ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετώνται τα αραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των υοδείξεων και αραομών στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της τέταρτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα (Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων) Ενότητα :.-.4 (Σειρές Fourier) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Λογισμός Μιας Μεταβλητής» του Γ. Δάσιου Ειλέον η εργασία αυτή βασίζεται σε μια εανάληψη των βασικών εννοιών του μαθήματος τις οοίες ρέει να γνωρίζετε ώστε να ροετοιμασθείτε για τις Τελικές Εξετάσεις. Η ρώτη άσκηση αναφέρεται στις εφαρμογές ολοκληρωμάτων η δεύτερη στις σειρές Fourier. Με το κεφάλαιο αυτό καλύτεται η ύλη της ΠΛΗ. Οι υόλοιες ασκήσεις είναι εαναλητικές στην ύλη της Γραμμικής Άλγεβρας, του Λογισμού μίας μεταβλητής και των Πιθανοτήτων. Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε είσης το: βοηθητικό υλικό ου υάρχει στη ως εξής: Συνοδευτικό Εκαιδευτικό Υλικό : Λογισμός Ολοκληρώματα, Σειρές Fourier Στόχοι: Σκοός της εργασίας αυτής είναι να σας δώσει μια εικόνα των θεμάτων ου θεωρούμε αολύτως ααραίτητα, για να εξεταστείτε ειτυχώς στην ΠΛΗ.

2 Ασκηση (5 μον.) A) (8 μον.) Να σχεδιάσετε το χωρίο ου ερικλείεται μεταξύ των γραφημάτων των f x και g x με a x b, και να υολογίσετε το εμβαδόν του: συναρτήσεων ( ) ( ) ( ) +, ( ),, f x x x g x a b. Να εαληθεύστε το αοτέλεσμά σας, υολογίζοντας το ζητούμενο εμβαδόν με στοιχειώδη γεωμετρία, α ευθείας αό την γραφική αράσταση της συνάρτησης. Β) (7 μον.)να υολογίσετε τον όγκο του στερεού V ου δημιουργείται μέσω εριστροφής του f x si x cos x γύρω αό τον άξονα των x, για το γραφήματος της συνάρτησης ( ) ( ) ( ) διάστημα x [, ]. Υόδειξη: Συμβουλευθείτε την αράγραφο. του συγγράμματος του ΕΑΠ και cos( x) αρατηρήστε ότι si ( x) cos( x) si ( x) και si ( x) ). Α) Προφανώς f ( x), άρα: ( ) ( ) ( ) ( ) E x + x dx x + x dx+ x + x dx+ x + x dx ( ) ( ) ( ) x x + dx + x x + dx + x + x dx xdx xdx + + x x + 5 Το αοτέλεσμα αυτό συμίτει με αυτό ου βρίσκουμε αν υολογίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν αό το Σχήμα αθροίζοντας το εμβαδόν του κάτω αραλληλογράμμου (με βάση και ύψος ) με αυτό των άνω δύο τριγώνων ου συνθέτουν ένα ορθογώνιο αραλληλόγραμμο βάσης και ύψους. Σχήμα

3 Β) Το στερεό ου δημιουργείται έχει σχεδιαστεί στο Σχήμα. Για τον υολογισμό του όγκου b του V, χρησιμοοιούμε τον τύο ( ) ( x) dx [ x] V f x dx, ως εξής: a cos4x cos4x V [ si xcos x] dx si x dx dx dx dx si 4 si 4. Σχήμα Άσκηση (6 μον.) (α) (6 μον.) Για όλες τις δυνατές τιμές του ακεραίου αριθμού να υολογίστε τα ολοκληρώματα I x si( x) dx, (β) (6 μον.) Δείξτε ότι η τριγωνομετρική σειρά Fourier της f(x) - x, - x + 4 cos((k -)x) k (k-) (γ) (4 μον.) Χρησιμοοιώντας το ροηγούμενο ανάτυγμα δείξτε ότι (k-) J x cos( x) dx k x, είναι Υόδειξη: Σύμφωνα με τη θεωρία μας (ΣΕΥ, σειρές Fourier, σελ. ) γνωρίζουμε ότι το ανάτυγμα Fourier μιας συνάρτησης f(x) με εδίο ορισμού το διάστημα [-, ] είναι: ( x ) όου: f ( x) a cos( x) + b si( )

4 a f( x) dx a f( x)cos( x) dx, b f( x)si( x) dx, Ας θεωρήσουμε τώρα τη γενικότερη ερίτωση όου η συνάρτηση f(x) ορίζεται και είναι Lx ολοκληρώσιμη στο διάστημα [-L,L]. Τότε η συνάρτηση F( x) f είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [-,] και η σειρά Fourier της είναι (σύμφωνα με τις αραάνω σχέσεις): Lx Lx F( x) f ( acos( x) + bsi( x) ). Εφαρμόζοντας την αντικατάσταση t η σειρά Fourier της f(x) δίνεται αό τη σχέση: t t f () t acos + bsi L L με Lx a f dx f ( x) dx L Lx x a f cos( x) dx f ( x) cos dx L L Lx x b f si( x) dx f ( x) si dx L L L L L L L L (α) Για έχουμε I x si( x) dx dx και x x J x cos( x) dx x dx xdx + xdx + +. Για έχουμε: I x si( x) dx xsi( x) dx + xsi( x) dx I I Εφαρμόζοντας την αλλαγή μεταβλητής y-x (dy-dx) στο ολοκλήρωμα Ι αίρνουμε: I xsi( x) dx y si( y) dy y si( y) dy y si( y) dy I, οότε: x si( x) dx. Aυτό, βέβαια, ροκύτει άμεσα και αό το γεγονός ότι η υό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι εριττή.. 4

5 Χρησιμοοιώντας ανάλογη διαδικασία για το ολοκλήρωμα J αίρνουμε: J x cos( x) dx x cos( x) dx + x cos( x) dx J J Εφαρμόζοντας ξανά την αλλαγή μεταβλητής y-x στο ολοκλήρωμα J αίρνουμε: J x cos( x) dx y cos( y) dy y cos( y) dy y cos( y) dy J. Οότε χρησιμοοιώντας αραγοντική ολοκλήρωση έχουμε: J x cos( x) dx J x cos( x) dx x[ si( x) ] dx xsi( x) si( x) dx si( ) cos( x) + για k [ cos( ) cos() ] ( ) 4 - για k- (k-) k (β) Η συνάρτηση f(x)- x του υοερωτήματος ορίζεται στο διάστημα [-,], δηλαδή αντιστοιχεί στην αραάνω γενική ερίτωση με L. Εειδή η συνάρτηση f(x) είναι άρτια, αφού f(-x) f(x), θα έχουμε b (ΣΕΥ, σειρές Fourier, σελ. ). Για τους υόλοιους συντελεστές της σειράς Fourier, χρησιμοοιώντας τα αοτελέσματα του υοερωτήματος (α), έχουμε: a ( x ) dx x x dx ( ( ) ) a ( x )cos( x ) dx cos( x ) dx x cos( x ) dx για k για k si( x) x cos( x) dx 4 4 k + για k- για k- (k-) (k-) Εομένως η σειρά Fourier είναι - x + 4 cos((k -)x) (k-) * k (γ) Θέτοντας x στο αοτέλεσμα του υοερωτήματος (β) έχουμε: cos((k -)) - 4 k (k -) k (k -) (k -) 5 k * 5

6 Άσκηση. (6 μον.) (α) (4 μον.) Να ροσδιορισθούν τα x,y,z τέτοια ώστε ο ίνακας 5 x y z να είναι ορθογώνιος. (β) (6 μον.) a b Να δειχθεί ότι όλοι οι x ίνακες της μορφής Χ, με bc a. c a ικανοοιούν την εξίσωση Χ. Αοτελεί το σύνολo W των ινάκων αυτών διανυσματικό χώρο; Αιτιολογήστε την αάντησή σας. 4 5 (γ) (6 μον.) Εκφράστε τον ίνακα Α ως ένα γινόμενο ΡΔΡ -, όου Δ διαγώνιος x ίνακας, υολογίστε την ακολουθία u A, για κάθε φυσικό αριθμό και εξετάστε y αν συγκλίνει καθώς. (α) Για να είναι ο δοσμένος ίνακας ορθογώνιος ρέει οι στήλες του να είναι μοναδιαία διανύσματα, ορθογώνια με ταξύ τους. Αυτό συνεάγεται ότι: y + ( / 5 ) y ± / 5 Για y + / 5 έχουμε x(/ 5 ) + z( / 5 ), δηλαδή x -z. Εειδή όμως ρέει είσης να ισχύει x + z, συμεραίνομε ότι 4z + z 5z, z ± / 5, x / 5. Εομένως οι δυνατοί ίνακες είναι: / 5 / 5 / 5 / 5, / 5 / 5 / 5 / 5 Ακολουθώντας ίδια μεθοδολογία για y / 5έχουμε x( / 5) + z( / 5), δηλαδή x z. Οότε αό τη σχέση δυνατοί ίνακες είναι: x + z αίρνουμε z ± / 5, x± / 5. Εομένως οι / 5 / 5 / 5 / 5., / 5 / 5 / 5 / 5 (β) Η εξίσωση Χ για τον δοσμένο ίνακα Χ γράφεται: a b a b c a c a και η εαλήθευση της σχέσης αυτής ααιτεί ροφανώς a + bc. Όμως το σύνολο των ινάκων αυτών W δεν αοτελεί διανυσματικό χώρο, εειδή, αν και εριέχει το μηδενικό στοιχείο (για α b c ), δεν ικανοοιεί την ααίτηση το άθροισμα δύο διαφορετικών ινάκων Χ Є W και Χ Є W να ανήκει και αυτό στο W. Παρατηρούμε ότι θέτοντας X a b, X a b c a c a έχουμε a b a b a+ a b+ b X+ X + X c a c a c+ c a a 6

7 Όμως, αό τις σχέσεις a bc, a bc δεν ροκύτει γενικά ότι ( a + a ) ( b + b )( c + c ), εομένως δεν μορούμε να συμεράνουμε ότι Χ Є W. (γ) Οι ιδιοτιμές του ίνακα Α είναι - και 6 και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα (, ) και (-5, ). Εομένως ο ίνακας Ρ και ο αντίστροφός του είναι: Άρα P 5 / 7 5/ 7 / 7 / 7, P ( ) ( ) 5 / 7 5/ 7 5 u A PΔ P ( ) 6 / 7 / 7 6 Eίναι φανερό ότι η ακολουθία u δεν συγκλίνει αφού διαρκώς εναλλάσσεται μεταξύ του (,) και του (-,-). Άσκηση 4 (6 μον.) Δίνεται η γραμμική αεικόνιση f : R R με τύο: f ( xyz,, ) ( x zx, y zx, + y z). (i) Βρείτε τον ίνακα της f ως ρος την κανονική βάση του R. (ii) Προσδιορίστε τον υρήνα και την εικόνα της f καθώς και αντίστοιχες βάσεις. Είναι η f -; Είναι εί ; (iii) Υάρχει ο αντίστροφός του ίνακα της f ; Υόδειξη: Μορείτε να συμβουλευθείτε το Παράδειγμα, σελ. 6 του βιβλίου. Είσης Παράδειγμα σελ. και τα Παραδείγματα,4 σελ. - αό το κεφάλαιο Γραμμικές Αεικονίσεις του ΣΕΥ. (i) Για την κανονική βάση {(,,),(,,),(,,)} του R έχουμε : f (,,) (,,) (,,) + (,,) + (,,) f (,,) (,,) (,,) (,,) + (,,) f (,,) (,, ) (,,) (,,) - (,,) Εομένως, ο ίνακας της f ως ρος την κανονική βάση του R A. T είναι ο (ii) Για τον υρήνα της f έχουμε: ( x, yz, ) Kerf f( xyz,, ) (,,) ( x zx, y zx, + y z) (,,) x z x z x z x y z y, z R y x+ y z y 7

8 Έτσι τα στοιχεία του Kerf έχουν τη μορφή: ( z,, z) z (,,), z R, με το διάνυσμα (,,) να αοτελεί βάση του Kerf. Πρόκειται δηλαδή για έναν υόχωρο του R διάστασης. Αντίστοιχα, για την εικόνα Imf έχουμε: v Im f v f( x, y, z) v ( x z, x y z, x+ y z) v ( xxx,, ) + (, yy, ) + ( z, z, z) v x (,,) + y (,,) + z (,, ) Πρόκειται δηλαδή για τον υόχωρο του (,,), (,,), (,, ) ου αράγεται αό τα διανύσματα. Γνωρίζουμε είσης ότι οι διαστάσεις του υρήνα και της εικόνας της γραμμικής αεικόνισης f συνδέονται μέσω της σχέσης : R dim(kerf) + dim(imf) dim(r ), και δεδομένου ότι ήδη αοδείξαμε ως dim(kerf), συμεραίνουμε ότι dim(imf). Συνεώς, δύο μόνο αό τα ροηγούμενα διανύσματα θα είναι ανεξάρτητα και θα αοτελούν μία βάση της εικόνας. Αυτό εαληθεύεται εύκολα αό το γεγονός ότι το τρίτο διάνυσμα είναι (-) φορές το ρώτο! Έτσι, τα { (,,), (,,) } αοτελούν μια βάση της Imf. (iii) Χρησιμοοιώντας τα αραάνω συμεράσματα μορούμε να ούμε ότι: Η f δεν είναι - αφού ο υρήνας της δεν είναι μηδενικός. Η f δεν είναι εί αφού η εικόνα της δεν συμίτει με το εδίο τιμών της έχοντας μικρότερη διάσταση αό αυτό. Άρα, αφού ο ίνακας ου αντιστοιχεί σε μία γραμμική αεικόνιση είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν το ίδιο συμβαίνει και με την αντίστοιχη αεικόνιση, ο Α δεν αντιστρέφεται αφού η f δεν είναι - και εί. Άσκηση 5 ( μον.) ( )! (α) (4 μον.) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας: a,, ( + )! Υόδειξη: βλ. ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες, Παράγραφοι.4 και.5. Μελετήστε αράδειγμα 5 της αραγράφου.5.. το (β) (4 μον.) Να μελετηθεί ως ρος την σύγκλισή της η σειρά: + ax bx (γ) (6 μον.) Δίνεται η συνάρτηση y f( x) + + cx. Να ροσδιορισθούν οι ραγματικές σταθερές abc,,, ώστε η y f(x) να έχει σημείο καμής στο (x, y) (/, /4), και τοικά ακρότατα στα σημεία x και x. Ακολούθως να ροσδιορισθεί το είδος των ακρότατων αυτών. 8

9 ta x si x (δ) (8 μον.) Να υολογιστεί το όριο lim με δύο τρόους.χρησιμοοιήστε, εκτός x x αό κανόνα de L Hospital, την αντικατάσταση με τα ανατύγματα Taylor: x x si x x +..., ta x x Ποιά μέθοδο ροτιμάτε και γιατί; 6 Υόδειξη: Εκτός αό τον κανόνα de L Hospital, θα φανεί χρήσιμη και η Πρόταση 5.. του Σ.Ε.Υ. (α) Έχουμε a και [ ] [ ] a ( + )!(+ )! + (+ )!(+ )! a ( + ) +!( )! (+ 4)!( )! lim lim lim (+ )( )( )!(+ )! (+ ) lim lim (+ 4)(+ )(+ )(+ )!( )! (+ 4)(+ )(+ ) lim lim, κρατώντας τους λέον αοκλίνοντες όρους στον αριθμητή και αρονομαστή και χρησιμοοιώντας lim. Γνωρίζουμε όμως ότι αν για μια ακολουθία a με a ισχύει a + < τότε αυτή είναι μηδενική (αράδειγμα 5 της αραγράφου.5. του Σ.Ε.Υ.). a lim Εομένως για την ακολουθία της άσκησης έχουμε lim a (β) Χρησιμοοιώντας το κριτήριο του λόγου βρίσκουμε ότι: ( ) a+ lim lim lim, a ( ) αοκλίνει. > ράγμα ου σημαίνει ότι η σειρά (γ) Η συνάρτηση είναι αραγωγίσιμη ως ολυωνυμική και οι ρώτες δύο αράγωγοί της είναι f ( x) ax + bx+c, και f ( x) ax+ b. Αφού στο x / έχει σημείο καμής αυτό σημαίνει ότι f ( / ) a+ b b - a και εειδή τα x και x είναι ακρότατα θα ισχύει: f () a+ b+ c και f () 4a+ b+ c, αό τα οοία ροκύτει ότι c a, με a αυθαίρετο. Εειδή όμως γνωρίζουμε ότι στο σημείο καμής x /, έχουμε y /4, αό τη μορφή της y f(x) ροκύτει ότι (/) (/) f( ) a a + a a, 4 4 Άρα, έχουμε α (οότε και b -, c ) και, εομένως, αφού f () < και f () > το x είναι τοικό μέγιστο και το x τοικό ελάχιστο. Εναλλακτικά αό το ότι η συνάρτηση διέρχεται αό το στο (x, y) (/, /4) δηλαδή ισχύει f(/) /4 a+ b+ 4c καταλήγουμε στην ίδια λύση λύνοντας το σύστημα: 9

10 a+ b+ c 4a+ b+ c a+ b+ 4c (δ) Στο ζητούμενο όριο εμφανίζεται αροσδιοριστία, οότε εφαρμόζοντας διαδοχικά τον κανόνα de L Hospital, έχουμε: ( ) cos ta si ta x si x lim lim lim cos x x x x x x x x x ( x ) ( x ) cos si x x + si x cos x cos si si lim lim x x x lim + x x 6x x xcos x 6x six six lim + x +, x cos x 6 x 6 si x όου χρησιμοοιήσαμε το γνωστό όριο lim. x x Αντικαθιστώντας τώρα τα δοθέντα ανατύγματα Taylor στο όριο, βρίσκουμε: ta x si x x+ x / +... ( x x / ) x / + x / lim lim lim x x x x x x Προφανώς η δεύτερη μέθοδος είναι ροτιμητέα, ως ολύ συντομότερη! Άσκηση 6 (5 μον.) (α) (6 μον.) Σε μία εξέταση ολλαλής ειλογής δίνονται έντε ααντήσεις σε κάθε ερώτηση μία αό τις οοίες είναι μόνο σωστή. Ο εξεταζόμενος είτε γνωρίζει την αάντηση, με ιθανότητα.8, είτε ααντά στη τύχη. Αν ο εξεταζόμενος αάντησε σωστά σε μία ερώτηση, οια είναι η ιθανότητα να μην την γνώριζε; Υόδειξη: Θεωρήστε τα ενδεχόμενα Α{ο εξεταζόμενος αάντησε σωστά} και Β {ο εξεταζόμενος δεν γνώριζε την αάντηση}. Ζητάμε τότε την Ρ(Β Α) για τον υολογισμό της οοίας ρέει να χρησιμοοιήσετε τον τύο Bayes. (β) (9 μον.) Μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας f X (x) η οοία δίδεται αό τον τύο: λx e, x<+ fx ( x), x < (i) Να βρεθεί η ραγματική σταθερά λ ώστε η συνάρτηση αυτή να είναι υκνότητα ιθανότητας. (ii) Να βρεθούν οι ιθανότητες Ρ{ Χ } και Ρ{Χ }.

11 (iii) Να βρεθούν η μέση τιμή Ε(Χ) και η διασορά V(Χ) της μεταβλητής Χ. (α) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α {ο εξεταζόμενος αάντησε σωστά} και Β {ο εξεταζόμενος δεν γνώριζε την αάντηση}. Άρα PA ( ) PABPB ( ) ( ) + PAB ( ') PB ( '),,+,8,84. Εομένως η ζητούμενη PA ( BPB ) ( ),,,4 ιθανότητα είναι PB ( A), PA ( ),84,84 (β) Η f X (x) είναι καλώς ορισμένη και θετική. (i) Για να είναι συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας. ρέει f ( x) dx λ. (ii) Ρ{ Χ } e + e και Ρ{Χ } e. (iii) Ε(Χ) X x x x xf ( x) dx xe dx xe + e dx + και V(Χ) Ε(Χ ) [Ε(Χ)]. Όμως X Ε(Χ x x x ) x f ( x) dx x e dx x e + xe dx +, εομένως V(Χ) X