x + y = α y = a x οπότε E = x y = x (a x) = x 2 + ax. x = 2( 1) = α 2, Ε = R = x = a x = 2R x = y

Transcript

1 ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΟΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Εφαρµογές της αισότητας του Cauchy Με «λίγη» Γεωµετρία ΚΑΡΡΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 17 Οκτωβρίου 010

2 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη παρακάτω εργασία γίεται µια διαπραγµάτευση του ϑέµατος του προσδιορισµού τω µεγίστω και τω ελαχίστω διαφόρω συαρτήσεω, χρησιµοποιώτας κάποιες αλγεβρικές συθήκες που προκύπτου από τη αισότητα του Cauchy, όσο και µε χρήση γεωµετρικώ µεθόδω. Σε κάποιες περιπτώσεις, δίοται και η αλγεβρική και η γεωµετρική λύση κάτω από τη ίδια εκφώηση του προβλήµατος (α και όχι πάτα στη ίδια ϑέση). Σε άλες όµως περιπτώσεις οι εκφωήσεις τω προβληµάτω διαφέρου αάλογα µε το α αυτά ϑα λυθού µε γεωµετρική ή µε αλγεβρική µέθοδο. Για παράδειγµα, το πρόβληµα «Να ϐρεθεί πότε το γιόµεο τριώ παραγότω γίεται µέγιστο ότα το άθροισµα τω παραγότω αυτώ είαι σταθερό» λύεται µε αλγεβρική µέθοδο, εώ το «Να προσδιοριστεί το παραλληλεπίπεδο µεγίστου όγκου, του οποίου οι ακµές έχου σταθερό άθροισµα» λύεται µε γεωµετρική µέθοδο. Είαι προφαές ϐέβαια πως πρόκειται για το προβληµα της µεγιστοποίησης εός γιοµέου τριώ παραγόρω τω οποίω το άθροισµα είαι σταθερό. Εοείται πως τα µεγέθη στα οποία εφαρµόζοται γεωµετρικές µέθοδοι ϑεωρούται ϑετικά και αυτό δε ααφέρεται ϱητά. Στις αλγεβρικές µεθόδους δε ααφερόµαστε καθόλου σε έοιες της αάλυσης και σε (εύκολα) συµπεράσµατα και αποδείξεις που προκύπτου από τη χρήση παραγώγω.

3 ΑΠΟ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟΝ Cauchy Ξεκιάµε µε έα απλό πρόβληµα : Από όλα τα ορθογώια µε σταθερή περίµετρο, α ϐρεθεί εκείο που έχει το µεγαλύτερο εµβαδό. Α είαι x, y οι διαστάσεις εός ορθογωίου µε περίµετρο α, τότε το πρό- ϐληµά µας είαι α προσδιορίσουµε πότε η παράσταση E = x y λαµβάει µέγιστη τιµή, ότα ισχύει x + y = α. Μπορούµε α ατιµετωπίσουµε το πρόβληµα αυτό µε πολλούς (και εύκολους) τρόπους. Για παράδειγµα : x + y = α y = a x οπότε E = x y = x (a x) = x + ax. Γωρίζουµε πως το τριώυµο αυτό έχει µέγιστο που το λαµβάει για x = α ( 1) = α, οπότε ϑα είαι και y = α. Συεπώς, από όλα τα ορθογώια µε σταθερή περίµετρο το τετράγωο έχει το µεγαλύτερο εµβαδό. ιαφορετικά : Στο ορθογώιο τρίγωο ΕΑΒ, ισχύει Ε = Α Β = x(a x) Πρέπει λοιπό α προσδιορίσουµε το µεγαλύτερο ύψος του ορθογωίου τριγώου που έχει υποτείουσα τη ΑΒ. Επειδή προφαώς το σηµείο ϐρίσκεται πάω στη διάµετρο ΑΒ του ηµικυκλίου και το Ε στο ηµικύκλιο, το Ε γίεται µέγιστο ότα το συµπέσει µε το κέτρο Ο του κύκλου, οπότε ϑα είαι Ε = R = x = a x = R x = y Τι γίεται στη περίπτωση που οι µεταβλητές x, y δε µπορού α γίου ίσες ; Ισχύει η ακόλουθη γείκευση :

4 3 ύο µεταβλητές έχου σταθερό άθροισµα. Να δειχθεί ότι το γιόµεό τους αυξάεται ότα η απόλυτη τιµή της διαφοράς τους µειώεται. (Συεπώς, το γιόµεο γίεται µέγιστο, ότα το τετράγωο της διαφοράς τους γίεται ελάχιστο). Α οι µεταβλητές µπορού α λάβου τη ίδια τιµή, για x = y το x y γίεται µέγιστο). ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Ας είαι x, y οι δύο µεταβλητές και a το σταθερό τους άθροισµα. Είαι : ( ) ( ) x + y x y x y = = a (x y) 4 4 Η τελευταία αυξάεται καθώς το (x y) ελλατούται. Οµως, οι τιµές της (x y) µεταβάλλοται µε το ίδιο τρόπο που µεταβάλλοται οι τιµές της x y. Άρα, το x y αυξάεται ότα ελατούται το x y και λαµβάει τη µέγιστη δυατή τιµή του ότα το x y λάβει τη ελάχιστη δυατή τιµή του. Προφαώς, α οι τιµές x = y = a είαι δυατές, το γιόµεο γίεται µέγιστο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Α x [5, 1] και x + y = 30 α ϐρεθεί το µέγιστο του γιοµέου x y. Το γιόµεο γίεται µέγιστο ότα γίει ελάχιστη η x y. Εχουµε : x y = x (30 x) = x 30 = 30 x 30 1 = 6 Η ελάχιστη τιµή του x y λαµβάεται ότα x = 1, οπότε y = 30 1 = 18 και το µέγιστο του x y είαι 1 18 = 16. Α ήτα x [5, 0] και x + y = 30, τότε x y = x = 0 και το ελάχιστο της x y λαµβάεται ότα x = y = 15 οπότε το γιόµεο λαµβάει τη µέγιστη τιµή του 15 = 5. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το ελάχιστο της x y λαµβάεται ότα το x λαµβάει τη πλησιέστερη προς το x + y δυατή τιµή. Πράγµατι, α x = x + y + ϑ, τότε y = x + y ϑ οπότε ( ) ( x y = x + y x + y + ϑ ϑ) = ϑ = ϑ το οποίο προφαώς είαι ελάχιστο ότα το ϑ είαι ελάχιστο. Αποδείξαµε λοιπό ότι το γιόµεο δύο αριθµώ είαι πάτα µικρότερο ή ίσο του γιοµέου που προκύπτει, α κάθε έας από τους αριθµούς ατικατασταθεί από το αριθµητικό µέσο τω δύο αριθµώ.

5 4 Εχοτας διαπιστώσει πως από όλα τα ορθογώια µε σταθερή περίµετρο, µεγαλύτερο εµβαδό έχει το τετράγωο, µπορούµε α ϑέσουµε έα δεύτερο ερώτηµα : Από όλα τα ορθογώια σταθερού εµβαδού, ποιό έχει τη µικρότερη περί- µετρο ; Α δυο ϑετικές µεταβλητές έχου σταθερό γιόµεο, τότε το άθροισµά τους αυξάει ή ελλατούται συγχρόως µετά τησ απολύτου τιµής της διαφοράς τω. Λαµβάει τη ελάχιστη τιµή του ότα η διαφορά τω αριθµώ γίει ελάχιστη. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Ας είαι x, y οι δύο µεταβλητές και a το σταθερό τους γιόµεο. Είαι : (x + y) = (x y) + 4x y = (x y) + 4a και το Ϲητούµεο είαι προφαές : Το ορθογώιο µε τη µικρότερη περίµετρο είαι το τετράγωο. Ακόµα, ( ) x + y (x + y) 4xy xy x + y xy Βλέπουµε λοιπό ότι Ο αριθµητικός µέσος δύο ϑετικώ αριθµώ είαι µεγαλύτερος ή ίσος από το γεωµετρικό τους µέσο. Μετα από το αποτέλεσµα αυτό τίθεται η δυατότητα γείκευσης : Ισχύει η παραπάω πρόταση α ατί για δύο ϑεωρήσουµε περισσότερους ϑετικούς αριθµούς ; Η γείκευση αυτή είαι γηστή σα αισότητα του Cauchy: Ο γεωµετρικός µέσος ϑετικώ αριθµώ είαι µικρότερος ή ίσος από το αριθµητικό τους µέσο Cauchy αισότητα : x1 x x 3... x x 1 + x + x x, x k 0, k = 1,,..., Για = η πρόταση είαι (σχεδό) προφαής : x1 x x 1 + x 4x 1 x (x 1 + x ) (x 1 x ) 0 Θα δείξουµε πως α η σχέση ισχύει για το ϕυσικό, τότε ισχύει και για το ϕυσικό. Πράγµατι. έστω α = x 1 + x + + x ϐ = x 1 + x + + x

6 5 γ = x +1 + x x Από το πρώτο ϐήµα της επαγωγής έχουµε ότι ϐγ ϐ + γ = α οπότε ϐγ α. Από τη υπόθεση της επαγωγής έχουµε : x1 x... x ϐ x 1 x... x = ϐ x+1 x +... x γ x +1 x +... x γ Συεπώς, οπότε x 1 x... x ϐ γ = (ϐγ) = (α ) = α x1 x... x α = x 1 + x + + x Αποδείξαµε πως η αισότητα µ χ1 χ... χ µ χ 1 + χ + + χ µ µ ισχύει για κάθε ϕυσικό αριθµό µ Πράγµατι, για µ = 1 έχουµε το πρώτο ϐήµα της επαγωγής. Με τη υπό- ϑεση πως η σχέση ισχύει για κάποιο µ, (δηλαδή για το µ = ) αποδείξαµε ότι ισχύει για το = µ = µ+1, δηλαδή δείξαµε τη ισχύ της για µ + 1. Θα δείξουµε τώρα τη σχέση για το ϕυσικό αριθµό. που δε είαι της µορφής = µ, µ N. Επειδή µ, υπάρχει ϕυσικός λ, τέτοιος ώστε + λ = µ, για κάποιο ϕυσικό αριθµό µ. Θεωρούµε τους ϑετικούς αριθµούς x 1, x,..., x, και ϑέτουµε x +1 = x + = = x +λ = x 1 + x + + x = x οπότε Από τη προηγούµεη απόδειξη ισχύει x 1 x... x x λ +λ x1 x... x xx... x x 1 + x + + x + λ x + λ x 1 + x + + x + λ x 1 + x + + x + λ +λ =

7 6 και άρα ( ) +λ ( ) x1 + x + + x x1 + x + + x = = x λ ( ) x1 + x + + x x 1 x... x x1 x... x x 1 + x + + x Αποδείξαµε λοιπό ότι η σχέση ισχύει για κάθε ϕυσικό αριθµό. Άµεσες συέπειες της αισότητας του Cauchy είαι οι : Α : Το γιόµεο το πλήθος ϑετικώ µεταβλητώ αριθµώ είαι µικρότερο ή το πολύ ίσο από το γιόµεο που προκύπτει α έκαστος τω παραγότω αυτώ ατικατασταθεί από το αριθµητικό µέσο τω παραγότω. Ας είαι χ 1, χ,..., χ οι ϑετικοί αριθµοί και α = χ 1 + χ + + χ µητικός τους µέσος. Από το ϑεώρηµα του Cauchy έχουµε ότι ο αριθ- χ1 χ... χ χ 1 + χ + + χ = α Άρα, χ 1 χ... χ α και τούτο δείχει το ισχυρισµό. Β: Το άθροισµα ϑετικώ αριθµώ είαι µεγαλύτερο ή ίσο από το άθροισµα που προκύπτει, α κάθε όρος του αθροίσµατος ατικατασταθεί από το γεωµετρικό µέσο τω προσθετέω. Εστω χ 1, χ,..., χ ϑετικοί αριθµοί και ϐ = χ1 χ... χ ο γεωµετρικός τους µέσος. Από τη αισότητα του Cauchy έχουµε : χ1 χ... χ χ 1 + χ + + χ ϐ χ 1 + χ + + χ β χ 1 + χ + + χ ϐ + ϐ + + ϐ χ 1 + χ + + χ Η τελευταία αποδεικύει το Ϲητούµεο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ:

8 7 (Α): Από όλα τα τρίγωα µε σταθερή περίµετρο, α ϐρεθεί εκείο που έχει το µεγαλύτερο εµβαδό. (Β): Από όλα τα τρίγωα µε δεδοµέο εµβαδό, α ϐρεθεί εκείο που έχει τη µικρότερη περίµετρο. ΛΥΣΗ: (Α): Ας είαι α, ϐ, γ οι πλευρές του τριγώου και τ η περίµετρός του. γωστό : Ε = τ(τ α)(τ ϐ)(τ γ) Ως Το εµβαδό αυτό γίεται µέγιστο, ότα γίει µέγιστο το γιόµεο (τ α)(τ ϐ)(τ γ) Οι (ϑετικοί) αριθµοί τ α, τ ϐ, τ γ ικαοποιού τη (τ α) + (τ ϐ) + (τ γ) = 3τ (α + ϐ + γ) = τ το οποίο είαι σταθερό, συεπώς το γιόµεό τους γίεται µέγιστο ότα καθέας από τους αριθµούς αυτούς ατικατασταθεί από το αριθµητικό µέσο τους, δηλαδή τ α = τ τ 3τ 3α = τ τ = 3α α = 3 3 τ ϐ = τ τ 3τ 3ϐ = τ τ = 3ϐ ϐ = 3 3 και γ = τ α ϐ = τ 3 ηλαδή Από όλα τα τρίγωα µε σταθερή περίµετρο, µέγιστο εµβαδό έχει το ισόπλευρο. (Β:) Ας είαι α, ϐ, γ οι πλευρές του τριγώου και τ η περίµετρός του. Εστω Ε το (σταθερό) εµβαδό του τριγώου. Τότε : τ(τ α)(τ ϐ)(τ γ) = Ε ιαφορετικά : ( ) ( ) ( ) α + ϐ + γ α + ϐ + γ α + ϐ + γ α + ϐ + γ α ϐ γ = Ε α + ϐ + γ ϐ + γ α α + γ ϐ α + ϐ γ = Ε (α + ϐ + γ)(ϐ + γ α)(α + γ ϐ)(α + ϐ γ) = 4Ε

9 8 Το γιόµεο τω αριθµώ α + ϐ + γ, ϐ + γ α, α + γ ϐ, α + ϐ γ είαι σταθερό. Παρατηρούµε ότι (α + ϐ + γ) + (ϐ + γ α) + (α + γ ϐ) + (α + ϐ γ) = (α + ϐ + γ) = 4τ Είαι προφαές πως οι αριθµοί αυτοί δε µπορού α εξισωθού µε το γεωµετρικό τους µέσο (αφού δε είαι δυατό η περίµετρος του τριγώου α ισούται µε κάποιο από τους υπόλοιπους τρεις αριθµούς. Ατί λοιπό α ελαχιστοποιήσουµε το παραπάω άθροισµα, παρατηρούµε ότι και το γιόµεο (α + ϐ + γ) (ϐ + γ α)(α + γ ϐ)(α + ϐ γ) = 4Ε είαι σταθερό και 3 3 ελαχιστοποιούµε το άθροισµα (α + ϐ + γ) +(ϐ+γ α)+(α + γ ϐ)+(α+ϐ γ) = (α+ϐ+γ) = 4 3 τ Η ελάχιστη τιµή του αθροίσµατος λαµβάεται ότα α + ϐ + γ = ϐ + γ α = α + γ ϐ = α + ϐ γ 3 δηλαδή ότα α = ϐ = γ, οπότε Από όλα τα τρίγωα σταθερού εµβαδού, µικρότερη περίµετρο έχει το ισόπλευρο. Από το επίπεδο στο χώρο Το επόµεο πρόβληµα προκύπτει αβίαστα : (Α :) Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα µε σταθερό όγκο ποιό έχει τη ελάχιστη επιφάεια ; (Β:) Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα µε σταθερή επιφάεια, ποιό έχει το µέγιστο όγκο ; Ας είαι α, ϐ, γ, οι διαστάσεις του ορθογωίου. Στη πρώτη περίπτωση, είαι σταθερό τοι γιόµεο α ϐ γ = V, και ϑέλουµε α ελαχιστοποιήσουµε το άθροισµα Ε = (αβ+ϐγ+αγ), πρόβληµα που είαι ισοδύαµο µε τη ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος αβ + ϐγ + γα. Στη δεύτερη περίπτωση είαι σταθερό το άθροισµα Ε, ή ισοδύαµα το άθροισµα αβ + ϐγ + γα και επιθυµούµε τη µεγιστοποίηση του γιοµέου α ϐ γ = V. (Α :) α ϐ γ = V (α ϐ γ) = V (αβ)(ϐγ)(γα) = V ηλαδή, οι αριθµοί αβ, αγ, ϐγ έχου σταθερό γιόµεο, οπότε το άθροισµά τους ελαχιστοποιείται ότα αβ = ϐγ = γα α = ϐ = γ Συεπώς, Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα µε σταθερό όγκο, ελάχιστο εµβαδό επιφαείας έχει ο κύβος.

10 9 (Β:) Το γιόµεο α ϐ γ γίεται µέγιστο, ότα γίεται µέγιστο και το τετράγωό του. Οµως : (α ϐ γ) = (αβ)(ϐγ)(γα) και επειδή οι παράγοτες αβ, ϐγ, γα έχου σταθερό άθροισµα, ϑα έχου το µέγιστο γιόµεο ότα αβ = ϐγ = γα α = ϐ = γ. Άρα, Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα που έχου σταθερό εµβαδό επιφαείας, το µέγιστο όγκο έχει ο κύβος. Μπορούµε εύκολα τώρα α γεικεύσουµε : Α οι ϑετικοί αριθµοί χ 1, χ, χ 3,..., χ έχου σταθερό γιόµεο, τότε το άθροισµα χ 1 χ + χ χ χ 1 χ γίεται ελάχιστο ότα ισχύει χ 1 χ = χ χ 3 = = χ 1 χ = χ χ 1 Πράγµατι, α το γιόµεο χ 1 χ χ 3 χ είαι σταθερό, ϑα είαι σταθερό και το τετράγωο του γιοµέου αυτού. Οµως, (χ 1 χ... χ ) = (χ 1 χ )(χ χ 3 )... (χ 1 χ )(χ χ 1 ) Οι παράγοτες του τελευταίου γιοµέου έχου σταθερό γιόµεο, οπότε το άθροισµά τους γίεται ελάχιστο ότα χ 1 χ = χ χ 3 = = χ 1 χ = χ χ 1 Α για τους ϑετικούς αριθµούς χ 1, χ, χ 3,..., χ ισχύει πως το άθροισµα χ 1 χ + χ χ χ 1 χ είαι σταθερό, το γιόµεο χ 1 χ χ 3 χ γίεται µέγιστο ότα χ 1 χ = χ χ 3 = = χ 1 χ = χ χ 1 Πράγµατι, το γιόµεο χ 1 χ χ 3 χ γίεται µέγιστο ότα το τετράγωό του γίεται µέγιστο, δηλαδή ότα το γιόµεο (χ 1 χ )(χ χ 3 )... (χ 1 χ )(χ χ 1 ) γίεται µέγιστο. Επειδή οι παράγοτες αυτοί έχου σταθερό άθροισµα, µεγιστοποιού το γιόµεό τους ότα χ 1 χ = χ χ 3 = = χ 1 χ = χ χ 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

11 10 Στο πρόβληµα για το καθορισµό του είδους του παραλληλεπιπέδου στα- ϑερού εµβαδού µε το µέγιστο όγκο χρησιµοποιήσαµε τη ισοδυαµία χ 1 χ = χ χ 3 = χ 3 χ 1 χ 1 = χ = χ 3 µε τη ϐοήθεια της οποίας συµπεράαµε πως το Ϲητούµεο στερεό ήτα ο κύ- ϐος. Γεάται λοιπό το ερώτηµα, α η ισοδυαµία αυτή µπορεί α γεικευθεί. Εχουµε : χ 1 χ = χ χ 3 = χ 3 χ 4 = χ 4 χ 1 { q 1 = χ 3 = χ 1 q = χ 4 Παρατηρούµε πως για τη περίπτωση τεσσάρω αριθµώ δε µπορούµε α έχουµε το Ϲητούµεο αποτέλεσµα. (π.χ. χ 1 = χ 3 = 5, χ = χ 4 = 1 ). Στη περίπτωση πέτε αριθµώ έχουµε { q 1 = χ χ 1 χ = χ χ 3 = χ 3 χ 4 = χ 4 χ 5 = χ 5 χ 1 3 = χ 5 q = χ 4 = χ 1 Οπότε η σχέση ισχύει για πέτε µεταβλητές. Γεικά : Α χ 1 χ = χ χ 3 = = χ χ +1 = χ +1 χ 1 τότε ισχύει χ 1 = χ = = χ +1 Πράγµατι, { λαµβάουµε q 1 = χ 3 = χ 5 = = χ +1 q = χ 4 = = χ = χ 1 Κατόπι αυτού, τα προηγούµεα αποτελέσµατα µπορού α διατυπωθού ως εξής : Α οι αριθµοί χ 1, χ,..., χ είαι ϑετικοί (µεταβλητοί), τότε : Οτα το γιόµεο χ 1 χ χ είαι σταθερό, το άθροισµα χ 1 χ + χ χ χ χ 1 γίεται ελάχιστο στη περίπτωση που ισχύει χ 1 χ = χ χ 3 = = χ 1 χ = χ χ 1 Α το είαι περιττός, η παραπάω σχέση είαι ισοδύαµη µε τη χ 1 = χ = = χ Οτα το άθροισµα χ 1 χ + χ χ χ χ 1 είαι σταθερό το γιόµεο χ 1 χ χ γίεται µέγιστο στη περίπτωση που ισχύει χ 1 χ = χ χ 3 = = χ 1 χ = χ χ 1 Α το είαι περιττός, η παραπάω σχέση είαι ισοδύαµη µε τη χ 1 = χ = = χ

