > 1, και τέλος λέμε ότι είναι κλάσης r C όταν όλες οι μερικές της C όταν όλες οι μερικές της r 0 παράγωγοι είναι κλάσης C για κάθε r, ( C σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής) Οι προβολές του ευκλείδειου χώρου στους άξονες των συντεταγμένων προβάλλουν κάθε σημείο του στον αντίστοιχο άξονα αποδίδοντάς του μια αριθμητική τιμή: x i :, i = 1,, Το διαφορικό των προβολών σε κάθε σημείο a : d a x i :, i = 1,,, αποδίδει σε κάθε διάνυσμα του ευκλείδειου χώρου : v = v 1 e v e, v i, i = 1,,, την προβολή του στον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων: d a x i (v) = v i, i = 1,, Τα στοιχεία του ευκλείδειου χώρου έχουν διπλή υπόσταση, σημειακή και διανυσματική Οι συντεταγμένες προβολές προβάλλουν σημεία ενώ τα διαφορικά τους προβάλλουν διανύσματα στους αντίστοιχους άξονες συντεταγμένων 4 Βλ Διανυσματικός Λογισμός, J Marsde A Tromba, Ελληνική Έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2001 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 5

6 Συνεπώς, αν δοθεί μια διαφορίσιμη συνάρτηση τότε, σε κάθε σημείο a U, ισχύει: f : U d a f (v) = d a f ( v i e i ) = v i d a f (e i ) = v i i f (a) = i f (a) d a x i (v) i=1 i=1 i=1 i=1 άρα d a f (v) = < f (a),v > 5 Ο όρος γραμμική μορφή στον ευκλείδειο χώρο δηλώνει κάθε γραμμική απεικόνιση: α : Οι γραμμικές μορφές, εκτός της μηδενικής, έχουν μονοδιάστατη εικόνα και ο πυρήνας τους είναι ένα υπερεπίπεδο του ευκλείδειου χώρου : Kerα = { v / α(v) = 0} Το σύνολο των γραμμικών μορφών του ευκλείδειου χώρου, εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς αριθμούς, διαθέτει δομή - διάστατου πραγ- ματικού διανυσματικού χώρου που καλείται δυϊκός χώρος του ευκλείδειου χώρου και συμβολί- ζεται Σε κάθε βάση { e1,, e } του ευκλείδειου χώρου προσαρτάται αμφιμονοσήμαντα μια δυϊκή βάση { e1,, e } του δυϊκού χώρου που ορίζεται ως εξής: e j :, e ( e ) =δ, i, j = 1,, j i ij Έτσι, όταν δοθεί μια γραμμική μορφή εκφρασμένη σε μια βάση του δυϊκού χώρου : * * α= ce ce, c i, τότε αυτή αποδίδει σε κάθε διάνυσμα του ευκλείδειου χώρου : τον πραγματικό αριθμό: αφού v = ve ve, v i, α (v) = ce() v + + ce() v = cv + + cv * * e () v = v, i = 1,, i i 5 Στην περίπτωση μοναδιαίων διανυσμάτων η σχέση αυτή υποδεικνύει το ρυθμό μεταβολής των τιμών της συνάρτησης προς την κατεύθυνση του θεωρούμενου διανύσματος v ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 6

7 Οι κανονικές προβολές στους καρτεσιανούς άξονες του ευκλείδειου χώρου, που αποδίδουν σε κάθε σημείο τις καρτεσιανές συντεταγμένες του, προφανώς είναι γραμμικές μορφές που αποτελούν βάση του δυϊκού χώρου Γενικότερα, μια οποιαδήποτε βάση του δυϊκού χώρου ορίζει ένα σύστημα γραμμικών συντεταγμένων στον ευκλείδειο χώρο, αποδίδοντας σε κάθε σημείο του αριθμητικές συντεταγμένες στους αντίστοιχους άξονες Ο όρος διαφορική μορφή ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου δηλώνει κάθε διαφορίσιμη απεικόνιση που σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού της προσαρτά ένα στοιχείο του δυϊκού χώρου : α : U * Σε ένα σύστημα γραμμικών συντεταγμένων προκύπτει η έκφραση: α ( x) = c ( x) dx, c i C r (U,), r 1 i= 1 i όπου C r r (U,) συμβολίζει το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων κλάσης C στο U i, Το διαφορικό κάθε διαφορίσιμης συνάρτησης f : U είναι η συνάρτηση που ορίζεται ως εξής: df : U *, df () x dx f Η συνάρτηση αυτή αποδίδει σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της τη γραμμική μορφή: df ( x) = i f ( x) dxx, x U i i= 1 Συνεπώς πρόκειται για διαφορική μορφή: df που επίσης συμβολίζεται: = i f dxi i= 1 df = xi f dx i i=1 Μια διαφορική μορφή δεν αποτελεί οπωσδήποτε διαφορικό κάποιας συνάρτησης και όταν αυτό συμβαίνει λέμε ότι η διαφορική αυτή μορφή είναι ακριβής Αν δοθεί μια ακριβής διαφορική μορφή: α ( x) = c ( x) dx, c i C r (U,), r 1, i= 1 αυτό σημαίνει ότι υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση: i i τέτοια ώστε: f : U ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 7

8 δηλαδή: α() x = d f, x U, x ( ) f () x = c(),, x c () x, x U, i και η συνάρτηση αυτή προκύπτει από την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων: f () x =c() x, x U, i = 1,, xi i Μια απεικόνιση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου : λέγεται διαφορίσιμη σε ένα σημείο στώσες συναρτήσεις: f : U p, f( x) ( f1( x),, fp ( x) ) a U =, όταν, στο σημείο αυτό, είναι διαφορίσιμες όλες οι συνι- f i : U, i = 1,, p Ο ορισμός αυτός ισοδυναμεί με την ύπαρξη μιας γραμμικής απεικόνισης: τέτοιας ώστε: D a f : p f( a+ u) = f( a) + D f( u) + o( u ) a Η γραμμική αυτή απεικόνιση όταν υπάρχει είναι μοναδική και καλείται διαφορικό στο δεδομένο ση- μείο του πεδίου ορισμού της θεωρούμενης απεικόνισης Το διαφορικό στο δεδομένο αυτό σημείο εκφράζεται στις κανονικές βάσεις των ευκλείδειων χώρων και p με τον ιακωβιανό πίνακα: 6 D a f = f 1 (a) f p (a) x1 f 1 (a) x f 1 (a) x1 f p (a) x f p (a) Το διαφορικό κάθε διαφορίσιμης απεικόνισης ορίζεται ως εξής: f : U p Df : U L(, p ), Df () x Dx f, όπου L(, p ) συμβολίζει το πραγματικό διανυσματικό χώρο των γραμμικών απεικονίσεων από τον ευκλείδειο χώρο στον ευκλείδειο χώρο p 6 Η διαφορισιμότητα της θεωρούμενης απεικόνισης δεν διασφαλίζεται με την ύπαρξη των μερικών παραγώγων της που υπεισέρχονται στον ιακωβιανό πίνακα αλλά απαιτείται επιπλέον η συνέχειά τους ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 8

