3. Στοιχεία και ιεργασίες Συμμετρίας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Στοιχεία και ιεργασίες Συμμετρίας"

Transcript

1 3. Στοιχεία και ιεργασίες Συμμετρίας ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o διακρίνετε την έννοια του στοιχείου και της διεργασίας συμμετρίας o αναγνωρίζετε την ύπαρξη των αξόνων περιστροφής, των επιπέδων κατοπτρισμού, του κέντρου συμμετρίας και των αξόνων στροφοκατοπτρισμού σε ένα μόριο o προβλέπετε το αποτέλεσμα μιας διεργασίας συμμετρίας σε ένα μόριο o προβλέπετε τη διεργασία που προκύπτει από το συνδυασμό δύο ή περισσότερων διεργασιών συμμετρίας και των αντιστρόφων διεργασιών συμμετρίας o διακρίνετε τις γενεσιουργές και τις παράγωγες διεργασίες συμμετρίας o περιγράφετε τη συμμετρία ενός μορίου με βάση το σύνολο των στοιχείων και των διεργασιών συμμετρίας Προαπαιτούμενες γνώσεις Βασικές γνώσεις στερεοχημείας και γεωμετρίας. 3.1 Εισαγωγή Όλοι οι άνθρωποι, άλλοι σε μεγαλύτερο και άλλοι σε μικρότερο βαθμό, αντιλαμβάνονται διαισθητικά την ύπαρξη συμμετρίας σε ένα αντικείμενο. Για παράδειγμα στην περίπτωση του κύβου (Σχήμα 3.1α), κάποιοι απο εμάς αναγνωρίζουν την ύπαρξη ενός επιπέδου που τον διχοτομεί σε δύο ισοδύναμα τμήματα που έχουν μεταξύ τους σχέση ειδώλου αντικειμένου. Σχήμα 3.1α. Κατοπτρισμός σε επίπεδο και περιστροφή περί άξονα ενός κύβου Από την άλλη, κάποιοι παρατηρώντας τον ίδιο κύβο μπορεί να αναγνωρίσουν την ύπαρξη ενός άξονα που διέρχεται από τα μέσα των δύο απέναντι εδρών του, γύρω από τον οποίο αν περιστραφεί κατά γωνία 90 ο, δεν θα αλλάξει η "εμφάνιση" του. Στην περίπτωση επομένως του κύβου αλλά και σε οποιοδήποτε αντικείμενο, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται την ύπαρξη συμμετρίας όταν η κίνηση αυτού ως προς κάποιους άξονες ή επίπεδα δεν αλλάζει την εμφάνιση του ή τη θέση του στο χώρο. Οι άξονες και τα επίπεδα αυτά είναι γνωστά ως στοιχεία συμμετρίας, ενώ οι "κινήσεις" ως προς αυτά ονομάζονται διεργασίες συμμετρίας και αναλύονται διεξοδικά στη συνέχεια. Ωστόσο η ακριβής μαθηματική περιγραφή της συμμετρίας ενός αντικειμένου ή μορίου απέχει πολύ από την παραπάνω διαισθητική αναγνώριση κάποιων γεωμετρικών ιδιοτήτων του. Όπως θα δειχθεί στη συνέχεια, αυτή συνίσταται στον εντοπισμό και στην καταγραφή όλων των δυνατών στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας σ' αυτό. 3.2 Ορισμός Στοιχείου και ιεργασίας Συμμετρίας Η συμμετρία των μορίων καθορίζεται από τις διεργασίες συμμετρίας και τα αντίστοιχα σε αυτές στοιχεία συμμετρίας. Μια διεργασία συμμετρίας είναι μια εσωτερική κίνηση ενός αντικειμένου ή των μερών του, ως προς ένα γεωμετρικό χαρακτηριστικό του, μετά το τέλος της οποίας όλα τα σημεία του αντικειμένου βρίσκονται στις αρχικές ή ισοδύναμες θέσεις. Έτσι, όταν εφαρμοστεί μια διεργασία συμμετρίας σε ένα αντικείμενο το αφήνει απαράλλαχτο, δηλαδή η αρχική και η τελική του γεωμετρία καθώς και η διευθέτησή του στο χώρο πριν και μετά τη διεργασία είναι αδιάκριτες μεταξύ τους. 11

2 Για να γίνει η έννοια της διεργασίας συμμετρίας πιο κατανοητή, ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε μπροστά σε ένα αντικείμενο το οποίο παρατηρούμε προσεκτικά. Στη συνέχεια κλείνουμε τα μάτια ενώ ταυτόχρονα κάποιος θέτει το αντικείμενο σε κίνηση, δηλαδή εκτελεί μια διεργασία σ' αυτό. Η κίνηση ή αλλιώς η διεργασία αυτή θα χαρακτηρίζεται ως διεργασία συμμετρίας, μόνο όταν ξανανοίγοντας τα μάτια και παρατηρώντας ξανά το αντικείμενο δε θα μπορούμε να καταλάβουμε αν πραγματοποιήθηκε ή όχι κάποια διεργασία σε αυτό, καθόσον τόσο η γεωμετρία, όσο και η διευθέτηση στο χώρο θα παραμένουν ίδιες με την αρχική. Ας επανεξετάσουμε την περίπτωση του κύβου και τις διεργασίες σε αυτό. Στο Σχήμα 3.2α παρουσιάζεται το αποτέλεσμα της περιστροφής του κύβου περί τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο δύο απέναντι εδρών. Εύκολα διαπιστώνεται ότι η περιστροφή κατά 120 δεν είναι διεργασία συμμετρίας καθόσον, μετά την εκτέλεσή της, η διάταξη του κύβου στο χώρο θα αλλάξει. Αντίθετα, οι περιστροφές κατά 90, 180 και 360 είναι διεργασίες συμμετρίας, καθόσον μετά την εκτέλεσή τους η διάταξη του κύβου στο χώρο θα παραμένει ίδια. Όπως προαναφέρθηκε μετά την εκτέλεση μιας διεργασίας συμμετρίας όλα τα σημεία του αντικειμένου επανέρχονται στις αρχικές ή μετατοπίζονται σε ισοδύναμες θέσεις. Πράγματι, αν μελετήσουμε την αρίθμηση των κορυφών του κύβου θα διαπιστώνουμε ότι μετά την εφαρμογή των διεργασιών περιστροφής κατά 90 και 180, η κορυφή 1 θα βρίσκεται στη θέση της κορυφής 2 ή της 3 αντίστοιχα, δηλαδή σε ισοδύναμες θέσεις. Το ίδιο θα συμβεί και στις υπόλοιπες κορυφές και γενικά σε όλα τα σημεία του κύβου. Ακόμη διαπιστώνουμε ότι μετά από περιστροφή κατά 360, η κορυφή 1 θα βρίσκεται στην αρχική της θέση όπως και όλες οι άλλες κορυφές και όλα τα σημεία του κύβου. Εφόσον όμως οι κορυφές του κύβου είναι Σχήμα 3.2α. Περιστροφές κύβου περί ισοδύναμες, όλες αυτές οι διεργασίες περιστροφής κατά 90, 180 άξονα. και 360 θα αποτελούν διεργασίες συμμετρίας. ΣτoΣχήμα 3.2β δίνεται το αποτέλεσμα της περιστροφής του μορίου του νερού περί τους καρτεσιανούς άξονες x, y και z κατά 180. Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι περιστροφές περί των x και y δεν είναι διεργασίες συμμετρίας καθόσον, μετά την εκτέλεσή τους, η διάταξη στο χώρο του μορίου αλλάζει και μόνο το άτομο του οξυγόνου παραμένει στην αρχική του θέση. Αντίθετα, η περιστροφή περί τον z είναι διεργασία συμμετρίας, καθόσον μετά την εκτέλεσή τους η διάταξη στο χώρο του μορίου παραμένει η ίδια. Από την παρατήρηση της αρίθμησης των ατόμων προκύπτει ότι μετά την περιστροφή περί τον άξονα z το άτομο οξυγόνου παραμένει στην αρχική του θέση, ενώ τα άτομα υδρογόνου 1 και 2 ανταλλάσσουν θέσεις μεταξύ τους. Εφόσον όμως τα δύο άτομα υδρογόνου είναι ισοδύναμα, η περιστροφή περί τον z Σχήμα 3.2β. Περιστροφές τους μορίου του νερού περί τους άξονες x, y, z κατά 180. αποτελεί διεργασία συμμετρίας του μορίου. Ένα στοιχείο συμμετρίας είναι ένα γεωμετρικό χαρακτηριστικό ενός αντικειμένου, όπως μια ευθεία, ένα επίπεδο ή ένα σημείο, με βάση το οποίο εκτελούνται μία ή περισσότερες διεργασίες συμμετρίας. Είναι προφανές ότι υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία ανάμεσα στις διεργασίες συμμετρίας και στα στοιχεία συμμετρίας με βάση τα οποία εκτελούνται οι διεργασίες. 12

