nφ dφ ΘΕΩΡΙΑ ΦΕΡΟΥΣΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ από την ελευθερη στροβιλότητα: = < = και v ( x, z) = v (0, z) ζ ξ ζ ζ -Γ(z) θ=π

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΦΕΡΟΥΣΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ αό την ελευθερη στροβιλότητα: s/ f γ x( ξ, ζ ( z ζ vi ( x, z = dξdζ 3/ 4 (( x ξ + ( z ζ s/ x ( ζ L dγ γ x ( x, z, x γ x ( x, z =, x dz f f = < = και v ( x, z = v (, z = v ( z i i s/ s/ dγ( ζ dγ( ζ v = ( z ( d d d 3/ 4 dζ = ( ξ + ( z ζ 4 dζ z ζ s/ s/ s s Μετασχηµατισµός z= os θ, ζ = osφ ζ ξ ζ ζ -Γ(z θ= v = dγ dφ s dφ osθ osφ Γ ( φ = Us a si φ = z x a = Γ( φsi φ dφ Us θ= -dγ(z/dz

2 Αντικαθιστούµε την έκφραση για την κυκλοφορία Γ στο ολοκλήρωµα γιά την εαγόµενη ταχύτητα φ v = a os φ dφ = a dφ = U a = = = U U os si θ osθ osφ osθ osφ siθ όου χρησιµοοιήθηκαν τα ολοκληρώµατα Glauert os φ si θ dφ = osθ osφ siθ Γωνία εκτροής της ροής α v = = a U = si θ siθ Ελλειτική κατανοµή κυκλοφορίας (ελλειτική φόρτιση όταν a = για, v Ua σταθερη = = και α σταθερη = a = ανεξαρτητα του z

3 Υολογισµός της δυναµικής άνωσης και της εαγόµενης αντίστασης Η ολική άνωση βρίσκεται µε ολοκλήρωση της τοικής άνωσης κατά το άνοιγµα της τέρυγας: s / s si si si s / = L= ρuγ dz= ρuγ θdθ = ρu s a θ θdθ L a = ρu s Συντελεστής άνωσης : Η εαγόµενη αντίσταση: L s CL = = a = a AR / ρu A A ( s/ Di ( ρu α dz s/ = Γ = s/ si θ v dz U s ( a ( a si si d / siθ s = = ρ Γ = ρ θ θ θ ανατύσσοντας το γινόµενο και έναλλάσσοντας ολοκλήρωση µε άθροιση, ρu i= ρ m si θ si θ θ= = m= = D U s a a m d a ( si φ si mφ dφ=, αν m= και ειναι =, αν m Συντελεστής εαγόµενης αντίστασης: D CDi a ( AR( a / i ρu A = = = + C Di CL ( AR ( a = = + 3

4 Συσχέτιση του τριδιάστατου µε τον διδιάστατο συντελεστή άνωσης Θεωρούµε τέρυγα µε σταθερη γωνία ρόστωσης σε όλο της το άνοιγµα ευθύγραµµη τέρυγα Θεωρούµε είσης ότι όλες οι τοµές της τέρυγας αό είεδα z=σταθερό είναι γεωµετρικά όµοιες ίδια γωνία µηδενικής άνωσης α. Αό την διδιάστατη θεωρία λετών υδροτοµών ξέρουµε ότι ο τοικός συντελεστής άνωσης C v = (( α α α = ( α α + U L UΓ Η τοική άνωση είναι ίση µε ρuγ και έχουµε την έναλλακτική έκφραση CL = = / ρu όου = x ( z x ( z είναι η τοική χορδή της τέρυγας. Εξισώνουµε τις εκφράσεις T L ρ Γ U 4s a si θ = ( α α = = συστηµα αό αειρες γραµµικες εξισώσεις για τους συντελεστές a. a si θ siθ Στην γενική ερίτωση ρέει να εκφράσουµε και τη χορδή ( z σαν σειρά Fourier ( θ και να εξισώσουµε τους συντελεστές των δύο λευρών. Αν κρατήσουµε τους Ν ρώτους όρους της σειράς θα έχουµε Ν εξισώσεις γιά τους Ν συντελεστές. 4

5 Ελλειτική τέρυγα ερίτωση ου = siθ όου είναι η µέγιστη χορδή της τέρυγας, για την ερίτωση δηλαδή ου η τέρυγα έχει ελλειτικό σχήµα µε άξονες s,. Τότε η ανωτέρω εξίσωση γίνεται: 4s a si θ = (( α a siθ a si θ = = Εξισώνουµε τους συντελεστές των ηµιτόνων στα δύο µέλη και καταλήγουµε στις εξής σχέσεις: 4s a = ( α α + a a = ( α α 4 s / + 4s a = a, a =, Βλέουµε δηλαδή ότι για τέρυγα µε ελλειτικό σχήµα συνεάγεται και ελλειτική φόρτιση. C L ( α α / ( AR = +, όου A s / 4 = και s 4 s ( AR = A Το ανωτέρω αοτέλεσµα ισχύει µε αρκετά καλή ακρίβεια και για µη ελειτικά σχήµατα. Για αράδειγµα, για ορθογωνική τέρυγα µε λόγο ειµήκους ίσο µε AR =5, η ανωτέρω σχέση ροβλέει συντελεστή άνωσης ισο µε CL = α α 4.48( ενω η ακριβής τιµή είναι CL = 4.3( α α, λάθος γύρω στο 4%. 5

6 ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΕΣ ΠΤΕΡΥΓΕΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΛΟΓΩΝ ΕΠΙΜΗΚΟΥΣ (AR 6

7 %% simple liftig lie theory for symmetri wig lear all;lose all spa=4;semispa=.5spa;lam=5;lam=lampi/8;root=; zs=[ ];z=zssemispa;dzs=z(-z(; s=[ ];=sroot; N=legth(zs-; o=oes(size(zs;o(=;o(ed=; Ar=; for i=:n;ar=ar+(z(i+-z(i.5((i++(i;ed; Ar=Ar; AR=(spa^/Ar; %% plot the wig plaform figure; plot(zta(lam,z,'w','liewidth',;hold o; plot(zta(lam,-z,'w','liewidth',; plot(zta(lam+,z,'w','liewidth',; plot(zta(lam+,-z,'w','liewidth',; axis equal;grid o for i=:legth(zs-;plot([- 3],[z(i z(i],'r','liewidth',;ed %% liftig lie matrix for m=:n th=aos(zs(m; B(m=; for =:N =-; A(m,=(si(th4spa/(m+pisi(th/si(th; ed ed aa=a\b';%% oeffiiets of the Fourier series for Gamma %% prit results [spa Ar AR pi(piaraa( piar/(ar+] %% plot irulatio over spa ss=lispae(-,,5; thi=aos(ss; GG=ss; for =:N =-; GG=GG+aa(si(thi; ed figure; plot(ss.5spa,gg,'w','liewidth',;hold o;grid o; xlabel('spa(m';ylabel('cirulatio GG(s' s=8m A=6m AR=.6 s A AR dcl/da dcl/da(el