= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Οι αναλλοίωτες κατανομές είναι κατά κάποιο τρόπο οι φυσικές καταστάσεις μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Αν μια αλυσίδα ξεκινήσει από μια αναλλοίωτη κατανομή της θα παραμείνει σε αυτήν για πάντα, ενώ η ασυμπτωτική συμπεριφορά μιας αλυσίδας μπορεί να χαρακτηριστεί μέσω αυτών. Επίσης, οι απαντήσεις σε πολλά προβλήματα μπορούν εύκολα να εκφραστούν μέσω των αναλλοίωτων κατανομών. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη αναλλοίωτων κατανομών, θα μελετήσουμε τις ιδιότητές και την δομή τους. Αναλλοίωτες κατανομές Θα συμβολίζουμε το σύνολο των κατανομών στον X με M(X). Ετσι π M(X) η π είναι μια συνάρτηση π : X 0, με x X π(x). Εστω {X n } n N μια μαρκοβιανή αλυσίδα με αρχική κατανομή π 0 και πιθανότητες μετάβασης {p(x, y)} x,y X. Θα συμβολίζουμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X n με π n, δηλαδή π n (x) P X n x για x X. () Το κεντρικό ερώτημα αυτού του κεφαλαίου είναι αν η π n συγκλίνει καθώς n, και αν ναι, ποιο είναι το όριό της π. Ορισμός Αν {π n } n είναι μια ακολουθία κατανομών στο M(X), θα λέμε ότι συγκλίνει στην κατανομή π M(X) αν και μόνο η πιθανότητα που αποδίδει η π n σε κάθε κατάσταση συγκλίνει στην αντίστοιχη πιθανότητα που αποδίδει η π. Δηλαδή, π n π M(X) π n (x) π(x) για κάθε x X (2) Παρατήρηση: Από ένα αποτέλεσμα της θεωρίας μέτρου, το λήμμα του Scheffé (βλ. ;, παρ. 5.0), ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με το φαινομενικά ισχυρότερο αποτέλεσμα π n π M(X) x X π n (x) π(x) 0. (3) Ορισμός: Αν η {π n } n είναι η ακολουθία των κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n }, αν δηλαδή η π n ορίζεται όπως στην (;;) για κάθε n N 0, και π n π M(X), θα λέμε ότι η π είναι η κατανομή ισορροπίας (ή εναλλακτικά η ασυμπτωτική κατανομή) της {X n }. Το πρώτο μας αποτέλεσμα χαρακτηρίζει τις υποψήφιες κατανομές ισορροπίας μαρκοβιανών αλυσίδων. Θεώρημα Αν η ακολουθία {π n } n των κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n } n N με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P συγκλίνει στην κατανομή π M(X) τότε π πp, δηλαδή π(x) y X π(y)p(y, x) για κάθε x X. (4)

2 Απόδειξη: Είδαμε στο δεύτερο κεφάλαιο ότι η κατανομή π n μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n } n μετά από n βήματα, δηλαδή η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X n, δίνεται από την Επομένως για κάθε n N έχουμε π n π 0 P n. π n π 0 (P n P ) (π 0 P n )P π n P, δηλαδή π n (x) y X π n (y)p(y, x) για κάθε x X. Παίρνοντας το όριο καθώς n στα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης το αριστερό μέλος συγκλίνει στην π(x), ενώ για το δεξί μέλος έχουμε π n (y)p(y, x) y X y X π(y)p(y, x) y X π n (x) π(x) p(y, x) y X π n (x) π(x) 0, από την (;;). Επομένως π(x) y X π(y)p(y, x) για κάθε x X. Σύμφωνα με το προηγούμενο Θεώρημα τα μόνα υποψήφια όρια των κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P είναι εκείνες οι π : X 0, για τις οποίες { π πp x X π(x). (5) Ορισμός: Αν μια κατανομή π M(X) ικανοποιεί την (;;) θα λέμε ότι είναι αναλλοίωτη (ή στάσιμη) κατανομή για την αλυσίδα {X n } n με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P. Το Θεώρημα ;; μπορούμε να το αναδιατυπώσουμε και ως εξής. Οι μόνες δυνατές κατανομές ισορροπίας μιας μαρκοβιανής αλυσίδας είναι οι αναλλοίωτες κατανομές της. Η ορολογία αναλλοίωτη και στάσιμη εξηγείται από το παρακάτω Θεώρημα. Θεώρημα 2 Αν η αρχική κατανομή π 0 M(X) μιας αλυσίδας στον X με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P ικανοποιεί την (;;) τότε π n π 0 για κάθε n N. Επιπλέον, η {X n } n N0 είναι στάσιμη, δηλαδή για κάθε n, k N 0 και κάθε x 0, x,..., x k X έχουμε P X n x 0, X n x,..., X nk x k P X0 x 0, X x,..., X k x k. Απόδειξη: Θα δείξουμε τον ισχυρισμό π n π 0 για κάθε n N επαγωγικά. Για n έχουμε π π 0 P π 0, μια και για την π 0 έχουμε υποθέσει ότι ικανοποιεί την (;;). Εστω τώρα ότι για κάποιο n N έχουμε π n π 0. Τότε π n π n P π 0 P π 0. Επομένως π n π 0 για κάθε n N. Για τον δεύτερο ισχυρισμό έχουμε από την μαρκοβιανή ιδιότητα P X n x 0,..., X nk x k P Xn x 0 P Xn x X n x 0 P Xnk x k X nk x k π n (x 0 )p(x 0, x ) p(x k, x k ) π 0 (x 0 )p(x 0, x ) p(x k, x k ) P X 0 x 0, X x,..., X k x k. 2

3 Παράδειγμα Εστω {X n } n μια μαρκοβιανή αλυσίδα σε έναν χώρο με δύο καταστάσεις X {α, β} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P ( p p q q με p, q (0, ). Από την (;;) προκειμένου η π (π α, π β ) να είναι αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας θα πρέπει να ικανοποιεί τις π a ( p)π α qπ β π β pπ α ( q)π β π α π β. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε ότι η π ( q p q, p ) p q είναι αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας. Επομένως αν η αρχική κατανομή της αλυσίδας είναι η π, αν δηλαδή P X 0 α q και P X 0 β p p q p q τότε π n π για κάθε n N. Προσέξτε ότι σε κάθε της βήμα η αλυσίδα αλλάζει κατάσταση με πιθανότητα p αν βρίσκεται στην κατάσταση α ή q αν βρίσκεται στην κατάσταση β. Αυτό που δεν αλλάζει είναι η κατανομή της X n, δηλαδή η πιθανότητα να βρούμε την αλυσίδα σε καθεμιά από τις δύο καταστάσεις. 2 Η δομή του I(P ) Στην συνέχεια θα εξετάσουμε αν μπορούμε να βρούμε αναλλοίωτες κατανομές για μια αλυσίδα, και στην περίπτωση που μπορούμε ποιες είναι αυτές. Θα συμβολίζουμε με I(P ) το σύνολο των αναλλοίωτων κατανομών μιας αλυσίδας με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P, δηλαδή Το επόμενο λήμμα θα μας φανεί πολύ χρήσιμο ), I(P ) {π M(X) : π πp }. Λήμμα Αν {X n } n N0 είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P και π I(P ) τότε για κάθε x, y X έχουμε Tx π(y) π(x) {X k y}. (6) Απόδειξη: Εστω π I(P ). Για κάθε x, y X έχουμε π(y) π(z)p(z, y) π(x)p(x, y) π(z)p(z, y) z X z x π(x)p(x, y) ( ) π(u)p(u, z) p(z, y) z x u X ( π(x) p(x, y) ) p(x, z)p(z, y) π(u)p(u, z)p(z, y) z x z,u x 3

4 Ας επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία ακόμα μια φορά, γράφοντας π(u) w X π(w)p(w, u) π(x)p(x, u) w x π(w)p(w, u). Παίρνουμε τότε ότι ( π(y) π(x) p(x, y) p(x, z)p(z, y) ) p(x, u)p(u, z)p(z, y) z x z,u x π(w)p(w, u)p(u, z)p(z, y). (7) z,u,w x Προσέξτε ότι στον όρο z,u x p(x, u)p(u, z)p(z, y) αθροίζουμε τις πιθανότητες όλων των μονοπατιών μήκους 3 που ξεκινούν από το x και καταλήγουν στο y χωρίς ενδιάμεσα να έχουν ξαναπεράσει από το x. Άρα, p(x, u)p(u, z)p(z, y) P x X x, X 2 x, X 3 y P x X3 y, T x 3. z,u x Αντίστοιχα έχουμε p(x, z)p(z, y) P x X x, X 2 y P x X2 y, T x 2 ενώ z x p(x, y) P x X y P x X y, T x. Με αυτήν παρατήρηση μπορούμε να ξαναγράψουμε την (;;) ως ( 3 π(y) π(x) P x Xk y, T x k ) z,u,w x π(w)p(w, u)p(u, z)p(z, y). Θα πρέπει να είναι τώρα φανερό ότι αν επαναλάβουμε αυτήν την διαδικασία n φορές έχουμε ότι ( n π(y) π(x) P x Xk y, T x k ) x,...,x n x ( n π(x) P x Xk y, T x k ) για κάθε n N. Περνώντας στο όριο n έχουμε λοιπόν ( π(y) π(x) P x Xk y, T x k ) ( π(x) {Xk y, T x k} ). π(x )p(x, x 2 ) p(x n, y) (8) Εφόσον οι δείκτριες συναρτήσεις που εμφανίζονται παραπάνω είναι μη αρνητικές, από το θεώρημα Fubini- Tonelli μπορούμε να εναλλάξουμε την άθροιση ως προς k και την αναμενόμενη τιμή, παίρνοντας π(y) π(x) {X k y, T x k} Tx π(x) {X k y}. 4

5 Ορισμός: Θα λέμε μια κατάσταση x X γνησίως επαναληπτική αν T x <. Η γνήσια επαναληπτικότητα είναι μια έννοια ισχυρότερη της επαναληπτικότητας, αφού αν T x < τότε αναγκαστικά έχουμε P x T x <, και άρα η x είναι επαναληπτική. Το ακόλουθο Πόρισμα μας εγγυάται ότι οποιαδήποτε αναλλοίωτη κατανομή μιας αλυσίδας στηρίζεται σε γνησίως επαναληπτικές καταστάσεις. Πόρισμα Αν π I(P ) και x X τότε T x π(x) 0. Απόδειξη: Αθροίζοντας τις ανισότητες (;;) για όλα τα y X έχουμε y X π(y) π(x) y X Tx {X k y} Tx π(x) y X {X k y}, όπου χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα Fubini-Tonelli για να εναλλάξουμε την σειρά των αθροίσεων και της αναμενόμενης τιμής. Προσέξτε όμως ότι στο άθροισμα ως προς y υπάρχει ακριβώς ένας όρος {X k y} που είναι ίσος με (αυτός που αντιστοιχεί στην κατάσταση της X k ) ενώ όλοι οι υπόλοιποι είναι μηδέν. Επομένως, η παραπάνω ανισότητα γίνεται απ όπου έπεται ο ισχυρισμός μας. Tx π(x) π(x) T x, Πόρισμα 2 Αν μια μαρκοβιανή αλυσίδα έχει αναλλοίωτη κατανομή τότε έχει τουλάχιστον μία γνησίως επαναληπτική κατάσταση. Απόδειξη: Αν π I(P ) τότε π(y) 0 για κάθε y X και y X π(y). Θα υπάρχει επομένως κάποια κατάσταση x για την οποία π(x) > 0 και άρα από το Πόρισμα ;; θα πρέπει T x <. Στο επόμενο θεώρημα θα δείξουμε ότι και το αντίστροφο του προηγούμενου πορίσματος είναι σωστό. Δηλαδή, αν μια αλυσίδα έχει μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση x τότε έχει και αναλλοίωτη κατανομή, κατασκευάζοντας μια εκπεφρασμένα. Η ιδέα προέρχεται από το Λήμμα ;;. Θεώρημα 3 Εστω x X μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση. Ορίζουμε π x (y) Tx T {X k y} x Η π x είναι αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας {X n } n N0, και π x (x) T x. (9) 5

6 Παρατήρηση: Μπορούμε να σκεφτούμε την κατανομή π x ως εξής. Ξεκινώντας από την x κάνουμε μια εκδρομή μέχρι να επιστρέψουμε πάλι στην κατάσταση x, δηλαδή μέχρι τον χρόνο διακοπής T x. Κατά την διάρκεια αυτής της εκδρομής σημειώνουμε πόσες επισκέψεις κάναμε στην κατάσταση y X. Το πλήθος αυτών των επισκέψεων είναι T x {X k y} και είναι βέβαια μια τυχαία μεταβλητή. Το βάρος που δίνει η π x στην κατάσταση y είναι ανάλογο προς το αναμενόμενο πλήθος τον επισκέψεων μας στην κατάσταση y κατά τη διάρκεια αυτής της εκδρομής γύρω από την x. Η σταθερά αναλογίας που εμφανίζεται είναι απλά ένας παράγοντας κανονικοποίησης T x ώστε η π x να είναι κατανομή. Απόδειξη: Ας δούμε πρώτα ότι π x M(X). Πράγματι, είναι φανερό από τον ορισμό ότι π x (y) 0 για κάθε y X, ενώ π x (y) y X T x y X Tx {X k y} Tx T x y X {X k y} E x T x T. x Ο ισχυρισμός της (;;) προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του χρόνου T x inf{k : X k x}, αφού κατά την διάρκεια της εκδρομής γύρω από την x, δηλαδή για k {, 2,..., T x } η αλυσίδα μας βρίσκεται στην x μόνο την χρονική στιγμή T x. Θα δείξουμε τώρα ότι η π x είναι αναλλοίωτη. Πράγματι, για κάθε y X έχουμε Tx π x (y) π x (x) {X k y} π x (x) z X {X k y, T x k} π x (x) {X k z, X k y, T x k} π x (x) z X π x (x) z X {X k z, X k y, T x k} (θ. Fubini-Tonelli) P x Xk z, X k y, T x k (0) Παρατηρήστε τώρα ότι {T x k} {X x, X 2 x,, X k x}, επομένως το ενδεχόμενο {T x k} ανήκει στην κλάση F k. Ετσι, από την μαρκοβιανή ιδιότητα έχουμε P x Xk y X k z, T x k P x Xk y X k z p(z, y), 6

7 και η σχέση (;;) γίνεται Παρατηρήστε τέλος ότι π x (y) π x (x) z X p(z, y) π x (x) z X p(z, y) π x (x) z X P x Xk z, T x k {Xk z, T x k} p(z, y) {X k z, T x k} (θ. Fubini-Tonelli) π x (x) Tx p(z, y) {X k z}. () z X Tx mk {X k z} x T {X m z} m0 Tx m {X m z}, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει γιατί η αλυσίδα μας με P x -πιθανότητα βρίσκεται στην x τόσο την χρονική στιγμή 0 όσο και την χρονική στιγμή T x. Ετσι, η (;;) γίνεται π x (y) z X και επομένως π x I(P ). Tx p(z, y)π x (x) m {X m z} p(z, y)π x (z), z X Οπως είδαμε μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση x X είναι επαναληπτική και άρα ανήκει αναγκαστικά σε μια κλειστή κλάση C x. Από την κατασκευή της κατανομής π x είναι φανερό ότι y / C x π x (y) 0, αφού αν y / C x η αλυσίδα που ξεκινά από το x αποκλείεται να επισκεφτεί την κατάσταση y ποτέ, και ειδικώτερα αποκλείεται να επισκεφτεί την y μέχρι να επιστρέψει στην x. Θα δείξουμε τώρα ότι η π x δίνει θετικό βάρος σε όλες τις καταστάσεις της κλάσης C x. Θεώρημα 4 Αν η κατάσταση x είναι γνησίως επαναληπτική και y C x τότε π x (y) > 0. Απόδειξη: Εφόσον η y είναι προσβάσιμη από την x υπάρχει m N τέτοιο ώστε p (m) (x, y) > 0. Επίσης εύκολα μπορούμε να δείξουμε επαγωγικά ότι π x I(P ) π x π x P π x π x P m. Επομένως π x (y) z X π x (z)p (m) (z, y) π x (x)p (m) (x, y) > 0. Πόρισμα 3 Η γνήσια επαναληπτικότητα είναι ιδιότητα κλάσης, δηλαδή αν η κατάσταση x είναι γνησίως επαναληπτική και y C x τότε και η y είναι γνησίως επαναληπτική. 7

8 Απόδειξη: Προκύπτει αμέσως από το Πόρισμα ;; αφού π x I(P ) και π x (y) > 0 E y T y <. Με βάση το παραπάνω Πόρισμα έχει νόημα να κάνουμε λόγο για γνησίως επαναληπτικές κλάσεις. Σημειώστε ότι εφόσον οι ανοιχτές κλάσεις μιας αλυσίδας είναι παροδικές τότε κάθε γνησίως επαναληπτική κλάση είναι κλειστή. Το ακόλουθο Πόρισμα συνοψίζει μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για το πότε μια κλειστή κλάση είναι γνησίως επαναληπτική και είναι συχνά ένας εύκολος τρόπος να αποδείξει κανείς την γνήσια επαναληπτικότητα μιας κλειστής κλάσης. Σημειώστε ότι για τον σκοπό αυτό αρκεί να περιορίσουμε την αλυσίδα σε αυτήν την κλειστή κλάση, οπότε η αλυσίδα που θα προκύψει θα είναι μη υποβιβάσιμη. Πόρισμα 4 Μια μη υποβιβάσιμη μαρκοβιανή αλυσίδα είναι γνησίως επαναληπτική αν και μόνο αν έχει αναλλοίωτη κατανομή. Απόδειξη: Το Θεώρημα ;; μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας αναλλοίωτης κατανομής π x αν υπάρχει μια επαναληπτική κατάσταση x. Αντίστροφα, αν η αλυσίδα έχει αναλλοίωτη κατανομή π τότε από το Πόρισμα ;; η αλυσίδα θα έχει μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση. Εφόσον η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη, από το Πόρισμα ;; όλες οι καταστάσεις της θα είναι γνησίως επαναληπτικές. Πόρισμα 5 Μια μη υποβιβάσιμη μαρκοβιανή αλυσίδα σ έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων είναι γνησίως επαναληπτική. Απόδειξη: Θεωρούμε ένα x X, και ορίζουμε T x inf{k > 0 : X k x} τον χρόνο πρώτης επιστροφής στην κατάσταση x. Εφόσον η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη ολόκληρος ο X είναι μια κλειστή και πεπερασμένη, και άρα επαναληπτική κλάση. Ετσι, P x T x <. Ορίζουμε την λ : X 0, με Tx λ(y) {X k y}, Από την απόδειξη του Θεωρήματος ;; έχουμε ότι λ λp, ενώ λ(x). Θα δείξουμε ότι λ(y) < για κάθε y X. Εφόσον η x είναι προσβάσιμη από την y επιλέγουμε m N τέτοιο ώστε p (m) (y, x) > 0. Ετσι λ(x) π(z)p (m) (z, x) λ(y)p (m) (y, x) λ(y) < p (m) (y, x) <. z X Αν ορίσουμε τώρα Z y X λ(y) (, ), και π(y) λ(y)/z για κάθε y X, εύκολα επιβεβαιώνουμε ότι π I(P ) και άρα από το Πόρισμα ;; η αλυσίδα είναι γνησίως επαναληπτική. Εχουμε ως τώρα δει ότι οποιαδήποτε αναλλοίωτη κατανομή δίνει μηδενικό βάρος σε κλάσεις που δεν είναι γνησίως επαναληπτικές (Πόρισμα ;;), ενώ για κάθε γνησίως επαναληπτική κλάση έχουμε κατασκευάσει μια αναλλοίωτη κατανομή π x που στηρίζεται στις καταστάσεις αυτής της κλάσης (Θεωρήματα ;; και ;;.) Θα δείξουμε στην συνέχεια ότι η αναλλοίωτη κατανομή που στηρίζεται σε μια γνησίως επαναληπτική κλάση είναι μοναδική. Οπως και στο προηγούμενο Πόρισμα, περιορίζοντας την αλυσίδα σε μια γνησίως επαναληπτική, και επομένως κλειστή κλάση, αρκεί να υποθέσουμε ότι η αλυσίδα μας είναι μη υποβιβάσιμη. Θεώρημα 5 Αν η {X n } n N0 είναι μια μη υποβιβάσιμη γνησίως επαναληπτική αλυσίδα τότε έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή. 8

9 Απόδειξη: Η ύπαρξη μιας τουλάχιστον αναλλοίωτης κατανομής εξασφαλίζεται από το Θεώρημα ;;. Θα αποδείξουμε εδώ την μοναδικότητα. Εστω λοιπόν π μια αναλλοίωτη κατανομή της {X n } n N0. Θεωρούμε ένα x X και ορίζουμε την αναλλοίωτη κατανομή π x όπως στο Θεώρημα ;;. Θα δείξουμε ότι π(y) π x (y) για κάθε κατάσταση y X. Εφόσον η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη η x θα είναι προσβάσιμη από την y. Υπάρχει επομένως m N τέτοιο ώστε p (m) (y, x) > 0. Εχουμε τώρα 0 π(x) π(x) π(x) π(x) π x (x) π x(x) π(z)p (m) (z, x) π(x) π x (z)p (m) (z, x) (π, π x I(P )) π x (x) z X z X ( π(z) π(x) π ) x(z) p (m) (z, x). π x (x) z X Από το Λήμμα ;; κάθε προσθετέος στο παραπάνω άθροισμα είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός. Για να είναι το άθροισμα 0 θα πρέπει όλοι οι προσθετέοι να είναι ίσοι με 0. Ειδικώτερα, ( π(y) π ) x(y) π x (x) π(x) p (m) (y, x) 0 π(y) π(x) π x (x) π x(y). Εφόσον η y είναι αυθαίρετα επιλεγμένη έχουμε ότι Αθροίζοντας τις παραπάνω σχέσεις σε όλα τα y X έχουμε π(y) π(x) π x (x) π x(y) για κάθε y X. (2) y X π(y) y X και άρα η (;;) γίνεται π(y) π x (y) για κάθε y X. π(x) π x (x) π x(y) π(x) π x (x), Παρατήρηση: Μια άμεση συνέπεια του Θεωρήματος ;; είναι ότι αν οι καταστάσεις x, y ανήκουν σε μια γνησίως επαναληπτική κλάση C τότε π x π y. Εχει λοιπόν νόημα να μιλάμε για την μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π C που αντιστοιχεί στην κλάση C. Το τελικό συμπέρασμα αυτής της παραγράφου είναι ότι κάθε αναλλοίωτη κατανομή είναι ένας κυρτός συνδυασμός τέτοιων κατανομών. Θεώρημα 6 Εστω R το σύνολο των γνησίως επαναληπτικών κλάσεων μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n } n N0 με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P. Τότε I(P ) co{π C : C R} { α(c)π C : α(c) 0 C R, και α(c) }. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε πρώτα ότι π α(c)π C με α(c) 0 και α(c). Είναι φανερό ότι π(x) 0 για κάθε x X ενώ α(c). π(x) α(c)π C (x) α(c) π C (x) x X x X x X Επομένως π M(X). Για να δείξουμε ότι π I(P ) και άρα co{π C : C R} I(P ) παρατηρούμε ότι ( ) πp α(c)π C P α(c)(π C P ) α(c)π C π. 9

10 Θα δείξουμε τώρα ότι I(P ) co{π C : C R}. Για µ I(P ) και C R τέτοια ώστε µc > 0 θεωρούμε τον περιορισμό µ C του µ στην κλάση C. Συγκεκριμένα, για κάθε A X έχουμε µ C A µ A C µ A C µ C. Θα δείξουμε ότι µ C π C. Η µ C είναι μια κατανομή που στηρίζεται στην κλειστή κλάση C και από το Θεώρημα ;; για να την ταυτίσουμε με την π C αρκεί να δείξουμε ότι είναι αναλλοίωτη. Πράγματι, για κάθε x C έχουμε p(y, x) 0 για κάθε y / C και άρα µ C (x) µ(x) µ C µ C µ(y)p(y, x) y X y C µ(y) µ C p(y, x) µ C (y)p(y, x). y C Δείξαμε λοιπόν ότι αν µ C > 0 τότε µ C π C. Αν µ C 0 ορίζουμε µ C π C. Από το Πόρισμα ;; έχουμε ότι µ C. Ετσι, για κάθε A X µ A µ και άρα (A C) µ A C µ C µ C A µ µ C π C µ C π C A, Παρατηρήστε ότι µ C 0 για κάθε C R και µ C µ C. Επομένως έχουμε γράψει το µ σαν ένα κυρτό συνδυασμό των π C και άρα I(P ) co{π C : C R}. 3 Παραδείγματα Στην προηγούμενη παράγραφο μελετήσαμε την δομή των αναλλοίωτων κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Είδαμε ότι για κάθε γνησίως επαναληπτική κλάση της C υπάρχει μια μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π C της αλυσίδας που στηρίζεται στην C (δηλαδή x / C π C (x) 0) και ότι κάθε αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας μπορεί να γραφτεί σαν ένας κυρτός συνδυασμός των κατανομών π C. Είδαμε όμως και αρκετούς τρόπους για να χαρακτηρίσουμε τις π C. Ετσι, αν έχουμε μια μη υποβιβάσιμη γνησίως επαναληπτική μαρκοβιανή αλυσίδα {X n } n N0 με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P (όπως είναι οποιαδήποτε μαρκοβιανή αλυσίδα περιορισμένη σε μια γνησίως επαναληπτική της κλάση) έχουμε τους ακόλουθους χαρακτηρισμούς για την μοναδική αναλλοίωτη κατανομή της π.. Η π είναι λύση του προβλήματος { π πp x X π(x) 2. Για κάθε x X, αν T x inf{k > 0 : X k x} έχουμε π(x) T x. 0

11 3. Για κάθε x, y X έχουμε Tx π(y) π(x) {X k y}. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει έναν τρόπο για να υπολογίσει την αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας και να πάρει από τους άλλους τρόπους ενδεχομένως χρήσιμες πληροφορίες. Παράδειγμα 2 Ενα έντομο κινείται στις κορυφές V ενός κανονικού ν-γώνου. Σε κάθε βήμα του μετακινείται σε μια από τις δύο γειτονικές κορυφές, με πιθανότητα p (0, ) κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού και με πιθανότητα p αντίστροφα από τους δείκτες του ρολογιού. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός βημάτων μέχρι να επιστρέψει στην αρχική του θέση; Η αλυσίδα που καταγράφει την θέση του εντόμου είναι μη υποβιβάσιμη, αφού το έντομο μπορεί να ε- πισκεφτεί όλες τις καταστάσεις και να επιστρέψει στην αρχική του κατάσταση κάνοντας ν βήματα κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού, ενδεχόμενο το οποίο έχει πιθανότητα p ν > 0. Εφόσον V < η αλυσίδα θα είναι γνησίως επαναληπτική και άρα θα έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι λόγω συμμετρίας η μοναδική αναλλοίωτη κατανομή θα είναι η ομοιόμορφη κατανομή στις κορυφές του ν-γώνου π(x) ν για κάθε x V. Πράγματι, για κάθε x V π(y)p(y, x) y V y V Επομένως ν p(y, x) ( ) p ( p) ν ν π(x). T x π(x) ν. Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να γενικευτεί κατά τον ακόλουθο τρόπο. Θα λέμε ότι ένας στοχαστικός πίνακας P είναι διπλά στοχαστικός αν x X p(x, y) για κάθε y X. Ετσι σε έναν διπλά στοχαστικό πίνακα και το άθροισμα των στοιχείων του κατά στήλη είναι ίσο με. Παρατηρήστε ότι ένας συμμετρικός πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης είναι πάντα διπλά στοχαστικός. Παράδειγμα 3 Μια μη υποβιβάσιμη μαρκοβιανή αλυσίδα που κινείται σε έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων X και έχει διπλά στοχαστικό πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή την ομοιόμορφη κατανομή στον X. Από το Θεώρημα ;;, η αλυσίδα έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή. Αρκεί λοιπόν να επαληθεύσουμε ότι η ομοιόμορφη κατανομή π : X 0, με π(x) X είναι αναλλοίωτη. Πράγματι, για κάθε x X έχουμε π(y)p(y, x) p(y, x) X X π(x), y X y X όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει επειδή οπίνακας πιθανοτήτων μετάβασης είναι διπλά στοχαστικός. Ε- πίσης, π(x) X X, X x X x X και άρα π I(P ).

12 Παράδειγμα 4 Σ ένα ράφι της βιβλιοθήκης σας υπάρχουν τρία βιβλία: Algebra, Basic Topology, Calculus, που θα συμβολίζουμε με A,B,C για συντομία. Κάθε πρωί παίρνετε τυχαία ένα βιβλίο από τη θέση του, με πιθανότητα p, q, r αντίστοιχα. Υποθέτουμε p, q, r > 0 με p q r. Οταν τελειώνετε το διάβασμά σας για την ημέρα το ξαναβάζετε στο ράφι στην αριστερότερη θέση. Η διάταξη των βιβλίων είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο X των μεταθέσεων των συμβόλων {A, B, C}. Αν κάποια στιγμή τα βιβλία είναι τοποθετημένα με αλφαβητική σειρά βρείτε τον αναμενόμενο αριθμό ημερών μέχρι τα βιβλία να ξαναβρεθούν τοποθετημένα με αλφαβητική σειρά. Πόσες κατά μέση τιμή ημέρες θα διαβάσετε το βιβλίο Calculus ενδιάμεσα σε αυτές τις στιγμές. Ας απαριθμήσουμε τις δυνατές καταστάσεις με την εξής σειρά X {ABC, CAB, BCA, BAC, ACB, CBA}. Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης της αλυσίδας είναι ο p r 0 q r q 0 p 0 P p 0 q 0 0 r p 0 0 q 0 r. 0 r 0 q p q 0 p r Το ότι η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη είναι διαισθητικά φανερό. Μπορείτε να δείτε ότι όποια κι αν είναι η αρχική της κατάσταση, αν επιλέξετε τις δυο πρώτες μέρες το δεξιότερο βιβλίο, την τρίτη μέρα το μεσαίο βιβλίο, και τις δυο επόμενες πάλι το δεξιότερο βιβλίο (ενδεχόμενο το οποίο έχει θετική πιθανότητα) τότε η διάταξη των βιβλίων στο ράφι θα έχει περάσει από όλες τις δυνατές καταστάσεις της. Εφόσον ο χώρος καταστάσεων είναι πεπερασμένος όλες οι καταστάσεις θα είναι γνησίως επαναληπτικές. Για να βρούμε την μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π λύνουμε το ομογενές σύστημα εξισώσεων π πp. Ας δούμε τις εξισώσεις που αφορούν σε καταστάσεις με το A ως αριστερότερο βιβλίο: π(abc) pπ(abc) pπ(bac) pπ(bca) (3) π(acb) pπ(acb) pπ(cab) pπ(cba). (4) Αν S A {ABC, ACB}, προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε π(s A ) p x X π(x) p. Ομοια, αν S B {BAC, BCA} και S C {CAB, CBA} τότε π(s B ) q, π(s C ) r. Από τις (;;), (;;) παίρνουμε τελικά ότι π(abc) p p π(s B) pq p και π(acb) p p π(s C) pr p. (5) Οι πιθανότητες των άλλων καταστάσεων βρίσκονται με ανάλογο τρόπο, οπότε τελικά π ( pq p, rp r, qr q, qp q, pr p, rq r ). Εχοντας βρει την αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας μπορούμε εύκολα να απαντήσουμε τα υπόλοιπα ερωτήματα. Ετσι, αν T ABC inf{k > 0 : X k ABC} τότε E T ABC X 0 ABC π(abc) p pq. Κάθε φορά που διαβάζετε το βιβλίο Calculus το τοποθετείτε αριστερά οπότε η αλυσίδα περνά από μια από της καταστάσεις του S C. Ετσι, T ABC E { } X k S C X0 ABC πs C π(abc) ( p)r. pq 2

13 4 Ασκήσεις Ασκηση Η {Xn }n N0 είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο καταστάσεων X {, 2, 3, 4} με πίνακα μετάβασης 0 /2 /3 /6 /2 0 /4 /4 P 0 /2 0 /2. /2 /3 /6 0 α) Βρείτε την αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας. β) Αν X0 υπολογίστε τον αναμενόμενο χρόνο πρώτης επιστροφής T inf{k > 0 : Xk } στην κατάσταση. γ) Υπολογίστε τον αναμενόμενο αριθμό επισκέψεων στην κατάσταση 3 μέχρι τη συμπλήρωση 93 επιστροφών στην κατάσταση. Ασκηση 2 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάτοψη ενός σπιτιού με 5 δωμάτια: κουζίνα (Κ), βιβλιοθήκη (Β), σαλόνι (Σ), υπνοδωμάτιο (Υ), και μπάνιο (Μ), και οι πόρτες που τα συνδέουν. Ενα έντομο που ζει στο σπίτι, κάθε βράδυ διασχίζει τυχαία μια από τις πόρτες του δωματίου που βρίσκεται, και παραμένει στο δωμάτιο που οδηγεί Β Κ η πόρτα μέχρι το επόμενο βράδυ. Αρχικά το έντομο βρίσκεται στο μπάνιο. α) Αν {Xn : n 0,, 2,...} είναι η μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο καταστάσεων {Κ,Β,Σ,Υ,Μ} που περιγράφει τη θέση του εντόμου κάθε Σ μέρα, βρείτε τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P της {Xn }. β) Βρείτε όλες τις αναλλοίωτες κατανομές της {Xn }. γ) Υπολογίστε τον αναμενόμενο αριθμό ημερών μέχρι την πρώτη επιστροφή Μ Υ του εντόμου στο μπάνιο. δ) Υπολογίστε τον αναμενόμενο αριθμό ημερών που θα περάσει το έντομο στο σαλόνι μέχρι την πρώτη του επιστροφή στο μπάνιο. ε) Αν ένα άλλο έντομο αρχικά βρίσκεται στην κουζίνα και μετακινείται κάθε μέρα όπως το πρώτο, ποια είναι η πιθανότητα κάποια μέρα τα δύο έντομα να βρεθούν στο ίδιο δωμάτιο; Ασκηση 3 Ενας παντοπώλης εφοδιάζεται κάθε πρωί με ένα πακέτο μπισκότα. ότι Εχει παρατηρήσει η ημερήσια ζήτηση είναι μια τυχαία μεταβλητή X με κατανομή P X 0, P X, P X , P X 3 2. Περιγράψτε την ποσότητα από μπισκότα που έχει στο παντοπωλείο κάθε βράδυ σαν μια μαρκοβιανή αλυσίδα και βρείτε την αναλλοίωτη κατανομή της. Αν χτες το βράδυ δεν είχε μείνει κανένα πακέτο μπισκότα στο παντοπωλείο, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός ημερών μέχρι την επόμενη φορά που το παντοπωλείο θα μείνει χωρίς μπισκότα; Ασκηση 4 Μια μαρκοβιανή αλυσίδα στον X N0 μετατοπίζεται ένα βήμα προς τα αριστερά όταν δεν βρίσκεται στο 0, και όταν φτάσει στο 0 κάνει ένα άλμα που ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο q (0 < q < ). Υπολογίστε την αναλλοίωτη κατανομή της με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Ασκηση 5 Μια μαρκοβιανή αλυσίδα στον X {0,, 2,...} έχει πιθανότητες μετάβασης p(k, k ) p <, p(k, 0) p, k X. Βρείτε την αναλλοίωτη κατανομή της. Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του χρόνου που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές επισκέψεις στο 3; Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός επισκέψεων στο 0 ανάμεσα σε δύο διαδοχικές επισκέψεις στο 3; Ασκηση 6 Ο κύριος Χ αντιμετωπίζει ένα σοβαρό πρόβλημα μνήμης. Κάθε νύχτα ξεχνά ένα μέρος από τα πρόσωπα που γνωρίζει. Συγκεκριμένα, αν θυμάται k πρόσωπα πριν πέσει για ύπνο, το πλήθος των 3

14 προσώπων που εξακολουθεί να θυμάται μόλις ξυπνήσει μπορεί να είναι 0,, 2,..., k, καθένα με πιθανότητα /(k ). Ο γιατρός που τον παρακολουθεί του μαθαίνει κάθε μέρα ένα πρόσωπο, διαφορετικό από αυτά που θυμάται. Αν X n είναι το πλήθος των προσώπων που ο κύριος Χ θυμάται το βράδυ της n-στης ημέρας α) Βρείτε τις πιθανότητες μετάβασης p(j, k), j, k N της αλυσίδας X n. β) Δείξτε ότι η μοναδική αναλλοίωτη κατανομή της {X n } είναι η π : N 0, με π(k) e(k )!. γ) Αν κάποιο βράδυ ο κύριος Χ θυμάται 3 πρόσωπα πριν πέσει για ύπνος ποιος είναι ο αναμενόμενος χρόνος που θα μεσολαβήσει μέχρι το επόμενο βράδυ που θα θυμάται πάλι 3 πρόσωπα; Άσκηση 7 Αν R είναι το σύνολο των γνησίως επαναληπτικών κλάσεων μιας αλυσίδας {X n } n και π I(P ), δείξτε ότι υπάρχει μόνο ένας τρόπος να γράψουμε την π ως π α(c)π C. Άσκηση 8 Δείξτε ότι για μια μαρκοβιανή αλυσίδα σε έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων X με γεννήτορα L και αναλλοίωτη κατανομή π έχουμε π(x)f(x)lf(x) 2 x X x,y X π(x)p(x, y) ( f(y) f(x) ) 2. Συμπεράνετε ότι αν η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη και Lf(x) 0 για κάθε x X τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση. Άσκηση 9 (Η σταθερά του Kemeny) Εστω {X n } n μια μη υποβιβάσιμη αλυσίδα σε έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων X με αναλλοίωτη κατανομή π. Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή Y ανεξάρτητη από τις {X n } και με κατανομή π, δηλαδή P Y x π(x), x X. Ορίζουμε τώρα T Y inf{k 0 : X k Y }. Ποια είναι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X TY ; Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x) E T Y X 0 x είναι σταθερή. 5 Αριθμητικά πειράματα Άσκηση 0 Σ αυτήν την άσκηση θα δούμε πώς μπορούμε να κάνουμε γραφικές παραστάσεις με την Python. Κατεβάστε το πρόγραμμα example plot.py και αποθηκεύστε το στον κατάλογο που θα δουλέψετε. Τρέξτε το πρόγραμμα. Το πρόγραμμα τυπώνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης x 32x 3 στο διάστημα (0,6) σε κανονική και λογαριθμική (με βάση το 2) κλίμακα. α) Γιατί σε λογαριθμική κλίμακα βλέπουμε μια ευθεία; β) Εκτιμήστε γραφικά την κλίση της ευθείας και το σημείο που τέμνει τον άξονα y y. Για τα επόμενα 2 ερωτήματα ίσως σας βοηθήσει να έχετε ανοίξει τον κώδικα με έναν επεξεργαστή κειμένου σε ένα τερματικό, και να εκτελείτε το πρόγραμμα από ένα άλλο τερματικό. γ) Αλλάξτε την συνάρτηση σε x 8x 3 και ξανατρέξτε το πρόγραμμα. Πώς αλλάζει το διάγραμμα σε λογαριθμική κλίμακα; δ) Αλλάξτε την συνάρτηση σε x 8x 2 και ξανατρέξτε το πρόγραμμα. Πώς αλλάζει το διάγραμμα σε λογαριθμική κλίμακα; Κλείστε τώρα το παράθυρο γραφικών και αλλάξτε το πρόγραμμα ώστε να ξαναπάρετε την γραφική παράσταση της x 32x 3. Αφαιρέστε το σύμβολο # που καθιστά σχολιασμό τις δύο γραμμές στο τέλος του προγράμματος a,b np.polyfit(newx,newy,) 4

15 print "The fitted line is y%.2f*x%.2f " % (a,b) Η πρώτη υπολογίζει τους συντελεστές της ευθείας y ax b που προσαρμόζεται καλύτερα στα σημεία (newx,newy). Η παράμετρος δηλώνει ότι θέλουμε να προσαρμόσουμε ένα πολυώνυμο βαθμού, δηλαδή μια ευθεία. Η δεύτερη γραμμή απλά τυπώνει το αποτέλεσμα (με δύο δεκαδικά ψηφία) για τον χρήστη. Ξανατρέξτε το πρόγραμμα. ε) Συμφωνεί το αποτέλεσμα για τα a, b με αυτό που βρήκατε στο ερώτημα (β); Άσκηση Κατεβάστε το πρόγραμμα variance.py και αποθηκεύστε το στον κατάλογο που θα δουλέψετε. Το πρόγραμμα προσομοιώνει μια αλυσίδα στον χώρο καταστάσεων X {, 2, 3, 4, 5}, και υπολογίζει με την μέθοδο Monte Carlo τον αναμενόμενο χρόνο επιστροφής στην κατάσταση, E T X 0, όπου T inf{k > 0 : X k }. Η εκτίμηση για την E T X 0 λαμβάνεται προσομοιώνοντας την αλυσίδα N φορές, παίρνοντας N ανεξάρτητα δείγματα t,..., t N του χρόνου επιστροφής στο, και παίρνοντας τον μέσο όρο αυτών των δειγμάτων. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών εγγυάται ότι ο μέσος όρος αυτών των N ανεξάρτητων δειγμάτων της τυχαίας μεταβλητής T είναι για αρκετά μεγάλο N κοντά στην E T X 0 με μεγάλη πιθανότητα. Θα καλούμε την E N t t 2 t N N εκτιμήτρια Monte Carlo της αναμενόμενης τιμής E T X 0. Φυσικά η E N είναι μια τυχαία μεταβλητή και αν ξανακάνουμε το πείραμα θα πάρουμε μια διαφορετική εκτίμηση. α) Τρέξτε το πρόγραμμα μερικές φορές και δείτε πόσο διαφέρουν οι εκτιμήσεις που παίρνουμε κάθε φορά για την E T X 0. Επαναλάβετε για N 2 6, 2 7,..., 2 2. Φαίνεται να διαφέρουν λιγότερο οι διαφορετικές εκτιμήσεις καθώς μεγαλώνει το N; Σκοπός αυτής της άσκησης είναι να βρούμε υπολογιστικά πώς επηρεάζεται η διασπορά της εκτιμήτριας E N από το πλήθος των επαναλήψεων N. β) Φτιάξτε έναν βρόχο που θα κάνει M 30 εκτιμήσεις της E T X 0 για κάθε δεδομένη τιμή του N και αποθηκεύστε αυτές τις M εκτιμήσεις στην λίστα mcestimates. γ) Υπολογίστε την δειγματική μέση τιμή και την δειγματική διασπορά αυτών των εκτιμήσεων αφαιρώντας τον σχολιασμό από τις εντολές sample mean float( sum(mcestimates) ) / M squared distance from mean (e - sample mean)**2 for e in mcestimates sample variance float(sum ( squared distance from mean )) / (M-) που βρίσκονται στο τέλος του προγράμματος. δ) Φτιάξτε έναν βρόχο που κάνει τον παραπάνω υπολογισμό για N 2 6, 2 7,..., 2 4 και παραστήστε γραφικά πώς εξαρτάται η δειγματική μέση τιμή και η δειγματική τυπική απόκλιση από το N. ε) Υπολογίστε θεωρητικά την E T X 0. Συμφωνεί το αριθμητικό αποτέλεσμα που βρήκατε με την θεωρητική τιμή; στ) Σχεδιάστε σε λογαριθμική κλίμακα πώς εξαρτάται η δειγματική τυπική απόκλιση της εκτιμήτριας Monte Carlo από το N. Ποια είναι η κλίση της ευθείας στο λογαριθμικό διάγραμμα; Συμφωνεί αυτό που βρήκατε με το κεντρικό οριακό θεώρημα; 5

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ» ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ» Του σπουδαστή ΣΤΑΜΟΥΛΗ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Επιβλέπων Δρ ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα