Бернулијева једначина

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Бернулијева једначина"

Transcript

1 Бернулијева једначина За инжењерску анализу струјних проблема најважнија је Бернулијева једначина. Скоро сви практични задаци решавају се директно - применом Бернулијеве једначине (Б.ј.) са њеним пратећим условом једначином континуитета. Значај једначине огледа се у њеном садржају који представља биланс поједи них врста флуидне енергије. Њен општепознат облик без губитака (z оса оријентисана навише) v p J + + gz = const. ρ kg је основни облик. Сваки члан на левој страни представља енергију коју у себи садржи јединична маса флуидне струје. Први члан представља кинетичку енергију, други енергију притиска, а трећи положајну енергију. Константа на десној страни означава да је збир наведене три врсте енергије константан за било коју тачку струјнице. Делимичним ограничењем за кинетичку енергију, могуће је прећи са струјнице на струјно влакно, струјну цев и на произвољне, замишљене или стварне, проточне пресеке, између којих постоји флуидни континуитет. Други, врло често употребљаван облик Бренулијеве једначине је: v p J + + z = const. g ρg N где су [ mst ] метри стуба течности, најчешће воде [ ] [ mst] mvs. Овде су поједине врсте енергије дате у метрима стуба течности која струји кроз посматране пресеке. Погодна је за квантитативно и дијаграмско поређење свих врста енергије преко одговарајућих висина стубова проточне течности. Чланови су редом: брзинска висина, притисна (пијезометарска) висина и геодезијска висина. Снага флуидне струје добија се множењем сваког члана Бернулијеве једначине са проточном масом (ρq), па је P = ρqv + pq+ zρgq = const. [ W]. Први члан одређује снагу флуидне струје при атмосферском притиску. Друга два члана одређују снагу када постоји разлика притисака у флуидној струји и околини у односу на коју се мери снага (најчешће атмосферски притисак). Ова снага може да буде позитивна и негативна, а уобичајено је да се даје са P= pq. Основни облик Б.ј. (без губитака) описује струјање идеалног флуида, док проширени облик (са губицима) даје слику енергијских промена реалног, вискозног флуида. Губици при струјању стварног флуида приказани су уз помоћ експерименталних података у процентима кинетичке енергије основне флуидне струје. На овакав начин обрачунавање вискозних утицаја упутила је немогућност потпуне теоријске анализе струјања реалног флуида (турбулентан режим). Подела притисака према карактеру и основни начин за њихово одређивање При кретању, поред статичког притиска p s (сви ранији притисци имају карактер статичког), постоји и динамички притисак p d који је мера кинетичке енергије флуидне струје. Збир ова два притисака је тотални притисак p t, што проистиче из примене Б.ј. за тачке S и T (слика ). Динамички притисак дат је изразом pt = ps + pd. 67

2 pd где су: ρ - густина, а v брзина флуидне струје. = ρv [ Pa] Слика. Статички и тотални притисак при опструјавњу око тела Тотални притисак мери се у тачкама где је брзине флуида једнака нули, тј. у зауставним тачкама, па се зато назива и зауставни притисак. Инструмент за одређивање тоталног притиска назива се Питова цев (слика ). Слика. Принцип мерења тоталног притиска Питовом цеви Статички притисак мери се на површинама преко којих флуид прелази непромењеним брзинама (нпр. рупе на зидовима цеви) (слика 3). Слика 3. Мерење статичког притиска помоћу U цеви Динамички притисак одређује се посредним путем, мерењем разлике тоталног и статичког притиска. Уређај за мерење динамичког притиска зове се Прантлова сонда и приказан је на слици 4. 68

3 Слика 4. Принцип мерења динамичког притиска и Прантловa сонда Упутства за примену Бернулијеве једначине Ефикасна примена Б.ј. захтева поштовање одређених упутстава.. Б.ј. се увек пише само за два пресека и то тако да се са леве стране налази флуидна енергија у пресеку одакле тече струја (), а са десне стране флуидна енергија у пресеку ка коме се струјање врши () (слика 5). Испред Б.ј. обавезно се ставља податак Б.ј. - којим је означено за које тачке је написана Бернулијева једначина. Увек треба имати на уму да су чланови Б.ј. енергије делића течности који се налази у уоченом положају. Тако нпр. ако су два флуидна делића на различитим висинама, онај у вишој тачки има вишу положајну енергију за њихову висинску разлику gh (слика 6). Слика 5. Уочени струјни пресеци и њихове карактеристике. За било које две тачке које могу да се повежу замишљеном или стварном струјницом, Б.ј. је пуноважна (слика 7). 3. Уз Б.ј. која у основном облику садржи шест непознатих (v, v, p, p, h, h ), увек се везује и једначина континуитета. У простим цевним проблемима ЈК гласи: π d π d v 4 4 = v и у Бј елиминише једну непознату брзину. Ако се геодезијске висине (енергије положаја) оцењују у односу на ниже означен пресек, у Б.ј. уместо висина h и h јавља се њихова разлика као једна непозната. 69

4 Иако су увођењем једначине континуитета и реперног нивоа од ниже тачке елиминисане две непознате, основни облик Б.Ј. садржи још 4 непозанте и због тога се мора посветити посебна пажња избору карактеристичних тачака и. Пресеке (нпр. тачке и ) треба узимати на местима за која постоји највећи број познатих података. Слика 6. Висинска разлика флуидних делића Слика 7. Повезивање две тачке замишљеном или стварном струјницом За случај претакања (без губитака) из једног резервоара у други (слика 7), код којих је површина течности много већа од површине пресека спојне цеви, карактеристичне тачке Б.ј. су слободни нивои течности у резервоарима. На њима су кинетичке енергије делића течности занемарљиве, тј. v =v =0, а притисак p =p a. Тада Б.ј. - гласи: pa v p v + + hg = + ρ ρ односно hg p p p ρ ρ a m = =. Слика 8. Слободно истицање у атмосферу За случај слободног истицања у атмосферу (без губитака) (слика 8), карактеристичне тачке и су ниво течности у резервоару и завршни пресек цевовода у коме влада атмосферски притисак p a, па је Б.ј.-: 70

5 односно pa v p v + + hg = + ρ ρ a v h = g 4. Ако се поред постојеће Б.ј. за неки струјни проблем могу написати и друге Б.ј., такве да се у њима јављају нове непознате величине, оне су такође пуноважне. То се редовно дешава при решавању проблема сложених цевовода. 5. У Б.ј. треба уносити интензитете средњих брзина (ознака v) и статичке притиска (ознака p) који су непроменљиви у целом попречном пресеку цевовода. Са апсолутних притисака врло је лако прећи на релативне манометарске и вакуумметарске. За енергијски преглед проблема најјаснија представа добија се када се чланови Б.ј. изражавају у метрима стуба течности (mst). 6. Пре постављања Б.ј. требало би извршити анализу проблема: схватити и потврдити његов физички смисао, одредити карактеристичне тачке и редослед решавања једначина. Нумеричко решење даће квантитативне односе тражених и задатих величина и потврдиће оправданост постављеног задатка. Уколико је решење сумњиве вредности, разматрање енергијског биланса са графичком представом дуж тока струјања лако ће открити рачунску и формалну грешку. Корекциони фактор кинетичке енергије Када је Б.ј. написана за струјницу, кинетичка енергија проточне масе флуида (v /) представљена је брзином v у означеној тачки, а када је Б.ј. написана за неки проточни пресек, онда v представља средњу брзину флуида (v sr ) кроз цео пресек. Међутим, у зависности од врсте струјања (ламинарно, прелазно, турбулентно) члан v sr не даје увек праву величину кинетичке енергије и потребно је увести корекциони фактор α, који ће помножен са v sr, дати стварну величину кинетичке енергије по јединици масе, тј. vsr Ek = α (v sr се обично пише без индекса). Ова енергија треба да се уведе у Б.ј. За ламинарно струјање кроз цеви је α=, а за турбулентно струјање је α=,0-,, па се најчешће узима као. Б.ј. са корекционим фактором гласи: p v p v ρ ρ + α + gz = + α + gz На корекциони фактор обраћа се пажња када ламинарно струјање прелази у турбулентно и када је ламинарно струјање кроз цео цевовод. Због економичности, у цевоводима су углавном турбулентна струјања, па се корекциони фактор не пише. Цевни проблеми облик са губицима Струјање реалног флуида прате губици. Теоријска анализа струјања реалног флуида заснива се на Навије-Стоксовој једначини која због комплексности не може да се користи у пракси. Вискозне силе које се јављају при струјању кроз цевоводе у практичним задацима представљају се члановима који у себи садрже губитке енергије. Грубици се дела на локалне губитке и губитке услед трења. И ови чланови са губицима енергије представљају се у процентима кинетичке енергије. За локалне губитке члан губитка представљен је производом коефицијента локалног губитака ζ и динамичког притиска 7

6 ρ v за цевни пресек непосредно испред локалног отпора. За губитке услед трења, члан губитака представља се као l ρv λ d где су λ коефицијент трења, l дужина цевне деонице и d унутрашњи пресек цеви. Локални губици јављају се при промени вектора брзине. Карактеристична места где се јављају локални губици су: колена, вентили, засуни, бленде, нагла проширења и сужења, усисне корпе, рачве и др. Део укупне флуидне енергије у пресеку (слика 9) троши се на савладавање губитака који се јављају при струјању на путу до пресека. Због тога је укупна енергија у пресеку мања од енергије у пресеку, за вредност губитака. Изгубљена енергија (губици) h i g у Б.ј. на уносе се са десне стране: Слика 9. Примена Бернулијеве једначине са губицима на цевовод са променљивим цевним пресеком p v p v + α + gz = + α + gz + hi g ρ ρ Коефицијенти локалних губитака Локални губици могу да се распореде у неколико група: проширења, сужења, кривине, рачве и цевне арматуре. Проширења Слика 0. Нагло проширење Пад притиска и коефицијент локалног губитка су: p= ρ v v ( ) p A ζ = = ρv A 7

7 Испитивања су показала да притисак у вртложној зони p није једнак притиску у улазној деоници p, па се због тога уводи корекциони фактор С, те је кориговани коефицијент губитка: p A ζ = = C ρv A где је С незнатно веће од. Изгу бљена снага услед наглог проширења дата је са P= pq. Дифузор Употребом дифузора (слика ) смањује се губитак у односу на нагло проширење. Експерименти су показали да је коефицијент губитка p p ζ = =, ρ ( v v) A ρv A функција угла θ и односа површина А /А. Његова вредност и вредност степена корисности дифузора ( η = ζ ) дате су на слици. степен корисности показује колико се енергије сачувало после дифузора. Слика. Дифузор Испитивања су показала да је: Слика. Коефицијент губитка ζ и степен корисности η дифузора 73

8 o угао проширења, који даје најбољи коефицијент корисности око 6-8 за цеви кружног пресека, 6 за цеви квадратног пресека и за правоугаоне цеви; o за задани однос А /А, дифузор са кружним пресеком и квадратним наставком даје најбоље η; o дужина цеви пре дифузора треба да буде што је могуће краћа. У извесној граници η је функција производа θ и l/d, где је l/d - ефективна улазна дужина ; o дужина цеви иза дифузора побољшава η; дужина излазне цеви треба да буде 4-6 пута већа од већег пречника D. У пракси се дифузор најчешће користи за трансформацију кинетичке енергије у енергију притиска. Када је дифузор постављен на крају цевовода, а на улазу у резервоар, треба очекивати повећање протока, због смањења излазног губитка. Сужења Нагло сужење При струјању флуида кроз нагло сужење проточна површина смањује се како је приказано на слици 3. Постигнувши низводно од сужења најмањи пресек ("vena contracta") струја се постепено шири да би најзад потпуно попунила пресек. Вртлози који се стварају између зидова цеви и граничних струјница, користе струјну енергију која их држи у ротацији. Слика 3. Нагло сужење Занемарујући губитке кроз сужени део "venе contracta" губитак у проширеној деоници, који је много већи (због неповољног grad p) је односно A p= ρ( vmax v) = ρv A0 ζ = = ρv A0 p Количник А /А 0 зависи од А /А, па је коефицијент губитка ζ у функцији од А /А. Неке вредности за ζ дате су у табели. Табела. Вредности ζ за нагла сужења Млазник А /А 0, 0,4 0,6 0,8,0 ζ 0,34 0,7 0,6 0,05 0 Постепено сужење (слика 4), у нормално изведеним конструкцијама, одликује се малим коефицијентом губитка ζ. Губитак се везује за брзину v, тј. A. 74

9 v p = ζρ. Слика 4. Млазник У табели дати су експериментални подаци за ζ у функцији угла θ и односа улазног и излазног пречника. Табела. Вредности ζ за млазнике за D /D =, θ [ ] ζ 0,04 0,05 0,07 0,08 за D /D = θ [ ] ζ 0,07 0,08 0, 0,4 за D /D =3 θ [ ] ζ 0,08 0,0 0,4 0,7 Улазни губитак Улазни губици мањи су уколико је улаз подешен тако да је блажа промена струјнице. На слици 5 дате су вредности коефицијента губитака ζ за неке врсте цевних улаза. Слика 5. Различите врсте цевних улаза Треба избегавати усвајање наглог сужења за улаз у цевоводе, а уместо тога практиковати заобљене прелазе. Постепено сужавајућим, добро обрађеним пресеком могуће је највише смањити улазни губитак. 75

10 Кривине Колено Губици у коленима већи су од губитака у правим цевима исте дужине. Ти додатни губици проузроковани су повећаном турбуленцијом која је последица промене смера струјања. Промена струјања изазива повећање притиска на спољашњој страни кривине и смањење притиска на унутрашњој. Због тога се нарушава профил брзине и центрифугалне силе изазивају секундарно струјање као што је приказано на слици 6. Струја флуида напута колено крећући се у дуплој спирали која нестаје тек у доста удаљеном низводном пресеку. Међутим, подразумева се да је пун ефекат губитка концентрисан на колено. Слика 6. Струјна слика и распоред притиска у колену Слика 7. Коефицијент губитка ζ за колено до 90 и оштро колено до 90 у зависности од односа r/d Коефицијент губитка дефинише се као p ζ =, ρv 76

11 и зависи од односа r/d, а не зависи од Re. На следећим дијаграмима дате су вредности коефицијента губитка ζ за колено до 90 и оштро колено до 90 (слика 7), као и за колено од 90 (слика 8). Слика 8. Коефицијент губитка ζ за колено од 90 у зависности од односа r/d и релативне храпавости е/d Цевне кривине мање од 90 имају мањи коефицијент губитка ζ (слика 7). Међутим, да би се коефицијент губитка ζ знатније смањио, угао α мора бити мањи од 45. За веће односе r/d занамарљив је губитак проузрокован одлепљивањем струје, али је испољен губитак услед појаве секундарне спиралне струје, тако да се са порастом угла α постепено повећава губитак. Нпр. коефицијент губитка за колено од 80 само је за око 50 % већи од истог коефицијента за колено од 90. Слика 9. Коефицијент губитка ζ за оштро колено од 90 са скретним лопатицама у зависности од облика скретних лопатица крива лопатице облика аеропрофила а); криве, 3 и 4 кружни лук различитог облика б) и односа s/c Уградњом скретних лопатица у оштро колено губици се знатно смањују. На следећем дијаграму (слика 9) дати су коефицијенти губитака ζ за разне врсте скретних лопатица. Да би се флуидна струја скренула тачно за 90, потребно је лопатице савити за додатни угао δ, због ранијег одлепљивања струје (слика 0). 77

12 Слика 0. Додатно савијање лопатица у циљу постизања скретања струје за 90 Рачве Рачве и тројници У табели 3 дати су коефицијенти губитака ζ за неке случајеве рачвања и сучељавања флуидне струје (слика ). Притисци у појединим гранама једне рачве (θ<90 ), или тројника (θ=90 ), међусобно се разликују само за величину губитка који се одређује преко одговарајућег коефицијента губитка и брзине основног тока струје. Губитак у рачви може се смањити заобљивањем улазних ивица. Табела 3. Коефицијент ζ за рачвање и сучељавање (слика ) v /v 0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Рачвање а) ζ - 0,96 0,88 0,89 0,96,0,0 θ=90 ζ -3 0,05-0,08-0,04 0,07 0, 0,35 Рачвање б) ζ - 0,90 0,66 0,47 0,33 0,9 0,35 θ=45 ζ -3 0,04-0,06-0,04 0,07 0,0 0,33 Сучељавање ц) ζ - -,04-0,40 0,0 0,47 0,73 0,9 θ=90 ζ 3-0,06 0,8 0,30 0,40 0,50 0,60 Сучељавање д) ζ - -0,90-0,37 0 0, 0,37 0,38 θ=45 ζ 3-0,05 0,7 0,8 0,05-0,0-0,57 Слика. Неки случајеви рачвања и сучељавања Пад притиска правцем струјања одређен је коефицијентом губитка ζ и брзином флуидне струје v. Нпр. за случај сучељавања (ц) за v /v =0,, пад притиска од рачве до хоризонталне цеви је негативан v v ζ ρ 0, 4 ρ 0, ρv p = = =, што значи да је притисак од рачве до хоризонталне цеви порастао. Цевне арматуре Усисна корпа У зависности од конструкције, вредност коефицијента губитка је ζ= 5. На слици приказана је једноставна корпа. За усисну корпу са једносмерним вентилом, конструкције према слици 3, 78

13 коефицијент губитка дат је у функцији пречника усисног цевовода и износи, ζ =, D где је D [m]. Слика. Једноставна усисна корпа Затварач (лептир) Коефицијент губитка у функцији угла θ дат је табелом 4. Слика 3. Усисна корпа са једносмерним вентилом Табела 4. Коефицијент ζ за лептир затварач (слика 4) θ [ ] ζ 0,4 0,5 0,90,54,5 3,9 0,8 3, Славина Слика 4. Лептир затварач Коефицијент губитка у функцији угла θ и односа површина А /А 0, дат је табелом 5. На слици Слика 5. Славина Табела 5. Коефицијент ζ за славину (слика 5) θ [ ] А /А 0 0,93 0,85 0,77 0,69 0,60 0,5 0,44 0,35 0,7 0,9 0, 0 ζ 0,05 0,3 0,88,84 3,45 6,5, 0,7 4,0 95,

14 Засун Коефицијент губитка за засун са симетричним језгром (слика 6) у зависности од геометријских карактеристика дат је у табели 6. Табела 6. Коефицијент ζ за симетричан засун D [mm] D c /D L/D ζ 300 0,67,50, ,67,68, ,80,50 0, ,75,33 0,60 Вентил Слика 6. Засун са симетричним језгром Коефицијент губитка за различито изведене конструкције вентила, дат је дијаграмски на слици 7. Табела 7. Коефицијент губитка за вентиле са подеоним зидом у зависности од називног пречника (слике 8 и 9) D [mm] ζ - са подеоним ζ - са подеоним зидом од 45 зидом од ,8 5,9 0 8,0 0,5 5-9,3 30-8,6 40 4,9 7,6 50-6,9 80 4,0-00 4, ,4-00 4,7-50 5, , ,5-80

15 Слика 7. Коефицијенти губитака вентила различитих конструкција Слика 8. Вентил са подеоним зидом од 45 Слика 8. Вентил са подеоним зидом од 90 Излазни губитак При истицању флуида из цеви у резервоар (слика 9) кинетичка енергија, коју је флуид поседовао у цеви, губи се у великим димензијама резервоара и остаје неискоришћена. Овај губитак одређен је са p = ρv, а коефицијент губитка ζ= - за турбулентно струјање, ζ= - за ламинарно струјање. Слика 9. Истицање флуида из цеви у резервоар Коефицијент трења Губици који се јављају због трења последица су вискозности и изражавају се са Дарси-Вајсбаховом (Darcy-Weisbach) формулом 8

16 l v hg t = λ, d где су: l, d - дужина и пречник цевовода за који се одређује губитак, v - средња брзина струјања флуида кроз цевовод, λ - коефицијент трења. Коефицијент трења зависи од режима струјања (Рејнолдсовог броја Rе) и од релативне храпавости цевовода δ=е/d (е-апсолутна храпавост - табела 8). За практично решавање цевних проблема зависност између λ, Rе и δ дата је Мудијевим (Moody) дијаграмом (слика 30). У Мудијевом дијаграму разликују се три области: ламинарна, прелазна и турбулентна. У ламинарном подручју коефицијент трења λ дат је Стоксовом формулом 64 λ =. Re Између ламинарне и прелазне области налази се критична зона, 000<Rе<4000, у којој се може очекивати ламинаран или турбулентан режим струјања флуида. Табела 8. Вредности апсолутне храпавости за најчешће употребљаване цеви ВРСТА ЦЕВИ - МАТЕРИЈАЛ СТАЊЕ ЦЕВИ е [mm] ВУЧЕНЕ ЦЕВИ ИЗ БАКРА, ТЕХНИЧКИ ГЛАТКЕ МЕСИНГА ИЛИ СТАКЛА И СЛ. ВУЧЕНЕ ЧЕЛИЧНЕ ЦЕВИ НОВЕ 0,03 ( МАННЕСМАНН ) ЧИШ]ЕНЕ ПОСЛЕ 0,5-0, ДУЖЕ УПОТРЕБЕ ЗАРЂАЛЕ 0,4 СА ЈАКОМ КОРОЗИЈОМ до 3 И РЂОМ ЗАВАРЕНЕ ЧЕЛИЧНЕ ЦЕВИ НОВЕ, БИТУМИРАНЕ 0,05 (ЗА ХИДРО ЦЕНТРАЛЕ И УПОТРЕБЉАВАНЕ ДРУГЕ ВЕЛИКЕ ЦЕВОВОДЕ) ЈЕДНОЛИКО ЛАКО 0,5 ЗАРЂАНЕ ПОСЛЕ ДУГОГОДИШЊЕ 0,5 УПОТРЕБЕ ЈАЧЕ ЗАРЂАНЕ -,5 ЈАКО ЗАРЂАНЕ И - 4 КОРОДИРАНЕ ПОЦИНКОВАНЕ ГАСНЕ И НОВЕ 0,05-0, ВОДОВОДНЕ ЦЕВИ ОД / -4 ЛИВЕНЕ ЦЕВИ НОВЕ 0,5 - НОВЕ, БИТУМИРАНЕ 0, - 0,5 УПОТРЕБЉАВНЕ МЕСТИМИЧНО ЗАРЂАНЕ -,5 ЗА КОРОДИРАНИМ,5-4 ГНЕЗДИМА ОЧИШ]ЕНЕ ПОСЛЕ 0,3 -,5 ДУГЕ УПОТРЕБЕ ДРВЕНЕ ЦЕВИ РАЗНЕ 0, - БЕТОНСКЕ ЦЕВИ ГЛАЧАНЕ 0,3-0,8 НЕОБРАЂЕНЕ ЦЕВИ ОД АЗБЕСТНОГ НОВЕ 0,05 - ЦЕМЕНТА 8

17 Слика 30. Мудијев дијаграм У прелазној зони коефицијент трења зависи од вискозности (Rе) и од релативне храпавости. За вредности релативне храпавости δ=0,00 и мање, при смањењу Rе, λ се приближава вредности за глатке цеви, што је условљено стварањем ламинарног слоја на зидовима цеви који делимично 83

18 прекрива све неравнине. За извесне вредности Rе у прелазној зони филм потпуно прекрива мале неравнине и вредност коефицијента трења λ иста је као иза потпуно глатку цев. За веће Rе, неравнине се пробијају кроз ламинарни слој што проузрокује додатну турбуленцију и повећани губитак енергије. За област потпуне турбуленције (храпаве цеви) дебљина филма је занемарљива у односу на храпавост, што изазива потпуно турбулентно струјање у целом пресеку цеви. Вискозност нема утицаја на изгубљену енергију која је сразмерна v и коефицијент трења не зависи од Rе. Губитак услед трења у цевима различитих попречних пресека Инжењерска пракса захтева познавање струјања и кроз цеви различитих попречних пресека (вентилација, хлађење, струјање у отвореним каналима и др.). За одређивање падова притисака при струјању кроз различите попречне пресеке користи се уобичајени израз l v hig = λ Dh са ниже представљеним појмом хидрауличног пречника D h. Укупна сила трења на граници струјне површине (зидови цеви) је FT = Olτ где су: О - унутрашњи обим цеви; l - дужина цеви; τ 0 - тангенцијални напон на зиду цеви. За дати попречни пресек и проток (према томе и средњу брзину v) сила трења пропорционална је обиму попречног пресека (или обиму оквашеног попречног пресека, када флуид делимично попуњава пресек). Кружни попречни пресек има најмањи обим за дату површину пресека, па је због тога, с гледишта изгубљене енергије, најповољнији за употребу. Ако се основни критеријум за струјање, Рејнолдсов број, изрази преко хидрауличког пречника D h ; за одређивање коефицијента трења, при турбулентном протицању кроз разне пресеке, може се користити Мудијев дијаграм. Хидраулични полупречник R h дефинисан је као A Rh =, O где су А и О површина и обим оквашеног проточног пресека. Хидраулични пречник који се уврсти у Rе број (Rе=vD h /ν) и губитак енергије услед трења везан је са Re релацијом 0 p l v =, ρ λ D Dh = 4R За цев кружног попречног пресека (слика 3 горе) је D Dh = D; R h =. 4 За правоугаони попречни пресек (а б) (слика 3 средина) 4ab ab Dh = Rh = a+ b a+ b. За квадратни попречни пресек (а а) (слика 3 доле) Dh = a; a R h =. h h 84

19 Слика 3. Кружни, правоугаони и квадратни попречни пресек Ламинарно струјање кроз квадратни и елиптични пресек једини су случајеви када се за одређивање коефицијента трења, са довољном тачношћу може искористити коефицијент трења λ за одговарајћи (исте површине) кружни попречни пресек. За одређивање коефицијента трења, односно падова притисака, устаљеног ламинарног струјања кроз прстенасте, елиптичне и правоугаоне пресеке употребљавају се ниже наведени изрази, добијени теоријским разматрањем одговарајућег ламинарног струјања. За струјање између два саосна цилиндра (слика 3) 8η lv p = r r r r r ln r (v је средња брзина). За врло уске прстенасте пресеке је η lv p = δ где је δ = r r - ширина прстенастог процепа. Хидраулични пречник је D h =δ, а коефицијент трења је где је 48 λ =, Re vdh vδ Re = ν = ν. За струјање кроз процеп који образују ексцентрични цилиндри (слика 33), приближна формула за пад притиска је η lv p = δ 3 e + δ 85

20 где је: е - ексцентрицитет δ = r r - ширина процепа саосно постављених цилиндара. Слика 3. Струјање између два саосна цилиндра Слика 33. Струјање кроз процеп између два ексцентрична цилиндра Слика 34. Струјање кроз елиптичан пресек За струјање кроз цеви елиптичног пресека (слика 34), коефицијент трења се одређује према коефицијенту трења за струјање кроз цев одговарајућег кружног пресека, 64 64ν λ = = Re vd h где се D h одређује из a + b = + =, Dh ( a) ( b) 8 ab односно 8ab Dh =. a + b За струјање кроз цев правоугаоног пресека важи 3η lv 4ab p = и D h b f = ( b/ a) a + b. Вредности рачунске функције f ( b/ a) су у табели 9. Табела 9. Вредности функције f ( b/ a) за струјање кроз правоугаоне пресеке а/b,5, f 0,4 0,55 0,585 0,686 0,789 0,84 0,874 0,938 ( b/ a) Веза између коефицијената трења и датих падова притисака добија се из раније наведеног израза l v λ ρ = p. D h За одређивање коефицијента трења за струјање у потпуно турбулентној зони, поред Мудијевог дијаграма, може се употребљавати и формула где је е - апсолутна храпавост. e λ = 0, Dh 0,5 86

21 Према најновијим истраживањима утврђено је да се хидраулични пречник може користити за турбулентна струјања кроз правоугаоне попречне пресеке код којих је однос ширине и висине у границама 0,3<а/b<3. Коришћењем хидрауличног радијуса у Мудијевом дијаграму не могу се очекивати довољно тачни резултати при турбулентном струјању између две паралелне плоче и између два саосна цилиндра. Метод приближавања Величине v, d и λ су у међусобној зависности преко Бернулијеве једначине и Мудијевог дијаграма. Врло чест случај је да су две величине, од неведене три, непознате (скоро увек λ), а за њихово одређивање располаже се само једним аналитичким изразом - Бернулијевом једначином. Тада се приступа методу приближавања, нпр. за непознате λ и v. Редослед операција је следећи: прво се претпостави вредност λ и из Бернулијеве једначине одређује се друга непозната v; затим се са познатим производом vd ν улази у дијаграм и одређује ново λ, које се поново уводи у Бернулијеву једначину и процес се понавља. Када се поклопи претпостављена са добијеном вредношћу, непознате λ и v су одређене. Претпоставља се она вредност која се најмање мења (λ), а тачно решења редовно се добија после два до три понављања, јер непознате врло брзо конвергирају ка тачном решењу. Наведеном методом добија се тачно решење јер Мудијев дијаграм и Бернулијева једначина представљају две међусобно независне хидродинамичке релације. Цевовод са турбомашином; критични притисак; затворен цевни систем Ако се између тачака и цевног система (слика 35), који је обухваћен Бернулијевом једначином, налази пумпа, њен напор Y P (gh P ) треба убележити са леве стране једначине. Напор пумпе Y P је енергија коју радно коло пумпе преда свакој јединици проточне масе флуида. Пумпа придодаје енергију основној струји флуида и тако повећава укупну расположиву енергију. Укупна расположива енергија, која се налази са леве стране Бернулијеве једначине, користи се за постизање крајњих хидродинамичких параметара флуида у тачки (p, v, z ) и савлађивање свих успутних губитака. Са гледишта Бернулијеве једначине свеједно је где се налази пумпа између тачака и. У положају I пумпа свој одпринос флуиду остварује повећањем притиска на потисној страни, а у положају II снижавањем притиска на усисној страни (када су једнаки пресеци усисног и потисног цевовода пумпе). У положају II, притисак на усисној страни пумпе мора да буде већи од критичног притиска p k. Бернулијева једначина за тачке и између којих се налази пумпа дата је са p p + gz+ Hg = + gz + ghi ρ ρ 87

22 Слика 35. Цевовод са туромашином Напор турбине Y P треба убележити са десне стране Бернулијеве једначине, са стране губитака, јер турбина одузима од флуида енергију да би се прерадила у други облик, нпр. електричну енергију. Снага пумпе на спојници електромотора и пумпе, и снага турбине на спојници турбине и генератора дата је следећим релацијама: - за пумпу QYP g P = ρ [ W] ; η - за турбину где су: ρ [kg/m 3 ] и Q [m 3 /s] - густина и проток флуида, Y P, Y T [J/kg] - напор пумпе, турбине, η P, η T - укупни степен корисности пумпе, турбине. P P T [ W] P= ρy gη ; Места у цевоводу на којима се јављају најнижи притисци карактеристична су и на њих треба обратити пажњу. То су: улаз у пумпу, највише тачке цевовода, нагла сужења, улази у резервоаре у којима влада потпритисак и сл. У тим тачкама мора се обезбедити већи притисак од критичног p>p k, како би се онемогућило испаравање флуида, развој кавитацијских појава и образовање парног мехура са прекидом флуидне струје. 88

23 Слика 36. Основна шема пумпног постројења Основна шема пумпног постројења, приказана на слици 36 састоји се од пумпе 4, усисне цеви и потисног цевовда 6. На улазу у усисну цев налази се усисна корпа са једносмерним вентилом који при пуњењу усисне цеви пумпе (пре почетка или после завршетка рада) не дозвољава води да истече из цеви. Са 3 и 5 означени су вакуумметар и манометар који се уграђују на усисној, односно на потисној страни пумпе и служе за контролу правилног рада. Укупан напор пумпе за дату шему изражеј је са или Y p p = + + ρ YP gh ghi P pm + pv v v = + + gz ρ где су са ghi = ghu + ghp означени сви губици у усисном и потисном делу цевовода. Висинска разлика z је за случај класичних манометара и вакуумметара, растојање између оса инструмената, а не њихових прикључних места. У свим индустријским гранама центрифугална пумпа је најприсутнија машина. Њени основни делови: ротор и кућиште као и карактеристични дијаграм, приказани су на сликама 37 и 38. Поред неопходне Q-H криве (Q [m 3 /s], gh P [J/kg] или H P [mst]) која је на скици представљена кривом (); за одређивање карактеристика радне тачке потребни су: карактеристика цевовода (), крива снаге (3) и крива степена корисности пумпе (4). Радна тачка налази се у пресеку карактеристике цевовода и Q-H (Q- p за вентилаторе) криве. Сагласно теорији сличности за пумпе се могу дефинисати следећи бездимензијски критеријуми: 89

24 Q Q = = φ = const. значица протока 3 3 nd nd Y Y = = ψ = const. значица брзоходости P P nd nd P P = = µ = const. значица снаге n D n D ρ ρ nq gh nq 34 = = φ ψ = const. специфичан број обртаја ( gh ) ( ) Слика 37. Основни делови центрифугалне пумпе Слика 38. Карактеристике пумпе За једну пумпу и исто η при промени броја обртаја следи 3 Q n H n P n = ; = ; = Q n H n P n што је довољно за конструисање кривих H=f(Q); P=F(Q) за различито n. Поред наведених карактеристика редовно се прилаже крива NPSH која одређује максимално дозвољену усисну висину да би улазни елементи пумпе били заштићени од кавитације. Препоручљива регулација Q-H кривих је са континуалном променом броја обртаја. У недостатку такве опреме обично се спроводи пригушење вентилом на потисном цевоводу пумпе. Ефекти таквог пригушења приказани су на слици 39. Шрафирана површина представља изгубљену енергију енергију утрошену на пригушење. За случај смањења протока са Q на Q користан напор се са вредности Н (када је потпуно отоврен вентил) смањио на вредност Н. Изгубљена снага је где је H = H0 H. = Qg H N ρ 000 η 90

25 Слика 39. Ефекти пригушења вентила на потисној грани цевовода Смањењем пречника ротора остварује се ефекат сличан смањењу броја обртаја (слика 40). Законитост овог поступка дата је са Q D H D = ; =, Qsm Dsm Hsm Dsm где је D спољашњи пречник ротора. Дозвољено смањење спољашњег пречника ротора је до 0 %. Слика 40. Ефекат смањења пречника ротора Затворен цевни систем (нпр. хладњак) карактерише цевна петља кроз коју циркулише флуид. Енергија пумпе троши се само на савладавање локалних отпора и трења без обзира колике су висинске разлике у појединим тачкама система. У највишим тачкама цевовода проверава се да ли је притисак већи од критичног. Енергијски дијаграм Дијаграмско представљање стања појединих врста енергије дуж струјања омогућава континуалан увид у промене енергије притиска, кинетичке енергије, енергије утрошене на савладавање отпора и расположиве положајне енергије. Овакав графички преглед упозорава на карактеристична места која заслужују детаљнију анализу. Уобичајено је да се у дијаграмима енергија флуидне струје представља по јединици тежинског протока, тако да се димензије појединих врста енергије изражавају у метрима стуба флуида. 9

26 Енергија натпритиска p m /ρg назива се пијезометарском висином. Она је позитивна, за разлику од негативне пијезометарске висине p v /ρg. На слици 4 приказан је пример енергијског дијаграма за цевни систем променљивог пресека са уграђеним вентилом који спаја два резервоара. Никурадзеове једначине Слика 4. Енергијски дијаграм Никурадзе је, на бази израчунавања линеарног распореда тангенцијалног напона у цеви кружног пресека и тангенцијалних напона изазваних турбуленцијом, представљених Прант-Кармановом једначином 4 dv y dy τ = τ0 ρk = R d v dy одредио изразе за распоред брзине, средњу брзину, тангенцијални напон на зиду цеви, коефицијент трења и дебљину ламинарног слоја при турбулентном струјању у глатким и храпавим цевима. У овим изразима делимично су кориговане константе према многобројним огледима које је извео Никурадзе. Релације су следеће: - За турбулентно струјање кроз глатке цеви а) Распоред брзина одређује се према општем изразу или према огледима за глатке цеви где је * v привидна брзина одређена са v v y,5ln max* = v R v v y = 5,5 + 5, 75log * v ν * 9

27 τ ρ v * = 0 б) Однос средње и максималне брзине дат је општим изразом v v sr max = λ + 4,07 8 в) Коефицијент трења λ за Re бројеве веће од 5000 са довољном тачношћу може да се одреди из 0,8, 0log Re λ λ = + г) Тангенцијални напон на зиду цеви одређен је општим изразом vsr ρ τ0 = λ. 8 д) Дебљина ламинарног слоја одређује се према δ 3,8 =. D Re λ - За турбулентно струјање кроз храпаве цеви (слика 4) Слика 4. Распоред брзине при турбулентном струјање кроз цеви а) Распоред брзина одређује се према наведеном општем изразу; или према v y 8, 48 5,75log * v = + e б) Однос средње и максималне брзине једнак је наведеном општем изразу. в) Коефицијент трења λ одређује се према,4 log D λ = + e г) Тангенцијални напон на зиду одређује се према наведеном општем изразу. Никарадзеове једначине дају податке о унутрашњој структури струјања кроз цеви. Појмови који се овде срећу биће објашњени у поглављу Динамика вискозног флуида. 93

28 Сложени цевоводи При рачвању и сучељавању струје укупни проток једнак је збиру или разлици протока у гранама, а падови притисака од тачке рачвања до тачке сучељавања, исти су у свакој грани. Основне релације за решавање проблема добијају се из Бернулијевих једначина које треба написати за струјнице кроз грану цевовода -А-I-Б- и -А-II-Б- (слика 43). Анализа стационарног стања притиска и протока у цевним системима је од великог значаја за инжињерску праксу. Потребне једначине које описују хидраулички феномен представљају систем нелинеарних алгебарских једначина које се могу решити директно. Уобичајено је да се те једначине изражавају на два основна начина: у функцији непознатих протока уцевима, или непознатих притисака (пијезометара) у чворним тачкама мреже. Слика 43. Сложен цевовод Једначине дате у функцији непознатих протока у литератури називају се једначинама петљи, док се други начин изражавања везује за једначине чворних тачака. Данас постоји развијен већи број алгоритама за решавашње овог система једначина и они се са мање или више успеха користе у инжињерској пракси. Већина тих техника примењује се са ограничењима која су везана или за конфигурацију цевног система или за хидрауличке компоненте које су практично увек присутне. Као коначан циљ у овој области хидраулике могло би да се да у задатак постављање алгоритма за решење система једначина које описују потпуно општу конфигурацију мреже са неограниченим бројем свих врста хидрауличких компоненти. Општи принципи које треба да задовољи сваки програм којим се анализира стање у мрежи, могу се свести на следеће: o програм треба да је довољно брз o ефикасан при коришћењу меморије рачунара o једносатаван за примену. Мреже које се таквим програмом решавају морају задовољити следеће захтеве: o Физички опис мреже мора бити познат. Он се састоји од дефинисаних пречника цеви, дужина, храпавости, потрошње у чворовима тачака и свих потребних информација које се односе на: резервоаре, пумпе, арматуру итд. o Графички приказ мреже може бити сасвим шематски. Цеви се могу сећи у равни без рачвања. o Мрежа се може састојати од цеви које чине петље и цеви које су ван петљи, са потрошњом у било којој чворној тачки. o Пумпе и арматура могу се налазити без ограничења у било којој цевној деоници. Једначине петљи (једначине у функцији непознатих протока) добијају се на следећи начин. За сваки чвор (слика 44) за ρ = const. важи ( i) ( i) Q Q = C izlaz где је С потрошач који се флуидом снабдева из тог чвора. За дату илустрацију С=-5 l/s због ulaz Q6 Q Q Q5 = 5. 94

29 Слика 44. Чвор у сложеном цевоводу Уколико цевна мрежа садржи Ј чворова, а сви потрошачи су познати, онда се може написати Ј- независних једначина континуитета које су нелинеарне. Енергијска једначина (Б.j.) је задовољена уколико је пад притиска око сваке цевне мреже (I, II, ) једнак нули (слика 45). Ове нелинеарне једначине пишу се у облику где су: K -коефицијенти пада притиска, l I, II nl I, II -експоненти протока, брзине (најчешће ). 4 l = r lii KQ l nl l nl l = 0 KQ = 0 l Слика 45. Петља у сложеном цевоводу L посебних петљи и N цеви који сачињавају укупну мрежузадовољавају једначину N = ( J ) + L. Једначине чворних тачака (када су непознати притисци у чворовима), добијају се тако што се протоци прво изразе зависно од падова притиска дуж сваке гране петље. nij nij ij i j h H H Qij = = K ij K ij па се, затим, замене у једначину континуитета чвора 95

30 = C H nij nij i H j Hi H j K ij K ij izlaz ulaz Овде индекси i и ј означавају чворове, а Hi H j представља пад притиска у цеви између чворова i и ј са смером струјања флуида од i према ј.наведени системи једначина континуитета и енергијских једначина решавају се, како је напоменуто, итерацијским методама помоћу рачунара. Рачунарски програми мрежних система укључују утицаје: пумпних станица, резервоара и цевне арматуре. Истицање кроз отворе и наглавке Својства млаза који истиче изражена су преко четири кофицијента: φ - коефицијент брзине µ - коефицијент протока ψ - коефицијент контракције ζ - коефицијент губитка при истицању. Смисао ових коефицијената дат је у примеру слободног истицања у атмосфери. Отвори Истицање течности у атмосферу кроз отвор са оштрим ивицама Слика 46. Истицање течности у атмосферу кроз отвор са оштрим ивицама Струја течности при истицању сужава се и на блиском растојању од отвора ( D/) пресек струје је најмањи (слика 46). Однос површина A min A зове се коефицијент контракције. Тек у најужем пресеку, због паралелних струјница, притисак је атмосферски и Б.j. за ниво течности у суду и тај пресек одређује брзину v у најужем пресеку (највећа брзина) одакле је Вредност = ψ v Hg = ( + ζ ), v= + ζ gh + ζ = φ назива се коефицијент брзине, тако да је v= φ gh. Коефицијент протока µ одређује се из израза за проток 96

31 где је Q= va = φ ghψa= φψa gh min µ = φψ. У случају идеалног флуида (ζ=0, односно φ = ) теоријска или идеална брзина истицања је vt = gh, тако да се коефицијент брзине φ може представити и као однос стварне и идеалне брзине v φ = < vt јер је због трења, стварна брзина увек мања од теоријске. У пресеку отвора, само у централној зони млаза, брзина је иста и практично једнака теоријској брзини. У спољним слојевима брзина услед трења опада. Истицање кроз отвор у танком зиду идентично је истицању кроз отвор са оштрим ивицама, јер мала дебљина зида не проузрокује појаву ефекта лепљења млаза уз граничне површине отвора (слика 47). Слика 47. Истицање кроз отовор у танком зиду и кроз отовр са оштром ивицом Истицање течности кроз потопљен отвор Слика 48. Истицање течности кроз потопљен отвор Б.ј. за ниво течности у суду А и најужи пресек млаза у коме је брзина струје течности v (слика 48), гласи v Hg = ( + ζ), тако да су сви коефицијенти дефинисани на потпуно исти начин као и у претходном случају, тј. 97

32 и φ = ; v= φ gh + ζ µ = ψφ ; Q= µ A gh. Експерименти су показали да је коефицијент протока кроз потопљен отвор приближно једнак коефицијенту отпора при слободном истицању у атмосферу. Коефицијенти: контракције ψ, губирака ζ, брзине φ и протока µ зависе од облика отвора, затим, као и сви други хидраулички коефицијенти, од Rе. На дијаграму (слика 49) приказане су вредности ψ, φ и µ у функцији од Re t за кружни отвор. Овде је vd t ghd Ret = ν = ν. Слика 49. Коефицијент истицања млаза у функцији Рејнолдсовог броја За врло мале вредности Re t (Re t <5) ефекат вискозности је најважнији и смањeње брзине према ивицама отвора толико је велико да практично нема контракције ψ= и φ=µ. За ову област важе следеће теоријске формуле, потврђене експериментима 3 D π gh Q = ; 50ν Re µ = t. 5 Повећањем Re t (вискозност губи значај) због смањивања ψ, расте φ. Смањена контракција ψ резултат је малог смањења брзине према ивицама отвора и пoстизања већег полупречника кривине код vena contracta. Када Re t, φ и ψ добијају вредности као при истицању идеалног флуида, φ, а ψ 0,6. Максималан коефицијент протока µ max =0,69 добија се за Re t 350. При истицању мање вискозних течности (вода, бензин, керозин) кроз кружне отворе у танким зидовима, за инжињерске проблеме, најчешће се усвајају вредности: Делимична контракција ψ=0,63; φ=0,97; µ=0,6 и ζ=0,065. Делимична контракција појављује се када се излазни отвор налази у близини зидова резервоара. Ако је отвор симетричан у односу на резервоар (слика 50), зидови резервоара усмеравају струју кроз отвор, чиме се спречава пуна контракција. Коефицијент контракције повећава се па, према томе, и проток. 98

33 Слика 50. Истицање из отвора симетрично постављеног у односу на резервоар За истицање мање вискозне течности кроз кружне отворе распоређене у оси цилиндричних резервоара, коефицијент контракције ψ може се одредити према експерименталној формули ψ 0,37 = + n ψ ψ где је n= A0/ A, а ψ коефицијент контракције отвора за пуну контракцију. Ако је n, вредности за ζ и φ су ζ=0,065 и φ=0,97. Проток и коефицијент протока могу се одредити уз помоћ Б.ј. за пресеке и Одатле је и p v p v v + = + + ζ, va = va = vψ A. ρ ρ v = p p g + ζ ψ n ρ g Q = µ A g ρ g p где је ψ µ =. + ζ ψn Ако је делимична контракција остварена на начин приказан на слици 5 (за осносиметрично или раванско струјање), коефицијент контракције ψ за отвор, и крај цеви, одређен је према дијаграму исте слике., Слика 5. Коефицијент контракције млаза за делимичну контракцију У случају када се излазни отвор налази сасвим при дну резервоара, као што је приказано на слици 5, коефицијент протока може да се одреди према експерименталној формули 99

34 O µ = µ ( + k ) O где су: k - коефицијент облика, за кружни отвор k=0,8, за квадратни k=0,5 и за правоугаони k=0,34, О - обим отвора, О - део обима који додирује дно суда (на коме нема скретања струјница). Коефицијент протока зависи и од облика отвора. Ова зависност дата је у табели 0, а вредност одређене су за отворе површине А=,86 cm. Табела 0. Коефицијент протока µ за различите отворе и напоре Вредност коефицујента протока µ H [cm] Круг Квадрат Правоугаоник шир/вис=4 шир/вис=6 30,4 0,60 0,68 0,643 0,664 60,8 0,63 0,63 0,636 0,65,6 0,608 0,68 0,69 0,64 8,4 0,607 0,66 0,67 0,637 43, 0,606 0,64 0,65 0, ,0 0,605 0,63 0,64 0, ,0 0,603 0,6 0,6 0,69 Наглавци Слика 5. Истицање из резервоара кроз отвор на самом дну Наглавци су кратки цевни елементи чија је дужина l, само неколико пута већа од пречника отвора D (l = ( 6) D). Основна намена наглавка је повећање протока при одређеном пречнику отвора D и висини нивоа течности H. Формуле изведене за отворе важе и за наглавке, само су вредности коефицијената другачије. У табели дате су ове вредности за једноставне карактеристичне случајеве наглавака. Табела. Коефицијенти истицања за раyличите наглавке (слика 53) Врста наглавка ψ ζ φ µ отвор у танком зиду 0,63 0,065 0,97 0,6 цилиндрични наглавак: спољашњи 0,49 0,8 0,8 унутрашњи 0,7 0,7 конични наглавак конвергентан β=,6 0,98 0,06 0,97 0,95 дивергентан β=7, 3,94 0,45 0,45 За мале вредноси Rе (Rе <40.000) вредности коефицијената зависе од Rе. v = φ gh D π ; Q = µ gh ; µ = φψ ; ζ = 4 φ 00

35 Слика 5. Различите врсте наглавака (отвор у танком зиду, спољашњи и унутрашњи цилиндрични наглавак, коничан конвергентан и дивергентан наглавак) Истицање кроз отворе у зиду велике дебљине је идентично истицању круз спољашњи цилиндрични наглавак. Ако је угао β коничног дивергентног наглавка већи од 7, струја флуида неће испуњавати цео пресек. Истицање кроз наглавак са елиптично (звонасто) заобљеним изводницама (два полупречника кривине) је са најмањим губицима и практично без контракције (слика 54). ζ = 0,03 0, ; ψ=; µ=φ=0,99 0,96. Слика 54. Наглавак са елиптично заобљеним ивицама Општи назив за овакве и сличне врсте наглавака је млазник. Ако се звонасто заобљеном наглавку дода дифузор, добија се конвергентно-дивергентни наглавак (слика 55) који омогућује повећање протока и до,5 пута у односу на претходни за исти пречник грла D и висину нивоа течности H. Слика 55. Конвергентно дивергентан наглавак 0

36 D π Q = µ gh, 4 где је µ (слика 56) дата у функцији од висине нивоа течности Н, а за угао β=5 30' којим се постиже највећи коефицијент протока. Овакав наглавак користи се када проток за задату висину Н кроз мали отвор D мора да буде што је могуће већи. Међутим, практично је применљив само за висине H= 4 m, јер се при већим висинама јавља кавитација у грлу наглавка, а њена појава проузрокује повећање отпора и смањење протока. Слика 56. Коефицијент протока за оптималан конвергентно-дивергентан наглавак При истицању кроз цилиндричне наглавке треба обратити пажњу на притисак у најужем пресеку млаза. Он не сме да опадне испод критичног притиска p k. Истицање са променљивим нивоом Бернулијева једначина изведена је за стационарно струјање. Међутим, ако промене брзине и протока нису нагле, Б.ј. може да се примени и у тражењу решења таквих проблема; проблема где је, значи, нестационарност слабо изражена. Највећи број ових задатака односи се на истицање из резервоара. Не постоји потреба да се шаблонизује принцип рада јер су потребне операције математичке и хидромеханичке природе познате и једноставне. Променљив ниво означава ограничено огледало слободне површине што повлачи незанемаривање кинетичке енергије у таквим површинама. Нестационарно струјање Б.ј. за нестационарно струјање нестишљиве течности у пољу Земљине теже је i( ) p v p v v + + gz = + + gz + gh + dl ρ ρ. t Последњи израз са десне стране добијен је задржавањем члана локалног извода брзине по времену v t у трансформисаној Ојлеровој једначини и његовим интеграљењем дуж струнце (струјне цеви) dl. Део v v представља промену кинетичке енергије по јединици масе која је уследила због преласка флуидних делића из положаја у положај у истом временском тренутку t. Члан 0

37 v d l t представља промену, у јединици времена, кинетичке енергије по јединици масе у целокупној запремини струјне цеви од пресека до пресека, и узима се у обзир кадгод брзина зависи и од времена; v= v( l, t). Израз v d l g t назива се инерцијским напором јер нестационарну промену брзине уноси међу остале чланове Б.ј. са неким коначним временом. Најједноставнији случај нестационарног струјања приказан је на слици 55. Б.ј. за истицање без губитака кроз цев константног попречног пресека има облик pa p v dv + gh= + + l ρ ρ dt где је v dv dv dl = dl = l t dt, dt пошто је брзина v зависна само од времена, а не и од координата; v=v(t). Ако се пресек пренесе на крај цеви, добија се pa pa v dv + gh= + + l0 ρ ρ dt односно dv v = gh. dt l0 Види се да је најјаче изражена нестационарност везана за почетни тренутак када је v=0, јер је dv gh =. dt l0 При стационарном струјању,када је dv dt = 0, v= gh. Значи, у почетним тренуцима истицања брзина расте од 0 до v= gh, а убрзање од максималне вредности пада до нуле. Убрзање dv dt је обрнуто сразмерно дужини цеви l 0, тј. уколико је већа дужина цеви, утолико је максимално убрзање мање. За приближну процену времена трајања нестационарног струјања Т у почетку истицања, може се сматрати да убрзање dv dt остаје константно, односно dv gh v gh vl0 l0 = = =, тј. T = = ; dt l0 T T gh g h време успостављања стационарног стања расте са дужином цеви, а опада са квадратним кореном висине стуба течности. Mерење протока Постоје многобројни и врло разноврсни принципи, методе и инструменти за одређивање брзине и протока флуидне струје. Оовде ће се представити неколико класичних начина за одређивање 03

38 протока у цевима. Прантлова цев Овом цеви, као што је већ познато, може се одредити брзина флуидне струје у свакој тачки пресечне површине тока, на тај начин наћи профил брзине, а из њега одредити и проток. На слици 56 дата су одступања у мереним притисцима када се правац цеви не поклапа са правцем струјања. Отвори за статички притисак су равномерно распоређени по обиму цеви на месту на коме су изједначени утицаји смањеног притиска услед струјања флуида око врха цеви и повећаног притиска услед држача цеви. За мерење брзине струјања ваздуха при нормалним атмосферским условима ( p0 = 035 Pa и t0 = 5 C) количник ρ g = 8, те се формула за брзину са довољном тачношћу може упростити ако се динамички притисак mmvs. p мери у [ ] d ρ v0 = p d pg d m v0 = = 4 pd ρ s. Динамички притисак практично се не мења при скретању Прантлове цеви из правца брзине до α =± 6. Тачно показивање динамичког притиска последица је приближно подједнаког одступања статичког и тоталног притиска у том, прилично широком, појасу скретања цеви. Бленда Слика 56. Одступања у мереним притисцима Прантловом сондом за α 0 Проток може да се одреди изазивањем вештачког поремећаја и његовим мерењем. Мери се разлика притисака испред и иза локалног отпора којим је проузрокован поремећај. У овом случају уношењем бленде у флуидну струју јавлља се разлика притисака испред и иза ње. изглед струјнице показан је на слици 57. Б.ј. за пресеке и гласи p v p v + = + + gh. ρ ρ Ако се сада привремено занемари губитак gh, а брзина v изрази преко максималне брзине v као 04

39 добија се односно а проток v A ψ A v = v = v A A p p v ψ A =, ρ A = ( p p ) ρ ψ A A d π Q= A v = ψ 4 ψ A A, ( p p). ρ Слика 57. Мерна бленда Погодније је израз за проток Q представити у експерименталном облику d π ( p p) Q= µ E 4 ρ где су: E = = = AA dd m ( ) ( ) 4 µ - коефицијент протока добијен експериментално, који обухвата грешку услед испуштања коефицијента контракције ψ из израза испод квадратног корена, и губитак gh који је у горњем извођењу био занемарен. Коефицијент протока µ може да се представи као производ три фактора. Фактори Z и Z су поправни коефицијенти µ = C Z Z. За два начина извођења прикључака за притисак, вредности за факторе C, Z и Z дате су у дијаграмима на сликама 58 и 59. ; 05

40 Одређивање протока врши се следећим редоследом: прво се за усвојену вредност m из првог дијаграма одреди вредност C. Са том вредношћу приближно се одреди проток по формули d π ( p p) Q= C E 4 ρ За тако одређен проток нађе се брзина v у отвору бленде d и одговарајући Re vd Re =. ν Најзад се из другог и трећег дијаграма налазе поправни коефицијенти Z и Z и коначан проток d π ( p p) Q= µ E 4 ρ где је µ = C Z Z Слика 58. Фактори коефицијената протока бленде са непосредним прикључцима за притисак 06

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ

ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ У следећим задацима заокружите број испред траженог одговора. Разводници су компоненте хидрауличког система које:. дозвољавају слободно протицање радног флуида у једном

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Веза протока и брзине струјања. Проток запремински, масени,... јединица: кубни метар у секунди

ФИЗИКА Веза протока и брзине струјања. Проток запремински, масени,... јединица: кубни метар у секунди ФИЗИКА 2011. Понедељак, 14. новембар 2011. године Статика флуида Густина и притисак флуида Промена притиска са дубином флуида Паскалов принцип Калибрација, апсолутни притисак и мерење притиска Архимедов

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака.

Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака. Основе механике флуида и струјне машине 1/11 Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака 1задатак Познате су следеће величине једнe

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ Испит из предмета Електротехника са електроником 1. Шест тачкастих наелектрисања Q 1, Q, Q, Q, Q 5 и Q налазе се у теменима правилног шестоугла, као на слици. Познато је: Q1 = Q = Q = Q = Q5 = Q ; Q 1,

Διαβάστε περισσότερα

Турбомашине - Пумпе и вентилатори - основе

Турбомашине - Пумпе и вентилатори - основе Радијално обртно коло вентилатора Турбомашине - Пумпе и вентилатори - основе доток апсолутна струјница релативна струјница Аксонометријски приказ Изглед у мeридијанској равни (увећан приказ у односу на

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЧЕТРНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 1

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ПЕТНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 3

Διαβάστε περισσότερα

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ Рампа представља косу подземну просторију која повезује хоризонте или откопне нивое, и тако је пројектована и изведена да омогућује кретање моторних возила. Приликом пројектовања рампе

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4)

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 Основни појмови o испаравању 3.2 Кружење воде у природи У атмосфери водена пара затвара један круг који је познат под именом кружење воде или

Διαβάστε περισσότερα

брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника

брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника Струја 1 Електрична струја Кад год се наелектрисања крећу, јавља се електрична струја Струја је брзина којом наелектрисања пролазе кроз попречни пресек проводника ΔQ I Δtt Јединица за струју у SI систему

Διαβάστε περισσότερα

R 2. I област. 1. Реални напонски генератор електромоторне силе E. и реални напонски генератор непознате електромоторне силе E 2

R 2. I област. 1. Реални напонски генератор електромоторне силе E. и реални напонски генератор непознате електромоторне силе E 2 I област. Реални напонски генератор електромоторне силе = 0 V и унутрашње отпорности = Ω и реални напонски генератор непознате електромоторне силе и унутрашње отпорности = 0, 5 Ω везани су у коло као на

Διαβάστε περισσότερα

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год.

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год. КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН 7. год. Тест има задатака. Време за рад је 8 минута. Задаци са редним бројем -6 вреде по поена задаци 7- вреде по 5 поена задаци 5- вреде

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 2 ТРОФАЗНИ ПУНОУПРАВЉИВИ МОСТНИ ИСПРАВЉАЧ СА ТИРИСТОРИМА 1. ТЕОРИЈСКИ УВОД

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Катедра за електронику, Основи електронике

Катедра за електронику, Основи електронике Лабораторијске вежбе из основа електронике, 13. 7. 215. Презиме, име и број индекса. Трајање испита: 12 минута Тест за лабораторијске вежбе 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 5 1 5 1 5 5 2 3 5 1

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Стања материје. Чврсто Течно Гас Плазма

Стања материје. Чврсто Течно Гас Плазма Флуиди 1 Стања материје Чврсто Течно Гас Плазма 2 Чврсто тело Има дефинисану запремину Има дефинисан облик Молекули се налазе на специфичним локацијама интерагују електричним силама Вибрирају око положаја

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

ЕНЕРГЕТСКИ ТРАНСФОРМАТОРИ (13Е013ЕНТ) јануар 2017

ЕНЕРГЕТСКИ ТРАНСФОРМАТОРИ (13Е013ЕНТ) јануар 2017 ЕНЕРГЕТСКИ ТРАНСФОРМАТОРИ (1Е1ЕНТ) јануар 17 Трофазни уљни дистрибутивни трансформатор има следеће номиналне податке: S = kv, U 1 /U = 1 x%/.4 kv, 5 Hz, спрега Dy5, P k =.6 kw, u k = 5 %, P = 4 W, j =

Διαβάστε περισσότερα

КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ

КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ Машински факултет Универзитета у Београду/ Машински елементи / Предавање 3 КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ Критична стања машинских делова У критичном стањеу машински делови не могу да извршавају своју

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево)

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево) ОДРЕЂИВАЊЕ ПАРАМЕТАРА КРИСТАЛНЕ РЕШЕТКЕ МЕТОДОМ КРИСТАЛНОГ ПРАХА, ДЕБАЈ ШЕРЕРОВ МЕТОД ТЕОРИЈСКИ УВОД У параметре кристалне решетке убрајају се дужине ивица кристалне ћелије: a, b и c и дужина међураванског

Διαβάστε περισσότερα

а) Определување кружна фреквенција на слободни пригушени осцилации ωd ωn = ω б) Определување периода на слободни пригушени осцилации

а) Определување кружна фреквенција на слободни пригушени осцилации ωd ωn = ω б) Определување периода на слободни пригушени осцилации Динамика и стабилност на конструкции Задача 5.7 За дадената армирано бетонска конструкција од задачата 5. и пресметаните динамички карактеристики: кружна фреквенција и периода на слободните непригушени

Διαβάστε περισσότερα

Утицај дистрибуираних извора електричне енергије на мрежу

Утицај дистрибуираних извора електричне енергије на мрежу INFOTEH-JAHORINA Vol. 13, March 2014. Утицај дистрибуираних извора електричне енергије на мрежу Младен Бањанин, Јована Тушевљак Електротехнички факултет Источно Сарајево, Босна и Херцеговина banjanin@ymail.com,

Διαβάστε περισσότερα

ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА

ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА Дамир Јерковић, Војна академија, Београд Славица Ристић, Институт Гоша, Београд Душан Регодић, Универзитет Сингидунум, Београд Марија

Διαβάστε περισσότερα

САМОПОБУДНИ АСИНХРОНИ ГЕНЕРАТОР SELF-EXCITED ASYNCHRONOUS GENERATOR

САМОПОБУДНИ АСИНХРОНИ ГЕНЕРАТОР SELF-EXCITED ASYNCHRONOUS GENERATOR INFOTEH-JAHORINA Vol. 10, Ref. F-36, p. 1061-1065, March 2011. САМОПОБУДНИ АСИНХРОНИ ГЕНЕРАТОР SELF-EXCITED ASYNCHRONOUS GENERATOR Глуховић Владимир, Електротехнички факултет Источно Сарајево Садржај-У

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

Координатни системи у физици и ОЕТ-у

Координатни системи у физици и ОЕТ-у Материјал Студентске организације Електрон ТРЕЋА ГЛАВА Координатни системи у физици и ОЕТ-у Припремио Милош Петровић 1 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН- 1.ДЕКАРТОВ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Декартов координанти

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање вредности Планкове константе

Одређивање вредности Планкове константе Одређивање вредности Планкове константе Увод Посебна врста полупроводничких диода су LED диоде (Light Emitting Diode). Ове диоде емитују светлост када су директно поларисане. Појава емисије инфрацрвене

Διαβάστε περισσότερα

Задатак 1: Несташни миш (10 поена) се равномерно креће по тасу 2. Сматрати да да у току посматраног кретања нити остају вертикалне. Слика 1. Слика 2.

Задатак 1: Несташни миш (10 поена) се равномерно креће по тасу 2. Сматрати да да у току посматраног кретања нити остају вертикалне. Слика 1. Слика 2. ШКОЛСКА /4. ГОДИНЕ. ЗАДАЦИ -.5.4. Задатак : Несташни миш ( поена) Идеалан котур занемарљиве масе је преко идеалног динамометра окачен о плафон. Преко котура је пребачена идеална нит, на чијим крајевима

Διαβάστε περισσότερα

ОПТИМАЛНИ ДИЈАГНОСТИЧКИ ПАКЕТ ПАРАМЕТАРА ЗА ДЕТЕКЦИЈУ КАВИТАЦИЈСКИХ РЕЖИМА У ЦЕНТРИФУГАЛНИМ ПУМПАМА

ОПТИМАЛНИ ДИЈАГНОСТИЧКИ ПАКЕТ ПАРАМЕТАРА ЗА ДЕТЕКЦИЈУ КАВИТАЦИЈСКИХ РЕЖИМА У ЦЕНТРИФУГАЛНИМ ПУМПАМА ОПТИМАЛНИ ДИЈАГНОСТИЧКИ ПАКЕТ ПАРАМЕТАРА ЗА ДЕТЕКЦИЈУ КАВИТАЦИЈСКИХ РЕЖИМА У ЦЕНТРИФУГАЛНИМ ПУМПАМА Ментори: Проф. др Маша Букуров Проф. др Александар Вег Кандидат: Мр Слободан Ташин Нови Сад, 2016. УНИВЕРЗИТЕТ

Διαβάστε περισσότερα

НИВОИ НЕЈОНИЗУЈУЋИХ ЗРАЧЕЊА У ОКОЛИНИ ТРАНСФОРМАТОРСКИХ СТАНИЦА 110/X kv

НИВОИ НЕЈОНИЗУЈУЋИХ ЗРАЧЕЊА У ОКОЛИНИ ТРАНСФОРМАТОРСКИХ СТАНИЦА 110/X kv НИВОИ НЕЈОНИЗУЈУЋИХ ЗРАЧЕЊА У ОКОЛИНИ ТРАНСФОРМАТОРСКИХ СТАНИЦА /X kv М. ГРБИЋ, Електротехнички институт Никола Тесла 1, Београд, Република Србија Д. ХРВИЋ, Електротехнички институт Никола Тесла, Београд,

Διαβάστε περισσότερα

3. 5. ИЗРАЧУНАВАЊЕ РЕАКТАНСИ РАСИПАЊА

3. 5. ИЗРАЧУНАВАЊЕ РЕАКТАНСИ РАСИПАЊА Школска година 2014 / 2015 Припремио: Проф. Зоран Радаковић октобар 2014., материјал за део градива из поглавља 3. и 4. из књиге Ђ. Калић, Р. Радосављевић: Трансформатори, Завод за уџбенике и наставна

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК СКАЛАРНЕ И ВЕКТОРСКЕ ВЕЛИЧИНЕ Величибе које су одређене само својом бројном вредношћу и одговарајућом јединицом су скаларне величине или кратко, скалари.

Διαβάστε περισσότερα

МЕХАНИКА ФЛУИДА. скрипта

МЕХАНИКА ФЛУИДА. скрипта Факултет техничких наука Нови Сад МЕХАНИКА ФЛУИДА скрипта Маша Букуров септембар, 2006. УВОД У МЕХАНИКУ ФЛУИДА У циљу побољшања услова живота, иако несвесно, принципи механике флуида примењивани су још

Διαβάστε περισσότερα

УПУТСТВА ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ СИНХРОНИХ МАШИНА

УПУТСТВА ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ СИНХРОНИХ МАШИНА Електротехнички факултет Универзитета у Београду Енергетски одсек Катедра за енергетске претвараче и погоне УПУТСТВА ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ СИНХРОНИХ МАШИНА Име и презиме: Број индекса: Вежба број

Διαβάστε περισσότερα