7 врста и то: Ganoderma applanatum, G. adspersum, G. abietinus, G. carnosum

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7 врста и то: Ganoderma applanatum, G. adspersum, G. abietinus, G. carnosum"

Transcript

1 UDK 630*443.3: ( ) Оригинални научни рад GANODERMA ВРСТЕ У ШУМАМА СРБИЈЕ И ЦРНЕ ГОРЕ ДРАГАН КАРАЏИЋ 1 ЗЛАТАН РАДУЛОВИЋ 2 ИВАН МИЛЕНКОВИЋ 2 Извод: Гљиве из рода Ganoderma су лигниколне гљиве које спадају у класу Agaricomycetes (ред Polyporales, фам. Ganodermataceae). Карактеришу се вишегодишњим или једногодишњим плодоносним телима (карпофорама), чији је хименофор изграђен из цевчица. Скоро све врсте изазивају белу трулеж. Највећи број врста јавља се у тропима. У Европи се углавном помиње 9 врста. У току наших истраживања у шумама Србије и Црне Горе идентификовали смо 7 врста и то: Ganoderma applanatum, G. adspersum, G. abietinus, G. carnosum (=G. atkinsonii), G. lucidum, G. pfeifferi и G. resinaceum. У овoм раду је дат опис ових врста и указано на неке разлике које постоје међу њима. Кључне речи: Ganoderma spp., идентификација, бела трулеж, значај GANODERMA SPECIES IN THE FORESTS OF SERBIA AND MONTENEGRO Abstract: Fungi of the genus Ganoderma are lignicolous fungi belonging to the class of Agaricomycetes (order Polyporales, fam. Ganodermataceae). They are characterized by perennial or annual fruiting bodies (conks), whose hymenophores are in the form of tubes. Almost all species cause white rot. The greatest number of species occur in the tropics. There are 9 main species in Europe. In the course of our research carried out in the forests of Serbia and Montenegro, we have identified seven species. They are: Ganoderma applanatum, G. adspersum, G. abietinus, G. carnosum (=G. atkinsonii), G. lucidum, G. pfeifferi and G. resinaceum. This paper gives a description of these species and points out to some differences between them. Keywords: Ganoderma spp., identification, white rot, importance 1. УВОД Род Ganoderma је један од екoномски најзначајнијих родова Phylum-а Basidiomycota. Према Kirk, P. et al., 2008, овај род садржи око 80 врста, али се већина врста јавља на дрвећу у тропском и субтропском подручју, где су озбиљне штете забележене на: уљанoj палми (Elaeisa guineesiss), кокосовој палми (Cocos nucifera), каучковцу (Hevea brasiliensis), какау (Theobromna cacao), гуарани (Paullinia cupana), чају (Camellia sienensis) и акацији (Acacia spp.), према Flood, J. et al У Европи се најчeшће јављају на лишћарским врстама дрвећа (буква, храст), али су такође констатоване 1 др Драган Караџић, ред. проф., Универзитет у Београду - Шумарски факултет, Београд 2 др Златан Радуловић, научни сарадник; Иван Миленковић, дипл. инж., истраживач сарадник, Институт за шумарство, Београд ЈАНУАР-ЈУН,

2 штете и на неким четинарским врстама дрвећа (нпр. јели). Караџић, Д. (2011) наводи присуство врста G. applanatum и G. adspersum на грабу. Гљиве из рода Ganoderma проузрокују белу трулеж дрвета и јављају се, у највећем броју случајева, на живим дубећим стаблима, углавном изазивајући деструкцију у основи стабала, а као резултат тога долази до ломова у основи стабала. Инфекције се остварују преко озледа у основи стабала, а затим се мицелија шири и постепно захвата доњи, економски највреднији део стабла. Када је нападнута буква у крајњој фази бељика је потпуно захваћена трулежи, а у централном делу стабла образују се шупљине. Заједно са гљивaма Fomes fomentarius (L.,Fr.) Fr., Hypoxylon deustum (Hoffm. ex Fr.) Grev., Polyporus squamosus Fr., Trametes spp. и Pleurotus ostreatus (Jacq.: Fr.) Kumm., гљивa Ganoderma applanatum (Pers.ex Wallr.) Pat. је свакако најзначајнији деструктор буковог дрвета (Караџић, Д., 2010, 2012; Караџић, Д., Миленковић, И., 2013). После обарања стабала, ове гљиве настављају са развојем и доводе до потпуног пропадања дрвета. Међутим, нису све Ganoderma врсте штетне, већ има и неких врста чија плодоносна тела имају различиту употребну вредност. Посебно је цењена гљива G. lucidum, која се данас у великом броју земаља у свету вештачки производи, а њена плодоносна тела налазе примену у медицини (Кина, Јапан, Аустралији, САД и др.). G. lucidum стимулише имуни систем организма. Њен мирис је јак, јасан и за већину који је конзумирају пријатан. Имајући у виду колики је значај Ganoderma врста у шумској привреди и честе грешке до којих долази када се покуша са тачном идентификацијом врста, одлучили смо да дамо кратак опис и кључ за лакше одређивање ових врста које се јављају у шумама Србије и Црне Горе. 2. МАТЕРИЈАЛ И МЕТОД РАДА Глобална истраживања Ganoderma врста су спроведена у шумама на целом подручју Србије и Црне Горе, док су нешто детаљнија истраживања извршена на Гочу, Мајданпечкој домени, Кучеву, подручју Бољевца, НП Ђердап, НП Тара, НП Фрушка Гора, подручје Равног Срема, НП Дурмитор и НП Биоградска Гора. При истраживању евидентиране су све Ganoderma врсте које се јављају на дубећим (живим) стаблима, као и и оне које колонизирају трупце одмах после сече стабала. Одређивање врста је извршено на основу изгледа плодоносних тела и типа трулежи које изазивају. У свим оним случајевима где нису била још образована плодоносна тела гљива, већ је била приметна променa боје дрвета или прозуклост, узимани су фрагменти дрвета који су (после површинске стерилизације) стављани на одговарајуће хранљиве подлоге (ПДА- кромпир декстроза агар; МЕА- малц екстракт агар). Хранљиве подлоге су припремане према рецепту Booth-a, C. (1971). Циљ ових изолација је био да се добију чисте културе Ganoderma врста и на основу њиховог изгледа изврши идентификацијa. После изолације чистих култура, приступило се њиховом одређивању. За детерминацију Ganoderma врста корисно су послужили и описи ових 2 ШУМАРСТВО 1-2

