Κεφάλαιο 4. Δυναμικά προβλήματα

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Δυναμικά προβλήματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι υπολογιστικές μέθοδοι που σχετίζονται με την αντιμετώπιση δυναμικών προβλημάτων. Στο πλαίσιο της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, οι κατανεμημένες αδρανειακές δυνάμεις που αναπτύσσονται στην περίπτωση δυναμικής καταπόνησης συνεχούς παραμορφώσιμου σώματος κατανέμονται στους κόμβους της διακριτοποίησης με τεχνικές ανάλογες εκείνων που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα για τη μεταφορά κατανεμημένων στατικών δυνάμεων στους κόμβους. Με τη μέθοδο αυτή επιτυγχάνεται η δημιουργία μητρώων μάζας σε επίπεδο στοιχείου και τελικά σε επίπεδο κατασκευής. Στη συνέχεια με τα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας περιγράφεται πλήρως το σύστημα εξισώσεων που περιγράφει την κίνηση του διακριτοποιημένου σώματος. Με βάση τα στοιχεία αυτά μπορούν να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και ιδιομορφές του, που συνιστούν τη δυναμική του ταυτότητα. Η ιδιομορφική ανάλυση επιτρέπει την απλοποιημένη δυναμική ανάλυση της κατασκευής. Με χρήση, τέλος, αριθμητικής ολοκλήρωσης στον χρόνο μπορεί να γίνει ακριβής ολοκλήρωση των εξισώσεων της κίνησης και επίλυση του δυναμικού μοντέλου για οποιαδήποτε εξωτερική δυναμική φόρτιση. Η επέκταση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για τον υπολογισμό μητρώων μάζας και στη συνέχεια ιδιοτιμών, ιδιομορφών περιγράφεται στα συγγράμματα [14], [6]. Προβλήματα δυναμικής των κατασκευών αναπτύσσονται στο [10] και για μηχανολογικές κατασκευές, στο [9]. Στο πρόσφατο σύγγραμμα [13] περιέχονται επιπλέον στοιχεία και για υπολογιστική ακουστική. 153

2 154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4.1 Δυναμική συμπεριφορά κατασκευών Δυναμική ανάλυση κατασκευών. Όπως είναι γνωστό, τα φορτία που δέχονται οι κατασκευές χωρίζονται σε δύο κυρίες κατηγορίες, στατικά και δυναμικά ή αλλιώς σταθερά ή μεταβαλλόμενα με το χρόνο. Η δυναμική ανάλυση κατασκευών με χρήση της φασματικής μεθόδου βασίζεται στους φυσικούς τρόπους ταλάντωσης του μηχανικού συστήματος μιας κατασκευής για τον υπολογισμό των μέγιστων τιμών απόκρισης όταν αυτό υποβάλλεται σε δυναμική διέγερση. Η εφαρμογή της φασματικής αντισεισμικής μεθόδου ανάλυσης απαιτεί, ως πρώτο βήμα, τον καθορισμό ενός κατάλληλου μοντέλου προσομοίωσης, το οποίο να μπορεί να περιγράψει σωστά τη μηχανική συμπεριφορά του φορέα. Στην πράξη για τον δυναμικό υπολογισμό των κατασκευών γίνεται μια σειρά απλοποιήσεων. Οι περισσότεροι φορείς και ιδιαίτερα οι δομικοί φορείς εμφανίζουν πάντοτε συνεχή κατανομή των ελαστικών και αδρανειακών τους χαρακτηριστικών και άρα είναι απειροβάθμια ή συνεχή συστήματα. Για τη μαθηματική επεξεργασία τους με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων γίνεται η διακριτοποίηση του συνεχούς μέσου σε πεπερασμένα στοιχεία και προκύπτουν πολυβάθμια συστήματα. Η διακριτοποίηση είναι τόσο ελαστική όσο και αδρανειακή, δηλαδή οι μετακινήσεις του συστήματος δίνονται από τις άγνωστες μετακινήσεις των κόμβων και η κατανεμημένη μάζα του συστήματος θεωρείται συγκεντρωμένη στους κόμβους. Έτσι για φορείς με ικανό αριθμό επιμέρους στοιχείων η πρώτη προσομοίωση που εφαρμόζεται είναι η αναγωγή τους από απειροβάθμια συστήματα (άπειροι βαθμοί ελευθερίας οι οποίοι υπάρχουν στα φυσικά συνεχή συστήματα) σε διακριτά πολυβάθμια συστήματα με πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας, με τη βοήθεια κάποιας κατάλληλης μεθόδου διακριτοποίησης (π.χ. Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων) [3]. Στη συνέχεια, στην ελαστική δυναμική ανάλυση κατασκευών, μπορεί να επιτευχθεί περαιτέρω μείωση των βαθμών ελευθερίας, με συσχέτιση των βαθμών ελευθερίας με τα ιδιαίτερα φυσικά χαρακτηριστικά του μηχανικού συστήματος και συγκεκριμένα με τους φυσικούς τρόπους ταλάντωσης (ιδιοταλαντώσεις) και τις αντίστοιχες συχνότητες (ιδιοσυχνότητες). Εφαρμόζοντας μια δοσμένη δυναμική διέγερση υπολογίζονται η μέγιστη απόκριση κάθε ιδιομορφής και οι αντίστοιχοι συντελεστές συμμετοχής με βάση τους οποίους γίνεται η επιλογή των ιδιομορφών που λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό των τελικών εντατικών μεγεθών με επαλληλία των ιδιομορφικών μεγίστων. Βασικές μέθοδοι για τη μελέτη των κατασκευών υπό δυναμική φόρτιση είναι η χρονική επαλληλία ιδιομορφών, η οποία αποτελεί το θεωρητικό

3 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 155 υπόβαθρο των φασματικών μεθόδων και των μεθόδων που επιβάλλουν οι κανονισμοί, καθώς και η μέθοδος του μη γραμμικού δυναμικού υπολογισμού, η οποία είναι ακριβέστερη αλλά απαιτεί τη διαδοχική χρήση χρονοϊστοριών πολλών διεγέρσεων. Στις παραγράφους που ακολουθούν περιγράφεται πιο αναλυτικά η φασματική μέθοδος ανάλυσης η οποία χρησιμοποιεί το φάσμα υπολογισμού που προκύπτει από την επεξεργασία χρονοϊστοριών διαφόρων διεγέρσεων Συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας. Πολυβάθμιος ταλαντωντής Εξίσωση κίνησης. Όλες οι κατασκευές είναι συστήματα με άπειρους βαθμούς ελευθερίας και για την ανάλυσή τους λαμβάνονται υπόψη τα ιδιαίτερα ελαστικά χαρακτηριστικά και τη μάζα τους (π.χ. οι δομικές κατασκευές παρουσιάζουν συνεχή κατανομή μάζας και ελαστικών χαρακτηριστικών) για να οδηγηθούμε σε συστήματα με πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων επιτρέπει την ελαστική διακριτοποίηση θεωρώντας ότι η κίνηση του συστήματος περιγράφεται από έναν αριθμό παραμέτρων κίνησης που αντιστοιχούν στις ελευθερίες κινήσεως των κόμβων, που ονομάζονται και γενικευμένες συντεταγμένες Lagrange [7]. Ο αριθμός των παραμέτρων αυτών εξαρτάται από τη δομή του συστήματος (κατανομή μαζών και ελαστικών ιδιοτήτων), από τον τρόπο διέγερσης και από την επιδιωκόμενη ακρίβεια. Γενικά, αυξανομένου του αριθμού των παραμέτρων, αυξάνεται και η ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Έτσι οι περιπτώσεις αναγωγής ενός πραγματικά απειροβάθμιου συστήματος σε μονοβάθμιο είναι σχετικά περιορισμένες. Αντίθετα με τη βοήθεια ενός σχετικά μικρού αριθμού παραμέτρων, κατάλληλα επιλεγμένων, η αναγωγή του απειροβάθμιου συστήματος σε πολυβάθμιο μπορεί να γίνει στις περισσότερες περιπτώσεις με ανεκτή ακρίβεια. Για τον σκοπό αυτό όμως η επιλογή των παραμέτρων θα πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να αποδίδεται κατά το δυνατόν πιστότερα η πραγματική κίνηση του συστήματος. Η επιτυχία στην επιλογή των παραμέτρων κίνησης εξαρτάται από την πείρα και τη διαίσθηση του μελετητή. Η κίνηση ενός ελαστικού φορέα εξαρτάται άμεσα από τις δύο φυσικές ιδιότητες του υλικού του: την αδράνεια και την ελαστικότητα που ποσοτικά εκφράζονται με τη μάζα και τις ελαστικές σταθερές αντίστοιχα. Επίσης εξαρτάται από τις διάφορες μορφές αντίστασης που αναπτύσσονται κατά την ταλάντωση των κατασκευών με αποτέλεσμα την προοδευτική αφαίρεση μηχανικής ενέργειας και μετατροπή της σε άλλες μορφές οι οποίες εκφράζονται με την απόσβεση. Με τον γενικό όρο διέγερση ορίζονται τα κάθε είδους γνωστά εξωτερικά φορτία ή καταναγκασμοί, στα οποία

4 156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ υποβάλλεται ένας φορέας. Η διέγερση εκφράζεται από μια χρονική συνάρτηση p(t) που διακρίνεται σε περιοδική και μη περιοδική. Η εξίσωση κίνησης ενός μηχανικού συστήματος με χρήση μητρώων γράφεται ως: M v(t) + C v(t) + Kv(t) = p(t), (4.1) η οποία ορίζει ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως, όπου το μητρώο μάζας (N N), με στοιχεία m ij, C το μητρώο απόσβεσης (N N) με στοιχεία c ij θεωρώντας ιξώδη γραμμική απόσβεση και το μητρώο δυσκαμψίας (N N) με στοιχεία k ij. Πρόκειται για ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που προκύπτει με γραμμικοποίηση των διαφορικών εξισώσεων Lagrange [1], οι οποίες καταστρώνονται με βάση την αρχή των δυνατών έργων ή την αρχή των Hamilton [7]. Η γραμμικοποίηση αυτή είναι δυνατή στην περίπτωση που το μηχανικό σύστημα εκτελεί μικρές μετακινήσεις γύρω από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας, οι οποίες λέγονται ταλαντώσεις ή καλύτερα γραμμικές ταλαντώσεις γιατί περιγράφονται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη δυναμική ανάλυση των κατασκευών. Στην περίπτωση επιβολής εξωτερικής δυναμικής μετακίνησης u q (t), η εξίσωση κίνησης σε μητρωική μορφή δίνεται από τη σχέση: M v(t) + C v(t) + Κv(t) = Mü g (t). (4.2) H (4.2) δίνει τη χρονική μεταβολή των μετατοπίσεων του συστήματος όταν φορτίζεται με τις δυνάμεις αδράνειας Μü g (t) και από την οποία εντοπίζονται οι μέγιστες μετακινήσεις. Έχει γίνει η Θεώρηση ότι το διάνυσμα των απόλυτων μετατοπίσεων-στροφών u 0 (t) είναι το άθροισμα της σεισμικής κίνησης εδάφους u g (t) με το διάνυσμα σχετικών ως προς το έδαφος μετατοπίσεων και στροφών v(t). Ο πρώτος όρος της (4.2) δίνει τις δυνάμεις αδράνειας της μάζας, ο δεύτερος τις δυνάμεις απόσβεσης για συμπεριφορά κατασκευής γραμμικά ελαστική και απόσβεση ιξώδη-γραμμική και ο τρίτος τις ελαστικές δυνάμεις επαναφοράς. Σημειώνεται ότι οι υπόψη δυνάμεις εξαρτώνται από τις σχετικές μετατοπίσεις και ταχύτητες και όχι από τις ολικές γιατί κατά την κίνηση απολύτως στερεού σώματος, u g, δεν αναπτύσσονται ελαστικές δυνάμεις και επιπλέον θεωρούνται μόνο εσωτερικές αποσβέσεις που εξαρτώνται από την παραμόρφωση. Ιδιομορφές και Ιδιοσυχνότητες. Η μελέτη της κίνησης των πολυβάθμιων συστημάτων (επίλυση του διαφορικού συστήματος (4.2)), μπορεί να γίνει κατά τον απλούστερο και συστηματικότερο τρόπο με την βοήθεια ορισμένων απλών κινήσεων ανεξάρτητων από την εξωτερική διέγερση του συστήματος. Οι κινήσεις

5 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 157 αυτές προδιαγράφονται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, και υπολογίζονται με καθαρή μαθηματική ανάλυση του προσομοιώματος του πραγματικού συστήματος. Για τον προσδιορισμό τους θεωρείται ότι η απόσβεση του συστήματος είναι μηδενική και ότι η ταλάντωση δεν οφείλεται σε εξωτερική διέγερση αλλά σε προγενέστερη διέγερση γνωστή κατά την αρχή μέτρησης του χρόνου ταλάντωσης (δηλαδή το σύστημα βρίσκεται σε ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση). Έτσι η εξίσωση κίνησης (για μικρές ταλαντώσεις) στην περιοχή ευσταθούς ισορροπίας, ενός μηχανικού συστήματος το οποίο κινείται κάτω από ένα σύστημα συντηρητικών δυνάμεων, δίνεται σε μορφή μητρώων M v(t) + Κv(t) = 0. (4.3) όπου Μ και Κ θετικά ορισμένα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας. Υποθέτοντας ότι η λύση της (4.3) είναι της μορφής v(t) = af(t), (4.4) όπου a είναι ένα άγνωστο διάνυσμα μετακινήσεων ανεξάρτητο από τον χρόνο και f(t) μία επίσης άγνωστη χρονική συνάρτηση κοινή για όλες τις μετακινήσεις, η λύση που ζητείται χαρακτηρίζεται από τη συγχρονισμένη κίνηση όλων των μαζών. Οι εξισώσεις (4.3) και (4.4) δίνουν τελικά [47 ] μία εξίσωση της μορφής (Κ λμ) = 0, όπου λ = f(t)/f(t), μια σταθερά. Το σύστημα για να έχει λύση εκτός από την προφανή a = 0 πρέπει det(k λm) = 0. (4.5) Η λύση της (4.5) δίνει τα λ που λέγονται οι ιδιοτιμές του προβλήματος. Για κάθε λ (δίνεται και το αντίστοιχο διάνυσμα μετακινήσεων a i που λέγεται ιδιοδιάνυσμα του προβλήματος ιδιοτιμής. Για τον υπολογισμό των a i γίνεται κανονικοποίηση των και προκύπτουν τα ιδιοδιανύσματα ϕ i όπου γενικά φ i = c i a i με c i μια αυθαίρετη σταθερά. Το πρόβλημα ιδιοτιμής της εξίσωσης (4.5) λέγεται συμμετρικό γιατί τα μητρώα Κ και Μ είναι συμμετρικά. Θεωρώντας την ειδική περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος, το διάνυσμα των μετακινήσεων δίνεται στη μορφή [11] v = φ sin ωt, (4.6) όπου φ είναι ιδιοδιάνυσμα και ω είναι η γωνιακή συχνότητα. και αντικαθιστώντας την (4.6) στην (4.3) προκύπτει η εξίσωση (Κ ω 2 Μ)φ = 0. (4.7)

6 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η (4.7) είναι η εξίσωση ιδιοτιμής και αποτελείται από ένα σύνολο ομογενών εξισώσεων. Στην περίπτωση όπου η ορίζουσα det(κ ω 2 Μ)φ 0. H μόνη δυνατή λύση της (4.7) είναι φ = 0, δηλαδή προκύπτει η περίπτωση του συστήματος χωρίς κίνηση. Για να προκύπτει μη μηδενική λύση πρέπει η ορίζουσα det(κ ω 2 Μ)φ = 0, (4.8) οπότε φ 0 και δίνεται από την λύση της (4.8). Η λύση της (4.8) δίνει διακριτές ιδιοτιμές ω 2 i = λ i, όπου i = 1,..., ο αριθμός των ιδιοτιμών και είναι το πλήθος των βαθμών ελευθερίας της διακριτοποιημένης κατασκευής. Σύμφωνα με την (4.8) σε κάθε λύση της (4.10) αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσμα φ i. Η (4.7) γράφεται στη γενικότερη μορφή (K ω 2 i M)φ i = 0, i = 1, 2,...,. (4.9) Κάδε ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα ορίζει μία ελεύθερη ταλάντωση του μηχανικού συστήματος, την ιδιοταλάντωση. Η ιδιοτιμή λ i σχετίζεται με την i-στη φυσική συχνότητα ή ιδιοσυχνότητα f i του μηχανικού συστήματος ως ακολούθως f i = ω i, = l, 2,..., N. 2n Ο αριθμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του συστήματος στους οποίους αντιστοιχούν συγκεντρωμένες μάζες (στροφικές ή/και μεταφορικές). Οι κύριοι τρόποι ταλάντωσης, όπως αναφέρθηκε και στον μονοβάθμιο ταλαντωτή, είναι απλές αρμονικές κινήσεις με περιόδους T i = 2π ω i, i = 1, 2,..., N, που ειδικότερα ονομάζονται φυσικές περίοδοι ή ιδιοπερίοδοι του συστήματος. Στην περίπτωση που τα μητρώα δυσκαμψίας Κ και μάζας Μ είναι συμμετρικά, όπως συνήθως συμβαίνει στην ανάλυση δομικών φορέων, με τη χρήση του θεωρήματος του Betti προκύπτει ότι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα θα είναι ορθογώνια μεταξύ τους [1]. Επιπλέον με Κ και Μ θετικά ορισμένα οι ιδιοτιμές θα είναι πραγματικές, ενώ για μητρώο Κ θετικά ημιορισμένο θα προκύπτει και μηδενική ιδιοτιμή. Έτσι προκύπτει ότι οι ιδιομορφές είναι ορθογώνιες ως προς το μητρώο μάζας, που σε μορφή μητρώων δίνεται από την εξίσωση φ T i Μφ j = 0, i j (4.10)

7 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 159 και φ T i Μφ j = Mj, όπου Mi ονομάζεται η j-στη γενικευμένη μάζα (με διαστάσεις μάζας). Το ίδιο ισχύει και ως προς το μητρώο δυσκαμψίας και δίνεται από την εξίσωση φ T i Kφ j = 0, i j (4.11) και φ T i Kφ j = K j, όπου K i ονομάζεται η j-στη γενικευμένη δυσκαμψία (με διαστάσεις Δύναμης/Μήκος). Με κάποια μεγαλύτερη προσέγγιση στην περίπτωση που θεωρηθεί σύμφωνα με τον Rayleigh ένα μητρώο απόσβεσης της μορφής: C = a 0 M + a 1 M, όπου αο και αχ αυθαίρετοι συντελεστές [7] οι ιδιομορφές είναι ορθογώνιες και ως προς το μητρώο απόσβεσης φ T i Cφ j = 0, i j (4.12) και φ T i Cφ j = C j, όπου C i ονομάζεται η j-στη γενικευμένη απόσβεση και δίνεται από την εξίσωση: C = 2ξ j ω j M j, όπου ξ j, τα ποσοστά απόσβεσης των ιδιομορφών [1]. Σημειώνεται ότι για την μελέτη των γραμμικών ταλαντώσεων δεν απαιτείται το πλήρες μητρώο απόσβεσης αρκεί η γνώση των ποσοστών απόσβεσης ξ i, των κύριων ιδιομορφών. Να σημειώσουμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις εκλέγεται σταθερό ποσοστό απόσβεσης για όλες τις ιδιομορφικές ταλαντώσεις ανάλογα με το είδος της κατασκευής. Από τις (4.10) και (4.11) με βάση την εξίσωση Rayleigh προκύπτει: ω 2 j = φt i Kφ j φ T i Μφ j = K j M j, (4.13) Το ίδιο προκύπτει και από την ενεργειακή θεώρηση των ιδιοταλαντώσεων του συστήματος. Οι συνθήκες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών δηλώνουν ότι κάθε ιδιομορφή είναι διακριτή και γραμμικώς ανεξάρτητη από τις άλλες. Επίσης μία φυσική ιδιομορφή του συστήματος μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση της αντίστοιχης γενικευμένης μάζας και δυσκαμψίας του [1], [2]. Η προηγούμενη ιδιομορφική ανάλυση αποτελεί τη βάση για την επίλυση οποιουδήποτε δυναμικού προβλήματος γιατί η τυχούσα απόκριση ενός συστήματος μπορεί πάντοτε να εκφρασθεί ως γραμμική επαλληλία των ιδιομορφών. Στην περίπτωση που η κατασκευή είναι αστήρικτη (το μητρώο δυσκαμψίας K είναι ιδιάζον (singular), με det(k) = 0 εμφανίζονται μηδενικές ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιομορφές δίνουν τις μετακινήσεις - στροφές της κατασκευής

8 160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ σαν στερεό σώμα. Πράγματι για ω = 0 η σχέση (4.11) γίνεται Κφ 0 = 0 όπου φ 0, είναι το ιδιοδιάνυσμα της ιδιομορφής στερεού σώματος. Η σχέση αυτή επαληθεύεται δεδομένου ότι οι μετατοπίσεις της κατασκευής σαν στερεό σώμα δεν δημιουργούν εσωτερικές παραμορφώσεις και αντιδράσεις. Για να αποφευχθούν τα αριθμητικά προβλήματα που προκύπτουν από την ύπαρξη αυτών των ιδιομορφών στους υπολογισμούς της δυναμικής ανάλυσης λόγω διέγερσης βάσης, είτε στηρίζεται η κατασκευή και το μητρώο δυσκαμψίας γίνεται θετικά ορισμένο, κανονικό μητρώο (αντιστρέψιμο), είτε προστίθεται μεγάλη μάζα ή δυσκαμψία στα σημεία στήριξης όπου εφαρμόζεται η διέγερση και στους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας. Εάν η διέγερση εφαρμόζεται σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε για τη φασματική ανάλυση μπορούν να συνδεθούν όλα αυτά τα σημεία σε ένα στερεό σώμα με ένα μοναδικό σημείο αναφοράς στο οποίο και θα εφαρμοστεί η διέγερση. Οι ιδιομορφές στερεού σώματος πρέπει να περιλαμβάνονται στους υπολογισμούς φασματικής ανάλυσης εάν η διέγερση αντιπροσωπεύει μετακινήσεις ταχύτητες ή/και επιταχύνσεις μετρούμενες σχετικά με ένα επίπεδο αδράνειας, (απόλυτη κίνηση). Από την άλλη πλευρά οι ιδιομορφές στερεού σώματος μπορούν να μην συμπεριληφθούν στους υπολογισμούς όταν η διέγερση αντιπροσωπεύει σχετικές μετακινήσεις ή/και ταχύτητες. Σημειώνεται ότι κάθε μάζα ταλάντωσης πρέπει να είναι πολύ μικρή σχετικά με τη μάζα που θεωρείται στη βάση της κατασκευής έτσι ώστε ο ταλαντωτής να μην επηρεάζει τη δυναμική συμπεριφορά της βάσης της κατασκευής. Ενδεικτικά δίνονται κάποια παραδείγματα ιδιομορφών, όπως στα Σχήματα 4.1 και 4.2 όπου έχομε το προσομοίωμα ενός διώροφου πλαισίου και σχηματικά οι δύο πρώτες ιδιομορφές. Στο Σχήμα 4.3 δίνονται οι ιδιομορφές ενός μικρού τοίχου με την παραδοχή ότι αυτός λειτουργεί ως δίσκος επίπεδης έντασης (δηλαδή η εκτός επιπέδου λειτουργία παραλείπεται). Τέλος, στο Σχήμα 4.4 παρουσιάζεται το τρισδιάστατα μοντέλο πεπερασμένων ενός κτίσματος ρολογιού και οι 2η και 3η ιδιομορφή. Αριθμητικές μέθοδοι εύρεσης ιδιομορφών. Γενικά οι μέθοδοι υπολογισμού των ιδιομορφών χρησιμοποιούν είτε τη μετατροπή των μητρώων μάζας ή του μητρώου (K λm) σε μία τριδιαγώνια μορφή είτε ακολουθούν μια βηματική επαναληπτική επίλυση του αρχικού δυναμικού μητρώου. Στην περίπτωση όπου το μητρώο μάζας Μ είναι θετικά ορισμένο και το μητρώο K είναι συμμετρικό σύμφωνα με την ανάλυση του Cholesky προκύπτει: M = LL T, (4.14)

9 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 161 Σχήμα 4.1: Ένα διώροφο, πλαίσιο και το απλοποιημένο μοντέλο του (διατμητικό πλαίσιο). όπου L είναι ένα κάτω διαγώνιο μητρώο. Αντικαθιστώντας την (4.14) στην (4.9) προκύπτει ότι: Kφ i = λ i LL T φ i. (4.15) Από την (4.15) για φ i = L T φ i, προκύπτει ότι: (J λ 1 I) φ i = 0, (4.16) όπου J = L 1 K(L 1 ) T ένα συμμετρικό μητρώο και Ι είναι το μοναδιαίο μητρώο. Παρατηρείται ότι για Κ συμμετρικό και ο J είναι συμμετρικός και επομένως μπορεί να μετατραπεί σε έναν συμμετρικό τριδιαγώνιο μητρώο, π.χ. με την μέθοδο Householder ή Givens [5] για μείωση του υπολογιστικού κόστους. Έτσι οι ιδιοτιμές λ, της (4.16) μπορούν να καθοριστούν π.χ. μέσω της ακολουθίας Sturm με την μέθοδο της διχοτόμησης [5]. Τα ιδιοδιανύσματα δίνονται από την εξίσωση: φ = (L T ) φ

10 162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 4.2: Σχηματική αναπαράσταση των πρώτων ιδιομορφών του διώροφου πλαισίου. και μπορούν να υπολογιστούν είτε με τη μέθοδο αντιστροφής π.χ. (J λ 1 I) φ (M+1) i = φ (M) i, είτε και με τη χρήση μετατόπισης (shift point) για την ταχύτερη σύγκλιση των αποτελεσμάτων. Οι τροποποιημένες μέθοδοι Givens και Householder (Modified Givens, Modified Householder) χρησιμοποιούν την ανάλυση του Cholesky στο θετικά ορισμένο μητρώο. (K + λ S M) = LL T, όπου λ S είναι ένας θετικός αριθμός ο οποίος επιτρέπει αντί του Μ ο οποίος μπορεί να είναι ιδιάζον (singular) να χρησιμοποιηθεί ένα μετατοπισμένο μητρώο. Το λ S εκτιμάται με βάση τους διαγώνιους όρους του μητρώου μάζας και δυσκαμψίας καθώς και τη διάσταση των μητρώων αυτών. Η αντίστροφη επαναληπτική μέθοδος (Inverse iteration) επιτρέπει την εύρεση των χαμηλότερων ιδιοτιμών ή ιδιοτιμών κοντά σε μία δοσμένη τιμή [7]. Η μέθοδος Lanczos χρησιμοποιεί έναν αλγόριθμο επαναληπτικής μετατόπισης κατά τμήματα. Ομάδες

11 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ η 2η 5η 10η Σχήμα 4.3: Ιδιομορφές τοίχου προβόλου με ανοίγματα. διανυσμάτων που λαμβάνονται από μια επαναληπτική μορφή χρησιμοποιούνται για να περιορίσουν το πρόβλημα σε ένα περιορισμένο τμήμα τριδιαγώνιας μορφής. Οι λύσεις του ιδιοπροβλήματος υπολογίζονται στην περιορισμένη βάση από ένα γραμμικό τετραγωνικό αλγόριθμο και έπειτα μετασχηματίζονται στην αρχική βάση. Αυτή είναι η πιο μοντέρνα μέθοδος, προς το παρόν, και συστήνεται για προβλήματα μεγάλου μεγέθους [8]. Εφόσον η μέθοδος λαμβάνει υπόψη την ταινιοειδή μορφή των μητρώων εισαγωγής που είναι διάσπαρτα, είναι πιο οικονομικό, να εφαρμόζεται χωρίς χρήση στατικής ή δυναμικής συμπύκνωσης (διότι οι τεχνικές αυτές καταστρέφουν την ταινιοειδή ιδιότητα των μητρώων του προβλήματος). Η μέθοδος Lanczos συνδυάζει τις προηγούμενες μεθόδους, δίνοντας γρηγορότερα αποτελέσματα, κυρίως για μεγάλα προβλήματα όπου ζητείται ένας μεγάλος αριθμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Όλες οι μέθοδοι επίλυσης του ιδιοπροβλήματος απαιτούν σε κάθε στήλη των

12 164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 4.4: Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων και οι 2 η και 3 η ιδιομορφή κτίσματος ρολογιού. μητρώων Κ και Μ να υπάρχουν μη μηδενικοί όροι. Οι μέθοδοι Givens (GIV) και Householder (HOU) απαιτούν επιπροσθέτως το μητρώο μάζας να είναι θετικά ορισμένος. Δυναμική ανάλυση με χρήση ιδιομορφών. Η μεγάλη πρακτική αξία της ιδιομορφικής ανάλυσης έγκειται, όπως ήδη αναφέρθηκε, στη δυνατότητα έκφρασης της απόκρισης ενός τυχαίου πολυβάθμιου συστήματος ως γραμμική επαλληλία των ιδιομορφών του. Οι ιδιοταλαντώσεις που υπολογίζονται από την ανάλυση ιδιομορφών, χρησιμοποιούνται για τον περιορισμό του κόστους άλλων βασικών αναλύσεων, με κατάλληλο περιορισμό του αριθμού των βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Με βάση τις σχέσεις ορθογωνικότητας, τα ανεξάρτητα μεταξύ τους διανύσματα των ιδιομορφών φ i, ορίζουν ένα ορθογωνικό σύστημα αναφοράς του χώρου των ιδιομορφών, ως προς το οποίο είναι δυνατό πάντοτε να αναλυθεί το τυχόν διάνυσμα μετακινήσεων v(t). Έτσι θα ισχύει: v(t) = φ 1 Y 1 (t) + φ 2 Y 2 (t) + φ N Y N (t). (4.17)

13 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 165 Σύμφωνα με την (4.17), κάθε ιδιομορφή καθορίζει και ένα άξονα του νέου συστήματος συντεταγμένων που λέγεται γενικευμένος άξονας και οι χρονικές συναρτήσεις Y j (t) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος μετακινήσεων v(t) στο γενικευμένο σύστημα αξόνων, έχουν διαστάσεις μήκους και αποτελούν τα χρονικά μεταβαλλόμενα εύρη της κάθε ιδιομορφής. Κάθε γενικευμένη συντεταγμένη Y N (t) υπολογίζεται σαν προβολή του διανύσματος Mv(t) στον αντίστοιχο γενικευμένο άξονα φ και πολ/ζοντας την (4.17) πρώτα με το μητρώο μάζας από αριστερά και έπειτα με το διάνυσμα φ T N προκύπτει: φ T NMv = M N Y N (t) (4.18) Άρα και Y N (t) = 1 M N φ T NMv(t). Στην περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης με απόσβεση η εξίσωση κίνησης του συστήματος γράφεται ως εξής: M v(t) + C v(t) + Κv(t) = 0. Ο μετασχηματισμός της (4.17) σε μητρωική μορφή γράφεται v(t) = ΦY(t), (4.19) όπου Φ το μητρώο ιδιομορφών και Y(t) το διάνυσμα των γενικευμένων συντεταγμένων. Αντικαθιστώντας την (4.19) στην (4.18) προκύπτει: MΦŸ(t) + CΦẎ(t) + ΚΦY(t) = 0. (4.20) Πολ/ζοντας την (4.20) από αριστερά με Φ T προκύπτει: Φ T MΦŸ(t) + ΦT CΦẎ(t) + ΦT ΚΦY(t) = 0. (4.21) Με βάση τις ιδιότητες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών (4.10), (4.11) και (4.12), η (4.21) γράφεται στη μορφή M d Ÿ(t) + C d Ẏ(t) + Κ d Y(t) = 0. (4.22)

14 166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ όπου M d και K d τα μητρώα γενικευμένης μάζας και δυσκαμψίας. M d = M 1 M 2, K d = K 1 K 2. M N M1 ξ 1 ω 1 C d = M 2 ξ 2 ω 2 M N ξ Nω N K N όπου M i, K i και C i. οι γενικευμένες μάζες, δυσκαμψίες και αποσβέσεις του συστήματος. Η (4.22) παριστάνει ένα σύστημα ασύζευκτων εξισώσεων αναφορικά με το γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων [7] και επειδή τα μητρώα M d, C d και K d είναι διαγώνια, διασπώνται στις ανεξάρτητες εξισώσεις: M n Ÿ n (t) + 2M n ξ n ω n Ẏ n (t) + K n Y n (t) = 0, n = 1, 2, 3,..., (4.23) στις οποίες τα ξ n είναι τα ποσοστά αποσβέσεων των ιδιομορφών [1]. Χρονική επαλληλία των ιδιομορφών. Στην περίπτωση εξωτερικής κίνησης βάσης (π.χ. σεισμικής διέγερσης δομικού φορέα) u g (t) ή ü g (t) η εξίσωση κίνησης σε μητρωική μορφή δίνεται από τη σχέση: M v(t) + C v(t) + Kv(t) = Mδü g (t). (4.24) Η (4.24) δίνει τη χρονική μεταβολή των μετατοπίσεων του συστήματος όταν φορτίζεται με τις δυνάμεις αδράνειας ( Μδü g (t) ) από την οποία εντοπίζονται οι μέγιστες μετακινήσεις. Έχει γίνει η θεώρηση ότι το διάνυσμα των απόλυτων μετατοπίσεων-στροφών u 0λ είναι το άθροισμα της εξωτερικής κίνησης βάσης (π.χ. σεισμικής κίνησης εδάφους) u g (t) με το διάνυσμα σχετικών ως προς τη βάση (π.χ. το έδαφος) μετατοπίσεων και στροφών v(t). u 0λ (t) = δu g (t) + v(t).

15 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 167 Το δ της (4.24) είναι το διάνυσμα των στερεοστατικών μετακινήσεων για τη θεωρούμενη εξωτερική διέγερση [2], το οποίο εξαρτάται από την επιλογή των ελευθεριών κίνησης και το είδος της διέγερσης. Στη γενική περίπτωση δίνεται σαν δ = [ 1, 2,..., N ] T όπου το τυχόν i ισούται με τη μετακίνηση κατά τη διεύθυνση της i- στης ελευθερίας κίνησης, λόγω μοναδιαίας στερεοστατικής κίνησης του συστήματος μαζί με τη βάση του. Γίνεται συσχέτιση των ελευθεριών κίνησης (βαθμών ελευθερίας) του συστήματος με την κίνηση της βάσης, ώστε να θεωρείται ότι το ταλαντούμενο σύστημα από την εξωτερική διέγερση βάσης είναι ισοδύναμο με ένα ( σύστημα πακτωμένο στη βάση, που φορτίζεται με τις δυνάμεις αδράνειας Mδüg (t) ). Σύμφωνα με τα προηγούμενα η (4.24) με αντικατάσταση της σχέσης (4.19) δίνει ένα σύστημα ανεξάρτητων εξισώσεων (κατ αναλογία με τις (4.23): η M i Ÿ i (t) + C i Ẏ i (t) + K i Y i (t) = φ T i Mδü g (t) (4.25) Ÿ i (t) + 2ξ i ω i Ẏ (t) + ω 2 i Y i = ψ i ü g (t) (4.26) όπου ω i είναι η κυκλική ιδιοσυχνότητα, της i-στης ιδιομορφής, ξ i, το ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης και ψ i = φt i Mδ φ T i Mφ i = δt Mφ i M i = L i M i L i = φ T i Mδ. Το μέγεθος Mi όπως προαναφέρθηκε έχει διαστάσεις μάζας και ονομάζεται γενικευμένη μάζα της i-στης ιδιομορφής. Το μέγεθος L i έχει επίσης διαστάσεις μάζας. Το πηλίκο ψ i = L i /Mi v είναι αδιάστατο μέγεθος, ονομάζεται συντελεστής συμμετοχής της i-στης ιδιομορφής για διέγερση ως προς το συγκεκριμένο άξονα και είναι ενδεικτικό του βαθμού συμμετοχής της -στης ιδιομορφής στο άθροισμα της εξίσωσης (4.17). Ο συντελεστής συμμετοχής αναφέρεται στη μάζα που συμμετέχει στην ιδιομορφική ταλάντωση και συνεπώς μετρά τη δυνατότητα κατανάλωσης ενέργειας στη συγκεκριμένα ιδιομορφική ταλάντωση. Σημειώνεται ότι η άθροιση για τα μεγέθη L i γίνεται μόνο για τις συνιστώσες ιδιομορφών και συγκεντρωμένων μαζών κατά τη διεύθυνση της διέγερσης, ενώ η άθροιση για τις γενικευμένες μάζες M i επεκτείνεται και στις άλλες συνιστώσες. Σε

16 168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ πλήρη αντιστοιχία με το μονοβάθμιο ταλαντωτή, η κυκλική ιδιοσυχνότητα ω i προκύπτει από τη σχέση: ωi 2 = K i (4.27) Mi Η εξίσωση (4.25) παριστάνει την ταλάντωση ενός μονοβάθμιου συστήματος με μάζα M i, συντελεστή δυσκαμψίας K i και συντελεστή απόσβεσης C i, που υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση L i u g (t) της βάσης και εμφανίζει τη σχετική μετακίνηση Y i. Η υπόψη μετακίνηση υπολογίζεται με επίλυση της (4.26) και δίνεται από τον τύπο Y i (t) = ψ i X i (t), (4.28) όπου X i (t) = 1 T ü g (t)e ξω(t t) sin ω d (T t)dt ω di 0 το λεγόμενο ολοκλήρωμα Duhamel και ω di = ω 1 λ 2 η κυκλική ιδιοσυχνότητα του i-στου ταλαντωτή με απόσβεση. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος Duhamel για κάθε ιδιομορφή, δηλαδή για κάθε ζεύγος τιμών ω i, ξ i θα δώσει τις άγνωστες συναρτήσεις X i (t) και στη συνέχεια με αντικατάσταση του Y i στην (4.17) προκύπτει ο τύπος υπολογισμού των σχετικών μετακινήσεων του συστήματος v(t) = v i (t), (4.29) όπου v i (t) = ψ i X i (t)φ i, i = l, 2,..., N. Οι ολικές μετακινήσεις του συστήματος υπολογίζονται από την σχέση u 0λ (t) = N ψ i φ i X i (t) + δu g (t). (4.30) i=1 Η ανάλυση των στερεοστατικών μετακινήσεων δ στις συνιστώσες του κατά τις διευθύνσεις των «αξόνων» φ i [2] οδηγεί τελικά στην ταυτότητα δ = N ψ i φ i. (4.31) i=1 Από τις (4.30) και (4.31) προκύπτει ότι u 0λ (t) = N ( ψ i φ i Xi (t) + u g (t) ) = i=1 N ψ i φ i D i (t) i=1

17 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 169 όπου D i (t) = X i (t) + u g (t) Συνεπώς το αντίστοιχο μέγεθος προς το Y i είναι Y i (t) = ψ i D i (t) το οποίο παριστάνει την ολική μετακίνηση του ιδεατού μονοβάθμιου συστήματος με μάζα M i και δυσκαμψία K i. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η χρήση της μεθόδου των ιδιομορφών διασπά το δυναμικό πρόβλημα του πολυβάθμιου συστήματος σε μια σειρά μονοβάθμιων προβλημάτων. Η συνολική δε απόκριση προκύπτει, όπως φαίνεται στην εξίσωση (4.29), από την επαλληλία της απόκρισης των ιδιομορφών του συστήματος, κάθε μία από τις οποίες συμπεριφέρεται ως μονοβάθμιος ταλαντωτής με εύρος ταλάντωσης ίσο φ i χ i (t) [4]. Επισημαίνεται εδώ, ότι οι συντελεστές συμμετοχής των ιδιομορφών ταλάντωσης εξαρτώνται από τα στοιχεία δυσκαμψίας και μάζας της κατασκευής. Οι συντελεστές αυτοί, σε συνδυασμό με τα χαρακτηριστικά της διέγερσης (π.χ. φάσμα σχεδιασμού για τον στατιστικά αναμενόμενο σεισμό στην περίπτωση σεισμικής ανάλυσης δομικού φορέα), επιτρέπουν την αποτίμηση της σπουδαιότητας της συνεισφοράς κάθε ιδιομορφικής ταλάντωσης στη δυναμική απόκριση της κατασκευής. Η διαδικασία αυτή επιτρέπει τη μείωση της διαστάσεως του προς επίλυση προβλήματος, με την θεώρηση μόνο των σημαντικών ιδιομορφών του. Σημειώνεται ότι η διαδικασία αυτή είναι αυτόματη, όπως θα εξηγηθεί και στη συνέχεια, και δεν περιέχει καμία αυθαίρετη επιλογή των χρησιμοποιούμενων βαθμών ελευθερίας, όπως θα συνέβαινε στην περίπτωση στατικής ή δυναμικής συμπύκνωσης. Το τελευταίο στοιχείο είναι ιδιαίτερα σημαντικό για δύσκαμπτες (π.χ. μνημειακές) κατασκευές πολιτικού μηχανικού όπου η πολυμορφία των κατασκευών και η δύσκολη τυποποίηση τους δεν επιτρέπουν, συνήθως, τον εύκολο εντοπισμό των σημαντικών τρόπων ταλάντωσης. Οι μέγιστες κατά απόλυτη τιμή αποκρίσεις για κάθε ιδιομορφή σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα που βασίζεται στην παρατήρηση ότι η επιβαλλόμενη κίνηση ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή περιγράφεται από την εξίσωση (4.26). Η μέγιστη απόλυτη τιμή για κάθε ιδιομορφή Y i βρίσκεται, υπολογίζοντας πρώτα τη μέγιστη τιμή του X i στην εξίσωση (4.27) για κατάλληλες τιμές των ω i και ξ i. Εάν η μέγιστη τιμή των X i (t) καλείται X r (ω, λ), με βάση την (4.28) προκύπτει ότι η μέγιστη απόλυτη τιμή των Y i, είναι Y r = ψ i X r (ω, ξ). (4.32)

18 170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Εάν το ü g (t) ανήκει σε ένα συγκεκριμένο σύνολο διεγέρσεων, είναι υπολογιστικά ευκολότερο να γίνει πρώτα ο υπολογισμός των τιμών X r για συχνότητα ω και απόσβεση ξ. Η σχεδίαση αυτών καλείται φάσμα απόκρισης της διέγερσης, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση των μέγιστων τιμών απόκρισης συγκεκριμένων κατασκευών από τις εξισώσεις (4.32) και (4.19). Με τη μέθοδο ανάλυσης κατά ιδιομορφές εκτός από το πλεονέκτημα της αναγωγής του προβλήματος των πολυβάθμιων συστημάτων σε ανεξάρτητες επιλύσεις μονοβάθμιων συστημάτων, επιτρέπεται ακόμα η χρήση ενός περιορισμένου (μικρού συνήθως) αριθμού ιδιομορφών του φορέα για τον υπολογισμό της δυναμικής του απόκρισης με ικανοποιητική ακρίβεια. Ο απαιτούμενος αριθμός επιλέγεται με βάση τον βαθμό συμμετοχής των ιδιομορφών στην ταλάντωση της κατασκευής έτσι ώστε η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης με βάση τις ιδιομορφές που λαμβάνονται υπόψη να καλύπτει ικανοποιητικό ποσοστό της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης της κατασκευής (συνολική, χωρίς απλοποιητικές παραδοχές). Διευκρινίζεται ότι ο βαθμός συμμετοχής των ιδιομορφών είναι ενδεικτικός της επίδρασης κάδε ιδιομορφής και σε συνδυασμό με τα χαρακτηριστικά της δυναμικής διέγερσης βοηθά στην επιλογή των ιδιομορφών που θα χρησιμοποιηθούν τελικώς στην ανάλυση. Η πλήρης χρονική μεταβολή της απόκρισης της κατασκευής συνήθως δεν χρειάζεται, αλλά αρκεί η γνώση των μέγιστων τιμών των εντατικών μεγεδών R. Η γνώση του ακριβούς μέγιστου του εντατικού μεγέδους R(t) απαιτεί τη γνώση ολόκληρων των συναρτήσεων X i (t), καθ όσον τα μέγιστα τους δεν συμπίπτουν χρονικά. Είναι όμως δυνατόν να προσεγγισθούν οι μέγιστες τιμές R max με βάση τα επιμέρους ιδιομορφικά μέγιστα R i,max, με την χρήση τεχνικών επαλληλίας οι οποίες βασίζονται στην στατιστική και την εμπειρία. Εάν διεγείρονται ταυτόχρονα πολλοί βαθμοί ελευθερίας με διαφορετικούς τρόπους, η απόκριση, σαν συνάρτηση του χρόνου, δίνεται από την (4.29). Στην περίπτωση όμως των μέγιστων τιμών των ιδιομορφικών αποκρίσεων, που δεν συμβαίνουν ταυτόχρονα, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ίδια σχέση, γι αυτό και χρειάζεται να συνδυαστούν τα ιδιομορφικά μέγιστα με διαφορετικό τρόπο ώστε να προσεγγιστεί η συνολικά μέγιστη απόκριση. Ενδεικτικά παρουσιάζονται τρεις εφαρμογές ιδιομορφικής ανάλυσης ιστορικών κατασκευών από φέρουσα τοιχοποιία. Παράδειγμα Η πρώτη εφαρμογή αφορά την ανάλυση του νοτιότερου των τριών Νεωρίων (του γενικού προβλεπτή Benedetto Moro) στην ανατολική πλευρά του παλαιού Ενετικού λιμένα Χανίων, το οποίο παρουσιάζει εμφανείς φθορές στον πέτρινο θόλο του. Το συγκρότημα των Ενετικών νεωρίων του παλαιού λιμένα Χανίων αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα εναπομείνα-

19 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 171 ντα ιστορικά μνημεία της πόλης. Στα Σχήματα 4.5 και 4.6 παρουσιάζεται το τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων και οι τέσσερις πρώτες ιδιομορφές που προέκυψαν από την ιδιομορφική ανάλυση. Σχήμα 4.5: Βορειοδυτική αξονομετρική απεικόνιση τρισδιάστατου προσομοιώματος πεπερασμένων στοιχείων. Παράδειγμα Η δεύτερη εφαρμογή αφορά την ανάλυση ενός ιστορικού πύργου από φέρουσα τοιχοποιία. Πρόκειται για τον μεσαιωνικό πύργο «Torre Grossa», που χρονολογείται από τον δέκατο τρίτο αιώνα και βρίσκεται στην Piazza Duono (πλατεία του καθεδρικού ναού) στην πόλη του Σαν Τζιμινιάνο, της Τοσκάνης (Ιταλία). Έχει κάτοψη τετραγωνική 9.5x9.5m, ύψος 60m και πάχος τοίχων μεταβαλλόμενο m. Στα Σχήματα 4.7 και 4.8 δίνεται εικόνα του φορέα, το τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων, μία κατακόρυφη τομή και οι τρεις πρώτες ιδιομορφές που προέκυψαν από την ιδιομορφική ανάλυση. Παράδειγμα Η τρίτη εφαρμογή αναφέρεται σε ένα νεοκλασικό κτίριο που βρίσκεται στο κέντρο της πόλης των Χανίων, αποτελείται από δύο ορόφους και δύο υπόγεια, εμβαδού 225τμ έκαστο. Το καθαρό ύψος των ορόφων είναι

20 172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1 η ιδιομορφή (συχνότητα 9,029 Hz) 2 η ιδιομορφή (συχνότητα 9,612 Hz) 3 η ιδιομορφή (συχνότητα 9,75 Hz) 4 η ιδιομορφή (συχνότητα 10,52 Hz) Σχήμα 4.6: Τέσσερις πρώτες ιδιομορφές. 4,80μ, του α υπογείου 3,65μ και του β υπογείου 1,00μ στο βόρειο και 2,10 στο νότιο τμήμα του. Ο φέρων οργανισμός του κτιρίου είναι κατασκευασμένος από λιθοδομή πάχους 65εκ, με λαξευτούς γωνιόλιθούς στις γωνίες και στα πλαίσια των ανοιγμάτων. Οι πλάκες της κατασκευής ποικίλουν από χώρο σε χώρο. Έτσι έχουμε ξύλινα δάπεδα εξολοκλήρου, πλάκες από ωπλισμένο σκυρόδεμα σύμπαγείς και πλάκες τύπου Zoellner με πλήρωση των κενών με οπτόπλινθους. Στο Σχήμα 4.9 δίνεται η εικόνα του κτιρίου, και τα τρισδιάστατα προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων για τη περίπτωση μελέτης του κτιρίου χωρίς τις πλάκες (Σχ. 4.9β 1 ) και συνολικά με τις πλάκες (Σχ. 4.9β 2 ). Η πολυπλοκότητα του προσομοιώματος φαίνεται στο σχήμα 4.10 όπου αναλυτικά παρουσιάζεται το μοντέλο ανά όροφο του κτιρίου. Ενδεικτικά αποτελέσματα της ιδιομορφικής ανάλυσης φαίνονται στα σχήματα 4.11 και 4.12.

21 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 173 Filling External Internal Concrete 3D view Vertical section Σχήμα 4.7: Φωτογραφία και τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων ιστορικού πύργου και κατακόρυφη τομή του. 1 η ιδιομορφή (0,94Hz) 2 η ιδιομορφή (1,57Hz) 3 η ιδιομορφή (7,26Hz) Σχήμα 4.8: Τρεις πρώτες ιδιομορφές ιστορικού πύργου.

22 174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ α) β1) β2) Σχήμα 4.9: α) Φωτογραφία και β) τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων νεοκλασικού κτιρίου χωρίς (β1) και με τις πλάκες (β2).

23 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 175 Σχήμα 4.10: Αναλυτική παρουσίαση του προσομοιώματος των πεπερασμένων στοιχείων.

24 176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Mode 1 (Model Hz) Mode 2 (Model Hz) Σχήμα 4.11: Δύο πρώτες ιδιομορφές νεοκλασικού κτιρίου, προσομοίωμα β1 (χωρίς πλάκες) Σχήμα 4.12: Δύο πρώτες ιδιομορφές νεοκλασικού κτιρίου, προσομοίωμα β2 (με πλάκες).

25 4.2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ Αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης Το σύστημα των εξισώσεων κίνησης (4.1) είναι αποτέλεσμα της χωρικής διακριτοποίησης (με πεπερασμένα στοιχεία κ.λπ.) ενός δυναμικού αρχικού μοντέλου του παραμορφώσιμου στερεού. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ακριβής λύση του διακριτοποιημένου δυναμικού προβλήματος (4.1) απαιτεί ότι οι επιταχύνσεις είναι ομαλές συναρτήσεις. Αυτή η υπόθεση παραβιάζεται συχνά σε πρακτικά προβλήματα. Η ασυνέχεια της δεύτερης παραγώγου ως προς τον χρόνο προκαλείται από τη μη γραμμική υστέρηση κάποιων δομών, την επαφή μεταξύ τμημάτων της δομής και του λυγισμού των στοιχείων. Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν είναι εφαρμόσιμες οι κλασικές υψηλής ακρίβειας αριθμητικές μέθοδοι ολοκλήρωσης που απαιτούν ομαλότητα της λύσης, όπως π.χ., πεπερασμένες διαφορές, Runge-Kutta φόρμουλες. Οι τεχνικές της άμεσης αριθμητικής ολοκλήρωσης, οι οποίες δεν απαιτούν την ομαλότητα της δεύτερης παραγώγου μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ειδικότερα, η δεύτερης τάξης Newmark- β μέθοδο ([12]) μπορεί να χρησιμοποιηθεί προκειμένου να επιλύσει την εξίσωση ισορροπίας κίνησης (4.1) σε σχέση με το χρόνο. Πήρε το όνομά της από τον Nathan Μ Newmark, που αναπτύχθηκε το 1959 για την επίλυση των προβλημάτων δυναμικής των κατασκευών. Ας θεωρήσουμε την διακριτοποίηση στο χρονικό διάστημα [0, T ]: 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t N 1 < t N = T και ας ορίσουμε τις διακριτές τιμές της λύσης της (4.1) ως {v(t n ) : {t n } N+1 n=0 } και την γνωστή συνάρτηση p n = p(t n ). Αν επεκτείνουμε τώρα τη λύση v n+1 της (4.1) γύρω από το σημείο t = t n, τότε παίρνουμε v n+1 = v n + t v n + t2 2 v n(ξ), (4.33) όπου v n = v(t n ), t n < ξ < t n+1. Αναλόγως, για την πρώτη παράγωγο έχουμε v n+1 = v n + t v(ζ). (4.34) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα μέσης τιμής όπως επεκτάθηκε, η Newmark-β μέθοδος ορίζει ότι v(ξ) = (1 2β) v n + 2β v n+1, (4.35) όπου 0 < β < 0.5, 0 < γ < 1. v(ζ) = (1 γ) v n + γ v n+1, (4.36)

26 178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υποκατάσταση από τις εκφράσεις για v(ξ) και v(ζ) από (4.35) και (4.36) σε (4.33) και (4.34), αντίστοιχα αποδόσεις όπου v n+1 = u n + β t 2 v n+1, (4.37) v n+1 = w n + γ t v n+1, (4.38) u n = v n + t v n + (0.5 β) t 2 v n, w n = v n + (1 γ) t v n + γ t v n+1. (4.39) Με σκοπό να βρούμε v n+1 και v n+1 Χρειάζεται να γνωρίζουμε τις διακριτές τιμές της δεύτερης παραγώγου v n+1. Αντικαθιστώντας (4.37) και (4.38) σε (4.1) και ομαδοποιώντας τους συντελεστές έχουμε M v n+1 + Cu n + Kw n = p n, όπου M = M + Cγ t + Kβ t 2. Ως εκ τούτου v n+1 = M 1 (p n Cu n Kw n ). Για να υπολογίσουμε v n+1, n = 0, 1,..., N επαναληπτικά πρέπει να γνωρίζουμε τις αρχικές τιμές u 0 και w 0, δηλαδή v 0, v 0 και v 0 (δείτε (4.39)). Δίνοντας τις αρχικές συνθήκες v 0 = v(t 0 ) και v 0 = v(t 0 ) για το σύστημα (4.1) μπορούμε να βρούμε v 0 από (4.1), αμέσως: v 0 = M 1 (p 0 C v 0 Kv 0 ). Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις διακριτές τιμές της αριθμητικής λύσης v n+1 και τα παράγωγά της v n+1 με (4.37) και (4.38), αντίστοιχα. Ρυθμίζοντας το β σε διάφορες τιμές μεταξύ 0 και 1 μπορούμε να έχομε ένα ευρύ φάσμα αποτελεσμάτων. Συνήθως οι τιμές β = 0.25, γ = 0.5 αποδίδουν μια σταθερή λύση, ανεξάρτητα από συνθήκες, της μεθόδου μέσης επιτάχυνσης.

27 Βιβλιογραφία [1] Αναστασιάδης Κ, Δυναμική των Κατασκευών, I-II, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, [2] Αnastasiadis Κ, Αντισεισμικές Κατασκευές Ι, Εκδότης: CT Computers Technics, Θεσσαλονίκη, [3] Αβραμίδης I.E., Σεισμοί Φάσματα Απόκρισης, Προσομοίωση Κατασκευών, Σεμιναριακές σημειώσεις, Θεσσαλονίκη [4] Αναγνωστοπουλος Σ., Στοιχεία Αντισεισμικής Δυναμικής Ανάλυσης Κατασκευών με Φάσματα Απόκρισης- Σχεδιασμός, Εργασία ΙΤΣΑΚ:86-01, Θεσσαλονίκη, [5] Bathe K.J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice- Hall INC, New Jersey, [6] Chandrupatla, T.R., Belegundu, A.D. Εισαγωγή στα Πεπερασμένα Στοιχεία για Μηχανικούς, Παπασωτηρίου, Αθήνα (μετάφραση της τρίτης αμερικάνικης έκδοσης, Επιμέλεια Χ.Ν. Φραγκάκις, Μετάφραση Μ. Φραγκάκη, [7] Clough R., W, ΡΕΝΖΙΕΝ J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, INC, [8] Cook D. R., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, [9] Κανάραχος Α.Ε., Προβατίδης Χ.Γ., Πεπερασμένα Στοιχεία στη Μηχανολογία (και ασκήσεις), Παπασωτηρίου, Αθήνα, [10] Κολλιόπουλος, Π.Κ., Μανώλης, Γ.Δ., Δυναμική των Κατασκευών με Εφαρμογές στην Αντισεισμική Μηχανική. Εκδόσεις Γκιούργδας, Αθήνα,

28 180 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [11] Leftheris B., Tzanaki E., Stavroulaki M.E., Dynamic Criteria for Reinforcement of Old Buildings, Πρακτικά συνεδρίου STREMA 93, Structura/ Studies, Repairs and Maintenance of Historical Buildings III, Ed. CA. Brebbia, R.J.B. Frewer, Bath U.K., Ιούνιος, [12] N. M. Newmark, A Method of Computation for Structural Dynamics, ASCE J. of the Eng. Mech. Division, vol. 85, N. EM3, [13] Προβατίδης, Χ.Γ., Πεπερασμένα Στοιχεία στην Ανάλυση Κατασκευών. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, [14] Τσαμασφύρος Γ.Ι., Θεοτόκογλου Ε. Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων. Τόμος 2, Συμμετρία, Αθήνα, 2005.