9 Αμφιδιαφορομορφισμοί του ευκλείδειου χώρου καλούνται οι αμφιμονοσήμαντες αμφιδι- αφορίσιμες απεικονίσεις: f : Το σύνολό τους, εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης, έχει δομή ομάδας η οποία συμβολίζεται Diff( ) Η ομάδα αυτή προφανώς περιέχει την ομάδα ισομορφισμών και περιέχεται στην ομάδα ομοιομορφισμών του ευκλείδειου χώρου : Isom( ) Diff( ) Hom( ) Γενικότερα, ο όρος αμφιδιαφορομορφισμός δηλώνει κάθε αμφιδιαφορίσιμο ομοιομορφισμό μεταξύ ανοιχτών υποσυνόλων U και U του ευκλείδειου χώρου : f : U U, f() x ( f (),, x f () x ) =, Το διαφορικό ενός αμφιδιαφορομορφισμού σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού του ορίζει έναν ισομορφισμό του ευκλείδειου χώρου : 1 D a f :, D a f ( f 1 (a),, f (a)), που στην κανονική βάση εκφράζεται με τον αντιστρέψιμο ιακωβιανό πίνακα: 7 D a f = f 1 (a) f (a) x1 f 1 (a) x f 1 (a) x1 f (a) x f (a) Μια απεικόνιση μεταξύ ανοιχτών υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου : f : U U, f() x ( f (),, x f () x ) =, καλείται τοπικός αμφιδιαφορομορφισμός στο σημείο a U, όταν υπάρχουν ανοιχτές περιοχές U a U του σημείου a και U a U του σημείου a =f(a) στις οποίες περιοριζόμενη η απεικόνιση ορίζει έναν αμφιδιαφορομορφισμό: f : U a U a 1 Τα ακόλουθα δυο κλασικά θεωρήματα δίνουν τις προϋποθέσεις τοπικής και ολικής αντιστρεψιμό- τητας και αμφιδιαφορισιμότητας των απεικονίσεων ενός ευκλείδειου χώρου στον εαυτό του 7 Μια διαφορίσιμη απεικόνιση που το διαφορικό της σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της είναι ισομορφισμός δεν είναι οπωσδήποτε αμφιδιαφορίσιμη και ενδεχομένως ούτε αντιστρέψιμη Πχ: U = {(x, y) 2 / x 2 + y 2 > 3}, U = {(u,v) 2 / u 2 + v 2 > 9} φ : U 2 U 2, ( xy, ) ( u x 2 y 2, v 2xy) φ = = = ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 9

10 Θεώρημα τοπικής αντιστροφής 8 r Μια C - διαφορίσιμη απεικόνιση: f : U είναι τοπικός r C - αμφιδιαφορομορφισμός σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της αν και μόνο αν ο ιακωβιανός της πίνακας στο σημείο αυτό είναι αντιστρέψιμος Θεώρημα ολικής αντιστροφής 9 r Αν μια C - διαφορίσιμη απεικόνιση: f : U είναι ένα προς ένα και ο ιακωβιανός της πίνακας είναι αντιστρέψιμος σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε έχει ανοιχτή εικόνα U = f (U) r και προκύπτει ο C - αμφιδιαφορομορφισμός: f : U U Παραδείγματα τοπικής και ολικής αντιστροφής στο ευκλείδειο επίπεδο Η γεωμετρική αισθητοποίηση των αμφιδιαφορικών μετασχηματισμών, ιδίως στους πολυδιάστατους ευκλείδειους χώρους, δεν είναι εύκολη συγκριτικά με τους γραμμικούς ισομορφισμούς που προφα- νώς αποελούν ειδική κατηγορία αμφιδιαφορικών μετασχηματισμών Οι αμφιδιαφορικοί μετασχημα- τισμοί διατηρούν αναλλοίωτα όχι μόνο τα τοπολογικά αλλά και τα διαφορικά χαρακτηριστικά πρώ- της ή ανώτερης τάξης των μετασχηματιζόμενων υποσυνόλων των ευκλείδειων χώρων ανάλογα με την απαίτηση της C r αμφιδιαφορισιμότητας, r 1, όμως δεν διατηρούν γενικά τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά τους Για παράδειγμα, προσέξτε στο ακόλουθο σχήμα πώς μετασχηματίζονται οι ομόκεντροι κύκλοι του ευκλείδειου επιπέδου από τον υποδεικνυόμενο μετασχηματισμό: φ(x, y) = ( u = x + y 2,v = y) 8 Η απόδειξη του θεωρήματος τοπικής αντιστροφής βασίζεται στην κλασική τεχνική των διαδοχικών προσεγγίσεων και στο θε- ώρημα σταθερού σημείου και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Διαφορικού Λογισμού Η μονοδιάστατη περίπτωση είναι γνωστή από το Λύκειο και δηλώνει ότι στα σημεία του γραφήματος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης όπου η κλίση δεν είναι μηδενική, η συνάρτηση είναι τοπικά αντιστρέψιμη και η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιμη με αντίστροφη κλίση στο αντίστοιχο σημείο του ορισμού της Από το θεώρημα αυτό απορρέει το σπουδαίο θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων 9 Η αντιστρεψιμότητα του ιακωβιανού πίνακα σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού μιας διαφορίσιμης απεικόνισης διασφα- λίζει την τοπική αλλά όχι την ολική αντιστρεψιμότητά της, ούτε καν την ένα προς ένα απεικόνιση του πεδίου ορισμού της Εντούτοις, οι διαφορίσιμοι ομοιομορφισμοί των οποίων ο ιακωβιανός πίνακας είναι παντού αντιστρέψιμος είναι αμφιδιαφο- ρομορφισμοί όχι μόνο τοπικά αλλά ολικά ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 10

11 Παράδειγμα 1 Θεωρούμε το μετασχηματισμό του ευκλείδειου επιπέδου: που ορίζεται ως εξής: f : 2 2, f (x, y) = ( f 1 (x, y), f 2 (x, y) ), f 1 (x,y) = six + y, f 2 (x,y) = cosy + x Ο μετασχηματισμός αυτός προφανώς είναι διαφορίσιμος σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου Αν επιπλέον ήταν αμφιδιαφορίσιμος θα έπρεπε σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου να δια- σφαλίζεται η γραμμική ανεξαρτησία των πεδίων κατευθυντήριας κλίσης: f 1 (x o,y o ) = ( cosx o,1), f 2 (x o,y o ) = ( 1, siy o ), γεγονός που εκφράζεται με την αντιστρεψιμότητα του ιακωβιανού πίνακα: [D a f ] = f (x, y ) 1 o o f 2 (x o, y o ) = cos x o 1 1 si y o Προφανώς αυτό δεν συμβαίνει στα σημεία: ( π+ 2 kπ, π /2+ 2 kπ ) και (2 kπ, 3 π / 2+ 2 kπ ), k Εφόσον τα σημεία αυτά εξαιρεθούν από το πεδίο ορισμού τότε το ερώτημα της αμφιδιαφορισιμό- τητας τίθεται για το μετασχηματισμό: f : 2 U U = f(u) 2 και το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει την τοπική αμφιδιαφορισιμότητά του Όμως, η ένα προς ένα απεικόνιση του πεδίου ορισμού του είναι αυτή που δίνει τη δυνατότητα εφαρμογής του θεωρήματος ολικής αντιστροφής και οδηγεί στην επιβεβαίωση της αντιστρεψιμότητας και της αμφιδιαφορισιμότητας αυτού του μετασχηματισμού μεταξύ του πεδίου ορισμού του και της εικόνας του στο ευκλείδειο επίπεδο Μετασχηματισμός καρτεσιανού πλέγματος σε καμπυλόγραμμο πλέγμα και τετραγωνικών χωρίων σε καμπυλόγραμμα χωρία στο ευκλείδειο επίπεδο : [ u= si x + y, v = cos y + x ] ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 11

12 Παράδειγμα 2 Θεωρούμε το μετασχηματισμό του ευκλείδειου επιπέδου: 10 που ορίζεται ως εξής: f : 2 2, f (x, y) = ( f 1 (x, y), f 2 (x, y) ), f 1 (x,y) = x 2 y 2, f 2 (x,y) = 2xy Ο μετασχηματισμός αυτός προφανώς είναι διαφορίσιμος σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου Αν επιπλέον ήταν τοπικά αμφιδιαφορίσιμος θα έπρεπε σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου να είναι αντιστρέψιμος ο ιακωβιανός του πίνακας: [D a f ] = f (x, y ) 1 o o f 2 (x o, y o ) = 2x o 2y o 2y o 2x o και αυτό θα σήμαινε τη γραμμική ανεξαρτησία των πεδίων κατευθυντήριας κλίσης: f 1 (x o,y o ) = ( 2x o, 2y o ), f 2 (x o,y o ) = ( 2x o, 2y o ) Προφανώς αυτό συμβαίνει σε όλα τα σημεία του ευκλείδειου επιπέδου εκτός από την αρχή του και σε αυτά τα σημεία το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει την τοπική αμφιδιαφορισιμότητα του μετασχηματισμού Η εξαίρεση της αρχής του ευκλείδειου επιπέδου από το πεδίο ορισμού του δεν αρκεί για την εφαρμογή του θεωρήματος ολικής αντιστροφής Προφανώς, ο μετασχηματισμός αποδίδει ίδια εικόνα στα σημεία που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή του ευκλείδειου επιπέδου και η άρση αυτής της αντιξοότητας επιτυγχάνεται με τον περιορισμό του πεδίου ορισμού έτσι ώστε να μην συνυπάρχουν συμμετρικά σημεία, οπότε προκύπτει ένας αμφιμονοσήμαντος και αμφιδιαφο- ρίσιμος μετασχηματισμός: f : 2 U U = f(u) 2 Μετασχηματισμός καρτεσιανού πλέγματος σε καμπυλόγραμμο πλέγμα και τετραγωνικών χωρίων σε καμπυλόγραμμα χωρία στο ευκλείδειο επίπεδο : [ u= x 2 y 2, v = 2x y ] 10 Ο μετασχηματισμός αυτός εκφράζεται στο μιγαδικό επίπεδο με τη μιγαδική συνάρτηση: f( z) 2 = z ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 12

13 Παραδείγματα τοπικής και ολικής αντιστροφής στο μιγαδικό επίπεδο Μια μιγαδική συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου: f : U αποσυντίθεται στην πραγματική και στην φανταστική συνιστώσα της ως εξής: όπου f (z) = P(x, y) + iq(x, y) P : U, Q : U Παρότι η διανυσματική δομή του μιγαδικού επιπέδου (μιγαδική διανυσματική δομή) είναι διαφο- ρετική από εκείνη του ευκλείδειου επιπέδου (πραγματική διανυσματική δομή), εντούτοις η τοπολογία τους είναι ταυτόσημη 11 Έτσι, σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου, z o = (x o, y o ), η συνέχεια της μιγαδικής συνάρτησης ισοδυναμεί με τη συνέχεια των συνιστωσών της πραγματικών συναρτήσεων και ισχύει: Lim f () z = a + ib z z o Lim P ( x, y ) = a & ( xy, ) ( xo, yo) Lim Q ( x, y ) = b ( xy, ) ( xo, yo) Όμως, η παραγωγισιμότητα της μιγαδικής συνάρτησης δεν ισοδυναμεί με την παραγωγισιμότητα των συνιστωσών της πραγματικών συναρτήσεων Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης σε ένα σημείο του χωρίου ορισμού της, εφόσον υπάρχει, ορίζεται ως εξής: f (z) f (z f (z o ) =lim o ) z z o z z o Το διαφορικό της μιγαδικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι η μιγαδική γραμμική απεικόνιση: 12 D zo f :, D f() z = f ( z ) z zo o Οι μιγαδικές συναρτήσεις που είναι διαφορίσιμες σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού τους στο μι- γαδικό επίπεδο καλούνται ολόμορφες και εμφανίζουν εξαιρετικές ιδιότητες που δεν τις διαθέτουν οι διαφορίσιμες πραγματικές συναρτήσεις 13 Για να διασφαλιστεί η ολομορφία μιας μιγαδικής συνάρτη- σης στο χωρίο ορισμού της πρέπει οι συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις να είναι διαφορίσιμες με συνεχείς μερικές παραγώγους και επιπλέον να πληρούν τις συνθήκες Cauchy- Riema: x P(x o, y o ) = y Q(x o, y o ), y P(x o, y o ) = x Q(x o, y o ) 11 Η διανυσματική δομή του μιγαδικού επιπέδου, εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με μιγαδικούς συντελεστές, είναι σαφώς διαφορετική από την πραγματική διανυσματική δομή του ευκλείδειου επιπέδου, εφοδι- ασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς συντελεστές αλλά η τοπολογία τους είναι ταυτόσημη γεγονός που τους αποδίδει ίδιες τοπολογικές ιδιότητες 12 Η - γραμμικότητα σημαίνει: και προφανώς συνεπάγεται την - γραμμικότητα: f ( z+ z ) = f( z) + f ( z ), z, z, f ( λz) = λf ( z), z, λ, f ( z+ z ) = f( z) + f ( z ), z, z, f ( λz) = λf ( z), z, λ 13 Βλ Μιγαδική Ανάλυση, J Marsde, Ελληνική Έκδοση, Αθήνα 1990 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 13

14 Η παράγωγος μιας ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης υπολογίζεται ως εξής: f (z o ) = x P(x o, y o ) + i x Q(x o, y o ) και λαμβάνοντας υπόψη τις προαναφερόμενες συνθήκες ολομορφίας προκύπτει: f (z o ) = x P(x o, y o ) i y P(x o, y o ) = y Q(x o, y o ) + i y Q(x o, y o ) Οι συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις ορίζουν τη διαφορίσιμη πραγματική απεικόνιση: f : U 2 2 ( ) f(, x y) = P(, x y), Q(, x y) και σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού της ορίζεται το διαφορικό της: D a f : 2 2 οπότε, λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες ολομορφίας, προκύπτει η έκφραση της ιακωβιανής: Συνεπώς άρα xp( a) xq( a) x Da f( x, y) = xq( a) xp( a) y det D a f = ( x P(a) ) 2 + ( x Q(a) ) 2 = f (z o ) 2 o [ ] f ( z ) 0 det D f 0 a Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπερασμα ότι στα σημεία όπου δεν μηδενίζεται η παράγωγος μιας ολό- μορφης μιγαδικής συνάρτησης, ο μετασχηματισμός που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις συ- νιστώσες της πραγματικές συναρτήσεις είναι τοπικά αντιστρέψιμος και αμφιδιαφορίσιμος, όπως δηλώνεται από το θεώρημα τοπικής αντιστροφής 14 Στη Μιγαδική Ανάλυση τα θεωρήματα τοπικής και ολικής αντιστροφής δηλώνουν τα εξής: Μια ολόμορφη συνάρτηση σε ένα ανοιχτό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου είναι τοπικά αντιστρέψιμη και αμφιολόμορφη στην περιοχή κάθε σημείου του πεδίου ορισμού της στο οποίο η παράγωγός της δεν είναι μηδενική Αν ο μη μηδενισμός της παραγώγου της αληθεύει σε όλο το χωρίο ορισμού της και επιπλέον πρόκειται για ένα προς ένα συνάρτηση τότε η εικόνα της στο μιγαδικό επίπεδο είναι ανοιχτή και επάνω σε αυτή η αμφιολόμορφη αντιστροφή είναι ολική Αν λοιπόν ένας μετασχηματισμός του ευκλείδειου επιπέδου προκύπτει από τις συνιστώσες πραγμα- τικές συναρτήσεις μιας ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης τότε έχουμε στη διάθεσή μας μιγαδικά κριτήρια της τοπικής και ολικής αμφιδιαφορικής αντιστρεψιμότητάς του 14 Το σπουδαίο όμως γεωμετρικό χαρακτηριστικό των ολόμορφων μιγαδικών συναρτήσεων των οποίων η παράγωγος δεν μη- δενίζεται στο πεδίο ορισμού τους είναι το ότι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις συνιστώσες της πραγματικές συναρτήσεις διατηρούν αμετάβλητες τις γωνίες, δηλαδή αν δυο ομαλές καμπύλες τέμνονται τότε η γωνία που ορίζουν οι εφαπτόμενές τους στο σημείο τομής τους είναι ίδια με τη γωνία που ορίζουν οι εφαπτόμενες στις ει- κόνες τους στο αντίστοιχο σημείο τομής τους Οι μετασχηματισμοί του μιγαδικού επιπέδου που έχουν αυτό το χαρακτηριστικό καλούνται σύμμορφοι μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 14

