ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ Μέθοδος Frobenius Συναρτήσεις Bessel Κλασικά Πολυώνυµα Λογισµός Μεταβολών

Transcript

1 Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ Μέθοδος Frobenius Συναρτήσεις Bessel Κλασικά Πολυώνυµα Λογισµός Μεταβολών ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 5

2 .

3 i Πρόλογος Οι παρούσες σηµειώσεις έχουν γραφεί για να ϐοηθήσουν τους ϕοιτητές του Τµήµατος Φυσικής που διαλέγουν το επιλογής µάθηµα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ" καθώς και για αυτούς που ενδιαφέρονται για όλα ή για κάποια από τα κεφάλαια των σηµειώσεων. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζεται η λύση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης µε τη µέθοδο των δυναµοσειρών ή των γενικευµένων δυναµοσειρών (µέθοδος Frobenius). Η µέθοδος αυτή κρίθηκε απαραίτητο να αποτελέσει το πρώτο κεφάλαιο, επειδή δεν εξετάζεται µε λεπτοµέρειες στο µάθηµα των ιαφορικών Εξισώσεων, είναι δε πολύ χρήσιµη στις εφαρµογές. Ο λόγος είναι ότι πολύ συχνά η απάντηση σε ένα ϕυσικό πρόβληµα εξαρτάται από τη λύση µιας ή περισσοτέρων συνήθων διαφορικών εξισώσεων ης τάξης. Αυτές οι διαφορικές εξισώσεις µπορεί να προκύψουν για παράδειγµα κατά τη λύση διαφορικών εξισώσεων µε µερικές παραγώγους (όπως η εξίσωση του Laplace, του Schrödinger κλπ) µε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών. Αν, όπως συµβαίνει συχνά, οι εξισώσεις αυτές δεν έχουν ως λύσεις στοιχειώδεις συναρτήσεις, ϑα πρέπει να διερευνηθούν αυτές και ο καλύτερος τρόπος για αυτό είναι η µέθοδος των δυναµοσειρών. Οι λύσεις που προκύπτουν οδηγούν στον ορισµό νέων συναρτήσεων που λέγονται Ειδικές Συναρτήσεις όπως είναι οι συναρτήσεις Bessel, τα πολυώνυµα Legendre κλπ. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στις Συναρτήσεις Bessel που είναι πολύ χρήσιµες στη µελέτη προβληµάτων οριακών τιµών κυλινδρικής συµµετρίας αλλά και σφαιρικής συµµετρίας. Από τις διάφορες συναρτήσεις Bessel αναφέρονται αυτές που συναντώνται πιο συχνά και εξετάζονται ορισµένες από τις ιδίότητές τους. Σηµειώνεται ότι οι συναρτήσεις Bessel ου και ου είδους (συναρτήσεις Neumann) ορίζονται και στο ο κεφάλαιο ως λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Bessel. Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται σε µια κλάση Ειδικών Συναρτήσεων, τα Κλασικά (ή ορθογώνια) Πολυώνυµα. Τα πολυώνυµα αυτά µπορούν να οριστούν µε διαφορετικούς τρόπους. Μπορούν να οριστούν ως λύσεις κάποιας διαφορικής εξίσωσης ης τάξης ή µε τη ϐοήθεια µιας γεννήτριας συνάρτησης. Εδώ ϑα οριστούν µε τη ϐοήθεια του τύπου του Rodrigues. Ο ορισµός αυτός έχει το πλεονέκτηµα ότι ορίζει τα πολυώνυµα αυτά µε έναν ενιαίο τρόπο που µπορεί να µας οδηγήσει σχετικά εύκολα και στους άλλους ισοδύναµους ορισµούς. Η µελέτη αυτών των πολυωνύµων είναι χρήσιµη κυρίως επειδή ϐοηθάει στην κατανόηση της λύσης διαφόρων προβληµάτων. Για παράδειγµα τα πολυώνυµα Legendre εµφανίζονται σε προβλήµατα σφαιρικής συµµετρίας. `Ενας δεύτερος σηµαντικός λόγος είναι ότι πολλές συναρτήσεις, που ικανοποιούν ορισµένες γενικές προῆυποθέσεις, µπορούν να αναπτυχθούν (παρασταθούν) µε σειρά τέτοιων πολυωνύµων. Τα αναπτύγµατα αυτά είναι πολύ χρήσιµα στην προσέγγιση των συναρτήσεων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στο Λογισµό Μεταβολών που είναι από τα παλαιότερα προβλήµατα της Μαθηµατικής Φυσικής. Στα προβλήµατα αυτά προσπα- ϑούµε να ϐρούµε τις ακρότατες τιµές (ελάχιστες ή µέγιστες) κάποιων εκφράσεων (συναρτησοειδών) που εξαρτώνται από µια ή περισσότερες συναρτήσεις. Η σπουδαιότητα του λογισµού των µεταβολών ϐρίσκεται στο ότι πολλές αρχές (ή νόµοι) της Φυσικής µπορούν να διατυπωθούν ως ένα πρόβληµα λογισµού µεταβολών. Τέλος, στο Παράρτηµα Α ορίζονται οι Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα, που τις συναντάµε στις εκφράσεις πολλών Ειδικών Συναρτήσεων, ενώ στο Παράρτηµα Β δίνονται οι ϐασικοί ορισµοί και οι ιδιότητες των των σειρών συναρτήσεων. Τα διάφορα κεφάλαια αποτελούνται από την αντίστοιχη ϑεωρία και από αρκετές ασκή-

4 ii σεις, ορισµένες από τις οποίες είναι λυµένες. `Εγινε προσπάθεια κάποιες από τις ασκήσεις να έχουν άµεση σχέση µε τη Φυσική ή µε άλλες επιστήµες, ώστε ο ϕοιτητής να καταλάβει την αναγκαιότητα ενός τέτοιου µαθήµατος. Τέλος, σηµειώνεται ότι το περιεχόµενο αυτών των σηµειώσεων είναι πολύ χρήσιµο σε πολλά µαθήµατα του Τµήµατος Φυσικής και κυρίως στην Κβαντοµηχανική. Σ.Η.Μ. Θεσσαλονίκη 5

5 Περιεχόµενα Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης. Ταξινόµηση των σηµείων των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Λύση υπό µορφή δυναµοσειράς στην περιοχή ενός οµαλού σηµείου Μέθοδος Frobenius λ λ N, N =,,, λ λ = N, N =,, 3, λ = λ Η Εξίσωση Bessel Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για ν,,, 3,, 5, Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για ν = m +, m =,,, 3, Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για ν = m =,, 3, Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για λ λ = ν = Υπεργεωµετρική εξίσωση και σειρά Λύση της υπεργεωµετρικής εξίσωσης στο σηµείο z = Λύση της υπεργεωµετρικής εξισώσεως στο σηµείο z = Λύση της υπεργεωµετρικής εξίσωσης στο σηµείο z = Υπεργεωµετρική σειρά Ολοκληρωτική παράσταση της υπεργεωµετρικής σειράς Συµφυής υπεργεωµετρική συνάρτηση Ασκήσεις Συναρτήσεις Bessel 37. Συνάρτηση Besselπρώτου είδους ακέραιας τάξης Αναδροµικές σχέσεις Ολοκληρωτικές παραστάσεις της J n (z) Σχέσεις µεταξύ των λύσεων της εξίσωσης Bessel Συναρτήσεις Neumannκαι Hankel Τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel Σφαιρικές συναρτήσεις Bessel Συµπεριφορά των συναρτήσεων Besselγια µεγάλες και µικρές τιµές του z `Ασκήσεις Κλασικά Πολυώνυµα 5 3. Γενικευµένος τύπος του Rodrigues Ταξινόµιση των Κλασικών Πολυωνύµων Αναδροµικές σχέσεις ιαφορική εξίσωση των Κλασικών Πολυωνύµων Γεννήτρια συνάρτηση των Κλασικών Πολυωνύµων Κατασκευή της γεννήτριας συναρτήσεως από τον τύπο του Rodrigues για τα πολυώνυµα Legendre iii

6 iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.5. Κατασκευή του τύπου του Rodrigues από τη γεννήτρια συνάρτηση των πολυωνύµων Legendre Ανάπτυγµα συνάρτησης σε σειρά Κλασικών Πολυωνύµων Πολυώνυµα Legendre, P n (x), x Πολυώνυµα Chebyshevου είδους, T n (x), x Πολυώνυµα Chebyshevου είδους, U n (x), x Πολυώνυµα Hermite, H n (x), x < Πολυώνυµα Laguerre, L ν n(x), x < Ασκήσεις Λογισµός Μεταβολών Εισαγωγή Συναρτησοειδή µιας συνάρτησης και µιας ανεξάρτητης µεταβλητής Ειδικές µορφές της εξίσωσης Euler-Lagrange Εφαρµογές Συναρτησοειδή πολλών συναρτήσεων και µιας ανεξάρτητης µεταβλητής Εφαρµογές Συναρτησοειδή πολλαπλών ολοκληρωµάτων Εφαρµογές Συναρτησοειδή που υπόκεινται σε περιορισµούς Πολλαπλασιαστές Lagrange Το ισοπεριµετρικό πρόβληµα Εφαρµογές Το πρόβληµα Sturm-Liouville Ασκήσεις Αʹ Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα 9 Αʹ. Συνάρτηση Γάµµα Αʹ.. `Αλλοι ορισµοί της συνάρτησης Γάµµα Αʹ. Συνάρτηση Βήτα Αʹ.3 Χρήσιµες ιδιότητες της συνάρτησης Γ(z) Αʹ.4 Λυµένες ασκήσεις Αʹ.5 Ασκήσεις Βʹ 7 Βʹ. Ακολουθίες και αριθµητικές σειρές Βʹ. Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων Βʹ.3 Κριτήρια σύγκλισης σειρών Βʹ.4 Θεωρήµατα οµοιόµορφης σύγκλισης

7 Κεφάλαιο Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Στη Φυσική συναντάµε πολύ συχνά συνήθεις γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε µη σταθερούς συντελεστές. Η µορφή των εξισώσεων αυτών είναι A(z) d w dz + B(z)dw + C(z)w = (.) dz όπου A(z). Τέτοιες διαφορικές εξισώσεις συναντάµε για παράδειγµα όταν εφαρµόζουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών στις διαφορικές εξισώσεις µε µερικές παραγώγους όπως των Laplace, Helmholtz, Schrödinger κλπ. Η λύση των εξισώσεων της µορφής (.) έχει µεγάλη σηµασία αφού έτσι ϑα δώσουµε απαντήσεις σε διάφορα ϕυσικά προβλήµατα. Πολλές ειδικές συναρτήσεις, όπως οι συναρτήσεις Bessel, τα πολυώνυµα Legendre, Laguerre κ.λ.π. είναι λύσεις τέτοιων διαφορικών εξισώσεων. Εν γένει οι λύσεις των εξισώσεων αυτών δεν είναι στοιχειώδεις συναρτήσεις όπως συµβαίνει στην περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές. Η πιο γενική µέθοδος λύσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων είναι να αναζητηθεί λύση υπό µορφή σειράς ϑετικών ή αρνητικών δυνάµεων της ανεξάρτητης µεταβλητής. Πριν αναπτύξουµε τη µέθοδο αυτή ϑα κάνουµε µια ταξινόµηση των διαφόρων σηµείων µιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης (.Ε.).. Ταξινόµηση των σηµείων των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Η διαφορική εξίσωση (.) µπορεί να γραφεί d w dz + P (z)dw + Q(z)w = (.) dz όπου P (z) = B(z)/A(z) και Q(z) = C(z)/A(z). Η µορφή της λύσης της εξίσωσης (.) στην περιοχή ενός σηµείου z = z εξαρτάται από το πώς συµπεριφέρονται οι συναρτήσεις P (z) και Q(z) στο σηµείο z. `Ετσι, δίνουµε τους εξής ορισµούσ:

8 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Ορισµός. Το σηµείο z = z λέγεται οµαλό ή κανονικό σηµείο (regular point) της.ε. (.) αν οι συναρτήσεις P (z) και Q(z) είναι αναλυτικές συναρτήσεις στην περιοχή του σηµείου αυτού. ηλαδή οι σειρές Taylor P (z) = P n (z z ) n και Q(z) = Q n (z z ) n, z z < R υπάρχουν και συγκλίνουν στο εσωτερικό κάποιου κύκλου µε κέντρο το σηµείο z = z. Ορισµός. Το σηµείο z = z λέγεται ανώµαλο σηµείο (singular point) της.ε. (.) αν µια από τις συναρτήσεις P (z) και Q(z) (ή και οι δύο) δεν είναι αναλυτικές συναρτήσεις στην περιοχή του σηµείου αυτού. Ορισµός 3. `Ενα ανώµαλο σηµείο z = z λέγεται κανονικό ανώµαλο σηµείο (regular singular point) της.ε. (.) αν οι συναρτήσεις p(z) = (z z )P (z) και q(z) = (z z ) Q(z) είναι αναλυτικές συναρτήσεις στην περιοχή του σηµείου z = z. Ορισµός 4. `Ενα ανώµαλο σηµείο λέγεται µη κανονικό ανώµαλο σηµείο (irregular singular point) της.ε. (.) αν µια από τις συναρτήσεις p(z) και q(z) (ή και οι δύο) δεν είναι αναλυτικές στο σηµείο αυτό. Το σηµείο z =. Αν ενδιαφερόµαστε για το σηµείο z = τότε κάνουµε το µετασχηµατισµό z = /ζ και επειδή η.ε. (.) γράφεται dw dz = ζ dw dζ, d w dz = d w dw ζ4 + ζ3 dζ dζ [ d w dζ + ζ ] dw ζ P ( ) ζ dζ + ζ Q( )w = 4 (.3) ζ και εξετάζουµε τη συµπεριφορά των συναρτήσεων P (ζ) = ζ ζ P ( ζ ) και Q(ζ) = ζ 4 Q( ζ ) (.4) στο σηµείο ζ =, σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς. Στον Πίνακα δίνονται οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που συναντάµε συχνά στη Φυσική και γίνεται η ταξινόµηση των ανώµαλων σηµείων τους. Τα σηµεία που δεν ανα- ϕέρονται είναι οµαλά σηµεία. Υπενθυµίζουµε ότι, η γενική λύση της.ε. (.) είναι ένας γραµµικός συνδυασµός δύο ανεξάρτητων λύσεων αυτής. Αν w (z) και w (z) είναι δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της.ε. τότε η γενική λύση είναι w(z) = Aw (z) + Bw (z) Οι αυθαίρετες σταθερές A και B προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προ- ϐλήµατος (για παράδειγµα η w(z) και w (z) λαµβάνουν γνωστές τιµές για z = ) ή τις οριακές συνθήκες και τους περιορισµούς που πρέπει να ικανοποιεί η λύση. Τέλος, αν w (z) και w (z) είναι δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της.ε., τότε η ορίζουσα του Wronsky είναι µια σταθερά. ηλαδή, W (w, w ) = w w w w = w (z) dw (z) dz w (z) dw (z) dz = σταθερά

9 . Λύση υπό µορφή δυναµοσειράς στην περιοχή ενός οµαλού σηµείου 3 Πίνακας.: Ταξινόµηση των ανώµαλων σηµείων των διαφορικών εξισώσεων που συναντώνται συχνά στη Φυσική. ιαφορική εξίσωση κανονικά µη κανονικά ανώµαλα σηµεία ανώµαλα σηµεία. Υπεργεωµετρική z( z)w + [γ ( + α + β)z]w αβw =,,. Legendre ( z )w zw + l(l + )w =,, 3. Chebyshev ( z )w zw + n w =,, 4. Συµφυής Υπεργεωµετρική zw + (γ z)w αw = 5. Bessel z w + zw + (z ν )w = 6. Laguerre zw + ( z)w + αw = 7. Hermite w zw + nw = 8. Airy w zw = 9. Αρµονικής κίνησης w + ω w =. Λύση υπό µορφή δυναµοσειράς στην περιοχή ενός οµαλού σηµείου Στην αρχή του κεφαλαίου αναφέρθηκε ότι η λύση της.ε. (.), µε τη ϐοήθεια στοιχειωδών συναρτήσεων, είναι δυνατή µόνο σε ορισµένες περιπτώσεις. Για το λόγο αυτό είναι ενδιαφέρον να εξεταστεί η περίπτωση εύρεσης λύσης της.ε. (.) στην περιοχή του σηµείου z = z υπό µορφή σειράς Taylor, δηλαδή δυναµοσειράς ακεραίων και µη αρνητικών δυνάµεων του z z w(z) = C n (z z ) n, z z < R (.5) `Οταν το σηµείο z = z είναι οµαλό σηµείο της.ε., ισχύει το εξής ϑεώρηµα : Θεώρηµα. Αν οι συνάρτησεις P (z) και Q(z) της εξίσωσης (.) είναι αναλυτικές συναρτήσεις στον τόπο z z < R τότε υπάρχει µια µοναδική λύση της.ε. (.) που είναι αναλυτική τουλάχιστον στον ίδιο τόπο, δηλαδή, µπορεί να παρασταθεί µε σειρά Taylor η οποία συγκλίνει τουλάχιστον για z z < R και ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκεσ: w(z = z ) = C και w (z = z ) = C. Παρατήρηση. Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα αυτό αν οι συναρτήσεις P (z) και Q(z) είναι πολυώνυµα τότε η σειρά Taylor είναι λύση της.ε. (.) για κάθε τιµή του z. Σηµείωση. Χωρίς να περιορίζεται η γενικότητα των όσων ϑα αναφέρουµε στη συνέχεια, υποθέτουµε ότι z =. Αν το σηµείο z είναι διάφορο του µηδενός τότε κάνουµε το µετασχηµατισµό z = z z οπότε οδηγούµαστε στην προηγούµενη περίπτωση.

10 4 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Σηµείωση. Αν ενδιαφερόµαστε για τη λύση της.ε. (.) στην περιοχή του σηµείου z =, όταν το σηµείο αυτό είναι οµαλό σηµείο, τότε Ϲητάµε λύση της µορφής w = C n ζ n, ζ < R και αντικαθιστούµε αυτήν τη δυναµοσειρά στη.ε. (.3) για τον προσδιορισµό των C n. Σε αυτήν την περίπτωση µπορούµε επίσης να Ϲητήσουµε λύση της µορφής w = C n z n, z > R (.6) ηλαδή, Ϲητάµε λύση υπό µορφή σειράς αρνητικών δυνάµεων της ανεξάρτητης µετα- ϐλητής z και να αντικαθιστούµε την (.6) στην (.) για τον προσδιορισµό των C n. Οι δυναµοσειρές ϑετικών δυνάµεων του z είναι κατάλληλες για την περιοχή του σηµείου z =, ενώ οι δυναµοσειρές αρνητικών δυνάµεων του z είναι κατάλληλες για µεγάλες τιµές του z. Στην περίπτωση που οι συναρτήσεις P (z) και Q(z) είναι πολυώνυµα µικρού ϐαθµού, που συµβαίνει στις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, η λύση ϐρίσκεται εύκολα µε αντικατάσταση της (.5) (µε z = ) στην (.) και εξισώνοντας τους συντελεστές όλων των δυνάµεων του z µε µηδέν. Τα επόµενα παραδείγµατα ϑα ϐοηθήσουν να κατανοηθεί η µέθοδος. Παράδειγµα. Να ϐρεθεί η λύση υπό µορφή δυναµοσειράς της εξίσωσης της αρµονικής κίνησης w + ω w =, ω = σταθερά (.7) Παρατηρούµε πρώτα ότι οι συναρτήσεις P (z) = και Q(z) = ω είναι αναλυτικές συναρτήσεις για κάθε z, εποµένως το σηµείο z = είναι οµαλό σηµείο της.ε. και σύµφωνα µε το προηγούµενο ϑεώρηµα η λύση της είναι της µορφής w(z) = Η αντικατάσταση της (.8) στην (.7) δίνει C n z n (.8) n(n )C n z n + ω C n z n = (.9) Αν ϑέσουµε στην πρώτη δυναµοσειρά n = n και στη συνέχεια n n και µε την παρατήρηση ότι οι δύο πρώτοι όροι είναι µηδέν, η (.9) γράφεται [ ] (n + )(n + )Cn+ + ω C n z n = (.) Επειδή η δυναµοσειρά του αριστερού µέλους της (.) είναι ίση µε µηδέν, ϑα πρέπει οι συντελεστές όλων των δυνάµεων του z να είναι µηδέν. `Ετσι έχουµε C n+ = ω (n + )(n + ) C n, n (.)

11 . Λύση υπό µορφή δυναµοσειράς στην περιοχή ενός οµαλού σηµείου 5 Από τη σχέση αυτή, που λέγεται αναδροµική σχέση (recurrence relation), προκύπτουν οι διάφοροι συντελεστές της (.8) ως συναρτήσεις των δύο πρώτων (C και C ). Παρατηρούµε ότι η αναδροµική σχέση (.) συνδέει µεταξύ τους τους συντελεστές µε άρτιο δείκτη και τους συντελεστές µε περιττό δείκτη. `Ετσι εφαρµόζουµε την (.) πρώτα για άρτια n και στη συνέχεια για περιττά n. i. Για n = l η σχέση (.) γράφεται C l+ = Η σχέση αυτή, για l =,,..., k δίνει ω (l + )(l + ) C l, l l = C = ω C l =. l = k C k = C 4 = ω 3 4 C. ω (k )k C k Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις k εξισώσεις έχουµε C k = ( ) k ωk (k)! C, k (.) ii. Για n = l +, µε παρόµοιο τρόπο, ϐρίσκουµε ότι Εποµένως, η λύση της (.7) είναι `Η ακόµη w(z) = ω k C k+ = ( ) k (k + )! C, k (.3) C n z n = = C k= C k z k + k= ( ) k (k)! (ωz)k + C ω w(z) = C cos ωz + C ω C k+ z k+ k= k= ( ) k (k + )! (ωz)k+ (.4) sin ωz όπως έπρεπε να περιµένουµε. Σηµείωση. Στην περίπτωση που οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις sin z και cos z δεν ήταν γνωστές συναρτήσεις, ϑα µπορούσαν να οριστούν ως εκείνες οι συναρτήσεις που είναι λύσεις της.ε. (.7) (µε ω = ) οι οποίες ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, η µεν πρώτη να µηδενίζεται στο σηµείο z = ενώ η δεύτερη να έχει παράγωγο που µηδενίζεται στο σηµείο z =.

12 6 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Παράδειγµα. Μια.Ε. εξίσωση που συναντάται στη Φυσική, όταν έχουµε προ- ϐλήµατα σφαιρικής συµµετρίας, είναι η εξίσωση του Legendre ( z )w zw + l(l + )w = (.5) όπου l µια παράµετρος. Θα προσπαθήσουµε να ϐρούµε τη λύση αυτής της εξίσωσης. Οι συναρτήσεις P (z) = z z και Q(z) = l(l + ) z είναι αναλυτικές συναρτήσεις για z <. ηλαδή, το σηµείο z = είναι οµαλό σηµείο και εποµένως οι λύσεις της (.5) µπορούν να γραφούν µε τη µορφή δυναµοσειράς στην περιοχή του σηµείου z = w(z) = C n z n (.6) ή Η αντικατάσταση της (.6) στην (.5) δίνει n(n )C n z n n(n )C n z n n(n )C n z n n= nc n z n + l(l + )C n z n = [n(n ) + n l(l + )] C n z n = (.7) Αν ϑέσουµε στην πρώτη δυναµοσειρά n = n και στη συνέχεια n n και επειδή η (.7) γράφεται n(n ) + n l(l + ) = (l n)(l + n + ) [(n + )(n + )C n+ + (l n)(l + n + )C n ] z n = (.8) Εξισώνοντας τους συντελεστές όλων των δυνάµεων του z µε µηδέν έχουµε C n+ = (l n)(l + n + ) C n, n (.9) (n + )(n + ) `Οπως και στο προηγούµενο παράδειγµα η αναδροµική σχέση συνδέει µεταξύ τους τους συντελεστές µε άρτιο δείκτη ή µε περιττό δείκτη. `Ετσι για n = m παίρνουµε C m+ = (l m)(l + m + ) C m, m (.) (m + )(m + )

13 . Λύση υπό µορφή δυναµοσειράς στην περιοχή ενός οµαλού σηµείου 7 Αν στην αναδροµική σχέση (.) ϑέσουµε m =,,,..., k ϑα έχουµε l(l + ) m = C = C m = C 4 =. m = k C k =. (l )(l + 3) C 3 4 (l k + )(l + k ) C k (k )k Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις k εξισώσεις έχουµε k l(l ) (l k + )(l + )(l + 3) (l + k ) C k = ( ) C, k (.) (k)! Για n = περιττός αριθµός, µε όµοιο τρόπο ϐρίσκουµε, ότι k (l )(l 3) (l k + )(l + )(l + 4) (l + k) C k+ = ( ) C, k (.) (k + )! όπου `Αρα, η γενική λύση της (.5) είναι w (z) = + w (z) = z + w(z) = C w (z) + C w (z) (.3) k l(l ) (l k + )(l + )(l + 3) (l + k ) ( ) z k (.4) (k)! k= k (l )(l 3) (l k + )(l + )(l + 4) (l + k) ( ) z k+ (.5) (k + )! k= Παρατηρούµε, όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, ότι η µια λύση είναι άρτια και η άλλη περιττή συνάρτηση του z. Επίσης, από το ϑεώρηµα που αναφέραµε στην αρχή της παραγράφου γνωρίζουµε ότι οι δύο δυναµοσειρές συγκλίνουν τουλάχιστον για z < αφού σε αυτόν τον τόπο οι P (z) και Q(z) είναι αναλυτικές συναρτήσεις. Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε εύκολα µε το κριτήριο του d Alembert αν πάρουµε το λόγο δύο διαδοχικών όρων των δυναµοσειρών. Ο λόγος δύο διαδοχικών όρων των δυναµοσειρών (.4) και (.5) σύµφωνα µε την αναδροµική σχέση (.9) είναι οπότε lim n C n+ z n+ (l n)(l + n + ) = z C n z n (.6) (n + )(n + ) C n+ z n+ < για z < C n z n = z = = για z = > για z > `Αρα, οι λύσεις (.4) και (.5) συγκλίνουν για z <, αποκλίνουν για z >, ενώ για z = δεν µπορούµε να συµπεράνουµε τίποτα.

14 8 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Συµπέρασµα για z = µπορεί να εξαχθεί αν εφαρµόσουµε το κριτήριο του Gauss που λέει ότι αν ο λόγος δύο διαδοχικών όρων µιας σειράς είναι της µορφής u n u n+ = + a n + c n n, β όπου β >, c n < M, n > N τότε η σειρά συγκλίνει για a > και αποκλίνει για a. `Ετσι, η (.6) για z =, στην περίπτωση που n = k, γράφεται C n C n+ = C k C k+ = (k + )(k + ) (k l)(k + l + ) = + k + l(l + )( + k) [4k + k l(l + )]k = + k + O( k ) Βλέπουµε λοιπόν ότι a = και εποµένως η σειρά (.4) αποκλίνει. Στο ίδιο συµπέρασµα οδηγούµαστε για τη σειρά (.5). Εποµένως οι σειρές αυτές αποκλίνουν επάνω στον κύκλο z =. Σε πολλές εφαρµογές απαιτούµε οι λύσεις της εξίσωσης του Legendre να είναι πεπερασµένες για x. ηµιουργείται λοιπόν το ερώτηµα, πως είναι δυνατό να κατασκευάσουµε λύσεις της (.5) που να είναι πεπερασµένες για x = ± (ή για z = ); Ο µόνος τρόπος είναι να κάνουµε τις άπειρες σειρές (.4) και (.5) πεπερασµένες σειρές, δηλαδή πολυώνυµα. Αυτό µπορεί να γίνει αν η παράµετρος l γίνει ένας οποιοσδήποτε ϕυσικός αριθµός, δηλαδή αν l =,,, 3,.... Από τη σχέση (.) ϐλέπουµε ότι αν l = k (ένας άρτιος ϕυσικός αριθµός) τότε C k ενώ ο C k+ καθώς και οι επόµενοι συντελεστές µε άρτιο δείκτη πρέπει να είναι µηδέν. Στην περίπτωση αυτή όλοι οι συντελεστές µε περιττό δείκτη είναι διάφοροι του µηδενός. Από τη σχέση (.) ϐλέπουµε ότι αν l = k + (ένας περιττός ϕυσικός αριθµός) τότε C k+ ενώ ο C k+3 καθώς και οι επόµενοι συντελεστές µε περιττό δείκτη πρέπει να είναι µηδέν. Τώρα όλοι οι συντελεστές µε άρτιο δείκτη είναι διάφοροι του µηδενός. `Οταν l = k, η w (z) εκφυλίζεται σε πολυώνυµο ϐαθµού l, ενώ όταν l = k+ η w (z) εκφυλίζεται σε πολυώνυµο ϐαθµού l. Και στις δύο περιπτώσεις η µεγαλύτερη δύναµη του z είναι z l και επειδή η αναδροµική σχέση (.9) εφαρµόζεται και για τη w (z) και για τη w (z), µπορούµε να έχουµε µια µόνο έκφραση των πολυωνύµων που αντιστοιχούν σε αυτές και που να ισχύει είτε για l = άρτιος, είτε για l = περιττός αριθµός, αν γράψουµε τα πολυώνυµα κατά τις ϕθίνουσες δυνάµεις του z. `Ετσι, ο πρώτος όρος είναι C l z l και οι άλλοι όροι µπορούν να ϐρεθούν από την (.9) γράφοντάς την µε τη µορφή (n + )(n + ) C n = (l n)(l + n + ) C n+ Θέτοντας σε αυτήν τη σχέση n = l, n = l 4,, n = l r ϐρίσκουµε τους

15 .3 Μέθοδος Frobenius 9 συντελεστές C l, C l 4,... C l r, αντίστοιχα, που είναι l(l ) n = l C l = (l ) C l n = l 4 C l 4 =.. (l )(l 3) l(l )(l )(l 3) C l = ( ) 4(l 3) 4(l )(l 3) C l n = l r C l r = ( ) r l(l )(l ) (l r + ) 4 r(l )(l 3) (l r + ) C l ή C l r = ( ) r (l!) (l r)! r!(l r)!(l r)!(l)! C l (.7) `Ετσι, για l = άρτιος ή για l = περιττός οι λύσεις w (z) και w (z) γράφονται C για l = άρτιος w(z) = C l z l + C l z l + C l 4 z l C z για l = περιττός ή [l/] [l/] w(z) = C l r z l r = C l ( ) r (l!) (l r)! r!(l r)!(l r)!(l)! zl r r= όπου [l/] = l l για l = άρτιος και [l/] = για l = περιττός. Η w(z) είναι λύση της (.5) για κάθε C l. Αν ο C l επιλεγεί έτσι ώστε : r= C l = (l)! l (l!), οι λύσεις που προκύπτουν συµβολίζονται µε P l (z) και λέγονται πολυώνυµα Legendre τάξης l και έχουν τη µορφή P l (z) = [l/] r= ( ) r (l r)! l r!(l r)!(l r)! zl r (.8) Είδαµε ότι, αν η λύση της (.5) απαιτείται να είναι ϕραγµένη για z (ή συνήθως x ), η παράµετρος l πρέπει να είναι ένας ϕυσικός αριθµός και σε κάθε l αντιστοιχεί µια µόνο λύση, το πολυώνυµο Legendre τάξης l, P l (z). Αν όµως το l είναι ϕυσικός αριθµός αλλά δεν απαιτείται η λύση να είναι ϕραγµένη για z =, σε κάθε l αντιστοιχούν δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις, εκ των οποίων η µια είναι το πολυώνυµο Legendre τάξης l, P l (z) και η άλλη, η συνάρτηση Legendre δευτέρου είδους τάξης l, Q l (z), που προκύπτει από τη σειρά (.5) για l = άρτιος ή τη σειρά (.4) για l = περιττός, πολλαπλασιασµένες µε µια κατάλληλη σταθερά..3 Μέθοδος Frobenius `Οταν το σηµείο z = είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο η λύση της.ε. L(w) d w dz + P (z)dw + Q(z)w = (.9) dz

16 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης δεν είναι απαραίτητο να είναι αναλυτική στο z. Σε αυτήν την περίπτωση οδηγούµαστε στη µορφή της λύσης που πρέπει να αναζητηθεί αν ϐρούµε πρώτα πως συµπεριφέρεται η λύση στην περιοχή του ανώµαλου σηµείου. Επειδή το σηµείο z = είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο, οι συναρτήσεις p(z) = zp (z) και q(z) = z Q(z) είναι αναλυτικές στο σηµείο αυτό, δηλαδή p(z) = p k z k, q(z) = q k z k, z < R (.3) k= όπου z < R ο κοινός τόπος όπου συγκλίνουν και οι δύο δυναµοσειρές. Η αντικατάσταση αυτών των δυναµοσειρών στην (.9) δίνει d w ( dz + p ) dw ( z + p + p z + dz + q z + q ) z + q + w = (.3) k= Αν ενδιαφερόµαστε για λύση της (.9) για z, επειδή p z p + p z + και q z q z + q + (.3) η (.3) γράφεται w + p z w + q z w = (.33) Η εξίσωση αυτή, που είναι τύπου Euler, µε το µετασχηµατισµό z = e t µετασχηµατίζεται στην εξίσωση d w dt + (p ) dw dt + q w = που έχει µια τουλάχιστον λύση της µορφής w(t) = e λt, όπου το λ είναι λύση της εξίσωσης λ + (p )λ + q = (.34) µε p = zp (z) z= και q = z Q(z) z=. Αν λ και λ (λ λ ) είναι οι δυο ϱίζες της (.34) τότε οι λύσεις της.ε. (.33) είναι της µορφής w (z) = C z λ και w (z) = C z λ (.35) όπου C, C αυθαίρετες σταθερές. Αν λ = λ, έχει ϐρεθεί µόνο η µια λύση της (.33) ενώ η δεύτερη λύση µπορεί να ϐρεθεί µε υποβιβασµό της τάξης της.ε. Η δεύτερη λύση είναι της µορφής w (z) = w (z) u(z) dz, όπου u(z) = e p lnz w(z) (.36) Σηµείωση. Η λύση w(z) = z λ όταν το λ είναι ακέραιος αριθµός είναι µονότιµη συνάρτηση, όταν το λ είναι ϱητός (µη ακέραιος) αριθµός είναι πλειότιµη συνάρτηση µε πεπερασµένο αριθµό κλάδων, ενώ όταν είναι µη ϱητός αριθµός είναι πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις η λύση γίνεται µονότιµη αν διαλέξουµε ένα συγκεκριµένο κλάδο µε µια κατάλληλη τοµή. Η λύση w(z) = z λ γράφεται w(z) = Cz λ = Ce λln z = Ce λ[ln z +i(arg z+kπ)], k =, ±, ±,... Αν διαλέξουµε τον κλάδο για k =, τότε w(z) = Ce λ[ln z +iarg z] (.37) Σηµείωση. Αν ενδιαφερόµαστε για λύσεις της (.33) όταν z = x, τότε η (.37) γράφεται

17 .3 Μέθοδος Frobenius i. Αν λ πραγµατικός αριθµός Ce λlnx = Cx λ για x > w(x) = Ce λ(lnx+iπ) = Ce iλπ e λlnx = D x λ για x < (.38) ii. Αν λ µιγαδικός αριθµός, λ = µ + iν, τότε Ce µlnx+iνlnx = Cx µ [cos(νlnx) + i sin(νlnx)] για x > w(x) = Ce µln x +iνln x νπ+iµπ = D x µ [cos(νln x ) + i sin(νln x )] για x < όπου D = Ce νπ+iµπ. Στην περίπτωση αυτή, επειδή λ = µ + iν και λ = µ iν, οι δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της.ε. (.33) είναι w (x) = C x µ cos(νln x ), w (x) = C x µ sin(νln x ) (.39) Είδαµε λοιπόν ότι η µια τουλάχιστον λύση της.ε. (.9) για z είναι της µορφής w(z) = z λ. Η παρατήρηση αυτή µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η λύση για z < R είναι της µορφής w(z) = z λ f(z), όπου f(z) αναλυτική συνάρτηση για z < R. ηλαδή, w(z) = z λ f(z) = z λ C n z n = C n z n+λ (.4) Για να διαπιστωθεί αν η (.4) είναι λύση της.ε. (.9) πρέπει να αντικατασταθεί αυτή στην εξίσωση και να καθοριστούν οι συντελεστές C n, εκτός από δύο, που ϑα είναι οι αυθαίρετες σταθερές της γενικής λύσης. Στη συνέχεια ϑα πρέπει να διερευνηθεί η σύγκλιση της σειράς. Αν δεχτούµε ότι η δυναµοσειρά συγκλίνει και έχουµε πάρει έναν κλάδο της z λ (µε µια κατάλληλη τοµή), η w(z) µπορεί να παραγωγιστεί. `Ετσι, έχουµε w (z) = (n + λ)c n z n+λ, w (z) = (n + λ)(n + λ )C n z n+λ Η αντικατάσταση των w(z), w (z) και w (z) στην (.9) (ϑέτοντας και P (z) = p(z)/z και Q(z) = q(z)/z ) δίνει [(λ + n)(λ + n )C n + (λ + n)c n p(z) + C n q(z)] z n+λ = (.4) Αντικαθιστώντας τα p(z) και q(z) από την (.3) στην (.4) και πολλαπλασιάζοντας µε z λ έχουµε [ ] [ ] (λ+n)(λ+n )C n z n + (λ+n)c n p k z k z n + C n q k z k z n = (.43) Χρησιµοποιώντας τη γνωστή σχέση a n t n k= b k t k = k= k= ( n ) a n k b k t n (.44) k=

18 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης ο δεύτερος και ο τρίτος όρος της (.43) γράφονται, αντίστοιχα [ n ] [ n ] (λ + n k)p k C n k z n και q k C n k k= οπότε, η (.43) λαµβάνει τη µορφή (λ + n)(λ + n )C n z n + ή [ (λ + n)(λ + n )C n + k= k= z n n [(λ + n k)p k + q k ] C n k z n = ] n [(λ + n k)p k + q k ]C n k z n = (.45) k= Με εξίσωση των συντελεστών όλων των δυνάµεων του z µε το µηδέν έχουµε n [(λ + n)(λ + n ) + (λ + n)p + q ]C n + [(λ + n k)p k + q k ] C n k =, n και ή όπου k= Η εξίσωση αυτή για n = και n > δίνει, αντίστοιχα [λ + (p )λ + q ]C = (.46) [(λ + n)(λ + n ) + (λ + n)p + q ] C n + R n (λ)c n + n [(λ + n k)p k + q k ] C n k =, n > k= n [(λ + n k)p k + q k ] C n k =, n > (.47) k= Η εξίσωση (.46) για C γράφεται R n (λ) = (λ + n) + (p )(λ + n) + q (.48) λ + (p )λ + q = (.49) Η εξίσωση αυτή που είναι η ίδια µε την εξίσωση (.34) λέγεται ενδεικτική ή χαρακτηριστική εξίσωση (indicial equation) της.ε. (.9). Αυτή παίζει καθοριστικό ϱόλο στη µορφή των λύσεων της.ε.. Η λύση της δίνει δύο τιµές για το λ : λ, λ, οι οποίες µπορεί να είναι διαφορετικές ή ίσες. Στην περίπτωση που τα λ, λ έχουν διαφορετικές πραγµατικές τιµές ϑεωρούµε ότι λ > λ. ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεισ: λ λ,,..., λ λ =,, 3... και λ = λ που ϑα εξεταστούν χωριστά στα επόµενα εδάφια. Η εξίσωση (.47) είναι η αναδροµική σχέση από την οποία ϑα προσδιορισθεί ο συντελεστής C n ως συνάρτηση των C, C,..., C n. Παρατηρούµε ότι για µια καθορισµένη τιµή του λ, ο συντελεστής C ϐρίσκεται από τη σχέση (.47) ως συνάρτηση του C. Ο C ϐρίσκεται ως συνάρτηση των C και C και εποµένως ως συνάρτηση µόνο του C. Η διαδικασία αυτή µπορεί να συνεχιστεί για κάθε n, εφόσον R n (λ). ηλαδή, οι συντελεστές C n (n > ) µπορούν να προσδιοριστούν ως συνάρτηση µόνο του συντελεστή C, ο οποίος παίζει το ϱόλο της αυθαίρετης σταθεράς.

19 .3 Μέθοδος Frobenius 3.3. λ λ N, N =,,,... `Οταν οι ϱίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης δεν είναι ίσες και η διαφορά τους δεν είναι ένας ακέραιος αριθµός, η παράσταση R n (λ) στη σχέση (.47) είναι διαφορετική από µηδέν για λ = λ ή λ = λ, n (n > ). Πράγµατι η παράσταση R n (λ), επειδή λ και λ είναι ϱίζες της (.49), οπότε λ + λ = p, γράφεται R n (λ) = λ + (p )λ + q + n(n + λ + p ) = (λ λ )(λ λ ) + n(n + λ λ λ ) και για λ = λ και λ = λ έχουµε R n (λ = λ ) = n[n + (λ λ )] και R n (λ = λ ) = n[n (λ λ )] (.5) Από τις δύο αυτές σχέσεις ϐλέπουµε ότι αν λ λ δεν είναι ακέραιος αριθµός τότε R n (λ = λ ) και R n (λ = λ ), n >. Εποµένως, µπορούµε να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη της (.47) µε R n (λ) και να υπολογίσουµε τους συντελεστές C n για λ = λ και λ = λ. `Ετσι ϐρίσκουµε τις δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της.ε. (.9) που είναι w (z) = C n (λ )z n+λ, w (z) = C n (λ )z n+λ (.5).3. λ λ = N, N =,, 3,... Σε αυτήν την περίπτωση όπως ϕαίνεται αµέσως από τις σχέσεις (.5) έχουµε R n (λ = λ ) = n(n + N), n > (.5) R n (λ = λ ) = n(n N), για n N (.53) Από την (.53) και την (.47) ϐλέπουµε ότι ο συντελεστής C n γίνεται απροσδιόριστος όταν n = N και άρα δεν µπορεί να ϐρεθεί η λύση w (z) της.ε. (.9) που αντιστοιχεί στη ϱίζα λ = λ. `Ετσι στην περίπτωση αυτή µπορούµε να έχουµε µια µερική λύση της.ε. που προκύπτει από την τιµή λ = λ. ηλαδή w (z) = C n (λ )z n+λ (.54) Μια δεύτερη µερική λύση, µπορεί να δειχτεί ότι είναι η [ w (z) = d dλ C n (λ)z n+λ ]λ=λ (.55) όπου οι συντελεστές έχουν υπολογιστεί από την (.47) αφού έχει τεθεί αντί του C το b (λ λ ) µε b µια αυθαίρετη σταθερά. Σηµείωση. Μια δεύτερη µερική λύση (όταν λ λ = N) µπορεί να ϐρεθεί αν αναζητήσουµε λύση της µορφής w (z) = aw (z) ln z + b n z n+λ (.56)

20 4 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Τα a και b n προσδιορίζονται µε αντικατάσταση της (.56) στη.ε.. Πράγµατι, η δεύτερη λύση, σύµφωνα µε τη γενική µορφή της w (z) που δίνεται από τη σχέση (.36) (αντικαθιστώντας το p µε p(z)) ικανοποιεί τη σχέση d dz ( w w ) = exp w [ ] p(z) z dz Αντικαθιστώντας τη w (z) από την (.54) και την p(z) από την (.3) και ολοκληρώνοντας έχουµε ( ) [ ] d w p n = [ dz w ] exp p ln z n zn dz = z p λ F (z) (.57) z λ C n z n n= όπου F (z) = [ ] p n exp n zn n= [ ] = C n z n a n z n (.58) αφού F (z) είναι αναλυτική στο z =. Επιπλέον, από τη χαρακτηριστική εξίσωση έχουµε λ + λ = p και επειδή λ λ = N, ϑα πρέπει p + λ = + N. `Ετσι, η αντικατάσταση της (.58) στην (.57) δίνει ( ) d w = z N a n z n dz και µε ολοκλήρωση αυτής, έχουµε w w (z) w (z) = a N ln z + z N n = n N a n z n όπου η σταθερά ολοκλήρωσης έχει ενσωµατωθεί στους συντελεστές της σειράς. Τέλος, η παραπάνω σχέση γράφεται ή που είναι η σχέση (.56). w (z) = a N w (z) ln z + z N+λ C k z k k= w (z) = a N w (z) ln z + z λ n = n N b n z n Σηµείωση. Αν συµβεί ένας συντελεστής (εκτός του C ) να γίνει ακαθόριστος (αυ- ϑαίρετος) (που είναι δυνατό να συµβαίνει µε τη µικρότερη ϱίζα λ ) τότε λαµβάνεται απ ευθείας η γενική λύση επειδή υπάρχουν δύο αυθαίρετες σταθερές στη σειρά την οποία λαµβάνουµε. Η σειρά που προκύπτει από τη ϱίζα λ συµπίπτει µε µια από τις δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις, οι οποίες υπάρχουν στη γενική λύση. a n z n

