είναι το διάνυσµα θέσης του σωµατιδίου σε καρτεσιανές συντεταγµένες. dt r r (3) F dr = dw, είναι ο ορισµός του στοιχειώδους έργου r r r (4) r 2

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 3. Συντηρητικές δυνάµεις Στο κεφάλιο υτό γενικεύουµε στις 3 διστάσεις ό,τι εξετάσµε στο προηγούµενο κεφάλιο κι συγκεκριµέν θ σχοληθούµε µε το πρόβληµ της κίνησης ενός σωµτιδίου υπό την επίδρση εξωτερικής δύνµης. Η κινητική ενέργει ενός σωµτιδίου µάζς m στις 3D ορίζετι όπου (,, z ιφορίζοντς την ( λµβάνουµε, T m& m(& + & + z & ( είνι το διάνυσµ θέσης του σωµτιδίου σε κρτεσινές συντετγµένες. T m( &&& + &&& + zz &&& υ ma υ F F ( οπότε ο ρυθµός µετβολής της κιν. ενέργεις είνι όπου υ (, &, & z & κι υ. Όµως T υ F (3 F W, είνι ο ορισµός του στοιχειώδους έργου κι, κτλήγουµε στο δύνµης στις 3D. Αν ολοκληρώσουµε την ( µετξύ των σηµείων θεώρηµ έργου-ενέργεις που λέει ότι η µετβολή της κινητικής ενέργεις ισούτι µε το προσφερόµενο έργο, δηλ. ΤW, όπου Τ Τ-Τ είνι η µετβολή της κινητικής ενέργεις κι W F (4 είνι το πργόµενο έργο πό τη δύνµη F µετκινώντς το σωµτίδιο πό το σηµείο:. Το έργο υτό συµβολίζετι επίσης κι ως: W γι ν τονιστούν τ δύο κρί σηµεί της µετκίνησης. Στη περίπτωση συντηρητικών δυνάµεων, ολοκληρώνοντς την εξίσωση κίνησης λµβάνουµε την ολική ενέργει του σωµτιδίου, Ε Τ + V, (5 η οποί είνι στθερή, όπου η δυνµική ενέργει ορίζετι, 7

2 V( V( W F (6 Η στάθµη νφοράς της δυνµικής ενέργεις V( είνι υθίρετη κι συνήθως λµβάνετι ίση µε µηδέν. Η δυνµική ενέργει είνι συνάρτηση του (,, z, άρ µπορούµε ν υπολογίσουµε το ολικό διφορικό V, V V V V + + z z κι την πράγωγό της ως προς t (ή άλλως, τον ρυθµό µετβολής της ως προς τον χρόνο, V V V V & + & + z& (7 z Το σύµβολο ( + j + k κλείτι τελεστής νάδελτ ή el κι συµβολίζετι µε ή z ga, όπου (, j, k τ 3 µονδιί δινύσµτ κτά µήκος των 3 κρτεσινών ξόνων. Οπότε, το δεύτερο µέρος της (7 µπορεί ν γρφεί, κι συνεπώς η (7 γράφετι, V V V & + & + z& V υ z V V υ υ V Το εσωτερικό γινόµενο ( µετξύ δύο δινυσµάτων υποστηρίζει την ντιµετθετική ιδιότητ A B B A. Γυρνάµε τώρ στη (5, την οποίν πργωγίζοµε ως προς t (γι Ecnst, T V 0 + υ F + υ V όπου έχοµε λάβει υπόψιν τις εξισώσεις (3 κι (7, π όπου προκύπτει, F - V (8 (δηλ. F V,... Η σχέση βέβι υτή προκύπτει π ευθείς πό την (6, πργωγίζοντάς την ως προς (! πώς;. Πράγµτι, οι σχέσεις (8 κι (6 είνι ντίστροφες! Έχοµε δει ότι γι ν οριστεί η δυνµική ενέργει που σχετίζετι µε µι δύνµη, θ πρέπει η δύνµη υτή ν είνι συντηρητική κι τότε ορίζετι η V πό την (6. Τίθετι βέβι το ερώτηµ πότε µι δύνµη είνι συντηρητική. Μι µερική πάντηση σ υτό είνι το εξής: ότν το 8

3 επικµπύλιο ολοκλήρωµ στην (6 δεν εξρτάτι πό το δρόµο ολοκλήρωσης που ενώνει τ σηµεί,, λλά µόνο πό τ κρί σηµεί. Κι πάλι υτό δεν δίδει πρκτική πάντηση. Μπορούµε εκµετλλευόµενοι την (8 ν εκµιεύσουµε την ικνή κι νγκί συνθήκη γι ν είνι µι δύνµη συντηρητική. Ορίζετι ως στροβιλισµό ή cul µις δινυσµτικής ποσότητος A, το εξωτερικό γινόµενο, A ( + j + k ( A + ja + ka z z A A z A A A z A ( + j( + k( z z Αν πάρουµε ως διάνυσµ A το διάνυσµ A V, η προηγούµενη σχέση δίδει: z A ( z ( 0 κι οµοίως κι γι τις άλλες συνιστώσες. Συνεπώς, ( V 0 z z κι υτό το ποτέλεσµ µς οδηγεί στην νγκί κι ικνή συνθήκη ώστε η δύνµη F συντηρητική: F ( V 0, δηλ. ν είνι F 0 (9 Ορίζετι ροπή (ως προς το σηµείο 0 δύνµης F που σκείτι πάνω σ έν σωµάτιο στη θέση, το δινυσµτικό (ή εξωτερικό γινόµενο τ F (0 Η διεύθυνση του δινύσµτος της ροπής τ είνι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τ δινύσµτ κι F (βλέπε Σχήµ. Αν κι η ροπή είνι ελεύθερο διάνυσµ, εν τούτοις µπορούµε ν θεωρήσουµε ότι η ροπή βρίσκετι πάνω στον άξον που τείνει ν περιστρέψει η δύνµη το σωµτίδιο. Το µέτρο της ροπής είνι τf snθ (όπου θ είνι η γωνί µετξύ των κι F. Σχήµ Το διάνυσµ της ροπής τ είνι κάθετο στο επίπεδο των κι F 9

4 Προµοίως ορίζετι ως στροφορµή (ως προς το σηµείο 0 ενός σωµτιδίου που βρίσκετι στη θέση, το δινυσµτικό γινόµενο l p ( όπου p mυ είνι η ορµή του σωµτιδίου. Το διάνυσµ της στροφορµής l ορίζετι κτά l πρόµοιο τρόπο µε εκείνο του τ στο Σχήµ. Ο ρυθµός µετβολής της στροφορµής είνι: p p υ { p + F τ, κθόσον υ p υ mυ 0 κι F πό τον ο νόµο του Νεύτων. 0 Συνεπώς προκύπτει η σχέση, l τ ( η οποί εκφράζει την εξίσωση της περιστροφικής κίνησης (σε µιά της µορφή. 3. Κεντρικές δυνάµεις Μι εξωτερική δύνµη κλείτι κεντρική ν έχει τη µορφή, F ( ( (3 όπου είνι το µονδιίο διάνυσµ κτά την διεύθυνση του δινύσµτος θέσης (βλέπε Σχήµ. Κτά τον ορισµό της (3, η δύνµη F( κτευθύνετι προς (ή πό κάποιο συγκεκριµένο σηµείο, το οποίο λµβάνετι σν ρχή των συντετγµένων 0. Σχήµ Το διάνυσµ θέσης κι τ µονδιί δινύσµτ σε πολικές θ, κι κρτεσινές συντετγµένες.,. Η ροπή που σκεί µι κεντρική δύνµη πάνω στο σώµ είνι µηδέν, πράγµτι, 0

5 τ F F( ( 0 διότι 0. Από υτό συνεπάγετι κι λµβάνοντς υπόψιν την ( ότι η στροφορµή στη περίπτωση των κεντρικών δυνάµεων διτηρείτι στθερή, l στθ., κι κτά διεύθυνση κι κτά µέτρο, δηλ. το διάνυσµ της στροφορµής πρµένει κάθετο προς το επίπεδο που ορίζουν το διάνυσµ θέσης κι η τχύτητ του σώµτος. Γι πράδειγµ, η Γη κτά την ελλειπτική περιφορά της γύρω πό τον Ήλιο πρµένει µέσ στο ίδιο επίπεδο, εφόσον η ελκτική δύνµη που δέχετι (κυρίως πό τον Ήλιο είνι κεντρική. Το ποτέλεσµ υτό (δηλ. της διτήρησης της στροφορµής εκφράζει (υπό διφορετική διτύπωση τους δύο πρώτους νόµους του Keple. Γι ν εκτιµήσουµε κλύτερ το δεύτερο ποτέλεσµ, µς είνι βολικό ν εργστούµε σε πολικές συντετγµένες. Οι πολικές συντετγµένες (, θ σχετίζοντι µε τις κρτεσινές πάνω στο επίπεδο (, µε τις κόλουθες σχέσεις (βλέπε Σχήµ, ή cs θ, sn θ, (4a +, θ tan. (4b Τ µονδιί δινύσµτ θ, (όπου θ ορίζοντι κτά τις διευθύνσεις που υξάνοντι τ ντίστοιχ µεγέθη,θ (βλέπε Σχήµ κι σχετίζοντι µε τ µονδιί κρτεσινά δινύσµτ, (όπου πό τις σχέσεις, cs θ + sn θ, θ sn θ + cs θ. (5 Πργωγίζοντς τις (5, λµβάνουµε τ ενδιφέροντ ποτελέσµτ, θ, θ. (6 θ θ Μπορούµε ν υπολογίσουµε τις συνιστώσες της τχύτητος κι της επιτάχυνσης σε πολικές συντετγµένες. Πράγµτι, ν το διάνυσµ θέσης (ενός σώµτος είνι,, [όπου ( θ ] τότε πργωγίζοντς ως προς t, υπολογίζουµε το διάνυσµ της τχύτητος, θ υ ωθ (7 θ

6 (όπου ωθ/ είνι η γωνική τχύτης π όπου λµβάνουµε τις δύο συνιστώσες της τχύτητος κτά τις διευθύνσεις θ, (κτινική κι εγκάρσι, υ, υ θ ω. (8 Το διάνυσµ της επιτάχυνσης υπολογίζετι κτ νάλογο τρόπο, υ a ( + ( + θ θ + ( θω + ( ω θ ωθ + θ + ω θ ω ωθ + θ ω ( ω + (ω + θ (9 θ (όπου ω/ θ/ είνι η γωνική επιτάχυνση π όπου λµβάνουµε τις δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης κτά τις διευθύνσεις θ, (κτινική κι εγκάρσι, a ω, a ω θ + (0 Ο όρος ω στην κτινική συνιστώσ της επιτάχυνσης κλείτι κεντροµόλος επιτάχυνση, ενώ ο όρος ω στην εγκάρσι συνιστώσ κλείτι επιτάχυνση Cls (πιο σωστά, ω υ. Γυρνώντς τώρ στην στροφορµή, σε πολικές συντετγµένες λµβάνοντς υπόψιν τη (7 ή (8 έχουµε, l mυ m( + ωθ m ω θ m ω z ( όπου έχουµε χρησιµοποιήσει το µονδιίο διάνυσµ z κάθετο στ θ,, δηλ. z θ. Μάλιστ, τ (, θ, z είνι τ 3 µονδιί δινύσµτ στις κυλινδρικές συντετγµένες (, θ, z. Το γεγονός ότι στη περίπτωση των κεντρικών δυνάµεων, l στθ., οδηγεί στη σχέση: Όµως η ποσότης ω l στθ. m A θ πριστάνει το εµβδόν που σρώσει η επιβτική κτίν (δηλ. το διάνυσµ θέσης, οπότε ο ρυθµός µετβολής νόµος του Keple στη κίνηση των πλνητών. A l ω στθ., που είνι γνωστός σν ος m Πριν κλείσουµε το εδάφιο υτό, θ υπενθυµίσουµε έν κόµη σύστηµ συντετγµένων που θ χρησιµοποιήσουµε πρκάτω, συγκεκριµέν το σύστηµ των σφιρικών συντετγµένων. Οι σφιρικές συντετγµένες (, θ, φ ορίζοντι, όπως φίνετι στο Σχήµ 3, πό τις κόλουθες σχέσεις ή sn θ cs φ, sn θ sn φ, z cs θ, (a

7 + + z, θ tan + / z, φ tan / (b Ελπίζω ν µην δηµιουργηθεί σύγχυση, επειδή χρησιµοποιώ το ίδιο σύµβολο κι γι τ δύο συστήµτ συντετγµένων. Συγκεκριµέν, στο σύστηµ πολικών συντετγµένων, η συντετγµένη (όπου + βρίσκετι πάνω στο επίπεδο (,, ενώ στο σύστηµ σφιρικών συντετγµένων, η συντετγµένη (όπου + + z βρίσκετι στο 3D χώρο. Πάντως, κι στ δύο συστήµτ, είνι το µέτρο του δινύσµτος θέσης (βλέπε Σχήµτ κι 3. Σχήµ 3 Σφιρικές συντετγµένες (,θ,φ T µονδιί δινύσµτ (, θ, φ ( θ φ ορίζοντι κτά τις διευθύνσεις που υξάνοντι τ ντίστοιχ µεγέθη,θ,φ (βλέπε Σχήµ 3 κι σχετίζοντι µε τ µονδιί κρτεσινά δινύσµτ (,, z ( z πό τις σχέσεις, + z csθ + sn θ cs φ + sn θ sn φ θ z sn θ + csθ cs φ + csθ sn φ φ sn φ + cs φ (3 Πργωγίζοντς τις σχέσεις (3, λµβάνουµε τ ποτελέσµτ, θ, θ θ, θ φ 0, θ φ sn θ, φ θ φ csθ, φ φ sn θ θ csθ φ (4 Στις σφιρικές συντετγµένες, το διάνυσµ θέσης δίδετι πό τη σχέση, 3

8 , [όπου ( θ, φ ] την οποίν πργωγίζοντς κι χρησιµοποιώντς τις (4, λµβάνουµε το διάνυσµ της τχύτητος κι της επιτάχυνσης, ντίστοιχ υ & + ωθ + sn θ φ& φ (5 υ a ( && ω φ& sn θ + (ω& + φ& + (φ&& sn θ + & sn θ φ& + ω csθ φ& φ sn θ csθ θ (6 όπου ωθ/ είνι η γωνική τχύτης κι ω/ θ/ είνι η γωνική επιτάχυνση. Ακόµ, επειδή τ µονδιί δινύσµτ (, θ, φ ποτελούν έν σύνολο µοιβίων ορθογωνίων δινυσµάτων, κάθε διάνυσµ A µπορεί ν πρστθεί συνρτήσει των σφιρικών του συντετγµένων, A A + Aθθ + Α φφ (7 κι το µέτρο του θ ισούτι µε A θ φ A + A + Α. (8 Η κινητική ενέργει γι πράδειγµ µπορεί ν εκφρστεί στ τρί συστήµτ συντετγµένων (κρτεσινές, κυλινδρικές, κι σφιρικές που περιγράψµε πρπάνω ως εξής, (κρτεσινές T mυ m( υ + υ + υ (κυλινδρικές T mυ m(& + ω + υ (9 (σφιρικές T mυ m(& + ω + sn θ φ & z z Έχοντς υπολογίσει τις επιτχύνσεις στ συστήµτ υτά, θ µπορούσµε ν γράψουµε τις εξισώσεις κίνησης. Ωστόσο είνι πιο βολικό ν γράψουµε τις εξισώσεις υτές σε υθίρετο σύστηµ συντετγµένων, χρησιµοποιώντς την µέθοδο που οφείλετι στον Lagange. 4

9 3.3 Λογισµός των µετβολών Έν βσικό πρόβληµ του πειροστικού λογισµού είνι ν βρούµε την κµπύλη εκείνη γι την οποίν έν δεδοµένο επικµπύλιο ολοκλήρωµ είνι κρόττο. Θεωρούµε κτ ρχήν το πρόβληµ στην D. Συγκεκριµέν, θέλουµε ν βρούµε έν δρόµο (path S µετξύ των σηµείων (, κι (,, ο οποίος περιγράφετι πό κάποι συνάρτηση, (, (30 η οποί ν ικνοποιεί τις ορικές συνθήκες (βλέπε Σχήµ 4, (, ( (3 τέτοιο ώστε το ολοκλήρωµ (,, (3 ν είνι κρόττο, δηλ. µέγιστο ή ελάχιστο, όπου /. Σχήµ 4 ιάφοροι δρόµοι στο D πρόβληµ κρόττων (το διάγρµµ δεν είνι στο µορφικό χώρο Ας υποθέσουµε ότι κάθε πιθνός δρόµος S πό το σηµείο (, στο (, χρκτηρίζετι πό τη τιµή κάποις πρµέτρου, τέτοις ώστε ο επιθυµητός δρόµος (ή δρόµοι που δίδουν το κρόττο στο ολοκλήρωµ (3 ν ορίζετι γι ορισµένη τιµή του, ς πούµε γι 0. Μπορούµε τότε ν πρστήσουµε τον κάθε πιθνό δρόµο πό τη πρµετρική σχέση, (, (,0 + η(, (33 όπου η συνάρτηση η( εξρτάτι µόνο πό το κι µηδενίζετι στ κρί σηµεί, η( η( 0. Χρησιµοποιώντς µι τέτοι πρµετρική νπράστση, όπως η (33, το ολοκλήρωµ στη (3 γράφετι ( ((,, (,, Το συνρτησοειδές (διότι το πεδίο ορισµού του είνι ο χώρος των κµπύλων είνι πργωγίσιµο. Γι ν έχοµε κρόττη τιµή στο, θ πρέπει ν ισχύει (34 5

10 0 0, (35 οπότε πργωγίζοντς ως προς την (34 βρίσκοµε, +. (36 Ο ος όρος µέσ στο ολοκλήρωµ (36 µπορεί ν γρφεί, ( κι ολοκληρώνοντς κτά µέρη πίρνοµε, ( (37 Όµως πό την υπόθεση (33 προκύπτει ότι: ( η κι επειδή η συνάρτηση η( µηδενίζετι στ κρί σηµεί, έπετι ότι: 0 ( (, άρ ο ος όρος στην (37 µηδενίζετι, κι συνεπώς η (36 γράφετι ( (38 Γι ν πάροµε την συνθήκη των κρόττων, πολλπλσιάζοµε κι τ δύο µέρη της (38 επί, κι υπολογίζοµε τη πράγωγο στη τιµή 0, 0 ( 0 (39 Η ποσότης 0 δ κλείτι µετβολή (vaatn του κι οµοίως δ 0. Εδώ η µετβολή δ πριστάνει µι υθίρετη µετβολή του, που προκύπτει πό µι στοιχειώδη µετβολή της πρµέτρου πό τη µηδενική της τιµή. Εφόσον η µετβολή δ είνι υθίρετη, θ πρέπει η µετβολή δ ν µηδενίζετι, 0 ( δ δ π όπου προκύπτει ότι η συνάρτηση ολοκλήρωσης (δηλ. η γκύλη πρέπει ν µηδενίζετι, 0 (. (40 Εποµένως, το συνρτησοειδές έχει κρόττο µόνο γι εκείνες τις κµπύλες (, γι τις οποίες η ικνοποιεί την εξίσωση (40, η οποί µοιάζει µε την εξίσωση Lagange. Πράδειγµ: Ν βρεθεί ο συντοµώτερος δρόµος µετξύ των σηµείων (, κι (, στο επίπεδο. 6

11 Όλοι βέβι γνωρίζοµε ότι η ευθεί που συνδέει τ δύο σηµεί είνι η πάντηση του προβλήµτος, (, όµως εφρµόζοντς την προηγούµενη θεωρί µπορούµε ν κτλήξουµε στο ίδιο ποτέλεσµ. Πράγµτι, γνωρίζοµε ότι το µήκος της τόξου µετξύ των δύο σηµείων είνι I + ( Η πίτηση ότι το τόξο ν είνι ο συντοµώτερος δρόµος οδηγεί στη συνθήκη το Ι ν είνι ελάχιστο. Αυτό ποτελεί έν πράδειγµ του προβλήµτος των κρόττων όπως εκφράζετι πό την (3 µε Υπολογίζουµε τις πργώγους, κι ντικθιστώντς στην (40, πίρνοµε συνεπώς κι λύνοντς ως προς βρίσκουµε, η οποί ολοκληρούµενη δίδει: (. (,, + 0 ( c : στθ + : στθ, +β έτσι φθάνουµε στο ίδιο ποτέλεσµ., χρησιµοποιώντς τις ορικές συνθήκες γι ν υπολογίσουµε τις στθερές (,β. Επιστρέφοντς πάλι στο πρόβληµ της θεωρίς των µετβολών, µπορούµε ν γενικεύσουµε το πρόβληµ στη περίπτωση που η συνάρτηση εξρτάτι πό n-µετβλητές,,,, n κι πό τις πργώγους των,,...,. Τότε υπολογίζοντς τη µετβολή του ολοκληρώµτος n δ δ (,..., n,,..., n, (4 κι επνλµβάνοντς τ ίδι βήµτ πό (33-(40, οδηγούµστε στις εξισώσεις ( 0,,..., n. (46 7

12 Οι εξισώσεις υτές είνι γνωστές σν διφορικές εξισώσεις Eule-Lagange γι το συνρτησοειδές, οι λύσεις των οποίων πριστούν εκείνες τις κµπύλες γι τις οποίες η µετβολή του ολοκληρώµτος της µορφής (4 µηδενίζετι. Αν θέλει κνείς ν δει τ κριβή βήµτ γι την πργωγή της (4, µπορεί ν κολουθήσει το κοµµάτι υτό, διφορετικά ν προχωρήσει στο επόµενο κοµµάτι. Όπως κι προηγουµένως, η µετβολή του ολοκληρώµτος στην (4 λµβάνετι θεωρώντς το ως συνάρτηση µις πρµέτρου, η οποί χρκτηρίζει όλες τις πιθνές κµπύλες (,. Οπότε µπορούµε ν εισάγουµε την πράµετρο θέτοντς, (, (,0 + η (, (, (,0 + η (,.. (4.. όπου οι (,0, (,0, είνι οι λύσεις του προβλήµτος των κρόττων κι οι η (, η (, είνι υθίρετες συνρτήσεις του που µηδενίζοντι στ κρί σηµεί, η ( η ( 0. Ο υπολογισµός προχωρά όπως κι προηγουµένως. Η µετβολή του δίδετι συνρτήσει των +. (43 Ο ος όρος µέσ στο ολοκλήρωµ (43 µέσ στο άθροισµ µπορεί ν γρφεί, κι ολοκληρώνοντς κτά µέρη βρίσκουµε, (. (44 ( Ο ος όρος στη (44 µηδενίζετι, διότι όλες οι κµπύλες περνούν πό τ στθερά σηµεί,, οπότε ντικθιστώντς στην (43 πίρνουµε, δ ( δ (45 όπου η µετβολή δ είνι δ. Εφόσον οι συνρτήσεις είνι νεξάρτητες µετξύ τους, οι 0 µετβολές δ είνι επίσης νεξάρτητες, συνεπώς η µετβολή δ µηδενίζετι, εάν κι µόνο εάν οι συντελεστές των δ στην (45 µηδενίζοντι, δηλ. ( 0,,,..., n η οποί πριστάνει την γενίκευση της (40 γι πολλές µετβλητές., (46 Θ ποδείξουµε στη συνέχει ότι οι εξισώσεις κίνησης σώµτος τυτίζοντι µε τις εξισώσεις Eule-Lagange (γι συντηρητικές δυνάµεις. Ορίζουµε σν συνάρτηση Lagange (ή Lagangan, L T V m(& + & + z& V(,, z. (47 8

13 Οι πράγωγοί της L είνι L m& p &, L V F (48 κι πρόµοιες εκφράσεις γι τις κι z συνιστώσες. Η εξίσωση κίνησης ( ος νόµος του Νεύτων γι την -συνιστώσ είνι η οποί µπορεί ν γρφεί p F, L L. (49 & H εξίσωση (49 έχει κριβώς την µορφή των εξισώσεων Eule-Lagange, που προκύπτουν κτ νλογίν πό την πίτηση όπως το ολοκλήρωµ t I L (50 t ν είνι κρόττο. Το ολοκλήρωµ (50 κλείτι ολοκλήρωµ δράσης. Φθάνουµε λοιπόν στην ρχή του Hamltn ή ρχή της ελχίστης δράσης που λέει ότι η κίνηση ενός συστήµτος πό τη χρονική στιγµή t t είνι τέτοι ώστε το επικµπύλιο ολοκλήρωµ (50, όπου LT-V, ν είνι κρόττο ως προς την επιλογή του δρόµου κίνησης. Η ρχή του Hamltn λέγετι κι ρχή της ελχίστης δράσης διότι το ολοκλήρωµ δράσης (50 όχι µόνο είνι κρόττο, λλά κι ελάχιστο. Η γενίκευση των εξισώσεων (49 γι n-γενικευµένες συντετγµένες, q,q,,q n κι τις ντίστοιχες τχύτητες είνι, L q L q & 0,,..., n. (5 Οι εξισώσεις (5 είνι γνωστές σν εξισώσεις Lagange. Μπορούµε ν ορίσουµε κτ νλογίν µε τις κρτεσινές συντετγµένες την γενικευµένη ορµή, κι την γενικευµένη δύνµη, p L (5a & q L F. (5b q Πράδειγµ: Κίνηση σώµτος στο επίπεδο. Λµβάνουµε τις πολικές συντετγµένες (,θ σν γενικευµένες µετβλητές, q q θ. H τχύτητ δίδετι πό την (7 9

14 όπου ω θ &, άρ η κινητική ενέργει είνι, υ + ωθ T mυ m(& + θ& κι πό την Lagangan, L T L, υπολογίζουµε τις γενικευµένες ορµές κι L L p m, & p m θ&, & θ& L V L m θ &, 0, θ συνεπώς οι εξισώσεις κίνησης είνι, p L m & mθ & V p L (m θ & 0 θ Η πρένθεση λµβάνοντς υπόψιν την ( πριστάνει την στροφορµή, οπότε η η l γράφετι, 0 εξίσωση, δηλ. η στροφορµή είνι στθερή, l m θ & στθ.! Ακόµη, εφόσον η στροµορµή είνι στθερή, η γωνική τχύτης ισούτι µε η εξίσωση πίρνουµε, l V m & m 4 m & l θ l m & m /(m 3 κι ντικθιστώντς στην V Πολλπλσιάζοντς κι τ δύο µέρη επί & κι ολοκληρώνοντς πίρνουµε, m l & V( E m + όπου Ε είνι µι στθερά ολοκλήρωσης. Ακόµη, µετά πό νδιοργάνωση των όρων, η προηγούµενη σχέση γράφετι ή m(& + l + V( E m m(& + θ & + V( E 30

15 κι συγκρίνοντς µε την (9, νκλύπτουµε µι φορά κόµη την διτήρηση της ενέργεις, Τ+V Ε στθ. γι συντηρητικές δυνάµεις! ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ: ΣΕΙΡΑ. Βρείτε ποιές πό τις πρκάτω δυνάµεις είνι συντηρητικές: ( F a+b, F az+b, F z a+bz ( F a snθ snφ, F θ a csθ snφ, F φ a csφ. ( ιτοµικό µόριο ύο σώµτ µε µάζες m, m συνδέοντι µέσω ελτηρίου στθεράς k, κι µπορούν ν ολισθίνουν χωρίς τριβές κτά µήκος του άξον. ( Γράψετε τις εξισώσεις κίνησης γι κθέν σώµ, κι (β ποδείξετε ότι το κέντρο µάζς κινείτι µε στθερή τχύτητ. 3. Σώµ κινείτι στο επίπεδο υπό την επίδρση της κεντρικής δύνµης F & ( && c όπου η πόστση του σώµτος πό το κέντρο έλξης. Ν ευρεθεί η γενικευµένη δυνµική ενέργει η οποί δηµιουργεί τέτοι δύνµη κι πό το ποτέλεσµ υτό ν γρφεί η Lagangan του σώµτος. 3