Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών. Συστήματα Επεξεργασίας Σημάτων και Εικόνων: Θεωρία, Υλοποιήσεις, Εφαρμογές (ΣΕΣΕ)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Συστήματα Επεξεργασίας Σημάτων και Εικόνων: Θεωρία, Υλοποιήσεις, Εφαρμογές (ΣΕΣΕ) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεωρητική και Πειραματική Αξιολόγηση Μεθόδων για Ανάκτηση Πληροφορίας στο Διαδίκτυο Παρασκευή Καλομοίρη (Α.Μ : 55) Επιβλέπων Καθηγητής: Εξεταστική Επιτροπή: Χρήστος Ζαρολιάγκης Χρήστος Ζαρολιάγκης Αθανάσιος Τσακαλίδης Ιωάννης Γαροφαλάκης ΑΠΡΙΛΙΟΣ 6

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα αυτής της εργασίας αναπληρωτή καθηγητή του τμήματος Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής κ. Χρήστο Ζαρολιάγκη για την συνεχή βοήθεια, παρότρυνση καθώς και τις επισηµάνσεις του σε κάθε στάδιο περάτωσης αυτής της δουλειάς. Επίσης, θέλω να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τους γονείς µου για όλη τους την προσπάθεια όλα αυτά τα χρόνια που µου στάθηκαν σε οποιοδήποτε πρόβληµα παρουσιάστηκε. Χάρη στη δική τους προσπάθεια βρίσκοµαι στην ευχάριστη αυτή στιγµή περάτωσης των σπουδών µου και θέλω να τους ευχαριστήσω για αυτό. Σελίδα από 86

3 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ...5. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ...5. ΣΤΟΧΟΙ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΟΜΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ...9 ΟΡΙΣΜΟΙ.... ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΟΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ.... ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ....3 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ....4 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ....5 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άπληστοι Αλγόριθμοι ΜΟΝΤΕΛΟ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΟΣΤΟΥΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σύγκριση Ισορροπημένης Άπληστης Στρατηγικής και Ισορροπημένης Στρατηγικής Σύγκριση Άπληστης Στρατηγικής και Ισορροπημένης Άπληστης Στρατηγικής Σύγκριση Ισορροπημένης Στρατηγικής και Βέλτιστης Στρατηγικής ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΒΡΑΒΕΥΣΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Στρατηγικές μιας παρτίδας Στρατηγικές k-παρτίδων ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΒΡΑΒΕΥΣΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΟΣΤΟΥΣ ΚΑΙ ΕΠΙΒΡΑΒΕΥΣΗΣ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΟΣΤΟΥΣ Γραφικές παραστάσεις Χρόνου-Πλήθος Πηγών Γραφικές παραστάσεις Χρόνου-Πιθανότητας Επιτυχίας Γραφικές παραστάσεις Χρόνου-Πλήθος Παρτίδων ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΒΡΑΒΕΥΣΗΣ Γραφικές παραστάσεις αντικειμενικής συνάρτησης V() πλήθος πηγών πληροφορίας Γραφικές παραστάσεις αντικειμενικής συνάρτησης V() κόστος πηγών πληροφορίας...73 Σελίδα 3 από 86

4 5.4.3 Γραφικές παραστάσεις αντικειμενικής συνάρτησης V() πιθανότητα επιτυχίας πηγών πληροφορίας Γραφικές παραστάσεις αντικειμενικής συνάρτησης V() πλήθος παρτίδων Γραφικές παραστάσεις χρόνου εκτέλεσης Τ πλήθος παρτίδων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ...83 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...85 Σελίδα 4 από 86

5 Εισαγωγή. Το Πρόβλημα και η Σημασία του ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το Διαδίκτυο γίνεται όλο και περισσότερο το μέσο για την ανάκτηση πληροφοριών. Προς το παρόν οι πληροφορίες παρέχονται δωρεάν στους χρήστες. Το αποτέλεσμα είναι οι μηχανές αναζήτησης όπως είναι η Google και η MetaCrawler να απαντούν στις αιτήσεις των χρηστών εξετάζοντας ταυτόχρονα ένα μεγάλο πλήθος πηγών πληροφορίας με σκοπό να ελαχιστοποιηθεί η καθυστέρηση ανάκτησης της πληροφορίας και να μεγιστοποιηθεί η πιθανότητα εύρεσης της. Είναι αλήθεια πως οι μηχανές αναζήτησης επιστρέφουν αρκετό υλικό ως αποτέλεσμα μιας αίτησης για αναζήτηση πληροφορίας στο Διαδίκτυο από το χρήστη. Εντούτοις, για απόλυτα περιεκτικά αποτελέσματα στο κυνήγι της πληροφορίας θα πρέπει κανείς να λάβει υπόψη του τις λεγόμενες μηχανές μετα-αναζήτησης (MetaSearch Engnes). Οι μηχανές μετααναζήτησης θα μπορούσε κανείς να πει πως είναι οι μηχανές αναζήτησης των μηχανών αναζήτησης δηλαδή πραγματοποιούν ερωτήματα για ανάκτηση πληροφορίας σε πολλές μηχανές αναζήτησης ταυτόχρονα. Ειδικότερα η μηχανή μετα-αναζήτησης MetaCrawler δίνει τη δυνατότητα στο χρήστη να επιλέξει συγκεκριμένη περιοχή (π.χ. Ευρώπη) από την οποία επιθυμεί να προέρχονται τα αποτελέσματα της αναζήτησης ή ακόμη και συγκεκριμένους δικτυακούς τόπους. Συνοπτικά οι μηχανές μετα-αναζήτησης παρουσιάζουν πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα όσον αφορά τον τρόπο λειτουργίας τους. Πλεονεκτήματα Αποτελεσματική από άποψη χρόνου και κόστους Μεγαλύτερη κάλυψη του Διαδικτύου Μια μετα-μηχανή αναζήτησης είναι δυνατόν να λειτουργεί ακόμη και αν κάποιες μηχανές, στις οποίες βασίζεται, δεν λειτουργούν. Παρέχουν μια ενιαία και σταθερή διεπαφή για την αναζήτηση Παρέχουν πολύ καλά αποτελέσματα σε συνδυασμό με μια γενική επισκόπηση δυσκολονόητων όρων Ο χρήστης μαθαίνει μόνο ένα συντακτικό, αυτό της μετα-μηχανής. Μειονεκτήματα Δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα της άμεσης ενημέρωσης των βάσεων δεδομένων των μηχανών αναζήτησης. Δεν αναζητούν όλες τις μηχανές που ισχυρίζονται ότι υποστηρίζουν Σελίδα 5 από 86

6 Υπάρχει περίπτωση να μην υποστηρίζουν σύνθετη αναζήτηση ή αυτή να είναι διαθέσιμη σε όσους εγγραφούν ή πληρώσουν κάποιο ποσό. Ωστόσο γίνεται λόγος για χρέωση υπηρεσιών από τους παροχείς πληροφοριών στο άμεσο μέλλον. Είναι φανερό ότι ο πιο γρήγορος τρόπος για την ανάκτηση της πληροφορίας είναι η εξέταση των πηγών πληροφορίας να γίνεται ταυτόχρονα, όμως η διαδικασία αυτή είναι σχεδόν απαγορευτική διότι είναι εξαιρετικά ακριβή. Από την άλλη πλευρά, η εξέταση των πηγών πληροφορίας με σειριακό τρόπο μπορεί να αποδειχθεί εξαιρετικά αργή. Η τοποθέτηση μηχανισμών χρέωσης εισάγει αυτόματα το πρόβλημα της εξισορρόπησης του κέρδους και του κόστους (χρηματικό και χρονικό) ανάκτησης της πληροφορίας. Είναι αναμενόμενο ότι οι παροχείς πληροφοριών θα διαφέρουν στην ποιότητα πληροφορίας που παρέχουν, στο ποσό που χρεώνουν για την ανάκτηση της και στην ταχύτητα παράδοσης της πληροφορίας. Επομένως προκύπτει το πρόβλημα της ανάπτυξης ενός συνόλου ομαδοποιημένων ερωτημάτων που μεγιστοποιούν την αναμενόμενη τιμή και ανατίθεται στους παροχείς πληροφοριών. Η αναμενόμενη τιμή εκφράζεται με τις εξής παραμέτρους: με το κέρδος που σχετίζεται με ένα επιτυχημένο ερώτημα με την πιθανότητα ότι το συγκεκριμένο ερώτημα θα αποφέρει επιτυχημένα αποτελέσματα με το κόστος εκτέλεσης ενός ερωτήματος με το χρόνο που απαιτείται μέχρι να ολοκληρωθεί το ερώτημα και να επιστραφεί η σωστή πληροφορία Έτσι καταλήγουμε στο πρόβλημα προσπέλασης πληροφοριών. Δεδομένου ενός συνόλου από πηγές πληροφορίας κάθε μια από τις οποίες έχει ένα γνωστό χρηματικό κόστος, μια χρονική καθυστέρηση ανάκτησης της πληροφορίας και μια επίσης γνωστή πιθανότητα ανάκτησης της πληροφορίας, στόχος είναι να βρεθεί ο βέλτιστος τρόπος εξέτασης των πηγών πληροφορίας ούτως ώστε η ανάκτηση της πληροφορίας να γίνει όσο το δυνατόν γρηγορότερα και φθηνότερα. Δηλαδή το πρόβλημα προσπέλασης πληροφοριών είναι στην ουσία ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών αντικειμενικών συναρτήσεων (obectve functons). Η χρονοδρομολόγηση είναι μια διαδικασία λήψης απόφασης που αφορά την ανάθεση πόρων σε διεργασίες μέσα σε κάποιο πεπερασμένο χρονικό διάστημα και σκοπό έχει την βελτιστοποίηση ενός η περισσότερων αντικειμενικών συναρτήσεων. Οι εφαρμογές χρονοδρομολόγησης υπάρχουν σε πολλές μορφές και είναι αρκετά πολύπλοκες, ωστόσο ερευνητές από διάφορους τομείς έχουν ασχοληθεί με το ζήτημα της χρονοδρομολόγησης για πολλά χρόνια. Προβλήματα χρονοδρομολόγησης και ανάθεσης πόρων συναντούνται στην διαχείριση των βιομηχανικών και κυβερνητικών οργανισμών. Η ραγδαία ανάπτυξη των νέων τεχνολογιών και η εισχώρηση αυτών στις βιομηχανίες ανάγκασε τις επιχειρήσεις να αναπτύσσουν συνεχώς επιχειρησιακές στρατηγικές λήψης αποφάσεων. Τις τελευταίες δεκαετίες, πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις και τεχνικές, όπως τεχνητής νοημοσύνης, μεθοδολογίες βελτιστο- Σελίδα 6 από 86

7 ποίησης, σχεδιασμός επικοινωνιακών συστημάτων κ.α, έχουν αναπτυχθεί και υλοποιηθεί σε διάφορες εφαρμογές χρονοδρομολόγησης. Επομένως σκοπός σε ένα πρόβλημα χρονοδρομολόγησης είναι να ταξινομηθεί ένα σύνολο διεργασιών, που υπόκεινται σε συγκεκριμένους περιορισμούς, με κατάλληλο τρόπο έτσι ώστε όταν γίνει η επεξεργασία τους σε μια δεδομένη μηχανή, τα κριτήρια απόδοσης που χαρακτηρίζουν το πρόβλημα να βελτιστοποιούνται. Υπάρχουν πολλών ειδών προβλήματα και χρονοδρομολόγησης και έχουν μελετηθεί και αναλυθεί πολλά μοντέλα. Το πρόβλημα χρονοδρομολόγησης που θα μας απασχολήσει στην παρούσα διπλωματική εργασία σχετίζεται με το πρόβλημα ανάκτησης πληροφορίας από το Διαδίκτυο. Είναι γνωστό ότι το Διαδίκτυο προσφέρει πρωτοφανείς δυνατότητες προσπέλασης πληροφορίας. Προς το παρόν οι υπηρεσίες που διατίθενται στο Διαδίκτυο είναι δωρεάν αλλά στο εγγύς μέλλον προβλέπεται ότι οι προμηθευτές θα αρχίσουν να χρεώνουν για τις υπηρεσίες τους. Επομένως στόχος είναι να βρεθεί βέλτιστος τρόπος αναζήτησης και ανάκτησης της πληροφορίας έτσι ώστε ο χρήστης να εξοικονομεί τόσο χρόνο όσο και κόστος.. Στόχοι Διπλωματικής Εργασίας Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη και η αξιολόγηση αλγορίθμων για ανάκτηση πληροφορίας από το Διαδίκτυο τόσο από θεωρητική όσο και από πειραματική πλευρά. Αναπτύσσονται δυο αλγόριθμοι - ο αλγόριθμος κόστους και ο αλγόριθμος επιβράβευσης - και στη συνέχεια γίνεται πειραματική σύγκριση αυτών βάση των αποτελεσμάτων που έχουν εξαχθεί. Αρχικά αναλύεται το θεωρητικό τμήμα των μοντέλων κόστους και επιβράβευσης και στην συνέχεια πραγματοποιείται η υλοποίηση των δύο αλγορίθμων. Στην συνέχεια προκύπτουν τα πειραματικά αποτελέσματα και συγκρίνονται με τα θεωρητικά δεδομένα. Παράλληλα παρατηρείται και στα δύο μοντέλα κατά πόσο τα πειραματικά αποτελέσματα επιβεβαιώνουν τα θεωρητικά δεδομένα. Τέλος γίνεται σύγκριση των δύο μοντέλων και προκύπτουν οι μελλοντικές προοπτικές στον τομέα της ανάκτησης πληροφορίας από το Διαδίκτυο..3 Συνεισφορά Διπλωματικής Εργασίας Η πολυκριτηριακή ανάλυση είναι ένα εργαλείο λήψης αποφάσεων που στόχο έχει να περιορίσει την σύγχυση που προκαλείται σε περιπτώσεις που εμπλέκονται μεταξύ τους πολλά και διαφορετικά κριτήρια. Με την μέθοδο αυτή επιτυγχάνεται η σύνθεση ενός μεγάλου πλήθους λύσεων διατηρώντας παράλληλα τους στόχους και τις προτιμήσεις του εκάστοτε κριτηρίου. Τελικά, αυτό που επιδιώκουμε χρησιμοποιώντας τέτοιες μεθόδους είναι η εξισορρόπηση ανάμεσα στα κριτήρια. Προς αυτή την κατεύθυνση αρκετές πολυκριτηριακές μέθοδοι έχουν εφαρμοστεί για την επίλυση του προβλήματος ανάκτησης πληροφορίας από το Διαδίκτυο. Σελίδα 7 από 86

8 Η συνεισφορά της διπλωματικής εστιάζεται στην κριτική επισκόπηση και περιγραφή δύο μοντέλων του μοντέλου κόστους και του μοντέλου επιβράβευσης για βέλτιστη ή σχεδόν βέλτιστη ανάκτηση πληροφορίας στο Διαδίκτυο [7]. Γίνεται κριτική περιγραφή και υλοποίηση των δύο αλγορίθμων για το παραπάνω πρόβλημα. Στην διπλωματική εργασία θα μελετήσουμε το μοντέλο του κόστους το οποίο σκοπό έχει να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος και χρόνο που υπεισέρχεται με την ανάκτηση της πληροφορίας. Το συνολικό κόστος περιλαμβάνει την χρονική καθυστέρηση που έχει η πηγή πληροφορίας και το χρηματικό ποσό που θα πρέπει να ξοδευτεί για την ανάκτηση της πληροφορίας. Η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους πραγματοποιείται με την βοήθεια αντικειμενικών συναρτήσεων. Η αντικειμενικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται περιλαμβάνουν εκείνες τις πηγές πληροφορίας που έχουν μια πιθανότητα να ερωτηθούν. Σε μία εκτέλεση του μοντέλου η πηγή s ερωτάται αν και μόνο αν καμία από τις προηγούμενες πηγές δεν έχει δώσει απάντηση στο ερώτημα μας. Επομένως η πιθανότητα να ερωτηθεί η πηγή s ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων αποτυχίας όλων των πηγών που προηγούνται αυτής. Ο αλγόριθμος τερματίζει μόνο αν όλες οι πηγές ερωτηθούν ανεπιτυχώς δηλαδή χωρίς να πάρουμε τελικά την πληροφορία που ζητάμε ή όταν απαντηθεί η ερώτηση από κάποια πηγή και δεν υπάρχει λόγος να προχωρήσουμε σε άλλη πηγή. Σε αυτό το μοντέλο το χρονοδιάγραμμα που θα προκύψει θα περιλαμβάνει όλες τις πηγές πληροφορίας και το πρόβλημα είναι να α- ποφασίσουμε την σειρά με την οποία θα ερωτηθούν και ποιες από αυτές θα ερωτούνται ταυτόχρονα. Το δεύτερο μοντέλο που μελετάται είναι το μοντέλο της επιβράβευσης. Σε αυτό το μοντέλο θα πρέπει να μεγιστοποιήσουμε μια συνάρτηση σύμφωνα με κάποιους περιορισμούς. Η συνάρτηση αυτή είναι ένας συνδυασμός γραμμικότητας και της ύπαρξης κάποιου συγκεκριμένου κατωφλίου τόσο του χρηματικού κόστους όσο και της χρονικής διάρκειας που απαιτούνται για την ανάθεση του ερωτήματος σε μια πηγή πληροφορίας. Στις συναρτήσεις που έχουν μέσα τους την έννοια του κατωφλίου σκοπός είναι να βρούμε μια στρατηγική που να μεγιστοποιεί μεν την συνάρτηση αυτή αλλά ταυτόχρονα να ικανοποιεί τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται. O αλγόριθμος επιβράβευσης προσπαθεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος δηλαδή την διαφορά ανάμεσα στο ποσό που είναι διατεθειμένος να πληρώσει ο χρήστης και στο ποσό που τελικά πληρώνει καταλήγοντας στην βέλτιστη άπληστη λύση. Στο μοντέλο αυτό δεν είναι απαραίτητο να περικλείονται όλες οι πηγές και ο αλγόριθμος μπορεί να τερματίζει ακόμα και αν δεν έχει δοθεί απάντηση ή ακόμα και αν δεν έχουν ερωτηθεί όλες οι πηγές πληροφορίας. Στην συνέχεια γίνεται εκτενής πειραματική αξιολόγηση των δύο αλγορίθμων μοντέλων χρησιμοποιώντας συνθετικά και πραγματικά δεδομένα και συγκρίνονται τα αποτελέσματα τους. Σελίδα 8 από 86

9 .4 Δομή Διπλωματικής Εργασίας Η υπόλοιπη διπλωματική εργασία συνεχίζει με το κεφάλαιο µε την παρουσίαση των βασικών ορισμών πάνω σε θέματα χρονοδρομολόγησης και περιγράφεται η αναγωγή του προβλήματος ανάκτησης πληροφορίας στο Διαδίκτυο σε εκείνο της χρονοδρομολόγησης. Στη συνέχεια στο κεφάλαιο 3 εξετάζεται από θεωρητική σκοπιά το πρώτο μοντέλο για συστήματα χρονοδρομολόγησης στο Διαδίκτυο, το μοντέλο του κόστους. Εν συνεχεία παρουσιάζεται η υλοποίηση του αλγορίθμου και οι μετρήσεις που προκύπτουν για διαφορετικές πηγές πληροφορίας. Ακολουθεί στο κεφάλαιο 4 η αναλυτική περιγραφή του δεύτερου μοντέλου για συστήματα χρονοδρομολόγησης, του μοντέλου της επιβράβευσης. Κατόπιν περιγράφεται η υλοποίηση του αλγορίθμου και παρατίθενται τα θεωρητικά και πειραματικά αποτελέσματα που προκύπτουν. Στο κεφάλαιο 5 δίνεται η πειραματική αξιολόγηση των αλγορίθμων κόστους και επιβράβευσης και γίνεται η σύγκριση αυτών στηριζόμενοι στα αποτελέσματα που έχουν προκύψει. Τέλος στο κεφάλαιο 6, γίνεται μια περίληψη και παρατίθενται κάποια γενικά συµπεράσµατα και μελλοντικές προοπτικές στο τομέα της χρονοδρομολόγησης στο Διαδίκτυο. Σελίδα 9 από 86

10 Ορισμοί. Το πρόβλημα της χρονοδρομολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ένα πρόβλημα χρονοδρομολόγησης (schedulng problem) έχει γενικά σαν σκοπό να τοποθετήσει μέσα στο χρόνο ένα σύνολο από δραστηριότητες δεδομένου ενός συνόλου πόρων που αυτές οι δραστηριότητες χρειάζονται για να πραγματοποιηθούν. Είναι δηλαδή μια διαδικασία λήψης απόφασης που αφορά την ανάθεση πόρων σε διεργασίες μέσα σε κάποιο πεπερασμένο χρονικό διάστημα και σκοπό έχει την βελτιστοποίηση ενός η περισσότερων αντικειμενικών συναρτήσεων. Επομένως προκύπτει ο ορισμός για το μοντέλο χρονοδρομολόγησης. Δίνεται ένα σύνολο Μ από m μηχανές και ένα σύνολο J που αποτελείται από n εργασίες που καθεμία έχει κάποιο χρόνο εκτέλεσης d. Ένα χρονοδιάγραμμα είναι μία συνάρτηση f : M J N, η οποία είναι - ως προς την πρώτη μεταβλητή, δηλαδή κάθε μηχανή σε μία δεδομένη χρονική στιγμή μπορεί να εκτελεί το πολύ μία εργασία. Περιορισμοί μπορεί να υπάρχουν ακόμα και σε ότι αφορά το είδος των μηχανών, την προτεραιότητα των εργασιών, κ.α. Ένα χρονοδιάγραμμα θα λέγεται εφαρμόσιμο για ένα πρόβλημα Π αν πληροί τους περιορισμούς του Π. Τελικά, σε προβλήματα χρονοδρομολόγησης ζητείται να βρεθεί ένα χρονοδιάγραμμα ώστε να ελαχιστοποιείται ή να μεγιστοποιείται κάποια αντικειμενική συνάρτηση. Επιπλέον υπάρχει ένα μεγάλο πλήθος από διαφορετικά είδη αντικειμενικών συναρτήσεων που βελτιστοποιούνται. Mερικά από αυτά τα είδη είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των χρόνων ολοκλήρωσης για όλες τις εργασίες, η ελαχιστοποίηση της μέγιστης καθυστέρησης, η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους όλων των εργασιών κ.α. Ωστόσο είναι πιθανό ένα πρόβλημα χρονοδρομολόγησης να περιέχει παραπάνω από ένα περιορισμό και να συνδυάζει πολλαπλές αντικειμενικές συναρτήσεις που θα πρέπει να βελτιστοποιηθούν.. Αντικειμενικές συναρτήσεις Όπως έχουμε προαναφέρει το πρόβλημα προσπέλασης των πληροφοριών είναι ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης ενός συνόλου συναρτήσεων τις οποίες καλούμε αντικειμενικές συναρτήσεις (obectve functons). Στο παραπάνω πρόβλημα δεν μας ενδιαφέρει μια βέλτιστη λύση αλλά ενδιαφερόμαστε για ένα σύνθετο στόχο που κρύβει μέσα του την έννοια της εξισορρόπησης μεταξύ πολλαπλών αντικειμενικών συναρτήσεων και καλείται σύνολο κατά areto. Εφόσον κάθε πηγή που περιλαμβάνεται στην στρατηγική υποθέτουμε ότι επιτυγχάνει να απαντήσει στο ερώτημα γι αυτό το λόγο αναπτύσσουμε μια πιθανή κατανομή από επιτυχημένα αποτελέσματα που ενδεχομένως μπορεί να προκύψουν μετά την ανάθεση του ερωτή- Σελίδα από 86

11 ματος, την πιθανή αυτή κατανομή την ονομάζουμε O. Στις αντικειμενικές συναρτήσεις χρησιμοποιούμε τις ποσότητες S ( O), C ( O), ( O) T οι οποίες δηλώνουν αντίστοιχα την πιθανότητα επιτυχίας, το συνολικό κόστος και την χρονική διάρκεια της πιθανής κατανομής που ενδεχομένως προκύπτει μετά την ανάθεση του ερωτήματος. Οι τιμές που παίρνει το S ( O) είναι το αν έχει απαντηθεί η ερώτηση και το αν όχι. Η αναμενόμενη τιμή της στρατηγικής, ορίζεται ως V ( ) και αποτελεί την πρόβλεψη των τιμών των ποσοτήτων S ( O), C ( O) και T ( O). Σκοπός είναι να βρεθεί μια στρατηγική η οποία θα μεγιστοποιεί την αναμενόμενη τιμή της V ( )..3 Βελτιστοποίηση μιας αντικειμενικής συνάρτησης Στο πρόβλημα βελτιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης (sngle-obectve optmzaton) η ιδέα είναι να βρεθεί ένα σύνολο τιμών για τις μεταβλητές σχεδίασης έτσι ώστε όταν αυτές υπόκειται στους περιορισμούς του προβλήματος να αποδίδουν την βέλτιστη τιμή της συνάρτησης..4 Βελτιστοποίηση πολλαπλών αντικειμενικών συναρτήσεων Η πολυκριτηριακή ανάλυση αποτελεί ένα εργαλείο λήψης αποφάσεων που αναπτύχθηκε για να περιορίσει την σύγχυση που προκαλείται σε περιπτώσεις που εμπλέκονται μεταξύ τους πολλά και διαφορετικής φύσεως κριτήρια που αφορούν συγκεκριμένες επιλογές. Ουσιαστικά, με την μέθοδο αυτή επιτυγχάνεται η σύνθεση ενός μεγάλου όγκου πληροφοριών διατηρώντας παράλληλα τους στόχους και τις προτιμήσεις του εκάστοτε λήπτη της απόφασης. Τελικά, αυτό που επιδιώκουμε χρησιμοποιώντας τέτοιες μεθόδους είναι ο συμβιβασμός ανάμεσα σε όλους τους εμπλεκόμενους φορείς, ρυθμίζοντας κατά περίπτωση και ανάλογα με τους στόχους που έχουμε θέσει, το βάρος που φέρει ο καθένας στην τελική λήψη της απόφασης. Η έρευνα πάνω στο αντικείμενο της βελτιστοποίησης με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις ξεκίνησε στα τέλη του προηγούμενου αιώνα από τον Ιταλό οικονομολόγο V.areto (848-93), ο οποίος παρουσίασε το πρόβλημα των αντικρουόμενων κριτηρίων σε οικονομικά προβλήματα. Στην επιστήμη των μηχανικών η βελτιστοποίηση πολλών αντικειμενικών συναρτήσεων (multobectve optmzaton) αποτελεί ένα πρόβλημα σχεδιασμού ενός μοντέλου το οποίο χαρακτηρίζεται από περισσότερες από μια συναρτήσεις ή κριτήρια. Αν οι συναρτήσεις δεν έχουν κάποιο κοινό χαρακτηριστικό τότε το πρόβλημα που προκύπτει είναι η εύρεση εκείνου του μοντέλου που ικανοποιεί όλες τις αντικρουόμενες συναρτήσεις. Σκοπός είναι η επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης που υπόκειται σε συγκεκριμένες συναρτήσεις και περιο- Σελίδα από 86

12 ρισμούς. Το πρόβλημα αυτό καλείται πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων. Η ιδανική λύση στο πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων είναι η εύρεση των κατάλληλων παραμέτρων σχεδίασης οι οποίοι βελτιστοποιούν τις συναρτήσεις ταυτόχρονα. Με αυτό τον τρόπο η λύση επιλέγεται από ένα σύνολο τιμών που καλείται βέλτιστο σύνολο κατά areto. Γενικότερα στα προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων οι βέλτιστες λύσεις που προκύπτουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε συνάρτηση να βελτιστοποιείται ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες δεν είναι εφικτές. Το πρώτο βήμα στην διαδικασία της βελτιστοποίησης αποτελεί η διατύπωση του προβλήματος. Στη συνέχεια πρέπει να οριστεί το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο που θα α- ντιπροσωπεύει την συμπεριφορά του φυσικού συστήματος που μελετάται για όλες τις πιθανές περιπτώσεις. Μεταβλητές Σχεδίασης Οι μεταβλητές σχεδίασης ορίζονται ως x (,,..., n) = όπου n το πλήθος των μεταβλητών. Πολλές φορές είναι πιθανό να διατηρηθεί μια ή περισσότερες από τις μεταβλητές σχεδίασης σταθερές με σκοπό να απλοποιήσει το πρόβλημα. Οι σταθερές ποσότητες ορίζονται ως παράμετροι του προβλήματος. Γενικά το διάνυσμα των n μεταβλητών σχεδίασης αναπαριστάται ως: x x = : x n Περιορισμοί Το επόμενο βήμα στην διατύπωση του προβλήματος είναι ο καθορισμός των περιορισμών. Οι περιορισμοί είναι κάποιες συνθήκες που θα πρέπει να τηρούνται, έτσι ώστε το μοντέλο που κατασκευάζεται να λειτουργεί όπως προβλέπεται. Οι περιορισμοί εκφράζονται με ισότητες ή ανισότητες. Οι περιορισμοί με ανισότητες δηλώνονται ως g ( x) ένα διάνυσμα που αναπαριστάνει τους περιορισμούς g (,..., J ) =. Η μορφή που έχει εν τέλει ένας περιορισμός χρησιμοποιώντας ανισότητα είναι: ( x), όπου g είναι g για =,..., J όπου το πλήθος των περιορισμών που αναπαρίστανται με ανισότητες. ενώ οι περιορισμοί με ισότητες δηλώνονται ως h ( x) =. Με βαθμωτή μορφή εκφράζονται ως: hk ( x) = για k =,..., K όπου k το πλήθος των περιορισμών που αναπαρίσταται με ισότητες. Σελίδα από 86

13 Αντικειμενικές Συναρτήσεις Το τελικό βήμα στην ανάπτυξη του προβλήματος αποτελεί ο καθορισμός των αντικειμενικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές είναι οι ποσότητες οι οποίες πρέπει να βελτιστοποιηθούν και δηλώνονται ως f ( x) =. Αν οι συναρτήσεις ορίζονται ώστε να ελαχιστοποιούνται τότε πολλαπλασιάζεται κάθε συνάρτηση που μεγιστοποιείται με δηλαδή max f ( x) = mn( f ( x ) και αυτό συμβαίνει διότι για να μεγιστοποιήσουμε μια συνάρτηση αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε την αρνητική της συνάρτηση. Τελική Μορφή Η μορφή που παίρνει το πρόβλημα είναι η εξής mn x R { f ( x) : h( x) =, g( x) } η παραπάνω μορφή μεταφράζεται ως η εύρεση των πραγματικών τιμών των μεταβλητών σχεδίασης που έχουν σαν αποτέλεσμα την ελαχιστοποίηση των συναρτήσεων, με την προϋπόθεση ότι οι περιορισμοί ισότητας και ανισότητας ικανοποιούνται. Όπως προαναφέραμε σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλών συναρτήσεων σκοπός είναι να βρεθεί ένα σύνολο τιμών για τις μεταβλητές σχεδίασης που βελτιστοποιούν ένα σύνολο συναρτήσεων. Το σύνολο των μεταβλητών που δημιουργούν την βέλτιστη λύση χαρακτηρίζεται ως το βέλτιστο σύνολο τιμών και δηλώνεται ως x *. Το βέλτιστο σύνολο τιμών αναφέρεται ως το βέλτιστο σύνολο κατά areto και περιέχει ένα πλήθος από εφικτές λύσεις από τις οποίες μπορούν να επιλεχθούν οι επιθυμητές τιμές των μεταβλητών σχεδίασης. Βέλτιστο κατά areto (areto Optmum) Ένα σύνολο από σημεία καλείται βέλτιστο σύνολο κατά areto αν κατά την μετακίνηση από ένα σημείο Α σε ένα άλλο Β του συνόλου, οποιαδήποτε βελτίωση της υπάρχουσας τιμής σε μια από τις συναρτήσεις θα προκαλούσε την επιδείνωση της τιμής σε μια τουλάχιστον από τις υπόλοιπες συναρτήσεις. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό από το σχήμα - φαίνεται ότι το σημείο C δεν ανήκει στο σύνολο των βέλτιστων κατά areto σημείων. Από τον ο- ρισμό του βέλτιστου κατά areto γνωρίζουμε ότι για να ανήκει ένα σημείο A στο σύνολο κατά areto θα πρέπει να ισχύει f f A B f f B A M όπου B ένα σημείο το οποίο ανήκει στο σύνολο κατά areto και M > είναι ένας θετικός αριθμός. Το σημείο C όμως δεν ανήκει στο σύνολο κατά areto διότι από το σχήμα - ισχύουν οι f C fa σχέσεις f C > fa και f C < f A επομένως > M f A f C ανήκει στο σύνολο κατά areto. και όπου Α ένα σημείο το οποίο Σελίδα 3 από 86

14 Το βέλτιστο σύνολο κατά areto περιέχει εκθετικό πλήθος λύσεων έτσι έχουμε την δυνατότητα να επιλέξουμε την κατάλληλη λύση για το πρόβλημα. Στις περισσότερες περιπτώσεις το βέλτιστο σύνολο κατά areto βρίσκεται στα όρια της εφικτής περιοχής όπως φαίνεται στο σχήμα - που ακολουθεί. Σχήμα -: Γραφική αναπαράσταση της areto βέλτιστης λύσης..5 Ομαδοποιημένες Στρατηγικές Οι ομαδοποιημένες στρατηγικές (batched polcy) περιγράφονται με τον εξής τρόπο: έστω ότι έχουμε n με n (,..., N ) = διεργασίες και θα πρέπει να επεξεργαστούν σε μία μηχανή με σκοπό την αναζήτηση μιας πληροφορίας. Η σειρά των διεργασιών θα πρέπει να τοποθετηθεί σε μια η περισσότερες παρτίδες (batches). Κάθε μια παρτίδα αποτελείται από συνεχόμενες διεργασίες σε σειρά. Οι διεργασίες που βρίσκονται σε κοινή παρτίδα έχουν τον ίδιο χρόνο εκκίνησης. Ο χρόνος εκτέλεσης των παρτίδων ξεκινά σε χρόνο μηδέν και οι παρτίδες εκτελούνται η μία μετά την άλλη ξεκινώντας από την πρώτη και συνεχίζοντας κανονικά. Οι διεργασίες που βρίσκονται μέσα στη παρτίδα επεξεργάζονται με επιτυχία στην μηχανή. Όταν ολοκληρωθεί η επεξεργασία των διεργασιών μέσα στη πρώτη παρτίδα η μηχανή δίνει το α- ποτέλεσμα της επεξεργασίας. Αν ανακτηθεί η πληροφορία τότε σταματά η επεξεργασία των υπολοίπων παρτίδων αλλιώς συνεχίζεται η ίδια διαδικασία μέχρις ότου εξαντληθούν οι παρτίδες ή μέχρι να ανακτηθεί η ζητούμενη πληροφορία..6 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Μια κατηγορία αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων προσπέλασης πληροφοριών καλούνται προσεγγιστικοί αλγόριθμοι (approxmaton algorthms). Ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούνται οι αλγόριθμοι αυτοί είναι απλός. Τα Σελίδα 4 από 86

15 περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι N-πλήρη προβλήματα και δεν είμαστε σε θέση να βρούμε την βέλτιστη λύση σε πολυωνυμικό χρόνο με αποτέλεσμα να δεχόμαστε αλγορίθμους που βρίσκουν μη βέλτιστες αλλά σχεδόν βέλτιστες λύσεις. Ένας άλλος λόγος που χρησιμοποιούμε τους προσεγγιστικούς αλγορίθμους είναι ότι η εύρεση της ακριβούς λύσης είναι εξαιρετικά χρονοβόρα διαδικασία. Για τους δυο αυτούς λόγους καταφεύγουμε στους προσεγγιστικούς αλγόριθμους. Ωστόσο δεν μπορούμε να δεχθούμε και λύσεις οι οποίες είναι τυχαίες και πιθανόν αποκλίνουν σε μεγάλο βαθμό από την βέλτιστη. Επομένως προσεγγιστικός καλείται ο αλγόριθμος που επιστρέφει μια λύση C η οποία πλησιάζει την βέλτιστη τιμή C*. Το μέγεθος που δείχνει κατά πόσο ο αλγόριθμος πλησιάζει την βέλτιστη λύση καλείται λόγος προσέγγισης ( n) συνθήκη max C C, C C ρ. Η συνάρτηση ( n) ρ ( n) ρ ικανοποιεί την Είναι κατανοητό ότι όσο η τιμή ρ(n) πλησιάζει την μονάδα τόσο καλύτερος είναι ο προσεγγιστικός αλγόριθμος αφού η λύση C προσεγγίζει σε μεγάλο βαθμό την τιμή C*. Αν η συνάρτηση ρ ( n) πάρει μια σταθερή τιμή n τότε ο αλγόριθμος καλείται n - προσεγγιστικός αλγόριθμος..6. Άπληστοι Αλγόριθμοι Ωστόσο η επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης μπορεί να γίνει και με την βοήθεια των άπληστων αλγορίθμων (greedy algorthms). Ο άπληστος αλγόριθμος σε κάποιο δεδομένο πρόβλημα βελτιστοποίησης ακολουθεί μια σειρά από άπληστες επιλογές με σκοπό να κατασκευάσει την βέλτιστη λύση και ταυτόχρονα να ικανοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Δηλαδή ο άπληστος αλγόριθμος κάνει πάντοτε επιλογές που φαίνονται να είναι οι καλύτερες την δεδομένη χρονική στιγμή. Κατά την επίλυση ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης οι άπληστοι αλγόριθµοι επιλύουν διαδοχικά ένα πλήθος µμικρότερων προβληµάτων µε κριτήριο, σε κάθε βήµα, το άµεσο κέρδος. Συχνά οι άπληστοι αλγόριθµοι δεν δίνουν τη βέλτιστη λύση, άλλες φορές όµως την προσεγγίζουν και άλλοτε την επιτυγχάνουν. Παράδειγμα Έστω το παράδειγμα του σάκου (knapsack problem). Δεδομένου ενός συνόλου S που αποτελείται από n αντικείμενα και κάθε αντικείμενο έχει ένα θετικό κέρδος b και ένα θετικό βάρος w στόχος είναι να βρεθεί εκείνο το υποσύνολο αντικειμένων με το μέγιστο κέρδος που όμως δεν ξεπερνά σε βάρος ένα συγκεκριμένο όριο. Επιπλέον έχουμε την δυνατότητα να ε- πιλέγουμε όχι ολόκληρα αντικείμενα αλλά και τμήματα αυτών. Έτσι μπορούμε να επιλέξουμε μια ποσότητα x ενός αντικειμένου έτσι ώστε Σελίδα 5 από 86

16 x w S και x W το συνολικό κέρδος των αντικειμένων που επιλέχθηκαν υπολογίζεται από την αντικειμενική συνάρτηση S x b. w S Σελίδα 6 από 86

17 3 Μοντέλο και Αλγόριθμος Κόστους ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Είναι γνωστό ότι κάθε ανάκτηση πληροφορίας, συνεπάγεται κάποιο κόστος και συνήθως μια χρονική καθυστέρηση, π.χ. είτε γιατί δυσκολευόμαστε να βρούμε την πληροφορία που επιθυμούμε, είτε λόγω χαμηλής ταχύτητας σύνδεσης. Έστω ότι θέλουμε να ανακτήσουμε κάποια πληροφορία που γνωρίζουμε ότι υπάρχει σε ένα σύνολο Ν = (,,,,,n) ιστοτόπων, καθένας από τους οποίους έχει μια γνωστή χρονική καθυστέρηση d, ένα κόστος ανάκτησης της πληροφορίας c, καθώς και μια πιθανότητα να την περιέχει p. Το ζητούμενο είναι να αναπτυχθεί ένας κατά το δυνατόν βέλτιστος αλγόριθμος που θα επιτυγχάνει την ανάκτηση της επιθυμητής πληροφορίας, δηλ. με τη μικρότερη δυνατή καθυστέρηση και το μικρότερο κόστος. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε ένα μοντέλο το οποίο σκοπό έχει να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος και χρόνο που υπεισέρχεται με την ανάκτηση της πληροφορίας. Το συνολικό κόστος περιλαμβάνει την χρονική καθυστέρηση που έχει η πηγή πληροφορίας και το χρηματικό ποσό που θα πρέπει να ξοδευτεί για την ανάκτηση της πληροφορίας. Η ε- λαχιστοποίηση του συνολικού κόστους πραγματοποιείται με την βοήθεια μιας συνάρτησης. Η συνάρτηση που χρησιμοποιείται περιλαμβάνει εκείνες τις πηγές πληροφορίας που έχουν μια πιθανότητα να ερωτηθούν. Με βάση τον ισχυρισμό αυτό ορίζεται μια πιθανή κατανομή λύσεων, όπου κάθε λύση παριστάνει κάθε πιθανό τρόπο να γίνει ανάκτηση της πληροφορίας. Χρησιμοποιούνται οι ποσότητες ( O) C και ( O) D που απεικονίζουν το συνολικό κόστος και τον συνολικό χρόνο μιας πιθανής στρατηγικής O που απαιτείται για την ανάκτηση της πληροφορίας αντίστοιχα. 3. Θεωρητική Περιγραφή Ο αλγόριθμος που αναπτύσσεται για το μοντέλο του κόστους είναι ένας άπληστος αλγόριθμος. Εδώ έχουμε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης που αναφέρεται στην αναζήτηση μεταξύ ενός συνόλου διατάξεων πηγών πληροφορίας και στην εύρεση της κατάλληλης διάταξης που ελαχιστοποιεί την συνάρτηση του προβλήματος. Ο άπληστος αλγόριθμος επιλέγει εκείνη την πηγή η οποία φαίνεται να είναι η καλύτερη την δεδομένη στιγμή. Ουσιαστικά κάνει μια τοπικά βέλτιστη επιλογή στοχεύοντας σε μια γενικά βέλτιστη λύση. Έτσι μετά από κάθε επανάληψη του αλγορίθμου καταλήγουμε να έχουμε πάλι ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης της ίδιας μορφής. Αν η κάθε επανάληψη του αλγορίθμου γίνεται με άπληστο τρόπο τότε καταλήγουμε σε μια βέλτιστη λύση. Δεδομένου μιας συλλογής N που αποτελείται από n πηγές πληροφορίας, Ν = (,,,,,n). Η -οστή πηγή περιγράφεται από τρεις αριθμούς, ένα γνωστό χρόνο καθυστέρησης d, ένα κόστος c και μια πιθανότητα p να παρέχει την πληροφορία σκοπός είναι να Σελίδα 7 από 86

18 βρεθεί ο κατάλληλος προσεγγιστικός αλγόριθμος που θα ελαχιστοποιήσει την συνάρτηση που αντιπροσωπεύει το μοντέλο του κόστους, δηλαδή το αναμενόμενο συνολικό κόστος και χρόνο. mn E [ C ( O) + D( O) ] Στο μοντέλο κόστους, αναπτύσσεται μια στρατηγική η οποία θέτει σε κάθε πηγή πληροφορίας χρόνο έναρξης ίσο με s. Ο χρόνος ολοκλήρωσης μιας πηγής είναι s + d. Μια πηγή προηγείται της πηγής αν και μόνο αν ο χρόνος ολοκλήρωσης της πηγής είναι μικρότερος ή ίσος με τον χρόνο ολοκλήρωσης της πηγής. Κατά την εκτέλεση του αλγορίθμου για το μοντέλο του κόστους, η πηγή πληροφορίας εξετάζεται μόνο αν καμία από τις προηγούμενες πηγές που εξετάστηκαν δεν απέφεραν την σωστή πληροφορία. Συνεπώς ο αλγόριθμος τερματίζει είτε όταν όλες οι πηγές εξεταστούν χωρίς επιτυχία δηλαδή χωρίς την τελική ανάκτηση της πληροφορίας είτε όταν ανακτηθεί η πληροφορία από κάποια πηγή και δεν υπάρχει λόγος να εξεταστεί καμία από τις υπόλοιπες πηγές. Επομένως παρατηρούμε ότι η πιθανότητα να εξεταστεί η πηγή ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων αποτυχίας των πηγών πληροφορίας που προηγούνται της πηγής. Η καθυστέρηση της στρατηγικής είναι μια τυχαία μεταβλητή και ισούται με τον νωρίτερο χρόνο ολοκλήρωσης της πηγής που επιτυγχάνει στην ανάκτηση της πληροφορίας. Η τιμή της είναι ( ) max. d S Ενώ το χρηματικό κόστος είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή που ισούται με το άθροισμα των επιμέρους κοστών των πηγών πληροφορίας που εξετάστηκαν. Η τιμή που παίρνει είναι c. S Συνεπώς το συνολικό κόστος της στρατηγικής OC ισούται με το άθροισμα της καθυστέρησης και του χρηματικού κόστους. Δηλαδή OC = max ( d ) + c Στο μοντέλο του κόστους η στρατηγική που θα προκύψει περιλαμβάνει όλες τις πηγές πληροφορίας και το πρόβλημα είναι να καθοριστεί η σειρά με την οποία θα εξεταστούν οι πηγές και ποιες από αυτές θα εξεταστούν ταυτόχρονα. Επομένως συγκεντρωτικά αν έχουμε προσπελάσει ένα υποσύνολο S του συνόλου n των πηγών πληροφορίας τότε προκύπτουν οι παρακάτω συναρτήσεις που περιγράφουν τον χρόνο καθυστέρησης, το κόστος και την πιθανότητα επιτυχίας του αλγορίθμου: Το συνολικό κόστος είναι: c δηλαδή το συνολικό κόστος όλων των πηγών πληροφορίας που S εξετάζονται. d S Η συνολική καθυστέρηση είναι: ( ) χρόνο ανταπόκρισης στο ερώτημα. S max δηλαδή η πηγή πληροφορίας με τον μικρότερο S Σελίδα 8 από 86

19 Η συνολική πιθανότητα να υπάρχει η πληροφορία μεταξύ των πηγών που εξετάζονται είναι: ( ). S q Για λόγους ευκολίας θα αναφερόμαστε στο εξής στην αποστολή ερώτησης σε μια πηγή πληροφορίας ως η εκτέλεση μια εργασίας. Επιπλέον εισάγεται η έννοια της τμηματικής εργασίας ως εξής: έστω ένα τμήμα a μιας εργασίας, όπου a. Η εργασία έχει κόστος a c, καθυστέρηση d και πιθα- a νότητα αποτυχίας q. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς παρατηρούμε ότι το κόστος γο με το τμήμα a της εργασίας που εκτελείται, η καθυστέρηση a c είναι ανάλο- d είναι ανεξάρτητη από το a ποσοστό εργασίας που εκτελείται, ενώ η πιθανότητα αποτυχίας q επιλέγεται έτσι ώστε αν η εργασία χωριστεί σε τμηματικές εργασίες των οποίων το άθροισμα τους ισούται με την συνολική εργασία, τότε το γινόμενο των πιθανοτήτων αποτυχίας των τμηματικών εργασιών ι- σούται με την πιθανότητα αποτυχίας της συνολικής εργασίας. Να σημειωθεί ότι κάθε εργασία αποτελεί τμήμα εργασίας εφόσον είναι ένα τμήμα εργασίας από μόνη της, άλλωστε η τιμή a παίρνει και την τιμή, a. Όταν η τιμή της ποσότητας a που καθορίζει το ποσοστό της εργασίας, παίρνει όλες τις τιμές εκτός της και δηλαδή < a <, τότε η εργασία καλείται αυστηρά τμηματική εργασία. Έχοντας εισάγει την έννοια της τμηματικής εργασίας σκοπός του μοντέλου κόστους είναι η κατασκευή μιας στρατηγικής κατά την οποία κάθε εργασία χωρίζεται σε τμηματικές εργασίες το άθροισμα των οποίων ισούται με την μονάδα, ενώ στην συνέχεια μετατρέπεται η τμηματική στρατηγική σε στρατηγική που να μην περιέχει αυστηρά τμηματικές εργασίες. Η ομαδική στρατηγική είναι αυτή όπου οι πηγές πληροφορίας βρίσκονται σε διατεταγμένη σειρά μέσα σε υποσύνολα τα οποία καλούνται παρτίδες. Ο τρόπος λειτουργίας των παρτίδων είναι απλός και στηρίζεται στο γεγονός ότι η πρώτη παρτίδα ξεκινά την χρονική στιγμή t =, δηλαδή όλες οι πηγές πληροφορίας που βρίσκονται στην πρώτη παρτίδα εξετάζονται ταυτόχρονα σε χρόνο t =. Γενικότερα η παρτίδα + ξεκινά μετά την ολοκλήρωση της τελευταίας εργασίας που βρίσκεται στην αμέσως προηγούμενη παρτίδα με την προϋπόθεση ότι καμία από τις εργασίες που βρίσκονται στις πρώτες παρτίδες έχουν αποτύχει στην ανάκτηση της πληροφορίας. Η τμηματική ομαδική στρατηγική κατασκευάζεται χωρίζοντας μερικές εργασίες σε αυστηρά τμηματικές των οποίων το άθροισμα ισούται με την μονάδα και στη συνέχεια κατασκευάζεται η ομαδική στρατηγική χρησιμοποιώντας τις παρτίδες εργασιών που έχουν προκύψει. Έχοντας μια τμηματική ομαδική στρατηγική R συμβολίζουμε την -οστή παρτίδα της στρατηγικής R ως R. Τα κόστη και οι πιθανότητες αποτυχίες των επιμέρους παρτίδων της στρατηγικής R ορίζονται με τον ίδιο τρόπο που ορίστηκαν και για μια τμηματική εργασία. Αναλυτικότερα, αν η -οστή παρτίδα R περιέχει τις εργασίες,...,k και ένα τμήμα a της εργασίας k+, το κόστος της -οστής παρτίδας δηλώνεται ως C ( R ) και ορίζεται ως το Σελίδα 9 από 86

20 άθροισμα των χρηματικών κοστών των εργασιών και τμηματικών εργασιών που περιέχονται k στην παρτίδα C R a c k + c = + R. Δηλαδή η τελική τιμή του κόστους είναι ( ) = Η καθυστέρηση της -οστής παρτίδας δηλώνεται ως D ( R ) και ορίζεται ως η μεγαλύτερη χρονική καθυστέρηση μεταξύ όλων των εργασιών - τμηματικών και μη εργασιών που απαρτίζουν την παρτίδα R. Επομένως η καθυστέρηση της -οστής παρτίδας R παίρνει την τιμή D( R ) = max { d } k+ Συνεπώς το αναμενόμενο συνολικό κόστος της -οστής παρτίδας άθροισμα του αναμενόμενου χρηματικού C ( R ) και χρονικού ( R ) OC k ( R ) C( R ) + D( R ) = a c + c + max { d } = k. + = k + R ισούται με το D κόστους δηλαδή Τέλος η πιθανότητα αποτυχίας της -οστής παρτίδας Q R και ορίζεται ως το γινόμενο των επιμέρους πιθανοτήτων αποτυχίας των εργασιών που βρίσκονται στην παρτίδα R. Η τιμή της πιθανότητας αποτυχίας που είναι a Q( R ) = ( R ) = q k + q k R ορίζεται ως ( R ) Q( ) R δηλώνεται ως ( ). Αντίστοιχα η πιθανότητα επιτυχίας της -οστής παρτίδας =. R Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να ορίσουμε την έννοια της ελαφριάς και βαριάς εργασίας, καθώς επίσης και της ελαφριάς και βαριάς παρτίδας που θα χρησιμοποιηθούν στο μοντέλο του κόστους. Εκείνες οι εργασίες που η πιθανότητα επιτυχίας τους είναι μεγαλύτερη από καλούνται βαριές εργασίες, ενώ αυτές που η πιθανότητα επιτυχίας τους είναι μικρότερη ή ίση από καλούνται ελαφριές εργασίες. Η παρτίδα που αποτελείται μόνο από τμηματικά ελαφριές εργασίες καλείται ελαφριά παρτίδα, άλλωστε μια ολόκληρη εργασία αποτελεί ειδική περίπτωση των τμηματικών εργασιών. Ενώ η παρτίδα που περιέχει μια βαριά εργασία καλείται βαριά παρτίδα. Μια παρτίδα μπορεί να είναι είτε ελαφριά είτε βαριά. Τέλος καλούμε μια τμηματική ομαδική στρατηγική ισορροπημένη αν κάθε μια από τις παρτίδες της είναι είτε ελαφριά είτε βαριά, ενώ παράλληλα κάθε μια από τις ελαφριές παρτίδες εκτός της τελευταίας έχουν πιθανότητα αποτυχίας ίση με. Η τελευταία ελαφριά παρτίδα έχει πιθανότητα αποτυχίας μεγαλύτερη ή ίση με. Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι μια παρτίδα αποτελείται από τις,, k, l τμηματικές ελαφριές εργασίες με κλάσματα a =,5, a =.8, a k =,3, a l =,7, αντίστοιχα. Ας υποθέσουμε επίσης ότι οι πιθανότητες αποτυχίας των εργασιών,, k, l αν δεν υπήρχαν σε τμηματική μορφή είναι q =.6, q =.5, q k =.6, q l =.7 επομένως οι πιθανότητες επιτυχίας των τμηματικών εργασιών,, k, l που προκύπτουν είναι p a q a q a k q k k = =.3, p = =.4, p = =.4, Σελίδα από 86

21 a l l q l p = =., αντίστοιχα. Επομένως παρατηρούμε ότι η παρτίδα αυτή είναι μια ελαφριά παρτίδα διότι όλες οι εργασίες που περιέχονται σε αυτήν είναι ελαφριές εφόσον οι τιμές των πιθανοτήτων επιτυχίας αυτών είναι μικρότερες από.5 και η συνολική πιθανότητα επιτυχίας της συνολικής παρτίδας είναι.3. Αν υποθέσουμε ότι μια παρτίδα περιέχει μία εργασία z με κλάσμα a z = και πιθανότητα αποτυχίας q z =.4, δηλαδή η εργασία αυτή είναι τοποθετημένη ολόκληρη μέσα στην παρτίδα a z και έχει πιθανότητα επιτυχίας pz = q z =.6>.5 που σημαίνει ότι είναι μια βαριά εργασία. Άρα και η παρτίδα είναι μια βαριά παρτίδα. 3. Υλοποίηση Αλγορίθμου Στο παρόν υποκεφάλαιο περιγράφεται βήμα-βήμα η διαδικασία που ακολουθεί ο αλγόριθμος. Η κατασκευή των παρτίδων και η ταξινόμηση των εργασιών μέσα σε αυτές χωρίζεται σε τρία βήματα. Βήμα ο Αρχικά ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μόνο τις ελαφριές εργασίες (ελαφριά εργασία είναι αυτή που η πιθανότητα επιτυχίας της είναι μικρότερη του ½) για την κατασκευή των παρτίδων. Ακριβώς επειδή χρησιμοποιούνται μόνο ελαφριές εργασίες η στρατηγική που α- ναπτύσσεται καλείται Στρατηγική Ελαφρότερου Κλάσματος (Lght Fractonal Greedy Schedule). Κάποιες από τις εργασίες ενδέχεται να είναι χωρισμένες σε μικρότερα τμήματα που αν αθροιστούν να προκύπτει μονάδα. Οι παρτίδες κατασκευάζονται ξεκινώντας από την πρώτη. Για την κατασκευή του πρώτου βήματος εισάγονται όλες οι πηγές πληροφορίας από αυτές, όμως επιλέγονται να χρησιμοποιηθούν μόνο αυτές των οποίων η πιθανότητα επιτυχίας είναι μικρότερη ή ίση από (δηλαδή χρησιμοποιούνται οι ελαφριές εργασίες). Οι βαριές εργασίες παραμένουν ανέπαφες μέχρι το ο βήμα. Τελικά εξάγονται όλες οι παρτίδες της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος. Οι τελικές παρτίδες που προκύπτουν αποτελούνται από κλάσματα ελαφριών εργασιών και η συνολική πιθανότητα αποτυχίας κάθε παρτίδας είναι ακριβώς ίση με, εκτός από την τελευταία παρτίδα. Στην τελευταία παρτίδα τοποθετούνται όλες εκείνες οι κλασματικές ελαφριές εργασίες που περισσεύουν και η συνολική πιθανότητα αποτυχίας της τελευταίας παρτίδας είναι μεγαλύτερη από. Παράδειγμα Σαν παράδειγμα περιγράφεται η κατασκευή της -οστής παρτίδας. Αν κλάσμα της k ελαφριάς εργασίας που εμφανίζεται στην -οστή παρτίδα και η τιμή a είναι το k a είναι k θετικός αριθμός τότε ισχύει a = για κάθε k. Δεδομένου ότι υπάρχουν οι,,..., k Σελίδα από 86

22 παρτίδες κατασκευάζουμε την -οστή παρτίδα με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει συνολικά ελάχιστο κόστος και να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες:. για κάθε εργασία k ισχύει: a k a k =. το γινόμενο των πιθανοτήτων αποτυχίας των εργασιών που βρίσκονται στην -οστή παρτίδα ισούται με ½. k q a k = 3. η -οστή παρτίδα περιέχει το πολύ μια εργασία k τέτοια ώστε a > και a <. Μια τέτοια εργασία λέμε ότι είναι μερικώς ολοκληρωμένη στην -οστή παρτίδα Υπάρχουν πολλές επιλογές με ελάχιστο συνολικό κόστος για την -οστή παρτίδα. Α- ποδεικνύεται ότι αν οι επιλογές αυτές ικανοποιούν τις δύο πρώτες συνθήκες υπάρχει μία που ικανοποιεί και την τρίτη. Εξαίρεση αποτελεί η δεύτερη συνθήκη, όταν οι τμηματικές εργασίες που έχουν απομείνει δεν επαρκούν ώστε η συνολική πιθανότητα επιτυχίας να γίνει ίση με ½. Σε μια τέτοια περίπτωση όλες οι εναπομείναντες τμηματικές εργασίες τοποθετούνται στην τελευταία παρτίδα. Αναλυτικότερα οι παρτίδες της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος κατασκευάζονται ως εξής: Έστω T,...,Tg οι χρονικές καθυστερήσεις όλων των ελαφριών εργασιών. Οι ελαφριές εργασίες ταξινομούνται σε αύξουσα σειρά ως προς τον λόγο c ln q. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε την λίστα αποδοτικότητας (effcency lst). Στη συνέχεια για κάθε T h όπου h g ορίζουμε την λίστα αποδοτικότητας T h ως ένα υποσύνολο της λίστα αποδοτικότητας όπου οι χρονικές καθυστερήσεις των εργασιών που περιέχονται σ αυτήν δεν ξεπερνούν την τιμή T h. Παράδειγμα Σαν παράδειγμα δίνεται η κατασκευή της -οστής παρτίδας. Για κάθε ελαφριά εργασία k, θέτουμε β k a k δηλαδή η ποσότητα β k είναι εκείνο το τμήμα της εργασίας k = που δεν έχει ανατεθεί στις πρώτες παρτίδες. Aν το γινόμενο όλων των k εργασιών των k q β k είναι μεγαλύτερο ή ίσο με ½ τότε ο αλγόριθμος θέτει όλες τις εναπομείναντες τμηματικές εργασίες στην παρτίδα και σταματάει. Μόλις δημιουργήθηκε η τελευταία παρτίδα. Αν k όμως το γινόμενο όλων των εργασιών k των q β k είναι μικρότερο από ½ τότε για κάθε λίστα αποδοτικότητας T h ο αλγόριθμος ακολουθεί την παρακάτω διαδικασία: α. Υπολογίζει το γινόμενο όλων των τμηματικών εργασιών που βρίσκονται μέσα στην T h λίστα αποδοτικότητας q β k k. k = k Σελίδα από 86

23 k k β. Αν το γινόμενο αυτό είναι μικρότερο ή ίσο με q β τότε κατασκευάζεται μια παρτίδα η οποία καλείται υποψήφια παρτίδα T h. γ. Η υποψήφια παρτίδα T h κατασκευάζεται αν θεωρήσουμε τις εργασίες που βρίσκονται στην T h λίστα αποδοτικότητας ταξινομημένες σε σειρά. Όταν ο αλγόριθμος συναντήσει την εργασία k τότε θέτει ένα κλάσμα β k της εργασίας k μέσα στην υποψήφια παρτίδα T h. Η διαδικασία αυτή δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί σε περίπτωση που η τιμή της πιθανότητας αποτυχίας της παρτίδας πάρει τιμή μικρότερη ή ίση με ½. Σε αυτή την περίπτωση ο αλγόριθμος θέτει ένα κλάσμα a της εργασίας k στην παρτίδα, όπου η τιμή a επιλέγεται έτσι ώστε η πιθανότητα αποτυχίας να γίνει ακριβώς ίση με ½. Σε αυτό το σημείο ολοκληρώνεται η κατασκευή της -οστής παρτίδας. δ. Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλες τις λίστες αποδοτικότητας T h. ε. Υπολογίζεται το συνολικό κόστος κάθε υποψήφιας παρτίδας T h και ορίζεται ως -οστή παρτίδα εκείνη η υποψήφια παρτίδα T h με το μικρότερο συνολικό κόστος. Βήμα ο Κατασκευάζεται η ισορροπημένη άπληστη στρατηγική (Balanced Greedy Schedule ή BG) με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε παρτίδα που ανήκει στην στρατηγική ελαφρότερου κλάσματος να εμφανίζεται ως παρτίδα στην ισορροπημένη στρατηγική. Επιπλέον κάθε βαριά εργασία (βαριά εργασία είναι αυτή που η πιθανότητα επιτυχίας είναι ½) εμφανίζεται σαν μια παρτίδα στην άπληστη στρατηγική. Σύμφωνα με αυτές τις προϋποθέσεις, η ισορροπημένη άπληστη στρατηγική κατασκευάζεται έτσι ώστε να έχει το ελάχιστο απαιτούμενο συνολικό κόστος. Αυτό γίνεται αν τα δύο είδη παρτίδων δηλαδή οι παρτίδες της στρατηγική ελαφρότερου κλάσματος στρατηγικής και οι παρτίδες που περιέχουν μια βαριά εργασία ταξινομηθούν σε αύξουσα σειρά ως προς τον λόγο OC. Όπου OC είναι το συνολικό κόστος της παρτίδας και είναι η πιθανότητα επιτυχίας της. Οι παρτίδες εκτελούνται με αυτή την σειρά έως ότου κάποια τμηματική εργασία επιτύχει δηλαδή έως ότου ανακτηθεί η πληροφορία. Στο ο βήμα εισάγονται οι παρτίδες που έχουν δημιουργηθεί στο βήμα ελαφρότερου κλάσματος και ταυτόχρονα γίνεται ταξινόμηση των παρτίδων του βήματος ελαφρότερου κλάσματος με τις παρτίδες των βαριών εργασιών. Κάθε βαριά παρτίδα αποτελείται από μια βαριά εργασία. Στην έξοδο του ου βήματος προκύπτει μια αλληλουχία από βαριές και ελαφριές παρτίδες ταξινομημένες σε αύξουσα σειρά ως προς τον λόγο Συνολικό Κόστος Παρτίδας/Πιθανότητα Επιτυχίας Παρτίδας. Βήμα 3 ο Στο τελευταίο βήμα του αλγορίθμου κατασκευάζεται η άπληστη στρατηγική (Greedy schedule). Σκοπός του αλγορίθμου είναι να συνδυάσει αυστηρά τμηματικές εργασίες που εμφανίζονται έτσι ώστε οι παρτίδες που θα προκύψουν να μην περιέχουν τέτοιου είδους ερ- Σελίδα 3 από 86

24 γασίες. Ας θυμηθούμε ότι αυστηρά τμηματικές εργασίες είναι αυτές όπου η τιμή του ποσοστού τους a βρίσκεται στο διάστημα < a <. Ας υποθέσουμε ότι μια εργασία k εμφανίζεται τμηματικά σε περισσότερα της μιας παρτίδας και έστω a k είναι το κλάσμα της εργασίας k που εμφανίζεται στην -οστή παρτίδα της ισορροπημένης άπληστης στρατηγικής. Αν η παρτίδα είναι βαριά τότε ισχύει a =. Αν είναι η πιθανότητα εκτέλεσης της -οστής παρτίδας τότε η ποσότητα k = = k f a είναι το αναμενόμενο κλάσμα της εργασίας k που εκτελείται στην ισορροπημένη άπληστη στρατηγική. Στην άπληστη στρατηγική η εργασία k μετακινείται σε μια παρτίδα G όπου είναι ο μικρότερος δείκτης που ικανοποιεί την συνθήκη < f. Όσο για την ανάθεση των βαριών εργασιών αυτή δεν αλλάζει από την ισορροπημένη άπληστη στρατηγική στην άπληστη στρατηγική. Για παράδειγμα μια βαριά εργασία που εμφανίζεται στην ισορροπημένη ά- πληστη στρατηγική στην παρτίδα G. k BG ανατίθεται στην άπληστη στρατηγική στην παρτίδα Στο 3 ο βήμα εισάγονται οι παρτίδες (ελαφριές και βαριές) που έχουν προκύψει από το ο βήμα και στόχος είναι να απαλειφθούν οι κλασματικές εργασίες και να προκύψουν παρτίδες που αποτελούνται μόνο από ολοκληρωμένες εργασίες. Τελικά στην έξοδο του προγράμματος έχουμε παρτίδες που αποτελούνται μόνο από ολοκληρωμένες εργασίες. 3.. Σύγκριση Ισορροπημένης Άπληστης Στρατηγικής και Ισορροπημένης Στρατηγικής Στο υποκεφάλαιο αυτό θα αποδειχθεί ότι το αναμενόμενο συνολικό κόστος της ισορροπημένης άπληστης στρατηγικής είναι το πολύ διπλάσιο από το αναμενόμενο κόστος οποιασδήποτε άλλης ισορροπημένης στρατηγικής. Αρχικά θα γίνει σύγκριση της ισορροπημένης άπληστης στρατηγικής και της ισορροπημένης στρατηγικής. Έστω ότι έχουμε μια τυχαία ισορροπημένη στρατηγική A, και ας υποθέσουμε ότι με A παριστάνεται η -οστή παρτίδα της στρατηγικής A. Με την βοήθεια της A κατασκευάζεται μια νέα στρατηγική, η ALG, της οποίας η -οστή παρτίδα της παριστάνεται με ALG. Η ALG κατασκευάζεται από την A στρατηγική με αντικατάσταση των ελαφριών παρτίδων της A με τις αντίστοιχες παρτίδες της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος. Οι βαριές παρτίδες της A παραμένουν ανέπαφες. Έτσι αν η παρτίδα A είναι βαριά, τότε η αντίστοιχη παρτίδα της στρατηγικής ALG θα είναι η ίδια παρτίδα με την A δηλαδή ALG = A. Αν η παρτίδα A είναι ελαφριά και επιπλέον είναι η -οστή ελαφριά παρτίδα στην στρατηγική A, τότε η αντίστοιχη παρτίδα ALG της στρατηγικής ALG έχει αντικατασταθεί από την -οστή ελαφριά παρτίδα της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος. Μαθημα- k Σελίδα 4 από 86

25 τικά αποδεικνύεται ότι η στρατηγική ALG είναι καλύτερη σε σχέση με την A με την βοήθεια των παρακάτω λημμάτων. Λήμμα 3-: Για κάθε =,...,, ισχύει OC ( ALG ) C( A ) + max =,..., D( A ) = Απόδειξη: Για την περίπτωση των βαριών εργασιών δεν υπάρχει τίποτα να αποδειχθεί διότι το πέρασμα από την στρατηγική A στην ALG στρατηγική γίνεται χωρίς καμία μεταβολή με συνέπεια οι βαριές εργασίες να μην συνεισφέρουν καθόλου στην ελάττωση του συνολικού κόστους μιας παρτίδας. Η απόδειξη του λήμματος στηρίζεται στις ελαφριές εργασίες. Για κάθε r, εφόσον οι πρώτες r ελαφριές παρτίδες της A στρατηγικής έχουν οι κάθε μια τους πιθανότητα αποτυχίας ίση με ½ και οι πρώτες r ελαφριές παρτίδες της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος έχουν οι κάθε μια τους πιθανότητα αποτυχίας ίση με ½, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια r-οστή ελαφριά παρτίδα B που αποτελείται από τμηματικές εργασίες που περιέχονται στις πρώτες r ελαφριές παρτίδες της A στρατηγικής αλλά όχι στις r ελαφριές παρτίδες της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος. Το συνολικό κόστος της παρτίδας B δεν θα ξεπερνά την ποσότητα C ( A ) + max = D( ).,..., A = Ωστόσο, από κατασκευής της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος η r-οστή ελαφριά παρτίδα της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος έχει ελάχιστο συνολικό κόστος και πιθανότητα αποτυχίας ίση με ½. Επιπλέον κατασκευάζεται από τις τμηματικές εργασίες που έ- χουν απομείνει μετά την ολοκλήρωση των r παρτίδων της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος. Να σημειωθεί ότι η τελευταία παρτίδα της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος αποτελεί εξαίρεση διότι η πιθανότητα αποτυχίας μπορεί να είναι μεγαλύτερη από ½. Επομένως το συνολικό κόστος της r-οστή παρτίδας της στρατηγικής ελαφρότερου κλάσματος είναι μικρότερο ή ίσο με το συνολικό κόστος της παρτίδα B. Μαθηματικά αποδεικνύεται ότι ( ALG ) C( A ) + D( A ) OC max = =,..., Λήμμα 3-: Το αναμενόμενο συνολικό κόστος της στρατηγικής ALG είναι το πολύ διπλάσιο από το α- ναμενόμενο συνολικό κόστος της στρατηγικής A. Απόδειξη: Έστω W είναι η πιθανότητα εκτέλεσης της -οστής παρτίδας της στρατηγικής ALG. Τότε ισχύει για >, W W εφόσον κάθε παρτίδα της στρατηγικής ALG έχει πιθανότητα επιτυχίας τουλάχιστον ίση με ½ εκτός από την τελευταία παρτίδα. Επομένως ι- σχύει: OC = ( ALG) = W OC( ) ALG Σελίδα 5 από 86

26 της W = = C ( A ) + max D( A ),..., ( C ( A ) + D( A )) = = = ( ) OC A W = Κατασκευάζοντας την στρατηγική ALG παρατηρούμε ότι η πιθανότητα εκτέλεσης A παρτίδας της στρατηγικής A ισούται με την πιθανότητα εκτέλεσης της παρτίδας ALG της στρατηγικής ALG. Επομένως ισχύει OC ( A) = OC( ) = W A W. Λήμμα 3-3: Το αναμενόμενο συνολικό κόστος της ισορροπημένης άπληστης στρατηγικής BG δεν είναι μεγαλύτερο από το συνολικό αναμενόμενο κόστος της στρατηγικής ALG. Απόδειξη: Παρατηρούμε ότι η ισορροπημένη άπληστη στρατηγική BG προκύπτει από την στρατηγική ALG έχοντας ταξινομήσει τις παρτίδες της ALG σε αύξουσα σειρά ως προς το λόγο OC, όπου OC είναι το αναμενόμενο συνολικό κόστος της παρτίδας και είναι η πιθανότητα επιτυχίας της. Επομένως καταλήγουμε στο ότι η επαναδιάταξη των παρτίδων σε αύξουσα σειρά σε μια στρατηγική δεν επηρεάζει το αναμενόμενο συνολικό κόστος της. Μετά από την σύγκριση της ισορροπημένης άπληστης στρατηγικής και μιας οποιασδήποτε άλλης ισορροπημένης στρατηγικής προκύπτει το θεώρημα 3-. Θεώρημα 3-: Το αναμενόμενο συνολικό κόστος της ισορροπημένης άπληστης στρατηγικής είναι το πολύ διπλάσιο από το αναμενόμενο κόστος οποιασδήποτε άλλης ισορροπημένης στρατηγικής. 3.. Σύγκριση Άπληστης Στρατηγικής και Ισορροπημένης Άπληστης Στρατηγικής Στο παρών υποκεφάλαιο θα αποδείξουμε ότι το αναμενόμενο συνολικό κόστος της άπληστης στρατηγικής είναι το πολύ τετραπλάσιο από το αναμενόμενο συνολικό κόστος της BG είναι η -οστή παρτίδα της ισορροπημέ- ισορροπημένης άπληστης στρατηγικής. Έστω νης άπληστης στρατηγικής BG και πόδειξη θα γίνει με την βοήθεια του παρακάτω λήμματος. Λήμμα 3-4: G στην άπληστης στρατηγική G είναι το πολύ διπλά- Η πιθανότητα εκτέλεσης της παρτίδας σια της πιθανότητας εκτέλεσης της BG. G η -οστή παρτίδα της άπληστης στρατηγικής G. Η α- BG παρτίδας στην ισορροπημένη άπληστη στρατηγική Σελίδα 6 από 86