12 11 Στα προηγούµεα παραδείγµατα ϑεωρήσαµε ορθογώια παραλληλεπίπεδα, τω οποίω οι τύποι τόσο για το εµβαδό της επιφάειας, όσο και για το όγκο είαι ιδιαίτερα απλοί. Θα προσπαθήσουµε τώρα α µεγιστοποιήσουµε το όγκο εός (ορθού) κώου, του οποίου είαι σταθερό το εµβαδό της παράπλευρης επιφάειας. Θεωρούµε λοιπό έα κώο µε ακτία ϐάσης x και ύψος y. Τότε, ως γωστό, η παράπλευρη επιφάεια έχει εµβαδό Ε = πx x + y = πa σταθερό, οπότε ϑα ισχύει και η x x + y = a (σταθερό). Ο όγκος του κώου είαι V = 1 3 πx y. Εχουµε :(λαµβάοτας υπ όψι ότι οι µεταβλητές είαι ϑετικές) x x + y = a x + y = a4 x y = a4 x 4 a4 x y = 4 x x Συεπώς V = 1 a4 x 4 3 πx = π x 3 x a 4 x 4 = π 3 (x4 ) 1 4 (a 4 x 4 ) 1 Θέλουµε λοιπό α µεγιστοποιήσουµε το γιόµεο ( x 4 ) 1 4 ( a 4 x 4) 1 ότα το άθροισµα x 4 + (a 4 x 4 ) = a 4 είαι σταθερό. Προφαώς ( x 4 ) 1 4 ( a 4 x 4) 1 = ( x 4) 1 4 ( a 4 x 4) 4 = 4 x 4 (a 4 x 4 ) ( οπότε αρκεί α µεγιστοποιήσουµε τη παράσταση x 4 (a 4 x 4 ) a 4 = 4 x 4 x 4 Είαι ( ) a 4 x 4 x 4 = x 4 a4 x 4 a4 x 4 και επειδή x 4 + a4 x 4 + a4 x 4 = α 4 (σταθερό), το γιόµεο αυτό µεγιστοποιείται ότα x 4 = a4 x 4 = a4 x 4 x 4 = a 4 x 4 x 4 = a4 3 a4 x 4 = a4 3 Συεπώς, ο όγκος του κώου γίεται µέγιστος, ότα a 4 ) x = a 4 3, y = 3 a 4 3 = a 4 3 a 3 = a 4 3

13 1 Παρατηρούµε ότι το γιόµεο (x 4 ) 1 4 (a 4 x 4 ) 1 = x x 1 = x µ 1 1 x µ έγιε µέγιστο, ότα x 4 = a4 x 4 x 1 = x 4x 1 = x x = x 1 x 1 µ 1 = x µ Γεικεύοτας, έχουµε το ακόλουθο : Α χ 1, χ,..., χ είαι ϑετικοί (µεταβλητοί) και µ 1, µ,..., µ είαι ϑετικοί (σταθεροί) ϱητοί αριθµοί, (Α) ότα χ 1 + χ + + χ = α(σταθερό), το γιόµεο χ µ 1 1 χµ χ µ γίεται µέγιστο εφόσο ισχύου οι χ 1 = χ = = χ. µ 1 µ µ (Β) ότα χ µ 1 1 χµ χ µ = ϐ(σταθερό), το άθροισµα χ 1 + χ + + χ γίεται ελάχιστο, εφόσο ισχύου οι χ 1 = χ = = χ. µ 1 µ µ (Α) Πράγµατι, α οι αριθµοί µ 1, µ,..., µ είαι (ϑετικοί) ακέραιοι, έχουµε : ( ) µ1 ( ) µ ( ) µ χ µ 1 1 χµ χ µ χ = µ 1 χ 1 µ χ µ µ 1 µ = ( ) µ µ1 ( ) µ ( ) µ = µ µ 1 1 µµ µ µ χ1 χ χ µ 1 ( χ µ Αρκεί ( ) α µεγιστοποιήσουµε το γιόµεο µ1 ( ) µ ) µ χ1 χ = µ µ 1 µ µ 1 ϕορές µ µ ϕορές µ ϕορές {( }} ){{( }} ){{( }} ){ χ1 χ1 χ1 χ χ χ χ χ χ µ 1 µ 1 µ 1 µ µ µ µ µ µ Το άθροισµα τω παραγότω του τελευταίου γιοµέου είαι µ 1 όροι µ όροι µ όροι ({}}{ χ1 + χ χ ) ({}}{ 1 χ + + χ + + χ ) {( }}{ χ χ + + χ ) = µ ( 1 µ 1 ) ( µ 1 ) µ µ ( ) µ µ µ µ = µ 1 χ1 + µ µ χ + + µ 1 µ χ = χ 1 + χ + + χ µ

14 13 το οποίο είαι σταθερό, οπότε το γιόµεο µεγιστοποιείται ότα οι παράγοτές του γίου ίσοι, δηλαδή ότα χ 1 = χ = = χ µ 1 µ µ Α τώρα οι µ 1, µ,..., µ είαι τυχαίοι ϱητοί, τότε υπάρχου ϑετικοί ακέ- ϱαιοι ϱ, λ 1, λ,..., λ µε τη ιδιότητα µ 1 = λ 1 ϱ, µ = λ ϱ,..., µ = λ ϱ Συεπώς, λ 1 λ ϱ ϱ = χ χ µ 1 1 χµ... χ µ ϱ... χ = ( χ λ 1 1 χλ... χ λ Αρκεί λοιπό α γίει µέγιστο το γιόµεο 1 χ λ χ λ 1 1 χλ... χ λ Οπως ήδη δείξαµε, τούτο συµβαίει ότα χ 1 = χ = = χ χ 1 λ 1 λ λ λ 1 ϱ = χ λ ϱ = = χ λ ϱ ) 1 ϱ χ 1 µ 1 = χ µ = = χ µ (Β) ιακρίουµε πάλι τις περιπτώσεις οι µ 1, µ,..., µ τυχαίοι ϱητοί αριθµοί. α είαι ακέραιοι ή Στη περίπτωση που οι µ ( 1, µ,.).., µ είαι ακέραιοι, έχουµε µ1 ( ) µ ( ) µ χ µ 1 1 χµ χ µ χ = α µ 1 χ 1 µ χ µ µ 1 µ = α ( ) µ µ1 ( ) µ ( ) µ µ µ 1 1 µµ µ µ χ1 χ χ = α ( ) µ 1 µ µ µ1 ( ) µ ( ) µ χ1 χ χ α = µ 1 µ µ µ µ 1 1 µµ µ µ = ϐ µ 1 ϕορές µ {( }}{ ϕορές µ ){}}{ ϕορές ( ) {( }} ){ χ1 χ1 χ1 χ χ χ χ χ χ = ϐ µ 1 µ 1 µ 1 µ µ µ µ µ µ Επειδή το τελευταίο γιόµεο είαι σταθερό, το άθροισµα µ 1 όροι µ όροι µ όροι ({}}{ χ1 + χ χ ) ({}}{ 1 χ + + χ + + χ ) {( }}{ χ χ + + χ ) µ 1 µ 1 µ 1 µ µ µ µ µ µ ελαχιστοποιείται ότα χ 1 = χ = = χ µ 1 µ µ Οµως µ 1 όροι µ όροι µ όροι {( }}{ χ1 + χ χ ) ({}}{ 1 χ + + χ + + χ ) {( }}{ χ χ + + χ ) = µ ( 1 µ 1 ) ( µ 1 ) µ µ ( ) µ µ µ µ = µ 1 χ1 + µ µ χ + + µ 1 µ χ = χ 1 + χ + + χ µ

15 14 και το Ϲητούµεο ισχύει ότα οι µ 1, µ,..., µ είαι ακέραιοι. Στη περίπτωση που οι µ 1, µ,..., µ είαι τυχαίοι ϱητοί, τότε υπάρχου ϑετικοί ακέραιοι ϱ, λ 1, λ,..., λ µε τη ιδιότητα µ 1 = λ 1 ϱ, µ = λ ϱ,..., µ = λ ϱ Συεπώς, χ µ 1 1 χµ... χ µ λ 1 λ λ ϱ = χ1 χ ϱ ϱ... χ = ( ) χ λ 1 1 χλ... χ λ 1 ϱ = α οπότε χ λ 1 1 χλ... χ λ = α ϱ σταθερό και όπωσ ήδη δείξαµε το άθροισµα χ 1 + χ + + χ ελαχιστοποιείται ότα χ 1 = χ = = χ χ 1 = χ = = χ χ 1 = χ = = χ λ 1 λ λ λ 1 λ λ µ 1 µ µ ϱ ϱ ϱ Α στις παραπάω σχέσεις ϑέσουµε χ µ 1 1 = y 1, χ µ = y,..., χ µ = y ϑα έχουµε ότι 1 1 µ χ 1 = y µ 1 1, χ = y,..., χ = y και άρα, 1 µ Α : Α οι ϑετικές µεταβλητές χ 1, χ,..., χ ικαοποιού τη χ 1 χ... χ = α (σταθερό), και οι αριθµοί µ 1, µ,....µ είαι ϑετικοί ϱητοί, το άθροισµα χ µ χ µ + + χ µ γίεται ελάχιστο ότα ισχύει η χ µ 1 1 χ µ χ µ = = = µ 1 µ µ Β: Α οι ϑετικές µεταβλητές χ 1, χ,..., χ ικαοποιού τη χ µ χ µ + + χ µ = α(σταθερό), και οι αριθµοί µ 1, µ,....µ είαι ϑετικοί ϱητοί, το γιόµεο χ 1, χ,..., χ γίεται µέγιστο ότα ισχύει η χ µ 1 1 χ µ χ µ = = = µ 1 µ µ Επειδή τώρα για χ 1, χ,..., χ ϑετικές µεταβλητές και α 1, α,..., α ϑετικές σταθερές, [ ] [ ] [ ] χ 1 χ... χ = (α 1 χ 1 ) (α χ )... (α χ ) = α 1 α α = 1 α 1 α... α [(α 1 χ 1 ) (α χ )... (α χ )] Το χ 1 χ... χ είαι σταθερό, ότα το (α 1 χ 1 ) (α χ )... (α χ ) είαι σταθερό έχουµε πως το άθροισµα

16 15 (α 1 χ 1 ) + (α χ ) + + (α χ ) γίεται ελάχιστο ότα α 1 χ 1 = α χ = = α χ Α τώρα το άθροισµα α 1 χ 1 + α χ + + α χ είαι σταθερό, το γιόµεο (α 1 χ 1 ) (α χ )... (α χ ) (και συεπώς και το χ 1 χ... χ ) γίεται µέγιστο ότα α 1 χ 1 = α χ = = α χ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σε ηµικύκλιο ακτίας R α εγγρα- ϕεί τραπέζιο µεγίστου εµβαδού, του οποίου η µία ϐάση α είαι η διάµετροσ ΑΒ του ηµικυκλίου. Επειδή το τραπέζιο είαι εγγεγραµµέο, είαι ισοσκελές. Εστω Γ = x και ΟΕ = y. Τότε Ε = 1 (x + R)y = (x + R)y = (x + y) R x = (R + x) 3 (R x) 1. Επειδή (R + x) + (R x) = R,το γιόµεο (R + x) 3 (R x) λαµβάει τη µέγιστη τιµή του ότα R + x = R x R + x = 3R 3x x = R 3 1, οπότε Γ = R = λ 6 (= Α = ΒΓ). Να δείξετε πως από τα ορθογώια τρίγωα µε σταθερό εµβαδό, τη µικρότερη υποτείουσα έχει το ισοσκελές. Α είαι x, y οι κάθετες πλευρές του ορθογωίου τριγώου, Ε το εµβαδό του και α η υποτείουσά του, τότε Ε = xy E = x y και α = x + y. Επειδή το γιόµεο x y είαι σταθερό, το άθροισµα x + y λαµβάει τη ελάχιστη τιµή του, ότα x = y x = y. ΑΣΚΗΣΗ: Να δείξετε πως από όλα τα ορθογώια τρίγωα που είαι εγγεγραµµέα στο ίδιο κύκλο, το ισοσκελές έχει το µέγιστο εµβαδό.

17 16 ίεται κύκλος (Ο, R) και ευθεία ε η οποία δε έχει κοιά σηµεία µε το κύκλο. Μια ευθεία ΑΒΓ τέµει τη ε κά- ϑετα στο Γ και το κύκλο στα σηµεία Α και Β. Να ϐρεθεί η ϑέση της ΑΒΓ, ώστε το γιόµεο ΑΒ ΒΓ α είαι µέγιστο. Εχουµε ΑΒ ΒΓ = ΑΒ ΒΓ = ΖΒ ΒΓ, όπου Ζ το µέσο της χορδής ΑΒ. Φέρουµε τη ΟΕ κάθετη στη ε, η οποία είαι σταθερή. Επειδή ΓΖ = ΟΕ το άθροισµα ΖΒ + ΒΓ = ΖΓ είαι σταθερό. Επειδή το άθροισµα ΖΒ + ΒΓ είαι σταθερό, το γιόµεο ΖΒ ΒΓ γίεται µέγιστο, ότα η απόλυτη τιµή της διαφοράς ΒΓ ΒΖ γίει ελάχιστη. Η µικρότερη τιµή που µπορεί α λάβει το ΒΓ ισούται µε ΕΚ και η µεγαλύτερη τιµή του ΒΖ ισούται µε τη ακτία ΚΟ του κύκλου. Α λοιπό ισχύει ΕΚ > ΟΚ, τότε ΒΓ ΒΖ = ΒΓ ΒΖ EK BZ EK OK = (OE R) R = OE R Η µέγιστη τιµή του γιοµέου, λαµβάεται ότα η ΒΓ συµπέσει µε τη ΟΕ και ϑα είαι ίση µε (ΟΕ R)R = OE R R

18 17 Στη περίπτωση που ισχύει ΕΚ = ΟΚ,τότε η ΒΓ ΒΖ µηδείζεται ότα η ΒΓ συµπέσει µε τη ΟΕ. Α ΕΚ < ΟΚ, τότε καθώς το ση- µείο Β κιείται από τη ϑέση F προς τη ϑέση Κ, σε κάποια ϑέση γίεται ΖΒ = ΒΓ. Στη ϑέση αυτή το γιόµεο γίεται µέγιστο. Επειδή οι ΖΓ και ΟΕ είαι παράλληλες, η κάθετη από το Β στη ΖΓ ϑα είαι κάθετη και στη ΟΕ. Οτα ΒΖ = ΒΓ η κάθετη αυτή ϑα είαι µεσοκάθετος της ΟΕ, οπότε το σηµείο Β πεοσδιορίζεται. (Προ- ϕαώς υπάρχου δύο ϑέσεις συµ- µετρικές ως προς ΟΕ, που µεγιστοποιού το γιόµεο. (Είαι τα σηµεία στα οποία η µεσοκάθετος του ΟΕ τέµει το κύκλο. ΑΣΚΗΣΗ: ίεται κύκλος (O, R) και σηµείο Α εκτός αυτού. Να αχθεί δια του Α τέµουσα ΑΒΓ του κύκλου, (µε τα σηµεία Β, και Γ α αήκου στο κύκλο), ώστε το άθροισµα ΑΒ + ΑΓ α είαι ελάχιστο. Το ορθογώιο δύο ευθυγράµµω τµηµάτω τω οποίω το άθροισµα είαι σταθερό γίεται µέγιστο ότα τα ευθύγραµµα τµήµατα γίου ίσα. (Με αλγεβρική γλώσσα : Το γιόµεο δύο παραγότω τω οποίω το άθροισµα είαι σταθερό γίεται µέγιστο, ότα οι παράγοτες αυτοί καταστού ίσοι. Ας είαι ΑΒ = x, Γ = y τα δύο ευθύγραµµα τµή- µατα. Προεκτίουµε το ΑΒ και λαµβάουµε τµή- µα ΑΕ = ΑΒ + Γ. Με διάµετρο το ΑΕ γράφου- µε ηµικύκλιο. Φέρου- µε ευθεία κάθετη στη Α- Ε στο σηµείο Β και οο- µάζουµε Μ το σηµείο στο οποίο η κάθετη αυτή τέ- µει το ηµικύκλιο. ΑΠΟ ΕΙΞΗ:

19 18 Φέρουµε τα τµήµατα ΜΑ και ΜΕ σχηµατίζοτας το ορθογώιο τρίγωο ΜΑΕ που έχει ύψος ΜΕ. Γωρίζουµε πως σε κάθε ορθογώιο τρίγωο, το τετράγωο του ύψους που ατιστοιχεί στη υποτείουσα ισούται µε το γιό- µεο τω καθέτω πλευρώ του στη υποτείουσα. Επειδή οι προβολές τω καθέτω πλευρώ στη υποτείουσα είαι ατίστοιχα οι ΑΒ = x και ΒΕ = y, έχουµε ότι ΒΜ = x y. Η µετρική σχέση ΜΒ = ΑΒ ΒΕ του ορ- ϑογωίου τριγώου ση- µαίει πως τα εικοιζό- µεα σχήµατα του ορ- ϑογωίου µε διαστάσεις ίσες µε ΑΒ, ΒΕ και του τετραγώου πλευ- ϱάς ΜΒ έχου ίσα εµ- ϐαδά. Συεπώς, πρέπει α δείξουµε ότι το εµβαδό του ορθογωίου γίεται µέγιστο, ό- τα οι διαστάσεις του γίου ίσες. Το ΒΜ προφαώς δε µπορεί α γίει µεγαλύτερο από τη ακτία του ηµικυκλίου, και λαµβάει τη µέγιστη τιµή ότα ΒΜ = ΟΝ = ΑΕ, οπότε το Β ϑα συµπίπτει µε το Ο και ϑα είαι ΑΒ = ΒΕ = ΑΕ Το άθροισµα δύο ευθυγράµµω τµηµάτω τω οποίω το ορθογώιο είαι σταθερό γίεται ελάχισττο, ότα τα ευθύγραµµα τµήµατα καταστού ίσα. (Αλγεβρικά : Το άθροισµα δύο ϑετικώ αριθµώ µε σταθερό γιόµεο γίεται ελάχιστο ότα οι αριθµοί είαι ίσοι). Στη περίπτωση που συµ- ϐαίει ΑΟ = ΟΒ ισχύει ΟΜ = ΟΑ ΟΒ και το ά- ϑροισµα είαι ΟΑ + ΟΒ = ΟΜ Στη περίπτωση που τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα είαι άισα, µπορού α ϑεωρήσουµε το άθροισµά τους ΕΖ, ΑΠΟ ΕΙΞΗ:

20 19 και α κατασκευάσουµε το ηµικύκλιο µε διάµετρο το ΕΖ που διέρχεται από το σηµείο Μ. Τότε, α x, y είαι τα µήκη τω δύο ευθυγράµµω τµηµάτω, επειδή το γιόµεο x y είαι σταθερό και ισούται µε ΟΜ, µπορούµε α ϑεωρήσουµε ότι το έα από τα δύο τµήµατα είαι το ΟΕ και το άλλο το ΟΖ. Α ΚΝ είαι η ακτία του ηµικυκλίου διαµέτρου ΕΖ που είαι παράλληλη στη ΟΜ, έχουµε ΕΖ = ΚΝ. Η σχέση ΕΖ > ΑΒ προκύπτει από τη προφαή ΚΝ > ΟΜ. Α δύο ευθυγράµµω τµηµάτω το άθροισµα τω τετραγώω είαι σταθερό, το ορθογώιό τουσ γίεται µέγιστο ότα τα τµήµατα καταστού ίσα.(αλγεβρικά : Το γιόµεο δύο ϑετικώ αριθµώ µε σταθερό άθροισµα τετραγώω γίεται µέγιστο ότα οι δύο αριθµοί γίου ί- σοι). Ας είαι ΑΒ το άθροισµα τω τετραγώω δύο ευθυγράµ- µω τµηµάτω ΑΓ και ΓΒ. Τα ΑΒ και ΒΓ µπορού α ϑεωρηθού ως πλευρές ορ- ϑογωίου τριγώου µε υποτείουσα το ΑΒ, δηλαδή ως πλευρές ορθογωίου τριγώου εγγεγραµµέου σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ. Φέρουµε το ύψος Γ και τη ακτία ΜΟ κάθετη στη ΑΒ. Οπως γωρίζουµε, το γιόµεο τω δύο κάθετω πλευρώ εός ορθογωίου τριγώου ισούται µε το γιόµεο της υποτείουσας επί το ατίστοιχο ύψος, οπότε ΑΓ ΒΓ = ΑΒ Γ. Κατασκευάζουµε το ορθογώιο τρίγωο ΜΑΒ στο οποίο ισχύει ΜΑ = ΜΒ. Στο τρίγωο αυτό έχουµε ΜΑ ΜΒ = ΑΒ ΜΟ Επειδή ΜΟ > Γ για οποιαδήποτε ϑέση του Γ διαφορετική της ϑέσης του Μ, ϑα έχουµε ότι ΜΑ ΜΒ > ΑΓ ΒΓ. Το άθροισµα τω τετραγώω δύο παραγότω τω οποίω το γιό- µεο είαι σταθερό, γίεται ελάχιστο, ότα οι παράγοτες καταστού ίσοι.

21 0 Θεωρούµε ηµικύκλιο κέτρου Ο και διαµέτρου ΑΒ. Θεωρούµε τη κάθετη στη ΑΒ ακτία ΟΜ και τη ε- ϕαπτοµέη του ηµικυκλίου στο Μ. Θεωρούµε τις χορδές ΑΓ και ΓΒ και οοµάζουµε Ν το σηµείο στο οποίο η ΒΓ τέµει τη εφαπτοµέη του ηµικυκλίου στο Μ. Φέρουµε τα ΑΝ, ΑΜ, ΒΜ. Προφαώς ισχύει ΑΒ = ΑΜ + ΜΒ = ΑΓ + ΒΓ. Τα τρίγωα ΑΝΒ και ΑΜΒ είαι ισεµβαδικά, αφού έχου τη ίδια ϐάση ΑΒ και τα ατίστοιχα ύψη τους ισούται µε τη ακτία του ηµικυκλίου. Οµως, ΑΜ ΜΒ το εµβαδό του ΑΜΒ ισούται µε, εώ το εµβαδό του ΝΑΓ ισούται ΒΝ ΑΓ µε, οπότε ισχύει ΑΜ ΜΒ = ΑΓ ΒΝ > ΑΓ ΒΓ. Συεπώς, το γιόµεο ΑΓ ΒΓ γίεται µέγιστο ότα το Γ ταυτιστεί µε το Μ. Τότε όµως οι δύο παράγοτες ϑα είαι ίσοι. Από όλα τα ορθογώια τω οποίω το άθροισµα τω καθέτω πλευ- ϱώ είαι σταθερό, ελάχιστη περίµετρο έχει το ισοσκελές. Ας είαι ΑΒΓ έα ορθογώιο τρίγωο µε ΑΒ + ΑΓ = λ σταθερό. Στη προέκταση της ΑΒ λαµβάουµε τµήµα Α = ΑΓ και ϕέρουµε τη Γ η οποία τέµει το ηµικύκλιο διαµέτρου Β στο ση- µείο Μ. Φέρουµε τη ΜΒ και τη ακτία ΜΟ η οποία είαι κάθετη στη Β, (αφού το ορθογώιο τρίγωο Μ Β έχει Β Μ = 90 ο και συεπώς η διάµεσος ΜΟ είαι και ύψος). Στο τρίγωο ΜΓΒ ισχύει προφαώς ΒΓ > ΒΜ, οπότε το τρίγωο ΟΜΒ για το οποίο ΟΒ + ΟΜ = λ, έχει τη µικρότερη υποτείουσα. Συεπώς το ΟΜΒ έχει τη µικρότερη περίµετρο. Το άθροισµα δύο ευθυγράµµω τµηµάτω, τω οποίω το άθροι-

22 1 σµα τω τετραγώω είαι σταθερό, γίεται µέγιστο ότα τα τµήµατα καταστού ίσα. Ας είαι ΑΒ το σταθερό ά- ϑροισµα τω τετραγώω τω δύο ευθυγράµµω τµηµάτω ΑΓ καυ ΒΓ. Προφαώς, το Γ ϐρίσκεται επί ηµικυκλίου διαµέτρου ΑΒ. Προεκτείουµε τη ΒΓ λαµβάοτας τµήµα Γ = ΑΓ και ϕέρου- µε τη Α. Επειδή το τρίγωο ΓΑ είαι ορθογώιο και ισοσκελές, είαι Α Β = 45 ο, εποµέως το σηµείο ϐρίσκεται επί του γεωµετρικού τόπου τω σηµείω που ϐλέπου το ΑΒ υπό γωία 45 ο, δηλαδή επί εός τόξου χορδής ΑΒ. Το κέτρο του τόξου αυτού ϐρίσκεται επί του ηµικυκλίου διαµέτρου ΑΒ (οπότε, αφού αήκει και στη µεσοκάθετο της χορδής ΑΒ, ϑα είαι το µέσο Μ του ηµικυκλίου. Συεπώς, η χορδή Β (της οποίας το µήκος ισούται µε ΑΓ + ΒΓ ) γίεται µέγιστη ότα ισούται µε τη διάµετρο του τόξου χορδής ΑΒ, δηλαδή ότα διέρχεται από το σηµείο Μ. Τότε όµως το Γ ϑα ταυτίζεται µε το Μ και τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα είαι ίσα. Το άθροισµα τω τετραγώω δύο ευθυγράµµω τµηµάτω, τω ο- ποίω το άθροισµα είαι σταθερό, γίεται ελάχιστο ότα τα τµήµατα καταστού ίσα. Ας είαι λ + χ, λ χ τα µήκη τω δύο τµηµάτω, τω οποίω το άθροισµα ισούται µε λ. Το άθροισµα τω τετραγώω τους είαι (λ + χ) + (λ χ) = (χ + λ ) Το άθροισµα αυτό γίεται ελάχιστο ότα χ = 0. Τότε όµως τα δύο τµήµατα ϑα είαι ίσα. Α δυο µεταβλητές ποσότητες πολλαπλασιασµέες µε δύο σταθε- ϱούς συτελεστές έχου σταθερό άθροισµα, το γιόµεό τους γίεται µέγιστο ότα οι ποσότητες αυτές καταστού ατιστρόφως αάλογες τω συτελεστώ τους.

23 Ας είαι x, y οι δύο µετα- ϐλητές ποσότητες και α, ϐ δύο συτελεστές ώστε αx + ϐy = λ, (σταθερό), τότε ϑα έχουµε αx + ϐy = λ y = λ αx. ϐ Το γιόµεο τω δύο αριθ- µώ είαι το λ αx xy = x = ότα x = λ λ α. Τότε όµως είαι y = ϐ ϐ αx λx = α ϐ ϐ x + λ ϐ x Η τελευταία παράσταση είαι τριώυµο δευτέρου ϐαθµού (µε αρητικό συτελεστή µεγιστοβάθµιου όρου), η οποία ως γωστό παριυσιάζει µέγιστο λ = λ ϐ Άρα, λ = αx = ϐy οπότε αx = ϐy x ϐ = y α Α δυο µεταβλητές ποσότητες πολλαπλασιασµέες µε δύο σταθε- ϱούς συτελεστές έχου σταθερό άθροισµα, το άθροισµα τω τετραγώω τους γίεται ελάχιστο ότα οι ποσότητες αυτές καταστού αάλογες τω συτελεστώ τους. Ας είαι x, y οι δύο µεταβλητές ποσότητες και α, ϐ δύο συτελεστές ώστε αx + ϐy = λ, (σταθερό), τότε ϑα έχουµε αx + ϐy = λ y = λ αx. ϐ Το άθροισµα τω τετραγώω τους είαι x (λ αx) + ϐ = x + λ + α x αλx ϐ = (α + ϐ )x αλx + λ ϐ Η παράσταση αυτή γίεται ελάχιστη, ότα ο αριθµητής του κλάσµατος γίει ελάχιστος. Οµως, η παράσταση (α + ϐ )x αλx + λ γίεται ελάχιστη ότα αλ x = (α + ϐ ) = αλ α + ϐ. Τότε όµως, α λ λ α y = + ϐ ϐ λ = ϐ ϐ(α + ϐ ) = ϐλ α + ϐ Συεπώς, λ = α + ϐ x = α + ϐ y α ϐ

24 3 οπότε α + ϐ x = α + ϐ y x α ϐ α = y ϐ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Σε ισοσκελές ορθογώιο τρίγωο α εγγραφεί ορθογώιο µεγίστου εµβαδού. Γωρίζουµε πως σε έα ι- σοσκελές τρίγωο το άθροισµα τω αποστάσεω εός σηµείου της ϐάσης του από τις πλευρές του είαι σταθε- ϱό. Α λοιπό είαι ΑΖ Ε έα ορθογώιο εγγεγραµµέο στο τρίγωο, τότε ισχύει Ε + Ζ σταθερό. Ε- πιθυµούµε α είαι µέγιστο το Α Ζ. Τούτο ως γωστό συµβαίει ότα Ε = Ζ,δηλαδή ότα το ορθογώιο είαι τετράγωο. Εστω ΗΜΚΑ το τετράγωο που εγγράφεται στο τρίγωο ΑΒΓ. Τότε, η ΑΜ ϑα είαι διχοτόµος της ˆΑ, άρα διάµεσος του ΑΒΓ, οπότε το σηµείο Μ προσδιορίζεται. Σε δοθέτα κύκλο α εγγραφεί ορθογώιο µεγίστου εµβαδού. Α ΑΒΓ είαι έα εγγεγραµµέο στο κύκλο κέτρου Ο ορθογώιο, και ϕέρουµε τις µεσοπαράλληλες τω πλευρώ του, είαι προφαές ότι το εµβαδό του ΑΒΓ είαι τετραπλάσιο από το εµβαδό του ΟΕΑΖ. Συεπώς, το εµβαδό του ΑΒΓ είαι µέγιστο, ότα το εµβαδό του ΟΕΑΖ είαι µέγιστο.

25 4 Θεωρούµε κύκλο κέτρου Ο, σηµείο Α της περιφερείας του και κατασκευάζουµε τη εφαπτόµεη του κύκλου στο σηµείο Α. Με υποτείουσα επί της εφαπτοµέης και κορυφή το κέτρο του κύκλου κατασκευάζουµε ισοσκελές ορθογώιο τρίγωο ΟΒΓ. Είαι προφαές ότι το εµβαδό του ΟΕΜΚ είαι µικρότερο (ή ίσο α τα Μ και ταυτίζοται) από το εµβαδό του ΟΕ Ζ. Από τη προηγούµεη κατασκευή ισχύει πως το εµβαδό του ΟΕ Ζ είαι µικρότερο ή ίσο από το εµβαδό του ΟΗΑΘ. ιαφορετικά : Στο ορθογώιο ΟΕΜΚ ισχύει ΜΚ + ΟΚ = ΟΜ σταθε- ϱό. Συεπώς, το εµβαδό του ΟΕΜΚ γίεται µέγιστο, ότα ΜΚ = ΟΚ, και τούτο συµβαίει ότα το Μ ταυτιστεί µε το µέσο Α του τεταρτοκυκλίου που σχηµατίζεται από δύο κάθετες διαµέτρους. Εχοτας διαπιστώσει ότι το ορθογώιο µεγίστου εµβαδού που εγγράφεται σε κύκλο είαι το τετράγωο, η κατασκευή του είαι (σχεδό) προφαής. (Οι δύο κατασκευές που απεικοίζοται στα προηγούµεα σχήµατα µπορού α ταυτιστού µε στροφή κατά 45 ο ). Από τη κορυφή Μ παραλληλογράµµου ΑΡΜΠ α αχθεί ευθεία ΒΜΓ ώστε το τρίγωο ΒΑΓ α έχει ελάχιστο εµβαδό. Θεωρώ τυχούσα ευθεία Ε και έστω ότι Μ < ΜΕ. Θεωρώ επί του ΜΕ σηµείο Ζ ώστε Μ = ΜΖ και από το Ζ ϕέρουµε παράλληλη στη ΜΡ που τέµει τη ΑΡ στο σηµείο Γ. Οοµάζω Β το ση- µείο στο οποίο η ΓΜ τέµει τη ΑΠ. Επειδή ΜΖ = Μ τα τρίγωα Μ Β και ΜΖΓ είαι ίσα, οπότε το εµβαδό του Μ Β είαι µικρότερο από το εµβαδό του ΜΓΕ. Επειδή, (ΑΒΓ) = (ΑΓΜ ) + (Μ Β) (ΑΕ ) = (ΑΓΜ ) + (ΜΓΕ)

26 5 έχουµε ότι το εµβαδό του ΑΒΓ είαι το ελάχιστο. Για τη κατασκευή του ΒΓ έχουµε εκτός της προααφερθείσης µεθόδου και : Τα τρίγωα ΡΓΜ και ΠΜΒ είαι ίσα (έχου ίσες µία προς µία τις γωίες τους και ΓΜ = ΜΒ από τη ισότητα τω τριγώω ΜΓΖ και ΜΒ ), οπότε ΡΓ = ΜΠ = ΑΡ, δηλαδή το σηµείο Γ προσδιορίζεται. ΑΣΚΗΣΗ: Σε τρίγωο ΑΒΓ α εγγραφεί παραλληλόγραµµο ΑΡΜΠ µεγίστου εµβαδού. Σε ορθογώιο τρίγωο α εγγραφεί παραλληλόγραµµο µεγίστου εµβαδού. Σύµφωα µε τη προηγούµεη άσκηση µια κορυφή του παραλληλογράµ- µου ϐρίσκεται στο µέσο µιας πλευράς του τριγώου, οπότε µπορούµε α κατασκευάσουµε τρία παραλληλόγραµµα µεγίστου εµβαδού εγγεγραµµέα στο ορθογώιο τρίγωο. Το έα από τα παραλληλόγραµµα αυτά είαι ορθογώιο. Επίσης, τα τρία αυτά παραλληλόγραµµα είαι µεταξύ τους ισοδύαµα. Τα παραλληλόγραµµα ΓΝΚΜ, ΝΜΒΚ και ΑΚΜΝ είαι ισοδύαµα και τα µέγιστα που µπορού α εγγραφού στο ΑΒΓ. Από αυτά, το ΑΚΜΝ είαι ορθογώιο. Σε τυχαίο τρίγωο ΑΒΓ α εγγραφεί ορθογώιο µεγίστου εµβαδού. Μια πλευρά του ορθογωίου α κείται επί µιας πλευράς του τριγώου.

27 6 Φέρουµε το ύψος Α και σε καθέα από τα ορθογώια τρίγωα ΑΒ και ΑΓ εγγρά- ϕουµε τα µέγιστα ορθογώια Μ ΖΚ και Μ ΝΕ. Ε- πειδή τα σηµεία Ζ, Μ και Ε είαι συευθειακά, το τετράπλευρο ΖΕΝΚ είαι ορ- ϑογώιο και είαι το Ϲητού- µεο µέγιστο ορθογώιο. Μπορούµε α κατασκευάσουµε έα µέγιστο ορθογώιο µε πλευρά σε κάθε µία από τις πολευρές του τριγώου. Τα τρία αυτά ορθογώια είαι ισοδύαµα αφού το καθέα έχει εµβαδό ίσο µε το µισό του εµβαδού του τριγώου. Α στο τρίγωο ΑΒΓ ϕέρου- µε τη διάµεσο ΑΜ και σχη- µατίσουµε σε καθέα από τα τρίγωα ΑΒΜ και ΑΓΜ τα µέγιστα παραλληλόγραµµα ΖΗΜΘ και ΚΕ Μ, είαι προφαές ότι το ΖΕ Θ είαι το µέγιστο παραλληλόγραµ- µο που εγγράφεται στο ΑΒΓ. Θεωρούµε Κ, Ν τις προβολές επί της Θ τω Ζ και Ε ατίστοιχα. Από τη ισότητα τω τριγώω ΚΖΘ και ΝΕ έχουµε ότι το ορθογώιο ΚΖΕΝ είαι ισοδύαµο µε το παραλληλόγραµµο ΘΖΕ, οπότε το ΚΖΕΝ είαι το µέγιστο ορθογώιο που εγγράφεται στο ΑΒΓ. Σε ορθογώιο τρίγωο α εγγραφεί παραλληλόγραµµο µεγίστου εµ- ϐαδού. Το παραλληλόγραµµο δε πρέπει α έχει κοιή κορυφή µε το τρίγωο και δε πρέπει α είαι ορθογώιο.

28 7 Φέρουµε τη διάµεσο ΒΜ και από τα µέσα Ε και Ζ τω ΑΒ και ΒΓ ϕέρουµε παραλλήλους προς τη ΒΜ. Το τετράπλευρο ΕΖΗΚ που σχη- µατίζεται είαι παραλληλόγραµµο µε εµβαδό ίσο µε το µισό του εµβαδού του ΑΒΓ, άρα είαι µέγιστο πα- ϱαλληλόγραµµο. Σε προηγούµεη εφαρµογή εγγράψαµε σε ηµικύκλιο τραπέζιο µεγίστου εµβαδού. Τώρα ϑα διαπιστώσουµε ότι το τραπέζιο αυτό ταυτίζεται µε το τετράπλευρο ΑΒΓ µεγίστου εµβαδού που εγγράφεται σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ α εγγραφεί τετράπλευρο µεγίστου εµ- ϐαδού, του οποίου η µία πλευρά είαι η διάµετρος ΑΒ. Εστω ότι γωρίζουµε τη πλευρά ΒΓ του τετραπλεύ- ϱου ΑΒΓΕ. Τότε το εµβαδό του τετραπλεύρου γίεται µέγιστο ότα το εµβαδό του τριγώου ΑΕΓ γίει µέγιστο. Το εµβαδό του ΑΕΓ γίεται µέγιστο ότα το ύψος του ΕΖ γίει µέγιστο. Τούτο συµβαίει ότα το Ε συµπέσει µε το µέσο του τόξου ΑΓ. Οτα όµως το είαι µέσο του τόξου ΑΓ, το ύψος Η είαι και διάµεσος του ΑΓ, οπότε Α = Γ. Συεπώς, για α είαι το εµβαδό του ΑΒΓ µέγιστο, πρέπει το τετράπλευρο α έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Για το ίδιο λόγο, µπορούµε α δούµε ότι το Γ πρέπει α είαι το µέσο του τόξου Β, οπότε ϑα είαι Γ = ΒΓ. Τελικά, το µεγίστου εµβαδού τετράπλευρο που εγγράφεται σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ ικαοποιεί τη σχέση ΒΓ = Γ = Α = λ 6, δηλαδή το τετράπλευρο µεγίστου εµβαδού που εγγράφεται σε ηµικύκλιο είαι το µισό του καοικού εξαγώου που εγγράφεται στο κύκλο. Σε δοθέ τόξο χορδής ΑΒ α εγγραφεί τετράπλευρο ΑΒΓ µεγίστου εµβαδού.

29 8 Ας υποθέσουµε ότι η πλευ- ϱά ΒΓ είαι σταθερή. Τότε το εµβαδό του ΑΒΓΕ γίεται µέγιστο ότα το εµβαδό του τριγώου ΑΓΕ γίει µέγιστο. Τούτο συµβαίει ότα το ύψος ΕΗ γίει µέγιστο, δηλαδή ότα το Ε συµπέσει µε το µέσο του τόξου ΑΓ. Τότε όµως οι χορδές Α και Γ είαι ίσες, οπότε συµπεραίουµε ότι για α έχει το ΑΒΓ µέγιστο εµβαδό, πρέπει α ισχύει Α = Γ. Για το ίδιο λόγο ϐρίσκουµε ότι πρέπει Γ = ΒΓ, οπότε το τετράπλευρο µεγίστου εµβαδού έχει τις τρεις (µεταβλητές) πλευρές του ίσες. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το τετράπλευρο αυτό µπορεί α µη κατασκευάζεται γεωµετρικά, αφού η κατασκευή του τριχοτοµεί τη επίκετρη γωία ΑΟΒ. Να δείξετε πως απ όλα τα εγγεγραµµέα σε έα κύκλο τρίγωα, το ισόπλευρο έχει το µέγιστο εµβαδό. Ας είαι ΑΒΓ έα εγγεγραµ- µέο σε κύκλο τρίγωο και ας υποθέσουµε ότι η πλευ- ϱά ΑΒ είαι σταθερή. Τότε το τρίγωο αποκτά µέγιστο εµβαδό, ότα η κορυφή Γ ταυτιστεί µε το µέσο του (µείζοος) τόξου ΑΒ. (Οπότε το τρίγωο αποκτά µέγιστο ύψος). Με το ίδιο τρόπο ϐρίσκουµε ότι και το Β πρέπει α είαι το µέσο του τόξου ΑΓ οπότε το τρίγωο είαι ισόπλευρο. είξαµε ακόµη πως απ όλα τα εγγεγραµµέα σε έα κύκλο τρίγωα µε σταθερή ϐάση, µέγιστο εµβαδό έχει εκείο του οποίου οι (µεταβλητές) πλευ- ϱές είαι ίσες. Σε δοθέτα κύκλο α εγγραφεί ισοσκελές τρίγωο µεγίστου εµβαδού.

30 Εστω Α έα σηµείο του κύκλου, Ζ η εφαπτοµέη του κύκλου στο Α και ΑΕ η κά- ϑετη στη εφαπτοµέη. Θεωρούµε εφαπτοµέη Ε του κύκλου στο σηµείο Κ, ώστε ΕΚ = Κ. Φέρουµε και τη εφαπτοµέη ΕΖ του κύκλου που εφάπτεται αυτού στο σηµείο Γ. Το τρίγωο ΑΚΓ είαι το µεγίστου εµβαδού ισοσκελές τρίγωο εγγεγραµ- µέο στο κύκλο. Πράγµατι. Η ΑΕ είαι διχοτόµος και ύψος του ΕΖ, οπότε ΕΖ = Ε και επειδή ΕΓ = ΕΚ ϑα είαι και ΓΖ = Κ, δηλαδή ΕΓ = ΓΖ. Επίσης, ΓΖ = ΖΑ και Α = Κ, οπότε τα σηµεία Γ, Κ και Α είαι τα µέσα τω πλευρώ του ΕΖ, οπότε επειδή ΑΖ = Ε ϑα έχουµε ΑΓ = ΑΚ, δηλαδή το ΑΚΓ είαι ισοσκελές. Το εµβαδό του ορθογωίου ΓΚΗΜ είαι διπλάσιο από το εµβαδό του ΑΚΓ, οπότε το εµβαδό του ΑΚΓ γίεται µέγιστο ότα το εµβαδό του ΜΗΚΓ είαι µέγιστο. Γωρίζουµε από προηγούµεη εφαρµογή πως το ορθογώιο ΜΗΚΓ έχει µέγιστο εµβαδό, ότα τα Κ και Γ είαι τα µέσα τω Ε και ΕΖ ατίστοιχα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Επειδή το ΕΖ είαι ισόπλευρο, και το ΑΚΓ είαι ισόπλευρο, σχέση που ααµεότα. Από όλα τα εγγεγραµµέα πολύγωα µε το ίδιο πλήθος πλευρώ σε έα κύκλο, µέγιστο εµβαδό έχει το καοικό. Γωρίζουµε πως έα πολύγωο που είαι εγγράψιµµο είαι καοικό ότα και µόο ότα έχει όλες του τις πλευρές ίσες. Θα δείξουµε πως έα εγγεγραµµέο σε κύκλο πολύγωο που δε έχει τις πλευρές του ίσες, δε είαι µεγίστου εµβαδού. Ας ϑεωρήσουµε έα εγγεγραµµέο σε κύκλο πολύγωο ΑΒΓ... Ζ στο οποίο οι διαδοχικές πλευρές ΑΖ και Ζ δε είαι ίσες. Επειδή το εµβαδό του πολυγώου ισούται µε το εµβαδό του ΑΒΓ.. αυξηµέο κατά το εµβαδό του τριγώου ΑΖ, µπορούµε α αυξήσουµε το εµβαδό του ΑΒΓ... Ζ ϑεω- ϱώτας το ΑΒΓ... Ε, στο ο- ποίο ΑΕ = Ε. 9

31 30 Συεπώς, το ΑΒΓ... Ζ δε έχει µέγιστο εµβαδό. Από όλα τα καοικά πολύγωα που είαι εγγεγραµµέα στο ίδιο κύκλο, µεγαλύτερο εµβαδό έχει εκείο που έχει το µεγαλύτερο πλή- ϑος πλευρώ. Το τετράπλευρο ΑΒΓ έχει προφαώς µεγαλύτερο εµ- ϐαδό από το ισόπλευρο τρίγωο ΑΒΓ. Οµως το τετράγωο (καοικό τετράπλευ- ϱο) έχει µεγαλύτερο εµβαδό από όλα τα εγγεγραµ- µέα στο κύκλο τετράπλευ- ϱα, οπότε το τετράγωο έχει µεγαλύτερο εµβαδό από το ισόπλευρο τρίγωο. Εστω τώρα έα καοικό πολύγωο µε πλευρές εγγεγραµµέο σε έα κύκλο. Θεωρώτας έα σηµείο Β του τόξου Α µ Α µ+1 είαι προφαές ότι το πολύγωο Α 1 Α...Α µ ΒΑ µ+1 Α µ+...α το οποίο έχει + 1 πλευ- ϱές έχει εµβαδό µεγαλύτερο από το εµβαδό του Α 1 Α...Α µ Α µ+1 Α µ+...α. Επίσης, το καοικό πολύγωο µε πλήθος πλευρώ + 1 έχει µεγαλύτερο εµβαδό από όλα τα εγγεγραµµέα στο κύκλο πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ. Συεπώς, το καοικό πολύγωο µε + 1 πλευρές που είαι εγγεγραµµέο σε κύκλο, έχει µεγαλύτερο εµβαδό από το καοικό πολύγωο µε πλευρές που είαι εγγεγραµµέο στο ίδιο κύκλο. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ α εγγραφεί τετράπλευρο ΑΒΓ µεγίστης περιµέτρου.

32 31 Ας είαι ΑΒΓ έα τετράπλευρο εγγεγραµµέο στο ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ. Θεωρούµε ότι η πλευρά ΒΓ είαι σταθερή, οπότε η περίµετρος του τετραπλεύρου µεγιστοποιείται ό- τα µεγιστοποιείται το ά- ϑροισµα Γ + Α. Θα µελετήσουµε τη µεταβολή του αθροίσµατος δύο διαδοχικώ χορδώ τω οποίω τα µη κοιά άκρα είαι σταθερά. Θεωρούµε σηµείο Ζ και έστω Ε το µέσο του τόξου ΑΖ. Φέρουµε τη εφαπτόµεη ΡΗ του κύκλου στο Ε και οοµάζουµε Ρ και Η τις τοµές της µε τις µεσοκαθέτους τω χορδώ ΕΖ και ΕΑ ατίστοιχα. Στο τρίγωο ΟΗΡ το ΟΕ είαι ύψος και διχοτόµος, οπότε ΟΗ = ΟΡ. Το σηµείο είαι εσωτερικό σηµείο του τριγώου ΟΡΗ, οπότε ισχύει Κ + Λ < ΕΝ + ΕΜ. Οµως τα τόξα ΘΣ και ΑΖ είαι ίσα, οπότε και οι χορδές ΘΣ και ΑΖ είαι ίσες. Θ + Σ = ( Κ + Λ) < (ΕΝ + ΕΜ) = ΕΑ + ΕΖ Συεπώς, το άθροισµα Θ + Σ γίεται µέγιστο ότα Θ = Σ. Άρα, για α έχει το ΑΒΓ µέγιστη περίµετρο πρέπει Α = Γ. Με όµοιο τρόπο ϐρίσκουµε ότι στο τετράπλευρο µεγίστης περιµέτρου πρέπει ΒΓ = Γ. Τελικά, στο τετράπλευρο ΑΒΓ µεγίστης περιµέτρου πρέπει οι µεταβλητές πλευρές α είαι ίσες. ΑΣΚΗΣΗ1: Σε τόξο χορδής ΑΒ, α εγγραφεί τετράπλευρο ΑΒΓ µεγίστης περιµέτρου. ΑΣΚΗΣΗ: Από τα εγγεγραµµέα σε κύκλο πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ, µεγαλύτερη περίµετρο έχει το καοικό. Να προσδιοριστεί σηµείο Κ στο εσωτερικό εός τριγώου ΑΒΓ, τέτοιο ώστε το άθροισµα τω τετραγώω τω αποστάσεώ του απο τις κορυ- ϕές του τριγώου α είαι ελάχιστο.

33 Μπορούµε α υποθέσουµε ότι το ΚΓ +ΚΑ είαι σταθε- ϱό. Τότε το Κ ϑα κείται επί του γεωµετρικού τόπου τω σηµείω τω οποίω το ά- ϑροισµα τω τετραγώω τω αποστάσεώ τους από τα ση- µεία Α και Γ είαι σταθερό, δηλαδή επί εός κύκλου του οποίου το κέτρο ϑα είαι το µέσο Μ της ΑΓ, αφού από το πρώτο ϑεώρηµα τω δια- µέσω έχουµε ότι ΚΑ + ΚΓ = ΚΜ + ΑΓ ΚΑ ΚΜ = + ΚΓ ΑΓ σταθερό. Το (σχετικό) ελάχιστο της παράστασης ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ λαµβάεται ότα το ΒΚ γίει ελάχιστο, και τούτο προφαώς συµβαίει ότα το Κ είαι σηµείο του τµήµατος ΒΜ. Συεπώς, για α είαι το ΚΑ + ΚΓ + ΚΒ ελάχιστο, πρέπει το Κ α αήκει στη διάµεσο ΒΜ. Με όµοιο τρόπο διαπιστώουµε ότι το Κ πρέπει α αήκει και στις άλλες δύο διαµέσους του ΑΒΓ, άρα το ελάχιστο άθροισµα τετραγώω τω αποστάσεώ του από τις κορυφές του τριγώου έχει το ϐαρύκετρο του τριγώου. Σε κυκλικό τοµέα α εγγραφεί ορθογώιο µεγίστου εµβαδού. Φέρουµε τη διχοτόµο ΟΓ της γωίας του τοµέα και προσδιορίζουµε δύο σηµεία Α, Β του τόξου, τέτοια ώστε οι εφαπτόµεες στα σηµεία αυτά α ικαοποιού τις σχέσεις ΑΓ = Α και ΒΓ = ΕΒ. (Τα σηµεία Α, Β είαι συµµετρικά ως προς τη ΟΓ, άρα υπάρχου και τα δύο α υπάρχει το έα). Για το Α έχουµε ότι τα τρίγωα ΟΑ και ΟΑΓ είαι ίσα, οπότε το Α προσδιορίζεται από τη διχοτόµο της ΓΟ. Φέρουµε τη Ε και τις ΒΗ, ΑΖ κάθετες στη Ε και οοµάζουµε Μ και Κ τα σηµεία τοµής τω ΒΗ, ΑΖ µε τη Ε. Επειδή το τρίγωο ΟΕ είαι ισοσκελές, (από τη ισότητα τω οξυγωίω τριγώω ΟΓΕ και ΟΓ ), η ΟΓ είαι κάθετος στη Ε και εποµέως οι ΒΗ, ΑΖ 3

34 33 είαι παράλληλες στη ΟΓ, οπότε τα Η και Ζ είαι τα µέσα τω ΟΕ και Ο ατίστοιχα. Το ορθογώιο ΜΚΑΒ είαι το µέγιστο εγγραφόµεο στο τρίγωο ΓΕ ορ- ϑογώιο και το ΜΚΖΗ το µέγιστο εγγραφόµεο στο ΟΕ ορθογώιο. Άρα, το ΑΒΗΖ είαι το µεγίστου εµβαδού εγγραφόµεο στο κυκλικό τόµέα ορθογώιο. ΑΣΚΗΣΗ: Σε κυκλικό τµήµα, α εγγραφεί ορθογώιο µεγίστου εµβαδού. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΥΣ ΟΓΚΟΥΣ Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα µε σταθερό άθροισµα α- κµώ, α ϐρεθεί εκείο που έχει το µέγιστο όγκο. Εστω ότι Α + Γ + Θ = λ (σταθερό). Α υποθέσουµε ότι η ακµή Γ είαι σταθερή, ϑα έχουµε Α + Θ = λ Γ (σταθερό) και ο όγκος του παραλληλεπιπέδου ϑα είαι Α Θ Γ. Επειδή το Γ είαι σταθερό, το µέγιστο του γιοµέου λαµβάεται ότα το γιόµεο Α Θ γίει µέγιστο. Οµως, οι παράγοτες Α και Θ έχου σταθερό άθροισµα, οπότε το γιόµεό τους γίεται µέγιστο ότα Α = Θ, δηλαδή ότα η έδρα Α ΘΕ είαι τετράγωο. Με το ίδιο τρόπο διαπιστώουµε ότι το παραλληλεπίπεδο έχει µέγιστο όγκο ότα όλες οι έδρες του είαι τετράγωα, δηλαδή ότα το παραλληλεπίπεδο είαι κύβος. Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα τω οποίω η ϐάση είαι τετράγωο και το άθροισµα της πλευράς της ϐάσης και του ύψους του είαι σταθερό, α ϐρεθεί το έχο το µέγιστο όγκο.

35 34 Ας είαι x το εµβαδό της ϐάσης ΑΒΓ και x + y = λ το σταθερό άθροισµα της πλευ- ϱάς της ϐάσης και του ύψους του παραλληλεπιπέδου. Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είαι x y. ιπλασιάζοτας το ύψος του παραλληλεπιπέδου σχηµατίζουµε έα παραλληλεπίπεδο µε τη ίδια ϐάση και διπλάσιο όγκο από το αρχικό. Προφαώς, ο όγκος του αρχικού παραλληλεπιπέδου γίεται µέγιστος ότα και ο όγκος του έου παραλληλεπιπέδου είαι µέγιστος. Στο ΚΛΜΝΕΖΗΘ έχουµε ότι το άθροισµα ΑΒ + Α + ΕΝ = x + x + y = (x + y) = λ είαι σταθερό, οπότε το γιόµεο x (y) γίεται µέγιστο, ότα x = y, ότα δηλαδή η ακµή της ϐάσης είαι διπλάσια του ύψους. Συεπώς, ότα το άθροισµα x + y είαι σταθερό, το γιόµεο x y γίεται µέγιστο ότα τα x, y είαι αάλογα τω εκθετώ και 1. Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα που έχου σταθερή ολική επιφάεια, α ϐρεθεί εκείο που έχει το µέγιστο όγκο. Ας είαι x, y, z οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου. Το εµβαδό της επιφάειάς του είαι (xy + xz + yz) = α οπότε είαι σταθερό και το xy + yz + xz = α. Υποθέτουµε ότι το παραλληλεπίπεδο έχει σταθερό εµβαδό ϐάσης xy ο- πότε xy + yz + zx = α yz + zx = α xy z = α xy x + y Επειδή το xy είαι σταθερό, το γιόµεο xyz γίεται µέγιστο ότα το z γίει µέγιστο. Επειδή z = α xy και α xy σταθερό, το z γίεται µέγιστο ότα το x + y άθροισµα x + y γίει ελάχιστο. Οι µεταβλητές x, y έχου σταθερό γιόµεο, οπότε το άθροισµά τους γίεται ελάχιστο ότα x = y. Συεπώς ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε σταθερή ολική επιφάεια γίεται µέγιστος ότα η ϐάση είαι τετράγωο. Επειδή όµως µπορούµε α πάρουµε οποιαδήποτε έδρα του παραλληλεπιπέδου σα ϐά-

36 35 ση, συµπεραίουµε ότι όλες οι έδρες του παραλληλεπιπέδου πρέπει α είαι τετράγωα, δηλαδή το παραλληλεπίπεδο πρέπει α είαι κύβος. Από όλα τα ορθογώια παραλληλεπίπεδα τω οποίω η ϐάση είαι τετράγωο και το άθροισµα (του εµβαδού) της ϐάσης και µιας τω πα- ϱαπλεύρω επιφαειώ είαι σταθερό, α ϐρεθεί εκείο που έχει το µέγιστο όγκο. Θεωρούµε το παραλληλεπίπεδο ΒΑΓ ΕΖΗΘ του οποίου η ϐάση ΑΒΓ είαι τετράγωο εµ- ϐαδού x. Υποθέτουµε ότι το ύψος BΖ ισούται µε y, οπότε από τα δεδοµέα του προβλή- µατος το άθροισµα x + xy είαι σταθερό. Θεωρούµε το παραλληλεπίπεδο µε ϐάση το τετράγωο ΜΝΛ που είαι τετράγωο εµβαδού (4x), οπότε ο όγκος του είαι 16 ϕορές το όγκο του αρχικού. Είαι προφαές ότι και η ποσότητα 16(x + xy) = (4x) + 4 4xy είαι σταθερή. Η τελευταία όµως σχέση µας δηλώει ότι το άθροισµα του εµβαδού ϐάσης και του εµβαδού της παράπλευρης επιφάειας εός παραλληλογράµµου είαι σταθερό. Προφαές ότι και το ολικό εµβαδό του πα- ϱαλληλεπιπέδου που σχηµατί- Ϲεται α τοποθετήσουµε δύο ό- µοια παραλληλεπίπεδα το έα πάω στο άλλο (όπως ϕαίεται στο σχήµα), είαι επίσης σταθερό. Γωρίζουµε όµως πως το παραλληλεπίπεδο σταθερού εµβαδού επιφαείας έχει µέγιστο όγκο ότα είαι κύβος, οπότε έχουµε ότι 4x = y y = x. Αποδείξαµε ακόµη ότι έα παραλληλεπίπεδο στο οποίο το άθροισµα του εµβαδού της τετράγωης ϐάσης και του εµβαδού της παράπλευρης επιφάειας είαι σταθερό έχει µέγιστο ύψος ότα το ύψος του παραλληλεπιπέδου ισούται µε το ήµισυ της πλευράς της ϐάσης του.

37 36 1 Μεταβλητές Α Μέγιστο Ελάχιστο Οτα x, y x + y = a x y x = y x, y x y = a x + y x = y x, y, z x + y + z = a x y z x = y = z x, y, z x y z = a x + y + z x = y = z x, y x + y = a x y x = y x, y x y = a x + y x = y x, y x + y = a x + y x = y x, y x + y = a x + y x = y x x, y αx + ϐy = λ x y ϐ = y α x, y αx + ϐy = λ x + y x α = y ϐ x, y x + y = a x y x = y x, y x y = a x + y x = y x, y, z xy + yz + zx = a x y z x = y = z x, y x + xy = a x y y = x x 1,x,..., x x 1 + x x = α x 1 x...x x 1 = x =... = x x 1,x,..., x x 1 x...x = α x 1 + x x x 1 = x =... = x x 1,x,..., x x 1 + x x = α x µ1 1 x µ...x µ x 1 µ 1 =... = x µ x 1,x,..., x x µ1 1 x µ...x µ = α x 1 + x x x 1 µ 1 =... = x x 1,x,..., x x 1 x...x = α x µ1 1 + x µ x µ x 1,x,..., x x µ1 1 + x µ x µ x µ1 1 = α x 1 x...x x µ1 1 1 µ 1 =... = =... = 1 µ 1 x 1,x,..., x x 1 x...x = α a 1 x a x a 1 x 1 =... = a x x 1,x,..., x a 1 x a x = α x 1 x...x a 1 x 1 =... = a x Επίσης, για περιττό ϕυσικό Α x 1 x...x = α, το x 1 x + x x x 1 x + x x 1 γίεται ελάχιστο ότα x 1 = x =... = x. Α x 1 x + x x x 1 x + x x 1 = α το x 1 x...x γίεται µέγιστο ότα x 1 = x =... = x. Α το είαι άρτιος, η συθήκη x 1 = x =... = x ατικαθίσταται από τη συθήκη x 1 x = x x 3 =... = x 1 x = x x 1 µ x µ 1 µ x µ 1 µ

38 37 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ίεται ο κύκλος µε κέτρο το σηµείο Κ(R, R) και ακτία R στο επίπεδο Οxy. Να ϐρεθεί επί του κύκλου σηµείο Μ, ώστε η από του Μ εφαπτόµεη του κύκλου α ορίζει µετά τω αξόω ορθογώιο τρίγωο ελαχίστης υποτείουσας. Ας είαι Ο = x, ΟΓ = y και Γ = ω. Από το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα έ- χουµε ότι ω = x + y. Επειδή ΓΑ = ΓΜ, Β = Μ, ΟΑ = ΟΒ = R, έχουµε ότι x + y + ω = R. Απαλοίφοτας το y από τη πρώτη εξίσωση λαµβάουµε ότι y = R x ω y = 4R + x + ω + (xω Rx Rω) ω = x + (4R + x + ω + (xω Rx Rω) 0 = x + 4R + xω 4Rx 4Rω 0 = x + xω Rx Rω + 3R x (R ω)x + R(R ω) = 0 Επειδή ο x πρέπει α είαι πραγµατικός αριθµός, η διακρίουσα του τριωύµου δε πρέπει α είαι αρητική. Άρα : (R ω) 8R(R ω) 0 4R + ω 4Rω 8R + 8Rω 0 ω + 4Rω 4R 0 Η δευτέρου ϐαθµού αισότητα αληθεύει για τιµές του ω «εκτός» του διαστήµατος τω ϱιζώ του τριωύµου. Επειδή η ω + 4Rω 4R = 0 αληθεύει ότα ω = 4R ± 16R + 16R = R±R = R( 1± ) η αισότητα ω +4Rω 4R 0 αληθεύει ότα ω R( 1 )και ότα ω R( 1). Το ω συµβολίζει µήκος ευθυγράµµου τµήµατος, άρα είαι µέγεθος ϑετικό, οποτε από τις προηγούµεες λύσεις δεκτή είαι µόο η ω R( 1). Προφαώς, η ελάχιστη τιµή του ω είαι η ω = R( 1). Θέτοτας τη τιµή αυτή στη x (R ω)x+r(r ω) = 0 λαµβάουµε ότι

39 38 x ( R R( 1) ) x + R ( R R( 1) ) = 0 x (R R + R)x + R(3R R ) = 0 x R( )x + 6R 4R = 0 x = R( ) ± 4R ( ) 4R (6 4 ) x = R( ) ± R = R( ) Από τη y = R x ω έχουµε y = R R( ) R( 1) = = R R + R R + R = R R = = R( ) = x Συεπώς, το τρίγωο ΟΓ είαι ισοσκελές, οπότε η Γ είαι παράλληλη στη ΑΒ και άρα το Μ είαι µέσο του τόξου ΑΒ, (αφού η ΚΜ είαι ύψος (άρα και διχοτόµος) του ΚΑΒ). ΑΣΚΗΣΗ: Από όλα τα ορθογώια τρίγωα µε σταθερή περίµετρο, α ϐρεθεί εκείο που έχει τη µικρότερη υποτείουσα.. Από τη πόλη Α ααχωρεί επιβάτης ταξιδεύω µε σταθερή ταχύτητα V ϑέλοτας α ϕθάσει στη πόλη Β. Να ϐρεθεί η ϑέση του σηµείου στο οποίο ο επιβάτης πρέπει α αφήσει το µεταφορικό µέσο, ώστε συεχίζοτας πεζός µε σταθερή ταχύτητα v, α χρειαστεί το ελάχιστο συολικό χρόο ταξιδιού. Η απόσταση της πόλης Β από το δρόµο είαι ΒΓ = s. ( ίεται ότι V > v) Συµβολίζουµε µε x τη απόσταση Γ, οπότε η απόσταση Α ϑα είαι ίση µε a x, ό- που a είαι η (σταθερή) απόσταση ΑΓ. Από το ορθογώιο τρίγωο Γ Β έχουµε ότι Β = x + s. Από το σηµείο Α ως το σηµείο, χρειάζεται χρόο t 1 = a x, εώ από το V x + s σηµείο ως το σηµείο Β χρειάζεται χρόο t =, οπότε ο συολικός v χρόος ταξιδιού είαι t = t 1 + t = a x x + s + = a V v V + V x + s xv V v Πρέπει λοιπό α ααζητήσουµε το ελάχιστο της παράστασης

40 39 y = V x + s xv. Εχουµε : y = V x + s xv y + xv = V x + s (y + xv) = V (x + s ) µε τη τελευταία ισοδυαµία α ισχύει ότα y + xv 0 x y v Άρα : y + v x + vyx = V x + V s (V v )x vyx + V s y = 0 Επειδή το x είαι πραγµατικός, έχουµε 4v y 4 (V v ) (V s y ) 0 v y (V v ) (V s y ) ) 0 v y + (V v ) y (V v V s 0 V y (V v ) V s y (V v ) s Συεπώς, y s V v ή y s V v Για τη παράσταση y ϐρήκαµε ότι έχει µέγιστη τιµή τη y = s V v και ελάχιστη τιµή τη y = s V v. (Οι τιµές αυτές είαι εκείες που µηδείζου τη διακρίουσα της (V v )x vyx + V s y = 0). Θέτοτας στη λύση της (V v )x vyx + V s y = 0 τη τιµή y = s V v λαµβάουµε x = v ( s V v ) vs = (V v ) V v Για α είαι δεκτή η τιµή πρέπει vs V v s V v v Η σχέση αυτή είαι προφαώς αδύατη, οπότε µόο η τιµή ελαχίστου της y γίεται δεκτή. Θέτοτας τη τιµή αυτή λαµβάουµε sv x = (που είαι η απόσταση του απο το Α). V v Ατικαθιστώτας τη τιµή αυτή του x στη t = a V + V x + s xv V v υπολογίζουµε και το ελάχιστο χρόο του ταξιδιού που είαι t = sv + a V v V v ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είαι προφαές ότι το πρόβληµα µπορεί α λάβει διάφορες µορφές. Τα ουσιαστικά στοιχεία του προβλήµατος είαι οι διαφορετικές ταχύτητες στα δύο «µέσα» ΑΓ και Β, καθώς και οι σταθερές ΑΓ και ΒΓ. Α δε ισχύει η συθήκη V > v το πρόβληµα έχει τη προφαή από τη

41 40 τριγωική αισότητα λύση x = a και ϐέλτιστη διαδροµή το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. 3. ίοται οι παράλληλες ευθείες ε 1 και ε, µια σταθερή ευθεία που τέµει τις ε 1 και ε στα σηµεία Β και Γ ατίστοιχα και σταθερό σηµείο επί της ε 1. Να ϐρεθεί επί της ΒΓ σηµείο Ι, ώστε η Ι α τέµει τη ε στο σηµείο Α, µε τη ιδιότητα ότι το άθροισµα τω εµβαδώ τω τριγώω ΒΙ και ΓΙΑ α είαι ελάχιστο. Θέτουµε ΒΓ = α (σταθερό), Β = ϐ (σταθερό), υ 1 = ΙΜ υ = ΙΝ οι αποστάσεις του Ι από τις ε 1 και ε ατίστοιχα. Ας είαι ΑΓ = ϐ, δ = ΜΝ η απόσταση τω ε 1 και ε και ΒΙ = χ. Θα έχουµε : Το εµβαδό του ΒΙ είαι Ε 1 = 1 ϐ υ 1 και το εµβαδό του ΓΙΑ είαι Ε = 1 ϐ υ, οπότε το άθροισµα τω δύο εµβαδώ είαι Ε = Ε 1 + Ε = 1 (ϐ υ 1 + ϐ υ ) Το Ε γίεται ελάχιστο ότα το Ε γίεται ελάχιστο, δηλαδή ότα η ϐ υ 1 + ϐ υ γίει ελάχιστη. Επειδή ε 1 //ε έχουµε ότι ΒΙ ΒΓ = ΙΜ ΜΝ χ α = υ 1 δ υ 1 = δχ α Επειδή τα τρίγωα ΒΙ και ΓΙΑ είαι όµοια, έχουµε Β ΑΓ = ΒΙ ΙΓ ϐ ϐ = χ α χ (α χ)ϐ ϐ = χ Από τη υ 1 + υ = δ έχουµε ότι δ(α χ) = α υ = δ υ 1 = δ δχ α Συεπώς : Ε = ϐ δχ ϐ(α χ) + α χ δ(α χ) = α = ϐδχ ϐδ(α χ) + = ϐδ(χ + χ + α αχ) = αχ αχ αχ = ϐδ ) (χ + α α χ α