Αριθμητική Ανάλυση. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθμητική Ανάλυση. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes"

Transcript

1 Αριθμητική Ανάλυση Σημειώσεις από τις παραδόσεις Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: Τελευταία ενημέρωση: 15 Ιουνίου 017 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Ακρίβεια vs Ταχύτητα Επίλυση Εξισώσεων Μέθοδος Διχοτόμησης Σύγκλιση Μέθοδος Χορδής ή Τέμνουσας Μέθοδος Μεταβαλλόμενης Χορδής Μέθοδος Newton Μέθοδος Σταθερού Σημείου Ασκήσεις Παρεμβολή Το πρόβλημα Μορφές Αναπαράστασης Πολυωνύμου Μέθοδοι Παρεμβολής Μέθοδος διηρημένων διαφορών Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών Μέθοδος Aitken Ασκήσεις Προσέγγιση Στοιχεία Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας Εσωτερικό γινόμενο Μήκος - Νόρμα (norm) διανύσματος Ορθογώνιοι Υποχώροι Πίσω στο αρχικό πρόβλημα Αριθμητική Ολοκλήρωση Κανόνας Παραλληλογράμμου Κανόνας Τραπεζίου Κανόνας Simpson Κανόνας Μέσου Σημείου Ασκήσεις

2 7 Υπολογισμός Ιδιοτιμών Εισαγωγή Άνω Φράγματα Μέθοδος δύναμης Αλγόριθμος Μετασχηματισμοί Householder Παραγοντοποίηση QR (Εισαγωγή) Παραγοντοποίηση QR Εισαγωγή Ορθογώνιος πίνακας Μετασχηματισμοί Householder Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Ακριβής επίλυση με παραγοντοποίηση QR Ακριβής επίλυση με απαλοιφή Gauss Στοιχειώδεις πράξεις Κλιμακωτή Μορφή Ομογενή Συστήματα Στοιχειώδεις Πίνακες Επίλυση Ακριβής επίλυση με LU χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους Μερική οδήγηση Ειδικοί τύποι πινάκων Επαναληπτική μέθοδος Jacobi Επαναληπτική μέθοδος Gauss-Seidel Μέθοδος SOR Μέθοδος Doolittle-Crout Σφάλματα Συμβατά μήκη Δείκτης κατάστασης Βελτίωση Λύσεων Ασκήσεις Κανονικές Διαφορικές Εξισώσεις Μέθοδος Euler Σφάλματα Μέθοδος βελτιωμένου Euler Μέθοδος Μέσου Σημείου Μέθοδοι Runge-Kutta Μέθοδοι Πολλαπλού Βήματος Συστήματα κανονικών διαφορικών εξισώσεων Μετατροπή ΔΕ 1 ης τάξης σε σύστημα Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμος Simplex Ποιες σχέσεις θα δίνονται; 77 Αριθμητική ανάλυση - Numerical Analysis Μάθημα 4 ώρες την εβδομάδα - δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ θεωρίας και ασκήσεων. Και τα δύο βιβλία προτείνονται, το μάθημα γίνεται περισσότερο με βάση το βιβλίο του κ. Πιτσούλη, του κ. Δούγαλη είναι περισσότερο μαθηματικό.

3 Στις εξετάσεις δεν θα υπάρχει τυπολόγιο/βιβλίο, αλλά θα δίνονται τύποι που χρειάζονται στα θέματα. Απαραίτητο το κομπιουτεράκι. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η αριθμητική ανάλυση μάς δίνει προσεγγιστικές λύσεις σε μοντέλα και μαθηματικά προβλήματα. Σε δύσκολα προβλήματα, ζητάμε: Ακρίβεια αποτελέσματος Ταχύτητα υπολογισμού Θα δούμε τα εξής προβλήματα: Επίλυση εξισώσεων Παράδειγμα Ένας πελάτης θέλει να καταθέσει P για N χρόνια στην τράπεζα, και εγώ του λέω ότι θα του επιστρέψω A από την κατάθεση. Ο πελάτης όμως ενδιαφέρεται για το ετήσιο επιτόκιο R. Προκύπτει μια εξίσωση της μορφής: A = P + P (1 + R 1 ) + f(r) = P [(1 + R N R/1 1 ) 1] = 0, R =? Θυμόμαστε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Bolzano για να βρούμε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον λύση μέσα σε ένα διάστημα, οπότε μπορούμε να "φανταστούμε" έναν αριθμό κοντά στη λύση, και να κλείνουμε συνεχώς ένα διάστημα γύρω από αυτήν (το διάστημα στις εξετάσεις θα δίνεται, π.χ. βρείτε μία λύση στο διάστημα [.5, 3.5] με ακρίβεια 10 5 ), αν και αυτό δεν θα γίνεται στον πραγματικό κόσμο. Παρεμβολή Σε έναν σταθμό διοδίων μετράω πόσα αυτοκίνητα περνάν το κάθε λεπτό (π.χ. το 11 ο λεπτό περνάν 4, το 1 ο περνάν 7, κλπ.) Θέλω να βρω ένα πολυώνυμο που να συνδέει όλα τα σημεία μεταξύ τους (θα αποδείξουμε ότι τέτοιο πολυώνυμο πάντα υπάρχει), ή ένα πολυώνυμο (αρκετά χαμηλού βαθμού, ώστε να μην γίνονται πολλές πράξεις) με αρκετά καλή προσέγγιση. Με αυτόν τον τρόπο θα μπορώ να προσεγγίσω τιμές που δεν γνωρίζω, π.χ. αν πήγα για καφέ στο 13 ο λεπτό. Προσέγγιση Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα Exact και προσεγγιστικές λύσεις συστημάτων πολλών αγνώστων. 3

4 Ολοκλήρωση Υπολογισμός ιδιοτιμών & ιδιοδιανυσμάτων Παραγοντοποίηση πινάκων σε γινόμενο πινάκων Βολεύει κυρίως για την επίλυση συστημάτων. Επίλυση κανονικών διαφορικών εξισώσεων Βελτιστοποίηση Για παράδειγμα, να πρέπει να ελαχιστοποιήσω μια συνάρτηση τη στιγμή που πρέπει να τηρούνται κάποιες συνθήκες. 1.1 Ακρίβεια vs Ταχύτητα Απόλυτο Σφάλμα: X t X c (απόσταση της λύσης που βρήκα από την πραγματική) X t X c Σχετικό Σφάλμα: X t Επειδή δεν θα γνωρίζουμε την πραγματική λύση X t, θα βρίσκουμε το μέγιστο σφάλμα. Για παράδειγμα, σε υπολογιστές έχουμε σφάλματα στρογγύλευσης και αποκοπής: αποκοπή 0.67 στρογγύλευση 4

5 Κεφάλαιο 3 Επίλυση Εξισώσεων f(x) βρείτε x έτσι ώστε f( x) = 0. Η επίλυση είναι εύκολη όταν η f είναι πολυώνυμο μέχρι ου βαθμού, όχι όμως όταν είναι μεγαλύτερου, ή όταν έχει κι άλλους όρους (π.χ. εκθετικούς) μέσα. Ο τρόπος που θα ακολουθήσουμε για να λύνουμε τέτοια προβλήματα είναι: Δημιουργούμε μια ακολουθία x 1,, x n προσέγγισης της Σε κάθε βήμα κάνουμε έλεγχο σύγκλισης για να δούμε πόσο κοντά είμαστε. 3.1 Μέθοδος Διχοτόμησης Θα χρησιμοποιήσω θεώρημα Bolzano (f(a) f(b)<0): x. f a c c c 1 3 b a + b c 1 = c = c 1 + b Ξεκινάω από μία αρχική προσέγγιση/διάστημα (η μέθοδος διχοτόμησης δεν δίνει λύση συγκεκριμένη, αλλά διάστημα - τη λύση την παίρνω σαν το μέσο του διαστήματος). Συνέχεια κόβω το διάστημα στη μέση, έτσι ώστε f(των άκρων) να είναι ετερόσημα, και παίρνω συνεχώς ένα μικρότερο διάστημα. Σταματάω όταν είναι επιτυχής ο έλεγχος σύγκλισης, π.χ c k+1 c k < ε 10 5, δηλαδή το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η ρίζα είναι αρκετά μικρό. Θα διαπιστώσουμε ότι, αν και αυτή η μέθοδος λειτουργεί πάντα, είναι αρκετά αργή. Παράδειγμα Να βρεθεί ρίζα της εξίσωσης f(x) = x 3 + x 1 στο διάστημα [0, 1] με ακρίβεια f(0) f(1) < 0 k = 1, a 1 = 0, b 1 = 1, m = a 1 + b 1 f(m) = < 0 f(0.5) f(1) < 0 = 0.5 Άρα η λύση βρίσκεται μεταξύ 0.5 και 1. 5

6 Για το επόμενο βήμα: k =, m = = 0.75 f(m ) = 0.17 > 0 f(m 1 )f(m ) < k = 3, m 3 = f(m 3 ) = f(m )f(m 3 ) < 0 = Σύγκλιση Όπου r και m n η πραγματική και προσεγγιστική λύση αντίστοιχα: r m n ( 1 ) n (b a) επειδή στη n οστή επανάληψη έχω κόψει n φορές το διάστημα στα. Για σφάλμα 10 5, θέλουμε r m n = 10 5 : 10 5 ( 1 ) n (1 0) n n = Μέθοδος Χορδής ή Τέμνουσας Σαν τη μέθοδο Bolzano, όμως δεν παίρνουμε το μέσο του διαστήματος, αλλά κάποια άλλη τιμή. Παρατηρείται ότι αυτή η μέθοδος συγκλίνει γρηγορότερα. (b 1, f(b 1 )) a 1 a f (a 1, f(a 1 )) (a, f(a )) Πρέπει να βρούμε τη ρίζα εντός του διαστήματος (a 1, b 1 ). Παίρνουμε τη χορδή που ενώνει τα a 1, b 1. Η χορδή αυτή τέμνει τον άξονα των x στο σημείο a, επομένως η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των a, b 1. Παίρνουμε τη χορδή που ενώνει τα a, b Η χορδή αυτή τέμνει τον άξονα των x στο σημείο a 3, επομένως η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των a 3, b 1 6

7 Παρατηρούμε ότι η μέθοδος χορδής λειτουργεί για κυρτές συναρτήσεις. Κυρτές συναρτήσεις Όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή, εννοούμε ότι η καμπύλη της είναι κυρτή, δηλαδή για δύο σημεία της, η χορδή που τα ενώνει δεν τέμνει κάποιο σημείο της f. Στην αντίθετη περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται μη κυρτή. a 1, b 1 όπου f(a 1 )f(b 1 ) < 0 for k = 1,, y f(b) = Σημείο τομής με άξονα x x = (a, f(a)) (b, f(b)) f(b) f(a) (x b) (b a) af(b) bf(a) f(b) f(a) c = a kf(b k ) = b k f(a k ) f(b k ) f(a k ) f f(a k )f(c) < 0 a k+1 = a k, b k+1 = c else a k+1 = c, b k+1 = b k Αν και η μέθοδος χορδής είναι αργή, συνεχίζει να είναι γρηγορότερη από τη μέθοδο διχοτόμησης. 3.3 Μέθοδος Μεταβαλλόμενης Χορδής (b 1, f(b 1 )) (b 1, f(b 1) ) a 1 a a 3 Όπως η μέθοδος χορδής, αλλά μεταβάλλουμε την κλίση της χορδής γρηγορότερα, ώστε να φτάσει πιο κοντά στη ρίζα. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε π.χ. θεωρώντας ως ο σημείο το (b 1, f(b 1) ) αντί για το (b 1, f(b 1 )), όπως φαίνεται στο σχήμα. Αντί για να διαιρέσουμε με, μπορούμε να επιλέξουμε έναν άλλον αριθμό, π.χ. 4 για συναρτήσεις που έχουν πιο κάθετες χορδές. 3.4 Μέθοδος Newton Αν και η μέθοδος Newton δεν συγκλίνει πάντα και απαιτεί παραγωγισιμότητα, είναι πολύ πιο γρήγορη από τις προηγούμενες μεθόδους, και χρησιμοποιείται πολύ πιο συχνά. Παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor της f: f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) 7

8 for κ = 1,, x κ+1 = x κ f(x 1) f (x 1 ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ if x κ+1 x κ < ε ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΥ stop, αλλιώς κ = κ + 1 Η μέθοδος Newton έχει αρκετά περίπλοκες συνθήκες σύγκλισης που δεν θα μελετήσουμε. 3.5 Μέθοδος Σταθερού Σημείου Ένα σημείο x της f(x) λέγεται σταθερό σημείο αν f( x) = x. Ορισμός 3.1: Σταθερό Σημείο f(x) το x σταθερό σημείο ανν f( x) = x Μπορώ να βρω μια ρίζα σταθερό σημείο της g: x = g( x) f( x) = 0 Παράδειγμα f(x) = x x Μπορούμε να θέσουμε: g(x) = x g(x) = x + g(x) = 1 x x της f(x) στο (a, b) αν κατασκευάσω g(x) τέτοια ώστε το Αντί να λύσω την f, βρίσκω υποψήφιες λύσεις μέσω της g, όπως φαίνεται παρακάτω. Αν η εύρεση μιας κατάλληλης συνάρτησης είναι δύσκολη στις εξετάσεις, θα δίνεται η g(x). Μέθοδος for i = 1,, x i = g (x i 1 ) if x i g(x i ) < ε Προϋποθέσεις σύγκλισης (x 0, g(x), ε) ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΥ 1. Για αρχικό x 0, τα x 1, x, να είναι υπολογίσιμα στην g(x) x να είναι π.χ. g(x) = x για x 0 > 0 x 1 = g(x 0 ) = x 0 x = g(x 1 ) = x 1. x 1, x, να συγκλίνουν σε ένα x 3. Το σημείο σύγκλισης γ να είναι σταθερό σημείο της g(x). Τα παραπάνω μετασχηματίζονται σε 3 κριτήρια σύγκλισης: 8

9 Κριτήρια Σύγκλισης 1. Υπάρχει [a, b] στο οποίο ορίζεται η g(x) και g(x) [a, b], δηλαδή: g [a, b] [a, b]. g(x) συνεχής στο [a, b] 3. g(x) παραγωγίσιμη και να υπάρχει k < 1: x [a, b], g (x) k Θεώρημα Αν ισχύουν οι 3 παραπάνω προϋποθέσεις, τότε στο διάστημα [a, b] υπάρχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο γ της g, και η μέθοδος σταθερού σημείου συγκλίνει σε αυτό το γ. 3.6 Ασκήσεις Άσκηση x 3 + x 1 = 0 Να αποδειχθεί ότι έχει μια μόνο ρίζα στο [0, 1 ] και να προσεγγιστεί με τη μέθοδο σταθερού σημείου. Λύση f(0) = 1, f ( 1 ) = 1 8 f(0)f ( 1 ) < 0 f (x) = 3x + > 0 } μοναδικότητα g(x) = x f(x) = 0 g(x) = 1 (1 x3 ) (περιμένω να δουλέψει, δηλαδή να ικανοποιούνται τα κριτήρια σύγκλισης) Y 1 Y Y 3 g (x) = 3 x Άρα: Y 3 g (x) = 3 x 3 (1 ) = 3 8 < 1 (όπου Y τα κριτήρια σύγκλισης) Επομένως, η g(x) που επέλεξα ικανοποιεί τη σύγκλιση. Επιλέγω: x 0 = 0 x 1 = g(x 0 ) = g(0) = 1 x = g(x 1 ) = g ( 1 ) = 1 (1 (1 ) 3) = x 3 = g(x ) = 1 ( ) = x 4 = g(x 3 ) = 1 ( ) = Άσκηση Να υπολογιστεί ένας τύπος με τη μέθοδο Newton που θα βρίσκει την τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού. 9

10 Λύση x = a x = a f(x) = x a f (x) = x x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x n a = 1 x n (x n + a ) x n Παράδειγμα 3 =?, με x0 = 1.5 x 1 = 1 (x x 0 ) = 1 ( ) = 1.75 x = 1 (x x 1 ) = Υπολογισμός με ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων (δύο διαδοχικές ρίζες να απέχουν ) (σφάλμα) x 3 = 1 (x + 3 x ) = x 3 x < (ικανοποίηση κριτηρίου τερματισμού) Άρα: x 3 = Άσκηση x 3 + x + 10x 0 = 0 Να προσεγγιστεί μια ρίζα της παραπάνω εξίσωσης (π.χ. για 3 επαναλήψεις) Λύση Άσκηση x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x3 n + x n + 0 3x n + 4x n + 10 x 0 = 1 x 1 = = = x = x3 1 + x x 1 + 4x = x 3 = x3 + x + 0 3x + 4x + 10 = Να βρεθεί μια λύση της εξίσωσης x 3 + x + 1 στο διάστημα (0, 1) με ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο χορδής, και να συγκριθεί με τη μέθοδο Newton. 10

11 Λύση x x n+1 = x n f(x n ) n x n 1 f(x n ) f(x n 1 ) x x = x 1 f(x 1 ) 1 x 0 f(x 1 ) f(x 0 ) = 1 11 = 0.5 x x 3 = x f(x ) x 1 f(x ) f(x 1 ) = x x 4 = x 3 f(x 3 ) 3 x f(x 3 ) f(x ) = x 6 = = x 7 = = 0.68 Άρα με ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων, ρ = 0.68, και χρησιμοποιήσαμε 7 επαναλήψεις. Λύση με μέθοδο Newton x 0 = 0.5 x n+1 = x n f(x n) f (x n ) x n+1 = x n x3 n + x n 1 3x n + 1 x n+1 = x3 n + 1 3x n + 1 x 1 = = x = x 3 = 0.68 Άσκηση Να βρεθεί μια λύση της: f(x) = x 10 1 (0, 1.3) Λύση με διχοτόμηση Με τη μέθοδο της διχοτόμησης έχουμε: a k b k c

12 Λύση με μέθοδο χορδής στην προηγούμενη άσκηση): Με τη μέθοδο της χορδής έχουμε (εφαρμόζοντας τον τύπο όπως και a k b k c Παρατηρούμε ότι σε αυτήν την περίπτωση, η μέθοδος χορδής είναι αρκετά πιο αργή. Για να το αποτρέψουμε αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεταβαλλόμενη χορδή. Λύση με μέθοδο Newton x i+1 = x i x10 i 1 10x 9 i i x i Άσκηση Να βρεθεί μία ρίζα της εξίσωσης f(x) = x 3 x 5 στο διάστημα [, 3] χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διχοτόμησης, με ακρίβεια ε = Λύση i a k b k c Κεφάλαιο 4 Παρεμβολή 4.1 Το πρόβλημα Έστω μια άγνωστη f(x) ορισμένη στο [a, b] και οι τιμές x i (i = 0,, n 1). Επίσης, έστω μια p(x) που παρεμβάλλει την f(x), δηλαδή: p(x i ) = f(x i ). Θα ψάξω να βρω την p(x) με βάση τις τιμές p(x i ). Όταν ψάχνω να βρω μια προσέγγιση για κάποια τιμή x ( x [x 0, x n 1 ]) με βάση την p(x) που προκύπτει με δεδομένες τιμές για x i, λέγεται ότι κάνω intrapolation. Για x [x 0, x n 1 ] (πιο επικίνδυνη περίπτωση), ονομάζεται extrapolation. 1

13 Θεώρημα 4.1 Για οποιαδήποτε συνάρτηση, υπάρχει ένα πολυώνυμο που την παρεμβάλλει, δηλαδή: lim P n(x) = f(x) n p(x) f(x) Και μάλιστα: P n (x) f(x) ε ε δεδομένη ακρίβεια Όσο το ε μικραίνει, ο βαθμός του P n (x) αυξάνεται. Για παράδειγμα, αν έχουμε μερικά σημεία της f: x i f(x i ) ψάχνω ένα πολυώνυμο (κάποιου βαθμού) που να περνάει από αυτά τα σημεία. p(x) Αν έχω δύο σημεία, το ζητούμενο πολυώνυμο είναι μια ευθεία, δηλαδή ένα πολυώνυμο 1 ου βαθμού. Για τρία σημεία, θα χρειαστώ πολυώνυμο ου βαθμού, και γενικά έχω ένα μοναδικό πολυώνυμο n βαθμού για n + 1 διακριτά σημεία, όπως θα δούμε αργότερα. Η πραγματική συνάρτηση μπορεί να έχει διαφορετική συμπεριφορά ανάμεσα στα σημεία της τα οποία γνωρίζουμε. Στο επόμενο κεφάλαιο θα μάθουμε την προσέγγιση, δηλαδή την εύρεση ενός πολυωνύμου συγκεκριμένου βαθμού που να φτάνει κοντά στην f, έτσι ώστε να είναι πιο εύκολα υπολογίσιμο αν π.χ. έχουμε 300 σημεία της συνάρτησης. 4. Μορφές Αναπαράστασης Πολυωνύμου Εκθετική μορφή Μορφή κέντρων P n (x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n P n (x) = b 0 + b 1 (x c) + b (x c) + + b n (x c) n Μορφή Newton P n (x) = a 0 + a 1 (x c 1 ) + a (x c 1 )(x c ) + + a n (x c 1 )(x c ) (x c n ) = n a k k=1 a 0 + k i+1 (x c i ) 13

14 Φωλιασμένη μορφή Newton P n (x) = a 0 + (x c 1 ) [a 1 + a (x c ) + a 3 (x c )(x c 3 ) + + a n (x c ) (x c n )] = = a 0 + (x c 1 ) [a 0 + (x c ) [a + (x c 3 ) [a (x c n 1 ) [a n 1 + (x c n )a n ]]]] Μορφή Lagrange Δεδομένων n + 1 σημείων x 0, x 1,, x n, έχουμε τα πολυώνυμα: l j (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x j 1 )(x x j+1 ) (x x n ) (x j x 0 )(x j x 1 ) (x j x j 1 )(x j x j+1 ) (x j x n ) = n i=0 i j (x x i ) (x j x i ) για j = 0, 1,, n ονομάζονται πολυώνυμα Lagrange (ο παρονομαστής σταθερός). Παρατηρούμε ότι τα πολυώνυμα είναι φτιαγμένα με τέτοιον τρόπο ώστε: l j (x i ) = { 0 i j 1 i = j = δ ij Άρα για σταθερές a 0, a 1,, a n και σημεία x 0, x 1,, x n, το πολυώνυμο P n (x) = a 0 l 0 (x) + a 1 l 1 (x) + + a n l n (x) ονομάζεται πολυώνυμο σε μορφή Lagrange. 4.3 Μέθοδοι Παρεμβολής P (x i ) = f(x i ) n P (x i ) = a k l k (x i ) = a i k=0 n P (x) = f(x k )l k (x) Παράδειγμα k=0 Έχουμε τη συνάρτηση: i 0 1 x i f(x i ) 1 1 Αναζητώ πολυώνυμο που να παρεμβάλλει την f σε α) μορφή Lagrange β) εκθετική μορφή Λύση (x 0)(x 1) x(x 1) l 0 (x) = = ( 1 0)( 1 1) (x + 1)(x 1) l 1 (x) = (0 + 1)(0 1) = 1 x l (x) = (x + 1)(x 0) (1 + 1)(1 0) = x(x + 1) P (x) = 1l 0 (x) + 1l 1 (x) + l (x) = 1 x + 1 x + 1 εκθετική μορφή μορφή Lagrange 14

15 Ένας άλλος τρόπος θα ήταν να θεωρήσουμε πολυώνυμο ου βαθμού με 3 άγνωστους συντελεστές, και να λύσω το σύστημα για να τους βρω, κάτι που θα χρησιμεύει αργότερα στην προσέγγιση: P (x) = a 0 + a 1 x + a x P ( 1) = a 0 a 1 + a = 1 P (0) = a 0 = 1 P (1) = a 0 + a 1 + a = Μέθοδος διηρημένων διαφορών Η ιδέα είναι να ξεκινάμε από τον μικρό βαθμό, και να χτίζουμε το ζητούμενο πολυώνυμο βαθμόβαθμό. P k+1 (x) = a (x x 0 ) + + k (x x 0 ) (x x k 1 ) +a k+1 (x x 0 ) (x x k ) P k (x) f(x k+1 ) = P k+1 (x k+1 ) = P k (x k+1 ) + a k+1 a k+1 = f(x k+1) P k (x k+1 ) k i=0 (x k+1 x i ) Για να διευκολύνω τις πράξεις ορίζω: Ορισμός 4.1: Πρώτη Διηρεμένη Διαφορά k i=0 (x k+1 x i ) f [x i, x i+1 ] = f(x i+1) f(x i ) x i+1 x i Η k-οστή Διηρεμένη Διαφορά είναι: Ορισμός 4.: k-οστή Διηρεμένη Διαφορά f [x i, x i+1,, x i+k ] = f[x i+1, x i+,, x i+k ] f[x i, x i+1,, x i+k 1 ] x i+k x i Για διευκόλυνσή μας, αντί να χρησιμοποιούμε τους τύπους, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα Διηρημένων Διαφορών. Πίνακας ΔΔ 1 η η 3 η 4 η x 0 f(x 0 ) f[x 0, x 1 ] = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 x 1 f(x 1 ) f[x 1, x ] f[x 0, x 1, x ] = f[x 1,x ] f[x 0,x 1 ] x x 0 x f(x ) f[x, x 3 ] f[x 1, x, x 3 ] f[x 0, x 1, x, x 3 ] x 3 f(x 3 ) f[x 3, x 4 ] f[x, x 3, x 4 ] f[x 1, x, x 3, x 4 ] f[x 0, x 1, x, x 3, x 4 ] x 4 f(x 4 ) Τότε το πολυώνυμο θα είναι: P k (x) = f(x 0 ) + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + f[x 0, x 1, x ](x x 0 )(x x 1 ) + + f[x 0, x 1,, x k ](x x 0 )(x x 1 ) (x x k+1 ) 15

16 Παράδειγμα i x i f(x i ) Πίνακας ΔΔ: Άρα: P 3 (x) = 1 + 0(x 0) (x 0)(x 1) (x 0)(x 1)(x ) 1 = 1 1 ( x3 + 9x 8x + 1) y x 4.3. Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών Για τη μέθοδο αυτή, θεωρούμε ότι τα σημεία της f που έχουμε ισαπέχουν μεταξύ τους: x 0, x 1,, x n [a, b] x i = x 0 + ih b a όπου h = n f [x i, x i+1 ] = f(x i+1) f(x i ) h Ορίζω συμβολισμούς για ευκολία: Δ 0 f(x i ) = f(x i ) Δ 1 f(x i ) = f(x i+1 ) f(x i ) = f(x i + h) f(x i ) Δ k f(x i ) = Δ (Δ k 1 (f(x i ))) = Δ k 1 f(x i+1 ) Δ k 1 f(x i ) 16

17 Ορισμός 4.3: k-οστή πεπερασμένη διαφορά f [x i, x i+1,, x i+k ] = Δk f(x i ) k! h k προκύπτει μετά από πράξεις Άρα το πολυώνυμο γίνεται: P n (x) = f(x 0 ) + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + + f[x 0, x 1,, x n ](x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) = f(x 0 ) + Δ1 f(x 0 ) 1! h 1 (x x 0 ) + Δ f(x 0 )! h (x x 0 )(x x 1 ) + + Δn f(x n ) n! h n (x x 0)(x x 1 ) (x x n 1 ) Θα βρούμε μια διαδικασία ώστε να υπολογίζουμε το πολυώνυμο γρηγορότερα. Αν x = x 0 + rh, αποδεικνύεται πως (οι πράξεις υπάρχουν στο βιβλίο): n P n (x 0 + rh) = ( r i ) Δi f(x 0 ) i=0 όπου ( r r(r 1) (r (i 1)) ) = i i! Παράδειγμα i x i f(x i ) x 0 x 1 x x 3 x 4 f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) f(x 4 ) Δ 1 f(x 0 ) Δ 1 f(x 1 ) Δ 1 f(x ) Δ 1 f(x 3 ) Δ f(x 0 ) Δ f(x 1 ) Δ f(x ) Δ 3 f(x 0 ) Δ 3 f(x 1 ) Δ 4 f(x 0 ) όπου τα στοιχεία Δ 1 f(x 0 ), Δ f(x 0 ), είναι ίσα με τη διαφορά των δύο προηγούμενων στοιχείων, δηλαδή: και γενικά: Δ 1 f(x 0 ) = f(x 1 ) f(x 0 ) Δ 1 f(x 1 ) = f(x ) f(x 1 ) Δ 1 f(x ) = f(x 3 ) f(x ) Δ f(x 0 ) = Δ 1 f(x 1 ) Δ 1 f(x 0 ) κλπ. Δ k f(x i ) = Δ k 1 f(x i+1 ) Δ k 1 f(x i ) 17

18 P 4 (1 + r) = 1 ( r 1 ) + 4(r ) 8(r 3 ) + 6(r 4 ) όπου x = x 0 + rh r = 1.5 για x =.5 P (.5) = 1 ( ) + 4(1.5 ) 8(1.5 3 ) + 16(1.5 4 ) Μέθοδος Aitken Έστω p, q δύο πολυώνυμα παρεμβολής μικρότερου βαθμού (για m+ σημεία), και r το πολυώνυμο παρεμβολής για όλα τα σημεία (m + 3 σημεία) x 0, x 1,, x m, y, z, και γνωρίζω: p(x i ) = q(x i ) = r(x i ) = f(x i ) για i = 0, 1,, m p(y) = r(y) = f(y) q(z) = r(z) = f(z) Τότε η r(x) που είναι η συνάρτηση που θέλω να παρεμβάλλει την f είναι: r(x) = (y x)q(x) (z x)p(x) y z Έστω A k,r η τιμή στο x του πολυωνύμου παρεμβολής της f(x) στα σημεία x 0, x 1,, x k 1, x r : A k,r = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ]( x x 0 ) + f[x 0, x 1, x ]( x x 0 )( x x 1 ) + + f[x 0, x 1,, x k ]( x x 0 )( x x 1 ) ( x x k 1 ) A k,r = (x k 1 x)a k 1,r (x r x k 1 x r x)a k 1,k 1 x 0 A 0,0 x 0 x A 1,1 x 1 A 0,1 x 1 x A 1, x A 0, A,3 A 4,4 x x A x 1,3 A 3,4 3 A 0,3 x 3 x A 1,4 A, A,4 A 3,3 x 4 A 0,4 x 4 x π.χ. A,3 = (x 1 x)a 1,3 (x 3 x 1 x 3 x)a 1,1 18

19 4.4 Ασκήσεις Άσκηση Να βρεθεί πολυώνυμο Lagrange που να παρεμβάλλει την f(x) = e x στα σημεία x 0 = 1, x 1 = 0, x = 1. Λύση Θυμόμαστε ότι το πολυώνυμο Lagrange δίνεται από τους τύπους: P n (x) = l 0 (x)f(x 0 ) + l 1 (x)f(x 1 ) + l (x)f (x ) l 0 (x) = (x x 1)(x x ) (x 0)(x 1) = = 1 (x 0 x 1 )(x 0 x ) ( 1)( ) (x x) l 1 (x) = (x x 0)(x x ) (x + 1)(x 1) = = x + 1 (x 1 x 0 )(x 1 x ) 1 ( 1) l (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x 0 )(x x 1 ) = 1 (x + x) Άρα P (x) = 1 e (x x) + ( x + 1) + e (x + x) = (1 + e + 1 e ) x + ( e 1 ) x 1 (δεν είναι απαραίτητο να το φτάσουμε μέχρι εδώ) e 4 e x P (x) Άσκηση Να βρεθεί πολυώνυμο Newton που να παρεμβάλλει την παρακάτω f με τη μέθοδο διηρημένων διαφορών: f( 1) = 1, f(1) = και f() = 1 Λύση x i f(x i ) 1 η η / ( 1) = 7 6 P (x) = (x + 1) 7 (x + 1)(x 1) 6 Άσκηση Να βρεθεί η τιμή f(0.5) (intrapolation) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Δίνεται ο πίνακας τιμών της f x i f(x i )

20 Λύση Οι τύποι για τις k-οστές διαφορές θα δίνονται στις εξετάσεις, αλλά είναι πιο κομψό και εύκολο να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα: x i f(x i ) x=x 0 +rh P 4 ( x) = f(x 0 ) + ( r 1 )Δf(x 0) + ( r )Δ f(x 0 ) + ( r 3 )Δ3 f(x 0 ) + ( r 4 )Δ4 f(x 0 ) 0.5 = 0 + r 1 r = 0.5 = 1 ( ) + 0(0.5 ) + 3(0.5 3 ) 7(0.5 4 ) = όπου ( r k) = r(r 1) (r (k 1)) k! Άσκηση Να βρεθεί η τιμή του πολυωνύμου παρεμβολής P (5) για τα σημεία x i και τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f(x i ) που δίνονται στον πίνακα με τη μέθοδο Aitken: x i f(x i ) Λύση x i x 5 5 = = = = ( 1) ( 1) 1 ( 3) ( )( 3) ( 1) 1 4 = 7 3 ( 3) (1) 1 6 = ( 3) = ( 1 ) = 3 16 Λύση p(5) Άρα P (5) = 16 3, λύση που φαίνεται λογική, αφού βρίσκεται ανάμεσα στο - και το 3. 0

21 Κεφάλαιο 5 Προσέγγιση Η προσέγγιση μοιάζει με την παρεμβολή, με τη διαφορά ότι δεν επιθυμούμε το πολυώνυμο που βρούμε να περνάει από όλα τα σημεία της αρχικής συνάρτησης, αλλά να έχει την ελάχιστη απόσταση από αυτά. Το κέρδος μας με αυτόν τον τρόπο είναι ότι το πολυώνυμο που θα βρούμε είναι μικρότερου βαθμού. ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ f(x i ) = p(x i ) + ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ f(x i ) p(x) πολυώνυμο μικρότερου βαθμού ελάχιστη Έστω οι τιμές μιας συνάρτησης: x i x 0 x 1 x m 1 f(x i ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x m 1 ) μέτρια προσέγγιση κακή προσέγγιση καλύτερη προσέγγιση Αν ζητάμε η προσέγγιση P (x) να είναι μια ευθεία, τότε στην ιδανική περίπτωση: P (x i ) = a 0 + a 1 x i = f(x i ) x i τότε έχουμε ένα σύστημα: 1 x 0 1 x 1 1 x 1 x m 1 [ a 0 a 1 ] = f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x m 1 ) που είναι σύστημα αγνώστων αλλά m εξισώσεων, κάτι που μάλλον θα είναι αδύνατο. Επομένως αντί να λύσω την εξίσωση: Ax = b θα λύσω την: Ax b με σκοπό να ελαχιστοποιήσω την απόσταση (υπόλοιπο): Ax b. Η παραπάνω σχέση όμως δεν εκφράζει έναν αριθμό, αλλά έναν πίνακα! Για να "ελαχιστοποιήσουμε" αυτόν τον πίνακα θα ορίσουμε κάποια μεγέθη. 1

22 5.1 Στοιχεία Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας Εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο σε χώρο V είναι μια πράξη για κάθε x, y V (συμβολίζεται με (x, y) ή x, y ) ορίζει έναν αριθμό που ικανοποιεί: (i) (x, x) 0, ισότητα μόνο αν x = 0 (ii) (x, y) = (y, x) x, y V (iii) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) Πιο συγκεκριμένα, για κάποιους χώρους ορίζουμε: R n (x, y) = x T y m για x, y R n R m n (A, B) = a ij b ij n i=1 j=1 Για συναρτήσεις, έχουμε (f, g) = f(x)g(x) dx Δύο διανύσματα x, y V λέγονται ορθογώνια όταν (x, y) = 0, και γράφουμε x y Μήκος - Νόρμα (norm) διανύσματος Ως νόρμα μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε συνάρτηση που καλύπτει κάποια αξιώματα (για παράδειγμα, νόρμα ενός διανύσματος μπορεί να είναι το μέγιστο στοιχείο ενός διανύσματος). Ένας χώρος V είναι εφοδιασμένος με μήκος ή νόρμα αν για κάθε x V υπάρχει αριθμός x που ικανοποιεί: (i) x > 0 με ισότητα μόνο εάν x = 0 (ii) ax = a x για κάθε σταθερά a (iii) x + y x + y x, y V Είδη νορμών Για ένα διάνυσμα x = (x 1, x,, x n ) T l x = max 1 i n x i l p x p = ( n i=1 x i p ) 1 p (άπειρη νόρμα) (p-οστή νόρμα) l x = x T x = x x n (ευκλείδια νόρμα) Απόσταση μεταξύ διανυσμάτων x, y R είναι ο αριθμός: x y Θεωρήματα x + y = x + y Cauchy-Schwartz: (x, y) x y

23 5.1.3 Ορθογώνιοι Υποχώροι Ορισμός 5.1: Ορθογώνιοι Υποχώροι Δύο υποχώροι X, Y του R n λέγονται ορθογώνιοι, αν x T y = 0 για κάθε x X και y Y. Γράφουμε: X Y Ορισμός 5.: Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Το σύνολο: Y = {x R n x T y = 0 y Y } είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του Y. Για παράδειγμα, το ορθογώνιο συμπλήρωμα του πίνακα στην αίθουσα Α3 είναι ο κάθετος τοίχος. Ορισμός 5.3 Για A R m n : Μηδενοχώρος του A: N(A) = {x R n Ax = 0} Χώρος των στηλών του A: R(A) = {b R m b = Ax για x R n } Χώρος των γραμμών του A: R(A T ) = {y R n y = A T x για x R m } Θεώρημα 5.1: Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικής Άλγεβρας N(A)= R(A T ) N(A T )= R(A) 5. Πίσω στο αρχικό πρόβλημα Ορίζω: διαφορά r(x) = b Ax r(x) = b Ax b b Ax = r(x) Ax Το διάνυσμα r(x) ανήκει στο ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου των στηλών, άρα στο μηδενοχώρο του A T (από το Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικής Άλγεβρας), επομένως: A T r(x) = 0 A T (b Ax) = 0 Άρα: Α T Ax = A T b κανονικές εξισώσεις 3

24 Παράδειγμα Να προσεγγιστεί η f(x) με πολυώνυμο πρώτου βαθμού, όπου: x i f(x i ) Λύση A = , x = [ a 0], a b = A T A = [ ] A T b = [ 10 4 ] Άρα πρέπει να λύσουμε το σύστημα: [ ] [a 0 a 1 ] = [ 10 4 ] a 0 = 4 /3, a 1 = /3 Επομένως P 1 (x) = x. Άσκηση Να προσεγγιστούν τα παρακάτω σημεία με μία παραβολή, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων: x i f(x i ) Λύση A = a 0 a 1 x = a 1 b = 4 5 a 0 a 1 [A T ] [A] = [A T ] [b] a P (x) = a 0 + a 1 x + a x 4

25 Κεφάλαιο 6 Αριθμητική Ολοκλήρωση Πολλές φορές δεν μπορούμε να υπολογίσουμε αναλυτικά ένα ολοκλήρωμα, ή αυτός ο υπολογισμός είναι υπολογιστικά δύσκολος, επομένως σε αυτό το κεφάλαιο θα αναπτύξουμε τεχνικές για αριθμητική ολοκλήρωση. f(x) [a, b] b f(x) dx a f(x) a b Ο πιο απλός τρόπος να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι να πάρουμε τον εμβαδόν της συνάρτησης μεταξύ δύο σημείων (κατά Riemann). Σε αυτό το κεφάλαιο η γενική ιδέα είναι να παρεμβάλλουμε την f με ένα πολυώνυμο p: f p και να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του p. Κάτι τέτοιο έχει νόημα επειδή το ολοκλήρωμα είναι μια γραμμική διαδικασία: b I(f) = f(x) dx a I (f(x) + g(x)) = I (f(x)) + I (g(x)) I (af(x)) = ai (f(x)) Επίσης θα υπολογίζουμε το σφάλμα (ή πιο συγκεκριμένα, το μέγιστο σφάλμα) της προσέγγισής μας: σφάλμα f(x) = p(x) + e(x) I (f(x) p(x)) = I (e(x)) Για πολυώνυμα σε μορφή Lagrange έχουμε: n P n (x) = f(x k ) l k (x) k=0 n I (p n (x)) = I ( f(x k )l k (x)) = f(x k ) I (l k (x)) k=0 b I(f) = f(x) dx a n n k=0 f(x k ) I (l k (x)) k=0 Γενικά θα χρησιμοποιούμε πολυώνυμα το πολύ ου βαθμού: n = 0, 1,, απλός κανόνας Σύνθετος κανόνας: Εφαρμόζουμε τον απλό κανόνα σε πολλά διαστήματα της f. 5

26 6.1 Κανόνας Παραλληλογράμμου (n=0) f(x) f(a) a b Απλός κανόνας παραλληλογράμμου/ορθογωνίου Για να εφαρμόσω τον κανόνα του παραλληλογράμμου, θα παρεμβάλλω την f σε ένα σημείο. Ας υποθέσω ότι παρεμβάλλω την f στο σημείο (a, f(a)): p 0 (x) = f(a) b I (p 0 (x)) = f(a) dx a = (b a)f(a) = I R Rectangle Σφάλμα E R = I (f(x)) I R = (b a) f (z) (με βάση πράξεις του βιβλίου, για κάποιο z a < z < b) Για να φράξω το σφάλμα (να βρω την μέγιστη δηλαδή τιμή του): E R = (b a) f (z) (b a) max f (z) a<z<b Σύνθετος κανόνας παραλληλογράμμου Ο σύνθετος κανόνας λειτουργεί σαν τον απλό, με τη διαφορά ότι διαμερίζει το διάστημα ολοκλήρωσης [a, b] σε N ίσα τμήματα: απόσταση b a h = N I R,N = hf(x 0 ) + hf(x 1 ) + + hf(x N 1 ) = N 1 = h i=0 f(x i ) Για το σφάλμα απλά αθροίζουμε το σφάλμα του κάθε ορθογωνίου: E R,N = h f (z 1 ) + h f (z ) + + h f (z N ) = = h = h N i=1 f (z i ) Nf (z) (όπου f (z) = f (z i ), δηλ. ο μέσος όρος) N = h (b a)f (z) E R,N h (b a) max f (z) a<z<b 6

27 Παράδειγμα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της f(x) = x 3 στο διάστημα [1, ] για N = 1 και N = 8. Λύση για N = 1 I R = f(a)(b a) = f(1)( 1) = 1 1 = 1 E R = (z 1) f (z) 1 < z < E R 1 max 1<z< 3z = 1 3 = 6 Λύση για N = 8 I R,8 = hf(x 0 ) + h 1 f(x 1 ) + + hf(x 7 ) = = 1 8 f(1) f (9 /8) (15 /8) = 3.3 E R, max 1<z< 3z = Κανόνας Τραπεζίου (n=1) Παρεμβάλλω την f σε δύο σημεία για να πάρω ένα πολυώνυμο 1 ου βαθμού: f(x) b a Απλός κανόνας τραπεζίου x 0 = a x 1 = b p 1 (x) = f(a)l 0 (x) + f(b)l 1 (x) I (p 1 (x)) = (x b) a = + f(b)x a b b a a b = = p 1 (x) b a (f(a) f(b)) = I T Trapezoid (l i πολυώνυμα Lagrange) 7

28 Για το σφάλμα έχουμε: E T = I (f(x)) I (p 1 (x)) = (b a)3 = f (z) a < z < b 1 (b a)3 E T max 1 f (z) a<z<b Σύνθετος κανόνας τραπεζίου Όπως και προηγουμένως, διαμερίζουμε το τραπέζιο σε N τμήματα, και εφαρμόζουμε τον απλό κανόνα σε καθ' ένα από αυτά: b a h = N a = x 0, x 1,, x N = b I T,N = h (f(x 0) + f(x 1 )) + h (f(x 1) + f(x )) + + h (f(x N 1) + f(x N )) = h [f(x 0) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x N 1 ) + f(x N )] Αντίστοιχα με παραπάνω, για το σφάλμα θα αθροίσω τα επιμέρους σφάλματα: E T,N = N i=1 h3 1 f (z i ) x i 1 < z i < x i = h3 1 Nf (z) a < z < b = h 1 (b a)f (z) E T,N h (b a) max 1 f (z) a<z<b Παράδειγμα Να υπολογιστεί με τον κανόνα τραπεζίου για N = 4, 8 το ολοκλήρωμα: x 3 dx 1 Λύση για N = 4 I T,4 = h [f(x 0) + f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) + f(x 4 )] = 1 /4 [f(1) + f (5 /4) + f ( 6 /4) + f ( 7 /4) + f ( 8 /4)] = E T,4 = h 1 ( 1)f (z) 1 < z < = 1 /16 1 6z = 1 3 z E T,4 1 3 = 1 16 =

29 Λύση για N = 8 I T,8 = h [f(x 0) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x 7 ) + f(x 8 )] = 1 /8 [f(1) + f (9 /8) + f ( 10 /8) + + f ( 16 /8)] = E T,8 = h 1 ( 1)f (z) 1 < z < = 1 /8 1 6z = 1 18 z E T, z = 1 64 = Κανόνας Simpson (n=) a a+b b Απλός κανόνας Simpson a + b P (x) = f(a)l 0 (x) + f ( ) l 1(x) + f(b)l (x) = f(a) (x x 1)(x x ) + b + f (a (x 0 x 1 )(x 0 x ) ) (x x 0)(x x ) (x 1 x 0 )(x 1 x ) + f(b) (x x 0)(x x 1 ) (x x 0 )(x x 1 ) b I S = P (x) dx a = = b a 6 a + b [f(a) + 4f ( ) + f(b)] E S = I (f(x)) I (P (x)) = = ( b a )5 90 f (4) (z) E S ( b a )5 max 90 f (4) (z) a<z<b Σύνθετος κανόνας Simpson Το αρχικό διάστημα χωρίζεται σε N τμήματα: x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 Εφαρμόζουμε τον απλό κανόνα Simpson σε πολλά διαστήματα: a = x 0 < x 1 < x < < x N 1 < x N = b 9

30 με απόσταση: h = b a N και διαστήματα: x i = x 0 + i h [x i, x i+ ], i = 0,, 4,, N Οπότε τελικά έχουμε: I S,N = h 6 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) + + f(x N ) + 4f(x N 1 ) + f(x N )] = h 6 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) + + f(x N ) + 4f(x N 1 ) + f(x N )] Και για το σφάλμα, με αρκετές πράξεις προκύπτει: ES, N = n ( h )5 90 f (4) (z), a < z < b = ( h )4 180 (b a)f (4) (z) E S,N ( h )4 (b a) max 180 f (4) (z) a<z<b 6.4 Κανόνας Μέσου Σημείου Ανοικτοί τύποι Newton-Cotes (μέχρι στιγμής έχουμε ασχοληθεί με κλειστούς τύπους Newton- Cotes). Απλός κανόνας μέσου σημείου Η ιδέα είναι να παίρνουμε ένα παραλληλόγραμμο με ύψος όμως που να μην αντιστοιχεί στο άκρο του διαστήματος, αλλά στο μέσον του: f(b) f(a) a a+b b a + b I M = (b a) f ( ) E M = (b a)3 f (z) 4 a < z < b 30

31 Σύνθετος κανόνας μέσου σημείου I M,N = hf (x 0 + h ) + hf (x 1 + h ) + + hf (x N 1 + h ) N 1 = h i=0 f (x i + h ) E M,N = h 4 (b a)f (z) a < z < b E M,N h (b a) max 4 f (z) a<z<b 6.5 Ασκήσεις Άσκηση Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 1 1 I = 1 + x dx 0 με τον κανόνα του παραλληλογράμμου για N = 1 και N = 10 διαστήματα. Λύση για N = 1 I R = f(0)(1 0) = 1 1 = 1 Άρα (b a) E R max f(z) 0<z<1 f 1 (z) = (1 + z) max f (z) = 1 0<z<1 E R (b a) max 0<z<1 f(z) = 1 1 = 1 Λύση για N = 10 I R,10 = h (f(x 0 ) + f(x 1 ) + + f(x N 1 )) x k f(x k ) I R,10 = 0.1( ) = E R,10 h (b a) max f (z) = 0.1 a<z<b 1 1 = 0.05 Λύση με κανόνα μέσου σημείου a + b I M = (b a) f ( ) = 1 f (1 ) = E M (b a)3 4 max f (z) a<z<b 31

32 max f (z) = max 0<z<1 0<z<1 (1+x) = για x = 0 3 = 1 4 = Τύπος Τιμή Σφάλμα N = N = Μέσου Σημείου Άσκηση Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 3 I = (x + 1 x 1 ) dx με τη μέθοδο τραπεζίου για N = 6. Λύση 1 = x 0 < x 1 < < x 6 = 3 h = b a N I T,6 = h [f(x 0) + f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) + f(x 4 ) + f(x 5 ) + f(x 6 )] = = 1 3 Άρα: x i /3 1 + /3 + 1 /3 + /3 3 f(x i ) 91/48 15/75 9/4 370/147 53/19 8/9 I T,6 = 1 6 [ ] = E T,6 h (b a) max 1 f (z) = (1 /) 6 (3 1) max a<z<b 1 1<z<3 z 4 = Άσκηση Για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x i f(x i ) Ζητείται να βρεθεί το ολοκλήρωμα f(x) dx με κανόνα Simpson. 1 Λύση Για να εφαρμόσουμε κανόνα Simpson, το κάθε διάστημα πρέπει να καταλαμβάνει 3 σημεία (τα δύο άκρα και το μέσο). x x 1 x 0 x 3 x x 5 4 x 6 Επομένως: N = 3 h =

33 Άρα έχουμε: I = h 6 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) + 4f(x 5 ) + f(x 6 )] = 1 [ ] 3 = Κεφάλαιο 7 Υπολογισμός Ιδιοτιμών Δομή της ενότητας: Εισαγωγή Μέθοδος Δύναμης Μετασχηματισμοί Householder Παραγοντοποίηση QR Το πρόβλημα που καλούμαστε να λύσουμε είναι: Δεδομένου ενός πίνακα A R n n, να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές λ i R, και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα x i R n, x i 0 τα οποία ικανοποιούν: Ax i = λx i για i = 1,,, n 7.1 Εισαγωγή ή: ιδιοδιανύσματα Ax = λx ιδιοτιμές (A λi)x = 0 det(a λi) = 0, δηλαδή x N(A λi), όπου N ο μηδενοχώρος Δηλαδή πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα n εξισώσεων και αγνώστων. Ορίζουμε και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως: P (λ) = det(a λi) Παράδειγμα A = [ 3 3 ] Τότε: A λi = 3 λ 3 λ = λ λ 1 λ λ 1 = 0 { λ 1 = 4 λ = 3 33

34 Τα παραπάνω λ είναι οι ιδιοτιμές, και τα ιδιοδιανύσματα είναι, για λ 1 = 4: (A 4I)x = 0 [ ] x = 0 N(A 4I) = {a [ ] a R, a 0} 1 Αντίστοιχα προκύπτει: N(A + 3I) = {a [ 1 ] a R, a 0} 3 Αν ο πίνακας είναι τριγωνικός, οι ιδιοτιμές είναι μόνο τα διαγώνια στοιχεία του: λ i = a ii Ορισμός 7.1: Φάσμα Το σύνολο όλων των ιδιοτιμών ενός πίνακα A ονομάζεται ΦΑΣΜΑ του A: σ(a) Ορισμός 7.: Φασματική ακτίνα Το μέγιστο κατ' απόλυτη τιμή στοιχείο του φάσματος ονομάζεται φασματική ακτίνα του A και συμβολίζεται: P (A) = max { λ λ σ(a)} Δηλαδή είναι η μέγιστη κατ' απόλυτη τιμή ιδιοτιμή του A. Επειδή ο υπολογισμός ορίζουσας είναι δύσκολη υπολογιστική διαδικασία, άρα θα βρούμε αριθμητικούς τρόπους να τις βρίσκουμε/προσεγγίζουμε Άνω Φράγματα Ορισμός 7.3 Ορίζουμε: r i (A) = c j (A) = n j=1 n i=1 a ij, i a ij, j (τα αθροίσματα των απόλυτων τιμών των στοιχείων κάθε γραμμής & στήλης) r(a) = max {r i (A) i} c(a) = max {c j (A) j} (το μέγιστο άθροισμα) 34

35 Θεώρημα 7.1: Gerschgorin Για πίνακα A R n n, έστω ότι, για κάθε γραμμή: R i = r i (A) a ii i και έστω δίσκος C i με ακτίνα R i και κέντρο a ii (a ii C). Τότε για κάθε λ σ(a) υπάρχει i όπου λ C i, δηλαδή: λ a ii R i Συνέπεια Έστω: λ σ(a) ενός A R n n λ r(a) λ a kk R k (λ a kk ) + a kk λ a kk + a kk R k + a kk = r k (A) r(a) Επειδή r(a T ) = c(a), ισχύει ότι: λ min {r(a), c(a)} Επομένως για το προηγούμενο παράδειγμα: r 1 (A) = 5 r (A) = 5 } r(a) = 5 c 1 (A) = 6 c (A) = 4 } c(a) = 6 7. Μέθοδος δύναμης A = [ 3 3 ] λ min {5, 6} = 5 Έχουμε έναν πίνακα A και κατατάσσουμε τις ιδιοτιμές του: λ 1 λ λ n με ιδιοδιανύσματα: x 1, x,, x n που γνωρίζουμε από τη θεωρία γραμμικής άλγεβρας ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επομένως σχηματίζουν μία βάση, με ένα τυχαίο διάνυσμα: v 0 = a 1 x 1 + a x + + a n x n 35

36 πολλαπλασιάζουμε με A: lim k Av 0 = a 1 Ax 1 + a Ax + + a n Ax n = a 1 λ 1 x 1 + a λ x + + a n λ n x n A v 0 = a 1 λ 1 x 1 + a λ x + + a n λ nx n A k v 0 = a 1 λ k 1 x 1 + a λ k x + + a n λ k nx n v k 1 v k = a 1 x 1 + a ( λ k ) x λ + + a n ( λ k n ) x 1 λ n 1 λ k 1 1 λ k 1 v k = a 1 x 1 Επειδή k και μπορεί να εμφανιστούν πολύ μεγάλοι ή πολύ μικροί αριθμοί, θα κανονικοποιήσω το v k Αλγόριθμος Είσοδος: A R n n, u 0 R n : 1 for k=0,1, do v k+1 = Au k ; 3 u k+1 = 1 v k+1 v k+1 ; 4 if u k+1 u k < ε then 5 go to 6 6 end 7 end Παράδειγμα A = [ 1 1 ], u 0 = [ 1 ] v 1 = Au 0 = [ 5 4 ] u 1 = 1 5 v i = [ ] v = Au 1 = [.8.6 ] u = 1.8 v = [ ] v 3 = Au = [.9.85 ] u 3 = 1.9 v 3 = [ ] v 4 = Au 3 = [ ] 7.3 Μετασχηματισμοί Householder Από τη γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι οι όμοιοι πίνακες έχουν ίδιες ιδιοτιμές: A, B R n n B = S 1 AS 36

37 Αν για τον A έχω υπολογίσει την λ 1, θα είναι χρήσιμο να μπορώ να βρω έναν πίνακα: HAH 1 = λ 1 x x x x 0 0 A 1 0 det(a λi) όμοιοι = det(hah 1 λi) = (λ 1 λ) det(a 1 λi) 1 Αν e 1 = 0 0 HAH 1 e 1 = λ 1 e 1 A(H 1 e 1 ) = λ 1 (H 1 e 1 ) Δηλαδή ψάχνω H ώστε: H 1 e 1 = x 1 Hx 1 = e 1 κάτι που θα μου δώσει ο Householder. 7.4 Παραγοντοποίηση QR (Εισαγωγή) Μετατρέπω έναν πίνακα A σε γινόμενο πινάκων Q και R, όπου ο Q και ο R άνω τριγωνικός: A = Q άνω τριγωνικός R ορθογώνιος Για κάποιες επαναλήψεις: A 0 = A A 0 = Q 1 R 1, θέτω A 1 = R 1 Q 1 { A 1 = Q R, θέτω A = R Q { A k 1 = Q k R k, θέτω A k = R k Q k Η μέθοδος αυτή συγκλίνει σε έναν ημιτριγωνικό πίνακα (τον A k ). Από τον A 0 ξεκινώ, τον παραγοντοποιώ σε Q 1 R 1 και βρίσκω τον A 1 = R 1 Q 1. Παραγοντοποιώ τον A 1 σε γινόμενο QR κ.ό.κ. Για έναν ημιτριγωνικό πίνακα: Ο πίνακας αυτός είναι άνω τριγωνικός, απλά σε κάποιες θέσεις στη διαγώνιο έχει πίνακες. 37

38 Παράδειγμα Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα A με παραγοντοποίηση QR: A = Λύση Ο A είναι ήδη ημιτριγωνικός (ουσιαστικά είναι ο A k ): A = [ 1 0 B ] όπου B = [ ] Η μία ιδιοτιμή είναι το λ 1 = 1. Οι μιγαδικές ιδιοτιμές θα προκύψουν από τον πίνακα B: det(b λi) = 0 1 λ 5 3 λ = 0 λ 3λ + 17 λ,3 = 3 59 ± i Παράδειγμα Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του A με τη μέθοδο παραγοντοποίησης QR: A = Λύση Σύμφωνα με τη μέθοδο: A = A 0 A 0 = Q 1 R 1 = (Θα δούμε αργότερα πώς βρίσκουμε τους Q 1 R 1 ) A 1 = R 1 Q 1 = Τώρα παραγοντοποιώ τον A 1 σε γινόμενο QR: A 1 = Q R A = R Q Μετά από 6 επαναλήψεις προκύπτει: A 6 = Ο πίνακας A 6 είναι ημιτριγωνικός. Στην διαγώνιο βρίσκουμε ότι λ 3 = Ύστερα μέσω του B = [ ] θα βρω τις λ 1, : det(b λi) = 0 λ 1, = 5.57 ± i Παραγοντοποίηση QR Το πρόβλημα έτσι ώστε: A = Q R Δεδομένου ενός πίνακα A, να βρεθούν πίνακες Q (ορθογώνιος), R (άνω τριγωνικός), 38

39 7.5.1 Εισαγωγή Ένα σύνολο διανυσμάτων {x 1, x,, x n } του χώρου V λέγονται ορθογώνια αν ανά μεταξύ τους είναι κάθετα: (x i, x j ) = 0 i j Τα διανύσματα x 1, x,, x n λοιπόν είναι μεταξύ τους γραμμικά ανεξάρτητα. Εάν σε αυτά τα διανύσματα προσθέσω (εκτός της ορθογωνιότητας) την ιδιότητα της μοναδιαίας νόρμας/μήκους/μέτρου, ονομάζω τα x 1, x,, x n ορθοκανονικά. Τότε ισχύει και η παρακάτω ιδιότητα: Kroenecker Delta Όταν έχω μία σχέση μεταξύ δύο αντικειμένων: (x i, x j ) = 0 για i j = 1 για i = j αυτή αναπαριστά το δέλτα του Kroenecker: (x i, x j ) = δ ij Για να μετατρέψω το ορθογώνιο σύστημα σε ορθοκανονικό, αρκεί να πάρω κάθε διάνυσμα βάσης, και να το "μειώσω" ώστε να έχει μέτρο τη μονάδα (κανονικοποίηση): x i = x i x i x 1 x Για παράδειγμα, αν x i =, τότε: x 3 x i = x 1 + x + x 3 x i = x 1 + x + x 3 x i = x 1 x 1 +x +x 3 x x 1 +x +x 3 x 3 x 1 +x +x 3 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε n ορθοκανονικά διανύσματα βάσης σε έναν χώρο διάστασης n: {x 1, x,, x n } Επομένως κάθε διάνυσμα X του χώρου γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης: X = n i=1 c i x i και επειδή η βάση είναι ορθοκανονική, αποδεικνύεται ότι οι συντελεστές c i προκύπτουν από το εσωτερικό γινόμενο: c = (x i, x) Πράγματι: n (x i, x) = x i, c j x j j=1 39

40 Από ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου (ax + by, z) = a(x, y) + b(y, z) = = n j=1 n j=1 c j (x i, x j ) c i δ ij = c i Ορθογώνιος πίνακας Έστω ότι στον χώρο R n έχουμε n ορθοκανονικά διανύσματα q 1, q,, q n. Τον πίνακα που φτιάχνουμε με αυτά τα διανύσματα: Q = q 1 q q n τον ονομάζουμε ορθογώνιο πίνακα. Για αυτόν προκύπτει αν δούμε τις πράξεις: Q T Q = I, δηλαδή ο ανάστροφός του είναι ο αντίστροφός του: Q 1 = Q T Εσωτερικά γινόμενα Θα δείξουμε ότι το εσωτερικό δύο διανυσμάτων x, y ενός χώρου δεν αλλάζει αν τα πολλαπλασιάσουμε με τον Q, δηλαδή (Qx, Qy) = (x, y): (Qx, Qy) = (Qx) T Qy = x T Q T Q y I = x T y = (x, y). Επομένως, παρατηρώ ότι: Qx = (Qx, Qx) = (x, x) = x Συγκεντρωτικά οι ιδιότητες του Q R n n 1. Στήλες Q είναι μια ορθοκανονική βάση του R. Q T Q = I 3. Q 1 = Q T 4. (Qx, Qy) = (x, y) 5. Qx = x 7.6 Μετασχηματισμοί Householder Ο μετασχηματισμός Householder είναι ένας πίνακας που μετασχηματίζει ένα διάνυσμα, ώστε π.χ. να έχει ίδια κατεύθυνση αλλά διαφορετικό μέτρο. 40

41 Το πρόβλημα Δεδομένου ενός διανύσματος x R n και σταθεράς k {1,,, n}, να βρεθεί ένας πίνακας H, τέτοιος ώστε οι τελευταίες n k συνιστώσες του διανύσματος Hx να είναι μηδέν. Δηλαδή οι τιμές του Hx, κάτω από μία θέση που θέλω εγώ, να είναι μηδενικές. Αυτό το πρόβλημα θα λύσουν οι μετασχηματισμοί Householder: Ορισμός 7.4 Για κάποιο διάνυσμα u R n με μοναδιαίο μήκος ( u = 1), ο πίνακας H = I uu T ονομάζεται μετασχηματισμός Householder. Παρατηρούμε ότι (και προκύπτει με πράξεις), ότι ο H είναι συμμετρικός. Θα αποδείξουμε ότι ο H είναι ορθογώνιος! Έχω: HH T = (I uu T )(I uu T ) T = (I uu T )(I uu T ) = I 4uu T + 4u u T u T uu T 1 = I 1 Hx = y όπου για τον y, από την k + 1 θέση και κάτω, μηδενικά Hx = (I uu T )x = x uu T x = x (u T x)u Όμως, το u T x είναι η προβολή του x στο u. Όπως ξέρω, η προβολή του διανύσματος b πάνω στο διάνυσμα a γράφεται: ρ = at b a T a a Άρα για εμάς: ρ = u T u u T x 1 αφού μοναδιαίο = (u T x)u Για να βρω τον Η ψάχνω το u στη σχέση I uu T. Ορίζω το διάνυσμα y με την ίδια νόρμα (ευκλείδια) με το x: x = y Έτσι, ορίζω ακόμα το μοναδιαίο (κανονικοποιημένο) διάνυσμα u ως: u = x y x y Θα δείξω ότι αυτό το u είναι μια πάρα πολύ καλή επιλογή: (I uu T )x = y 41

42 Θέλω x 1 x x = x k x n Αυτό γίνεται με το: u = x y x y x 1 x x k 1 y = ± x k + x k x n (από το k + 1 και κάτω, 0) Θα βρω ακριβώς το u: (x y) = Για ευκολία θέτω: 0 0 x k ( sgn(x k ) x k +x k+1 + +x n) x k+1 x n s = x k + x k x n x y = (x k + sgn(x k )s) + x k x n Τελικά: = s (s + x k ) u = 1 s (s + x k ) 0 0 x k ( sgn(x k ) x k + +x n) x k+1 x n (1) Παράδειγμα Επιθυμώ το παρακάτω x να έχει μηδέν στην 3 η συνιστώσα: x =

43 Επίλυση Είναι k =. Θα χρησιμοποιήσω την (1): s = x + x 3 = = 5 u = x y = 5 (s + x k ) = 10(5 + 4) = 90 sgn(x k ) = + u = = Άρα: H = I uu T = I [0 9 3] = I = = H x = = 7 5 (επαλήθευση) 0 Για να γράψω έναν πίνακα A με μορφή: A = Q R λειτουργώ ως εξής: 0 H 1 A = [H 1 a 1 H 1 a H 1 a n ] = 0 = A 1. 0 Βρίσκω τον A 1, από αυτόν υπολογίζω τον H, και ύστερα βρίσκω το γινόμενο H A H A 1 = = A H n 1 A n = = A n 1 = R Τελικά δηλαδή: H n 1 H n H 1 A = R 43

44 H συμμετρικός ορθογώνιος H T = H 1 A = H T 1 HT HT n 1 R A = H 1 n 1 R Q Δηλαδή φτάνουμε στο πολυπόθητο: A = QR A = m n Q R m m m n n n άνω τριγωνικός 0 m n γραμμές Άσκηση Δίνεται ο πίνακας X = 3 4. Να βρεθεί πίνακας H ώστε ο Hx να έχει μηδέν τις τελευταίες 1 συνιστώσες. Λύση k = 1 s = x 1 + x + x 3 = ( 3) = 13 x sgn(x 1 ) s u = x 13 (13 + 3) x 3 H = I uu T = Όντως, για επαλήθευση παρατηρούμε ότι: Hx = = [ 4 1 3] = Άσκηση Να παραγοντοποιηθεί/γραφεί σε μορφή QR ο πίνακας A =

45 Λύση Στην πρώτη στήλη: a 1 = 1 k = 1 s = = 3 x u 1 = x = 1 4 s(s + x 1 ) x 4 3 H 1 = I u 1 u T 1 = = Q 1 H 1 A = = R Άσκηση Να βρεθεί η παραγοντοποίηση QR του πίνακα A: A = Λύση Για k = 1 Householder: Q 1 = 1 H 1 = A 1 = H 1 A = Για k = Householder: Q = Προκύπτει: s = x + x 3 = 4 + ( 3) = 5 H = I uu T = A = H A 1 = /5 = R /5 Q = H 1 H = [0 3 1] = 1 5 =

46 Άσκηση Να παραγοντοποιηθεί ο πίνακας: A = Λύση άνω τριγωνικός Q ορθογώνιος R n n άνω τριγωνικός 0 m n γραμμές Στον πίνακα: 1 εφαρμόζω Householder για k = 1. H 1 = A 1 = H 1 A = Householder στον s = = για k = : 0 1 u = 8 = = H = I u u T = = H A 1 = = R 0 0 Q = H 1 H = Κεφάλαιο 9 Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Η μέθοδος Cramer βρίσκει λύσεις στα γραμμικά συστήματα, αλλά λόγω του υπολογισμού ορίζουσας είναι πολύ αργή. Γι' αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την απαλοιφή Gauss και παραλλαγές της για να βρούμε ακριβείς λύσεις στο σύστημα. Για την επίλυση γραμμικών συστημάτων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο είδη μεθόδων: Ακριβείς Μεθόδους Επαναληπτικές Μεθόδους 46

47 Γενικά οι μέθοδοι αυτές προσπαθούν να μας οδηγήσουν σε ένα ισοδύναμο τριγωνικό σύστημα (A 1 x = b 1 A x = b ): a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a x + + a n x n = b = a nn x n = b n επειδή τότε η λύση μπορεί να βρεθεί ως εξής: x n = b n a nn x n 1 = b n 1 a n 1, n x n a n 1, n 1 = και αναδρομικά έχω: x k = b k n j=k+1 a kjx j a kk με k = n, n 1,, Ακριβής επίλυση με παραγοντοποίηση QR Η λύση με παραγοντοποίηση QR δίνει ένα ακριβές αποτέλεσμα, αλλά είναι ακριβή σε χρόνο, επομένως χρησιμοποιείται αν έχουμε έτοιμη την παραγοντοποίηση, οπότε: Ax = b QRx = b Rx = Q T b άνω τριγωνικός 9. Ακριβής επίλυση με απαλοιφή Gauss 9..1 Στοιχειώδεις πράξεις Ανταλλαγή δύο γραμμών R i και R j. Θα το συμβολίζουμε: R i = R j ή R i R j Πολλαπλασιασμός γραμμής R i με μια σταθερά a R. Θα το συμβολίζουμε: R i = ar i ή R i ar i Πρόσθεση σε μια γραμμή R i το γινόμενο της γραμμής R j με μια σταθερά a R. Θα το συμβολίζουμε: R i = R i + ar j ή R i R i + ar j 47

48 9.. Κλιμακωτή Μορφή Παράδειγμα Αν έχουμε το σύστημα: x 1 + x 4x 3 = 4 5x x 1x 3 = 3x 1 x + 3x 3 = 11 Λύση Τοποθετώ τους συντελεστές σε έναν πίνακα ώστε να μην γράφω συνέχεια τα ονόματα των μεταβλητών: και προσπαθώ να τον φέρω σε κλιμακωτή μορφή, εκτελώντας τις παραπάνω γραμμοπράξεις. Ορισμός 9.1: Κλιμακωτή μορφή ενός ΠΙΝΑΚΑ 1. Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής να είναι 1.. Εάν η γραμμή k έχει μη μηδενικά στοιχεία, τα αρχικά μηδενικά στοιχεία της γραμμής k + 1 να είναι περισσότερα από αυτά της γραμμής k. 3. Αν υπάρχουν μηδενικές γραμμές, αυτές να βρίσκονται στο τέλος του πίνακα. Παράδειγμα [ A b ] Απαλοιφή Gauss [ A b ] Ορισμός 9.: Πρωτεύουσες & Δευτερεύουσες Μεταβλητές 1 x x x x x x x x x x x x x x Στον παραπάνω κλιμακωτό πίνακα, οι στήλες αναπαριστούν τους συντελεστές της κάθε μεταβλητής, ενώ οι γραμμές την κάθε εξίσωση. Ορισμός 9.3: Ανηγμένη Κλιμακωτή μορφή πίνακα 1. Είναι κλιμακωτή μορφή. Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής είναι και το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο στη στήλη 48

49 Παράδειγμα R =R R 3 R 1 =R 1 R 3 R 1 =R 1 R Η επίλυση συστήματος με ανηγμένη κλιμακωτή μορφή ονομάζεται απαλοιφή Gauss-Jordan 9..3 Ομογενή Συστήματα Ορισμός 9.4: Ομογενές Σύστημα Ax = 0 (είναι και ο μηδενοχώρος του A, δηλ. N(A)) Τα ομογενή συστήματα μπορεί να έχουν: Μια μοναδική λύση x = 0 (τετριμμένη λύση) ή Άπειρες λύσεις 9..4 Στοιχειώδεις Πίνακες Κάθε μία από τις στοιχειώδεις γραμμοπράξεις αντιστοιχεί σε έναν στοιχειώδη πίνακα, δηλαδή έναν πίνακα που τον πολλαπλασιάζουμε με τον πίνακα του συστήματος από τα αριστερά, ώστε να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα με την εφαρμογή της γραμμοπράξης: R 1 = R R = ar R 1 R 1 + ar 3 E 1 = E = a E 3 = 1 0 a Επίλυση Υπάρχει η άμεση μέθοδος της απαλοιφής Gauss, και διάφορες επαναληπτικές μέθοδοι. Όπως έχουμε πει, οι στοιχειώδεις πίνακες υλοποιούν τις γραμμοπράξεις, αφού πολλαπλασιάζουν τον αρχικό πίνακα από αριστερά, παραγοντοποιώντας μία από τις 3 γραμμοπράξεις. Ένα σύστημα που προκύπτει μετά από γραμμοπράξεις είναι ισοδύναμο με το αρχικό (ίδια λύση). Εμείς θέλουμε να καταλήξουμε σε ένα τριγωνικό σύστημα, του οποίου η λύση μπορεί να βγει κατ' ευθείαν. Αποδεικνύεται ότι ένα σύστημα Ax = b μετά από γραμμοπράξεις έρχεται στη μορφή LUx = b. 49

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσµατα στο επίπεδο

Διανύσµατα στο επίπεδο Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 3: Παραγοντοποίηση QR Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 06, 26 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Η ανάλυση LU 2. Η ανάλυση LDM T και η ανάλυση LDL T 3. Συμμετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ

Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 1. Υπενθύμιση έννοιας νόρμας και βασικών ιδιοτήτων της 2. Σπουδαιότητα των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss

ΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss .4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Gauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0

Gauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0 Γραμμική Άλγεβρα Κεφάλαιο Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα y, y 2, y 3 ώστε τα διανύσματα (0, y ), (, y 2 ), (2, y 3 ) να είναι στην ίδια ευθεία; Η ευθεία που περνάει από

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz Σύντομες Λύσεις Άσκηση. Δείξτε ότι η απεικόνιση u, v = u v + 5u v, όπου u = (u, u ), v = (v, v ),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1o: Εισαγωγικά... 15 1.1 Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση... 15 1.2 Πηγές Σφαλμάτων... 17 1.2.1 Εισόδου... 17 1.2.2 Αριθμητικής Υπολογιστών... 18 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: 5x 8y = 5x= + y

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα