Στο κεφάλαιο αυτό καλύπτεται η θεωρία των κεφαλαίων 11 και 13 του Kibble.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HAMILTON Στο κεφάλιο τό κλύπτετι η θεωρί των κεφλίων κι 3 το Kbble. 3. Κνονικές εξισώσεις Hamlo Έχοµε δει σε πολλά πρδείγµτ τη χρησιµότητ της µεθόδο Lagrage πο µς επιτρέπει ν γράψοµε τις εξισώσεις κίνησης ενός σστήµτος. Στο κεφάλιο τό θ πργµτετούµε µε µι επέκτση της µεθόδο τής πο οφείλετι στον Hamlo. Θεωρούµε λοιπόν ότι η Lagraga το σστήµτος είνι σνάρτηση των γενικεµένων σντετγµένων,,..., κι των ντίστοιχων γενικεµένων τχτήτων & & &,,...,. Οι εξισώσεις Lagrage µπορούν ν γρφούν L &,,..., () όπο είνι η γενικεµένη σζγής ορµή, L,,...,. () & Λύνοντς τις εξισώσεις Lagrage µπορούµε ν προσδιορίσοµε τη κτάστση το σστήµτος σε κάθε χρονική στιγµή, δηλ. ν προσδιορίσοµε τις θέσεις κι τις τχύτητες των σνιστωσών σωµτιδίων το σστήµτος, πολογίζοντς τις γενικεµένες σντετγµένες κι τχύτητες,,,..., κι & &, &,,. Ενλλκτικά, η κτάστση το σστήµτος θ µπορούσε εξ ίσο ν προσδιοριστεί σνρτήσει των γενικεµένων σντετγµένων κι ορµών, οι οποίες ορίζοντι µέσω των () σνρτήσει των,,..., κι &, &,, &. Οι σχέσεις () µπορούν ( rcal) ν λθούν ως προς & σνρτήσει των,,..., κι,,...,, δηλ. & f (,,,,, ),,...,. (3) Πράδειγµ. Κινούµενο σωµτίδιο στο επίπεδο (βθµοί ελεθερίς ). Πίρνοµε τις πολικές σντετγµένες (r, θ) ως γενικεµένες σντετγµένες, οπότε οι γενικεµένες ορµές είνι, L L & θ θ& r mr, mr, r& θ& οπότε οι εξισώσεις (3) έχον τη µορφή, r& r / m, θ θ / mr, (4) & οπότε η θέση (r,θ) κι η τχύτητ r ( r, & rθ& ) το σωµτιδίο προσδιορίζοντι πό τις τιµές των µετβλητών r, θ, r, κι θ. Ορίζοµε ως σνάρτηση Hamlo ή Hamloa (χµιλτονινή), την σνάρτηση, Cha.3 66

2 H & L(, ) & (5) όπο οι µετβλητές &, πο ορίζοντι πό τη (3), θεωρούντι σνρτήσεις των κι, σνεπώς η χµιλτονινή θεωρηθείτι σνάρτηση των κι. Υπολογίζοµε τις πργώγος H & L & (&. ) & Όµως, λόγω την (), ο 3 ος κι ο ος όρος λληλονιρούντι, εποµένως κτλήγοµε στη εξίσωση H &,,...,. (6) Προµοίως πολογίζοµε τη πράγωγο της Η ως προς, H & L L & & πο κι πάλι, λόγω την (), ο ος κι ο 3 ος όρος λληλονιρούντι, εποµένως λµβάνοντς πόψιν κι την () κτλήγοµε στη εξίσωση, H &,,...,. (7) Οι εξισώσεις (6) κι (7) κλούντι κνονικές εξισώσεις το Hamlo. Είνι οι εξισώσεις κίνησης µε νεξάρτητες µετβλητές τ κι. Ακόµη, είνι διφορικές εξισώσεις ης τάξεως, ενώ οι εξισώσεις Lagrage είνι ς τάξεως. Πργωγίζοντες κόµη τη χµιλτονινή (5) ως προς το χρόνο λµβάνοµε µι κόµη εξίσωση, H L, (8) κι ν οι ενέργειες T, V δεν εξρτώντι ρητά πό τον χρόνο, τότε η χµιλτονινή είνι στθερή. Πράδειγµ: Κίνηση σωµτιδίο στο επίπεδο πό την επίδρση κεντρικής δύνµης. Η Lagraga το σωµτιδίο ισούτι µε, οπότε η χµιλτονινή θ ισούτι, L m(r& r θ & ) V(r) H & L(, ) & r& & m(r& r θ& ) V(r), r θ θ κι χρησιµοποιώντς τις (4), η χµιλτονινή γράφετι, Cha.3 67

3 r θ V(r). m mr H Το δεύτερο µέρος της εξίσωσης είνι πλά το άθροισµ της κινητικής κι της δνµικής ενέργεις, ΤV, οπότε η χµιλτονινή ισούτι µε την ολική ενέργει. Ατό ισχύει γενικά σε περιπτώσεις πο η δνµική ενέργει δεν εξρτάτι ρητά πό το χρόνο. Κτόπιν των (6), βρίσκοµε τις δύο πρώτες εξισώσεις Hamlo, H r r m r, & () H θ θ m θ &, (β) δηλ. ξνβρίσκοµε τις εξισώσεις (4). Οι άλλες δύο εξισώσεις Hamlo είνι [κτόπιν των (7)], & & r θ 3 H θ r mr H 0 θ 3 dv dr (γ) (δ) (Ν πενθµίσω ότι οι πράγωγοι (& ) εννούντι ως προς ) Η εξίσωση (δ) ολοκληρούµενη δίδει τον νόµο διτήρησης της στροφορµής ( l mr θ& ), θ l θ στθ., ενώ η εξίσωση (γ) γράφετι κτ ρχήν, & r 3 l mr 3 dv dr κι πολλπλσιάζοντς κτά µέλη επί r& κι ολοκληρώνοντς πίρνοµε, mr& l V(r) E 3 mr (Η εξίσωση τή νφέρετι κι σν κτινική εξίσωση της ενέργεις). Η στθερά ολοκλήρωσης Ε πριστάνει την ολική ενέργει το σωµτιδίο. 3. Νόµοι διτήρησης κι κκλικές σντετγµένες Είδµε στο προηγούµενο κεφάλιο, εξίσωση (-4), ότι σε φσικά σστήµτ όπο η τχύτητ δεν εξρτάτι ρητά πό τον χρόνο, η κινητική ενέργει είνι οµογενής τετργωνική σνάρτηση των &. Εφρµόζοντς το θεώρηµ το Eler, το οποίο λέει ότι ν η σνάρτηση f είνι οµογενής τάξεως z ως προς έν σύνολο µετβλητών, τότε ισχύει Cha.3 68

4 f zf. Στη περίπτωση της κινητικής ενέργεις κι γι z, έχοµε T & T. & Γι σντηρητικά πεδί, η δνµική ενέργει δεν εξρτάτι πό την τχύτητ, οπότε πό την () έχοµε L T κι σνεπώς η χµιλτονινή (5) γράφετι, & & T H & L & & L T L T V. δηλ. σε φσικά σστήµτ όπο η τχύτητ δεν εξρτάτι ρητά πό τον χρόνο κι µε τον πρόσθετο περιορισµό ότι η δνµική ενέργει δεν εξρτάτι πό την τχύτητ (δηλ. σε σντηρητικά πεδί), η χµιλτονινή ισούτι µε την ολική ενέργει. Εάν η Lagraga (ή η χµιλτονινή) δεν εξρτάτι πό µι σντετγµένη, ς πούµε την, τότε η εν λόγω σντετγµένη κλείτι κκλική ή γνοήσιµη, οπότε πό τις εξισώσεις Lagrage (ή Hamlo) πίρνοµε, άρ L H & 0 (ή & 0 ), cos., (9) δηλ. η γενικεµένη σζγής ορµή µις κκλικής σντετγµένης διτηρείτι στθερή. Γι πράδειγµ, στην επίπεδη κίνηση ενός σωµτιδίο πο πόκειτι την επίδρση κεντρικής δύνµης, είδµε προηγοµένως ότι η χµιλτονινή δεν εξρτάτι πό τη γωνί θ, οπότε η γενικεµένη σζγής ορµή l θ διτηρείτι στθερή, πο το έχοµε δει πό άλλη σκοπιά. Η εξίσωση (9) ποτελεί το πρώτο ολοκλήρωµ των εξισώσεων κίνησης. Οι νόµοι διτήρησης πο νφέρµε προηγοµένως σχετίζοντι µε σµµετρίες το σστήµτος. Λόγο χάριν, η διτήρηση της στροφορµής οφείλετι στη περιστροφική σµµετρί το σστήµτος, πο εξ ιτίς τής της σµµετρίς η χµιλτονινή είνι νεξάρτητος της γωνίς θ. Εποµένως η διτήρηση της στροφορµής είνι στενά σνδεδεµένη µε τις σµµετρίες το σστήµτος. Αν το σύστηµ είνι σµµετρικό µόνο ως προς τον z-άξον, τότε µόνο η l z θ διτηρείτι στθερή. Στη περίπτωση των κεντρικών δνάµεων, κάθε σνιστώσ της στροφορµής στον 3D-χώρο l r διτηρείτι στθερή. Σε διφορετική περίπτωση, ν ποθέσοµε ότι η δύνµη κολοθεί µι ξονική σµµετρί (πο σηµίνει ότι η χµιλτονινή δεν εξρτάτι πό τη γωνί περιστροφής φ γύρω πό τον εν λόγω άξον), τότε µόνο η σνιστώσ της στροφορµής µήκος το άξον σµµετρίς διτηρείτι στθερή, ς πούµε φ. l r κτά Cha.3 69

5 Είνι φνερό ότι δεν είνι δντόν ν νγνωριστούν όλες οι σµµετρίες το σστήµτος πό τη διπίστωση κι µόνο ότι η χµιλτονινή είνι νεξάρτητη πό κάποιες σντετγµένες. Γι πράδειγµ, στο πρόβληµ των κεντρικών δνάµεων, ν η χµιλτονινή έχει εκφρστεί σε κρτεσινές σντετγµένες, τότε H x m y V(x πο διπιστώνοµε ότι κµµιά σντετγµένη x ή y δεν είνι γνοήσιµη, όµως πρόλ τά η χµιλτονινή είνι σµµετρική ως προς περιστροφές γύρω πό τον άξον z, πο ορίζετι κάθετ στο επίπεδο (x,y). y ) 3.3 Θεώρηµ το Lovlle Θεωρούµε έν σύστηµ το οποίο περιγράφετι πό τις γενικεµένες σντετγµένες,,..., κι τις σζγείς γενικεµένες ορµές,,...,. Ο φσικός χώρος το σστήµτος σχηµτίζετι (saed) πό τις σντετγµένες (,,...,,,,..., ). Κάθε σηµείο στο φσικό χώρο µε σντετγµένες (,,...,,,,..., ) ντιπροσωπεύει κι µι πιθνή κτάστση το σστήµτος. Κθώς το σύστηµ κινείτι (ή εξελίσσετι χρονικά), το φσικό σηµείο διγράφει µι τροχιά στο φσικό χώρο, την φσική τροχιά. Η τχύτητ το φσικού σηµείο δίδετι πό τις εξισώσεις Hamlo. Ακόµη οι φσικές τροχιές δεν τέµνοντι µετξύ τος, διότι πό κάθε φσικό σηµείο περνάει µί µόνο τροχιά η οποί είνι η µονδική λύση των εξισώσεων Hamlo γι δεδοµένο ρχικό σηµείο (δηλ. ρχικές σνθήκες). Σχήµ Ροή στο χώρο των φάσεων Υποθέτοµε ότι έχοµε µι µεγάλη σλλογή (esemble) σντηρητικών σστηµάτων τ οποί περιγράφοντι πό την ίδι χµιλτονινή, Η. (Η έννοι το esemble έχει δνειστεί πό τη Σττιστική Μηχνική, όπο πργµτικά είνι µάτιο ν προσπθήσει κνείς ν προσδιορίσει ην κριβή κτάστση ενός σστήµτος µε 0 3 µόρι. Αντί τού, προσπθεί ν προσδιορίσει µέσες τιµές των µεγεθών πο µς ενδιφέρον, µελετώντς τη κίνηση ενός µεγάλο ριθµού πνοµοιότπων σστηµάτων τ οποί ποτελούν το esemble). Εφόσον τ σστήµτ της σλλογής είνι σντηρητικά, η χµιλτονινή Η ισούτι µε την ολική ενέργει Ε, κι σνεπώς δεν µετβάλλετι µε τον χρόνο, δηλ. Cha.3 70

6 Η(,,...,,,,..., ) Ε, (0) όπο Ε είνι στθερά. Η εξίσωση (0) ορίζει µι ισοενεργεική επιφάνει στο χώρο των φάσεων. Αν ποθέσοµε ότι διθέτοµε µι µεγάλη σλλογή πνοµοιότπων σστηµάτων, το κθέν εκ των οποίων έχει ενέργει Ε µετξύ των ορίων Ε Ε Ε, τότε οι τροχιές όλων τών των σστηµάτων κθώς κινούντι περιορίζοντι µέσ στο ors το οποίο περικλείετι µετξύ των δύο περεπιφνειών Η Ε κι Η Ε, όπως φίνετι πρσττικά στο Σχήµ. Εφόσον τ σστήµτ έχον διφορετικές ρχικές σνθήκες (δηλ. διφορετικά ρχικά φσικά σηµεί Α, Α,...,), θ κινούντι πάνω σε διφορετικές φσικές τροχιές. Αν ποθέσοµε ότι τ ρχικά σηµεί βρίσκοντι µέσ στην περιοχή R, τ σστήµτ τά µετά πό χρόνο θ βρίσκοντι µέσ στη περιοχή R. Ισχύει το κόλοθο θεώρηµ, γνωστό σν θεώρηµ Lovlle: Οι όγκοι των περιοχών R κι R είνι ίσοι, δηλ. ο όγκος στο χώρο των φάσεων διτηρείτι στθερός. Ακολοθεί η πόδειξη το θεωρήµτος: Έστω V ο όγκος το esemble στο χώρο των φάσεων. Ο ρθµός µετβολής το V είνι, dv r r dv d V όπο r είνι η τχύτητ το ρεστού στο φσικό χώρο, dv(d...,d d...,d ) είνι ο στοιχειώδης όγκος στο φσικό χώρο κι το πολλπλό ολοκλήρωµ πολογίζετι πάνω στον όγκο V το ρεστού. Η πόκλιση της τχύτητος είνι εποµένως η () γράφετι, () r r & & ( ) () dv & ( d V & ) d...d d...d (3) Αντικθιστούµε τις γενικεµένες τχύτητες πό τις εξισώσεις Hamlo (6)-(7) στην (3) πίρνοµε, dv H ( d V H ) d...d d...d Η πρένθεση µέσ στο ολοκλήρωµ ισούτι µε µηδέν, άρ ο όγκος το esemble στο χώρο των φάσεων είνι στθερός. Cha.3 7

7 3.4 Πργωγή των εξισώσεων Hamlo πό µι ρχή των µετβολών Όπως οι εξισώσεις Lagrage, έτσι κι οι εξισώσεις Hamlo µπορούν ν εξχθούν πό µι ρχή των µετβολών, όπως την ρχή το Hamlo. Σγκεκριµέν, πιτείτι όπως το ολοκλήρωµ δράσης [εξίσωση (3-50)] ν είνι κρόττο ως προς την επιλογή το δρόµο κίνησης το σστήµτος, πο σνοψίζετι στην πίτηση όπως η µετβολή το ολοκληρώµτος ν ισούτι µε µηδέν, δηλ. 0 L J o d δ δ Εκφράζοντς την L σνρτήσει της Η πό την (5), η προηγούµενη εξίσωση γράφετι, 0 J H)d - ( δ δ & (4) Στον -διάσττο χώρο των σντετγµένων (cofgrao sace), τ σηµεί () ( ( ), ( ),..., (( )) κι () ( ( ), ( ),..., (( )) πριστούν την ρχική κι την τελική θέση το σστήµτος. Όπως κι σε προγενέστερη σζήτηση, ντιστοιχούµε σε κάθε πιθνό δρόµο πό το σηµείο () () τη τιµή κάποις πρµέτρο, τέτοις ώστε ο κτάλληλος δρόµος πο δίδει κρόττο στο ολοκλήρωµ J ν ορίζετι, ς πούµε γι 0. Οπότε το ολοκλήρωµ J µπορεί ν θεωρηθεί σνάρτηση το κι η δ-µετβολή ορίζετι πό τη σχέση, 0 d d J J 0 H)d - ( δ &. (5) Εφόσον τ κρί σηµεί () κι () δεν µετβάλλοντι κι σνεπώς δεν είνι σνρτήσεις το, η πργώγιση της (5) µπορεί ν γίνει µέσ στο ολοκλήρωµ, δίδοντς 0 H H ( d )d - - & & (6) Η σειρά των πργώγων ως προς κι µπορεί ν ενλλχθεί, οπότε η επί µέρος ολοκλήρωση το δεύτερο όρο στη (6) δίδει, d d d d d & &. Η ποσότης µηδενίζετι στ κρί σηµεί, κι λµβάνοντς πόψιν ότι δ d κι δ d, η (6) γράφετι Cha.3 7

8 H H d (& ) d (& ) d 0. (7) Κθώς οι µετβολές δ κι δ είνι νεξάρτητοι, το ολοκλήρωµ µηδενίζετι µόνο ν οι σντελεστές τος στην (7) µηδενίζοντι, οδηγούµστε έτσι στις σνθήκες H H &, &, πο είνι φσικά οι κνονικές εξισώσεις Hamlo. 3.5 Κνονικοί µετσχηµτισµοί Η επιλογή των γενικεµένων σντετγµένων (,,..., ) δεν πόκειτι σε κάποιος περιορισµούς, λλά ούτε κι η µορφή των εξισώσεων Lagrage εξρτάτι πό την σγκεκριµένη επιλογή. Με άλλ λόγι, οι εξισώσεις Lagrage µπορεί ν είνι µετάβλητες ως προς έν µετσχηµτισµό σντετγµένων (,,..., ) (,,..., ). Οι νέες σντετγµένες είνι σνρτήσεις των κι ίσως κι το χρόνο, δηλ., (,,...,,). (8) Εφόσον οι εξισώσεις Lagrage πρµένον νλλοίωτοι στον µετσχηµτισµό (8), θ πρέπει προµοίως κι οι εξισώσεις Hamlo ν πρµένον νλλοίωτοι στον ίδιο µετσχηµτισµό, κι ντίστροφ, ν κι το ντίστροφο δεν είνι πάντ ληθές, διότι η χµιλτονινή περιλµβάνει ως νεξάρτητες µετβλητές τις σντετγµένες κι τις ορµές (,,...,,,,..., ). Οπότε ο µετσχηµτισµός θ πρέπει ν περιλµβάνει τις µετβλητές, (,,...,,,,...,,) (,,...,,,...,,). (9) Αν θέσοµε ως όρο ο µετσχηµτισµός (9) ν ικνοποιεί τις εξισώσεις Hamlo, H H &, &,,...,, (0) ποθέτοντς ότι πάρχει µι σνάρτηση Η των (,...,,,..., ), τότε ο µετσχηµτισµός (9) κλείτι κνονικός µετσχηµτισµός. Η σνάρτηση Η πίζει τον ρόλο της χµιλτονινής στο νέο σύστηµ σντετγµένων (,...,,,..., ). Μπορεί ν ποδειχθεί η κόλοθη πρότση. Πρότση: Ο µετσχηµτισµός (9) είνι κνονικός, ν η ποσότης είνι ολικό διφορικό. d d () Cha.3 73

9 Είδµε σε προηγούµενο εδάφιο πως µπορούν οι εξισώσεις Hamlo ν εξχθούν πό την ρχή το Hamlo, κι οδηγηθήκµε στη µηδενική µετβολή το J, εξίσωση (4), δ J δ & - H(,, d 0. Εάν πιτήσοµε όπως κι οι νέες σντετγµένες (,...,,,..., ) ικνοποιούν την ίδι ρχή, τότε, δ & - H (,, ) d 0. () Οι εξισώσεις (4) κι () είνι ισοδύνµοι µόνο ν οι ολοκληρώσιµες ποσότητες διφέρον κτά το ολικό διφορικό ως προς το χρόνο κάποις σνάρτησης F, δηλ. Αν FF(,,), τότε df & & (H H ) (3) d df d F F & & F οπότε λµβάνοµε σγκρίνοντς µε την (3), F, (4) F,,..., (4β) F H H. (4γ) Η σνάρτηση F κλείτι γεννήτρι σνάρτηση το µετσχηµτισµού. Αν είνι γνωστή η σνάρτηση F, τότε o µετσχηµτισµός (9) πολογίζετι χρησιµοποιώντς τις (4). Αν βρούµε έν κνονικό µετσχηµτισµό ο οποίος ν δίδει Η 0, τότε βλέποµε πό τις εξισώσεις κίνησης (0) ότι, & & H 0, H δηλ. οι µετβλητές κι είνι γνοήσιµες, άρ µπορούµε ν βρούµε τις ρχικές σντετγµένες κι κι σνεπώς ν προσδιορίζοµε τη κίνηση το σστήµτος. Αρκεί ν ξέροµε την κτάλληλη γεννήτρι σνάρτηση F. Αν ποθέσοµε ότι FF(,,), µπορούµε ν βρούµε την κτάλληλη γεννήτρι σνάρτηση F θέτοντς Η 0 στην (4γ), οπότε η F θ ικνοποιεί τη διφορική εξίσωση, 0, Cha.3 74

10 0 ),, H( F (5) όπο F/. Η εξίσωση (5) κλείτι εξίσωση Hamlo-Jacob, η οποί περιέχει τις νεξάρτητες µετβλητές,,...,,. εν θ σχοληθούµε µε την επίλση της (5). 3.6 Οι εξισώσεις κίνησης σε µορφή των γκύλων osso Η γκύλη osso ορίζετι ως κολούθως: Αν κι είνι δύο θίρετες σνρτήσεις των,, τότε η γκύλη osso των κι ως προς τις µετβλητές, ορίζετι:, ] [,. (6) Είνι προφνής η ντισµµετρική ιδιότης των γκύλων osso [,] [,]. Πρότση: Αν οι σντετγµένες (,,...,,,,..., ) είνι κνονικές σντετγµένες, τότε ισχύον οι κόλοθες ιδιότητες: [, ]δ, [, ]0, [, ]0, (7) όπο [,] είνι οι γκύλες osso (η πόδειξη φήνετι σν άσκηση). Θεωρώντς ότι τ κι είνι σνρτήσεις των νέων µετβλητών,, η (6) µπορεί ν γρφεί (θ πρλείποµε το δείκτες, πό την γκύλη το osso),, ] [, η οποί µετά πό νγωγές γράφετι, ], [ ] [, ] [, (8) Αν τώρ ντικτστήσοµε, κι, η (8) γράφετι, ], [ ], [ ], [ κι λµβάνοντς πόψιν τις ιδιότητες (7), πίρνοµε ], [ δ, ή Cha.3 75

11 [, ] (9) κ Με κθόµοιο τρόπο, κτλήγοµε στη σχέση η οποί δίδει, [, ] [, ] [, ] [, Αντικθιστώντς τις (9) στην (8) πίρνοµε ] (9β) κ [, ], [, ], κ (30) κ δηλ. οι γκύλες osso είνι νλλοίωτες κι ως προς τ δύο σστήµτ σντετγµένων. Αν ως σνάρτηση επιλεγεί η χµιλτονινή Η, τότε οι (9) γράφοντι, H H [, H] &, [, H] & κ κ πο είνι οι γνωστές µς κνονικές εξισώσεις Hamlo. Έστω ότι η σνάρτηση (,,). Τότε η ολική της πράγωγος ως προς το είνι, d ( & & ) d κι εκφράζοντς τις &, & σνρτήσει της χµιλτονινής, πίρνοµε, d [, H]. (3) d Η (3) πριστάνει την χρονική εξέλιξη (ή την εξίσωση κίνησης) της σνάρτησης. Πράδειγµ: Στο γνωστό µς πρόβληµ το ρµονικού τλντωτή (µάζ m προσδεδεµένη στο έν άκρο ελτηρίο, στθεράς ), εφρµόζοµε έν κνονικό µετσχηµτισµό, το οποίο η γεννήτρι σνάρτηση δίδετι πό τη σχέση, F m ω co, () όπο ω /m. Οι εξισώσεις (4,β) γράφοντι γι την γεννήτρι σνάρτηση (), F mω co, (β) Cha.3 76

12 F m ω. (β) s Οι σχέσεις τές µπορούν ν λθούν ως προς κι σνρτήσει των κι, όµως γι λόγος κοµψότητος θ προτιµήσοµε το ντίστροφο, δηλ. ν πάροµε τις πλιές µετβλητές ως προς τις νέες, s (γ) mω mω cos (γ) Εφόσον ο χρόνος δεν περιλµβάνετι ρητά στην F, τότε λόγω της (4γ), η χµιλτονινή δεν λλάζει πό τον µετσχηµτισµό. Αν τλντωτή, η χµιλτονινή πίρνει τη µορφή, V είνι η δνµική ενέργει το ρµονικού m&. H m Εισάγοντς τις µετβλητές κι µέσω των εξισώσεων µετσχηµτισµού (β) πίρνοµε, H ω cos s ω. (δ) mω Εποµένως, η χµιλτονινή είνι κκλική ως προς, άρ η σζγής της ορµή είνι στθερά. Πράγµτι η εξίσωση Hamlo H & 0, δίδει Ρστθερά. Ακόµη βλέποµε πό την (δ) ότι όντως ΡΕ/ω, όπο Ε είνι η ενέργει (στθερά). Η εξίσωση Hamlo γι τη σντετγµένη : H & ω, π όπο έπετι: ω, όπο στθερά ολοκλήρωσης. Αντικθιστώντς τώρ πίσω στις εξισώσεις µετσχηµτισµού (β) πίρνοµε τη λύση Ε mω s( ω ) η οποί πριστάνει την τπική λύση γι τον ρµονικό τλντωτή. Βέβι χρησιµοποιώντς κνονικούς µετσχηµτισµούς γι ν λύσει κνείς το πρόβληµ το ρµονικού τλντωτή είνι σν ν σπάει κνείς κρύδι µε τη βριά! Όµως βλέποµε εδώ έν πράδειγµ πώς η χµιλτονινή µπορεί ν τεθεί µέσω κνονικών µετσχηµτισµών σε τέτοι µορφή όπο όλες τις σντετγµένες ν είνι γνοήσιµες. Cha.3 77

13 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4:. Στο πρκάτω Σχήµ πεικονίζετι µι βρής τροχλί. Στ δύο άκρ το (επίσης βρούς) νήµτος της τροχλίς έχον εξρτηθεί δύο µάζες Μ κι Μ, ντίστοιχ. Το σύστηµ φήνετι ν κινηθεί χωρίς τριβές πό την επίδρση το βάρος των σωµάτων. Γράψετε την σνάρτηση Hamlo κι τις εξισώσεις κίνησης των σωµάτων. (Αξίζει ν σηµειωθεί ότι πρόλο πο στο σύστηµ έχοµε 4 σώµτ, δηλ. τις δύο µάζες, το νήµ, κι τη τροχλί, εν τούτοις πιτείτι µι µόνο νεξάρτητη µετβλητή (η x το σχήµτος), γι προσδιοριστεί πλήρως η κτάστση το σστήµτος. Τούτο ερµηνεύετι ως εξής: κτά πρώτον τ δύο τελετί σώµτ ως βρή ποκλείοντι περιτέρω σζήτησης, όµως οι µάζες έπρεπε ν χρκτηρίζοντι πό τις σντετγµένες τος x κι x, ντίστοιχ. Επειδή όµως πάρχει ένς σύνδεσµος (cosra) µετξύ τος, δηλ. το νήµ της τροχλίς πο τ σνδέει, ο οποίος εκφράζετι πό τη µθηµτική σχέση: x x l, ο ριθµός των νεξάρτητων µετβλητών µειώνετι πό δύο σε έν).. (Πρόβληµ 3-3 το Kbble, τροποποιηµένο). Στο Σχήµ 3 πεικονίζετι µι βρής τροχλί. Στο έν άκρο το (επίσης βρούς) νήµτος της τροχλίς έχει εξρτηθεί µάζ m, ενώ στο άλλο µάζ m, στην οποί έχει προσδεθεί το έν άκρο ελτηρίο στθεράς. Στο ελεύθερο άκρο το ελτηρίο έχει προσδεθεί µι τρίτη µάζ m. Το σύστηµ φήνετι ν κινηθεί χωρίς τριβές πό την επίδρση το βάρος των σωµάτων. Γράψετε την σνάρτηση Hamlo χρησιµοποιώντς ως γενικεµένες σντετγµένες τις x κι x. Αν το σύστηµ ξεκινήσει πό την ηρεµί κι µε τέντωτο ελτήριο, βρείτε τις θέσεις των σωµάτων σνρτήσει το. 3. Βρείτε τις τιµές των κι β γι τις οποίες οι εξισώσεις cosβ, s β, πριστούν κνονικό µετσχηµτισµό. Ποιά είνι η µορφή της γεννήτρις σνάρτησης F(,,) στη περίπτωση τή; Σχήµ Σχήµ 3 Cha.3 78