Μποπούν ηα θέμαηα ηων Εξεηάζεων να ζςμβάλοςν ζηη διδαζκαλία ηηρ Ανάλςζηρ ζηην Γ Λςκείος; Πποβλημαηιζμοί και πποηάζειρ

Transcript

1 Μποπούν ηα θέμαηα ηων Εξεηάζεων να ζςμβάλοςν ζηη διδαζκαλία ηηρ Ανάλςζηρ ζηην Γ Λςκείος; Πποβλημαηιζμοί και πποηάζειρ Γιάννης Θωμαΐδης, Στολικός Σύμβοσλος Ν. Κιλκίς Δημήτρης Μπαρούτης, 4 ο ΓΕ.Λ. Εσόσμοσ

2 Οδεγίεο ηνπ Π.Ι. γηα ηε δηδαζθαιία ηεο Αλάιπζεο Κεθάιαην (Όξην πλέρεηα πλάξηεζεο) ε γεληθέο γξακκέο, κε ηε δηδαζθαιία ηνπ θεθαιαίνπ απηνύ επηδηώθεηαη νη καζεηέο: 7. Να γλσξίδνπλ ηηο ηδηόηεηεο ηνπ νξίνπ ζπλάξηεζεο θαη κε ηε βνήζεηά ηνπο λα ππνινγίδνπλ ηα όξηα απιώλ ζπλαξηήζεσλ. Κεθάιαην (Γηαθνξηθόο Λνγηζκόο): ε γεληθέο γξακκέο κε ηε δηδαζθαιία ηνπ θεθαιαίνπ απηνύ επηδηώθεηαη νη καζεηέο: 5. Να θαηαλνήζνπλ ηα ζεσξήκαηα Rolle, Μέζεο Σηκήο θαη Fermat θαη λα κπνξνύλ λα ηα εθαξκόδνπλ ζε απιέο αζθήζεηο. Κεθάιαην 3 (Οινθιεξσηηθόο Λνγηζκόο) Δηδηθόηεξα κε ηε δηδαζθαιία ηνπ θεθαιαίνπ απηνύ επηδηώθεηαη νη καζεηέο: 6. Να γλσξίδνπλ ην ζεκειηώδεο ζεώξεκα ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ θαη λα κπνξνύλ λα ην εθαξκόδνπλ ζηνλ ππνινγηζκό απιώλ νινθιεξσκάησλ. Οδηγίερ για ηη διδακηέα ύλη και ηη διδαζκαλία ηων Μαθημαηικών ηος Γενικού Λςκείος καηά ηο ζσολικό έηορ (ζζ.9 3).

3 Π.Γ. 86/00 (θαη όια ηα κεηαγελέζηεξα): Αμηνιόγεζε ησλ καζεηώλ ηνπ Δληαίνπ Λπθείνπ Άξζξν 5. Tα ζέκαηα ησλ γξαπηώλ πξναγσγηθώλ θαη απνιπηεξίσλ εμεηάζεσλ ιακβάλνληαη από ηελ ύιε πνπ νξίδεηαη σο εμεηαζηέα γηα θάζε κάζεκα θαηά ην έηνο πνπ γίλνληαη νη εμεηάζεηο. Οη εξσηήζεηο είλαη αλάινγεο κε εθείλεο πνπ ππάξρνπλ ζηα ζρνιηθά εγρεηξίδηα θαη ζηηο νδεγίεο ηνπ Π.Ι., δηαηξέρνπλ όζν ην δπλαηόλ κεγαιύηεξε έθηαζε ηεο εμεηαζηέαο ύιεο, ειέγρνπλ επξύ θάζκα δηδαθηηθώλ ζηόρσλ θαη είλαη θιηκαθνύκελνπ βαζκνύ δπζθνιίαο. Οη καζεηέο απαληνύλ ππνρξεσηηθά ζε όια ηα ζέκαηα.

4 Αληηθξνπόκελνη ζηόρνη ζηε δηδαζθαιία ηεο Αλάιπζεο ζηελ Γ Λπθείνπ ηόρνο (Παηδαγσγηθό Ιλζηηηνύην) Οη καζεηέο πξέπεη λα απνθηήζνπλ ηελ ηθαλόηεηα: Α) Να ππνινγίδνπλ όξηα απιώλ ζπλαξηήζεσλ. Β) Να κειεηνύλ απιέο ζπλαξηήζεηο σο πξνο ηε ζπλέρεηα θαη ηελ παξαγσγηζηκόηεηα θαη λα εθαξκόδνπλ ζ απηέο ηα ζεσξήκαηα Rolle θαη Μέζεο Σηκήο. Γ) Να ρξεζηκνπνηνύλ ην ζεκειηώδεο ζεώξεκα ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ ζε απιέο ζπλαξηήζεηο. ηόρνο (Κεληξηθή Δπηηξνπή Δμεηάζεσλ) Σα ζέκαηα ησλ Παλειιαδηθώλ Δμεηάζεσλ πξέπεη λα είλαη ηέηνηα ώζηε ην πνζνζηό ησλ αξηζηνύρσλ λα ζπγθξαηείηαη ζε θπζηνινγηθά επίπεδα.

5 Οη δηαθπκάλζεηο ηνπ πνζνζηνύ ησλ αξηζηνύρσλ ζηηο Παλειιαδηθέο Δμεηάζεηο ηα ηειεπηαία ρξόληα Έηνο % Βαζκνινγηθή πεξηνρή 8 0 ζηα Μαζεκαηηθά Θεηηθήο Καηεύζπλζεο ,5 0, 9,7 7,70,68 0,9 3, 9,37 6,50 4,3,09 9,79 Το ποζοζηό ηων απιζηούσων ωρ εξαπηημένη μεηαβληηή Ποια είναι η ανεξάπηηηη μεηαβληηή;

6 Με πνηνπο ηξόπνπο επηρεηξεί ε Κ.Δ.Δ. λα ζπγθξαηήζεη ην πνζνζηό ησλ αξηζηνύρσλ; Γεκηνπξγία ζπλδπαζηηθώλ ζεκάησλ Αμηνπνίεζε βαζηθώλ παξαλνήζεσλ Γεκηνπξγία εμσηηθώλ ζπλαξηήζεσλ ύλζεζε δηαθνξεηηθώλ αζθήζεσλ ζην ίδην εξώηεκα Γεκηνπξγία ζεκάησλ ζηα όξηα ηεο δηδαθηέαο ή εμεηαζηέαο ύιεο ύκθσλα κε όζα έρνπκε δεη κέρξη ζηηγκήο.

7 Γεκηνπξγία ζεκάησλ ζηα όξηα ηεο δηδαθηέαο ή εμεηαζηέαο ύιεο Θέκαηα ζηα νπνία δεηείηαη ν πξνζδηνξηζκόο ζπλαξηήζεσλ πνπ επαιεζεύνπλ δηαθνξηθέο ή νινθιεξσηηθέο εμηζώζεηο Τπελζπκίδνπκε όηη ε ελόηεηα 3.3. Γηαθνξηθέο Δμηζώζεηο βξίζθεηαη εθηόο εμεηαζηέαο ύιεο

8 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ ΠΡΩΣΟ Δπηιέγνπκε κηα ζπλερή θαη ζεηηθή γηα θάζε R ζπλάξηεζε: f() Παξαγσγίδνληαο βιέπνπκε όηη: f () Μεηαζρεκαηίδνληαο ηε ζρέζε απηή βξίζθνπκε όηη: f () 0 f () f () f() 0

9 f() Άξα ε ζπλάξηεζε g() είλαη ζηαζεξή ζην R. [ g() = + = ] Οινθιεξώλνληαο ηε ζρέζε f () βξίζθνπκε δηαδνρηθά: f (u)du 0 0 f () uf (u)du από 0 έσο f() uf (u)du 0 f() f(0) uf (u)du ut 0 f() tf (t)dt 0

10 Δμεηάζεηο 00, Θέκα 4ν Έζησ ε πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε f, ζπλερήο ζην ζύλνιν ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ R, γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ νη ζρέζεηο: (i) f() 0, γηα θάζε R. (ii) f() tf (t)dt γηα θάζε R. Έζησ αθόκε g ε ζπλάξηεζε πνπ νξίδεηαη από ηνλ ηύπν Α. Να δείμεηε όηη ηζρύεη 0 g() f() γηα θάζε R. Β. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζηαζεξή Γ. Να δείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη Γ. Να βξείηε ην όξην lim f()εκ f () f () f()

11 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ ΓΔΤΣΔΡΟ Δπηιέγνπκε κηα ζπλερή θαη ζεηηθή γηα θάζε R ζπλάξηεζε: f() 9 Παξαγσγίδνληαο βιέπνπκε όηη είλαη: 9 f() f( ) 9 9 f() Μεηαζρεκαηίδνληαο ηε ζρέζε απηή βξίζθνπκε όηη: f ()f() f () f() 0 f()f () f() f () 0 f () f() 0 f () f() 0

12 Άξα ε ζπλάξηεζε είλαη ζηαζεξή ζην R. Από ηε ζρέζε g() f() f() g() f() f() f() f () f() f() f () f() βξίζθνπκε δηαδνρηθά: f () f() f (t) dt dt 0 0 t f(t) t t f() 3 dt f(t) t t f() f(0) 0 dt f(t) t 0 0

13 Δμεηάζεηο 00, Θέκα 4ν Γίλεηαη ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f: R R ε νπνία γηα θάζε R ηθαλνπνηεί ηηο ζρέζεηο: t f() θαη f() 3 dt f(t) t Γ. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R κε παξάγσγν f() f (), R f() Γ. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε είλαη ζηαζεξή Γ3. Να απνδείμεηε όηη Γ4. Να απνδείμεηε όηη 0 g() f() f(), R f() 9, R f(t)dt f(t)dt, R

14 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ ΣΡΙΣΟ Δπηιέγνπκε κηα ζπλερή θαη ζεηηθή γηα θάζε R ζπλάξηεζε: f() e Παξαγσγίδνληαο βιέπνπκε όηη είλαη: f () e f() Οινθιεξώλνληαο ηε ζρέζε f () e από 0 έσο βξίζθνπκε όηη: f (u)du 0 0 u e du u f() f(0) e du θαη κε ηελ αιιαγή κεηαβιεηήο u = t t t t e f() e dt f() e dt f() dt t 0 0 e

15 γηα λα θαηαιήμνπκε ζηελ νινθιεξσηηθή εμίζσζε: f() e t e f( t) 0 dt Δπεηδή πξνθαλώο ε ζπγθεθξηκέλε εμίζσζε δελ ζεσξήζεθε αξθεηά πςεινύ βαζκνύ δπζθνιίαο, νη ζεκαηνδόηεο είραλ ηεο εμήο θαεηλή ηδέα: Υξεζηκνπνίεζαλ γηα ηελ ίδηα ζπλάξηεζε έλα δηαθνξεηηθό όλνκα (έζεζαλ f() e g() ) θαη δηαηύπσζαλ ην ζέκα κε ηνλ εμήο ηξόπν:

16 Δμεηάζεηο 0, Θέκα 4ν Γίλνληαη νη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο f, g: RR, νη νπνίεο γηα θάζε R ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο: i) f() > 0 θαη g() > 0 t t f() e g() e ii) dt iii) dt e g( t) e f( t) 0 0 Γ. Να απνδείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην R θαη όηη f() = g() γηα θάζε R. Γ. Να απνδείμεηε όηη: f() = e, R. Γ3. Να ππνινγίζεηε ην όξην: lim lnf() 0 f Γ4. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο F() f t dt ηνπο άμνλεο θαη y y θαη ηελ επζεία κε εμίζσζε =.

17 Δμεηάζεηο 0, Θέκα 4 ν Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f: (0, +)R, ε νπνία γηα θάζε > 0 ηθαλνπνηεί ηηο ζρέζεηο f() 0 Γ. Να απνδεηρζεί όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε θαη λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο. Αλ είλαη Γ. Να ππνινγίζεηε ην όξην f(t)dt e f() e (ln ), 0 0 ηόηε: lnt t ln dt e f() f(t) lim f() εκ f() f() Γ3. Με ηε βνήζεηα ηεο αληζόηεηαο ln, πνπ ηζρύεη γηα θάζε > 0, λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε F() f(t)dt, 0, όπνπ α α > 0, είλαη θπξηή. ηε ζπλέρεηα λα απνδείμεηε όηη: F() + F(3) > F(), γηα θάζε > 0.

18 Γ4. Γίλεηαη ν ζηαζεξόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο β > 0. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό μ(β, β) ηέηνην ώζηε: F(β) + F(3β) = F(μ). Μηα άζθεζε γηα επίδνμνπο δεκηνπξγνύο ζεκάησλ: Να απνδείμεηε όηη από ηε ζπλάξηεζε παξάγνληαη νη ζρέζεηο: f() e (ln ), 0 f(t)dt e θαη lnt t ln dt e f() f(t)

19 Μηα άζθεζε ζηε δεκηνπξγία παξόκνησλ ζεκάησλ Δπηινγή ζπλάξηεζεο: Τπνινγηζκόο παξαγώγνπ: Γεκηνπξγία δηαθνξηθήο εμίζσζεο: f() e f () e f (), R f() Ση εμεηάδνπκε ζηνπο καζεηέο: f () ln f() ln, R f() ln( ) c ln( ) c, 0 e, 0 ln f() f() ln c ln c, 0 e, 0

20 Η κειέηε ηνπ πξνζήκνπ ηεο ζπλάξηεζεο f() e Ση γλσξίδνπκε γηα ηε ζπγθεθξηκέλε ζπλάξηεζε: Ιζρύεη f() 0 γηα θάζε R *, f() < 0 γηα θάζε (, 0) θαη f() > 0 γηα θάζε (0, +) Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ επζεία y = +. Ση κπνξεί λα δεηεζεί από ηνπο καζεηέο: Γίλνληαο ηελ ππόζεζε f() 0 θαη f() = e, εμαζθαιίδεηαη ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο θαη ν ππνινγηζκό ηεο ζηαζεξάο c ζην δηάζηεκα (0, +). Γίλνληαο ηελ ππόζεζε όηη ε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη ζην πιάγηα αζύκπησηε ηελ επζεία y = +, εμαζθαιίδεηαη ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο θαη ν ππνινγηζκόο ηεο ζηαζεξάο c ζην δηάζηεκα (, 0).

21 ρόιηα & θξηηηθή γηα ηα ζπγθεθξηκέλα ζέκαηα. Γελ εμππεξεηνύλ θαλέλα νπζηαζηηθό δηδαθηηθό ζηόρν, δεδνκέλνπ όηη ε ελόηεηα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ βξίζθεηαη εθηόο εμεηαζηέαο ύιεο.. πκβάινπλ ζην αθαλζώδεο θαη κε πνιηηηθέο πξνεθηάζεηο δήηεκα ζπγθξάηεζεο ηνπ πνζνζηνύ ησλ αξηζηνύρσλ ζε αλεθηά επίπεδα. 3. Μπνξνύλ λα αληηθαηαζηαζνύλ από ηε κειέηε ησλ ζπγθεθξηκέλσλ ζπλαξηήζεσλ κε εξσηήκαηα θιηκαθνύκελνπ βαζκό δπζθνιίαο. 4. Δπεξεάδνπλ κε αξλεηηθό ηξόπν ηε δηδαζθαιία θαη κάζεζε ηεο Αλάιπζεο ζηελ Γ Λπθείνπ (εμάζθεζε ζε ηερληθέο αληί γηα εκβάζπλζε ζε έλλνηεο).

22 Έλα παξάδεηγκα ζην δήηεκα 3 Μηα δηαθνξεηηθή πξόηαζε γηα ηε δηαηύπσζε ηνπ 4 νπ ζέκαηνο ηνλ Μάην 0 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f() e (ln ), 0 Γ. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο αζύκπησηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f. Γ. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηε κνλνηνλία, ηα αθξόηαηα θαη λα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Γ3. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη θνίιε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο.

23 Έλα παξάδεηγκα γηα ην δήηεκα 4 Η ηαπηόηεηα ηεο ζπλάξηεζεο f(). Πξσηνεκθαλίζηεθε σο θακπύιε ιύζε ζε έλα πξόβιεκα γεσκεηξηθνύ ηόπνπ. Ο ηξόπνο απόδεημεο ηεο ζρεηηθήο εμίζσζεο ζπλδπάδεη βαζηθέο γεσκεηξηθέο, ηξηγσλνκεηξηθέο θαη αιγεβξηθέο γλώζεηο 3. Δίλαη ε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο y = ηνμεθ 4. Έρεη πνιύ ζεκαληηθέο εθαξκνγέο

24 Η πξνέιεπζε ηεο ζπλάξηεζεο f() () Θεωξνύκε δύν αληηδηακεηξηθά ζεκεία Ο θαη Μ ελόο θύθινπ θαη έλα κεηαβιεηό ζεκείν ηνπ Α. Φέξνπκε επίζεο ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην Μ. Ολνκάδνπκε Ν ην ζεκείν ζην νπνίν ε επζεία ΟΑ ηέκλεη ηελ εθαπηνκέλε θαη Ρ ην ζεκείν ζην νπνίν ε παξάιιειε από ην Ν πξνο ηελ ΟΜ ηέκλεη ηελ θάζεηε από ην Α ζηελ ΟΜ. Όηαλ ην Α θηλείηαη ζηνλ θύθιν, ηόηε ην Ρ δηαγξάθεη κηα θακπύιε πνπ νλνκάδεηαη κάγηζζα ηεο Agnesi Maria Gaetana Agnesi (78 799) Γεληθή εμίζωζε ηεο θακπύιεο y 3 α Γηα α = πξνθύπηεη ε ()

25 Η παξάγσγνο ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο y y o =f( o ) M( o,y o ) σ θ o f ( ) o εθσ f (y o ) εθθ εθ(90 σ) ζθσ εθσ f ( o )

26 Δθαξκνγή ζηελ f() = εθ, π π, Αλ y f() εθ ηόηε f (y) ηνμεθy, y R Δπεηδή f () ζπλ δηαδνρηθά έρνπκε: f (y ) ζπλ o o f ( o) εθ o yo Άξα είλαη f () (ηνμεθ)