KEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι

Transcript

1 KEΦΑΛΑΙΟ Ευκλείδιοι χώροι Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του ως εξής: ιεύθυνση ή φορέας του AB είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ Φορά του AB είναι ο προσανατολισµός του, δηλαδή η µία από τις δύο αντικείµενες ηµιευθείες που ορίζει το σηµείο Α πάνω στην ευθεία στην οποία βρίσκεται το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ Μέτρο του AB (συµβολικά ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ AB ) είναι το µήκος του αντιστοίχου Η διεύθυνση και η φορά καλείται κατεύθυνση του AB Ένα διάνυσµα µέτρου καλείται µοναδιαίο Μηδενικό διάνυσµα (συµβολικά ) είναι ένα διάνυσµα του οποίου η αρχή και το πέρας συµπίπτουν ύο διανύσµατα a και b καλούνται ίσα, συµβολικά a = b όταν βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς και έχουν την ίδια φορά και έχουν ίσα µέτρα ύο διανύσµατα καλούνται αντίθετα όταν βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς και έχουν αντίθετη φορά και έχουν ίσα µέτρα Tο αντίθετο διάνυσµα του a συµβολίζεται µε a ύο διανύσµατα a, b καλούνται παράλληλα ή συγγραµικά (συµβολικά a // b ) όταν βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς Καλούνται οµόρροπα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση ενώ καλούνται αντίρροπα όταν έχουν αντίθετες κατευθύνσεις Γωνία µεταξύ δύο διανυσµάτων ab, καλούµε την κυρτή γωνία τους Αρα: Πράξεις µε διανύσµατα ( ab, ) 8 Έστω a, b είναι δύο διανύσµατα Αν b = b είναι τέτοιο ώστε το πέρας του a να είναι αρχή του b και αν a = AB, b = ΒΓ τότε ορίζουµε ως άθροισµα a+ b να είναι το διάνυσµα

2 a + b = AΓ Ισοδύναµα αν OA = a, OB = b είναι δύο διανύσµατα µε κοινή αρχή O ορίζουµε ως άθροισµα a+ b να είναι το διάνυσµα: a+ b= ΟΓ, όπου ΟΓ είναι το διάνυσµα της διαγωνίου ΟΓ του παραλληλογράµµου ΟΑΒΓ µε πλευρές τα διανύσµατα a και b Η αφαίρεση a b δύο διανυσµάτων a, b ορίζεται ως το άθροισµα του a µε το αντίθετο διάνυσµα του b ηλαδή: a b = a + b Γινόµενο αριθµού µε διάνυσµα: Σχήµα : Το διάνυσµα a b Ορίζουµε ως γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα a να είναι ένα νέο διάνυσµα λ a τέτοιο ώστε: (α) ο µ ορροπο του a, οταν λ > λ a = αντιρροπο του a, οταν λ < (β) λ a = λ a ιάνυσµα θέσης-καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Ορισµός Έστω Ο είναι ένα σταθερό σηµείο και Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο Τότε το διάνυσµα Ο Μ καλείται διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ ή διανυσµατική ακτίνα του σηµείου Μ Ορισµός Έστω ευθεία x x Εκλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο ως αρχή και ένα σηµείο Ι ώστε το διάνυσµα OI = i να είναι µοναδιαίο Τότε η ευθεία x x καλείται άξονας

3 Με αυτό τον τρόπο ορίζουµε µια - αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων της ευθείας x x και του συνόλου των πραγµατικών αριθµών ως εξής: Αν Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο του άξονα x x, τότε υπάρχει x : OM = x i και το x είναι µοναδικό διότι αν υπήρχε x x τέτοιο ώστε OM = x i θα έπρεπε να ισχύει: ηλαδή έχουµε: ( x x ) i = x = x και γράφουµε Μ ή Μ(x) έχοντας στο µυαλό µας ότι το σηµείο Μ έχει διάνυσµα θέσης Ο Μ και τετµηµένη x Ορισµός Στο επίπεδο θεωρούµε κάθετους άξονες µε κοινή µονάδα µέτρησης που τέµνονται σε σηµείο Ο το οποίο θεωρούµε ως κοινή αρχή τους Ένα τέτοιο σύστηµα καλείται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Έστω i και j είναι τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων όπως φαίνονται στο κάτωθι σχήµα: Αν Μ τυχαίο σηµείο του επιπέδου τότε x, y : ΟΜ = OA + AM = OA + OB = x i+ y j, άρα σε κάθε σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών ( x, y ), διότι αν υπήρχε και άλλο ζεύγος ( x, y ) τέτοιο ώστε ΟΜ = x i + y j τότε θα έπρεπε: x x i = y y j, το οποίο είναι άτοπο, διότι η παραπάνω ισότητα υπονοεί ότι τα διανύσµατα i και j είναι παράλληλα πράγµα που δεν ισχύει Εχουµε λοιπόν µία - αντιστοιχία:

4 Στο εξής θα γράφουµε M = OM = ( x, y) και θα εννοούµε ότι: στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών x, y το οποίο καλούµε καρτεσιανές συντεταγµένες του σηµείου Μ, στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διάνυσµα, το διάνυσµα θέσης OM Ορισµός 4 Συµβολίζουµε µε x, y : x, y ηλαδή το σύνολο όλων των διατεταγµένων ζευγών {( x, y) : x, y } = Ο παραπάνω ορισµός γενικεύεται και για > : {( x, x ): xi, i,, } = = Αν ( x, x ) και (,, ) είναι ίσα, συµβολικά ( x, x ) ( y,, y ) y y είναι δυο στοιχεία του = αν και µόνον αν λέµε ότι τα στοιχεία αυτά x = y, x = y,, x = y Οι χώροι Εφοδιάζουµε το σύνολο µε τις ακόλουθες πράξεις: Πρόσθεση: Έστω ( a, a,, a ), B ( b, b,, b ) στοιχεία του Α = = είναι δύο Ορίζουµε το άθροισµα αυτών ως εξής: ( a, a,, a ) ( b, b,, b ) ( a b,, a b ) + = + + Προφανώς ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: A + B = B + A ( A + B) + Γ = A + ( B + Γ ) A + O = A, O = (,,,) µοναδικο σηµ ειο B : A + B = O 4

5 Η πράξη της πρόσθεσης που ορίσαµε αντιστοιχεί γεωµετρικά στη συνήθη πρόσθεση των διανυσµάτων θέσης OA και OB των σηµείων Α και Β όπως την περιγράψαµε παραπάνω Γινόµενο αριθµού λ µε στοιχείο A ( a a ) Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: =,, : ( a,, a ) ( a,, a ) λ = λ λ ( λ µ ) A = λ ( µ A) ( λ µ ) λ µ λ λ λ A = A, = (,,) + A = A + A A + B = A + B Η παραπάνω πράξη αντιστοιχεί γεωµετρικά στο γινόµενο αριθµού µε διάνυσµα λ OA όπως την περιγράψαµε παραπάνω Ορισµός Το σύνολο εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις καλείται διανυσµατικός χώρος και τα στοιχεία του καλούνται διανύσµατα Αν A ( a a a ) =,,,, τότε: (,, ) (,,, ) (,,,, ) (,,, ) A = a a a = a + a + + a (,,, ) (,,,, ) (,,,) = a a a = a e + a e + + a e, όπου e i =,,,, Στο εξής λέµε ότι το σύνολο διανυσµάτων i θεση e,, e είναι µια βάση του χώρου το οποίο σηµαίνει ότι : { } (a) τα διανύσµατα,, e e ικανοποιείται η σχέση: είναι γραµµικώς ανεξάρτητα, δηλαδή λ e + + λ e = λ = = λ =, µε άλλα λόγια το σύστηµα εξισώσεων λ e + + λ e = έχει µοναδική λύση τη µηδενική λ = = λ = και 5

6 (b) τα διανύσµατα,, e e παράγουν το χώρο, δηλαδή κάθε διάνυσµα (,, OA = a a ) γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του συνόλου E { e,, e } = µέσω της σχέσης OA = λ e + λ e + + λ e, ( λ i ), όπου η διατεταγµένη νιάδα αριθµών ( λ,, λ ) καλούνται συντ/νες του σηµείου Α ως προς τη βάση Ε Γενικά Αν,, a ak είναι k το πλήθος διανύσµατα του χώρου, τότε: Κάθε διάνυσµα της µορφής λ a + λ a + + λ k a k, λ i καλείται γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων,, a ak Τα,, a ak καλούνται γραµµικώς ανεξάρτητα αν λ a + + λ a = λ = = λ =, k k k δηλαδή το σύστηµα εξισώσεων λ e + + λ e = έχει µοναδική λύση τη µηδενική λ = = λ =, αλλιώς τα,, a ak καλούνται γραµµικώς εξαρτηµένα, δηλαδή κάποιο απ αυτά µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων Αν τα,, a ak είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα του, τότε αποδεικνύεται ότι τα,, a ak αποτελούν µία βάση του αν και µόνον αν k = ηλαδή µόνον -το πλήθος γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου αποτελούν µία βάση του χώρου Σηµειώνουµε ότι ο έχει άπειρο πλήθος βάσεων Αν,, a ak είναι k το πλήθος διανύσµατα του µε k >, τότε αποδεικνύεται ότι τα,, a ak είναι πάντα γραµµικώς εξαρτηµένα Ειδικότερα όσον αφορά το χώρο : 6

7 ύο οποιαδήποτε διανύσµατα του είναι γραµµικώς ανεξάρτητα µεταξύ τους αν και µόνον αν είναι µη παράλληλα Συνεπώς οποιαδήποτε δύο παράλληλα διανύσµατα του είναι γραµµικώς εξαρτηµένα και αντιστρόφως Σηµειώνουµε ότι αν OA = ( a, a ) και OB = ( b, b ) είναι δύο διανύσµατα του, τότε OA // OB a b = Κατ επέκταση, τα διανύσµατα OA, OB προκειµένη περίπτωση αποτελούν και βάση του a b είναι γραµµικώς ανεξάρτητα (και στην ) αν και µόνον αν a a b b Σ αυτή την περίπτωση κάθε σηµείο Χ του αναλυθεί κατά µοναδικό τρόπο ως όπου το διατεταγµένο ζεύγος (, ) βάση { OA, OB} του OX = x OA + y OB µε διάνυσµα θέσης OX µπορεί να x y αποτελεί τις συντ/νες του σηµείου Χ ως προς τη Σηµειώνουµε ότι τρία και πλέον διανύσµατα του εξαρτηµένα είναι πάντοτε γραµµικώς όσον αφορά το χώρο : Oποιαδήποτε ΥΟ µη παράλληλα διανύσµατα του είναι γραµµικώς ανεξάρτητα µεταξύ τους (δεν αποτελούν όµως µία βάση του ) και αντιστρόφως (,, ), (,, ) είναι δύο διανύσµατα του χώρου Αν OA = a a a OB = b b b τότε OA // OB OA OB = (βλέπε εξωτ γινόµενο παρακάτω), Κατ επέκταση, τα διανύσµατα OA, OB είναι γραµµικώς ανεξάρτητα αν και µόνον αν OA OB Oποιαδήποτε ΤΡΙΑ µη συνεπίπεδα διανύσµατα του είναι γραµµικώς ανεξάρτητα µεταξύ τους και συνεπώς αποτελούν µία βάση του Αν OA = ( a, a, a), OB = ( b, b, b), O Γ = ( γ, γ, γ ), τότε τα διανύσµατα OA, OB, OΓ είναι γραµµικώς ανεξάρτητα αν και µόνον αν 7

8 a a a b b b γ γ γ Σ αυτή την περίπτωση κάθε άλλο διάνυσµα OX του µπορεί να αναλυθεί κατά µοναδικό τρόπο ως όπου η διατεταγµένη τριάδα (,, ) βάση { OA, OB, OΓ} OX = x OA + y OB + z OΓ του x yz αποτελεί τις συντ/νες του σηµείου Χ ως προς τη Σηµειώνουµε ότι τέσσερα και πλέον διανύσµατα του εξαρτηµένα είναι πάντοτε γραµµικώς 4 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων είναι δύο Καλούµε εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και b Oρισµός 4 Έστω a = ( a, a,, a ), b = ( b, b,, b ) διανύσµατα του χώρου τον αριθµό ab = ab= ab+ ab+ + ab k = i i Εύκολα βλέπουµε ότι ισχύουν oι ακόλουθες ιδιότητες: a b = b a ( a + b) c = a c + b c λ ( a b) = a ( λ b) = ( λ a) b a = a a Εφόσον a, έχει νόηµα η ποσότητα a = a a = a + a + + a, οπότε µπορούµε να ορίσουµε µία νέα συνάρτηση ως εξής: Oρισµός 4 Αν a = ( a, a,, a ), τότε καλούµε µέτρο (ή νόρµα) του a τον αριθµό a = a = a + + a 8

9 Το µέτρο του a ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: a, λ a = λ a, a b a + b a + b Το µέτρο διανύσµατος a αποτελεί τη γενίκευση της έννοιας της απόλυτης τιµής Με τη βοήθεια του µέτρου µπορούµε να ορίσουµε την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων Α και Β ως εξής: Oρισµός 4 Έστω A ( a, a,, a ), B ( b, b,, b ) = = είναι δύο oποιαδήποτε σηµεία του µε αντίστοιχα διανύσµατα θέσης Ο A και OB Τότε ορίζουµε την απόσταση των σηµείων Α και Β ως εξής: d A, B OB OA b a b a = = ( ) + + ( ) Η απόσταση µεταξύ των σηµείων Α και Β ικανοποιεί τις ιδιότητες: (, ) = = (, ) = (, ) (, ) (, Γ ) + (, Γ ) d A B A B d A B d B A d A B d A d B Oρισµός 44 Ο διανυσµατικός χώρος καλείται ευκλείδειος χώρος εφοδιασµένος µε εσωτερικό γινόµενο Πρόταση Το εσωτερικό γινόµενο ab ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση: Παρατηρήσεις: a b = a b ab = a b συν a b (, ) a b = ± a b a // b H βάση { e,, e} κανονική βάση του του χώρου όπου e i =,,,, καλείται i θεση και ικανοποιεί τις σχέσεις ei = i και ei ej i j Ορισµός 45 (Ορθογώνια προβολή διανύσµατος) Έστω a, b είναι τα διανύσµατα θέσης δύο σηµείων Α και Β Ορίζουµε ως προβολή του διανύσµατος a πάνω στο 9

10 διάνυσµα b, συµβολικά ακόλουθο σχήµα: π ροβ a b να είναι το διάνυσµα OK όπως φαίνεται στο Σχήµα : προβ a = O K b ab Πρόταση Ισχύει ότι: προβ a = b b b Απόδειξη: Aπό το σχήµα φαίνεται ότι c : Ο Κ = c b, άρα: Ο A = ΟΚ + ΚΑ ΟA b = ΟΚ + ΚΑ b = ΟΚ b a b = c b b = c b c = a b b Έστω τώρα a = ae + + a e είναι το ανάπτυγµα του διανύσµατος a προς την κανονική βάση του χώρου Τότε: ως a i a ei = ai a ei συν ( a, ei) = ai συν ( a, ei) = a Τα ( ae, i ) συν κατεύθυνση e i, ισχύει δε: καλούνται συνηµίτονα κατεύθυνσης του διανύσµατος a ως προς την συν a, e + + συν a, e = ( ), διότι το µοναδιαίο διάνυσµα a ( a,, a ) ( = = = συν, ),, συν (, ) a a c a e a e = = προφανώς ικανοποιεί την ισότητα: ( c συν a, ei ) i =

11 5 Εξωτερικό και µικτό γινόµενο στο χώρο Το εξωτερικό γινόµενο ορίζεται µόνον στο χώρο Ορισµός 5 Έστω { e, e, e} είναι η συνήθης κανονική βάση του Εάν a = ( a, a, a ), b = ( b, b, b) είναι δύο διανύσµατα του, ορίζουµε ως εξωτερικό γινόµενο αυτών το διάνυσµα : e e e a b = a a a, b b b όπου η ορίζουσα αν και δεν έχει τη γνωστή έννοια αφού η πρώτη γραµµή είναι διανύσµατα και όχι αριθµοί, εν τούτοις χρησιµοποιείται ως ένας καλός µνηµονικός κανόνας, µε τη σύµβαση η ορίζουσα να αναπτύσσεται πάντα ως προς την πρώτη γραµµή Ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: Το διάνυσµα a ( b c) διανυσµάτων a, b, c a b = b a λ a b = a λ b = λ a b a b + c = a b + a c a b = a b a b Ισχύει δε (ή το a b c ) καλείται δισ-εξωτερικό γινόµενο των a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ( a b) c= ( a c) b ( c b) a Πρόταση ύο διανύσµατα του χώρου είναι γραµµικώς εξαρτηµένα αν και µόνον αν a b = Έστω a, b είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου Τότε το εξωτερικό γινόµενο a b είναι διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα a και b µε κατεύθυνση τέτοια ώστε το σύνολο{ a, b, a b} να αποτελεί µια δεξιόστροφη βάση του δηλαδή τα διανύσµατα a, b, a b ικανοποιούν το κανόνα τον τριών δακτύλων του δεξιού χεριού Αν η δεξιά παλάµη δείχνει στην κατεύθυνση του a και στρίψουµε την παλάµη στην κατεύθυνση του b (κατά µήκος της γωνίας µεταξύ των a και b ), τότε ο αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση του a b

12 a b = a b ηµ ( a, b ) O θετικός αριθµός a b ισούται µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου µε πλευρές τα διανύσµατα a και b Ορισµός 5 Μικτό γινόµενο µιας διατεταγµένης τριάδας διανυσµάτων a = a, a, a b = b, b, b, c = c, c, c καλείται ο αριθµός, a a a [ a, b, c] = a ( b c) = b b b c c c Πρόταση 4 Το µικτό γινόµενο είναι αναλλοίωτο ως προς την κυκλική µετάθεση των a, b, c δηλαδή a, b, c = b, c, a = c, a, b Iσοδύναµα a b c = b c a = c a b Το µικτό γινόµενο είναι αναλλοίωτο ως προς την εναλλαγή εσωτερικού και εξωτερικού γινόµενου, δηλαδή: a b c = a b c Τα a, b, c είναι γραµµικώς εξαρτηµένα αν και µόνον αν a, b, c = Κατά συνέπεια τα a, b, c αποτελούν βάση του αν και µόνον αν a, b, c Εάν a, b, c > a, b, c διαφορετικά αποτελεί αριστερόστροφη βάση Ο θετικός αριθµός a, b, c πλευρές τα διανύσµατα a, b, c τότε το σύνολο { } 6 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες στο χώρο αποτελεί δεξιόστροφη βάση του ισούται µε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου µε Εστω (x,y,z) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου Ρ Τότε ορίζουµε µία - αντιστοιχία: ( x, yz, ) ( ρθ,, z), όπου:

13 ρ = OA είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης OA της ορθογώνιας προβολής Α του σηµείου Ρ = (x,y,z) πάνω στο επίπεδο των x, y θ [, π ) είναι η γωνία µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Οx και του διανύσµατος OA H τρίτη συντεταγµένη z παραµένει αµετάβλητη Η διατεταγµένη τριάδα ( ρθ,,z) καλείται κυλινδρικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ Καλείται έτσι διότι για ρ=σταθερό και z ±, σχηµατίζεται κύλινδρος µε άξονα συµµετρίας τον άξονα των z Εάν είναι γνωστές οι κυλινδρικές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες από τις σχέσεις: x = ρ συνθ y = ρ ηµθ z = z Aντιστρόφως εάν είναι γνωστές οι καρτεσιανές συντεταγµένες τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις κυλινδρικές συντεταγµένες από τις σχέσεις: ρ = x + y y εφθ =, x x Συνήθως χρησιµοποιούµε αυτό το µετασχηµατισµό συντεταγµένων όταν έχουµε σχήµα συµµετρικό ως προς ευθεία Σφαιρικές συντεταγµένες Εστω (x,y,z) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου Ρ, ορίζουµε µία - αντιστοιχία: ( xyz,, ) ( rθφ,, ), όπου: r = OP είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης OP του σηµείου Ρ = (x,y,z)

14 θ [, π ) είναι η γωνία µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Οx και του διανύσµατος OA, όπου Α είναι η προβολή του σηµείου Ρ πάνω στο επίπεδο των x, y φ π είναι η γωνία µεταξύ του ηµιάξονα Oz και του διανύσµατος θέσης OP Η διατεταγµένη τριάδα ( r, θφ, ) καλείται σφαιρικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ Καλείται έτσι διότι για r=σταθερό σχηµατίζεται σφαίρα µε κέντρο την αρχή των αξόνων Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα µε χρήση στοιχειώδους τριγωνοµετρίας σε ορθογώνια τρίγωνα υπολογίζουµε: z συνφ = z = r συνφ r OA ηµφ = OA = r ηµφ r Εάν καλέσουµε θ τη γωνία µεταξύ του ηµιάξονα Ο x και του διανύσµατος ΟΑ όπου Α είναι η προβολή του σηµείου Ρ πάνω στο επίπεδο των x, y, τότε: οπότε: x συνθ = x = ΟΑ συνθ = r συνθ ηµφ ΟΑ y ηµθ = y = ΟΑ ηµθ = r ηµθ ηµφ ΟΑ x = r συνθ ηµφ y = r ηµθ ηµφ z = r συνφ Ετσι εάν είναι γνωστές οι σφαιρικές συντεταγµένες τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες από τις παραπάνω σχέσεις Aντιστρόφως, εάν είναι γνωστές οι καρτεσιανές συντεταγµένες τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις σφαιρικές συντεταγµένες από τις σχέσεις: r = x + y + z y εφ ( θ ) =, ( x ) x z z συν ( φ) = =, + + r x + y + z ( x y z ) Συνήθως χρησιµοποιούµε αυτό το µετασχηµατισµό συντεταγµένων όταν έχουµε σχήµα συµµετρικό ως προς σηµείο 4

15 7 Παράλληλη µεταφορά και στροφή συστήµατος συντ/νων 7 Παράλληλη µεταφορά Εστω Oxy είναι καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων και c= { c, c } δοθέν διάνυσµα Εστω AXY είναι ένα νέο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων που προκύπτει µε παράλληλη µεταφορά του Oxy κατά το διάνυσµα c= OA όπως στο σχήµα: Aν ( x, y ) και (, ) X Y είναι οι συντεταγµένες σηµείου Μ ως προς τα συστήµατα Oxy και AXY αντιστοίχως τότε από το παραπάνω σχήµα προκύπτει εύκολα η ακόλουθη σχέση: x = c + X y = c + Y 7 Στροφή συστήµατος συντεταγµένων στον Εστω { a, a} είναι µια ορθοκανονική βάση του (δηλαδή a a και τα a, a είναι µοναδιαία) που ορίζει καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ο xy και { b, b} είναι µια άλλη βάση του που προκύπτει µε στροφή της { a, a} κατά γωνία θ µε τη θετική φορά και ορίζει καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ο x y όπως στο σχήµα: Aν ( x, y ) και (, ) και { b, b} X Y είναι οι συντεταγµένες σηµείου Μ ως προς τις βάσεις { a, a} αντιστοίχως τότε έχουµε: 5

16 a x a+ y a = a X b+ Y b x a+ y a = X b+ Y b a x a+ y a = a X b+ Y b x a + y a a = X a b + Y a b y a + x a a = X a b + Y a b π x= X a b συνθ + Y a b συν + θ π y = X a b συν θ + Y a b συνθ x= X συνθ Y ηµθ y = X ηµθ + Y συνθ Η τελευταία γράφεται και υπό µορφή πίνακα ως εξής: x συνθ ηµθ X y = ηµθ συνθ Y συνθ ηµθ O πίνακας A = ηµθ συνθ καλείται και ως πίνακας στροφής ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποια από τα διανύσµατα PQ και AB είναι παράλληλα; (α) P= (, ), Q= ( 4, ), Α= (, 5), Β = ( 7,) (β) P= (, 4 ), Q= (, 5 ), Α = ( 5, 7), Β = ( 9,) Υπάρχουν ίσα διανύσµατα PQ, AB; Υπάρχουν κάθετα διανύσµατα της παραπάνω µορφής; = = Ισχύει Λύση: (α) Προφανώς: PQ (, 4 ), ΑΒ ( 8, 4) 4 PQ // ΑΒ 8 4 = Εφόσον 4 = = , τα PQ, AB είναι µη παράλληλα 6

17 PQ ΑΒ διότι οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους δεν είναι ίσες PQ ΑΒ PQ ΑΒ= Εφόσον PQ ΑΒ = ( 4) = 4 6 = 8 PQ, AB δεν είναι κάθετα Οµοια εργαζόµαστε για την περίπτωση (β) τα Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου µε κορυφές Α = (,,), Β = (,, 5), Γ = (, 4, 4) ΑΒ= = (,, 5 ) (,, 6) Λύση: άρα: ΑΓ = = (, 4 ( ), 4 ) (,, 5) ΑΒ ΑΓ συνϑ = = ΑΒ ΑΓ ( ) , ( ) 6 ( 5) = = = Όµοια υπολογίζονται και οι υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου Έστω a, (α) b είξτε ότι: a+ b = a + b + a b (β) Λύση: (α) a+ b = ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b) a + b + a b = a + b a a b b a b a b a b = = + + (β) Εργαζόµαστε όπως στην (α) και αποδεικνύουµε ότι: a b = a + b a b Tελικά: a+ b + a b = a + b 4 είξτε ότι a + c b a c αν και µόνον αν a b Λύση: Aρχικά υποθέτουµε ότι a b Τότε: 7

18 a+ c b = a + c b + c a b = a + c b a, άρα: a+ c b a Αντιστρόφως έστω ότι a+ c b a c και έστω ότι ab > Τότε: a+ c b a a + c b + c a b a c b + c a b Θέλουµε η τελευταία ανισότητα της παραπάνω σχέσης να ισχύει c Παρατηρούµε όµως ότι ισχύει πάντοτε c, ενώ για c < ισχύει µόνον όταν ab c b Καταλήξαµε σε άτοπο διότι υποθέσαµε εξ αρχής ότι η ανισοισότητα a + c b a ισχύει c Αν υποθέσουµε ότι ab < και εργασθούµε ακριβώς µε την ίδια λογική πάλι καταλήγουµε σε άτοπο Αναγκαστικά λοιπόν ισχύει: a + c b a c a b = a b 5 Αν uvw,, είναι γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του δείξτε ότι και τα διανύσµατα u+ v+ 4 w,v+ 5 u+ w,u+ w είναι επίσης γραµµικώς ανεξάρτητα Λύση: Έστω k, λ, µ τέτοια ώστε Τότε k u+ v+ w + v+ u+ w + u+ w = ( 4 ) λ ( 5 ) µ ( ) k+ + u+ k+ v+ k+ + w= ( 5λ µ ) ( λ) ( 4 λ µ ) Επειδή τα uvw,, είναι γραµµικώς ανεξάρτητα από τον ορισµό όλοι οι συντελεστές της τελευταίας σχέσης οφείλουν να είναι µηδέν, οπότε πρέπει k + 5λ + µ = k+ λ = k = λ = µ = 4k + λ + µ = Το σύστηµα αυτό είναι οµογενές σύστηµα Επειδή η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων ικανοποιεί την 5 = 6 4 8

19 συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση τη µηδενική k = λ = µ = Άρα τα u+ v+ 4 w,v+ 5 u+ w,u+ w είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται P (, ), Q ( 4, ), Α (, 5) Β ( 7,) = = =, = Είναι τα διανύσµατα PQ και AB (i) παράλληλα, (ii) ίσα, (iii) κάθετα µεταξύ τους; (iv) Αποτελούν τα PQ και AB βάση του επιπέδου; (v) Aν ναι υπολογίστε τις συντεταγµένες του σηµείου Α=(,) ως προς τη βάση αυτή Απάντ (i) Oχι (ii) Oχι, (iii) Oχι, (iv) Ναι, k=/, λ=/44 είξτε ότι τα διανύσµατα a = (,,) και b = (,,) Βρείτε διάνυσµα c abc,, να είναι βάση του χώρου ώστε το σύνολο { } Υπολογίστε τη γωνία µεταξύ των ab, Απάντ c = (,6, ) δεν είναι συγγραµικά, συνθ = Αν { e, e, e} είναι η κανονική βάση του χώρου δείξτε ότι τα διανύσµατα a= e e e, b= e e και c= e+ e e σχηµατίζουν ορθογώνιο τρίγωνο Στη συνέχεια να υπολογίσετε το εµβαδόν του µε χρήση εξωτερικού γινοµένου Απάντ Ε= 84 / 4 Αν { e, e, e} στα a= e+ e e είναι η κανονική βάση του χώρου, b= e e + e 55 βρείτε διάνυσµα κάθετο µέτρου 5 Απάντ ± 5,, 5 είξτε ότι τα διανύσµατα a+ b, a b είναι κάθετα αν και µόνον αν τα a, b έχουν το ίδιο µέτρο 6 είξτε ότι οι διαγώνιοι τετραγώνου τέµνονται κάθετα 7 Εστω a = (, ) Βρείτε b= ( x, y) ώστε b a και b = 5 Απάντ b = ±(,) 8 Να βρεθεί µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσµατα 6 6 a= (, 6, ), b= (4,, ) Απάντ c =(,, ) ή c = (,, ) είξτε ότι a ( b c) + b ( c a) + c ( a b) = 9

20 ίνονται τα διανύσµατα a= (,,), b= (,,), c= (,,) είξτε ότι τα abc,, δεν είναι συνεπίπεδα Ποιος ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε πλευρές τα abc,, ; Aπάντ V = 4 Ορίστε διάνυσµα r από την εξίσωση r = a+ b r, όπου ab, είναι γνωστά a+ b a κάθετα µεταξύ τους διανύσµατα Aπάντ r = + b Αν abc,, είναι µη συνεπίπεδα και αν b c c a a b a =, b =, c =, [ abc,, ] [ abc,, ] [ abc,, ] δείξτε ότι (i) a a = b b = c c = και (ii) [ a, b, c][ a, b, c ] = ίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ (O A B Γ) ώστε OA = a, OΓ= b και Γ B = a / Εάν Μ είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων, να δειχθεί ότι a OM = b + 4 είξτε ότι τα διανύσµατα abc,, αποτελούν µία βάση του αν και µόνον αν τα a b, b c, c a αποτελούν µία βάση του 5 Αν Μ=(,,-) ως προς καρτεσιανό σύστηµα αξόνων να βρεθούν οι κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες του Οµοίως εάν (,π/,π/4) είναι οι σφαιρικές συντ/νες σηµείου Μ να υπολογίσετε τις καρτεσιανές συντ/νες του 6 Εξετάστε αν τα στοιχεία (,,,),(,,,),(,,,) είναι γραµµικά 4 ανεξάρτητα στον Απάντ Είναι γραµµικά εξαρτηµένα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εξισώσεις ευθείας και επιπέδου στο χώρο Εξισώσεις ευθείας στον : Εστω ABΓ,, Τότε η γενική εξίσωση ευθείας στον Eάν B τότε η παραπάνω γράφεται ως Ax + By +Γ=, A + B A y = Γ x B B είναι A και ο αριθµός λ = καλείται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας B Αν (ε ) και (ε ) είναι δύο ευθείες µε εξισώσεις Ax + By +Γ = και Ax+ +Γ = αντιστοίχως, τότε By οι ευθείες (ε ) και (ε ) τέµνονται σε σηµείο αν και µόνον αν οι (ε ) και (ε ) είναι παράλληλες ή συµπίπτουν αν και µόνον αν Ισοδύναµα αν B και B τότε A B A B, A B A B = (ε )//(ε ) αν και µόνον αν λ = λ, όπου λ, λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης αυτών και (ε ) (ε ) αν και µόνον αν λλ = Η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σηµεία A=(x,y ) και Β=(x,y ) δίνεται από τη σχέση y y y y = ( x x) x x Η απόσταση σηµείου Μ=(x,y ) από ευθεία (ε) µε εξίσωση Ax + By +Γ= είναι d = Ax + By +Γ A + B

22 Ορισµός Το σύνολο των ευθειών ενός επιπέδου που διέρχεται από το ίδιο σηµείο καλείται επίπεδη δέσµη ευθειών Αν το σηµείο τοµής είναι πεπερασµένο τότε η δέσµη καλείται κεντρική, ενώ αν το σηµείο τοµής είναι το επ άπειρον σηµείο τότε η δέσµη καλείται παράλληλη Εάν Ax + By +Γ = και Ax + By +Γ = είναι οι εξισώσεις δύο ευθειών (ε ) και (ε ) αντιστοίχως τότε η δέσµη που ορίζεται από αυτές δίνεται από τη σχέση Ax+ By+Γ + λ Ax+ B y+γ = λ, Εξισώσεις ευθείας στο χώρο : Για να έχουµε εποπτική παράσταση θα εργασθούµε στο χώρο αποτελέσµατα γενικεύονται και στο χώρο, > αλλά τα Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σηµείο A και είναι παράλληλη προς διάνυσµα b Έστω A = ( a, a, a ) είναι γνωστό σηµείο του και b= ( b, b, b) είναι γνωστό διάνυσµα Καλούµε ευθεία που διέρχεται από το σηµείο A και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα b να είναι το σύνολο των σηµείων X = ( xyz,, ) που ικανοποιούν τη σχέση: OX = OA + AX Εφόσον τα διανύσµατα AX και b είναι συγγραµικά µπορούµε να γράψουµε OX = OΑ + t b, t κι έτσι παίρνουµε τη διανυσµατική εξίσωση ευθείαςαπό τη διανυσµατική εξίσωση της ευθείας προκύπτουν άµεσα οι παραµετρικές εξισώσεις ευθείας OX = OΑ + t b x y z = a a a + t b b b (,, ) (,, ) (,, ) x = a + t b y = a + t b, t z = a + t b Εάν bi i, τότε απαλείφοντας το t σε κάθε µία από τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουµε τις συµµετρικές εξισώσεις ευθείας:

23 x a y a z a b b b = = Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σηµεία A ( a, a, a ) B = ( b, b, b ) = και Στην περίπτωση αυτή η ευθεία διέρχεται πχ από το σηµείο A ( a, a, a ) = και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα AB οπότε αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση Συνεπώς η διανυσµατική εξίσωση ευθείας είναι OX = OΑ + t ΑB, t, ενώ οι παραµετρικές εξισώσεις ευθείας είναι: x = a + t b a y = a + t b a, t z = a + t b a Oρισµός Γωνία ϕ µεταξύ δυο ευθειών ( ε ) και ε καλούµε τη µικρότερη γωνία µεταξύ δύο οποιονδήποτε διανυσµάτων τους a, b αντιστοίχως Αρα: π Προφανώς ισχύει ϕ συνϕ = ab a b Απόσταση σηµείου από ευθεία Εστω ευθεία (ε) που διέρχεται από σηµείο A ( a, a, a ) προς διάνυσµα b= ( b, b, b ) = και είναι παράλληλη και Μ=(x,y,z) είναι σηµείο εκτός της ευθείας (ε) Τότε αν σχηµατίσουµε το παραλληλόγραµµο ΑΜΛΚ µε πλευρές τα διανύσµατα A M και AΛ = b (θεωρούµε την AΛ ως βάση του παρ/µου) µπορούµε να υπολογίσουµε την απόσταση d του σηµείου Μ από την ευθεία (ε) ως εξής: E = AM b = b d d = AM ΛΚ AM b b 4 Σχετικές θέσεις δύο ευθειών Θεωρούµε δύο ευθείες µε διανυσµατικές εξισώσεις:

24 OX = OA + t a, t, OX = OB + t b οι οποίες διέρχονται από σηµεία Α και Β και είναι παράλληλες σε διανύσµατα a και b αντιστοίχως Οι ευθείες αυτές µπορεί να είναι: ασύµβατες (δηλαδή µη συνεπίπεδες) ή συνεπίπεδες Στην περίπτωση αυτή οι ευθείες είτε τέµνονται σε σηµείο, είτε είναι παράλληλες, είτε συµπίπτουν Ειδικότερα: Οι ευθείες είναι ασύµβατες αν και µόνον αν AB, a, b (µικτό γινόµενο) Οι ευθείες είναι συνεπίπεδες αν και µόνον αν AB, a, b = Τότε: οι ευθείες τέµνονται σε σηµείο αν και µόνον αν a b, ενώ οι ευθείες είναι παράλληλες ή συµπίπτουν αν και µόνον αν a b= Αναφέρουµε ότι η απόσταση d µεταξύ δύο ασυµβάτων ευθειών είναι d = AB, a, b a b Εξισώσεις επιπέδου στο χώρο Έστω P = ( x, y, z ) και ON = ( A, B, C) είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου N Καλούµε επίπεδο που διέρχεται από το P και είναι κάθετο στο διάνυσµα ON να είναι το σύνολο των σηµείων X = ( x, y, z) που ικανοποιούν τη σχέση PP ON = Η παραπάνω καλείται διανυσµατική εξίσωση επιπέδου και µπορεί να γραφεί ως εξής: P P ON = OP OP ON = x x A+ y y B+ z z Γ = ( Γ ) Ax + By + Γ z Ax + By + z = D 4

25 Ax + By + Γ z + D = (αναλυτική εξίσωση επιπέδου) Το διάνυσµα ON καλείται κανονικό διάνυσµα του επιπέδου Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σηµείο P =(x,y,z ) και είναι παράλληλο προς δυο µη συγγραµικά διανύσµατα a = ( a, a, a ) και b = b, b, b Εφόσον τα διανύσµατα a και b είναι µη συγγραµικά είναι γνωστό ότι το εξωτερικό τους γινόµενο a b είναι διάνυσµα κάθετο στα διανύσµατα a και b, οπότε αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση µε ON = a b Αρα η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου είναι η PX a b = και από τον τύπο του µικτού γινοµένου προκύπτει η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου:, x x y y z z a a a b b b = Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία µη συνευθειακά σηµεία A a, a, a B b, b, b Γ = c, c, c =, = και Εστω Μ=(x,y,z) είναι σηµείο του επιπέδου Τότε τα διανύσµατα AB και AΓ είναι µη συγγραµικά οπότε αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση και η εξίσωση του επιπέδου δίνεται από τη σχέση x a y a z a b a b a b a = c a c a c a Ενας άλλος τύπος που δίνει την αναλυτική εξίσωση του επιπέδου είναι: x y z a a a b b b c c c = Παραµετρικές εξισώσεις επιπέδου που διέρχεται από σηµείο Ρ και είναι παράλληλο προς δυο µη συγγραµικά διανύσµατα a και b 5

26 Εστω a και b είναι δύο µη συγγραµικά διανύσµατα του επιπέδου Εφόσον το σύνολο { aba,, b} αποτελεί µία βάση του κάθε διάνυσµα PP όπου Ρ,Ρ σηµεία του επιπέδου γράφεται ως εξής: PP = k a+ λ b+ µ ( a b), k, λ, µ, oπότε = PP ( a b) = + + µ a b µ =, άρα: x= x + k a+ λ b PP = k a+ λ b ΟΡ= OP + k a+ λ b y = y + k a + λ b, k, λ z = z + k a + λ b Οι παραπάνω καλούνται παραµετρικές εξισώσεις επιπέδου Oρισµός Γωνία ϕ µεταξύ δυο επιπέδων Ε και Ε καλούµε τη µικρότερη γωνία µεταξύ των αντιστοίχων κανονικών διανυσµάτων τους ON και ON Η γωνία ϕ υπολογίζεται από τη σχέση: π Προφανώς ϕ 4 Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων συνϕ = ON ON ON ON Εστω δύο επίπεδα E και E µε εξισώσεις Ax + By +Γ z+ = Ax+ By+Γ z+ = Tότε A B Γ E // E αν και µόνον αν = = A B Γ A B Γ E,E συµπίπτουν αν και µόνον αν = = = A B Γ Τα E και E τέµνονται κατά µήκος ευθείας αν και µόνον αν Ο N ΟN O, όπου ΟN, ΟN είναι τα κανονικά διανύσµατα των E και E αντιστοίχως 5 Απόσταση σηµείου από επίπεδο Εστω επίπεδο Ε µε εξίσωση Ax + By +Γ z + = και ON = ( A, B, Γ) το κανονικό διάνυσµα αυτού Θεωρούµε σηµείο Μ=(x,y,z ) εκτός του επιπέδου Ε και έστω 6

27 Μ =(x,y,z ) είναι η προβολή του Μ πάνω στο Ε Ορίζουµε d = M M να είναι η απόσταση του σηµείου Μ από το επίπεδο Ε Τότε Απ την άλλη µεριά: d = M M = t ON = t ON = t A + B +Γ MM= ton x x y y z z = t ABΓ (,, ) (,, ) x = x t A y = y t B z = z t Γ (Α) Eφόσον το σηµείο Μ =(x,y,z ) είναι η ορθογώνια προβολή του Μ πάνω στο Ε, το Μ είναι σηµείο του επιπέδου Ε, άρα οι συντ/νες του ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου Ε Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (Α) στην εξίσωση του επιπέδου και µετά από στοιχειώδεις πράξεις βρίσκουµε Αρα: t = A x + B y +Γ z + A d = t A + B +Γ d = + B +Γ A x + B y +Γ z + A + B +Γ 6 έσµη επιπέδων Ορισµός 6 Το σύνολο όλων των επιπέδων που διέρχονται από την ίδια ευθεία καλείται αξονική δέσµη επιπέδων και η ευθεία τοµής καλείται άξονας της δέσµης Εάν Ax + By +Γ z+ = και Ax + By +Γ z+ = είναι οι εξισώσεις δύο επιπέδων (Ε ) και (Ε ) αντιστοίχως, τότε η αξονική δέσµη που ορίζεται από αυτά δίνεται από τη σχέση Ax+ By+Γ z+ + λ Ax+ B y+γ z+ = λ, Ορισµός 6 Το σύνολο όλων των επιπέδων που διέρχονται από το ίδιο σηµείο καλείται κεντρική δέσµη επιπέδων µε κέντρο το κοινό σηµείο τοµής τους Αν Ax + By +Γ z+ =, Ax + By +Γ z+ = και Ax + By +Γ z+ = είναι οι εξισώσεις τριών επιπέδων, τότε η κεντρική δέσµη που ορίζεται από αυτά δίνεται από τη σχέση Ax + By +Γ z+ + λ ( Ax + By+Γ z+ ) + µ ( Ax + By+Γ z+ ) =, λ, µ 7

28 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υπολογίστε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α =,,, Β,, Λύση: Προφανώς AB = (,, 4), oπότε η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα AB είναι η OX = OA + t AB, t Απ αυτήν εύκολα προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας Πράγµατι ( xyz,, ) (,, ) t(,, 4) = + x = t y =, t z = + 4 t Βρείτε την εξίσωση ευθείας στον OA =, και είναι κάθετη σε διάνυσµα που διέρχεται από σηµείο P = ( 5,) Λύση: Eστω a= ( a, a ) είναι ένα οποιοδήποτε διάνυσµα Τότε: a ΟΑ a ΟΑ= a a = a = a Eπιλέγουµε (αυθαίρετα) a = a = οπότε η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη στο διάνυσµα (, ) είναι Ο X =ΟΡ+ t x y = + t (, ) (, ) ( 5, ) (,) απ όπου προκύπτουν εύκολα οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας: x= 5 + t, y = + t t Με απαλοιφή του t παίρνουµε y = x+ 8 Βρείτε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σηµείο ( 4,, ) είναι κάθετο στο διάνυσµα ON = (,, ) Λύση: ΟΝ P = και PX = ΟX ΟP ON = x 4 + y + z+ = 4 y + + z + = x y + z = 4 Nα βρείτε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία,,,,,, 4,, 8

29 Λύση: Από τη θεωρία η ζητούµενη εξίσωση είναι: x y z 4 = x + y + z = 7 5 Εστω Ρ = (,,, 4 ), Q = ( 4,,,), a = (,,,) που διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a (α) Να υπολογισθεί το QX συναρτήσει του t (β) Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Χ τέτοιο ώστε QX (γ) Να δείξετε ότι το διάνυσµα QX είναι κάθετο στην ευθεία L και L είναι η ευθεία είναι ελάχιστο Λύση: (α) Kατ αρχήν θα υπολογίσουµε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας L H συγκεκριµένη ευθεία διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a, άρα εάν X = ( xyzw,,, ) είναι σηµείο της ευθείας L, τότε xt () = + t yt () = + t, zt () = + t wt () = 4+ t t είναι οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας L, συνεπώς: QX = x t + y t + z t + w t ( () 4 ) ( () ) ( () ) ( () ) = + t t + + t + 4+ t = t + 5 (β) Oρίζουµε f () t = t + 5 και υπολογίζουµε το ολικό ελάχιστο αυτής, οπότε: t () t f = και εύκολα βρίσκουµε ότι έχουµε ελάχιστο για t = Κατ επέκταση υπάρχει µοναδικό σηµείο Χ = (,,,4) ώστε QX = 5είναι η ελάχιστη απόσταση του σηµείου Q από την ευθεία L t + 5 (γ) Εχουµε QX = = ( ),,, 4 4,,,,,,, άρα: QX a = QX ( L) 9

30 7 Βρείτε ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως τοµή των επιπέδων: x y+ z= x+ y+ z= Λύση: Έστω x = c, τότε y+ z= c, άρα y + z = c 5 z= 5c z= c, συνεπώς: 5 y= z + c= c+ c = c Τελικά η λύση του συστήµατος είναι η ευθεία µε διανυσµατική εξίσωση: c 5c 5 x, y, z = c,, =,, + c,, 5 άρα το διάνυσµα,, τοµή των δύο επιπέδων είναι παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως 8 Υπολογίστε τη γωνία µεταξύ των επίπεδων x + y + z =, x y z = 5 Λύση: H γωνία µεταξύ δύο επιπέδων ορίζεται ως η µικρότερη γωνία µεταξύ των κανονικών διανυσµάτων τους N, N Προφανώς N = (,, ), N = (,, ), άρα: N N συνϑ = = = ϑ = τοξσυν N N 9 Έστω P = (,, 5 ) και (,,) A = Να ευρεθεί η τοµή της ευθείας από το Ρ στην κατεύθυνση του Α και του επιπέδου x + y z = Λύση: Oι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι: x = t y = + t, t z = 5 + t Οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου και τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας, άρα: ( t) + ( + t) (5 + t) = t = 5, συνεπώς οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής είναι:

31 5 ( ), ( ), ( ) =, +,5 + = 4,, ( x t y t z t ) ( t t t) Να ευρεθεί η εξίσωση του επιπέδου: (α) που διέρχεται από το σηµείο,, και είναι κάθετο στην ευθεία ( ε ) : x = π + t, y = π + 5 t, z = 9t { } (β) που περιέχει τις παράλληλες ευθείες µε εξισώσεις: x y + z 5 = = 4 x + y 4 z = = 4 Λύση: (α) Aπό τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας βρίσκουµε εύκολα ότι το (,5,9) είναι παράλληλο στην ευθεία, οπότε το κανονικό διάνυσµα του διάνυσµα a = επιπέδου είναι το διάνυσµα a και εποµένως η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου είναι: 9 x + y 5+ z 9= x+ 5y+ 9z = (β) Ενα σηµείο της ης ευθείας είναι το P = (,, 5) Υπολογίζουµε δύο σηµεία της ης ευθείας πχ τα P = ( ) και P Το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το, 4, e e e 6,, N = PP PP = = ( 5+ 55) e ( 8+ 5) e+ ( 44 5) e 5 7 = 9e + e 69e = 9,, 69, oπότε η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου είναι: ( x ) ( y ) ( z ) = Είναι τα (,4, ),( 4,, 5 ),( 5,, 8) σηµεία της ίδιας ευθείας; Λύση: Μελετούµε το µικτό γινόµενο των αντιστοίχων διανυσµάτων θέσης των παραπάνω σηµείων:

32 = = ( 4 5) 4 ( 5) + ( 4 5), άρα τα σηµεία είναι µη συνευθειακά αφού τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσης αυτών αποτελούν µία βάση του Nα δειχθεί ότι η ευθεία ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία 5,7,9 x y =, z = 5 είναι παράλληλη προς την Ρ = και Ρ = ( 4,,9) Λύση: Aπό τη θεωρία είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι το διάνυσµα a = (,, ) είναι παράλληλο προς την η ευθεία, ενώ το διάνυσµα ΡΡ = ( 4,,9 ) ( 5,7,9) = (,4, ) είναι παράλληλο προς τη η ευθεία Επειδή a ΡΡ = οι δύο ευθείες είναι παράλληλες Να ευρεθούν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το x y+ P = (,, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία µε εξισώσεις = = z 4 Λύση: Aπό τη θεωρία ένα διάνυσµα παράλληλο στη η ευθεία είναι το ( 4,, ), οπότε η διανυσµατική εξίσωση της ζητούµενης ευθείας είναι η: OX = OP + t ( 4,, ), t και οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι οι ακόλουθες: x = + 4t x = + t, t x = + t 4 Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (, 7,5 ) και (,, ) παράλληλη µε την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (,8,7) και (,,5) Λύση: Υπολογίζουµε δύο διανύσµατα παράλληλα προς τις αντίστοιχες ευθείες: a = = b = = (,, ) (, 7,5) (, 5, 6) (,,5) (,8,7 ) ( 4,, ) Για να είναι οι δύο ευθείες παράλληλες, αρκεί να δείξουµε a b= : είναι

33 e e e = e e + e = ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υπολογίστε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα Α =,,, Β, 5,9 σηµεία Απάντ { x=, y = 5 t, z = + t, t } Yπολογίστε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται απ το σηµείο,, N =,, 4 Ρ = ( ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα Να ευρεθεί η εξίσωση επιπέδου που διέρχεται απ τα σηµεία: Απάντ x+ y 4z = (,, ),(,, ),( 4,, ) Απάντ x + y+ z = 8 4 Να ευρεθεί διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως τοµή των 5 8 επιπέδων + x y z=, x+ y z= 4 Απάντ,, Yπολογίστε τη γωνία µεταξύ των επίπεδων x + y + z = και x y = Απάντ συνθ = 4 6 Έστω Ρ = (,, ) και (,, ) Α = Να ευρεθεί η τοµή της ευθείας από το Ρ στην κατεύθυνση του Α και του επιπέδου x + y z = 4 7 Να ευρεθεί η εξίσωση του επιπέδου: Απάντ Γ= (,, ) (α) που διέρχεται από το σηµείο (,,) και είναι κάθετο στην ευθεία µε παραµετρικές εξισώσεις x = t, y = + t, z = 5t (β) που περιέχει τις παράλληλες ευθείες µε εξισώσεις: x + y z + = = x + y z + = = 4 4 6

34 Απάντ (α) x + y 5z = 7 (β) x + y + z = 4 8 Είναι τα (,, ),(,, ),(, 4, ) σηµεία της ίδιας ευθείας; Απάντ Όχι 9 Έστω διάνυσµα L = (,,) και σηµείο Ρ = (, 4,9) που δεν ανήκει στον φορέα του L Να υπολογίσετε την απόσταση d µεταξύ του σηµείου Ρ και του φορέα του διανύσµατος L Απάντ 86 Να ευρεθεί η απόσταση µεταξύ του σηµείου Ρ = (,, ) και του επιπέδου µε εξίσωση x + y 5z = Απάντ Nα ευρεθεί η εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία Ρ =(,,) και Ρ =(,,) και είναι κάθετο στο επίπεδο 4x y+ z 7= Απάντ y+ z = 7 Να βρεθούν οι συµµετρικές εξισώσεις της ευθείας που περνά από το σηµείο x 5y+ =, x+ z+ = Ρ=(,,) και είναι κάθετη στην ευθεία { } 46( x ) 46( y ) ( z ) Απάντ = = y + ίνεται η ευθεία ε : x = = z και το επίπεδο Π: x+ y 5z+ = Να δειχθεί ότι η ευθεία είναι παράλληλη προς το επίπεδο και στη συνέχεια να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την ευθεία (ε) και είναι κάθετο στο επίπεδο Π Απάντ x 8y+ 5z = 9 4 Nα βρεθεί η απόσταση του σηµείου Ρ=(,,) από την ευθεία που ορίζεται ως η τοµή των επιπέδων x+ y+ z+ 5=, x y+ z+ = Απάντ x- y 5 z 6 y z 6 5 ίνονται οι ευθείες ε : = = και ε : x-= = είξτε ότι είναι ασύµβατες και υπολογίστε τη µεταξύ τους απόσταση Απάντ d = 6 ίνονται οι ευθείες ε : x + = y = z και y+ z ε : x-= = Να λ προσδιορισθεί ο πραγµατικός αριθµός λ ώστε οι ευθείες να είναι ασύµβατες 5 Aπάντ λ 4 d =

35 ΚEΦAΛΑΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Ορισµός Έστω V και W είναι δύο πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι Μια απεικόνιση L : V W καλείται γραµµική εάν ισχύει Ισοδύναµα: L( v+ v) = L( v) + L( v), v, v V L( k v) = k L( v), v V, ( k ) L k v v k L v L v v v V k ( + λ ) = + λ,, (, λ ) Στο εξής αντί να γράφουµε v V θα χρησιµοποιούµε τον απλούστερο συµβολισµό v V Σηµειώνουµε ότι στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µόνον µε πραγµατικούς διανυσµατικούς χώρους V και W πεπερασµένης διάστασης Παραδείγµατα: (α) L : : Lx (, y) = ( x+ y, x y) (β) L: : L( x, y, z) = ( x, x y+ z) (γ) L: : L( x, y, z) = ( x+ y, y+ z, x y z) Ορισµός Μία γραµµική απεικόνιση L: V καλείται γραµµική µορφή Ορισµός Eστω L : V W είναι µία γραµµική απεικόνιση Καλούµε εικόνα L της γραµµικής απεικόνισης να είναι το σύνολο { w w = v v } Im( L) = W: L V και πυρήνα της L το σύνολο { } Ker( L) = v V : L( v ) =, όπου είναι το µηδενικό διάνυσµα του χώρου V Αποδεικνύεται ότι ο πυρήνας Ker( L ) αποτελεί υπόχωρο του V ενώ η εικόνα Ιm(L) αποτελεί υπόχωρο του W Ισχύει δε Μία γραµµική απεικόνιση L: V dimv = dim( Ker( L)) + dim( Im( L)) W καλείται αµφιµονότιµη εάν v, v V ισχύει L( v ) = L( v ) v = v 5

36 Θεώρηµα Μια γραµµική απεικόνιση L : V W είναι αµφιµονότιµη αν και µόνον αν ισχύει Ker( L ) = { } Εάν η L είναι αµφιµονότιµη, τότε τα διανύσµατα v,, v είναι γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του V αν και µόνον αν τα διανύσµατα L( v ),, L( v ) είναι γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του W Ορισµός 4 Αν µια γραµµική απεικόνιση L: V W είναι αµφιµονότιµη τότε υπάρχει η αντίστροφη απεικόνιση L : Im( L) V η οποία είναι επίσης γραµµική απεικόνιση Θεώρηµα Εστω V είναι ένας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος διάστασης και το σύνολο E = { e,, e } είναι µία βάση του χώρου V Μία γραµµική απεικόνιση L: V W καθορίζεται πλήρως από τις τιµές L( e ),, L( e ) Απόδειξη: Εστω v V Τότε υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών v, i =,, (οι συντ/νες του διανύσµατος v ως προς τη βάση Ε) έτσι ώστε i v = ve + + ve Τότε L( v) = L ve + + v e = v L e + + v L e και συνεπώς η L έχει επακριβώς ορισθεί από τις τιµές L L αντίστροφο προκύπτει άµεσα e,, e Το Εστω V και W είναι δυο πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι διάστασης και m µε βάσεις E = { e,, e } και E = { e,, e m} αντιστοίχως και L: V W είναι µια γραµµική απεικόνιση Τότε υπάρχουν πραγµατικοί συντελεστές a, i =,,, j =,, m: Ορισµός 5 O m πίνακας L e = ae + + ame m () L( e) = a e+ + a mem A a a a a a a a a a = m m m του οποίου οι στήλες είναι οι συντ/νες των διανυσµάτων L L e,, e ως προς τη βάση E του χώρου W καλείται πίνακας της γραµµικής απεικόνισης L ως προς τις βάσεις Ε και E, συµβολικά A E E ij 6

37 Aπό τον ορισµό 5, το Θεώρηµα και την () γίνεται σαφές ότι ο πίνακας A E E ορίζει επακριβώς τα διανύσµατα L L A e,, e, άρα ο πίνακας E E καθορίζει τη γραµµική απεικόνιση L µε µοναδικό τρόπο ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Εάν αλλάξουµε τις βάσεις των χώρων µας ο πίνακας που A αντιστοιχεί στην ίδια γραµµική απεικόνιση αλλάζει ηλαδή ο πίνακας E E είναι µοναδικός εφόσον έχουµε καθορίσει εκ των προτέρων τις βάσεις των χώρων µας Εστω v = ( v,, v ), vi, i =,, είναι οι συντ/νες διανύσµατος v V ως προς µία βάση Ε του χώρου V όπως παραπάνω Αν w=l(v) και w=(w,,w m ) ως προς µια βάση Ε του χώρου W, τότε από την () έχουµε w = L( v) = L ve + + v e = v L e + + v L e ( ) ( ) w = v a e + + a e + + v a e + + a e m m m m we + + w e = a v + + a v e + + a v + + a v e, m m m m m οπότε λόγω µοναδικότητας των συντελεστών παίρνουµε: ή ισοδύναµα δηλαδή w = av+ av + + a v, wm = a mv+ amv + amv a a a w v a a a = w v m m am am a m m w v = A E E w m v m, Εάν λοιπόν τα v = ( v v ) και = ( w w ),, w,, m θεωρηθούν ως διανύσµατα-στήλες ως προς τις βάσεις Ε και Ε αντιστοίχως, τότε ο τύπος της γραµµικής απεικόνισης δίνεται από τη σχέση L: V W, L( v) = A v Αρα σε κάθε γραµµική απεικόνιση L: V W αντιστοιχεί ένας µοναδικός πίνακας A ως προς τις βάσεις Ε και Ε των χώρων V και W έτσι ώστε E E E E 7

38 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όταν γράφουµε απλά L( v) = A v L: V W, L( v) = A v θα εννοούµε τον πίνακα της γραµµικής απεικόνισης ως προς τις συνήθεις κανονικές βάσεις των χώρων V και W Ορισµός 6 Μία γραµµική απεικόνιση L: V E E V καλείται γραµµικός τελεστής Από όσα είπαµε παραπάνω σε κάθε γραµµικό τελεστή αντιστοιχεί ένας τετραγωνικός πίνακας A E E Εάν Ε= E τότε γράφουµε απλά A E αντί για AE E Αν Ε=Ε είναι η συνήθης κανονική βάση e =(,,,),, e =(,,,), γράφουµε απλά: L: V V, L( v) = A v Θεώρηµα Εστω Α είναι ένας πίνακας ενός γραµµικού τελεστή L : V V, δηλαδή L( v) = A v Ο τελεστής L καλείται αντιστρέψιµος (ή οµαλός) αν και µόνον αν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι διάφορη του µηδενός, αλλιώς ο τελεστής καλείται ιδιάζων Eάν ο τελεστής L είναι αντιστρέψιµος τότε ορίζεται ο αντίστροφος τελεστής L : V V, L = A v v Oρισµός 7 Ενας αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή τελεστή L: V µηδενικό διάνυσµα v V έτσι ώστε L = λ v v V εάν υπάρχει µη To διάνυσµα v που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ καλείται ιδιοδιάνυσµα του τελεστή L Σηµείωση: Eπειδή κάθε τελεστής γράφεται ως L( v) = A v = λ v, οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα τελεστή αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α του τελεστή L (βλέπε παράρτηµα στο τέλος των σηµειώσεων) Oρισµός 8 Ενας γραµµικός τελεστής L: V V καλείται ισοµετρία εάν Ισοδύναµα: L( v) = v, v V v u= L( v) L( u), u, v V, 8

39 όπου το σύµβολο ( ) δηλώνει την πράξη του εσωτερικού γινοµένου Αν Ε και Ε είναι δύο βάσεις πάνω στον ίδιο διανυσµατικό χώρο V και αν L : V V, L ( v) = v είναι ο ταυτοτικός γραµµικός τελεστής πάνω στον V, τότε ο πίνακας A E E του τελεστή καλείται και ως πίνακας αλλαγής της βάσης Ε στη βάση Ε Θεώρηµα 4 Εστω L: V V είναι ένας τελεστής πάνω σε έναν -διάστατο χώρο V Αν A E και A E είναι οι πίνακες του τελεστή L ως προς τις βάσεις Ε και Ε αντιστοίχως, τότε A = S A S, E E E E E E όπου E S E είναι ο πίνακας αλλαγής της βάσης Ε στη βάση Ε Ορισµός 9 Έστω V, W είναι δυο πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι Μια απεικόνιση φ :V W καλείται διγραµµική εάν ισχύει και ( v + v, w) = ( v, w) + ( v, w), v, v V, w W, (, ) φ λ µ λ φ µ φ λ µ (, + ) = (, ) + (, ), V,, W, (, ) φ v λ w µ w λ φ v w µ φ v w v w w λ µ Εάν V=W τότε η διγραµµική απεικόνιση καλείται διγραµµική µορφή Αν Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας διάστασης, τότε ο Α ορίζει διγραµµική µορφή :V V φ έτσι ώστε v uv u v () T φ (, ) = A = ( u,, u) A v Αντιστρόφως αν u = ( u,, u ) και v = ( v,, v ), ui, vi, i =,, είναι οι συντ/νες δύο διανυσµάτων u,v V ως προς µία βάση E = { e,, e} του χώρου V και αν φ( uv, ) είναι µία διγραµµική µορφή, τότε ( u ) i i v j j uv i= j= i, j= i j i j φ( uv, ) = φ e, e = φ e, e Εποµένως αν ορίσουµε ένα τετραγωνικό πίνακα Α διάστασης από τη σχέση 9

40 { φ (, ):,,, } i j A= e e i j =, () καταλήγουµε πολύ εύκολα στη σχέση () Αρα µία διγραµµική µορφή καθορίζεται φ e, e και κατ επέκταση από έναν πίνακα Α όπως στην πλήρως από τις τιµές ( i j) () Ορισµός Μία διγραµµική µορφή φ :V V καλείται συµµετρική όταν Εφόσον φ( uv, ) = φ( v,u ) ( v ) j j u i i uv j= i= i, j= i j j i φ( v,u) = φ e, e = φ e, e, είναι σαφές ότι η ισότητα φ( uv, ) = φ( v,u ) ισχύει αν και µόνον αν φ( ei, ej) = φ( ej, e i) i, j =,, οπότε λόγω της () παίρνουµε: Θεώρηµα 5 Μία διγραµµική µορφή φ :V V καλείται συµµετρική αν και µόνον αν ο πίνακας Α αυτής είναι συµµετρικός Ορισµός Αν φ :V V είναι µία συµµετρική διγραµµική µορφή τότε η γραµµική µορφή f : V, f( v) = φ( v,v ) καλείται τετραγωνική µορφή Στην περίπτωση αυτή έχουµε φ vv i, j i ja = ij f ( v) ( v,v ) = = i= j=, j i i j ij = a v + a v + + a v + vv a Αν ο πίνακας Α = {a ij } είναι διαγώνιος τότε: f ( v) = a v + a v + + a v Για να βρούµε τον πίνακα µιας τετραγωνικής µορφής (ως προς τη συνήθη βάση) ορίζουµε τη συνάρτηση πολλών µεταβλητών i= j=, j i i j ij g:, g( v,, v ) a v a v a v vv a = και στη συνέχεια υπολογίζουµε όλες τις µερικές παραγώγους αυτής ως προς τις µεταβλητές v,, v µε χρήση της σχέσης: 4

41 φ v v = A v v φ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται η απεικόνιση L :, Lxyz (,, ) = x, x y+ z Αφού δείξετε ότι είναι γραµµική να βρείτε τον πίνακα αυτής ως προς τις συνήθεις κανονικές βάσεις των χώρων και Επιπλέον να βρείτε τον πυρήνα και την εικόνα της L Λύση: Εστω v = ( v, v, v ) και = ( w, w, w ) w είναι δύο διανύσµατα του ( λ v+ µ w ) = ( λ + µ, λ + µ, λ + µ ) L L v w v w v w ( λ v µ w, λ v µ w ( λ v µ w) ( λ v µ w) ) = = ( λv, λv λv + λv ) + ( µ w, µ w µ w + µ w ) = λ ( v, v v + v ) + µ ( w, w w + w ) = λl( v, v, v ) + µ L( w, w, w ) = λ L + µ L Αρα η L είναι γραµµική απεικόνιση v w Από τον ορισµό έχουµε Ker( L) = { : L =} x = L( v ) = ( x, x y+ z) = (,) x y + z = v v Υπολογίζουµε x = x = y+ z = y = z Θέτουµε z = c, c, oπότε οι λύσεις της L ( v ) = είναι όλα τα διανύσµατα xyz,, =, cc, = c,, Τότε 4

42 Αρα Ker( L) = c,, : c, δηλαδή είναι ένα µονοδιάστατος χώρος που παράγεται από το διάνυσµα,, v v Αρα Από τον ορισµό έχουµε Im( L) = { L: } L( v ) = x, x y+ z = x, + y, + z, = x, + y z, = x, + r,, x, r Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι τα διανύσµατα (,) και (,-) είναι γραµµικώς ανεξάρτητα (συνεπώς αποτελούν µία βάση του ), οπότε Im( L ) = ίνεται η γραµµική απεικόνιση L :, Lxy (, ) = x+ y, x y, x y = r (4) Να βρείτε τον πίνακα Α αυτής ως προς τις συνήθεις κανονικές βάσεις των χώρων και Λύση: Aπό τη θεωρία ο πίνακας Α έχει ως στήλες τις συντεταγµένες των,,, L, =,, Συνεπώς διανυσµάτων L = και Εστω L : A = είναι µία γραµµική απεικόνιση και (, ), (,) E = (,, ), (,, ), (,,) είναι βάσεις των και L(,)=(,5,) και L(,)=(,,) ως προς τη συνήθη βάση του πίνακα A E E της L και το διάνυσµα L (,) { } E =, αντιστοίχως Αν, υπολογίστε τον Λύση: Ο πίνακας A E E έχει ως στήλες τις συντεταγµένες των διανυσµάτων L(,) και L(,) ως προς τη βάση Ε, άρα: L a a a (,) = (,, ) + (,,) + (,,) 4

43 = (,5, ) ( a a ), ( a a a ), ( a a ) Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε α =, α =, α =8 Συνεπώς: Οµοίως L (,) = (,,8) (ως προς τη βάση Ε ) L a a a (,) = (,, ) + (,,) + (,,) = (,, ) ( a a ), ( a a a ), ( a a ) Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε α =4, α =, α =4 Συνεπώς: Αρα: και L (,) = ( 4,, 4) (ως προς τη βάση Ε ) 4 A E E = x + 4y x x L( x, y) = AE E y = y =, 8 4 8x + 4y όπου Μ=(x,y) είναι οι συντεταγµένες του Μ ως προς τη βάση Ε του χώρου Τότε: L(,) = = (ως προς τη βάση Ε ) Αναφέρουµε ότι 6/4 (,,)+/4 (,-,)+8/4 (,,)=(9,6,7) είναι οι συντ/νες L, ως προς τη συνήθη κανονική βάση του χώρου του 4 Yπολογίστε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή Lxy (, ) = x+ 4 y,x+ y χρησιµοποιώντας τον πίνακα αυτού ως προς τη συνήθη βάση Λύση: Ο πίνακας του τελεστή ως προς τη συνήθη βάση του είναι ο 4

44 4 A = Αρκεί να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α (βλέπε παράρτηµα) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι λ 4 p( λ) = Det( A λi ) = = λ 4λ 5 λ Oι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι οι ρίζες του πολυωνύµου λ 4λ 5, δηλαδή Det A λi = λ 4λ 5= λ =, λ = 5 Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ =, λ = 5 υπολογίζονται από τη λύση του συστήµατος A u = λ u αντικαθιστώντας την τιµή του λ µε τη συγκεκριµένη ιδιοτιµή που βρήκαµε ηλαδή: Για λ = έχουµε Au u A u ( ) 4 u 4 = λ + I = = u όπου θεωρούµε ότι το (, ) u+ 4u = u = u, u+ 4u = u = u u u είναι ένα διάνυσµα-στήλη Στο τελευταίο σύστηµα παρατηρούµε ότι οι δύο εξισώσεις είναι ίδιες άρα το σύστηµα εκφυλίζεται σε µία εξίσωση u = u Θέτουµε u = c= σταθερα, οπότε η λύση του συστήµατος είναι u = u, u των οποίων οι συντεταγµένες είναι της µορφής όλα τα διανύσµατα άρα u = ( u, u ) = ( c, c) = c(,) u =, c u = c Όλα τα διανύσµατα c(,) είναι ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ=- και ορίζουν ένα µονοδιάστατο χώρο (µία ευθεία) µε βάση το διάνυσµα (-,) Εκλέγουµε τη βάση αυτή ως αντιπρόσωπο και λέµε ότι το διάνυσµα (-,) είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ=- Για λ = 5 έχουµε 44

45 Au u A u ( 5 ) 4 4 u = λ I = = u όπου θεωρούµε ότι το u = ( u, u ) 4u + 4u = u = u 4u + 4u = u = u, είναι ένα διάνυσµα-στήλη Στο τελευταίο σύστηµα παρατηρούµε ότι οι δύο εξισώσεις είναι ίδιες άρα το σύστηµα εκφυλίζεται σε µία εξίσωση u = u Θέτουµε u = c= σταθερα, οπότε η λύση του συστήµατος είναι u = u, u των οποίων οι συντεταγµένες είναι της µορφής όλα τα διανύσµατα άρα u = ( u, u ) = ( c, c) = c(,) u = c, u = c Όλα τα διανύσµατα c (,) είναι ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ=5 και ορίζουν ένα µονοδιάστατο χώρο (µία ευθεία) µε βάση το διάνυσµα (,) Εκλέγουµε τη βάση αυτή ως αντιπρόσωπο και λέµε ότι το διάνυσµα (,) είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ= Τελικά 5 ίνεται ο γραµµικός τελεστής λ =, λ = 5, L:, L x, y, z = x y+ 4 z,5x y+ z,4x+ 7y Υπολογίστε τον πίνακα αυτού ως προς τη συνήθη βάση Είναι ο L αντιστρέψιµος; Aν ναι ποιος ο τύπος του αντίστροφου τελεστή; Λύση: Ο πίνακας του τελεστή είναι o 4 A = Ο L είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος Επειδή Det( A ) = 4 προκύπτει ότι ο L είναι αντιστρέψιµος και επιπλέον x = z L :, L x, y, z A y 45

46 6 Θεωρούµε δύο βάσεις E = {(, ), (, ) } και {(, ), (, ) } E = του χώρου Να υπολογίσετε τον πίνακα αλλαγής βάσης A E E Αν (x,y) και (x,y ) είναι οι συντ/νες ως προς τις βάσεις Ε και Ε αντιστοίχως να βρείτε τη σχέση που τις συνδέει Λύση: Εργαζόµαστε παρόµοια όπως στην άσκηση θεωρώντας όµως ότι η γραµµική απεικόνιση είναι η ταυτοτική δηλαδή L ( v) = v Τότε ο πίνακας A E E προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης πινάκων C = D A, E E όπου ο πίνακας C σχηµατίζεται από τις συντ/νες των διανυσµάτων της βάσης Ε θεωρώντας αυτές ως διανύσµατα στήλες ενώ ο πίνακας D σχηµατίζεται από τις συντ/νες των διανυσµάτων της βάσης Ε µε τον ίδιο τρόπο Ετσι C = D A = A E E E E Τότε από τη θεωρία έχουµε ότι A E E = = 7 x x = y 7 y 7 ίνεται η τετραγωνική µορφήφ ( x, y) = x + xy 6y Να βρεθεί ο πίνακας αυτής ως προς τη συνήθη βάση Λύση: Υπολογίζουµε το ήµισυ της κλίσης της συνάρτησης φ ( x, y) = x + xy 6y φ = x + y x φ = x 6y y Τότε ο πίνακας της τετραγωνικής µορφής σχηµατίζεται από τους συντελεστές των x,y ως εξής: / A = / 6 Eίναι εύκολο να επαληθεύσουµε ότι x φ( xy, ) = x + xy 6 y = ( xy, ) A y 46