ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

Transcript

1

2

3 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008

4 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας και διάθεσης βιβλίων Απαγορεύεται η αναδημοσίευση όλου ή μέρους του περιεχομένου με οποιοδήποτε τρόπο χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα Πρόλογος ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο. Τριγωνομετρία Τυπολόγιο τριγωνομετρίας. 5 Ενότητα Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 7» Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις» Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών 9» 4 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Κεφάλαιο. Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις 4 Ενότητα Πολυώνυμα 4» Διαίρεση πολυωνύμων 50» Πολυωνυμικές εξισώσεις 58» 4 Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 6 Κεφάλαιο. Πρόοδοι 67 Ενότητα Ακολουθίες 69» Αριθμητική πρόοδος 7» Γεωμετρική πρόοδος 85 Κεφάλαιο 4. Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση 95 Ενότητα Εκθετική συνάρτηση 97» Λογάριθμοι 07» Λογαριθμική συνάρτηση ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5 Ενότητα Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο 7» Γενίκευση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος» Θεωρήματα διαμέσων 6» 4 Μετρικές σχέσεις σε κύκλο.. 40» 5 Εμβαδόν βασικών ευθυγράμμων σχημάτων.. 44» 6 Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου... 48» 7 Εμβαδόν και ομοιότητα... 5» 8 Κανονικά πολύγωνα... 56» 9 Εγγραφή κανονικών πολυγώνων 57» 0 Μήκος κύκλου. 59» Εμβαδόν κυκλικού δίσκου. 60

6 ΜΕΡΟΣ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Κεφάλαιο. Διανύσματα 65 Ενότητα Η έννοια του διανύσματος 67 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων» Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 7» Συντεταγμένες στο επίπεδο 84» 4 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 94 Κεφάλαιο. Η ευθεία στο επίπεδο Ενότητα Εξίσωση ευθείας» Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας» Εμβαδόν τριγώνου. Κεφάλαιο. Κωνικές τομές 9 Ενότητα Ο κύκλος 4» Η παραβολή 55» Η έλλειψη 65» 4 Η υπερβολή 7 Κεφάλαιο 4. Θεωρία Αριθμών 8 Ενότητα Η Μαθηματική Επαγωγή 8» Ευκλείδεια διαίρεση 87» Διαιρετότητα 90

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τ ο βιβλίο αυτό αποτελείται από τρία μέρη. Το πρώτο αναφέρεται στην άλγεβρα, το δεύτερο στη Γεωμετρία και το τρίτο καλύπτει την ύλη που περιέχουν τα Μαθηματικά της κατεύθυνσης. Τα περιοδικά φαινόμενα είναι πανταχού παρόντα. Η κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο, η περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της, οι κινήσεις των δορυφόρων φυσικών και τεχνικών, ταλαντώσεις σωμάτων, παλιρροιακές κινήσεις κ.τ.λ. Τα μαθηματικά μοντέλα για τη μελέτη των φαινομένων αυτών περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Έτσι φαίνεται η αναγκαιότητα για τη μελέτη των συναρτήσεων αυτών. Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι το επόμενο βήμα, το οποίο απαιτεί τη χρήση ορισμένων βασικών τύπων που δίνουν τις λύσεις στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Η λίστα των βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων που γνωρίζουμε, συμπληρώνεται με ορισμένες άλλες, απαραίτητες για το λογισμό. Αυτές αναφέρονται στο άθροισμα και τη διαφορά δύο γωνιών, καθώς και στο διπλάσιο μιας γωνίας. Τα πολυώνυμα είναι οι απλούστερες αγλεβρικές παραστάσεις και εδώ αποκτούμε όλο το απαραίτητο υπόβαθρο όπως είναι ο ορισμός, η ισότητα μεταξύ πολυωνύμων και ο λογισμός των πράξεων. Δίνεται ο αλγόριθμος της διαίρεσης δύο πολυωνύμων, καθώς και προτάσεις που αναφέρονται στη διαίρεση ενός πολυωνύμου από ένα άλλο πρώτου βαθμού. Παρόλο που έχει επινοηθεί τρόπος επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου και τετάρτου βαθμού, εδώ αναφέρεται ο κλασσικός τρόπος με παραγοντοποίηση καθώς η εύρεση ακεραίων ριζών όταν οι συντελεστές του είναι ακέραιοι. Επίσης επιλύουμε και άλλες εξισώσεις οι οποίες μπορούν να αναχθούν σε πολυωνυμικές. Η τοποθέτηση αντικειμένων σε μία σειρά και η αντιστοίχισή τους με το σύνολο των φυσικών αριθμών, μας οδηγεί στην έννοια της ακολουθίας. Έτσι μπορούμε να αναφερθούμε στον προηγούμενο ή τον επόμενο κάποιου όρου, τον νιοστό όρο κ.τ.λ. Δύο ακολουθίες με πολλές εφαρμογές ακόμα και στην καθημερινή πρακτική έχουν σχέση με τις δύο βασικές πράξεις, της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος, όπως ονομάζονται οι δύο κλάσεις ακολουθιών, δημιουργούνται με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό του ίδιου αριθμού στον προηγούμενο προκειμένου να δημιουργήσουμε τον επόμενο όρο. Στην τελευταία ενότητα της Άλγεβρας παρουσιάζεται η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση. Γίνεται η μελέτη τους και παρουσιάζονται μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεις, ανισώσεων και συστημάτων που περιέχουν τέτοιες συναρτήσεις. Παρουσιάζονται οι ιδιότητές τους και σημειώνεται ότι εμφανίζουν μία αντιστρεπτή διαδικασία. Οι ενότητες που αφορούν τη Γεωμετρία αναφέρονται σε μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο και στον κύκλο. Επίσης παρουσιάζονται οι τύποι που δίνουν το εμβαδόν όλων των βασικών ευθυγράμμων τμημάτων καθώς και του κυκλικού δίσκου.

8 Τα Μαθηματικά της κατεύθυνσης ξεκινούν με τον διανυσματικό λογισμό. Η έννοια του διανύσματος η οποία είναι στενά συνυφασμένη με τη Φυσική, απ ό- που προέρχονται και οι μέχρι τώρα γνώσεις, αφού έχει χρησιμοποιηθεί για να παραστήσει την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη δύναμη κ.τ.λ. Εκτός από τη γεωμετρική παράσταση του διανύσματος, εισάγεται και η αναλυτική παράστασή του από ένα ζεύγος συντεταγμένων σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Τέλος παρουσιάζεται το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, μία εξωτερική πράξη, για την ο- ποία αφιερώνεται αρκετό μέρος από παραδείγματα, εφαρμογές και ασκήσεις εξ αιτίας της μεγάλης σημασίας του και εφαρμογής του σε πολλά προβλήματα. Ακολουθεί η παρουσίαση της εξίσωσης μιας ευθείας, της απλούστερης από τις γραμμές που θα μελετήσουμε. Δίνονται οι διάφορες μορφές της εξίσωσής της, οι συνθήκες ώστε δύο ευθείες να είναι παράλληλες ή κάθετες καθώς και η εύρεση της γωνίας δύο ευθειών. Παρουσιάζονται οι τύποι απόστασης ενός σημείου από μία ευθεία, καθώς και ο τύπος που δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι κωνικές τομές, ο κύκλος, η παραβολή, η έλλειψη και η υπερβολή. Δίνονται οι διάφορες μορφές των εξισώσεών τους, οι ιδιότητές τους καθώς και οι εξισώσεις των εφαπτόμενων τους. Ειδικά για την παραβολή, την έλλειψη και την υπερβολή, τα περισσότερα από τα θέματα που θα αντιμετωπίσουμε είναι παρόμοια, οπότε και οι μέθοδοι είναι ίδιες και στο μόνο που υπάρχει διαφορά είναι οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται. Στον κύκλο υ- πάρχει μία μεγαλύτερη ποικιλία θεμάτων, σε μερικά από αυτά χρησιμοποιούνται και γνώσεις από την Ευκλείδεια γεωμετρία. Τα πιο ενδιαφέροντα θέματα έχουν την εφαπτόμενη της κωνικής τομής και έτσι χρησιμοποιούνται γνώσεις από το προηγούμενο κεφάλαιο. Στο τελευταίο κεφάλαιο γίνεται μία στοιχειώδης εισαγωγή στην θεωρία αριθμών. Διατυπώνεται η αρχή της Μαθηματικής επαγωγής, το θεώρημα της Ευκλείδειας διαίρεσης καθώς και ορισμένα βασικά θεωρήματα της διαιρετότητας μεταξύ ακεραίων. Στράτης Αντωνέας Σπάρτη, Ιούνιος 008

9 ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Οι Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Βασικές Τριγωνομετρικές εξισώσεις Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Η τριγωνομετρία, όπως φαίνεται από τα συνθετικά της λέξης, γεννήθηκε από την προσπάθεια σύνδεσης γωνιών και πλευρών ενός τριγώνου, που παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του, όταν μεγεθύνεται ή σμικρύνεται. Έτσι αφού δημιουργήσαμε πίνακες με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών, μπορέσαμε να υπολογίζουμε μήκη γνωρίζοντας κάποια άλλα. Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί συνέχεια της εισαγωγής στην τριγωνομετρία που παρουσιάστηκε στην ύλη της Α Λυκείου. Στο τυπολόγιο που υ- πάρχει αμέσως μετά υπενθυμίζονται οι τύποι που χρειαζόμαστε, όπως οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μερικών γωνιών, οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες καθώς και οι τύποι αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο. Αρχικά γίνεται μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, οι οποίες εφαρμόζονται στην περιγραφή περιοδικών φαινομένων όπως π.χ. τις ταλαντώσεις, τα κύματα κ.τ.λ. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και τέλος σχεδιάζουμε τη γραφική παράστασή τους. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι τύποι για την επίλυση των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Με βάση αυτές μπορούμε να λύσουμε άλλες τριγωνομετρικές εξισώσεις με τη βοήθεια και του αλγεβρικού λογισμού. Ακολουθούν οι τύποι που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς αθροίσματος γωνιών και έπειτα για το διπλάσιο μιας γωνίας. Οι ασκήσεις και οι μέθοδοι επίλυσής τους στις δύο τελευταίες ενότητες είναι παρόμοιες. Αυτό που κάνει τη διαφορά είναι οι επιπλέον τύποι και ο συνδυασμός με τα προηγούμενα προσφέρουν μία ποικιλία νέων θεμάτων.

10

11 5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Γωνίες μεγαλύτερες των 60 0 ημ(κ ω) ημω, κ εφ(κ ω) εφω, κ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ω συν(κ ω) συνω, κ σφ(κ ω) σφω, κ Τριγωνομετρικός κύκλος Τεταρτημόρια ο ο ο 4 ο ημω + + συνω + + εφω + + σφω + + Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών ω σε μοίρες ω σε rad 0 ημω 0 συνω εφω 0 π 6 π 4 σφω π π π π π Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ημ ω συν ω ημ ω + συν ω συν ω ημ ω εφω ημ ω, συνω 0, σφω συνω συνω ημω, ημω 0 εφω. σφω + εφ ω συν ω, συνω 0, + σφ ω ημ ω, ημω 0

12 6 Γωνίες αντίθετες ημ( ω) ημω συν( ω) συνω εφ( ω) εφω σφ( ω) σφω Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Γωνίες με άθροισμα Γωνίες με διαφορά ημ(80 0 ω) ημω ημ(80 0 +ω) ημω συν(80 0 ω) συνω συν(80 0 +ω) συνω εφ(80 0 ω) εφω εφ(80 0 +ω) εφω σφ(80 0 ω) σφω σφ(80 0 +ω) σφω Γωνίες με άθροισμα 90 0 ημ(90 0 ω) συνω συν(90 0 ω) ημω εφ(90 0 ω) σφω σφ(90 0 ω) εφω ημ(90 0 +ω) ημ[90 0 ( ω)] συν( ω) συνω συν(90 0 +ω) ημω εφ(90 0 +ω) σφω σφ(90 0 +ω) εφω Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις κπ + θ ημ α ημ ημθ, κ ( α ) κπ + ( π θ) κπ + θ συν α συν συνθ, κ ( α ) κπ θ εφ α εφ εφθ κπ + θ, κ σφ α σφ σφθ κπ + θ, κ Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών ημ(α + β) ημα. συνβ + συνα. ημβ συν(α + β) συνα. συνβ ημα. ημβ εφα+ εφβ εφ(α + β) εφα εφβ σφα σφβ σφ(α + β) σφβ + σφα Τριγωνομετρικοί αριθμοί διαφοράς γωνιών ημ(α β) ημα. συνβ συνα. ημβ συν(α β) συνα. συνβ + ημα. ημβ εφ(α β) σφ(α β) εφα εφβ + εφα εφβ σφα σφβ+ σφβ σφα Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α ημα ημα. συνα συνα συν α ημ α συν α ημ α εφα εφα. εφ α Τύποι αποτετραγωνισμού ημ α συν α συν α + συν α εφ α συν α + συνα

13 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε Α να ισχύει: (i) + T Α, T Α και (ii) f ( + T) f ( T) f () Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.. Η συνάρτηση f () ημ. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f () ημ, όταν 0 π, είναι: 0 π π π π f () ημ 0 μεγ. 0 ελαχ. 0 β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () ημ είναι:. Η συνάρτηση f () συν. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f () συν, όταν 0 π, είναι: 0 π π π π f () συν μεγ. 0 ελαχ. 0 μεγ.

14 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () συν είναι:. Η συνάρτηση f () εφ. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f () συν, όταν 0 π, είναι: π π π π f () εφ β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () εφ είναι:.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Κάθε μια από τις δύο συναρτήσεις f () ρ.ημ(ω) και g() ρ.συν(ω) με ρ, ω > 0 έχει: Μέγιστη τιμή την ρ και ελάχιστη τιμή την ρ. Περίοδο Τ π ω....σημειωση: Αν δεν γνωρίζουμε ότι το ρ > 0, τότε η μέγιστη τιμή των συναρτήσεων είναι ρ, ενώ η ελάχιστη τιμή είναι το ρ.

15 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Δίνεται η συνάρτηση f () α.συν( π +4).ημ(π+4), με α >0. i) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(ω). ii) Να βρείτε τον α αν η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή. iii) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση, όταν 0 π. Λύση: i) f () α.συν( π + 4).ημ(π + 4) α.συν[( π ( 4)].( ημ4) α.ημ( 4) +.ημ4 α.ημ4 +.ημ4 ( α).ημ4. ii) Η συνάρτηση f έχει μέγιστη τιμή το αν και μόνο αν α α ή α α ή α α ή α 5 α (απορρίπτεται) ή α 5 α 5. iii) Για α 5 έχουμε: f (). ημ4. Η περίοδος της συνάρτησης f είναι Τ π π. 4 Όταν 0 π η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.4. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα: Συνάρτηση f () συν Περίοδος Μέγιστη- Ελάχιστη τιμή Θέσεις ακροτάτων f ().ημ5 f ().συν ( ) 4.5. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα: Συνάρτηση f () 5 ημ ( ) f ().συν4 f () ημ + Περίοδος Μέγιστη- Ελάχιστη τιμή Διαστήματα μονοτονίας

16 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.6. Δίνεται η συνάρτηση f () συν 4. i) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου..7. Δίνονται οι συναρτήσεις f () ημ και g() συν. i) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, όταν 0 π. ii) Από το σχέδιο του ερωτήματος (i) να λύσετε την ανίσωση f () > g()..8. Δίνεται η συνάρτηση f () συν( π + 4). i) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f για 0 π..9. Δίνεται η συνάρτηση f () συν( π ) ημ(π + ). i) Να απλοποιήσετε τον τύπο της. ii) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f. iii) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης..0. Έστω η συνάρτηση f () ημ ( ημ ) συν( π + ) συν ημ(π + ). α) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(ω) + κ. β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα τιμών και μονοτονίας της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου της... Δίνεται η συνάρτηση f () ημ(π ) ημ[( π + )]. α) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(ω). β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. γ) Να λύσετε την εξίσωση f ()... Δίνονται οι συναρτήσεις f () 5ημ[( κ+ λ )] + λ και g() (κ + )συν με κ, λ *. Να βρείτε τα κ, λ αν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και η περίοδος της g είναι διπλάσια της περιόδου της f... Στο διπλανό σχέδιο η f () είναι ημιτονοειδής και η g() είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση. i) Να βρείτε τις δύο συναρτήσεις. ii) Να λυθεί η εξίσωση εφ,5 στο διάστημα [0,π]. [Απ. ii) 5π 6, π 6 ] [Απ. κ, λ]

17 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.4. α) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () ημ και g() συν όταν [0,π]. β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης f ( ) g( ) για κάθε [0,π]. γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η προηγούμενη παράσταση γίνεται μέγιστη. [Απ. β) γ) π 4, 7π 4 ] Β Ομάδα.5. i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () συν και g() + στο ίδιο σύστημα αξόνων. ii) Να λύσετε την εξίσωση συν Θεωρούμε τη συνάρτηση f () ( α).ημ(β) με α > και β > 0. Η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή και περίοδο π. i) Να βρείτε τα α, β. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε διάστημα μιας περιόδου..7. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος, σε χιλιάδες κομμάτια, δίνονται κατά προσέγγιση π t όπου t ο χρόνος σε έτη και 0 t 8. από τον τύπο f (t) + 5.συν ( ) 4 i) Να βρείτε τη μέγιστη, την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδό της. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. iii) Σε ποιο έτος θα έχουμε τον μικρότερο αριθμό πωλήσεων; iv) Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φθάσουν τα 5500 κομμάτια. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ.8. Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η συνάρτηση f () ημ είναι περιττή. II. Η περίοδος της συνάρτησης f () συν( π) είναι π. III. Η συνάρτηση f () εφ έχει άπειρες κατακόρυφες ασύμπτωτες..9. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Αν η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f () (κ + )ημ + 4κ είναι, τότε η τιμή του κ είναι: Α. Β. Γ. 4 Δ. 0 Ε. II. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () συν είναι: Α. το (,) Β. το [,] Γ. το Δ. το III.Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f () εφ είναι: Α. το {,} Β. το [,] Γ. το * Ε. το {,} * Δ. το Ε. το (,)

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Οι τύποι που δίνουν τις λύσεις των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι: κπ + θ i) ημ α ημ ημθ η, κ. κπ + ( π θ).. Βασική εφαρμογή: ii) συν α συν συνθ κπ + θ η κπ θ, κ. iii) εφ α εφ εφθ κπ + θ, κ. iv) σφ α σφ σφθ κπ + θ, κ. κπ + 0 (i) ημ 0 ημ ημ0 ή κπ + ( π 0) λπ, λ. (ii) συν 0 συν συν π κπ + ή κπ π π κπ ή κπ+π κπ ή, κ ( κ+) π, κ λπ + π, λ....σημειωση: Στις εξισώσεις ημ 0 και συν 0 οι δύο οικογένειες λύσεων μπορούν να συμπτυχθούν σε μία... Βασική εφαρμογή: (i) ημ ημ ημ π π κπ+ ή π κπ + ( π ) π κπ+ ή π κπ +

19 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ κπ + π, κ. (ii) συν συν συν0 κπ + 0 ή κπ 0 κπ, κ....σημειωση: Στις εξισώσεις ημ και συν οι δύο οικογένειες λύσεων συμπίπτουν..4. Βασική εφαρμογή: π κπ (i) ημ ημ ημ( π ) ή π κπ + ( π + ) κπ π, κ. κπ ή κπ + π π (ii) συν συν συνπ κπ + π ή κπ π κπ + π, κ..4..σημειωση: Στις εξισώσεις ημ και συν οι δύο οικογένειες λύσεων συμπίπτουν. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.5. Να λυθεί η εξίσωση: σφ συν σφ.συν. Λύση: Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν ημ 0. σφ συν σφ.συν σφ συν + σφ.συν 0 σφ.(+συν) (+συν) 0 (+συν)(σφ ) 0 +συν 0 ή σφ 0 συν ή σφ. συν αδύνατη γιατί τότε θα ήταν ημ 0. σφ σφ σφ π κπ + π, κ Να λυθούν οι εξισώσεις: (i) ημ + 0 (ii) συν(+ π 5 ) + 0. Λύση: π κπ + ( ) (i) ημ + 0 ημ ημ ημ( π ) ή π κπ + π ( )

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π κπ ή π κπ + π + π κπ ή π κπ+ κπ π κπ π, κ. 6 (i) συν(+ 5 π ) + 0 συν(+ 5 π ) συν(+ 5 π ) π π + κπ + συν(+ π ) συν π 5 ή 5 π π + κπ - 5 7π κπ + 0 ή, κ. π κπ 0 π π κπ + 5 ή π π κπ 5 7π κπ + 5 ή π κπ 5.6..ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν το ημ, εφ, σφ είναι αρνητικά, δηλαδή ημ α, εφ α, σφ α, όπου α > 0 τότε παίρνουμε ημ( θ) α, με ημθ α, εφ( θ) α, με εφθ α, σφ( θ) α, με σφθ α. Όταν όμως έχουμε συν α, τότε παίρνουμε συν(π θ) α, με συνθ α..7. Να λυθεί η εξίσωση: 6ημ + 5συν. Λύση: 6ημ + 5συν 6ημ + 5συν 0 6( συν ) + 5συν 0 6 6συν + 5συν 0 6συν + 5συν συν 5συν 4 0. Δ ( 5) ( 4) συν 5 ± 6 Άρα συν 5 ± συν συν π > απορριπτεται 5 6 κπ ± π, κ..8. Να λυθεί η εξίσωση: ημ ( +).ημ.συν +.συν 0. Λύση: Αν συν 0 τότε η εξίσωση ισοδυναμεί με ημ 0 ημ 0 αδύνατο. Επομένως, ημ ( +). ημ. συν +. συν 0 ημ συν ( +). ημ συν +. συν συν συν 0 συν εφ ( +). εφ + 0. Δ [ ( +)] 4.. ( +) 4. ( ) ( ) + ( ).

21 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 εφ ( + ) ± ( ) ( + ) ± ( ) εφ εφ εφ π κπ + π, κ. 4 4 εφ εφ εφ π κπ + π, κ Να λυθεί η εξίσωση:.εφ + 0, στο διάστημα [ π, π]. Λύση:.εφ + 0.εφ εφ εφ εφ( π ) κπ π 6 6 κπ π, κ. Είναι: π π π κπ π π π π κπ π + π π κπ π κ κ 6 6. Επειδή κ θα είναι κ ή κ 0 ή κ ή κ. Επομένως οι ζητούμενες λύσεις είναι: π π 7π, 0 π π π π π 5π, π π π..0. Να λυθεί η εξίσωση: ημ + συν( 4 π ) 0, στο διάστημα [0,π]. Λύση: ημ + συν( 4 π ) 0 συν( 4 π ) ημ συν( 4 π ) ημ( ) π π κπ συν( π ) συν( π + ) η 4 π π κπ 4 π κπ + + π κπ 4 4 η η 5 π κπ π κπ π 0 4 κπ + π π π 4κπ π π π 4κπ π π π κπ η π π + κπ κπ + π η. 4 κπ π π 0 4 κπ π 5 0 π π 0 π 0 4 κπ π + π κπ π 5 0

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 4 κ 8 κ 9 8. Επειδή κ θα είναι κ 0 ή κ. Άρα 40 π + π π ή 4 π + π 4π + π π κ κ 8. Επειδή κ θα είναι κ ή κ. Άρα 4 π π 4π π 7π ή π π 8π π 5π ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.. Να λυθεί η εξίσωση: (εφ )(ημ+) 0. [Απ. κπ+ π 4, κπ- π ].. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν+ 0 ii) ημ + 0 [Απ. i) κπ ± π 9 ii)4κπ-π].. Να λυθεί η εξίσωση: ημ. συν + συν ημ..4. Να λυθεί η εξίσωση: συν + ημ Να λυθεί η εξίσωση: (ημ+) + (συν )..6. Να λυθεί η εξίσωση: 9σφ Να λυθεί η εξίσωση: ημ 4 συν 0. [Απ. κπ- π 6 [Απ. κπ+ π 4 ], κπ+ 7π 6 ] [Απ. κπ+ π 4 ] [Απ. κπ ± π ] [Απ. κπ ± π ].8. Να λύσετε την εξίσωση: ημ + συν.9. Να λυθεί η εξίσωση: εφ + ημ. συν συν..0. Να λυθεί η εξίσωση: ημ(π) + συν(π) 0. [Απ. κπ+ π, κπ+ π 4 ] [Απ. κπ] [Απ. κ- ]

23 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7.. Να λυθεί η εξίσωση: συν εφ... Να λυθεί η εξίσωση: εφ 4συν. [Απ. κπ+ π 4 ] [Απ. κπ ± π 4, κπ ± π 4 ].. Να λυθεί η εξίσωση: συν.(+εφ ) εφ συν..4. Δίνεται η συνάρτηση f () α. ημ ( ) + β,, α > 0. [Απ. κπ] Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( π,) και η μέγιστη τιμή f είναι 5. Να βρείτε: i) Τα α, β. ii) Την περίοδο της συνάρτησης. iii) Τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y Να λύσετε την εξίσωση: σφ + ημ +συν. [Απ. κπ+ π, κπ+ 5π 6 6 ].6. Να λυθεί η εξίσωση ημ + συν 0. [Απ. κπ- π, κπ + π ].7. Να λυθεί η εξίσωση εφ + 0, στο διάστημα (0,π). [Απ. 5π 4, π 4 ].8. Να λύσετε την εξίσωση σφ 0, στο διάστημα ( π,π)..9. Να λυθεί η εξίσωση σφ 4 0, όταν [0,π]. [Απ. - π, - 5π, π, 7π, π, 9π ] [Απ. π 8, π 8, 5π 8, 7π 8, 9π 8, π 8, π 8, 5π 8 ].0. Να λύσετε την εξίσωση ημ σφ, στο διάστημα [ π, π]. [Απ. - π 4, π 4 ].. Δίνονται οι συναρτήσεις f () ημ(+π) + συν( π +) + ημ ( ) + και g() ημ[( π )] συν (π ), με [0,π]. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων.

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [Απ. ( π 4, ),( π 4,- )].. Να λύσετε την εξίσωση συν ημ + συν + 0, στο διάστημα ( π,π]. [Απ. - 4π, - π, π ] Β Ομάδα.. Να λυθεί η εξίσωση: + ημ + συν συν + ημ 4. [Απ. κπ ± π ].4. Να λύσετε την εξίσωση ( +)ημ + ( )ημ.συν. [Απ. κπ- π 4, κπ+ π 6 ] ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ.5. Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η εξίσωση ημ έχει άπειρο πλήθος λύσεων. II. Η εξίσωση συν ρ έχει λύση μόνο όταν < ρ <. III. Η εξίσωση ημ ημα έχει λύση μόνο όταν α. IV. Η εξίσωση συν κ κ+ έχει λύση μόνο όταν κ..6. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η εξίσωση εφ κ 4 έχει λύση όταν: Α. κ 0 Β. κ Γ. κ Δ. κ Ε. για κάθε κ

25 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: i) συν(α β) συνα. συνβ + ημα. ημβ ii) συν(α + β) συνα. συνβ ημα. ημβ Απόδειξη: ii) συν(α + β) συν[α ( β)] συνα. συν( β) + ημα. ημ( β) συνα. συνβ + ημα. ( ημβ) συνα. συνβ ημα. ημβ....παραδείγματα: συν5 0 συν( ) συν45 0.συν0 0 + ημ45 0.ημ0 0 + ( + ). 4 συν75 0 συν( ) συν45 0.συν0 0 ημ45 0.ημ0 0 ( ) 4. Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: i) ημ(α + β) ημα. συνβ + συνα. ημβ ii) ημ(α β) ημα. συνβ συνα. ημβ Απόδειξη: i) ημ(α + β) συν[ π (α+β)] συν( π α β) συν[( π α) β] συν( π α). συνβ + ημ( π α). ημβ ημα. συνβ + συνα. ημβ. ii) ημ(α β) ημ[α + ( β)] ημα. συν( β) + συνα. ημ( β) ημα. συνβ + συνα. ( ημβ) ημα. συνβ συνα. ημβ.

26 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ...Παραδείγματα: ημ5 0 ημ( ) ημ45 0.συν0 0 συν45 0.ημ0 0 ημ75 0 ημ( ) ημ45 0.συν0 0 + συν45 0.ημ0 0 + ( ) 4 ( + ) 4. Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: εφα+ εφβ i) εφ(α + β) εφα εφβ εφα εφβ ii) εφ(α β) + εφα εφβ Απόδειξη: i) Οι εφα, εφβ και εφ(α+β) ορίζονται αν και μόνο αν συνα 0, συνβ 0 και συν(α+β) 0. Τότε είναι: ημα συνβ συνα ημβ εφ(α + β) ημ( α+ β ) + ημα συνβ+ συνα ημβ συνα συνβ συνα συνβ εφα+ εφβ. συν( α+ β) συνα συνβ ημα ημβ συνα συνβ ημα ημβ εφα εφβ συνα συνβ συνα συνβ ii) Οι εφα, εφβ και εφ(α β) ορίζονται αν και μόνο αν συνα 0, συνβ 0 και συν(α β) 0 Τότε είναι: ος τρόπος: ημα συνβ συνα ημβ εφ(α β) ημ( α β ) ημα συνβ συνα ημβ συνα συνβ συνα συνβ εφα εφβ. συν( α β) συνα συνβ+ ημα ημβ συνα συνβ ημα ημβ + εφα εφβ + συνα συνβ συνα συνβ ος τρόπος: εφα+ εφ( β) εφ α+ ( εφ β) εφα εφβ εφ(α β) εφ[α + ( β)]. εφα εφ( β) εφ α ( εφ β) + εφα εφβ...παραδείγματα: εφ5 0 εφ( εφ45 εφ0 ) +εφ45 εφ0 ( )( ) + ( ) (+ )( ) ( ). 0 0 εφ75 0 εφ( εφ45 +εφ0 ) εφ45 εφ0 (+ )(+ ) + + ( ) ( )(+ ) ( ) ( ) 6 + 6( + ) 6

27 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνεφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.4. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: σφα σφβ i) σφ(α + β) σφβ+ σφα σφα σφβ+ ii) σφ(α β) σφβ σφα Απόδειξη: i) Οι σφα, σφβ και σφ(α+β) ορίζονται αν και μόνο αν ημα 0, ημβ 0 και ημ(α+β) 0. Τότε είναι: συνα συνβ ημα ημβ σφ(α + β) συν( α+ β ) συνα συνβ ημα ημβ ημα ημβ ημα ημβ σφα σφβ. ημ( α+ β) ημα συνβ+ συνα ημβ ημα συνβ συνα ημβ σφβ + σφα + ημα ημβ ημα ημβ ii) Οι σφα, σφβ και σφ(α β) ορίζονται αν και μόνο αν ημα 0, ημβ 0 και ημ(α β) 0 Τότε είναι: ος τρόπος: συνα συνβ ημα ημβ σφ(α β) συν( α β ) + συνα συνβ+ ημα ημβ ημα ημβ ημα ημβ σφα σφβ+. ημ( α β) ημα συνβ συνα ημβ ημα συνβ συνα ημβ σφβ σφα ημα ημβ ημα ημβ ος τρόπος: σφα σφ( β) σφ α ( σφ β) σφα σφβ σφ(α β) σφ[α + ( β)] σφ( β) + σφα σφβ + σφα σφβ + σφα σφα σφβ+ σφβ σφα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μέθοδος Υπολογισμού τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων γωνιών, βρίσκουμε πρώτα τους τριγωνομετρικούς α- ριθμούς των δύο γωνιών και μετά εφαρμόζουμε τους προηγούμενους τύπους..5. Αν ημα 4 5 με π < α < π και συνβ 5 με π < β < π, να υπολογίσετε: i) το ημ(α β) ii) το συν(α + β) Λύση: Είναι συν α ημ α ( 4 5 ) Επειδή π < α < π θα είναι συνα Ακόμα ημ β συν β ( ) Επειδή π < β < π θα είναι ημβ

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ i) ημ(α β) ημα. συνβ συνα. ημβ 4 5 ( 5 ) ( 5 )( 4 5 ) ii) συν(α+β) συνα. συνβ ημα. ημβ 5 ( 5 ) 4 5 ( 4 5 ) Μέθοδος Απόδειξης τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μία τριγωνομετρική ταυτότητα, τότε: Προσέχουμε μήπως η ταυτότητα είναι απλή εφαρμογή των τύπων. Διαφορετικά δουλεύουμε όπως στις αλγεβρικές ταυτότητες ταυτότητες, χρησιμοποιώντας τους τριγωνομετρικούς τύπους. Έτσι μπορούμε να ξεκινήσουμε από το ένα μέλος και να φθάσουμε στο δεύτερο ή να δουλέψουμε με ισοδυναμίες και να καταλήξουμε σε μία αληθή σχέση. Αν η ταυτότητα έχει και συνθήκη, τότε ξεκινούμε από αυτήν ή τη χρησιμοποιούμε κατά τη διάρκεια των πράξεων. Αν η σχέση αναφέρεται σε τρίγωνο ΑΒΓ τότε θα χρησιμοποιήσουμε την ισότητα Α + Β + Γ π ή Α + Β + Γ π. Όταν δίνεται μία σχέση που ισχύει για ένα τρίγωνο και θέλουμε να αποδείξουμε ότι αυτό είναι ισοσκελές ή ορθογώνιο κ.τ.λ, τότε μετασχηματίζουμε τη σχέση χρησιμοποιώντας τους τύπους και καταλήγουμε σε δύο γωνίες ίσες ή μία γωνία 90 0 ή κ.τ.λ..6. Αν α+β+γ π τότε να αποδειχθούν οι επόμενες ισότητες: i) εφα + εφβ + εφγ εφα. εφβ. εφγ. ii) εφ α. β εφ + εφ β. γ εφ + εφ γ. εφ α. iii) σφα. σφβ + σφβ. σφγ + σφγ. σφα. iv) σφ α β γ + σφ + σφ σφ α. σφ β. γ σφ. Λύση: εφα+ εφβ i) α + β + γ π α+β π γ εφ(α+β) εφ(π γ) εφγ εφα εφβ εφα + εφβ εφγ.( εφα+εφβ) εφα + εφβ εφγ + εφα.εφβ.εφγ εφα + εφβ + εφγ εφα.εφβ.εφγ. ii) α + β + γ π α β γ + + π α β εφ( α β + ) εφ( π γ εφ + εφ ) α εφ εφ εφ γ.(εφ α +εφ β ) εφ α.εφ β β α β + π γ α γ εφ + εφ σφ α εφ εφ β β εφ γ εφ α.εφ γ + εφ β.εφ γ εφ α.εφ β εφ α.εφ β + εφ β.εφ γ + εφ γ.εφ α.

29 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ σφα σφβ iii) α + β + γ π α + β π γ σφ(α+β) σφ(π γ) σφγ σφβ+ σφα σφα. σφβ σφγ.(σφβ + σφα) σφα. σφβ σφγ.σφβ σφγ.σφα σφα. σφβ + σφβ.σφγ + σφγ.σφα. iv) α + β + γ π α β γ + + π σφ( α β + ) σφ( π γ σφ σφ ) β α σφ + σφ α β α β + π γ α β γ σφ σφ εφ β α σφ + σφ σφ γ σφ γ.(σφ α. σφ β ) σφ β + σφ α σφ γ.σφ α.σφ β σφ γ σφ β + σφ α σφ α + σφ β + σφ γ σφ α.σφ β.σφ γ..6..σημειωση: Σε ένα μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, επειδή ˆΑ + ˆΒ + ˆΓ π θα είναι: εφα+εφβ+εφγ εφα. εφβ. εφγ, εφ Α.εφ Β + εφ Β.εφ Γ + εφ Γ.εφ Α, κ.τ.λ. Οι σχέσεις (i) και (iii) ισχύουν γενικά όταν: α + β + γ κπ, κ. Οι σχέσεις (ii) και (iv) ισχύουν γενικά όταν: α + β + γ (κ+)π, κ ημ( α+ β) ημ( α β).7. Να αποδείξετε ότι: i) εφ α εφ β. συν α συν β ημ( α+ β) ημ( α β) ημ( β+ γ) ημ( β γ) ημ( γ+ α) ημ( γ α) ii) συν α συν β συν β συν γ συν γ συν α Λύση: ημ( α+ β) ημ( α β) (ημα συνβ+ συνα ημ β)(ημ α συνβ συνα ημ β) i) συν α συν β συν α συν β (ημα συν β) (συνα ημ β) συν α συν β εφ α εφ β. ημ α συν β συν α ημ β συν α συν β ημ α συν β συν α συν β ii) Σύμφωνα με το (i) θα είναι ημ( β + γ) ημ( β γ) εφ β εφ ημ( γ+ α) ημ( γ α) γ και εφ γ εφ α. συνβ συνγ συνγ συνα ημ( α+ β) ημ( α β) ημ( β + γ) ημ( β γ) ημ( γ+ α) ημ( γ α) Άρα + + συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα εφ α εφ β + εφ β εφ γ + εφ γ εφ α 0. συν α ημ β συν α συν β.8. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημa ημb.συνγ, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Λύση: ημa ημ B. συνγ ημα.ημβ.συνγ ημ[80 0 (Β+Γ)].ημΒ.συνΓ

30 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ημ(β+γ).ημβ.συνγ ημβ.συνγ + συνβ.ημγ.ημβ.συνγ ημβ.συνγ + συνβ.ημγ. ημβ.συνγ 0 συνβ.ημγ ημβ.συνγ 0 ημ(γ Β) 0 Γ Β 0 Γ Β. Επομένως, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές..8..σημειωση: () ημβ 0, γιατί διαφορετικά θα ήταν Β 0 0 () Αν Γ Β80 0 Γ Β αδύνατο. ή Β 80 0, πράγμα άδύνατο. Μέθοδος Επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων οι οποίες έχουν ά- θροισμα ή διαφορά γωνιών. Αν θέλουμε να επιλύσουμε μία τριγωνομετρική εξίσωση στην οποία παρουσιάζεται τριγωνομετρικός αριθμός με άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων γωνιών, τότε εφαρμόζουμε τους προηγούμενους τύπους και μετασχήματίζουμε την εξίσωση σε μία από τις γνωστές μορφές που έχουμε μελετήσει στην αντίστοιχη ενότητα..9. Να λυθεί η εξίσωση.ημ συν( 6 π ), όταν [ π,π]. Λύση:. ημ συν( 6 π ). ημ συν. συν 6 π + ημ. ημ 6 π. ημ συν. + ημ. 4. ημ. ημ. ημ συν συν εφ κπ + π κπ + π, κ συν + ημ εφ εφ 6 π Είναι π π π κπ + π π π π κπ + π π π π π π κπ 8π π 0 π κπ 7π κ κ 7. Επειδή κ θα είναι κ ή κ 0 ή κ ή κ. 6 Επομένως, οι λύσεις τις εξίσωσης είναι: π + π 6π + π 5π, 0 π + π π π + π 6π + π 7π και π + π π + π π ΣΗΜΕΙΩΣΗ: () συν 0, γιατί αν συν 0 τότε και ημ 0, το οποίο είναι αδύνατο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.0. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i) συνθ. συνθ + ημθ. ημθ ii) ημ4θ. συνθ + συν4θ. ημθ iii) ημ(α β).συν(α+β) + συν(α β).ημ(α+β)

31 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 5.. Να αποδείξετε ότι: i) συν(45 0 α).συν(45 0 β) ημ(45 0 α).ημ(45 0 β) ημ(α+β) ii) ημ(45 0 +α).συν(45 0 β) + συν(45 0 +α).ημ(45 0 β) συν(α β).. Να αποδείξετε ότι: συν(+ π ).συν( π ) ημ(+ π ).ημ( π )... Να αποδείξετε ότι: ημ(α+8 ο ).συν( ο α) συν(α+78 ο ).ημ(α 7 ο )..4. Να αποδείξετε ότι: ημ( 4 π +φ) + ημ( 4 π φ). συνφ..5. Να αποδείξετε ότι: (συνα ημα)(συνα ημα) συνα ημα..6. Στο διπλανό σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ, ΓΔ και ΑΓ 5. Επίσης ΑΓ ΒΓ και ΑΔ ΓΔ. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ˆΑ. [Απ. ημα 6,συνΑ- 6,εφΑ- 6,σφΑ ].7. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα Α ημ( α+ ) ημ( α ) συν( β ) συν( β+ ) είναι ανεξάρτητο του..8. Να αποδείξετε ότι: ημα συνβ ημ( α β) συν( α β ) ημα ημβ εφ(α + β)..9. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει ˆΒ ˆΔ 90 0, ΑΒ 4 και ΒΓ 4 +. Να υπολογίσετε: α) το συνα β) τις γωνίες ˆΑ και ˆΓ. [Απ. α)- β) ˆΑ 0 0, ˆΓ 60 0 ].0. α) Να αποδείξετε ότι: ημ συν ημ( π ). β) Να λύσετε την εξίσωση: ημ συν... Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, με διαγώνιο και ΑΓΔ ˆθ. i) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου ισούται με Ρ 4.ημ(θ + π ). 4 ii) Να βρείτε τη γωνία ˆθ αν η περίμετρος είναι ίση με.

32 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [Απ. ii)5 0 ή 75 0 ].. α) Να αποδείξετε ότι: ημθ + συνθ ημ(θ+45 0 ). β) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η υποτείνουσά του ΒΓ και η περίμετρός του ισούται με +. Να βρείτε τις οξείες γωνίες του τριγώνου. [Απ. β)0 0, 60 0 ].. Να αποδείξετε ότι: i) + εφα. εφα συνα ii) εφα. σφα συνα.4. Να αποδείξετε ότι: i) ημ( α+ β ) ημ( α β ) εφα + εφβ εφα εφβ ii) ημ( α+ β ) + συν( α β ) ημ( α β ) + συν( α+ β ) ημβ + συνβ συνβ ημβ.5. Να αποδείξετε ότι: i) ημ(60 0 ) ημ + ημ(0 0 ) ii) ημ(0 0 ) ημ + ημ(60 0 ) iii) συν συν(+60 0 ) + συν(+0 0 ) 0.6. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: Π (συνα συνβ) + (ημα+ημβ) + συν(α+β) είναι ανεξάρτητη των γωνιών α και β..7. Να αποδείξετε ότι: i) ημ(α+β). ημ(α β) ημ α ημ β συν β συν α. ii) συν(α+β). συν(α β) συν α ημ β συν β ημ α. iii) συν α + συν β + συν(α+β). συν(α β). ημ α ημ β συνα ημβ iv) +. ημ ( α β) ημ( α β).8. Να αποδείξετε ότι: εφα+ εφβ εφ( α+ β) + εφα εφβ εφ( α β)..9. Να αποδείξετε ότι: i) εφ(+ π συν + ημ ) 4 συν ημ ii) εφ(45 0 θ) συν θ ημ θ συνθ+ ημθ.0. Να αποδείξετε ότι: εφ α εφ α εφ α εφ α εφα. εφα... Να αποδείξετε ότι: ημ( α+ β) i) συν( α+ β) + συν( α β) εφα + εφβ ii) ημ( α β) ημ( β γ) iii) + συν( α β) συν( α+ β) συν( β γ) συν( β+ γ) ημ( α β) σφβ σφα. συν( α β) συν( α+ β) ημ( γ α) + 0. συν( γ α) συν( γ+ α).. Να αποδείξετε ότι: συν( α β) ημ( α β) + ημ( α+ β) + ημ( α β) εφα + σφα. συν( α β) + συν( α+ β)

33 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 7.. Να αποδείξετε ότι: i) iii) iv) ημ( α β) ημ( α β) εφα εφβ ii) σφβ σφα. συνα συνβ ημα ημβ ημ( α β) + συνα συνβ ημ( β γ) + συνβ συνγ ημ( γ α) 0. συνγ συνα ημ( α β) + ημ( β γ ) + ημ( γ α ) 0. ημα ημβ ημβ ημγ ημγ ημα ημ( α+ β) ημ( α β).4. Να αποδείξετε ότι: i) σφ β σφ α. ημ α ημ β ημ( α+ β) ημ( α β) ii) ημ α ημ β ημ( β + γ) ημ( β γ) ημ β ημ γ +.5. Αν α + β 5 0 να αποδείξετε ότι (+σφα)(+σφβ). ημ( γ+ α) ημ( γ α) ημ γ ημ α Αν α + β 5 0 να αποδείξετε ότι i) (+εφα)(+εφβ). ii) (+σφα)(+σφβ) σφα. σφβ..7. Αν α + β + γ π να αποδείξετε ότι: εφα + εφβ + εφγ εφα. εφβ. εφγ..8. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ(β+γ) ημβ.συνγ, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. εφβ, αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισο-.9. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει σκελές..40. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ντιστρόφως. ημγ συνα συνβ ημb + συνγ συνβ + ημγ εφβ, τότε να αποδείξετε ότι Â π και α-.4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου η ˆΒ δεν είναι ορθή, ισχύει η ισότητα συν( B Γ) εφβ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και αντιστρόφως. ημa ημ( B Γ ).4. Να λυθεί η εξίσωση ημ(+ 6 π ) + ημ( 6 π ) [Απ. κπ+π/4].4. Να λυθεί η εξίσωση ημ(+45 0 ) συν + στο διάστημα [0,π]. [Απ. π 4, π 4 ].44. Να λύσετε στο διάστημα [0, π] την εξίσωση (ημ + ημ) + (συν + συν). [Απ. π 6, 5π 6 ].45. Να λυθεί η εξίσωση σφ + σφ(45 0 +). [Απ. κπ ± π 6 ]

34 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.46. α) Να αποδείξετε ότι: ημ6 + ημ4 ημ5.συν. β) Να λύσετε την εξίσωση: ημ6 + ημ4 + 4ημ Έστω f () (ημ + συν) + (συν + ημ). α) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(ω) + κ. β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα τιμών και μονοτονίας της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου της. γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα..48. Να αποδείξετε ότι: i) ημ α + ημ ( α) + ημ (60 0 α) iii) ημ α + ημ (0 0 +α) + ημ (0 0 α) ii) συν α + συν ( α) + συν (60 0 α). iv) συν α+συν (0 0 +α)+συν (0 0 α)..49. Να αποδείξετε ότι +ημ ημ+ συν συν( π ημ ) + ημ( π ). 4 ημ συν Να αποδείξετε ότι: i) εφα εφα ii) iii) εφα+ εφα σφα + σφα σφα σφ4α. σφα+ σφα εφα. εφα εφα σφα σφα σφα..5. Χρησιμοποιώντας την άσκηση.7 (i) α) να αποδείξετε ότι: ημ ( θ) ημ (875 0 θ) ημθ. β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ημ ( ω) ημ (990 0 ω). [Απ. β)0].5. Αν ημ(α+β) 0, να αποδείξετε ότι συν(α+β) συνα..5. i) Να δείξετε ότι: ημ(α+β) ημ(α β) ημβ.συνα ii) Να λύσετε την εξίσωση: ημ( + 4 π ) ημ( 4 π ) iii) Να δείξετε ότι: ημ6 0 ημ59 0 ημ A. Να αποδείξετε ότι: i) ημα.συνβ ημ(α+β) + ημ(α β) ii) συνα.συνβ συν(α β) + συν(α+β) iii) ημα.ημβ συν(α β) συν(α+β) B. Να χρησιμοποιήσετε τους προηγούμενους τύπους, για να αποδείξετε τα επόμενα: i) ημ(α β).συν(α+β) + ημ(β γ).συν(β+γ) + ημ(γ α).συν(γ+α) 0 ii) ημ(α+β).ημ(α β) + ημ(β+γ).ημ(β γ) + ημ(γ+α).ημ(γ α) 0 iii) συνα.ημ(β γ) + συνβ.ημ(γ α) + συνγ.ημ(α β) 0 iv) συν(6 0 α).συν(6 0 +α)+συν(54 0 α).συν(54 0 +α) συνα

35 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 v) αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημα ημβ.συνγ, το τρίγωνο είναι ισοσκελές και αντίστροφα Γ. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) συν.συν7 συν.συν5 ii) συν.συν συν5.συν7 στο διάστημα ( 4 π, 4 π ) iii) ημ.συν + ημ.συν6 + ημ4.συν 0. [Απ. i)κπ/,κπ/4 ii)-π/8,0,π/8].55. Αν ημα + ημβ και συνα + συνβ, να αποδείξετε ότι συν(α β)..56. Αν α, β (0, π ) και i) εφα, εφβ τότε α+β π. 4 ii) εφα +, εφβ τότε α β π Αν εφ λ και εφy με λ και λ λ λ. α) Να βρείτε την εφ(+y). β) Αν, y (0, π ), να βρείτε τη γωνία +y. [Απ. α) β) π 4, 5π 4, 9π 4 ].58. Αν εφ + ν ν κ. και εφy ν με ν 0 και ν, να αποδείξετε ότι + y (4κ+) 4 π,.59. Αν π <, y < π και εφ 4 α +, εφy α + α y + π. 4 με α 0, να αποδείξετε ότι.60. Να αποδείξετε ότι: i) Αν + y + ω 0 τότε εφ + εφy + εφω εφ.εφy.εφω. ii) εφα εφα εφα εφα. εφα. εφα. iii) εφ(α β) + εφ(β γ) + εφ(γ α) εφ(α β).εφ(β γ).εφ(γ α)..6. Να αποδείξετε ότι: i) Αν + y + ω π τότε εφ + εφy + εφω εφ. εφy. εφω. ii) εφ7 0 + εφ εφ50 0 εφ7 0. εφ58 0. εφ50 0. iii) εφ45 0 εφ 0 εφ 0 εφ45 0. εφ 0. εφ 0. iv) εφ(α β+ π ) + εφ(β γ+ π ) + εφ(γ α+ π ) εφ(α β+ π ).εφ(β γ+ π ).εφ(γ α+ π ).

36 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Ομάδα.6. Δίνονται οι παραστάσεις: Α συν συνα. συν. συν(α+) + συν (α+) Β συν ημα. συν. ημ(α+) + ημ (α+). Να αποδείξετε ότι: i) Οι παραστάσεις Α, Β είναι ανεξάρτητες του. ii) H παράσταση Α + Β είναι ανεξάρτητη του α..6. Αν συν(α+β) συνα.συνβ να αποδείξετε ότι ημ (α+β) (ημα+ημβ)..64. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: ημα.ημ(β Γ) + ημβ.ημ(γ Α) + ημγ.ημ(α Β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συν Α + συν Β + συν Γ, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και αντιστρόφως..66. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι ισχύουν: i) σφ Α + σφ Β + σφ Γ ii) εφ A + εφ B + εφ Γ. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την ανισότητα ( y) 0) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ.67. Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η περίοδος της συνάρτησης f () ημ(4 0 ). συν(56 0 ) + συν(4 0 ). ημ(56 0 ) είναι π. II. Η τιμή της παράστασης ημ45 0. συν συν45 0. ημ65 0 είναι 0,5. III. Η τιμή της παράστασης συν(8 0 +θ). συν( 0 θ) + ημ(8 0 +θ). ημ(θ 0 ) είναι 0, Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η τιμή της παράστασης συν6 0. συν7 0 ημ6 0. ημ7 0 είναι Α. Β. Γ. Δ. 0 Ε. II. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: ημα. συνβ συνα. ημβ, τότε το τρίγωνο είναι: Α. Οξυγώνιο Β. Αμβλυγώνιο Γ. Ορθογώνιο Δ. Ισόπλευρο III. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: συνβ. συνγ ημβ. ημγ, τότε το τρίγωνο είναι: Α. Οξυγώνιο Β. Αμβλυγώνιο Γ. Ορθογώνιο Δ. Ισόπλευρο IV. Η τιμή της παράστασης ημ(α+0 0 ). συν(0 0 α) + συν(α+80 0 ). ημ(70 0 α) είναι: Α. Β. Γ. Δ. Ε.

37 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ V. Αν Α συνθ. συνφ ημθ. ημφ και 45 0 < θ, φ < 90 0 τότε Α. Α > 0 Β. Α < 0 Γ. Α 0 Δ. Α Ε. Α.69. Να συμπληρώσετε τον πίνακα (II), ώστε κάθε τριγωνομετρικός αριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην παράσταση της στήλης Β, με την οποία είναι ίσος Πίνακας (I) Στήλη Α. συν(y ). ημ(+y). συν(+y) 4. ημ( y) Στήλη Β A. συν. συνy ημ. ημy Β. ημy. συν ημ. συνy Γ. ημy. συν + ημ. συνy Δ. ημy. ημ συν. συνy Ε. ημ. συνy + ημy. συν Ζ. συν. συνy + ημy. ημ Πίνακας (II) Να συμπληρώσετε τον πίνακα (II), ώστε κάθε τριγωνομετρικός αριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην παράσταση της στήλης Β, με την οποία είναι ίσος Πίνακας (I) Στήλη Α. συν. ημ5. συν7 4. ημ Στήλη Β A. ημ4. ημ συν4. ημ Β. συν. συν4 ημ. ημ4 Γ. ημ. ημ συν. συν Δ. συν. συν4 + ημ. ημ4 Ε. συν. συν ημ. ημ Ζ. ημ. συν + ημ. συν Η. συν. ημ4 ημ. συν4 Πίνακας (II) 4

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 4.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: i) ημα ημα. συνα ii) συνα συν α ημ α συν α ημ α εφα iii) εφα εφ α Απόδειξη: i) ημα ημ(α+α) ημα. συνα + συνα. ημα ημα. συνα. ii) συνα συν(α+α) συνα. συνα ημα. ημα συν α ημ α. συνα συν α ημ α συν α ( συν α) συν α + συν α συν α. συνα συν α ημ α ημ α ημ α ημ α. εφα+ εφα εφα iii) εφα εφ(α+α). εφα εφα εφ α 4.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: i) ημ α συν α ii) συν α +συν α iii) εφ α συν α +συνα Απόδειξη: i) συνα ημ α ημ α συνα ημ α συν α. ii) συνα συν α + συνα συν α συν α + συν α. συνα iii) εφ ημ α α συν α συν α. + συνα + συνα 4...Παραδείγματα: ημ,5 0 συν45 0 4, οπότε ημ,5 0 4.

39 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α συν,5 0 + συν , οπότε συν, εφ,5 0 0 ημ,5 0 συν, Βασική εφαρμογή: Για κάθε γωνία α με συνα 0 ισχύουν: ημα.ημα.συνα ημ α συν α ημα συνα συν α+ ημ α συνα συν α ημ συν α ημ α συν α ημ α α συν α+ ημ α ημα συνα συν α συν α ημ α + συν α συν α εφα. + εφ α συν α ημ α συν α συν α εφ α. συν α ημ α + εφ α + συν α συν α 4.4. Βασική εφαρμογή: ημα ημ(α+α) ημα.συνα + συνα.ημα.ημα.συνα.συνα + ( ημ α).ημα.ημα.συν α + ημα ημ α.ημα.( ημ α) + ημα ημ α.ημα.ημ α + ημα ημ α.ημα 4.ημ α. συνα συν(α+α) συνα.συνα ημα.ημα (συν α ).συνα.ημα.συνα.ημα.συν α συνα ημ α.συνα.συν α συνα ( συν α).συνα.συν α συνα.συνα +.συν α 4.συν α.συνα. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.5. Αν π < α < π και συνα 4 Λύση: i) το συν α., να υπολογίσετε: ii) τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 4 + ( ) i) συν α + συνα Είναι: π < α < π π < α < π. Επομένως, συν α ii) Είναι: π < α < π π < α < π α συν ημ α ( ) α

40 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Άρα ημ α α + συν συν α 4 Άρα συν α ( ) α 8+ 6 ημ Είναι εφ α 4 4 α συν (4+ 6) (4 6)(4+ 6) 4 ( 6) ( + ) 0 5( + ) (4+ 6) 0 0 (4+ 6) (4 6) Επίσης σφ α 5( ) 4 5. ημ 4.6. i) Να αποδείξετε ότι συν ημ. ii) Να αποδείξετε ότι συν π. συν π. συν π 8. Λύση: ημ ημ συν i) συν. ημ ημ ημ( ) ii) συν π. συν π. συν 4π π ημ 8π ημ 7 π 8 ημ 7 π ημ( π + ) 7 π 8 ημ 7 π π ημ( ). 7 π ημ 7 7 π ημ 7 π 8 ημ π ημ( ). 7 4π ημ 7 π ημ 7 π ημ 7 ημ. ημ 4π 7 π 7 ημ. ημ 8π 7 4π i) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Π ημ α ημα συν α είναι ανεξάρτητη του α. συνα 0 0 ημ5 συν5 ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 0 0 συν5 ημ5 Λύση: i) Π ημ α ημα συν α ημα συνα συνα ημα ημα συνα συνα ημα συνα ημα συνα συνα ημα ημα συνα ημα ημα συνα. ημα συνα ημα συνα (i) ημ5 ii) συν5 ημ( 5 ) συν( 5 ) ημ5 συν5 ημ5 συν5 ημ( α α) ημα συνα 4.8. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση συν B, τότε να αποδείξετε ότι το τρί- ημa γωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές. Λύση: συνa ημb

41 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 5 συνa ημb συν B συνα. ημα ημβ. συνβ. ημα. συνα. ημβ. συνβ ημa ημα ημβ Α Β ή Α + Β 80 0 Α Β ή Α+Β 90 0 Α Β ή Γ Επομένως, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές ΣΗΜΕΙΩΣΗ: () ημα 0, ημβ 0, γιατί διαφορετικά οι γωνίες θα ήταν 0 0 ή 80 0, πράγμα άδύνατο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα 4.9. Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: α) ημ 8 π.συν 8 π γ) (ημ5 0 συν5 0 ) 4.0. Να αποδείξετε ότι: συν80 0 ημ 50 0 συν β) (ημ π συν π ) 8 8 δ) συν π ημ π 4.. Να αποδείξετε τις ισότητες: i) συν (45 0 α) ημ (45 0 α) ημα ii) ημ (45 0 α ) ημα 4.. Έστω f () (ημ + συν) (συν ημ). α) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ. ημ(ω). β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα τιμών και μονοτονίας της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου της. γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία που έχει εξίσωση y 0. (ημ+ συν ) 4.. Δίνεται η συνάρτηση f () ημ(ημ+συν). α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιοδική και να βρείτε την περίοδό της. β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο βρίσκονται οι τιμές της συνάρτησης. [Απ. α)π β)[-, ]] 4.4. Αν ημα γωνίας α. και π < α < π να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της [Απ. ημα- 4 9, συνα- 7 9, εφα 4 7, σφα 7 8 ] 4.5. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών π και π Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5συνα 4συνα 7 0. α) Να αποδείξετε ότι συνα 5.

42 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ β) Αν επιπλέον ισχύει π α π, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημα, συνα και εφα Χρησιμοποιώντας την ισότητα συν ημ ημ να αποδείξετε ότι: α) συν0 0. συν40 0. συν60 0. συν β) συν π. συν 4π. συν 8π γ) συν π. συν π. συν π. συν 4π. συν 5π. συν 6π. συν 7π Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: i) συν 4 α ημ 4 α συνα ii) εφ σφ + σφ 0 + σφ α iii) iv) σφα σφα ημα ημα + σφα 4.9. Να αποδείξετε ότι: i) εφα. σφα συν α ii) + σφα. σφα ημ α 4.0. Αποδείξτε ότι συν5θ. συνθ ημ5θ. ημθ συν 4θ ημ 4θ. 4.. Να αποδείξετε ότι: ημα σφα εφα i) σφα ii) συνα συνα σφα+ εφα σφ α+ iii) σφ α iv) σφ α εφ α σφα συνα 4.. Να αποδείξετε ότι: (+ εφ α)(+ σφ α) i) + ημ α ημα iii) (+εφα) + (+σφα) 4( + ημ α) ημ α ii) ημ α ημ4 α ημα+ ημ4α εφ α 4.. Να αποδείξετε ότι: συνα+ ημα συνα ημα i) συνα ημα συνα+ ημα εφα ii) ημα συνα ημα+ συνα + ημα+ συνα ημα συνα συνα 4.4. Να αποδείξετε ότι: i) εφ( 4 π +α) εφ( 4 π α) εφα ii) εφ(45 0 +α) + εφ(45 0 α) iii) εφ ( π α) ημ α 4 + ημα iv) εφ ( π + α + ημα ) 4 ημα συνα 4.5. Να αποδείξετε ότι: i) εφ( π 4 α ) συνα + ημα ii) σφ(45 0 +α) συνα + ημα

43 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 7 α σφ + iii) α σφ συνα ημα iv) συνα π α εφ( ) συνα 4 + ημ α ημα 4.6. Να αποδείξετε ότι: ημα+ ημα i) εφα ii) + συνα+ συνα α + συνα + συν iii) α ημα+ ημ σφ α συνθ+ ημθ + συνθ+ ημθ εφ θ 4.7. α) Για κάθε πραγματικό αριθμό να αποδείξετε ότι: συν. (ημ + 4ημ) (συν + 4συν + ). ημ β) Να βρείτε εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους συν + 4συν Να αποδείξετε ότι: 0 συν ημ Να αποδείξετε ότι: συνα i) εφ α ημα+ ημα ημα συν iii) α + συνα + συνα εφ α ημα συν ii) α εφ α συνα συνα iv) εφ(α+ π ).εφ(α π ) συνα συνα 4.0. Να αποδείξετε ότι: εφα + συνα συν α+ ημ α συνα ημα εφ( 4 π +α) 4.. Έστω f () α. β ημ συν β + β, [0,π], α, β > 0. Αν η περίοδος της f είναι Τ π και η μέγιστη τιμή της είναι 5, τότε να βρείτε: i) Να βρείτε τα α, β. ii) Να λύσετε την εξίσωση f (), α) Να αποδείξετε ότι: εφ ημ. + συν β) Να υπολογίσετε την εφ π. [Απ. i)α6, β ii) π, 5π, π, 7π ] 4.. α) Να αποδείξετε ότι: σφ ημ. συν β) Να υπολογίσετε την σφ π α) Να αποδείξετε ότι: συν + εφ. + συν ημ

44 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ β) Να υπολογίσετε την εφ 8 π α) Να αποδείξετε ότι: συν συν+ ημ β) Να υπολογίσετε την εφ π. σφ Να αποδείξετε ότι: ημ ( 8 π + θ ) ημ ( 8 π θ ) ημθ Να αποδείξετε ότι: i) (ημα + ημβ) + (συνα + συνβ) 4. συν α β ( ) ii) (ημα ημβ) + (συνα + συνβ) 4. συν α+ β ( ) iii) (ημα ημβ) + (συνα συνβ) 4. ημ α β ( ) iv) (ημα + ημβ) + (συνα συνβ) 4. ημ α+ β ( ) 4.8. Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: ημ θ i) συν θ + σφθ + εφθ ημθ ii) (εφα+σφα). εφ α.( εφ α ) (+εφ α ) 4.9. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου οι γωνίες ˆΒ και ˆΓ δεν είναι ορθές. Αν ισχύει η ισότητα εφβ εφγ ημ Β, να αποδείξετε ότι αυτό είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές και αντίστροφα. ημ Γ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν συν ii) συν συν iii) ημ συν 0 iv) ημ + συν [Απ. i)κπ+π/, κπ ± π/ ii)κπ+π/, κπ iii)κπ+π/, κπ+π/, κπ+π/ iv)κπ, κπ+π/4] 4.4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ + συν με [0, π] ii) συν ημ με [0,π] [Απ. i)0,π/6,5π/6,π ii)0,π/,π,4π/,π] 4.4. Να λύσετε την εξίσωση ημ + ημ. [Απ. κπ+ π, κπ ± π 4, (κ+)π ± π 4 ] 4.4. Να λύσετε την εξίσωση συν + (+ ). ημ συν. [Απ. i)κπ+π/, κπ+π/4] Δίνεται η συνάρτηση f () ημ(0 0 ).συν( 70 0 ) + ημ(70 0 +).συν(+0 0 ) i) Να αποδείξετε ότι f () συν. ii) Να βρείτε τους αριθμούς [ π,π) για τους οποίους ισχύει: f () + f ( ).

45 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Α. Να αποδείξετε ότι: ημ συν ημ( 4 π ). Β. Δίνεται η συνάρτηση f () ημ.(ημ + συν). i) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(+θ) + κ. ii) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της f; Για ποιες τιμές του η συνάρτηση παίρνει τις προηγούμενες τιμές; iii) Να λύσετε την εξίσωση: ημ.(ημ + συν) Να αποδείξετε ότι: i) συν (α+β) συν (α β) + ημα.ημβ 0 ii) ημ (α+β) ημ (α β) ημα.ημβ 0 [Απ. ii)+,-,κπ+π/8,κππ/8 iii)κπ+7π/4, κπ+π/4] Χρησιμοποιώντας τους τύπους της εφαρμογής 4. να υπολογίσετε την παράσταση Π α.συν + β.ημ, αν δίνεται ότι εφ β α. εφα εφ α Δίνονται οι τύποι ημα, συνα. + εφ α + εφ α α) Αν εφα + κ+ κ, με κ και κ 0, να αποδείξετε ότι ημα κ. + κ κ β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας, αν εφ. γ) Αν 4. ημ +. συν, να βρείτε την εφ. δ) Να αποδείξετε ότι εφ α +. εφ β αν και μόνο αν συνβ +. συνα. Β Ομάδα Να αποδείξετε ότι: 0 ημ0 0 συν Να λύσετε την εξίσωση ημ + ημ στο διάστημα [0,π]. [Απ. Πα] [Απ. π/, 4π/] εφα 4.5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο ημα + εφ α ημ συν και 0 < < π. 4, να υπολογίσετε την εφ, αν [Απ. εφ 4-7 ] 4.5. Δίνεται η συνάρτηση f () ημσυν ημ 4συν, όπου πραγματικός αριθμός. α) Να αποδείξετε ότι f (). ημ( 4 π ).

46 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η συνάρτηση f παίρνει τη μέγιστη τιμή και ποια είναι αυτή. γ) Να λύσετε την εξίσωση f () f (+ 4 π ) στο διάστημα [0,π] Να αποδείξετε ότι: 4(συν 6 α + ημ 6 α) + συν α Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: ημα+ ημ α i) σφα ii) συν α συνα συν α συνα ημ α+ ημα iii) +. συνα ημα συνα+ συνα ημα ημα σφ α Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: i) 4. ημα.ημ(60 0 +α).ημ(60 0 α) ημα ii) 4. συνα.συν(60 0 +α).συν(60 0 α) συνα iii) 4.ημ α.συνα + 4.συν α.ημα. ημ4α iv) συν α.συνα + ημ α.ημα συν α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η περίοδος της συνάρτησης f () ημ. συν είναι π. II. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f () (ημ συν) + (συν ημ) 5 είναι Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Αν π < α < π και ημα. συνα τότε Α. Β. Γ. 0 Δ. > 0 Ε. < 0 II. Αν ημα.συνα και y συν α ημ α τότε η παράσταση + y είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε. III. Αν για τη γωνία Â ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ημ A 0, τότε είναι: Α. Â 00 Β. Â 450 Γ. Â 600 Δ. Â 900 Ε. Â > εφ60 εφ0 IV. Αν, y τότε: 0 0 εφ 60 εφ 0 Α. y Β. y 0 Γ. > y Δ. y Ε. Δεν ορίζονται τα, y V. Αν για τις γωνίες Â και ˆB ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει συν A ημ B, τότε είναι: Α. Â > ˆB Β. Â < ˆB Γ. Â ˆB Δ. Â ˆB Ε. Â ˆB

47 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Πολυωνυμικές εξισώσεις Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές εξισώσεις H έννοια του μονωνύμου και του πολυωνύμου είναι γνωστή από το Γυμνάσιο, όπου γίνεται η εισαγωγή στον Αλγεβρικό λογισμό. Εδώ γίνεται περαιτέρω μελέτη αυτών καθώς και των πολυωνυμικών εξισώσεων. Αρχικά γίνεται ο ορισμός των πολυωνύμων, της ισότητας καθώς και των πράξεων μεταξύ αυτών. Στη συνέχεια παρουσιάζεται το θεώρημα διαιρετότητας καθώς και ο αλγόριθμος διαίρεσης πολυωνύμων. Έτσι, γίνεται φανερή η ομοιότητα που παρουσιάζεται μεταξύ ακεραίων αριθμών και πολυωνύμων. Η σημασία των ακεραίων για την κατασκευή και μελέτη των πραγματικών αριθμών είναι ανάλογη αυτής των πολυωνύμων για το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων. Η διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα άλλο πρώτου βαθμού παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον αφού γίνεται δυνατός ο υπολογισμός του υπολοίπου χωρίς την εκτέλεση της διαίρεσης. Ακόμα μία απλή παρατήρηση στις πράξεις που απαιτούνται για τον υπολογισμό της τιμής του πολυωνύμου, οδηγεί στο σχήμα του Horner, που δίνει τη δυνατότητα γρήγορης εκτέλεσης της διαίρεσης για την εύρεση του πηλίκου και του υπολοίπου. Οι πολυωνυμικές εξισώσεις είναι οι απλούστερες που υπάρχουν και μετά από τις πρωτοβάθμιες και δευτεροβάθμιες που έχουν μελετηθεί σε προηγούμενες τάξεις, παρουσιάζεται ένα θεώρημα για τον εντοπισμό ακεραίων ριζών σε πολυωνυμικές εξισώσεις που έχουν ακέραιους συντελεστές. Αξίζει να αναφέρουμε εδώ ότι μπορεί να έχει το πολύ τόσες πραγματικές ρίζες όσες είναι ο βαθμός της. Για τις εξισώσεις τρίτου και τέταρτου βαθμού έχει επινοηθεί τρόπος επίλυσής τους χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις πράξεις και ριζικά. Για εξισώσεις πέμπτου και μεγαλύτερου βαθμού έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει παρόμοιος τρόπος. Τέλος παρουσιάζονται εξισώσεις όπως ρητές ή άρρητες των οποίων η λύση ανάγεται σε λύση πολυωνυμικών εξισώσεων.