Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση"

Transcript

1 ανάλυση Γ ΛYKEIOY Μαθηματικά Προσανατολισμού 9- Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά 6 Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Παράγωγοι

2 Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών και Σπουδών οικονομίας & πληροφορικής Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός Έκδοση 9.7 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 9 Ιστοσελίδα:

3 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΟΡΙΣΜΟΣ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() -5 6 δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στο η συνάρτηση f() αν συν αν.9 Έστω η συνάρτηση f : παραγωγίσιμη στο και στο με f() f(). Να f() αν αποδείξετε ότι η g() είναι f(-) αν παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν f () f () α β αν. Αν f() αν βρείτε τα α,β ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο f().4 Αν 7 και f συνεχής στο, δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο.5 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο. και ισχύει ότι ημ f() ημ, για. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο o.6 Αν για την συνάρτηση f : ισχύει f() ( ) για κάθε, να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο o.7 Έστω f,g : συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο αμε fα gα. Υπολογίσετε τα: f() f(α) Α) α α Γ) α α f() f(α) α Β) α (f()) (f(α)) α g(α)f() f(α)g() Δ) α α.8 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o με f( o), f ( o ). Bρείτε το f()-6 - ο ο. Έστω f : παραγωγίσιμη στο o f() f() και f. Αποδείξτε ότι. Δίνεται η συνάρτηση f : παραγωγίσιμη στο με ότι f (). Να αποδείξετε ότι ( ) f() f. Η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο o. Δείξτε ότι η συνάρτηση f() αν ο g είναι f ( ο )(- ο ) f( ο ) αν ο παραγωγίσιμη στο o. Έστω η συνάρτηση f : παραγωγίσιμη στο και ισχύει f y f f y y για κάθε,y, δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο..4 Αν για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει f τότε: A) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγισιμη στο με f () B) Υπολογίστε τα όρια: i) f () f() ii) ημ f 4 Σχ. Έτος 9-

4 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.5 Έστω συνάρτηση f :, παραγωγίσιμη. Έστω συνάρτηση f : παραγωγίσιμη στο. Δείξτε ότι f () f () f()f () στο o. δείξτε ότι f( ) f() f () f().6 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f () α και ισχύει: f y f y yf για κάθε, y, δειχθεί ότι f α+. Να f( ) για κάθε.7 ** Δίνεται η συνάρτηση f : (, ) τέτοια ώστε 4 f () f() 8, για κάθε Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο και ότι f () ημπh. Να υπολογίσετε το h h.4 Να αποδείξετε ότι A) 5 5 B) 8.5 Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με g και g. Αν f g να βρείτε τον f ln.8 Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο και παραγωγίσιμη στο, να δείξετε ότι f( h) f( h) 5f h h ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.9 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων Α) f() Γ) Β) f ln g() ημ Δ) f ημ συν Ε). g() εφ Ζ) f 4 ln ln Στ) g() ημ Η) f() ημ ln ημ Θ) h() Ι) f() συν.6 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει: y f y f y f y α για κάθε,y Να αποδείξετε ότι: A) f α B) η f Γ) Αν είναι παραγωγίσιμη στο τότε ισχύει ότι o f o f o f o, o. Δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο τότε είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει o f o f o f o για κάθε o.7 Αν μια συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο σημείο α,α, να αποδείξετε ότι: Α) Β) f()ln f(α)ln α f(α) f (α)lnα α α α αf() f(α) f(α) f (α) α α α. Να υπολογίσετε τα όρια h h h,,. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με P P για κάθε.

5 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.8 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f() ημ συν, f() εφ (4 ) f ln ln f συν ln f ημ ημt, t 4 f 5 y, y.9 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: Α) f συν ln, Β) f log 4 Γ) f 5. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: Α) f ημ αν αν Β) f Γ) f log, Δ) f Ε) f π ημ,,. Δίνεται η f,. Α) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και βρείτε το πεδίο ορισμού της f D Β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, να δείξετε ότι f.. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: να βρεθεί η f. f () f() ημ, για κάθε f. Α) Αν f() c( α)( β)( γ) με c,α,β, γ και α,β,γ τότε να αποδείξετε ότι: f () f() α β γ 4 ( 5) ( ) Β) Να βρεθεί η f αν f().4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f για κάθε. Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση y f είναι παραγωγίσιμη στο. Β) Αν ισχύει ότι f 5 και αποδείξετε ότι f 4 f 4 να.5 Η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο και ισχύει f( ) f 5ln για κάθε. Να βρεθεί το f '()..6 H συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο σημείο α,α. Nα αποδείξετε ότι: Α) Β) f()ln f(α)ln α f(α) f (α)lnα α α α αf() f(α) f(α) f (α) α α α.7 Έστω η συνάρτηση f() συν, (, π) Α) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση Β) Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι f (), (, ) f.8 Έστω η συνάρτηση f :, είναι f ώστε f ημ,. Αν f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε / να δείξετε ότι f () ημ συν και να υπολογίσετε το f() Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

6 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.9 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία είναι f( y) f()f(y) και f() για κάθε,y. Αν f() ισχύει ότι να αποδειχτεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο.4 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f f() f.δείξτε ότι f ή f.4 Οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο και για κάθε ισχύει ότι g f, να αποδειχτεί ότι g g()f.4 Έστω η συνάρτηση ημ, f, f( ) Να εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο o, με.4 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι Α) Αν η f είναι άρτια τότε η f είναι περιττή Β) Αν η f είναι περιττή τότε η f είναι άρτια Γ) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή τότε: α) Η C f διέρχεται από το, β) f f γ) f ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ.45 Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο f (4 ) με παράγωγο συνεχή. Αν 5 να δείξετε ότι f 5.46 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι: Α) Β) Γ) f ( h) f () f (), h h f ( h) f () f (), h h 4f ( h) 6f ( h) f () f () για κάθε h h.47 Να αποδειχτεί ότι: A) Αν τότε y y y y ln B) Αν y ημln συν ln τότε y y y.48 Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για κάθε ισχύει f f f., να αποδείξετε ότι.49 Να αποδείξετε ότι: Α) Αν f (ν) νπ συν, τότε f συν (ν) Β) Αν f τότε f ν Δ) Αν η f είναι άρτια και g() ( )f() τότε g ().44 Έστω ότι η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο και αντιστράψιμη. Να αποδειχτεί ότι για κάθε σημείο με τετμημένη ισχύει ότι το γινόμενο των κλίσεων των εφαπτομένων της ένα. C f στο και της C στο f f ισούται με

