Κεφάλαιο ΙΙΙ. Σχηµατοποίηση ενός Στατικού Σχήµατος Αλληλεπιδράσεων.

Transcript

1 Κεφάλαιο ΙΙΙ. Σχηµατοποίηση ενός Στατικού Σχήµατος Αλληλεπιδράσεων. (Συναρτησιακή Εξειδίκευση) Προκειµένου να προσεγγίσουµε αριθµητικά τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των διαφόρων (οικονοµικών) µεγεθών, χρειάζεται αυτές οι επιδράσεις να προσεγγισθούν (σχηµατοποιηθούν) συναρτησιακά. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

2 ΣΧΗΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΕΩΝ. Όπως αναφέρθηκε στα προηγούµενα µέρη, µεταξύ των µεταβλητών ενός στατικού σχήµατος αλληλεξαρτήσεων υπάρχουν σχέσεις αλληλεξάρτησης (αλληλεπίδρασης). Στο Σχεδιάγραµµα (4.) παρουσιάζουµε ένα τέτοιο σχήµα αλληλεξαρτήσεων µεταξύ των µεταβλητών Περίοδος - (προχθές) Ιανουάριος Περίοδος - (Εχθές) Φεβρουάριος Περίοδος (Σήµερα) Μάρτιος Σχεδιάγραµµα 4.. ιαχρονική & ια-µεταβλητή παρουσίαση των αλληλεξαρτήσεων των µεταβλητών,. στην, για Μαθηµατικά θα µπορούσαµε να προσεγγίσουµε το παραπάνω σχήµα αλληλεξαρτήσεων ως εξής: Η µεταβλητή επηρεάζετε από τις µεταβλητές αντιστοιχεί στην σχέση : και. Ο τρόπος αυτής της επίδρασης ( ) f, = (4.) Η µεταβλητή επηρεάζετε από τις µεταβλητές αντιστοιχεί στην σχέση : = f (4.) ( ), Η µεταβλητή επηρεάζετε από τις µεταβλητές αντιστοιχεί στην σχέση : = f (4.) ( ), και και. Ο τρόπος αυτής της επίδρασης. Ο τρόπος αυτής της επίδρασης Το σύστηµα των εξισώσεων (4.), (4.) και (4.) εκφράζει όλες τις δυνατές αλληλεπιδράσεις µεταξύ των µεταβλητών, και. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

3 Θα µπορούσαµε να ενσωµατώσουµε και να συµβολίσουµε επιδράσεις β j=i=,, µεταξύ των µεταβλητών, ως εξής: ij στις εξισώσεις (4.) (4.) τις (, ; β β ) = (4.4) f, (, ; β β ) = (4.5) f, (, ; β β ) = (4.6) f, όπου β ij j=i=,, είναι παράµετροι υπό εκτίµηση και που εκφράζουν τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των µεταβλητών του σχήµατος. Με βάση τα παραπάνω, η αλληλεξαρτήσεων (4.) σχέση (4.4) εκφράζει το µέρος του σχεδιαγράµµατος Σχεδιάγραµµα (4.). Σχηµατική παρουσίαση της σχέσης µεταξύ των µεταβλητών στην σχέση (4.4), και Ανάλογα σχήµατα αντιστοιχούν και στις άλλες σχέσεις αλληλεπίδρασης των σχέσεων (4.5) και (4.6). Συνήθως χρησιµοποιούµε ένα ; για να διαχωρίσουµε τις µεταβλητές µε τις παραµέτρους. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

4 Ενδογενείς & Εξωγενείς Μεταβλητές (Endogenous & Eogenous Variables). Στο σχήµα αλληλεξαρτήσεων (4.) όλες οι µεταβλητές (, και ) είναι ενδογενείς µεταβλητές (endogenous variales). Οι τιµές τους διαµορφώνονται µε βάση την λειτουργία του δηµιουργούνται τόσο από σχήµατος (4.). Αυτό σηµαίνει ότι οι τιµές της κάθε µεταβλητής ( ) τις επιδράσεις που δέχεται η µεταβλητή αυτή από τις υπόλοιπες µεταβλητές ( ) & αλλά και από τις επιδράσεις που δίδει η ίδια στις άλλες µεταβλητές. Στην περίπτωση αυτή οι µεταβλητές του σχήµατος αλληλεξαρτήσεων ονοµάζονται ενδογενείς µεταβλητές. (endogenous variables) Όταν κάποια από τις µεταβλητές του σχήµατος (4.) δεν δέχεται επιδράσεις αλλά µόνο αποδίδει επιδράσεις στο σχήµα αλληλεξάρτησης, τότε αυτή θεωρείται ως εξωγενής µεταβλητή (eogenous variable). Αν για παράδειγµα η µεταβλητή δεν δέχεται αλλά απλώς αποδίδει επιδράσεις στις άλλες µεταβλητές και τότε θεωρούµε ότι η µεταβλητή αυτή λειτουργεί ως εξωγενής µεταβλητή, και οι τιµές της δεν διαµορφώνονται µέσω του σχήµατος αλληλεξάρτησης (4.). Στην περίπτωση αυτή το στατικό σχήµα αλληλεξαρτήσεων (4.) θα µετασχηµατισθεί, όπως στο Σχεδιάγραµµα (4.). Σχεδιάγραµµα (4.). Στατικό σχήµα αλληλεξαρτήσεων µε την µεταβλητή µεταβλητή. ως εξωγενή Στην περίπτωση που έχουµε χαρακτηρίσει την ως εξωγενή µεταβλητή τότε το σύστηµα των εξισώσεων που αντιστοιχεί στο Σχεδιάγραµµα (4.), θα µπορεί να γραφτεί ως εξής: (, ; β β ) = (4.7) f, (, ; β β ) = (4.8) f, Στις εξισώσεις (4.7) και (4.8) παρατηρούµε τα εξής: C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 4

5 . Εφόσον η δεν διαµορφώνει τις τιµές της από την λειτουργία του σχήµατος (4.) αλλά είναι εξωγενής µεταβλητή, δεν υπάρχει πλέον η ανάλογη εξίσωση (4.6).. Η κάθε εξωγενής µεταβλητή συνήθως θα συµβολίζεται µε ένα αστερίσκο. Εάν επιπλέον δεχθούµε ότι και η µεταβλητή δεν διαµορφώνει τις τιµές της από το σχήµα αλληλεξαρτήσεων (4.), είναι δηλαδή και αυτή εξωγενής, τότε το σχήµα αλληλεξαρτήσεων θα έχει την µορφή του Σχεδιαγράµµατος (4.4). Σχεδιάγραµµα (4.4). Στατικό σχήµα αλληλεξαρτήσεων µε εξωγενείς τις µεταβλητές και. Στο σχήµα αλληλεξαρτήσεων (4.) αντιστοιχεί πλέον µία µόνο εξίσωση, της µορφής: (, ; β β ) = (4.9) f, Η σχέση (4.9) εκφράζει την επίδραση ( β, β ) που δέχεται η µεταβλητή από τις εξωγενείς µεταβλητές και αντιστοίχως. Η σχέση (4.9) µπορεί να εξειδικευθεί ακόµη περισσότερο. Αυτό θα γίνει στο αµέσως επόµενα µέρη. ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ.ΑΣΚΗΣΗ. (Ι). Με βάση το Βασικό Παράδειγµα Ι έχετε στην διάθεση σας τρεις (οικονοµικές) µεταβλητές : τις, y και την z. Η γραφική παρουσίαση της (διαχρονικής) εξέλιξης αυτών των Επόµενα στάδια εξειδίκευσης είναι η µαθηµατική & στατιστική εξειδίκευση, της σχέσης (4.9). C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 5

6 µεταβλητών 4 δίδεται στα Χρονοδιάγραµµα 4.. Να σχηµατοποιήσετε όλες τις δυνατές σχέσεις αλληλεξάρτησης µεταξύ αυτών των τριών µεταβλητών y ime ime 0 08 z ime Χρονοδιάγραµµα4.. Γραφική παρουσίαση της διαχρονικής εξέλιξης των µεταβλητών y, και σε απόλυτα µεγέθη (levels). Υποθέτουµε ότι έχουµε στην διάθεση µας αυτά τα στοιχεία, και είµαστε στην φάση σχηµατοποίησης των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των τριών αυτών µεταβλητών. Επειδή δεν γνωρίζουµε τίποτα για το σχήµα αλληλεξάρτησης τους, δεχόµεθα καταρχάς ότι και οι τρεις µεταβλητές είναι ενδογενείς µεταβλητές. ιαµορφώνουν δηλαδή την µεταβλητικότητα τους µέσα από την λειτουργία του σχήµατος (4.). Το σχήµα αλληλεξαρτήσεων, έχοντας υποθέσει στατικότητα, παρουσιάζεται στο Σχεδιάγραµµα 4.5. Θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε ότι οι µεταβλητές αυτές είναι το Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν ( y ),ή Κατανάλωση ( i ), οι Επενδύσεις, ή οποιαδήποτε άλλες οικονοµικές µεταβλητές οι οποίες (κυρίως µε βάση την οικονοµική θεωρία), πιστεύουµε ότι συνδέονται διαχρονικά µεταξύ τους. 4 Πρόκειται για στοιχεία εξοµοιωµένα σε Η/Υ. Ο γεννήτορας αυτών των στοιχείων δίδεται στο Παράρτηµα αυτού του µέρους. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 6

7 Σχεδιάγραµµα 4.5. Γραφική παρουσίαση των δυνατών στατικών αλληλεπιδράσεων µεταξύ των µεταβλητών του Βασικού Παραδείγµατος Ι ( y, και z ). Όπως αναπτύχθηκε και στο αµέσως προηγούµενο µέρος στο σχήµα αλληλεξαρτήσεων (4.5) αντιστοιχεί ένα σύστηµα εξισώσεων, της µορφής: (, z ; β β ) y = f (4.0), ( y, z ; β β ) = f (4.), ( y, ; β β ) z = f (4.), όπου β ij j=i=,, είναι παράµετροι µεταβλητών του σχήµατος. που εκφράζουν τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των Στις εξισώσεις (4.0) (4.) όλες οι µεταβλητές του σχήµατος είναι ενδογενείς. Θα µπορούσαµε να κάνουµε µία σειρά από υποθέσεις, για µερικές από τις µεταβλητές ως προς την εξωγένεια τους. Οι υποθέσεις αυτές θα µπορούσαν για κάθε µία από τις τρεις µεταβλητές ( y, και z ), να είναι: Για την µεταβλητή y θα µπορούσαµε να υποθέσουµε ότι: ). Η µεταβλητή z είναι εξωγενής. Τότε το σύστηµα των εξισώσεων (4.0) (4.) γράφεται ως εξής: (, z ; β β ) y = f (4.), ( y, z ; β β ) = f (4.4), C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 7

8 ). Η µεταβλητή είναι εξωγενής. Τότε το σύστηµα των εξισώσεων (4.0) (4.) γράφεται ως εξής: (, z ; β β ) y = f (4.5), ( y, ; β β ) z = f (4.6), ). Οι µεταβλητές και z είναι εξωγενείς. Τότε το σύστηµα των εξισώσεων (4.5). (4.6) γράφεται ως εξής: (, z ; β β ) y = f (4.7), Ανάλογες υποθέσεις και εξειδικεύσεις µπορούν να γίνουν και για τις άλλες µεταβλητές, και z του σχήµατος αλληλεξαρτήσεων. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 8

9 Οικονοµικό Παράδειγµα. Στο βασικό παράδειγµα των τριών οικονοµικών µεταβλητών C, y και I η εξίσωση (5.9) θα προέλθει ως εξής: Το στατικό σχήµα αλληλεξαρτήσεων µεταξύ των τριών οικονοµικών µεταβλητών θα µπορεί να προσεγγισθεί από το σύστηµα των εξισώσεων: ( y, I ; β β ) C = f (5.), ( C, I ; β β ) y = f (5.4), ( C, y ; β β ) I = f (5.5), Εάν όµως υποθέσουµε ότι οι µεταβλητές y και I είναι εξωγενείς, δηλαδή η τιµές τους δεν διαµορφώνονται από την λειτουργία του σχήµατος αλληλεξαρτήσεων, τότε το σύστηµα των εξισώσεων (5.) (5.5) γράφεται: ( y, I ; β β ) C = f (5.6), και οι ανάλογες επιδράσεις σχηµατοποιούνται γραφικά ως εξής: Σχεδιάγραµµα (7.5). C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 9

10 C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 0

11 Κεφάλαιο 5. Μαθηµατική Εξειδίκευση Ενός Σχήµατος Αλληλεξαρτήσεων. Η συναρτησιακή σχηµατοποίηση της σχέσης αλληλεξάρτησης, χρειάζεται περαιτέρω εξειδίκευση για να προσεγγίσουµε τον συγκεκριµένο µαθηµατικό τρόπο που οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των οικονοµικών µεγεθών συνδέονται µεταξύ τους. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗΣ. Όπως ανεπτύχθη και στο Κεφάλαιο, οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των οικονοµικών µεγεθών δεν είναι πάντοτε σταθερές αλλά συνήθως συµµεταβάλλονται είτε διαχρονικά είτε σε σχέση µε κάποιες από τις µεταβλητές του σχήµατος. Ένας τρόπος να προσεγγίσουµε τον τρόπο που διαµορφώνονται αυτές οι αλληλεπιδράσεις είναι η µαθηµατική εξειδίκευση του σχήµατος. Συνήθως στην µαθηµατική εξειδίκευση ενός σχήµατος έχουµε να ασχοληθούµε µε τα εξής:. Γραµµικότητα ή µη Γραµµικότητα (Lineariy, Non Lineariy). Προσθετικότητα... (Addiiviy). Οµοιογένια (Homogeneiy ) Θα αναπτύξουµε µε λεπτοµέρεια και τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις για την εξίσωση: (, ; β β ) = (5.) f, Οι επιδράσεις των εξωγενών µεταβλητών και όπως παρουσιάζονται στην (5.) χρειάζεται να εξειδικευθούν ακόµη περισσότερο. Όπως αναπτύξαµε και στο αντίστοιχο µέρος οι επιδράσεις των µεταβλητών και µπορεί να είναι στατικού, δυναµικού και διαχρονικού χαρακτήρα. Πρέπει όµως να τύχουν κάποιας µεγαλύτερης εξειδίκευσης, εφόσον φυσικά έχουµε κάποια γνώση (συνήθως από την οικονοµική θεωρία) για τον τρόπο που διαµορφώνονται οι επιδράσεις των εξωγενών µεταβλητών και στην διαµόρφωση των τιµών της ενδογενούς µεταβλητής. Για να απλοποιήσουµε την παρουσίαση των επιδράσεων, θα παρουσιάσουµε µόνο την επίδραση της στην διαµόρφωση των τιµών της. ηλαδή β Η περαιτέρω εξειδίκευση της (5.) θα γίνει µέσω της µαθηµατικής εξειδίκευσης του σχήµατος αλληλεξάρτησης. Η µαθηµατική εξειδίκευση περιλαµβάνει τις συνθήκες Γραµµικότητας, Προσθετικότητας και Οµοιογένειας. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

13 ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ. Οι δυνατές υποθέσεις που µπορούµε να κάνουµε για τον τρόπο που η εξωγενής µεταβλητής επιδρά στην διαµόρφωση των τιµών της είναι οι εξής:. Σταθερή Επίδραση. Θα µπορούσε η επίδραση της µεταβλητής τιµή β, δηλαδή = β = 0.7 στην (5.) να είναι σταθερή, ίση µε κάποια ή = β (5.) όπου: εκφράζει την πρώτη παράγωγο της µεταβλητής ως προς την µεταβλητή. Η (5.) µπορεί να παρουσιασθεί γραφικά όπως στο Σχεδιάγραµµα (5.5): Σχεδιάγραµµα 5. Γραφική παρουσίαση της επίδρασης της Εφόσον η (5.) είναι σταθερή, η δεύτερη παράγωγος της στην µεταβλητή ως προς την. θα είναι µηδέν: = ( β ) = 0 (5.4) Στην περίπτωση κατά την οποία η επίδραση µιας µεταβλητής στην διαµόρφωση των τιµών µιας άλλης µεταβλητής είναι σταθερή τότε η πρώτη τους παράγωγος είναι σταθερή C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

14 (συγκεκριµένος αριθµός) και η δεύτερη παράγωγος τους µηδενική. Στην περίπτωση αυτή συνήθως θεωρούµε ότι η επίδραση της στην είναι γραµµική (ευθεία γραµµή) ανεξάρτητη από τις τιµές που λαµβάνει η µεταβλητή ή η µεταβλητή. ΙΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΣΧΗΜΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. Για την περίπτωση που έχουµε δύο η περισσότερες εξωγενείς µεταβλητές: (, ; β β ) = f (5.5), οι συνθήκες γραµµικότητας είναι ανάλογες. Στο Σχεδιάγραµµα 5., παρουσιάζουµε γραφικά αυτές τις επιδράσεις. Σχεδιάγραµµα (5.). Σταθερές επιδράσεις των µεταβλητών τιµών της µεταβλητής. και στην διαµόρφωση των Οι επιδράσεις των µεταβλητών και µπορεί να προσεγγισθεί ως εξής: = β = 0.7 (5.6) = β = 0. (5.7) C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 4

15 = 0 (5.8) = = 0 = 0 (5.9) (5.0) Η ερµηνεία των σχέσεων (5.6) (5.0) είναι η εξής: (5.6) Η επίδραση της στην είναι σταθερή και ίση µε β = (5.7) Η επίδραση της στην είναι σταθερή και ίση µε β = 0.. (5.8) Η επίδραση της επίδρασης της στην είναι µηδενική. (5.9) Η επέκταση της επίδρασης της στην που θα µπορούσε να προκύψει από την επίδραση της στην είναι µηδενική. (5.0) Η επίδραση που θα µπορούσε να προκύψει από την επίδραση της στην µέσω της επίδρασης της στην είναι µηδενική. Επιπλέον η επίδραση που θα µπορούσε να προκύψει από την επίδραση της της επίδρασης της στην είναι µηδενική. στην µέσω Οι σχέσεις (5.6) και (5.7) γραφικά παρουσιάζονται στο Σχεδιάγραµµα (5.). Σχεδιάγραµµα (5.). Αριθµητική προσέγγιση των σταθερών επιδράσεων των µεταβλητών στην διαµόρφωση των τιµών της. και C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 5

16 Μαθηµατική Προσέγγιση του Σχήµατος Αλληλεξάρτησης. Εφόσον έχουµε υποθέσει ότι οι επιδράσεις των µεταβλητών και είναι γραµµικές (σταθερές), µπορούµε να προσεγγίσουµε αλγεβρικά την µορφή της εξίσωσης (5.) ως εξής: (, ; β β ) = (5.) f, Χρησιµοποιούµε τα ανάπτυγµα µιας σειράς Taylor 5, και γύρω από δύο τιµές των µεταβλητών και, έστω, η κάθε µία από τις τρεις εξισώσεις (5.4), (5.5) και (5.6) µπορεί να προσεγγισθεί ως εξής: ο ο ο (, ; β, β ) = f (, ; β ) + ( ) = β f, f ο + ο f ( ) + Λ (5.) ο Επειδή έχουµε υποθέσει σταθερές επιδράσεις της µορφής: f = = β (5.) f = = β (5.4) αν τις αντικαταστήσουµε στην (5.) λαµβάνουµε, ο ο ( ) β + ( ) Λ (5.5) = fο + β + ο ο ( β ) + β + β Λ = fο β + (5.6) a (Σταθερός Όρος) 5 Εάν f ( ) y =, µία µη γραµµική συνάρτηση δύο µεταβλητών και, µπορεί τότε να προσεγγισθεί µε µία ανάπτυγµα µιας σειράς Taylor γύρω από δύο τιµές. 0 και. 0 ως εξής: = = f,0 f,0 f =,0 y = f (,0,,0 ) + (,0 ) + (,0 ) + (,0 ) + = = = + f,0,0,0 ( ) + ( )( ) + Λ,0 = =,0,0,0 f,0 = =,0,0 C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 6

17 (5.7) = a + β + β Η (5.7) εκφράζει την γραµµική σχέση µεταξύ των µεταβλητών αντιστοίχως. και των µεταβλητών και Ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία µπορούµε να προσεγγίσουµε µαθηµατική την µεταβλητικότητα και των υπολοίπων εξισώσεων. Το σχήµα των αλληλεξαρτήσεων (5.4), (5,5) και (5,6) µπορεί πλέον να γραφτεί ως εξής: a + β + β = (5.8) a + β + β = (5.9) a + β + β = (5.0) Αν υποθέσουµε ότι τα β, β και β είναι µηδενικές επιδράσεις τότε έχουµε ένα σύστηµα µε τρεις µονοµεταβλητές εξισώσεις. a + β = (5.) a + β = (5.) a + β = (5.) C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 7

18 ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΤΗΤΑ & ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑ 6. Οµοιογένεια (Homogeneiy) Ο τρόπος που οι εξωγενείς µεταβλητές επιδρούν στην διαµόρφωση των τιµών µιας ενδογενούς µεταβλητής θα µπορούσε να είναι οµοιογενής ή ανοµοιογενής. Εάν υποθέσουµε οµοιογένεια, αυτό σηµαίνει ότι οι επιδράσεις των µεταβλητών και είναι οµοιογενείς, δηλαδή έχουν µία οµοιοµορφία στον τρόπο που επιδρούν στην διαµόρφωση της µεταβλητικότητας µιας µεταβλητής. Προσθετικότητα 7 (Addiiviy). Οι επιδράσεις τις οποίες δέχεται µία µεταβλητή από τις εξωγενείς της µεταβλητές και µπορεί να είναι εξαρτόµενα ή µη εξαρτώµενες από τα επίπεδα τιµών που λαµβάνουν οι εξωγενείς µεταβλητές και. Αυτό σηµαίνει ότι οι επιδράσεις που δέχεται η µεταβλητή προσθετικές ή µη προσθετικές. Προσθετικές Επιδράσεις. από τις και µπορεί να είναι Στην περίπτωση αυτή οι επιδράσεις που δέχεται η µεταβλητή και θα είναι: από τις δύο εξωγενείς = β φ = β φ (). (). (5.4) (5.5) 6 Υπενθυµίζουµε ότι µία συνάρτηση f (,,Κ ) p f ( λ ;) λ f ( ) = είναι οµοιογενούς βαθµού όταν ισχύει ότι: λ = (5.6),, Εάν ρ= τότε η συνάρτηση f ()., ονοµάζεται γραµµικά οµοιογενής. Εάν ρ=0 τότε η συνάρτηση f ()., ονοµάζεται µηδενικού βαθµού, και µπορεί να γραφτεί: ( ), ; = f 7 Υπενθυµίζουµε ότι µία συνάρτηση f (, ) = φ( ) = f Κ ; (5.7) = λέγεται προσθετική ως προς και όταν: (5.8) ( ) (5.9) = φ = = 0 (5.0) C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 8

19 = 0 (Σταυροειδείς Παράγωγοι) = 0 Στην περίπτωση όπου έχουµε τις πρώτες παραγωγούς σταθερείς και τις σταυροειδείς παραγωγούς µηδέν, σηµαίνει ότι έχουµε προσθετικές επιδράσεις των εξωγενών µεταβλητών και στην διαµόρφωση των τιµών. Εάν οι πρώτες παραγωγοί είναι µη σταθερές τιµές αλλά συναρτήσεις των µεταβλητών και τότε έχουµε µη προσθετικές επιδράσεις. Στα υπόδειγµα που είναι γραµµικά στις µεταβλητές και η έννοια της προσθετικότητας είναι ουσιαστική αλλά και περιοριστική. εν υπάρχει κάποια υποκατάσταση µεταξύ των επιδράσεων των µεταβλητών και. Το συνολικό αποτέλεσµα της επίδρασης τους είναι το άθροισµα των επιµέρους επιδράσεων τους. Η έννοια της προσθετικότητας συνδέεται κυρίως µε τις συσχετίσεις µεταξύ των µεταβλητών και. Στην περίπτωση της εξίσωσης: = (, ; β β ) f, δεν κάναµε καµµία υπόθεση για την σχέση των µεταβλητών και υποθέσουµε ότι υπάρχει κάποια σχέση, τότε οι επιδράσεις από τις και µεταξύ τους. Αν προς την εξαρτώνται από την σχέση αυτή. Η προσθετικότητα είναι µία ενδιαφέρουσα ιδιότητα την οποία αναλύουµε µε λεπτοµέρεια στο παράρτηµα για την προσθετικότητα. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 9

20 ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Πίνακες Εισροών Εκροών. Η παραγωγική διαδικασία σε µία οικονοµία µπορεί να προσεγγισθεί µε ένα σύστηµα Πινάκων Εισροών Εκροών. Αν υποθέσουµε ότι υπάρχουν τρεις οικονοµικοί κλάδοι (,,) µε την ανάλογη παραγωγή, και και την τελική ζήτηση F, F και F, τότε το στατικό σύστηµα που αντιστοιχεί σ αυτή την παραγωγική διαδικασία δίδεται στο Γράφηµα Ροής. Γράφηµα Ροής. Με βάση το Γράφηµα Ροής, οι σχέσεις που αντιστοιχούν θα είναι οι εξής: = = = f f f ( ),,, F, F, F (,,, F, F, F ) (,,, F, F, F ) (G.) [ ] b ij b = b b b b b b b b = b = b = b F F F + b + b + b F F F + b + b + b F F F C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 0

21 b = : Επίδραση της F F στην παραγωγή του κλάδου ( ). b = : Επίδραση της F F στην παραγωγή του κλάδου ( ). Και γενικά b ij F = : Επίδραση της ( j =,, ) i j κλάδου ( =,,) i. F j στην παραγωγική διαδικασία του Αν υποθέσουµε γραµµικότητα, προσθετικότητα και οµοιογένεια το σύστηµα των εξισώσεων (G.) γράφεται ως εξής: = a = a = a + a + a + a + a + a + a + F + F + F + F + F + F + F + F + F (G.) ή a = a a a a a a a a F + F F (G.) ή = A + F (G.4) A = F (G.5) ( I A) = F (G.6) ( I A) F = (G.7) Με βάση την (G.7) η παραγωγική διαδικασία (παραγωγή Χ) εκφράζεται σε σχέση µε την τελική ζήτηση F. Η µήτρα ( I A) ονοµάζεται µήτρα Launief. Με βάση αυτή την µήτρα η τελική C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

22 ζήτηση F (Κατανάλωση, Επενδύσεις, Εισαγωγές, Εξαγωγές) µετασχηµατίζεται σε µία παραγωγική διαδικασία (παραγωγή,, ). Οι συντελεστές της µήτρας ( I A), έστω [ ] = ( I A) b ij ονοµάζεται συντελεστής αλληλεξάρτησης. Εάν δεχθούµε ότι η τελική ζήτηση F, F και F δεν είναι εξωγενείς, αλλά δηµιουργείται µέσα από την λειτουργία του οικονοµικού συστήµατος, τότε το σχήµα αλληλεξάρτησης γίνεται περισσότερο συµπλεγµένο ως εξής: Η παραγωγική διαδικασία, και οδηγεί στην δηµιουργία της συνολικής παραγωγής: GDP = + (Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν) + Το Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν µετασχηµατίζεται σε Ακαθάριστο Εθνικό Εισόδηµα GNI, το οποίο µε την σειρά του γίνεται Ακαθάριστο ιαθέσιµο Εισόδηµα y αν αφαιρέσουµε φόρους και προσθέσουµε µεταβιβάσεις προς του ιδιώτες. Το διαθέσιµο εισόδηµα µπορεί να επηρεάσει µε την σειρά του την τελική ζήτηση F, F και F µε βάση τις σχέσεις: F = f F F = = f f 4 6 ( y ) ( y ) ( y ) 5 C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

23 C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

24 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΣΚΗΣΗ. Να µελετηθούν ως προς την γραµµικότητα, προσθετικότητα και την οµοιογένεια οι εξείς συναρτησιακές εξειδικεύσεις: Name Model epression Asympoic Regression b + b ep( b ) Asympoic Regression b -( b ( b )) Densiy ( b + b )(-/ b ) Gauss b (- b ep( -b )) Gomperz b ep( -b ep( -b )) Johnson-Schumacher b ep( -b / ( + b)) Log-Modified ( b + b ) b Log-Logisic b -ln(+ b ep( -b )) Mecherlich Law of Diminishing Reurns b + b ep( -b ) Michaelis Menen b /( + b ) Morgan-Mercer-Florin ( b b + b b4 )/( b + b4 ) Peal-Reed b /(+ b ep(-( b + b4 + b5 ))) Raio of Cubics ( b + b + b + b4 )/( b5 ) Raio of Quadraics ( b + b + b )/( b4 ) Richards b /((+ b ep(- b ))(/ b4 )) Verhuls b /( + b ep(- b )) Von Beralanffy ( b ( - b4 ) - b ep( -b )) (/( - b4 )) Weibull b - b ep(- b b4 ) Yield Densiy (b + b + b )(-) ΑΣΚΗΣΗ 4 Να µελετηθούν ως προς τη γραµµικότητα, προσθετικότητα και οµοιογένεια οι εξής συναρτήσεις: y = f ; a = a+ βχ () ( ) () y f(, ) = χ χ = β χ + β χ () y f(, ) = χ χ = χ + χ + χ χ (4) (, ) b y = f χ χ = b + b χ + b χ y = f = e ( χ) (5) 4 χβ (6) y f(, ) = χ χ = α + βχ χ (7) y f(, ) = χ χ = α + α χ χ 0 α γ (8) y = βχ χ = f( χ, χ ) (9) y = α e + α e β χ βχ C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 4

25 ( ) (0) y = f ( χ) = b + b / ( χ + b ) () y f(,, ) = χ χ χ = χ χ χ α α α ΑΣΚΗΣΗ 5. Οι εξισώσεις (), () και () παρουσιάζουν το πρότυπο µεκροοικονοµικό υπόδειγµα. C I y = γ y + β + ε = γ y + β y = C + I + C + β + ε () () () (Α) όπου: C : Ιδιωτική Κατανάλωση I : Επενδύσεις. y : Το Εθνικό Εισόδηµα. Να σχεδιασθούν οι δυναµικές αλληλεπιδράσεις µεταξύ των µεταβλητών του συστήµατος (Α) σε δύο χρονικές περιόδους. Να µελετηθούν οι επιµέρους σχέσεις του συστήµατος, ως προς την γραµµικότητα, την προσθετικότητα και την οµοιογένεια τους. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 5

26 ΑΣΚΗΣΗ 6. Να µελετηθεί ως προς την γραµµικότητα, την προσθετικότητα και οικονοµετρικό σύστηµα (Haarelmo s Model 8 of he U.S. Economy) την οµοιγένεια το ). Συνάρτηση Κατανάλωσης C = ay + b + u ). Ακαθάριστε Αποταµιεύσεις. [ + ] + v w r = n C + ). ιαθέσιµο Ιδιωτικό Εισόδηµα. y = C + r µε C : Personal consumpion ependiure. (endogenous) y : Personal disposable income (endogenous) r : Gross business savings (endogenous) : Gross invesmen (eogenous) u and w are sochasic variable, and a,b,n,v are parameers under esimaion. Να αναλυθεί το παραπάνω σύστηµα ως προς την γραµµικότητα, την προσθετικότητα αλλά και την οµοιογένεια του. ΑΣΚΗΣΗ 7. Να µελετηθεί προς την γραµµικότητα, την προσθετικότητα και την οµοιγένεια το σύστηµα 9 των εξισώσεων. ). D = λ + u (Demand) ). S = b' Z + v (Supply) Q = Min D, S (Marke clearence) ). { } 4). P c[ D S ] = (Price Adjusmen) where d,b : vecors of unknown parameers. C : unknown posiion scalar parameer., : vecors of eogenous variables. z 8 A. Zellner and F. Palm., Time Series Analysis and Simulaneous Equaions Economeric Models. Journal of Economerics, 974, Ameniya T., A Noe on a Fair and Jafe Model. Economerica, 4. No. 4, 974 σελ C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 6

27 u, v : serially and conemporaneously random variables wih normal disrivuibuions. ( N σ ) and N( σ ) O, u O, v ΑΣΚΗΣΗ 8. Να µελετηθεί ως προς την δυναµική του το σύστηµα των (Samuelson Hicks Muliplier Acceleraor Sysem). y = G + C + I C I ay = b ( C C ) = 0<a<, b>0. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 7

28 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΤΗΤΑ (ADDITIVE) Έστω µία διµεταβλητή συνάρτηση: y = ƒ(, ) Το σχήµα που αναλογεί στην () είναι : y Γράφηµα Ροής. Η () είναι προσθετική ως προς και όταν : ϕ( ) ϕ( ) () ( ) = ( ) = 0 () Με βάση τις () και () το Γράφηµα Ροής γράφεται : y Γράφηµα Ροής. Η οικονοµική ερµηνεία του γραφήµατος ροής είναι η εξής : C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 8

29 Η επίδραση της χ στην διαµόρφωση της µεταβλητικότητας της y που µπορεί να προέλθει από µία ταυτόχρονη συµµεταβολή όλων των ερµηνευτικών µεταβλητών χ, χ,..., χ η είναι ανεξάρτητη από τα επίπεδα που λαµβάνουν οι άλλες ερµηνευτικές µεταβλητές. Θα µπορούσαµε απλούστερα να πούµε ότι η προσθετικότητα των ερµηνευτικών µεταβλητών µας περιορίζει στο ότι η συνολική επίδραση επί της y είναι το άθροισµα των επιµέρους επιδράσεων των ερµηνευτικών µεταβλητών των χ και χ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Να µελετηθεί ως προς την προσθετικότητα του το υπόδειγµα: y = α + β χ +β χ () Απάντηση : Στο υπόδειγµα αυτό αντιστοιχεί το Γράφηµα Ροής : χ y ΓΡΑΦΗΜΑ. Χ y ΓΡΑΦΗΜΑ. Χ Επειδή = β = β = = 0 το () είναι προσθετικό ως προς χ και χ. C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 9

30 Το Γράφηµα () ερµηνεύεται ως εξής: Σε µία ταυτόχρονη συµµεταβολή των ερµηνευτικών µεταβλητών χ και χ οι συνολικές επιδράσεις στην y θα είναι ανεξάρτητες από τα επίπεδα τιµών που λαµβάνουν οι µεταβλητές χ και χ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Να µελετηθεί ως προς την προσθετικότητα της η συνάρτηση Κατανάλωσης της Ελληνικής Οικονοµίας: C = y Ä () όπου C = Εθνική Ιδιωτική Κατανάλωση y = ιαθέσιµο Ιδιωτικό Εισόδηµα = ιανοµή Εισοδήµατος ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Στην () ισχύουν ότι : C C = 05. ϕ( ), = 065. ϕ( y) () Κατ επέκταση, C C = 0 = () Στην () µε βάση τη () και () αντιστοιχεί ένα Γράφηµα Ροής της µορφής: y 0.5 D 0.65 c ΓΡΑΦΗΜΑ. Με βάση το Γράφηµα οι επιδράσεις των µεταβλητών y και στη διαµόρφωση της µεταβλητικότητας της κατανάλωσης είναι ανεξάρτητη από το επίπεδο των τιµών που λαµβάνουν οι ερµηνευτικές µεταβλητές. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Να µελετηθεί ως προς τις συνθήκες προσθετικότητας η συνάρτηση : y=0 +6 = f(, ) () Με βάση τις συνθήκες προσθετικότητας προκύπτει ότι : = ( ) = ( 0) + 6 ( ) = 6 = ϕ( ) () C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc 0

31 = ( ) = ( 0) + 6 (, ) = 6 = ϕ( ) () Επίσης ισχύει ότι : f = ( 6) = 6 0 (4) f = ( 6 ) = 6 0 (5) Με βάση τη () και () προκύπτει ότι : 6 6 ΣΧΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑ. Εάν εφαρµόσουµε το παράδειγµα () σε πραγµατικά στοιχεία του Παραρτήµατος, προκύπτει το Σχεδιάγραµµα. Το Μ έχει υπολογισθεί µε βάση τη σχέση Μ = 0+βχ χ χ = Βάρος Αυτοκινήτου χ = Ιπποδύναµη Τα αντίστοιχα σχεδιαγράµµατα για τις µεταξύ των µεταβλητών σχέσεις είναι τα σχεδιαγράµµατα και αντιστοίχως. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Να µελετηθεί ως προς την προσθετικότητα του το υπόδειγµα : y = ιδιωτικές επενδύσεις χ = Επιτόκιο y= f (, ; α, α ) = α χ +α χ () C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc

32 χ = Προϊόν ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Με βάση τις συνθήκες προσθετικότητας προκύπτει ότι : = ( a + a ) = ( a ) + ( a ) = a ϕ( ) () = ( a + a ) = ( a ) + ( a ) = a ϕ( ) () = = 0 (4) Με βάση τα παραπάνω µεταβλητές χ και χ εισέρχονται προσθετικά στην διαµόρφωση της µεταβλητικότητας των επενδύσεων. α α χ χ C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_\SΚΕΦ_-5a.doc