ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. α) Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ, να δώσετε τον ορισμό της παραβολής. Πώς ονομάζεται η ευθεία δ και το σημείο Ε; β) Δίνεται η παραβολή x = λy, λ 0 και ένα σημείο της Μ(x 1,y 1 ). Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο Μ και η εξίσωση της διευθετούσας. Β. Να γράψετε στην κόλλα σας ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος σημειώνοντας με Σ κάθε σωστή και με Λ κάθε λανθασμένη πρόταση. α. det (, ) = 0 // β. = γ. Αν v 1 v τότε v = v 1 v δ. Αν αβ και βα τότε είναι πάντα α = β όπου α, β ακέραιοι. ΜΟΡΙΑ 5 ΜΟΡΙΑ 5 ΜΟΡΙΑ 5 ε. Αν α β+γ και αγ τότε α β όπου α, β, γ ακέραιοι Γ. Έστω το ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xoy και τα διανύσματα OA = = (x 1,y 1 ), OB = = (x,y ). Να αποδείξετε ότι: = x 1 x + y 1 y. ΜΟΡΙΑ 10 ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Έστω u, v διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν: u v 1 και = ( u, v ) =10 ο. Αν = u + v και = u v, να υπολογίσετε: α. Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u και v. ΜΟΡΙΑ 7 β. Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων και ΜΟΡΙΑ 10 γ. Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και ΜΟΡΙΑ 8

2 ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ Δίνεται η εξίσωση (C) : 9x + y = 4 α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (C) παριστάνει έλλειψη της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι συντεταγμένες των εστιών της. ΜΟΡΙΑ 8 β. 1 Εάν η εφαπτομένη της (C) στο σημείο της Μ(, 3 ) τέμνει 3 τους άξονες Οx και Οy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α και Β. ΜΟΡΙΑ 7 γ. Να βρεθεί το συμμετρικό σημείο της αρχής Ο των αξόνων ως προς την εφαπτομένη του (β) ερωτήματος. ΜΟΡΙΑ 10 ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Δίνεται η εξίσωση (C): x + y + tx ty 4 = 0 α. Να αποδείξετε ότι για κάθε t R η εξίσωση (C) παριστάνει κύκλο, το κέντρο του οποίου κινείται σε σταθερή ευθεία όταν το t διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών. β. Αν η ευθεία y = τέμνει τον κύκλο (C) στα σημεία Α και Β έτσι ώστε OA OB (O είναι η αρχή των αξόνων), να προσδιορίστε τον πραγματικό αριθμό t. ΜΟΡΙΑ 1 ΜΟΡΙΑ 13 ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

3 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Αβ Η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση: xx 1 = (y +y1 ) και η διευθετούσα της παραβολής έχει εξίσωση: y = - 4 Β. Σ Λ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ 1 α. u v u v συν10 ο = - β. u v = ( u v ) = 4 u +4 u v + γ. = ( u 3 v )( u v ) = = v = = 3 άρα 3, όμοια 3 ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ α. Είναι : 9x + y x y = 4 1 συνεπώς η καμπύλη (C) παριστάνει έλλειψη 3 με α = και β =, τότε θα είναι γ = α β = η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι: ε = της είναι Ε ( 0, ) και Ε (0,- ) 3 3 β. Η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο 1 Μ(, 3 ) είναι 3x + 3 y = 4 (ε). Οι 3 συντεταγμένες του σημείου τομής Α της εφαπτομένης (ε) με τον άξονα xx είναι: 3x 3y 4 4 x 4 3 άρα Α,0 y 0 y 0 3 και ανάλογα οι συντεταγμένες του σημείου τομής Β της εφαπτομένης με τον άξονα yy 3x 3y 4 x 0 είναι: 4 3 άρα Β x 0 y , = άρα γ = 9 3 συνεπώς και οι συντεταγμένες των εστιών

4 Τέλος η απόσταση ΑΒ είναι : ΑΒ = γ. Έστω Γ(α, β) με α 0, β 0 το συμμετρικό της αρχής Ο(0,0) ως προς την εφαπτομένη της έλλειψης 3x + 3 y = 4 (ε). Επειδή ΟΓ (ε) τότε λ ΟΓ λ (ε) = -1 ή 3 = -1 ή α = 3 β (1). 3 Επειδή το σημείο Γ είναι το συμμετρικό του Ο ως προς την ευθεία (ε) τότε: d (O, e) = d ( Γ, ε) = = 4 και λόγω της (1) έχουμε: = =1 επομένως 3 3 β - 1 = 1 β = ή 3 3 β - 1 = -1 β=0 (απορρίπτεται) 3 Για β = είναι α =, επομένως το σημείο 3 3 Γ (,) είναι το ζητούμενο σημείο. 3 ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ α. Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: (x+t) + (y-t) = (t +) (I). Επειδή για κάθε t πραγματικό αριθμό είναι (t +)>0 η σχέση (Ι) παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(-t,t) και ακτίνα x t ρ = (t ). Για το κέντρο Κ(-t,t) του κύκλου έχουμε: και απαλείφοντας το t y t έχουμε x = -y x + y = 0. Συνεπώς όταν το t διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το κέντρο Κ του κύκλου κινείται στην ευθεία x + y = 0

5 β. Τα σημεία Α και Β προσδιορίζονται από την λύση του συστήματος (x t) (y t) (t ) y είναι (x+t) + (y-t) =(t +) (x+t) = t + 4t (1) H εξίσωση (1) έχει λύση όταν t + 4t > 0 t ( -,-4) (0, +) επομένως: x t t(t 4) ή x = -t t(t 4) Συνεπώς οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β είναι: Α(-t t(t 4),) και Β(-t t(t 4),) Επειδή ΟΑ ΟΒ τότε λ ΟΑ λ ΟΒ = -1 1 t t(t 4) t t(t 4) t = 1 ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ

6

7

8 1 ο ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Α) Έστω δυο σημεία Α( χ 1, ψ 1), Β( χ, ψ ). Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ, του τμήματος ΑΒ, δίνονται από τον τύπο χ1 + χ ψ 1 + ψ, (Μ.1,5) Β) Είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις; (Μ. 10) i) Ισχύει η ισοδυναμία α // β det( α, β ) = 1 ii) Ισχύει η ισοδυναμία α β α β = 0 iii) Το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης, δύο κάθετων ευθειών, είναι ίσο με -1 iv) Η εξίσωση χ χ + ψ ψ = παριστάνει κύκλο με κέντρο το ( ) ( ) 0 0 ρ σημείο με συντεταγμένες ( χ, ψ 0 0 ) Γ) Με ποια προϋπόθεση η εξίσωση χ + ψ + Αχ + Βψ + Γ = 0 παριστάνει κυκλο; (Μ.,5) ο a a 1 8 Αν ο αριθμός α είναι άρτιος να αποδείξετε ότι ( ) ( ) Ζ + 6 (Μ. 5) 3 ο i) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων = (,1 ), β = ( + 3,1 3) ii) Για ποια τιμή του χ το διάνυσμα γ ( 1, χ ) α (Μ. 15) = είναι καθετο στο a ; (Μ. 10) 4 ο ίνεται το σημείο Μ(1,4) και ο κύκλος με εξίσωση χ + ψ 4χ + 6ψ 1 = 0 i) Να αποδείξετε ότι το Μ ειναι εξωτερικό σημείο του κύκλου. (Μ. 5) ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ευθειών του κύκλου που διέρχονται από το Μ. (Μ. 10) iii) Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής των εφαπτομένων με τον κύκλο να βρεθεί η απόσταση του Μ από τη χορδη ΑΒ. (Μ. 10)

9 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο + = α β = ( ) ( ) = + αβ = α β αβ = α β α = α α α ( ) α ( ) ΘΕΜΑ ο αβγ + + α + + α β+ γ β = ( λ + )( + ) + ( κ + ) + + ΘΕΜΑ 3 ο α+ β = αβ α+ β = ΘΕΜΑ 4 ο ΒΕ = ΒΓ ΓΖ = Γ Α Ρ = ΑΒ+ Α

10 ΘΕΜΑ 1 ο ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β ( ) + = ε α β α β + = α β α β δ = ( ) α β ε α + + α = ( ) ( ) δμ ε ( ( ) ) > δμ ( ( ) ε) = δμ ( ( ) ε) = ΘΕΜΑ ο + = ( ) ( + ) + = ν + = πολ ν N + ΘΕΜΑ 3 ο ( + ) ( ) + = + = ΘΕΜΑ 4 ο α = ( ) β = ( λ + λ) α+ β + α β + α β = λ R η + += β

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα 1 ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της x y ( C ): = 1 (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις συνθήκες παραλληλίας διανυσµάτων. (Μονάδες 8) Γ. Να σηµειώσετε µε σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις: α) Η εξίσωση Ax + By + Γ = 0, µε Α, Β,Γ εκφράζει πάντα µια ευθεία. β) Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι πάντα µικρότερη του 1. 1 γ) Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τη σχέση: ( ΑΒΓ) = det ( ΑΒ, ΑΓ) δ) Αν α και β είναι ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ, υ ώστε να ισχύει: α= κ β+ υ µε 0 υ< β (Μονάδες 8) Θέµα ο Α. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τα σηµεία Κ,Λ ώστε ΑΚ = 3 Α και ΑΛ = ΑΒ. Αν ισχύει ΑΝ = ΑΚ + ΑΛ και η ΑΓ τέµνει το τµήµα ΛΝ στο σηµείο Μ τότε: α) Να γραφεί το διάνυσµα ΑΜ ως γραµµικός συνδυασµός των Α = α και ΑΒ = β. β) Να υπολογιστεί ο λόγος ΛΜ (Μονάδες 16) ΛΝ Β. Αν κ, λ είναι ακέραιοι µε κ /λ 1 και κ /3λ + 5 να βρεθούν οι θετικές τιµές του κ. (Μονάδες 9) Θέµα 3 ο ίνεται η εξίσωση 4x + 9y 1xy 36 = 0 (1). Α. Να δειχτεί ότι τα σηµεία που επαληθεύουν την εξίσωση (1) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες ( ε 1 ) και (ε ) (Μονάδες 13) Β. Να δειχτεί ότι η µεσοπαράλληλος ευθεία των ( 1 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. (Μονάδες 1) ε ),(ε )

12 Θέµα 4 ο ίνονται οι κύκλοι: c :x y 6x y 15 0 ( ) + + = και ( ) 1 Α. είξτε ότι οι κύκλοι ( c 1) και ( ) c :x + y + x y 3= 0 c είναι ίσοι και ότι τέµνονται σε δύο σηµεία Α,Β. (Μονάδες 8) Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ΑΒ), κοινής χορδής των δύο κύκλων. (Μονάδες 8) Γ. Να βρεθεί σηµείο Μ της ευθείας (ΑΒ) ώστε η γωνία KMΛ ˆ, µε Κ,Λ τα κέντρα των δύο κύκλων, να είναι ορθή. (Μονάδες 9)

13 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ B Θέµα 1 ο i. Να δώσετε τον ορισµό της έλλειψης (Μονάδες 10) ii. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: B 5,0 Μ x,y για τα οποία α. Αν ( ) και Γ( 5, 0 ) δύο σηµεία τότε τα σηµεία ( ) ισχύει: ( MB) ( MΓ) = 6 ανήκουν: x y x y Α. + = 1 Β. = x y x y Γ. = 1. = 1 (Μονάδες 5) x y β. Αν Μ τυχαίο σηµείο της έλλειψης + = 1 και Γ( 3, 0), ( 3, 0 ) τότε το 5 16 d M,Γ + d M, είναι: άθροισµα των αποστάσεων ( ) ( ) Α. 50 Β. 8 Γ (Μονάδες 5) f x 1 = 3 16x 144. Η γραφική παράσταση της f είναι τµήµα: Α. υπερβολής Β. έλλειψης Γ. παραβολής (Μονάδες 5) γ. ίνεται η συνάρτηση ( ) Θέµα ο ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε AB = ( 4,3) και AΓ = ( 1, 7) i. Να υπολογίσετε το διάνυσµα ΒΓ (Μονάδες 7) ii. Να δείξετε ότι το ΑΓ είναι κάθετο στο διάνυσµα Β και να προσδιορίσετε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓ. (Μονάδες 8) iii. Αν το σηµείο Α κινείται στον κύκλο x + y = 4 να αποδείξετε ότι και το κέντρο Κ του ΑΒΓ κινείται σε ορισµένο κύκλο (Μονάδες 10) Θέµα 3 ο i. Να αποδείξετε ότι: Αν ο α διαιρεί το β β 1 β και ο α διαιρεί το β, τότε ο α διαιρεί το ( ) (Μονάδες 5) ν ν ii. Να αποδειχθεί ότι το 7 διαιρεί το ν µε ν (Μονάδες 10) 3ν + 4 iii. Να ελέγξετε αν το κλάσµα είναι ανάγωγο. (Μονάδες 10) ν +1

14 Θέµα 4 ο Α. ίνονται τα σηµεία Ε ( 3, 0) και Ε ( 3, 0 ) i. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει ως διάµετρο το ΕΕ (Μονάδες 4) ii. Αν θεωρήσουµε και τα σηµεία Α ώστε το τρίγωνο ΑΕΕ να έχει περίµετρο 0 τ.µ, ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος του Α; (Μονάδες 8) Β. ίνεται ο κύκλος x + y + x+ y 1= 0 ( Ι ) και η ευθεία y= 3x+ λ, λ i. Για ποια τιµή του λ η ευθεία εφάπτεται του κύκλου; (Μονάδες 3) N x,y δύο σηµεία που οι συντεταγµένες τους ii. Αν ( ) 1 1 Μ x,y, ( ) επαληθεύουν την ( Ι ) να προσδιορίσετε την µέγιστη τιµή της παράστασης: Π = x + x + y + y x x y y (Μονάδες 10)

15

16

17 5 5 5

18

19 ΛΥΚΕΙΟ: ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΜΑ 1ο α) Έστω α =(x,y) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου, δείξτε ότι το μέτρο του είναι: α = x +y Μονάδες 15 β) Αν α, β δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a, β ; Μονάδες 10 ΘΕΜΑ ο Δίνεται το διάνυσμα α = (- 4, 3). α) Να υπολογίσετε το μέτρο του α δηλαδή το α. Μονάδες 10 β) Αν β = ( μ-1, λ + 5 ) να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ώστε α = β. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση: x +y +6x+y+6=0 (1). Α. Δείξτε ότι η (1) είναι εξίσωση κύκλου του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Μονάδες 1 5 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του παραπάνω κύκλου στο σημείο Α(-3, 1). Μονάδες 1 0

20 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση:( α β) x- α y+=0 και φ η οξεία γωνία των διανυσμάτων α, β. Αν το διάνυσμα γ =(,-1) είναι κάθετο στην ευθεία ε, τότε: Α. Δείξτε ότι α 0. Μονάδες 5 Β. Δείξτε ότι β συνϕ = Μονάδες 7 Γ. Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι φ=60º και α =(-3, 4) τότε: α) Δείξτε ότι β = 4. Μονάδες 5 β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α - β. Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους) 1. Στη κόλλα σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά. Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος του φωτοαντιγράφου αμέσως μόλις σας παραδοθεί. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με την κόλλα και το φωτοαντίγραφο. 3. Να απαντήσετε στη κόλλα σας ΟΛΑ τα θέματα. 4. Διάρκεια εξέτασης: Δύο () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 16 /05/011 Ο ΔΙΕΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

21 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1ο α) Θεωρία σελ. 34 σχολικού βιβλίου. β) Θεωρία σελ. 41 σχολικού βιβλίου. ΘΕΜΑ ο α) Είναι α = (-4) + 3 = =5 β) Πρέπει ( μ-1=-4 και λ + 5=3) μ=-3 και λ=-1. ΘΕΜΑ 3 ο Α. Είναι Α +Β -4Γ= =.=16>0, άρα η (1) είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο Α +Β 4Γ το Κ(-Α/, -Β/) ή Κ(-3, -1) και ακτίνα ρ = = =4/=. Β. Από το Α(-3,1) διέρχεται η κατακόρυφη ευθεία ε με εξίσωση: x=-3χ+3= Είναι d ( Κ, ε) = = 0 ρ, άρα η ε δεν εφάπτεται στον κύκλο. 1 Κάθε άλλη ευθεία δ που διέρχεται από το Α(-3, 1) έχει εξίσωση: y-1=λ(χ+3) λx-y+3λ+1=0. Για να εφάπτεται η δ στον κύκλο πρέπει: 3λ λ + 1 d ( Κ, δ) = ρ = = λ + 1 = 1 λ=0. λ + ( 1) λ + 1 Άρα η εφαπτομένη του κύκλου στο Α(-3,1) έχει εξίσωση y=1. ΘΕΜΑ 4 ο Α. Αν α = 0 τότε από την εξίσωση:( α β) x- α y+=0 έχουμε: =0 που είναι άτοπο, άρα α 0. Β. Επειδή ε γ είναι: λ λ = 1 α β 1 α β ε γ 1 = = α β συνϕ = α α α β = συνϕ Γ. α) Είναι β) Είναι β = = = 4 συν 60 1 / α = ( 3) + 4 = =5 και α β = α β συν 60 = /=10 άρα: α - β =( α - β ) = α -4 άρα: α - β =7 α β +4 β = = =49,

22 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ : ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ : ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Δ/ΝΣΗ Β/ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν.ΛΕΣΒΟΥ ΤΑΞΗ : Β ΕΠΑΛ 1 Ο ΕΠΑΛ ΠΛΩΜΑΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8100 Πλωμάρι ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Τηλ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ : Θέματα Γραπτών Εξετάσεων ΘΕΜΑ 1 Ο : Α) i) Τι ονομάζεται διάνυσμα ; ( 5 ΜΟΝΑΔΕΣ) ii) Να αντιστοιχίσετε το είδος των διανυσμάτων της 1 ης στήλης με όλες τις ιδιότητές τους της ης στήλης. (10 ΜΟΝΑΔΕΣ) 1) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς. ) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς και α) συγγραμμικά ίδια φορά. β) αντίθετα 3) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς και γ) αντίρροπα αντίθετη φορά. δ) ομόρροπα 4) έχουν ίδιο μέτρο. ε) ίσα 5) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς και ίδιο μέτρο. 6) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς, ίδια φορά και ίδιο μέτρο. 7) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο. Β) Να χαρακτηρίσετε με «Σωστό» ή «Λάθος» κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις : ( 10 ΜΟΝΑΔΕΣ) i) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία x x1 Α(χ1,ψ1) και Β(χ,ψ) είναι : λ= y y1 ii) Η εξίσωση της ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ, που διέρχεται από το σημείο Α(χ1,ψ1) είναι : ψ ψ1 = λ.(χ χ1) iii) Η γενική μορφή εξίσωσης ευθείας είναι η : Αχ + Βψ + Γ = 0, με Α ή Β διάφορα του μηδενός. iv) O κύκλος με εξίσωση: χ + ψ = ρ διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0). v) H εξίσωση: ( χ + χο ) + (ψ + ψο ) = ρ παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(χο, ψο) και ακτίνα ρ.

23 ΘΕΜΑ Ο : Δίνονται τα διανύσματα α = ( 3λ 6, λ + 3 ) και β = ( λ λ, λ ). i) Για ποια τιμή του λ τα διανύσματα είναι ίσα ; ( 8 ΜΟΝΑΔΕΣ) ii) Για λ = 3 α) να βρείτε το διάνυσμα α. ( 5 ΜΟΝΑΔΕΣ) β) να εξετάσετε αν το α είναι παράλληλο στο γ = (-1,-) ( 5 ΜΟΝΑΔΕΣ) γ) να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α και γ ΘΕΜΑ 3 Ο : δηλ. τα α και γ και να δείξετε ότι : α - γ = 5 5. ( 7 ΜΟΝΑΔΕΣ) Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση : ( μ 3 ) χ + ( μ 9 ) ψ + 6 = 0, που διέρχεται από το σημείο Α ( 1, ). i) Nα βρεθεί το μ. ( 7 ΜΟΝΑΔΕΣ) ii) Για μ = 5 : α) Να βρεθεί η ευθεία (ε) και ο συντελεστής διεύθυνσης ΘΕΜΑ 4 Ο : της. (6 ΜΟΝΑΔΕΣ) β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες χ χ και ψ ψ. ( 6 ΜΟΝΑΔΕΣ) γ) Να βρεθεί το σημείο τομής της (ε) με την ευθεία (ε1): χ + ψ =. Δίνεται κύκλος με εξίσωση : χ + ψ = 5 (6 ΜΟΝΑΔΕΣ) i) Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. (5 ΜΟΝΑΔΕΣ) ii) Nα δείξετε ότι το σημείο A(, 3) είναι σημείο του κύκλου και να iii) βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του στο σημείο αυτό. (10 ΜΟΝΑΔΕΣ) Nα βρεθούν τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία (ε): ψ = χ Ο Διευθυντής ( 10 ΜΟΝΑΔΕΣ) Η Εισηγήτρια

24 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Σχολικό Ετος ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 Β ΤΑΞΗΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Ax ( 1, y 1) και Bx (, y) είναι σημεία του επιπέδου και Mxy (, ) το μέσο του x1+ x y1+ y AB, να αποδείξετε ότι: x = και y = (10 μονάδες) Α. Τι ονομάζουμε έλλειψη, με εστίες δυο σημεία EE, ενός επιπέδου; (5 μονάδες) Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για κάθε διάνυσμα a ισχύει: a = a. β. Η εξίσωση x y x y + +Α +Β +Γ= 0 παριστάνει κύκλο αν Α +Β Γ> 0. p γ. Η παραβολή με εστία E,0 και διευθετούσα ευθεία την p x = έχει εξίσωση y = px. δ. Το εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: 1 ( ΑΒΓ ) = det( ΑΒ, ΑΓ ) ε. Η εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου C: x + y = ρ στο σημείο του Ax ( 1, y 1), δίνεται από τον τύπο: yx xy ρ = (x5=10 μονάδες) ΘΕΜΑ Β Δίνονται τα σημεία Α(4, 1), Β(, 3) και Γ(λ-1, λ+) όπου λ R. Β1. Να βρεθεί η τιμή του λ Rώστε τα Α,Β,Γ να είναι συνευθειακά (13 μονάδες) Β. Για λ = 3, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (1 μονάδες) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή A(,1). Η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι x+ y = 1 και η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ είναι 3x y =. Να βρεθούν: Γ1. Η εξίσωση της πλευράς ΑΓ (9 μονάδες) Γ. Οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ (16 μονάδες) ΘΕΜΑ Δ Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματαα β, και η εξίσωση x + y α β x α β y+ α + β = 0 (1) Δ1.Δείξτε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο ακτίνας ρ = α β (10 μονάδες) 1 Δ. Για α = 1, β = 1 και συν ( α, β ) =, να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος (1) παίρνει τη μορφή 4 C: ( x ) + ( y ) = 6 (10 μονάδες ) Δ3.Nα εξετάσετε αν η εστία της παραβολής y = 8x βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου C του προηγούμενου ερωτήματος Δ. (5 μονάδες ) Ο Διευθυντής Η Επιτροπή

25 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 Α. Αν τα διανύσματα αβ, δεν είναι κάθετα στον άξονα x x,να αποδείξετε ότι όπου λ, λ 1 α β λ λ = 1 1 οι συντελεστές διεύθυνσης των αβ., (Mον 10) Β. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a ur και β ur. (μονάδες 5 ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν α β = 0 τότε θα είναι πάντοτε α= 0 ηβ= 0. β) Αν α β τότε α β = α β. γ) Η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( Β, Α) δ=. δ) Όλες οι ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από το σημείο Κ (x o,y o ), έχουν εξίσωση της μορφής y-y o =λ(x-x o ). ε) Κάθε σημείο μιας παραβολής ισαπέχει από την διευθετούσα και την κορυφή της. ( Mον 5x ) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα αβγ,, π με α=, β= 1, γ=α-κβ, κ R, και ( αβ, ) =. 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ.. (Μον 5 ) β) Να βρείτε το αριθμό κ, αν γνωρίζετε ότι το διάνυσμα α είναι κάθετο στο γ. (Μον 10 ) γ) Αν κ=4 να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων β και γ. (Μον 10)

26 ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η εξίσωση x y x 4y =, α) Να αποδείξετε ότι, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. (Mον 8) β)δίνεται η παραβολή με εξίσωση y =-x ι) Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής. ιι) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης παραβολής στο σημείο Α(-,). (Mον 8) γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραπάνω παραβολής, εφάπτεται και στο κύκλο. (Mον 9) ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η εξίσωση (ε) : κx -(κ+1)ψ + =0, κ Є R. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του αριθμού κ. (Μον 6) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες με εξίσωση (ε) διέρχονται για κάθε τιμή του κ από σταθερό σημείο το οποίο και να βρεθεί. (Μον 9) γ) Nα βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η παραπάνω ευθεία σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 4 τ.μ. (Μον 10)

27 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ου ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΕΡΑΠΕΤΡΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 1 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο A) Έστω Α,Β σημεία του επιπέδου, Ο ένα σημείο αναφοράς και Μ το μέσον του ΑΒ,να δείξετε ότι: OA + OB OM = Μον.13 B) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: ΚΩΝΙΚΗ ΤΟΜΗ 1.Κύκλος Κέντρου Κ(χ0,ψ0) και 1. ακτίνας ρ p.παραβολή με Εστία Ε(,0) και. διευθετούσα χ=- p 3.Έλλειψη με εστίες Ε (-γ,0),ε(γ,0) και σταθερό άθροισμα α (α>0) 4.Υπερβολή με εστίες Ε (0,-γ),Ε(0,γ) και σταθερή διαφορά α (α>0) ΕΞΙΣΩΣΗ Μον.1 ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=15 και τα διανύσματα : 1 1 A = AB και ΑΕ = ΑΓ. 3 5 α) Να εκφράσετε τα διανύσματα BE και Γ συναρτήσει των διανυσμάτων AB και ΑΓ. Μον.8 β) Να δείξετε ότι: ΒΕ ΓΔ. Μον.9 γ) Να υπολογίσετε το Ε. Μον.8 5 ΘΕΜΑ 3 ο Να δείξετε ότι; Α) ν ν-1 =(ν-1) ν,για κάθε ν φυσικό με ν. Μον.15 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

28 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β ΤΑΞΗ Β) ( ) = Μον.10 ΘΕΜΑ 4ο Το Λιμεναρχείο ειδοποιήθηκε από παραπλέοντα σκάφη,ότι εθεάθη φουσκωτό σκάφος (προφανώς ακυβέρνητο) να κάνει κύκλους που για κάθε χρονική στιγμή t,βρίσκεται στη θέση Φ( 1 4 ημt, 1 συνt +0),πάνω σ 4 ένα ορθοκανονικό σύστημα Οχψ που προσανατολίζει την ευρύτερη περιοχή. Ο Λιμενάρχης δίνει εντολή στο πλοίο του Λιμενικού να σπεύσει σε βοήθεια και να ακολουθήσει πορεία που για κάθε χρονική στιγμή t,βρίσκεται στη θέση Π (t, t-10). Α) Να βρεθεί η εξίσωση της πορείας του φουσκωτού και του πλοίου του λιμενικού. Μον.10 Β) Αν Κ(0,0) είναι το κέντρο του κύκλου που διαγράφει το φουσκωτό και η ακτίνα του είναι ρ= 1,να βρείτε την απόσταση του Κ από την 4 ευθεία (ε) της πορείας του πλοίου του Λιμενικού. Μον.7 Γ) Αν η ορατότητα είναι 1050 μέτρα,θα φαίνεται το φουσκωτό από το πλοίο του Λιμενικού, για κάποια χρονική στιγμή; Μον.(3) Δ)Αν όχι,βρείτε την ευθεία με τον μικρότερο θετικό συντελεστή διεύθυνσης που πρέπει να ακολουθήσει το πλοίο του λιμενικού, ώστε για κάποια χρονική στιγμή να μπορεί να διακρίνει το φουσκωτό. Μον.( 5) ΠΑΡΑΤΉΡΗΣΕΙΣ:1)Την χρονική στιγμή t=0 το πλοίο Π βρίσκεται στο Λιμάνι. )Οι αποστάσεις μετρούνται σε χιλιόμετρα. (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας) Καλή Επιτυχία! Η Διευθύντρια Δέσποινα Κεφάλα Οι καθηγητές Κασσωτάκης Ε. Παπαδάκης Μ. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

29 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 Ο Έστω το διάνυσµα. Να βρείτε διάνυσµα τέτοιο ώστε, και το οποίο να σχηµατίζει οξεία γωνία µε το διάνυσµα. ΘΕΜΑ Ο α β = α + 4β, v= α β Έστω τα µοναδιαία διανύσµατα, διανύσµατα u γωνία, να βρεθεί η γωνία των, ΘΕΜΑ 3 Ο. Aν τα σχηµατίζουν α β. Έστω τα διανύσµατα µε. Θεωρούµε το διάνυσµα. α) Να υπολογίσετε το χ έτσι ώστε το µέτρο του διανύσµατος να γίνεται ελάχιστο. β) Για την τιµή του χ που βρήκατε προηγουµένως να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα είναι κάθετα. ΘΕΜΑ 4 Ο Εάν ισχύει συνx= 1 ηµ x, να αποδείξετε ότι 1 3ηµ x+ ηµ x 4

30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα; β) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και ; 6 Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι αν, y y και 1, οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων και αντίστοιχα τότε α) 1 β) Μονάδες Γ. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: α) Αν x1i y1 j και x, y τότε...,...,... και... M xy μέσο του ΑΒ με x, y και x, y β) Αν (, ) 1 1 τότε x... και y... 4 Μονάδες Δ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). α) 0. Σ ή Λ β) Αν, y y και τότε 1 0. Σ ή Λ γ) Αν y y και 0 τότε 0 90, όπου η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον x x. Σ ή Λ δ) Αν τότε. Σ ή Λ ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία,9, Β3, 4, Γ5, 7. 8 Μονάδες α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. 6 Μονάδες β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΓΜ. 6 Μονάδες γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Ρ, ώστε να ισχύει. 6 Μονάδες 1, 35 να βρείτε τα κ, λ ώστε να ισχύει. 7 Μονάδες δ) Αν

31 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται τα διανύσματα 1, 1 και 3i j. α) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x. 6 Μονάδες 8, τότε β) Αν i) να γράψετε το ως γραμμικό συνδυασμό των και. 7 Μονάδες ii) να βρείτε το. 5 Μονάδες iii) να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο. 7 Μονάδες ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα, με, 3 Να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο. β) το εσωτερικό γινόμενο uv. και τα διανύσματα u και v 4. γ) το μέτρο του διανύσματος v. δ) τη γωνία των διανυσμάτων u και v. ε) την τιμή του ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. (5x5=5 Μονάδες) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

32 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ 1ο x1 + x 1. Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x, y ) να αποδείξετε ότι οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ είναι x= y1+ y και y=.. Αν α β α, β είναι: > 0, τότε η γωνία ( ) Α: οξεία Β: αµβλεία Γ: ορθή : 180 ο 3. Α) Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i. Αν α= ( x 1, y1) και β= ( x, y ), τότε οι συντεταγµένες του διανύσµατος δ=λα+µβ, λ, µ R, είναι x = και y =... ii. Αν α= ( x, y) και το πέρας του διανύσµατος α είναι το σηµείο Β( x, y ), τότε οι συντεταγµένες της αρχής Α είναι x 1 =. και y 1 =. iii. Αν α=α 1i+α j, τότε οι συντεταγµένες του διανύσµατος α είναι. iv. Αν α= xi+ y j, τότε το µέτρο του διανύσµατος α είναι α =.. 4. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους. i. Αν a β τότε a β = a β Σ ή Λ ii. Αν λ 1, λ συντελεστές διεύθυνσης των διανυσµάτων a και β και a/ / β τότε λ1 =λ Σ ή Λ iii. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) τότε (ΑΒ) = ( x x ) ( y y ) Σ ή Λ 1 1 iv. Αν a =(x 1, y 1 ) και β (x, y ) τότε συν( α, β ) = x x + y y 1 1 x + y x + y 1 1 Σ ή Λ v. Αν a =(x 1, y 1 ) και β =(x y ) τότε a β = x 1 x - y 1 y Σ ή Λ

33 ΘΕΜΑ ο ίνονται τα σηµεία Α(, 9), Β(3, 4), Γ(6, 7) και το διάνυσµα x =(λ-3, κ+). i. Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ, ΑΓ. ii. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. iii. Να βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της ΑΓ και µετά το µήκος της διαµέσου ΒΜ. iv. Να βρείτε τα κ, λ ώστε να ισχύει x =3 ΑΓ - ΑΒ ΘΕΜΑ 3ο ίνονται τα διανύσµατα α, β που είναι µοναδιαία και α, β = 10 Να βρεθούν i) το εσωτερικό γινόµενο α β. ii) το εσωτερικό γινόµενο u v. iii) το µέτρο του διανύσµατος u. iv) η γωνία των διανυσµάτων u και v. ΘΕΜΑ 4ο ίνονται τα διανύσµατα α =(1, -1), β =(, -3) και γ = - i+ 3 j., u= α β και v= α + 4β i. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον άξονα x x. ii. Να γράψετε το διάνυσµα γ ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων α και β. iii. Να αναλύσετε το διάνυσµα γ σε δύο κάθετες συνιστώσεις από τις οποίες η µία είναι παράλληλη στο α. iv. Αν u =κα +β, κ R να βρείτε το κ ώστε τα διανύσµατα α και u να είναι κάθετα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

34 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. ( ΜΟΝΆΔΕΣ 0) Δίνεται η εξίσωση (ε) : (λ -4) χ+(-λ) ψ+λ -1=0. α) Πότε η (ε) παριστάνει ευθεία ; β) Για ποιά τιμή του λ R ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) ; γ) Βρείτε διάνυσμα κάθετο στην (ε) δ) με δεδομένο ότι η (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία (ζ) : 5χ-ψ+3=0,τότε ποιά η τιμή του λ R ; Β. ( ΜΟΝΆΔΕΣ 5) Δίνεται η ευθεία (ε): χ+ψ-=0 και το σημείο Α(-3,1).Να βρείτε : α) την εξίσωση της ευθείας (δ) που είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται απο το Α β) Το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (δ) ΘΕΜΑ Ο ( ΜΟΝΆΔΕΣ 5) Ένας πολεοδομικός χάρτης είναι σχεδιασμένος σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.ένας δρόμος (δ 1) διέρχεται απο τα σημεία Α(-,1) και Β (-1,) ενώ ένας άλλος δρόμος (δ ) διέρχεται απο τα σημεία Γ(5,) και Δ(3,4). α) Να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν οι δύο δρόμοι στο χάρτη β) Να εξετάσετε αν οι δρόμοι τέμνονται κάθετα. γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες της διασταύρωσης Σ των δυο δρόμων δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής Ε του οικοδομικού ορθογωνίου,του οποίου οι τρείς κορυφές είναι τα σημεία Β, Σ, Δ. ΘΕΜΑ 3 Ο ( ΜΟΝΆΔΕΣ 5) A. Έστω (ε) η εφαπτομένη του κύκλου C: x + y = ρ σε ένα σημείο του Α (x1, y1). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Α έχει εξίσωση xx1 + yy1 = ρ. Β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ευθειών του κύκλου x + y = 5, στα σημεία του, που έχουν τετμημένη 3. 1

35 ΘΕΜΑ 4 ο ( ΜΟΝΆΔΕΣ 5) Δίνεται ο κύκλος C με εξίσωση (x - 3) + (y - ) = 9 και κέντρο Κ. Α. Κάθε ερώτηση από τις επόμενες πέντε συνοδεύεται από πέντε πιθανές απαντήσεις. Γράψτε στο τετράδιό σας την σωστή απάντηση. i) Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο α. (3, - ) β. (- 3, - ) γ. (- 3, ) δ. (3, ) ε. (5, 0) ii) Η ακτίνα του κύκλου C είναι: α. 9 β. 3 γ. 3 δ. 81 ε. κανένα από τα προηγούμενα iii) Ο κύκλος C εφάπτεται: α. μόνο του άξονα x x β. μόνο του άξονα y y γ. και των δύο αξόνων x x, y y δ. της ευθείας y = x ε. σε κανένα από τα προηγούμενα iv) Από το κέντρο του κύκλου C διέρχεται η ευθεία με εξίσωση α. 3x - y = 4 β. y = 3x + 5 γ. x + 3y = 0 δ. 3x - y = 5 ε. y = 3x + v) Η απόσταση του κέντρου Κ του κύκλου από την αρχή των αξόνων Ο είναι: α. 1 β. 5 γ. 6 δ. 13 ε. 5 Β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία 3x + 4y - = 0 εφάπτεται του κύκλου C.

36

37

38

39 Γραπτές Προαγωγικές Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου Ιουνίου 009 Μάθημα : Μαθηματικά Κατεύθυνση : Θετική - Τεχνολογική Τάξη : Β Λυκείου Θ Ε Μ Α Τ Α ΘΕΜΑ 1 ο ur ur Α. Να αποδείξετε την ισοδυναμία α β λ1 λ = 1, όπου λ 1 = λur α και ur ur λ = λur, εφόσον τα α, β δεν είναι παράλληλα στον άξονα y y. β (μονάδες 10) Β. Έστω Ε και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε. (μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ur ur ur r α. Ισχύει η ισοδυναμία α β = ο α = 0 η β = 0 β. Για οποιαδήποτε διανύσματα α, βγ, ur urr ur ur ισχύει ( ) ur ur α β = α β γ. Ο κύκλος C: ( χ χ ) ( ) ο + ψ ψο = ρ με ψ 0 = ρ εφάπτεται στον χ χ δ. Η παραβολή με εξίσωση ψ = pχ έχει άξονα συμμετρίας τον χ χ ψ χ ε. Η εκκεντρότητα της υπερβολής = 1 είναι ε = γ > 1 α β α (μονάδες 10) ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα διανύσματα ur α,β ur ur με α = ur, β = 1και r ur ur r ur ur διανύσματα u = α + β και v = α + 4β. Να υπολογίσετε: r ur α) Το εσωτερικό γινόμενο a β ur ur π αβ, = 3. Έστω τα (μονάδες 7) β) Τα μέτρα των διανυσμάτων u r και v r. (μονάδες 9) γ) Τη γωνία των διανυσμάτων u r και v r. (μονάδες 9)

40 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(,1). Η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι χ+ψ = 1 και η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ είναι 3χ-ψ = -. Να βρεθούν: α) Η εξίσωση της πλευράς ΑΓ (μονάδες 7) β) Οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ (μονάδες 1) γ) Αν Β(0,1) και Γ(-10,-11) να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) χ + ψ 4λ+ χ 4λ ψ + 8λ + 1= 0. α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ R,να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. (μονάδες 9) β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων κινούνται σε μια ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (μονάδες 6) γ) Να βρείτε το σημείο της παραπάνω ευθείας το οποίο απέχει από την αρχή των αξόνων τη μικρότερη απόσταση. (μονάδες 10)

41 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. Να αποδειχθούν οι ιδιότητες : 1. Αν α/β και β/γ, τότε α/γ ( Μονάδες 8 ). Αν α/β και α/γ, τότε α/(β+γ) ( Μονάδες 7 ) όπου α,β,γ ακέραιοι αριθμοί Β. Ν χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση χ ψ α) Η εκκεντρότητα της υπερβολής = 1 είναι πάντα μεγαλύτερη του 1 α β r β) Η ευθεία Αχ+Βψ+Γ=0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = ( Α,Β ) γ) Αν α r β r τότε α r β r = α r β r και αντίστροφως,όπου α,β r r 0 ur δ) Αν α,β r r 0 ur r r α β και θ η γωνία τους,τότε συνθ = r r α β ε) Η εφαπτομένη της παραβολής ψ =ρχ στο σημείο της Μ(χ 1,ψ 1 ) είναι ψψ 1 =ρ(χ+χ 1 ) Μονάδες 10 ) Θέμα r r r ίνονται τα διανύσματα α = ( 1,1 ),β = ( 0,) και γ = (, ). Αν ισχύει γ r = κ α r + λβ r,να βρεθούν τα κ,λ ( Μονάδες 5) Θέμα 3 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών χ-5ψ+3=0 και χ-3ψ-7=0 και είναι κάθετη στην ευθεία 4χ+ψ=1 ( Μονάδες 5 ) Θέμα 4 ίνεται η εξίσωση C: χ +ψ -λχ+λ -9=0 α) να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ ( Μονάδες 10) β) για λ= (

42 1. Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου (C) ( Μονάδες 7). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του (C) στο σημείο του Μ(4, 5) ( Μονάδες 8 )

43 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΘΕΜΑ 1 ο A. Να δώσετε τον ορισµό της παραβολής. x B. Έστω η υπερβολή C ψ : = 1. Να συνδέσετε µε µια γραµµή τα δεδοµένα της α β πρώτης στήλης µε τα αντίστοιχα τους της δεύτερης στήλης. Στήλη (Α) Στήλη (Β) i) Η υπερβολή διέρχεται από το α) α=β σηµείο Μ(1,1) ii) Η ευθεία ψ=x είναι 1 1 β) = 1+ ασύµπτωτη της υπερβολής α β iii) Το σηµείο Ε(5,0) είναι β γ) = 3 εστία της υπερβολής α iv) Η εκκεντρότητα της δ) α + β = 5 υπερβολής είναι ε= (Μονάδες x3 = 5) ΘΕΜΑ ο ίνονται τα σηµεία Α(, 3), Β(1, ) και Γ(4, 0). Να βρείτε: α) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. β) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το Γ και είναι κάθετη στην ΑΒ. γ) την απόσταση του σηµείου Γ από την ευθεία ΑΒ. (Μονάδες = 5)

44 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η έλλειψη C 1: 3x 4y 1 + = και η εξίσωση C : x + y x+ y α = 0 i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C παριστάνει κύκλο για κάθε α > 007. ii) Για ποια τιµή του α ο κύκλος C διέρχεται από την εστία Ε ( γ, 0) της iii) ΘΕΜΑ 4 ο έλλειψης C 1. 3 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της έλλειψης C 1 στο Μ (1, ). Έστω δύο διανύσµατα α=οα= (,1) (Μονάδες = 5) και β=οβ (Ο: αρχή των αξόνων) για τα οποία ισχύει: i) α β = 10 και ii) το µέσο Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΒ ανήκει στην ευθεία x + y 1 = 0. A. Να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος β. B. Για β= (6, ) : α) να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάµετρο το ευθύγραµµο τµήµα ΟΒ. β) να αποδείξετε ότι το σηµείο Γ(κ + 7, 1) είναι εξωτερικό του παραπάνω κύκλου για κάθε κ R. (Μονάδες = 5)

45 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 010 ΘΕΜΑ 1 ο..(α:9+β:4+γ:1) Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου x + y = ρ στο σηµείο του Α ( x1, y1) έχει εξίσωση: xx 1 yy1 ρ + =. Β. Τι ονοµάζεται παραβολή µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε τη λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) : α) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε τη διαφορά των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους. β) Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο : ( ΑΒΓ ) = det( ΑΒ, ΑΓ). γ) Η ευθεία µε εξίσωση Α x+β y+γ= 0 είναι κάθετη στο διάνυσµα η = ( Α, Β). δ) Αν α β, τότε α β = 0. ΘΕΜΑ ο..(α:8+β:9+γ:8) ίνεται το διάνυσµα α = (, ) και το διάνυσµα π β µε β = 3 και ( α, β ) =. 3 (α) Να υπολογίσετε το µέτρο α και το εσωτερικό γινόµενο α β. (β) Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον άξονα x x. (γ) ίνεται το διάνυσµα γ = α β. Να υπολογίσετε το µέτρο γ και να βρείτε την προβολή του γ πάνω στο α. ΘΕΜΑ 3 ο (α:7+β:6+γ:1) ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε Α (3, 4), Β(0, 1) και Γ(6, 3). (α) Να βρείτε την εξίσωση της διαµέσου ΑΜ του τριγώνου. (β) Να βρείτε ένα σηµείο Ε του άξονα x x ώστε τα σηµεία Β, Γ, Ε να είναι συνευθειακά. (γ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία απέχουν το ίδιο από το σηµείο Ε και την ευθεία ΑΜ.

46 ΘΕΜΑ 4 ο......(α:1+β:8+γ:5) ίνεται η εξίσωση x + y 4λx (λ+ 1) y+ λ= 0 (1), όπου λ R. (α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιµή του λ R και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. (β) Να αποδείξετε ότι καθώς µεταβάλλεται η τιµή του λ το κέντρο του κύκλου κινείται σε ευθεία ε της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (γ) Έστω Ε το σηµείο στο οποίο η ε τέµνει τον άξονα x x. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που η µια εστία της είναι το σηµείο Ε και η εκκεντρότητά της είναι 3 3. Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α

47 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΘΕΜΑ Α (Μονάδες = 5) Α1. Αν τα διανύσµατα α = ( x1, y1) και β = ( x, y) δεν είναι παράλληλα στον άξονα y y και λ 1, λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των α, β αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α β λ λ = 1 Α. Έστω Ε και Ε δύο σηµεία του επιπέδου. Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες τα σηµεία Ε, Ε; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε τη λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) α) Η ευθεία Α x+β y+γ= 0 είναι παράλληλη στο διάνυσµα η = ( Α, Β). β) Οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, όπου Α ( x1, y1) και 1 x1 x y1 y Β ( x, y) είναι x Μ = και y Μ =. γ) Για κάθε διάνυσµα α ισχύει α = α. δ) Η ισοσκελής υπερβολή έχει εκκεντρότητα ε= 3. ε) Η παραβολή x = py έχει εστία Ε (0, p). ΘΕΜΑ Β (Μονάδες = 5) ίνεται το σηµείο Α(, ) και οι ευθείες ε 1 : x 3y+ = 0 και ε : x+ y+ = 0. Β1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε 3 που διέρχεται από το σηµείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε. Β. Να αποδείξετε ότι το συµµετρικό του σηµείου Α ως προς την ευθεία ε 1 είναι το σηµείο Α (0,4). Β3. Έστω Β το σηµείο τοµής των ευθειών ε 1 και ε 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. ΘΕΜΑ Γ (Μονάδες = 5) ίνονται τα διανύσµατα α = (, 4) και β µε β = 4 και α β = 6. Γ1. Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα α, β είναι κάθετα. Γ. Να βρείτε το µέτρο του διανύσµατος α+ β. Γ3. ίνεται το διάνυσµα γ = α 3 β. Να βρείτε την προβολή του γ πάνω στο α.

48 ΘΕΜΑ (Μονάδες = 5) ίνεται η εξίσωση ( x+ α) + ( y β + 1) = µ 1 (1) όπου α, β, µ R και η ευθεία ε : x+ y+ 7= Να βρείτε τις τιµές του µ R για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο και να γράψετε το κέντρο Κ και την ακτίνα του ρ. x y. Για µ= 4 να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης + = 1 αν είναι γνωστό ότι το κέντρο α β Κ του κύκλου κινείται στην ευθεία ε και ότι οι εστίες της έλλειψης είναι Ε ( ρ, 0) και Ε (ρ,0), όπου ρ η ακτίνα του κύκλου. 3. Αν α = 4 και β = 1 να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΕΚΕ. Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α

49 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. Να δείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση χ +ψ =ρ ( Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. r r r r r r α. Αν α β τότεα β = α β r δ = Β, Α β. Η ευθεία με εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( ) γ. Η απόσταση των σημείων ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( + ) Αχ,ψ,Β χ,ψ είναι ίση ΑΒ χ χ ψ ψ δ. Η παραβολή με εξίσωση χ =ρψ έχει την εστία της πάνω στο χ χ ε. Η εξίσωση χ +ψ +λ =0 όπου λ πραγματικός αριθμός είναι εξίσωση κύκλου ( Μονάδες 10) Θέμα ίνονται τα σημεία Α(-,3), Β(0,8),Γ(5,3) και (10,5).Να υπολογίσετε: α) Το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ uuur Γ uuur ( Μονάδες 8 ) uuur uuur uuur uur ΑΓ + Β Α ΒΓ ( β) Το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) Μονάδες 8 ) γ) Τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα ΑΒ uuur + Γ uuur με τον άξονα χ χ ( Μονάδες 8 ) Θέμα 3 Α. Αν α,β δυο περιττοί ακέραιοι αριθμοί δείξτε ότι το α +β είναι πολλαπλάσιο του ( Μονάδες 10) Β. Αν α,β,γ διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του α +β +γ με το 1 ( Μονάδες 15) Θέμα 4 ίνονται τα σημεία Α(0,0),Β(6,0) και Γ(4,3) α) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου του τριγώνου ΑΒΓ από την κορυφή Γ ( Μονάδες 8 )

50 β) Η απόσταση της κορυφής Α από την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ ( Μονάδες 8 ) γ) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σημεία Α,Β,Γ ( Μονάδες 9)

51 ΤΑΞΗ Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν α, v είναι δύο διανύσματα του επιπέδου με α 0 και η προβολή του v στο α συμβολίζεται με προβ v, τότε να αποδείξετε ότι α v = α προβ v. a a Μονάδες 1 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Η εκκεντρότητα της υπερβολής x y = α είναι ε =. =. γ) Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε ( γ,0), Ε(γ,0) και σταθερό x y άθροισμα α είναι + =1 όπου β = α γ α β. δ) Η εφαπτομένη της παραβολής x =py στο σημείο της Α(x 1,y 1 ) έχει εξίσωση xx 1 = py 1 Μονάδες 8 Γ. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του; Μονάδες 5 β) Η ευθεία με εξίσωση Ax+Β y +Γ είναι κάθετη στο διάνυσμα δ ( Β, Α) ΘΕΜΑ Ο v Για τα διανύσματα α, β v v v δίνεται ότι α = 1, β = και r r r r v r διανύσματα u = α + 3β, v = α - β. Να υπολογίσετε: v α) το εσωτερικό γινόμενο α β v β) τα μέτρα u v, v των διανυσμάτων v u και v γ) το εσωτερικό γινόμενο δ) το συν v, u. u v v α, β = π 3. Έστω ακόμη τα Μονάδες 5 Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 4

52 ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η εξίσωση x + y - xy - 4x + 4y + 3 = 0. (1) α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει τις παράλληλες ευθείες ε 1 : y= x-1 και ε : y= x-3 Μονάδες 8 β) Να σχεδιάσετε τις ε 1 και ε. Μονάδες 4 γ) Να βρείτε την απόσταση των ε 1 και ε. Μονάδες 5 δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζεται από τις ε 1, ε και τους άξονες x x και y y. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω τα σημεία Α(0, α), Ε(0, α) με α>0 και τα συμμετρικά τους ως προς την αρχή των αξόνων Α και Ε αντίστοιχα. α) Να βρείτε: i) την εξίσωση του κύκλου (C) με διάμετρο ΑΑ. Μονάδες ii) τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε 1 και ε του κύκλου (C) που διέρχονται από το σημείο Ε και να υπολογίσετε την οξεία γωνία που σχηματίζουν. Μονάδες 13 (8-5) β) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω εφαπτόμενες ε 1 και ε του κύκλου (C) και οι ασύμπτωτες της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε και Ε και κορυφές τα σημεία Α και Α σχηματίζουν δυο ζεύγη καθέτων ευθειών. Μονάδες 10 Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. Στη φωτοτυπία των θεμάτων θα γράψετε μόνο το όνομα σας και όλες τις απαντήσεις των θεμάτων να τις γράψετε στην κόλλα σας. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΩΡΕΣ. Καλή επιτυχία

53 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Έστω Α(x 1,y 1 ), Β(x,y ) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου Oxy και Μ(x,y) το μέσο του τμήματος ΑΒ Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες (x,y) του σημείου Μ συναρτήσει των συντεταγμένων των Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ). (Μονάδες 10) Β. Τι ονομάζουμε έλλειψη. (Μονάδες 5) Γ. Να απαντήσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι Σωστές ή Λάθος. α. Αν r α = r β, τότε r α = r β. (Μονάδες ) β. Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. (Μονάδες ) γ. ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας x=1 είναι 1 (Μονάδες ) δ. Εστιακή απόσταση μιας έλλειψης ονομάζεται η απόσταση δύο σημείων της που είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο της. (Μονάδες ) ε. Η παραβολή με εστία το σημείο (1, 0) έχει παράμετρο p =. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Ο Α. Να βρείτε σημείο τομής των ευθειών x-5y+3=0 και x-3y-7=0 (Μονάδες 9) Β. Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών και είναι κάθετη στην ευθεία 4x+y+1=0 (Μονάδες 9) Γ. Να βρείτε την απόσταση του παραπάνω σημείου από τη ευθεία 4x+y+1=0 (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνονται τα διανύσματα α r,β r με α r = β r =3 και r r π (α,β)= 3 α. Να βρεθεί ο αριθμός α r.β r (Μονάδες 5) r r r r r r β. Άν u=3α β και v=κα + β κ єr τότε: r r i) να υπολογίσετε τον κ ώστε τα διανύσματα u και v να είναι κάθετα (Μονάδες 10) i) να υπολογίσετε το u r (Μονάδες 10)

54 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω ότι η παραβολή C 1 : y =px έχει εστία Ε, το κέντρο του κύκλου C : x +y -x-4=0 Α. Να βρείτε την παράμετρο p της παραβολής C 1. (Μονάδες 6) Β. Για p= i. να βρείτε τις εφαπτομένες της παραβολής C 1 που διέρχονται από το σημείο Α(0,). (Μονάδες 10) ii. Nα βρείτε εκείνη την ευθεία του ερωτήματος ( i) που εφάπτεται και στον κύκλο C. (Μονάδες 9)

55 Προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 009 Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη: Β Λυκείου Θέμα 1 ο r Α) Δίνονται τα διανύσματα α β r, συναρτήσει των συντεταγμένων τους ώστε αr = ( α 1, α ) και βr = ( β 1, β ). Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο τους r εκφράζεται μέσω των συντεταγμένων τους από τον τύπο α β r = α1α + β1β (Μονάδες 15) Β) Να χαρακτηρίσετε (στο απαντητικό φύλλο) τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) r r r r α) Αν για δύο μη μηδενικά διανύσματα α, β ισχύει ότι α β = α β τότε είναι α β. Σ Λ β) Κάθε ευθεία που βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο μπορεί να παρασταθεί από την εξίσωση y = λ(x x ) Σ Λ y 0 0 γ) Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 όπου A,B, Γ 0 παριστάνει πάντα ένα κύκλο στο επίπεδο. Σ Λ δ) Αν α, β ακέραιοι αριθμοί και ισχύει ότι α β και β α τότε είναι α=β Σ Λ ε) Η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα δ r = ( Β, Α) Σ Λ (Μονάδες 10) Θέμα ο Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση (C): y + x y + Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του. (Μονάδες 5) x =

56 Β) Να βρείτε την απόσταση του κέντρου του από την αρχή των αξόνων (Μονάδες 10) Γ) Να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο με εξίσωση x + y = 9. (Μονάδες 10) Θέμα 3 ο Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με την κορυφή Β να έχει συντεταγμένες Β(-,1). Αν η πλευρά ΑΓ έχει εξίσωση y =x + 1και η διάμεσος ΑΜ έχει εξίσωση y = 3 x + 5, να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες της κορυφής Α και Γ. (5 Μονάδες) β) Τις συντεταγμένες της κορυφής Γ (10 Μονάδες) γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (10 Μονάδες) Θέμα 4 ο Α) Αν 13 α + 5 και 13 5 β να αποδείξετε ότι 13 5α + β (10 Μονάδες) Β) Δίνονται τέσσερεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί α, β, γ, δ. Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθμός βγ-αδ=. (8 Μονάδες) β) Ο αριθμός βδ-αγ είναι περιττός. (7 Μονάδες)