3 гљива дати у публикацијама следећих аутора: Adaskaveg, J.E., Gilbertson, R. L. (1989), Б о н д а р ц е в a, М. А. (1998), B r e i t e n b a c h, J., K r ä n z l i n, F. (1986), Fu r tado, J. (1965), Haga ra, L. et al. (2012), Leonard, A. (1998), Mattock, G. (2001), Pegler, D., Young, T. (1973), Petersen, J. (1987), Ryvarden, L., Johansen, I. (1980), Stalpers, J. (1978) и Steyaert, R.L. (1961, 1975). 3. РЕЗУЛТАТИ ИСТРАЖИВАЊА И ДИСКУСИЈА Род Ganoderma P. Karst (Kingdom FUNGI, Phylum Basidiomycota, Subphylum Agaricomycotina, Klasa Agaricomycetes, Red Polyporales, Fam. Ganodermataceae, Kirk, P.M. et al, 2008) Ganoderma врсте карактеришу се вишегодишњим или једногодишњим плодоносним телима (карпофоре). Карпофоре су седеће, конзоласте, широко причвршћене основом за супстрат или неке врсте имају на бочној страни добро развијену, глатку (као лакирану) дршку (нпр. Ganoderma lucidum и G. carnosum). Спољна површина карпофора је покривена дебелом, сјајном или мат кором. Код неких врста ткиво (трама) је плутасто или влакнасто- -плутасто, веома лако, жуто или розе обојено, а код других тешко, тврдо, скоро дрвенасто, кестењасто-браон, ређе црвенкасто-браон. Хименофор састављен из једнослојних или вишеслојних цевчица, које су сличне боје као и трама. Поре мале, правилне, округласте. Површина хименофора најчешће бела, понекад жућкаста, на притисак постаје смеђа. Систем хифа тримитичан. Генеративне хифе са везицама. Скелетне хифе арбориформног типа (гранају се на крајевима). Споре јајасто елиптичне, на врху као одсечене, са двоструким зидом (који се састоји од брадавичастог или зупчастог ендоспоријума и хијалинског, глатког еписпоријума), рђасто-смеђе или смеђе. Боја спора потиче од ендоспоријума који је изграђен од хитина. Кључ за одређивање Ganoderma врста присутних у шумама Србије и Црне Горе 1. Гљиве се јављају на четинарским врстама...2 Гљиве се јављају на лишћарским врстама Карпофоре (плодоносна тела) седеће, без дршке, широко везане за супстрат, горња страна смеђа, хименофор из цевчица, бео (слика 1-Д)...G. abietinus Карпофоре везане за супстрат једном бочном дршком; површина плодоносног тела и дршке глатка...g. carnosum (= G. atkinsonii) 3. Карпофоре вишегодишње, седеће, без дршке...4 Карпофоре једногодишње, са једном бочном дршком Карпофоре црепасто сложене једна изнад друге. Горња страна равна, концентрично наборана, зонирана, у почетку светло-смеђа, а затим смеђа и покривена прашкастим смеђим слојем спора. Хименофор бео, састављен из више слојева цевчица, који су одвојени једним танким ткивом. Поре округласте 5-6/mm. Ларве муве (Аgathomyia wankowiczi) ЈАНУАР-ЈУН,

4 често образују брадавичасте гале на хименијалном слоју (слика 3-Г) (слика 1-В, Г; сл. 3-А-Ђ)...G. applanatum Карпофоре конзоласте, широко везане за супстрат. Горња страна таласаста, грбаста, скоро неприметно зонирана и покривена једном тврдом, црвено-смеђом кором. Обод карпофоре заобљен, крем до Слика 1. Карпофоре Ganoderma врста: А - Ganoderma pfeifferi; Б - G. adspersum; В Г - G. applanatum; Д - G. abietinus; Ђ - G. resinaceum; Е - G. lucidum Figure 1. Conks of Ganoderma species: А - Ganoderma pfeifferi; Б - G. adspersum; В Г - G. applanatum; Д - G. abietinus; Ђ - G. resinaceum; Е - G. lucidum 4 ШУМАРСТВО 1-2

5 жућкасто обојен. Хименофор бео, састављен из више слојева цевчица, који нису одвојени танким ткивом. Поре округласте, 4-5/mm. Без инсекатских гала (слика 1-Б)...G. adspersum Карпофоре са дебелом, смоластом, сјајном, сивкастом кором која се на пламену топи. Хименофор састављен из цевчица, крајеви цевчица жути. Ова врста се јавља најчешће на букви (сл. 1-А)...G. pfeifferi 5. Површина карпофора у почетку светло-жута, а касније крвавоцрвенкасто кестењаста и лакирана, по ободу бела или жута; дршка добро развијена, црвенкaста, мрко-смеђа до скоро црна и лакирана (слика 1-Е, слика 4-Г, Д)...G. lucidum - Карпофоре нејасно зониране, у почетку жуте, а касније цигласто кестењасте, тамно-црвенкасте, тамно-смеђе и на крају скоро црне, сјајне или мат; дршка кратка, бочна, тамна (скоро црна), сјајна (слика 1-Ђ, слика 4-А, Б, В)... G. resinaceum GANODERMA ADSPERSUM (Schulz.) Donk (Syn. Ganoderma europaeum Steyaert, G. australe Fr.) Pat.) Домаћини. G. adspersum се развија као паразит на лишћарским и четинарским врстама дрвећа, таквим као Aesculus, Quercus, Tilia, Fagus, Platanus. Breitenbach, J., Kräzlin, F. (1986) je наводе и на јели (Abies alba Mill). Распрострањење. Европа. Ова гљива је честа у парковима и дрворедима. Изазива трулеж на дубећим, живим стаблима, а затим трулеж наставља да се шири и у обореном дрвету. Карпофоре се образују у приданку стабала, вишегодишње су и јављају се у току целе године. Макроскопске карактеристике. Карпофоре у облику конзоле, широко фиксиране за супстрат, величине x mm (на месту фиксирања за дрво mm). Горња страна карпофоре таласаста, грбаста, скоро неприметно зонирана, и покривена једном, тврдом, црвено-смеђом, кором. Старе карпофоре су понекад благо зониране, мрко-сјајне или црно-мрке и често споља посуте рђасто-смеђим спорама. Обод карпофоре заобљен, крем до жућкасто обојен. Хименофор фино пораст, беличаст до крем обојен. Поре округласте 4-5/mm. Цевчице mm дуге, код вишегодишњих примерака поређене у слојевима, јасно одвојене од траме. Трама без беличастих инклузија, врло дебела (код карпофора старих 1 годину неколико пута шира од слоја цевчица), влакнаста, плутаста, кожаста, црвено-смеђа, благо концентрично зонирана, слабог мириса. Микроскопске карактеристике. Базиди трбушасти, на врху са 4 стеригмате али без базалних везица, величине x 9-11 µm. Базидиоспоре издужено елиптичне, брадавичасте, смеђe са хиалинском клијалом пором, величине 8,5 11,5 x 6,5-8 µm. Без цистида. Систем хифа тримитичан. Генеративне хифе хиалинске, септиране, са везицом, широке 1,5-2,5 µm. Скелетне хифе несептиране, смеђе, дебело-зидне, ширине 3-6 µm. Везивне хифе, смеђе, дебело-зидне, разгранате, широке 2-3,5 µm, Значај. Ова гљива изазива белу трулеж. Често напада и жива, витална ЈАНУАР-ЈУН,

6 стабла (слика 2) и показује јача патогена својства у односу на гљиву G. applanatum. После обарања нападнутих стабала наставља и са даљим разлагањем дрвета. Посебно представља проблем у дрворедима и парковима. Због опасности од ломљења и пада трулих стабала или грана на пролазнике сва стара стабла осетљивих врста (нпр. јавор, дивљи кестен, платан, липа и др.) у дрворедима и парковима треба пажљиво прегледати и труле делове елиминисати. Приликом елеминисања оболелих стабала, обавезно се мора после тога извршити дезинфекција земљишта на месту где је расло стабло. Уколико се то не учини већ се одмах посади нова садница иста врло брзо бива зарежена и убијена. Један пример тога приказујемо на слици 2 (слика из дрвореда у Обреновцу). Карпофоре такође треба сакупљати и спаљивати да би се спречиле даље заразе базидиоспорама. Слика 2. Ganoderma adspersum: A - Б убијено стабло јавора са карпофорама у основи; В - Г новоунете саднице јавора на истом месту са карпофорама Figure 2. Ganoderma adspersum: A - Б killed maple tree with conks at the stem base; В - Г replanted maple trees with conks at the stem base 6 ШУМАРСТВО 1-2

7 GANODERMA APPLANATUM (Pers. ex Wallr.) Pat. Домаћини. G. applanatum се јавља на старим и физиолошки ослабелим стаблима, а наставља своју активност и на мртвом дрвету. Посебно је честа на врстама родова Fagus, Acer, Tilia, Fraxinus, Populus, Quercus и Salix. Распрострањење. Раширена је у целој Северној хемисфери. Северна граница распрострањења јој се простире до границе ширења шума, а јужна се завршава на Флориди у Северној Америци, обали Средоземног мора у Европи, Северном Ирану и Северном Пакистану у Азији. Карпофоре ове гљиве се јављају у основи стабала у току целе године. У раним радовима често је прављена конфузија између гљиве G. applanatum и гљиве G. аdspersum. У последње време преовладава мишљење да се G. applanatum јавља углавном у шумама, а G. adspersum је више везана за дрвореде, баште и воћњаке. Макроскопске карактеристике. Карпофоре у пречнику од 200 до 300 (400) mm, конзоласте, вишегодишње, често у групама и црепасто сложене једна изнад друге, тврде (сл.3-а). Горња страна равна, концентрично наборана, зонирана и понекад радијално пресавијена, код младих примерака мекана и кадифаста, а код старих глатка и тврда, у почетку светло-смеђа, затим смеђа до сиво-смеђа, али често покривена са смеђим прашкастим слојем спора (слика 5-А-Б). Обод свежих карпофора (док активно расту) бео. Хименофор састављен из више слојева цевчица (сваке године се образује нови слој цевчица, дужине 5-10 (20) mm и сваки слој је одвојен танким ткивом (постојање овог танког ткива између слојева цевчица није забележено код других Ganoderma врста) (слика 1- В,Г; слика 3-Д). Поре ситне, округласте, 5-6/mm, беле до тамно-смеђе. Трама црвенкасто-смеђа до боје дрвета са белим мрљама, обично тања од слоја цевчица, плутаста. При расту на вештачким подлогама колонија ове гљиве је прирасла за супстрат, спорог раста, бела. На подлогама са додатком галне и танинске киселине показује позитивну оксидазну реакцију и на основу брзине пораста колоније и интензитета реакције, према кључу Davidson, R.W. et al. (1938) сврстана је у 5. групу. Према Krstić, M. (1962) оптимална температура за развој ове гљиве је 30ºC, максимална 38ºC, а минимална је непозната (мицелија је врло споро расла на 10ºC). Микроскопске карактеристике. Базиди трбушасти, са четири стеригмате, без базалне везице, величине x 5-8 µm. Базидиоспоре издужено елиптичне, светло смеђе, по површини нејасно брадавичасте, величине 7-9 x 4,5-6 µm. Без цистида. Систем хифа тримитичан. Генеративне хифе хиалинске, септиране, са везицама, широке 2-3 µm (по неким ауторима 3,3-4,1 µm). Скелетне хифе смеђе, дебело-зидне, широке 3-5 µm (по неким ауторима 5,8-6,6 µm). Везивне хифе смеђе, дебело-зидне, јако разгранате, широке 2-4 µm (по неким ауторима пречник око 7,5 µm). Значај. G. applanatum проузрокује активну белу трулеж. Заразе се остварују преко озледа у основи стабала. Процес трулежи почиње у центру срчике, па се затим мање више правилно шири према бељици, која најзад и сама ЈАНУАР-ЈУН,

8 делом бива захваћена. У почетном стадијуму трулежи у дрвету се појављују беличасте зоне окружене тамнијим појасевима. Ове беличасте површине одговарају избељеним ткивима услед разградње лигнина и присуства сплета хифа у њима. У одмаклој фази трулежи дрво је униформно бело, мекано, лако, сунђерасто и прошарано црним линијама (слика 3-Ђ). Слика 3. Ganoderma applanatum: А - Б карпофоре у основи стабла; В - Г изглед хименофора; Д пресек кроз карпофору и вишегодишњи хименофор; Ђ карпофора и трулеж Figure 3. Ganoderma applanatum: А - Б conks at the stem base; В - Г hymenophore; Д cross section through a conk and a perennial hymenophore; Ђ conk and white rot 8 ШУМАРСТВО 1-2

9 GANODERMA LUCIDUM (Curt.ex Fr.) Karst. Домаћини. Quercus spp., ређе и на другим лишћарским врстама дрвећа. Распрострањење. Европа, Северна Америка, Азија и Аустралија. У нашој земљи се јавља на пањевима и лежацима храста. Карпофоре се образују у току целе године. Макроскопске карактеристике. Карпофоре у пречнику mm и дебеле до 30 mm, бубрежасте; по површини у почетку светло жуте а касније крваво-црвено-кестењасте, лакиране; обод је бео или жут; дршка дугачка, ексцентрична (бочна), у почетку црвенкаста, а затим црвенкасто-мркосмеђа или тамно-црвено-црна и глатка (као лакирана) (сл.1-е, сл.4-д,г). Хименофор састављен из спојених, белих или циметастих цевчица дугих 4-12 mm. Поре округласте, беле до крем обојене, 4-6/mm. Месо (трама) до 10 mm, дебело, у почетку беличасто а касније постаје црвенкасто, сунђерасто, влакнасто, плутасто или дрвенасто. Чистa култура гљиве расте средње брзо до брзо (испуни петри посуду за 2 недеље), полегла je, бела, памучаста и по површини ситно брашњаста. На подлози са додатком галне и танинске киселине показује позитивну оксидазну реакцију (стим што је реакција на галној киселини јача) и на основу интензитета реакције и пораста колоније на овим подлогама, према кључу Davidson-a et al. (1938), сврстана је у 7. групу. Микроскопске карактеристике. Базиди трбушасти, са четири стеригмате и без базалне везице, величине x µm. Базидиоспоре елиптичне, у основи заобљене, брадавичасте, сјајно-смеђе, величине 7-12 x 6-8 µm. Без цистида. Систем хифа тримитичан. Генеративне хифе, хиaлинске, танко-зидне, са везицама, ширине 3-4 µm и најбоље се уочавају на ивици плодоносних тела. Скелетне хифе светле (до светло-смеђе), дебело-зидне, слабо разгранате, ширине 6-8 µm. Оне су чврсто испреплетане са слабо разгранатим, танким (2-3 µm широким), јако увијеним везивним хифама. Значај. G. lucidum проузрокује белу трулеж. Јавља се на корену, приданку стабала и пањевима. Показала се као слабији деструктор дрвета у односу на друге Ganoderma врсте. Изазива тамно-порозну-белу трулеж, са многобројним ситним, црним пегама, расутим у натрулој маси. Сматра се да су њене карпофоре лековите па се користе у медицини (нпр. у Кини, Јапану, САД и Аустралији). G. lucidum стимулише имуни систем организма. Према Chen, A.W. (1999), гљива G. lucidum се користи против несанице, анорексије, вртоглавице, хроничног хепатитиса, повишеног холестерола, коронарних болести, повишеног притиска, карцинома и бронхијалне астме. Такође, користи се и као противотров приликом тровања неким отровним печуркама као и за превенцију против висинске болести у алпинизму. ЈАНУАР-ЈУН,

10 Слика 4. А Б В Ganoderma resinaceum; Г Д G. lucidum Figure 4. А Б В Ganoderma resinaceum; Г Д G. lucidum 10 ШУМАРСТВО 1-2

11 GANODERMA PFEIFFERI Bres. Домаћин. Карактеристична је за букву, мада се ређе јавља и на Acer, Aesculus, Fraxinus и Quercus врстама. Распрострањење. Ово је ретка врста и јавља се у централној и јужној Европи. Макроскопске карактеристике. Карпофоре вишегодишње, без дршке, копитасте или спљоштене, понекад испупчене, тврде, величине x x mm. (слика 1-А). Површина плодоносног тела црвенкастољубичаста, потом браон, покривена дебелом, смоластом, сјајном, лакираном, лепљивом кором која се на пламену топи. Ивице код младих плодоносних тела заобљене, жућкасте, касније црвенкасте, сјајне. Ткиво је хомогено, плутасто, када се преломи влакнасто, тамно-кестењасте, или рђасто-смеђе боје. Цевчице су у слојевима, сваки слој је дебљине од 5 до 20 mm (дебљина свих слојева цевчица од mm), без стерилних слојева између, исте боје као и ткиво, у старости испуњене беличастом мицелијом. Површина хименофора (у младости) је бела или крем, касније жута, сивкасто-жута или тамна и покривена је смоластом материјом (крајеви цевчица жути). Поре су округле, 4-6/mm. Микроскопске карактеристике. Базиди у облику буздована (трбушасти), кратки, величине x 6-10 μm, на врху са 4 базидиоспоре. Базидиоспоре смеђе, јајасте, на врху усечене, са игличастим ендоспоријем, величине 9-12 x 6-8 μm. Систем хифа тримитичан. Генеративне хифе, хиалинске, танких зидова, са везицама, септиране, пречника 2-4 μm. Скелетне хифе смеђе, пречника 3-6 μm, веома дебелих зидова, јако разгранате. Везивне хифе такође дебелих зидова, скоро спљоштене, смеђе, јако разгранате, највише заступљене у зидовима цевчица, пречника 2-3 μm. Од врста Ganoderma applanatum и Ganoderma adspersum разликује се сјајном и гумастом (мекшом, смоластом) кором и чињеницом да се најчешће јавља на приданку живих стабала букве. Од врста рода Ganoderma са сјајном кором разликује се по тамно-браон ткиву и по неколико слојева цевчица (вишегодишња). GANODERMA RESINACEUM Boud in Pat. Домаћини. Паразит на стаблима Quercus врста, а врло ретко и на другим лишћарима (нпр. врби и платану). Плодоносна тела се најчешће јављају у основи стабала. Распрострањење. Европа и Азија. Макроскопске карактеристике. Карпофоре једногодишње, конзоласте, широко ослоњене на кору, али фиксиране само преко централног дела, понекад сужене у један тип дршке, величине mm, на месту одвајања од супстрата mm, а на тачци где се спајају са супстратом mm. Површина шешира таласаста, широко зонирана, глатка, док је млада смоласто мека, а у старости кораста и тврда; у почетку наранџасто смеђа, бакарно-смеђа или црвено-смеђа а касније постаје загасито црвено-смеђа до црнкаста. Када се површина лакиране коре неким оштрим предметом огребе, открива се испод један жућкасти слој. Ивица је тупа, код млађих ЈАНУАР-ЈУН,

12 примерака жута до наранџасто-жута, бакарно-смеђа или црвенкасто-смеђа, а код сувих примерака крем обојена. Доња страна карпофоре фино пораста, у почетку беличаста а затим крем обојена, на додир посмеђи, без гала. Поре округласте, 3/mm, код старих примерака нејасно слојевите, без траме између слојева цевчица. Трама релативно танка, максимум 30 mm, јасно концентрично зонирана, светло-смеђа (боје плуте), влакнаста, жилава. Код свежих примерака са пресека излази течност која се за неколико минута трансформише у смоласту тврду масу. Лакирана кора са површине шешира се топи под утицајем ватре. Карпофоре су појединачне или неколико наслоњених једна на другој (слика 4- А,Б,В). Микроскопске карактеристике. Базиди трбушасти, 15 x 8 μm, на врху са 4 споре, без везица. Базидиоспоре широко елиптичне, брадавичасте, смеђе, (13) x 7-9 μm, са хиалинском клијавом пором. Без цистида. Систем хифа тримитичан. Генеративне хифе широке 2-3,5 μm, преграђене и са везицама ( clamp conections ). Скелетне хифе дебело- зидне, смеђе, широке до 6 μm. Везивне хифе дебело-зидне, смеђе, широке 1,4-4 μm. Ова врста је врло ретка у Централној Европи. Она личи на Ganoderma pfeifferi која има црвено-смеђу траму и мрежасто испуцалу површину шешира. Поред тога G. pfeifferi је паразит слабости или сапрофит на букви. Примерци Ganoderma resinaceum са дршком могу бити помешани са G. lucidum. Међутим, G. lucidum има мањи шешир и дужу дршку. GANODERMA ABIETINUS nom. prov. Ова гљива се јавља у основи стабала јеле (слика 1-Д). Морфолошки је веома слична врсти G. applanatum. Breitenbach, J., Kräzlin, F. (1986) чак сма трају да је то само једна форма гљиве G. adspersum, oдносно гљиве G. applanatum. Међутим, Božac, R. (2008) сматра да је то грешка и да се ради о различитој врсти. Ми овде, слично као Božac, R. (2008), дајемо њен опис, мада сматрамо да су потребна још даља детаљнија истраживања да би са сигурношћу тврдили да је то заиста посебна врста. Домаћин. Јела (Abies alba.mill.). Расте на пањевима и у основи сувих стабала јеле. Распрострањење. У свим сaстојинама јеле на Европском континенту. Макроскопске карактеристике. Карпофоре конзоласте, пречника од mm, дебеле mm, по површини зониране, светло-смеђе до смеђе, беличастог обода, покривене смеђе обојеним спорама; трама смеђа до рђасто-смеђа, дебела 10 до 20 mm; хименофор, састављен од цевчица, бео; поре округласте, 3-5/mm. Микроскопске карактеристике. Базиди топузасти, величине x 3-4 µm, без базалне копче. Базидиоспоре елиптично-јајасте, светло-смеђе, величине 5-7 x 4-5 µm. Генеративне хифе хиалинске, дебеле 2-3 µm, имају преграде без везица ( clamp connections ); скелетне хифе су смеђе и пречника 2,5-4 (4,5) µm. 12 ШУМАРСТВО 1-2

13 GANODERMA CARNOSUM Pat. (syn. Ganoderma atkinsonii Jahn, Kotl. & Pouz.) Домаћини. На пањевима и у основи старих стабала јеле (Abies alba Mill.), ређе и на другим четинарима. Често је присутна у парковима и алејама. Распрострањење. Раширена је у Европи, а вероватно и у Азији. Није честа. Макроскопске карактеристике. Карпофоре са шеширом и дршком. Шешир у пречнику (300) mm, неправилно заобљен, округласт, бубрежаст или лепезаст, дршка најчешће са стране (бочна). Површина шешира таласаста, испупчена, понекад концентрично зонирана, глатка, сјајна, као лакирана и покривена једном релативно меком кором која је у боји махагонија или црвенкасто-црна. Ивица (обод) карпофоре узана, таласаста, док је млада беличаста, а затим постаје жућкаста до мрко-црвенкаста и на крају добија боју као остали део шешира. Доња страна карпофоре (хименофор) пораста, сиво-беличасто-крем обојена, на додир постаје умрљана. Поре округласте, 3-4/mm; цевчице дуге 5-20 mm, сјајно-смеђе или сиво-смеђе. Дршка x mm (дужина x дебљина), цилиндрична или спљоштена, често неправилно округласта, испупчена, квргава, врло ретко разграната, загасито мрко-црвенкаста до црна. Месо (трама) сјајно смеђе, плутасто, жилаво. У сувом стању карпофоре су лаке и расту појединачно или у скупинама. Проузрокује белу трулеж. Микроскопске карактеристике. Базиди трбушасти, x µm, без везица. Споре широко-елиптичне, брадавичасте, светло-смеђе, спљоштeни крај са једном хиалинском пором ( pore germinativ ), величине 11-13,5 x 7,5 8,5 µm. Цистиди нису присутни. У плодоносном телу јављају се три типа хифа. Генеративне хифе малобројне, хиалинске, широке 2-3 µm, септиране. Скелетне хифе дебелозидне, смеђе, широке 2-7 µm, цианофилне. Везивне хифе дебело-зидне, смеђе, често разгранате, широке 2-3 µm. У почетку је ова врста описивана као Ganoderma lucidum (Fr.) Karst. Такође један број истраживача је сматрао да је она индентична врсти G. valesiacum Boud или G. tsugae Murrill. Међутим, ова хипотеза је напуштена, јер G. valesiacum се јавља само на аришу и то у планниским подручјима и има више сјајну црвену боју, док је G. tsugae кестењасто- црвенкасто-смеђа са једном скоро белом трамом. Ganoderma lucidum се такође разликује од G. cаrnosum јер има мање споре (10,7 x 7,1 µm) и јавља се скоро искључиво на Quercus врстама. 4. ДИСКУСИЈА Род Ganoderma је један од екoномски најзначајнијих родова Phylum-а Basidiomycota. Према K i r k- u, P. et al., овај род садржи око 80 врста, али се већина врста јавља на дрвећу у тропском и субтропском подручју. У Европи се најчeшће јављају на лишћарским врстама дрвећа (буква, храст), али су такође констатоване штете и на неким четинарским врстама дрвећа (нпр. јели). Tаксономија Ganoderma врста није једноставна због високе фенотипске ЈАНУАР-ЈУН,

14 разноликости плодоносних тела. Карактеристике које се користе у систематици овог рода обухватају специфичност домаћина, географску зас тупљеност, трајност карпофора (једногодишње или вишегодишње), морфолошке особине плодоносних тела (укључујући боју и чврстину, облик и маргине), присуство или одсуство дршке, и микроскопске карактеристике (тип хифа, облик и величина базида и базидиоспора и сл.). Због сличности врста, у литератури, код разних аутора постоји доста неслагања при опису врста. У овом раду смо покушали да укажемо на неке разлике. Разлике се јављају већ према томе где расту. G. applanatum најчешће се јавља у природним састојинама букви, али такође је честа и на осталим лишћарским врста. За разлику од ње морфолошки врло слична врста G. adspersum се чешће јавља на стаблима у насељима (парковима, дворедима) и воћњацима. Особито је честа на врстама из родова: Tilia, Quercus, Fagus, Platanus и Aesculus. Према P e t e r s e n, L. (1983) обично почиње са развојем као паразит, а касније се развија и као сапрофит. G. adspersum има способност да напада жива, витална стабла, и ова стабла имају лошију дугорочну прогнозу у односу на стабла нападнута са G. applanatum. G. resinaceum заузима средњи положај, што значи да витална стабла нападнута овом гљивом могу опстати. Ganoderma resinaceum Boud. in Pat. се јавља на топлијим местима. Плодоносна тела су једногодишња, светло-кестењасте боје. У централној Европи главни домаћини су Q. rubra и Platanus spp. Током лета и јесени плодоносна тела G. pfeifferi, G. adspersum и G. applanatum изгледају врло слично. Крајем зиме и на пролеће поре G. pfeifferi луче жуту воштану масу која је карактеристична само за ову вишегодишњу врсту. Такође, плодоносна тела ове врсте, две до три године старости, имају површински слој сјајан, попут смоле, који се топи на пламену. Овај ефекат је мање уочљив код старијих плодоносних тела код којих се уочава карактеристичан троугласти профил. Ganoderma resinaceum личи на G. pfeifferi која има црвено-смеђу траму и мрежасто испуцалу површину шешира. Такође слично гљиви G. pfeifferi и плодоносна тела Ganoderma resinaceum се топе на пламену. Ganoderma resinaceum кад напада храст карпофоре формира испод земље, док се на платану и врбама плодоносна тела формирају на стаблу, на неколико метара висине од земље. Разлика између ових врста је и у томе што се G. pfeifferi најчешће развија као паразит слабости или сапрофит на букви. Понекад примерци Ganoderma resinaceum са дршком могу бити помешани са G. lucidum. Међутим, ово последња врста искључиво се јавља на Quercus врстама, има знатно дужу бочну дршку, светлију боју шешира и мањe споре. Према M a t t o c k, G. (2001) разлике између G. applanatum и G. adspersum постоје и у морфологији плодоносних тела. Да би се те разлике уочиле неопходно је пресећи базидиокарп. На пресеку се код G. applanatum уочава слој ткива између годишњих слојева цевчица, док код G. adspersum тај слој недостаје. Поред тога плодоносна тела G. applanatum су тања у основи од 14 ШУМАРСТВО 1-2

15 плодоносних тела G. adspersum (20-60 mm код G. applanatum, а mm код G. adspersum). Такође, плодоносна тела G. applanatum расту под правим углом у односу на стабло, док плодоносна тела G. adspersum имају силазну тенденцију. Код старијих карпофора G. applanatum на радијалном пресеку поре су испуњене белом мицелијом, а код G. adspersum нису. Истражујући разлике између G. adspersum и G. applanatum L e o n a r d, A. C. (1998) је поредила величину спора, дебљину коре плодоносног тела, слојеве цевчица, боју, угао и пречник маргина. Споре G. applanatum су дугачке 5,5 9,0 μm, али најчешће мање од 8 μm. Споре G. adspersum су дугачке 7-13 μm, али најчешће дуже од 8 μm. Ширина спора G. applanatum је од 4,5-6 μm, и никад нису шире од 6 μm. Споре G. adspersum су широке 5-8,5 μm, и врло ретко им је ширина мања од 6 μm. Дебљина кутикуле је показала јасне разлике између ове две врсте. Код G. applanatum кутикула је тања од 0,75 mm, док је код G. adspersum дебља од 0,75 mm. Годишњи слој цевчица код G. applanatum мањи је од 20 mm, и увек је од следећег слоја јасно одвојен ткивом. Код G. adspersum годишњи слојеви нису одвојени већ се њихов раст наставља тако да могу бити дужине и до 50 mm. Сви остали критеријуми су променљиви и на основу њих је немогуће раздвојити ове две врсте. Идентификација на основу величине спора, дебљине кутикуле и присуства или одсуства ткива између годишњих слојева цевчица је поуздана само код зрелих плодоносних тела (старих бар 2 године) (L e o n a r d, A. C. 1998). B r e i t e n b a c h, J., K r ä n z l i n F. (1986) указују да постоје микроскопске разлике између појединих Ganoderma врста. Тако на пример према овим ауторима G. applanatum и G. аdspersum се разликују у величини базидиоспора (G. applanatum има базидиоспоре величине 7-9 x μm, а G. adspersum x μm). Хифе код G. adspersum формиране на ивици колоније расту преко целофана постављеног на површину агара, а код G. applanatum престају са растом. Такође, Ganoderma врсте се разликују по изгледу чистих култура и брзини раста на хранљивим подлогама, изгледу хифа, спороношењу у култури и сл. У култури код гљиве G. applanatum периферне хифе су појединачне (нису у ланцима), пречника 3,5 μm. Гљива Ganoderma adspersum има у култури периферне хифе у ланцима, пречника 2,1 μm. Ganoderma resinaceum у култури образује хламидоспоре. Ganoderma cаrnosum је у почетку описивана као Ganoderma lucidum. Такође један број истраживача је сматрао да је она индентична врсти G. valesiacum или G. tsugae. Међутим, ова хипотеза је напуштена, јер G. valesiacum се јавља само на аришу и то у планиским подручјима и има више сјајну црвену боју, док је G. tsugae кестењасто-црвенкасто-смеђа са једном скоро белом трамом. Ganoderma lucidum се такође разликује од G. cаrnosum јер има мање споре (10,7 x 7,1 µm) и јавља се скоро искључиво на Quercus врстама, а G. cаrnosum на јели (Abies alba). Гљиве G. cаrnosum, G. lucidum и G. resinaceum имају једногодишња плодоносна тела, врсте G. applanatum, G. adspersum, G. pfeifferi и G. abietinus имају ЈАНУАР-ЈУН,

16 вишегодишња плодоносна тела. Гљиве G. cаrnosum и G. abietinus се развијају на четинарима (најчешће јели), а све остале горе наведене врсте на лишћарима. На крају треба истаћи да се понекад мешају гљиве из рода Ganoderma са гљивама из рода Inonotus, a ређе и са неким гљивама из рода Phellinus које расту у основи стабала (као нпр. Ph. torulosus (Pers.) Bourdot et Galzin). Основна је разлика у боји спора (отиску спора). Код гљива из рода Inonotus отисак спора је бео (слика 5-Г и Д), а код гљива из рода Ganoderma смеђ (слика 5-А, Б). Гљива Inonotus dryadeus (Pers.) Murrill je паразитна гљива која се развија на дубећим, живим стаблима храстова (особито је честа на лужњаку, сл. 5-В,Г), а констатована је и на старим стаблима беле тополе (слика 5-Д); изазива белу трулеж. Паразитна гљива Phellinus torulosus развија се као паразит на корену и приданку стабала храста, а наставља своју активност и по обарању стабала (слика 5-Ђ); проузрокује белу трулеж. Слика 5. А Б Ganoderma applanatum - рђасти отисак спора; В Inonotus dryadeus - млада карпофора; Г I. dryadeus - стара карпофора на храсту, бели отисак спора Д I. dryadeus - карпофоре на белој тополи; Ђ Phellinus torulosus, карпофоре у основи стабла храста Figure 5. А Б Ganoderma applanatum - rusty spore print; В Inonotus dryadeus, young conk; Г I. dryadeus - old conks on the oak tree, white spore print; Д I. dryadeus, old conks on the white poplar tree; Ђ Phellinus torulosus, old conks on the oak tree 16 ШУМАРСТВО 1-2

17 4. ЗАКЉУЧАК На основу спроведених истраживања дошло сe до следећих закључака: Ganoderma врсте спадају међу најзначајније деструкторе (проузроковаче беле трулежи дрвета) у шумама Србије и Црне Горе. Већина врста се у почетку развијају као паразити (напада корен и приданак живих стабала), а касније настављају своју активност и на мртвом дрвету, тј. развијају се као сапрофити; у шумама Србије и Црне Горе констатовано је 7 Ganoderma врста; на јели су констатоване две врсте (G. cаrnosum и G. abietinus); G. cаrnosum у почетку је описивана као G. lucidum (Fr.) Karst. Међутим G. lucidum има мање споре (10,7 x 7,1 µm) и јавља се скоро искључиво на Quercus врстама, а G. cаrnosum на јели (Abies alba); гљива G. abietinus, која се јавља на јели, је морфолошки веома слична гљиви G. applanatum. Од неких аутора издвојена је као посебна врста. Међутим, то треба узети са резервом и за одвајање ових врста су неопходна даља молекуларна истраживања; на различитим лишћарским врстама констатовано је пет врста; Ganoderma applanatum је најчешћа врста у лишћарским шумама у Србији и Црној Гори. Обично се јавља у природним и изданачким шумама букве; G. adspersum се углавном развија на стаблима у насељима (парковима, дрворедима) и воћњацима. Агресивнији је паразит у односу на G. applanatum. Особито је честа на врстама из родова: Tilia, Quercus, Fagus, Platanus и Aesculus; Ganoderma lucidum се развија на Quercus spp., ређе и на другим лишћарским врстама дрвећа. Врло је честа на подручју Равног Срема. Има слабије изражена патогена својства у односу на друге Ganoderma врсте. Њене карпофоре су лековите па се користе у медицини; G. pfeifferi je забележена у Србији само на букви. Карпофоре луче жуту воштану масу која је карактеристична само за ову вишегодишњу врсту. Такође, стара плодоносна тела ове врсте имају површински слој сјајан, попут смоле, који се топи на пламену; G. resinaceum је констатована на храстовима, али је честа и на врбама и понекад на платану. Карактерише се тиме што има једногодишње карпофоре; на крају треба истаћи да гљиве G. cаrnosum, G. lucidum и G. resinaceum имају једногодишња плодоносна тела (са бочном дршком), а врсте G. applanatum, G. adspersum, G. pfeifferi и G. abietinus имају вишегодишња, седећа (без дршке) плодоносна тела Напомена: Овај рад је реалаизован у оквиру пројекта Одрживо газдовање укупним потенцијалима шума у Републици Србији (ТР 37008, Финасира Министарство за просвету, науку и технолошки развој Републике Србије) ЈАНУАР-ЈУН,

18 ЛИТЕРАТУРА Adaskaveg, J.E., Gilbertson, R.L. (1989): Cultural studies of four North American species in the Ganodarma lucidum complex with comparisions to G. lucidum and G. tsugae. Mycol. Rese. 92 (2), Бондарцева, М. А. (1998): Определитель грибов России. Порядок Афиллофоровьие. Вып.2, Наука, Ленинград, Booth, C. (1971): Methods in microbiology. Vol. 4, Academic Press, London, Božac, R. (2008): Enciklopedija gljiva, Tom 2. Školska knjiga, Zagreb, Breitenbach, J., Kränzlin, F. (1986): Champignons de Suisse. Tome 2. Edition Mycologia, CH Lucerne 9, Davidson, R.W., Campbell, W.A., Blaisdell, J.D. (1938): Differentiation of wood-decaying fungi by their reaction on gallic or tannic acid medium. Journal of Agricultural Research, Vol.57, no.9, Washington, Chen, A.W. (1999): Cultivation of the medicinal mushroom Ganoderma lucidum (Curtis: Fr.) P. Karst (Reishi) in North America. Int. J.Med. Mushrooms 1(3), Караџић, Д. (2010): Шумска фитопатологија. Шумарски факултет, Караџић, Д. (2011): Најчешће паразитске и сапрофитске гљиве на грабу (Carpinus betulus L.) у Србији и њихова улога у пропадању стабала. Шумарство, бр.1-2, Београд, Караџић, Д. (2012): Улога и значај патогених гљива у сушењу букве у Србији. Шумарство бр. 1-2, Београд, 1-16 Караџић, Д., Миленковић, И. (2013): Први налаз буковаче (Plaurotus ostrteatus (Jacq. Ex Fr.) Kummer) на питомом кестену (Castanea sativa Mill.). Шумарство, бр. 3-4, Београд, 1-8 Krstić, M. (1962): Zaštita drveta. II deo- Prouzrokovači truleži i obojenosti drveta. Naučna knjiga, Beograd, Kirk, P.M., Cannon, P.F., Minter, D.W., Stalpers, J.A. (2008): Dictionary of the FUNGI. 10th Edition, CABI International, Wallingford, Oxon, UK, Leonard, A.C. (1998): Two Ganoderma Species Compared. Mycologist, volume 12, Part 2, Mattock, G. (2001): Notes of British Ganoderma species. Field Mycology Vol. 2(2), Pegler, D.N., Young, T.W.K. (1973): Basidiospore form in the British species of Ganoderma Karst. Kew Bulletin, vol. 28(3), Petersen, J.E. (1983): Ganoderma in Northern Europe. Lakporesvampene (Ganoderma) i Danmark og Europa in Svampe 7, Petersen, J.E. (1987): Ganoderma in Northern Europe. Mycologist, Ryvarden, L., Johansen, I. (1980): A preliminary polypore flora of East Africa. Fungiflora, Oslo-Norway, Stalpers, J.A. (1978): Identification of Wood-inhabiting Aphyllophorales in pure culture. Studies in Mycology, No. 16, Baarn, p Steyaert, R.L. (1961): Genus Ganoderma (Polyporaceae). Taxa nova I. Bulletin du Jardin botanique de L, État a Bruxelles, Vol. 31, Fasc. 1, Steyaert, R.L. (1975): CMI Description of Pathogenic Fungi and Bacteria. Set 45: Sheet No CMI, Kew, Surrey, England. Flood, J., Bridge, P.D., Holderness, M. (2000): Ganoderma Diseases of Perennial Crops. CABI Publishing, Wallingford, UK., Furtado, J.S. (1965): Relation of microstructures to the taxonomy of the Ganodermoideae (Polyporaceae) with special reference to the structure of the cover of the pilear surface. Mycologia, Vol. 57, No. 4, Hagara, L., Antonin, V., Baier, J. (2012): Velký Atlas Hub. Vydalo Ottovo Nakladatelstvi, Praha, ШУМАРСТВО 1-2

19 GANODERMA SPECIES IN THE FORESTS OF SERBIA AND MONTENEGRO Dragan Karadžić Zlatan Radulović Ivan Milenković S u m m a r y Ganoderma is economically one of the most important genera of Phylum- Basidiomycota. According to Kirk, P. et al., 2008, this genus includes about 80 species, but most species occur on trees in tropical and subtropical areas where serious damage has been reported on: African oil palm (Elaeis guineesiss), coconut palm (Cocos nucifera), rubber tree (Hevea brasiliensis), cocoa tree (Theobroma cacao), guarana (Paullinia cupana), tea (Camellia sienensis) and acacia (Acacia spp.) (Flood, J. et al., 2000). In Europe, they mostly occur on trees of broadleaved species (beech, oak), but certain damage has been registered on some conifer tree species (e.g. fir). Karadzic (2011) stated the presence of the species G. applanatum and G. Adspersum on hornbeam. Fungi of the genus Ganoderma cause white rot and in most cases they occur on living standing trees causing destruction at the stem base, which results in the breakage at the stem base. Ganoderma species are among the most serious destructors (agents of white rot) in the forests of Serbia and Montenegro. Most species initially develop as parasites (attacking the root and stem base of living trees), and then continue their activity on dead wood, i.e. develop as saprophytes. In the forests of Serbia and Montenegro 7 Ganoderma species have been recorded. G. carnosum and G. abietinus have been identified on fir tees. G. carnosum was first described as G. lucidum (Fr.) Karst. However, G. lucidum has smaller spores (10.7 x 7.1 µm)) and occurs almost exclusively on Quercus species, while G. carnosum occurs on fir (Abies alba). The fungus G. abietinus, which occurs on fir trees, is morphologically very similar to the fungus G. applanatum. Some authors treat it as a separate species. However, this shouldn`t be taken for granted because its classification as a separate species requires further molecular research studies. Five species have been recorded on different broadleaved tree species. Ganoderma applanatum is the most common species on broadleaved forests in Serbia and Montenegro. It usually occurs in natural and coppice beech forests. G. adspersum mainly develops on trees in residential areas (in parks and avenues) and in fruit orchards. It is a more aggressive parasite than G. applanatum. It is particularly common on species of the genera Tilia, Quercus, Fagus, Platanus and Aesculus. G. lucidum grows on the trees of Quercus spp., rarely on other broadleaved tree species. It is very common in the area of Ravan Srem. It has less pronounced pathogenic properties compared to other Ganoderma species. Its conks have medicinal effects. Therefore they are often used in medicine. G. pfeifferi has been recorded in Serbia only on beech trees. Its conks secrete a yellow waxy mass which is typical only of this perennial species. Furthermore, the old fruiting bodies of this species have a shiny resine-like surface layer that can melt in the flames. G. resinaceum has been recorded on oaks, but it commonly occurs on willows and sometimes on planes. It has annual conks. Finally, it should be noted that G. carnosum, G. lucidum and G. resinaceum have annual conks (with a lateral stalk), while G. applanatum, G. adspersum, G. pfeifferi and G. abietinus have perennial sessile fruiting bodies (i.e. without a stalk). ЈАНУАР-ЈУН,

НАЈЧЕШЋЕ PHELLINUS ВРСТЕ У ШУМАМА СРБИЈЕ И ЦРНЕ ГОРЕ

НАЈЧЕШЋЕ PHELLINUS ВРСТЕ У ШУМАМА СРБИЈЕ И ЦРНЕ ГОРЕ UDK 630*443:582.28(497.11+497.16) Oригинални научни рад НАЈЧЕШЋЕ PHELLINUS ВРСТЕ У ШУМАМА СРБИЈЕ И ЦРНЕ ГОРЕ ДРАГАН КАРАЏИЋ 1 ИВАН МИЛЕНКОВИЋ 2 ЗЛАТАН РАДУЛОВИЋ 2 СЛОБОДАН МИЛАНОВИЋ 1 АЛЕКСАНДАР ВЕМИЋ

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЛОГ ПОЗНАВАЊУ ПАРАЗИТНЕ ГЉИВЕ Inonotus nidus-pici Pilát УЗРОЧНИКА РАК-РАНА НА СТАБЛИМА ЛИШЋАРА

ПРИЛОГ ПОЗНАВАЊУ ПАРАЗИТНЕ ГЉИВЕ Inonotus nidus-pici Pilát УЗРОЧНИКА РАК-РАНА НА СТАБЛИМА ЛИШЋАРА UDK 630*443.3 Inonotus nidus-pici(497.11) Оригинални научни рад ПРИЛОГ ПОЗНАВАЊУ ПАРАЗИТНЕ ГЉИВЕ Inonotus nidus-pici Pilát УЗРОЧНИКА РАК-РАНА НА СТАБЛИМА ЛИШЋАРА ДРАГАН КАРАЏИЋ 1 ИВАН МИЛЕНКОВИЋ 2 Извод:

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

УЛОГА И ЗНАЧАЈ ПАТОГЕНИХ ГЉИВА У СУШЕЊУ БУКВЕ У СРБИЈИ

УЛОГА И ЗНАЧАЈ ПАТОГЕНИХ ГЉИВА У СУШЕЊУ БУКВЕ У СРБИЈИ UDK 630*443.3:582.632 Fagus Прегледни рад УЛОГА И ЗНАЧАЈ ПАТОГЕНИХ ГЉИВА У СУШЕЊУ БУКВЕ У СРБИЈИ ДРАГАН КАРАЏИЋ 1 1. УВОД Извод: Циљ ових истраживања је да се прикажу најзначајније паразитске гљиве које

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

CRYPHONECTRIA PARASITICA (Murrill) Barr ПОЈАВА ПАРАЗИТНЕ ГЉИВЕ НА КИТЊАКУ У СРБИЈИ

CRYPHONECTRIA PARASITICA (Murrill) Barr ПОЈАВА ПАРАЗИТНЕ ГЉИВЕ НА КИТЊАКУ У СРБИЈИ UDK 630*443.3 Cryphonectria parasitica:582.632.2(497.11) Оригинални научни рад CRYPHONECTRIA PARASITICA (Murrill) Barr ПОЈАВА ПАРАЗИТНЕ ГЉИВЕ НА КИТЊАКУ У СРБИЈИ ДРАГАН КАРАЏИЋ 1 ИВАН МИЛЕНКОВИЋ 2 1. УВОД

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

ПРВИ НАЛАЗ ПАРАЗИТСКЕ ГЉИВЕ HYMENOSCYPHUS FRAXINEUS (T. Kowalski) Baral, Queloz, Hosoya НА БЕЛОМ ЈАСЕНУ У БОСНИ И ХЕРЦЕГОВИНИ

ПРВИ НАЛАЗ ПАРАЗИТСКЕ ГЉИВЕ HYMENOSCYPHUS FRAXINEUS (T. Kowalski) Baral, Queloz, Hosoya НА БЕЛОМ ЈАСЕНУ У БОСНИ И ХЕРЦЕГОВИНИ UDK 630*443:582.916.16(497.6) Оригинални научни рад ПРВИ НАЛАЗ ПАРАЗИТСКЕ ГЉИВЕ HYMENOSCYPHUS FRAXINEUS (T. Kowalski) Baral, Queloz, Hosoya НА БЕЛОМ ЈАСЕНУ У БОСНИ И ХЕРЦЕГОВИНИ ЗОРАН СТАНИВУКОВИЋ 1 ДРАГАН

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 07/8. бр. LII- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ . III разред. Обим правоугаоника је 6cm + 4cm = cm + 8cm = 0cm. Обим троугла је 7cm + 5cm + cm =

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Метода коначних елемената

Писмени испит из Метода коначних елемената Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

МИКОЛОШКИ КОМПЛЕКС НА ЛИШЋУ И КОРИ ДИВЉЕ ТРЕШЊЕ (Prunus avium L.) У РЕПУБЛИЦИ СРБИЈИ

МИКОЛОШКИ КОМПЛЕКС НА ЛИШЋУ И КОРИ ДИВЉЕ ТРЕШЊЕ (Prunus avium L.) У РЕПУБЛИЦИ СРБИЈИ UDK 630*443:582.711.713(497.11) Оригинални научни рад МИКОЛОШКИ КОМПЛЕКС НА ЛИШЋУ И КОРИ ДИВЉЕ ТРЕШЊЕ (Prunus avium L.) У РЕПУБЛИЦИ СРБИЈИ MИРОСЛАВ МАРКОВИЋ 1 ПРЕДРАГ ПАП МИЛАН ДРЕКИЋ МАРИНА КАТАНИЋ Извод:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ιπλωµατική Εργασία του φοιτητή του τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Слика бр.1 Површина лежишта

Слика бр.1 Површина лежишта . Конвенционалне методе процене.. Параметри за процену рудних резерви... Површина лежишта Површине лежишта ограничавају се спајањем тачака у којима је истражним радом утврђен контакт руде са јаловином.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Π.Μ.Σ: «Σύγχρονες Προσεγγίσεις στη γλώσσα και στα κείμενα» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΓΛΩΣΣΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Το φωνηεντικό

Διαβάστε περισσότερα

Démographie spatiale/spatial Demography

Démographie spatiale/spatial Demography ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група

ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ 21.11.2009. I група Име и презиме студента: Број индекса: Термин у ком студент ради вежбе: Напомена: Бира се и одговара ИСКЉУЧИВО на шест питања заокруживањем

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία "Η ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΘΗΛΑΣΜΟΥ ΣΤΗ ΠΡΟΛΗΨΗ ΤΗΣ ΠΑΙΔΙΚΗΣ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑΣ" Ειρήνη Σωτηρίου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μελέτη των υλικών των προετοιμασιών σε υφασμάτινο υπόστρωμα, φορητών έργων τέχνης (17ος-20ος αιώνας). Διερεύνηση της χρήσης της τεχνικής της Ηλεκτρονικής Μικροσκοπίας

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΦΟΥΜΟΝΙΣΙΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΑΥΡΟΥΣ ΑΣΠΕΡΓΙΛΛΟΥΣ Λία Μάρκου Λεμεσός 2016 i ii ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

MSM Men who have Sex with Men HIV -

MSM Men who have Sex with Men HIV - ,**, The Japanese Society for AIDS Research The Journal of AIDS Research HIV,0 + + + + +,,, +, : HIV : +322,*** HIV,0,, :., n,0,,. + 2 2, CD. +3-ml n,, AIDS 3 ARC 3 +* 1. A, MSM Men who have Sex with Men

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1)

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1) Name: Date: Nuclear Physics 5. A sample of radioactive carbon-4 decays into a stable isotope of nitrogen. As the carbon-4 decays, the rate at which the amount of nitrogen is produced A. decreases linearly

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE

Διαβάστε περισσότερα

ΙΩΑΝΝΗ ΑΘ. ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ

ΙΩΑΝΝΗ ΑΘ. ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ, ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΙΩΑΝΝΗ ΑΘ. ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Πτυχιούχου Γεωπόνου Κατόχου Μεταπτυχιακού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΗΡΕΑΖΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΛΗΨΗ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΗΡΕΑΖΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΛΗΨΗ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΩΣ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ΦΡΟΥΤΩΝ ΚΑΙ ΛΑΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΗΡΕΑΖΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΛΗΨΗ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ Όνομα φοιτήτριας ΚΑΛΑΠΟΔΑ ΜΑΡΚΕΛΛΑ

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

САСТОЈИНСКЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ И РАЗВОЈ СТАБАЛА У ШУМИ ХРАСТА КИТЊАКА НА ПОДРУЧЈУ НП ФРУШКА ГОРА

САСТОЈИНСКЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ И РАЗВОЈ СТАБАЛА У ШУМИ ХРАСТА КИТЊАКА НА ПОДРУЧЈУ НП ФРУШКА ГОРА UDK 630*181.65:630*228+630*56(497.11-751.2 Fru{ka gora) Оригинални научни рад САСТОЈИНСКЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ И РАЗВОЈ СТАБАЛА У ШУМИ ХРАСТА КИТЊАКА НА ПОДРУЧЈУ НП ФРУШКА ГОРА ВИОЛЕТА БАбИЋ 1 МИЛУН КРСТИЋ 1

Διαβάστε περισσότερα

У к у п н о :

У к у п н о : ГОДИШЊИ (ГЛОБАЛНИ) ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Наставни предмет: ФИЗИКА Разред: Седми Ред.број Н А С Т А В Н А Т Е М А / О Б Л А С Т Број часова по теми Број часова за остале обраду типове часова 1. КРЕТАЊЕ И

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου Σχολή Γεωτεχνικών Επιστημών και Διαχείρισης Περιβάλλοντος Μεταπτυχιακή διατριβή Κτίρια σχεδόν μηδενικής ενεργειακής κατανάλωσης :Αξιολόγηση συστημάτων θέρμανσης -ψύξης και ΑΠΕ σε οικιστικά κτίρια στην

Διαβάστε περισσότερα

ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР ДЕЦЕМБАР ГОДИНЕ

ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР ДЕЦЕМБАР ГОДИНЕ ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР - 12. ДЕЦЕМБАР 2010. ГОДИНЕ http://puzzleserbia.com/ ДРУГА НЕДЕЉА (6.12. - 12.12.) 7. СУДОКУ АЈНЦ 8. ПЕНТОМИНО УКРШТЕНИЦА 9. ШАХОВСКЕ

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Μελέτη Επίδρασης Υπεριώδους Ακτινοβολίας σε Λεπτά

Διαβάστε περισσότερα

Δρ Μιχάλης Ιερείδης Γ.Γ. CYMEPA

Δρ Μιχάλης Ιερείδης Γ.Γ. CYMEPA Δρ Μιχάλης Ιερείδης Γ.Γ. CYMEPA CYMEPA Cyprus Marine Environment Protection Association Αυτόνομος μη-κυβερνητικός οργανισμός Ιδρύθηκε το 1992 Φιλανθρωπικό Ίδρυμα Μέλος του FEE Περιβαλλοντική Εκπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα