Σεραφείµ Καραµπογιάς. Ο µετασχηµατισµός Fourier παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίοσυχνότητας.

Transcript

1 Σεραφείµ Καραµογιάς Ο µετασχηµατισµός ourir αρέχει τη δυνατότητα µετάβασης αό το εδίο του χρόνου στο εδίοσυχνότητας. Με το µετασχηµατισµό ourir αναλύουµε µη εριοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόο αυτό αοκαλύτεται το φασµατικό τους εριεχόµενο. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α

2 Παράδειγµα Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ourir του αιτιατού εκθετικού σήµατος a x ( ) u( ), a R x( ) Σεραφείµ Καραµογιάς Το αιτιατό εκθετικό σήµα x(). Λύση: + j X () x () d X () lim T +T T x () j d X () +T +T a j ( a+ j) lim d lim d T T lim a+ j T ( a+ j) +T a+ j lim T ( a+ j) T X () a+ j, α > lim T ( a+ j) T lim T at j T lim T at cos( ) j sin( ) + όταν α > Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α

3 Σεραφείµ Καραµογιάς a x ( ) u( ), a R X (), α > a+ j X () X () X * ( ) a+ j a j a + X () a X (a) a X () a a a a arg X ( ) a 4 4 a Γραφική αράσταση του µέτρου τουµετασχηµατισµού ourir Γραφική αράσταση της φάσης τουµετασχηµατισµού ourir Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 3

4 Εφαρµογή: Σεραφείµ Καραµογιάς Για το ηλεκτρικό κύκλµα RC σε σειρά A x() R C B y() Γ Γνρίζουµε ότι η αόκριση συχνότητας είναι H () + jrc RC RC + j a u() a+ j h () RC RC u() Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 4

5 Εφαρµογή: x ( ) cos( ) h( ) u( ) y() Σεραφείµ Καραµογιάς cos 4 ( ) Αόκριση λάτους ( ) A cos +ϕ H () y( ) H ( ) A cos( + φ + arg H ( )) x Αόκριση φάσης a u() a+ j h( ) u( ) H () H () j + j + j ( + j) ( j) j 4 + Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α j + Im 4 R j 5

6 Εφαρµογή: x ( ) cos( ) h( ) u( ) y() Σεραφείµ Καραµογιάς cos 4 x() y() Τ 8 T T Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 6

7 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Ναυολογιστείοµετασχηµατισµός ourir τουορθογώνιουαλµούδιάρκειας T. Λύση: x(), < T, > T + j X () x () d +T j T d +T j d T j j j +T T j T j T j j T j T () j sin T X x( ) X () T T Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 7

8 Παράδειγµα Ναυολογιστείοµετασχηµατισµός ourir τουορθογώνιουαλµούδιάρκειας T. x(), < T, > T sin T sin T X () Σεραφείµ Καραµογιάς Ο µετασχηµατισµός ourir του ορθογώνιου αλµού είναι ραγµατική συνάρτηση. Ητιµήστοµηδένείναι X () sin T lim lim lim Τα φασµατικά µηδενικά είναι στις συχνότητες sin T Η συµεριφορά στις υψηλές συχνότητες είναι T cost X ( ) T T k X( ) k T x( ) X () T T T T T Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 8

9 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Να υολογιστεί ο µετασχηµατισµός ourir της κρουστικής συνάρτησης δ( ). Λύση: Ιδιότητα ολίσθησης + j X () x () d + δ () j d + x ( ) () δ d x( ) j δ () ή δ ( ) Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 9

10 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Να υολογιστεί το σήµα, του οοίου ο µετασχηµατισµός ourir είναι, αράθυρο συχνοτήτν µε εύρος συχνοτήτν, δηλαδή Λύση: X ( ),, < > x() + j X( ) d + j d j + d j j j + j j j j j x() j sin x() X ( ) Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α

11 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Να υολογιστεί το σήµα, του οοίου ο µετασχηµατισµός ourir είναι, αράθυρο συχνοτήτν µε εύρος συχνοτήτν, δηλαδή x() sin Η τιµή του σήµατος τη χρονική στιγµή είναι X ( ),, < > x() lim sin lim sin ( ) lim cos x() Οι χρονικές στιγµές µηδενισµού του σήµατος είναι sin k k x() X ( ) Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α

12 Σεραφείµ Καραµογιάς Συνάρτηση ειγµατοληψίας sin T sin Οι εξισώσεις X () και x(), τις οοίες συναντήσαµε στα ροηγού µενα αραδείγµατα µορούν να εκφραστούν µε ενιαίο τρόο µε τη βοήθεια της συνάρτησης sinc( x) sin( x), x x, x και είναι γνστή ς συνάρτηση δειγµατοληψίας sinc( x) x Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α

13 Σεραφείµ Καραµογιάς x( ) T X () T T Συνάρτηση δειγµατοληψίας sin( x), x sinc( x) x, x T T x(), < T, > T sin T X () T sin T T T sinc T x() X( ) x() sin sin sinc X ( ),, < > Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 3

14 Σεραφείµ Καραµογιάς x () x () 5 cos X ( f) x () 5 cos Vols msc Vols 5 5 y() Vols 5 5 xˆ ( ) Vols 5 5 y () ; 3 4 msc x ˆ( ) 5 cos + n () 3 4 msc Y Xˆ ( f) Vols ( f) Vols 3 f KHz 5 y () 5 cos + n() 3 f KHz 5 x ˆ( ) 5 cos + n () 3 f KHz Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν. Μάθηµα α 4