3 Για λόγους απλότητας όπως θα δούμε και στη συνέχεια, οι συμβολισμοί που αποδίδονται στις διεργασίες συμμετρίας και στα στοιχεία συμμετρίας είναι όμοιοι. Ωστόσο, οι δύο έννοιες είναι εντελώς διαφορετικές. Οι διεργασίες συμμετρίας, είναι συγκεκριμένες ενέργειες - δράσεις οι οποίες εκτελούνται (τελούνται) επί των αντικειμένων ή μορίων και στην ουσία αποτελούν μαθηματικούς τελεστές που υπακούουν στα θεωρήματα και τα αξιώματα της άλγεβρας τελεστών. Για να μην συγχέονται οι δύο αυτές έννοιες, για τους τελεστές, δηλαδή για τους συμβολισμούς των διεργασιών συμμετρίας θα χρησιμοποιούνται έντονοι και πλάγιοι (X) χαρακτήρες ενώ για τα στοιχεία συμμετρίας μόνο πλάγιοι (X). Υπάρχουν πέντε διεργασίες συμμετρίας και πέντε αντίστοιχα στοιχεία συμμετρίας, τα οποία αναλύονται παρακάτω. 3.3 Ταυτότητα, Ε Η ταυτότητα, Ε, είναι η απλούστερη διεργασία συμμετρίας και όταν εφαρμόζεται σε ένα αντικείμενο δε μετακινεί κανένα σημείο του και συνεπώς δεν έχει καμία επίδραση πάνω του, δηλαδή όλα τα μέρη του παραμένουν στην αρχική τους θέση. Στο Σχήμα 3.3α παρατηρούμε ότι μετά την εφαρμογή της διεργασίας της ταυτότητας στο μόριο XeF 4, δεν επέρχεται καμία αλλαγή ούτε στη γεωμετρία ούτε στον προσανατολισμό του στο χώρο και όλα τα σημεία του παραμένουν στις αρχικές τους θέσεις. Ως στοιχείο συμμετρίας Ε, που αντιστοιχεί στη διεργασία της ταυτότητας, Ε, θεωρείται το ίδιο το αντικείμενο μόριο. Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι όλα τα αντικείμενα και τα μόρια περιέχουν το Σχήμα 3.3α. Επίδραση της ταυτότητας στο μόριο XeF 4. στοιχείο συμμετρίας της ταυτότητας. Όταν ένα αντικείμενο ή μόριο περιέχει μόνο την ταυτότητα και καμία άλλη διεργασία συμμετρίας, τότε λέγεται ασυμμετρικό. Η ταυτότητα εισάγεται ως διεργασία στη μοριακή συμμετρία διότι αποτελεί μια διεργασία απαραίτητη στα πλαίσια της εφαρμογής της θεωρίας των ομάδων. 3.4 Περιστροφή, C n - Άξονες Περιστροφής, C n Η διεργασία συμμετρίας περιστροφής περί άξονα ή κατάλληλης περιστροφής συμβολίζεται ως C n και συνίσταται στην περιστροφή του μορίου γύρω από έναν άξονα κατά 2π/n ακτίνια ή κατά γωνία 360 /n, μετά την οποίαν τα άτομα του μορίου βρίσκονται στις αρχικές ή σε ισοδύναμες θέσεις. Ο άξονας γύρω από τον οποίο γίνεται η περιστροφή αποτελεί το αντίστοιχο στοιχείο συμμετρίας, ονομάζεται άξονας περιστροφής ή άξονας κατάλληλης περιστροφής ή άξονας συμμετρίας και συμβολίζεται ως C n. Η φορά κατά την οποίαν πραγματοποιείται η περιστροφή δεν έχει σημασία, αρκεί όλες οι περιστροφές να εκτελούνται πάντα κατά την ίδια φορά. Κατά σύμβαση στη συνέχεια ως φορά περιστροφής θεωρείται η φορά των δεικτών του ρολογιού. Ο αριθμός n ονομάζεται τάξη του άξονα και είναι πάντα φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του μηδενός. Κατ επέκταση μια περιστροφή κατά 2π/n ακτίνια ονομάζεται περιστροφή νιοστής τάξης και ο αντίστοιχος άξονας, άξονας νιοστής τάξης. Για παράδειγμα, για n=2 έχουμε την διεργασία της περιστροφής C 2 περί άξονα δευτέρας τάξης C 2, κατά γωνία 2π/2=180. Για n=3 έχουμε περιστροφή C 3 περί άξονα τρίτης τάξης C 3, κατά γωνία 2π/3=120 κ.ο.κ. 13

4 Σχήμα 3.4α ιαδοχική εφαρμογή της διεργασίας C 4 στο μόριο του XeF 4 Στο Σχήμα 3.4α φαίνεται το αποτέλεσμα διαδοχικής εφαρμογής της διεργασίας περιστροφής, C 4, περί τον άξονα τέταρτης τάξης C 4 (2π/4 = 90 ) στο επίπεδο τετραγωνικό μόριο XeF 4. Ο άξονας C 4 διέρχεται από το κεντρικό άτομο του ξένου (Xe) και είναι κάθετος στο επίπεδο του μορίου. Τα άτομα του φθορίου (F) είναι ισοδύναμα και η επισήμανσή τους με τα γράμματα (α)-(δ) υπάρχει μόνο για να γίνουν αντιληπτά τα αποτελέσματα κάθε διεργασίας. Αν εφαρμοστεί η διεργασία C 4 τέσσερεις διαδοχικές φορές, παρατηρούμε ότι το κεντρικό άτομο του ξένου, που κείται επί του άξονα C 4, παραμένει πάντα στην αρχική του θέση, ενώ τα άτομα του φθορίου μετά τις τρεις πρώτες εφαρμογές της διεργασίες μετατοπίζονται σε ισοδύναμες θέσεις. Όταν εφαρμοστεί για τέταρτη φορά η διεργασία C 4 τα άτομα του φθορίου επιστρέφουν στην αρχική τους θέση. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να επιστρέψουν όλα τα άτομα του XeF 4 στην αρχική τους θέση η διεργασία C 4 πρέπει να εφαρμοστεί τέσσερεις φορές. Έτσι, προκύπτει ότι η τάξη ενός άξονα C n, μπορεί να οριστεί και ως το πλήθος των περιστροφών, n, που απαιτούνται για να επιστρέψουν όλα τα άτομα του μορίου στις αρχικές τους θέσεις. Το μόριο XeF 4 εκτός από τον άξονα περιστροφής C 4 έχει και άλλους πέντε άξονες συμμετρίας (Σχήμα 3.4β). Οι άξονες αυτοί είναι δεύτερης τάξης, C 2, διέρχονται από το κεντρικό άτομο του ξένου και αντιστοιχούν στη διεργασία περιστροφής του μορίου κατά 180, C 2. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα ο ένας από τους πέντε άξονες C 2 ταυτίζεται με τον C 4, ενώ οι υπόλοιποι τέσσερεις άξονες C 2 κείνται στο επίπεδο του μορίου και είναι κάθετοι στον άξονα C 4. Σχήμα 3.4β Άξονες C 2 στο μόριο XeF 4 Είναι προφανές ότι η ύπαρξη πολλών αξόνων σε ένα μόριο με ίδια ή διαφορετική τάξη θέτει ένα πρόβλημα ταξινόμησης και συμβολισμού τους. Έτσι, για το συμβολισμό των αξόνων περιστροφής εφαρμόζονται οι παρακάτω κανόνες: o Ο άξονας μεγαλύτερης τάξης σε ένα μόριο, δηλαδή με το μεγαλύτερο n, ονομάζεται κύριος άξονας. Σε μόρια με υψηλή συμμετρία υπάρχουν περισσότεροι του ενός κύριοι άξονες ίδιας τάξης. o Όταν σε ένα μόριο υπάρχουν ή υπάρχει άξονας μικρότερης τάξης που συμπίπτει με τον κύριο άξονα, ο άξονας αυτός συμβολίζεται χωρίς διακριτικά. o Οι άξονες που είναι κάθετοι στον κύριο άξονα συμβολίζονται με την πρόσθεση ενός ( ) ή δύο ( ) τόνων. Ο συμβολισμός ( ) χρησιμοποιείται για τους άξονες που διέρχονται από τα περισσότερα άτομα. Σχήμα 3.4γ ιεργασίες περιστροφής του μορίου XeF 4 περί τους άξονες C 2 14

5 Με βάση τους παραπάνω κανόνες, στο παράδειγμα του μορίου XeF 4, οι τέσσερις άξονες δεύτερης τάξης που είναι κάθετοι στον κύριο άξονα C 4, διακρίνονται από τον κάθετο στο επίπεδο του μορίου άξονα C 2 με τη χρήση των συμβόλων C 2 και C 2. Οι άξονες C 2 είναι εκείνοι που διέρχονται από την ευθεία F-Xe-F και συνεπώς διέρχονται από τα περισσότερα άτομα, ενώ οι C 2 διχοτομούν τις γωνίες F-Xe-F. Το αποτέλεσμα των διεργασιών συμμετρίας που αντιστοιχούν σε όλους τους άξονες C 2 του μορίου δίνονται στο Σχήμα 3.4γ. Υπενθυμίζεται ότι χρειάζονται δύο διεργασίες περιστροφής περί έναν άξονα δεύτερης τάξης για να επιστρέψουν όλα τα άτομα του μορίου στις αρχικές τους θέσεις. Παρόλο που υπάρχουν δύο ζεύγη αξόνων C 2 και C 2, δε χρειάζονται παραπάνω διακριτικά γιατί, όπως μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί, οι άξονες αυτοί βρίσκονται ανά δύο σε γεωμετρικά ισοδύναμες θέσεις, δηλαδή ανταλλάσσουν θέσεις με την εφαρμογή μιας άλλης διεργασίας συμμετρίας του μορίου. Στο παραπάνω παράδειγμά οι δύο άξονες C 2 και οι δύο άξονες C 2 ανταλλάσσουν θέσεις με την περιστροφή περί τον C 2. Όπως θα δούμε στη συνέχεια στη θεωρία των ομάδων τα μέλη αυτών των ζευγών αξόνων (ή και τριάδων σε άλλα μόρια) θεωρείται ότι ανήκουν στην ίδια κλάση. Μια ιδιαίτερη περίπτωση άξονα περιστροφής είναι ο άξονας περιστροφής άπειρης τάξης C φ. Η γωνία περιστροφής της αντίστοιχης διεργασίας περιστροφής C φ είναι ίση με 2π/ =δφ και στην πραγματικότητα μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή φ. Ο άξονας αυτός απαντάται στη σφαίρα και συμπίπτει με οποιοδήποτε άξονα διέρχεται από το κέντρο της. Επίσης απαντάται στα όμο- και ετεροδιατομικά μόρια φ καθώς και στα γραμμικά μόρια όπως το αιθίνιο και συμπίπτει Σχήμα 3.4δ Άξονες C σε γραμμικά μόρια με την ευθεία που διέρχεται από το δεσμό ή τους δεσμούς. φ Είναι προφανές ότι σε όλες αυτές τις περιπτώσεις η περιστροφή γύρω από οποιαδήποτε γωνία περί τον C αποτελεί διεργασία συμμετρίας. Η διεργασία περιστροφής C 1 αντιστοιχεί σε περιστροφή κατά γωνία 2π/1=360 και προφανώς θα επαναφέρει όλα τα άτομα ενός μορίου στην αρχική τους θέση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.4ε. Έτσι, το αποτέλεσμά της είναι ίδιο με αυτό της διεργασίας της ταυτότητας. Συνεπώς C 1 =Ε. Σχήμα 3.4ε Άξονας C 1 στο μόριο XeF Κατοπτρισμός ως προς επίπεδο, σ - Επίπεδα κατοπτρισμού, σ Η διεργασία κατοπτρισμού συμβολίζεται με σ και αποτελεί μια αμφίπλευρη συμμετρία του μορίου σε σχέση με ένα επίπεδο κατοπτρισμού ή επίπεδο συμμετρίας. Το επίπεδο αυτό είναι το αντίστοιχο στοιχείο συμμετρίας, διχοτομεί το μόριο και συμβολίζεται με σ. Κατά την διεργασία αυτή για κάθε άτομο που απέχει από το επίπεδο σ κατά r, υπάρχει ένα όμοιο άτομο που απέχει από το επίπεδο κατά -r, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.5α. Ένα μόριο μπορεί να έχει ένα ή περισσότερα επίπεδα κατοπτρισμού. Έτσι, στην περίπτωση του μορίου του XeF 4 (Σχήμα 3.5β) υπάρχουν πέντε επίπεδα κατοπτρισμού. Τα επίπεδα κατοπτρισμού ταξινομούνται σε τρεις ομάδες που συμβολίζονται ως σ h, σ v και σ d. Σχήμα 3.5α Κατοπτρισμός σημείου ω προς επίπεδο 15

6 Σχήμα 3.5β Επίπεδα κατοπτρισμού στο μόριο XeF 4 Ως επίπεδο σ h ορίζεται το επίπεδο που είναι κάθετο στον κύριο ή στους κύριους άξονες του μορίου. Το διακριτικό h αντιστοιχεί στη λέξη horizontal (οριζόντιο) και τα επίπεδα αυτά ονομάζονται οριζόντια επίπεδα. Στο παράδειγμα του μορίου XeF 4, εφόσον υπάρχει μόνον ένας κύριος άξονας C 4, υπάρχει μόνο ένα επίπεδο σ h και ταυτίζεται με το επίπεδο του μορίου. Η διεργασία του κατοπτρισμού σ h, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.5γ, δεν έχει καμιά επίδραση πάνω σε αυτό αφού όλα τα άτομα του μορίου κείνται επί αυτού. Σε μόρια με περισσότερους του ενός κύριους άξονες περιστροφής υπάρχουν περισσότερα του ενός επίπεδα σ h, ίσα πάντα σε πλήθος με τους άξονες. Επίσης τα επίπεδα σ h μπορεί να μην διέρχονται από κάποιο από τα άτομα του μορίου. Για παράδειγμα στο μόριο του κουβάνιου (Σχήμα 3.5δ), που έχει δομή κύβου, υπάρχουν τρία επίπεδα σ h, που το καθένα διχοτομεί τις απέναντι έδρες του κύβου. Σχήμα 3.5δ Επίπεδα κατοπτρισμού στο μόριο του κουβανίου (τα υδρογόνα δε φαίνονται) Τα υπόλοιπα επίπεδα του μορίου XeF 4 περιέχουν τον κύριο άξονα (Σχήμα 3.5β). Μάλιστα η τομή τους ορίζει τον άξονα αυτών. Τα επίπεδα αυτά ονομάζονται κατακόρυφα (vertical) ή Σχήμα 3.5ε Κατοπτρισμός του μορίου XeF 4 προς τα επίπεδα σ v και σ d διαγώνια (diagonal) επίπεδα και συμβολίζονται ως σ v ή σ d αντιστοίχως. Ως κατακόρυφα επίπεδα, σ v, χαρακτηρίζονται τα επίπεδα που περιέχουν τους ισημερινούς δεσμούς Xe-F και περιέχουν τους άξονες C 2, ενώ ως διαγώνια, σ d, αυτά που διχοτομούν τις γωνίες των ισημερινών δεσμών F-Xe-F και περιέχουν τους άξονες C 2. Πρακτικά, στη μοριακή συμμετρία, τα επίπεδα σ v είναι εκείνα που διέρχονται από μεγαλύτερο αριθμό ατόμων σε σχέση με τα επίπεδα σ d. Παρόλο που υπάρχουν δύο ζεύγη επιπέδων σ v και σ d, δε χρειάζονται παραπάνω διακριτικά γιατί τα επίπεδα αυτά βρίσκονται ανά δύο σε γεωμετρικά ισοδύναμες θέσεις και ανταλλάσσουν θέσεις με 16

7 την εφαρμογή μιας άλλης διεργασίας συμμετρίας του μορίου. Στο παράδειγμά μας τα δύο σ v και τα δύο σ d ανταλλάσσουν θέσεις με περιστροφή περί τον C 2. Όπως θα δούμε στη συνέχεια στη θεωρία των ομάδων τα μέλη αυτών των ζευγών επιπέδων (ή και τριάδων σε άλλα μόρια) θεωρείται ότι ανήκουν στην ίδια κλάση. Στο Σχήμα 3.5ε δίνεται το αποτέλεσμα δύο εκ των διεργασιών κατοπτρισμού σ v και σ d στο μόριο XeF 4. Η διεργασία κατοπτρισμού σ v έχει ως συνέπεια την ανταλλαγή των θέσεων των ατόμων φθορίου που βρίσκονται σε θέσεις trans-, εκατέρωθεν του επιπέδου, ενώ αφήνει τα υπόλοιπα άτομα φθορίου στη θέση τους. Η διεργασία κατοπτρισμού σ d έχει ως συνέπεια την ανταλλαγή των θέσεων όλων των ζευγών ατόμων του φθορίου που βρίσκονται σε θέσεις cis- εκατέρωθεν του επιπέδου. Ο κατοπτρισμός ως προς και τα δύο επίπεδα δεν επηρεάζει το κεντρικό άτομο του Xe, εφόσον αυτό κείται επί των επιπέδων. Αντίστοιχο είναι το αποτέλεσμα των άλλων δύο διεργασιών σ v και σ d. Σε πολλά μόρια υπάρχει μόνο ένα είδος επιπέδων σ v ή σ d, όπως συμβαίνει στην περίπτωση της εκλειπτικής και διαβαθμισμένης διαμόρφωσης του αιθανίου. Στο Σχήμα 3.5ζ φαίνεται ότι και στις δύο δομές υπάρχει ένας κύριος άξονας C 3 και τρία κατακόρυφα επίπεδα, η τομή των οποίων συμπίπτει με αυτόν. Στην περίπτωση της εκλειπτικής διαμόρφωσης τα τρία επίπεδα χαρακτηρίζονται ως σ v, ενώ στην περίπτωση της διαβαθμισμένης διαμόρφωσης ως σ d. Σε κάθε περίπτωση όμως στις εξαιρετικές αυτές περιπτώσεις μορίων ο χαρακτηρισμός των επιπέδων ως σ v ή σ d δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικός κατά την μελέτη της συμμετρίας τους. Σχήμα 3.5ζ Επίπεδα συμμετρίας της εκλειπτικής (αριστερά) και της διαβαθμισμένης (δεξιά) διαμόρφωσης του αιθανίου Σχήμα 3.5στ Επίπεδα συμμετρίας των μορίων του 1,2-διμεθυλοκυκλοπεντανίου (αριστερά) και του αιθενίου (δεξιά) Στην περίπτωση που δεν υπάρχει κύριος άξονας, όπως για παράδειγμα στα μόρια του 1,2-διμεθυλοκυκλοπεντανίου, το επίπεδο ή τα επίπεδα αυτά συμβολίζονται απλά με σ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.5στ. Στις περιπτώσεις μορίων όπου υπάρχουν περισσότερα του ενός επίπεδα κατοπτρισμού σ, όπως στο μόριο του αιθενίου (Σχήμα 3.5στ), αυτά διακρίνονται μεταξύ τους με την προσθήκη στα σύμβολά τους των καρτεσιανών αξόνων από τους οποίους ορίζονται, σ(xy), σ(yz), σ(zx). Τέλος είναι προφανές ότι η διαδοχική εκτέλεση της διεργασίας του κατοπτρισμού ως προς οποιοδήποτε επίπεδο, έχει ως συνέπεια την επαναφορά όλων των ατόμων του μορίου στην αρχική τους θέση. 3.6 Αναστροφή ως προς Σημείο, i - Κέντρο Aναστροφής, i Η διεργασία της αναστροφής, i, ορίζεται σε σχέση με ένα κεντρικό σημείο του μορίου, από το οποίο διέρχονται όλα τα υπόλοιπα στοιχεία συμμετρίας και αποτελεί το κέντρο μάζας του μορίου. Το σημείο αυτό θεωρείται ότι είναι η αρχή των καρτεσιανών συντεταγμένων του συστήματος (0,0,0) και αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας Σχήμα 3.6α ιεργασία αναστροφής στο μόριο XeF κέντρο αναστροφής ή κέντρο συμμετρίας, i. Σε ένα μόριο που 4 διαθέτει κέντρο αναστροφής, υπάρχει για κάθε άτομο με συντεταγμένες (x, y, z) ένα όμοιο άτομο με συντεταγμένες 17

8 (-x, -y, -z). Στο παράδειγμα του μορίου XeF 4 το κέντρο αναστροφής ταυτίζεται με το άτομο του Xe και το αποτέλεσμα της διεργασίας αναστροφής φαίνεται στο Σχήμα 3.6α. Η διεργασία της αναστροφής ανταλλάσσει τις θέσεις αυτών των ατόμων. Είναι προφανές ότι ένα μόριο μπορεί να έχει μόνο ένα κέντρο αναστροφής. Επίσης, δυο διαδοχικές εφαρμογές της αναστροφής επαναφέρουν όλα τα άτομα στην αρχική τους θέση. Τα μόρια που περιέχουν κέντρο αναστροφής καλούνται κεντροσυμμετρικά. Τέλος, το κέντρο αναστροφής δεν είναι απαραίτητο να ταυτίζεται με κάποιο άτομο του μορίου. Έτσι, για παράδειγμα, στη διαβαθμισμένη διαμόρφωση του μορίου του αιθανίου, το κέντρο συμμετρίας βρίσκεται στο μέσο του δεσμού C-C, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.6β. Σχήμα 3.6β Κέντρο αναστροφής στο μόριο του αιθανίου 3.7 Στροφοκατοπτρισμός, S n - Άξονες Στροφοκατοπτρισμού, S n H διεργασία συμμετρίας στροφοκατοπτρισμού ή ακατάλληλης περιστροφής συμβολίζεται ως S n είναι μια σύνθετη διεργασία και συνίσταται από μια περιστροφή γύρω από έναν άξονα κατά 2π/n ακτίνια και στη συνέχεια έναν κατοπτρισμό ως προς επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα (Σχήμα 3.7α). Η σειρά που εκτελούνται οι δύο διακριτές διεργασίες που αποτελούν τον στροφοκατοπτρισμό δεν έχει σημασία, αλλά κατά σύμβαση θεωρούμε ότι καταρχήν εκτελείται η περιστροφή και στη συνέχεια ο κατοπτρισμός. Το στοιχείο συμμετρίας που αντιστοιχεί σε αυτήν τη διεργασία είναι ο άξονας περιστροφής, καλείται άξονας στροφοκατοπτρισμού ή άξονας ακατάλληλης περιστροφής και συμβολίζεται ως S n. Όπως και στους κατάλληλους άξονες περιστροφής C n, έτσι και εδώ η τιμή του n είναι η τάξη της διεργασίας στροφοκατοπτρισμού. Σχήμα 3.7α ιεργασία στροφοκατοπτρισμού Σχήμα 3.7β ιεργασία στροφοκατοπτρισμού S 4 στο μόριο SF 6 Τα συστατικά στοιχεία ενός άξονα στροφοκατοπτρισμού, δηλαδή ο άξονας και το επίπεδο, μπορεί να αποτελούν αυτόνομα στοιχεία συμμετρίας του μορίου, δηλαδή ο άξονας περιστροφής να αποτελεί άξονα συμμετρίας C n και το επίπεδο κατοπτρισμού να αποτελεί επίπεδο σ h, αλλά αυτό δεν αποτελεί κανόνα. Υπάρχουν περιπτώσεις μορίων στα οποία παρόλο που υπάρχει άξονας στροφοκατοπτρισμού S n, δεν υπάρχει άξονας περιστροφής C n ή επίπεδο κατοπτρισμού σ h. Δηλαδή, η ταυτόχρονη ύπαρξη των στοιχείων συμμετρίας C n και σ h αποτελεί ικανή αλλά όχι αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη άξονα στροφοκατοπτρισμού S n. Έτσι, στο οκταεδρικό μόριο SF 6 υπάρχει άξονας περιστροφής C 4 και επίπεδο σ h κάθετο σε αυτόν. Συνεπώς υπάρχει και άξονας στροφοκατοπτρισμού S 4. Το αποτέλεσμα της αντίστοιχης διεργασίας, S 4, δίνεται στο Σχήμα 3.7β, από όπου εύκολα προκύπτει ότι τα αξονικά άτομα φθορίου που βρίσκονται πάνω στον άξονα ανταλλάσσουν θέσεις λόγω του κατοπτρισμού, ενώ τα ισημερινά που βρίσκονται πάνω στο επίπεδο απλώς στρέφονται κατά 2π/4. Αντιθέτως, στο μόριο του αιθανίου με διαβαθμισμένη διαμόρφωση ενώ δεν υπάρχει άξονας Σχήμα 3.7γ ιεργασία στροφοκατοπτρισμού S 6 στη περιστροφής C 6 ούτε και επίπεδο σ h, υπάρχει άξονας διαβαθμισμένη διαμόρφωση του αιθανίου στροφοκατοπτρισμού S 6 που διέρχεται από το δεσμό C-C και ταυτίζεται γεωμετρικά με τον άξονα C 3. Το αποτέλεσμα της αντίστοιχης διεργασίας, S 6, δίνεται Σχήμα 3.7γ. 18

9 Για να αποδοθούν καλύτερα οι συνέπειες της διεργασίας στροφοκατοπτρισμού S 6 στο παραπάνω μόριο του αιθανίου, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθούν οι τύποι προβολής Newman. Στο Σχήμα 3.7δ παρουσιάζεται η διεργασία S 6 σε δύο βήματα: πρώτα εκτελείται περιστροφή κατά 2π/6=60 περί τον άξονα και στη συνέχεια εκτελείται κατοπτρισμός ως προς επίπεδο σ h κάθετο στον άξονα. Σχήμα 3.7δ ιεργασία στροφοκατοπτρισμού S 6 στην προβολή Newman της διαβαθμισμένης διαμόρφωσης του αιθανίου Σχήμα 3.7ε ιεργασίες στροφοκατοπτρισμού S 1 =Ε και S 1 =σ Ιδιαίτερες περιπτώσεις αποτελούν οι διεργασίες στροφοκατοπτρισμού S 1 και S 2. Από το Σχήμα 3.7ε εύκολα προκύπτει ότι το αποτέλεσμα των διεργασιών αυτών ισοδυναμεί με τις διεργασίες σ και i αντιστοίχως, δηλαδή S 1 =σ και S 2 =i. Έτσι, διεργασίες στροφοκατοπτρισμού S n υπάρχουν μόνο για 2<n<. Ο άξονας S απαντάται στα γραμμικά μόρια στα οποία υπάρχουν τα στοιχεία συμμετρίας C και σ h, όπως τα διατομικά ομοατομικά μόρια και το αιθίνιο. 3.8 Βασικές ιεργασίες Συμμετρίας Οι διεργασίες της περιστροφής περί άξονα, C n, και στροφοκατοπτρισμού, S n, για n=1, 2,...,, αποτελούν τις βασικές διεργασίες συμμετρίας και είναι οι μόνες απαραίτητες για την περιγραφή της συμμετρίας ενός αντικειμένου ή μορίου. Οι υπόλοιπες διεργασίες E, σ, και i, αποτελούν ειδικές περιπτώσεις των βασικών, εφόσον E =C 1, σ =S 1 και i =S 2. Παρόλα αυτά πρέπει να τονισθεί ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει για τα αντίστοιχα στοιχεία συμμετρίας που είναι ιδιαίτερες και μη ισοδύναμες ή όμοιες γεωμετρικές οντότητες. Έτσι, παρά τις παραπάνω ισοδυναμίες των διεργασιών, το στοιχείο συμμετρίας της ταυτότητας, Ε, είναι το μόριο αυτό καθ' εαυτό και όχι ένας άξονας περιστροφής C 1, το στοιχείο συμμετρίας του κατοπτρισμού, σ, είναι ένα επίπεδο που διχοτομεί το μόριο και όχι ένας άξονας στροφοκατοπτρισμού S 1 και τέλος, το στοιχείο συμμετρίας της αναστροφής, i, είναι ένα σημείο που ταυτίζεται με το κέντρο μάζας του μορίου και όχι ένας άξονας στροφοκατοπτρισμού S Κατάλληλες και Ακατάλληλες ιεργασίες Συμμετρίας Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η διεργασία της περιστροφής περί άξονα, C n, καλείται και κατάλληλη περιστροφή, σε αντίθεση με τη διεργασία στροφοκατοπτρισμού, S n, που καλείται και ακατάλληλη περιστροφή. Η έννοια της κατάλληλης ή ακατάλληλης διεργασίας έγκειται στο γεγονός ότι, ενώ είναι εύκολο να περιγράψουμε την κατάλληλη διεργασία περιστροφής στρέφοντας απλά κατά τι την παλάμη μας, κάτι τέτοιο είναι Σχήμα 3.9α Επίδραση διεργασιών C n και S n σε αδύνατο για τη διεργασία στροφοκατοπτρισμού. Επειδή, όπως έχει αναφερθεί E =C 1, η ταυτότητα είναι κατάλληλη διεργασία. Αντιθέτως ο κατοπτρισμός, σ, και η αναστροφή, i, είναι ακατάλληλες διεργασίες, εφόσον σ =S 1 και i =S 2 19

10 Μια άλλη διαφορά των ακατάλληλων από τις κατάλληλες διεργασίες είναι το ότι οι πρώτες μετατρέπουν μια δεξιόστροφή έλικα σε αριστερόστροφή, ενώ κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει με τις δεύτερες όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.9α για τις διεργασίες S n και C n Συνδυασμός ιεργασιών Συμμετρίας Στο Σχήμα 3.10α φαίνεται δεξιά το αποτέλεσμα δύο διαδοχικών εφαρμογών της διεργασίας περιστροφής C 4 στο επίπεδο μόριο XeF 4 περί τον άξονα τέταρτης τάξης C 4, ενώ αριστερά το αποτέλεσμα της διεργασίας περιστροφής C 2 περί τον άξονα δεύτερης τάξης C 2. Σχήμα 3.10α Εφαρμογή του συνδυασμού διεργασιών C 4 C 4 (αριστερά) και της διεργασίας C 2 (δεξιά) στο μόριο XeF 4 Εύκολα διαπιστώνεται ότι και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Συγκεκριμένα, όχι μόνο το μόριο παραμένει απαράλλακτο, όπως άλλωστε αναμένεται εφόσον οι άξονες C 4 και C 2 είναι στοιχεία συμμετρίας του μορίου, αλλά και στις δύο περιπτώσεις τα άτομα του μορίου μετατοπίστηκαν στις ίδιες ισοδύναμες θέσεις. Δηλαδή, η διαδοχική εφαρμογή της διεργασίας περιστροφής C 4 έχει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με την μοναδική εφαρμογή της διεργασίας περιστροφής C 2. Γενικά, όταν μια διεργασία συμμετρίας ακολουθείται από μία ή περισσότερες, όμοιες ή διαφορετικές διεργασίες, προκύπτει ένας συνδυασμός διεργασιών συμμετρίας ή γινόμενο διεργασιών συμμετρίας. Όπως έχει ήδη αναφερθεί οι διεργασίες συμμετρίας αποτελούν τελεστές και έτσι ο όρος γινόμενο δε χρησιμοποιείται με την αλγεβρική του σημασία αλλά με αυτήν της διαδοχικής εφαρμογής τελεστών. Ο συνδυασμός των διεργασιών συμμετρίας παριστάνεται με το γινόμενο των τελεστών συμμετρίας και σύμφωνα με την άλγεβρα των τελεστών γράφεται πάντα δεξιά η διεργασία που εφαρμόζεται πρώτη και αριστερά η διεργασία που εφαρμόζεται τελευταία. Για παράδειγμα, αν σε ένα μόριο εφαρμοστεί αρχικά μια διεργασία συμμετρίας Y, στη συνέχεια μια διεργασία X, ο συνδυασμός των διεργασιών θα εκφράζεται από το γινόμενο XY και θα ισοδυναμεί με μια διεργασία Ζ, έτσι ώστε XY=Ζ. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα ισχύει C 4 C 4 =C 2. Η σειρά εφαρμογής των διεργασιών και συνεπώς η σειρά γραφής των τελεστών συμμετρίας στο γινόμενο, είναι ουσιαστικής σημασίας γιατί στο γινόμενο διεργασιών συμμετρίας δεν ισχύει πάντα η αντιμεταθετική ιδιότητα XY=YX. Δηλαδή αν ισχύει XY=Ζ αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι θα ισχύει YX=Ζ. Στη συνέχεια θα εξετασθούν όλα τα δυαδικά γινόμενα των διεργασιών συμμετρίας του τετραεδρικού μορίου του διχλωρομεθανίου. Όπως φαίνεται Σχήμα 3.10β τα στοιχεία συμμετρίας του μορίου του διχλωρομεθανίου είναι η ταυτότητα, Ε, ο άξονας περιστροφής C 2 που διέρχεται από το άτομο του άνθρακα και διχοτομεί τις γωνίες Cl- C-Cl και Η-C-H, το επίπεδο σ v, που ταυτίζεται με το επίπεδο της τριατομικής ομάδας Η-C-H και το επίπεδο σ v ', που ταυτίζεται με το επίπεδο της τριατομικής ομάδας Cl-C- Cl. Στο Σχήμα 3.10γ δίνεται το αποτέλεσμα όλων των δυνατών συνδυασμών ανά δύο των τεσσάρων στοιχείων συμμετρίας. Τα ζεύγη ισοδύναμων ατόμων υδρογόνου και χλωρίου έχουν επισημανθεί με δείκτες (α) και (β) ώστε να μπορεί να περιγραφεί το αποτέλεσμα κάθε διεργασίας. Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά την τελική διευθέτηση του μορίου και Σχήμα 3.10β Στοιχεία συμμετρίας στο μόριο του διχλωρομεθανίου 20

11 συγκεκριμένα των επισημασμένων ατόμων μετά την εφαρμογή καθενός από τους παραπάνω συνδυασμούς και αναζητήσουμε τη διεργασία συμμετρίας που οδηγεί σε αυτή προκύπτει ότι: ΕΕ =Ε C 2 Ε =C 2 σ v Ε =σ v σ v 'Ε =σ v ' ΕC 2 =C 2 C 2 C 2 =Ε σ v C 2 =σ v ' σ v 'C 2 =σ v Εσ v =σ v C 2 σ v =σ v ' σ v σ v =Ε σ v 'σ v =C 2 Εσ v ' =σ v ' C 2 σ v ' =σ v σ v σ v ' =C 2 σ v 'σ v ' =Ε Άρα συνάγεται ότι το αποτέλεσμα του συνδυασμού οποιουδήποτε ζεύγους διεργασιών είναι ίδιο με το αποτέλεσμα μιας εκ των διεργασιών συμμετρίας του μορίου. Δηλαδή το γινόμενο οποιωνδήποτε διεργασιών ισούται με μια εκ των διεργασιών συμμετρίας του μορίου. Η ιδιότητα αυτή ισχύει για τις διεργασίες συμμετρίας κάθε μορίου και έχει σημαντικές συνέπειες, στις οποίες θα επανέλθουμε αργότερα. Επιπλέον μας επιτρέπει να ανακαλύψουμε το σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου στην περίπτωση που έχουμε αναγνωρίσει μόνο ένα μέρος από αυτές. Έτσι, αν δημιουργήσουμε και αναλύσουμε το αποτέλεσμα των συνδυασμών των διεργασιών που έχουν ήδη αναγνωρισθεί, θα προκύψουν και οι υπόλοιπες διεργασίες. Σχήμα 3.10γ Εφαρμογή συνδυασμών διεργασιών συμμετρίας στο μόριο του διχλωρομεθανίου 21

12 Σχήμα 3.10δ Στοιχεία συμμετρίας S 4, σ d και C 2 στο μόριο του μεθανίου Στην περίπτωση των παραπάνω διεργασιών συμμετρίας ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, εφόσον ΧΥ=ΥΧ=Ζ. αλλά όπως προαναφέρθηκε αυτό δεν ισχύει πάντα. Ένα παράδειγμα διεργασιών που δεν αντιμετατίθενται είναι οι διεργασίες S 4 και σ d στο μόριο του μεθανίου. Στο Σχήμα 4.10δ δίνονται μερικά από τα στοιχεία συμμετρίας του μορίου και συγκεκριμένα ένας άξονας S 4, ένα επίπεδο σ d και τρεις άξονες C 2. Ο άξονας στροφοκατοπτρισμού S 4 διέρχεται από το άτομο του άνθρακα και διχοτομεί τις γωνίες H(α)-C-H(β) και H(δ)-C-H(γ), ενώ ταυτίζεται γεωμετρικά με τον άξονα C 2 (α). Το επίπεδο σ d ταυτίζεται με το επίπεδο της τριατομικής ομάδας H(α)-C-H(β). Ο άξονας C 2 (β) διχοτομεί τις γωνίες Η(β)-C-Η(γ) και Η(α)-C-Η(δ), ενώ ο άξονας C 2 (γ) διχοτομεί τις γωνίες Η(α)-C- Η(γ) και Η(β)-C-Η(δ). Σχήμα 3.10ε Εφαρμογή των συνδυασμών διεργασιών συμμετρίας σ d S 4 (αριστερά) και S 4 σ d (δεξιά) στο μόριο του μεθανίου Στο Σχήμα 3.10ε παρουσιάζονται οι συνέπειες της εφαρμογής του συνδυασμού των διεργασιών S 4 και σ d με διαφορετική σειρά. Στην αριστερή πλευρά του σχήματος πρώτα εφαρμόζεται η διεργασία S 4 και μετά η διεργασία σ d, δηλαδή έχουμε το γινόμενο σ d S 4. Στη δεξιά πλευρά του σχήματος πρώτα εφαρμόζεται η διεργασία σ d και μετά η διεργασία S 4, δηλαδή έχουμε το γινόμενο S 4 σ d. Παρατηρούμε ότι, όπως αναμένεται, οι δύο συνδυασμοί ισοδυναμούν με διεργασίες συμμετρίας αφού διατηρούν τη συνολική γεωμετρία του μορίου. Ωστόσο, επειδή τα άτομα υδρογόνου βρίσκονται σε διαφορετικές θέσεις μετά την εκτέλεση των δύο συνδυασμών, οι διεργασίες σ d και S 4 δεν αντιμετατίθενται, δηλαδή σ d S 4 S 4 σ d. Συγκεκριμένα σ d S 4 = C 2 (γ) ενώ S 4 σ d =C 2 (β). Οι διεργασίες συμμετρίας που αντιμετατίθενται ( XY=YX ) είναι μόνον οι παρακάτω: o Διαδοχικές περιστροφές περί άξονα, δηλαδή C n C n' =C n' C n όταν ο άξονας περιστροφής των δύο διεργασιών συμπίπτει. o Διαδοχικοί κατοπτρισμοί σε επίπεδα κάθετα μεταξύ τους, δηλαδή σ σ' = σ'σ όταν τα επίπεδα σ και σ' είναι κάθετα μεταξύ τους. o Αναστροφή και οποιαδήποτε περιστροφή ή κατοπτρισμός, δηλαδή ic n =C n i και iσ =σi. 22

13 o Διαδοχικές περιστροφές C 2 περί άξονες που είναι κάθετοι μεταξύ τους, δηλαδή C 2 C 2 '=C 2 'C 2 όταν οι άξονες C 2 και C ' 2 είναι κάθετοι μεταξύ τους. o Περιστροφή, C n, και κατοπτρισμός, σ, σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής, δηλαδή C n σ =σc n όταν το επίπεδο σ είναι κάθετο στον άξονα C n (σημειώνεται ότι ισχύει πάντα C n σ =σc n =S n ). o Διαδοχική εφαρμογή διεργασίας του ίδιου τύπου, δηλαδή ΧΧ. Τέλος, είναι προφανές ότι είναι δυνατός ο συνδυασμός περισσότερων των δύο διεργασιών συμμετρίας, ο οποίος θα ισοδυναμεί πάντα με μια εκ των διεργασιών συμμετρίας του μορίου, ΧΥΖ...=Ω. Έτσι για παράδειγμα, στο μόριο του διχλωρομεθανίου και με βάση τον πίνακα των συνδυασμών των ζευγών διεργασιών που προέκυψε παραπάνω ισχύει: σ v 'σ v C 2 =σ v '(σ v C 2 )=σ v 'σ v '=Ε και C 2 σ v 'C 2 =C 2 (σ v 'C 2 )=C 2 σ v =σ v ' Στην ανάλυση και μελέτη των συνδυασμών ή γινομένων των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου θα επανέλθουμε στο επόμενο κεφάλαιο υνάμεις ιεργασιών Συμμετρίας, Χ m Ο συνδυασμός ενός αριθμού m διεργασιών συμμετρίας του ίδιου είδους, δηλαδή το γινόμενο τελεστών συμμετρίας της μορφής ΧΧΧ... (m φορές) συμβολίζεται ως Χ m και καλείται δύναμη m της διεργασίας Χ. Εφόσον η δύναμη μιας διεργασίας συμμετρίας είναι συνδυασμός διεργασιών θα αποτελεί και αυτή μια διεργασία συμμετρίας του μορίου που μελετάται. Η διεργασία αυτή μπορεί να αντιστοιχεί σε μια από τις υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας ή να αποτελεί μια νέα διεργασία του μορίου. Από τη μελέτη των δυνάμεων των διεργασιών, όπως και στην περίπτωση των συνδυασμών διεργασιών, προκύπτουν νέα στοιχεία συμμετρίας. Στη συνέχεια θα αναλυθούν οι δυνάμεις όλων των διεργασιών συμμετρίας ώστε να ευρεθούν όλες οι γνωστές ή μη απλές διεργασίας συμμετρίας που προκύπτουν. Η ανάλυση αυτή για κάθε διεργασία Χ θα προχωρήσει μέχρι τη δύναμη p για την οποία Χ p =Ε και καλείται περίοδος της διεργασίας. m υνάμεις ιεργασιών Περιστροφής, C n Η δύναμη, C m n μιας διεργασίας κατάλληλης περιστροφής, συνίσταται στην περιστροφή του μορίου γύρω από τον άξονα κατά m(2π/n) ακτίνια ή κατά γωνία m(360 /n). Σχήμα 3.11α ιαδοχικές εφαρμογές της διεργασίας C 2 στο μόριο XeF 4 Από το αποτέλεσμα δύο διαδοχικών εφαρμογών της διεργασίας περιστροφής C 2 στο επίπεδο μόριο XeF 4 περί 2 τον άξονα δεύτερης τάξης C 2 που δίνεται στο Σχήμα 3.11α προκύπτει ότι C 2 =Ε, εφόσον συνίσταται στην περιστροφή του μορίου γύρω από τον άξονα κατά 2(360 /2)=360. Στο Σχήμα 3.11β φαίνεται το αποτέλεσμα τριών διαδοχικών εφαρμογών της διεργασίας περιστροφής C 3 στο μόριο του κυκλοπροπανίου, C 3 H 6, περί τον κάθετο στο επίπεδο των ατόμων του άνθρακα άξονα τρίτης τάξης, C 3. Τα υδρογόνα δεν εμφανίζονται για λόγους απλότητας. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η δύναμη C 2 3 που συνίσταται στην περιστροφή του μορίου γύρω από τον άξονα κατά 2(360 /3)=240. Η διεργασία αυτή δεν ισοδυναμεί με καμιά άλλη διεργασία συμμετρίας του μορίου. Για παράδειγμα, αν ισοδυναμούσε με μια διεργασία C n' θα έπρεπε 360 /n'=240 23

14 ή n'=1.5, πράγμα αδύνατον εφόσον το n' πρέπει να είναι ακέραιος. Συνεπώς η δύναμη C 2 3 αποτελεί μια νέα 3 διεργασία συμμετρίας του μορίου. Τέλος, είναι προφανές ότι C 3 =Ε. Σχήμα 3.11β ιαδοχικές εφαρμογές της διεργασίας C 3 στο μόριο του κυκλοπροπάνιου Στο Σχήμα 3.11γ φαίνεται το αποτέλεσμα τεσσάρων διαδοχικών εφαρμογών της διεργασίας περιστροφής C 4 στο μόριο XeF 4 περί τον άξονα τέταρτης τάξης C 4. Εύκολα προκύπτει ότι C 4 =E, C 4 = C 2 και ότι η δύναμη C 4 αποτελεί μια νέα διεργασία συμμετρίας του μορίου. Για τις δυνάμεις των διεργασιών περιστροφής C m m 5 και C 6 εύκολα προκύπτει ότι: Στις δυνάμεις C m 5 αντιστοιχούν οι διεργασίες C 2 5 (νέα), C 3 5 (νέα), C (νέα) και C 5 =Ε. Στις δυνάμεις C m αντιστοιχούν οι διεργασίες C 6 =C 3, C 6 =C 2, C 6 =C 2 3, C (νέα) και C 6 =Ε. Σχήμα 3.11γ ιαδοχικές εφαρμογές της διεργασίας C 4 στο μόριο XeF 4 Συμπερασματικά από τα παραπάνω ευρήματα προκύπτει ότι η δύναμη C m n ισοδυναμεί... o με μια άλλη διεργασία περιστροφής μικρότερης τάξης του μορίου όταν τα n και m έχουν ακέραιο μέγιστο κοινό διαιρέτη d και συγκεκριμένα με τη διεργασία C m/d n/d, o με μια νέα διεργασία του μορίου, C m n, όταν τα n και m δεν έχουν ακέραιο κοινό διαιρέτη και o την ταυτότητα, E, όταν m=n. Τέλος, είναι προφανές ότι δυνάμεις C m n για m>n ισοδυναμούν με C m-n n. Συνεπώς κατά την ανάλυση των δυνάμεων των περιστροφών προς αναζήτηση νέων διεργασιών συμμετρίας αρκεί η μελέτη των δυνάμεων μέχρι m =n υνάμεις ιεργασίας Κατοπτρισμού, σ m Η δύναμη, σ m της διεργασίας κατοπτρισμού, συνίσταται στην επανάληψη του κατοπτρισμού m φορές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.11δ για το οκταεδρικό μόριο SF 6. Είναι προφανές ότι θα ισχύει: σ m =Ε για m άρτιο. σ m Σχήμα 3.11δ ιαδοχικές εφαρμογές της διεργασίας σ στο μόριο SF =σ για m περιττό. 6 24

15 υνάμεις ιεργασίας Αναστροφής, i m Η δύναμη, m i της διεργασίας αναστροφής, συνίσταται στην επανάληψη της αναστροφής m φορές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.11ε για το οκταεδρικό μόριο SF 6. Είναι προφανές ότι θα ισχύει: Θεωρία ομάδων και μοριακή συμμετρία i m =Ε για m άρτιο. Σχήμα 3.11ε ιαδοχικές εφαρμογές της διεργασίας i στο μόριο SF 6 i m =i για m περιττό υνάμεις διεργασιών στροφοκατοπτρισμού, S n m Η δύναμη, S m n μιας διεργασίας ακατάλληλης περιστροφής, συνίσταται στην εκτέλεση της διεργασίας στροφοκατοπτρισμού m φορές, δηλαδή S m n =(σ h C n ) m. Επειδή όμως οι διεργασίες σ h και C n αντιμετατίθενται ισχύει: S m n =(σ h C n ) m =σ h C n σ h C n...=σ h σ h...c n C n...=σ m h C m n. Συνεπώς η διεργασία S m n ισοδυναμεί με την καταρχήν περιστροφή του μορίου γύρω από τον άξονα C n κατά m(2π/n) ακτίνια ή κατά γωνία m(360 /n) και στη συνέχεια κατοπτρισμό του m φορές ως προς το επίπεδο σ h. Στο Σχήμα 3.11στ φαίνεται το αποτέλεσμα διαδοχικών εφαρμογών της διεργασίας στροφοκατοπτρισμού S 3 στο τριγωνικό διπυραμιδικό μόριο PF 5 περί τον κάθετο στο ισημερινό επίπεδο ακατάλληλο άξονα τρίτης τάξης C 3. Η διεργασία S 2 3 ισοδυναμεί με την C 2 3, καθόσον περιλαμβάνει δύο κατοπτρισμούς που επαναφέρουν το μόριο στην ίδια διάταξη ως προς το επίπεδο. H δύναμη S 3 3 ισοδυναμεί με σ 3 h C 3 3 και συνίσταται στην περιστροφή του μορίου γύρω από τον άξονα κατά 3(360 /3)=360 και κατοπτρισμό του στο επίπεδο τρεις φορές. Λαμβάνοντας υπόψιν ότι σ 3 h =σ h και C 3 3 =Ε προκύπτει εύκολα ότι η διεργασία S 3 3 ισοδυναμεί με τη σ h και όχι με την Ε, όπως στην 3 περίπτωση της κατάλληλης περιστροφής με την ίδια τάξη (C 3 =Ε ). Σχήμα 3.11στ ιαδοχικές εφαρμογές της διεργασίας S 3 στο μόριο PF 5 p Για ποια δύναμη p όμως ισχύει S 3 =Ε; Καθώς η ζητούμενη διεργασία πρέπει οπωσδήποτε να εμπεριέχει άρτιο αριθμό επαναλήψεων του κατοπτρισμού και περιστροφή κατά πολλαπλάσιο τόξο των 360, είναι προφανές ότι αυτή είναι η S 6 3. Η διεργασία S ισοδυναμεί με την C 3 =C 3, καθόσον περιλαμβάνει δύο κατοπτρισμούς που επαναφέρουν το μόριο στην ίδια διάταξη ως προς το επίπεδο. Η διεργασία S 5 3 δεν αντιστοιχεί σε καμιά άλλη απλή διεργασία και αποτελεί μια νέα διεργασία συμμετρίας του μορίου. 25

16 Σχήμα 3.11ζ ιαδοχικές εφαρμογές της διεργασίας S 4 στο μόριο SF 6 Στο Σχήμα 3.11ζ φαίνεται το αποτέλεσμα διαδοχικών εφαρμογών της διεργασίας στροφοκατοπτρισμού S 4 στο οκταεδρικό μόριο SF 6 περί τον κάθετο στο ισημερινό επίπεδο, άξονα τέταρτης τάξης S 4. Η δύναμη για την οποία 4 ισχύει S 4 =Ε είναι η τέταρτη (p=4), καθόσον εμπεριέχει πράγματι άρτιο αριθμό επαναλήψεων του κατοπτρισμού και περιστροφή κατά 360. Η διεργασία S ισοδυναμεί με την C 4 =C 2, καθόσον περιλαμβάνει δύο κατοπτρισμούς που επαναφέρουν το μόριο στην ίδια διάταξη ως προς το επίπεδο. Η διεργασία S 3 4 δεν αντιστοιχεί σε καμιά άλλη απλή διεργασία και αποτελεί μια νέα διεργασία συμμετρίας του μορίου. Στο σημείο αυτό πρέπει να επισημανθεί ότι οι δυνάμεις της διεργασίας του στροφοκατοπτρισμού, S m n, μπορούν να αναλυθούν αλγοριθμικά πολύ εύκολα αν λάβουμε υπόψιν ότι οι δύο συνιστώσες διεργασίες του στροφοκατοπτρισμού C n και σ h αντιμετατίθενται, καθώς και τις διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και σ m h. Έτσι για παράδειγμα για τις δυνάμεις της διεργασίας S 3 θα έχουμε: S 2 3 =σ h C 3 σ h C 3 =σ 2 h C 2 3 =ΕC =C 3 S 3 3 = σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 =σ 3 h C 3 3 =σ h C 1 =σ h E=σ h S 4 3 = σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 =σ 4 h C 4 3 =EC 4 3 =EC 3 =C 3 S 5 3 = σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 =σ 5 h C =S 3 S 6 3 = σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 σ h C 3 =σ 6 h C 6 3 =EE=E Σε ότι αφορά την ανάλυση της δύναμης S 5 3, θα μπορούσε κανείς να προχωρήσει στην αναγωγή σ 5 h C 5 3 =σ h C 2 3. Σ' αυτήν την περίπτωση όμως το γινόμενο σ h C 2 3 δεν ισοδυναμεί με καμία απλή διεργασία, ούτε και με δύναμη μιας διεργασίας και σε καμία περίπτωση με S 2 3 =C 2 3, εφόσον S 2 3 =σ 2 h C 2 3. Άλλωστε, εφόσον έχουμε περιττή δύναμη στροφοκατοπτρισμού, πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει μια διεργασία κατοπτρισμού, γεγονός που δεν ισχύει στη διεργασία C 2 3. Στην περίπτωση των δυνάμεων των υπόλοιπων διεργασιών S n που απαντώνται στα μόρια θα έχουμε: S 2 4 =σ 2 h C 2 4 =EC 2 =C 2 S 2 5 =σ 2 h C 2 5 =EC =C 5 S 2 6 =σ 2 h C 2 6 =EC 3 =C 3 S 3 4 =σ 3 h C =S 4 S 3 5 =σ 3 h C =S 5 S 3 6 =σ 3 h C 3 6 =σ h C 2 =S 2 =i S 4 4 =σ 4 h C 4 4 =EE=E S 4 5 =σ 4 h C 4 5 =EC =C 5 S 4 6 =σ 4 h C 4 6 =EC =C 3 S 5 5 =σ 5 h C 5 5 =σ h E=σ h S 5 6 =σ 5 h C =S 6 S 6 5 =σ 6 h C 6 5 =EC 5 =C 5 S 6 6 =σ 6 h C 6 6 =EE=E S 7 5 =σ 7 h C =S 5 S 8 5 =σ 8 h C 8 5 =EC =C 5 S 9 5 =σ 9 h C =S 5 S 10 5 =σ 10 h C 10 5 =EE=E 26

17 S 2 8 =σ 2 h C 2 8 =EC 4 =C 4 S 2 10 =σ 2 h C 2 10 =EC 5 =C 5 S 2 12 =σ 2 h C 2 12 =EC 6 =C 6 S 3 8 =σ 3 h C =S 8 S 3 10 =σ 3 h C =S 10 S 3 12 =σ 3 h C 3 12 =σ h C 4 =S 4 S 4 8 =σ 4 h C 4 8 =EC 2 =C 2 S 4 10 =σ 4 h C 4 10 =EC =C 5 S 4 12 =σ 4 h C 4 12 =ΕC 3 =C 3 S 5 8 =σ 5 h C =S 8 S 5 10 =σ 5 h C 5 10 =σ h C 2 =S 2 =i S 5 12 =σ 5 h C =S 12 S 6 8 =σ 6 h C 6 8 =EC =C 4 S 6 10 =σ 6 h C 6 10 =EC =C 5 S 6 12 =σ 6 h C 6 12 =EC 2 =C 2 S 7 8 =σ 7 h C =S 8 S 7 10 =σ 7 h C =S 10 S 7 12 =σ 7 h C =S 12 S 8 8 =σ 8 h C 8 8 =EE=E S 8 10 =σ 8 h C 8 10 =EC =C 5 S 8 12 =σ 8 h C 8 12 =EC =C 3 S 9 10 =σ 9 h C =S 10 S 9 12 =σ 9 h C 9 12 =σ 3 h C =S 4 S =σ 10 h C =EE=E S =σ 10 h C =EC =C 6 S =σ 11 h C =S 12 S =σ 12 h C =EE=E Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι κατά την ανάλυση των δυνάμεων του στροφοκατοπτρισμού, S m n, το άρτιο ή περιττόν των αριθμών n και m έχει ιδιαίτερη σημασία. Έτσι, μπορούν να διατυπωθούν οι παρακάτω κανόνες. o Για n άρτιο: S n n =Ε S 2 n =S n/2 για m>n: S m n-m n =S n o Για n περιττό: S n n =σ h S 2n n =E για m>2n: S m 2n-m n =S n o Για m άρτιο: S m m n =C n o Για m περιττό: S m m n =S n για m=n/2: S n/2 n =i 3.12 Γενεσιουργές και Παράγωγες ιεργασίες Συμμετρίας Από την παραπάνω συζήτηση των συνδυασμών και των δυνάμεων των διεργασιών συμμετρίας, προέκυψε ότι πολλές φορές από το συνδυασμό δύο διεργασιών ή από την ύψωση σε δύναμη μιας διεργασίας, προκύπτει μια νέα διεργασία συμμετρίας του μορίου. Έτσι, σε κάθε μόριο υπάρχει μια σειρά διεργασιών από τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των οποίων προκύπτουν οι υπόλοιπες διεργασίες. Οι διεργασίες αυτές καλούνται γενεσιουργές διεργασίες και αυτές που προκύπτουν παράγωγες διεργασίες. Στον Πίνακα 4.12α δίνονται οι παράγωγες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις των γενεσιουργών διεργασιών. Οι παράγωγες διεργασίες που προκύπτουν από τον συνδυασμό των γενεσιουργών διεργασιών θα συζητηθούν στο επόμενο κεφάλαιο, όπου θα αναλυθεί η συμμετρία συγκεκριμένων μορίων. Πίνακας 4.12α Παράγωγες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις των γενεσιουργών διεργασιών Γενεσιουργός διεργασία Απλές Παράγωγες διεργασίες Δυνάμεις C 1 C 2 Ε Ε C 3 Ε C 3 2 C 4 Ε, C 2 C 4 3 C 5 Ε C 5 2, C 5 3, C 5 4 C 6 Ε, C 2, C 3 C 3 2, C 6 5 S 1 Ε, σ S 2 Ε, i S 3 Ε, C 3, σ h C 2 5 3, S 3 S 4 Ε, C 2 S 4 3 S 5 Ε, C 5, σ h C 5 3, C 5 4, S 5 3, S 5 7, S 5 9 S 6 Ε, C 3, i C 3 2, C 6 5 S 8 Ε, C 2, C 4 C 4 3, S 8 3, S 8 5, S 8 7 S 10 Ε, C 5, i C 5 2, C 5 3, C 5 4, S 10 3, S 10 5, S 10 7 S 12 Ε, C 2, C 3, C 6 C 3 2, C 6 5, S 4 3, S 12 5, S 12 7, S

18 3.13 Αντίστροφες ιεργασίες Συμμετρίας, X -1 Για κάθε διεργασία X υπάρχει η αντίστροφη διεργασία Χ -1 τέτοια ώστε ΧΧ -1 =Ε. Η Χ -1 αποτελεί και αυτή διεργασία συμμετρίας του μορίου και αντιμετατίθεται με την X, δηλαδή ΧΧ -1 =Χ -1 Χ=Ε. Στο Σχήμα 3.13α φαίνεται το αποτέλεσμα των περιστροφών κατά 2π/4 (C 4 ) και -2π/4 στο μόριο ΧeF 4. Η περιστροφή κατά -2π/4 αποτελεί μια διεργασία συμμετρίας περιστροφής κατά 2π/4 με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού και συμβολίζεται ως C Είναι επίσης προφανές ότι ισχύει C 4 C 4 =C -1 4 C 4 =Ε. Σχήμα 3.13α Εφαρμογή των διεργασιών C 4 και C 4-1 στο μόριο ΧeF4 Για τις διεργασίες συμμετρίας Ε, i και σ είναι προφανές ότι θα ισχύει: Ε -1 =Ε σ -1 =σ i -1 =i Για τις αντίστροφες διεργασίες περιστροφής, C -1 n, οι οποίες συνίστανται στην περιστροφή περί τον άξονα κατά -2π/n ή κατά 2π/n με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού, ισχύει: -1 n-1 C n =C n Για τις αντίστροφες διεργασίες στροφοκατοπτρισμού, S -1 n, οι οποίες συνίστανται στην περιστροφή περί τον άξονα κατά -2π/n ή κατά 2π/n με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού και στη συνέχεια κατοπτρισμό, ισχύει: S -1 n-1 n =S n για n άρτιο και S -1 2n-1 n =S n για n περιττό όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.13β για τους άξονες S -1 3 και S -1 4 των μορίων PF 5 και XeF 4 αντιστοίχως Σχήμα 3.13b Εφαρμογή των διεργασιών S 4 και S3 στα μόρια XeF4 και PF 5 αντιστοίχως Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι αντίστροφες διεργασίες Χ -1 δεν αποτελούν νέες διεργασίες συμμετρίας του μορίου αλλά αντιστοιχούν στην ίδια διεργασία X ή σε μια δύναμή της, X m. Παρόλα αυτά, όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, αποτελούν χρήσιμα εργαλεία κατά τη μαθηματική διατύπωση της μοριακής συμμετρίας στα πλαίσια της θεωρίας των ομάδων Αντιστοιχία Μεταξύ Στοιχείων και ιεργασιών Συμμετρίας Στην εισαγωγή του παρόντος κεφαλαίου ορίσθηκαν διεξοδικά οι έννοιες του στοιχείου και της διεργασίας συμμετρίας, αλλά δε διευκρινίστηκε η αντιστοιχία μεταξύ τους. Από τη συζήτηση των δυνάμεων των διεργασιών συμμετρίας, X m, προέκυψε ότι η ύπαρξη ενός άξονα περιστροφής C n ή ενός άξονα στροφοκατοπτρισμού S n ως στοιχείων συμμετρίας ενός μορίου μπορεί να σημαίνει την ύπαρξη μιας σειράς δυνάμεων διεργασιών συμμετρίας κατάλληλης, C m n, ή ακατάλληλης περιστροφής, S m n, που έχουν ως κοινό στοιχείο συμμετρίας τους άξονες C n και S n αντιστοίχως. 28

19 Από τα παραπάνω, είναι προφανές, ότι σε κάθε στοιχείο συμμετρίας C n ή S n μπορεί να αντιστοιχούν περισσότερες της μιας διεργασίες. Κάτι τέτοιο δε συμβαίνει με τα στοιχεία συμμετρίας της ταυτότητας, E, του κατοπτρισμού, σ, και της αναστροφής, i, στα οποία αντιστοιχεί μία μόνο διεργασία συμμετρίας και συγκεκριμένα η Ε, σ και i αντιστοίχως. Δηλαδή η αντιστοιχία των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας περιστροφής και στροφοκατοπτρισμού είναι ένα προς πολλά, ενώ η αντιστοιχία στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας Σχήμα 3.14α Αντιστοιχία στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας ταυτότητας, κατοπτρισμού και αναστροφής είναι ένα προς ένα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.14α Περιγραφή και Ορισμός της Συμμετρίας ενός Μορίου Η περιγραφή της συμμετρίας ενός μορίου στα πλαίσια της μοριακής συμμετρίας συνίσταται στην εύρεση και καταγραφή όλων των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας που απαντώνται στο μόριο. Το σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ορίζει τη συμμετρία του μορίου και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου του μορίου. Η έννοια των όρων "ομάδα" και "σημείο" καθώς και η στενή σχέση της μοριακής συμμετρίας με τη μαθηματική θεωρία των ομάδων θα διευκρινισθεί σε επόμενα κεφάλαια. Σύνοψη 1. Μια διεργασία συμμετρίας είναι μια εσωτερική κίνηση ενός αντικειμένου ή των μερών του, σε σχέση με ένα γεωμετρικό χαρακτηριστικό του, μετά το τέλος της οποίας όλα τα σημεία του αντικειμένου βρίσκονται στις αρχικές ή ισοδύναμες θέσεις. Ένα στοιχείο συμμετρίας είναι ένα γεωμετρικό χαρακτηριστικό ενός αντικειμένου, όπως μια ευθεία, ένα επίπεδο ή ένα σημείο, με βάση το οποίο εκτελούνται μία ή περισσότερες διεργασίες συμμετρίας. 2. Οι διεργασίες συμμετρίας είναι πέντε. Η ταυτότητα, Ε, όταν εφαρμόζεται σε ένα μόριο δε μετακινεί κανένα σημείο του και αντιστοιχεί στο στοιχείο συμμετρίας, Ε, που θεωρείται ως το ίδιο το μόριο. Η διεργασία περιστροφής περί άξονα ή κατάλληλης περιστροφής, C n, συνίσταται στην περιστροφή του μορίου γύρω από έναν άξονα, που αποτελεί και το στοιχείο συμμετρίας άξονας περιστροφής ή άξονας κατάλληλης περιστροφής, C n, κατά 2π/n ακτίνια ή κατά γωνία 360 /n, n= 1,2,...,. H διεργασία του κατοπτρισμού, σ, κατοπτρίζει το μόριο ως προς ένα εσωτερικό επίπεδο κατοπτρισμού ή επίπεδο συμμετρίας, που διχοτομεί το μόριο και αποτελεί το αντίστοιχο στοιχείο συμμετρίας σ. Η διεργασία της αναστροφής, i, αναστρέφει όλα τα μέρη του μορίου ως προς ένα σημείο, που αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας κέντρο αναστροφής ή κέντρο συμμετρίας, i, από το οποίο διέρχονται όλα τα υπόλοιπα στοιχεία συμμετρίας και αποτελεί το κέντρο μάζας του μορίου. H διεργασία συμμετρίας στροφοκατοπτρισμού, ή ακατάλληλης περιστροφής, S n συνίσταται από μια περιστροφή γύρω από έναν άξονα κατά 2π/n ακτίνια ή κατά γωνία 360 /n, n= 1,2,..., και στη συνέχεια έναν κατοπτρισμό ως προς επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα. Το αντίστοιχο στοιχείο συμμετρίας, S n, καλείται άξονας στροφοκατοπτρισμού ή άξονας ακατάλληλης περιστροφής και είναι ο άξονας της αρχικής περιστροφής. 29

20 3. Οι διεργασίες της περιστροφής περί άξονα, C n, και στροφοκατοπτρισμού, S n αποτελούν τις βασικές διεργασίες συμμετρίας καθόσον E=C 1, σ=s 1 και i=s Όταν μια διεργασία συμμετρίας ακολουθείται από μία ή περισσότερες, όμοιες ή διαφορετικές διεργασίες, προκύπτει ένας συνδυασμός διεργασιών συμμετρίας ή γινόμενο διεργασιών συμμετρίας. Κατά το συνδυασμό των διεργασιών συμμετρίας δεν ισχύει πάντα η αντιμεταθετική ιδιότητα ΥΧ=ΧΥ. Ο συνδυασμός ή γινόμενο οποιωνδήποτε διεργασιών ισοδυναμεί πάντα με μια εκ των διεργασιών συμμετρίας του μορίου. 5. H δύναμη m μιας διεργασίας συμμετρίας, Χ m, αποτελεί επίσης διεργασία συμμετρίας και μπορεί να αντιστοιχεί σε μια από τις υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας ή να αποτελεί μια νέα διεργασία του μορίου. 6. Σε κάθε μόριο υπάρχει μια σειρά από γενεσιουργές διεργασίες από τους συνδυασμούς και δυνάμεις των οποίων προκύπτουν οι υπόλοιπες παράγωγες διεργασίες. 7. Για κάθε διεργασία Χ υπάρχει η αντίστροφη διεργασία Χ -1 τέτοια ώστε Χ -1 Χ=Ε, η οποία αποτελεί και αυτή διεργασία συμμετρίας του μορίου και αντιμετατίθεται με τη Χ (Χ -1 Χ=ΧΧ -1 ). 8. Στα στοιχεία συμμετρίας C n ή S n μπορεί να αντιστοιχούν περισσότερες της μιας διεργασίες, ενώ στα στοιχεία E, σ, και i, αντιστοιχεί μία μόνο διεργασία συμμετρίας. 9. Το σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου ορίζει τη συμμετρία του και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου του μορίου. 30

3 Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας

3 Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας 3 Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να διακρίνετε την έννοια του στοιχείου και της διεργασίας συμμετρίας. - Να αναγνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου

4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου 4. Ομάδες Σημείου ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου o διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων σημείου

Διαβάστε περισσότερα

4 Ομάδες Σημείου. - Ευχέρεια στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής.

4 Ομάδες Σημείου. - Ευχέρεια στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής. 4 Ομάδες Σημείου Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου. - Να διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας

Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΕΠΙΣΤΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΙΚΣ ΑΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΜΑΪΚΑ ΜΑΘΜΑΤΑ Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας Ενότητα # (): Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας Σιγάλας Μιχάλης Τμήμα Χημείας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων 5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o προβλέπετε με βάση τη συμμετρία αν ένα μόριο έχει μόνιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Ενότητα 7 Συμμετρία Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins Physical

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου

6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου 6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να καταστρώνετε τις μήτρες εκπροσώπησης των ομάδων σημείου χρησιμοποιώντας διάφορες βάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ

ΜΟΡΙΑΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ ΜΟΡΙΑΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ Σημειώσεις παραδόσεων Μιχάλης Π. Σιγάλας Θεσσαλονίκη 2009 Στο Νικόλα, τη Λεμονιά την Ιωάννα και τους φοιτητές μου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου

Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου Γιώργος Μπαλόγλου gbaloglou@gmail.com 7 η Μαθηματική Εβδομάδα, 18- Μαρτίου 015, Θεσσαλονίκη Εισαγωγή Περίληψη: Υπολογίζεται ο μέγιστος όγκος οριζοντίου κυλίνδρου εγγεγραμμένου

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3. ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ Ταξινόμηση των κρυστάλλων σαν στερεά σχήματα και οι συμμετρίες Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης,

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί ο σχηματισμός του CΗ 4 δεν μπορεί να ερμηνευθεί βάσει της διεγερμένης κατάστασης του ατόμου C;

Γιατί ο σχηματισμός του CΗ 4 δεν μπορεί να ερμηνευθεί βάσει της διεγερμένης κατάστασης του ατόμου C; Γιατί ο σχηματισμός του CΗ 4 δεν μπορεί να ερμηνευθεί βάσει της διεγερμένης κατάστασης του ατόμου C; 1. Οι 4 ομοιοπολικοί δεσμοί στο μεθάνιο θα ήταν δύο τύπων: ένας δεσμός από την επικάλυψη του τροχιακού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους Κεφάλαιο 2 Σύνοψη Οι απεικονίσεις στη χαρτογραφία αναφέρονται στην προβολή ή απεικόνιση της επιφάνειας αναφοράς, δηλαδή, του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) στο επίπεδο στο επίπεδο του χάρτη.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Οι δομές, οι οποίες δεν περιέχουν τυπικά φορτία υψηλά (δηλαδή είναι 2) είναι:

Οι δομές, οι οποίες δεν περιέχουν τυπικά φορτία υψηλά (δηλαδή είναι 2) είναι: Answers to Homework Set 3 12162016 1. Πριν από μερικά χρόνια δημοσιεύθηκε η σύνθεση του ιόντος 5 +. Ποια είναι η πλέον πιθανή α) γεωμετρία ηλεκτρονικών ζευγών, και β) μοριακή γεωμετρική δομή του ιόντος

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα