ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΠΡΟΣΔΕΣΗΣ ΜΗ ΕΠΑΝΔΡΩΜΕΝΟΥ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΥ ΟΧΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ

Transcript

1 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΠΡΟΣΔΕΣΗΣ ΜΗ ΕΠΑΝΔΡΩΜΕΝΟΥ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΥ ΟΧΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Παναγιώτης Σωτηρόπουλος, Νίκος Ασπράγκαθος, Φοίβος Ανδρίτσος (European Commission, Joint Research Centre, Ispra, Italy) (Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα) (European Commission, Joint Research Centre, Ispra, Italy) ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία προτείνεται μία μέθοδος για τον προσδιορισμό της βέλτιστης θέσης πρόσδεσης ενός μη-επανδρωμένου υποθαλάσσιου οχήματος, εξοπλισμένου με ρομποτικό βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας, ούτως ώστε να εξασφαλίζεται η επιδεξιότητα του βραχίονα για μία επιλεγμένη εργασία. Κατά τον καταρτισμό της αντικειμενικής συνάρτησης λαμβάνονται υπόψη η επιδεξιότητα, η απόσταση του οχήματος από την περιοχή πρόσδεσης καθώς και οι επιμέρους γεωμετρικοί περιορισμοί, που προκύπτουν από τις ειδικές συνθήκες του προβλήματος. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης λύνεται με τη βοήθεια ενός Γενετικού Αλγορίθμου. Λέξεις κλειδιά: Βελτιστοποίηση, Μη-επανδρωμένα Υποθαλάσσια Οχήματα, Επιδέξιοι Χειρισμοί, Γενετικοί Αλγόριθμοι. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατά τα τελευταία χρόνια, κυρίως λόγω της αυξημένης ζήτησης από τις εταιρίες πετρελαίου, έχει παρατηρηθεί μεγάλη ανάπτυξη στον τομέα των υποθαλάσσιων εργασιών. Δεδομένου πως δύτες ακόμα και με τη χρήση ειδικών στολών κατάδυσης μπορούν να εκτελέσουν υποθαλάσσιες εργασίες μέχρι το βάθος των 700 μ., ιδιαίτερη σημασία έχει δοθεί στη χρήση Μη-επανδρωμένων Υποθαλάσσιων Οχημάτων (ΜΥΟ) εξοπλισμένων με ρομποτικούς βραχίονες για αντίστοιχες αποστολές σε μεγάλα βάθη. Τα τελευταία χρόνια εξετάζεται επίσης η χρήση Αυτόνομων Υποθαλάσσιων Οχημάτων (ΑΥΟ) τα οποία, εξοπλισμένα με ρομποτικούς βραχίονες θα μπορούν να εκτελούν απλούς χειρισμούς αυτόνομα, χωρίς την ανάγκη τηλεχειρισμού. Το πρόβλημα της πρόσδεσης ΑΥΟ σε καταλλήλως διαμορφωμένα πλαίσια βαλβίδων υποβρύχιων εγκαταστάσεων εξόρυξης πετρελαίου εξετάστηκε από τους D.Grosset κ.α. (2002). Το αντικείμενο της παρούσας εργασίας αφορά την βελτιστοποίηση της θέσης πρόσδεσης σε θέση εργασίας η οποία δεν είναι εκ των προτέρων διαρρυθμισμένη για πρόσδεση και τηλεχειρισμό. Τέτοιες τεχνικές, είναι απολύτως απαραίτητες στην περίπτωση χρήσης ΑΥΟ. Ένα πιθανό σενάριο όπου η τεχνική αυτή θα είναι πολύ χρήσιμη είναι αυτό της αγκύρωσης υποβρύχιου θόλου πάνω από βυθισμένα σκάφη ή ανοιχτές υποβρύχιες πετρελαιοπηγές, όπως προτείνεται από τον F.Andritsos (2007 και 2008). Ο καθορισμός μιας βέλτιστης θέσης πρόσδεσης για ένα ΜΥΟ, εξασφαλίζοντας διαμορφώσεις υψηλής επιδεξιότητας για τον βραχίονα του οχήματος στο σημείο εργασίας, θα μπορούσε διευκολύνει σημαντικά τον χειριστή, να ελαχιστοποιήσει τον απαιτούμενο χρόνο χειρισμού και την ανάγκη για επαναπρόσδεση σε διαφορετικό

2 σημείο, κατά συνέπεια μεγαλύτερη αποδοτικότητα και χαμηλότερο κόστος της όλης αποστολής. Ο Asokan (2005) μελέτησε την βέλτιστη τοποθέτηση ενός ΜΥΟ εξοπλισμένου με ρομποτικό βραχίονα για την μέγιστη αποδοτικότητα σε μία υποθαλάσσια εργασία επιθεώρησης παρατηρώντας, πως η ατυχής επιλογή θέσης πρόσδεσης για το όχημα θα είχε σαν αποτέλεσμα πολλαπλές επαναπροσδέσεις που οδηγούν σε μεγαλύτερης διάρκειας αποστολές. Η επιδεξιότητα ενός ρομποτικού βραχίονα μπορεί να οριστεί με βάση διάφορους δείκτες που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία για κοινούς βιομηχανικούς βραχίονες. Ο Yoshikawa (1990) πρότεινε δείκτες επιδεξιότητας σχετιζόμενους με το κινηματικό και στο δυναμικό ελλειψοειδές του βραχίονα ούτως ώστε να μπορεί να βαθμολογηθεί η ικανότητα του βραχίονα να κινήσει το άκρο του στην δοθείσα θέση. Ο Salisbury (1982) εισήγαγε τον δείκτη κατάστασης του Ιακωβιανού ως δείκτη επιδεξιότητας, ενώ ο Dubey (1988) πρότεινε τον λόγο ταχυτήτων του βραχίονα (MVR) σαν δείκτη κινηματικής απόδοσης. Επίσης ο Aspragathos (1996) πρότεινε ολικό δείκτη επιδεξιότητας καθώς και έναν δείκτη απόδοσης ταχύτητας στηριζόμενος στον ελάχιστο MVR κατά μήκος μίας συγκεκριμένης τροχιάς, Aspragathos (2001). Όσο αφορά στον προσδιορισμό της βέλτιστης θέσης για την βάση ενός ρομποτικού βραχίονα έχουν παρουσιαστεί αρκετές εργασίες κυρίως σε βιομηχανικές εφαρμογές. Η Mitsi (2008) πρότεινε μια μέθοδο για τον προσδιορισμό της βέλτιστης θέσης της βάσης ενός ρομποτικού βραχίονα χρησιμοποιώντας έναν υβριδικό ΓΑ. Ο Tien (2005) επίσης χρησιμοποίησε έναν ΓΑ για να προσδιορίσει τη βέλτιστη θέση της βάσης ενός βραχίονα 2 συνδέσμων. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται ένας αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της βέλτιστης θέσης πρόσδεσης για ένα ΜΥΟ εξοπλισμένο με έναν ρομποτικό βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας ούτως ώστε να μπορεί να εκτελέσει μια προδιαγεγραμμένη υποθαλάσσια εργασία. Η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης στηρίζεται στην εφαρμογή ενός ΓΑ ενώ εξετάζεται ένα υποθαλάσσιο σενάριο κατά την εφαρμογή της μεθόδου. Κατά την κατάρτιση της αντικειμενικής συνάρτησης λαμβάνονται υπόψη ο δείκτης επιδεξιότητας (w) όπως ορίστηκε από τον Yoshikawa (1990), η απόσταση της αρχικής θέσης του οχήματος από την υπολογισθείσα θέση πρόσδεσης καθώς και οι γεωμετρικοί περιορισμοί που προκύπτουν από το πρόβλημα. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος παρέχει μία σχεδόν βέλτιστη λύση. Η υψηλή τιμή του δείκτη επιδεξιότητας βοηθάει τους χειρισμούς ενώ αποτρέπει την επιλογή θέσεων πρόσδεσης με διαμορφώσεις ενικότητας αποφεύγοντας έτσι πιθανές επαναπροσδέσεις του οχήματος. Η εργασία χωρίζεται στα εξής μέρη: Εισαγωγή, Θέση πρόσδεσης υψηλής επιδεξιότητας, Το πρόβλημα βελτιστοποίησης, Αποτελέσματα και Σύνοψη. 2 ΘΕΣΗ ΠΡΟΣΔΕΣΗΣ ΥΨΗΛΗΣ ΕΠΙΔΕΞΙΟΤΗΤΑΣ Οι δείκτες επιδεξιότητας για ρομποτικούς βραχίονες περιγράφουν την ικανότητα τους να κινούν ευκολα το άκρο τους σε κάθε διεύθυνση. Εξαρτώνται από τις ιδιότητες του Ιακωβιανού Πίνακα του βραχίονα, που συνδέει τις ταχύτητες των αρθρώσεων με την ταχύτητα στο άκρο εργασίας. Οι δείκτες επιδεξιότητας υποδεικνύουν την ικανότητα του άκρου εργασίας να αλλάζει θέση και προσανατολισμό από την τρέχουσα θέση του καθώς και πιθανές διαμορφώσεις ενικότητας του βραχίονα. Το υποθαλάσσιο σενάριο, που εξετάζεται σε αυτή την εργασία είναι η πρόσδεση του οχήματος σε ένα κυβικό όγκο από τσιμέντο, που βρίσκεται στον βυθό και το πιάσιμο ενός αντικειμένου που βρίσκεται στην πάνω έδρα του κύβου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1 καθώς το όχημα πλησιάζει τον κύβο. Το ΜΥΟ φέρει έναν ρομποτικό

3 βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας (ΒΕ) με 6 περιστροφικές αρθρώσεις η διαμόρφωση του οποίου φαίνεται στο Σχήμα 23 και έχει την ικανότητα να πλοηγήσει και να προσδεθεί στην προσδιοριζόμενη σχεδόν βέλτιστη θέση πρόσδεσης. Σχήμα 1: Αναπαράσταση του σεναρίου 3 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 3.1 Κατάρτιση της αντικειμενικής συνάρτησης Ορισμένοι όροι, που χρησιμοποιούνται στο παρόν μέρος της εργασίας ορίζονται στην πρώτη παράγραφο και φαίνονται στο Σχήμα 2. Το γενικό σύστημα συντεταγμένων {G} βρίσκεται στο μέσο της πάνω έδρας του κύβου, ενώ το σύστημα συντεταγμένων {B} της βάσης του βραχίονα βρίσκεται στην μπροστά όψη του ΜΥΟ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2. Η υποψήφια βέλτιστη θέση ( G p) υποδηλώνει κάθε υποψήφια λύση στο πρόβλημα βελτιστοποίησης και περιγράφει την θέση της βάσης του βραχίονα. Καθορίζεται από το διάνυσμα θέσης G p=[x y z] της βάσης του βραχίονα και την περιστροφή της, ψ, γύρω από τον άξονα z του {G}. Η προτεινόμενη θέση πρόσδεσης ( G p d ) δείχνει την βάση του οχήματος στη βέλτιστη θέση. Περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης G p d =[ G x G d y G d z d ] και συμβολίζεται με κίτρινο άστρο στο Σχήμα 2. Η αρχική θέση του βραχίονα δίνεται από το G p init =[ G x init, G y init, G z init ] και η αρχική θέση της βάσης του οχήματος ορίζεται ως G p i =[ G x G i y G i z i ] και συμβολίζεται με κόκκινο άστρο στο Σχήμα 2. Το σημείο εργασίας φαίνεται στην πάνω έδρα του κύβου και ορίζεται από το διάνυσμα G p o =[x o y o z o ]. Η βάση του ΜΥΟ ως προς το {B} ορίζεται από το διάνυσμα B p bp =[ B x B bp y B bp z bp ]. Η κόκκινη σφαίρα στην άκρη του βραχίονα συμβολίζει τις τρείς τελευταίες περιστροφικές αρθρώσεις. Για κάθε υποψήφια βέλτιστη θέση υπολογίζεται ο w με την λύση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος και τον υπολογισμό του Ιακωβιανού πίνακα. Στην παρούσα εργασία η λύση του αντίστροφου κινηματικού βασίζεται στη μέθοδο των υπο-προβλημάτων Paden-Kahan, Murray (1994). Ο w δίνεται από τον τύπο: w(θ) = detj (θ) J (θ) ( 1) Όπου J(θ) είναι ο Ιακωβιανός πίνακας και το διάνυσμα θ(x, y, z, ψ) περιγράφει μία από τις πιθανές διαμορφώσεις του βραχίονα από την επιλεχθείσα θέση. Θα πρέπει να σημειωθεί πως για κάθε μια υποψήφια βέλτιστη θέση υπάρχουν έως και οκτώ διαφορετικές λύσεις για το αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα, οπότε έως και οκτώ τιμές για τον w. Για τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης μόνο η μέγιστη τιμή λαμβάνεται υπόψη. Παρά ταύτα η τιμή του w δεν είναι ο μόνος παράγων που επηρεάζει την επιλογή της θέσης. Εφόσον μπορούν να προκύψουν συμμετρικές λύσεις πάνω στην επιφάνεια του κύβου, λαμβάνεται υπόψη και η απόσταση που θα πρέπει να διανύσει το όχημα από την αρχική θέση του ( G p i ) μέχρι την προτεινόμενη θέση πρόσδεσης ( G p d ).

4 Σχήμα 2: Πλάγια όψη του ΜΥΟ καθώς πλησιάζει τον κύβο Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων συμβολίζεται με κόκκινη γραμμή στο Σχήμα 2 και ορίζεται ως: D = x x + y y + z z (2) Όπου τα ( G p i ) και ( G p d ) προκύπτουν από τους μετασχηματισμούς: p 1 = To p ( 3) 1 p 1 = T p ( 4) 1 Όπου G To B είναι ο πίνακας μετασχηματισμού για την αρχική θέση του οχήματος και G T B ο πίνακας μετασχηματισμού για την υποψήφια βέλτιστη θέση. Συνοψίζοντας, το πρόβλημα βελτιστοποίησης μπορεί να οριστεί ως: βρείτε την θέση πρόσδεσης ενός ΜΥΟ, δεδομένης της αρχικής θέσης του οχήματος και της θέσης του σημείου εργασίας, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται υψηλή επιδεξιότητα για τον βραχίονα. Η αντικειμενική συνάρτηση δύνεται από: f = a M(w) b D(x, y, z) (5) M(w) είναι η συνάρτηση του δείκτη επιδεξιότητας και προκύπτει ως: M(w) = max(w, w,, w ), if θ < θ < θ, j = 1,..,6 (6) 0, διαφορετικά Όπου w i (θ) είναι ο δείκτης επιδεξιότητας για την i διαμόρφωση του βραχίονα όπως ορίζεται στη Εξ.1 και θ=[θ θ θ ] οι γωνίες των αρθρώσεων. θ l και θ u είναι τα όρια της εκάστοτε άρθρωσης. Τα a, b είναι συντελεστές βαρύτητας. Τέλος, λόγω των διαφόρων τιμών που μπορεί να πάρει ο w για μια θέση, η αντικειμενική συνάρτηση δεν είναι συνεχής, οπότε το πρόβλημα δε θα μπορούσε να επιλυθεί με μια απλή μέθοδο βαθύτερων κλίσεων και χρησιμοποιείται ένας ΓΑ. 3.2 Ο Γενετικός Αλγόριθμος Οι ΓΑ δουλεύουν παράλληλα και εξετάζουν έναν αριθμό αρχικών σημείων καθώς ψάχνουν το ολικό ελάχιστο. Γενικά οι ΓΑ προσφέρουν αρκετά πλεονεκτήματα σε σχέση με άλλες μεθόδους βελτιστοποίησης αφού απαιτούν μόνο την αντικειμενική συνάρτηση και όχι την παράγωγο της. Μπορούν να βρίσκουν μια σχεδόν-βέλτιστη

5 λύση ακόμα και σε πολύπλοκο περιβάλλον αναζήτησης όπως επίσης να μην παγιδεύονται σε τοπικά ελάχιστα. Επιπλέον περιορισμοί μπορούν εύκολα να προστεθούν μέσα στον ΓΑ. Στην συγκεκριμένη εργασία οι περιορισμοί που προκύπτουν έχουν ενσωματωθεί στον ορισμό των χρωμοσωμάτων. Κάθε χρωμόσωμα είναι της μορφής: x y z ψ Τα μήκος του εκάστοτε χρωμοσώματος εξαρτάται από το εύρος του πεδίου τιμών κάθε μεταβλητής και την επιθυμητή ακρίβεια. Το πεδίο τιμών για τις μεταβλητές θέσης x, y, z ορίζεται από την άνω έδρα του κύβου, προσθέτοντας ένα μικρό περιθώριο d κατά μήκος του z άξονα. 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι διαστάσεις του κύβου και του ΜΥΟ είναι 2x2x2 (m) και 1.5x1.2x1 (m) αντίστοιχα. Ο βραχίονας έχει 6 περιστροφικές αρθρώσεις και μήκη συνδέσμων lo=0.1m, l 1 =l 2 =0.4m και απεικονίζεται στη μηδενική του διαμόρφωση στο Σχήμα 3. Τα όρια των αρθρώσεων δίνονται στον Πίνακα 1. Κάτω Όριο Άρθρωση Άνω Όριο (rad) (rad) -2.8 θ θ θ θ θ θ Πίνακας 1: Όρια αρθρώσεων Σχήμα 3 : Μηδενική διαμόρφωση Η αρχική θέση του οχήματος δίνεται από το G p init =[3 2 2] και η θέση της βάσης του στο {Β} από B p bp =[ ]. Έπειτα από δοκιμές καθορίστηκαν οι παράμετροι ελέγχου του ΓΑ και παραθέτονται στον Πίνακα 2. Πιθανότητα Διασταύρωσης Πιθανότητα Μετάλλαξης Μέγεθος Πληθυσμού Πίνακας 2: Τιμές ΓΑ Μέγιστος Αριθμός Γενιών x y z ψ Φ w θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ Πίνακας 3: Αποτελέσματα Πίνακας 4: Διαμορφώσεις Τα αποτελέσματα έπειτα από κάθε εκτέλεση του προγράμματος ήταν η επιλεχθείσα σχεδον-βέλτιστη θέση πρόσδεσης, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

6 (f obj ) και ο w. Οι τελικές θέσεις πρόσδεσης από ορισμένες διαδοχικές εκτελέσεις παρουσιάζονται στον Πίνακα 3. Οι διαμορφώσεις του βραχίονα για τις υπολογισθείσες θέσεις παρουσιάζονται στον Πίνακα 4. Οι διαμορφώσεις του βραχίονα για το πρώτο και το δεύτερο τρέξιμο, καθώς και το ελλειψοειδές επιδεξιότητας για κάθε μια, φαίνονται στα Σχήματα 4 και 5. Το ελλειψοειδές δείχνει την ικανότητα του άκρου εργασίας να κινηθεί προς κάποια κατεύθυνση. Θα πρέπει να σημειωθεί πως η κόκκινη γραμμή που φαίνεται στις παρακάτω εικόνες δεν είναι μέρος του βραχίονα, απλώς υποδεικνύει την προβολή του κέντρου της βάσης του. Σχήμα 4: 1 η διαμόρφωση Σχήμα 5: 2 η διαμόρφωση Όπως φαίνεται στα Σχήματα 4 και 5 προκύπτουν δύο ειδών διαμορφώσεις για τον βραχίονα. Κατά την πρώτη διαμόρφωση (Σχήμα 4), ο βραχίονας μπορεί να έρθει σε επαφή με τον κύβο, οπότε είναι προτιμότερη η διαμόρφωση της Σχήμα 5. Από τον Πίνακα 4 μπορεί να παρατηρηθεί πως οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων είναι μέσα στα όρια τους σε κάθε περίπτωση. Αξίζει επίσης να σημειωθεί πως όλες οι θέσεις πρόσδεσης βρίσκονται στο ίδιο τεταρτημόριο της πάνω έδρας του κύβου και αυτό επειδή είναι το πλησιέστερο στην αρχική θέση του οχήματος. Παρ όλα αυτά μπορούν να βρεθούν και ακατάλληλες θέσεις στην ίδια περιοχή όπως αυτή που απεικονίζεται στην Σχήμα 6. Η χαμηλή τιμή του w υποδεικνύει χαμηλή επιδεξιότητα του άκρου στο σημείο εργασίας κάτι που φαίνεται και από τον όγκο του ελλειψοειδούς για την συγκεκριμένη διαμόρφωση. Επίσης παρατηρείται περιορισμός στην κίνηση του άκρου προς ορισμένες διευθύνσεις καθώς και ότι η γωνία της δεύτερης άρθρωσης είναι αρκετά κοντά στο όριο της. x y z ψ w θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ Σχήμα 6 : Ακατάλληλη διαμόρφωση Τέλος θα πρέπει να σημειωθεί πώς ο ΓΑ σε κάθε τρέξιμο αποφεύγει παρόμοιες ακατάλληλες θέσεις και προσδιορίζει θέσεις υψηλής επιδεξιότητας. 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σε αυτή την εργασία παρουσιάζεται μία προσέγγιση για τον καθορισμό της βέλτιστης θέσης πρόσδεσης ενός ΜΥΟ εξοπλισμένου με ρομποτικό βραχίονα. Ο ΓΑ

7 λαμβάνει ως δεδομένα εισόδου την θέση του οχήματος και του σημείου εργασίας και επιστρέφει μια σχεδόν-βέλτιστη θέση πρόσδεσης εντός των περιορισμών, όπου εξασφαλίζεται υψηλή τιμή του δείκτη επιδεξιότητας του βραχίονα. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος μπορεί να ενσωματωθεί στο σύστημα ελέγχου του οχήματος όταν πρέπει να εκτελέσει υποθαλάσσιες εργασίες κατά την αποστολή του. Σε περιπτώσεις εκτέλεσης υποβρυχίων ρομποτικών εργασιών από ΑΥΟ, η χρήση τέτοιων αλγορίθμων είναι πιο αποτελεσματική. 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Andritsos F., Konstantinopoulos P and Charatsis K., Recuperation of Oil Trapped in Ship-Wrecks: the DIFIS Concept, International Symposium on Maritime Safety, Security and Environmental Protection (SSE 07), September 20-21, 2007, Athens, GR Asokan T. Seet G., Lau M. and Low E., Optimum positioning of an underwater intervention robot to maximize workspace manipulability, Mechatronics, Vol.15, pp , 2005 Aspragathos N.A., Optimal location of Path Following Tasks in the workspace of a Manipulator using Genetic Algorithms, Recent advances in Robot Kinematics, pp , 1996 Aspragathos N.A. and Foussias S., Optimal Location of a Robot path when considering Velocity Performance, Robotica 19, 2001 Corke P.I., A Robotics toolbox for MATLAB, IEEE Robotics and Automation Magazine, Vol.3, No.1, pp.24-32, 1996 Cozijn H., Andritsos F., Drogou J.F., Lévèque J.P. e.a. DIFIS - Double Inverted Funnel for the Intervention on Ship wrecks, International Oil Spill Conference (IOSC 2008), Savannah, Georgia, USA Dubei R. and Luh J.Y., Redundant Robot Control Using Task Based Performance Measures, Robotic Systems Vol.5, No.5, pp , 1988 Grosset D., Catret-Mascarell J.V., Papadopoulos C. and Andritsos F., Quasi-rigid Docking of AUV for Underwater Manipulations, Computer Science and Information Technologies CSIT 2002, Patras, Greece, September 2002 Mitsi S., Bouzakis K.D., Sagris D. and Mansour G., Determination of optimum robot base location considering discrete end-effector positions, Robotics and Computer- Integrated Manifacturing, Vol.24, pp.50-59, 2008 Murray R.M. and Li Z., Sastry S.S., A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press, New York, 1994 Salisbury J.K. and Craig J.J., Articulated Hands, Force control and Kinematic Issues, Int.J.of Robotics Research, No.1, pp.4-17, 1982 Tien L. and Collins C., Optimal placement of a two-link planar manipulator using a genetic algorithm, Robotica, Vol.23, Issue 2, pp , 2005 Yoshikawa T., Foundations of Robotics, The MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1990