21 .3 Μέθοδος Frobenius 5 Σηµείωση 3. Αν συµβεί ο συντελεστής C n = C N (N = λ λ ) να µην εµφανίζεται στην αναδροµική σχέση, η δυσκολία ξεπερνιέται και η µέθοδος δίνει δύο µερικές λύσεις της µορφής της σχέσης (.5). Αυτή η περίπτωση µπορεί να συναντηθεί για παράδειγµα όταν η αναδροµική σχέση συνδέει συντελεστές άρτιων όρων και λ λ = N είναι περιττός αριθµός. Η περίπτωση αυτή συναντάται στη.ε. Bessel ηµιακέραιας τάξης..3.3 λ = λ `Οταν οι δύο ϱίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ίσες (λ = λ ), έχουµε dr (λ) R (λ ) = και dλ = (.59) λ=λ και µε τη µέθοδο του Frobenius ϐρίσκεται µόνο η µια λύση της.ε. (.9) που είναι η w (z) = C n (λ )z n+λ (.6) Η δεύτερη µερική λύση µπορεί να ϐρεθεί ως εξήσ: Υπολογίζουµε το αριστερό µέλος της (.9) αντικαθιστώντας τη w(z) που δίνεται από την (.4) όταν η παράµετρος λ δεν είναι ϱίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης και απαιτούµε οι συντελεστές C n (n > ) να ικανοποιούν την αναδροµικη σχεση (.47). Αν ικανοποιείται όµως η (.47) για n > τότε οι συντελεστές των δυνάµεων του z, για n >, που προκύπτουν όταν αντικαταστήσουµε τη w(z) στο αριστερό µέλος της (.9), είναι µηδέν. `Ετσι, τελικά έχουµε L(w) = C z λ R (λ) Η παραγώγιση αυτής της σχέσης ως προς λ, δίνει ( L( dw) = C dλ z λ R (λ) ln z + R ) (λ) dλ (.6) Αλλά το δεξιό µέλος αυτής της σχέσης, λόγω της (.59) είναι ίσο µε µηδέν όταν λ = λ. Εποµένως L ( ) dw dλ λ=λ = Η σχέση αυτή µας λέει ότι η συνάρτηση w (z) = dw dλ = d C n (λ)z n+λ λ=λ λ=λ dλ λ=λ (.6) είναι λύση της.ε. (7) που είναι γραµµικά ανεξάρτητη της w (z). Η w (z) µπορεί να γραφεί και ως εξής w (z) = dzλ ( ) C n (λ )z n + z λ dcn z n dλ dλ λ=λ ή w (z) = ln z w (z) + z λ ( ) dcn (λ) Ανακεφαλαιώνοντας τα συµπεράσµατα του εδαφίου σηµειώνουµε ότι : dλ λ=λ z n (.63)

22 6 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Στην περιοχή ενός κανονικού ανώµαλου σηµείου µπορούµε πάντα να ϐρούµε τουλάχιστον µια µερική λύση µε τη µέθοδο Frobenius (δηλαδή υπό µορφή γενικευµένης δυναµοσειράς). Τουλάχιστον µια από τις δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της.ε. (.9) είναι πλειότιµη συνάρτηση αφού είτε µια από τις ϱίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης δεν είναι ακέραιος είτε όταν οι ϱίζες διαφέρουν κατά ακέραιο ή είναι ίσες, ο όρος ln z στη δεύτερη µερική λύση έχει κλαδικό σηµείο το z =. Στην περίπτωση αυτή η µε- ϱική λύση γίνεται µονότιµη διαλέγοντας έναν κατάλληλο κλάδο. Αν µια λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ακέραιος αριθµός, η.ε. έχει µια λύση που είναι µονότιµη συνάρτηση και επιπλέον αυτή είναι και αναλυτική συνάρτηση αν η ϱίζα είναι ϑετικός ακέραιος αριθµός. Πρέπει να γίνεται έλεγχος της σύγκλισης των δυναµοσειρών. Μπορεί να δειχτεί ότι οι δυναµοσειρές συγκλίνουν για z < R, δηλαδή όπου οι συναρτήσεις p(z) και q(z) είναι αναλυτικές, ενδέχεται όµως να συγκλίνουν και για z R. Για παράδειγµα η.ε. ( z)zw + z( + z)w ( + z)w = έχει το σηµείο z = κανονικό ανώµαλο σηµείο αφού από τις δύο συναρτήσεις P (z) = z( + z) ( z)z ( + z) + z) =, Q(z) = ( z ( z)z η Q(z) δεν είναι αναλυτική ενώ οι συναρτήσεις p(z) = zp (z) και q(z) = z Q(z) είναι αναλυτικές στο z =. Πράγµατι p(z) = z( + z) z = z( + z) z n = z + 4 z n, z < q(z) = z( + z) z = z 4 z n, z < n= n= Μπορούµε τώρα να διαπιστώσουµε ότι η συνάρτηση w(z) = z είναι λύση της.ε. και είναι αναλυτική για z < αν και οι συναρτήσεις p(z) και q(z) είναι αναλυτικές για z <. Σηµείωση. `Οταν λύνουµε µια.ε. Ϲητώντας λύση υπό µορφή δυναµοσειράς (όπως στα παραδείγµατα του εδαφίου.) ή γενικευµένης δυναµοσειράς (όπως στη µέθοδο του Frobenius) εµφανίζονται γινόµενα παραγόντων που κάνουν τις εκφράσεις των λύσεων της.ε. δύσχρηστες. Για να αποφύγουµε αυτό, πολύ συχνά χρησιµοποιούµε το σύµβολο του Pochhammer που ορίζεται από τη σχέση : (α) n = α(α + )(α + )(α + 3) (α + n ) (.64) Αν χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα της συνάρτηση Γάµµα Γ(α + n) = α(α + )(α + )(α + 3) (α + n )Γ(α)

23 .4 Η Εξίσωση Bessel 7 το σύµβολο (a) n γράφεται (α) n = Γ(α + n) Γ(α) ύο χρήσιµα συµπεράσµατα που συνδέονται µε το σύµβολο (α) n είναι οι σχέσεις () n = n! και ( k ) n = για n > k (k = ακέραιος) (.65).4 Η Εξίσωση Bessel Η ϑεωρία του εδαφίου.3 ϑα γίνει κατανοητή µε την εφαρµογή της στη λύση µερικών διαφορικών εξισώσεων. Πρώτα ϑα εξετάσουµε τη.ε. Bessel η οποία είναι µια από τις εξισώσεις που συναντάµε πολύ συχνά στη ϕυσική σε προβλήµατα κυλινδρικής ή σφαιρικής συµµετρίας. Το χαρακτηριστικό αυτής της εξίσωσης είναι ότι παρουσιάζονται όλες οι προηγούµενες περιπτώσεις των ϱιζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η.Ε. Bessel είναι της µορφήσ: z w + zw + (z ν )w = (.66) όπου ν παράµετρος. Το σηµείο z = είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο της.ε. αφού P (z) = z z = z και Q(z) = z ν z είναι µη αναλυτικές συναρτήσεις σε αυτό και οι συναρτήσεις p(z) = zp (z) =, και q(z) = z Q(z) = z ν είναι αναλυτικές για z <. Εποµένως, σύµφωνα µε τη µέθοδο Frobenius η δυναµοσειρά w(z) = C n z n+λ (.67) είναι λύση της (.66) που συγκλίνει τουλάχιστον για < z < (εκτός από τα σηµεία της τοµής). Οι συντελεστές C n και η παράµετρος λ ϐρίσκονται µε αντικατάσταση αυτής στην (.66). Αν αντικαταστήσουµε την (.67) στην (.66), πολλαπλασιάζοντας συγχρόνως µε z λ, λαµβάνουµε ή (λ + n)(λ + n )C n z n + (λ + n)c n z n + C n z n+ [ ] (λ + n)(λ + n ) + (λ + n) ν C n z n + ν C n z n = C n z n+ = (.68) Αν στη δεύτερη σειρά της (.68) κάνουµε αλλαγή του ϐωβού δείκτη, ϑέτοντας n+ = n και στη συνέχεια n n και επειδή (λ + n)(λ + n ) + (λ + n) ν = (λ + ν + n)(λ ν + n)

24 8 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης η (.68) γράφεται ή (λ + ν + n)(λ ν + n)c n z n + (λ+ν)(λ ν)c +(λ+ν +)(λ ν +)C z+ C n z n = n= [(λ + ν + n)(λ ν + n)c n + C n ] z n = n= Επειδή η παραπάνω δυναµοσειρά είναι ίση µε το µηδέν οι συντελεστές όλων των δυνάµεων του z είναι µηδέν. ηλαδή, i. (λ + ν)(λ ν)c =. Για C (λ + ν)(λ ν) = (.69) ii. (λ + ν + )(λ ν + )C = (.7) iii. (λ + ν + n)(λ ν + n)c n + C n =, n (.7) Η εξίσωση (.69) είναι η χαρακτηριστική εξίσωση της.ε. και έχει ϱίζες τις λ = ν και λ = ν (.7) Χωρίς να περιορίζεται η γενικότητα του προβλήµατος ϑέτουµε ν. Από την (.7) ϐλέπουµε ότι για λ = λ = ν έχουµε (ν + )C = C = (.73) ενώ για λ = λ = ν έχουµε ( ν + )C = C = όταν ν C = αυθαίρετο όταν ν = (.74) Από την αναδροµική σχέση (.7) διαπιστώνουµε ότι η παράσταση R n (λ) = (λ + ν + n)(λ ν + n), n είναι διάφορη του µηδενός όταν λ = ν ενώ όταν λ = ν γράφεται από την οποία συµπεραίνουµε ότι R n (λ = ν) = n(n ν), n R n (λ = ν) όταν ν n =,, 3,, 5, (.75) `Αρα, όταν η παράµετρος ν δεν είναι ένας ακέραιος ή ηµιακέραιος αριθµός, R n (λ) για λ = ±ν. Εποµένως, για κάθε ν είναι δυνατό να ϐρεθεί η µια λύση της.ε., ενώ η µορφή της δεύτερης λύσης εξαρτάται από το αν η παράµετρος ν είναι α) ν,,, 3,,...,, β) ν =, 3, 5,, γ) ν =,, 3,, δ) ν = Θα εξετάσουµε κάθε µια από αυτές τις περιπτώσεις χωριστά.

25 .4 Η Εξίσωση Bessel 9.4. Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για ν,,, 3,, 5,... `Οταν η παράµετρος ν δεν είναι ακέραιος ή ηµιακέραιος αριθµός ή µηδέν µπορούν να ϐρεθούν και οι δύο λύσεις της.ε. ϑέτοντας στην αναδροµική σχέση (.7) λ = λ = ν και λ = λ = ν. Η αναδροµική σχέση για n = k και n = k + γράφεται (αφού R n (λ) για n ) C k = C k+ = (λ + ν + k)(λ ν + k) C k, k (.76) (λ + ν + k + )(λ ν + k + ) C k, k (.77) Επειδή C = (σχέση (.73) ) η (.77) δίνει ενώ η (.76) για k =,, 3,... δίνει k = C = k = C 4 =. k = k C k = Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη έχουµε C k = = C k+ = για k (.78). (λ + ν + )(λ ν + ) C (λ + ν + 4)(λ ν + 4) C (λ + ν + k)(λ ν + k) C k ( ) k C (λ + ν + )(λ + ν + 4) (λ + ν + k)(λ ν + )(λ ν + 4) (λ ν + k) ( ) k C k( λ+ν + ) k k( λ ν + ) k = ( )k Γ ( λ+ν + ) Γ ( λ ν + ) C k Γ ( λ+ν + + k ) Γ ( λ ν Από αυτή για λ = λ = ν έχουµε (αφού Γ() = και Γ(k + ) = k!) `Ετσι, η µια λύση της.ε. είναι w (z) = C Αν ϑέσουµε k= C k (λ = ν) = ( )k Γ(ν + ) k Γ(ν + + k)k! C ( ) k Γ(ν + ) k k!γ(ν + + k) zk+ν = C ν Γ(ν + ) η (.8), ϑέτοντας w (z) = J ν (z), γράφεται C ν Γ(ν + ) = C = k= + + k ) (.79) ( ) k ( z ) k+ν k!γ(ν + + k) (.8) J ν (z) = k= ( ) k z ) k+ν (.8) k!γ(ν + + k)(

26 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Η δεύτερη λύση ϐρίσκεται αν στην (.79) ϑέσουµε λ = λ = ν και εκλέξουµε την αυθαίρετη σταθερά C έτσι ώστε C ν Γ( ν + ) = C = `Ετσι ϐρίσκουµε ότι η δεύτερη λύση της.ε. είναι J ν (z) = και η γενική λύση της.ε. είναι k= ( ) k k!γ( ν + + k) (z )k ν (.8) w(z) = AJ ν (z) + BJ ν (z) (A, B = αυθαίρετες σταθερές) Η συνάρτηση J ν (z) λέγεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης ν. Εφαρµόζοντας το κριτήριο του d Alembert διαπιστώνουµε ότι οι παραπάνω σειρές (χωρίς τη δύναµη (z/) ±ν ) συγκλίνουν για z <. Πράγµατι, λαµβάνοντας υπόψιν την αναδροµική σχέση (.7) για λ = ν ή λ = ν, έχουµε lim C n z n n C n z n = lim n (±ν + n)n z = z < για z < Για z = ο όρος (z/) ±ν δεν είναι αναλυτική συνάρτηση εφόσον το ν δεν είναι ακέραιος αριθµός. `Αρα οι συναρτήσεις J ν (z) και J ν (z) είναι αναλυτικές συναρτήσεις σε όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από τα σηµεία z = και z = και τα σηµεία της τοµής που ενώνει τα σηµεία z = και z =..4. Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για ν = m+, m =,,, 3,... Στην περίπτωση αυτή η µια λύση δίνεται από την (.8) αν ϑέσουµε ν = m +. Αυτή είναι ( ) k J m+ (z) = )k+m+ k!γ(m k)(z (.83) k= Η δεύτερη λύση ϐρίσκεται πάλι εύκολα, αν και η διαφορά των δύο ϱιζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ένας ακέραιος αριθµός. Πράγµατι, επειδή λ λ = ν = m+ = περιττός αριθµος, η σχέση (.75) δίνει R n (λ = λ = m ) = n(n m ) = για n = m + (.84) δηλαδή, R n (λ ) = όταν n είναι ο περιττός αριθµός m +. `Οµως, η αναδροµική σχέση (.7) συνδέει τους συντελεστές C n µε άρτιο δείκτη ή µε περιττό δείκτη. `Ετσι, αν χρησιµοποιήσουµε την (.7) για n = k και λ = λ = m η παράσταση R n(λ) για n = περιττός αριθµός δεν εµφανίζεται, οπότε, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία µε αυτήν της περίπτωσης του εδαφίου.4., ϐρίσκουµε ότι η δεύτερη λύση της.ε. είναι J m (z) = ( ) k )k m k!γ( m + + k)(z k= (.85)

27 .4 Η Εξίσωση Bessel Σηµείωση. Στην περίπτωση που εξετάζουµε µπορούν να ϐρεθούν και οι δύο λύσεις της.ε. µόνο από τη µικρότερη ϱίζα, λ = m, επειδή εκτός από την αυθαίρετη σταθερά C (λόγω της σχέσης (.69) ) υπάρχει και άλλη αυθαίρετη σταθερά, η C m+. Αυτό είναι προφανές για λ = λ = από τη σχέση (.74). `Οταν λ = λ = m, επειδή C =, ϑα έχουµε C k+ = για k < m ενώ για k = m, γράφοντας την αναδροµική σχέση (.7) για n = k + και λ = λ = m, έχουµε [ ] C k=m k+ = (k + )(k m) C k k=m = = ακαθόριστο Εποµένως µπορούν να προσδιοριστούν οι συντελεστές C k+ για k > m ως συνάρτηση του C m Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για ν = m =,, 3,... Στην περίπτωση αυτή η µια λύση ϐρίσκεται από την (.8) αν ϑέσουµε ν = m= ακέραιος αριθµός. Αυτή είναι ( ) k J m (z) = k!γ(m + + k) (z )k+m (.86) k= Η συνάρτηση αυτή λέγεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους ακέραιας τάξης m και είναι αναλυτική για z < (δηλαδή είναι αναλυτική και στο µηδέν). Η δεύτερη µερική λύση δεν µπορεί να ϐρεθεί µε τη µέθοδο του Frobenius επειδή για λ = λ = ν = m έχουµε R n (λ = m) = n(n m) = όταν n = m Εποµένως, ο συντελεστής C m γίνεται απροσδιόριστος ενώ όλοι οι συντελεστές C k+ = για k. Η δεύτερη λύση της διαφορικής εξίσωσης µπορεί να ϐρεθεί µε τη ϐοήθεια της σχέσης (.55) ή της (.56). Επειδή όµως η όλη διαδικασία είναι πολύπλοκη δεν ϑα ασχοληθούµε µε αυτόν τον τρόπο. Η δεύτερη λύση της.ε. Bessel µπορεί να ϐρεθεί πιο κοµψά (!) ως εξήσ: Ορίζουµε τη συνάρτηση N ν (z) = J ν(z) cos νπ J ν (z) sin νπ (.87) Η συνάρτηση N ν (z) λέγεται συνάρτηση Neumann τάξης ν ή συνάρτηση Bessel δευτέρου είδους τάξης ν. Η N ν (z), που είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των J ν (z) και J ν (z), είναι λύση της.ε. Bessel και µαζί µε µια από τις J ν (z) και J ν (z) µας δίνουν δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις, εφόσον το ν δεν είναι ακέραιος αριθµός. Οταν ν = m = ακέραιος, λόγω της (.87) και επειδή J m (z) = ( ) m J m (z), η N ν (z) γίνεται απροσδιόριστη (N m (z) = /). Εφαρµόζοντας τον κανόνα του L Hospital, έχουµε N m (z) = [J ν ν(z) cos νπ J ν (z)] sin νπ ν = [ Jν (z) π ν ν=m ( ) m J ν(z) ν ] ν=m

28 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και µετά από πράξεις ϐρίσκουµε [ N m (z) = ( z ln + γ π ) π m r= (m r )! r! m k= ( z ] J m (z) k π r= ( ) r (z/)m+r r!(m + r)! r p= ( p + ) p + m ) m+r (.88) όπου γ = lim n ( n k= ) k ln n.5776 (σταθερα Euler Mascheroni).4.4 Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel για λ λ = ν = Στην περίπτωση αυτή η µια λύση ϐρίσκεται από την (.8) ϑέτοντας ν = w (z) = C J (z) = C k= Η δεύτερη λύση σύµφωνα µε το εδάφιο.5 είναι w (z) = w (z) ln z + k= ( ) k k (k!) zk (.89) dc k (λ) dλ z k (.9) λ= αφού C k+ =. Οι συντελεστές C k (λ) που ϐρίσκονται από την (.7) για n = k και ν = ή την (.76) για ν =, είναι της µορφής και µε τη γνωστή διαδικασία έχουµε C k (λ) = C k = (k + λ) C k, k ( ) k ( + λ) (4 + λ) (k + λ) C = C k p= ( ) k (p + λ) dc k dλ Η παράγωγος του C k (λ) ως προς λ είναι [ = C λ= d dλ = C k r= k p= r + λ = C ( ) k k (k!) ] ( ) k (p + λ) p= λ= = C k r= k ( ) k (p + λ) = C λ= k r= r [ d ( dλ (r + λ) k p= ( ) k (p) ) k k r= r p = r p ] ( ) k (p + λ) λ=

29 .5 Υπεργεωµετρική εξίσωση και σειρά 3 Εποµένως w (z) = w (z) ln z C = C [J (z) ln z k= k= ( ) k z k k (k!) ( ) k z k k (k!) k r ] k r r= r= (.9).5 Υπεργεωµετρική εξίσωση και σειρά `Ενα δεύτερο παράδειγµα λύσης.ε., που ϑα εξετάσουµε µε τη µέθοδο Frobenius, είναι η.ε. z( z)w + [γ ( + α + β)z]w αβw = (.9) όπου α, β, γ παράµετροι. Αυτή λέγεται Υπεργεωµετρική εξίσωση και παρουσιάζει µεγάλο ενδιαφέρον επειδή πολλές διαφορικές εξισώσεις που συναντάµε στις εφαρµογές µετασχηµατίζονται σε αυτήν µε κατάλληλο µετασχηµατισµό. Θα λύσουµε την (.9) στην περιοχή των σηµείων z =,,, που όπως ϑα δούµε είναι κανονικά ανώµαλα σηµεία. i. Το σηµείο z = είναι ανώµαλο σηµείο της.ε. αφού οι συναρτήσεις P (z) = γ ( + α + β)z z( z) και Q(z) = αβ z( z) (.93) δεν είναι αναλυτικές στο z = (η P (z) είναι αναλυτική για γ = ), ενώ οι συναρτήσεις p(z) = zp (z) = γ ( + α + β)z z και q(z) = z Q(z) = αβz z (.94) είναι αναλυτικές (για z < ) και εποµένως το σηµείο αυτό είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο της.ε. Επιπλέον, επειδή p = p(z = ) = γ και q = q(z = ) = η χαρακτηριστική εξίσωση της.ε. και οι ϱίζες της είναι λ + (γ )λ =, λ =, λ = γ (.95) ii. Το σηµείο z = είναι και αυτό ανώµαλο σηµείο όπως ϕαίνεται από την (.93), ενώ οι συναρτήσεις γ ( + α + β)z p(z) = (z )P (z) = z και q(z) = (z ) Q(z) = αβ z z είναι αναλυτικές συναρτήσεις στο z = ( µε z < ). Εποµένως, το σηµείο αυτό είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο της.ε.. Επειδή p = p(z = ) = γ + ( + a + b) και q = q(z = ) = η χαρακτηριστική εξίσωση της.ε. και οι ϱίζες της είναι λ + ( γ + α + β)λ =, λ =, λ = γ α β (.96)

30 4 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης iii. Για το χαρακτηρισµό του σηµείου z = (πρέπει να εξεταστούν οι συναρτήσεις (ϐλέπε εδάφιο (.) ) P (ζ) = ζ ζ P ( ζ ) = ζ [ ] γζ ( + α + β), Q(ζ) = ζ ζ Q( ) = 4 ζ αβ ζ (ζ ) Παρατηρούµε ότι στο ζ = οι P (ζ) και Q(ζ) δεν είναι αναλυτικές ενώ οι συναρτήσεισ: p(ζ) = ζ P ( ζ γζ ( + α + β) ) =, q(ζ) = ζ Q( ζ ζ ) = αβ ζ είναι αναλυτικές σε αυτό ( ζ < z > ) και έτσι το σηµείο z = είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο της.ε.. Επιπλέον, επειδή p = p(ζ = ) = (α + β) και q = q(ζ = ) = αβ η χαρακτηριστική εξίσωση είναι λ (α + β)λ + αβ =, λ = α και λ = β (.98) Είδαµε ότι τα σηµεία z =,, είναι κανονικά ανώµαλα σηµεία της.ε. (.9) και εποµένως µπορεί να ϐρεθεί µια τουλάχιστον µερική λύση αυτής, στην περιοχή αυτών των σηµείων, της µορφής w(z) = w(z) = C n z n, z < ή w(z) = z γ C n z n, < z < C n (z ) n, z < ή w(z) = (z ) γ α β C n (z ) n, < z < w(z) = z α C n z n, < z < ή w(z) = z β C n z n, < z < Οι παραπάνω παρατηρήσεις συνοψίζονται στο σχήµα w(z) = P α z γ β γ α β (.99) µε το οποίο παριστάνουµε συµβολικά τη λύση της.ε. (.9). Το σύµβολο P µπροστά από την αγκύλη λέγεται συνάρτηση P του Riemann. Στη συνέχεια ϑα ϐρούµε τη µορφή των λύσεων της (.9) στην περιοχή των σηµείων z =,,.

31 .5 Υπεργεωµετρική εξίσωση και σειρά 5.5. Λύση της υπεργεωµετρικής εξίσωσης στο σηµείο z = Με τη γνωστή διαδικασία της µεθόδου Frobenius, για z =, Ϲητάµε λύση της µορφής w(z) = C n z n+λ (.) Η αντικατάσταση αυτής στην (.9) δίνει, µετά από πράξεις (n + λ)(n + λ + γ)c n z n+λ (n + λ + α)(n + λ + β)c n z n+λ = (.) Θέτοντας στη δεύτερη σειρά n = n και στη συνέχεια n n αυτή γράφεται (n + λ + α)(n + λ + β)c n z n+λ n= οπότε η (.) γράφεται (πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της µε z λ+ ) λ(λ + γ)c + [(n + λ)(n + λ + γ)c n (n + λ + α)(n + λ + β)c n ] z n = n= Εξισώνοντας τους συντελεστές όλων των δυνάµεων του z µε µηδέν, έχουµε i. λ(λ + γ)c = ii. (λ + n)(λ + γ + n )C n (λ + α + n )(λ + β + n )C n =, n Η πρώτη εξίσωση, για C µας δίνει τις ϱίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης που ϐρέθηκαν και προηγούµενα, δηλαδή λ = και λ = γ. Η δεύτερη εξίσωση δίνει C n = (λ + α + n )(λ + β + n ) C n, n (.) (λ + n)(λ + γ + n ) εφόσον R n (λ) = (λ + n)(λ + γ + n ), n Αν στην αναδροµική σχέση (.) ϑέσουµε n =,,... λαµβάνουµε n = C = (λ + α)(λ + β) (λ + )(λ + γ) C n = C =.. n = n C n = (λ + α + )(λ + β + ) C (λ + )(λ + γ + ) (λ + α + n )(λ + β + n ) C n (λ + n)(λ + γ + n ) και µε πολλαπλασιασµό κατά µέλη έχουµε C n = (λ + α)(λ + α + ) (λ + α + n )(λ + β)(λ + β + ) (λ + β + n ) C, n (λ + )(λ + ) (λ + n)(λ + γ)(λ + γ + ) (λ + γ + n )

32 6 Λύση συνήθων γραµµικών και οµογενών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης χρησιµοποιώντας το σύµβολο του Pochhammer και ϑέτοντας C =, η παραπάνω σχέση γράφεται C n = (λ + α) n(λ + β) n (λ + ) n (λ + γ) n, n αλλά και n = (.3) `Ετσι, για λ = λ = η µια λύση είναι (ως γνωστό () n = n! ) w (z) = εφόσον R n (λ = λ = ), δηλαδή γ,,,.... Ενώ, για λ = λ = γ η δεύτερη λύση είναι w (z) = z γ (α) n (β) n n!(γ) n z n F (α, β; γ; z) (.4) (α γ + ) n (β γ + ) n z n n!( γ) n = z γ F (α γ +, β γ + ; γ; z) (.5) εφόσον R n (λ = λ = γ), δηλαδή, γ, 3, 4,... και γ επειδή τότε λ = λ. Η δυναµοσειρά F λέγεται υπεργεωµετρική σειρά. Ο δείκτης σηµαίνει ότι έχουµε δύο παραµέτρους στον αριθµητή και ο δείκτης µια παράµετρο στον παρονοµαστή. Η γενική λύση της (.9), στην περιοχή του σηµείου z =, είναι w(z) = A F (α, β; γ; z) + Bz γ F (α γ +, β γ + ; γ; z) (.6) Με το κριτήριο του d Alembert µπορούµε να ϐρούµε την ακτίνα σύγκλισης των υπεργεωµετρικών σειρών των (.4) και (.5). Χρησιµοποιώντας την αναδροµική σχέση (.) για λ = λ = ϐρίσκουµε lim C n z n n C n z n = lim (α + n )(β + n ) z = z n n(γ + n ) ηλαδή, η F (α, β; γ; z) συγκλίνει απόλυτα για z < (εφόσον ϐέβαια γ,,,... γιατί τότε οι συντελεστές C n απειρίζονται για n > γ ) και αποκλίνει για z >. Για λ = λ = γ έχουµε lim n C n z n C n z n = lim n (α γ + n)(β γ + n) z = z ( γ + n)n ηλαδή και η δεύτερη δυναµοσειρά συγκλίνει για z < (εφόσον ϐέβαια γ,, 3,...) και αποκλίνει για z >..5. Λύση της υπεργεωµετρικής εξισώσεως στο σηµείο z = Για να ϐρεθεί η λύση της υπεργεωµετρικής εξίσωσης στην περιοχή του σηµείου z = χρησιµοποιούµε το µετασχηµατισµό t = z οπότε dw dz = dw dt `Ετσι, η υπεργεωµετρική εξίσωση γράφεται t( t) d w dt και d w dz = d w dt dw + [ + α + β γ ( + α + β)t ] αβw = (.7) dt