BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja"

Transcript

1 BETONSKE KONSTRUKCIJE I Predavanja Zagreb, 010. Igor Gukov

2 SADRŽAJ 1. UVOD...3. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Beton Računska čvrstoća betona Višeosno stanje naprezanja Deformacije betona Razred okoliša Čelik za armiranje OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE Klasifikacija djelovanja Vlastita težina Uporabna opterećenja zgrada Opterećenje snijegom Opterećenje vjetrom Toplinska djelovanja Potresno djelovanje Osnovni pojmovi Proračun seizmičkih sila Kombinacije opterećenja DIMENZIONIRANJE PREMA GRANIČNOM STANJU NOSIVOSTI Uvod Elementi naprezani na savijanje Jednostruko armirani pravokutni presjek Dvostruko armirani pravokutni presjek Dimenzioniranje T-presjeka na moment savijanja Minimalna armatura Maksimalna armatura Elementi naprezani uzdužnom silom Centrično tlačno naprezani elementi Centrično vlačno naprezani elementi Dimenzioniranje pravokutnih presjeka pomoću dijagrama interakcije Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentrični tlak Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentrični vlak Vlačna sila djeluje između armatura (mali ekscentricitet) Vlačna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscentricitet) Lokalna tlačna naprezanja Poprečna armatura u gredama Dimenzioniranje presjeka na moment torzije Proračun ploča na proboj Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom Približan proračun prema EC GRANIČNA STANJA UPORABLJIVOSTI Uvod Granično stanje naprezanja Granično stanje raspucavanja (kontrola pukotina) Granično stanje deformiranja (kontrola progiba) Proračun geometrijskih karakteristika pravokutnog poprečnog presjeka Proračun geometrijskih karakteristika nosača T-presjeka OBLIKOVANJE I KONSTRUIRANJE Pravila armiranja Zaštitni sloj betona Prionljivost betona i armature Sidrenje armature Nastavljanje armature LITERATURA...94

3 1. UVOD Iskustva u dobivanju betona vrlo su stara. Još su davno Azijati, Hebreji i Egipćani, a preko njih stari Grci i Rimljani, poznavali hidraulička svojstva mješavine pucolana, pržene gline i vapna. Hidraulička su veziva miješali s pijeskom i drobljenom opekom te na taj način izrađivali mort. Neke rimske građevine zidane takvim mortom, kao što je rimski Koloseum ili Pont du Gard kod Nimesa u južnoj Francuskoj, održale su se do danas jer je cementni mort još uvijek jak i čvrst. U ruševinama Pompeja neki mortovi, stari gotovo 000 godina, često su bolje očuvani od nekog kamena u zidu. Moderna znanstvena iskustva počinju godine, kad je Vicat otkrio uzroke hidrauličkih svojstava nekih vrsta veziva. Prvi portland-cement proizveo je 184. godine graditelj Joseph Aspdin iz Leedsa, ali on nije bio dovoljno pečen, pa je tek godine Isaac Johnson, pečenjem mješavine gline i vapnenca sve do nastajanja klinkera, uspio dobiti portland-cement sa svojstvima po kojima je i danas poznat. Sam naziv nastao je prema boji tog očvrslog cementa sličnoj boji vapnenca iz okolice Portlanda. Armirani beton kao građevni materijal pojavljuje se sredinom 19 stoljeća g. Francuz Lambot izradio je čamac od žičane mreže obložene mortom g. Francuz Monier patentirao izradu velikih betonskih lonaca. Kasnije je patentirao i rezervoare, cijevi montažne ploče i svodove. 189.g. Francuz Henebique izveo je novi tip rebrastih stropova i uveo u praksu armiranobetonske pilote. 198.g. Prednapeti beton 199.g. Montažne konstrukcije g. Metoda graničnih stanja Prednosti betona: o Nezapaljivost. Armirani beton po otpornosti prema požaru pripada povoljnijim građevinskim materijalima. Kako je poznato, čelik sam po sebi nije otporan na visoke temperature i jako se deformira. Beton je materijal otporan na djelovanje požara, na što osobito utječe vrsta upotrebljenog agregata. Najbolje vrste agregata prema požaru su od bazalta, diabaza, vapnenca i dolomita a posebno od šamota i zgure iz visokih peći. Za vrijeme požara voda ispari iz betona, što znatno povećava njegovu termičku otpornost. o Trajnost. Trajnost armiranobetonskih konstrukcija osigurana je velikim dijelom time što beton štiti armaturu od korozije i što mu se čvrstoća u tijeku vremena povećava. To sve vrijedi uz uvjet da je konstrukcija načinjena od kompaktnog betona. o Relativno mali troškovi održavanja. Troškovi održavanja armiranobetonskih konstrukcija vrlo su mali, kao uostalom i za građevine od kamena, za razliku od troškova održavanja čeličnih i drvenih konstrukcija. U pogledu higijene armiranobetonske su konstrukcije u prednosti pred drvenim i čeličnim zbog svoje monolitnosti, u kojoj nema šupljina za leglo parazita i skupljanje prašine. o Mogućnost izrade najraznovrsnijih oblika. Prilagodljivost armiranog betona svim potrebnim oblicima dopušta projektantu da zadovolji najrazličitije zahtjeve konstrukcijske, izvođačke ili arhitektonske prirode. o Relativno visoka tlačna čvrstoća. o Beton dobiva na kvaliteti što je stariji. Mane betona: o znatna vlastita težina o velika provodljivost topline i zvuka o niska vlačna čvrstoća 3

4 o o o o o o o o o o teško naknadno provjeravanje armature potrebna je stručna radna snaga otežani radovi kod niskih i visokih temperatura. Ne bi trebalo betonirati kada je temperatura niža od +5 C. Kod visokih temperatura (>30 C) voda naglo hlapi iz betona. otežana naknadna adaptacija ili pojačanje gotove konstrukcije korozija armature u betonu dimenzionalna nestabilnost izazvana puzanjem i skupljanjem betona poroznost osjetljivost na mraz mogućnost pojave pukotina koje ne narušavaju sigurnost i trajnost kada su ograničene širine, ali ipak kvare vanjski izgled. beton izložen duže vrijeme visokim temperaturama (>50 C) naglo gubi čvrstoću i prionljivost s čelikom, a osobito ako se prilikom gašenja požara polijeva vodom, kad zbog naglog hlađenja još više raspucava. Iako je lista mana betona veća od liste prednosti, prednosti su ipak veće pa je beton danas jedan od najraširenijih gradiva. Armirani beton je kombinacija dvaju po mehaničkim karakteristikama različitih materijala, betona i čelika, koji zajednički sudjeluju u nošenju kao jedna monolitna cjelina. Beton kao i svaki kamen, ima znatno manju vlačnu nego tlačnu čvrstoću. Ako se promatra prosta greda od betona naprezana savijanjem, iznad neutralne osi vlada tlak, a ispod nje vlak. Dimenzije poprečnog presjeka grede moraju se određivati iz nosivosti betona na vlak, dok će tlačna čvrstoća biti neiskorištena. Greda je zbog toga teška i neekonomična. Da bi joj se smanjile dimenzije poprečnog presjeka, u vlačnu zonu presjeka treba ugraditi takav materijal koji dobro prenosi vlačna naprezanja. A takvo svojstvo ima upravo čelik. Kod računanja nosivosti grede naprezane savijanjem uvijek se pretpostavlja da je beton pukao do neutralne osi i da ne sudjeluje u prijenosu vlačnih naprezanja. Kombinacijom betona i čelika u obliku armiranog betona postiže se dobro iskorištavanje oba materijala, pri čemu beton u prvom redu prima tlačna, a čelik vlačna naprezanja. L M DIJAGRAM Slika 1.1 Armiranobetonska greda u kojoj je beton naprezan na tlak, a čelik na vlak. Efikasno sudjelovanje tih dvaju različitih gradiva omogućeno je iz slijedećih razloga: o beton ima svojstvo da u tijeku svog stvrdnjavanja čvrsto prianja uz čelik, tako da pri djelovanju vanjskih sila oba materijala nose zajednički, tj. susjedne čestice betona i čelika imaju jednake deformacije. Pri tome čelik, kao materijal s većim modulom elastičnosti, prima 4

5 o o na jedinicu površine presjeka veći dio sile nego beton. Prianjanje betona i čelika glavni je faktor njihova zajedničkog sudjelovanja u nošenju; beton i čelik imaju približno jednake temperaturne koeficijente; betonu, ovisno o agregatu, temperaturni je koeficijent α T,c = 1,4 * ,7 * 10-5, a čeliku α T,s = 1, * 10-5, zbog čega u kombiniranom gradivu dolazi do neznatnog unutrašnjeg naprezanja pri temperaturnim promjenama beton štiti čelik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazičnog karaktera kemijskih reakcija i obilnog lučenja Ca (OH). Europske norme Eurocode svrstane su u slijedeće knjige: EC Europske norme Hrvatske prednorme Opis EC0 EN 1990 HRN ENV Osnove proračuna EC1 EN 1991 HRN ENV 1991 Opterećenja (djelovanja) EC EN 199 HRN ENV 199 Betonske konstrukcije EC3 EN 1993 HRN ENV 1993 Čelične konstrukcije EC4 EN 1994 HRN ENV 1994 Spregnute konstrukcije EC5 EN 1995 HRN ENV 1995 Drvene konstrukcije EC6 EN 1996 HRN ENV 1996 Zidane konstrukcije EC7 EN 1997 HRN ENV 1997 Geomehanika EC8 EN 1998 HRN ENV 1998 Seizmika EC9 EN 1999 HRN ENV 1999 Aluminijske konstrukcije Tablica 1.1 Europske norme. Oznake prema EC: Q Promjenljivo djelovanje G Stalno djelovanje d Statička visina presjeka h Ukupna visina presjeka f t Vlačna čvrstoća čelika f y Granica popuštanja čelika E c Modul elastičnosti betona E s Modul elastičnosti čelika f ck Karakteristična čvrstoća betona (valjak) f ck,cube Karakteristična čvrstoća betona (kocka) f pk Karakteristična čvrstoća čelika za prednapinjanje f p0.1,k Karakteristična granica naprezanja čelika za prednapinjanje f cd Računska čvrstoća betona f yd Računska čvrstoća čelika ξ Koeficijent položaja neutralne osi ζ Koeficijent kraka unutrašnjih sila A s1 Površina vlačne armature A s Površina tlačne armature α v Koeficijent punoće k a Koeficijent položaja tlačne sile S d Računska vrijednost utjecaja R d Računska nosivost presjeka M Sd Računski moment savijanja M Rd Računski moment nosivosti F c Tlačna sila u betonu Vlačna sila u armaturi F s1 5

6 F s N Sd N Rd ε c ε s ε p s w A k u k A s1 σ c σ s b w b eff h f μ sd ν sd ρ ω V sd V Rd τ Rd T sd T Rd w k V Rd1 A sw ρ w s rm σ po σ pm,o σ p c l b l b,net f bd l s d 1 d l n Tlačna sila u armaturi Računska uzdužna sila Računska uzdužna sila nosivosti Deformacija betona Deformacija čelika Deformacija čelika za prednapinjanje Razmak spona Površina unutar srednje konture (torzija) Opseg srednje konture (torzija) Površina svih uzdužnih šipki (torzija) Naprezanje u betonu Naprezanje u armaturi Širina hrpta I i T presjeka Sudjelujuća širina grede Debljina ploče T presjeka Bezdimenzijska veličina za moment Bezdimenzijska veličina za uzdužnu silu Koeficijent armiranja Mehanički koeficijent armiranja Računska poprečna sila Računska nosivost na poprečne sile Računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanja Računski moment torzije Računska nosivost na torziju Računska širina pukotina Nosivost neraspucalog elementa na poprečne sile Površina poprečne armature (spona) Koeficijent armiranja poprečnom armaturom Srednji razmak pukotina Naprezanje u prednapetoj armaturi prije gubitaka i padova Naprezanje u prednapetoj armaturi poslije gubitaka Naprezanje u prednapetoj armaturi Zaštitni sloj betona Dužina sidrenja Iskorištena dužina sidrenja Računska čvrstoća prionljivosti Dužina nastavka Udaljenost težišta vlačne armature od vlačnog ruba Udaljenost težišta tlačne armature od tlačnog ruba Svijetli raspon. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Svojstva materijala koriste se za određivanje otpornosti (nosivosti) elemenata i konstrukcija. Određuju se ispitivanjem u skladu s EC, odnosno ENV 06 (Europäische Vornorm). 6

7 .1. Beton Beton je građevinski materijal izrađen miješanjem veziva (cement), vode i agregata (pijesak, šljunak drobljenac). Osim tih obaveznih komponenti u sastav betona mogu ulaziti i dodaci (aditivi) koji mu daju posebna svojstva (zaptivači, aeranti, plastifikatori, regulatori vezivanja, sredstva protiv mraza...) U skladu sa ENV 06, beton koji se predviđa za sustave od betona, armiranog i prednapetog betona, treba biti načinjen od agregata, cementa, vode i dodataka u omjeru koji će osigurati dobru obradivost i svojstva koja ne smiju biti ispod vrijednosti danih tim propisima. Za gustoću nearmiranog betona uzima se ρ = 400 kg/m 3, a armiranog ρ = 500 kg/m Zapreminsa težina AB (kn/m3) 4.50 Armatura (kg/m3) Slika.1 Utjecaj količine armature na zapreminsku težinu armiranog betona. Zapreminska težina armiranog betona ovisi o količini armature. Neki elementi mogu imati veliki postotak armiranja uzdužnom i poprečnom armaturom, a time i veću zapreminsku težinu. Ako pretpostavimo zapreminsku težinu nearmiranog betona 4.0 kn/m 3 može se koristiti slijedeći izraz za izračun zapreminske težine armiranog betona: Zapreminska težina AB=4+A s,uk *0.007 U gornji izraz potrebno je upisati A s,uk u kg/m 3 da bi dobili zapreminsku težinu u kn/m 3. Npr. za 143 kg/m 3 proizlazi zapreminska težina AB od 5.0 kn/m 3. Npr. za 86 kg/m 3 proizlazi zapreminska težina AB od 6.0 kn/m 3. Glavne mehaničke karakteristike betona jesu njegove čvrstoće (tlačna, vlačna i posmična) i deformabilnost. Deformabilnost materijala je njegovo svojstvo da se elastično i plastično deformira do trenutka razaranja. Na ova mehanička svojstva betona utječe veliki broj čimbenika, od kojih su najvažniji: kakvoća cementa, kakvoća i granulometrijski sastav ispune, vodocementni faktor, konstrukcija smjese betona, prirodne primjese u ispuni i vodi, te posebni dodaci cementu ili betonskoj smjesi da bi se postigla posebna svojstva, način pripreme i ugradnje betona u konstrukciju i njega betona. Karakteristična tlačna čvrstoća (klasa betona) određuje se na osnovi računa vjerojatnosti i statistike korištenjem rezultata ispitivanja probnih uzoraka u obliku valjka dimenzija 150/300 mm, starih 8 7

8 dana. Zahtijeva se da najmanje 95% svih rezultata pokaže čvrstoću veću ili jednaku propisanoj klasi betona, odnosno da najviše 5% rezultata može biti manje čvrstoće od određene klase betona (5% fraktil). Pretpostavka je da će statistička raspodjela rezultata ispitivanja tlačne čvrstoće slijediti lognormalnu (Gaussovu) krivulju (Slika.). Ucestalost p=5% σ σ f ck 1.64 σ f cm Cvrstoca f c Slika. Gaussova (lognormalna) krivulja raspodjele rezultata ispitivanja tlačne čvrstoće betona. Sva pravila i formule za konstruiranje i dimenzioniranje, prema Eurokodu, osnivaju se na karakterističnoj čvrstoći dobivenoj preko valjaka f ck,cyl ili skraćeno f ck. Međutim, kako neke zemlje određuju karakterističnu čvrstoću betona preko rezultata dobivenih ispitivanjem kocki stranice 00 mm f ck,cube, to se daje tablica za pretvorbu ovih čvrstoća. Ako je potrebno poznavati srednju tlačnu čvrstoću betona, ona se može približno odrediti po izrazu: f cm = f ck + 8 (N/mm ) (.1) Razredi betona C1/15 C16/0 C0/5 C5/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 f ck (N/mm ) f ck,cube f cm Tablica.1 Razredi betona. Čvrstoća betona starosti do 1000 dana u odnosu na konačnu f c može se približno odrediti korištenjem dijagrama. Slika.3 Promjena čvrstoće betona starenjem. Idealizirani radni dijagram naprezanje deformacija za beton, predložen Eurokodom za analizu armiranobetonskih i prednapetih sustava po nelinearnoj teoriji, teoriji plastičnosti ili za proračun po teoriji drugog reda za kratkotrajno opterećenje prikazan je na slici.4. 8

9 σc f c 0.4f c α =arctge 1 cm ε c1 ε cu εc Slika.4 Idealizirani dijagram σ - ε za beton. Funkcija dijagrama na slici.4. u intervalu 0 ε c ε cu dana je u obliku: fc( k η η ) σ c = (.) 1 + ( k ) η f c - tlačna čvrstoća betona za koju se uzima da je jednaka računskoj čvrstoći (f c = f cd = f ck /γ c ) η = ε c /ε c1 - odnos deformacije betona prema ε c1 ε c1 - odgovarajuća deformacija maksimalnoj vrijednosti naprezanja f c, obično se uzima ε c1 = 0.00 (ε c < 0 ako je naprezanje tlačno) k = 1.1 E c ε c1 /f c (.3) E cm - sekantni ili statički modul elastičnosti betona E cm ( f ) 1 3 = (.4) ck Na slici.5 vrijednost f ck predstavlja karakterističnu tlačnu čvrstoću betona dobivenu ispitivanjem valjka, a f cd =f ck /γ c predstavlja računsku čvrstoću betona. Koeficijentom α=0.85 uzima se u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog opterećenja te drugih nepovoljnih čimbenika na čvrstoću betona. Eurocode predlaže dva računska dijagrama betona. Prvi je oblika pravokutnik plus parabola i drugi oblika pravokutnika. Oba dijagrama imaju graničnu deformaciju ε cu =-3.5. Kod centričkog tlaka granična deformacija ne smije prelaziti -.0. σc Radni dijagram Racunski dijagram Racunski dijagram f ck σ c α=0,85 f cd=fck/γ c σc α=0,95 0,85 0.4f ck α fcd α fcd α 1 =arctge cm ε c1 ε cu εc - -3,5 εc -0,7-3,5 εc Slika.5 Radni i računski dijagrami betona. Vlačna čvrstoća betona definirana je prema obliku uzorka i metodi ispitivanja na vlak. Tako se razlikuje: f ct,ax - vlačna čvrstoća dobivena ispitivanjem uzorka na središnji vlak 9

10 f ct,sp - vlačna čvrstoća dobivena cijepanjem f ct,fl - vlačna čvrstoća dobivena savijanjem uzorka. Kako se za proračun koristi f ct,ax, to su izrazi za pretvorbu: f ct,ax = 0.9 f ct,sp f ct,ax = 0.5 f ct,fl. Budući da vlačna čvrstoća u pravilu jako varira za neku klasu betona, a može biti značajna u analizi sigurnosti i trajnosti, uvodi se srednja vrijednost za vlačnu čvrstoću između donje granice za karakterističnu vlačnu čvrstoću f ctk,0.05 i gornje granice f ctk,0.95, odnosno one s 5%-tnim i druge s 95%-tnim fraktilom. Ovisno o klasi betona, vlačne čvrstoće su dane u tablici. u N/mm. Klasa betona C1/15 C16/0 C0/5 C5/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 f ct,m f ctk, 0, f ctk, 0, Tablica. Vlačne čvrstoće betona. Također daju se približni izrazi za procjenu srednje vlačne čvrstoće te karakterističnih: f ct,m = 0.30 f /3 ck (.5) f ctk, 0.05 = 0.70 f ct,m (.6) f ctk, 0.95 = 1.3 f ct,m (.7) Donja granična vrijednost za vlačnu čvrstoću f ctk,0.05 predstavlja veličinu koju će imati ili čak premašiti 95% rezultata ispitivanja, a samo će 5% biti ispod nje. Gornja granična vrijednost za vlačnu čvrstoću f ctk,0.95, predstavlja veličinu koju će premašiti samo 5% rezultata, a 95% će dati vrijednost jednaku ili manju od nje. Kada se određuje deformacija betona pod opterećenjem, koristi se sekantni modul elastičnosti između naprezanja σ c = 0 i σ c = 0.4 f ck, a označuje se za beton normalne gustoće kao E cm. Ako nema točnijeg podatka za sekantni modul elastičnosti betona, dopušta se približni izraz za njegovo prognoziranje: E = f + 8 (N/mm ). (.8) cm ck Vrijednosti dobivene pomoću izraza zaokružene su i svrstane u tablicu. Razred betona C1/15 C16/0 C0/5 C5/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 E cm (N/mm ) Tablica.3 Moduli elastičnosti betona. Koeficijent poprečne deformacije bira se između 0 i 0.. Kada je utjecaj poprečne deformacije znatan, uzima se μ c = 0.. Za naponsko stanje II. (pojava pukotina u vlačnoj zoni) može se uzeti μ c = 0. Za temperaturni koeficijent predlaže se vrijednost α T,c = 10-5 K

11 .1.1 Računska čvrstoća betona Za dimenzioniranje prema graničnim stanjima nosivosti potrebno je poznavati računsku čvrstoću betona. Prema Eurocodeu računska čvrstoća se dobije tako da se tlačna čvrstoća dobivena ispitivanjem valjaka podijeli s koeficijentom sigurnosti za materijale γ M =γ c =1.5, koja se još reducira koeficijentom α = 0.85 ili α = 0.80 zbog nepovoljnih učinaka dugotrajnog opterećenja i dinamičkog djelovanja te zbog razlike između čvrstoće betona u konstrukciji i one probnih tijela. Računska tlačna čvrstoća betona iznosi: α f cd =α f ck /γ c =0.85 f ck /1.5 (.9) cd Parabola: ( 4 ) Slika.6 Računski dijagram betona oblika parabola + pravokutnik. α f σ c = εc εc za 0 ε c 4 Pravac: σ c = α fcd za ε c Višeosno stanje naprezanja Deformacije i čvrstoće betona razlikuju se ovisno o tome je li to jednoosno ili višeosno stanje naprezanja. Prema rezultatima ispitivanja u stanju troosnog tlačnog naprezanja prema radovima Richarta, Balmera, Brandtzaega i Browna dolazi do velikog porasta čvrstoće i deformacije betona. Za isti razred betona deformacija je porasla za 0 puta na 60, a tlačna čvrstoća je i 6 puta veća. Kod višeosnog stanja naprezanja pojavljuju se velike plastične deformacije pred slom betona, koje rastu i bez prirasta opterećenja. Slika.7 Radni dijagrami betona kod višeosnog tlačnog naprezanja prema Richartu. 11

12 Beton je materijal s izrazito nehomogenom strukturom, a osim toga protkan je porama s mjestimičnim nalazištima krupnijih šupljina. U očvrslome cementnom tijestu, a naročito na spoju s agregatom, ima mikropukotina i prije nego je beton opterećen. Zbog tih razloga uobičajene teorije čvrstoća mogu se na beton primjenjivati samo s izvjesnom aproksimacijom. Richard, Brandtzaeg i Brown na osnovi eksperimenata postavljaju izraz za tlačnu čvrstoću betona: f cc =f ck +4.1 f l gdje su: f cc - tlačna čvrstoća betona pri troosnom tlaku f ck - tlačna čvrstoća betona pri jednoosnom tlaku (razred betona) f l - bočni tlak. Taj efekt povećane nosivosti u smjeru glavnog naprezanja pri troosnom tlaku primjenjuje se kod ovijenih stupova..1.3 Deformacije betona Za potrebe proračuna konstrukcije u stadiju eksploatacije i u stadiju granične ravnoteže, potrebno je poznavati dvije najvažnije karakteristike betona kao materijala za konstrukcije. Prva je naprijed opisana čvrstoća betona, a druga je njegova sposobnost deformiranja. Deformacije betona mogu se podijeliti u dvije vrste: 1. Volumenske deformacije - tj. one koje nisu vezane s djelovanjem vanjskog opterećenja već su uvjetovane bitnim svojstvima betona da mijenja svoj volumen zbog promjene temperature okoliša ili pod utjecajem skupljanja, odnosno bujanja betona.. Deformacije od djelovanja vanjskog opterećenja. Ovisno o karakteru djelovanja opterećenja te deformacije mogu biti: deformacije pod kratkotrajnim opterećenjem, deformacije pod dugotrajnim opterećenjem (vremenske deformacije), deformacije pod ponavljanim opterećenjem. Slika.8 Razvoj deformacija betona s vremenom uz konstantno opterećenje i nakon rasterećenja. Za proračun viskoznih deformacija koristi se koeficijent puzanja ϕ(t,t o ) i vrijednost skupljanja ε cs. Puzanje betona je dugotrajna deformacija koja ovisi o opterećenju a skupljanje betona je dugotrajna deformacija neovisna o opterećenju Deformacije betona zbog promjene temperature Beton kao i svaki drugi materijali dobiva volumenske deformacije prilikom promjene temperature okoliša. Deformacija betona od promjene temperature: ε= ΔL/L=α t Δt; ΔL=α t Δt L (.10) 1

13 Koeficijent linearnog rastezanja za sve vrste betona (α t,c ) iznosi: α t,c = 1.0x10-5 K -1 Koeficijent linearnog rastezanja čelika (α t,s ) za 0 <T<100 C iznosi: α t,s = 1.x10-5 K -1 Okolnost da je α t,c α t,c od velikog je značaja za zajednički rad betona i čelika u armiranobetonskim konstrukcijama Deformacije od puzanja betona U proračunu AB konstrukcija za granično stanje uporabljivosti (progibi i pukotine), i u proračunima prednapetih konstrukcija (padovi sile prednapinjanja) potrebno je poznavati ne samo konačne koeficijente puzanja i skupljanja nego i njihove vrijednosti u raznim vremenskim intervalima. Ovaj problem je posebno značajan u proračunu mostova, gdje je u proračunu nadvišenja konstrukcije tijekom građenja potrebno što točnije odrediti sve parametre za proračun progiba, jer u tim slučajevima ne postoji strana sigurnosti. Beton ima svojstvo plastičnosti i puže pod dugotrajnim naprezanjem. Puzanje betona posljedica je kretanja slobodne i apsorbirane vode u betonu i ovisno je o većem broju faktora: vlažnost zraka, srednji polumjer, trenutak nanošenja opterećenja, klasa betona, srednja temperatura, konzistencija betona (v/c-faktor), klasa cementa, količina cementnog tijesta, tip opterećenja (vlak, tlak, savijanje), postotak armiranja, granulometrijski sastav agregata i tip agregata a koji više ili manje utječu na vremensku promjenu koeficijenta puzanja. Plastične deformacije betona uvjetovane su postojanjem cementnog tijesta (cement+voda), dok kamena ispuna (agregat) i armatura nemaju svojstvo puzanja pod naprezanjem već smanjuju tu pojavu. Nakon ishlapljivanja slobodne vode u betonu u nastale šupljine procuruje apsorbirana voda što uvjetuje nastavak puzanja betona. Kako se apsorbirana voda vremenom gubi i razvija kristalna rešetka puzanje betona postaje sve manje. Srednji polumjer presjeka h m predstavlja odnos površine poprečnog presjeka A c i njegova poluopsega u/ u dodiru sa zrakom. A h c m = -srednji polumjer presjeka (mm) (.11) u Poprečni presjek srednji polumjer h m = A c u b h b h = b+ h b+ h ( ) h = h h π h = 4 h π h π t = t h π 13

14 h π t = t h π b h0 + h bw h0 b b+ h w bt ht + bb hb + bw hi b + h+ α b + h ( ) t i i i Slika.9 Proračun srednjeg polumjera. Kod proračuna unutarnjeg opseg za sandučasti poprečni presjek, koeficijent α i ovisi o izloženosti te površine sušenju. Prema nekim autorima može se uzeti α i = 1 za vrijeme izvedbe i α i = 0.5za vrijeme nakon završetka izgradnje. Zbog velikog broja parametar o kojima ovisi koeficijent puzanja, EC ne daju odnose ϕ(t,to)/ϕ(,to), već se aneksom propisa daju izrazi za prognozu skupljanja i puzanja u vrijeme "t" u funkciji gore navedenih čimbenika. Koeficijent puzanja dobiva se preko izraza: ϕ( tt, 0) = ϕ0 βc ( t t0) (.1) gdje je: ϕ0 = ϕrh β ( fcm ) β ( t0) -osnovna vrijednost za koeficijent puzanja (.13) t - starost betona u danima u trenutku promatranja t 0 - starost betona u danima u trenutku početka djelovanja opterećenja 1 RH /100 ϕrh = 1+ koeficijent koji uzima u obzir relativnu vlažnost zraka (.14) 0.1 h β ( fcm ) = koeficijent koji uzima u obzir utjecaj čvrstoće betona (.15) f cm 0.3 t t β 0 C ( t t0 ) = (.16) βh t t + o 1 β ( t0 ) = 0. (.17) 0.1+ t0 A h c m = srednji polumjer presjeka (mm) u RH - relativna vlažnost okoliša u % ( 0.01 ) 18 β H = + RH h koeficijent ovisan o relativnoj vlazi i h 0 (.18) t-t 0 vrijeme djelovanja opterećenja f cm =f ck +8 u (N/mm²) srednja tlačna čvrstoća betona starog 8 dana (N/mm ) 14

15 Koeficijent varijacije puzanja dobivenog preko ovih formula iznosi oko 0 %. Uz uvjet da su zadovoljeni uvjeti da napon u betonu ne prelazi vrijednost σ c =0.45 f, ck srednja temperatura zraka nalazi se između + 10 o C i + 0 o C (povremeno između - 0 o C i + 40 o C), kolebanje vlažnosti zraka je između 0% i 100% i konzistencija betona je plastična, konačni koeficijent puzanja se može uzeti iz tablice.4. Starost Srednji polumjer presjeka hm = Ac/u (mm) betona u vrijeme opterećenj a to u danima Okolina elementa suha, unutar prostorije vlažnost 50% vlažna, na otvorenom vlažnost 80% Tablica.4 Konačni koeficijent puzanja ϕ(, t o ). Vrijednosti u tablicama potrebno je modificirati koeficijentom: kada je beton krute konzistencije kada je beton tekuće konzistencije. Puzanje betona može se u proračunu obuhvatiti preko modificiranog modula elastičnosti: E c,eff = E cm /(1+ϕ (t,to)) (.19) αe,eff = Es/Ec,eff - odnos modula elastičnosti. (.0) gdje je: Ecm - sekantni modul elastičnosti ϕ (t,to) - koeficijent puzanja betona Deformacije od skupljanja i bujanja betona Cementno tijesto a time i beton mijenjaju svoj volumen u vremenu vezivanja i stvrdnjavanja. Cementno tijesto koje se stvrdnjava na zraku smanjuje volumen, tj. ono se skuplja, a pod vodom ili u sredini zasićenoj vodenom parom ono povećava volumen, tj. buja. Po svom karakteru skupljanje i bujanje pretežito su viskoplasticne deformacije, što znači da su u funkciji vremena i da su te deformacije uglavnom nepovratne, odnosno plastične. Stvrdnjavanje betona na zraku omogućuje trenutno skupljanje, koje je, opet, u funkciji vlažnosti. Manja ga relativna vlaga zraka ubrzava, a zrak zasićen vlagom usporava skupljanje. Beton potopljen pod vodom ima suprotnu pojavu, bujanje. Prethodno bujanje betona potopljenoga u j vodi ne sprečava njegovo naglo skupljanje kad je nakon toga izložen sušenju na zraku. Na skupljanje utječe vodocementni faktor. Ako je više vode u betonu, odnosno veći v/c-faktor, bit će i skupljanje veće. Sadržaj vode u betonu utječe na skupljanje utoliko što on smanjuje sadržaj agregata, koji inače smanjuje skupljanje. Skupljanje betona ovisi o količini cementnog tijesta u betonu jer se ono dvaput više skuplja od betona. Betoni diskontinuiranoga granulometrijskog sastava i oni s granulometrijskim sastavom koji sadržava izrazito krupni agregat manje se skupljaju. 15

16 Skupljanje betona ovisi o dimenzijama elementa. Utjecaj tog čimbenika izražava se pomoću "srednjeg polumjera (fiktivna debljina) presjeka" h m koji je odnos površine poprečnog presjeka i njegova poluopsega (h m = A c /u). Slika.10 Skupljanje betona iste vrste u prizmama raznih dimenzija. Vrijednost koeficijenta skupljanja u određenom vremenskom intervalu prema EC: εcs ( tt, s ) = εcs0 βs ( t ts ) (.1) gdje je: εcs0 = εs( fcm) βrh - osnovna vrijednost koeficijenata skupljanja (.) Koeficijent koji opisuje vremensku promjenu skupljanja: 0.5 t t β s s( t ts) = (.3) 0.035h0 t t + s t - starost betona u danima u trenutku promatranja t s - starost betona u danima u trenutku kad se počinje promatrati skupljanje 6 εs( fcm) = 160 βsc ( 90 fcm) 10 + (.4) t-t s stvarno trajanje skupljanja u danima. f cm =f ck +8 u (N/mm²) srednja tlačna čvrstoća betona starog 8 dana (N/mm ) 1.55 βsrh za relativnu vlažnost 40% RH 99% (na otvorenom) βrh = za relativnu vlažnost RH 99% (u vodi) 3 RH βsrh = 1 - koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj vlažnosti zraka na osnovno skupljanje za polaganostvrdnjavajućicement β sc = 5 za normalnoilibrzo stvrdnjavajućicement 8 za brzo stvrdnjavajući viskokvrijedni cement Konačne vrijednosti skupljanja betona treba povećati za 15% kad je konzistencija svježe betonske mase žitka, odnosno smanjiti za 15% kad je konzistencija kruta. Okolina elementa Vlažnost (%) Srednji polumjer presjeka h m = A c /u (mm) suha, unutrašnjost prostorije

17 vlažna, na otvorenom Tablica.5 Vrijednost skupljanja ε cs (u %o) Deformacije betona zbog ponavljanog opterećenja Opterećenje elemenata može biti jednokratno ili višekratno (ponavljano opterećenje). Pri jednokratnom kratkotrajnom naprezanju elementa pojavljuju se primarne deformacije, pretežito elastične i manjim dijelom plastične. Slika.11 Dijagram σ c -ε c pri ponavljanom opterećenju i rasterećenju..1.4 Razred okoliša Beton u eksploataciji može biti izložen različitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su minimalni tehnološki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristične tlačne čvrstoće, minimalnog zaštitnog sloja, vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati razred betona. Razred Opis okoliša Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti Najmanji razred tlačne čvrstoće betona 1. Nema rizika od oštećenja X0 Bez rizika djelovanja Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi) C 0/5 15. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka (uključujući kuhinje, XC1 Suho ili trajno vlažno kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u C 0/5 0 vodu XC Vlažno, rijetko suho Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja C 30/37 35 XC3 Umjerena vlažnost Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlažnosti (npr. Javne C 30/37 35 kuhinje, kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih bazena za kupanje, ) XC4 Cikličko vlažno I suho Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši; elementi u području vlaženja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke, C 30/ Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1 Suho ili trajno vlažno Područja prskanja vode s prometnih površina; privatne garaže C 30/37 55 XD Vlažno, rijetko suho Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom; elementi izloženi industrijskim vodama koji sadrže kloride C 30/37 55 XD3 Cikličko vlažno i suho Elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja C 35/ Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora Izloženi soli iz zraka, ali XS1 ne u direktnom dodiru s Vanjski elementi u blizini obale C 30/37 55 morskom vodom XS Uronjeno Stalno uronjeni elementi u lukama C 35/45 55 XS3 U zonama plime i prskanja vode Zidovi lukobrana i molova C 35/45 55 Umjereno zasićeno vodom XF1 bez sredstava za Vanjski elementi C 30/37 - odleđivanje XF Umjereno zasićeno vodom Područja prskanja vode s prometnih površina, sa sredstvom za odleđivanje (ali C 5/30 - Minim. Zaštitni sloj cmin (mm) 17

18 XF3 XF4 XA1 XA XA3 XM1 XM XM3 sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda Jako zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje Jako zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda Slabo kemijski agresivan okoliš Umjereno kem. agresivan okoliš; konstrukcije u marinama Jako kemijski agresivan okoliš Umjereno habanje Znatno habanje Ekstremno habanje.. Čelik za armiranje drukčije od onog kod XF4); područje prskanja morskom vodom Otvoreni spremnici za vodu; elementi u području kvašenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke) Prometne površine tretirane sredstvima za odleđivanje; pretežno vodoravni elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja); elementi u području morske plime; mjesta na kojima može doći do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekućih umjetnih gnojiva C 30/37 - C 30/37 - C 30/37 - Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu C 35/45 - Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silažu i korita (žlijebovi) za hranjenje životinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvođenje dimnih plinova Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu vozila s pneumatskim gumama na kotačima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotačima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); površine izložene prometu gusjeničara C 35/45 - Tablica.6 Razredi izloženosti i minimalne vrijednosti razreda betona i zaštitnih slojeva. C 30/37 5 C 30/37 45 C 35/45 50 Za armiranje betonskih konstrukcija rabe se čelici pod nazivom betonski čelik ili čelik za armiranje. Betonski čelik dijeli se prema: profilu, na žice φ 1 mm i šipke φ > 1 mm; mehaničkim karakteristikama (granica popuštanja, vlačna čvrstoća i rastezljivost pri slomu probnog uzorka na dijelu njegove dužine 10φ), na visoko i normalno duktilne čelike; zavarljivosti, na nezavarljiv, zavarljiv pod određenim uvjetima i zavarljiv; površinskoj obradi pri izvlačenju, na glatki i rebrasti, uključujući i zavarene mreže; vrsti obrade, na toplo valjan, toplo valjan i hladno obrađen i termički poboljšan čelik. Proizvođač čelika za armiranje garantira ove mehaničke karakteristike: karakterističnu čvrstoću pri kidanju (vlačna čvrstoća) (f tk ); karakterističnu granicu popuštanja (f yk ); rastezljivost poslije kidanja na dužini od 10φ (δ); sposobnost savijanja i povratnog savijanja šipke oko trna određenog promjera s određenim kutom savijanja bez pukotina šipke u vlačnom i tlačnom pojasu; karakterističnu dinamičku čvrstoću (granicu zamora). Dokaz svih nabrojenih mehaničkih svojstava armature obavlja se prema standardima ispitivanja čelika za armiranje. Jedan od glavnih uvjeta armiranobetonskih konstrukcija je potpuno sprezanje između betona i čelika, što znači da ne smije nastupiti klizanje armature u betonu. Pri malim posmičnim naprezanjima između armature i betona zadovoljava glatki okrugli presjek. S izradom kvalitetnijeg čelika rasla je sila u armaturi, pa je sve više prijetila opasnost da se čelik odijeli od betona. Sprečavanje klizanja postiže se upotrebom rebrastih ili sukanih profila te sukano rebrastih profila. Rebrasti čelici imaju znatno bolju prionljivost od glatkih čelika pa dopuštaju upotrebu većih naprezanja s tim da se mogu očekivati pravilno raspoređene pukotine u betonu manjih širina. Od čelika za armiranje zahtijeva se i velika rastezljivost, tj. veliko relativno produljenje prije sloma. Ona je potrebna u prvom redu radi izravnavanja naprezanja u pojedinim šipkama armature na mjestu pukotina. Svojstvo velike rastezljivosti poželjno je i za nekontrolirano preopterećenje konstrukcije, 18

19 kad velika rastezanja armature izazivaju u betonu široke pukotine i upućuju na opasnost od sloma. S druge strane, potrebna je velika rastezljivost pri hladnoj izradi kuka i ogiba. Čelične šipke male rastezljivosti moraju se savijati u užarenom stanju, što znatno otežava rad, a kod nekih vrsta čelika time se kvare ili mijenjaju njegova svojstva (hladno obrađeni čelik). Čelik koji se rabi za armaturu dobavlja se u šipkama, kolutovima i mrežama raznih oblika i presjeka, raznih duljina, a i raznih kvaliteta. Na slici.1 prikazano je nekoliko oblika armatura koje se upotrebljavaju u armiranom betonu: Glatka armatura je od prirodnog čelika B40, B0 (GA 40/360). Rebrasta armatura je od visokovrijednoga prirodno tvrdog čelika dobivenoga prikladnim legiranjem B400, B500 (RA 400/500, RA 500/550). Sukani profili su hladno obrađeni čelici. Mrežasta armatura je također od hladno obrađenih glatkih i rebrastih žica koje se zavaruju točkasto elektrootporom u krutu mrežu MAG 500/560 i MAR 500/560. Bi-armatura sastoji se od dvije hladno obrađene žice međusobno spojene poprečnim šipkama od prirodnog čelika i zavarene. Nije dopuštena za dinamičko opterećene konstrukcije i konstrukcije koje moraju biti nepropusne za vodu B680 (BiA- 680/800). Slika.1 Oblici armature. Kod nas se je do sada upotrebljavala GA 40/360, rebrasta RA 400/500 i RA 500/550 te mrežasta armatura MAG 500/560. Rebrasta armatura isporučuje se u snopovima ravnih šipaka duljine od 1 do iznimno 14m, a po narudžbi kupaca profili od 8, 10, 1 i 14 mm u kolutovima duljine do 50 m. Radni dijagram naprezanje-deformacija za meki čelik (sl..13), vrijednost f tk znači karakterističnu vlačnu čvrstoću čelika, a f yk karakterističnu granicu popuštanja koja odgovara naprezanju za koje je nepovratna deformacija 0.%. 19

20 σs f t f y Radni dijagram Racunski dijagram Racunski dijagram σs σs f tk f td f yk f yd f yd α =arctge s α =arctge s α =arctge s ε y ε u ε s ε yd ε yk ε uk =10,0% εs εyd 0,0% εs Slika.13 Radni i računski dijagrami armature. Eurokodom, odnosno EN 10080, zahtijeva se: - za čelik visoke duktilnosti da je ε uk 5%, (f t /f y ) k 1.08, - za čelik normalne duktilnosti da bude ε uk.5%, (f t /f y ) k Za modul elastičnosti predlaže se stalna veličina E s = N/mm, a za temperaturni koeficijent α T,s = 10-5 K -1 kod temperatura od - 0 o do 00 o C. Normama za čelik predviđaju se dvije vrste betonskog čelika različitih prema duktilnosti: B500H - čelik kome je granica popuštanja 500 N/mm i koji ima visok duktilitet ((f t /f y ) k = 1.08, ε uk > 5.0%), B500N - čelik kome je granica popuštanja 500 N/mm i koji ima normalan duktilitet ((f t /f y ) k = 1.05, ε uk >.5%). Vrsta kombinacije Beton γ c Osnovne kombinacije Izvanredne kombinacije (osim potresa) Armatura i prednapeti čelik γ s Tablica.7 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva gradiva. Usporedba računskih dijagrama betona i armature prikazana su na slici.14. Za primjer su uzeti materijali: fck 5.0 Beton: C5/ f = cd N / mm γ = c 1.5 = (računska čvrstoća betona) fyk 500 Armatura: B500 f = yd N / mm γ = s 1.15 = (računska čvrstoća armature) Odnos računskih čvrstoća armature i betona u ovom primjeru iznosi: f yd = = f cd 0

21 f yd σ armatura B500 αfcd - beton C5/ ε (% ) Slika.14 Računski dijagrami armature i betona. 3. OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA Konstrukcija mora biti planirana, projektirana i izvedena na način da tijekom predviđenog vijeka trajanja uz zadovoljavajući stupanj pouzdanosti i na ekonomičan način: ostane uporabiva za predviđenu namjenu bude u stanju podnijeti sva predvidiva djelovanja i učinke tijekom izvedbe i uporabe Proračun i izvedba konstrukcije moraju biti takvi da se ona ne može oštetiti zbog požara, eksplozije, udara ili ljudske greške nerazmjerno uzroku (mora se ostvarivati razmjernost uzroka i posljedice). Proračunske situacije opisuju okolnosti u kojima konstrukcija ispunjava svoju ulogu a moraju biti dovoljno zahtjevne i tako varirane da obuhvate sve uvjete koji se mogu očekivati tijekom izvedbe i uporabe konstrukcije. Proračunske situacije dijele se na: Stalne situacije svi uvjeti uobičajene uporabe Prolazne situacije povremeni uvjeti, npr. tijekom izvedbe ili popravka Izvanredne situacije iznimni uvjeti ili požar, eksplozija, udar Seizmičke situacije potres Proračunski uporabni vijek je pretpostavljeno razdoblje korištenja konstrukcije uz održavanje, ali bez velikih popravaka. Podjela prema proračunskom uporabnom vijeku: Uporabni Klasa vijek Primjer 1 10 g Privremene konstrukcije 10-5 g Zamjenjivi dijelovi konstrukcije g Poljoprivredne i slične konstrukcije 4 50 g Konstrukcije zgrada g Spomeničke konstrukcije, inženjerske konstrukcije, mostovi Tablica 3.1 Proračunski uporabni vijek. Trajnost konstrukcije je njena sposobnost da tijekom svog proračunskoga uporabnog vijeka ostane sposobna za uporabu uz odgovarajuće održavanje. Treba biti projektirana ili zaštićena tako da se u periodu između uzastopnih pregleda značajno ne pogorša njena uporabljivost. U proračunu treba predvidjeti pristup kritičnim dijelovima za pregled izbjegavajući zahtjevna rasklapanja ili onesposobljavanja konstrukcije. 1

22 Sigurnost neke nosive konstrukcije protiv otkazivanja nosivosti općenito je uvjetovana time da njena otpornost R bude veća od ekstremnog djelovanja S, koje će na nju djelovati u vijeku njenog trajanja. Kriterij za određivanje sigurnosti nosive konstrukcije može se iskazati na sljedeći način: R>S (3.1) Zona sigurnosti ili veličina stanja nosivosti definirana je kao razlika između otpornosti i djelovanja na konstrukciju: Z=R-S (3.) U pristupima sigurnosti građevina razlikujemo dva osnovna pristupa: determinističko i probabilističko poimanje sigurnosti. Determinističko poimanje sigurnosti koristilo se u prvim metodama proračuna (metoda dopuštenih napona). Pretpostavlja sigurnu konstrukciju, kada su naprezanja od vanjskog opterećenja manja od propisanih dopuštenih naprezanja. Dopuštena naprezanja vezana su s faktorom sigurnosti uz određene granične veličine (npr. granica popuštanja, čvrstoća). Međutim i veličina otpornosti (R) i veličina djelovanja na konstrukciju (S) su i same funkcije nekih drugih veličina tzv. baznih varijabli: R=R(fc,fy, E, I, W, A...) S=S(g, q, w, s...) U determinističkom postupku sve ove veličine tretiramo kao određene (determinirane) vrijednosti, koje su nam dane propisima, a u probabilističkom pristupu se sve veličine baznih varijabli tretiraju kao slučajne veličine. Probabilističko poimanje sigurnosti temelji se na pretpostavci da ne postoji potpuno sigurna konstrukcija. Svaka konstrukcija odnosno element konstrukcije ima neku vjerojatnost otkazivanja nosivosti. Za proračun je potrebno sve varijable statistički obraditi i koristiti ih u obliku funkcija određene raspodijele vjerojatnosti. U probabilističkom pristupu dokaz sigurnosti, obzirom na parametre kojima se ulazi u proračun, danas se može provesti na četiri nivoa: dokaz sigurnosti na razini IV. Dokaz sigurnosti na ovoj razini podrazumijeva proračun konstrukcija s određenom funkcijom cilja, koja srednje vrijednosti troškova svodi na najmanju moguću mjeru, uzimajući u obzir i moguće štete uslijed otkazivanja nosivosti konstrukcije. Primjena metoda proračuna na ovoj razini, danas se koristi samo kao pomoćno sredstvo u istraživanjima. dokaz sigurnosti na razini III. To je najviša razina u kojoj se dokaz dostatne nosivosti zasniva na primjeni teorije vjerojatnosti i to tako da se u proračun uključuju stvarne funkcije distribucije svih slučajnih veličina i zatim preko višestruke integracije provjerava koja je vjerojatnost otkazivanja nosivosti postignuta. dokaz sigurnosti na razini II. Metoda drugog momenta i prvog reda. To je simplificirani postupak, koji omogućava izbjegavanje višestruke integracije. Sastoji se u tome da se od statističkih podataka slučajnih veličina, koje ulaze u jednadžbe graničnog stanja, izračunavaju samo srednja vrijednost i standardna devijacija (to je metoda drugog momenta). Za samu raspodjelu usvoje se već poznate, po mogućnosti jednostavne zakonitosti (najčešće lognormalna). Linearizacijom izraza za jednadžbu graničnog stanja ( metoda I reda) izračuna se indeks sigurnosti. Indeks sigurnosti je zapravo inverzna funkcija vjerojatnosti otkazivanja nosivosti, ali u ovoj metodi nivo-a II njega se usvaja kao mjeru za stupanj sigurnosti. Indeks m z sigurnosti definiran je izrazom: β = σ z

23 dokaz sigurnosti na razini I. Semiprobabilistički pristup. To je formalno deterministička metoda u postupku identično s dosadašnjim dokazom nosivosti pomoću graničnih stanja. Jedino se unaprijed determinirani parametri u jednadžbama graničnog stanja utvrđuju probabilističkom i statističkom metodom. S d <R d U postupcima razine II koristi se parametar koji daje alternativnu mjeru stupnja sigurnosti, tzv. indeks pouzdanosti β, koji je povezan s vjerojatnošću otkazivanja nosivosti p f preko izraza p f =Φ(-β), gdje je Φ funkcija normalne raspodjele. p f β Tablica 3. Odnos indeksa pouzdanosti β i vjerojatnosti otkazivanja nosivosti p f. U semiprobabilističkom pristupu sigurnosti pojedine dominantne veličine statistički se obrađuju i determiniraju, a dalje se postupa kao u determinističkom konceptu. Ako sada S i R predstavimo kao funkcije djelovanja i funkcije otpornosti konstrukcije, s funkcijama raspodijele f s i f R, onda su S q i R p karakteristične vrijednosti funkcije djelovanja i otpornosti konstrukcije, a m S i m R srednje vrijednosti funkcije djelovanja i funkcije otpornosti. Za vrijednosti djelovanja uzimamo 95% fraktilu, odnosno vrijednost djelovanja će u 95% slučajeva biti manja od S q, a za vrijednost otpornosti uzimamo 5% fraktilu odnosno vrijednosti otpornosti će samo u 5% slučajeva biti manje od R p. Slika 3.1 Probabilistički pristup sigurnosti. Sigurnost je ovdje definirana globalnim koeficijentom sigurnosti γ 0 =m R /m S. Ali uzevši u obzir fraktile 95% i 5%, odnosno karakteristične vrijednosti djelovanja i otpornosti vrijedi globalni faktor sigurnosti γ=r p /S q. Veličine R p i S q se mogu smatrati determinističkim vrijednostima u semiprobabilističkom poimanju sigurnosti. Granična stanja su stanja izvan kojih konstrukcija više ne zadovoljava projektom predviđene zahtjeve. Razlikuju se: granična stanja nosivosti GSN (eng. ULS) i granična stanja uporabljivosti GSU (eng. SLS). Metoda dopuštenih naprezanja: R S γ (3.3) 3

24 Gdje je S-vanjski utjecaj, a R- otpornost. Dosadašnja metoda graničnih stanja prebacila je koeficijent sigurnosti na drugu stranu ove nejednadžbe. γ S R (3.4) Globalni koeficijent sigurnosti u novom propisu rastavlja se na parcijalne koeficijente sigurnosti za djelovanja γ S i parcijalne koeficijente sigurnosti za otpornost γ R : γ γ S R (3.5) R S Konstrukcija je sigurna ako vrijedi: R γ S S (3.6) γ R Osnove novog postupka proračuna konstrukcija sadržane su u europskoj normi EN 1990, glavnom eurokodu u sklopu usklađene grupe europskih normi za projektiranje konstrukcija -Structural Eurocodes. Metoda graničnih stanja je semiprobabilistička metoda u kojoj se po zakonima vjerojatnosti određuju reprezentativne vrijednosti za djelovanje i karakteristične vrijednosti za otpornost materijala. Tim se vrijednostima pridružuju parcijalni koeficijenti sigurnosti pa se dobivaju računske vrijednosti. Metoda je slična determinističkoj metodi s tom razlikom da se pojedine veličine određuju probabilističkim postupcima. Koeficijenti sigurnosti služe da pokriju sve netočne pretpostavke koje smo uveli u proračun, kao što su: Netočnost procjene stalnog i pokretnog opterećenja, Netočnost određivanja čvrstoća i deformacija materijala, Netočnost usvojenog statičkog sustava u odnosu na stvarno ponašanje konstrukcije, Odstupanje računskih radnih dijagrama σ ε od stvarnih za pojedine materijale, Tolerantne greške proračuna, Greške određivanja kritičnih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije, Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konačnu čvrstoću, kao i utjecaj nejednolike temperature, Netočnosti izvedbe (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netočnost dimenzija presjeka, itd.), Netočnost u položaju armature, naročito odstupanje u veličini zaštitnog sloja u odnosu na projektiranu statičku visinu presjeka, Moguću koroziju čelika, koja utječe na smanjenje nosivosti, Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja naprezanja na čvrstoće. GSN (ULS) granična stanja nosivosti stanja koja mogu izazvati rušenje konstrukcije (stanja netom prije rušenja konstrukcije) ili dovode konstrukciju u stanje mehanizma. Tu spadaju: gubitak ravnoteže konstrukcije ili njezina elementa promatranih kao kruto tijelo granično stanje sloma ili prekomjerne deformacije kritičnog presjeka gubitak ravnoteže zbog velikog deformiranja(teorija II. reda) granično stanje sloma uzrokovano zamorom transformacija konstrukcije u mehanizam 4

25 Metoda graničnih stanja temelji se na šest pretpostavki: 1. vrijedi Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka,. beton u vlačnoj zoni uopće ne sudjeluje u nošenju, 3. ostvarena je dobra prionljivost između armature i betona do sloma, 4. vrijedi računski dijagram betona σ c - ε c, 5. vrijedi računski dijagram armature σ s - ε s, 6. unutarnje sile proračunavaju se po teoriji elastičnosti za naponsko stanje I (bez pukotina) Granično stanje sloma: S d R d (3.7) S d - proračunska vrijednost djelovanja R d - proračunska vrijednost nosivosti (svojstva materijala) Granično stanje statičke ravnoteže ili velikih pomaka konstrukcije: E d,dst E d,stb (3.8) E d,dst - proračunska vrijednost destabilizirajućeg djelovanja E d,stb - proračunska vrijednost stabilizirajućeg djelovanja GSU (SLS) granična stanja uporabljivosti podređena su mjerodavnim kriterijima za normalnu upotrebu: granično stanje naprezanja granično stanje trajnosti (ograničenje širina pukotina) granično stanje deformiranja (ograničenje progiba) granično stanje vibracija Granično stanje uporabljivosti: E d C d (3.9) E d - proračunska vrijednost djelovanja C d - granična računska vrijednost bitnog kriterija uporabljivosti (deformacija, vibracija, naprezanje) 4. DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE U sklopu europske norme EN 1991 nalaze se dijelovi koji opisuju pojedina djelovanja na konstrukcije kao vlastitu težinu, požar, snijeg, vjetar, temperaturu, djelovanja za vrijeme izvođenja, udar, eksplozije, pritisak zemlje i vode, led, valovi. Norma EN 1991 odnosi se u potpunosti na mostove opisujući prometna djelovanja na mostove. Hrvatska prednorma HRN ENV djelovanje: - HRN ENV Vlastita težina i uporabna opterećenja - HRN ENV 1991 Požarno djelovanje - HRN ENV Snijeg - HRN ENV Vjetar - HRN ENV Toplinska djelovanja - HRN ENV Djelovanja pri izvedbi - HRN ENV Izvanredna djelovanja uzrokovana udarom ili eksplozijom - HRN ENV Prometna opterećenja mostova - HRN ENV Djelovanja na silose i spremnike tekućina - HRN ENV Djelovanja od kranova i strojeva 5

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja BETONSKE KONSTRUKCIJE I Predavanja Zagreb, 2017. Igor Gukov SADRŽAJ 1. UVOD...3 2. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA...7 2.1. Beton...7 2.1.1 Računska čvrstoća betona... 11 2.1.2 Višeosno stanje

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ 1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA... 2 1.1 Beton... 2 1.1.1 Računska čvrstoća betona... 6 1.1.2 Višeosno stanje naprezanja... 6 1.1.3 Razred

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 5. VJEŽBE DIMENZIONIRANJE - GSN Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI DIMENZIONIRANJE - GSN 1. Sila prednapinjanja 2. Provjera

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1

Betonske konstrukcije 1 Betonske konstrukcije 1 Prof.dr Snežana Marinković Doc.dr Ivan Ignjatović GF Beograd Betonske konstrukcije 1 1 Sadržaj Uvod Osnove proračuna Osobine materijala ULS-Savijanje ULS-Smicanje ULS-Stabilnost

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI PRORAČUN KROVIŠTA SA DVOSTRUKOM STOLICOM

STATIČKI PRORAČUN KROVIŠTA SA DVOSTRUKOM STOLICOM STATIČKI PRORAČUN KROVIŠTA SA DVOSTRUKOM STOLICOM Autor: Ivan Volarić, struč. spec. ing. aedif. Zagreb, Siječanj 2017. TEHNIČKI OPIS KONSTRUKCIJE OPIS PROJEKTNOG ZADATKA Projektni zadatak prema kojem je

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA OSNOVE NAUKE O ČVRSTOĆI Nauka o čvrstoći proučava ravnotežu između vanjskih i unutarnjih sila i deformacije čvrstih tijela uzrokovanih vanjskim silama. Na

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije

Betonske konstrukcije SEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET GRAĐEINARSTA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE Betonske konstrukcije Završni rad Antonia Pleština Split, 06 SEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET GRAĐEINARSTA,ARHITEKTURE I GEODEZIJE PROJEKT

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ulazni parametri programa Tutorial programa Primjeri riješeni programom... 58

1 Ulazni parametri programa Tutorial programa Primjeri riješeni programom... 58 SADRŽAJ: 1 Ulazni parametri programa... 1 1.1. Dimenzioniranje prema HRN EN 1992-1-1... 1 1.1.1. Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na čisto savijanje... 1 1.1.2. Dvostruko armirani presjek opterećen

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Οριακή Κατάσταση. με ή χωρίς ορθή δύναμη

Οριακή Κατάσταση. με ή χωρίς ορθή δύναμη ΤΕΕ Θράκης Κομοτηνή 10.10.2009 Σχεδιασμός φορέων από σκυρόδεμα με βάση τον Ευρωκώδικα 2 Μέρος 1-1 (EN 1992-1-1) Οριακή Κατάσταση Αστοχίας έναντι Κάμψης με ή χωρίς ορθή δύναμη Γιαννόπουλος Πλούταρχος Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Tablice za dimenzioniranje armiranobetonskih presjeka

Tablice za dimenzioniranje armiranobetonskih presjeka UDK 64.043+64.01.45:69.009.18 Primljeno 1. 3. 010. Tablie za dimenzioniranje armiranobetonskih presjeka Tomislav Kišiček, Zorislav Sorić, Josip Galić Ključne riječi armiranobetonski presjek, razred betona,

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni zahtjevi:

Temeljni zahtjevi: XVI. tečaj Stručnog usavršavanja TVZ-a 15.2.2014. TRAJNOST BETONSKIH KONSTRUKCIJA Jelena Bleiziffer ZoG Svaka građevina, ovisno o svojoj namjeni, mora biti projektirana i izgrađena na način da tijekom

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ 1 OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA... 2 2 DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE... 6 2.1 Klasifikacija djelovanja... 7 2.2 Vlastita težina... 8 2.3 Uporabna opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A Odsek za konstrukcije 25.01.2012. grupa A 1. 1.1 Za nosač prikazan na skici 1 odrediti dijagrame presečnih sila. Sopstvena težina je uključena u stalno opterećenje (g), a povremeno opterećenje (P1 i P2)

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1.1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON I OPŠTE ODREDBE 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON. ("Sl. list SFRJ", br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE. Član 1

PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON. (Sl. list SFRJ, br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE. Član 1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON ("Sl. list SFRJ", br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE Član 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE "YTONG STROP" strana

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE YTONG STROP strana S A D R Ž A J OPĆI DIO: Izvadak iz sudskog registra o registraciji Rješenje o upisu u imenik ovlaštenih inženjera građevinarstva Izvješće o kontroli Tipskog projekta glede mehaničke otpornosti i stabilnosti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama:

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE BETON Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: Visoka tlačna čvrstoća (s niskim v/c odnosom) Mali iznos skupljanja

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE ESPB: 6. Semestar: V. Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović

BETONSKE KONSTRUKCIJE ESPB: 6. Semestar: V. Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: 6 LITERATURA BETONSKE KONSTRUKCIJE Najdanović Dušan BETON I ARMIRANI BETON 87 1 Priručnik 2 Prilozi OSOBINE

Διαβάστε περισσότερα

Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,

Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija, 1. Osnove čvrstoće 1.1. Pojam i vrste opterećenja Nauka o čvrstoći proučava utjecaj vanjskih sila i momenata na ponašanje čvrstih (realnih) tijela. Djelovanje vanjskih sila i momenata na tijelo naziva

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1

Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1 Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1 Sadržaj Agregat Kriteriji za granulometrijski sastav agregata 4 Pregled svojstava i kategorija 8 Cement Označavanje cementa prema EN 197-1 12 Beton Odnosi između

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE

BETONSKE KONSTRUKCIJE Dušan Najdanović BETONSKE KONSTRUKCIJE Univerzitet u Beogradu - Građevinski fakultet Akademska misao Beograd, 2015. Dušan Najdanović BETONSKE KONSTRUKCIJE Recenzenti Dr Aleksandar Pakvor Dr Mirko Aćić

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 25.12.2012. grupa A 1. 1.1 Dimenzionisati prema momentima savijanja (Mu) karakteristične preseke nosača prikazanog na skici 1. Prilikom dimenzionisanja obezbediti graničnu

Διαβάστε περισσότερα