ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4

2 Παράδειγµα Έστω το ακόλουθο εριοδικό σήµα f ( f ( /..3 3 Ζητείται να ανατυχθεί σε σειρά Fourier Α/ Παρατηρώντας το Παράδειγµα (σελ. 6 του βιβλίου, βλέουµε ότι ρόκειται για το ίδιο σήµα αρκεί να θέσουµε:.,.3 το σήµα, για το χρονικό διάστηµα µιας εριόδου, γράφεται αναλυτικά : { για..3 f ( αλλου Η µέση τιµή του σήµατος θα είναι: f µ.3 f ( d d (.3... Για να βρούµε το ανάτυγµα Fourier χρησιµοοιούµε τους τύους ου δίνουν τους συντελεστές a και b ( Μορφή «Α», σελ. 63 a όου ω,.,.3 άρα θα άρουµε: [ os( ω + os( ω ], [ si ( ω si ( ω ] b

3 ή a b os(.3 + os(. si (.3 si (. a b [ os(.6 + os(.4 ] [ si (.6 si (.4 ] Στο σηµείο αυτό µορούµε να κάνουµε χρήση των γνωστών Τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων: os a os b si ( a + b si ( b a si a si b si ( a b os ( a + b έτσι θα άρουµε: ή a b si ( si ( si ( os ( a si (.5 si (. b si (. os (.5 Εοµένως το ανάτυγµα σε Μορφή «Α» γράφεται: f (. + { si (.5 si (. si ( ω + + si (. os (.5 os ( ω }

4 3 Θα ροσαθήσουµε τώρα να βρούµε το ανάτυγµα σε Μορφή «Β» Όως είναι γνωστό η Μορφή «Β» γράφεται: Όου άρα: ή 4 a f ( + b + si ( ω + ϕ και a + b ϕ 4 a b a 4 si (.5 si (. + si (. os si (. [ si (.5 + os (.5 ] 4 si (.5 (. άρα si (. για το ϕ b a έχουµε: a ϕ a os (.5 si (. si (. si (.5 a αρατηρούµε ότι: για, 3, 5, 7, ( εριττός os (.5 os (.5 si (.5 άρα ϕ a ( ή ϕ a ( ειλέγεται η τιµή ϕ όταν si (.5 δηλ., 5, 9, 3,. και η τιµή ϕ όταν si (.5 - δηλ. 3, 7,, 5,. είσης για, 4, 6, 8, ( άρτιος si (.5 άρα το κλάσµα os si (.5 (.5 αειρίζεται! Προσοχή όµως για, 6,, 4, το os (.5 - συνεώς ϕ a ( και για 4, 8,, 6, το os (.5 συνεώς ϕ a (

5 4 Έτσι το ανάτυγµα σε Μορφή «Β» γράφεται: f (. + si (. si ( ω +ϕ όου:. si (. ϕ {,... για 3, 7,, 5,... για, 6,, 4 για 4, 8,, 6,... για, 5, 9, 3,... Παρακάτω γίνεται αριθµητικός υολογισµός των όρων της σειράς Fourier στη Μορφή «Β» λαµβάνοντας τιµές Α, Τ se άρα ω 6.83 rad / se f ( si (ω +.87 si ( ω +.77 si ( 3ω si ( 4 ω si ( 5ω +.9 si ( 6 ω si ( 7ω si ( 8 ω + +. Η σειρά Fourier συγκλίνει αρκετά αργά, ράγµα αναµόµο, γιατί το σήµα f ( έχει ασυνέχειες. Ακολουθούν γραφικές αραστάσεις του σήµατος f (, όως αυτό «συντίθεται» αό τις αρµονικές του \

6 5 f ( ανααραγωγη µε αρµονικες αρχικο σηµα ( se f ( ανααραγωγη µε αρµονικες αρχικο σηµα ( se

7 6 f ( ανααραγωγη µε 5 αρµονικες αρχικο σηµα ( se f ( ανααραγωγη µε αρµονικες αρχικο σηµα ( se

8 7 f ( ανααραγωγη µε 5 αρµονικες αρχικο σηµα ( se ταξη αρµονικης Φάσµα λάτους του σήµατος

9 8 Να υολογιστεί η εργός τιµή του σήµατος f ( - Ακριβής τιµή ( µε βάση τον ορισµό - Με χρήση του τύου του Parseval Α/ Ο υολογισµός της εργού τιµής του σήµατος f ( ( ακριβής τιµή καµιά δυσκολία, λόγω της αλής µορφής του f (. Έτσι έχουµε: δ αρουσιάζει.3 [ ] ( f f ( d d.. άρα f.. και για Α αίρνουµε: f ( ακριβής τιµή Αν κάνουµε χρήση του τύου Parseval θα ρέει να άρουµε ένα αρκετά µεγάλο αριθµό όρων, διότι όως ροαναφέρθηκε η σειρά Fourier συγκλίνει αρκετά αργά. Έτσι: - για αρµονικές ο τύος Parseval δίνει f, + ( όου. και si (. si (. και αίρνουµε: f, για αρµονικές f, για 5 αρµονικές f, για αρµονικές f, για 5 αρµονικές f, Υθυµίζεται η ακριβής τιµή f Παρατηρείται η συνεχής βελτίωση της ακρίβειας καθώς αυξάνει ο αριθµός των όρων

10 9 Παράδειγµα Έστω το εριοδικό σήµα E ( E ( 3 Θεωρήστε Α V,. se Μορούµε εύκολα να βρούµε την αναλυτική έκφραση του E ( για µια ερίοδο: E ( { Η µέση τιµή του σήµατος θα είναι: + για για E µ E ( d Εµβαδόν τριγώνου άρα E µ Η εργός τιµή του σήµατος θα είναι: E E ( d

11 άρα E / 4 d + / d / ή E / άρα E συνεώς καταλήγουµε: E άρα 3 E ( ακριβής τιµή 3 Θέλουµε να βρούµε το ανάτυγµα Fourier του σήµατος E ( Ανατρέχουµε στο εγχειρίδιο του Μαθήµατος σελ. 7 7 όου υάρχει έτοιµο σε Μορφή «Α» Ε ( + ( ( os ( ω δηλαδή: C, a για κάθε, b ( ( υολογίζουµε αριθµητικά το C και τις 5 ρώτες τιµές για το b ( µε Α C b b b b 4 b

12 Άρα το ανάτυγµα σε Μορφή «Α» γράφεται ( ροσεγγιστικά µέχρι την 5 η αρµονική E ( 8.6 os ω.9 os 3ω.34 os 5ω... όου ω rad / se Αν θέλουµε τη Μορφή «Β» τότε: a + b και εδώ a για κάθε άρα b και ϕ a ϕ b a άρα το ανάτυγµα σε Μορφή «Β» γράφεται: a b a για κάθε ( διότι b < E ( si ( ω +.9 os ( 3ω +.34 os ( 5ω... Υολογίζουµε αριθµητικά την εργό τιµή του σήµατος - Ακριβής τιµή E.547 Vols Με χρήση τύου Parseval ( έως το 5 E, Parseval C + C C + C άρα E, Parseval Vols αρατηρούµε ότι η διαφορά είναι αµελητέα διότι η σειρά Fourier συγκλίνει ταχύτατα Το υόλοιο αρµονικών R ( για έως 5 θα είναι R C C Vols

13 και η ολική αρµονική αραµόρφωση HD ( % HD (% R (% % Ακολουθούν διάφορες γραφικές αραστάσεις...

14 3 E ( ( Vols η αρµονικη ( 8.6si ( ω e ( se E ( ( Vols η 3 αρµονικη e3(.9si (3ω ( se E ( ( Vols η 5 αρµονικη e5(.34si (5ω ( se Εδώ έχουµε γραφικές αραστάσεις των 3 ρώτων αρµονικών του σήµατος Για ευκολία στη σύγκριση των µεγεθών οι 3 γραφικές αραστάσεις έχουν γίνει στην ίδια κλίµακα

15 4 Στα αρακάτω σχήµατα φαίνεται η διαδοχική ροσέγγιση ου ειτυγχάνεται στη ανασύνθεση του σήµατος Ε ( αό τις αρµονικές του. Υθυµίζεται ότι, στη ερίτωσή µας, η σειρά Fourier συγκλίνει ταχύτατα και έτσι αρκούν µόλις τρείς αρµονικές ( η, 3 η και 5 η για να έχουµε µια αρκετά καλή ροσέγγιση του σήµατος ( βλ. τελευταίο σχήµα E ( Εδώ φαίνεται το αρχικό σήµα Ε ( C + e ( Προσέγγιση του σήµατος αό την συνεχή συνιστώσα και την η αρµονική του C + e ( + e3 ( Προσέγγιση του σήµατος αό την συνεχή συνιστώσα, την η και την 3 η αρµονική του C + e ( + e3 ( + e5 ( Προσέγγιση του σήµατος αό την συνεχή συνιστώσα, την η, την 3 η και την 5 η αρµονική του