15 Παράδειγμα 1 Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση: f :, 2 f () z = z, που προφανώς είναι ολόμορφη σε όλο το μιγαδικό επίπεδο με μη μηδενιζόμενη παράγωγο παρά μό- νο στην αρχή του Άρα, σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου, εκτός της αρχής του, είναι τοπικά αντιστρέψιμη και αμφιολόμορφη Κατά συνέπεια, σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου εκτός της αρχής του, διασφαλίζεται η τοπική αμφιδιαφορική αντιστροφή του μετασχηματισμού που συγ- κροτείται από τις συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις της μιγαδικής αυτής συνάρτησης: f : 2 2, f (x, y) = ( P(x, y) = x 2 y 2, Q(x, y) = 2xy) Η ολική αμφιολόμορφη αντιστροφή της μιγαδικής συνάρτησης είναι εφικτή μόνο στα χωρία του μι- γαδικού επιπέδου που βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο Όμως, η μιγαδική αυτή συνάρτηση αποδίδει ίδια εικόνα στα σημεία του μιγαδικού επιπέ- δου που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή του, δηλαδή στους μιγαδικούς αριθμούς ίδιου μέτρου που το όρισμά τους διαφέρει κατά π Ο περιορισμός του χωρίου ορισμού της σε ένα ανοιχτό ημι- επίπεδο του μιγαδικού επιπέδου αποκαθιστά την ένα προς ένα αντιστοιχία και επιτρέπει την εφαρ- μογή του θεωρήματος ολικής αντιστροφής Έτσι, για δεδομένο θ o, πχ θ o = 0, περιοριζόμαστε στο ανοιχτό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου: U = { z = ρe iθ / ρ > 0, θ o < θ < θ o + π} οπότε αποκαθίσταται αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την εικόνα U = f ( U) που καλύπτει το μιγα- δικό επίπεδο εκτός της ημιευθείας πολικής γωνίας ολικής αντιστροφής, προκύπτει η αμφιολόμορφη μιγαδική συνάρτηση: 2 f : U U, f () z = z, και η αντίστροφη ολόμορφη συνάρτηση ορίζεται ως εξής: f 1 : U U, 2θ Έτσι, όπως υποδεικνύεται από το θεώρημα o f ( z) = z 1 1/2 Ας δούμε λεπτομερέστερα τι συμβαίνει με τη μιγαδική πλειότιμη συνάρτηση: f :, f ( z) = z 1 1/2, που σε κάθε μιγαδικό αριθμό αποδίδει δυο συμμετρικές τιμές: z = ρe iθ z 1 = ρ 1/2 e iθ /2, z 2 = ρ 1/2 e i(π +θ /2) Η πλειότιμη συμπεριφορά αίρεται θεωρώντας ως πεδίο ορισμού όχι το μιγαδικό επίπεδο αλλά την εικονιζόμενη επιφάνεια Riema Η επιφάνεια αυτή εκφράζει ένα διπλό αντίγραφο του μιγαδικού επιπέδου που τα δυο φύλλα του έχουν συγκολληθεί κατά μήκος της σχισμής που ορίζεται από το θετικό πραγματικό ημιάξονα όπως υποδεικνύεται στο σχήμα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 15

16 Η επιφάνεια Riema της πλειότιμης μιγαδικής συνάρτησης Z = z Στην επιφάνεια αυτή θα παρατηρήσουμε ότι αν ξεκινήσουμε από ένα σημείο του άνω επιπέδου και επιχειρήσουμε να διαγράψουμε μια κλειστή καμπύλη γύρω από την αρχή Ο, με σκοπό να επα- νέλθουμε στο αρχικό σημείο, θα συναντήσουμε οπωσδήποτε τη σχισμή η οποία, αντί να είναι αδια- πέραστη, θα λειτουργήσει ως πέρασμα στο κάτω επίπεδο Η πρώτη περιφορά γύρω από την αρχή δεν οδηγεί στο αρχικό σημείο zo αλλά στο ομόλογό του σημείο z o που ανήκει στο κάτω επιπέδο Τα δυο αυτά σημεία, εφόσον αναπαρασταθούν στο μιγαδικό επίπεδο, είναι συμμετρικά ως προς την αρχή του Μια επιπλέον περιφορά γύρω από την αρχή προφανώς θα οδηγήσει στο αρχικό σημείο εκκίνησης Έτσι, σε κάθε σημείο z της επιφάνειας Riema αποδίδεται μια μοναδική εικόνα z 1/2 στο μιγαδικό επίπεδο και με τον τρόπο αυτό αίρεται κάθε αμφισημία που θα μπορούσε να προκαλέσει η συναρτησιακή χρήση της τετραγωνικής ρίζας των μιγαδικών αριθμών (i) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης f (z) = z 2 Πρόκειται για ορθογώνιες υπερβολές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις εξισώσεις: ℜ(z 2 ) = x 2 y 2 = ϕ ο & ℑ(z 2 ) = 2xy = ψ o (ii) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης f (z) = z 1/2 Πρόκειται για ορθογώνιες ομοεστιακές παραβολές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις εξισώσεις: ℜ(z1/2 ) = ϕ ο : y 2 = 4ϕ ο4 4ϕ 2ο x & ℑ(z1/2 ) = ψ ο : y 2 = 4ψ ο4 + 4ψ 2ο x ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι, ΜΑΘΗΜΑ 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 16

17 Παράδειγμα 2 Θεωρούμε τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση: z f :, f () z = e, που προφανώς είναι ολόμορφη σε όλο το μιγαδικό επίπεδο με μη μηδενιζόμενη παράγωγο, άρα σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου είναι τοπικά αντιστρέψιμη και αμφιολόμορφη Κατά συνέπεια, σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου διασφαλίζεται η τοπική αμφιδιαφορική αντιστροφή του μετασχηματισμού που συγκροτείται από τις συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις της μιγαδικής αυτής συνάρτησης: f : 2 2, f (x, y) = ( P(x, y) = e x cos y, Q(x, y) = e x si y) Ο μετασχηματισμός αυτός είναι άλλωστε τοπικά αντιστρέψιμος και αμφιδιαφορίσιμος σε όλα τα ση- μεία του ευκλείδειου επιπέδου, αφού ο ιακωβιανός του πίνακα είναι παντού αντιστρέψιμος: D xo xo e cos yo e si yo ( xo, yo) f( x, y) = xo x o e si yo e cos y y o x Η ολική αμφιολόμορφη αντιστροφή της μιγαδικής συνάρτησης είναι εφικτή μόνο στα χωρία του μι- γαδικού επιπέδου που βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο Ο περιορισμός του χωρίου ορισμού της στην οριζόντια ζώνη U = ] π, π[ εξασφαλίζει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την εικόνα U = f (U) που καλύπτει το μιγαδικό επίπεδο εκτός του αρνητικού πραγματικού ημιάξονα Έτσι, όπως υποδεικνύεται από το θεώρημα ολικής αντιστροφής, προκύπτει η αμφιολόμορφη μιγαδική συνάρτηση: f : U U, f (z) = e z = e x ( cos y + isi y), και η αντίστροφη ολόμορφη συνάρτηση ορίζεται ως εξής: f 1 : U U, f 1 (z) = Log z = l z + i Arg z 15 Συνεπώς, επιβάλλοντας αυτούς τους περιορισμούς στο ευκλείδειο επόπεδο ορίζεται ο αντιστρέψι- μος αμφιδιαφορικός μετασχηματισμός: f : 2 U U 2, (, ) ( x x f x y e cos y, e si y) και προκύπτει ο αντίστροφος αμφιδιαφορικός μετασχηματισμός: f 1 : 2 =, U U 2, f 1 ( x, y) ( l( x 2 y 2 ) 1/2, Arc ta ( y / x) ) = + 15 Η μεταβλητή αυτής της μιγαδικής συνάρτησης, υπακούοντας στον περιορισμό του χωρίου ορισμού της εκθετικής μιγαδικής συνάρτησης, διατρέχει το μιγαδικό επίπεδο με εξαίρεση τον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα, συνεπώς το όρισμά της παίρνει τιμές στο διάστημα ] π, π [ Αν η μιγαδική μεταβλητή διέτρεχε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο εκτός της αρχής του τότε θα προέκυπτε η πλειότιμη μιγαδική λογαριθμική συνάρτηση: Log z = l z + i ( Arg z + 2 kπ ), k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 17

18 (i) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης f (z) = e : z ℜ(e z ) = e x cos y = ϕ ο & ℑ(e z ) = e x si y = ψ ο (ii) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης f (z) = log z : ℜ(Log z) = l(x 2+ y 2 )1/2 = ϕ ο : x 2+ y 2 = e 2ϕ ο & ℑ( Log z) = Arc ta( y / x) = ψ ο : y = (ta ψ ο ) x Παράδειγμα 3 Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση: f : {0}, f ( z) = 1/ z, που σε κάθε μιγαδικό αριθμό διάφορο του μηδενός αποδίδει τον αντίστροφό του: z = ρ eiθ 1/ z = (1/ ρ ) e iθ Η αντιστροφή στο μιγαδικό επίπεδο ενός μιγαδικού αριθμού μέτρου ρ ορίζεται από μια συμμετρία ως προς τον πραγματικό άξονα και μια ομοθεσία λόγου 1/ ρ με κέντρο το Ο Πρόκειται για ολόμορφη συνάρτηση με μη μηδενιζόμενη παράγωγο στο χωρίο ορισμού της, άρα το- πικά αντιστρέψιμη και αμφιολόμορφη Κατά συνέπεια, σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου, εκτός της αρχής του, διασφαλίζεται η τοπική αμφιδιαφορική αντιστροφή του μετασχηματισμού που συγκροτείται από τις συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις της μιγαδικής αυτής συνάρτησης: f : 2 {(0,0)} 2, f (x, y) = P(x, y) = x y, Q(x, y) = 2 2 x +y x + y 2 2 ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι, ΜΑΘΗΜΑ 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 18

19 Φαινόμενα αντιστροφής στο μιγαδικό επίπεδο Τοπικά συστήματα συντεταγμένων στους ευκλείδειους χώρους Κάθε γραμμικός ισομορφισμός του ευκλείδειου χώρου : φ : μετατρέπει την ορθοκανονική βάση σε βάση όχι απαραίτητα ορθοκανονική και, συνακόλουθα, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (x 1,,x ) σε σύστημα γραμμικών συντεταγμένων ( x 1,, x ), όχι απαραίτητα καρτεσιανών, ως εξής: x i = x i φ : x i = x i φ 1 :, i = 1,, φ x i x i Γραμμικός μετασχηματισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων στο ευκλείδειο επίπεδο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 19

20 Κάθε αμφιδιαφορομορφισμός 16 του ευκλείδειου χώρου : φ : μετατρέπει το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (x 1,,x ) σε σύστημα όχι απαραίτητα γραμμι- κών αλλά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων (u 1,,u ) ως εξής: x i = u i φ u i = x i φ 1, i = 1,, φ x i u i Αμφιδιαφορικός μετασχηματισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων του ευκλείδειου επιπέδου Ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων 17 στην περιοχή ενός σημείου του ευκλείδειου χώρου ορίζεται από μια οικογένεια συναρτήσεων που είναι διαφορίσιμες στην περιοχή αυτού του σημείου: φ i : U a, i = 1,,, και που τα διαφορικά τους σε αυτό το σημείο συγκροτούν βάση του δυϊκού χώρου : d a φ i :, i = 1,,, δηλαδή απαιτείται η γραμμική ανεξαρτησία των πεδίων κατευθυντήριας κλίσης σε αυτό το σημείο: φ 1 (a),, φ (a) 16 Οι αλλαγές συντεταγμένων οφείλουν να διασφαλίζουν κατά τρόπο αντιστρεπτό την εγκυρότητα των φυσικών χαρακτηρι- στικών που αφορούν τόσο στις θέσεις όσο και στις ταχύτητες των φυσικών συστημάτων και στην απαίτηση αυτή ανταποκρί- νονται οι αμφιδιαφορομορφισμοί κλάσης C r, r 1 17 Οι συναρτήσεις που ορίζουν το τοπικό σύστημα συντεταγμένων υποτίθενται C r διαφορίσιμες, r 1, στην περιοχή του σημείου στο οποίο είναι επικεντρωμένο το τοπικό σύστημα συντεταγμένων του ευκλείδειου χώρου: ( u 1 = φ 1 (x),,u = φ (x)) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 20

21 Το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει τη συγκρότηση του τοπικού αμφιδιαφορομορφισμού: φ : a φ(a) φ(x) = ( φ 1 (x),,φ (x)) Το διαφορικό αυτού του αμφιδιαφορομορφισμού στο σημείο όπου είναι επικεντρωμένο το τοπικό σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζει τη βάση του ευκλείδειου χώρου ως εξής: D a φ(e 1 ) = D a φ(e ) = i=1 i=1 x1 φ i (a) x φ i (a) και έτσι συγκροτείται ο αντιστρέψιμος ιακωβιανός πίνακας: D a φ = e i e i x1 φ 1 (a) x φ 1 (a) x1 φ (a) x φ (a) Σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων στο ευκλείδειο επίπεδο: ( u 1 = φ 1 (x),,u = φ (x)) Αναγωγή των διαφορίσιμων συναρτήσεων σε τοπικά πρότυπα Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση, r 1, ορισμένη σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλεί- δειου χώρου : f : U, y = f(x 1,,x ) Ας επιλέξουμε ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων επικεντρωμένο σε ένα σημείο a ται από τον τοπικό αμφιδιαφορομορφισμό: που ορίζε- φ : a a φ(x 1,,x ) = ( u 1 = φ 1 (x 1,,x ),, u = φ (x 1,,x )) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 21

22 Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων η συνάρτηση αποκτά άλλη τοπική έκφραση: που καθορίζεται από το μεταθετικό διάγραμμα: f : a, y = f(u 1,,u ), δηλαδή a φ a f f f(u1,,u ) = f φ(x 1,,x ) = f(x 1,,x ) ή f(u1,,u ) = f φ 1 (u 1,,u ) Σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού αυτής της συνάρτησης λαμβάνουμε το διαφορικό της: d a f :, d a f = xi f(a)dx i και προκύπτει το διάνυσμα κατευθυντήριας κλίσης: i=1 f(a) = ( x1 f(a),, x f(a) ) Ο μη μηδενισμός του διαφορικού υποδηλώνει ότι τουλάχιστο μια από τις μερικές παραγώγους δεν μηδενίζεται στο θεωρούμενο σημείο και τότε λέμε ότι πρόκειται για ομαλό σημείο, ενώ σε περίπτω- ση μηδενισμού του διαφορικού λέμε ότι πρόκειται για κρίσιμο σημείο της συνάρτησης, Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα με τη συμπεριφορά του διαφορικού 2 ης τάξης, δηλαδή της εσσιανής συνάρτησης: H a f : που, για κάθε v = (v 1,,v ), ορίζεται ως εξής: H a f(v) = 1 2 f(a) v 2 i, j=1 x i x i v j j Η εσσιανή συνάρτηση είναι μια τετραγωνική συνάρτηση 18 της οποίας οι τιμές ορίζονται διαμέσου του συμμετρικού διγραμμικού τελεστή που εκφράζεται με τον εσσιανό πίνακα: 18 Τετραγωνική συνάρτηση καλείται κάθε συνάρτηση Q : της μορφής Q(u 1,,u ) = και ο τετραγωνικός της χαρακτήρας αντικατοπτρίζεται στην ταυτότητα: i, j=1 a ij u i u j, a ij, Q(λu 1,,λu ) = λ 2 Q(u 1,,u ), λ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 22

23 H a f(v) = v 1 v 2 f x (a) 2 f (a) 2 1 x 1 x 2 f (a) 2 f x x 1 x (a) 2 v 1 v Αν η εσσιανή συνάρτηση μηδενίζεται σε ένα κρίσιμο σημείο τότε λέμε ότι πρόκειται για εκφυλισμέ- νο κρίσιμο σημείο και σε αντίθετη περίπτωση πρόκειται για μη εκφυλισμένο κρίσιμο σημείο Οι διαφορίσιμες συναρτήσεις, στην περιοχή οποιουδήποτε ομαλού σημείου, με κατάλληλη αμφιδια- φορική αλλαγή συντεταγμένων, ανάγονται τοπικά σε γραμμικές συναρτήσεις και συγκεκριμένα σε προβολές οι οποίες ευθυγραμμοποιούν τα ισοσταθμικά τους σύνολα Επίσης, όπως απέδειξε ο Marsto Morse το 1939, οι διαφορίσιμες συναρτήσεις, στην περιοχή οποιουδήποτε κρίσιμου μη εκ- φυλισμένου σημείου, με κατάλληλη αμφιδιαφορική αλλαγή συντεταγμένων, ανάγονται τοπικά σε τετραγωνικά πολυώνυμα Στα κρίσιμα εκφυλισμένα σημεία τα τοπικά πρότυπα των διαφορίσιμων συναρτήσεων είναι πιο περίπλοκα και υπάγονται στη Θεωρία των Ιδιομορφιών των Διαφορίσιμων Συναρτήσεων που θεμελιώθηκε από τον Reé Thom το Η διαδικασία αναγωγής των διαφο- ρίσιμων συναρτήσεων σε τοπικά πρότυπα έχει την απαρχή της σε ένα κλασικό Λήμμα του Jacques Hadamard ( ) ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ HADAMARD: 20 Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση, r 1, ορισμένη σε ένα ανοιχτό κυρτό χωρίο του ευ- κλείδειου χώρου : f : U Για κάθε σημείο a U, υπάρχουν C r 1 διαφορίσιμες συναρτήσεις: τέτοιες ώστε: H i : U, H i (a) = xi f(a), i = 1,,, f(x) = f(a) + i=1 (x i a i )H i (x), x U Απόδειξη Το κλασικό θεώρημα των πεπερασμένων αυξήσεων δηλώνει ότι: 1 d 1 f(x) f(a) = f(a + t(x a))dt = (x 0 dt i a i ) xi (a + t(x a))dt, x U 0 i=1 19 Βλ Μαθηματικά Πρότυπα της Μορφογένεσης, Reé Thom, Ελληνική Έκδοση, Αθήνα 1985 Sigularities of differetiables fuctios, VI Arold, SM Gusei- Zade, AN Varcheko, Birkhauser Το Λήμμα του Hadamard με επαναληπτική εφαρμογή αποδίδει σε κάθε απειροδιαφορίσιμη συνάρτηση ένα ανάπτυγμα Taylor χωρίς υπόλοιπο το οποίο στην πραγματικότητα εμπεριέχεται σε κατάλληλα επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων Στη μονοδιάστατη περίπτωση το λήμμα αυτό δίνει τη δυνατότητα διαίρεσης της θεωρούμενης συνάρτησης με τη μεταβλητή της καταλήγοντας σε αποτελέσματα αναλυτικής επέκτασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 23

24 Το συμπέρασμα προκύπτει θέτοντας: H i (x) = 1 0 xi (a + t(x a))dt, i = 1,, Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί σε αυτές τις συναρτήσεις, αρκεί να είναι διαφορίσιμες έως την απαιτούμενη τάξη, οπότε θα προκύψουν οι συναρτήσεις: Συνεπώς όπου και H i (x) = H i (a) + j=1 (x j a j )h ij (x), i = 1,, f(x) = f(a) + (x i a i ) xi f (a) + (x i a i )(x j a j )H i j (x) i=1 i, j=1 H i j (x) = h i j (x) + h j i (x) H i j (a) = 1 2 x i x j f(a) ΛΗΜΜΑ ΟΜΑΛΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ (Τοπική έκφραση στην περιοχή των ομαλών σημείων) Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση, r 1, ορισμένη σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου : f : U, y = f(x 1,,x ) Σε κάθε ομαλό σημείο a U υπάρχει επικεντρωμένο ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων: φ : a a στο οποίο η συνάρτηση εκφράζεται τοπικά ως προβολή:, φ(x 1,,x ) = (u 1 = φ 1 (x),,u = φ (x)), f φ 1 (u 1,,u ) = π i (u 1,,u ) = u i, i = 1,, Τοπική άποψη των ισοσταθμικών συνόλων στα δυο συστήματα συντεταγμένων στην περιοχή ενός ομαλού σημείου: ( = 2) Σ f (c) = x 2 / f(x) = c f(u) = c { } και Σ f (c) = { u 2 / }, c ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 24

25 Απόδειξη Αν a U είναι ομαλό σημείο της συναρτησης: f : U, y = f(x 1,,x ), δηλαδή σημείο στο οποίο δεν μηδενίζεται το διαφορικό της: d a f : τότε, θεωρώντας στην περιοχή του σημείου b = f (a) τη συντεταγμένη y :, θέτουμε: και προκύπτει η γραμμική μορφή: u 1 = y f : a d a u 1 = d b y d a f : Η ομαλότητα του θεωρούμενου σημείου διασφαλίζει τη μη μηδενικότητα της γραμμικής αυτής μορ- φής, οπότε συμπληρώνοντας με - 1 ανεξάρτητες γραμμικές μορφές, πχ με τις κανονικές προβολές: u i :, i = 2,,, συγκροτείται μια βάση του δυϊκού χώρου που ορίζει το ζητούμενο σύστημα συντεταγμένων: u i : a, i = 1,, ΛΗΜΜΑ MORSE (Τοπική έκφραση στην περιοχή των κρίσιμων μη εκφυλισμένων σημείων Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση, r > 1, ορισμένη σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου : f : U, y = f(x 1,,x ) Σε κάθε κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο a U υπάρχει επικεντρωμένο ένα τοπικό σύστημα συν- τεταγμένων: φ : a a, φ(x 1,,x ) = (u 1 = φ 1 (x),,u = φ (x)), στο οποίο η συνάρτηση αποκτά τετραγωνική πολυωνυμική έκφραση: 21 f φ 1 (u 1,,u ) = u u 2 2 p u p+1 u 2 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ MORSE ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ: f(x 1,x 2 ) = x x 2 2 f(x 1,x 2 ) = x 1 2 x 2 2 f(x 1,x 2 ) = x 1 2 x Στην τετραγωνική πολυωνυμική αυτή έκφραση ο δείκτης p δηλώνει το πλήθος των θετικών ιδιοτιμών του εσσιανού πίνακα Το Λήμμα δηλώνει ότι στην περιοχή ενός κρίσιμου μη εκφυλισμένου σημείου η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο εφόσον p= ή τοπικό μέγιστο εφόσον p=0 και υποδεικνύει το κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο προκύπτει η τοπική τετραγωνική έκφρασή της Στην περίπτωση =2 εμφανίζονται οι προαναφερόμενες τρεις εκδοχές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 25

26 Κατασκευή των συντεταγμένων Morse: Στην περίπτωση =1, η κατασκευή είναι απλή Για απλούστευση των υπολογισμών τοποθετούμε την αρχή των αξόνων στο κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο έτσι ώστε: f(0) = 0, f (0) = 0, f (0) 0 Το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού υποδεικνύει ότι: f(x) = df = f (tx)d(tx) = x f (tx)dt = xα(x) 0 x 0 x Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία στην παραγωγίσιμη συνάρτηση Α(x), που προφανώς μηδενίζεται στο σημείο 0, προκύπτει μια νέα παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε: f(x) = x 2 Β(x) Επιλέγοντας το κατάλληλο πρόσημο που υποδεικνύεται από τη δεύτερη παραγώγιση θεωρούμε τη συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής που ορίζεται στην περιοχή του 0 ως εξής: u = φ(x) = (±) f(x) 1/2 = x Β(x) 1/2 Πρόκειται για τοπικά αντιστρέψιμη αμφιδιαφορική συνάρτηση στην περιοχή του 0, γιατί: 1 0 Β(0) = 1 2 f (0) 0 φ (0) 0 Συνεπώς, στην περιοχή του 0, ορίζεται πράγματι νέα τοπική συντεταγμένη συνάρτηση τέτοια ώστε: f(x) = f(φ 1 (u)) = (±)u 2 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ MORSE ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: f(x) = x 2 f(x) = x 2 Στην περίπτωση =2, για απλούστευση των υπολογισμών θα τοπθετήσουμε πάλι την αρχή των αξόνων στο κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο έτσι ώστε: f(0) = 0 Το Λήμμα του Hadamard υποδεικνύει ότι σε μια ανοιχτή κυρτή περιοχή αυτού του σημείου ορίζονται διαφορίσιμες συναρτήσεις: τέτοιες ώστε: H i : a 2, H i (0) = xi f(0), i = 1,2, f(x) = x 1 H 1 (x) + x 2 H 2 (x) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 26

27 Εφαρμόζοντας το Λήμμα του Hadamard στις δυο προαναφερόμενες συναρτήσεις προκύπτει: άρα H 1 (x) = x 1 H 11 (x) + x 2 H 12 (x), H 2 (x) = x 1 H 21 (x) + x 2 H 22 (x), f(x) = x 2 1 H 11 (x) + x 2 2 H 22 (x) + x 1 x 2 ( H 12 (x) + H 21 (x)) = 2 1 H 11 (x) + x 2 2 H 22 (x) x x H (x) όπου H 11 (0) = x 1 x 1 f(0), H 22 (0) = x 2 x 2 f(0), H o (0) = f(0) x 1 x 2 Ο μη εκφυλισμός του κρίσιμου σημείου σημαίνει: H 11 (0)H 22 (0) H o 2 (0) 0 Αν H 11 (0) 0, σε μια συνεκτική περιοχή του κρίσιμου σημείου θα ισχύει: H 11 (x)h 22 (x) H 2 o (x) 0 και επιλέγοντας κ=± 1 και κ=± 1 έτσι ώστε: προκύπτει: κ H 11 (x) > 0 και κ ( H 11 (x)h 22 (x) H 2 o (x)) > 0 ( ) f(x) = κ x 1 κ H 11 (x) + κ x 2 H o (x) / κ H 11 (x) ( ) / κ H 11 (x) κ κ x κ H 2 11 (x)h 22 (x) H 2 o (x) 2 και θέτοντας: u 1 = x 1 κ H 11 (x) + x 2 κ H o (x) / κ H 11 (x), u 2 = x 2 κ καταλήγουμε στην τετραγωνική έκφραση: f(u) = ±u 1 2 ± u 2 2 ( H 11 (x)h 22 (x) H 2 o (x)) / κ H 11 (x) Αν H 22 (0) 0, αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση εναλλάσσοντας το ρόλο των μεταβλητών Αν H 11 (0) = H 22 (0) = 0 τότε H o (0) 0 και αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση θέτοντας: x 1 = x 1 + x 2 και x 2 = x 1 x 2 Στις περισσότερες μεταβλητές η κατασκευή των συντεταγμένων πραγματοποιείται επαγωγικά με χρήση του Λήμματος Hadamard που υποδεικνύει την ύπαρξη διαφορίσιμων συναρτήσεων τέτοιων ώστε: H i j (x) = H j i (x), i, j = 1,,, f(x) = x i x j H i j (x), H i j (0) = f(0), x i x i, j = 1,, j i, j=1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 27

28 Ο μη εκφυλισμός του κρίσιμου σημείου διασφαλίζει την αντιστρεψιμότητα του εσσιανού πίνακα: 2 xi x j f(0) ij Η υπόθεση της επαγωγής δηλώνει την ύπαρξη συντεταγμένων στις οποίες ισχύει η τοπική έκφραση: f(u) = ±u ± ± u 1 + u i u j H i j (u) όπου υπεισέρχονται νέες διαφορίσιμες συναρτήσεις που πληρούν τη σχέση: i, j > H ij (u) = H ji (u), i, j = 1,,, για τις οποίες, εναλλάσσοντας στην ανάγκη τη σειρά των συντεταγμένων, ισχύει H 11 (0) 0 Το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει το σχηματισμό του ακόλουθου συστήματος συντεταγ- μένων στην περιοχή του κρίσιμου μη εκφυλισμένου σημείου: u i = u i, i, u = u + j > H j (u) H (u) u j H (u) Σε αυτό το τοπικό σύστημα συντεταγμένων προκύπτει η επαγωγική έκφραση: και τελικά: f(u) = ± u 1 2 ± ± u 2 + u i u j H i j ( u ) i, j > f(u) = ± u 1 2 ± ± u 2 Σχόλιο Η μεμονωμένη εμφάνιση των κρίσιμων μη εκφυλισμένων σημείων Όταν μια διαφορίσιμη συνάρτηση έχει κρίσιμα μη εκφυλισμένα σημεία τότε αυτά εμφανίζονται πάντα μεμονωμένα, δηλαδή κάθε τέτοιο σημείο διαθέτει περιοχή στην οποία δεν υπάρχει άλλο κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο Πράγματι, από την τετραγωνική έκφραση: προκύπτει: f(x) = ±x 1 2 ± ± x 2 xi f(x) = ±2x i και η συνέχεια των μερικών παραγώγων διασφαλίζει το μη μηδενισμό του διαφορικού σε μια περι- οχή αυτού του κρίσιμου σημείου εκτός φυσικά από αυτό το ίδιο το σημείο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 28

29 Τοπολογική και Διαφορική ταξινόμηση των υποσυνόλων των ευκλείδειων χώρων Θα αναφερθούμε εδώ στην τοπολογική ομοιομορφία και τις τοπολογικές ιδιότητες των υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου Σε κάθε υποσύνολο Σ του ευκλείδειου χώρου κληροδοτείται από την περιβάλλουσα ευκλείδεια τοπολογία η λεγόμενη επαγόμενη τοπολογία Τα ανοιχτά σύνολα της επαγόμενης τοπολογίας στο σύνολο Σ ορίζονται από τις τομές του με τα ανοιχτά σύνολα της τοπο- λογίας του περιβάλλοντος ευκλείδειου χώρου Κάθε σύνολο Σ εφοδιασμένο με την επα- γόμενη τοπολογία καλείται τοπολογικός υπόχωρος του ευκλείδειου χώρου Τα ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας του ευκλείδειου χώρου αφήνουν τα ίχνη τους σε κάθε δεδομένο υποσύνολό του Σ Ο όρος ομοιομορφισμός μεταξύ δυο υποσυνόλων Σ και Σ του ευκλείδειου χώρου, εφοδια- σμένα με την επαγόμενη τοπολογία τους, δηλώνει κάθε αντιστρέψιμη αμφισυνεχή απεικόνιση: f : Σ Σ Η αμφισυνέχεια σημαίνει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των ανοιχτών συνόλων των τοπο- λογιών που επάγονται αντίστοιχα στα δυο υποσύνολα από την περιβάλλουσα ευκλείδεια τοπολογία Τα υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου που μπορούν να ταυτιστούν μεταξύ τους τοπολογικά διαμέ- σου ομοιομορφισμών καλούνται ομοιόμορφα Έτσι ορίζεται η σχέση της τοπολογικής ισοδυναμίας στην οποία στηρίζεται η τοπολογική ταξινόμηση των υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου Τα υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου που ανήκουν σε ίδια κλάση τοπολογικής ισοδυναμίας έχουν ίδιες τοπολογικές ιδιότητες, δηλαδή ιδιότητες που διατηρούνται άθικτες κατά τους ομοιομορφικούς μετασχηματισμούς τους Η ταξινόμηση των τοπολογικών χώρων διαμέσου της ομοιομορφίας αποτε- λεί πρωταρχικό ζητούμενο της Τοπολογίας και εφόσον σε αυτούς είναι εφικτός ο ορισμός μιας διαφορικής δομής τότε η ταξινόμησή τους διαμέσου της αμφιδιαφορικότητας αποτελεί πρωταρχικό ζητούμενο της Διαφορικής Τοπολογίας Προκειμένου να αποκτηθεί μια εμπειρική διαίσθηση της ομοιομορφίας ας παραμελήσουμε για λίγο τη μαθηματική ακριβολογία Για παράδειγμα, στο ευκλείδειο επίπεδο (ή στον τρισδιάστατο ευκλεί- δειο χώρο) όταν δοθούν δυο καμπύλες (ή επιφάνειες), η ομοιομορφία τους ελέγχεται διαισθητικά με τη δυνατότητα συνεχούς παραμόρφωσης τους έτσι ώστε να μετασχηματιστούν τελικά το ένα στο άλλο Κατά την παραμόρφωση επιτρέπεται οποιαδήποτε καμπύλωση, επιμήκυνση, σμίκρυνση της καμπύλης ή της επιφάνειας μέσα στον περιβάλλοντα χώρο, αλλά όχι η αποκοπή ή συγκόλλησή τους ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 29

30 Έτσι, για παράδειγμα, αντιλαμβανόμαστε ότι είναι ανέφικτη η τοπολογική παραμόρφωση ενός κύ- κλου σε ευθεία και ότι είναι εφικτή η τοπολογική παραμόρφωσή του σε τετράγωνο, γεγονός που υποδηλώνει την τοπολογική τους ισοδυναμία και οδηγεί στην αναζήτηση μιας αμφιμονοσήμαντης και αμφισυνεχούς απεικόνισής που θα αποκαταστήσει την απόδειξη Ανέφικτη είναι όμως η τοπολο- γική παραμόρφωση ενός κλειστού διαστήματος σε ανοιχτό διάστημα της πραγματικής ευθείας ή ενός κλειστού δίσκου σε ανοιχτό δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου και η απόδειξη αυτού του γεγο- νότος απορρέει από το ότι δεν έχουν τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες 22 Πάντως, χρειάζεται προσοχή στο ποιός είναι ο περιβάλλον χώρος μέσα στον οποίο γίνεται αυτή η τοπολογική παραμόρφωση 23 Ομοιόμορφα υποσύνολα του δισδιάστατου και του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου Ανομοιόμορφα υποσύνολα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου Η πιο απλή σκέψη για την κατασκευή ενός ομοιομορφισμού ανάμεσα στον κύκλο και το τετράγωνο επάνω στο ευκλείδειο επίπεδο συνίσταται στο να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι κύκλοι είναι μεταξύ τους ομοιόμορφοι και όλα τα τετράγωνα είναι μεταξύ τους ομοιόμορφα, οπότε αρκεί να θεωρήσου- με ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο στο μοναδιαίο κύκλο και με ένα απλό γεωμετρικό σκεπτικό να κα- ταλήξουμε στην αμφιμονοσήμαντη και αμφισυνεχή απεικόνιση ανάμεσα στα σύνολα: Σ = {(x, y) 2 / x 2 + y 2 = 1} και Σ = {(x, y) 2 / x + y = 1} που ορίζεται ως εξής: f : Σ Σ x y f( x, y) =, x + y x + y f 1 f 1 : Σ Σ x y ( x, y ), = x y x y Η απόδειξη ανυπαρξίας ομοιομορφισμού μεταξύ μη ομοιόμορφων τοπολογικών χώρων δεν είναι κατά κανόνα εύκολη διαδικασία Πχ Επιχειρείστε να δείξετε τη μη ομοιομορφία των ευκλείδειων χώρων και k όταν k 23 Βλ Θεμελιώδεις Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ Πνευματικού, Αθήνα 2002 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 30

31 Κατασκευή ομοιομορφισμού μεταξύ κύκλου και τετραγώνου Επίσης, αντιλαμβανόμαστε τη δυνατότητα τοπολογικής παραμόρφωσης των κλειστών κυκλικών χω- ρίων σε κλειστά τετραγωνικά χωρία, δηλαδή σε χωρία που περιέχουν τα συνοριακά τους σημεία: Σ = {(x, y) 2 / x 2 + y 2 1} και Σ = {(x, y) 2 / max{ x, y } 1} H απόδειξη συνίσταται στην κατασκευή του ομοιομορφισμού: f : Σ Σ που διατηρεί σταθερή την αρχή f (0,0) = (0,0) και για ( xy, ) (0,0) ορίζεται ως: και προκύπτει f x x + y y x + y f( x, y) =, sup ( x, y ) sup ( x, y ) ( ) ( ) x sup x, y y sup x, y ( x, y) =, x + y x + y Ο κύκλος δεν είναι ομοιόμορφος με την ευθεία και η σφαίρα δεν είναι ομοιόμορφη με το επίπεδο Αν από τον κύκλο εξαιρεθεί ένα σημείο του τότε το σύνολο που προκύπτει είναι ομοιόμορφο με την ευθεία Αν από τη σφαίρα εξαιρεθεί ένα σημείο της τότε το σύνολο που προκύπτει είναι ομοιόμορφο με το επίπεδο Η κατασκευή των αντίστοιχων ομοιομορφισμών προκύπτει από τη στερογραφική προβολή του κύκλου στην ευθεία και της σφαίρας στο επίπεδο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 31