7 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 7 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ.5 Βρείτε την εφαπτομένης της C f στο ημ αν αν f() αν.5 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο o και ισχύει ότι η εφαπτομένη της f() 7. Να αποδείξετε C f στο σημείο είναι κάθετη στην ευθεία 9y 5 A,f.5 Έστω η συνάρτηση f ( ). Βρείτε τις εφαπτόμενες της C που διέρχονται από το M(, 8) f.5 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: ln f για κάθε Δ. Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο o και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της σημείο Μ,f()..54 Αν f :, με f C f στο και α, να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ημιάξονες O,Oy και η εφαπτομένη της καμπύλης στο o α είναι ανεξάρτητο του α..55 Να βρεθούν οι εφαπτόμενες των C f, C g όταν f() και g() που 8 τέμνονται στον yy και είναι κάθετες μεταξύ τους..56 Αν f α ln β, να βρείτε τα α,β ώστε η ευθεία ε: y 4 να είναι εφαπτόμενη της C f στο σημείο της.57 * Αν f() και ότι οι Cf και A,f. g(), αποδείξετε Cg έχουν κοινή εφαπτομένη..58 Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι f f,. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο, f() είναι κάθετη στην y..59 Αν f α α β α γ, να βρεθούν τα α,β, γ ώστε η εφαπτομένη της C f στο A(, f()) να είναι παράλληλη στην y.6 Αν f 4 και Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμένες των g 8. C f και C g..6 Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη της f στο, f(), εφάπτεται της g.6 Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των α f() και g( ) ημ έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάθε κοινό τους σημείο..6 Θεωρούμε την συνάρτηση f που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο με f () για κάθε f(). Αν η C g της g με g() τέμνει τον f () άξονα, να δειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο τομής, σχηματίζει με τον άξονα γωνία.64 ** Δίνεται η συνάρτηση o 45 4 f 4. Να βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε δύο διαφορετικά σημεία της. (mathmatica).65 Δίνεται η συνάρτηση f α ln,, όπου α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο σημείο της M,f και αποδείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Ρ για κάθε α. Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

8 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.66 Μία συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα: f f 4,. Έστω μεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται από το M, και τέμνει τη C f σε δύο διαφορετικά σημεία Α και Β. Να βρείτε τον τύπο της f και να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της τέμνονται κάθετα. C f στα Α και Β.67 Αν η ευθεία y είναι η εφαπτομένη του διαγράμματος της y f(), στο σημείο της με o, να βρεθεί η εφαπτομένη στη g() f στο σημείο με C g της.68 Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των g( ) και f ( ), έχουν κοινή εφαπτομένη.69 Να βρείτε τον α ώστε η συνάρτηση f με f() α, να έχει εφαπτομένη την y..7 Έστω f δευτεροβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: f f 4 5, Α) Να βρεθεί ο τύπος της f. Β) Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες της C f που άγονται από το σημείο A,, είναι κάθετες. 4.7 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο για την οποία ισχύει f ( ) ln( ) ( ) για κάθε.7 ** Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, και ισχύει f ln ln,. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της της με o και τους άξονες και yy C f στο σημείο.7 ** Έστω η f ln (α) με α, Α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο,f( ). f ο ο Β) Aποδείξτε ότι οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο,f( ), καθώς μεταβάλλεται το α, ο διέρχονται από το ίδιο σημείο. ο.74 Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (, ), με f( ) f() ln 4 Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της f στο, f() f() - Β) Υπολογίστε το όριο:. - α *.75 Έστω η συνάρτηση f, α Α) Bρείτε το σηµείο M της C f στο οποίο η εφαπτόµενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του σηµείου M όταν το α διατρέχει το.76 Θεωρούμε τις παραβολές f() λ - λ(- λ), λ A) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω παραβολές έχουν μία κοινή εφαπτομένη. B) Να αποδείξετε ότι τα σημεία των C f για τα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα, βρίσκονται στην ευθεία y. Γ) Αν λ, να βρείτε το σύνολο των σημείων του επιπέδου από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες τη συνάρτηση f.77 Αν f και g συν, να αποδείξετε ότι σε άπειρα από τα κοινά τους σημεία, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν κοινή εφαπτομένη.

9 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 9 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΩΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ.78 Ενα σημείο Μ, y κινείται στην C, με f() τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του. f. Να βρείτε τη θέση όπου ο ρυθμός μεταβολής της.79 Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Oy ένα κινητό κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f,. Έστω M η θέση του κινητού στο επίπεδο κάθε στιγμή και έστω A, B οι προβολές του M στους άξονες O και Oy αντίστοιχα. Η τετμημένη του σημείου M μεταβάλεται με ρυθμό m /sc. Τη χρονική στιγμή t o που το κινητό βρίσκεται στο σημείο,, βρείτε το ρυθμό μεταβολής: Α) του εμβαδού του τριγώνου OAM Β) της απόστασης AB Γ) της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο σημείο M, με τον άξονα.8 Ένα αυτοκίνητο A απομακρύνεται από τη διασταύρωση δύο κάθετων δρόμων O και Oy, που κατευθύνονται προς τα ανατολικά και βόρεια αντίστοιχα. Η απόσταση του αυτοκινήτου από το δρόμο Oy ισούται με το τετράγωνο της απόστασής του από το δρόμο O. Το αυτοκίνητο A απομακρύνεται προς τα ανατολικά με ρυθμό v km/min. Α) Με ποια ταχύτητα απομακρύνεται το αυτοκίνητο προς τα Βόρεια; (συναρτήσει της θέσης του) Β) Πόσο γρήγορα απομακρύνεται το A από το σημείο O, τη χρονική στιγμή που έχει απομακρυνθεί km προς τα βόρεια;.8 Μια κολόνα ύψους 4m φωτίζει ένα στενό δρομάκι, το οποίο καταλήγει κάθετα σε έναν τοίχο. Η λάμπα βρίσκεται m κάτω από την κορυφή της κολόνας. Ένας παίχτης του μπάσκετ με ύψος m προχωράει προς τον τοίχο με ταχύτητα m /sc. Αν η κολόνα απέχει 6m από τον τοίχο, τότε, να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνει το ύψος της σκιάς που ρίχνει ο άνδρας στον τοίχο όταν βρίσκεται σε απόσταση m από τον τοίχο..8 Το ύψος του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο ανεβαίνει με ρυθμό cm / sc. Αν η ακτίνα της βάσης του π δοχείου είναι 8cm, να υπολογίσετε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνει ο όγκος του νερού..8 Ένα μπαλόνι ανεβαίνει κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα m / sc. Ένα αυτοκίνητο περνά κάτω από το μπαλόνι όταν αυτό βρίσκεται σε ύψος 9m και κινείται κατά μήκος ενός ίσιου δρόμου με σταθερή ταχύτητα v m / sc. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης αυτοκινήτου - μπαλονιού στο πρώτο δευτερόλεπτο της κίνησης..84 ***Το κινητό O κινείται με σταθερή ταχύτητα m /sc κατά μήκος της ευθείας (ε). Κυκλικό εμπόδιο έχει το κέντρο του στην μεσοπαράλληλη των ευθειών ( ),( ), έχει διάμετρο m ίση με το μισό της απόστασης των ( ),( ) και δημιουργεί την «σκιά» AB. Να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του μήκους AB την στιγμή κατά την οποία το τρίγωνο OAB γίνεται ορθογώνιο για πρώτη φορά (Άσκηση από Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

10 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. oll Θ.Μ.Τ..85 Εφαρμόστε το θ. oll για τη συνάρτηση f ημ στο διάστημα, α β.86 Αν f() να βρεθούν (γ α) οι α,β,γ ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα oll στο, f ξ. και να βρεθεί ξ, ώστε.87 Έστω συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη π π και δεν μηδενίζεται στο,. Δείξτε ότι υπάρχει π π, ώστε f ( o ) f( o)εφo..88 Δίνεται ότι η f συνεχής στο α,β, α > και παραγωγίσιμη στο (α, β) με f α α ότι υπάρχει ξ α,β ώστε ξfξ f ξ f β. Να δείξτε β.9 Α) Δείξτε ότι η f λ για κάθε με λ δεν είναι συνάρτηση. Β) Να δείξετε ότι εφαρμόζεται το θ. oll για f τη συνάρτηση g λ.94 Έστω f παραγωγίσιμη στο,5 με. Να δείξετε ότι υπάρχουν κ, λ, 5 f 5 f ώστε f κ f λ.95 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, 4 και για κάθε ισχύει f 4 4f f,4 να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ,ξ, 4 και ώστε.96 Δίνεται η συνάρτηση f ότι υπάρχει ξ, ώστε f ξ f ξ f ξ log. Δείξτε 9 log ξ. log.89 Έστω η f :[α,β] παραγωγίσιμη, ώστε: f (α) f (β) α β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β έτσι ώστε f ξ f ξ ξ.9 Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f() για κάθε και f() f(). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,..9 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() έχουν ένα μόνο κοινό σημείο που βρίσκεται στον yy.9 Έστω f : τρεις φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι f f f f. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε f..97 Η απόσταση δύο πόλεων που συνδέονται με ευθεία σιδηροδρομική γραμμή είναι 5 km. Μια αμαξοστοιχία διανύει τη μεταξύ τους απόσταση σε,6 ώρες. Να αποδειχτεί ότι για κάποια χρονική στιγμή η αμαξοστοιχία έχει ταχύτητα 85 km /h..98 Να βρείτε το ημ. ημ.99 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο,α με α > και ισχύει f() = και f( ) f(), [, α]. Να δείξετε ότι υπάρχουν f(α) ξ,ξ,α ώστε f(ξ ) f (ξ ). α -. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με fξ. C f, να

11 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 4. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με f( )= f()=. Αν f (),, να αποδειχθεί ότι f(),,. Έστω f : τρεις φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι f f f f. Nα () αποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε. Έστω α,β,γ,δ με β * f. 6 4 f() α β γ δ, 5α. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία που να ανήκουν στη γραφική παράσταση της..4 Έστω η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(lnα) f(lnβ). Αν ισχύει lnα ln γ lnβ, με α,β,γ και δειχτεί ότι υπάρχουν ξ,ξ γ β, να α γ με f(ξ ) f (ξ ).5 Η συνεχής συνάρτηση f: α, β, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β, με f α f β. Να αποδείξετε ότι: Α) αν υπάρχει α,β με υπάρχει ξ α,β ώστε ο f ξ, Β) αν υπάρχει α,β με υπάρχει ξ α,β ώστε ο f ξ..6 Η συνάρτηση f :, 4 f, τότε o f, τότε o είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f και αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. f 4 8. Να C f που.7 Έστω η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο με f( ), f(). Δείξτε ότι υπάρχουν ώστε Α) Β) ώστε f f f '( ) f'(κ ).8 Αν, να δείξετε ότι η 4 συνάρτηση f μηδενίζεται σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος,.9 Έστω συνάρτηση f: α,β παραγωγίσιμη στο α,β, με f α β, f β α Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β. Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β f ξ f ξ 4. τέτοια ώστε. Για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θ. oll, στο διάστημα στο,. Να αποδείξετε ότι: Α) υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ, ξ ξ και fξ fξ. με Β) υπάρχουν κ,κ (,) με κ κ ώστε f (κ )+f (κ ) = Γ) ότι η εξίσωση f () f()- f(α) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. Δ) υπάρχουν κ, λ,μ με κ λ μ ώστε f κ f λ 4f μ. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Μ ξ, f(ξ) να τέμνει τον άξονα στο Pξ,. Δίνεται η συνάρτηση f ln. Να αποδείξετε ότι: Α) Υπάρχει ξ, ώστε η εφαπτομένη της C στο ξ, f(ξ) να είναι παράλληλη στον f Β) Η εξίσωση έχει ρίζα στο, Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

12 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Nα λύσετε την εξίσωση.4 Να λύσετε την εξίσωση ln.5 Να λύσετε την εξίσωση Αποδείξτε ότι.8 Αποδείξτε ότι ln α ln α β β,, α,β.6 Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση ln.8 Να λύσετε την εξίσωση.9 Να λύσετε την εξίσωση:. Λύστε την εξίσωση ln. Δείξτε ότι η εξίσωση 4 λ λ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, για κάθε λ.. Aποδείξτε ότι για κάθε α, β, γ η εξίσωση α β γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο.9 Δείξτε ότι ημβ ημα β α, α,β. Δείξτε ότι,. Nα αποδείξετε τις ανισότητες: Α) Β) για κάθε. π ln π π. Nα αποδείξετε τις ανισότητες: Α) Β) ln( ) αν > αν, ( ),. Δείξτε ότι. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ δ με μοναδική ρίζα στο β.4 Δείξτε ότι η εξίσωση αγ, α έχει δεν έχει περισσότερες από δύο διαφορετικές ρίζες στο.5 Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση α ln β ln γ ln δ, α, β, γ, δ και α γ δ 4β έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,.6 Να δείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης συν ημ υπάρχει ρίζα της εξίσωσης.4 Για κάθε π α να αποδειχτεί ότι 4 π α α εφα 4 π συν (α ) 4.5 Έστω f παραγωγίσιμη στο της οποίας η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα στο. Δείξτε ότι: f 999 f f f.6 Αν f συνεχής στο,5 με f και f, (,5) να δείξετε ότι f(5) 6.7 Έστω f παραγωγίσιμη στο. Αν f f f. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε o f o Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

13 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 4 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.8 Δίνεται συνάρτηση f :, ώστε: f f f f, για κάθε και f f f. Να αποδείξετε ότι : Α) Οι συναρτήσεις h f και g f f f f είναι σταθερές συναρτήσεις Β) Να βρεθεί ο τύπος της f..45 Να βρείτε την f, αν για κάθε ισχύει f () f() ημ συν και f()..46 Αν η f :, π π παραγωγίσιμη με f είναι δύο φορές κάθε, π να αποδείξετε ότι f α. και f f για αημ,.9 Θεωρούμε συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι: ffy συν y για κάθε,y. Να δειχτεί ότι η f είναι σταθερή.4 Να βρείτε την f αν f 7, και f, *.4 Να βρείτε την f αν f και f f.4 Να αποδειχτεί ότι: Α) αν f () f() για κάθε και f() f () τότε f(),, Β) αν δ () δ() 5 για κάθε, δ() και δ () 4, τότε δ() 5,.4 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο παραγωγίσιμη στο * με f, της οποίας όλες οι εφαπτόμενες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Να βρείτε εκείνη τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία, και,.44 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο. Να δείξετε ότι ισχύει f f, αν και μόνο αν υπάρχει c ώστε f c.47 Να βρεθεί η συνάρτηση f : αν ισχύει: f 7 f 5, και.48 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :,, αν ισχύει ότι f () f() ln f() για κάθε και f ().49 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο * και για κάθε * ισχύει f() f (), f() και f( )..5 Να βρείτε τη συνάρτησης f με f, αν ισχύει f() f (),.5 Βρείτε την εξίσωση της καμπύλης που διέρχεται από το M(, ) και σε κάθε σημείο της με 4α τετμημένη α έχει εφαπτομένη με λεφ 4α.5 Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση f :,,, αν ισχύει ότι f () και f () f() ln f() για κάθε.5 Δίνεται η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ώστε να ισχύει[f () f()] f() f () για κάθε και f.bρείτε τον τύπο της f Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

14 Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Αν η f :, π π παραγωγίσιμη με f κάθε, π, δείξτε ότι f είναι δύο φορές και f f για αημ, α..55 Να βρεθεί συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f,, f 9 και της οποίας η γραφική παράσταση σε κάθε σημείο M,f() έχει εφαπτομένη με κλίση 4 f(),.56 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, η από το O, η εφαπτόμενη της C f διέρχεται Cf στο σημείο O, είναι παράλληλη στην ευθεία - y και ισχύει f () 4f () f(),.57 Έστω οι συναρτήσεις f και g δυο φορές παραγωγισιμες στο με f για κάθε Αν δέχονται κοινή εφαπτόμενη σε κοινό σημείο τους και ισχύει fg f g δείξετε ότι f για κάθε, να g.58 Α) Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f f, και f f. Να αποδείξετε ότι η f είναι η μηδενική συνάρτηση. Β) Έστω συνάρτηση g : με g g για κάθε και g. Να αποδείξετε ότι η g g, ημ..59 * Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f για την οποία ισχύει ότι f() f βρεθεί ο τύπος της f. για κάθε. Να.6 Έστω συνάρτηση f : και ν N. Αν ν και ισχύει f f y y,,y τότε ναδείξετε ότι η f είναι σταθερή..6 Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, αν η εφαπτομένη στη γραφική της παράσταση σε κάθε σημείο το, f() να έχει κλίση f ν και A, να ανήκει στη γραφική παράσταση της f.6 * Δίνεται η συνάρτηση f :, + f y f f y για κάθε, y, + f με και. Η f είναι παραγωγίσιμη στο o. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο, + και ότι f ln, για κάθε, +..6 Έστωι η συνάρτηση f :, ώστε να ισχύει ότι και f y y y f,y, f για κάθε, f. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρεθεί ο τύπος της.64 Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο με f και ισχύει fy fyf y κάθε,y. Να αποδείξετε ότι:, για Α) f για κάθε και Β) η f είναι παραγωγίσιμη στο Γ) ο τύπος της f είναι f.65 Έστω συνάρτηση f :, παραγωγίσιμη στο με, f f για την οποία ισχύει f y f y y f. για κάθε,y. Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε Β) Δείξτε ότι f ln() για κάθε Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

15 45 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ- ΑΚΡΟΤΑΤΑ.66 Μελετήστε τη μονοτονία των συναρτήσεων ln Α) f B) f Β) f συν, [, π).67 Δείξτε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,, f ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ -ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.74 Έστω η συνάρτηση f Α) να μελετήσετε τη μονοτονία της f Β) να αποδείξετε ότι: π π ln ln π. α) ln( ), ln β) ln ln ln,.68 Μελετήστε τη μονοτονία των συναρτήσεων Α) f Β) ln f() ln( ).69 Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f στο,.7 Nα βρεθεί ο α, ώστε η συνάρτηση f α να είναι γνησίως αύξουσα στο.7 Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη με f και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() g,, είναι γνησίως φθίνουσα..7 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, και για κάθε, 5 f f ισχύει ln. 6 Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο,..7 Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης αν f 4 αν 4 αν Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln( ) 6.76 Λύστε την εξίσωση ln( ).77 Να λύσετε την εξίσωση.78 Για κάθε π π συν συν.79 Δείξτε ότι να αποδείξετε ότι ln(ημ) ημ,, π.8 Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f f ισχύει f για κάθε. Αν,, λύστε την εξίσωση f.8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία, ισχύουν f και f f ln f() για κάθε. Να λύσετε την εξίσωση f ln f.8 Αν g συν g για κάθε, ημ να αποδείξετε ότι g() για κάθε. Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

16 Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 46 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.8 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα: συν Α) f ln Β) f n, π Γ) f Δ) f E) f 4.9 Για μια συνεχή συνάρτηση f : ισχύει ότι ( )( ) f( ). Να βρείτε τα ( )( ) κρίσιμα σημεία της f, τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακρότατων της f.84 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα:, f, Α) B) f, ln(-),.85 Δείξτε ότι η συνάρτηση f έχει ακριβώς τρία τοπικά ακρότατα..86 Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε η συνάρτηση β f αln α να έχει στη θέση ο τοπικό ακρότατο με τιμή ln..87 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με (f()) f(),. Δείξτε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα..88 Έστω η συνάρτηση f το σημείο της ln. Βρείτε C f όπου η f έχει τη μικρότερη κλίση..89 Να βρείτε τις τιμές του λ αν η συνάρτηση έχει ακρότατα. f λ λ 5 δεν.9 Να βρεθεί ο κ ώστε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης κ f να είναι το..9 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων (,f( )), όπου o η θέση του τοπικού ακροτάτου της f() ln λ, λ όταν το λ διατρέχει το.9 Εστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με f () και f(), f(). Αν f() g(),, βρείτε τα διαστήματα f () μονοτονίας και το σύνολο τιμών της g.94 Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [ αβ, ], ( αβ, ). Αν υπάρχουν τέτοιοι ώστε f ( α β ), f ( ) ),f( ) f(, αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( ξ, ξ) ώστε f (ξ)..95 Μία συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο. Αν υπάρχει α ώστε f(α) f (α) f (α) και f () για κάθε, τότε να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f (), f () και f() έχουν μοναδική ρίζα..96 Έστω η συνάρτηση f :,, η οποία είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με f για κάθε. Αν υπάρχουν,,, τέτοια, ώστε υπάρχει ξ, με με f f να αποδείξετε ότι f ξ..97 **Αν f f 4, 4,, δείξτε ότι f για κάθε 4,..98 Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η f λ λ 5 να μην έχει ακρότατα Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

17 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 47 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.99 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση συν έχει στο,π ακριβώς μια λύση. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f f συν,,π. Να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα στο,π. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln λ για κάθε λ. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης α 8 α όταν το. Να αποδείξετε ότι για κάθε α η εξίσωση α 4 α έχει τρεις ρίζες.4 Αποδείξτε ότι για κάθε α η εξίσωση α έχει μοναδική ρίζα στο.5 ** Αν f ln(), να λύσετε τις εξισώσεις: Α) f ln( ) f 6 Β) f f 7 f f 8.6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει δύο ακριβώς ρίζες, οι οποίες είναι αντίστροφοι αριθμοί..7 *Να βρείτε, για κάθε α, το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης α α.8 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f για κάθε. Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f f α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.9 Δείξτε ότι εφ. Δείξτε ότι, π,. 6ημ 6 για κάθε. A) Μελετήστε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση B) Να δείξετε ότι f(),ν N * v v v, (, ). Α) να αποδείξετε ότι Β) Να δειχθεί ότι: π π 8 8 π. Α) Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση f ln, Β) Αν α,β, γ, με αβγ, δείξτε ότι α β γ α β γ α β γ.4 Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με f ln είναι γνησίως αυξουσα.5 ** Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() ln( ) είναι γνήσια αύξουσα στο και λύστε την εξίσωση f ln f.6 Να αποδείξετε ότι από το σημείο A(, ) άγονται ακριβώς δύο εφαπτόμενες προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ).7 Για κάθε α, β με α β να δείξετε ότι ln α β α lnα β lnβ α β α β.8 Δείξτε ότι π,, π Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

18 48 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ.9 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύουν: f και f, για κάθε. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A(,). Αν ισχύει κ για κάθε, κ να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του κ.7 Αν η συνάρτηση f : είναι f f για παραγωγίσιμη με f και κάθε, δείξτε ότι f για κάθε.8 Έστω f δυο φορές παραγωγίσιμη στο με f f και Δείξτε ότι f f για κάθε.. Αν α,β και ισχύει κάθε, να αποδείξετε ότι α β. ln α β για α. Εστω η συνάρτηση f α, >, λ> με f,. Να δείξετε ότι α και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο,.. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, που είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο ισχύει f f f για κάθε,.4 Έστω η συνάρτηση, και f λ, λ Α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει f για κάθε. Β) Αν λ να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g λ είναι γνησίως φθίνουσα. λ.5 Έστω συνάρτηση f() ln, λ Α) Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει ότι λ ln για κάθε Β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το ελάχιστο της f παίρνει τη μέγιστη τιμή του..6 Έστω μια συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f f και αποδείξετε ότι f f. Να για κάθε..9 Oι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο με f() g() και για κάθε να ισχύουν f ()g() f()g () και g(). Να αποδείξετε ότι: f() g() για κάθε [, ) και f() g() για κάθε (,].. Έστω η συνάρτηση f :, δύο φορές παραγωγίσιμη με f f παρουσιάζει για o Να δείξετε ότι:, που τοπικό ακρότατο το f f. Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο με f, f για κάθε, δείξτε ότι f, f. f, και α. Δίνεται η συνάρτηση f με, α,. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία το μέγιστο της f παίρνει την ελάχιστη τιμή του. Έστω οι συναρτήσεις f,g : που είναι παραγωγίσιμες και για κάθε ισχύουν f και g() f. Αν η C f διέρχεται από το, δείξτε ότι οι εφαπτόμενες των C f και C g στο o τέμνονται κάθετα

19 49 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΥΡΤΕΣ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ.4 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. Α) 8 h() Β) Γ). g() ln Δ) 5 g() 5 f().5 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f ln, I έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.6 Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ln ln είναι κυρτή.7 Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση 5 4 f 5α β,, α,β έχει τρία σημεία καμπής, να αποδείξετε ότι α.8 Δίνεται η συνάρτηση f :, την οποία ισχύουν f β. για και f για f() κάθε. Δείξτε ότι η f είναι κυρτή στο,..9 Δίνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α β ln β με α,β, έχει σημείο καμπής το A, Α) Να αποδείξετε ότι α 4 και β : Β) Βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο Α και να αποδείξετε ότι 4 ln,..4 Έστω η συνάρτηση f: με την f() ιδιότητα ( )f () για κάθε Να δειχθεί ότι η C f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής..4 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν η f να έχει στο o τοπικό ακρότατο και σημείο καμπής..4 Nα δείξετε ότι για κάθε α I η γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 f 4α α 4α 5 α με, δεν έχει σημεία καμπής..4 Έστω συνάρτηση f :, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει ότι για κάθε, f 4 f αποδείξετε ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής. Να.44 Έστω συνάρτηση f με f συνεχή και f () ημ,. Να δείξετε ότι το A(, f()) δεν μπορεί να είναι σημείο καμπής της.45 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f στο f,, f και η συνάρτηση g f f C f,. Να βρείτε τις ρίζες το πρόσημο της g, τα διαστήματα που η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της C g.46 Έστω συνάρτηση f :[, ) η οποία είναι κυρτή με f(). Δείξτε ότι η συνάρτηση f() g() είναι γνήσια αύξουσα στο (, ). λ.47 Αν f(), λ. Να βρείτε λ τον γεωμετρικό τόπο των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της f, για κάθε λ (, ).48 Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσμη στο και ισχύει f() f() για κάθε. Να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση Α) δεν έχει σημεία καμπής Β) έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο. Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

20 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.49 Α) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε διάστημα Δ. Να δείξετε ότι για κάθε, Δ ισχύει f f f αβ (Jnsn) α β B) Δείξτε ότι α,β α β Γ) Δείξτε ότι ln lnα lnβ, α,β Α f.5 Αν, y, α και y, να αποδείξετε ότι ισχύει α y 5 y.5 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές α α α παραγωγίσιμη στο και ισχύει ότι f f και f f. Δείξτε ότι η f είναι κυρτή στο.5 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με f γνήσια αύξουσα και f f για κάθε, f Δείξτε ότι..5 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο γνήσια αύξουσα και f. Δείξτε ότι f f για κάθε,..54 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : ώστε f και f,.55 Έστω η συνάρτηση f : με f() για. Α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. Β) Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει f(ln ) f ( ) f( ) f (ln ).56 Αν οι α,β,γ με α β γ, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι β β α α γ γ.57 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο και η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι για κάθε ισχύει ότι f 4f 4.58 Έστω η συνάρτηση f Α) Να αποδείξετε ότι η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε ένα μόνο σημείο της. Β) Να λύσετε την εξίσωση. Γ) Να αποδείξετε ότι, ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.59 Να υπολογίσετε τα όρια:, ln.6 Να υπολογίσετε τα όρια: ln συν ln,, ημ συν ln.6 Να βρεθούν τα παρακάτω όρια Α) Γ) ( ln) Β) ln ln(ln) Δ) E).6 Να βρείτε τα α,β, ώστε να είναι παραγωγίσιμη στο o η συνάρτηση εφ.6 Nα υπολογίσετε τα και f - ln α, > β β, και o.

21 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 5.64 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Γ) ημ συν ημ Β) Δ) ln 4.65 Αποδείξτε ότι είναι συνεχής η συνάρτηση ln, f και ότι -, =.66 Nα υπολογιστεί τo.67 Να υπολογίσετε το.68 Να βρεθεί το.69 Υπολογίστε το.7 Nα βρείτε τo f,5. ημ ημ συν ln 6 4 ln 4.7 Να υπολογίσετε το ln ln ln ημ ln ln συν ln ημ συν ημ.7 Υπολογίστε το lm i ln.76 Να υπολογίσετε το.77 Nα βρείτε το ημ ln ln.78 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : για ημ την οποία ισχύει f f ημ για κάθε. Να βρείτε το f..79 Έστω f :, συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει συνf ln για κάθε. Να βρείτε το f..8 Δίνεται η συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Αν για κάθε ισχύει f ( 4h ) f ( h ) f ( ) 4 8 και η h h εφαπτομένη της C στο σημείο M f, f ( ) έχει εξίσωση y5 8, να βρείτε τον τύπο της f.8 Αν ln α β, f, = ln( ) α, βρείτε τα α,β ώστε η f να είναι συνεχής στο o.8 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ να.7 Να βρεθεί το (ln ln( ) ln ) ώστε α β γ.74 Nα βρείτε το ln.75 Αν f f το f να υπολογίσετε.8 Δίνεται η συνάρτηση f λ,. Να βρείτε τις τιμές του λ, πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

22 Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 5 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ.84 Nα βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f() h() ln, k, ln( ) f( ) ημ, > f,,, λ ln,,.85 Έστω οι συναρτήσεις f,g :, g f ln ln με για κάθε. Αν η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της Cf στο, να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο..86 Έστω η συνάρτηση f : και η g με g f. Αν η y εφάπτεται της C f στο, να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο..87 Έστω συνάρτηση f :, τέτοια ώστε f ημ και f. ln Αποδείξτε ότι η y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο.88 Να βρείτε τα α,β,γ ώστε η γραφική.9 Δίνεται ότι η συνάρτηση f με f() έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις α β ευθείες και =5. Να βρεθούν οι πραγματικοί α και β και να αποδειχτεί ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C f στο +..9 Έστω συνάρτηση f :, οποία ισχύει για την f() για κάθε δείξετε ότι ο άξονας είναι ασύμπτωτη της. Να.9 Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f() ημln, δεν έχει ασύμπτωτες. C f..9 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ασύμπτωτη στο την ευθεία y. Bρείτε το f() ημ. f() ln ημ.94 Για τη συνάρτηση f :, για κάθε f f ισχύει ότι και f βρείτε τον τύπο της f και τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. Να (α ) β 5 παράσταση της f με f() γ ως ασύμπτωτες τις ευθείες και y. να έχει.95 Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε να είναι ( α β).89 Nα αποδείξετε ότι η y ln είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f ln ln.96 Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε να είναι αβ.97 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης f, που είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει ότι f Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

23 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 5 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.98 Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις Α) f ln Β) f() Γ) f ( ) ln,.99 Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις Α) Β) f() ημ, [ π,π] Γ) f ( ) f(). Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις Α) f( ), Β) f ln Γ) f,. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις A) f ln,,, Γ) f, Δ) f, B) f ( ). ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Αν Μ το σημείο του διαγράμματος της f με f ln λ που αντιστοιχεί στο τοπικό της ελάχιστο, να βρεθεί η απόσταση OM όταν ο ρυθμός μεταβολής του OM ως προς λ γίνει μηδέν..4 Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με οποίο ισχύουν τα εξής. Η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες 4,, η κορυφή A είναι στο Α 9 ο, για το διάστημα [ 4, ] του άξονα και η κορυφή B είναι σημείο της παραβολής y 4. Για ποια τιμή των συντεταγμένων του B το εμβαδό του τριγώνου ABΓ γίνεται μέγιστο ;.5 Το συνολικό κόστος μονάδων ενός προϊόντος είναι K( ) 5 και η συνολική είσπραξη E( ) 6 σε χιλιάδες ευρώ. Να βρεθεί ο αριθμός των μονάδων του προϊόντος που πρέπει να παραχθεί ώστε να έχουμε θετικό ρυθμό μεταβολής του κέρδους (κερδοφόρα επιχείρηση)..6 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ)=(ΑΓ)= cm. Να βρεθεί το μήκος της τρίτης πλευράς έτσι ώστε το εμβαδό του τρίγωνο να γίνεται μέγιστο..7 Μια εταιρεία αυτοκινήτων εκτιμά ότι μπορεί να πουλήσει αυτοκίνητα τον μήνα, αν η τιμή πώληση του κάθε αυτοκινήτου είναι 5. 'Εχει επίσης υπολογίσει ότι για κάθε μείωση της τιμής κατά 5 το ένα, οι πωλήσεις αυξάνονται κατά αυτοκίνητα τον μήνα. Η αύξηση των πωλήσεων λόγω μείωσης της τιμής είναι ανάλογη της μείωσης αυτής. Αν η τιμή ενός αυτοκινήτου δεν μπορεί να είναι μικρότερη από. Πόσα αυτοκίνητα πρέπει να πουλήσει η εταιρεία, ώστε να έχει τα μέγιστα έσοδα;.8 Η συνάρτηση που μας δίνει το κέρδος μιας επιχείρησης είναι: P(t ) n(t ) (t ), t. Να βρείτε: A) την χρονική στιγμή, κατά την οποία η επιχείρηση θα παρουσιάσει μέγιστο κέρδος. B) το μέγιστο κέρδος της επιχείρησης. Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

24 54 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.9 Ένα τουριστικό γραφείο οργανώνει εκδρομές με λεωφορεία. Κάθε λεωφορείο έχει 7 θέσεις. Ορίζεται οτι για να γίνει η εκδρομή χρειάζονται τουλάχιστον συμμετοχές και τότε η τιμή ορίζεται στα για κάθε άτομο. Για να αυξήσει τις συμμετοχές το γραφείο κάνει της εξής προσφορά. «Για κάθε επιβάτη επιπλέον των, θα μειώνει κατά λεπτά την χρέωση κάθε επιβάτη». Α) Ποιο το πλήθος των επιπλέον επιβατών κάθε λεωφορείου που μεγιστοποιεί τα έσοδα; Β) Ποια το μέγιστα έσοδα του γραφείου απο κάθε λεωφορείο;. Ενα φορτηγό διανύει καθημερινά km με σταθερή ταχύτητα km/h. Τα καύσιμα κοστίζουν 8, το λίτρο και καταναλώνονται με ρυθμό 4 lt/h. Τα υπόλοιπα έξοδα του φορτηγού είναι 9 /ώρα Α) να εκφράσετε το κόστος της διαδρομής αυτής ως συνάρτηση της ταχύτητας, Β) να βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχει το φορτηγό, ώστε τα έξοδά του να είναι τα ελάχιστα, Γ) πόσα είναι τα ελάχιστα αυτά έξοδα;. Δίνεται η ευθεία y. Να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίο απέχει από το σημείο A 94, τη μικρότερη δυνατή απόσταση.. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 8. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενό τους.. Να βρείτε δύο θετικούς αριθμούς με γινόμενο 6, των οποίων το άθροισμα να είναι ελάχιστο..4 Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64m ποιο είναι εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο..6 Δίνεται η παραβολή y. Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της παραβολής στην ευθεία y 5.7 Μια εταιρεία κατασκευάζει κυλινδρικά μεταλλικά δοχεία με όγκο cm.να βρείτε το ύψος υ και την ακτίνα του δοχείου έτσι ώστε το κόστος κατασκευής τους να είναι το μικρότερο δυνατό..8 Θέλουμε να τυπώσουμε σελίδες εμβαδού 84cm έτσι ώστε τα περιθώρια του κειμένου να είναι cm πάνω και κάτω και cm δεξιά και αριστερά. Ποιες διαστάσεις πρέπει να έχει κάθε σελίδα, ώστε το κείμενο να καταλαμβάνει το μεγαλύτερο δυνατό χώρο της σελίδας;.9 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο 4, και σχηματίζει με τους ημιάξονες Ο και Oy τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού.. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με οποίο ισχύουν τα εξής. Η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες 4,, η κορυφή A είναι στο ο Α 9, για το διάστημα [,4] του άξονα και η κορυφή B είναι σημείο της παραβολής y 4. Για ποια τιμή των συντεταγμένων του B το εμβαδό του τριγώνου γίνεται μέγιστο ;. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ)=(ΑΓ)= cm. Να βρεθεί το μήκος της τρίτης AB Γ πλευράς έτσι ώστε το εμβαδό του τρίγωνου να γίνεται μέγιστο.. Να βρείτε δύο θετικούς αριθμούς με γινόμενο 6, των οποίων το άθροισμα να είναι ελάχιστο..5 Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 4 cm να βρείτε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό.. Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64m ποιο είναι εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο.

25 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 55.4 Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 4 cm να βρείτε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό..5 Ένας πληθυσμός μικροβίων P μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύμφωνα με τον τύπο P t 5 Α) Να βρείτε τον αρχικό χρόνο αριθμό μικροβίων t t Β) Να βρείτε τον αριθμό των μικροβίων όταν t 9 ώρες Δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των μικροβίων ως προς το χρόνο, όταν t 9 ώρες.6 Μια εταιρεία διαθέτει για να περιφράξει ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου.η πλευρά ΑΒ πρόκειται να κατασκευαστεί από υλικό που κοστίζει 6 /m και οι πλευρές ΑΔ και ΒΓ από υλικό που κοστίζει 5 /m. Στην πλευρά ΓΔ θα κατασκευαστεί ένας τοίχος του οποίου το κόστος θα ανέλθει σε 4.Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου ώστε να έχει το μεγαλύτερο εμβαδό..7 Δίνεται η συνάρτηση f με ln f ( ), α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Αν η τετμημένη του σημείου Μ, f μεταβάλλεται με ρυθμό μ / sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(t) του τριγώνου ΑΟΒ, όπου Ο Β A,,,,, f, τη χρονική στιγμή t ( t κατά την οποία είναι ) 4.8 Σε ημικύκλιο διαμέτρου να εγγραφεί τραπέζιο με βάση την διάμετρο και να έχει μέγιστο εμβαδόν..9 Ένας ιχθυοκαλλιεργητής πήρε άδεια να χρησιμοποιήσει μία θαλάσσια περιοχή σχήματος ορθογωνίου την οποία θα περιφράξει με δίχτυ μήκους 6 μέτρων. Μόνο οι τρεις από τις τέσσερις πλευρές πρόκειται να περιφραχτούν με δίχτυ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E της θαλάσσιας περιοχής που θα χρησιμοποιηθεί δίνεται από τον τύπο ). E 6 (υποθέτουμε ότι Β) Να υπολογίσετε την τιμή του έτσι ώστε το εμβαδόν E της περιοχής να γίνει μέγιστο. Γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού.. Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα AB μήκους m του οποίου τα άκρα A και B ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και O αντίστοιχα. Το σημείο B κινείται με ταχύτητα u m και η θέση του στον άξονα O δίνεται από sc την συνάρτηση S t ut, t 5, σε sc. E() ακτή όπου t ο χρόνος Α) Να βρεθεί το εμβαδό Et του τριγώνου OAB ως συνάρτηση του t Β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του Et τη στιγμή κατά την οποία το μήκος OA είναι 6 m; Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

26 56 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δίνεται η συνάρτηση f α β o και η εφαπτόμενη της στο σημείο, όπου α,β, η οποία παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο A,f() διέρχεται από το,5. A) Να βρείτε τις τιμές των α,β και το σύνολο τιμών της f. Β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f. Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f 4 έχει μόνο μία λύση. Δ) Να βρεθούν τα f(), κ f(), κ Z κ. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν : f(-)= f =f Α Δείξτε ότι -+ για κάθε πραγματικό αριθμό + f = --5, Β. Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την (f ) -. Γ. Να λυθεί η εξίσωση : f =f στο Δ. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση - (f ) () + = n(α) έχει ακριβώς μια ρίζα;. Έστω η συνάρτηση α f() ln α με. Αν για κάθε είναι f() τότε Α) να αποδείξετε ότι α=, Β) να λύσετε την εξίσωση Γ) να λύσετε την ανίσωση ln ln, f() ln f().4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f για κάθε, f. Να αποδείξετε ότι: Α) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατο σε κανένα σημείο του διαστήματος,. Β) Το θεώρημα του oll δεν εφαρμόζεται σε κανένα διάστημα της μορφής, o. Γ) Ο τύπος της συνάρτησης f είναι f ln για κάθε, Δ) Η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Ε) Η ευθεία (ε) : y είναι κάθετη στην εφαπτομένη της C f στο o και

27 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 57.5 Δίνεται η συνάρτηση f() λ ln, λ Α) Να βρείτε τα ακρότατα της f Β) Να αποδείξετε ότι Γ) Να αποδείξετε ότι f() και f() ln για κάθε Δ) Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ.6 Δίνεται η συνάρτηση f() ln με α> α α Α) Να βρείτε το πρόσημο της f. Β) Να λύσετε την εξίσωση α για κάθε α> α β Γ) Αν ισχύει ότι ln β α α για κάθε, να αποδείξετε ότι β=..7 *Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, που ικανοποιεί τις σχέσεις f f f, και Α. Να εκφράσετε την f συναρτήσει της f και να δείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Β. Να αποδείξετε ότι f() f (), για κάθε. Γ. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο..8 * Έστω συνάρτηση g :, παραγωγίσιμη στο και g λ 4 Α) Να βρείτε τον αριθμό λ g 4 6 για κάθε 4, με, Β) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C g στο και να υπολογίσετε το g λ, g 8, g ημ 4 g 6 ln.9 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : I I για την οποία ισχύει : I και έχει σύνολο τιμών το. Α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να ορίσετε την f f για κάθε f Μονάδες 4 Β. Να δείξετε ότι f και να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της M,f() Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και να δείξετε ότι f Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός, Ε) Να βρείτε τα κοινά σημεία των f και f των εφαπτομένων στις γραφικές παραστάσεις των f και, ώστε f, για κάθε I και να αποδείξετε ότι το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης f στα σημεία τους με τετμημένες και f αντίστοιχα, ισούται με ένα Νικολόπουλος Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

28 58 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.4 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο,4 για την οποία ισχύουν: f f' f για κάθε 4, f ' για κάθε 4 Α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο,4 C f τέμνει τον ' σε ένα μόνο σημείο. Β) Να δείξετε ότι f'' f' f και f, και ότι η C f στρέφει τα κοίλα άνω στο Γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός, ώστε f f ' Δ) Να βρείτε τον τύπο της f για 4 Ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f Στ) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. Ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. o, να βρείτε το πρόσημο της f και να αποδείξετε ότι η (),4 κ έχει μοναδική λύση στο,4 για κάθε κ.4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f για κάθε. Α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g f Β) Αν επιπλέον είναι f για κάθε και f α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g lnf(), f τότε: Β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g lnf() σημείο της με τετμημένη στο.4 Έστω η συνάρτηση f : η οποία είναι έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο I. f( h) 5f() f( h) 6 Αν ισχύει ότι h h Α) 4 f () και Β) η ευθεία y 4 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο Γ) f 4 για κάθε, f 4 9 4, να δείξετε ότι.4 ** Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία γνωρίζουμε ότι: f() και f () f () για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο, h() f () f(), I είναι σταθερή. Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο o Δ) Να αποδείξετε ότι f()

29 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού **H συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο, και ισχύει ότι. Να αποδείξετε ότι: Α) η f είναι Β) f f () για κάθε Γ) αν f τότε f f f () f για κάθε ln..45 Έστω f συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο α,β ) με f α Α) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε fξ Β) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β με ξ ξ α, f β β τέτοια ώστε f ξ f ξ Γ) Να δείξετε ότι υπάρχει α,β τέτοιο ώστε f o o α β. Δ) Αν f για κάθε α,β τότε υπάρχουν, α,β με τέτοια ώστε f'( ) f'( ).46 * Έστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο, f f να αποδείξετε ότι: Α) υπάρχει, f( ) f( ) τέτοιο ώστε: f( ). παραγωγίσιμη στο, και κυρτή στο,. Αν Β) υπάρχουν, και, με τέτοια ώστε: f f f( ) f( ) Γ) το o του (Α) ερωτήματος βρίσκεται πλησιέστερα στο απ ότι στο..47 Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με,4. Να αποδείξετε ότι : Αα) Υπάρχουν,, με f β) Υπάρχει, ώστε γ) Υπάρχει, ώστε 4 ώστε f f f f ( ) 4f ( ) o o o o f, f και σύνολο τιμών το Βα) Η ευθεία y τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο, β) Υπάρχουν,, με ώστε να ισχύει ότι f f.48 Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για κάθε ισχύει: f ( ) 4 4 f( ). Να αποδείξετε τα εξής: A Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, 4) τέτοιο ώστε: f ( ) B Η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται Γ f () f (4) Δ Η εξίσωση f () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

30 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.49 Ένα σώμα κινείται στον άξονα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t t 6t 9t 4 όπου t είναι ο χρόνος σε sc. Να βρείτε: A) που βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση κινείται το σώμα τη χρονική στιγμή to Γ) ποιες χρονικές στιγμές το σώμα αλλάζει κατεύθυνση, Δ) πόσες φορές αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης Ε) ποια χρονική στιγμή δεν επιταχύνεται το σώμα..5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f Α. Να αποδείξετε ότι Β. i) Να βρείτε την παράγωγο της f. ii) ln,, Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να εξετάσετε αν παρουσιάζει καμπή. Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει : Ε. Να υπολογίσετε το όριο : f( ) f() ln. f( ) f() ( ) Στ. Να αποδείξετε ότι f( h) f( h), όπου h. Νικολόπουλος.5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: για κάθε και f f 6 f Α. Να αποδείξετε ότι f, Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση Γ. Να αποδείξετε ότι: α) η εφαπτομένη της Cf στο σημείο β) η κλίση της Cf στο σημείο Ν είναι τετραπλάσια της κλίσης της f,f με έχει με τη Cf και άλλο κοινό σημείο, το Ν. C f στο Μ Δ. Ένα σημείο, y με κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και έστω Α η προβολή του Σ στον άξονα. Το σημείο A απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο(,) με ρυθμό cm s. Τη χρονική στιγμή t που η τετμημένη του Σ είναι να βρείτε το ρυθμό μεταβολής. α) της απόστασης ΑΣ β) της γωνίας ΣΟΑ Λεόντιος

31 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 6.5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f Α. Να αποδείξετε ότι α = Β. Να βρείτε την παράγωγο της f ln, >, = Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει : Ε. Να υπολογίσετε το όριο f f f f ln Κολλέγιο Αθηνών.5 Θεωρούμε επίσης της συνάρτηση G :, που είναι μία παράγουσα της συνάρτησης f g, > Να αποδείξετε ότι : Α. f καθώς επίσης ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο Β. Η συνάρτηση G είναι γνησίως αύξουσα στο, Γ. Να λύσετε την εξίσωση G G G G6 Δ. Η συνάρτηση G είναι κυρτή Ε. Υπάρχει,4 τέτοιο ώστε 4G 7 f Κολλέγιο Αθηνών.54 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει f, για κάθε Α. Να δείξετε ότι f B. Να υπολογίσετε το f, αν., αν = Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα. Αρσάκειο.55 Δίνεται η συνάρτηση f, Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από το σημείο, Β. Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει : g f για κάθε α. Aποδείξτε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο β. Να υπολογίσετε τα όρια : g g 5 g g g 4 g Αρσάκειο Μ. Παπαγρηγοράκης 9-

32 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.56 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(). Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία,f( ),,f( ) εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλες στον. με, στα οποία οι Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο,f( ) στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη στον άξονα. f() Δ. Να βρείτε τα όρια : L, L f () ln Νικολόπουλος.57 Δίνονται οι συναρτήσεις f α β, 4, - και g ln κ, όπου η f είναι παραγωγίσιμη στο και πραγματικός αριθμός Α. Να αποδείξετε ότι α και β 8 Β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού κ ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο,f να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της g Γ Nα βρείτε εφόσον υπάρχει - την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από το σημείο,7 και έχει αρνητική κλίση..58 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει t f t και f t f 4 t t Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,f ε : y Β. Έστω d MΣ όπου Μ σημείο που κινείται στην εφαπτομένη ε και Σ(,). έχει εξίσωση Να αποδείξετε ότι καθώς το Μ διέρχεται από το σημείο Α, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ ως προς t είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της απόστασης d. Γ. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : για την οποία ισχύει g f g 5 ln 6 για κάθε Γα) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο τους άξονες και y y ισοσκελές τρίγωνο Γβ) Να βρείτε το f g 7 B,g σχηματίζει με

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 06-07 Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά ανάλυση Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Παράγωγοι Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων 008-009 Γ τάξη Τμήμα. Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης γ Ασκήσεις για λύση Μ.. Παπαγρηγοράκης 4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος

Διαβάστε περισσότερα

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Περιεχόμενα Συνδυαστικά Θέματα... Προβλήματα... 6 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0. ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z + 004. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης lisari.blogspot@gmail.com 13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο ο - Κατεύθυνσης (Τελευταία ενημέρωση: 3/1/16) 13 Μαθήματα 34 Ερωτήσεις θεωρίας 177 Άλυτες ασκήσεις _+ 5 ασκήσεις σχολικού βιβλίου Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i) ( ) e ii) ( ) iii) iv) v) () vii) () e ln viii) () ) συν () ημ i) 4 4 ( ) ( ) ( ) 5 vi) () i) () 7 4 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R. 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 7 5 8 1 i) f()= ii) f()= 3 5 4 3 4 iii) f()= iv) f()= 3 3 8 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f()= 5 6 ii) f()= iii) f()= 1

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ. 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.

ΟΡΙΣΜΟΣ. 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια. ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.. Aν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 0 και f(0) 0, να δείξετε ότι η συνάρτηση g()= f()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ενότητα 4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκήσεις για λύση ). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο 0, όταν: i) f ( ), 0 ii) f()=, 0 iii f ). Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα