Yποθέτουμε ότι αρχικά είναι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώματος και σε τυχούσα χρονική στιγμή ισχύει:

Transcript

1 0 Kεφ. TAΛANTΩΣEIΣ (prt, pges 0-4 Πράδειγμ 5. Tο κύκλωμ LC Yποθέτουμε ότι ρχικά είνι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώμτος κι σε τυχούσ χρονική στιγμή ισχύει: O ς κνόνς Kirchhff (δηλ. η εξίσωση κίνησης του συστήμτος LC είνι: - L di - Q C 0 επειδή IdQ/, η εξίσωση υτή γράφετι: d Q - LC Q η οποί κτά τ γνωστά έχει λύση της μορφής: Q A cs(ωtδ όπου ω / LC. Mπορούμε ν εφρμόσουμε τις ρχικές συνθήκες του προλήμτος (δηλ. γι t0 QQ κι I0 κι ν υπολογίσουμε τις στθερές ολοκλήρωσης (A,δ. CHAPTER

2 Συστήμτ με δύο θμούς ελευθερίς: η κτάστση του συστήμτος προσδιορίζετι πλήρως ν δίδοντι δύο χρκτηριστικά μεγέθη του συστήμτος, όπως π.χ. (t κι (t ή I (t κι I (t, Aν οι εξισώσεις κίνησης ενός συστήμτος με θμούς ελευθερίς είνι γρμμικές, τότε η γενική κίνηση του συστήμτος είνι υπέρθεση νεξρτήτων πλών ρμονικών κινήσεων, που ονομάζοντι κνονικοί τρόποι τλάντωσης, nrml mdes f sciltins. CHAPTER

3 Oτν ενεργοποιείτι μόνο ένς κνονικός τρόπος τλάντωσης, τότε κάθε κινούμενο μέρος του συστήμτος εκτελεί πλή ρμονική τλάντωση, δηλ. ισχύουν οι σχέσεις (tasin(ω tφ (tβsin(ω tφ περιγράφουν τον ίδιο κνονικό τρόπο τλάντωσης, εφόσον (ω,φ είνι ίδι. H συχνότητ ω είνι το χρκτηριστικό μέγεθος γι τον συγκεκριμμένο τρόπο τλάντωσης. Πράδειγμ 6. Δύο συζευγμένες μάζες M (μόνο διμήκεις τλντώσεις Oι εξισώσεις κίνησης γι τις μάζες είνι: CHAPTER

4 3 d d k k( k( k ( Eπίλυση του συστήμτος των διφ. εξισώσεων (: Προσθέτοντς κτά μέλη τις εξισώσεις πίρνομε: d ( k( η οποί έχει λύση: ( cs(ω tφ ( όπου ω k / M κι (A,φ είνι το πλάτος τλάντωσης κι η ρχική φάση στον ο κνονικό τρόπο διμήκους τλάντωσης. Aφιρώντς κτά μέλη τις εξισώσεις στο σύστημ (, λμάνουμε d ( 3k( η οποί έχει λύση: ( - cs(ω tφ (3 CHAPTER

5 4 όπου ω 3k / M κι (A,φ είνι το πλάτος τλάντωσης κι η ρχική φάση στον ο κνονικό τρόπο διμήκους τλάντωσης. Mπορούμε ν ρούμε τις συντετγμένες (t κι (t εύκολ πό τις ( κι (3: cs(ω t φ cs(ω t φ cs(ω cs(ω t φ t φ (4 οπότε η κίνηση του κθενός σώμτος είνι υπέρθεση των νεξρτήτων πλών ρμονικών κινήσεων (δηλ. των κνονικών τρόπων τλάντωσης. Mπορούμε ν ντιληφθούμε κλύτερ τους κνονικούς τρόπους τλάντωσης ως εξής: Aπό τις (4, ν γνοήσουσε την ρμονική τλάντωση (A 0, τότε προκύπτει (t (t, δηλ. κι τ δύο σώμτ εκτελούν την ίδι κριώς (διμήκη τλάντωση με συχνότητ ω, όπως φίνετι στο σχήμ Oμοίως πό τις (4, ν γνοήσουσε την η ρμονική τλάντωση (A 0, τότε προκύπτει ότι (t- (t, δηλ. τ δύο σώμτ εκτελούν ντίθετη (διμήκη τλάντωση με συχνότητ ω, όπως φίνετι στο σχήμ CHAPTER

6 5 ω Πράδειγμ 6. Δύο συζευγμένες μάζες M (μόνο εγκάρσιες τλντώσεις. Yποθέτομε ότι οι δύο μάζες εξνγκάζοντι ν κινούντι πάνω στ κτκόρυφ επίπεδ x κι x, ντίστοιχ. (Mπορούμε ν φντστούμε ότι έχουμε κάνει μί οπή σε κάθε σώμ M κι έχουμε περάσει μιά κλόνητο κτκόρυφο ράδο μέσ πό κάθε οπή, έτσι ώστε τ σώμτ ν κινούντι κτκόρυφ χωρίς τριές πάνω στους οδηγούς. H y-συνιστώσ (κτκόρυφος διεύθυνση των σκουμένων δύνμεων επί των σωμάτων είνι: CHAPTER

7 6 CHAPTER y k( k( - - k( - k( sinθ Τ sin θ T F y k( k( - k( - - k( sinθ Τ sin θ T F όπου,, 3, τ μήκη των ελτηρίων, 3 ( Ν θυμηθούμε τη προσέγγιση των μικρών τλντώσεων πό το Πράδειγμ 4, ( ( ε ε ε x / /, γι ε<<, όπου ε(x/, οπότε τ πρπάνω μήκη των ελτηρίων γράφοντι,

8 7 [, κι 3...] οπότε οι δυνάμεις F y,f y γράφοντι (κρτώντς μόνο γρμμικούς όρους στις προσεγγίσεις ως προς τις πομκρύνσεις,, F F y y k( ( k( ( Οι εξισώσεις κίνησης των σωμάτων κτά την εγκάρσι διεύθυνση είνι, d d k k ( ( ( Eπίλυση του συστήμτος των διφ. εξισώσεων: Προσθέτοντς κτά μέλη τις εξισώσεις πίρνομε: d ( k( ( CHAPTER

9 8 η οποί έχει λύση: k ( cs(ω Ε tφ ( όπου ω ( κι (A,φ είνι το πλάτος Ε τλάντωσης κι η ρχική φάση στον ο κνονικό τρόπο εγκάρσις τλάντωσης. Aφιρώντς κτά μέλη τις εξισώσεις στο σύστημ (, λμάνουμε d ( 3k( ο ( η οποί έχει λύση: 3k ( - cs(ω Ε tφ (3 όπου ω ( κι (A,φ είνι το πλάτος Ε τλάντωσης κι η ρχική φάση στον ο κνονικό τρόπο εγκάρσις τλάντωσης. Mπορούμε ν ρούμε τις συντετγμένες (t κι (t εύκολ πό τις ( κι (3: cs(ω cs(ω Ε Ε t φ t φ cs(ω cs(ω Ε Ε t φ t φ (4 CHAPTER

10 9 οπότε η κίνηση του κθενός σώμτος είνι υπέρθεση των νεξρτήτων πλών ρμονικών κινήσεων (δηλ. των κνονικών τρόπων τλάντωσης. Mπορούμε ν ντιληφθούμε κλύτερ τους κνονικούς τρόπους τλάντωσης ως εξής: Aπό τις (4, ν γνοήσουσε την ρμονική τλάντωση (A 0, τότε προκύπτει (t (t, δηλ. κι τ δύο σώμτ εκτελούν την ίδι κριώς (εγκάρσι τλάντωση με συχνότητ ω E, Oμοίως πό τις (4, ν γνοήσουσε την η ρμονική τλάντωση (A 0, τότε προκύπτει ότι (t- (t, δηλ. κι τ δύο σώμτ εκτελούν ντίθετη (εγκάρσι τλάντωση με συχνότητ ω E, CHAPTER

11 0 Συστημτική νζήτηση των κνονικών τρόπων τλάντωσης (nrml mdes Θεωρούμε έν φυσικό σύστημ με θμούς ελευθερίς το οποίο περιγράφετι πό χρκτηριστικές μετλητές, έστω (t κι (t. Eστω ότι έχουμε ρει ομογενείς διφορικές εξισώσεις ς τάξης, οι οποίες περιγράφουν την κινητική κτάστση του συστήμτος, της μορφής, d d Yποθέτουμε ότι το σύστημ διεγείρετι μόνο σε έν συγκεκριμμένο τρόπο τλάντωσης με κυκλική συχνότητ ω, που σημίνει ότι οι μετλητές (t κι (t θ έχουν τη μορφή, cs(ωtφ Βcs(ωtφ ( (ίδι ω κι φ. Aν οι σχέσεις ( είνι λύσεις των εξισώσεων (, τότε θ πρέπει ν ικνοποιούν τις (. Aρ, ντικθιστώντες στις ( προκύπτει, ( ω ή ω CHAPTER

12 ( ω ( ω 0 0 (3 δηλ. κτλήγουμε σε έν ομογενές σύστημ N γρμμικών (λγερικών εξισώσεων. Γι ν έχει μη μηδενική λύση το ομογενές σύστημ, θ πρέπει η χρκτηριστική ορίζουσ ν ισούτι με μηδέν, δηλ. ( ω ( ω 0 π όπου λμάνουμε τη χρκτηριστική εξίσωση, ( ω ( ω 0 H εξίσωση υτή είνι έν τριώνυμο ως προς ω, άρ γενικά θ πρέπει ν έχει μη-μηδενικές λύσεις, (ω κι (ω. Oι λύσεις υτές λέγοντι ιδιοσυχνότητες του συστήμτος (στη Γρμμική Aλγερ, λέγοντι ιδιοτιμές του πίνκ, ( ω, ( ± ( 4( Γι κάθε ιδιοσυχνότητ ω ή ω, μπορούμε υπολογίσουμε τις λύσεις κι πό τις εξισ. (3, ν Β ω (mde CHAPTER

13 Β ω (mde (στη Γρμμική Aλγερ, οι λύσεις κι λέγοντι ιδιοδινύσμτ του πίνκ. Tώρ, η γενική λύση του συστήμτος ( θ είνι υπέρθεση των δύο κνονικών τρόπων τλάντωσης, Β cs(ω t φ cs(ω t φ Β cs(ω cs(ω t φ t φ Oι 4 νεξάρτητες στθερές A, φ, A, φ προσδιορίζοντι πό τις ρχικές συνθήκες του προλήμτος (0, (0, (0, (0. Δικροτήμτ (bets Σύμφων με το θεώρημ της υπέρθεσης, η κίνηση ενός σύστημ με πολλούς ελευθερίς είνι υπέρθεση όλων των νεξρτήτων ρμονικών τλντώσεων που μπορεί ν διεγερθεί, δηλ. η συνιστάμενη διτρχή του συστήμτος θ έχει τη μορφή (γιά θμούς ελευθερίς (t A sin(ω tφ A sin(ω tφ Γι ευκολί μς πίρνουμε A A A, οπότε (t A [sin(ω tφ sin(ω tφ ] CHAPTER

14 3 sin( ω ω t φ φ cs( ω t φ sin(ωt φcs(ωmd t δ md(tsin(ωt όπου ω(ω ω /, φ(φ φ /, δ(φ -φ /, ω md (ω -ω / κι md (tcs(ω md tδ. ω φ φ T md Eφόσον το συνιστάμενο πλάτος τλάντωσης είνι περιοδική συνάρτηση, A md (tta md (t, λμάνουμε την συχνότητ δικροτήμτος, ν ν - ν Θεώρημ του Furier: Aν (t είνι μιά περιοδική συνάρτηση ως προς t, τότε η συνάρτηση υτή μπορεί ν πρστθεί πό μι σειρά τριγωνομετρικών συνρτήσεων της μορφής (t [n sin(πωnt φ Βn cs(πωnt φ] n κάθε σετ (ω n, A n,b n ορίζει την n-στή ρμονική CHAPTER

15 4 b (A n B n ορίζει την έντση της n-στής ρμονικής Στο κόλουθο σχήμ πρίσττι η έντση του φωνήεντος εκφωνούμενο στη θεμελιώδη συχνότητ 00Hz. Δίπλ έχει νλυθεί ο ήχος στις θεμελιώδεις συχνότητες που το πρτίζουν. CHAPTER