HY220 Εργαςτόριο Ψηφιακών Κυκλωμϊτων
|
|
|
- Ιωάννα Ευταξίας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 HY220 Εργαςτόριο Ψηφιακών Κυκλωμϊτων Διδϊςκων: Χ. Σωτηρύου, Βοηθού: Ε. Κουναλϊκησ, Π. Ματτθαιϊκησ, Δ. Τςαλιαγκόσ 1 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 2 1
2 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 3 Τριςδιϊςτατοσ Δυαδικόσ Χώροσ Απεικόνιςθ από το B 3 B a bc abc a bc abc a b c ab c b c a b c ab c a 4 2
3 Τετραδιϊςτατοσ Δυαδικόσ Χώροσ Απεικόνιςθ από το B 4 B 0110 d = d = b c a Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 6 3
4 Δυαδικϋσ Συναρτόςεισ Μια απεικόνιςθ B ν B, δθλαδι με πεδίο οριςμοφ το B ν και πεδίο τιμϊν το B, που περιγράφεται με δυαδικι εξίςωςθ αποτελεί Δυαδικι Συνάρτθςθ f(x1, x2,, xn) Τα x1, x2,, xn ονομάηονται ςτιριξθ (support) τθσ f Η κάκε δυαδικι ςυνάρτθςθ, f, αποτελείται απο: f ON, το ςφνολο των ςθμείων ςτο B όπου θ f ζχει τθν τιμι 1 f OFF, το ςφνολο των ςθμείων ςτο B όπου θ f ζχει τθν τιμι 0 f DC, το ςφνολο των ςθμείων ςτο B όπου θ f ζχει τθν τιμι Η αδιάφορθ τιμι (don t care DC) ςυνεπάγεται επιλογι από {0, 1} Ζτςι για το ςφνολο U = B ν, ο κακολικόσ κφβοσ, ιςχφει U = f ON U f OFF, και αν υπάρχουν DC, U = f ON U f OFF U f DC 7 Αναδρομικόσ Οριςμόσ Δυαδικών Συναρτόςεων 1. Για κάκε b ςτο B, δθλαδι {0, 1} θ ςτακερι ςυνάρτθςθ, που ορίηεται ωσ: f(x1,, xn) = b, για κάκε (x1,, xn) ςτο B ν είναι δυαδικι ςυνάρτθςθ ν μεταβλθτϊν 2. Για κάκε xi, ςτο {x1,, xn}, θ ςυνάρτθςθ προβολισ που ορίηεται ωσ: f(x1,, xn) = xi, για κάκε (x1,, xn) ςτο B ν είναι δυαδικι ςυνάρτθςθ ν μεταβλθτϊν 3. Αν g και h δυαδικζσ ςυναρτιςεισ ν μεταβλθτϊν, τότε οι ςυναρτιςεισ g + h, g. h και g που ορίηονται ωσ: (g + h)(x1,, xn) = g(x1,, xn) + h(x1,, xn) (g.h) (x1,, xn) = g(x1,, xn). h(x1,, xn) (g )(x1,, xn) = (g(x1,, xn)) είναι δυαδικζσ ςυνάρτθςεισ ν μεταβλθτϊν Μόνο οι ςυναρτιςεισ που προκφπτουν από πεπεραςμζνεσ εφαρμογζσ των παραπάνω κανόνων είναι δυαδικζσ ςυναρτιςεισ 8 4
5 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 9 Θεώρημα Boole/Shannon Ορίηουμε: f xi = f xi = 0 = f(x1, x2,, 0,, xn), δθλαδι θ f όπου xi = 0 f xi = f xi = 1 = f(x1, x2,, 1,, xn), δθλαδι θ f με xi = 1 Τα f xi, f xi ονομάηονται f xi - αρνθτικόσ ςυν-παράγοντασ (co-factor) τθσ f ωσ προσ το xi, f xi - κετικόσ ςυν-παράγοντασ (co-factor) τθσ f ωσ προσ το xi 10 5
6 Θεώρημα Boole/Shannon Θεϊρθμα Boole/Shannon Αν f : B ν B είναι δυαδικι ςυνάρτθςθ, τότε: f(x1,, xi,, xn) = xi. f(x1,, 0,, xn) + xi. f(x1,, 1,, xn) = xi. f xi + xi. f xi = (xi + f(x1,, 1,, xn))(xi + f(x1,, 0,, xn)) = (xi + f xi)(xi + f xi ) για κάκε (x1, x2, xn) ςτο B 11 Απόδειξη Θεωρόματοσ Boole/Shannon Απόδειξθ με επαγωγι Ιςχφει για: a. Στακερζσ ςυναρτιςεισ b. Ρροβολζσ Επαγωγικό βιμα για g, h. Αποδεικνφουμε ότι ιςχφει για a. (g + h) b. (g. h) c. g 12 6
7 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 13 Κανονικϋσ Μορφϋσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Με αναδρομικι εφαρμογι του κεωριματοσ Boole/Shannon προκφπτουν οι δυο κανονικζσ μορφζσ Ανάπτυξθ Boole/Shannon με. f(x1,, xn-1, xn) = f(0,, 0, 0) x1 xn-1 xn + f(0,, 0, 1) x1 xn-1 xn + f(1,, 1, 1) x1 xn-1 xn. Ανάπτυξθ Boole/Shannon με + f(x1,, xn-1, xn) = [f(0,, 0, 0) + x1 + + xn-1 + xn]. [f(0,, 0, 1) + x1 + + xn-1 + xn ]. [f(1,, 1, 1) + x1 + + xn-1 + xn ]. Ιδιότθτεσ οι αξιολογιςεισ τθσ f ονομάηονται διακρίνουςεσ Τα κεμελιϊδθ γινόμενα ονομάηονται ελαχιςτόροι Τα κεμελιϊδθ ακροίςματα ονομάηονται μεγιςτόροι 14 7
8 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 15 Ομοφωνύα και Συνεπαγωγό Ομοφωνία Στο B ιςχφει: xy + x z + yz = xy + x z (x + y)(x + z)(y + z) = (x + y)(x + z) Συνεπαγωγι Στο B ιςχφει: Το x => y είναι ίςο με x + y x => y = x + y 16 8
9 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 17 Το Πρόβλημα Ικανοπούηςησ Εξόδου (Satisfiability) Για μια ζξοδο δυαδικισ ςυνάρτθςθσ, B ν B, το πρόβλθμα ικανοποίθςθσ εξόδου (SAT) είναι θ εφρεςθ μιασ, ι περιςςότερων τιμϊν, των ειςόδων ζτςι ϊςτε θ ζξοδοσ να γίνει αλθκισ Το πρόβλθμα SAT είναι εκκετικό (NP) μια και για να βρεκοφν ο/οι ςυνδυαςμοί απαιτείται θ εξερεφνθςθ 2 ν ςυνδυαςμϊν Συνικωσ το SAT εκφράηεται ωσ γινόμενο ακροιςμάτων 18 9
10 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 19 Αδιϊφορεσ Τιμϋσ Satisfiability DCs (SDCs) Αδιάφορεσ τιμζσ Ικανοποίθςθσ από τισ ειςόδουσ Συνδυαςμοί ειςόδων που δεν μποροφν να ςυμβοφν και ειςόδων/εξόδου μιασ πφλθσ a b c SDC: c (+) ab Observability DCs (ODCs) Αδιάφορεσ τιμζσ Ραρατιρθςθσ ςτισ εξόδουσ Συνδυαςμοί που φιλτράρονται από τιμζσ ελζγχου a b c ODC: a = 0, b DC b = 0, a DC 20 10
11 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 21 Ταυτολογύα Ορίηουμε: Μια ςυνάρτθςθ f(x1,, xn) = 1, για κάκε x1,, xn ονομάηεται ταυτολογία Θεϊρθμα κάλυψθσ κφβου Για ςυνάρτθςθ f και κφβο c, ιςχφει: Απόδειξθ c f f c = 1 c f c c f c 1 f c f c = 1 Θεϊρθμα Ταυτολογίασ f = 1 f x = f x = 1 Δθλαδι, μποροφμε αναδρομικά να διαιρζςουμε τθν f Αν κάποιο από τα φφλλα δεν καταλιξει ςε ταυτολογία τότε θ f δεν είναι ταυτολογία 22 11
12 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 23 Ελαχιςτοπούηςη Διεπύπεδου Κυκλώματοσ Συναρτιςεισ Κόςτουσ Αρικμόσ πυλϊν Αρικμόσ ειςόδων ςτισ πφλεσ Μζγιςτθ δυνατότθτα δοκιμισ Ζλεγχοσ ότι ο κάκε κόμβοσ μπορεί να τεκεί ςε 0 ι 1 Δεν είναι δθλαδι κολλθμζνοσ ςτο 1 (s-a-1) ι κολλθμζνοσ ςτο 0 (s-a-0) Ραράδειγμα προσ μελζτθ Ζξοδοι y1,y2 και εςωτερικόσ κόμβοσ y3 y1 = x1 x2 + y3 y2 = x1x2 + x1 x2 y3 = x1x2y2 + x1 x
13 Παρϊδειγμα y1 = x1 x2 + y3 y2 = x1x2 + x1 x2 y3 = x1x2y2 + x1 x2 x1 x2 Ρωσ κάνουμε ζλεγχο για y2 s-a-0, s-a-1; x1 x2 x1 x2 x1 x2 y2 Βρίςκουμε ζνα διάνυςμα που κάνει το y2 μθδζν (αντίςτροφθ τιμι) Βρίςκουμε διανφςματα που προάγουν τθν τιμι του y2 για παρατιρθςθ ςε ζξοδο y3 y1 25 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 26 13
14 Επϊγοντεσ Όροι και Πρώτοι Επϊγοντεσ Επάγων Προσ (Implicant) Ζνασ κφβοσ που ανικει ςτον ςφνολο ON (ι DC) μιασ ςυνάρτθςθσ f ονομάηεται επάγοντασ όροσ (implicant) Ρρϊτοσ Επάγων Προσ (Prime Implicant) Ζνασ επάγοντασ όροσ που δεν ςυμπεριλαμβάνεται ςε κανζναν άλλο επάγοντα όρο ονομάηεται πρϊτοσ (prime) Ραράδειγμα: f = xy + xyz, xy και xyz είναι επάγοντεσ όροι ο xyz δεν είναι πρϊτοσ, μια και υπάρχει πρϊτοσ που τον καλφπτει αφαιρϊντασ τθν διάςταςθ y Αν ζνασ πρϊτοσ όροσ εμπεριζχει ελαχιςτόρουσ που δεν εμπεριζχονται ςε κανζναν άλλο πρϊτο λζγεται ουςιϊδθσ (essential) 27 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 28 14
15 Ουςιώδησ Πρώτοσ (Essential Prime)- Θεώρημα Quine Ουςιϊδθσ Ρρϊτοσ Επάγοντασ (Essential Prime Implicant) Ρρϊτοσ όροσ που εμπεριζχει ελαχιςτόρουσ που δεν εμπεριζχονται ςε κανζναν άλλο πρϊτο Θεϊρθμα Quine Ένα ελάχιςτο άκροιςμα γινομζνων (sop) πάντα αποτελείται από άκροιςμα πρϊτων επαγόντων όρων αν ο οριςμόσ του κόςτουσ ςυνεπάγεται ότι αφξθςθ των εμφανίςεων των μεταβλθτϊν αυξάνει το κόςτοσ Το παραπάνω κεϊρθμα είναι το κεμελιϊδεσ κεϊρθμα τθσ διεπίπεδθσ βελτιςτοποίθςθσ/απλοιποίθςθσ Το κόςτοσ του κάκε πρϊτου είναι μια AND ι ο αρικμόσ των εμφανίςεων των μεταβλθτϊν του 29 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 30 15
16 Υπολογιςμόσ Πρώτων Επαγόντων Όρων Ο υπολογιςμόσ υπολογιςμοφ των πρϊτων βαςίηεται ςτθν δυαδικι ιδιότθτα: Xy + Xy = X Αλγόρικμοσ/Μζκοδοσ Πίνακα 1. Ξεκινϊντασ από ελαχιςτόρουσ μεγζκουσ ν (με ν όρουσ) Τουσ διατάςουμε με φκίνοντα αρικμό αρνιςεων 2. Συγχωνεφουμε ανά δφο τουσ ελαχιςτόρουσ με διαφορά μιασ άρνθςθσ (απόςταςθ 1 ςτον κφβο) και παράγουμε τον νζο όρο με μια λιγότερθ μεταβλθτι (ν-1) 3. Σθμαδεφουμε τουσ ελαχιςτόρουσ που καλφπτονται 4. Πταν τελειϊςουν οι ςυνδυαςμοί ςυνεχίηουμε ςτουσ (ν-1) όρουσ από το βιμα 2, μζχρι να μθν γίνονται άλλεσ ςυγχωνεφςεισ 5. Οι πρϊτοι είναι οι μθ ςθμαδεμζνοι, εναπομείναντεσ όροι. 31 Παρϊδειγμα Εξαγωγόσ Πρώτων Δίνεται: f = x y + wxy + x yz + wx z Εκφράηουμε ςε Ελαχιςτόρουσ: f = w x y z + w x y z + w x yz + wx y z + wx y z + wx yz + wxyz + wxy z + wxyz Εκφράηουμε το αρχικό ςτάδιο του πίνακα: Αρικμόσ Θετικϊν Όρων Ελαχιςτόροι 0 w x y z 1 w x y z, w x yz, wx y z 2 wx y z, wx yz 3 wxyz, wxy z 4 wxyz 32 16
17 Παρϊδειγμα Εξαγωγόσ Πρώτων - Πύνακασ w x y z w x y z w x yz wx y z wx y z wx yz w x y w x z x y z x y z x yz wx y wx z wy z wyz x y x z Ρρϊτοι: p1 = x y p2 = x z p3 = wy z p4 = wyz p5 = wxy p6 = wxz wxyz wxy z wxy wxz wxyz 33 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 34 17
18 Αδιϊφορεσ Τιμϋσ ςτον Πύνακα Εξαγωγόσ Σε περίπτωςθ ελαχιςτόρων που ζχουν αδιάφορθ τιμι (DC) - : Τουσ ςυγχωνεφουμε όπωσ τουσ υπόλοιπουσ για να δθμιουργιςουμε μεγαλφτερουσ κφβουσ (πρϊτουσ) Σθμαδεφουμε και αφαιροφμε τουσ κφβουσ που αποτελοφνται μόνο από DC Ραράδειγμα: f = yz + xy z (ON set), d = x z (DC set) x yz x y z (DC) x yz (DC) xyz xy z x y yz x z (DC) y z O x z απαλείφεται μια και αποτελείται μόνο από DC 35 Παρϊδειγμα Κϊλυψησ από Πρώτουσ Ζςτω: f = yz + x y + y z + xyz + x z Η f μπορεί να εκφραςτεί από τουσ πρϊτουσ τθσ ωσ εξισ: p1 f = x y + x z + y z + yz p2 p3 p4 y z p1 = x y p2 = x z p3 = y z p4 = yz x 36 18
19 Παρϊδειγμα Κϊλυψησ από Πρώτουσ Αν φτιάξουμε τον πίνακα περιοριςμϊν που αντιςτοιχεί τουσ ελαχιςτόρουσ ςτουσ πρϊτουσ: Ελαχιςτόροι p1 p2 p3 p4 p1 = x y p2 = x z p3 = y z p4 = yz x y z 1 1 x yz 1 1 x yz 1 1 xyz 1 xy z 1 Βλζπουμε ότι οι p3, p4 είναι υποχρεωτικά μζροσ τθσ λφςθσ, αφου μόνοο αυτοί καλφπτουν τουσ xyz, xy z Μετά απομζνει επιλογι ςτουσ p1, p2 37 Παρϊδειγμα Κϊλυψησ από Πρώτουσ Αν εκφράςουμε τον κάκε ελαχιςτόρο τθσ f ωσ προσ τουσ πρϊτουσ: Ο κάκε ελαχιςτόροσ παρουςιάηει επιλογι ωσ προσ το από ποιουσ πρϊτουσ κα καλυφκεί Λ.χ. ο ελαχιςτόροσ x y z καλφπτεται από τουσ p2, p3, δθλαδι μποροφμε να γράψουμε x y z = (p2 + p3) εκφράηοντασ τθν επιλογι. Για να καλφψουμε όλθ τθν f κζλουμε να καλφψουμε όλουσ τουσ ελαχιςτόρουσ, Άρα το πρόβλθμα επιλογισ πρϊτων εκφράηεται ωσ ζνα γινόμενο ακροιςμάτων, όπου οι (μόνο κετικζσ) μεταβλθτζσ είναι οι πρϊτοι => UCP Για το παράδειγμα: (p2 + p3)p3(p1 + p2)(p1 + p4)p4 =
20 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 39 Το Μονόςημο Πρόβλημα Κϊλυψησ Ζςτω: J = {1,, n}, p = {p1, p2,, pn} ςφνολο n δυαδικϊν μεταβλθτϊν και ςi = pj j Ji, i = {1,, m) όπου Ji είναι ζνα άκροιςμα κετικϊν όρων των μεταβλθτϊν pj. Το Μονόςθμο Πρόβλθμα Κάλυψθσ (Unate Covering Problem UCP) είναι το πρόβλθμα εφρεςθσ ςυνόλου S ελαχίςτου πλικουσ, S J, όπου κζτοντασ pj = 1, pj S, εγγυάται ότι: Το Κόςτοσ του UCP είναι το πλικοσ του S i i( p)
21 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 41 Τεχνικϋσ Απλοπούηςησ Πύνακα UCP 1. Απαραίτθτεσ Στιλεσ Αν μια ςειρά είναι μονι, δθλ. δεν καλφπτεται από άλλθ ςτιλθ, τότε θ αντίςτοιχθ ςτιλθ πρζπει να είναι ςτθν λφςθ Οι αντίςτοιχθ, απαραίτθτθ ςτιλθ και οι ςχετικζσ ςειρζσ αφαιροφνται από τον πίνακα Αλγεβρικι αντιςτοιχία/παράδειγμα (p2 + p3)(p1 + p2)(p1 + p4)p3p4 = 1 p3 και p4 πρζπει να είναι 1 => απλοποιείται ςε (p1 + p2) p1 p2 p3 p
22 Τεχνικϋσ Απλοπούηςησ Πύνακα UCP 2. Απαλοιφι Κατά Σειρά (ι Περιοριςμό) Αν μια ςειρά ri περιζχει όλουσ τουσ άςςουσ μιασ άλλθσ rj τότε θ ri κυριαρχεί τθσ rj Η ςειρά με τουσ περιςςότερουσ άςςουσ, θ ri, απαλείφεται μια και καλφπτεται πάντα από τουσ πρϊτουσ τθσ rj Αλγεβρικι αντιςτοιχία/παράδειγμα Βαςίηεται ςτθν απορρόφθςθ: x(x + y) = x Στον πίνακα δεξιά, θ 1 θ, 4 θ και 6 θ ςειρά κυριαρχοφνε τθν 2 θ, 3 θ και 5 θ ςειρά αντίςτοιχα και ζτςι απαλείφονται p1 p2 p3 p4 p5 p Τεχνικϋσ Απλοπούηςησ Πύνακα UCP 3. Απαλοιφι Κατά Στιλθ Αν μια ςτιλθ pi ζχει όλουσ τουσ άςςουσ μιασ άλλθσ pj τότε θ pi κυριαρχεί τθσ pj Η ςτιλθ με τουσ λιγότερουσ άςςουσ, θ pj, απαλείφεται μια και θ pi καλφπτει όλουσ τουσ ελαχιςτόρουσ τθσ pj Αλγεβρικι αντιςτοιχία/παράδειγμα Βαςίηεται ςτθν εφαρμογι του αρνθτικοφ ςυν-παράγοντα των κυριαρχθμζνων ςτθλϊν (p1 + p2)(p2 + p3)(p4 + p5) = p2(p4 + p5) p1 p2 p3 p4 p
23 Επύλυςη του Πύνακα Περιοριςμών του UCP Η επίλυςθ γίνεται με τον εξισ Αλγόρικμο: 1. Εφαρμόηουμε τισ τεχνικζσ απλοποίθςθσ με τθν ςειρά προτεραιότθτασ τουσ, δθλ.: a. Απαραίτθτεσ Στιλεσ b. Κάλυψθ κατά Σειρά c. Κάλυψθ κατά Στιλθ 2. Στθν περίπτωςθ που ο πίνακασ δεν απλοποιείται περαιτζρω αλλά υπάρχει επιλογι ςτουσ πρϊτουσ: a. Επιλζγουμε τον πρϊτο που φαίνεται να καλφπτει περιςςότερουσ ελαχιςτόρουσ (px = 1) b. Συνεχίηουμε αναδρομικά ςτο 1 ο Βιμα μζχρι να βρεκεί λφςθ c. Αναλφουμε τθν λφςθ χωρίσ τον πρϊτο που καλφψαμε (px = 0), και ςυγκρίνουμε ποια ζχει καλφτερο κόςτοσ 45 Παρϊδειγμα 1 Ελαχιςτόροι p1 p2 p3 p4 x y z 1 1 x yz 1 1 x yz 1 1 xyz 1 xy z 1 p3, p4 => απαραίτθτεσ ςτιλεσ άρα p3, p4 είναι μζροσ τθσ λφςθσ, αφαιροφμε τουσ ελαχιςτόρουσ που καλφψαμε 46 23
24 Παρϊδειγμα 1 Ελαχιςτόροι p1 p2 p3 p4 x y z 1 1 x yz 1 1 x yz 1 1 xyz 1 xy z 1 p3, p4 => απαραίτθτεσ ςτιλεσ άρα p3, p4 είναι μζροσ τθσ λφςθσ, αφαιροφμε τουσ ελαχιςτόρουσ που καλφψαμε Επιλογι ςτουσ p1, p2 (Κδιο κόςτοσ) Λφςεισ : {p1, p3, p4}(κόςτουσ 3), ι {p2, p3, p4} (Κόςτουσ 3) 47 Παρϊδειγμα 2 Κυκλικόσ Πυρόνασ Καμία απλοποίθςθ Επιλζγουμε τον p1 p1 p2 p3 p4 p5 p έστφ λοιπόν p1 μέρος της λύσης, αυαιρούμε τοσς ελατιστόροσς ποσ καλύυαμε 48 24
25 Παρϊδειγμα 2 Κυκλικόσ Πυρόνασ Καμία απλοποίθςθ Επιλζγουμε τον p1 49 p1 p2 p3 p4 p5 p έστφ λοιπόν p1 μέρος της λύσης, αυαιρούμε τοσς ελατιστόροσς ποσ καλύυαμε Κάλυψθ κατά Στιλθ Ο p3 κυριαρχεί τον p2, o p5 τον p6 p5, p6 δεν είναι μζροσ τθσ λφςθσ Παρϊδειγμα 2 Κυκλικόσ Πυρόνασ p1 p2 p3 p4 p5 p Κάλυψθ κατά Στιλθ Ο p3 κυριαρχεί τον p2, o p5 τον p6 p2, p6 δεν είναι μζροσ τθσ λφςθσ Κάλυψθ κατά Σειρά Η 3 καλφπτει τθν 2, θ 4 τθν 5 3 και 5 απαλοίφονται 50 25
26 Παρϊδειγμα 2 Κυκλικόσ Πυρόνασ p1 p2 p3 p4 p5 p Κάλυψθ κατά Σειρά Η 3 καλφπτει τθν 2, θ 4 τθν 5 3 και 5 απαλοίφονται Απαραίτθτεσ ςτιλεσ p3, p5 Λφςθ : {p1, p3, p5} (Κόςτοσ 3) Οι υπόλοιπεσ λφςεισ είναι ιςοδφναμεσ 51 Παρϊδειγμα Επιλζγουμε τον p1 έστφ λοιπόν p1 μέρος της λύσης, αυαιρούμε τοσς ελατιστόροσς ποσ καλύυαμε 52 26
27 Παρϊδειγμα Επιλζγουμε τον 1 έστφ λοιπόν 1 μέρος της λύσης, αυαιρούμε τοσς ελατιστόροσς ποσ καλύυαμε Κάλυψθ κατά ςτιλθ Ο 2 κυριαρχεί των 3,4,5,6 Λφςθ : {1,2} 53 Παρϊδειγμα
28 Παρϊδειγμα Παρϊδειγμα
29 Παρϊδειγμα Παρϊδειγμα
30 Παρϊδειγμα Παρϊδειγμα
31 Παρϊδειγμα Παρϊδειγμα
32 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 63 Συναρτόςεισ Πολλαπλών Εξόδων Θεωροφμε τισ παρακάτω ςυναρτιςεισ: f1 f2 y z x 64 32
33 Συναρτόςεισ Πολλαπλών Εξόδων Χωρίσ κοινοφσ όρουσ Με κοινό όρο x z y z x y f1 f2 x z x y z f1 f2 x z x z 65 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι Ομοφωνία/Συνεπαγωγι Ρρόβλθμα SAT Αδιάφορεσ Τιμζσ SDC, ODC Ταυτολογία Ελαχιςτοποίθςθ Δι-επίπεδου Κυκλϊματοσ Επάγοντεσ όροι και Ρρϊτοι Επάγοντεσ Προι Ουςιϊδθσ Επάγοντεσ Θεϊρθμα Quine Υπολογιςμόσ Ρρϊτων με Μζκοδο Ρίνακα Αδιάφορεσ τιμζσ ςτουσ Ελαχιςτόρουσ Το Μονόςθμο Ρρόβλθμα Κάλυψθσ (UCP) Ρίνακασ Ρεριοριςμϊν UCP Τεχνικζσ απλοποίθςθσ Συναρτιςεισ Ρολλαπλϊν Εξόδων Κυβικι Αναπαράςταςθ Συνάρτθςθσ Κφβοι με DCs 66 33
34 Κυβικό Αναπαρϊςταςη Συνϊρτηςησ Για να δίνουμε ζμφαςθ ςτισ κοινζσ εξόδουσ μποροφμε να αναπαραςτιςουμε ςυναρτιςεισ πολλαπλϊν εξόδων με διάνυςματα Είςοδοι Ζξοδοι Ραράδειγμα: Η προθγοφμενθ ςυνάρτθςθ πολλαπλϊν εξόδων f1f2 μπορεί να αναπαραςτακεί ωσ: xyz f1f Υπολογιςμόσ Πρώτων Επαγόντων Όρων Αλγόρικμοσ/Μζκοδοσ Πίνακα Πολλαπλϊν Εξόδων 1. Ξεκινϊντασ από ελαχιςτόρουσ πολλαπλϊν εξόδων, μεγζκουσ ν (με ν όρουσ) Τουσ διατάςουμε με φκίνοντα αρικμό αρνιςεων 2. Συγχωνεφουμε ανά δφο τουσ ελαχιςτόρουσ με διαφορά μιασ άρνθςθσ (απόςταςθ 1 ςτον κφβο) και παράγουμε τον νζο όρο με μια λιγότερθ μεταβλθτι (ν-1) Τζμνουμε τουσ κφβουσ εξόδου 3. Σθμαδεφουμε τουσ ελαχιςτόρουσ που καλφπτονται, μόνο όταν οι ζξοδοι, του πρϊτου και του ελαχιςτόρου, είναι ίςεσ 4. Πταν τελειϊςουν οι ςυνδυαςμοί ςυνεχίηουμε ςτουσ (ν-1) όρουσ από το βιμα 2, μζχρι να μθν γίνονται άλλεσ ςυγχωνεφςεισ 5. Οι πρϊτοι είναι οι μθ ςθμαδεμζνοι, εναπομείναντεσ όροι
35 Παρϊδειγμα Πύνακα Πρώτων με Πολλαπλϋσ Εξόδουσ p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = Στον πίνακα περιοριςμϊν του UCP οι ελαχιςτόροι εκφράηονται ωσ ελαχιςτόροι πολλαπλϊν εξόδων με μια-μία τθν κάκε ζξοδο 69 Συναρτόςεισ Πολλαπλών Εξόδων Ρρϊτοι: p1 p3 p4 p5 p3 p2 f1 y z x f
36 Παρϊδειγμα Πύνακα Περιοριςμών με Πολλαπλϋσ Εξόδουσ f1 f2 p1 p2 p3 p4 p Επιλφουμε τον πίνακα περιοριςμϊν με τον ίδιο τρόπο Λφςθ: {p1, p2, p5} 71 Συναρτόςεισ Πολλαπλών Εξόδων Η μζκοδοσ μπορεί να προεκτακεί και για κφβουσ με DC ςτισ εξόδουσ, Στισ ςυγχωνεφςεισ: -. 1 = =
HY437 Αλγόριθμοι CAD
HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδϊςκων: Χ. Σωτηρύου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 Περιεχόμενα Ρολυδιάςτατοσ Δυαδικόσ Χϊροσ Δυαδικζσ Συναρτιςεισ Θεϊρθμα Boole/Shannon Κανονικζσ Μορφζσ Ελαχιςτόροι/Μεγιςτόροι
HY437 Αλγόριθμοι CAD
HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 ΗΥ437 - Πολυεπίπεδθ Λογικι Απλοποίθςθ με Περιεχόμενα Είδθ Αδιάφορων Τιμϊν ςε Πολφ-επίπεδα Δυαδικά Δίκτυα Αδιάφορεσ
HY437 Αλγόριθμοι CAD
HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 Περιεχόμενα Κυβικι Κωδικοποίθςθ κατά Θζςθ και Πράξεισ Σομι, Τπερ-κφβοσ, Απόςταςθ, Κάλυψθ, υν-παράγοντασ Ευριςτικόσ
HY437 Αλγόριθμοι CAD
HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 Περιεχόμενα Κανονικζσ Μορφζσ Οριςμόσ των Δυαδικών Διαγραμμάτων Αποφάςεων (Binary Decision Diagrams BDDs) Αναπαράςταςθ
Ένα πρόβλθμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ βρίςκεται ςτθν κανονικι μορφι όταν:
Μζθοδος Simplex Η πλζον γνωςτι και περιςςότερο χρθςιμοποιουμζνθ μζκοδοσ για τθν επίλυςθ ενόσ γενικοφ προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ, είναι θ μζκοδοσ Simplex θ οποία αναπτφχκθκε από τον George Dantzig.
HY220 Εργαςτήριο Ψηφιακών Κυκλωμάτων. 9/28/ ΗΥ220 - Διάλεξθ 3θ, Επανάλθψθ
HY220 Εργαςτήριο Ψηφιακών Κυκλωμάτων Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου, Βοηθοί: Ε. Κουναλάκησ, Π. Ματτθαιάκησ http://www.csd.uoc.gr/~hy220 1 Περιεχόμενα Συςτιματα Αρικμϊν και Δυαδικοί Αρικμοί Ψθφιακι Λογικι Ηλεκτρικά
ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.
.. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται
ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)
ΦΥΕ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 007-008 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία παράδοςησ: Νοεμβρίου 007 (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 0 μονάδεσ θ κάκε μία) Άςκηςη α) Να υπολογιςκεί θ προβολι του πάνω ςτο διάνυςμα όταν: (.
HY437 Αλγόριθμοι CAD
HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 Περιεχόμενα Σφνολα και Σχζςεισ Πράξεισ Συνόλων Κατθγορίεσ Σχζςεων Σχζςεισ Ιςοδυναμίασ, Διάταςθσ, Συμβατότθτασ Συναρτιςεισ
ΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ
ΜΑ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο -, Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, Μαρτίου, Διάρκεια: ώρεσ ΟΝΟΜΑ: Αρ. Πολ. Σαυτ. Πρόβλημα. Θεωροφμε τα διανφςματα u =,,,, v =,,,4, w =,,,, (α) Υπολογίςτε
x n D 2 ENCODER m - σε n (m 2 n ) x 1 Παραδείγματα κωδικοποιθτϊν είναι ο κωδικοποιθτισ οκταδικοφ ςε δυαδικό και ο κωδικοποιθτισ BCD ςε δυαδικό.
Κωδικοποιητές Ο κωδικοποιθτισ (nor) είναι ζνα κφκλωμα το οποίο διακζτει n γραμμζσ εξόδου και το πολφ μζχρι m = 2 n γραμμζσ ειςόδου και (m 2 n ). Οι ζξοδοι παράγουν τθν κατάλλθλθ λζξθ ενόσ δυαδικοφ κϊδικα
Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2
Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Δρ. Χρήζηος Ηλιούδης Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Εφαρμογζσ (ςε οποιαδιποτε περίπτωςθ δεν χρειάηονται αρνθτικοί αρικμοί) Καταμζτρθςθ. Διευκυνςιοδότθςθ.
Λαμβάνοντασ υπόψη ότι κατά την πρόςθεςη δφο δυαδικϊν ψηφίων ιςχφει: Κρατοφμενο
Αριθμητικά κυκλώματα Ημιαθροιστής (Half Adder) Ο ημιαθροιςτήσ είναι ζνα κφκλωμα το οποίο προςθζτει δφο δυαδικά ψηφία (bits) και δίνει ωσ αποτζλεςμα το άθροιςμά τουσ και το κρατοφμενο. Με βάςη αυτή την
HY437 Αλγόριθμοι CAD
HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδϊςκων: Χ. Σωτηρύου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 Περιεχόμενα Στόχοι τθσ Τεχνολογικισ Απεικόνιςθσ Περιγραφι σ ωσ Βαςικοί Γράφοι Μεταςχθματιςμόσ Δυαδικοφ Κυκλϊματοσ
HY437 Αλγόριθμοι CAD
HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 Περιεχόμενα Ζλεγχοσ Σφαλμάτων μετά τθν Καταςκευι Μοντζλο Κολλθμζνο-ςτο-0, -1 Παραδείγματα Διαδικαςίασ Ελζγχου Λογικι
ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4.1
ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4. Να γίνει πρόγραμμα το οποίο να επιλφει το Διαγώνιο Σφςτθμα: A ι το ςφςτθμα : ι ςε μορφι εξιςώςεων το ςφςτθμα : Αλγόρικμοσ m(). Διαβάηουμε τθν τιμι του ( θ διάςταςθ του Πίνακα Α )..
ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων
κεφάλαιο 7 Α ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων αςικζσ ζννοιεσ Γραμμικά, λζγονται τα ςυςτιματα εξιςϊςεων ςτα οποία οι άγνωςτοι εμφανίηονται ςτθν πρϊτθ δφναμθ. Σα γραμμικά ςυςτιματα με δφο εξιςϊςεισ και δφο
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ 1. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν όρια ςτο x πραγματικοφσ αρικμοφσ, δθλαδι lim f( x) l 1 και lim g( x) l 2 με l 1, l 2 IR, τότε lim
Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1
Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2 ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ'
Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 11 η : Μζγιςτα και Ελάχιςτα Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
lim x και lim f(β) f(β). (β > 0)
. Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα
Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1 ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων)
1)Πώσ ορύζεται η Στατιςτικό επιςτόμη; Στατιςτικι είναι ζνα ςφνολο αρχϊν και μεκοδολογιϊν για: το ςχεδιαςμό τθσ διαδικαςίασ ςυλλογισ δεδομζνων τθ ςυνοπτικι και αποτελεςματικι παρουςίαςι τουσ τθν ανάλυςθ
α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΤΣΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ A. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ
Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα
Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα Αυτζσ οι οδθγίεσ ζχουν ςτόχο λοιπόν να βοθκιςουν τουσ εκπαιδευτικοφσ να καταςκευάςουν τισ δικζσ τουσ δραςτθριότθτεσ με το μοντζλο του Άβακα. Παρουςίαςη
Το Δίκτυο Multi-Layer Perceptron και ο Κανόνασ Back-Propagation. Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Πλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ
Το Δίκτυο Multi-Layer Percetron και ο Κανόνασ Back-Proagation Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Πλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ Το Πρόβλθμα XOR Περιοριςμζνεσ δυνατότθτεσ Percetron =1 νευρϊνασ. Πχ. Αδυναμία λφςθσ
1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση Συγγραφή:
8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο
κεφάλαιο 8 τριγωνομετρία Α βαςικζσ ζννοιεσ τθν τριγωνομετρία χρθςιμοποιοφμε τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ, οι οποίοι ορίηονται ωσ εξισ: θμω = απζναντι κάκετθ πλευρά υποτείνουςα Γ ςυνω = εφω = προςκείμενθ
Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 223: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων:
Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 3: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων: Φάμπιο Αντωνίου τοιχεία Επικοινωνίασ: email: fantoniou@aueb.gr ; fabio@ucy.ac.cy Σθλ:893683 Προςωπικι Ιςτοςελίδα: fantoniou.wordpress.com
Πολυπλέκτες. 0 x 0 F = S x 0 + Sx 1 1 x 1
Πολυπλέκτες Ο πολυπλζκτθσ (multipleer - ) είναι ζνα ςυνδυαςτικό κφκλωμα που επιλζγει δυαδικι πλθροφορία μιασ από πολλζσ γραμμζσ ειςόδου και τθν κατευκφνει ςε μια και μοναδικι γραμμι εξόδου. Η επιλογι μιασ
Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 13 η : Επαναλθπτικι Ενότθτα Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 4 η : Όρια και Συνζχεια Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι
Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ ςφμφωνα με το πρότυπο ΙΕΕΕ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ζχει χρθςιμοποιθκεί ευρζωσ ςε πραγματικοφσ υπολογιςτζσ. Το πρότυπο αυτό κακορίηει δφο βαςικζσ μορφζσ κινθτισ
Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό. Διάλεξθ 10
Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό Διάλεξθ 10 Γενικό Σχιμα Μετατροπζασ Αναλογικοφ ςε Ψθφιακό Ψθφιακό Τθλεπικοινωνιακό Κανάλι Μετατροπζασ Ψθφιακοφ ςε Αναλογικό Τα αναλογικά ςιματα μετατρζπονται ςε
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΤ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Σ.Σ. Σμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Τπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΣΕ Π.Μ.. «Νέες Σεχνολογίες στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές» Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου
17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ
Προγραμματιςμόσ Μεκόδων Επίλυςθσ Προβλθμάτων 17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ Ιωάννθσ Κατάκθσ Πολυδιάςτατοι πίνακεσ o Μζχρι τϊρα μιλοφςαμε για μονοδιάςτατουσ πίνακεσ ι int age[5]= 31,28,31,30,31; o Για παράλλθλουσ
Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 5 η : Μερικι Παράγωγοσ Ι Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ
3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ 1 2 3 4 5 6 7 Παραπάνω φαίνεται θ χαρακτθριςτικι καμπφλθ μετάβαςθσ δυναμικοφ (voltage transfer characteristic) για ζναν αντιςτροφζα,
Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.
ε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Οxy δίνεται ευκεία ε. Σί ονομάηουμε : α) γωνία που ςχθματίηει θ ευκεία ε με τον άξονα xϋx; β) ςυντελεςτι διευκφνςεωσ τθσ ευκείασ ε; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Παρατιρθςθ β) Παρατιρθςθ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium V Στατιςτική Συμπεραςματολογία Ι Σημειακζσ Εκτιμήςεισ Διαςτήματα Εμπιςτοςφνησ Στατιςτική Συμπεραςματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο τθσ Στατιςτικισ Συμπεραςματολογία,
Μθχανζσ Διανυςμάτων Υποςτιριξθσ Support Vector Machines. Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Ρλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ
Μθχανζσ Διανυςμάτων Υποςτιριξθσ Support Vector Machines Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Ρλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ Γραμμικόσ διαχωριςμόσ κλάςεων Ξαναμελετάμε το πρόβλθμα του γραμμικοφ διαχωριςμοφ κλάςεων C,
Γράφοι. Δομζσ Δεδομζνων Διάλεξθ 9
Γράφοι Δομζσ Δεδομζνων Διάλεξθ 9 Περιεχόμενα Γράφοι Γενικζσ ζννοιεσ, οριςμόσ, κτλ Παραδείγματα Γράφων Αποκικευςθ Γράφων Βαςικοί Οριςμοί Γράφοι και Δζντρα Διάςχιςθ Γράφων Περιοδεφων Πωλθτισ Γράφοι Οριςμόσ:
Δομζσ Δεδομζνων Πίνακεσ
Δομζσ Δεδομζνων Πίνακεσ Διάλεξθ 2 Περιεχόμενα Πίνακεσ: Οριςμοί, Γενικζσ ζννοιεσ Αποκικευςθ πινάκων Ειδικζσ μορφζσ πινάκων Αλγόρικμοι Αναηιτθςθσ Σειριακι Αναηιτθςθ Δυαδικι Αναηιτθςθ Οριςμοί, Γενικζσ ζννοιεσ
Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ
Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ (Number System) Αξία (value) παράςταςθ Οι αξίεσ (π.χ. το βάροσ μιασ ποςότθτασ μιλων) μποροφν να παραςτακοφν με πολλοφσ τρόπουσ
Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων
Πανελλόνιεσ εξετϊςεισ Γ Τϊξησ 2011 Ανϊπτυξη Εφαρμογών ςε Προγραμματιςτικό Περιβϊλλον ΘΕΜΑ Α Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων Α1. Σ/Λ 1. Σωςτι 2. Σωςτι 3. Λάκοσ 4. Λάκοσ 5. Λάκοσ Α2. Σ/Λ 1. Σωςτι 2.
Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R
Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R Ενότητα 6 η : Η Μζθοδοσ Μ και η Μζθοδοσ των Δφο Φάςεων Κων/νοσ Κουνετάσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ Νίκοσ Χατηθςταμοφλου, Υπ. Δρ. Οικονομικισ Επιςτιμθσ
Τα Δίκτυα Perceptron και ADALINE. Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Πλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ
Τα Δίκτυα Perceptron και ADALINE Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Πλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ Ο Τεχνθτόσ Νευρϊνασ Το μοντζλο McCulloch-Pitts x 1 Νεσρώνας x 2... + u f(u) y x n - θ 2 Το μοντζλο Perceptron Ζνασ
Δομθμζνοσ Προγραμματιςμόσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Εργαςτιριο 9
Δομθμζνοσ Προγραμματιςμόσ Βαγγζλθσ Οικονόμου Εργαςτιριο 9 Συναρτιςεισ Αφαιρετικότθτα ςτισ διεργαςίεσ Συνάρτθςεισ Διλωςθ, Κλιςθ και Οριςμόσ Εμβζλεια Μεταβλθτών Μεταβίβαςθ παραμζτρων ςε ςυναρτιςεισ Συναρτιςεισ
Γενικά Μακθματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Ενότθτα 8 θ : Σειρζσ Taylor και Πεπλεγμζνεσ Συναρτιςεισ Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χριςθσ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Μάκθςθ Κατανομϊν Πικανότθτασ και Ομαδοποίθςθ
Μάκθςθ Κατανομϊν Πικανότθτασ και Ομαδοποίθςθ Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Πλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ 1 Μάκθςθ κατανομισ πικανότθτασ Σε όλθ τθν ανάλυςθ μζχρι τϊρα ζγινε ςιωπθρά θ παραδοχι ότι γνωρίηουμε
Ψθφιακά Ηλεκτρονικά. Ενότθτα 7 : Ελαχιςτοποίθςθ και κωδικοποίθςθ καταςτάςεων Φϊτιοσ Βαρτηιϊτθσ
Ελλθνικι Δθμοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Ψθφιακά Ηλεκτρονικά Ενότθτα 7 : Ελαχιςτοποίθςθ και κωδικοποίθςθ καταςτάςεων Φϊτιοσ Βαρτηιϊτθσ 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου Τμιμα
ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ
ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ ΚΑΜΠΤΛΕ ΕΛΕΤΘΕΡΗ ΜΟΡΦΗ Χριςιμεσ για τθν περιγραφι ομαλών και ελεφκερων ςχθμάτων Αμάξωμα αυτοκινιτου, πτερφγια αεροςκαφών, ςκελετόσ πλοίου χιματα χαρακτιρων κινουμζνων ςχεδίων Περιγραφι
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ψηφιακή Σχεδίαση
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Σχεδίαση Ενότητα 3: Ελαχιστοποίηση σε επίπεδο τιμών, Χάρτες Karnaugh, Πρωτεύοντες όροι Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων
Τεχνθτι Νοθμοςφνθ. Ενότθτα 4: Στρατθγικζσ Ελζγχου Επίλυςθσ. Ιωάννθσ Χατηθλυγεροφδθσ Πολυτεχνικι Σχολι Τμιμα Μθχανικϊν Η/Υ & Πλθροφορικισ
Τεχνθτι Νοθμοςφνθ Ιωάννθσ Χατηθλυγεροφδθσ Πολυτεχνικι Σχολι Τμιμα Μθχανικϊν Η/Υ & Πλθροφορικισ Στρατθγικζσ Ελζγχου Επίλυςθσ Στρατθγικζσ Ελζγχου Επίλυςθσ (1) Η μθ ελεγχόμενθ χριςθ τθσ αρχισ τθσ επίλυςθσ
Δυναμικι Μθχανϊν I. Διάλεξθ 16. Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ
Δυναμικι Μθχανϊν I Διάλεξθ 16 Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινϊςεισ Office Hours: Δευτζρα 1-3 μμ, Εργαςτιριο Εμβιομθχανικισ, Ιςόγειο Κτθρίου Μ (210 772-1516) DMmeche2013@gmail.com
Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ
Πρόλογοσ το άρκρο αυτό κα δοφμε πωσ διαμορφϊνονται κάποιεσ ζννοιεσ όπωσ το εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων, οι ςυνκικεσ κακετότθτασ και παραλλθλίασ διανυςμάτων και ευκειϊν, ο ςυντελεςτισ διευκφνςεωσ διανφςματοσ
ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΙΟΣ Α.Μ
ΡΕΙΙ ΡΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΙΟΣ Α.Μ. 200801 ΔΙΡΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΓΑΣΙΑ ΕΡΙΒΛΕΡΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΑΡΤΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΘΗΝΑ,ΙΟΥΛΙΟΣ 2012 Η παροφςα Διπλωματικι Εργαςία εκπονικθκε ςτα πλαίςια των ςπουδϊν για τθν
Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων
Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Πίνακεσ Διζγερςησ των FF Όπωσ είδαμε κατά τθ μελζτθ των FF, οι χαρακτθριςτικοί πίνακεσ δίνουν τθν τιμι τθσ επόμενθσ κατάςταςθσ κάκε FF ωσ ςυνάρτθςθ τθσ παροφςασ
Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση
Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Η θεωρητική μελζτη που ακολουθεί πραγματοποιήθηκε με αφορμή την εργαςτηριακή άςκηςη μζτρηςησ του ςυντελεςτή θερμικήσ αγωγιμότητασ του αλουμινίου, ςτην οποία διαγωνίςτηκαν
Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 7 η : Σφνκετεσ Συναρτιςεισ Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου)
ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου) 19 Μαρτίου 011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Μια διάβαςθ πεηϊν ζχει άςπρεσ και μαφρεσ λωρίδεσ, πλάτουσ 50 cm. ε ζνα δρόμο θ διάβαςθ ξεκινά και τελειϊνει με άςπρεσ
ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
Στο εργαςτιριο αυτό κα δοφμε πωσ μποροφμε να προςομοιϊςουμε μια κίνθςθ χωρίσ τθ χριςθ εξειδικευμζνων εργαλείων, παρά μόνο μζςω ενόσ προγράμματοσ λογιςτικϊν φφλλων, όπωσ είναι το Calc και το Excel. Τα δφο
Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ. Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
ΗΜΥ : Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 9 ΗΜΥ-: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 9 Συνδυαστική Λογική: Ελαχιστοποίηση με τη μέθοδο Κατάταξης σε Πίνακα Διδάσκουσα: Μαρία Κ.
ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
1 ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ.ΣΙΡΚΑ 8 και ΑΝΣΤΠΑ 30100 ΑΓΡΙΝΙΟ Email: nakosk@sch.gr Σηλ 64105400 κι.69749695 ΜΕΓΙΣΑ-ΕΛΑΧΙΣΑ ΧΩΡΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σα
Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ
Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Για τθν ανάδειξθ του κζματοσ κα λφνουμε κάποια προβλιματα
Ειςαγωγι ςτθν Αςαφι Λογικι
Ειςαγωγι ςτθν Αςαφι Λογικι Matlab fuzzy logic toolbox Ειςαγωγικά Η αςαφισ λογικι μπορεί να κεωρθκεί ωσ μια επζκταςθ τθσ μακθματικισ λογικισ, όπου οι λογικζσ προτάςεισ δεν ζχουν απόλυτεσ τιμζσ αλικειασ
Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8
Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Κάκε μεταβλθτι ςχετίηεται με μία κζςθ ςτθν κφρια μνιμθ του υπολογιςτι. Κάκε κζςθ ςτθ μνιμθ ζχει τθ δικι τθσ ξεχωριςτι διεφκυνςθ. Με άμεςθ
Θ διαδικαςία κοςτολόγθςθσ εφρεςθσ του κόςτουσ παραγωγισ των προϊόντων χωρίηεται ςε διαφορετικζσ τεχνικζσ μεκόδουσ: Α) Την απορροφητική ή πλήρη κοςτολόγηςη Β) Την οριακή ή άμεςη κοςτολόγηςη Απορροφητική
ΥΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣ Η» ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΑ ΑΕΠΠ
ΥΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣ Η» ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΑ ΘΕΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΑΠΡΙΛΙΟ 2018 ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Γιώργος Πασσαλίδης ΑΕΠΠ ΟΝΟΜΑΣΕΠΩΝΤΜΟ: ΒΑΘΜΟ : ΘΕΜΑ Α Α1. Για κακεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ
ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν
ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν 1 υναρτιςεισ Περιςςοτζρων Μεταβλθτϊν Παράδειγμα.(E.F. Dbois S =επιφάνεια ςϊματοσ W =βάροσ ςϊματοσ H =φψοσ ςϊματοσ
Η γλώςςα προγραμματιςμού C
Η γλώςςα προγραμματιςμού C Οι εντολζσ επανάλθψθσ (while, do-while, for) Γενικά για τισ εντολζσ επανάλθψθσ Συχνά ςτο προγραμματιςμό είναι επικυμθτι θ πολλαπλι εκτζλεςθ μιασ ενότθτασ εντολϊν, είτε για ζνα
Αςκήςεισ. Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ
Αςκήςεισ Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ 1. Ζςτω το ςιμα τάςθσ V(t)=V dc +Asin(ωt) που βλζπουμε ςτο επόμενο ςχιμα. Να προςδιορίςετε το πλάτοσ Α και τθν dc ςυνιςτώςα κακώσ και να υπολογίςτε
ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10. Κεφάλαιο 2: Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα (Ελαχιστοποίηση με Κατάταξη σε Πίνακα) 1
ΗΜΥ : Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος ΗΜΥ-: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Συνδυαστική Λογική: Ελαχιστοποίηση με τη μέθοδο Κατάταξης σε Πίνακα Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Αλγοριθμική Ελαχιστοποίηση
Διαχείριςθ του φακζλου "public_html" ςτο ΠΣΔ
Διαχείριςθ του φακζλου "public_html" ςτο ΠΣΔ Οι παρακάτω οδθγίεσ αφοροφν το χριςτθ webdipe. Για διαφορετικό λογαριαςμό χρθςιμοποιιςτε κάκε φορά το αντίςτοιχο όνομα χριςτθ. = πατάμε αριςτερό κλικ ςτο Επιςκεφκείτε
Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο τησ Αριθμογραμμήσ
Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο τησ Αριθμογραμμήσ Αυτζσ οι οδθγίεσ ζχουν ςτόχο να βοθκιςουν τουσ εκπαιδευτικοφσ να καταςκευάςουν τισ δικζσ τουσ δραςτθριότθτεσ με το μοντζλο τθσ Αρικμογραμμισ.
Παραπάνω παρουςιάηεται ο πιο ςυνικθσ χωροκζτθςθ αρικμθτικϊν, λογικϊν κυκλωμάτων. Η μονάδα επεξεργαςίασ είναι θ λζξθ (λ.χ. 32-bit ςε επεξεργαςτζσ,
1 2 3 4 Παραπάνω παρουςιάηεται ο πιο ςυνικθσ χωροκζτθςθ αρικμθτικϊν, λογικϊν κυκλωμάτων. Η μονάδα επεξεργαςίασ είναι θ λζξθ (λ.χ. 32-bit ςε επεξεργαςτζσ, 8-bit ςε DSP) και αυτι κακορίηει και τθν δομι τθσ
Διαδικαςία Διαχείριςθσ Στθλϊν Βιβλίου Εςόδων - Εξόδων. (v.1.0.7)
Διαδικαςία Διαχείριςθσ Στθλϊν Βιβλίου Εςόδων - Εξόδων (v.1.0.7) 1 Περίληψη Το ςυγκεκριμζνο εγχειρίδιο δθμιουργικθκε για να βοθκιςει τθν κατανόθςθ τθσ διαδικαςίασ διαχείριςθσ ςτθλών βιβλίου Εςόδων - Εξόδων.
3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός
3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Ø Η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος που υλοποιεί µια συνάρτηση oole σχετίζεται άµεσα µε
Ιςοηυγιςμζνα δζντρα και Β- δζντρα. Δομζσ Δεδομζνων
Ιςοηυγιςμζνα δζντρα και Β- δζντρα Δομζσ Δεδομζνων Περιεχόμενα Ιςοηυγιςμζνα δζντρα Μζκοδοι ιςοηφγιςθσ δζντρων Μονι Περιςτροφι Διπλι Περιςτροφι Β - δζντρα Ιςοηυγιςμζνα δζντρα Η μορφι ενόσ δυαδικοφ δζντρου
Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Λουκάσ Βλάχοσ Τμιμα Φυςικισ Α.Π.Θ. Θεςςαλονίκθ, 2014 Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ
ΑΝΑΠΣΤΞΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 3 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ Ν. ΜΤΡΝΘ- ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΤΡΙΔΑΚΘ Λ.
Ερωτήςεισ Προβλήματα Α. Σημειώςτε δεξιά από κάθε πρόταςη το γράμμα Σ αν η πρόταςη είναι ςωςτή και το γράμμα Λ αν είναι λάθοσ. 1. Θ περατότθτα ενόσ αλγορίκμου αναφζρεται ςτο γεγονόσ ότι καταλιγει ςτθ λφςθ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ. Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal Παράγραφοσ 8.2 Βαςικοί τφποι δεδομζνων Σα δεδομζνα ενόσ προγράμματοσ μπορεί να: είναι αποκθκευμζνα εςωτερικά ςτθν μνιμθ είναι αποκθκευμζνα εξωτερικά
ΥΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣΗ» ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΘΕΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2018 ΑΕΠΠ
ΥΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣΗ» ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΘΕΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2018 ΘΕΜΑ Α ΑΕΠΠ Α1. Για κακεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ να χαρακτθρίςετε με ΣΩΣΤΟ ι ΛΑΘΟΣ 1. Η ζκφραςθ
Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα
Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα Τα ψθφιακά λογικά κυκλϊματα που μελετιςαμε μζχρι τϊρα ιταν ςυνδυαςτικά κυκλϊματα. Στα ςυνδυαςτικά κυκλϊματα οι ζξοδοι ςε κάκε χρονικι ςτιγμι εξαρτϊνται αποκλειςτικά και μόνο
Σχέσεις δύο μεταβλητών - Συναρτήσεις
Σέσεις δύο μεταβλητών - Συναρτήσεις. Από τι εξαρτάται; ΠΜΑ Βϋ Γυμναςίου Α. Αναγνωρίηουν ςυμμεταβαλλόμενα ποςά (μεταβλθτζσ) ςε ςυγκεκριμζνεσ καταςτάςεισ και διακρίνουν ποιο ποςό εξαρτάται από το άλλο. Α.
ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2008
ΗΜΥ : Λογικός Σχεδιασμός, Χειμερινό Εξάμηνο 8 Σεπτέμβριος 8 ΗΜΥ-: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 8 Συνδυαστική Λογική: Ελαχιστοποίηση με τη μέθοδο Κατάταξης σε Πίνακα Διδάσκουσα: Μαρία
343 Ειςαγωγι ςτον Προγραμματιςμό
343 Ειςαγωγι ςτον Προγραμματιςμό Σμιμα Μακθματικϊν Πανεπιςτιμιο Ιωαννίνων Ακαδθμαϊκό Ζτοσ 2018-2019 Χάρθσ Παπαδόπουλοσ 207δ, B όροφοσ e-mail: charis@cs.uoi.gr Ωρεσ Γραφείου: Σρίτθ 11-13 Ενότθτεσ 1-24 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Ελίνα Μακρή
Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Λογικι πρόταςθ: Με τον όρο λογικι πρόταςθ (ι απλά πρόταςθ) ςτα μακθματικά, εννοοφμε μια ζκφραςθ με πλιρεσ νόθμα που δζχεται τον χαρακτθριςμό ι μόνο αλθκισ ι μόνο ψευδισ. Παραδείγματα:
Αυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του
Αυτόνομοι Πράκτορες Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Jaohar Osman Η πρόταςθ εργαςίασ που ζκανα είναι το παρακάτω κείμενο : - ξ Aibo αγαπάει πάρα πξλύ ρα κόκαλα και πάμρα ρα
Δυαδικοσ πολλαπλαςιαςμοσ και διαιρεςη ακεραιων
Δυαδικοσ πολλαπλαςιαςμοσ και διαιρεςη ακεραιων Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Πολλαπλαςιαςμόσ μη προςημαςμζνων ακεραίων βρίςκουμε ζνα άκροιςμα το οποίο αποτελείται από μετατοπιςμζνα γινόμενα, τα οποία προζκυψαν
Γεωργικός Πειραματισμός ΙΙ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΑΔΩΝ Η ανάλυςθ ςυςτάδων κατανζμει ζνα ςφνολο μεταβλθτϊν ι παρατθριςεων ςε ςυγκεκριμζνεσ ομάδεσ οι οποίεσ διακζτουν κοινά χαρακτθριςτικά, ευκρινϊσ διαφοροποιθμζνα από εκείνα των άλλων ομάδων.
Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R
Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R Ενότητα 5 η : Η Μζθοδοσ Simplex Παρουςίαςη τησ μεθόδου Κων/νοσ Κουνετάσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ Νίκοσ Χατηθςταμοφλου, Υπ. Δρ. Οικονομικισ Επιςτιμθσ
MySchool Πρακτικζσ οδθγίεσ χριςθσ
MySchool Πρακτικζσ οδθγίεσ χριςθσ 1) Δθμιουργία τμθμάτων (ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ, Διαχείριςθ, Διαχείριςθ τμθμάτων) Το πρώτο που πρζπει να κάνουμε ςτο MySchool είναι να δθμιουργιςουμε τα τμιματα που υπάρχουν ςτο
δ) Αf=R-{ 2}=(-,-2)U(-2,2)U(2,+ ). f (x) f(x) ε) Αf=R- 3 =(-,- 3 )U(- 3, 3 )U( 3,+ ).
ΡΑΡΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τισ ςυναρτιςεισ: β) f ( ) α) f ( ) γ) f ( ) δ) Αf=R-{ }=(-,-)U(-,)U(,+ ) ( 4) ( 4) ( 4) fϋ()= ( 4) f ( ) δ) f ( ) ε)
ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ. Φιλιοποφλου Ειρινθ
ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ Φιλιοποφλου Ειρινθ Προςθήκη νζων πεδίων Ασ υποκζςουμε ότι μετά τθ δθμιουργία του πίνακα αντιλαμβανόμαςτε ότι ζχουμε ξεχάςει κάποια πεδία. Είναι ζνα πρόβλθμα το οποίο
3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole
3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3. Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα της αλγεβρικής της έκφρασης. Η αλγεβρική αναπαράσταση
Γεωργικός Πειραματισμός ΙΙ ΑΥΞΗΜΕΝΑ ΣΧΕΔΙΑ
ΑΥΞΗΜΕΝΑ ΣΧΕΔΙΑ Συχνά ςυμβαίνει ςτα πρϊτα ςτάδια ενόσ βελτιωτικοφ προγράμματοσ να μθν υπάρχει επαρκι ποςότθτα γενετικοφ υλικοφ των νζων ςειρϊν, γεγονόσ που δυςχεράνει τθν πραγματοποίθςθ πειραμάτων αξιολόγθςθσ
Συμπεριφορά Καταναλωτι
Συμπεριφορά Καταναλωτι Πώσ ςυμπεριφζρονται οι καταναλωτζσ; Παράδειγμα: Καταναλωτική δαπάνη, ΗΠΑ, 2001 Νοικοκυριά με ετήσιο εισόδημα $20,000-$29,999 Εισόδημα (μετά φόρων): $ 23,924 Συνολικές δαπάνες: $