Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν."

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια, όρια δεν υάρχουν. Τι χαρά, να διακρίνεις το αειροελάχιστο μέσα στο άειρο! Το τεράστιο να αντιλαμβάνεσαι μέσα στο μικρό, όσο θεϊκό! Jcob Beroulli (655-75) Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα ιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύτουν τις μυστικές αναλογίες, ου τα ενώνουν. Η βαθιά μελέτη της φύσης είναι η ιο γόνιμη ηγή των μαθηματικών ανακαλύψεων. Η θερμότητα, όως η βαρύτητα, διαερνά κάθε ουσία του σύμαντος, οι ακτίνες της καταλαμβάνουν όλα τα μέρη του χώρου. Το αντικείμενο της εργασίας μας είναι να εκθέσουμε τους μαθηματικούς νόμους, ου υακούουν σε αυτό το στοιχείο. Η θεωρία της θερμότητας αό εδώ και έρα θα διαμορφώσει έναν αό τους ιο σημαντικούς κλάδους της Γενικής Φυσικής. Je Bptiste Joseph Fourier (768-8)

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό αρουσιάζεται η μέθοδος ροσέγγισης μίας συνάρτησης αό μία ολυωνυμική συνάρτηση, δίνεται ο ορισμός της δυναμοσειράς, της σειράς Tylor και Mcluri. Παρουσιάζεται, είσης, η ροσέγγιση μίας συνάρτησης αό τριγωνομετρικά ολυώνυμα και εριγράφεται η ανάλυση μίας συνάρτησης σε σειρά Fourier, δηλαδή, σε μία σειρά ου αοτελείται αό τις συναρτήσεις si( ) και cos( ). Προααιτούμενη γνώση Κριτήρια σύγκλισης σειρών ραγματικών αριθμών, μέθοδοι υολογισμού αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. 9. Δυναμοσειρές Ορισμός 9... Η ακολουθία ( ( )) S, με γενικό όρο ( ) ( ) ( ) S( ) , για κάθε {,,, }, όου,,...,, και μία ραγματική μεταβλητή, ονομάζεται δυναμοσειρά με κέντρο και συμβολίζεται με ( ). (9..) Η ολυωνυμική συνάρτηση S( ) + ( ) + ( ) + + ( ), για κάθε, ονομάζεται μερικό άθροισμα της δυναμοσειράς και οι συναρτήσεις,,,...,,... ονομάζονται όροι της δυναμοσειράς ( ) Αν και η αριθμητική σειρά ( ) ( ) ( ) ( ). αοκλίνουσα), τότε λέμε ότι η δυναμοσειρά ( ) αόλυτα συγκλίνουσα στο ή αοκλίνουσα στο ). είναι συγκλίνουσα (αντίστοιχα, αόλυτα συγκλίνουσα ή είναι συγκλίνουσα στο (αντίστοιχα, Παράδειγμα 9... Η δυναμοσειρά + + έχει κέντρο και συντελεστές ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) ( ) +,,,..., ( ),... + Είναι φανερό ότι για η δοθείσα δυναμοσειρά είναι ίση με, άρα συγκλίνει.

3 Αν είναι συγκεκριμένος ραγματικός αριθμός διάφορος του, εφαρμόζοντας το κριτήριο ρίζας του Cuchy (βλέε, Πρόταση..9) και χρησιμοοιώντας lim (βλέε, Πίνακα.) η δυναμοσειρά ( ) ( ) ( ) + + συγκλίνει, αν lim < lim < lim lim < < < < Εομένως, εειδή η δυναμοσειρά ( ) ( ) είναι αόλυτα συγκλίνουσα για (, ) (,), + σύμφωνα με το κριτήριο αόλυτης σύγκλισης είναι και συγκλίνουσα, (βλέε, Πρόταση...). Άρα, η δυναμοσειρά ( ) ( ) είναι συγκλίνουσα για κάθε (, ) (,), (βλέε, Ορισμός 9...). + Παρατηρήστε ότι: για η δοθείσα δυναμοσειρά γράφεται: ( ) ( ) ( ), η οοία είναι αοκλίνουσα αρμονική σειρά ρώτης τάξης ( p ), (βλέε, Εφαρμογή...). Για η δοθείσα δυναμοσειρά γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), + + η οοία είναι συγκλίνουσα εναλλάσσουσα σειρά, (βλέε, Εφαρμογή...). Συνεώς, η δοθείσα δυναμοσειρά συγκλίνει για κάθε (,]. + Αό τα αραάνω αραδείγματα είναι φανερό ότι μία δυναμοσειρά ( ), γενικά, δεν συγκλίνει για κάθε τιμή της μεταβλητής, συγκλίνει άντοτε στο κέντρο της. Δηλαδή, υάρχει ένα τουλάχιστο σημείο (το κέντρο της δυναμοσειράς), στο οοίο η δυναμοσειρά συγκλίνει. Το ερώτημα ου τίθεται είναι: «οιοί είναι οι ραγματικοί αριθμοί, για τους οοίους η δυναμοσειρά συγκλίνει;», ισοδύναμα ενδιαφερόμαστε να γνωρίζουμε το διάστημα του ραγματικού άξονα, όου ανήκουν οι αριθμοί, ώστε η δυναμοσειρά να είναι συγκλίνουσα. Θεωρώντας ότι το λαμβάνει μία σταθερή ραγματική τιμή, μορούμε να αναγάγουμε το ρόβλημα στη μελέτη σύγκλισης της αντίστοιχης (αριθμητικής) σειράς και να εξετάσουμε τη σύγκλιση ή αόκλιση της σειράς εφαρμόζοντας τα κριτήρια, ου ανατύχθηκαν στο Κεφάλαιο. Ορισμός 9... Το σύνολο όλων των, για τα οοία η δυναμοσειρά ( ) στην (9..) συγκλίνει, ονομάζεται εριοχή ή τόος σύγκλισης της δυναμοσειράς. Έστω το σύνολο S {: r r, και συγκλίνουσα}. (9..) ( ) Ο αριθμός, όταν S { } R +, όταν S δεν είναι άνωφραγμένο sup S, όταν S { } και είναι άνωφραγμένο ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς στην (9..), και (9..)

4 ( R, R) + (9..4) ονομάζεται διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς στην (9..). Αν Α είναι η εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς στην (9..) ορίζουμε ως άθροισμα της δυναμοσειράς τη συνάρτηση f : A με ( ), για κάθε A f( ). (9..5) Παρατήρηση Στην ερίτωση ου η δυναμοσειρά συγκλίνει με ακτίνα σύγκλισης < R < +, τότε η εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς μορεί να είναι ένα αό τα διαστήματα ( R, + R), [ R, + R), ( R, + R], [ R, + R] Για να ροσδιορίσουμε τη μορφή της εριοχής σύγκλισης μετά τον υολογισμό του διαστήματος σύγκλισης θέτουμε στη δυναμοσειρά τα άκρα του διαστήματος σύγκλισης, R και + R, και κατόιν ελέγχουμε τη σύγκλιση ή αόκλιση της αντίστοιχης (αριθμητικής) σειράς, εφαρμόζοντας τα γνωστά κριτήρια, ου αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο. Εφαρμογή Η γεωμετρική σειρά έχει ακτίνα σύγκλισης R και διάστημα σύγκλισης (,), και τότε το άθροισμα της δυναμοσειράς είναι Αόδειξη: Προφανώς η γεωμετρική σειρά (9..6) είναι της μορφής όως στην (9..), άρα είναι μία δυναμοσειρά με κέντρο και σταθερούς συντελεστές. Σύμφωνα με την Εφαρμογή..7. (i), αν < < < (,), τότε η γεωμετρική σειρά συγκλίνει στην τιμή. Συνεώς, εφαρμόζοντας τη σχέση (9..) συμεραίνουμε ότι το σύνολο S { r: r <, και συγκλίνουσα}, είναι άνω φραγμένο με S { }, συνεώς sup S. Αό την (9..) συμεραίνουμε ότι η γεωμετρική σειρά έχει ακτίνα σύγκλισης R, και εειδή αό την (9..4) το διάστημα σύγκλισης είναι (,). Εειδή η γεωμετρική σειρά για ± αοκλίνει, (βλέε, Εφαρμογή..7 (ii), (iii)), η εριοχή σύγκλισης ταυτίζεται με το διάστημα σύγκλισης, δηλαδή, είναι (,). Θεωρώντας A (,) αό την (9..5) ορίζεται η αντίστοιχη συνάρτηση f : A με f( ) Εφαρμογή..7. (i)). Παραδείγματα Να ροσδιορισθούν η ακτίνα, το διάστημα και η εριοχή σύγκλισης των ακόλουθων δυναμοσειρών: i) ( ) ( ) ii) ( ) + 4

5 i) Στο Παράδειγμα 9... αοδείχθηκε ότι για κάθε (,] η δυναμοσειρά ( ) ( ) με κέντρο + συγκλίνει. Συνεώς, εφαρμόζοντας την (9..) συμεραίνουμε ότι το σύνολο S r: r <, και ( ) ( ) συγκλίνουσα, + είναι άνω φραγμένο με S { }, συνεώς sup S. Αό την (9..) συμεραίνουμε ότι η δυναμοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης R, και εειδή αό την (9..4) το διάστημα σύγκλισης είναι (,). Εειδή < R < +, σύμφωνα με την Παρατήρηση 9..4, χρειάζεται να εξετάσουμε τη συμεριφορά της δυναμοσειράς στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης, και διαιστώνουμε ότι για αοκλίνει και για συγκλίνει, (βλέε, Παράδειγμα 9..). Συνεώς, η εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι (,]. ii) Η δοθείσα δυναμοσειρά γράφεται ( ) ( ) + ( ) + ( ) + + Είναι φανερό ότι είναι της μορφής όως στην (9..), άρα ρόκειται για δυναμοσειρά με κέντρο και με συντελεστές,,. Είναι φανερό ότι για η δοθείσα δυναμοσειρά είναι ίση με, άρα συγκλίνει. Αν είναι συγκεκριμένος ραγματικός αριθμός διάφορος του, εφαρμόζοντας το κριτήριο ρίζας του συγκλίνει αν Cuchy, (βλέε, Πρόταση..9) και χρησιμοοιώντας lim (βλέε, Πίνακα.) συμεραίνουμε ότι η σειρά ( ) lim lim < < lim < < < < < για τις αραάνω τιμές του συγκλίνει, εφαρμόζοντας την (9..) συμεραίνουμε ότι το σύνολο S r: r <, και ( ) συγκλίνουσα, S, συνεώς sup S. Αό την (9..) συμεραίνουμε ότι η δυναμοσειρά έχει Εειδή η δυναμοσειρά ( ) είναι άνω φραγμένο με { } ακτίνα σύγκλισης R, και εειδή αό την (9..4) το διάστημα σύγκλισης είναι (,5). Ειλέον, εειδή < R < +, σύμφωνα με την Παρατήρηση 9..4, εξετάζουμε τη σύγκλιση της δυναμοσειράς στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης, και διαιστώνουμε ότι: Για, η δοθείσα δυναμοσειρά γράφεται ( ) ( ) ( ), η οοία είναι συγκλίνουσα εναλλάσσουσα σειρά, (βλέε, Εφαρμογή...). Για 5, η δοθείσα δυναμοσειρά γράφεται, η οοία είναι αοκλίνουσα αρμονική σειρά ρώτης τάξης ( p ), (βλέε, Εφαρμογή...). 5

6 Εομένως, συνδυάζοντας τα αραάνω, με το διάστημα σύγκλισης (,5) της δυναμοσειράς, ροκύτει ότι η εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι [,5). Συνδυάζοντας τον Ορισμό 9.. με τα κριτήρια λόγου του D Alembert, και ρίζας του Cuchy, (βλέε, Πρόταση..7, Πρόταση..9, αντίστοιχα) ροκύτει ο τρόος υολογισμού της ακτίνας σύγκλισης και ταυτόχρονα ένα κριτήριο σύγκλισης ή αόκλισης της δυναμοσειράς μέσω της τιμής της ακτίνας, όως διατυώνεται στο ακόλουθο θεώρημα. Η αόδειξη του θεωρήματος μορεί να αναζητηθεί σε οοιοδήοτε αό τα συγγράμματα, (βλέε, Αθανασιάδης, Γιαννακούλιας, & Γιωτόουλος, 9; Γεωργίου, Ηλιάδης, & Μεγαρίτης, ; Οικονομίδης & Καρυοφύλλης, 999; Παντελίδης, 8; Ρασσιάς, 4). Θεώρημα i) Έστω, για κάθε, και R η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς ( ) στην (9..). Τότε R + +, αν lim +, αν lim +, αν lim + + lim + και η δυναμοσειρά αντίστοιχα, συγκλίνει για κάθε. αοκλίνει για κάθε { }. R, + R. συγκλίνει με διάστημα σύγκλισης ( ) l ii) Έστω ότι R είναι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς ( ), τότε +, αν lim +, αν lim + R +, αν lim l lim + + και η δυναμοσειρά αντίστοιχα, συγκλίνει για κάθε. αοκλίνει για κάθε { }. R, + R. συγκλίνει, με διάστημα σύγκλισης ( ) 6

7 Παρατηρήσεις i) Σύμφωνα με το Θεώρημα 9..7 η σύγκλιση της δυναμοσειράς ( ) εξαρτάται αό την τιμή της ακτίνας σύγκλισης, η οοία έχει μία αό τις ακόλουθες τρεις εριτώσεις: ) αν η ακτίνα σύγκλισης είναι R >, τότε η δυναμοσειρά συγκλίνει (αόλυτα). b) αν R, η δυναμοσειρά συγκλίνει μόνο στο κέντρο της και αοκλίνει σε κάθε άλλο. c) αν R +, η δυναμοσειρά συγκλίνει (αόλυτα) για κάθε. ii) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 9..7, όταν R >, δεν μορούμε να υολογίσουμε την εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς, εειδή το θεώρημα δεν δίνει αάντηση για τη σύγκλιση ή μη της δυναμοσειράς στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης. Όως σχολιάστηκε και στην Παρατήρηση 9..4, μετά τον υολογισμό της ακτίνας σύγκλισης, θέτουμε στη δυναμοσειρά R, + R και στη συνέχεια ελέγχουμε τη σύγκλιση ή μη της (αριθμητικής) σειράς, εφαρμόζοντας τα γνωστά κριτήρια, ου αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο. Παραδείγματα Να ροσδιορισθούν η ακτίνα και η εριοχή σύγκλισης των ακόλουθων δυναμοσειρών: i) ii) ( ) ( ) iii), με p > p! + i) Θέτουμε, αρατηρούμε ότι, για κάθε {,,, }, και έχουμε! + ( + )!! lim lim lim lim lim ( )! ( ) ! Συνεώς, σύμφωνα με το Θεώρημα 9..7 (i), η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι R +. Εομένως, η εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι το. ii) Θέτουμε ( ) + και έχουμε lim lim ( ) lim, εειδή < + < και lim. Συνεώς, σύμφωνα με το Θεώρημα 9..8 (ii), η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι R, και εειδή η δυναμοσειρά συγκλίνει με διάστημα σύγκλισης (,). Για τον υολογισμό της εριοχής σύγκλισης, ακολουθώντας τα σχόλια της Παρατήρησης 9..8 (ii), εξετάζουμε τη σύγκλιση για και, με τον τρόο ου μελετήθηκε στο Παράδειγμα 9..6 (i), και τότε συμεραίνουμε ότι η δυναμοσειρά έχει εριοχή σύγκλισης (,]. iii) Πρόκειται για δυναμοσειρά κέντρου με p, για κάθε. Παρατηρούμε ότι, για κάθε, και έχουμε p p p + ( + ) lim lim lim lim p ( ) p Συνεώς, σύμφωνα με το Θεώρημα 9..7 (i), η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι R, και εειδή η δυναμοσειρά συγκλίνει με διάστημα σύγκλισης (,). Ειλέον, εειδή < R < +, σύμφωνα με την Παρατήρηση 9..8 (ii), χρειάζεται να εξετάσουμε τη σύγκλιση της δυναμοσειράς στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης, και διαιστώνουμε ότι: 7

8 για, η δοθείσα δυναμοσειρά γράφεται ( ) p, η οοία είναι εναλλάσσουσα σειρά με p >, συνεώς συγκλίνει, (βλέε, Εφαρμογή...). Για, η δοθείσα δυναμοσειρά γράφεται p, η οοία είναι αρμονική σειρά p τάξης με p >, συνεώς συγκλίνει, (βλέε, Εφαρμογή...). Εομένως, συνδυάζοντας τα αραάνω με το διάστημα σύγκλισης (,) της δυναμοσειράς, ροκύτει ότι η εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι [,]. Στον Ορισμό 9.. είδαμε ότι με τη βοήθεια μίας συγκλίνουσας δυναμοσειράς ( ) ορίζεται στην (9..5) η συνάρτηση ( + ) με f( ) ( ) f : R, R A, όου R είναι η ακτίνα και A η εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς. Στις ροτάσεις ου ακολουθούν, αρουσιάζεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής, αραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη για κάθε (, + ) του διαστήματος σύγκλισης ( R, R) R R +, δηλώνεται δηλαδή, ότι η δυναμοσειρά είναι αραγωγίσιμη (όρο-ρος-όρο) και ολοκληρώσιμη (όρο-ρος-όρο) για κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος σύγκλισής της, όως συμβαίνει και στα εερασμένα αθροίσματα. Οι αοδείξεις των ροτάσεων μορούν να αναζητηθούν σε οοιοδήοτε αό τα συγγράμματα, (βλέε, Αθανασιάδης, Γιαννακούλιας, & Γιωτόουλος, 9; Γεωργίου, Ηλιάδης, & Μεγαρίτης, ; Οικονομίδης & Καρυοφύλλης, 999; Παντελίδης, 8; Ρασσιάς, 4). Πρόταση 9... Έστω ότι η δυναμοσειρά ( ) συγκλίνει για κάθε ( R, R) R είναι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. Τότε, η συνάρτηση είναι αραγωγίσιμη για κάθε ( R, R) και η δυναμοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης R. ( ) f( ) +, και ισχύει +, όου ( ) ( ) (9..7) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Παράδειγμα 9... Να υολογισθεί: i) η αράγωγος της σειράς :! ii) η συνάρτηση f για την οοία ισχύει f( ) ( ), όου < < i) Η δυναμοσειρά συγκλίνει για κάθε, εειδή η ακτίνα σύγκλισής της είναι R +, (βλέε, Παράδειγμα 9..9 (i)). Σύμφωνα με την Πρόταση 9.., η συνάρτηση f( ),,! 8

9 είναι αραγωγίσιμη σε κάθε και αό την (9..7) ισχύει f ( ) !!! ( )! f( ).!! ( )!! (9..8) Στην εόμενη ενότητα αοδεικνύεται ότι η συνάρτηση στην (9..8) είναι η f( ) e, (βλέε, Παράδειγμα 9..). ii) Αν θεωρηθεί ότι η δοθείσα σειρά συγκλίνει στην f( ) για κάοιες τιμές του, σύμφωνα με την Πρόταση 9.. η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη και μάλιστα ισχύει: 4 6 ( ) ( ) ( ) f + + Παρατηρήστε ότι η τελευταία είναι μία γεωμετρική σειρά, αρκεί να θέσουμε στη γεωμετρική σειρά, όου το. Σύμφωνα με την Εφαρμογή 9..5, αν < < <, η σειρά συγκλίνει, με διάστημα σύγκλισης (,), και τότε το άθροισμα της δυναμοσειράς είναι f ( ). ( ) + Ολοκληρώνοντας την τελευταία σχέση έχουμε, (βλέε, Πίνακα 7..) f ( ) d t ( ) + c, c. (9..9) + Εειδή για την αρχική σειρά είναι f () αό την (9..9) ροκύτει ότι t () + c c. Εομένως, η ζητούμενη συνάρτηση, για την οοία ίσχυε f( ) ( ), όου < <, είναι η f ( ) t ( ). Πρόταση 9... Έστω ότι η δυναμοσειρά ( ) συγκλίνει για κάθε ( R, R) R είναι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. Τότε, η συνάρτηση f( ) ( ) είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ] (ή [, ] ) για κάθε ( R, R) δηλαδή, Η δυναμοσειρά ( ) +, και ισχύει + +, όου f () t dt (9..) + ( ) ( ) + f ( ) d d. (9..) ( ) ( ) ( ) ( ) έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης R με την αρχική δυναμοσειρά. 9

10 Εφαρμογή 9... Αν < <, να αοδειχθεί ότι ισχύει + l( + ) ( ). (9..) + Αόδειξη: Θεωρούμε τη γεωμετρική σειρά ( ) + +, (9..) Σύμφωνα με την Εφαρμογή 9..5, η γεωμετρική σειρά στην (9..) συγκλίνει, αν <, και τότε το άθροισμά της ροκύτει αν θέσουμε στην (9..6) όου το, άρα ( ) + +. (9..4) ( ) + Εδώ να σημειώσουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης είναι R. Σύμφωνα με την (9..) στην Πρόταση 9.., μορούμε να ολοκληρώσουμε κατά μέλη την ισότητα στην (9..4), οότε υοθέτοντας ότι > + >, έχουμε 4 + dt l t l l l( ) ( ) t Σύμφωνα με την Πρόταση 9.. η αραάνω σειρά έχει ακτίνα σύγκλισης την ίδια με την αρχική δυναμοσειρά, δηλαδή, R. Εομένως, η δυναμοσειρά στην (9..) συγκλίνει, αν < <.

11 9. Σειρά Tylor και Mcluri Στην ροηγούμενη ενότητα συμεράναμε ότι μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά αοτελεί μία συνάρτηση συνεχή, αραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο διάστημα σύγκλισης. Στην ενότητα αυτή, θα μας αασχολήσει το αντίστροφο ρόβλημα. Μία γνωστή συνάρτηση f, ου έχει αραγώγους κάθε τάξης σε ένα διάστημα Ι, μορεί να γραφεί με τη μορφή δυναμοσειράς στο ίδιο διάστημα; Έστω ότι αυτό είναι εφικτό, δηλαδή, έστω ότι υάρχει μία δυναμοσειρά κέντρου, τέτοια ώστε ( ). f( ) + ( ) + ( ) + ( ) + Αναζητούμε τους συντελεστές της αραάνω δυναμοσειράς. Είναι φανερό ότι f( ) Ειλέον, f ( ) + ( ) + ( ) + 4 4( ) + f ( ) f ( ) f ( ) + 6 ( ) + 4( ) + f ( )! f ( ) f () + 4 4( ) + f ( )!. ( ) f ( ) ( ) ( ) + ( + ) + ( ) + ( ) ( ) f ( ) f ( )! κ.ο.κ! Εομένως, ακολουθώντας την αραάνω διαδικασία συμεραίνομε ότι, αν η συνάρτηση f μορεί να γραφεί ως δυναμοσειρά f( ) ( ), τότε η σειρά έχει τη μορφή ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f( ) + f ( ) !! Ορισμός 9... Έστω f συνάρτηση, ου έχει αραγώγους κάθε τάξης σε ένα διάστημα I και ένα εσωτερικό σημείο του I. Ονομάζουμε ολυώνυμο του Tylor βαθμού της συνάρτησης f στο σημείο το ολυώνυμο ( ) f ( ) f ( ) p ( ) f( ) + f ( )( ) + ( ) + + ( ) (9..)!! Η δυναμοσειρά ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f( ) + f ( )( ) + ( ) + + ( ) + (9..)!!! ονομάζεται σειρά ή ανάτυγμα Tylor της συνάρτησης f με κέντρο ανάτυξης το σημείο. Αν, η δυναμοσειρά ( ) ( ) f () f () f () f() + f () (9..)!!! ονομάζεται σειρά ή ανάτυγμα Mcluri της συνάρτησης f με κέντρο ανάτυξης το. Παρατήρηση 9... Αν μία συνάρτηση f έχει αραγώγους κάθε τάξης σε ένα διάστημα I και ένα εσωτερικό σημείο του I, τότε άντοτε μορεί να υολογιστεί το ολυώνυμο του Tylor της f στο σημείο αό τη σχέση (9..) και

12 μάλιστα p ( ) ( ) f. Το ερώτημα είναι, οι τιμές της f για τα, ου βρίσκονται σε μία εριοχή γύρω αό το, μορούν να υολογιστούν αό το ολυώνυμο του Tylor (ή τη σειρά Tylor, αν αυτή συγκλίνει) της f στο σημείο ; Μία εικασία για την αάντηση αρουσιάζεται στο Παράδειγμα 9.., ου ακολουθεί, η δε αάντηση δίνεται στη συνέχεια στο Θεώρημα Παράδειγμα 9... Να υολογισθεί η σειρά Mcluri και τα ολυώνυμα 5 ου και ου βαθμού της συνάρτησης f( ) e. Ποιές είναι οι τιμές p (), p () 5 8 ; Τα αοτελέσματα να συγκριθούν με τις τιμές του υερβατικού αριθμού e ως ρος την ακρίβεια της ροσέγγισής του, (βλέε, Ενότητα.6, Πίνακα.). Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση f( ) e έχει αραγώγους κάθε τάξης και μάλιστα, για κάθε, έχουμε ( ) ( ) f ( ) e f () e. Εομένως, η σειρά Mcluri της συνάρτησης e, δίνεται αό την (9..), και είναι (9..4)!!!! Το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς (9..4) με κέντρο το είναι το, εειδή η ακτίνα σύγκλισης είναι R +, (βλέε, Παράδειγμα 9..9 (i)). Τα ολυώνυμα της f( ) e υολογίζονται αό την (9..) για, και είναι: το ολυώνυμο 5 ου βαθμού p5 ( ) ,!! 4! 5! 6 4 το ολυώνυμο 8 ου βαθμού p8( ) p5( ) !! 4! 5! 6! 7! 8! Εειδή το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς (9..4) είναι το, ειτρέεται να χρησιμοοιηθεί στα αραάνω ολυώνυμα, συνεώς οι ζητούμενες τιμές είναι: p 5 () , και p 8 () Η τιμή e f() , ου υολογίστηκε στην Ενότητα.6 ροσεγγίζεται αό το ολυώνυμο Mcluri 5 ου βαθμού με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων και αό το ολυώνυμο Mcluri 8 ου βαθμού με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. Παρατηρήστε ότι, η ροσέγγιση είναι «αρκετά γρήγορη» εξαιτίας του αραγοντικού ου υάρχει στον αρονομαστή του τύου των ολυωνύμων. Εφαρμογή Να αοδειχθεί ότι: i) η σειρά Mcluri της συνάρτησης f( ) si( ) έχει τη μορφή: ( ) ( ) (9..5) (+ )!! 5! 7! (+ )! ii) η σειρά Mcluri της συνάρτησης f( ) cos( ) έχει τη μορφή: ( ) 4 6 ( ) (9..6) ( )!! 4! 6! ( )! Αόδειξη: i) Είναι γνωστό ότι, η συνάρτηση f( ) si( ) έχει αραγώγους κάθε τάξης, εομένως, για μορούμε να γράψουμε:

13 si() si( ) cos( ) si( ) cos() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si( ) si( ) si( ) si() si( ) cos( ) si( ) cos() (4) (4) si( ) si( ) si( ) si() Γενικά, χρησιμοοιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής εαγωγής μορεί να αοδειχθεί ότι, για κάθε, ισχύουν και ( ) ( ) ( ) ( ) si( ) ( ) si( ) si( ) ( ) si(), ( ) ( ) ( + ) ( + ) si( ) ( ) cos( ) si( ) ( ) cos() ( ). Εομένως, οι συντελεστές των άρτιων δυνάμεων του στη σειρά Mcluri της συνάρτησης f( ) si( ) είναι ίσοι με και οι αράγωγοι των εριττών δυνάμενων είναι ίσοι με ( ). Άρα, αντικαθιστώντας τις αραάνω αραγώγους στη σχέση (9..) ροκύτει ότι η σειρά Mcluri της f( ) si( ) είναι της μορφής 5 7 ( ) + ( ) ! 5! 7! (+ )! (+ )! ii) H συνάρτηση f( ) cos( ) έχει αραγώγους κάθε τάξης, και αοδεικνύεται ότι για και για κάθε, ισχύουν: ( ) ( cos( ) ) ( ) cos( ), και ( ) Εομένως, θέτοντας στις αραάνω αραγώγους έχουμε αντίστοιχα ( ) ( cos() ) ( ) cos() ( ), και ( ) (+ ) cos( ) ( ) si( ). (+ ) cos( ) ( ) si(). Άρα, αντικαθιστώντας τις αραάνω αραγώγους στην (9..), υολογίζεται ότι η σειρά Mcluri της συνάρτησης f( ) cos( ) είναι της μορφής 4 6 ( ) ( ) ! 4! 6! ( )!. ( )! Για να ααντήσουμε στο ερώτημα της Παρατήρησης 9.., δηλαδή, αν το ολυώνυμο Tylor -οστού βαθμού της συνάρτησης f στο σημείο, p ( ), ροσεγγίζει ή δίνει ακριβώς τις τιμές f( ) χρειαζόμαστε την έννοια του υολοίου R ( ). Το υόλοιο R ( ) είναι εκείνη η συνάρτηση του, ου ορίζεται αό τη σχέση f( ) p ( ) + R ( ). Η αόλυτη τιμή R( ) f( ) p( ) λέγεται σφάλμα της ροσέγγισης της f( ) αό το p ( ). Αοδεικνύεται το εόμενο θεώρημα (βλέε, Αθανασιάδης, Γιαννακούλιας, & Γιωτόουλος, 9; Γεωργίου, Ηλιάδης, & Μεγαρίτης, ; Οικονομίδης & Καρυοφύλλης, 999; Παντελίδης, 8; Ρασσιάς, 4). Θεώρημα (Tylor) Έστω ότι η συνάρτηση f είναι + φορές αραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα I και το εσωτερικό σημείο I. Τότε, για κάθε I, ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f( ) f( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + R ( ), (9..7)!!! όου για κάοιο ξ (, ) (, ) το υόλοιο είναι της μορφής

14 ( + ) f ( ξ ) R ( ) ( ) ( + )! +, (υόλοιο Lgrge) (9..8) Για την ( + ) εσωτερικό σημείο αν και μόνο αν ισχύει ( + ) f ( ξ ) R ( ) ( )( ξ ), (υόλοιο Cuchy)! ( + ) R ( ) ( t) f () t dt! (9..9) -φορές αραγωγίσιμη συνάρτηση f, για τη σειρά Tylor της f με κέντρο ανάτυξης το I, γράφουμε f ( ) f, (9..) ( ) ( ) ( )! lim R ( ). (9..) + Παρατήρηση i) Μία γνωστή συνάρτηση f για να ανατυχθεί σε σειρά Tylor δεν αρκεί να έχει αραγώγους κάθε τάξης στην εριοχή του σημείου ανάτυξής της, και δεν αρκεί να γνωρίζουμε την εριοχή σύγκλισης της δυναμοσειράς η οοία να ταυτίζεται με το εδίο ορισμού της f, (βλέε, (9..5) στον Ορισμό 9..). Σύμφωνα με το Θεώρημα Τylor ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το άθροισμα μίας σειράς Tylor (δυναμοσειράς) να ισούται με τη συνάρτηση f είναι το υόλοιο να τείνει στο, (βλέε, Θεώρημα 9..5), ανεξάρτητα αό τον τύο του υολοίου, είτε αυτό δίνεται αό την (9..8), είτε αό την (9..9). Στη συνέχεια, στις εφαρμογές ου ακολουθούν αοδεικνύονται ότι τα υόλοια των στοιχειωδών συναρτήσεων (εκθετικής, ημιτόνου, συνημιτόνου, διωνυμικής συνάρτησης) τείνουν στο μηδέν, εομένως οι αντίστοιχες συναρτήσεις μορούν να γράφονται ισοδύναμα ως σειρές. ii) Οι ιδιότητες της συνάρτησης f καθορίζουν τον τύο του υολοίου R ( ), ου θα ειλεγεί για τον έλεγχο της (9..). Η ολοκληρωτική μορφή υολοίου, ου δίνεται αό τη (9..9), εφαρμόζεται όταν η αράγωγος ( + ) -τάξης της f ορίζεται και είναι ολοκληρώσιμη στο [, ], (βλέε, Παντελίδης, 8; Ρασσιάς, 4). Εκτός αό τους τύους υολοίου, ου δόθηκαν στο Θεώρημα 9..5, στη βιβλιογραφία δίνονται και άλλοι τύοι. Εφαρμογή Για κάθε, η συνάρτηση e ανατύσσεται σε σειρά Mcluri, η οοία δίνεται αό: e (9..)!!!! Για, ο αριθμός e είναι το άθροισμα της σειράς +! +! +! + + e! + +! +! + +! + Αόδειξη: Πράγματι, συνδυάζοντας την (9..7) με την (9..4) (βλέε, Παράδειγμα 9..) μορούμε να γράψουμε e R ( ),!!! όου το υόλοιο R ( ) δίνεται όως στην (9..8), ξ e + R ( ) +! ( ) 4

15 για κάοιο ξ μεταξύ του και του. Τότε, ξ e e R ( )!! + + ( + ) ( + ) + ξ e + R ( )!! ( + ) ( + ), αν > ή, αν <. Ειλέον, για την ακολουθία με γενικό όρο, για κάθε, έχουμε! + lim lim < Σύμφωνα με το κριτήριο σύγκλισης των ακολουθιών ροκύτει lim lim, (βλέε, όριο + +! λόγου του D'Alembert- Πρόταση.6.), εομένως, lim R ( ), + το οοίο είναι ισοδύναμο με τη σύγκλιση της σειράς Mcluri, (βλέε, Θεώρημα 9..5). Συνεώς, η e ανατύσσεται σε σειρά Mcluri και αό την (9..) μορούμε να γράψουμε e ,!!!! αοδεικνύοντας την (9..). Προφανώς, το διάστημα σύγκλισης της αραάνω δυναμοσειράς με κέντρο το είναι το, εειδή η ακτίνα σύγκλισης είναι R +, (βλέε, Παράδειγμα 9..9 (i)). Η τιμή ανήκει στο διάστημα σύγκλισης, οότε κάνοντας αντικατάσταση στη (9..) ροκύτει η έκφραση του αριθμού e αό μία σειρά. στην Πρόταση.6.6. Δείτε και συγκρίνετε με την ακολουθία ( ) b Θεώρημα Έστω ότι η συνάρτηση f έχει αραγώγους κάθε τάξης στο ανοικτό διάστημα I, εσωτερικό σημείο του I, και έστω ότι υάρχει M >, τέτοιο ώστε ( f ) ( ) M, για κάθε, και για κάθε I. Τότε, η f ανατύσσεται σε σειρά Tylor με κέντρο. Αόδειξη: Σύμφωνα με το Θεώρημα Tylor, (βλέε, Θεώρημα 9..5), η f γράφεται αό την (9..7) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f( ) f( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + R ( )!!! όου, χωρίς βλάβη της γενικότητας ως R ( ) θεωρούμε το υόλοιο Lgrge αό την (9..8), ( + ) f ( ξ ) + R ( ) ( ). ( + )! Αό την υόθεση έχουμε Η ακολουθία είναι μηδενική, εειδή ( + ) f ( ξ ) M R ( ) ( + )! ( + )! M ( + )!

16 Εομένως, + lim + <. ( + ) f ( ξ ) + M + lim R ( ) lim lim. + + ( + )! + ( + )! Άρα, lim R ( ), το οοίο εαληθεύει την (9..), ικανή και αναγκαία συνθήκη του Θεωρήματος Tylor + για τη σύγκλιση της ομώνυμης σειράς, (βλέε, Θεώρημα 9..5). Εομένως, η f ανατύσσεται σε σειρά Tylor στο σημείο. Εφαρμογή Για κάθε, οι συναρτήσεις si( ) και cos( ) ανατύσσονται σε σειρά Mcluri και οι αντίστοιχες σειρές είναι : 5 7 ( ) + si( ) ! 5! 7! ( + )! ( ) cos( )! 4! 6! ( )! Αόδειξη: Για τη συνάρτηση f( ) si( ), οι αράγωγοι κάθε τάξης εξαρτώνται αό το αν ο αριθμός είναι άρτιος ή εριττός, (βλέε, Εφαρμογή 9..4 (i)), και είναι της ακόλουθης μορφής: ( ) ( ) +, και ( ) ( f ) ( ) si( ) ( ) si( ) (+ ) ( ) f ( ) si( ) ( ) cos( ). (9..) Εειδή οι συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι φραγμένες συναρτήσεις, αό την (9..) είναι φανερό ότι, για κάθε,, υάρχει M >, τέτοιο ώστε να ισχύει ( f ) ( ) M. Συνδυάζοντας την αραάνω ανίσωση με το Θεώρημα 9..8, συμεραίνουμε ότι η συνάρτηση si( ) ανατύσσεται σε σειρά Mcluri, η μορφή της οοίας υολογίστηκε στην Εφαρμογή 9..4(i) δίνεται αό την (9..5), και είναι: 5 7 ( ) + ( ) + si( ) ! 5! 7! (+ )! (+ )! Το διάστημα σύγκλισης της σειράς Mcluri του ημιτόνου είναι το, εειδή η ακτίνα σύγκλισης είναι R +, (γιατί;). Ανάλογα, για τη συνάρτηση g ( ) cos( ), οι αράγωγοι κάθε τάξης είναι της ακόλουθης μορφής: ( ) ( ) +, και ( ) ( g ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) (+ ) ( ) g ( ) cos( ) ( ) si( ), (9..4) Εειδή οι συναρτήσεις του συνημιτόνου και του ημιτόνου είναι φραγμένες συναρτήσεις, αό την (9..4) είναι φανερό ότι, για κάθε,, υάρχει M >, τέτοιο ώστε να ισχύει ( g ) ( ) M. Εομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 9..8, συμεραίνουμε ότι η συνάρτηση cos( ) ανατύσσεται σε σειρά Mcluri, η μορφή της οοίας υολογίστηκε στην Εφαρμογή 9..4(ii), δίνεται αό την (9..6), και είναι: ( ) ( ) cos( ) ! 4! 6! ( )! ( )! 4 6 Το διάστημα σύγκλισης της σειράς Mcluri του ημιτόνου είναι το, εειδή η ακτίνα σύγκλισης είναι R +, (γιατί;). 6

17 Εφαρμογή 9... Για κάθε (,), η συνάρτηση οοία δίνεται αό: f( ) ανατύσσεται σε σειρά Mcluri, η Αόδειξη: Γράφοντας τη συνάρτηση f( ) ( ), μορούμε να υολογίσουμε τις αραγώγους κάθε τάξης και να αοδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής εαγωγής ότι, για κάθε, είναι: Εειδή για η (9..5) δίνει f ( )! ( ) ( ) αραάνω αραγώγους στην (9..) ροκύτει η σειρά Mcluri της (9..5) ( f ) ()!, για κάθε, οότε είναι φανερό ότι, αντικαθιστώντας τις f( ) η οοία είναι της μορφής Είναι γνωστό ότι, η αραάνω δυναμοσειρά είναι η γεωμετρική σειρά, η οοία συγκλίνει για κάθε (,), (βλέε, Εφαρμογή 9..5). Η συνάρτηση f( ) αό την (9..7) και την αραάνω γεωμετρική σειρά γράφεται R ( ) (9..6) + Υενθυμίζοντας ότι , το υόλοιο R ( ) αό την (9..6) γράφεται: + + R ( ) Εειδή (,) < είναι γνωστό αό την ιδιότητα της γεωμετρικής ακολουθίας ότι (βλέε, Πρόταση.6., Πίνακα.), εομένως + lim R( ) lim lim R( ), lim, το οοίο εαληθεύει την (9..) και ικανοοιεί την ροϋόθεση σύγκλισης της σειράς Mcluri, (βλέε, Θεώρημα 9..5). Άρα, η f( ) ανατύσσεται σε σειρά Mcluri και αό την (9..) μορούμε να γράψουμε

18 Εφαρμογή 9... Για κάθε (,), η διωνυμική * συνάρτηση f( ) ( + ) για κάθε {} ανατύσσεται σε σειρά Mcluri, η οοία δίνεται αό: ( ) ( )( ) ( )( ) ( + ) ( + ) ,!!! ( )( ) ( + ) όου, με και!, με!.! Αν {,,, } το ανάτυγμα είναι εερασμένο για κάθε. (9..7) Αόδειξη: Για τη διωνυμική συνάρτηση f( ) ( + ) είναι φανερό ότι f (). Θεωρώντας ότι {} οι αράγωγοι της συνάρτησης είναι : + f ( ) ( ) f () f + f ( ) ( )( ) () ( ) f + f ( ) ( )( )( ) () ( )( ) (4) 4 (4) f ( ) ( )( )( )( + ) f () ( )( )( ) Μορούμε να υολογίσουμε τις αραγώγους κάθε τάξης και να αοδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής εαγωγής ότι, για κάθε, είναι : ( ) ( ) f ( ) ( )( )( ) ( ) ( + ) (9..8) Θέτοντας στην (9..8) οι αράγωγοι κάθε τάξης είναι: ( ) ( f ) () ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( + ) Άρα, αντικαθιστώντας τις αραάνω αραγώγους στη σχέση (9..) ροκύτει ότι η σειρά Mcluri της f( ) ( + ) είναι της μορφής: ( ) ( )( ) ( )( )( ) 4 ( )( ) ( + ) !! 4!! (9..9) Χρησιμοοιώντας το Θεώρημα 9..7 (i) αοδεικνύεται ότι η ακτίνα σύγκλισης της σειράς Mcluri είναι R, συνεώς το διάστημα σύγκλισης της διωνυμικής σειράς είναι το (,). Η διωνυμική συνάρτηση f( ) ( + ) αό την (9..7) και την (9..9) γράφεται ( ) ( )( ) ( )( ) ( + ) f ( ) R ( )!!! όου, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ως R ( ) θεωρούμε το ολοκληρωτικό υόλοιο αό την (9..9), ( + ) R ( ) ( t) f () t dt!, στο οοίο αντικαθιστούμε αό την (9..8) τις αραγώγους ( + ) -τάξης και έχουμε : * Η σειρά ου ροκύτει στην (9..) ονομάζεται διωνυμικό ανάτυγμα, και η αντίστοιχη σειρά διωνυμική, ο δε συντελεστής του στη σειρά ονομάζεται διωνυμικός συντελεστής και συμβολίζεται. 8

19 R ( ) ( t) ( )( )( ) ( )( )( t) dt! + + ( )( )( ) ( + )( ) t + t dt! ( ) ( ) (9..) ( )( )( ) ( + )( ) t ( t) dt! + + t t Παρατηρήστε ότι, η συνάρτηση ht (), για κάθε t [, ], είναι γνήσια φθίνουσα, εομένως το σύνολο + t τιμών της συνάρτησης h είναι [, ], (βλέε, Κεφάλαιο 6). Συνδυάζοντας το σύνολο τιμών της h με την (9..) μορούμε να γράψουμε: ( )( ) ( + )( ) R ( ) ( h( t) ) ( + t) dt! ( )( ) ( + )( ) ht + t dt ht! ( )( ) ( + )( ) ( + t) dt! ( )( ) ( + )( ) ( + t)! ( ) ( ) (εειδή ( ) ) ( )( ) ( + )( ) ( + )! Ειλέον, για την ακολουθία με γενικό όρο ( )( ) ( + )( ), για κάθε <,! έχουμε + lim lim lim <, και αό το γνωστό κριτήριο σύγκλισης των ακολουθιών ροκύτει lim, (βλέε, όριο λόγου του D'Alembert- Πρόταση.6.). Εομένως, ( ) + lim R ( ) lim ( + ) ( + ) lim lim R ( ), το οοίο εαληθεύει την (9..) και ικανοοιεί την ροϋόθεση σύγκλισης της σειράς Mcluri, (βλέε, Θεώρημα 9..5). Άρα, η f( ) ( + ) ανατύσσεται σε σειρά Mcluri και αό την (9..) μορούμε να γράψουμε ( ) ( )( ) ( )( ) ( + ) ( + ) !!! το οοίο εαληθεύει την (9..7), ολοκληρώνοντας την αόδειξη. Τέλος, να σημειώσουμε ότι, αν {,,, }, τότε η σειρά έχει εερασμένο λήθος όρων. Παρατηρήστε ότι όλοι οι αράγωγοι ( + ) -τάξης είναι ίσοι με μηδέν, συνεώς, μηδενίζονται οι συντελεστές των δυνάμεων του με +. Άρα, η σειρά είναι το εερασμένο άθροισμα των -όρων με αυξημένο κατά τη μονάδα, σύμφωνα με τον τύο στην (9..7). Παρατήρηση: Στην αόδειξη θα μορούσε να χρησιμοοιηθεί και ο τύος στην (9..8) με το υόλοιο Lgrge, (αφήνεται ως άσκηση). 9

20 Παραδείγματα 9... Να ανατυχθούν σε σειρές Mcluri οι ακόλουθες διωνυμικές συναρτήσεις και να δοθεί το διάστημα σύγκλισής τους: 8 i) f( ) + ii) g ( ) ( + ) iii) h ( ) iv) k ( ) + ( + ) i) Εειδή μορούμε να γράψουμε f( ) + ( + ) είναι φανερό ότι ρόκειται για διωνυμική συνάρτηση με. Για κάθε, οι συντελεστές των δυνάμεων του στην (9..9) είναι ( )( ) ( + ) ( )( )( 5) ( )!! οότε αντικαθιστώντας στην (9..7) ροκύτει η μορφή της σειράς Mcluri της f, ου είναι : ( )( )( 5) ( ) ( )( )( 5) ( ) !! Εειδή για κάθε {} η διωνυμική σειρά Mcluri συγκλίνει για κάθε (,), το διάστημα σύγκλισης της αραάνω σειράς Mcluri είναι (,), (βλέε, Εφαρμογή 9..). 8 ii) Εειδή μορούμε να γράψουμε g ( ) ( + ) είναι φανερό ότι ρόκειται για διωνυμική συνάρτηση με 8. Σύμφωνα με την Εφαρμογή 9.., εειδή είναι φυσικός αριθμός, η σειρά έχει εερασμένο λήθος μη μηδενικών όρων, οι συντελεστές των με 9 είναι ίσοι με μηδέν. Συνεώς, χρησιμοοιώντας 8, οι μη μηδενικοί συντελεστές των δυνάμεων του δίνονται αό την (9..9) και είναι ( )( ) ( + ) 8 7 (9 ).!! Αντικαθιστώντας στην (9..7) ροκύτει η μορφή του αθροίσματος της g, ου είναι : ( + ) !! 6! 7! 8! !!! Το αραάνω άθροισμα είναι ένα ολυώνυμο 8 ου βαθμού (με ραγματικούς συμμετρικούς συντελεστές) και ροφανώς, για κάθε ραγματικό αριθμό το αοτέλεσμα είναι η τιμή του ολυωνύμου. Το αοτέλεσμα είναι αναμενόμενο, εειδή για {,,, } η διωνυμική σειρά Mcluri συγκλίνει για κάθε, (βλέε, Εφαρμογή 9..). iii) Εειδή μορούμε να γράψουμε h ( ) ( + ) είναι φανερό ότι ρόκειται για διωνυμική + συνάρτηση με. Για κάθε, οι συντελεστές των δυνάμεων του στην (9..9) είναι ( )( ) ( + ) ( )( 4)( 7) ( ) ( ) 4 7 ( )!!! οότε αντικαθιστώντας στην (9..7) ροκύτει η μορφή της σειράς Mcluri της h, ου είναι : 4 47 ( ) 47 ( ) ( ) 47 ( ) !!!! Εειδή για κάθε {} η διωνυμική σειρά Mcluri συγκλίνει για κάθε (,), το διάστημα σύγκλισης της αραάνω σειράς Mcluri είναι (,). iv) Εειδή μορούμε να γράψουμε k ( ) ( + ) ( + ) είναι φανερό ότι ρόκειται για διωνυμική συνάρτηση με. Για κάθε, οι συντελεστές των δυνάμεων του στην (9..9)είναι ( )( ) ( + ) ( )( 4)( 5) ( ) ( ) 4 5 ( + )!!!

21 οότε αντικαθιστώντας στην (9..7) ροκύτει η μορφή της σειράς Mcluri της k, ου είναι : 4 45 () 45 ( + ) ( + )!!! (9..) () 45 ( + ) +! Εειδή για κάθε {} η διωνυμική σειρά Mcluri συγκλίνει για κάθε (,), το διάστημα σύγκλισης της αραάνω σειράς Mcluri είναι (,). Παρατήρηση 9... i) Οι ράξεις της ρόσθεσης, της αφαίρεσης, του ολλαλασιασμού εί μία σταθερά, ή με δυνάμεις του έχουν νόημα στις σειρές Tylor, αρκεί η νέα σειρά Tylor να είναι ορισμένη στην τομή των διαστημάτων σύγκλισης των αρχικών σειρών. Για αράδειγμα, η σειρά Mcluri της συνάρτησης si( ) + cos( ) ροκύτει αό τους τύους στην Εφαρμογή 9..9, ορίζεται στο και είναι: ( ) + ( ) si( ) + cos( ) + (+ )! ( )! ii) Oι σειρές Tylor σύνθετων συναρτήσεων μορούν να ροκύψουν με αντικατάσταση του μίας γνωστής σειράς αό τη σύνθετη συνάρτηση. Για αράδειγμα, αντικαθιστώντας στην (9..5) το με, ροκύτει η σειρά Mcluri της συνάρτησης si( ), ου είναι ( ) ( ) si( ) ( ) (+ )! (+ )! και συγκλίνει για κάθε, (βλέε, Εφαρμογή 9..9) , iii) Οι σειρές Tylor βρίσκουν εφαρμογές σε ολλά ροβλήματα υολογισμού του λογισμού των συναρτήσεων μίας ραγματικής μεταβλητής, όως είναι όρια συναρτήσεων αροσδιόριστης μορφής, υολογισμός ολοκληρωμάτων στα οοία δεν εφαρμόζονται οι μέθοδοι ολοκλήρωσης ου ανατύχθηκαν στο Κεφάλαιο 7, λύση συνήθων διαφορικών εξισώσεων με σειρές, ή και στους αριθμητικούς υολογισμούς τριγωνομετρικών αριθμών, κ.α. (βλέε, Παραδείγματα 9..4, 9..5) Παραδείγματα Να ανατυχθούν σε σειρές Mcluri, οι ακόλουθες συναρτήσεις, και να δοθεί η εριοχή σύγκλισής τους: Στη συνέχεια, χρησιμοοιήστε κατάλληλη τιμή για την ανεξάρτητη μεταβλητή, για να βρείτε μία ολύ καλή εκτίμηση για το άθροισμα της σειράς, ου αρουσιάζεται e + e i) f( ) cosh( ). Αοδείξτε ότι ( )!! 4! 6!! ii) iii) ( ) ( ) ( ) g ( ) t ( ). Αοδείξτε ότι ( + )( + ) 8 p ( ). Αοδείξτε ότι ( ) 4 7 i) Σύμφωνα με τον Ορισμό.6.5 του υερβολικού συνημιτόνου η συνάρτηση f( ) cosh( ) γράφεται: e + e cosh( ), εομένως είναι το ημι-άθροισμα δύο σύνθετων εκθετικών συναρτήσεων. Χρησιμοοιώντας την Παρατήρηση 9.. (ii), αντικαθιστώντας στην (9..) το με μορούμε να άρουμε τη μορφή της σειράς Mcluri της εκθετικής συνάρτησης e, ου είναι : e (9..)!! 4!!!

22 Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στην (9..) το με, να άρουμε: ( ) ( ) e + ( ) (9..)!! 4!!! Εομένως, ροσθέτοντας τις (9..), (9..) κατά μέλη έχουμε cosh( ) ( e + e ) + + +! 4! (9..4) ! 4! 4!!!! ( ) ( ) ( ) Εειδή η εκθετική συνάρτηση έχει σειρά Mcluri, ου συγκλίνει για κάθε (βλέε, Εφαρμογή 9..7), η σειρά Mcluri του υερβολικού συνημιτόνου συγκλίνει σε όλο το, (βλέε, Παρατήρηση 9.. (i)). Εομένως, μορούμε να θέσουμε στην (9..4), οότε ροκύτει μία εκτίμηση για το άθροισμα της σειράς, ου είναι: e + e ( )!! 4! 6!! ii) Χρησιμοοιώντας τη σειρά Mcluri της με στην (9..6), ροκύτει: ( ) f( ) (βλέε, Εφαρμογή 9..) και αντικαθιστώντας το g ( ) ( ) ( ) ( ) Ειλέον, σύμφωνα με την Εφαρμογή 9..5, η σειρά συγκλίνει αν (9..5) + < < <, η σειρά στην (9..5) συγκλίνει, με διάστημα σύγκλισης (,). Εύκολα μορούμε να διαιστώσουμε ότι, η σειρά στην (9..5) ταλαντεύεται στα άκρα του διαστήματος (,), εειδή για ± είναι ( ). Συνεώς, το διάστημα σύγκλησης είναι το (,). Σύμφωνα με την Πρόταση 9.., η σειρά στην (9..5) είναι ολοκληρώσιμη και χρησιμοοιώντας την (9..) ολοκληρώνουμε όρο ρος όρο, ως ακολούθως: Ειλέον ισχύει + Άρα, η (9..6) γράφεται ( ) g( ) d d ( ) d ( ) (9..6) d t ( ) + c, c. Στην τελευταία ισότητα, αν θέσουμε, τότε Τέλος, η δυναμοσειρά ( ) ( ) g του διαστήματος (,). k ( ) ( ) ( ) + t ( ) + c. (9..7) + t () c c +. Εομένως, η (9..7) γράφεται: ( ) + t ( ) (9..8) + + συγκλίνει για κάθε (,) +, όως και η αρχική δυναμοσειρά, (βλέε, Πρόταση 9..). Ως γνωστός, χρειάζεται να εξετάσουμε τη σύγκλιση στα άκρα ( ) Παρατηρήστε ότι, για η σειρά k(), και για είναι + εναλλάσσουσες σειρές με γενικό όρο + k( ) ( ). Πρόκειται για +, για κάθε. Προφανώς, η ακολουθία ( ) είναι

23 θετικών όρων, είναι φθίνουσα και μηδενική. Εομένως, ισχύει το κριτήριο Leibiz, άρα οι σειρές k (), k( ) συγκλίνουν. Συνεώς, η εριοχή σύγκλισης της σειράς Mcluri στην (9..8) είναι [,]. Έτσι αοδείχθηκε και ο τύος (7) στον Πίνακα 9.. Θέτοντας [,] στην (9..8), οότε ροκύτει μία εκτίμηση για το άθροισμα της σειράς, ου είναι: ( ) ( ) t () Σχόλιο: Παρατηρήστε ότι, αν και ρόκειται για την ίδια σειρά και την ίδια συνάρτηση με αυτήν του Παραδείγματος 9.. (ii), το διάστημα σύγκλισης είναι διαφορετικό στις δύο εριτώσεις. Μορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό; iii) Η δοθείσα συνάρτηση γράφεται ως γινόμενο συναρτήσεων: p ( ) και ο δεύτερος ( ) ( ) αράγοντας θυμίζει τη διωνυμική συνάρτηση με, η διαφορά των δύο συναρτήσεων είναι το ρόσημο της ανεξάρτητης μεταβλητής. Χρησιμοοιώντας το Παράδειγμα 9.. (iv), αντικαθιστώντας στην (9..) το με ροκύτει η σειρά Mcluri της, ου είναι: ( ) ( ) 4 ( + ) ( ) 4 ( + ) 4 ( + ) + ( ) ( ) + + ( )!!! Στη συνέχεια ολλαλασιάζουμε τα δύο μέλη της τελευταίας σειράς εί 4 ( + ) 4 ( + ) και έχουμε: + + ( )!! 4 ( + ) + +! 4 ( + ) + 4 ( + )( + ) + + ( + )( + )! Άρα, + p ( ) ( )( ) + + (9..9) ( ) Εειδή για κάθε {} η διωνυμική σειρά Mcluri συγκλίνει για κάθε (,), (βλέε, Εφαρμογή 9..), το διάστημα σύγκλισης της σειράς Mcluri στην (9..9) είναι (,). Εομένως, μορούμε να θέσουμε σειράς, ου είναι: στην (9..9), οότε ροκύτει μία εκτίμηση για το άθροισμα της 4 ( + )( + ) Παραδείγματα Χρησιμοοιήστε κατάλληλη σειρά Mcluri αό τον Πίνακα 9., για να κάνετε τους εόμενους υολογισμούς: si( ) t ( ) i) lim ii) g( ) e dt 4 iii) i) Παρατηρήστε, με αλή αντικατάσταση, ότι το όριο είναι αροσδιόριστη μορφή. Χωρίς να εφαρμοστεί η μεθοδολογία του Κεφαλαίου 6, (κανόνα Hospitl), μορεί να γίνει άρση της αροσδιοριστίας, To 67, η εναλλάσσουσα σειρά χρησιμοοιήθηκε αό τον Jmes Gregory (68-675), για να υολογίσει μία ροσέγγιση του αριθμού.

24 χρησιμοοιώντας τη σειρά Mcluri της f( ) si( ). Χρησιμοοιώντας την Παρατήρηση 9.. (ii), αντικαθιστώντας στην (9..5) το με ροκύτει η σειρά Mcluri της si( ), ου είναι ( ) ( ) + si( ) (+ )!! 5! 7! (+ )! Εομένως, το όριο γράφεται: ( ) si( )! 5! 7! ( + )! lim lim ( ) ! 5! 7! ( + )! lim ( ) ! 5! 7! ( + ) lim! ( ) 9 lim ! 45! 47! 4( + )! 8 ii) Χρησιμοοιώντας την Παρατήρηση 9.. (ii), αντικαθιστώντας στην (9..) το με t ροκύτει η μορφή της σειράς Mcluri της εκθετικής συνάρτησης e, ου είναι : t 4 6 ( ) ( ) ht () e t + t t + + t + t (9..)!!!! Εειδή η εκθετική συνάρτηση έχει σειρά Mcluri, ου συγκλίνει για κάθε (βλέε, Εφαρμογή 9..7), η σειρά Mcluri στην (9..) συγκλίνει σε όλο το, (βλέε, Παρατήρηση 9.. (i)). ( ) Ειλέον, εειδή η δυναμοσειρά ht () συγκλίνει, σύμφωνα με την Πρόταση 9.. η ht () t είναι! ολοκληρώσιμη και μάλιστα χρησιμοοιώντας την (9..) μορούμε να ολοκληρώσουμε όρο ρος όρο τη δυναμοσειρά και να γράψουμε ( ) t 4 6 ( ) g( ) e dt t dt t t t t dt !!!! Τέλος, η δυναμοσειρά 5 7 t t t t + + 5! 7! ( ) + + 5! 7! (+ )! g ( ) ( ) t + συγκλίνει για κάθε, όως και η αρχική δυναμοσειρά (+ )! ( ) ht () t, (βλέε, Πρόταση 9..).! iii) Παρατηρήστε αό τον γενικό όρο της σειράς ου δίνεται ότι, ο αρονομαστής δεν έχει αραγοντικό και είναι ολλαλάσιο του, (όχι μόνο το εριττό ολλαλάσιό του), και με αυτά ως κριτήρια αναζητήστε τον τύο της κατάλληλης σειράς Mcluri. Η μόνη σειρά, ου ληροί τις αραάνω ροϋοθέσεις, είναι η σειρά ου ροκύτει αό τη λογαριθμική συνάρτηση, l( + ). Συνεώς, η δοθείσα σειρά ρέει να ροσαρμοστεί κατάλληλα, ώστε να έχει τη μορφή της σειράς στο () του Πίνακα 9.. Πράγματι, μορούμε να γράψουμε ( ) ( ) ( ) , + 4

25 αό όου συμεραίνουμε ότι ρόκειται για τη λογαριθμική συνάρτηση l( + ), με. Εειδή η συγκεκριμένη σειρά έχει εριοχή σύγκλισης (,), (βλέε, Εφαρμογή 9..), και (,), είναι φανερό ότι + ( ) 5 l + l.58 + Οι σημαντικότερες σειρές Mcluri των συναρτήσεων, ου αοδείχθηκαν στις εφαρμογές της αρούσας ενότητας και η εριοχή σύγκλισης κάθε σειράς αρουσιάζονται στον ίνακα ου ακολουθεί. Πίνακας 9.: Ανατύγματα Mcluri στοιχειωδών συναρτήσεων. e f( ) Mcluri Περιοχή σύγκλισης. l( + ). sih( ) 4. cosh( ) 5. si( ) 6. cos( ) !!!! ( ) + 4 ( ) < (+ )!! 5! 7! (+ )! ( )!! 4! 6! ( )! ( ) ( ) (+ )!! 5! 7! (+ )! ( ) 4 6 ( ) ( )!! 4! 6! ( )! ( ) ( ) t ( ) ( ) {} < ( ) ( + ) +! ( ) ( )( ) ( )( )( )!! 4! ( )( ) ( + ) + + +! <. ( ) ( ) ( + ) ( ) !! ( )( ) ( )( )( ) + +! 4!

26 9. Σειρές Fourier Στην ροηγούμενη ενότητα διατυώθηκαν οι ροϋοθέσεις ώστε μία συνάρτηση f, ου έχει αραγώγους κάθε τάξης, να μορεί να ανατυχθεί σε δυναμοσειρά κέντρου, δηλαδή, διατυώθηκαν οι συνθήκες και υολογίστηκαν οι συντελεστές της δυναμοσειράς ώστε το ανάτυγμα να συγκλίνει στη ίδια τη συνάρτηση f, δηλαδή, να ισχύει f( ) ( ) για όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής σε μια εριοχή ου εριέχει το. Στην ενότητα αυτή, θα μας αασχολήσει ένα αρόμοιο ρόβλημα: θα μελετήσουμε τις ροϋοθέσεις, ώστε μία γνωστή συνάρτηση f, να μορεί να γραφεί ως σειρά των συναρτήσεων μίας ταλάντωσης, δηλαδή, να αναλυθεί σε σειρά με όρους τις εριοδικές συναρτήσεις του ημιτόνου και συνημιτόνου, αυτές οι σειρές ονομάζονται σειρές Fourier. Η ανάγκη ροέκυψε αό την είλυση της εξίσωσης της θερμότητας, η οοία είναι μία μερική διαφορική εξίσωση. Πριν αό το έργο του Fourier, καμία γενική λύση της εξίσωσης της θερμότητας δεν ήταν γνωστή. Γνωστές ήταν μόνο οι μερικές λύσεις της, οι οοίες ονομάζονται ιδιοσυναρτήσεις, και αυτές μόνο για την ερίτωση ου η ηγή θερμότητας εριγραφόταν ως ένα αλό ημιτονικό ή συνημιτονικό κύμα. Το βασικό ρόβλημα είναι να βρεθεί, κατά μήκος μίας λετής ράβδου, το ώς μεταβάλλεται με το χρόνο η θερμοκρασία με βάση το ρότυο της αρχικής θερμοκρασίας. Ο Fourier ** θεώρησε ότι η θερμοκρασία μεταβάλλεται ως ημιτονοειδές κύμα κατά μήκος της ράβδου, ανααράστησε το (σύνθετο) ρότυο με ένα γραμμικό συνδυασμό ημιτονικών και συνημιτονικών καμυλών με διαφορετικά μήκη κύματος, έλυσε την εξίσωση για κάθε συνιστώσα, ημιτονική /συνημιτονική καμύλη (αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση), και έγραψε τη λύση ως γραμμικό συνδυασμό όλων των ιδιοσυναρτήσεων. Ο Fourier υοστήριξε ότι η μέθοδος αυτή ίσχυε για οοιοδήοτε ρότυο, ακόμη και για εκείνα στα οοία η θερμοκρασία αλλάζει αότομα τιμή. Το άειρο άθροισμα των συνιστωσών των ημιτονοειδών και συνημιτονικών καμυλών είναι η σειρά Fourier ή ανάτυγμα Fourier. Οι σειρές Fourier είναι ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο της Μαθηματική Ανάλυσης, ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης,.χ. στην αάλειψη του θορύβου αό αλαιές ηχογραφήσεις, στην ψηφιακή φωτογραφία, γενικά στην ανάλυση σήματος και εικόνας, στην ανακάλυψη της δομής του DNA μέσω της αεικόνισης με ακτίνες Χ, στη βελτίωση της λήψης των ραδιοηλεκτρικών σημάτων και στην αοφυγή ανειθύμητων κραδασμών στα αυτοκίνητα, στις χρονολογικές σειρές στη στατιστική, στην οικονομετρία, στη μηχανική κλ. Όως αρουσιάστηκε αραάνω, η σειρά Fourier είναι ένα τριγωνομετρικό ολυώνυμο των συναρτήσεων si( ) και cos( ),, μέσω του οοίου ροσεγγίζουμε τις τιμές μίας εριοδικής συνάρτησης f, καθώς. Για να ροσδιορισθεί η σειρά Fourier αρκεί να υολογισθούν οι όροισυντελεστές του αντίστοιχου τριγωνομετρικού ολυωνύμου, το οοίο μελετούμε στη συνέχεια. ** Το 87, ο Je-Bptiste Joseph Fourier εινόησε μία εξίσωση θερμότητας και υέβαλε ένα άρθρο στη Γαλλική Ακαδημία Ειστημών, όμως αυτό αερρίφθη. Το 8 η Ακαδημία όρισε τη θερμότητα ως θέμα για το ετήσιο βραβείο της. Ο Fourier υέβαλε εκ νέου ένα αναθεωρημένο άρθρο και κέρδισε το βραβείο. Το άρθρο του Fourier εικρίθηκε ότι δεν ήταν αρκετά τεκμηριωμένο και η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε να το δημοσιεύσει. Το 8 ο Fourier αγνόησε τις αντιρρήσεις και δημοσίευσε τη θεωρία του ως βιβλίο. Ωστόσο οι εικριτές είχαν ένα δίκιο. Οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να συνειδητοοιούν ότι οι άειρες σειρές ήταν «εικίνδυνα όντα»: δεν συμεριφέρονταν άντα «καλά, όως τα εερασμένα αθροίσματα». Η είλυση των ζητημάτων ου τέθηκαν αοδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη, και η ιδέα του Fourier τεκμηριώθηκε λήρως. Το αοτέλεσμα είναι η σειρά Fourier, μία εξίσωση η οοία αντιμετωίζει ένα μεταβαλλόμενο με τον χρόνο σήμα ως το άθροισμα μίας σειράς με συνιστώσες, ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς καμύλες, υολογίζοντας τα λάτη και τις συχνότητές τους. 6

27 Ορισμός 9... Ένα τριγωνομετρικό ολυώνυμο k βαθμού έχει τη μορφή k ( ), ϕ ( ) cos( ) + b si( ) k όου, b, και. Ο ελάχιστος αριθμός T για τον οοίο ισχύει si ( T ) si( ) ( + ) ή ( ) cos ( + T ) cos( ) ονομάζεται ερίοδος των αντίστοιχων συναρτήσεων si( ), cos( ),, και ισούται με T. Τριγωνομετρική σειρά ονομάζεται το αραάνω τριγωνομετρικό ολυώνυμο ϕ k ( ), όταν k +, και έχει τη μορφή ( cos( ) + bsi( ) ) + ( cos( ) + bsi( ) ) (9..) όου,, b, είναι σταθεροί ραγματικοί αριθμοί και. Τα ερωτήματα ου εύλογα τίθενται είναι: (α) ώς υολογίζονται οι συντελεστές,, b της τριγωνομετρικής σειράς στην (9..); (β) η τριγωνομετρική σειρά στον Ορισμό 9.. συγκλίνει; Σε ερίτωση θετικής αάντησης για οιες τιμές του και οιο είναι το άθροισμά της; Η αάντηση στο ρώτο ερώτημα θα δοθεί στη συνέχεια της ενότητας, χρησιμοοιώντας μία συνάρτηση ου «ροσεγγίζει» τη σειρά για κατάλληλες τιμές του. Η αάντηση στο δεύτερο ερώτημα σχετίζεται με τη σύγκλιση ή αόκλιση της σειράς των συντελεστών, b. Συγκεκριμένα, αοδεικνύεται ότι, αν η σειρά ( + b ) συγκλίνει, τότε η σειρά στην (9..) συγκλίνει αόλυτα σε μία συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής και εριοδική με ερίοδο, (βλέε, Παντελίδης, (999), Πρόταση.). Η ροηγούμενη ρόταση αναφέρεται σε σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς σε μία συνάρτηση, εφόσον έχει εξασφαλιστεί η αόλυτη σύγκλιση της σειράς των συντελεστών, οότε ας ροσαθήσουμε να ξεκινήσουμε τη μελέτη της ενότητας με τον υολογισμό των συντελεστών,, b της τριγωνομετρικής σειράς στην (9..). Αν υοθέσουμε ότι γνωρίζουμε μία συνάρτηση f, ορισμένη στο διάστημα [, ], η οοία ροσεγγίζει την τριγωνομετρική σειρά στην (9..), δηλαδή γνωρίζουμε τη συνάρτηση όου συγκλίνει η τριγωνομετρική σειρά, έστω ( ), [, ] f ( ) cos( ) + b si( ), (9..) αναρωτιόμαστε αν υάρχει κάοια σχέση, ου συνδέει τους συντελεστές,, b με τη συνάρτηση f. Γράφουμε την (9..) με τη μορφή f ( ) + ( cos( ) + bsi( ) ), την ολοκληρώνουμε κατά μέλη στο διάστημα [, ], θεωρώντας ότι ειτρέεται να ολοκληρώσουμε όρο-ρος-όρο την τριγωνομετρική σειρά, και ροκύτει f ( ) d. (9..) Σύμφωνα με την Ενότητα 7.5, όταν m,, με m, τα ολοκληρώματα γινομένου των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημιτόνου και συνημιτόνου (βλέε, ερίτωση ΙΙ, Ενότητα 7.5) δίνουν si( ) cos( m) d cos( ) cos( m) d si( ) si( m) d, (9..4) και όταν m τα ολοκληρώματα των δυνάμεων του ημιτόνου και συνημιτόνου (βλέε, ερίτωση Ι (β), Ενότητα 7.5), δίνουν 7

28 si ( ) d cos ( ) d. (9..5) Αν ολλαλασιάσουμε τα δύο μέλη της (9..) με cos( m ), στη συνέχεια ολοκληρώσουμε κατά μέλη, και χρησιμοοιήσουμε τα ολοκληρώματα αό τις (9..)-(9..4) ροκύτει f ( ) cos( m) d cos( m) cos( m) d + b cos( m) si( m) d m m m Εομένως, f ( ) cos( ) d,. (9..6) Αν ολλαλασιάσουμε τα δύο μέλη της (9..) με si( m ), στη συνέχεια ολοκληρώσουμε κατά μέλη, και χρησιμοοιήσουμε τα ολοκληρώματα αό τις (9..)-(9..4) ροκύτει Εομένως, f ( ) si( m) d si( m) cos( m) d + b si( m) si( m) d b m m m b f ( ) si( ) d,. (9..7) Αό την αραάνω διαδικασία συμεραίνεται ότι οι συντελεστές,, b,, της τριγωνομετρικής σειράς στην (9..) σχετίζονται με τη συνάρτηση f, οότε μορούμε να διακρίνουμε μία κατηγορία τριγωνομετρικών σειρών, όως αυτή ορίζεται στη συνέχεια. Ορισμός 9... Έστω μία συνάρτηση f ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ]. Σειρά Fourier ή ανάτυγμα Fourier της συνάρτησης f ονομάζεται η τριγωνομετρική σειρά της (9..) ( cos( ) si( )), + + b όου οι συντελεστές,, b υολογίζονται αό τις σχέσεις (9..), (9..6) και (9..7), και σημειώνεται με ( ). (9..8) f ( ) + cos( ) + b si( ) Στην (9..8) χρησιμοοιούμε το συμβολισμό εειδή η f θεωρήθηκε ως μία ροσέγγιση της σειράς Fourier του δεξιού μέλους, η ίδια η σειρά μορεί να μην συγκλίνει ή και αν συγκλίνει να μη συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης f. Παράδειγμα 9... Να υολογισθεί η σειρά Fourier της συνάρτησης f( ) e, [, ] και να δοθεί η γραφική αράσταση της f και των τριγωνομετρικών ολυωνύμων ου, ου, ου και 4 ου βαθμού, ου ροκύτουν αό τη σειρά Fourier, κρατώντας τους αντίστοιχους ρώτους όρους της και αραλείοντας τους υόλοιους. Η σειρά Fourier ααιτεί τον υολογισμό: του συντελεστή αό την (9..), ου είναι ίσος με: e e ( e d e e ), των συντελεστών,, αό την (9..6), οι οοίοι υολογίζονται με ολοκλήρωση κατά αράγοντες, (βλέε, Ενότητα 7., Παραδείγματα 7.. (iii)) και είναι ίσοι με: 8

29 e cos( ) d e (cos( ) si( )) + ( + ) ( e ( cos( ) + si( ) ) e ( cos() + si() )) + ( ) ( e ( cos( ) + ) ( + ) ) ( e ), ( + ) ( + ) και των συντελεστών b,, αό την (9..7), οι οοίοι υολογίζονται με ολοκλήρωση κατά αράγοντες, (βλέε, Παραδείγματα 7.. (iii)) και είναι ίσοι με: b e si( ) d e (si( ) cos( )) ( + ) ( e ( si( ) cos( ) ) e ( si() cos() )) + ( ) ( e ( cos( ) ) ( ) ) ( e ). ( + ) ( + ) Άρα, αντικαθιστώντας τους συντελεστές,, b, η σειρά Fourier για τη συνάρτηση f( ) e είναι ( ) f ( ) + cos( ) + b si( ) e ( e ) ( e ) + cos( ) + si( ) ( + ) ( + ) e στο [, ] (9..9) Στο Σχήμα 9. ανααριστάνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f( ) με μλε χρώμα και συνεχή γραμμή, το τριγωνομετρικό ολυώνυμο ου βαθμού, ( e ) ( e ) ϕ( ) + cos( ) + bsi( ) ( e ) + cos( ) + si( ), σχεδιάζεται με μαύρο χρώμα και συνεχή γραμμή, το οοίο έχει ροκύψει αό τη σειρά Fourier στην (9..9), κρατώντας μόνο τον ρώτο όρο της σειράς και αραλείοντας όλους τους άλλους. Το τριγωνομετρικό ολυώνυμο ου βαθμού, ϕ ( ) + cos( ) + b si( ) + cos( ) + b si( ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) + cos( ) + si( ) + cos( ) + si( ), 5 5 σχεδιάζεται με ανοικτό μωβ χρώμα και διακεκομμένη γραμμή (dot), το οοίο έχει ροκύψει αό τη σειρά Fourier, κρατώντας τους δύο ρώτους όρους της σειράς στην (9..9) και αραλείοντας τους υόλοιους. Το τριγωνομετρικό ολυώνυμο ου βαθμού, ϕ ( ) + cos( ) + b si( ) + cos( ) + b si( ) + cos( ) + b si( ) ( ) ( ) e e ϕ( ) + cos( ) + si( ) σχεδιάζεται με ράσινο χρώμα και διακεκομμένη γραμμή (dsh), το οοίο έχει ροκύψει αό τη σειρά Fourier, κρατώντας τους τρεις ρώτους όρους της σειράς στην (9..9) και αραλείοντας τους υόλοιους. Τέλος, το τριγωνομετρικό ολυώνυμο 4 ου βαθμού, ϕ ( ) + cos( ) + b si( ) + cos( ) + b si( ) + cos( ) + b si( ) + cos(4 ) + b si(4 ) ( e ) 4( e ) ϕ( ) + cos(4 ) + si(4 ) 7 7 σχεδιάζεται με μωβ χρώμα και διακεκομμένη γραμμή (dsh-dot), το οοίο έχει ροκύψει αό τη σειρά Fourier, κρατώντας τους τέσσερις ρώτους όρους της σειράς στην (9..9), αραλείοντας όλους τους άλλους. 9

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον:

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0.

Απόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0. Αόδειξη Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () 0. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f( ) f( ). 1 1 1 Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. δηλαδή 1 είναι συνεχής στο 1,.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει ραγματικό μέρος φανταστικό μέρος u( x, y) xcos y και v( x, y) xsi y Αό την θεωρία γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Εξετάσεις 9 Ιουνίου 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ. Α1. Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 98. Μέτρο Μιγαδικού αριθμού- ιδιότητα)

Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ. Α1. Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 98. Μέτρο Μιγαδικού αριθμού- ιδιότητα) ΘΕΜΑ 1 ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΕΩΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ Α1 Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου Σελίδα αό ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου. Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x, αν x xχ [,] (x) =, αν x < ή < x Λύση. Εειδή η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής και μηδενίζεται έξω

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα . Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ A. Έστω f μια συνάρτηση αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό. Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση 9. Γενικά για την ηµιτονοειδή συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή χρησιµοοιείται ολύ στην Ηλεκτρολογία αλλά και σε άλλες Τεχνικές Ειστήµες. Οι λόγοι είναι οι ακόλουθοι: α Με

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Αχ, πονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα

Αχ, πονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα Αχ, ονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα F() f (t)dt! ) Μια σύντομη αναδρομή Ειμέλεια: Μάκης Χατζόουλος Όλα ξεκίνησαν στις 7 Ιουνίου 5 όταν ανακοινώθηκε η διδακτέα εξεταστέα ύλη για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι : V 0 2 3 ωt -V Η κυματομορφή είναι εριττή Η κυματομορφή, όως φαίνεται εύκολα αό το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική,

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ www.orion.edu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες... Διαφορικές εξισώσεις... Συμβολισμοί... Λύσεις... Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών... Κεφάλαιο Ταξινόμηση τν διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr Η εργασία αυτή γράφτηκε για τους µαθητές της Β Λυκείου όταν (δεκαετία 98-990) η ριγωνοµετρία δεν

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ) ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - 1/2017 ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ

Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - 1/2017 ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοριϰές Εξισώσεις (ΜΕΜ 271) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

Διαφοριϰές Εξισώσεις (ΜΕΜ 271) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019 Διαφοριϰές Εξισώσεις ΜΕΜ 71 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 19 Εστω η μη γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση ρώτης τάξης Α 1. Δείξτε ότι η διαφοριϰή εξίσωση δεν είναι αϰριβής. Λύση. Η αντίστοιχη διαφοριϰή μορφή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 18 Μαΐου 216 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 9 Ιουνίου 217 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier

Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Ορισμοί Μία συνάρτηση f(x) είναι εριοδική με ερίοδο όταν ισχύει f(x+)f(x). Η ελάχιστη δυνατή ερίοδος λέγεται και θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

f p = lim (1 a n ) < n=0

f p = lim (1 a n ) < n=0 Πανειστήμιο Κρήτης Τμήμα Μαθηματικών Συντελεστές Taylor συναρτήσεων σε χώρους Hardy Καλλιόη Παολίνα Κουτσάκη Ειβλέων Καθηγητής: Μιχαήλ Πααδημητράκης Ειτροή: Μιχαήλ Κολουντζάκης, Θεμιστοκλής Μήτσης και

Διαβάστε περισσότερα

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 & Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Θεώρημα Rolle Θεώρημα Μέσης Τιμής

3.4 Θεώρημα Rolle Θεώρημα Μέσης Τιμής .4 Θεώρημα Rolle Θεώρημα Μέσης Τιμής. Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεής στο κλειστό διάστημα [α, β], αραγωγίσιμη στο ανοιτό διάστημα (α, β) και ικανοοιεί τη σέση f(α) f(β), τότε υάρει ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Πρόβλημα Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Χειμερινό Εξάμηνο 7 Παραδοτέα 7 Πρόοδος Ι & 7 ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Δ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α. Διλά ολοκληρώματα Θεωρούμε τη συνάρτηση z f, ου είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο Τ του ειέδου O. Υοθέτουμε ότι εμβαδόν του χωρίου Τ είναι ίσο με Α. ΔΑ i Διαμερίζουμε το χωρίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χρησιμοοιώντας τα στοιχεία του αρακάτω ίνακα, να γίνει η γραφική αράσταση της μάζας (Μ), του όγκου (V) και της αραγωγής γλυκόζης (G) σαν συνάρτηση της ηλικίας (α). Για οιες αό αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (

Διαβάστε περισσότερα