......
|
|
|
- Σπύρο Ζάρκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 ......
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 m() 1 m() E(X; ) 1 m() 1 m() E(X; ) 1 m() E 1 (X; ).1 E 1 (X; ) E 2 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 1 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) 2 E 2 (X; ) E 3 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 2 T CE q (X) T CV q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 1 T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 1 T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 1
13 T CE q (X) T CV q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 6 T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 6
14 f() F () λ() Λ() (σ) (CRE) (σ) (CRE)
15
16
17
18
19 X f() F () F () = P (X > ) f() = F (), F () [, ) F () = 1 F () = S()
20 F () F ( + x) F () F () F () = x F ( + x) F () x F () F () = x F ( + x) F () x F () = F () F ( + x) F () P (X > ) P (X > + x) = P (X > ) P ( X + x) = P (X > ) =, P (X + x) P (X ) P (X > ) = P (X + x X > ). λ() = f() F () = F () F () = P (X + x X > ) x x (, + x] x X > λ() = F () F () = ( ln F ()),, F () = 1 λ(s)ds = ln F (s) = ln F () F () = ln F (). F () = e λ(s)ds. Λ() = λ(s)ds,,
21 λ() = Λ (), F () = e Λ() Λ() = ln F (). f() F () λ() Λ() f() F () λ() Λ() ( ) f() f() f(x)dx f(x)dx f(x)dx ln F () F () F () ln F () ( F () λ() e ) λ(x)dx e λ(x)dx λ(x)dx Λ() ( e Λ()) e Λ() Λ () λ() µ()
22 IF R DF R X F λ() X IF R F IF R λ() X DF R F DF R X [, ] X = X X >
23 X F X (x) = P (X > x) = P (X > x X > ) = P (X > x, X > ) P (X > + x) = P (X > ) P (X > ) = F ( + x), F (), x, x (, + x] x X dx λ X (x) = F X d (x) F X (x) = = F (x + ) F (x + ) F (x+) F () F (x+) F () = λ(x + ), λ() X X m() = E(X ) = = F X (x)dx F (x + ) dx = F () F (x) F () dx, X = m() = E(X) = µ, E(X) = µ X m () = d d = F () 1 F () F () = λ() m() 1 F (x) F () dx = F () F (x) dx + 1 F () 2 F () F (x) dx 1 d F () d F (x)dx d d F (x)dx
24 d d F (x)dx = d d m() + 1 = λ() m() F (x)dx = F (). λ() λ() = m() + 1 m(). m() λ() X F m() X IMRL F IMRL m() X DMRL F DMRL X F m() µ m() µ X NBUE F NBUE
25 m() µ X NW UE F NW UE IF R DF R DMRL IMRL NBUE NW UE IF R (DF R) DMRL (IMRL) IF R (DF R) NBUE (NW UE). (α, β) (α, β) U(α, β) f() = { 1 β α α < < β F () = β β α. E(X) = α + β 2 V ar(x) = (β α)2 12.
26 λ() = 1 β α β β α = 1 β, α < < β. m() = β α β β β x β α dx = β 2, α < β. λ() α < < β IF R DMRL NBUE exp(λ) λ > f() = λe λ,, f() = f() = λ F () = e λ,. E(X) = 1 λ V ar(x) = 1 λ 2. λ() = λe λ e λ = λ,. m() = 1 e λ e λx dx = 1 λ = E(X),.
27 λ() m() λ() m() IF R DF R IMRL DMRL NBUE NW UE (α, λ) α > λ > f() = Γ(α) = λα Γ(α) α 1 e λ,, x α 1 e x dx, α > α > α F () = α 1 i= F () = (λ) i i! e λ,. λ α Γ(α) xα 1 e λx dx s = λx ds = λ dx, F () = λα s α 1 1 Γ(α) λ λ α 1 e s λ ds = 1 Γ(α) Γ(α, λ) =,, Γ(α) λ s α 1 e s ds
28 Γ(α, u) = u x α 1 e x dx, α >, u E(X) = α λ V ar(x) = α λ 2. λ() = λα α 1 e λ Γ(α, λ),. λ() α > 1 α < 1 α = 1 IF R DMRL NBUE α > 1 DF R IMRL NW UE α < 1 P areo(α, β) α > β > f() = F () = α β α ( + β) α+1,. ( ) α β,. + β β α > 1 α 1 E(X) = < α 1 α β 2 α > 2 (α 1) V ar(x) = 2 (α 2) < α 2
29 λ() = α β α (+β) α+1 = α β α (+β) α + β,. m() = = ( β x+β )α dx ( β +β )α = ( + β) α +β α 1 α > 1 < α 1 [ (x + β) 1 α 1 α ] λ() DF R IMRL NW UE α > 1 α > 2 P ower(α, β) α > β > f() = α (β )α 1 β α, < < β. ( ) α β F () =, β. β E(X) = β α + 1 V ar(x) = α β 2 (α + 1) 2 (α + 2). λ() = α (β ) α 1 β α = α ( β β )α β, < < β.
30 m() = ( β x β = β α + 1. )α dx ( β β )α = 1 (β ) α [ ] β (β x)α+1 α + 1 λ() < < β IF R DMRL NBUE
31 X ϱ X ϱ[x] X ϱ X ϱ[x] ϱ ϱ[x] ϱ[x] max[x], X. ϱ[x] E(X), X.
32 ϱ[x + c] = ϱ[x] + c, X c. ϱ[c] = c, c. ϱ[x + Y ] ϱ[x] + ϱ[y ], X, Y. ϱ[x + Y ] = ϱ[x] + ϱ[y ], X, Y. ϱ[cx] = c ϱ[x], X c. P (X Y ) = 1, ϱ[x] ϱ[y ] X, Y.
33 X p i = P (X = i) f(x) H(X) H(X) = i p i lnp i, X H(X) = f(x) lnf(x)dx, X
34 X (, α) α 1 H(X) = α ln 1 dx = lnα, α H(X) < α < 1 f(x) F (x) E(X) E(X) = F (x) ln F (x)dx = F (x) Λ(x)dx, F (x) X Λ(x) E(X) m() X m() E(X)
35 E(X) < E(X) = E(m(X)). X E(m(X)) = m()f()d. m() E(m(X)) = F (x)dx F () f()d E(m(X)) = = = x x f() F () d λ()d F (x)dx F (x)dx ( ln F (x)) F (x)dx = E(X). X (, α) α > m() = α 2. ( ) α X E(X) = E = 2 = 1 [αx x2 2α 2 α ] α α x 2 1 α dx = α 4.
36 λ > m() = 1 λ. E(X) = E ( ) 1 = 1 λ λ. α > 1 β > m() = + β α 1. E(X) = E = = ( ) X + β = E(X) + β α 1 α 1 β + β α 1 α 1 α β (α 1), 2 E(X) α > β > m() = β α + 1.
37 ( ) β X E(X) = E α + 1 = β E(X) α + 1 = β β α+1 α + 1 α β = (α + 1), 2 E(X) NBUE NW UE X µ E(X) X NBUE NW UE E(X) ( ) µ. X NBUE NW UE m() ( ) µ >. m() f()d ( ) f()d = 1 µ f()d = µ, m() f()d = E(m(X)). E(X) ( ) µ. NBUE
38 X NW UE f(x) g(x) f(x) ln f(x) g(x) dx f(x)dx ln f(x)dx g(x)dx. X g g() = E(g(X)) = g (x) F (x)dx. g(x) = x g (x) = 1 X E(X) = F (x)dx. g(x) = x 2 g (x) = 2x X E(X 2 ) = 2 x F (x)dx. X E(X) E(X 2 ) E(X) E(X2 ) 2E(X).
39 Y λ > F (x) ln F (x) Ḡ(x) dx F (x) ln F (x)dx E(X) + λ Ḡ(x) F (x)dx ln F (x)dx Ḡ(x)dx. F (x) lne λx dx E(X) ln E(X) E(Y ) x F (x)dx E(X) ln(λe(x)) E(X) λ 2 E(X2 ) + E(X) ln(λe(x)), λ >. λ λ = 2E(X) E(X 2 ). λ E(X) E(X) + E(X) ln 2(E(X))2 E(X 2 ) lnx 1 1 x, x >, ( ) E(X) E(X) + E(X) 1 E(X2 ) 2(E(X)) 2 E(X) E(X2 ) 2E(X). NBUE NW UE
40 X NBUE E(X) µ E(X) E(X2 ) 2E(X). X NW UE µ E(X) E(X2 ) 2E(X). σ µ CV = σ µ = E(X2 ) E(X) 2 E(X), NBUE NW UE X NBUE E(X2 ) E(X) 2 < 1 E(X) E(X 2 ) E(X) 2 < E(X) 2 E(X2 ) 2E(X) < E(X) = µ. NBUE X λ 1 > λ 2 > f() = p λ 1 e λ1 + (1 p) λ 2 e λ2, >, p (, 1). F () = p e λ1 + (1 p) e λ2,.
41 λ() = p λ 1e λ 1 + (1 p) λ 2 e λ 2 p e λ 1x + (1 p) e λ 2, >. DF R DF R DF R X DF R X NW UE E(X) = (p e λ 1 + (1 p) e λ 2 )d = p 1 λ 1 + (1 p) 1 λ 2 E(X 2 ) = 2 (p e λ1 + (1 p) e λ2 )d ( = 2 p 1 + (1 p) 1 ), λ 2 1 λ 2 2 E(X 2 ) 2E(X) = p 1 + (1 p) 1 λ 2 1 λ 2 2 p 1 λ 1 + (1 p) 1. λ 2 p 1 λ 1 + (1 p) 1 λ 2 E(X) p 1 λ (1 p) 1 λ 2 2 p 1 λ 1 + (1 p) 1 λ 2. X α > λ > E(X) = α λ E(X2 ) = E(X 2 ) 2E(X) = α + 1 2λ. α (α + 1) λ 2, < α < 1 X DF R X NW UE α λ E(X) α + 1 2λ.
42 α > 1 X IF R X NBUE E(X) α + 1 2λ E(X) α λ. α > 1 α + 1 α 2λ λ, X E(X 2 ) < α > 2 α > 1 X E(X; ) E(X; ) = = F X (x) ln F X (x)dx F (x) F () ln F (x) F () dx. E(X; ) = 1 F () = 1 F () F (x) ln F (x)dx + ln F () F (x) ln F (x)dx + m() ln F (). F (x) F () dx = E(X; ) = E(X).
43 X E(X; ) m() X m() E(X; ) E(X; ) <, E(X; ) = E(m(X) X ). X E(m(X) X ) = 1 F () E(m(X) X ) = 1 F () x m(x) f(x)dx, F (s)ds F (x) f(x)dx. < x < s 1 ( s ) f(x) E(m(X) X ) = F () F (x) dx F (s)ds 1 ( s ) = λ(x)dx λ(x)dx F (s)ds F () ( ) F (s) = ln F (s) + ln F () F () ds = = E(X; ). F (x) F () ln F (x) F () dx = E(X; ) = E(X) = E(m(X) X ) = E(m(X)).
44 X U(, α) α > ( ) α X E(X; ) = E X = 1 α α x 1 α 2 α 2 α dx = α. 4 X exp(λ) λ > E(X; ) = E ( ) 1 λ X = 1 λ. X P areo(α, β) α > 1 β > ( ) X + β E(X; ) = E α 1 X = = 1 α 1 1 β α (+β) α (x + β) α β α dx (x + β) α+1 α ( + β) (α 1) 2. X P ower(α, β) α > β > ( ) β X E(X; ) = E α + 1 X = = 1 α ( β β )α β (β x) α (β x)α 1 dx β α α (β ) (α + 1) 2.
45 X X m() µ m() m() = (c 1) + µ, c >, X c = 1 c > 1 < c < 1 X m() E(X; ) E(X; ) = c m(), c >, X c = 1 c > 1 < c < 1 1 F () F (x) ln F (x)dx + m() ln F () = c m().
46 c m () = m () ln F () m() λ() + ln F 1 () λ() F (x) ln F () F (x)dx = m () ln F () m() λ() + ln F () + λ() [ c m() m() ln F () ], d d F (x) ln F (x)dx = d F (x) ln d F (x)dx = F () ln F () d d 1 F () = f() F () = λ() 2 F (). m () c (m() λ() 1 ) = (m() λ() 1) ln F () λ() m() + ln F () + c λ() m() λ() m() ln F (). x > m(x) λ(x) = c, m (x) = c 1. x (, ) m() m() = (c 1) + m() = (c 1) + µ c E(X; ) = m(), c = 1
47 E(X; ) = α ( + β) (α 1) 2 = α α 1 m(), c = α α 1 > 1. E(X; ) = α (β ) (α + 1) 2 = α α + 1 m(), c = α α + 1 < 1. X F E(X; ) X IDCRE F IDCRE E(X; ) X DDCRE F DDCRE E(X; )
48 X E(X; ) E (X; ) E (X; ) = λ() [E(X; ) m()], λ() X m() E 1 (X; ) = λ() F (x) ln F () F (x)dx + ln F () + m () ln F () m() λ(). m () E (X; ) = ( λ() 1 ) F (x) ln F () (x)dx + ln F () + ln F () [λ() m() 1] m() λ(). 1 F () F (x) ln F (x)dx = E(X; ) m() ln F (), E (X; ) = λ() [ E(X; ) m() ln F () ] + λ() m() ln F () m() λ() = λ() [E(X; ) m()]. X m() E(X; ) E(X; ) E(X; ) ( ) m(). E(X; ) E (X; ) ( ),
49 λ() > > E(X; ) m() ( ), E(X; ) ( ) m(). IMRL DMRL IDCRE DDCRE X m() E(X; ) m() E(X; ) m() x > m(x) f(x)dx F () m(x) m() m() f(x)dx = m(), F () f(x)dx = F (). X E(X; ) m(), E(X; ) m(),. E (X; ), E(X; ) m()
50 IMRL DMRL IDCRE DDCRE DF R IMRL IDCRE IF R DMRL DDCRE. DMRL DDCRE IMRL IDCRE IMRL DMRL IDCRE DDCRE IMRL DMRL IDCRE DDCRE X α = 2 κ = 1.3 F () = (1 + 2 ) 1.3, >. m() m() = (1 + x 2 ) 1.3 dx, >. (1 + 2 ) 1.3 m()
51 1.15 m m() 1 m() = = m() X IMRL E(X; ) 1 E(X; ) = (1 + 2 ) 1.3 (1 + x 2 ) 1.3 ln (1 + x2 ) 1.3 dx, >. (1 + 2 ) 1.3 m() E(X; )
52 m 1.5 E_1 X; m() E(X; ) 1 > E(X; ) m() X IDCRE X F () = e 5 (2) 1/2,. m() m() = e x5 (2x) 1/2 dx,. e 5 (2) 1/2 m()
53 m m() 1 m() = = m() X DMRL E(X; ) E(X; ) = 1 e 5 (2) 1/2 e x5 (2x) 1/2 ln e x5 (2x) 1/2 dx,. e 5 (2) 1/2 m() E(X; )
54 .5 E_1 X; m m() E(X; ) 1 > E(X; ) m() X DDCRE
55 X F (x) Y Ḡ(+x)/Ḡ(x) X = x
56 F 2 () = = = F () + P (X + Y > X = x ) f(x)dx P (Y > x X = x) f(x)dx + Ḡ() Ḡ(x) f(x)dx, f(x)dx P (X + Y > X = x) = 1 x, f(x) X X n n Fn () F n () = F () n 1 k= [Λ()] k k! = q n ( F ()) n = 1, 2,..., Λ() X q n (x) = x n 1 k= [ lnx] k k! x q n () = q n (1) = 1 F = Ḡ F n X n F X n f n () = [Λ()]n 1 (n 1)! f() n = 1, 2,.... X n µ n = F n (x)dx n 1,
57 n = 1 µ n+1 µ n = = F (x) n [Λ(x)] k dx k! k= F (x) [Λ(x)]n n! dx. µ 2 µ 1 = F (x) Λ(x)dx = = E(X), F (x) n 1 k= [Λ(x)] k k! F (x) ln F (x)dx dx X X E n (X) n = n = 1 E n (X) = F (x) [Λ(x)]n dx n =, 1, 2,.... n! E (X) = E 1 (X) = F (x)dx = E(X). F (x) Λ(x)dx = E(X). E n (X) F n+1 F n n = E (X) = E(X) F 1 F
58 E n (X) λ() X X E n (X) λ() ( ) 1 E n (X) = E. λ(x n+1 ) E n (X) = F (x) f(x) [Λ(x)] n n! f n+1 (x) = [Λ(x)]n n! f(x). f(x)dx. 1 E n (X) = λ(x) f n+1(x)dx ( ) 1 = E. λ(x n+1 ) X Y F Ḡ F (x) Ḡ(x) x (, ). X Y X ST Y X Y λ X λ Y λ X () λ Y (),.
59 X Y X HR Y X Y f() g() g() f() (, ), X Y X LR Y IF R DF R X E n (X) λ() X IF R DF R E n (X) ( ) E n+1 (X) n =, 1, 2... f n+1 () f n () = Λ() n X n LR X n+1. X n ST X n+1. X IF R DF R λ() E n (X) ( ) E n+1 (X) n =, 1, E n (X) = E(X) = E (X) = E(X) = 1 λ n = 1, 2,....
60 X Y X HR Y DF R E n (X) E n (Y ) n =, 1, 2,... X Y F Ḡ λ X λ Y X HR Y X ST Y F () Ḡ(),. n = E (X) = F ()d Ḡ()d = E (Y ) q n+1 F n+1 () = q n+1 ( F ()) q n+1 (Ḡ()) = Ḡn+1(), F n+1 () Ḡ n+1 () X n+1 Y n+1 X n+1 ST Y n+1 E(ϕ(X n+1 )) E(ϕ(Y n+1 )) ϕ Y DF R 1 λ Y ( E n (Y ) = E 1 λ Y (Y n+1 ) ) ( ) 1 E. λ Y (X n+1 ) X HR Y 1 1 λ X λ Y
61 ( ) 1 E λ Y (X n+1 ) ( ) 1 E = E n (X) λ X (X n+1 ) E n (X) E n (Y ). X DF R X E n (X; ) E n (X; ) = 1 [ F (x) ln F ] n (x) dx n! F () F () n =, 1, = n = n = 1 E n (X; ) = E n (X). E (X; ) = E(X ) = m(). E 1 (X; ) = E(X; ). n ( ) n ( 1) n k x k y n k = (x y) n. k k= E n (X; ) E n (X; ) = 1 n! F (x) F () [Λ(x) Λ()]n dx
62 E n (X; ) = = = 1 n! F () n 1 n! F () 1 n F () k= k= n ( ) n F (x) ( 1) n k [Λ(x)] k [Λ()] n k dx k k= ( n )( 1) n k [Λ()] n k F (x) [Λ(x)] k dx k ( 1) n k k! (n k)! [Λ()]n k F (x) [Λ(x)] n dx F (x) [Λ(x)] n dx = n! F () E n (X; ) k= n 1 ( n )( 1) n k [Λ()] n k k n = 1 [ 1 E(X; ) = Λ() F (x)dx + F () = m() ln F () 1 F () F (x) [Λ(x)] k dx. F (x) ln F (x)dx F (x)[λ(x)] k dx. ] F (x) Λ(x)dx X λ X (x) = λ(x + ) X IF R DF R X IF R DF R E n (X; ) ( ) E n+1 (X; ) > n =, 1,...
63 ( ) 1 E n (X; ) = E, λ( + X,n+1 ) X,n+1 n X X E n (X; ) E n(x; ) E n(x; ) = λ() [E n (X; ) E n 1 (X; )] n = 1, 2,... λ() X E n (X; ) F () = n k= ( 1) n k [Λ()] n k k! (n k)! F (x) [Λ(x)] k dx. E n(x; ) F () E n (X; ) f() = λ() n 1 k= [Λ()] n F () n ( 1) n k [Λ()] n k 1 k! (n k 1)! k= ( 1) n k k! (n k)! F (x) [Λ(x)] k dx d d F (x) [Λ(x)] k dx = F () [Λ()] k.
64 n k= ( 1) n k k! (n k)! = 1 n! n ( ) n ( 1) n k 1 k = 1 k n! (1 1)n =. k= E n(x; ) F () E n (X; ) f() = λ() n 1 k= ( 1) n k [Λ()] n k 1 k! (n k 1)! F (x) [Λ(x)] k dx λ() n 1 k= ( 1) n k [Λ()] n k 1 k! (n k 1)! F (x) [Λ(x)] k dx = λ() F () E n 1 (X; ). E n(x; ) F () = E n (X; ) f() λ() F () E n 1 (X; ) F () E n(x; ) = λ() [E n (X; ) E n 1 (X; )]. n = 1 E (X; ) = λ() [E(X; ) m()] X E n (X; ) E n (X; ) = c E n 1 (X; ) c > n {1, 2,...} X c = 1 c > 1
65 < c < 1 n = 1 E(X; ) = c m() n > 1 n 1 E n(x; ) = c E n 1(X; ). E n(x; ) = λ() [E n (X; ) E n 1 (X; )] = λ() [c E n 1 (X; ) E n 1 (X; )] = λ() (c 1) E n 1 (X; ). c E n 1(X; ) = λ() (c 1) E n 1 (X; ). c E n 1(X; ) = c λ() [E n 1 (X; ) E n 2 (X; )]. (c 1) E n 1 (X; ) = c [E n 1 (X; ) E n 2 (X; )], E n 1 (X; ) = c E n 2 (X; ) n 2. E n (X; ) = c E n 1 (X; ) = c 2 E n 2 (X; ) =... = c n m() E n (X; ) = E n 1 (X; ) =... = E(X; ) = m() = µ.
66 E n (X; ) E n (X; ) = E n 1 (X; ) n {1, 2,...} > c > 1 E n (X; ) E n 1 (X; )... E(X; ) m() m() E n (X; ) = c n m() c c = α α 1 X n =, 1, 2,... E n (X; ) = c n m() = αn ( + β) (α 1) n+1 < c < 1 E n (X; ) E n 1 (X; )... E(X; ) m() m() E n (X; ) c c = α α + 1 X n =, 1, 2,... E n (X; ) = c n m() = αn (β ) (α + 1) n+1
67 U R n+1 f i : U R ϑf i ϑy j U i, j = 1,..., n (x, z 1,..., z n ) U y 1 = f 1 (x, y 1,..., y n )... y n = f n (x, y 1,..., y n ), y j (x ) = z j j = 1, 2,..., n U X E i (X; ) i =, 1,..., n E n (X; ) E n 1 (X; ). E i (X; ) i =, 1,..., n 1 E n (X; ) X E 1(X; ) = λ() (E 1 (X; ) E (X; )) E 2(X; ) = λ() (E 2 (X; ) E 1 (X; ))... E n(x; ) = λ() (E n (X; ) E n 1 (X; )) λ() λ() = E n(x; ) E n (X; ) E n 1 (X; )
68 j = 1, 2,..., n 1 E j(x; ) = E j(x; ) E j 1 (X; ) E n (X; ) E n 1 (X; ) E n(x; ) E (X; ) = m() E (X; ) = λ() E (X; ) 1 = E (X; ) E n(x; ) E n (X; ) E n 1 (X; ) 1 y = f (, y,..., y n 1 ) y 1 = f 1 (, y,..., y n 1 )... y n 1 = f n 1 (, y,..., y n 1 ), y j = E j (X; ), j =, 1,..., n 1, f (, y,..., y n 1 ) = y E n(x; ) E n (X; ) y n 1 1, f j (, y,..., y n 1 ) = y j y j 1 E n (X; ) y n 1 E n(x; ), j = 1,..., n 1, E n (X; ) E i (X; ) i =, 1,..., n 1 E n (X; ) E j (X; ) j =, 1,..., n 1 E (X; ) = m()
69 X µ E(X; ) E(X; ) m(), µ E(X; ) X n = 1 E(X; ) = E (X; ) X E (X; ) = m() = µ. E n (X; ) E n (X; ) = E n 1 (X; ) X IDGCRE n E n (X; ) X IDGCRE n DDGCRE n E n (X; ) X DDGCRE n
70 n = IDGCRE IMRL DDGCRE DMRL. n = 1 IDGCRE 1 IDCRE DDGCRE 1 DDCRE. DF R IF R IDGCRE n DDGCRE n n {1, 2,...} X IF R DF R E n (X; ) n =, 1, 2,... n = E (X; ) = m() X IF R DF R X DMRL IMRL n 1 E n(x; ) = λ() [E n (X; ) E n 1 (X; )]. E n (X; ) ( ) E n 1 (X; ). E n(x; ) ( ) >, E n (X; ) X DDGCRE n IDGCRE n n = 1 IF R (DF R) DMRL (IMRL) DDCRE (IDCRE).
71 IDGCRE n 1 DDGCRE n 1 IDGCRE n DDGCRE n X E n (X; ) E n (X; ) < n = 1, 2,... E n (X; ) = E n 1 (X; z) f(z)dz F () X X IDGCRE n 1 DDGCRE n 1 IDGCRE n DDGCRE n X IDGCRE n 1 E n 1 (X; ) E n 1 (X; z) E n 1 (X; ) z >. E n (X; ) = E n 1 (X; z) f(z) dz F () E n 1 (X; )f(z)dz = E n 1 (X; ),. F () E n(x; ),, X IDGCRE n X DDGCRE n 1
72 IMRL IDCRE IDGCRE 2... IDGCRE n 1 IDGCRE n DMRL DDCRE DDGCRE 2... DDGCRE n 1 DDGCRE n. DMRL DDCRE DDGCRE n n IDGCRE n n m() E(X; ) m() E(X; ) E n (X; ) n 2 E n 1 (X; ) E n (X; ) > E n 1 (X; ), > E n(x; ) >, >, E n (X; ) E n 1 (X; ) E n (X; ) < E n 1 (X; ), >, E n (X; )
73 n E n (X; ) E n 1 (X; ) E n (X; ) X F () = e 1.5.5,. m() = , E 1 (X; ) = , E 2 (X; ) = , E 3 (X; ) = , E 1 (X; ) > E 2 (X; ) > m() > E 3 (X; ). m() E 1 (X; )
74 m E_1 X; m() E 1 (X; ).5 m() E 1 (X; ) m() E 1 (X; ) E 1 (X; ) E 2 (X; ) E_1 X;.49 E_2 X; E 1 (X; ) E 2 (X; ).5 E 2 (X; ) < E 1 (X; ) E 2 (X; ) < E 1 (X; ) E 2 (X; )
75 E 2 (X; ) E 1 (X; ) = E 2 (X; ) X E n (X; ) n =, 1, 2, 3.5 m E_1 X;.45 E_2 X; E_3 X; m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 1 E 3 (X; ) X X α = 3 κ = 2.5 F () = (1 + 3 ) 2.5,. m() =.72757, E 1 (X; ) = , E 2 (X; ) = , E 3 (X; ) = , m() > E 1 (X; ) > E 3 (X; ) > E 2 (X; ). m() E 1 (X; ) E 2 (X; )
76 m E_1 X; E_2 X; m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) 2 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) E_2 X;.29 E_3 X; E 2 (X; ) E 3 (X; ).5 E 3 (X; ) > E 2 (X; ) E 3 (X; ) X IDGCRE = E 3 (X; ) X
77 E n (X; ) X n =, 1, 2, m E_1 X; E_2 X;.35 E_3 X; m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 2
78 X f(x) F (x) σ 2 X σ 2 = V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (x µ) 2 f(x)dx, E(X 2 ) < σ E(X 2 )
79 E n (X) n = 1 E 1 (X) E(X2 ) 2E(X) E(X 2 ) < E 1 (X) < X IF R E n (X) E n+1 (X), n, E(X 2 ) < E n (X) < n 1 < α < 2 NBUE E(X) µ IF R DDGCRE n n n E n (X) µ n 1
80 X (, α) α > σ 2 = α2 12 σ = α 2 3, E 1 (X) = α 4 = 3 α σ2 E 1 (X) = 3 2 σ, E 1 (X) < σ E n (X) = 1 2 E n 1(X) =... = 1 2 n 1 E 1 (X) = 1 n σ = n = 1, 2,... n = 1, 2,... E n (X) < E n 1 (X) <... < E 1 (X) < σ 3 2 n σ X λ > σ 2 = 1 λ 2 σ = 1 λ,
81 E 1 (X) = 1 λ = λ σ2 E 1 (X) = σ, E n (X) = σ n 1. X α > 2 β > σ 2 αβ 2 α β = σ = (α 1) 2 (α 2) (α 1) α 2, κ 1 = 1 1 (α 1) 2 E 1 (X) = E 1 (X) = αβ (α 1) = α 2 2 β 1 σ 2 1 (α 1) 2 σ = κ 1 σ, < 1 E 1 (X) < σ = E n (X) = c E n 1 (X) =... = c n 1 E 1 (X) = c n 1 κ 1 σ n = 1, 2,... c = c n 1 κ 1 < 1 n α > 1 E α 1 n(x) < σ n < ln c κ 1 + 1, n < 1 2 ln α α α = 3 n = n = 2, 3,... E 1 (X) < σ < E 2 (X) <... < E n (X) n = 2 = E 2 (X) = α2 β (α 1) 3,
82 E 2 (X) > σ α 2 β (α 1) 3 > α β (α 1) α 2, α 3/2 (α 2) (α 1) 2 >, α > α > X α > β > σ 2 = αβ 2 (α + 1) 2 (α + 2) σ = α β (α + 1) α + 2, κ 2 = 1 1 (α+1) 2 E 1 (X) = E 1 (X) = αβ (α + 1) = α β 1 σ 2 1 (α + 1) 2 σ = κ 2 σ, < 1 E 1 (X) < σ E n (X) = c E n 1 (X) =... = c n 1 E 1 (X) = c n 1 κ 2 σ n = 1, 2,... c = n = 1, 2,... α α+1 < 1 E n (X) < E n 1 (X) <... < E 1 (X) < σ
83 (σ) (CRE) σ CRE DJIA NASDAQ SP 5 NY SE HSI T W II ST I N225 F T SE1 DAX3 CAC4 SMI SP 5
84 (σ) (CRE) σ CRE n
85 X F (x) V ar q (X) V ar q (X) = x q = F 1 (1 q) F (x q ) = P (X > x q ) = 1 q, q q q X q
86 X T CE q (X) T CE q (X) = E(X X > x q ) 1 = x f(x)dx, F (x q ) x q x q q x q q T CE q (X) = E(X X > x q ) = x q + E(X x q X > x q ) = V ar q (X) + m(x q ), m(x q ) X x q T CE q (X) V ar q (X) m()
87 X µ = E(X) T CV q (X) T CV q (X) = V ar(x X > x q ) = E[(X µ) 2 X > x q ] 1 = (x µ) F 2 f(x)dx, (x q ) x q F, f X V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = E[(X µ) 2 I(X > x q )] + E[(X µ) 2 I(X x q )], 1 x > x q I(X > x q ) = x x q X E[(X µ) 2 I(X > x q )] = x q (x µ) 2 f(x)dx = F (x q ) (x µ) 2 f(x) x q F (x q ) dx = (1 q) E[(X µ) 2 X > x q ] = (1 q) T CV q (X), V ar(x) (1 q) T CV q (X)
88 T CV q (X) 1 1 q E[(X µ) 2 I(X x q )]. V ar(x), 1 q < 1 T CV q (X) > V ar(x). X g(x) = (µ X) 2 m(x) X E 1 (X; x q ) = E(m(X) X > x q ) n
89 X α = 3 β = 8 µ = 4 F () = ( ) 3 8,. + 8 n = 1, 2, 3 ( ) 3 xq + 8 T CE q (X) = x 8 x q (x + 8) 4 dx, ( ) 3 xq + 8 T CV q (X) = (x 4) x q (x + 8) dx, 4 E 1 (X; x q ) = α (x q + β) (α 1) 2 = 3 (x q + 8) 2 2, E 2 (X; x q ) = α2 (x q + β) (α 1) 3 = 32 (x q + 8) 2 3, E 3 (X; x q ) = α3 (x q + β) (α 1) 4 = 33 (x q + 8) 2 4, x q q x q
90 TCE_q X TCV_q X E_1 X;X_q E_2 X;X_q E_3 X;X_q x_q T CE q (X) T CV q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 1 T CV q (X) T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 3 TCE_q X 25 E_1 X;X_q 2 15 E_2 X;X_q E_3 X;X_q x_q T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 1 E 1 (X; x q ) < T CE q (X) < E 2 (X; x q ) < E 3 (X; x q ) n = 2, 3
91 X α = 3/2 β = 4 F () = ( ) 3/2 4,. + 4 µ = 8 T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) TCE_q X 7 E_1 X;X_q E_2 X;X_q E_3 X;X_q 1 x_q T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 1 T CE q (X) < E 1 (X; x q ) < E 2 (X; x q ) < E 3 (X; x q ) n = 1, 2,... X IDGCRE n n = 1, 2,... E n (X; x q ) > E n 1 (X; x q ) n = 1, 2,...
92 X α = 3 β = 8 µ = 2 ( ) 3 8 F () =, < < 8. 8 n = 1, 2, 3 ( ) T CE q (X) = 8 x q x q x 3 (8 x)2 8 3 dx, ( ) (8 x)2 T CV q (X) = (x 2) dx, 8 x q x q 8 3 E 1 (X; x q ) = α (β x q) (α + 1) 2 = 3 (8 x q) 4 2, E 2 (X; x q ) = α2 (β x q ) (α + 1) 3 = 32 (8 x q ) 4 3, E 3 (X; x q ) = α3 (β x q ) (α + 1) 4 = 33 (8 x q ) 4 4, x q < 8 q
93 TCE_q X 2 TCV_q X E_1 X;X_q E_2 X;X_q E_3 X;X_q T CE q (X) T CV q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 6 T CV q (X) T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) TCE_q X E_1 X;X_q E_2 X;X_q E_3 X;X_q T CE q (X) E 1 (X; x q ) E 2 (X; x q ) E 3 (X; x q ) 4 x q 6 T CE q (X) > E 1 (X; x q ) > E 2 (X; x q ) > E 3 (X; x q ) X DDGCRE n E n (X; x q ) < E n 1 (X; x q ) n = 1, 2,... n
94 IDGCRE n n
95 CRE CV ar DCRE DDCRE DDGCRE n DF R DGCRE DMRL GCRE HR IDCRE IDGCRE n IF R IMRL MRL NBUE NW UE
96 T CE T CV V ar V ar
97 ailf x_ : 1 x^ 2^1.3 L x_ : Log ailf x mrl _ : Inegrae ailf x, x,, Infiniy ailf Enro1 _ : L mrl Inegrae ailf x L xailf, x,, Infiniy FindMinimum mrl,,, 1 FindMinimum Enro1,,, 1 Plo mrl,,, 1, AxesLabel"", "m " Plomrl, Enro1,,, 1, PloSyleRGBColor.75,,, RGBColor,.25,, LegendPosiion.95,.4, LegendSize.4, LegendTexSpace 2, PloLegend"m ", "E_1 X; ", AxesLabel"", " " ailf x_ : Expx^ 4 3 x ^ 1 3 L x_ : Log ailf x mrl _ : Inegrae ailf x, x,, Infiniy ailf Enro1 _ : L mrl Inegrae ailf x L xailf, x,, Infiniy FindMaximum mrl,,, 1 FindMaximum Enro1,,, 1 Plo mrl,,, 1, AxesLabel"", "m " Plomrl, Enro1,,, 1, PloSyleRGBColor.5,,, RGBColor,.75,, LegendPosiion.95,.4, LegendSize.4, LegendTexSpace 2, PloLegend"m ", "E_1 X; ", AxesLabel"", " "
98 Needs "PloLegends " ailf x_ : Expx^ 1.5x^.5 L x_ : Log ailf x mrl _ : Inegrae ailf x, x,, Infiniy ailf Enro1 _ : L mrl Inegrae ailf x L xailf, x,, Infiniy Enro2 _ : L ^2 mrl 2L ailf Inegrae ailf x L x, x,, Infiniy 12 ailf Inegrae ailf x L x^2, x,, Infiniy Enro3 _ : L ^3 mrl 6 L ^22 ailf Inegrae ailf x L x, x,, Infiniy L 2 ailf Inegrae ailf x L x^2, x,, Infiniy 16 ailf Inegrae ailf x L x^3, x,, Infiniy mrl Enro1 Enro2 Enro3 Plomrl, Enro1,,,.1, PloSyleRGBColor 1,,, RGBColor, 1,, LegendPosiion.95,.4, LegendSize.4, LegendTexSpace 2, PloLegend"m ", "E_1 X; ", AxesLabel"", " " PloEnro1, Enro2,,,.5, PloSyleRGBColor, 1,, RGBColor,, 1, LegendPosiion.95,.4, LegendSize.4, LegendTexSpace 2, PloLegend"E_1 X; ", "E_2 X; ", AxesLabel"", " " Plomrl, Enro1, Enro2, Enro3,,, 1, PloSyleRGBColor 1,,, RGBColor, 1,, RGBColor,, 1, RGBColor.2,,, LegendPosiion.95,.3, LegendSize.7, LegendTexSpace 2, PloLegend"m ", "E_1 X; ", "E_2 X; ", "E_3 X; ", AxesLabel"", " "
99 Needs "PloLegends " ailf x_ : 1 x^ 3^2.5 L x_ : Log ailf x mrl _ : Inegrae ailf x, x,, Infiniy ailf Enro1 _ : L mrl Inegrae ailf x L xailf, x,, Infiniy Enro2 _ : L ^2 mrl 2L ailf Inegrae ailf x L x, x,, Infiniy 12 ailf Inegrae ailf x L x^2, x,, Infiniy Enro3 _ : L ^3 mrl 6 L ^22 ailf Inegrae ailf x L x, x,, Infiniy L 2 ailf Inegrae ailf x L x^2, x,, Infiniy 16 ailf Inegrae ailf x L x^3, x,, Infiniy N mrl N Enro1 N Enro2 N Enro3 Plomrl, Enro1, Enro2,,, 2, PloSyleRGBColor 1,,, RGBColor, 1,, RGBColor,, 1, LegendPosiion.95,.4, LegendSize.4, LegendTexSpace 2, PloLegend"m ", "E_1 X; ", "E_2 X; ", AxesLabel"", " " PloEnro2, Enro3,,,.5, PloSyleRGBColor,, 1, RGBColor.2,,, LegendPosiion.95,.4, LegendSize.4, LegendTexSpace 2, PloLegend"E_2 X; ", "E_3 X; ", AxesLabel"", " " Plomrl, Enro1, Enro2, Enro3,,, 2, PloSyleRGBColor 1,,, RGBColor, 1,, RGBColor,, 1, RGBColor.2,,, LegendPosiion.95,.3, LegendSize.7, LegendTexSpace 2, PloLegend"m ", "E_1 X; ", "E_2 X; ", "E_3 X; ", AxesLabel"", " "
100 Needs "PloLegends " Alphapar : 3 Beapar : 8 ailf x_ : Beaparx Beapar^ Alphapar Piknoia x_ : Alphapar Beapar^ Alphaparx Beapar ^ Alphapar 1 Mu : Inegrae ailf x, x,, Infiniy Tce _ : Inegrae x Piknoia x, x,, Infiniy ailf Tcv _ : Inegrae x Mu ^ 2 Piknoia x, x,, Infiniy ailf Enro1 _ : Alphapar BeaparAlphapar 1 ^ 2 Enro2 _ : Alphapar^ 2 BeaparAlphapar 1 ^ 3 Enro3 _ : Alphapar^ 3 BeaparAlphapar 1 ^ 4 N Mu PloTce, Tcv, Enro1, Enro2, Enro3,, 4, 1, PloSyleRGBColor,.25,, RGBColor.35,,, RGBColor,.85,, RGBColor,,.5, RGBColor.9,,, LegendPosiion.95,.3, LegendSize 1.1, LegendTexSpace 2, PloLegend"TCE_q X ", "TCV_q X ", "E_1 X;X_q ", "E_2 X;X_q ", "E_3 X;X_q ", AxesLabel"x_q", " " PloTce, Enro1, Enro2, Enro3,, 4, 1, PloSyle RGBColor.35,,, RGBColor,.85,, RGBColor,,.5, RGBColor.9,,, LegendPosiion.95,.3, LegendSize.9, LegendTexSpace 2, PloLegend"TCE_q X ", "E_1 X;X_q ", "E_2 X;X_q ", "E_3 X;X_q ", AxesLabel"x_q", " "
101 Needs "PloLegends " Alphapar : 1.5 Beapar : 4 ailf x_ : Beaparx Beapar^ Alphapar Piknoia x_ : Alphapar Beapar^ Alphaparx Beapar ^ Alphapar 1 Mu : Inegrae ailf x, x,, Infiniy Tce _ : Inegrae x Piknoia x, x,, Infiniy ailf Enro1 _ : Alphapar BeaparAlphapar 1 ^ 2 Enro2 _ : Alphapar^ 2 BeaparAlphapar 1 ^ 3 Enro3 _ : Alphapar^ 3 BeaparAlphapar 1 ^ 4 PloTce, Enro1, Enro2, Enro3,, 4, 1, PloSyle RGBColor.35,,, RGBColor,.85,, RGBColor,,.5, RGBColor.9,,, LegendPosiion.95,.3, LegendSize 1.1, LegendTexSpace 2, PloLegend"TCE_q X ", "E_1 X;X_q ", "E_2 X;X_q ", "E_3 X;X_q ", AxesLabel"x_q", " "
102 Needs "PloLegends " Alphapow : 3 Beapow : 8 ailf x_ : Beapow xbeapow ^ Alphapow Piknoia x_ : Alphapow Beapow x ^ Alphapow 1Beapow^ Alphapow Mu : Inegrae ailf x, x,, Beapow Tce _ : Inegrae x Piknoia x, x,, Beapow ailf Tcv _ : Inegrae x Mu ^ 2 Piknoia x, x,, Beapow ailf Enro _ : Beapow Alphapow 1 Enro1 _ : Alphapow Beapow Alphapow 1 ^ 2 Enro2 _ : Alphapow^ 2 Beapow Alphapow 1 ^ 3 Enro3 _ : Alphapow^ 3 Beapow Alphapow 1 ^ 4 N Mu PloTce, Tcv, Enro1, Enro2, Enro3,, 4, 6, PloSyleRGBColor.35,,, RGBColor,.25,, RGBColor,.85,, RGBColor,,.5, RGBColor.9,,, LegendPosiion.95,.3, LegendSize 1.1, LegendTexSpace 2, PloLegend"TCE_q X ", "TCV_q X ", "E_1 X;X_q ", "E_2 X;X_q ", "E_3 X;X_q ", AxesLabel"", " " PloTce, Enro1, Enro2, Enro3,, 4, 6, PloSyle RGBColor.35,,, RGBColor,.85,, RGBColor,,.5, RGBColor.9,,, LegendPosiion.95,.3, LegendSize.9, LegendTexSpace 2, PloLegend"TCE_q X ", "E_1 X;X_q ", "E_2 X;X_q ", "E_3 X;X_q ", AxesLabel"", " "
103
104 3 h
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ
ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης ( Χωρίς δυνατότητα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ., x 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Τρόποι ολοκλήρωσης-θεµελειώδες θεώρηµα Θέµα lnx+, x > x ίνεται η συνάρτηση f(x) =. Να αποδειχθεί ότι η f είναι x, x x + ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [,] και να υπολογιστεί
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 1 εκεµβρίου 15 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)
![ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)](/thumbs/80/82069494.jpg "ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)")
Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ.
Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3
Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 1. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο μοναδιαίος κύκλος: Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου ή το όνομα του άξονα: 1. (ε 1) είναι ο άξονας 11.
Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο
Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.
Προτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1
Προτάσεις που χρησιμοποιούντι στη λύση σκήσεων κι χρειάζοντι πόδειξη Πρότση 1 Έστω η συνάρτηση f: A R η οποί είνι γνησίως ύξουσ Ν δείξετε ότι ) η f ντιστρέφετι ) η f -1 είνι γνησίως ύξουσ στο f(α) γ) Οι
Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ
Θέματα ΘΕΜΑ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του
ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει
15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Σημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την
h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,
ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018
ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση
Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
, x > a F X (x) = x 3 0, αλλιώς.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 11ο Φροντιστήριο - Θέµατα Εξετάσεων από προηγούµενα έτη Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
009 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΝΙΚΟΣ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΜ 3 Πέμπτη, 0 Δεκεμβρίου 009 ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Περίληψη
1. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 3 x με x R.
1. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g(x) = 3 x + 1 και h(x) = 3 x 1, μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική
(Σχολικό βιβλίο, σελ. 71)
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 09 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡ/ΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Πανελλαδικές εξετάσεις Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου. Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων. Θέµα Β. (α) ϑεωρία. (ϐ) i, ii) ϑεωρία.
Πανελλαδικές εξετάσεις 09 Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων Θέµα Α Α α) ϑεωρία ϐ) i, ii) ϑεωρία Α ϑεωρία Α3 ϑεωρία Α4 α) Λάθος {, x < 0 διότι για τη συνάρτηση fx) = ισχύει
Σάββατο, 24 Μαΐου 2008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. f (x) = ln x, x R* είναι παραγωγίσιµη στο R* και
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Σάββατο, 4 Μαΐου 8 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ισχύει: f (x) = ln x, x R* είναι παραγωγίσιµη στο R* και (ln x )ʹ= Μονάδες Α.. Πότε µία
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης ενός Τ.Ε.Ε. σε ένα μάθημα είναι: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Για τα δεδομένα αυτά: α. Να κατασκευάσετε
Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε
Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα
4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι
> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemnn Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :
Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Ολοκλήρωση Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Το ζητούμενο Είδαμε μεθόδους υπολογισμού για το πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις στιγμιαία. Αν αθροίσουμε αυτές τις στιγμιαίες μεταβολές θα έχουμε ένα
4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Στθερές. π = 03,459 6535 89793 3846 643... e = 0,788 884 59045 3536 087... e π = 3,4069 637 7969 006... π e =,4595 7783 6045 4734 75... e e = 5,546 44 7964 90... = 0,44 3563 73095
Fourier Analysis of Waves
Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Εστω συνεχης συναρτηση f : [α, ] με παραγουσα συναρτηση F. Τι ονομαζεται ορισμενο
ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.
1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε
Φράγματα τύπου Chernoff και Εφαρμογές
Φράγματα τύπου Chernoff και Εφαρμογές ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Δημήτριος Ν. Σαββάτης Επιβλέπουσα: Βιολέττα Πιπερίγκου Επίκουρος Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Δεκέμβριος 2015 ii Φράγματα
Θ Ε Μ Α A. β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).
Θ Ε Μ Α A Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat Α2. Θεωρήστε την παρακάτω πρόταση: Μ ο ν ά δ ε ς 1 «Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σύνολο α,β, τότε οπωσδήποτε το σύνολο τιμών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΕΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. MyΤeachers.gr ΘΕΜΑΤΑ
MyΤeachers.gr ΟΝΟΜΑ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:./../.. ΒΑΘΜΟΣ : /100 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 180 ΛΕΠΤΑ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ Α1. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να δείξετε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 10/06/2019
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 0/06/09 ΘΕΜΑ Α. Α. α) Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. β) (i) Σχολικό βιβλίο σελίδα 35. (ii) Σχολικό βιβλίο σελίδα 35-36. Α. Σχολικό βιβλίο
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Μαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/9, 9:3) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς
ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ
È Ö Ñ Ø ÓÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ ô º Ò ÑÓÒØ Û ÕÓÙÒ Ó ÙÒØ Ø ØÓÙ Ò Ö Ñ Ù Ò ØÙÕ ÒÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ ºÅÔÓÖÓ ÒÒ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö ½¼ ÔÖ ÐÓÙ¾¼½¾
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Θ2. Δίνεται η συνάρτηση f: με f(x) = x 2 4x + 4. α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3
_Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ
3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.
![3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.](/thumbs/40/20675264.jpg "3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.")
3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1983
ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-1 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1983 ΖΗΤΗΜΑ1 α) Να αποδειχθεί ότι η τετμημένη καθώς και η τεταγμένη του r αθροίσματος α + β r r δυο διανυσμάτων α και β r ισούται με
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει
Πειραματικό λύκειο Αναβρύτων Δρεκόλιας Δημήτρης Γ Λυκείου 2//2 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f(x) = 2e x x 2 + με πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις από το 2000 έως 204 χωρισμένα σε Κεφάλαια Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 = 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Çëéáó Óêáñäáíáó - Ìáèçìáôéêïó. Στθερές. π = 03,459 6535 89793 3846 643... e = 0,788 884 59045 3536 087... e π = 3,4069 637 7969 006... π e =,4595 7783 6045 4734 75... e e = 5,546 44
x του Δ». ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μία συνάρτηση f και x Αν η πρόταση είναι αληθής να το αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής να δώσετε κατάλληλο αντιπαράδειγμα.
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ (2) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 18 ΜΑΪΟΥ 218 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
Ολοκληρωτικός Λογισμός
Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος
Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με
Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ
1 1. Εστω Y, W, Z ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(θ), P(3θ), P(4θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (Y,W,Z) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες)
Ερωτήσεις αντιστοίχισης
Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Σε κάθε γραφική παράσταση C f της στήλης Α του πίνακα Ι να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση C f από τη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ. : C f : C f. - α. 2. β. 2π 3.
P m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα
[1] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) dx
![[1] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) dx](/thumbs/61/45383680.jpg "[1] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) dx")
.4. Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση (method of substitution) βασίζεται στον κανόνα της αλυσίδας. Ουσιαστικά με τη μέθοδο της αντικατάστασης το αόριστο ολοκλήρωμα υπολογίζεται
Μαθηµατικά και στοιχεία Στατιστικής
Θέµα Α: Απολυτήριες Εξετάσεις Ηµερησίου Γενικού Λυκείου ευτέρα 0 Μαΐου 03 στα Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Α. Σελ. 8 Σχολικού Βιβλίου. Α. Σελ. 4 Σχολικού Βιβλίου. (Το τοπικό ελάχιστο µόνο από το
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα........................ Ιδιότητες συναρτήσεων 3.1 Μονοτονία,
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