= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Οι αναλλοίωτες κατανομές είναι κατά κάποιο τρόπο οι φυσικές καταστάσεις μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Αν μια αλυσίδα ξεκινήσει από μια αναλλοίωτη κατανομή της θα παραμείνει σε αυτήν για πάντα, ενώ η ασυμπτωτική συμπεριφορά μιας αλυσίδας μπορεί να χαρακτηριστεί μέσω αυτών. Επίσης, οι απαντήσεις σε πολλά προβλήματα μπορούν εύκολα να εκφραστούν μέσω των αναλλοίωτων κατανομών. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη αναλλοίωτων κατανομών, θα μελετήσουμε τις ιδιότητές και την δομή τους. Αναλλοίωτες κατανομές Θα συμβολίζουμε το σύνολο των κατανομών στον X με M(X). Ετσι π M(X) η π είναι μια συνάρτηση π : X 0, με x X π(x). Εστω {X n } n N μια μαρκοβιανή αλυσίδα με αρχική κατανομή π 0 και πιθανότητες μετάβασης {p(x, y)} x,y X. Θα συμβολίζουμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X n με π n, δηλαδή π n (x) P X n x για x X. () Το κεντρικό ερώτημα αυτού του κεφαλαίου είναι αν η π n συγκλίνει καθώς n, και αν ναι, ποιο είναι το όριό της π. Ορισμός Αν {π n } n είναι μια ακολουθία κατανομών στο M(X), θα λέμε ότι συγκλίνει στην κατανομή π M(X) αν και μόνο η πιθανότητα που αποδίδει η π n σε κάθε κατάσταση συγκλίνει στην αντίστοιχη πιθανότητα που αποδίδει η π. Δηλαδή, π n π M(X) π n (x) π(x) για κάθε x X (2) Παρατήρηση: Από ένα αποτέλεσμα της θεωρίας μέτρου, το λήμμα του Scheffé (βλ. ;, παρ. 5.0), ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με το φαινομενικά ισχυρότερο αποτέλεσμα π n π M(X) x X π n (x) π(x) 0. (3) Ορισμός: Αν η {π n } n είναι η ακολουθία των κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n }, αν δηλαδή η π n ορίζεται όπως στην (;;) για κάθε n N 0, και π n π M(X), θα λέμε ότι η π είναι η κατανομή ισορροπίας (ή εναλλακτικά η ασυμπτωτική κατανομή) της {X n }. Το πρώτο μας αποτέλεσμα χαρακτηρίζει τις υποψήφιες κατανομές ισορροπίας μαρκοβιανών αλυσίδων. Θεώρημα Αν η ακολουθία {π n } n των κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n } n N με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P συγκλίνει στην κατανομή π M(X) τότε π πp, δηλαδή π(x) y X π(y)p(y, x) για κάθε x X. (4)

2 Απόδειξη: Είδαμε στο δεύτερο κεφάλαιο ότι η κατανομή π n μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n } n μετά από n βήματα, δηλαδή η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X n, δίνεται από την Επομένως για κάθε n N έχουμε π n π 0 P n. π n π 0 (P n P ) (π 0 P n )P π n P, δηλαδή π n (x) y X π n (y)p(y, x) για κάθε x X. Παίρνοντας το όριο καθώς n στα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης το αριστερό μέλος συγκλίνει στην π(x), ενώ για το δεξί μέλος έχουμε π n (y)p(y, x) y X y X π(y)p(y, x) y X π n (x) π(x) p(y, x) y X π n (x) π(x) 0, από την (;;). Επομένως π(x) y X π(y)p(y, x) για κάθε x X. Σύμφωνα με το προηγούμενο Θεώρημα τα μόνα υποψήφια όρια των κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P είναι εκείνες οι π : X 0, για τις οποίες { π πp x X π(x). (5) Ορισμός: Αν μια κατανομή π M(X) ικανοποιεί την (;;) θα λέμε ότι είναι αναλλοίωτη (ή στάσιμη) κατανομή για την αλυσίδα {X n } n με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P. Το Θεώρημα ;; μπορούμε να το αναδιατυπώσουμε και ως εξής. Οι μόνες δυνατές κατανομές ισορροπίας μιας μαρκοβιανής αλυσίδας είναι οι αναλλοίωτες κατανομές της. Η ορολογία αναλλοίωτη και στάσιμη εξηγείται από το παρακάτω Θεώρημα. Θεώρημα 2 Αν η αρχική κατανομή π 0 M(X) μιας αλυσίδας στον X με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P ικανοποιεί την (;;) τότε π n π 0 για κάθε n N. Επιπλέον, η {X n } n N0 είναι στάσιμη, δηλαδή για κάθε n, k N 0 και κάθε x 0, x,..., x k X έχουμε P X n x 0, X n x,..., X nk x k P X0 x 0, X x,..., X k x k. Απόδειξη: Θα δείξουμε τον ισχυρισμό π n π 0 για κάθε n N επαγωγικά. Για n έχουμε π π 0 P π 0, μια και για την π 0 έχουμε υποθέσει ότι ικανοποιεί την (;;). Εστω τώρα ότι για κάποιο n N έχουμε π n π 0. Τότε π n π n P π 0 P π 0. Επομένως π n π 0 για κάθε n N. Για τον δεύτερο ισχυρισμό έχουμε από την μαρκοβιανή ιδιότητα P X n x 0,..., X nk x k P Xn x 0 P Xn x X n x 0 P Xnk x k X nk x k π n (x 0 )p(x 0, x ) p(x k, x k ) π 0 (x 0 )p(x 0, x ) p(x k, x k ) P X 0 x 0, X x,..., X k x k. 2

3 Παράδειγμα Εστω {X n } n μια μαρκοβιανή αλυσίδα σε έναν χώρο με δύο καταστάσεις X {α, β} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P ( p p q q με p, q (0, ). Από την (;;) προκειμένου η π (π α, π β ) να είναι αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας θα πρέπει να ικανοποιεί τις π a ( p)π α qπ β π β pπ α ( q)π β π α π β. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε ότι η π ( q p q, p ) p q είναι αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας. Επομένως αν η αρχική κατανομή της αλυσίδας είναι η π, αν δηλαδή P X 0 α q και P X 0 β p p q p q τότε π n π για κάθε n N. Προσέξτε ότι σε κάθε της βήμα η αλυσίδα αλλάζει κατάσταση με πιθανότητα p αν βρίσκεται στην κατάσταση α ή q αν βρίσκεται στην κατάσταση β. Αυτό που δεν αλλάζει είναι η κατανομή της X n, δηλαδή η πιθανότητα να βρούμε την αλυσίδα σε καθεμιά από τις δύο καταστάσεις. 2 Η δομή του I(P ) Στην συνέχεια θα εξετάσουμε αν μπορούμε να βρούμε αναλλοίωτες κατανομές για μια αλυσίδα, και στην περίπτωση που μπορούμε ποιες είναι αυτές. Θα συμβολίζουμε με I(P ) το σύνολο των αναλλοίωτων κατανομών μιας αλυσίδας με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P, δηλαδή Το επόμενο λήμμα θα μας φανεί πολύ χρήσιμο ), I(P ) {π M(X) : π πp }. Λήμμα Αν {X n } n N0 είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P και π I(P ) τότε για κάθε x, y X έχουμε Tx π(y) π(x) {X k y}. (6) Απόδειξη: Εστω π I(P ). Για κάθε x, y X έχουμε π(y) π(z)p(z, y) π(x)p(x, y) π(z)p(z, y) z X z x π(x)p(x, y) ( ) π(u)p(u, z) p(z, y) z x u X ( π(x) p(x, y) ) p(x, z)p(z, y) π(u)p(u, z)p(z, y) z x z,u x 3

4 Ας επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία ακόμα μια φορά, γράφοντας π(u) w X π(w)p(w, u) π(x)p(x, u) w x π(w)p(w, u). Παίρνουμε τότε ότι ( π(y) π(x) p(x, y) p(x, z)p(z, y) ) p(x, u)p(u, z)p(z, y) z x z,u x π(w)p(w, u)p(u, z)p(z, y). (7) z,u,w x Προσέξτε ότι στον όρο z,u x p(x, u)p(u, z)p(z, y) αθροίζουμε τις πιθανότητες όλων των μονοπατιών μήκους 3 που ξεκινούν από το x και καταλήγουν στο y χωρίς ενδιάμεσα να έχουν ξαναπεράσει από το x. Άρα, p(x, u)p(u, z)p(z, y) P x X x, X 2 x, X 3 y P x X3 y, T x 3. z,u x Αντίστοιχα έχουμε p(x, z)p(z, y) P x X x, X 2 y P x X2 y, T x 2 ενώ z x p(x, y) P x X y P x X y, T x. Με αυτήν παρατήρηση μπορούμε να ξαναγράψουμε την (;;) ως ( 3 π(y) π(x) P x Xk y, T x k ) z,u,w x π(w)p(w, u)p(u, z)p(z, y). Θα πρέπει να είναι τώρα φανερό ότι αν επαναλάβουμε αυτήν την διαδικασία n φορές έχουμε ότι ( n π(y) π(x) P x Xk y, T x k ) x,...,x n x ( n π(x) P x Xk y, T x k ) για κάθε n N. Περνώντας στο όριο n έχουμε λοιπόν ( π(y) π(x) P x Xk y, T x k ) ( π(x) {Xk y, T x k} ). π(x )p(x, x 2 ) p(x n, y) (8) Εφόσον οι δείκτριες συναρτήσεις που εμφανίζονται παραπάνω είναι μη αρνητικές, από το θεώρημα Fubini- Tonelli μπορούμε να εναλλάξουμε την άθροιση ως προς k και την αναμενόμενη τιμή, παίρνοντας π(y) π(x) {X k y, T x k} Tx π(x) {X k y}. 4

5 Ορισμός: Θα λέμε μια κατάσταση x X γνησίως επαναληπτική αν T x <. Η γνήσια επαναληπτικότητα είναι μια έννοια ισχυρότερη της επαναληπτικότητας, αφού αν T x < τότε αναγκαστικά έχουμε P x T x <, και άρα η x είναι επαναληπτική. Το ακόλουθο Πόρισμα μας εγγυάται ότι οποιαδήποτε αναλλοίωτη κατανομή μιας αλυσίδας στηρίζεται σε γνησίως επαναληπτικές καταστάσεις. Πόρισμα Αν π I(P ) και x X τότε T x π(x) 0. Απόδειξη: Αθροίζοντας τις ανισότητες (;;) για όλα τα y X έχουμε y X π(y) π(x) y X Tx {X k y} Tx π(x) y X {X k y}, όπου χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα Fubini-Tonelli για να εναλλάξουμε την σειρά των αθροίσεων και της αναμενόμενης τιμής. Προσέξτε όμως ότι στο άθροισμα ως προς y υπάρχει ακριβώς ένας όρος {X k y} που είναι ίσος με (αυτός που αντιστοιχεί στην κατάσταση της X k ) ενώ όλοι οι υπόλοιποι είναι μηδέν. Επομένως, η παραπάνω ανισότητα γίνεται απ όπου έπεται ο ισχυρισμός μας. Tx π(x) π(x) T x, Πόρισμα 2 Αν μια μαρκοβιανή αλυσίδα έχει αναλλοίωτη κατανομή τότε έχει τουλάχιστον μία γνησίως επαναληπτική κατάσταση. Απόδειξη: Αν π I(P ) τότε π(y) 0 για κάθε y X και y X π(y). Θα υπάρχει επομένως κάποια κατάσταση x για την οποία π(x) > 0 και άρα από το Πόρισμα ;; θα πρέπει T x <. Στο επόμενο θεώρημα θα δείξουμε ότι και το αντίστροφο του προηγούμενου πορίσματος είναι σωστό. Δηλαδή, αν μια αλυσίδα έχει μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση x τότε έχει και αναλλοίωτη κατανομή, κατασκευάζοντας μια εκπεφρασμένα. Η ιδέα προέρχεται από το Λήμμα ;;. Θεώρημα 3 Εστω x X μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση. Ορίζουμε π x (y) Tx T {X k y} x Η π x είναι αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας {X n } n N0, και π x (x) T x. (9) 5

6 Παρατήρηση: Μπορούμε να σκεφτούμε την κατανομή π x ως εξής. Ξεκινώντας από την x κάνουμε μια εκδρομή μέχρι να επιστρέψουμε πάλι στην κατάσταση x, δηλαδή μέχρι τον χρόνο διακοπής T x. Κατά την διάρκεια αυτής της εκδρομής σημειώνουμε πόσες επισκέψεις κάναμε στην κατάσταση y X. Το πλήθος αυτών των επισκέψεων είναι T x {X k y} και είναι βέβαια μια τυχαία μεταβλητή. Το βάρος που δίνει η π x στην κατάσταση y είναι ανάλογο προς το αναμενόμενο πλήθος τον επισκέψεων μας στην κατάσταση y κατά τη διάρκεια αυτής της εκδρομής γύρω από την x. Η σταθερά αναλογίας που εμφανίζεται είναι απλά ένας παράγοντας κανονικοποίησης T x ώστε η π x να είναι κατανομή. Απόδειξη: Ας δούμε πρώτα ότι π x M(X). Πράγματι, είναι φανερό από τον ορισμό ότι π x (y) 0 για κάθε y X, ενώ π x (y) y X T x y X Tx {X k y} Tx T x y X {X k y} E x T x T. x Ο ισχυρισμός της (;;) προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του χρόνου T x inf{k : X k x}, αφού κατά την διάρκεια της εκδρομής γύρω από την x, δηλαδή για k {, 2,..., T x } η αλυσίδα μας βρίσκεται στην x μόνο την χρονική στιγμή T x. Θα δείξουμε τώρα ότι η π x είναι αναλλοίωτη. Πράγματι, για κάθε y X έχουμε Tx π x (y) π x (x) {X k y} π x (x) z X {X k y, T x k} π x (x) {X k z, X k y, T x k} π x (x) z X π x (x) z X {X k z, X k y, T x k} (θ. Fubini-Tonelli) P x Xk z, X k y, T x k (0) Παρατηρήστε τώρα ότι {T x k} {X x, X 2 x,, X k x}, επομένως το ενδεχόμενο {T x k} ανήκει στην κλάση F k. Ετσι, από την μαρκοβιανή ιδιότητα έχουμε P x Xk y X k z, T x k P x Xk y X k z p(z, y), 6

7 και η σχέση (;;) γίνεται Παρατηρήστε τέλος ότι π x (y) π x (x) z X p(z, y) π x (x) z X p(z, y) π x (x) z X P x Xk z, T x k {Xk z, T x k} p(z, y) {X k z, T x k} (θ. Fubini-Tonelli) π x (x) Tx p(z, y) {X k z}. () z X Tx mk {X k z} x T {X m z} m0 Tx m {X m z}, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει γιατί η αλυσίδα μας με P x -πιθανότητα βρίσκεται στην x τόσο την χρονική στιγμή 0 όσο και την χρονική στιγμή T x. Ετσι, η (;;) γίνεται π x (y) z X και επομένως π x I(P ). Tx p(z, y)π x (x) m {X m z} p(z, y)π x (z), z X Οπως είδαμε μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση x X είναι επαναληπτική και άρα ανήκει αναγκαστικά σε μια κλειστή κλάση C x. Από την κατασκευή της κατανομής π x είναι φανερό ότι y / C x π x (y) 0, αφού αν y / C x η αλυσίδα που ξεκινά από το x αποκλείεται να επισκεφτεί την κατάσταση y ποτέ, και ειδικώτερα αποκλείεται να επισκεφτεί την y μέχρι να επιστρέψει στην x. Θα δείξουμε τώρα ότι η π x δίνει θετικό βάρος σε όλες τις καταστάσεις της κλάσης C x. Θεώρημα 4 Αν η κατάσταση x είναι γνησίως επαναληπτική και y C x τότε π x (y) > 0. Απόδειξη: Εφόσον η y είναι προσβάσιμη από την x υπάρχει m N τέτοιο ώστε p (m) (x, y) > 0. Επίσης εύκολα μπορούμε να δείξουμε επαγωγικά ότι π x I(P ) π x π x P π x π x P m. Επομένως π x (y) z X π x (z)p (m) (z, y) π x (x)p (m) (x, y) > 0. Πόρισμα 3 Η γνήσια επαναληπτικότητα είναι ιδιότητα κλάσης, δηλαδή αν η κατάσταση x είναι γνησίως επαναληπτική και y C x τότε και η y είναι γνησίως επαναληπτική. 7

8 Απόδειξη: Προκύπτει αμέσως από το Πόρισμα ;; αφού π x I(P ) και π x (y) > 0 E y T y <. Με βάση το παραπάνω Πόρισμα έχει νόημα να κάνουμε λόγο για γνησίως επαναληπτικές κλάσεις. Σημειώστε ότι εφόσον οι ανοιχτές κλάσεις μιας αλυσίδας είναι παροδικές τότε κάθε γνησίως επαναληπτική κλάση είναι κλειστή. Το ακόλουθο Πόρισμα συνοψίζει μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για το πότε μια κλειστή κλάση είναι γνησίως επαναληπτική και είναι συχνά ένας εύκολος τρόπος να αποδείξει κανείς την γνήσια επαναληπτικότητα μιας κλειστής κλάσης. Σημειώστε ότι για τον σκοπό αυτό αρκεί να περιορίσουμε την αλυσίδα σε αυτήν την κλειστή κλάση, οπότε η αλυσίδα που θα προκύψει θα είναι μη υποβιβάσιμη. Πόρισμα 4 Μια μη υποβιβάσιμη μαρκοβιανή αλυσίδα είναι γνησίως επαναληπτική αν και μόνο αν έχει αναλλοίωτη κατανομή. Απόδειξη: Το Θεώρημα ;; μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας αναλλοίωτης κατανομής π x αν υπάρχει μια επαναληπτική κατάσταση x. Αντίστροφα, αν η αλυσίδα έχει αναλλοίωτη κατανομή π τότε από το Πόρισμα ;; η αλυσίδα θα έχει μια γνησίως επαναληπτική κατάσταση. Εφόσον η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη, από το Πόρισμα ;; όλες οι καταστάσεις της θα είναι γνησίως επαναληπτικές. Πόρισμα 5 Μια μη υποβιβάσιμη μαρκοβιανή αλυσίδα σ έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων είναι γνησίως επαναληπτική. Απόδειξη: Θεωρούμε ένα x X, και ορίζουμε T x inf{k > 0 : X k x} τον χρόνο πρώτης επιστροφής στην κατάσταση x. Εφόσον η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη ολόκληρος ο X είναι μια κλειστή και πεπερασμένη, και άρα επαναληπτική κλάση. Ετσι, P x T x <. Ορίζουμε την λ : X 0, με Tx λ(y) {X k y}, Από την απόδειξη του Θεωρήματος ;; έχουμε ότι λ λp, ενώ λ(x). Θα δείξουμε ότι λ(y) < για κάθε y X. Εφόσον η x είναι προσβάσιμη από την y επιλέγουμε m N τέτοιο ώστε p (m) (y, x) > 0. Ετσι λ(x) π(z)p (m) (z, x) λ(y)p (m) (y, x) λ(y) < p (m) (y, x) <. z X Αν ορίσουμε τώρα Z y X λ(y) (, ), και π(y) λ(y)/z για κάθε y X, εύκολα επιβεβαιώνουμε ότι π I(P ) και άρα από το Πόρισμα ;; η αλυσίδα είναι γνησίως επαναληπτική. Εχουμε ως τώρα δει ότι οποιαδήποτε αναλλοίωτη κατανομή δίνει μηδενικό βάρος σε κλάσεις που δεν είναι γνησίως επαναληπτικές (Πόρισμα ;;), ενώ για κάθε γνησίως επαναληπτική κλάση έχουμε κατασκευάσει μια αναλλοίωτη κατανομή π x που στηρίζεται στις καταστάσεις αυτής της κλάσης (Θεωρήματα ;; και ;;.) Θα δείξουμε στην συνέχεια ότι η αναλλοίωτη κατανομή που στηρίζεται σε μια γνησίως επαναληπτική κλάση είναι μοναδική. Οπως και στο προηγούμενο Πόρισμα, περιορίζοντας την αλυσίδα σε μια γνησίως επαναληπτική, και επομένως κλειστή κλάση, αρκεί να υποθέσουμε ότι η αλυσίδα μας είναι μη υποβιβάσιμη. Θεώρημα 5 Αν η {X n } n N0 είναι μια μη υποβιβάσιμη γνησίως επαναληπτική αλυσίδα τότε έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή. 8

9 Απόδειξη: Η ύπαρξη μιας τουλάχιστον αναλλοίωτης κατανομής εξασφαλίζεται από το Θεώρημα ;;. Θα αποδείξουμε εδώ την μοναδικότητα. Εστω λοιπόν π μια αναλλοίωτη κατανομή της {X n } n N0. Θεωρούμε ένα x X και ορίζουμε την αναλλοίωτη κατανομή π x όπως στο Θεώρημα ;;. Θα δείξουμε ότι π(y) π x (y) για κάθε κατάσταση y X. Εφόσον η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη η x θα είναι προσβάσιμη από την y. Υπάρχει επομένως m N τέτοιο ώστε p (m) (y, x) > 0. Εχουμε τώρα 0 π(x) π(x) π(x) π(x) π x (x) π x(x) π(z)p (m) (z, x) π(x) π x (z)p (m) (z, x) (π, π x I(P )) π x (x) z X z X ( π(z) π(x) π ) x(z) p (m) (z, x). π x (x) z X Από το Λήμμα ;; κάθε προσθετέος στο παραπάνω άθροισμα είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός. Για να είναι το άθροισμα 0 θα πρέπει όλοι οι προσθετέοι να είναι ίσοι με 0. Ειδικώτερα, ( π(y) π ) x(y) π x (x) π(x) p (m) (y, x) 0 π(y) π(x) π x (x) π x(y). Εφόσον η y είναι αυθαίρετα επιλεγμένη έχουμε ότι Αθροίζοντας τις παραπάνω σχέσεις σε όλα τα y X έχουμε π(y) π(x) π x (x) π x(y) για κάθε y X. (2) y X π(y) y X και άρα η (;;) γίνεται π(y) π x (y) για κάθε y X. π(x) π x (x) π x(y) π(x) π x (x), Παρατήρηση: Μια άμεση συνέπεια του Θεωρήματος ;; είναι ότι αν οι καταστάσεις x, y ανήκουν σε μια γνησίως επαναληπτική κλάση C τότε π x π y. Εχει λοιπόν νόημα να μιλάμε για την μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π C που αντιστοιχεί στην κλάση C. Το τελικό συμπέρασμα αυτής της παραγράφου είναι ότι κάθε αναλλοίωτη κατανομή είναι ένας κυρτός συνδυασμός τέτοιων κατανομών. Θεώρημα 6 Εστω R το σύνολο των γνησίως επαναληπτικών κλάσεων μιας μαρκοβιανής αλυσίδας {X n } n N0 με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P. Τότε I(P ) co{π C : C R} { α(c)π C : α(c) 0 C R, και α(c) }. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε πρώτα ότι π α(c)π C με α(c) 0 και α(c). Είναι φανερό ότι π(x) 0 για κάθε x X ενώ α(c). π(x) α(c)π C (x) α(c) π C (x) x X x X x X Επομένως π M(X). Για να δείξουμε ότι π I(P ) και άρα co{π C : C R} I(P ) παρατηρούμε ότι ( ) πp α(c)π C P α(c)(π C P ) α(c)π C π. 9

10 Θα δείξουμε τώρα ότι I(P ) co{π C : C R}. Για µ I(P ) και C R τέτοια ώστε µc > 0 θεωρούμε τον περιορισμό µ C του µ στην κλάση C. Συγκεκριμένα, για κάθε A X έχουμε µ C A µ A C µ A C µ C. Θα δείξουμε ότι µ C π C. Η µ C είναι μια κατανομή που στηρίζεται στην κλειστή κλάση C και από το Θεώρημα ;; για να την ταυτίσουμε με την π C αρκεί να δείξουμε ότι είναι αναλλοίωτη. Πράγματι, για κάθε x C έχουμε p(y, x) 0 για κάθε y / C και άρα µ C (x) µ(x) µ C µ C µ(y)p(y, x) y X y C µ(y) µ C p(y, x) µ C (y)p(y, x). y C Δείξαμε λοιπόν ότι αν µ C > 0 τότε µ C π C. Αν µ C 0 ορίζουμε µ C π C. Από το Πόρισμα ;; έχουμε ότι µ C. Ετσι, για κάθε A X µ A µ και άρα (A C) µ A C µ C µ C A µ µ C π C µ C π C A, Παρατηρήστε ότι µ C 0 για κάθε C R και µ C µ C. Επομένως έχουμε γράψει το µ σαν ένα κυρτό συνδυασμό των π C και άρα I(P ) co{π C : C R}. 3 Παραδείγματα Στην προηγούμενη παράγραφο μελετήσαμε την δομή των αναλλοίωτων κατανομών μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Είδαμε ότι για κάθε γνησίως επαναληπτική κλάση της C υπάρχει μια μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π C της αλυσίδας που στηρίζεται στην C (δηλαδή x / C π C (x) 0) και ότι κάθε αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας μπορεί να γραφτεί σαν ένας κυρτός συνδυασμός των κατανομών π C. Είδαμε όμως και αρκετούς τρόπους για να χαρακτηρίσουμε τις π C. Ετσι, αν έχουμε μια μη υποβιβάσιμη γνησίως επαναληπτική μαρκοβιανή αλυσίδα {X n } n N0 με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P (όπως είναι οποιαδήποτε μαρκοβιανή αλυσίδα περιορισμένη σε μια γνησίως επαναληπτική της κλάση) έχουμε τους ακόλουθους χαρακτηρισμούς για την μοναδική αναλλοίωτη κατανομή της π.. Η π είναι λύση του προβλήματος { π πp x X π(x) 2. Για κάθε x X, αν T x inf{k > 0 : X k x} έχουμε π(x) T x. 0

11 3. Για κάθε x, y X έχουμε Tx π(y) π(x) {X k y}. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει έναν τρόπο για να υπολογίσει την αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας και να πάρει από τους άλλους τρόπους ενδεχομένως χρήσιμες πληροφορίες. Παράδειγμα 2 Ενα έντομο κινείται στις κορυφές V ενός κανονικού ν-γώνου. Σε κάθε βήμα του μετακινείται σε μια από τις δύο γειτονικές κορυφές, με πιθανότητα p (0, ) κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού και με πιθανότητα p αντίστροφα από τους δείκτες του ρολογιού. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός βημάτων μέχρι να επιστρέψει στην αρχική του θέση; Η αλυσίδα που καταγράφει την θέση του εντόμου είναι μη υποβιβάσιμη, αφού το έντομο μπορεί να ε- πισκεφτεί όλες τις καταστάσεις και να επιστρέψει στην αρχική του κατάσταση κάνοντας ν βήματα κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού, ενδεχόμενο το οποίο έχει πιθανότητα p ν > 0. Εφόσον V < η αλυσίδα θα είναι γνησίως επαναληπτική και άρα θα έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι λόγω συμμετρίας η μοναδική αναλλοίωτη κατανομή θα είναι η ομοιόμορφη κατανομή στις κορυφές του ν-γώνου π(x) ν για κάθε x V. Πράγματι, για κάθε x V π(y)p(y, x) y V y V Επομένως ν p(y, x) ( ) p ( p) ν ν π(x). T x π(x) ν. Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να γενικευτεί κατά τον ακόλουθο τρόπο. Θα λέμε ότι ένας στοχαστικός πίνακας P είναι διπλά στοχαστικός αν x X p(x, y) για κάθε y X. Ετσι σε έναν διπλά στοχαστικό πίνακα και το άθροισμα των στοιχείων του κατά στήλη είναι ίσο με. Παρατηρήστε ότι ένας συμμετρικός πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης είναι πάντα διπλά στοχαστικός. Παράδειγμα 3 Μια μη υποβιβάσιμη μαρκοβιανή αλυσίδα που κινείται σε έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων X και έχει διπλά στοχαστικό πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή την ομοιόμορφη κατανομή στον X. Από το Θεώρημα ;;, η αλυσίδα έχει μοναδική αναλλοίωτη κατανομή. Αρκεί λοιπόν να επαληθεύσουμε ότι η ομοιόμορφη κατανομή π : X 0, με π(x) X είναι αναλλοίωτη. Πράγματι, για κάθε x X έχουμε π(y)p(y, x) p(y, x) X X π(x), y X y X όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει επειδή οπίνακας πιθανοτήτων μετάβασης είναι διπλά στοχαστικός. Ε- πίσης, π(x) X X, X x X x X και άρα π I(P ).

12 Παράδειγμα 4 Σ ένα ράφι της βιβλιοθήκης σας υπάρχουν τρία βιβλία: Algebra, Basic Topology, Calculus, που θα συμβολίζουμε με A,B,C για συντομία. Κάθε πρωί παίρνετε τυχαία ένα βιβλίο από τη θέση του, με πιθανότητα p, q, r αντίστοιχα. Υποθέτουμε p, q, r > 0 με p q r. Οταν τελειώνετε το διάβασμά σας για την ημέρα το ξαναβάζετε στο ράφι στην αριστερότερη θέση. Η διάταξη των βιβλίων είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο X των μεταθέσεων των συμβόλων {A, B, C}. Αν κάποια στιγμή τα βιβλία είναι τοποθετημένα με αλφαβητική σειρά βρείτε τον αναμενόμενο αριθμό ημερών μέχρι τα βιβλία να ξαναβρεθούν τοποθετημένα με αλφαβητική σειρά. Πόσες κατά μέση τιμή ημέρες θα διαβάσετε το βιβλίο Calculus ενδιάμεσα σε αυτές τις στιγμές. Ας απαριθμήσουμε τις δυνατές καταστάσεις με την εξής σειρά X {ABC, CAB, BCA, BAC, ACB, CBA}. Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης της αλυσίδας είναι ο p r 0 q r q 0 p 0 P p 0 q 0 0 r p 0 0 q 0 r. 0 r 0 q p q 0 p r Το ότι η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη είναι διαισθητικά φανερό. Μπορείτε να δείτε ότι όποια κι αν είναι η αρχική της κατάσταση, αν επιλέξετε τις δυο πρώτες μέρες το δεξιότερο βιβλίο, την τρίτη μέρα το μεσαίο βιβλίο, και τις δυο επόμενες πάλι το δεξιότερο βιβλίο (ενδεχόμενο το οποίο έχει θετική πιθανότητα) τότε η διάταξη των βιβλίων στο ράφι θα έχει περάσει από όλες τις δυνατές καταστάσεις της. Εφόσον ο χώρος καταστάσεων είναι πεπερασμένος όλες οι καταστάσεις θα είναι γνησίως επαναληπτικές. Για να βρούμε την μοναδική αναλλοίωτη κατανομή π λύνουμε το ομογενές σύστημα εξισώσεων π πp. Ας δούμε τις εξισώσεις που αφορούν σε καταστάσεις με το A ως αριστερότερο βιβλίο: π(abc) pπ(abc) pπ(bac) pπ(bca) (3) π(acb) pπ(acb) pπ(cab) pπ(cba). (4) Αν S A {ABC, ACB}, προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε π(s A ) p x X π(x) p. Ομοια, αν S B {BAC, BCA} και S C {CAB, CBA} τότε π(s B ) q, π(s C ) r. Από τις (;;), (;;) παίρνουμε τελικά ότι π(abc) p p π(s B) pq p και π(acb) p p π(s C) pr p. (5) Οι πιθανότητες των άλλων καταστάσεων βρίσκονται με ανάλογο τρόπο, οπότε τελικά π ( pq p, rp r, qr q, qp q, pr p, rq r ). Εχοντας βρει την αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας μπορούμε εύκολα να απαντήσουμε τα υπόλοιπα ερωτήματα. Ετσι, αν T ABC inf{k > 0 : X k ABC} τότε E T ABC X 0 ABC π(abc) p pq. Κάθε φορά που διαβάζετε το βιβλίο Calculus το τοποθετείτε αριστερά οπότε η αλυσίδα περνά από μια από της καταστάσεις του S C. Ετσι, T ABC E { } X k S C X0 ABC πs C π(abc) ( p)r. pq 2

13 4 Ασκήσεις Ασκηση Η {Xn }n N0 είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο καταστάσεων X {, 2, 3, 4} με πίνακα μετάβασης 0 /2 /3 /6 /2 0 /4 /4 P 0 /2 0 /2. /2 /3 /6 0 α) Βρείτε την αναλλοίωτη κατανομή της αλυσίδας. β) Αν X0 υπολογίστε τον αναμενόμενο χρόνο πρώτης επιστροφής T inf{k > 0 : Xk } στην κατάσταση. γ) Υπολογίστε τον αναμενόμενο αριθμό επισκέψεων στην κατάσταση 3 μέχρι τη συμπλήρωση 93 επιστροφών στην κατάσταση. Ασκηση 2 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάτοψη ενός σπιτιού με 5 δωμάτια: κουζίνα (Κ), βιβλιοθήκη (Β), σαλόνι (Σ), υπνοδωμάτιο (Υ), και μπάνιο (Μ), και οι πόρτες που τα συνδέουν. Ενα έντομο που ζει στο σπίτι, κάθε βράδυ διασχίζει τυχαία μια από τις πόρτες του δωματίου που βρίσκεται, και παραμένει στο δωμάτιο που οδηγεί Β Κ η πόρτα μέχρι το επόμενο βράδυ. Αρχικά το έντομο βρίσκεται στο μπάνιο. α) Αν {Xn : n 0,, 2,...} είναι η μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο καταστάσεων {Κ,Β,Σ,Υ,Μ} που περιγράφει τη θέση του εντόμου κάθε Σ μέρα, βρείτε τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P της {Xn }. β) Βρείτε όλες τις αναλλοίωτες κατανομές της {Xn }. γ) Υπολογίστε τον αναμενόμενο αριθμό ημερών μέχρι την πρώτη επιστροφή Μ Υ του εντόμου στο μπάνιο. δ) Υπολογίστε τον αναμενόμενο αριθμό ημερών που θα περάσει το έντομο στο σαλόνι μέχρι την πρώτη του επιστροφή στο μπάνιο. ε) Αν ένα άλλο έντομο αρχικά βρίσκεται στην κουζίνα και μετακινείται κάθε μέρα όπως το πρώτο, ποια είναι η πιθανότητα κάποια μέρα τα δύο έντομα να βρεθούν στο ίδιο δωμάτιο; Ασκηση 3 Ενας παντοπώλης εφοδιάζεται κάθε πρωί με ένα πακέτο μπισκότα. ότι Εχει παρατηρήσει η ημερήσια ζήτηση είναι μια τυχαία μεταβλητή X με κατανομή P X 0, P X, P X , P X 3 2. Περιγράψτε την ποσότητα από μπισκότα που έχει στο παντοπωλείο κάθε βράδυ σαν μια μαρκοβιανή αλυσίδα και βρείτε την αναλλοίωτη κατανομή της. Αν χτες το βράδυ δεν είχε μείνει κανένα πακέτο μπισκότα στο παντοπωλείο, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός ημερών μέχρι την επόμενη φορά που το παντοπωλείο θα μείνει χωρίς μπισκότα; Ασκηση 4 Μια μαρκοβιανή αλυσίδα στον X N0 μετατοπίζεται ένα βήμα προς τα αριστερά όταν δεν βρίσκεται στο 0, και όταν φτάσει στο 0 κάνει ένα άλμα που ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο q (0 < q < ). Υπολογίστε την αναλλοίωτη κατανομή της με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Ασκηση 5 Μια μαρκοβιανή αλυσίδα στον X {0,, 2,...} έχει πιθανότητες μετάβασης p(k, k ) p <, p(k, 0) p, k X. Βρείτε την αναλλοίωτη κατανομή της. Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του χρόνου που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές επισκέψεις στο 3; Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός επισκέψεων στο 0 ανάμεσα σε δύο διαδοχικές επισκέψεις στο 3; Ασκηση 6 Ο κύριος Χ αντιμετωπίζει ένα σοβαρό πρόβλημα μνήμης. Κάθε νύχτα ξεχνά ένα μέρος από τα πρόσωπα που γνωρίζει. Συγκεκριμένα, αν θυμάται k πρόσωπα πριν πέσει για ύπνο, το πλήθος των 3

14 προσώπων που εξακολουθεί να θυμάται μόλις ξυπνήσει μπορεί να είναι 0,, 2,..., k, καθένα με πιθανότητα /(k ). Ο γιατρός που τον παρακολουθεί του μαθαίνει κάθε μέρα ένα πρόσωπο, διαφορετικό από αυτά που θυμάται. Αν X n είναι το πλήθος των προσώπων που ο κύριος Χ θυμάται το βράδυ της n-στης ημέρας α) Βρείτε τις πιθανότητες μετάβασης p(j, k), j, k N της αλυσίδας X n. β) Δείξτε ότι η μοναδική αναλλοίωτη κατανομή της {X n } είναι η π : N 0, με π(k) e(k )!. γ) Αν κάποιο βράδυ ο κύριος Χ θυμάται 3 πρόσωπα πριν πέσει για ύπνος ποιος είναι ο αναμενόμενος χρόνος που θα μεσολαβήσει μέχρι το επόμενο βράδυ που θα θυμάται πάλι 3 πρόσωπα; Άσκηση 7 Αν R είναι το σύνολο των γνησίως επαναληπτικών κλάσεων μιας αλυσίδας {X n } n και π I(P ), δείξτε ότι υπάρχει μόνο ένας τρόπος να γράψουμε την π ως π α(c)π C. Άσκηση 8 Δείξτε ότι για μια μαρκοβιανή αλυσίδα σε έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων X με γεννήτορα L και αναλλοίωτη κατανομή π έχουμε π(x)f(x)lf(x) 2 x X x,y X π(x)p(x, y) ( f(y) f(x) ) 2. Συμπεράνετε ότι αν η αλυσίδα είναι μη υποβιβάσιμη και Lf(x) 0 για κάθε x X τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση. Άσκηση 9 (Η σταθερά του Kemeny) Εστω {X n } n μια μη υποβιβάσιμη αλυσίδα σε έναν πεπερασμένο χώρο καταστάσεων X με αναλλοίωτη κατανομή π. Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή Y ανεξάρτητη από τις {X n } και με κατανομή π, δηλαδή P Y x π(x), x X. Ορίζουμε τώρα T Y inf{k 0 : X k Y }. Ποια είναι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X TY ; Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x) E T Y X 0 x είναι σταθερή. 5 Αριθμητικά πειράματα Άσκηση 0 Σ αυτήν την άσκηση θα δούμε πώς μπορούμε να κάνουμε γραφικές παραστάσεις με την Python. Κατεβάστε το πρόγραμμα example plot.py και αποθηκεύστε το στον κατάλογο που θα δουλέψετε. Τρέξτε το πρόγραμμα. Το πρόγραμμα τυπώνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης x 32x 3 στο διάστημα (0,6) σε κανονική και λογαριθμική (με βάση το 2) κλίμακα. α) Γιατί σε λογαριθμική κλίμακα βλέπουμε μια ευθεία; β) Εκτιμήστε γραφικά την κλίση της ευθείας και το σημείο που τέμνει τον άξονα y y. Για τα επόμενα 2 ερωτήματα ίσως σας βοηθήσει να έχετε ανοίξει τον κώδικα με έναν επεξεργαστή κειμένου σε ένα τερματικό, και να εκτελείτε το πρόγραμμα από ένα άλλο τερματικό. γ) Αλλάξτε την συνάρτηση σε x 8x 3 και ξανατρέξτε το πρόγραμμα. Πώς αλλάζει το διάγραμμα σε λογαριθμική κλίμακα; δ) Αλλάξτε την συνάρτηση σε x 8x 2 και ξανατρέξτε το πρόγραμμα. Πώς αλλάζει το διάγραμμα σε λογαριθμική κλίμακα; Κλείστε τώρα το παράθυρο γραφικών και αλλάξτε το πρόγραμμα ώστε να ξαναπάρετε την γραφική παράσταση της x 32x 3. Αφαιρέστε το σύμβολο # που καθιστά σχολιασμό τις δύο γραμμές στο τέλος του προγράμματος a,b np.polyfit(newx,newy,) 4

15 print "The fitted line is y%.2f*x%.2f " % (a,b) Η πρώτη υπολογίζει τους συντελεστές της ευθείας y ax b που προσαρμόζεται καλύτερα στα σημεία (newx,newy). Η παράμετρος δηλώνει ότι θέλουμε να προσαρμόσουμε ένα πολυώνυμο βαθμού, δηλαδή μια ευθεία. Η δεύτερη γραμμή απλά τυπώνει το αποτέλεσμα (με δύο δεκαδικά ψηφία) για τον χρήστη. Ξανατρέξτε το πρόγραμμα. ε) Συμφωνεί το αποτέλεσμα για τα a, b με αυτό που βρήκατε στο ερώτημα (β); Άσκηση Κατεβάστε το πρόγραμμα variance.py και αποθηκεύστε το στον κατάλογο που θα δουλέψετε. Το πρόγραμμα προσομοιώνει μια αλυσίδα στον χώρο καταστάσεων X {, 2, 3, 4, 5}, και υπολογίζει με την μέθοδο Monte Carlo τον αναμενόμενο χρόνο επιστροφής στην κατάσταση, E T X 0, όπου T inf{k > 0 : X k }. Η εκτίμηση για την E T X 0 λαμβάνεται προσομοιώνοντας την αλυσίδα N φορές, παίρνοντας N ανεξάρτητα δείγματα t,..., t N του χρόνου επιστροφής στο, και παίρνοντας τον μέσο όρο αυτών των δειγμάτων. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών εγγυάται ότι ο μέσος όρος αυτών των N ανεξάρτητων δειγμάτων της τυχαίας μεταβλητής T είναι για αρκετά μεγάλο N κοντά στην E T X 0 με μεγάλη πιθανότητα. Θα καλούμε την E N t t 2 t N N εκτιμήτρια Monte Carlo της αναμενόμενης τιμής E T X 0. Φυσικά η E N είναι μια τυχαία μεταβλητή και αν ξανακάνουμε το πείραμα θα πάρουμε μια διαφορετική εκτίμηση. α) Τρέξτε το πρόγραμμα μερικές φορές και δείτε πόσο διαφέρουν οι εκτιμήσεις που παίρνουμε κάθε φορά για την E T X 0. Επαναλάβετε για N 2 6, 2 7,..., 2 2. Φαίνεται να διαφέρουν λιγότερο οι διαφορετικές εκτιμήσεις καθώς μεγαλώνει το N; Σκοπός αυτής της άσκησης είναι να βρούμε υπολογιστικά πώς επηρεάζεται η διασπορά της εκτιμήτριας E N από το πλήθος των επαναλήψεων N. β) Φτιάξτε έναν βρόχο που θα κάνει M 30 εκτιμήσεις της E T X 0 για κάθε δεδομένη τιμή του N και αποθηκεύστε αυτές τις M εκτιμήσεις στην λίστα mcestimates. γ) Υπολογίστε την δειγματική μέση τιμή και την δειγματική διασπορά αυτών των εκτιμήσεων αφαιρώντας τον σχολιασμό από τις εντολές sample mean float( sum(mcestimates) ) / M squared distance from mean (e - sample mean)**2 for e in mcestimates sample variance float(sum ( squared distance from mean )) / (M-) που βρίσκονται στο τέλος του προγράμματος. δ) Φτιάξτε έναν βρόχο που κάνει τον παραπάνω υπολογισμό για N 2 6, 2 7,..., 2 4 και παραστήστε γραφικά πώς εξαρτάται η δειγματική μέση τιμή και η δειγματική τυπική απόκλιση από το N. ε) Υπολογίστε θεωρητικά την E T X 0. Συμφωνεί το αριθμητικό αποτέλεσμα που βρήκατε με την θεωρητική τιμή; στ) Σχεδιάστε σε λογαριθμική κλίμακα πώς εξαρτάται η δειγματική τυπική απόκλιση της εκτιμήτριας Monte Carlo από το N. Ποια είναι η κλίση της ευθείας στο λογαριθμικό διάγραμμα; Συμφωνεί αυτό που βρήκατε με το κεντρικό οριακό θεώρημα; 5

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0 Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα