1. ELEMENTE DE ALGEBRĂ BOOLEANĂ
|
|
- Ζακχαῖος Αλαβάνος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . ELEMENTE DE ALGEBRĂ BOOLEANĂ În teoria circuitelor numerice şi în electronica digitală în general, semnalele electrice pot lua numai valori discrete, în majoritatea cazurilor aceste valori fiind asociate convenţional lui logic şi logic. În limbaj tehnic ne vom referi la aceste două valori cu noţiunea de bit (binar digit). Bitul se defineşte în teoria informaţiei şi este o unitate de măsură a acesteia, echivalentă cu informaţia transmisă prin furnizarea unui mesaj din două egal probabile. Calculatoarele electronice digitale (numerice) efectuează operaţii logice. De aceea, pentru a studia principiile de operare ale subsistemelor de procesare logică, este necesar să se analizeze unele noţiuni de logică matematică. Se disting mai multe direcţii de preocupare în logica matematică, printre care logica claselor şi logica propoziţiilor. În logica claselor se studiază relaţiile dintre clasele (mulţimile) de obiecte, prin clasă înţelegându-se totalitatea obiectelor care au o anumită proprietate. În logica propoziţiilor se studiază propoziţiile din punct de vedere al adevărului sau falsităţii lor (este vorba de propoziţii matematice). În afară de logica bivalentă, în care propoziţiile pot fi numai adevărate sau numai false, s-au dezvoltat şi alte logici matematice în care se admit şi alte valori pentru propoziţii. Aceste logici au căpătat atributul de polivalente. Majoritatea sistemelor digitale lucrează în logică bivalentă, utilizând codificarea binară a informaţiei. Eistă şi sisteme care lucrează pe baza unor logici polivalente. Fie A o propoziţie. Dacă ea este adevărată vom scrie: A =. Dacă este falsă, vom scrie: A =. Astfel, şi/sau reprezintă valori de adevăr (sau valori logice binare) pentru propoziţia A. Epresiile în care intervin mai multe propoziţii vor fi numite funcţii logice. Algebra logică binară a fost fundamentată prin lucrările matematicianului englez George Boole şi din această cauză ea mai poartă şi denumirea de algebră Boole sau algebră booleană. Pentru studiul circuitelor numerice (digitale) se foloseşte ca suport matematic algebra booleană. Ea are la bază o serie de postulate (aiome) şi teoreme.
2 cap. Elemente de algebră booleană. Aiome şi teoreme booleene Algebra booleană operează pe o mulţime B = { / {, }}. În această mulţime binară se definesc trei legi de compoziţie: complementarea (negare, NU, NOT, inversare logică), disjuncţia (sumă logică, +, SAU, OR, ) şi conjuncţia (produs logic,, ŞI, AND, ), pentru care se dau în continuare tabelele de adevăr, simbolurile grafice şi implementarea prin contacte (figura.) ( ) ( ) + + Figura. Tabelele de adevăr, simbolurile grafice şi implementarea prin contacte electrice pentru complementare, disjuncţie şi conjuncţie Toate relaţiile definite pe B au un caracter dual, adică relaţiile rămân valabile dacă se fac schimbările: + cu şi respectiv cu (teorema dualităţii). În mulţimea B se poate alege o structură de şase aiome duale pe baza cărora se definesc teoremele şi proprietăţile care stau la baza algebrei boolene. Acestea sunt prezentate în continuare. Aiome:. Mulţimea B este o mulţime închisă: X,Y B X+Y B; X,Y B XY B ; (.). Asociativitatea: X+(Y+Z) = (X+Y)+Z ; X(Y Z) = (X Y) Z ; (.). Comutativitatea: X+Y = Y+X ; X Y = Y X ; (.)
3 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE. Distributivitatea: X+Y Z = (X+Y)(X+Z) ; X (Y+Z) = X Y+X Z ; (.) 5. Element neutru: X + = + X = X ; X = X = X ; (.5) 6. Complementul: X + X = ; X X = ; (.6) Teoreme (proprietăţi): 7. Idempotenţa: X+X+..+X = X ; XX..X = X ; (.7) 8. Elemente neutre: X+ = ; X = ; (.8) 9. Involuţia: X = X, X = X ; (.9). Absorbţia: X+XY = X ; X(X+Y) = X ; (.). Relaţiile lui De Morgan: X + Y = XY, XY = X + Y (.) În general, notând cu suma şi respectiv cu produsul boolean, relaţiile De Morgan se scriu: n k= n k= n k= n = şi = (.) k k k k= k Pe mulţimea B sunt valabile teoremele enunţate. Demonstraţia lor se poate face folosind aiomele, dar este mai comod dacă se folosesc tabelele de adevăr. Tabela de adevăr stabileşte o corespondenţă între valorile de adevăr ale variabilelor şi valoarea de adevăr a funcţiei. Eemplu: + + Figura. Relaţiile lui De Morgan
4 cap. Elemente de algebră booleană Perechile de operatori NOT şi AND, respectiv NOT şi OR formează fiecare câte un sistem complet, adică orice relaţie definită pe B poate fi eprimată folosind numai operatorii unei singure perechi. Circuitul fizic care implementează un operator logic se numeşte poartă logică. Sistemele complete prezentate au fost realizate cu câte o singură poartă: ŞI-NU (NAND, Scheffer) şi SAU-NU (NOR, funcţie nici sau funcţie Pierce). Un sistem complet de operatori poate eprima orice relaţie logică ca în eemplul următor, în care ne propunem să implementăm operatorii NOT, OR şi AND folosind operatori NAND şi NOR. NAND NOT OR AND = + = = NOR = + + = + = + Figura. Implementarea operatorilor NOT, OR şi AND folosind operatori NAND şi NOR. Relaţii booleene utile: ) + = ( + ) * = ( + )( + ) = * + * + * + * = = = + = (.) ) proprietatea de absorbţie: + ( * ) = * (+ ) = şi relaţia duală: * ( + ) = * + * = + = (.) ) + * = + (.5) Demonstraţie: + = ( + )( + )( + ) = ( )( + ) = ( + + )( + ) = = = + + = ( + ) + = + (.6) ) ( + ) = * (duala relaţiei precedente). (.7). Funcţii logice O funcţie f : B n B se numeşte funcţie booleană. Altfel spus, o funcţie booleană de n variabile = f (,,.. n ), unde i sunt variabile de intrare, se caracterizează prin faptul că atât funcţia cât şi variabilele nu pot lua decât două valorile distincte, şi.
5 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE Eemplu: Considerăm un rezervor alimentat de trei robinete, şi z. Ne propunem să menţinem rezervorul plin cu ajutorul acestor trei robinete. Rezervorul poate fi menţinut plin dacă cel puţin două robinete sunt deschise simultan. Dacă considerăm că un robinet deschis are atribuită valoarea logică, atunci funcţia care descrie din punct de vedere logic această situaţie este următoarea: U (,,z) = z + z + z + z (.8). Reprezentarea funcţiilor logice Pentru reprezentarea funcţiilor logice se folosesc în mod curent şi în principal trei metode, descrise mai jos. A. Reprezentare prin tabela de adevăr Această reprezentare presupune marcarea, într-un tabel, a corespondenţei dintre valorile de adevăr ale variabilelor de intrare şi valoarea de adevăr a funcţiei în fiecare punct al domeniului de definiţie. Eemplu: Pentru cazul problemei considerate în eemplul anterior, reprezentarea prin tabel arată ca în figura. z U Figura. Eemplu de reprezentare prin tabel a unei funcţii logice B. Reprezentarea prin diagrame Karnaugh Reprezentarea prin diagrame Karnaugh constă în a marca punctele domeniului de definiţie într-o diagramă plană şi a preciza valoarea funcţiei în fiecare din aceste puncte. \ z 5 Figura.5 Reprezentarea funcţiilor logice prin diagrame Karnaugh
6 cap. Elemente de algebră booleană Dacă luăm în considerare vârful cubului caracterizat prin coordonatele, constatăm că acest vârf este vecin cu vârfurile,,. În diagrama Karnaugh constatăm că este vecin doar cu şi. Pentru ca diagrama Karnaugh să fie echivalentă cu reprezentarea prin cub, ea trebuie să păstreze acelaşi vecinătăţi, lucru ce devine posibil doar dacă ne imaginăm latura din stânga a diagramei Karnaugh în continuarea celei din dreapta, iar latura de sus în continuarea celei de jos. În acest fel, punctul devine vecin şi cu punctul. C. Reprezentarea prin echivalenţi zecimali ai mintermilor Reprezentarea prin echivalenţi zecimali ai mintermilor constă în indicarea echivalenţilor zecimali ai conjuncţiilor pentru care valoarea funcţiei este sau a echivalenţilor zecimali corespunzători valorii ale funcţiei. Eemplu: U(,,z ) = R (,5,6,7 ) (.9) U(,,z ) = R (,,, ) (.). Epresii analitice ale funcţiilor logice În majoritatea aplicaţiilor practice este necesară utilizarea formei analitice a funcţiilor booleene. În acest scop se utilizează două forme de dezvoltare: - forma canonică disjunctivă (FCD) care presupune utilizarea unor funcţii elementare numite constituenţi ai unităţii (termeni minimali sau mintermi); - forma canonică conjunctivă (FCC) care presupune utilizarea unor funcţii elementare numite constituenţi ai lui zero (termeni maimali sau matermi). Notaţie: σ, pentru σ = =, pentru σ = (.) Definiţie: Se numeşte constituent al unităţii funcţia elementară Q k caracterizată prin faptul că ia valoarea logic într-un un singur punct al domeniului de definiţie. Constituentul unităţii va fi produsul logic al tuturor variabilelor negate sau nenegate: Q k n = = i σ i, k() = σ n-,..σ () (.) i k Pentru ca Q să fie într-un anumit punct al domeniului de definiţie este necesar ca toţi termenii produsului să fie logic, ceea ce presupune ca argumentele să aibă valoarea i = σ i. Aşadar rezultă următoarea regulă de scriere a mintermenilor : în conjuncţia variabilelor, variabilele care iau valoarea în punctul respectiv al domeniului de definiţie se vor lua negate, iar cele care iau valoarea se vor lua nenegate. Q k 6
7 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE Numim conjuncţii vecine două conjuncţii care sunt constituite din aceleaşi variabile şi diferă doar prin comlementarea uneia singure. Prin sumarea a două conjuncţii vecine se obţine o conjuncţie cu un număr de variabile mai mic cu, lipsind variabila a cărei complementaritate diferă. Eemplu: Pentru cazul unei funcţii de variabile, fie suma a două conjuncţii vecine: () () () 9 Q8 = + = ( + ) = Q Q + = (.) Definiţie: Se numeşte constituent al lui zero funcţia elementară care ia valoarea logic într-un singur punct al domeniului de definiţie. Constituentul lui va fi suma logică a tuturor variabilelor negate sau nenegate: D k n = = i σ i i k ( ) n...σ () D k k = σ (.) Pentru ca D să fie într-un un anumit punct al domeniului de definiţie este necesar ca toţi termenii sumei să fie, ceea ce este echivalent cu i = σ. Prin urmare rezultă următoarea regulă de scriere a matermului disjuncţia variabilelor, variabilele care iau valoarea în punctul respectiv al domeniului de definiţie se vor lua nenegate, iar cele care iau valoarea se vor lua negate. Disjuncţiile vecine se definesc în mod similar cu conjuncţiile vecine. Prin înmulţirea a două disjuncţii vecine se obţine o disjuncţie având o variabilă mai puţin (dispare acea variabilă care îşi modifică complementaritatea). i D k : în D () 9 D () 8 = D = ( () D () + + D () + ( + + )( ) = D () + + D ) = (D () () + + = D () )(D = () + + ) = + (.5) Pentru o funcţie de o variabilă, f() se poate scrie sub forma: f () = f() + f() (.6) În mod similar, pentru o funcţie de două variabile f(, ) avem relaţia: f(, ) = f(, = ) + f(, f(, ) + ) = [ f(,) + f(, ) + f(, ) + f(,)] + [ f(,) = f(, ) + f(,)] = σ σ f( σσ ) σ, σ {,} (.7) Prin inducţie rezultă: f( n,..., ) = ( σ {,} j n j= σ j j ) f( σ,..., σ ), j =,...,n (.8) n 7
8 cap. Elemente de algebră booleană Termenii de sumă pentru care ( σ,..., σ ) dispar, deci: f( n,..., ) = f n = n σ ( j j ) f( σ n,..., σ ) = j= ( FCD ) (.9) Epresia unei funcţii logice este suma mintermilor pentru care funcţia ia valoarea. Eemplu: U(,,z) = z + z + z + z = z + z + z + z (.) Forma canonică conjunctivă ( FCC ) se obţine astfel: f( = n,..., f( σ n,..., σ ) = ) = f( ( n j= n,..., σ j j ) = ) = f( σ n,..., σ ) = f( σ n,..., σ ) = ( n j= ( n j= σ j j ) σ j j ) = f( σ n,..., σ ) = ( n j= σ j j ) = (.) Epresia funcţiei logice poate fi scrisă deci ca produsul matermilor pentru care funcţia ia valoarea. Eemplu: U(,,z) = ( + + z )( + + z )( = ( + + z)( + + z)( + + z)( + + z) + + z )( + + z ) = (.).5 Implementarea funcţiilor logice Implementarea unei funcţii logice înseamnă realizarea ei cu ajutorul circuitelor (porţilor) fundamentale. Se defineşte cost al unei implementări numărul de intrări în circuitele fundamentale care realizează funcţia dată. Pentru implementarea unei funcţii cu circuite NAND se porneşte de la FCD: f( n σ j n,..., ) = Qk = Qk, Qk = j,k = σ n,..., f( σ n,..., σ ) = f( σ n,..., σ ) = j= Realizând Qk σ () (.) cu circuite NAND, funcţia f se obţine prin cuplarea ieşirilor circuitelor NAND precedente la intrările unui alt circuit NAND. Eemplu: f (,,z) = z + z + z + z (problema implementată de realaţia.8) 8
9 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE z z z z f Figura.6 Eemplu de implementare a unei funcţii logice cu circuite NAND, pornind de la FCD Costul implementării din figura.6 este: C ( f ) = + = 6 Pentru implementare cu circuite NOR se porneşte de la FCC: f( n σ j n,..., ) = Dk = Dk, Dk = j,k() = σ n,..., f( σ n,..., σ ) = f( σ n,..., σ ) = j= Funcţia f se obţine prin cuplarea ieşirilor circuitelor NOR ce implementează intrările unui alt circuit NOR. σ (.) D k la Eemplu: z z z z C ( f )= + = 6 f Figura.7 Eemplu de implementare a unei funcţii logice cu circuite NOR, pornind de la FCC Nivelul unei implementări logice se defineşte ca fiind numărul maim de circuite pe care le străbate un semnal de la intrare către ieşire. În cazurile precedente s-au considerat structuri logice cu două nivele. Eemplu: Fie f(,,z) = + z + z = zz (.) 9
10 cap. Elemente de algebră booleană z z C = + = 9; N = f f Figura.8 Eemplu de implementare a unei funcţii logice(.) cu NAND, pe două nivele, fără reducerea costului Rescriind relaţia (.) sub altă formă se obţine (.5). f(,,z) = + z(+) = z( + + = z (.5) Scăderea costului în varianta a doua s-a făcut pe seama creşterii nivelului, ceea ce implică însă micşorarea vitezei. z f C = = 8; N = Figura.9 Eemplu de implementare a unei funcţii logice cu NAND (.), pe trei nivele, cu reducerea costului.6 Funcţii incomplet definite În unele cazuri, pentru anumite combinaţii de variabile de intrare nu este precizată valoarea funcţiei sau aceste combinaţii nu apar niciodată în sistemul fizic ce materializează funcţia. Astfel de funcţii se numesc funcţii incomplet definite şi prezintă valori indiferente, pe care în tabelul de adevăr le vom nota cu : z f
11 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE Un alt mod de reprezentare a acestor funcţii este prin echivalenţi zecimali (.6). f (,,z ) = R (,, ) + R (,5,6,7 ) (.6) f (,,z ) = R ( ) + R (,5,6,7 ) f (,,z ) = R ( ) + R (,, ).7 Minimizarea funcţiilor logice În proiectarea sistemelor digitale, analiza şi sinteza circuitelor numerice se bazează pe algebra booleană. Rezultă o legătură firească între gradul de compleitate al circuitului care se obţine şi gradul de compleitate al funcţiei care îl descrie. Din acest motiv, pentru sinteza circuitelor numerice (circuite funcţionând în regim de comutaţie), după etapa de definire a funcţiei, urmează obligatoriu etapa de minimizare a funcţiei în scopul obţinerii unei forme simplificate (formă minimă). Minimizarea unei funcţii este procedeul prin care, pentru un nivel dat, se obţine o epresie care generează un cost minim pentru un număr dat de nivele logice. Implementarea practică a circuitului se realizează pe baza formei minimizate, ceea ce conduce la configuraţia optimă de circuit. Eistă mai multe metode de minimizare, câteva dintre acestea fiind: - metoda analitică - metoda Veitch - Karnaugh - metoda Quine - McCluske.7. Metoda analitică Metoda analitica se bazează pe simplificarea epresiei unei funcţii pe baza aiomelor şi teoremelor algebrei booleene. Eemplu: f (,,z ) = z + z + z + z ; C = + = 6 (.7) Prelucrând forma dată a funcţiei, ea se poate rescrie: f(,,z) = z + z + z + z + z + z = = (z + z) + z( + ) + z( + ) = + z + z C = + = 9 ; (.8).7. Metoda Veitch - Karnaugh Această metodă transpune aiomele şi teoremele algebrei booleene pe reprezentarea funcţiei cu diagrame Karnaugh. O diagramă Karnaugh poate fi privită ca o reprezentare a funcţiei booleene, dacă se au în vedere produsele logice ale coordonatelor, prin mintermi, aşa cum se observă în reprezentarea care urmează.
12 cap. Elemente de algebră booleană Fiecare celulă din diagramă conţine un minterm. Două celule vecine conţin mintermi care diferă prin valoarea unei singure variabile. Prin adunarea mintermilor din două celule vecine se elimină variabila care îşi schimbă valoarea. Aceasta permite simplificarea epresiei funcţiei care se obţine şi implicit simplificarea structurii logice corespunzătoare Eemplu: \ \ FCD se obţine prin sumarea mintermilor pentru care funcţia ia valoarea. Prin gruparea celulelor vecine pentru care valoarea funcţiei este se obţin,, (prin eliminarea variabilelor care îşi schimbă valoarea în cadrul aceleiaşi grupări). Fiecare celulă ocupată de valoarea trebuie să facă parte din cel puţin o grupare, dar poate fi inclusă în mai multe grupări. Pentru eemplul considerat se obţine FMD: f (,, ) = + +. (.9) Dacă un grup de două celule vecine este vecin la rândul său cu un alt grup de două celule vecine, acestea se pot contopi într-un singur grup de patru celule vecine, ceea ce va permite eliminarea a două variabile. În general, un grup de m celule vecine ocupate de unităţi permite eliminarea a m variabile. Eemplu: f (,,, ) = + (.) \ Cel mai avansat grad de simplificare se obţine dacă valorile dintr-o diagramă Karnaugh sunt grupate într-un număr minim de grupuri, fiecare grup conţinând un număr maim de unităţi, aşa cum este eemplificat în diagrama care urmează. \
13 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE Eemplu: f(,,,, + + ) = (FMD) (.) Pentru simplitate, în diagramă nu s-au trecut decât valorile ale funcţiei. Costul este: C = ( ) + 6 = 5 Implementarea cu circuite NAND este prezentată în figura.. Figura. Implementarea cu circuite NAND a funcţiei (.) f Pentru minimizarea funcţiilor scrise sub forma conjunctivă, în diagrama Karnaugh se vor considera disjuncţiile corespunzătoare valorilor ale funcţiei şi se va urma o procedură asemănătoare cu cea folosită la forma disjunctivă. Metoda constă în cuplarea de disjuncţii vecine din care va dispărea termenul corespunzător bitului ce se modifică, în echivalenţii binari. Eemplu: \ f( (, +,, +, + ) = ( ) ( ) ( + ) + + ) ( ) (.) C = ( ) + 5 = Implementarea cu circuite NOR este prezentată în figura..
14 cap. Elemente de algebră booleană f Figura. Implementarea cu circuite NOR a funcţiei (.) În cazul funcţiilor incomplet definite, valorile indiferente ale funcţiei se iau pentru forma disjunctivă şi pentru forma conjunctivă dacă aceste valori participă la minimizare. Valorile indiferente care nu sunt cuplate devin pentru forma disjunctivă şi pentru forma conjunctivă. Considerarea valorilor indiferente determină simplificarea formei funcţiei care se obţine în sensul reducerii numărului de variabile. Eemplu: f (,,, ) = R (,,, ) + R (, 5,, 5 ) (.) \ \ f(,,, ) = + + ; C = + = (.) f(,,, ) = ( + )( + + )( + C + )( + + ); = ( + ) + = 5 (.5) \ \ f(,,, ) = + ; C = + = 6 (.6) f(,,, ) = ( + ); C = + = (.7)
15 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE Concluzia este că prin participarea valorilor indiferente la minimizarea funcţiilor incomplet definite se obţine o reducere a costurilor..7. Metoda Quine McCluske Pentru funcţii ce depind de mai mult de 5 variabile, metoda Veitch - Karnaugh devine greoaie şi se preferă o altă metodă, metoda Quine - McCluske. În cazul formei disjunctive, minimizarea prin această metodă presupune parcurgerea etapelor prezentate în continuare. ) Ordonarea echivalenţilor binari ai conjuncţiilor corespunzătoare valorilor ale funcţiei după pondere. Definiţie: n σ Ponderea conjuncţiei Qk = j j este numărul P = k ] j, unde j= j= este suma algebrică. Eemplu: P[ ] = P[ ] = = (.8) Pentru o conjuncţie Q = Q Q, ponderea este P[Q]= P[Q ]+ P[Q ]. Lemă: Pentru două conjuncţii vecine ponderile diferă cu o unitate. P[i Q] = P[i] + P[Q] = + P[Q] P[ Q] = P[ ] + P[Q] = + P[Q] i i = P[Q] Reciproca nu este adevărată: P ) = P[ ] [ + ) Determinarea implicanţilor primi prin comparaţii succesive ale echivalenţilor binari. Definiţie: Se numeşte implicant prim al unei funcţii un termen al acesteia care nu se mai poate reduce. Pentru determinarea implicanţilor primi se cuplează echivalenţii binari care diferă doar printr-o cifră din acelaşi rang. Se obţine astfel primul tabel de comparaţii în care dispariţia variabilei corespunzătoare cifrei care se modifică se notează cu -. În continuare, se pot cupla două conjuncţii din grupe vecine dacă simbolul - se află în acelaşi rang şi echivalenţii binari diferă doar printr-o cifră din acelaşi rang. Rezultă al doilea tabel de comparare şi procedura se repetă. Conjuncţia care nu se mai poate cupla cu nici o altă conjuncţie din tabel este un implicant prim al funcţiei date. n 5
16 cap. Elemente de algebră booleană ) Determinarea tabelului de acoperire al funcţiei Tabelul de acoperire este un tablou rectangular, la care liniile corespund implicanţilor primi, iar coloanele corespund echivalenţilor zecimali ai conjuncţiilor pentru care funcţia ia valoarea. Tabloul se completează cu în poziţiile pentru care conjuncţiile de pe coloane realizează implicanţii primi de pe linii. ) Calculul formal de determinare a tuturor soluţiilor funcţiei Fiecărui implicant prim X i se ataşează o variabilă logică F care ia valoarea când implicantul prim este realizat (conform tabelului de acoperire). Pentru realizarea funcţiei este necesar ca în epresia ei să eiste toate conjuncţiile corespunzătoare valorilor ale funcţiei. Pentru determinarea tuturor soluţiilor funcţiei, se eprimă această cerinţă cu ajutorul variabilelor F. Eemplu: f (,,, ) = R (,,,, 7, 8,,,, 5 ) (.9) ) Ordonarea echivalenţilor binari ) Determinarea implicanţilor primi -... A B C D E F 6
17 BAZELE PROIECTĂRII CIRCUITELOR NUMERICE A = D = ; ; B = E = ; ; F = C = ; (.5) ) Determinarea tabelului de acoperire al funcţiei A B C D E F ) Calculul formal de determinare a tuturor soluţiilor funcţiei ( F A + F E )( F A + F B )( F B + F F ) F E F F F E F F ( F C + F E )( F C + F D )( F D + F F ) = ( F A + F B ) F E F F ( F C + F D ) = (.5) F A F C F E F F + F A F D F E F F + F B F C F E F F + F B F D F E F F = Funcţia f poate avea epresii: f = A + C + E + F (.5) f = A + D+ E + F f = B + C+ E + F f = B + D+ E + F În prima variantă de obţine f(,,, ) = (.5) Implementarea cu circuite NAND este prezentată în figura.. Figura. Implementarea cu circuite NAND a funcţiei (.5) f 7
18 cap. Elemente de algebră booleană În cazul formei conjunctive a funcţiilor, procedura este similară, dar se vor considera valorile ale funcţiei şi disjuncţiile corespunzătoare. Metoda Quine McCluske se pretează implementării automate a sistemelor numerice. Algoritmul bazat pe această metodă poate fi transpus în aplicaţii software care determină automat structura logică a circuitului. 8
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
56 3.4. Minimizarea funcţiilor booleene Minimizarea constă în obţinerea formei celei mai simple de exprimare a funcţiilor booleene în scopul reducerii numărului de circuite şi a numărului de intrări ale
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραLogica matematica. Algebra booleana
Logica matematica. Algebra booleana propoziţii şi valori de adevăr conectori (operatori) logici (negaţia, conjuncţia, disjuncţia, implicaţia, echivalenţa logică, incompatibilitatea) expresii în calculul
Διαβάστε περισσότερα3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
56 sau: F = ABC + ABC + ABC Complementând din nou, se obţine funcţia iniţială: F = ABC + ABC + ABC = ABC ABC ABC = ( A + B + C)( A + B + C)( A + B + C) sau F = S 4 S5 S6 3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραArhitectura Calculatoarelor. Fizică - Informatică an II. 2. Circuite logice. Copyright Paul GASNER 1
Arhitectura Calculatoarelor Fizică - Informatică an II gasner@uaic.ro 2. Circuite logice Copyright Paul GASNER 1 Funcţii booleene Porţi logice Circuite combinaţionale codoare şi decodoare Cuprins multiplexoare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραELECTRONICĂ DIGITALĂ
E-mail URL ELECTRONICĂ DIGITALĂ Dan NICULA Universitatea TRANSILVANIA din Braşov Departamentul de Electronicăşi Calculatoare www.dannicula.ro/ed dan.nicula@unitbv.ro www.dannicula.ro 1 Capitole 0. Introducere
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE COMBINAŢIONALE UZUALE
Arhitectura calculatoarelor Lucrarea de laborator Nr. 3. 1 CIRCUITE COMBINAŢIONALE UZUALE 1. Scopul lucrării Lucrarea prezintă unele circuite combinaţionale uzuale şi utilizarea acestor circuite la implementarea
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραAnaliza şi sinteza circuitelor combinaţionale
PROIECTAREA LOGICĂ Analiza şi sinteza circuitelor combinaţionale Note de curs Dr.Ing.Mat. Ion I. Bucur Un circuit combinaţional C, este definit prin relaţiile dintre intrǎri şi ieşiri : f i : B n B, (B={0,1}),
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din Petroșani. Analiza și sinteza dispozitivelor numerice Proiectare logică
Universitatea din Petroșani Departamentul Automatică, Calculatoare, Inginerie Electrică și Energetică Analiza și sinteza dispozitivelor numerice Proiectare logică Note de curs Conf.univ.dr.ing. Nicolae
Διαβάστε περισσότεραElectronică anul II PROBLEME
Electronică anul II PROBLEME 1. Găsiți expresiile analitice ale funcției de transfer şi defazajului dintre tensiunea de ieşire şi tensiunea de intrare pentru cuadrupolii din figurile de mai jos și reprezentați-le
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCircuite logice programabile
82 Tabelul 3.12. Tabelul de funcţionare al circuitului 74155. Selecţie Strobare Date Ieşiri B A 1G 1C 1Y 1 01Y 1Y 21Y 3 x x 1 x 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 x
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραAsemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Διαβάστε περισσότεραCursul nr. 6. C6.1 Multiplexorul / Selectorul de date
C61 Multiplexorul / Selectorul de date Cursul nr 6 Multiplexorul (MUX) este un circuit logic combinańional care selectează una din intrările sale pentru a o transmite la ieşirea unică Schema de principiu
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότερα