Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29"

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 9 Συνθήκες μη αρνητικότητας Χαλαρές και πλεονασματικές μεταβλητές Εύρεση μιας αρχικής εφικτής λύσης Κόστη ποινών Κανονική μορφή Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία Κυρτοί συνδυασμοί Κυρτά σύνολα Λύσεις ακραίων σημείων Βασικές εφικτές λύσεις Κεφάλαιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: H ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΚΑΙ Η ΔΥΪΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX Πινακοποίηση της μεθόδου simplex Απλοποίηση της πινακοποίησης Η μέθοδος simplex Τροποποιήσεις για προγράμματα με τεχνητές μεταβλητές Η δυϊκή μέθοδος simplex Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΔΥΪΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ 68 Συμμετρικά δυϊκά Δυϊκές λύσεις Ασύμμετρα δυϊκά Ανάλυση ευαισθησίας Κεφάλαιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ 99 Αναθεωρημένη μέθοδος simplex Αλγόριθμος του Karmarkar Περίληψη της επαναληπτικής διαδικασίας του Karmarkar Μετατροπή ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού στην ειδική μορφή Karmarkar 7

4 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 6 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΟΥ Πρώτη προσέγγιση Διακλάδωση Φραγμός Υπολογιστικά ζητήματα Κεφάλαιο 7 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΟΠΗΣ 5 Ο αλγόριθμος Gomory Υπολογιστικά ζητήματα Κεφάλαιο 8 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 59 Κανονική μορφή Ο αλγόριθμος μεταφοράς Η αρχική βασική λύση Έλεγχος βελτιστότητας Βελτίωση της λύσης Εκφυλισμός Κεφάλαιο 9 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΜΟΝΤΕΛΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 75 Προβλήματα παραγωγής Προβλήματα μεταφόρτωσης Προβλήματα αντιστοίχισης Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Κεφάλαιο ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 9 Το πρόβλημα Τοπικά και ολικά βέλτιστα Συμπεράσματα από το διαφορικό λογισμό Τεχνικές σειριακής αναζήτησης Αναζήτηση διαστήματος τριών σημείων Αναζήτηση Fibonacci Αναζήτηση «χρυσής τομής» Κυρτές συναρτήσεις Κεφάλαιο ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ 5 Τοπικά και ολικά μέγιστα Διάνυσμα κλίσης και μήτρα Hess Συμπεράσματα από το διαφορικό λογισμό Η μέθοδος της μέγιστης ανόδου Μέθοδος Newton-Raphson Η μέθοδος Fletcher-Powell Αναζήτηση βάσει του πρότυπου των Hooke-Jeeves Τροποποιημένη αναζήτηση βάσει προτύπου Επιλογή αρχικής προσέγγισης Κοίλες συναρτήσεις Κεφάλαιο ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Κανονικές μορφές Πολλαπλασιαστές Lagrange Μέθοδος Newton-Raphson Συναρτήσεις ποινής Συνθήκες Kuhn-Tucker Μέθοδος των εφικτών κατευθύνσεων Κεφάλαιο 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ 3 Δίκτυα Προβλήματα ελάχιστης κάλυψης Προβλήματα συντομότερης διαδρομής Προβλήματα μέγιστης ροής Εύρεση διαδρομής θετικής ροής

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Κεφάλαιο ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ PERT/CPM 59 PERT/CPM Δόμηση του διαγράμματος δικτύου (διαγράμματος με βέλη) Υπολογισμοί για την κρίσιμη διαδρομή με τη μέθοδο CPM Υπολογισμοί για την κρίσιμη διαδρομή με τη μέθοδο PERT Αντιπαραβολή χρόνου και κόστους έργου Κεφάλαιο 5 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΑΠΟΘΗΚΗΣ 86 Απόθεμα Μοντέλα σταθερών ποσοτήτων παραγγελιών Μοντέλα σταθερών περιόδων παραγγελιών Υποδείγματα μίας περιόδου Κεφάλαιο 6 ΠΡΟΒΛΕΨΗ 38 Πρόβλεψη Μέθοδοι παλινδρόμησης Απλή γραμμική παλινδρόμηση Συντελεστές συσχέτισης και προσδιορισμού Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Ειδική περίπτωση: λογαριθμικά (εκθετικά) μοντέλα Πολλαπλή παλινδρόμηση Μέθοδοι εξομάλυνσης Μέθοδος κινητού μέσου όρου Μέθοδος σταθμισμένου κινητού μέσου όρου Εκθετική εξομάλυνση Εκθετική εξομάλυνση με τάση (εκθετική εξομάλυνση προσαρμοσμένη ως προς την τάση) Ακρίβεια πρόβλεψης Πρόβλεψη χρονοσειρών με πολλαπλασιαστικό μοντέλο Κεφάλαιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ 339 Παίγνια Στρατηγικές Ευσταθή παίγνια Ασταθή παίγνια Λύση με γραμμικό προγραμματισμό Κυριαρχία Κεφάλαιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 353 Διαδικασίες λήψης αποφάσεων Απλοϊκά κριτήρια αποφάσεων Κριτήριο a priori Κριτήριο a posteriori Δένδρα αποφάσεων Χρησιμότητα Λοταρίες Χρησιμότητες von Neumann Κεφάλαιο 9 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 37 Πολυσταδιακές διαδικασίες αποφάσεων Ένα μαθηματικό πρόγραμμα Δυναμικός προγραμματισμός Δυναμικός προγραμματισμός με ανάγωγη των μελλοντικών χρηματικών ποσών στις παρούσες άξιες Στοχαστικές πολυσταδιακές διαδικασίες αποφάσεων Πίνακες πολιτικής Κεφάλαιο ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ MARKOV 398 Διαδικασίες Markov Δυνάμεις των στοχαστικών μητρών Εργοδικές μήτρες Κανονικές μήτρες Κεφάλαιο ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ-ΘΑΝΑΤΩΝ 9 Διαδικασίες ανάπτυξης πληθυσμού Γενικευμένες μαρκοβιανές διαδικασίες γεννήσεωνθανάτων Γραμμικές μαρκοβιανές διαδικασίες γεννήσεων Γραμμικές μαρκοβιανές διαδικασίες θανάτων Γραμμικές μαρκοβιανές διαδικασίες γεννήσεων θανάτων Διαδικασίες γεννήσεων Poisson Διαδικασίες θανάτων Poisson Διαδικασίες γεννήσεωνθανάτων Poisson

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Εισαγωγή Χαρακτηριστικά ουράς αναμονής Πρότυπα αφίξεων Πρότυπα εξυπηρέτησης Χωρητικότητα συστήματος Πειθαρχία ουράς αναμονής Σημειολογία Kendall Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ M/M/ 9 Χαρακτηριστικά συστήματος Το μαρκοβιανό υπόδειγμα Λύσεις σταθερής κατάστασης Μέτρα αποτελεσματικότητας Κεφάλαιο ΑΛΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΕΙΣΟΔΟ ΤΥΠΟΥ POISSON ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΥΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Διαδικασίες που εξαρτώνται από την κατάσταση Οι μαθηματικοί τύποι του Little Ματαίωση και υπαναχώρηση Συστήματα Μ/Μ/s Συστήματα Μ/Μ//K Συστήματα Μ/Μ/s/K ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 57 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ 95

7

8 Κεφάλαιο Μη γραμμικός προγραμματισμός: Βελτιστοποίηση μίας μεταβλητής ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένα μη γραμμικό πρόβλημα μίας μεταβλητής χωρίς περιορισμούς έχει τη μορφή βελτιστοποίηση: z = f( x) () όπου f ( x ) είναι μια (μη γραμμική) συνάρτηση με μοναδική μεταβλητή τη x, και η αναζήτηση του βέλτιστου (μεγίστου ή ελαχίστου) πραγματοποιείται στο άπειρο διάστημα (, ) Αν η αναζήτηση περιορίζεται σε ένα πεπερασμένο υποδιάστημα [ a, b ], τότε το πρόβλημα γίνεται βελτιστοποίηση: z = f( x) () με περιορισμό: a x b το οποίο είναι ένα πρόγραμμα μίας μεταβλητής με περιορισμούς ΤΟΠΙΚΑ ΚΑΙ ΟΛΙΚΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ Μια αντικειμενική συνάρτηση f ( x ) έχει ένα τοπικό (local) ή σχετικό (relative) ελάχιστο (minimum) στο σημείο x αν υπάρχει ένα (μικρό) διάστημα με κέντρο το x τέτοιο ώστε f() x f( x) για κάθε x για το οποίο ορίζεται η συνάρτηση σε αυτό το διάστημα Αν f() x f( x) για κάθε x για το οποίο ορίζεται η συνάρτηση, τότε το ελάχιστο στο σημείο x είναι (εκτός από τοπικό) ολικό (global) ή απόλυτο (absolute) ελάχιστο Τα τοπικά και ολικά μέγιστα ορίζονται με παρόμοιο τρόπο, με βάση αναφοράς την αντίστροφη ανισότητα Παράδειγμα Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στην Εικόνα -, ορίζεται μόνο στο διάστημα [ a, b ] Έχει σχετικά ελάχιστα στα σημεία a, x, και x σχετικά μέγιστα στα σημεία x, x 3, και b ένα ολικό μέγιστο στο σημείο x και ολικά μέγιστα στα σημεία x και b Στο πρόγραμμα () αναζητούμε ένα ολικό βέλτιστο Tο ίδιο βέλτιστο αναζητούμε και στο πρόγραμμα (), στο βαθμό που αυτό φαίνεται να είναι το καλύτερο από τα τοπικά βέλτιστα στο διάστημα [ a, b ] Είναι πιθανόν η α- ντικειμενική συνάρτηση να παίρνει ακόμα καλύτερες τιμές εκτός του διαστήματος [ a, b ], ωστόσο αυτές δεν μας ενδιαφέρουν 9

9 ΚΕΦ ] ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 9 Εικόνα - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Θεώρημα : Αν η συνάρτηση f ( x ) είναι συνεχής στο κλειστό και φραγμένο διάστημα [ a, b ], τότε η f ( x ) έχει ολικά βέλτιστα (μέγιστο και ελάχιστο) σε αυτό το διάστημα Θεώρημα : Αν η συνάρτηση f ( x ) έχει ένα τοπικό βέλτιστο στο σημείο x και αν η f ( x ) είναι παραγωγίσιμη σε ένα μικρό διάστημα με κέντρο το x, τότε f ( x ) = Θεώρημα 3: Αν η συνάρτηση f ( x ) είναι παραγωγίσιμη δύο φορές σε ένα μικρό διάστημα με κέντρο το x, και αν f ( x ) = και f ( x ) >, τότε η f ( x ) έχει ένα τοπικό ελάχιστο στο σημείο x Αντίθετα, αν f ( x ) = και f ( x ) <, τότε η συνάρτηση f ( x ) έχει ένα τοπικό ελάχιστο στο σημείο x Από τα δύο πρώτα θεωρήματα συνεπάγεται ότι αν η συνάρτηση f ( x ) είναι συνεχής στο διάστημα [ a, b ], τότε τα τοπικά και ολικά βέλτιστα του προγράμματος () εμφανίζονται είτε σε σημεία όπου δεν ορίζεται η παράγωγος f () x, είτε σε σημεία στα οποία f ( x) = (αυτά τα σημεία γενικά ονομάζονται στάσιμα (stationary) ή κρίσιμα (critical) σημεία), είτε στα ακραία σημεία x= a και x= b (Δείτε τα Προβλήματα έως 3) Αφού το πρόγραμμα () δεν περιορίζεται σε κλειστό και φραγμένο διάστημα, δεν υπάρχουν ακραία σημεία τα οποία μπορούμε να εξετάσουμε Αντ αυτού, συγκρίνουμε τις τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στα στάσιμα σημεία και στα σημεία όπου δεν ορίζεται η παράγωγος f () x με τις οριακές τιμές της συνάρτησης f ( x ) καθώς x ± Μπορεί κανένα από τα δύο όρια να μην υπάρχει (σκεφτείτε την περίπτωση της συνάρτησης f ( x) = sinx) Αν όμως υπάρχει κάποιο από τα δύο όρια σε αυτή την περίπτωση αποδεχόμαστε το ± ως «όριο» το οποίο αποδίδει την καλύτερη τιμή της συνάρτησης f ( x ), δηλαδή τη μεγαλύτερη τιμή για ένα πρόγραμμα μεγιστοποίησης ή τη μικρότερη τιμή για ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης, τότε η συνάρτηση f ( x ) δεν έχει ολικό βέλτιστο Αν η καλύτερη τιμή εμφανίζεται σε ένα από τα πεπερασμένα σημεία, τότε αυτή η τιμή είναι το ολικό βέλτιστο (Δείτε το Πρόβλημα ) ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΙΑΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ Στην πράξη, σπάνια ο εντοπισμός βέλτιστων σημείων με το διαφορικό λογισμό είναι αποτελεσματικός: είτε δεν γνωρίζουμε την αναλυτική έκφραση της αντικειμενικής συνάρτησης, και άρα είναι αδύνατον να παραγωγίσουμε, είτε δεν μπορούμε να βρούμε τα στάσιμα σημεία με αλγεβρικό τρόπο (Δείτε το Πρόβλημα 5) Σε αυτές τις περιπτώσεις, προσεγγίζουμε τη θέση (μερικών) τοπικών βέλτιστων χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους, με ακρίβεια που ικανοποιεί μια αποδεκτή ανοχή Στις τεχνικές σειριακής αναζήτησης (sequential-search techniques) ξεκινάμε με ένα πεπερασμένο διάστημα μέσα στο οποίο θεωρούμε ότι η αντικειμενική συνάρτηση είναι μονότροπη (unimodal), το οποίο σημαίνει ότι περιέχει στο διάστημα αυτό ένα μόνο ακρότατο Δηλαδή, θεωρούμε ότι το διάστημα περιέχει ένα και μόνο ένα σημείο στο οποίο η συνάρτηση f ( x ) έχει ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο Στη συνέχεια, με αυτές τις τεχνικές, συρρικνώνουμε συστημα-

10 9 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ [ΚΕΦ τικά το διάστημα γύρω από το τοπικό βέλτιστο μέχρι να το περιορίσουμε μέσα στα αποδεκτά όρια για να επιτύχουμε αυτή τη συρρίκνωση, υπολογίζουμε την αντικειμενική συνάρτηση σε επιλεγμένα σημεία με τη σειρά και μετά χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της ύπαρξης ενός και μοναδικού ακροτάτου για να απαλείψουμε τμήματα του τρέχοντος διαστήματος Παράδειγμα Στην Εικόνα - φαίνονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στα σημεία x και x Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει ένα τοπικό ελάχιστο το οποίο είναι το μοναδικό ακρότατο του διαστήματος [ a, b ], τότε αυτό το ελάχιστο πρέπει να βρίσκεται αριστερά από το x Αυτό συμβαίνει επειδή σε αυτό το σημείο η συνάρτηση f ( x ) έχει ήδη αρχίσει να αυξάνεται και, σύμφωνα με την ιδιότητα της ύπαρξης ενός και μοναδικού ακροτάτου, πρέπει να συνεχίσει να αυξάνεται και δεξιά από αυτό Επομένως, μπορούμε να απορρίψουμε το υποδιάστημα ( x, b ] Εικόνα - Εικόνα -3 Αν υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο το οποίο είναι το μοναδικό ακρότατο του διαστήματος του διαστήματος [ a, b ], τότε αυτό πρέπει να βρίσκεται δεξιά από το x, και έτσι μπορούμε να απορρίψουμε το υποδιάστημα [ ax, ) Στις τρεις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συγκεκριμένες σειριακές αναζητήσεις ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΡΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ Διαιρούμε το διάστημα που θέλουμε να εξετάσουμε σε τέσσερα τμήματα και υπολογίζουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στα τρία εσωτερικά σημεία που ισαπέχουν μεταξύ τους Προσδιορίζουμε το εσωτερικό σημείο που δίνει την καλύτερη τιμή για την αντικειμενική συνάρτηση (σε περίπτωση ισότητας επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο) και αντικαθιστούμε το τρέχον διάστημα με το υποδιάστημα που έχει κέντρο αυτό το σημείο και αποτελείται από δύο τέταρτα του τρέχοντος διαστήματος Υπάρχουν πιθανά μοτίβα δειγματοληψίας αν ληφθούν υπόψη και οι ισότητες Ένα από αυτά φαίνεται στην Εικόνα -3 (Δείτε τα Προβλήματα -6 και 7) Η αναζήτηση διαστήματος τριών σημείων είναι η πιο αποδοτική διαδικασία αναζήτησης διαστήματος σημείων που ισαπέχουν (equally spaced) όσον αφορά την επίτευξη μιας προκαθορισμένης ανοχής με τον ελάχιστο αριθμό υπολογισμών τιμών της συνάρτησης Είναι ακόμη μία από τις σειριακές αναζητήσεις οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν εύκολα σε κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ FIBONACCI Η ακολουθία Fibonacci (Fibonacci sequence) { F n} = {,,, 3, 5, 8, 3,, 3, 55, } αποτελεί τη βάση της πιο αποδοτικής μεθόδου σειριακής αναζήτησης Κάθε αριθμός της ακολουθίας προκύπτει με την προσθήκη των δύο προηγούμενων αριθμών εξαιρέσεις αποτελούν οι δύο πρώτοι αριθμοί, οι F και F, οι οποίοι είναι και οι δύο ίσοι με Στην αναζήτηση Fibonacci ξεκινάμε με τον προσδιορισμό του μικρότερου αριθμού Fibonacci ο οποίος ικανοποιεί τη συνθήκη FNε b a, όπου ε είναι μια προκαθορισμένη ανοχή και [ a, b ] είναι το αρχικό διάστημα που μας ενδιαφέρει Ορίζουμε ε ( b a) FN Τα δύο πρώτα σημεία της αναζήτησης βρίσκονται σε απόσταση FN ε μονάδων

11 ΚΕΦ ] ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 93 από τα ακραία σημεία του διαστήματος [ a, b ], όπου FN είναι ο αριθμός Fibonacci που προηγείται του F N Κατά την αναζήτηση εξετάζουμε ένα-ένα τα διαδοχικά σημεία τα οποία βρίσκονται σε απόσταση F jε ( j= N, N 3,, ) μονάδων από το πιο πρόσφατο ακραίο σημείο του τρέχοντος διαστήματος (Δείτε το Πρόβλημα 8) Να σημειωθεί ότι η διαδικασία Fibonacci μας επιτρέπει να προκαθορίσουμε το πλήθος των υπολογισμών τιμών της συνάρτησης που απαιτούνται για να επιτευχθεί μια συγκεκριμένη ακρίβεια επίσης, ο αριθμός αυτός είναι ανεξάρτητος της εκάστοτε μονότροπης συνάρτησης ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ «ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ» Μια αναζήτηση η οποία είναι σχεδόν το ίδιο αποδοτική με την αναζήτηση Fibonacci είναι και αυτή που βασίζεται στον αριθμό ( 5 = ),68, ο οποίος είναι γνωστός ως ο λόγος της χρυσής τομής (golden mean) Τα δύο πρώτα σημεία της αναζήτησης βρίσκονται σε απόσταση (,68)( ba ) μονάδων από τα ακραία σημεία του αρχικού διαστήματος [ a, b ] Κατά την αναζήτηση εξετάζουμε ένα-ένα τα διαδοχικά σημεία τα οποία βρίσκονται σε απόσταση,68l i μονάδων από το πιο πρόσφατο ακραίο σημείο του τρέχοντος διαστήματος, όπου το L i συμβολίζει το μήκος αυτού του διαστήματος (Δείτε το Πρόβλημα 9) ΚΥΡΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Είναι σίγουρο ότι οι διαδικασίες αναζήτησης προσεγγίζουν τα ολικά βέλτιστα μέσα σε ένα διάστημα αναζήτησης μόνο όταν η αντικειμενική συνάρτηση έχει ένα μόνο ακρότατο σε αυτό το διάστημα (δηλαδή είναι μονότροπη) Στην πράξη, συνήθως δεν γνωρίζουμε αν μια συγκεκριμένη συνάρτηση έχει ένα μόνο ακρότατο σε ένα συγκεκριμένο διάστημα Όταν εφαρμόζουμε μια διαδικασία αναζήτησης σε μια τέτοια περίπτωση, δεν είναι βέβαιο ότι η διαδικασία θα αποκαλύψει το επιθυμητό ολικό βέλτιστο (Δείτε το Πρόβλημα ) Στις εξαιρέσεις ανήκουν τα προγράμματα με κυρτές ή κοίλες αντικειμενικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση f ( x ) είναι κυρτή (convex) σε ένα διάστημα G (πεπερασμένο ή άπειρο) αν για οποιαδήποτε δύο σημεία x και x του G και για κάθε α, ισχύει ότι f( αx+ ( α) x ) α f( x ) + ( α) f( x ) (3) Αν η ανισότητα της συνθήκης (3) ισχύει με αντίστροφη φορά, τότε η συνάρτηση f ( x ) είναι κοίλη (concave) Άρα, το αντίθετο μιας κυρτής συνάρτησης είναι κοίλη συνάρτηση, και το αντίστροφο Στην Εικόνα - φαίνεται η γραφική παράσταση μιας κυρτής συνάρτησης μια γεωμετρική ιδιότητα που τη χαρακτηρίζει είναι ότι η καμπύλη βρίσκεται πάνω σε ή πάνω από οποιαδήποτε από τις εφαπτόμενές της Οι κυρτές και κοίλες συναρτήσεις είναι μονότροπες συναρτήσεις (ενός ακροτάτου) Εικόνα -

12 9 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ [ΚΕΦ Θεώρημα Αν η συνάρτηση f ( x ) είναι παραγωγίσιμη δύο φορές στο διάστημα G, τότε η f ( x ) είναι κυρτή στο G αν και μόνον αν f ( x) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα G Η συνάρτηση είναι κοίλη στο G αν και μόνον αν f ( x) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα G Θεώρημα 5 Αν η συνάρτηση f ( x ) είναι κυρτή στο διάστημα G, τότε οποιοδήποτε τοπικό ελάχιστο στο G είναι ολικό ελάχιστο στο G Αν η συνάρτηση f ( x ) είναι κοίλη στο διάστημα G, τότε οποιοδήποτε τοπικό μέγιστο στο G είναι ολικό μέγιστο στο G Αν η ανισότητα της συνθήκης (3) είναι ισχυρή (ισχύει χωρίς την ισότητα) εκτός όταν α= και a=, τότε η συνάρτηση είναι αυστηρά κυρτή (strictly convex) Μια τέτοια συνάρτηση έχει μια αυστηρά θετική δεύτερη παράγωγο, ενώ οποιοδήποτε τοπικό (και επομένως ολικό) ελάχιστο είναι μοναδικό Παρόμοια συμπεράσματα ισχύουν και για τις αυστηρά κοίλες (strictly concave) συναρτήσεις Λυμένα προβλήματα Μεγιστοποιήστε τη συνάρτηση: z= x(5 π x) στο διάστημα [, ] Λύση: Εδώ η συνάρτηση f ( x) = x(5 π x) είναι συνεχής, και η πρώτη παράγωγος ισούται με f ( x) = 5π x Αφού η παράγωγος ορίζεται παντού, το ολικό μέγιστο στο διάστημα [, ] εμφανίζεται είτε στο ακραίο σημείο x= ή x=, είτε σε ένα στάσιμο σημείο, όπου f ( x) = Διαπιστώνουμε ότι το x= 5π είναι το μοναδικό στάσιμο σημείο του διαστήματος [, ] Αν υπολογίσουμε την αντικειμενική συνάρτηση σε καθένα από αυτά τα σημεία, θα πάρουμε τον πίνακα x 5π f( x) 6,69 85,8 * * από όπου συμπεραίνουμε ότι x = 5π, με z = 6,69 Μεγιστοποιήστε τη συνάρτηση: Λύση: Εδώ η συνάρτηση z = x8 στο διάστημα [, ] f ( x) = x 8 x 8 = 8 x x 8 x 8 8 x 8 x 8 είναι συνεχής, με x f ( x) = x x x < 8 8 < x < 8 < x Η παράγωγος δεν ορίζεται στο σημείο x =± 8, ενώ είναι μηδέν στο σημείο x = Και τα τρία σημεία ανήκουν στο διάστημα [, ] Αν υπολογίσουμε την αντικειμενική συνάρτηση σε καθένα από αυτά τα σημεία, καθώς και στα ακραία σημεία x =±, θα πάρουμε τον πίνακα 8 x f ( x) * απ όπου συμπεραίνουμε ότι το ολικό μέγιστο στο διάστημα [, ] είναι το z = 8, το οποίο εμφανίζεται στα * * τρία σημεία x =± και x =

13 ΚΕΦ ] ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 95 3 Ελαχιστοποιήστε τη συνάρτηση: z= f(x) στο διάστημα [,], όπου f ( x) = x x = < x Λύση: Το Θεώρημα δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο διάστημα που μας ενδιαφέρει, όπως συμβαίνει εδώ Στην πραγματικότητα, σε αυτό το πρόβλημα δεν υπάρχουν τοπικά ή ολικά ελάχιστα επειδή η συνάρτηση παίρνει τυχαίες μικρές θετικές τιμές, όχι όμως την τιμή μηδέν Μεγιστοποιήστε τη συνάρτηση: Λύση: Εδώ η παράγωγος x z= xe x x x f ( x) = e x e = e ( x ορίζεται για κάθε x και μηδενίζεται μόνο για x =± Αφού δεν περιορίζεται η τιμή του x, πρέπει να συγκρίνουμε τις τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στα στάσιμα σημεία f ( ± ) =± e =±,9 με τις οριακές τιμές της συνάρτησης f (x) καθώς x ±, οι οποίες σε αυτή την περίπτωση είναι και οι δύο Με την καταγραφή αυτών των αποτελεσμάτων, ) x f ( x) x,9,9 x * * διαπιστώνουμε ότι υπάρχει ένα ολικό μέγιστο στο σημείο x = και είναι το z =,9 5 Ελαχιστοποιήστε τη συνάρτηση: z= xsin x στο διάστημα [, 3] f ( x) = sin x + x cos x και ορίζεται παντού Η εξίσωση των στάσιμων ση- Λύση: Εδώ η παράγωγος είναι μείων, sin x + x cos x= δεν είναι δυνατόν να λυθεί με αλγεβρικό τρόπο, επομένως δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε με ακρίβεια τα στάσιμα σημεία στο διάστημα [, 3] Ωστόσο, στην περίπτωση απλών συναρτήσεων όπως αυτή, μπορούμε να ανακαλύψουμε πολλά πράγματα από μια πρόχειρη γραφική παράσταση (Εικόνα -5) Διαπιστώνουμε ότι τα στάσιμα σημεία εναλλάσσονται με τις ρίζες της συνάρτησης f (x) (θεώρημα του Rolle), οι οποίες είναι οι ρίζες της συνάρτησης sin x Λαμβάνουμε το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης f (x) για το διάστημα [, 3] στο υποδιάστημα [π 7 8, 3], δηλαδή,75 x * επειδή αυτή είναι η περιοχή στην οποία οι αρνητικές τιμές της συνάρτησης sin x πολλαπλασιάζονται με τις μεγαλύτερες θετικές τιμές του x Αν κάνουμε τους υπολογισμούς 7π f (7π 8) = ( ) =,75 8 f (3) = 3sin=,6 θα συμπεράνουμε ότι το ολικό ελάχιστο λαμβάνεται στο δεύτερο τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης f (x), αυτό που βρίσκεται κοντά στο σημείο x = 7π 8, και όχι στο ακραίο σημείο x = 3 3

14 96 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ [ΚΕΦ Εικόνα -5 6 Χρησιμοποιήστε την αναζήτηση διαστήματος τριών σημείων για να προσεγγίσετε τη θέση του ολικού ελάχιστου της συνάρτησης f ( x) = xsin x στο διάστημα [, 3] με ακρίβεια που ικανοποιεί την ανοχή ε =, Λύση: Ως αποτέλεσμα της ανάλυσης που πραγματοποιήσαμε στο Πρόβλημα 5 με τη βοήθεια γραφήματος, περιορίζουμε την προσοχή μας στο υποδιάστημα [π 7 8, 3] Το ολικό ελάχιστο εμφανίζεται σε αυτό το υποδιάστημα και σε αυτό η συνάρτηση έχει μόνο ένα ακρότατο Πρώτη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [π 7 8, 3] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία εσωτερικά σημεία x =,87, 87 x =,, και x =, 3 937, και υπολογίζουμε f( x ) = x sin x=,87sin (,87) =,73 f( x ) = x sin x=,87sin (,87) =,597 f( x ) = x sin x=,937sin (,937) =,6 Εδώ, το εσωτερικό σημείο που δίνει τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης f (x) είναι το x Άρα το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το υποδιάστημα με κέντρο το x, δηλαδή το [π 7 8,,87] Δεύτερη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [π 7 8,,87] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία εσωτερικά σημεία x =,783, 87 x =,, και x =, 5 83 του νέου διαστήματος Συνεπώς f( x ) = x sin x=,783sin (,783) =,758 f( x ) =,73 (όπως προηγουμένως) f( x ) = x sin x=,83sin (,83) =, Από αυτά τα εσωτερικά σημεία, το x είναι αυτό που δίνει τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης f (x) Επομένως το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το υποδιάστημα με κέντρο αυτό το σημείο, δηλαδή το [π 7 8,,87] Τρίτη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [π 7 8,,87] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία εσωτερικά σημεία x =,766, x =,, και x =, Τότε f( x ) = x sin x=,766sin (,766) =, f( x ) =,758 (όπως προηγουμένως) f( x ) = x sin x=,796sin (,796) =, Εδώ, το σημείο που δίνει τη μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι το x 6 Επομένως το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το υποδιάστημα με κέντρο αυτό το σημείο, δηλαδή το [π 7 8,,783]

15 ΚΕΦ ] ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 97 Τέταρτη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [π 7 8,,783] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία νέα εσωτερικά σημεία x 8=, 7567, x 6=, 766, και x 9=, 77 Τώρα f( x ) = x sin x=,7567sin (,7567) =, f( x ) =,759 (όπως προηγουμένως) 6 f( x ) = x sin x=,77sin (,77) =, Αφού το εσωτερικό σημείο το οποίο δίνει τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης f (x) είναι το x 9, το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το υποδιάστημα με κέντρο το x 9, δηλαδή το [,766,,783] Ωστόσο, το μέσο αυτού του διαστήματος προσεγγίζει με ακρίβεια που ικανοποιεί την προκαθορισμένη ανοχή ε=, όλα τα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος Συνεπώς το αποδεχόμαστε ως θέση του ελάχιστου Δηλαδή, * * xx == 9,77 με z = f( x ) =,76 7 Χρησιμοποιήστε την αναζήτηση διαστήματος τριών σημείων για να προσεγγίσετε τη θέση του μεγίστου της συνάρτησης f ( x) = x(5π x) στο διάστημα [, ] με ακρίβεια που ικανοποιεί την ανοχή ε = Λύση: Αφού για τη δεύτερη παράγωγο ισχύει παντού ότι f ( x) = <, συνεπάγεται από το Θεώρημα ότι η συνάρτηση f (x) είναι κοίλη, και συνεπώς έχει ένα μόνο ακρότατο, στο διάστημα [, ] Άρα, είναι βέβαιο ότι η αναζήτηση διαστήματος τριών σημείων θα συγκλίνει στο ολικό μέγιστο Πρώτη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [, ] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία εσωτερικά σημεία x = 5, x =, και x = 3 5 Επομένως f( x ) = x (5 π x ) = 5(5π 5) = 53,5 f( x ) = x (5 π x ) = (5π ) = 57,8 f( x ) = x (5 π x ) = 5(5π 5) =, Αφού το εσωτερικό σημείο το οποίο δίνει τη μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι το x, το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το διάστημα με κέντρο το x, δηλαδή το [ 5,5] Δεύτερη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [ 5,5] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία νέα εσωτερικά σημεία x = 7,5, x =, και x =, 5 Άρα 5 f( x ) = x (5 π x ) = (7,5)(5π 7,5) = 6,56 f( x ) = 57,8 (όπως προηγουμένως) f( x ) = x (5 π x ) = (,5)(5π,5) =, Αφού το εσωτερικό σημείο το οποίο δίνει τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης f (x) είναι το x, το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το διάστημα με κέντρο το x, δηλαδή το [ 5,] Τρίτη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [ 5,] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία νέα εσωτερικά σημεία x = 6,5, 5 6 x = 7,, και x = 8, 7 75 Συνεπώς f( x ) = (6,5)(5π 6,5) = 59, 6 f( x ) = 6, 56 (όπως προηγουμένως) f( x ) = (8,75)(5π 8,75) = 6,88 7 Αφού το σημείο το οποίο δίνει τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης f (x) είναι το x, το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το διάστημα με κέντρο το x, δηλαδή το [ 6,5, 8,75] Τέταρτη επανάληψη: Διαιρούμε το διάστημα [ 6,5, 8,75] σε τέταρτα, παίρνουμε τα τρία νέα εσωτερικά σημεία x = 6, 8 875, x = 7, 5, και x = 8, 9 5 Άρα 9

16 98 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ [ΚΕΦ f( x ) = (6,875)(5π 6,875) = 6,73 8 f( x ) = 6, 56 (όπως προηγουμένως) f( x ) = (8,5)(5π 8,5) = 6,6 9 Τώρα, το εσωτερικό σημείο που δίνει τη μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι το x 9, επομένως το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το υποδιάστημα με κέντρο το σημείο x 9, δηλαδή το [ 7,5, 8,75] Ωστόσο, το μέσο αυτού του διαστήματος προσεγγίζει όλα τα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος με ακρίβεια που ικανοποιεί την προκαθορισμένη ανοχή ε = Άρα παίρνουμε * * xx == 9 8,5 με z = f( x ) = 6,6 8 Λύστε ξανά το Πρόβλημα 7 χρησιμοποιώντας την αναζήτηση Fibonacci Λύση: Αρχικά σημεία: Ο πρώτος αριθμός Fibonacci τέτοιος ώστε F ( ) είναι ο F Ορίζουμε N = 7, b a ε = = =,95 F και έπειτα ορίζουμε τη θέση των δύο πρώτων σημείων της αναζήτησης N F 6ε = 3(,95) =, 38 μονάδες από κάθε ακραίο σημείο Συνεπώς, τα σημεία είναι x = +,38,38 x =,38 7, 6 = 9 N = f( x ) = (,38)(5π,38) =, f( x ) = (7,6)(5π 7,6) = 6,63 και αναπαρίστανται στο γράφημα της Εικόνας -6(α) Από την ιδιότητα της μονότροπης συνάρτησης (έχει μόνο ένα ακρότατο) συμπεραίνουμε ότι το μέγιστο πρέπει να εμφανίζεται αριστερά από το σημείο,38 και περιορίζουμε το διάστημα που μας ενδιαφέρει στο διάστημα [,,38] Πρώτη επανάληψη: Ο επόμενος μικρότερος αριθμός Fibonacci είναι ο F = 5 8 (ο τελευταίος αριθμός που χρησιμοποιήσαμε ήταν ο F 6 ) άρα το επόμενο σημείο της αναζήτησης βρίσκεται σε απόσταση F 5ε = 8(, 95) = 7, 69 μονάδων αριστερά από το πιο πρόσφατο ακραίο σημείο,,38 Επομένως x =,38 7,69=,76 f ( x ) = (,76)(5π,76) = 5, = Αν προσθέσουμε αυτό το σημείο στο τμήμα του διαστήματος που διατηρήσαμε στην Εικόνα -6(α), θα προκύψει η Εικόνα -6(β), από την οποία μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μέγιστο πρέπει να εμφανίζεται στο νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει, δηλαδή το [,76,,38] Δεύτερη επανάληψη: Ο επόμενος μικρότερος αριθμός Fibonacci είναι τώρα ο F = 5 Άρα x =,76+ Fε =,76+ 5(,95) = 9,53 f( x ) = (9,53)(5π 9,53) = 58,9 Αν προσθέσουμε αυτό το σημείο στο τμήμα του διαστήματος που διατηρήσαμε στην Εικόνα -6(β), θα προκύψει η Εικόνα -6(γ), από την οποία μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το [,76, 9,53]

17 ΚΕΦ ] ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 99 α) κατάργηση β) κατάργηση γ) κατάργηση δ) κατάργηση ε) κατάργηση Εικόνα -6 Τρίτη επανάληψη: Ο επόμενος μικρότερος αριθμός Fibonacci είναι τώρα ο F = 3 3 Άρα x = 9, 53 3(, 95) = 6, f( x ) = (6, 666)(5π 6, 666) = 6, 7 Αν προσθέσουμε αυτό το σημείο στο τμήμα του διαστήματος που διατηρήσαμε στην Εικόνα -6(γ), θα προκύψει η Εικόνα -6(δ) Από την ιδιότητα της ύπαρξης ενός και μοναδικού ακροτάτου έπεται ότι το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το [ 6,666, 9,53] Τέταρτη επανάληψη: Ο επόμενος μικρότερος αριθμός Fibonacci είναι τώρα ο F = Συνεπώς x = 6, 666+ (, 95) = 8, f( x ) = (8, 57)(5π 8, 57) = 6,7

18 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ [ΚΕΦ Αν προσθέσουμε αυτό το σημείο στο τμήμα του διαστήματος που διατηρήσαμε στην Εικόνα -6(δ), θα προκύψει η Εικόνα -6(ε), απ όπου συμπεραίνουμε ότι το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το [ 6,666, 8,57] Ωστόσο, το μέσο αυτού του διαστήματος προσεγγίζει όλα τα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος με ακρίβεια που ικανοποιεί την ανοχή ε = Μάλιστα ισχύει ότι ε =,95 (Θεωρητικά, το μέσο πρέπει να συμπίπτει με το σημείο x Η μικρή φαινομενική ασυμφωνία προκύπτει από τη στρογγυλοποίηση) Συνεπώς δεχόμαστε ότι το σημείο x είναι η θέση του μέγιστου, δηλαδή * * xx == 7,6 με z = f( x ) = 6,63 9 Λύστε ξανά το Πρόβλημα 7 χρησιμοποιώντας την αναζήτηση της χρυσής τομής Λύση: Αρχικά σημεία: Το μήκος του αρχικού διαστήματος είναι L =, άρα τα δύο πρώτα σημεία της αναζήτησης βρίσκονται σε απόσταση από κάθε ακραίο σημείο Επομένως (, 68)() =, 36 μονάδων x=+,36=,36 x =,36= 7,6 f( x ) = (,36)(5π,36) =,38 f( x ) = (7,6)(5π 7,6) = 6,6 Τα σημεία ( x, f ( x )) και ( x, f ( x)) βρίσκονται πολύ κοντά στα σημεία που φαίνονται στην Εικόνα -6(α) Συνεπάγεται από την ιδιότητα της ύπαρξης ενός και μοναδικού ακροτάτου ότι το μέγιστο πρέπει να εμφανίζεται αριστερά από το σημείο 3,36 Άρα διατηρούμε το διάστημα [,,36] ως το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει Πρώτη επανάληψη: Το νέο διάστημα έχει μήκος L =, 36, άρα το επόμενο σημείο της αναζήτησης βρίσκεται σε απόσταση,68l μονάδων αριστερά από το πιο πρόσφατο ακραίο σημείο Άρα, x=, 36 (, 68)(, 36) =, f( x ) = (, 7)(5π, 7) = 5,88 Αν προσθέσουμε αυτό το νέο σημείο, θα ισχύει η Εικόνα -6(β), και προσδιορίζουμε ότι το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το [,7,,36] Δεύτερη επανάληψη: L =,36,7 7, 638 άρα 3 = x =,7 + (,68)(7,638) = 9, f( x ) = (9,)(5π 9,) = 59,6 Τώρα το μοτίβο είναι αυτό της Εικόνας -6(γ), απ όπου συμπεραίνουμε ότι το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το [,7, 9,] Τρίτη επανάληψη: L = 9,,7, 7 Επομένως = x = 9, (, 68)(, 7) = 6, f( x ) = (6, 55)(5π 6, 55) = 59, 9 Τώρα το μοτίβο είναι αυτό που φαίνεται στην Εικόνα -6(δ), απ όπου συμπεραίνουμε ότι το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το [ 6,55, 9,] Τέταρτη επανάληψη: L = 9, 6,55, 97 συνεπώς 5 = x = 6, 55 + (, 68)(, 97) = 8, f( x ) = (8, 38)(5π 8, 38) = 6, 6

19 ΚΕΦ ] ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Με αυτό το νέο σημείο φτάνουμε στο μοτίβο της Εικόνας -6(ε) και βρίσκουμε ότι το νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το [ 6,55, 8,38] Παρατηρήστε ότι το μήκος αυτού του νέου διαστήματος είναι μικρότερο από ε =, αλλά ότι το δειγματοληπτικό σημείο x το οποίο συμπεριλαμβάνεται σε αυτό δεν προσεγγίζει όλα τα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος με ακρίβεια που ικανοποιεί την ανοχή ε Άρα απαιτείται άλλη μία επανάληψη Πέμπτη επανάληψη: L = 8,38 6,55, 83 συνεπώς 6 = x = 8, 38 (, 68)(,83) = 7, 7 7 f( x ) = (7, )(5π 7, ) = 6, 8 Με αυτό το νέο σημείο προσδιορίζεται ως νέο διάστημα που μας ενδιαφέρει το [ x 7, x6] = [7,, 8,38] Τώρα όμως το εσωτερικό σημείο x = 7, 6 προσεγγίζει όλα τα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος με ακρίβεια που ικανοποιεί την ανοχή ε = Άρα θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση του μέγιστου Δηλαδή, * * xx == 7,6 με z = f( x ) = 6,6 Συγκρίνετε την αποδοτικότητα των τριών μεθόδων αναζήτησης ως προς τον εντοπισμό του μεγίστου της συνάρτησης x( 5π x) στο διάστημα [, ] * Λύση: Κάθε μέθοδος προσέγγισε με επιτυχία τη θέση του μεγίστου, x = 5π = 7,85, με ακρίβεια που ικανοποιεί την απαιτούμενη ανοχή ε = Η μέθοδος Fibonacci ήταν η πιο αποδοτική (δείτε το Πρόβλημα 8), καθώς με αυτήν επιτεύχθηκε η επιθυμητή ακρίβεια με έξι υπολογισμούς τιμών της συνάρτησης Για την αναζήτηση του διαστήματος τριών σημείων (δείτε το Πρόβλημα 7) και την αναζήτηση της χρυσής τομής (δείτε το Πρόβλημα 9) απαιτήθηκαν εννέα και επτά υπολογισμούς τιμών της συνάρτησης, αντίστοιχα Λύστε ξανά το Πρόβλημα 6 χωρίς πρώτα να περιορίσετε το διάστημα [, 3] σε ένα υποδιάστημα στο οποίο η συνάρτηση είναι μονότροπη (δηλαδή έχει μόνο ένα ακρότατο) Αναλύστε το αποτέλεσμα Λύση: Με εφαρμογή της αναζήτησης διαστήματος τριών σημείων στη συνάρτηση f ( x) = xsin x απευθείας στο διάστημα [, 3], δημιουργούμε με τη σειρά τις καταχωρίσεις του Πίνακα - Έπεται ότι * * * x,3 με z f( x ) =,35 Από την Εικόνα -5 είναι προφανές ότι η διαδικασία αναζήτησης έχει συγκλίνει στο τοπικό ελάχιστο που βρίσκεται κοντά στο σημείο 3π 8 και όχι στο ολικό ελάχιστο του διαστήματος [, 3] το οποίο είχαμε βρει στο Πρόβλημα 6 Το αποτέλεσμα θα ήταν παρόμοιο αν είχαμε εφαρμόσει την αναζήτηση Fibonacci ή την αναζήτηση της χρυσής τομής σε ολόκληρο το διάστημα [, 3] Πίνακας - Τρέχον Εσωτερικά σημεία f ( x) = xsin x διάστημα α β γ f (a) f (β) f (γ) [,3],75,5,5,58,9,973 [,75,,5],5,5,875,,9,759 [,75,,5],9375,5,33,5358,,6 [,5,,5],9,33,6,3,6,86 [,5,,33],7,9,66,7,3,89 [,7,,66],96,9,3,93,3, [,96,,3],8,9,3,99,7,35 [,9,,3],5,3,37,35,35,8 [,5,,37]

20 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ [ΚΕΦ Εξαγάγετε τον αλγόριθμο αναζήτησης Fibonacci Εικόνα -7 Λύση: Αν το τελευταίο διάστημα που θα εξετάσουμε, το G Ν-, πρέπει να είναι όσο γίνεται μεγαλύτερο και παρόλα αυτά να περιέχει μια προσέγγιση ενός τοπικού βέλτιστου με ακρίβεια που ικανοποιεί την ανοχή ε, τότε τα σημεία αναζήτησης που θα χρησιμοποιήσουμε για να δημιουργήσουμε αυτό το διάστημα πρέπει να είναι τοποθετημένα όπως υποδεικνύουν τα βέλη στην Εικόνα -7(α) Το μέσο αυτού του διαστήματος είναι η τελική προσέγγιση Τώρα, το διάστημα G Ν- αυτό καθεαυτό προκύπτει από ένα μεγαλύτερο διάστημα G Ν- με κατάργηση ενός τμήματος του μεγαλύτερου διαστήματος, με βάση την ιδιότητα της ύπαρξης ενός και μοναδικού ακροτάτου Για να ισχύει η Εικόνα -7(α) για μια τυχαία συνάρτηση με ένα και μόνο ακρότατο (arbitrary unimodal function), το διάστημα G Ν- πρέπει να έχει τη συμμετρική μορφή που φαίνεται στην Εικόνα -7(β), στην οποία τα βέλη υποδεικνύουν ξανά τις θέσεις των σημείων αναζήτησης ή των ακραίων σημείων του αρχικού διαστήματος Για να πάρουμε την Εικόνα -7(α), πρέπει να καταργήσουμε είτε το αριστερό τμήμα ενός τρίτου είτε το αντίστοιχο δεξιό της Εικόνας 7(β) Ωστόσο, η Εικόνα -7(β) αυτή καθεαυτή είναι αποτέλεσμα της προσθήκης ενός σημείου αναζήτησης Πριν την προσθήκη αυτού του σημείου, το διάστημα G Ν- πρέπει να είχε τη μορφή του διαστήματος της Εικόνας -7(γ) ή τη μορφή του διαστήματος της Εικόνας -7(δ) Και οι δύο πιθανές μορφές του διαστήματος G Ν- προκύπτουν από ένα μεγαλύτερο διάστημα, το G Ν-3, με κατάργηση ενός τμήματος αυτού του μεγαλύτερου διαστήματος, με βάση την ιδιότητα της ύπαρξης ενός και μοναδικού ακροτάτου Για να πάρουμε την Εικόνα -7(γ) ή την Εικόνα 7(δ), το διάστημα G Ν-3 πρέπει να είχε τη μορφή που φαίνεται στην Εικόνα -7(ε) Για να πάρουμε το διάστημα G Ν-, πρέπει να καταργήσουμε είτε το αριστερό υποδιάστημα είτε το δεξιό υποδιάστημα της Εικόνας -7(ε) Όμως η Εικόνα -7(ε) είναι αποτέλεσμα της προσθήκης ενός σημείου αναζήτησης Πριν την προσθήκη αυτού του σημείου, το διάστημα G Ν-3 πρέπει να είχε τη μορφή του διαστήματος της Εικόνας -7(στ) ή του διαστήματος της Εικόνας -7(ζ)

21 ΚΕΦ ] ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 3 Αν συνεχίσουμε με αυτόν τον τρόπο συμβολίζοντας το μήκος του διαστήματος G j με L j, θα βρούμε ότι LN = ε, LN = 3ε, LN 3 = 5ε, LN = 8ε, LN 5 = 3ε, και ούτω καθεξής Αφού οι συντελεστές ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci, έχουμε LN F = ε LN = F 3ε L = FN ε L = F Nε () Όμως επιλέγουμε το N έτσι ώστε FNε = b a Άρα το αρχικό διάστημα είναι το L και έχουμε δημιουργήσει (με αντίστροφη σειρά) τα βήματα της αναζήτησης Fibonacci 3 Εξαγάγετε τον αλγόριθμο της χρυσής τομής Λύση: Από τις εξισώσεις () του Προβλήματος, L = F Nε και L = FN ε Τότε, αν ο αριθμός N είναι μεγάλος, από το Πρόβλημα 6 θα βρούμε ότι L F F L F F N N = lim =,68 N N N με αποτέλεσμα ότι L, 68L Με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό, υπό την προϋπόθεση ότι το N είναι αρκετά μεγάλο, αποδεικνύουμε ότι η ίδια προσέγγιση ισχύει για οποιαδήποτε δύο διαδοχικά διαστήματα της αναζήτησης Fibonacci, δηλαδή L i,68li, η οποία είναι η εξίσωση ορισμού της αναζήτησης της χρυσής τομής Συμπληρωματικά προβλήματα 3 Βρείτε όλα τα τοπικά και ολικά βέλτιστα της συνάρτησης f ( x) = x 6x + 9x+ 6 στα διαστήματα (α) [, 3], (β) [, ], (γ) [, 5] 3 5 Βρείτε όλα τα τοπικά και ολικά βέλτιστα της συνάρτησης f ( x) = x x + 6x x+ στα διαστήματα (α) [, 3], (β) [, ], (γ) [, ) 6 Βρείτε όλα τα τοπικά και ολικά βέλτιστα της συνάρτησης f ( x) = x+ x στα διαστήματα (α) (, ), (β) (, ), (γ) [ 5,] (Υπόδειξη: Στα σκέλη (α) και (β) της άσκησης, εκλάβετε το x = ως ένα ακραίο σημείο στο άπειρο) 3 7 Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f ( x) = x 6x + 9x+ 6 είναι αυστηρά κοίλη στο διάστημα (, ) και αυστηρά κυρτή στο διάστημα (, ) 8 Προσδιορίστε διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f ( x) = x+ x είναι κοίλη ή κυρτή 9 Χρησιμοποιήστε την αναζήτηση διαστήματος τριών σημείων για να προσεγγίσετε τη θέση του ολικού ελάχιστου της συνάρτησης του Προβλήματος 8 στο διάστημα (, ] με ακρίβεια που ικανοποιεί την ανοχή ε =, (Υπόδειξη: Προχωρήστε με τον ίδιο τρόπο που θα προχωρούσατε αν το διάστημα ήταν το [, ] ) Προσεγγίστε τη θέση του ολικού μεγίστου της συνάρτησης f ( x) = x sin x στο διάστημα [, π ], χρησιμοποιώντας μια αναζήτηση τριών σημείων στο μη περιορισμένο διάστημα με πέντε υπολογισμούς τιμών της συνάρτησης (δηλαδή, πέντε σημεία αναζήτησης) Πόσο καλή είναι αυτή η προσέγγιση; Λύστε ξανά το Πρόβλημα 9 με την αναζήτηση Fibonacci Λύστε ξανά το Πρόβλημα με την αναζήτηση Fibonacci (Υπόδειξη: Η χρήση συνολικά πέντε σημείων αναζήτησης απαιτεί τα δύο πρώτα σημεία να τοποθετηθούν σε απόσταση F 5ε από τα ακραία σημεία του αρχικού διαστήματος Επομένως, για να προσδιορίσουμε την ανοχή ε, N = 6 ) 3 Λύστε ξανά το Πρόβλημα 9 με αναζήτηση της χρυσής τομής Λύστε ξανά το Πρόβλημα με αναζήτηση της χρυσής τομής

22

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ Η : A έχει: ) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία 0 τ.µ.τ. όταν lim ± ή lim ± ή lim ± ( ηλαδή η ευθεία 0 0 + 0 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα