Μελέτη συστήματος συμβολομετρικής ραδιομετρίας με δυνατότητα εστίασης σε άπειρη και πεπερασμένη απόσταση

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μελέτη συστήματος συμβολομετρικής ραδιομετρίας με δυνατότητα εστίασης σε άπειρη και πεπερασμένη απόσταση"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μελέτη συστήματος συμβολομετρικής ραδιομετρίας με δυνατότητα εστίασης σε άπειρη και πεπερασμένη απόσταση Διπλωματική εργασία του Κουφογιάννη Ιωάννη ΑΕΜ:5778 Ιούλιος 2009 Υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ Δ. Χρυσουλίδη

2

3 Μελέτη συστήματος συμβολομετρικής ραδιομετρίας με δυνατότητα εστίασης σε άπειρη και πεπερασμένη απόσταση Διπλωματική εργασία του Κουφογιάννη Ιωάννη ΑΕΜ:5778 Ιούλιος 2009 Υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ Δ. Χρυσουλίδη

4

5 Περιεχόμενα Πρόλογος...iii 1. Εισαγωγή στη συμβολομετρία...1 i. Ιστορική αναδρομή ii. iii. iv. Σύγχρονες εφαρμογές Επεκτάσεις Μια πρώτη μαθηματική προσέγγιση της συμβολομετρίας 2. Εστίαση σε σημείο εις άπειρο...5 i. Διανυσματική θεμελίωση ii. iii. iv. Μιγαδική ορατότητα Σύστημα συντεταγμένων Απεικόνιση πηγών σε ευθεία v. Απεικόνιση πηγών σε επίπεδη επιφάνεια εφαπτόμενη σε ουράνια σφαίρα vi. Απεικόνιση πηγών σε αυθαίρετη επίπεδη επιφάνεια 3. Εστίαση σε σημείο πεπερασμένης απόστασης...21 i. Διανυσματική θεμελίωση ii. iii. iv. Προσδιορισμός μεμονωμένης πηγής σε 2-D χώρο Προσδιορισμός μεμονωμένης πηγής σε 3-D χώρο Προσδιορισμός εκτεταμένης πηγής σε 3-D χώρο i

6 4. Απόκριση συστήματος σε περιβάλλον θορύβου.37 i. Στοιχεία διάταξης υπό προσομοίωση ii. iii. iv. Επίδραση του πλήθους των ανεξάρτητων δειγμάτων Επίδραση της σηματοθορυβικής σχέσης (SSSSSS) Επίδραση της γωνίας θθ που σχηματίζει ο στόχος ΤΤ v. Επίδραση του SSSSSS σε ίδιας μεγάλης τάξης μεγέθους απόσταση εστίασης RR FF και στόχου RR TT vi. vii. Επίδραση του SSSSSS σε ίδιας μικρής τάξης μεγέθους απόσταση εστίασης RR FF και στόχου RR TT Επίδραση του SSSSSS σε χαμηλής τάξης μεγέθους απόσταση εστίασης RR FF και υψηλής τάξης μεγέθους απόσταση στόχου RR TT Παράρτημα...51 i. Πρόταση 1 ii. Πρόταση 2 iii. Πρόταση 3 iv. Πρόταση 4 Βιβλιογραφία...59 ii

7 Πρόλογος Η παρούσα διπλωματική εργασία με τίτλο Μελέτη συστήματος συμβολομετρικής ραδιομετρίας με δυνατότητα εστίασης σε άπειρη και πεπερασμένη απόσταση αποτελεί προϊόν ενασχόλησης με τα επιστημονικά πεδία της τηλεπισκόπησης κατά τη διάρκεια του 10 ου εξαμήνου των προπτυχιακών σπουδών του τομέα Τηλεπικοινωνιών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΑΠΘ υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ Δημητρίου Χρυσουλίδη. Η εργασία έχει ως εφαλτήριο μια τεχνική που χρησιμοποιείται σε ραδιοαστρονομικές παρατηρήσεις με χρήση τεχνικών συμβολομετρίας σε συστήματα πολύ μεγάλης επίγειας απόστασης κεραιών λήψης (Very Long Baseline Interferometry - VLBI). Αποτελείται δε από 4 κεφάλαια, εκ των οποίων το κεφάλαιο 1 είναι εισαγωγικό. Έπεται το κεφάλαιο 2 όπου αναλύεται μαθηματικά η λειτουργία αυτής της τεχνικής, περιγράφονται τα εμπόδια που περιορίζουν την ακρίβεια της τεχνικής αυτής όταν δεν υπάρχει πλήρης ελευθερία μετακίνησης των κεραιών λήψης και εισάγεται ένα μοντέλο για παρατηρήσεις ηλεκτρομαγνητικών πηγών με μικροκυματικές κεραίες μικρών διαστάσεων που παρέχουν ευκολία μετακίνησης και περιστροφής. Με αυτόν τρόπο γίνεται εκμετάλλευση πολλών χαρακτηριστικών της συμβολομετρίας που τα VLBI συστήματα αδυνατούν να πετύχουν λόγω των περιορισμών στις θέσεις μετακίνησης και γωνίες περιστροφής που μπορούν να πετύχουν οι παραβολικές κεραίες τους με τους ανακλαστήρες 12m. Στο τέλος του κεφαλαίου 2 έχει θεμελιωθεί η μεθοδολογία, έχουν προταθεί τρόποι υλοποίησης της, έχει μελετηθεί η διακριτική ικανότητα που επιτυγχάνεται και έχουν προσδιοριστεί οι σχέσεις μετασχηματισμού και απεικόνισης των πηγών σε αυθαίρετη ευθεία για το διδιάστατο πρόβλημα και σε αυθαίρετο επίπεδο για το τρισδιάστατο πρόβλημα. Στη συνέχεια, στο κεφάλαιο 3, εντοπίζεται μια αδυναμία λειτουργίας του συστήματος συμβολομετρίας όταν η απόσταση των πηγών δεν μπορεί να θεωρηθεί άπειρη. Για να ξεπεραστεί αυτή η αδυναμία προτείνεται ένα σύστημα συμβολομετρίας, όπου οι 2 κεραίες δε θα είναι προσανατολισμένες παράλληλα, αλλά οι διευθύνσεις των κύριων λοβών τους θα τέμνονται σε ένα σημείο εστίασης FF. Η ανάλυση που ακολουθεί κινείται στη φιλοσοφία του κεφαλαίου 2 και τελικά παρουσιάζονται μέθοδοι για τον προσδιορισμό μεμονωμένης πηγής στο επίπεδο και στο χώρο και γίνεται προσπάθεια προσδιορισμού κατανεμημένης πηγής στο χώρο. Στα αποτελέσματα αυτά μπορούν και πάλι να εφαρμοστούν οι σχέσεις μετασχηματισμού που προτάθηκαν στο κεφάλαιο 2 για την απεικόνιση των πηγών στα επιθυμητά χωρία. Ωστόσο αφήνει και μια πρόκληση ανοιχτή μιας και στα πλαίσια αυτής της εργασίας δεν κατέστη δυνατό να δοθεί λύση σε μια πτυχή του προβλήματος που εξετάστηκε. Στο κεφάλαιο 4 εξετάζεται η ανοχή του συστήματος που προτάθηκε στο θόρυβο μέσω προσομοιώσεων. Οι προσομοιώσεις και η παρουσίαση των αποτελεσμάτων έχουν ως στόχο να καταδείξουν την επίδραση που έχει ο θόρυβος σε κάθε παράμετρο της συμβολομετρικής διάταξης. iii

8 Η εργασία ολοκληρώνεται με ένα παράρτημα όπου παρατίθενται κάποιες προτάσεις που αποδείχτηκαν και είναι απαραίτητες στη συλλογιστική πορεία των μαθηματικών προσεγγίσεων των προβλημάτων που αναλύονται. Σαν ιστορική αναδρομή, η αρχική ιδέα της διπλωματικής ήταν λίγο διαφορετική από το τελικό αποτέλεσμα που παρουσιάζεται. Αυτή αφορούσε την κατανόηση της τεχνικής των τεχνικών της ραδιοαστρονομικής συμβολομετρίας και την κατασκευή μιας διάταξης που θα εφάρμοζε αυτές τις τεχνικές σε αποστάσεις ακόμη και κλειστού δωματίου αν ήταν δυνατόν. Σύντομα όμως φάνηκε η αδυναμία των μεθόδων αυτών σε περιβάλλοντα πεπερασμένων αποστάσεων πηγής κεραίας και έτσι δόθηκαν εναύσματα για μια πιο θεωρητική προσέγγιση του ζητήματος με στόχο την εξαγωγή μοντέλων και μεθοδολογιών που αντιμετωπίζουν την αδυναμία της προσέγγισης της άπειρης απόστασης. Τελικά, η κατασκευή της προτεινόμενης διάταξης δεν απαιτεί πολύπλοκα μικροκυματικά στοιχεία και μπορεί να κατασκευαστεί στα πλαίσια των δυνατοτήτων του τμήματος. Όσον αφορά το μη επιστημονικό κομμάτι, η διπλωματική αυτή αποτελεί το τελευταίο τμήμα των προπτυχιακών σπουδών στο ΤΗΜΜΥ και αναπόφευκτα κατά τη συγγραφή του προλόγου έρχονται στο νου πρόσωπα, σκέψεις, εμπειρίες, καταστάσεις που σημάδεψαν τα 5 αυτά χρόνια των σπουδών. Γνώρισα ανθρώπους που με εντυπωσίασαν και με ενέπνευσαν με τα λεγόμενά τους, με τις συμβουλές τους, με το χαρακτήρα τους. Γνώρισα συμφοιτητές μου που μαζί οργανώσαμε και πετύχαμε πολλά σε πληθώρα τομέων όλα αυτά τα χρόνια της φοιτητικής σταδιοδρομίας. Χωρίς αυτή τη σύνθεση ανθρώπινου δυναμικού οι σπουδές στο ΤΗΜΜΥ θα ήταν αρκετά πιο περιορισμένες. Κλείνοντας, θα ήθελα να αποφύγω τις προσωπικές ευχαριστίες. Είναι τόσοι αυτοί που συνέβαλαν τα τελευταία χρόνια στις προσπάθειές μου, άλλοι περισσότερο και άλλοι λιγότερο, και νομίζω είναι αρκετά άδικο αν παραλείψω να αναφέρω κάποιους σε αυτόν τον πρόλογο. Σίγουρα, αυτοί που συνέβαλαν τα μέγιστα, μικρότεροι ή μεγαλύτεροι ηλικιακά, γνωρίζουν ήδη την εκτίμηση που τους τρέφω και αντιλαμβάνονται ότι αναφέρομαι σε αυτούς διαβάζοντας αυτές τις προτάσεις. Ωστόσο, 4 μέλη ΔΕΠ νομίζω πρέπει να αναφερθούν προσωπικά για την επιρροή που είχαν στη διαμόρφωση της προσωπικότητας ενός φοιτητή τους, ο κ Γιούλτσης, ο κ Κριεζής, ο κ Τσιμπούκης και τέλος ο επιβλέπων της διπλωματικής μου κ Χρυσουλίδης, τους οποίους και από αυτό εδώ το σημείο ευχαριστώ θερμά. Εύχομαι και στο μέλλον να γνωρίσω εξίσου αξιόλογους ανθρώπους αλλά σίγουρα να μην χάσω την επαφή με αυτούς τους οποίους ήδη έχω γνωρίσει. Ιωάννης Κουφογιάννης Ιούλιος 2009 iv

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στη συμβολομετρία H συμβολομετρία είναι μια μεθοδολογία σύμφωνα με την οποία εγκαθίστανται 2 (ή και περισσότερα) συστήματα λήψης της ακτινοβολίας (κεραίες ή οπτικοί αισθητήρες ανάλογα με την περιοχή και τη συχνότητα εφαρμογής) καθένα από τα οποία λαμβάνει σήμα από την ίδια πηγή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Η διαφορά μεταξύ των σημάτων που φτάνουν στα 2 (ή περισσότερα) συστήματα λήψης έγκειται στη διαφορετική διαδρομή όδευσης του σήματος από την πηγή προς το σύστημα λήψης, γεγονός που συνεπάγεται και μια αντίστοιχη χρονική καθυστέρηση στη λήψη του σήματος από το ένα στοιχείο του συστήματος λήψης σε σχέση με το άλλο. Η ευρεία χρησιμοποίηση συμβολομετρικών μεθόδων στηρίζεται στο γεγονός της πολύ υψηλής ευαισθησίας και συνεπώς ακρίβειας μετρήσεων και διακριτικής ικανότητας τέτοιων διατάξεων. Τα πολύ θετικά αυτά χαρακτηριστικά οφείλονται στο γεγονός ότι στην ουσία κάθε συμβολομετρική διάταξη μετράει διαφορά φάσης μεταξύ των 2 λαμβανόμενων σημάτων, γεγονός που επιτρέπει τον προσδιορισμό ακόμη και πολύ μικρών μεταβολών των χαρακτηριστικών των πηγών. Ιστορική αναδρομή Η συμβολή μηχανικών ή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι ένα φαινόμενο το οποίο παρατηρείται πολύ συχνά στη φύση και διδάσκεται και στο σχολείο. Η αξιοποίησή του όμως για μετρήσεις ξεκίνησε από την περιοχή της οπτικής με το οπτικό συμβολόμετρο του Michelson το 1890, όπου με κατάλληλη διάταξη χώριζε τη φωτεινή δέσμη σε 2 διαφορετικές, εκ των οποίων η 2 η ακολουθούσε διαφορετική διαδρομή σε μήκος από την 1 η με δυνατότητα μεταβολής του μήκους της διαδρομής αυτής πριν συμβάλουν ξανά σε μία ενιαία δέσμη. Ο ίδιος ο Michelson πρότεινε το 1920 την εφαρμογή των συμβολομετρικών μεθόδων σε ραδιομετρικές μετρήσεις, οπότε έγινε η μετάβαση από την οπτική συμβολομετρία στη ραδιο-συμβολομετρία. Στις ραδιομετρικές διατάξεις η διαφορετική διαδρομή επιτυγχανόταν με την τοποθέτηση της 2 ης κεραίας λήψης σε διαφορετική θέση από την 1 η, μιας και η μεταβολή της πορείας της μικροκυματικές δέσμης δεν είναι τόσο εύκολη όσο στις οπτικές συχνότητες όπου με απλά κάτοπτρα επιτυγχάνεται η εκτροπή της. Συνεχιστές της μικροκυματικής συμβολομετρίας ήταν οι Ryle και Vonberg που το 1946 εκτέλεσαν ραδιοαστρονομικές μετρήσεις με μεθόδους συμβολομετρίας. Τεχνικές και μέθοδοι συνέχισαν να εξελίσσονται τα επόμενα χρόνια μέχρι το 1967 οπότε ολοκληρώνονται οι πρώτες μετρήσεις με διατάξεις πολύ μεγάλης επίγειας απόστασης κεραιών λήψης (Very Long Baseline Interferometry - VLBI). 1

10 Σύγχρονες εφαρμογές Το γεγονός ότι τα στοιχεία του συστήματος λήψης στις διατάξεις VLBI απέχουν πολύ το ένα από το άλλο επιτρέπουν πολύ αυξημένη διακριτική ικανότητα. Τα συστήματα αυτά χρησιμοποιούνται ακόμη και σήμερα για ραδιοαστρονομικούς σκοπούς, όπως για παράδειγμα τον όσο το δυνατόν ακριβέστερο προσδιορισμό της θέσης ουράνιων σωμάτων που ακτινοβολούν, ή ακόμη και τον εντοπισμό των πηγών που βρίσκονται στο απώτερο διάστημα και φαίνονται σαν μια ενιαία πηγή όταν παρατηρούνται με τα τηλεσκόπια στις οπτικές συχνότητες. Πολλά συστήματα VLBI εγκαταστάθηκαν από αστεροσκοπεία και οργανισμούς ανά τον κόσμο με τελευταία και πιο σύγχρονα τα Submillimeter Array of the Smithsonian Astrophysical Observatory and Academia Sinica of Taiwan στη Χαβάη το 2001 (Εικόνα 1.1) και το Atacama Large Millimeter Array (ALMA) το οποίο βρίσκεται αυτή τη στιγμή υπό κατασκευή στην ομώνυμη έρημο στη Χιλή και θα αποτελείται από 66 παραβολικά κάτοπτρα διαμέτρου 12m έκαστο (Εικόνα 1.2). Οι διατάξεις VLBI έχουν τόσο μεγάλη διακριτική ικανότητα που αν γνωρίζουν ακριβώς τη θέση μιας συγκεκριμένης πηγής στον ουράνιο θόλο, μπορούν να εντοπίσουν ακόμη και μεταβολές της τάξης του 1cm μεταξύ της θέσης των κεραιών τους λόγω της μετακίνησης των τεκτονικών πλακών. Εικόνα 1.1* Εικόνα 1.2* Ωστόσο, μεγάλο μειονέκτημα των VLBI είναι η αδυναμία μετακίνησης των κεραιών τους σε όλους τους δυνατούς βαθμούς ελευθερίας λόγω του όγκου τους. Συνήθως μπορούν να μετακινούνται σε ορισμένες κατευθύνσεις πάνω στην επιφάνεια του εδάφους με τη βοήθεια ραγών αλλά αρκετά περιορισμένα. Όπως επίσης και στον κατακόρυφο άξονα είναι σχεδόν αδύνατη η μετακίνησή τους. Αντίθετα, λόγω του γεγονότος ότι παρατηρούν για μεγάλα χρονικά διαστήματα τη σκηνή των πηγών, εκμεταλλεύονται την περιστροφή και περιφορά της γης ώστε να παρατηρούν την ίδια σκηνή από διαφορετικές θέσεις. Επεκτάσεις Λόγω της αδυναμίας μετακίνησης των κεραιών του συμβολομέτρου σε όλους τους δυνατούς βαθμούς ελευθερίας λόγω του όγκου των κεραιών, έγινε η σκέψη στην παρούσα εργασία να αντικατασταθούν οι ογκώδεις παραβολικές κεραίες από μικρές μικροκυματικές κεραίες, ενδεικτικά χοανοκεραίες, και αντίστοιχα να αναλυθεί μια διάταξη στην οποία η σκηνή των πηγών δε θα βρίσκεται στο απώτερο διάστημα αλλά σε πεπερασμένη απόσταση. Με τη χρησιμοποίηση μικρών σε διαστάσεις κεραιών είναι δυνατή η τοποθέτησή τους σε * Οι εικόνες 1.1 και 1.2 λήφθηκαν από τις αντίστοιχες επίσημες ιστοσελίδες των οργανισμών που διαχειρίζονται αυτά τα συμβολομετρικά ραδιοτηλεσκόπια. 2

11 οποιαδήποτε θέση του τρισδιάστατου χώρου, ακόμη και αρκετά μήκη κύματος μακριά από την αρχική τους θέση, όπως επίσης και η στόχευση τους ώστε ο κύριος λοβός τους να κατευθύνεται προς οποιαδήποτε διεύθυνση στο χώρο επιλέξουμε εμείς. Συνεπώς, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τα πλεονεκτήματα των συμβολομετρικών διατάξεων χωρίς το εμπόδιο της δυσκολίας μετακίνησης των κεραιών. Όμως, σαν αντιστάθμισμα, μιας και οι κεραίες που επιλέγουμε να χρησιμοποιήσουμε έχουν αρκετά μικρότερο κέρδος από αυτές των VLBI εφαρμογών, περιοριζόμαστε στον εντοπισμό και προσδιορισμό πηγών που είναι πιο κοντά στις κεραίες και πιο ισχυρές σε ένταση σε σχέση με το επίπεδο του περιβάλλοντος θορύβου. Συγκεκριμένα, προτείνονται και αναλύονται 2 διατάξεις. Η 1 η αφορά πηγές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας σε σχετικά μεγάλη απόσταση, όπου παράλληλοι κύριοι λοβοί του συμβολομετρικού συστήματος θεωρείται ότι εστιάζουν στο ίδιο σημείο (Κεφάλαιο 2). Αντίθετα, η 2 η διάταξη αφορά ανάλυση πηγών που βρίσκονται σε εγγύτερες αποστάσεις προς τη συμβολομετρική διάταξη και συνεπώς οι κύριοι λοβοί των κεραιών του συστήματος θα πρέπει να σχηματίζουν γωνία μεταξύ τους προκειμένου να εστιάσουν πάνω στην ίδια σημειακή πηγή (Κεφάλαιο 3). Ας σημειωθεί ότι και στις 2 περιπτώσεις η ανάλυση περιορίζεται σε συμβολομετρική διάταξη που χρησιμοποιεί ένα ζεύγος κεραιών, χωρίς όμως να αποκλείεται και η γενίκευσή της σε συστήματα περισσότερων των 2 κεραιών. Μια πρώτη μαθηματική προσέγγιση της συμβολομετρίας Έστω μια σκηνή με πηγές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας και μια κεραία η οποία στοχεύει προς εκείνη την κατεύθυνση. Οι πηγές τις σκηνής θεωρούμε ότι μπορούν να παρασταθούν από πολλές στοιχειώδεις σημειακές πηγές ασυσχέτιστες μεταξύ τους χωρίς βλάβη της γενικότητας. Κάθε τέτοια πηγή χαρακτηρίζεται από την έντασή της II που εκφράζει ακτινοβολούμενη ισχύ ανά μονάδα επιφανείας, ανά μονάδα φασματικής συχνότητας και ανά στερακτίνιο, δηλαδή WWmm 2 HHHH 1 ssss 1, όπως φαίνεται στη σχέση (1.2), ενώ όταν πρόκειται για διακριτή κατανομή πηγών έχει μονάδες WWHHHH 1 σε συμφωνία με τη σχέση (1.1). Σχετικά με την κεραία, αυτή θα έχει ένα διάγραμμα ακτινοβολίας ΑΑ(θθ, φφ), οπότε πηγές από διαφορετικές κατευθύνσεις αθροίζονται με διαφορετικό βάρος-ανάλογο του διαγράμματος ακτινοβολίας. Η άθροιση στην περίπτωση διακριτών πηγών ή η ολοκλήρωση στην περίπτωση συνεχών πηγών αποκρύπτει πληροφορία για την κατανομή των στόχων, αφού ολόκληρη η σκηνή με τους Ν πεπερασμένους στόχους ή με την κατανομή πηγών αντιστοιχίζεται σε ένα νούμερο, την έξοδο της κεραίας λήψης, ή διαφορετικά την συνολική ισχύ που λαμβάνει η κεραία από τη σκηνή στην οποία στοχεύει. NN PP δδδδδδδδδδδδδδδδδδ ππππππππππ = ΑΑ(θθ, φφ)ii(θθ, φφ) ii=1 (1.1) ή 2ππ ππ PP σσσσσσσσσσσσσσσσ κκκκκκκκκκκκκκκκκκ ππππππππππ = ΑΑ(θθ, φφ)ii(θθ, φφ)ρρ 2 dddddddd (1.2) θθ=0 φφ=0 3

12 Βελτίωση της διακριτικής ικανότητας των πηγών της σκηνής μπορεί να επιτευχθεί με χρησιμοποίηση περισσότερο κατευθυντικής κεραίας ώστε να λαμβάνεται ισχύς από περισσότερο περιορισμένο άνοιγμα στερεάς γωνίας όπως φαίνεται στο σχήμα 1.2 συγκρινόμενο με το σχήμα 1.1, χωρίς να μπορεί να επιτευχθεί περαιτέρω εξαγωγή πληροφορίας από το σήμα εξόδου της κεραίας αυτής*. Σχήμα 1.1 Σχήμα 1.2 Αντίθετα, αν αντί για μία κεραία χρησιμοποιηθούν 2 κεραίες οι οποίες στοχεύουν κατάλληλα στη σκηνή των πηγών τότε με συμβολομετρική ανάλυση η έξοδος των 2 κεραιών ύστερα από κατάλληλη επεξεργασία μπορεί να αποδώσει πολύ περισσότερες πληροφορίες για την κατανομή των πηγών στην περιοχή της σκηνής που εστιάζουν οι κεραίες. Διαισθητικά, μετακινώντας τις θέσεις των κεραιών σε μικρές μεταξύ τους αποστάσεις, το ραδιομετρικό αυτό σύστημα αντιλαμβάνεται τις πηγές της σκηνής με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο κάθε φορά, ανάλογα με τη σχετική θέση των κεραιών μεταξύ τους αλλά και ως προς τη σκηνή. Οι έξοδοι από τις διαφορετικές αυτές θέσεις δεν είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους, αντιθέτως η συσχέτιση που παρουσιάζουν αντικατοπτρίζει την πληροφορία από την κατανομή των πηγών στον χώρο της σκηνής. Πρέπει συνεπώς πρώτα να προσδιοριστεί με ποιον τρόπο σχετίζονται τα σήματα στη λήψη των 2 κεραιών και στη συνέχεια να μοντελοποιηθεί ο τρόπος με τον οποίο εξάγεται η περαιτέρω πληροφορία των στόχων της σκηνής. * Βελτίωση της αναλυτικότητας του συστήματος μιας κεραίας επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τεχνικές SAR, όπου η κεραία λήψης μετακινείται και συσχετίζονται δεδομένα από διαφορετικές θέσεις της μοναδικής αυτής κεραίας λήψης. Στην ουσία με αυτόν τρόπο προσομοιώνεται η λειτουργία μιας 2 ης κεραίας στη νέα θέση στην οποία έχει μετακινηθεί η μοναδική κεραία ώστε να καταλήγει και αυτό το σύστημα σε ένα είδος συμβολομετρίας. 4

13 Κεφάλαιο 2 Εστίαση σε σημείο εις άπειρο Έστω 2 κεραίες #1 και #2 οι οποίες στοχεύουν παράλληλα και εστιάζουν στην ίδια ημιτονική πηγή συχνότητας vv η οποία βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από τις κεραίες. Θεωρείται λόγω της μεγάλης απόστασης της πηγής από τις κεραίες, ότι σε κάθε κεραία προσπίπτει επίπεδο κύμα. Αν η κεραία #1 λαμβάνει σήμα της μορφής ssssss2ππvvvv, τότε η κεραία #2 θα λαμβάνει σήμα ssssnn2ππvv tt ττ gg, όπου ττ gg είναι η επιπλέον χρονική καθυστέρηση για να φτάσει το επίπεδο κύμα στην κεραία #2. DDDDDDDDθθ θθ DDDDDDDDθθ DD #2 Σχήμα 2.1 #1 Σε επίπεδες γεωμετρίες όπως του σχήματος 2.1 ισχύει : ττ gg = DD ssssssss (2.1) cc Πολλαπλασιάζοντας τις εξόδους των κεραιών #1 και #2, προκύπτει ο παράγοντας συμβολής FF ως εξής: FF = ssssss(2ππvvvv)ssssss2ππvv tt ττ gg = = cccccc 2ππvvττ gg cccccc(4ππvvvv)cccccc 2ππvvττ gg ssssss(4ππvvvv)ssssss 2ππvvττ gg 2 (2.2) 5

14 Παρατηρούμε ότι εμφανίζεται ένας DC όρος, ο cccccc 2ππvvττ gg, και άλλοι 2 όροι, οι cccccc(4ππvvvv)cccccc 2ππvvττ gg και ssssss(4ππvvvv)ssssss 2ππvvττ gg που έχουν συχνότητα 2-πλάσια της συχνότητας της πηγής. Αν το αποτέλεσμα της μίξης του σήματος των 2 κεραιών διέλθει από ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, τότε θα παραμείνει μόνο ο DC όρος, δηλαδή: FF = 1 2 cccccc 2ππvvττ gg (2.3) Επειδή οι εναλλασσόμενοι όροι έχουν συχνότητα πολύ υψηλή, το χαμηλοπερατό φίλτρο δεν απαιτείται να είναι πολύ υψηλής τάξης, ώστε να είναι αρκετά οξύ, μειώνοντας έτσι την πολυπλοκότητά του. Ας σημειωθεί όμως ότι όσο πιο ευρεία είναι η ζώνη διέλευσης συχνοτήτων γύρω από την συνεχή συνιστώσα, τόσο υψηλότερη ισχύς θορύβου θα εισέρχεται στο σύστημα. Συνεπώς απαιτείται κάποιος συμβιβασμός. Στην περίπτωση που πριν τη μίξη των εξόδων των 2 κεραιών ολισθήσουμε κατά ππ/2 την έξοδο της κεραίας #2, προκύπτει με ανάλογη σκέψη ο παράγοντας συμβολής FF : FF = ssssss(2ππvvvv)ssssss 2ππvv tt ττ gg + ππ 2 = ssssss(2ππvvvv)cccccc2ππvv tt ττ gg = = 1 2 ssssss 4ππvvvv 2ππvvττ gg + ssssss 2ππvvττ gg LLLLLL FF = 1 2 ssssss 2ππvvττ gg (2.4) Διανυσματική θεμελίωση Έστω ss η κατεύθυνση όπου στοχεύουν οι παράλληλα τοποθετημένες κεραίες #1 και #2 και ΒΒ είναι το διάνυσμα θέσης από την κεραία #1 στην κεραία #2. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται το σύστημα των 2 κεραιών που στοχεύει με παράλληλες ddωω dddd σσ FF ss ss FF #2 ΒΒ #1 Σχήμα 2.2 6

15 δέσμες καθώς επίσης και μια κατανομή πηγών στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας. Το επ άπειρον σημείο στο οποίο εστιάζουν οι 2 παράλληλες δέσμες από τις κεραίες #1 και #2 είναι στη διεύθυνση του διανύσματος ss FF. Επιπλέον, το διάνυσμα σσ έχει αρχή το σημείο της ουράνιας σφαίρας που βρίσκεται στην διεύθυνση του ss FF και πέρας τη θέση μιας στοιχειώδους επιφανειακής ηλεκτρομαγνητικής πηγής ΙΙ(σσ )ddωω. Επειδή καμιά κεραία δεν είναι απολύτως μονοκατευθυντική, ισχύς λαμβάνεται και από άλλες κατευθύνσεις εκτός της ss FF, κλιμακωμένη βέβαια λόγω του διαγράμματος ακτινοβολίας της κεραίας λήψης. Έστω μια τέτοια κατεύθυνση ότι είναι αυτή του διανύσματος ss και έστω ένα στοιχειώδες άνοιγμα της στερεάς γωνίας περί αυτή την κατεύθυνση dddd. Αν στην στοιχειώδη επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας ddss που ορίζει η στοιχειώδης στερεά γωνία dddd υπάρχουν πηγές ΙΙ(σσ ), τότε η στοιχειώδης ισχύς που λαμβάνει η κάθε κεραία από αυτή την κατεύθυνση ss είναι: ddpp = AA(σσ )II(σσ )ddωω (2.5) Τέλος, στην έξοδο των κεραιών τοποθετείται ζωνοδιαβατό φίλτρο αρκετά στενής ζώνης συχνοτήτων ΔΔΔΔ στην περιοχή λειτουργίας της κάθε κεραίας. Μπορεί να θεωρηθεί ότι σε αυτό το στενό φασματικό εύρος η ένταση ακτινοβολίας ΙΙ είναι σταθερή και αφού έχει οριστεί για μοναδιαίο φασματικό εύρος, τότε η στοιχειώδης ισχύς λήψης μπορεί να πάρει τη μορφή: ddpp = AA(σσ )II(σσ )ΔΔΔΔΔΔΩΩ (2.6) Στη συνέχεια γίνεται μια προσπάθεια να εκφραστεί ο παράγοντας συμβολής FF που εξηγήθηκε παραπάνω με βάση τη γεωμετρία του σχήματος 2.2. Θεωρείται ότι οι κεραίες λήψης βρίσκονται στο πεδίο ακτινοβολίας των πηγών ΙΙ, οπότε το κύμα που προσπίπτει σε αυτές είναι επίπεδο. Ισχύει ανάλογα με την (2.1): ττ gg = BB ss cc (2.7) με το ( ) να εισάγεται ακολουθώντας τη σύμβαση ότι στις χρονικές διαφορές και στις διαφορές διαδρομής αφαιρούνται τα χαρακτηριστικά της κεραίας #1 από αυτά της #2. Οπότε η (2.3) μπορεί να γραφεί ως: FF = 1 2 cccccc 2ππvvττ gg = 1 2 cccccc 2ππ cc BB ss λλ cc = 1 2 cccccc 2ππ BB ss (2.8) λλ Όμως από τη γεωμετρία του σχήματος 2.2 προκύπτει: και η (2.8) με τη βοήθεια της (2.9) γίνεται: ss = ss FF + σσ (2.9) FF = 1 2 cccccc 2ππ BB λλ (ss FF + σσ ) (2.10) Συνεπώς, η ισχύς λήψης μετά την μίξη των 2 σημάτων αναλογικά με την (2.6) και με ολοκλήρωση σε όλο τον χώρο παίρνει τη μορφή: 7

16 PP = AA(σσ )II(σσ )FFFFFFFFΩΩ 4ππ (2.11) Με εντελώς ανάλογο τρόπο από τις σχέσεις (2.4) και (2.7) προκύπτει και ο εκ του ολισθημένου κατά ππ 2 σήματος παράγοντας συμβολής FF : FF = 1 2 ssssss 2ππvvττ gg = 1 2 ssssss 2ππ BB λλ (ss FF + σσ ) (2.12) Δεδομένου ότι η πηγή II(σσ ) μπορεί να έχει τυχαία πόλωση και οι κεραίες λήψης μπορούν να λάβουν μόνο τη μία από τις 2 ορθογώνιες πολώσεις, κατά μέσο χρονικά όρο, οπότε η ισχύς λήψης της σχέσης (2.11) είναι στην ουσία η μισή της συνολικής, ή διαφορετικά, η ένταση της πηγής φαίνεται σαν η μισή της πραγματικής. Για το λόγο αυτό, μπορεί να απορροφηθεί ο παράγοντας 1 2 από τις εκφράσεις των FF και FF και να ενσωματωθεί στην ένταση της πηγής II. Συνεπώς, δε θα εμφανίζεται στις επόμενες σχέσεις ο παράγοντας 1 2 των σχέσεων (2.10) και (2.12). Μιγαδική ορατότητα Η σχηματική υλοποίηση του συστήματος επεξεργασίας των λαμβανόμενων σημάτων φαίνεται στο σχήμα 2.3. Συνοπτικά, οι έξοδοι των 2 κεραιών διέρχονται από ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο και στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται τη μια φορά αυτούσιες ώστε να προκύψει η έξοδος rr 1 και την άλλη φορά η έξοδος της κεραίας #1 με την ολισθημένη έξοδο της κεραίας #2 ώστε να προκύψει ο η έξοδος rr 2. Ας σημειωθεί ότι η έξοδος των μικτών #1 #2 HH 1 HH 2 Ολισθητής φάσης ππ 2 ΜΜ 1 ΜΜ 2 rr 2 rr 1 Σχήμα 2.3 8

17 ολοκληρώνεται σε μια σταθερά χρόνου ώστε να ληφθεί ο μέσος όρος της τιμής των εξόδων rr 1 και rr 2, δηλαδή ο DC όρος τους λειτουργώντας ως χαμηλοπερατά φίλτρα. Το Σχήμα 2.3 αποτελεί στην ουσία την υλοποίηση ενός complex correlator που ως εξόδους δίνει τα σήματα rr 1 και rr 2. Τα φίλτρα ΗΗ 1 και ΗΗ 2 είναι στενά ζωνοδιαβατά φίλτρα στην περιοχή λειτουργίας των κεραιών #1 και #2 με προσεγγιστικά επίπεδη απόκριση σε αυτό το στενό εύρος συχνοτήτων ΔΔvv. Στη συνέχεια επιχειρείται να εφαρμοστεί η παραπάνω θεώρηση στη γεωμετρία του σχήματος 2.2. Έστω λοιπόν ότι η θέση της κεραίας #2 βρίσκεται στο πέρας του διανύσματος BB σε σχέση με την κεραία #1. Επιπλέον, και οι 2 κεραίες στοχεύουν παράλληλα προς τη διεύθυνση του διανύσματος ss FF. Αν υποθέσουμε ότι οι πηγές ΙΙ(σσ ) της σκηνής είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες, τότε αθροίζοντας ολοκληρωτικά όλες τις πηγές της σκηνής με βάση την σχέση (2.11) μπορούν να γραφούν οι έξοδοι rr 1 και rr 2 με τον ακόλουθο τρόπο: rr 1 BB, ss FF = ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )FF 4ππ ΔΔvvvvΩΩ = ΔΔvv = ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB λλ ss FF 4ππ 4ππ ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )cccccc 2ππ BB λλ (ss FF + σσ ) ddωω = ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )cccccc 2ππ BB σσ ddωω λλ ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB λλ ss FF 4ππ ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )ssssss 2ππ BB σσ ddωω λλ (2.13) rr 2 BB, ss FF = ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )FF ΔΔvvvvΩΩ = ΔΔvv 4ππ 4ππ = ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB λλ ss FF 4ππ ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )ssssss 2ππ BB λλ (ss FF + σσ ) ddωω = ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )cccccc 2ππ BB σσ ddωω λλ ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB λλ ss FF 4ππ ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )ssssss 2ππ BB σσ ddωω λλ (2.14) Σε αυτό το σημείο μπορεί να οριστεί* η μιγαδική ορατότητα VV ως εξής: VV = VV ee jj φφ vv 4ππ ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )ee jj 2ππ λλ ΒΒ σσ ddωω (2.15) Όπως επίσης μπορεί να οριστεί* και η τροποποιημένη μιγαδική ορατότητα VV mmmmmm ως εξής: VV mmmmmm VVee jj 2ππ λλ BB ss FF = ee jj 2ππ λλ BB ss FF 4ππ ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )ee jj 2ππ λλ ΒΒ σσ ddωω (2.16) * Η μιγαδική ορατότητα VV και η τροποποιημένη μιγαδική ορατότητα VV mmmmmm δεν είναι αυθαίρετα μεγέθη. Στη πραγματικότητα σχετίζονται με την αυτοσυσχέτιση μεταξύ των 2 διαφορετικών σημάτων λαμβανομένων στις κεραίες #1 και #2 που έχουν την ίδια κοινή πηγή σε άπειρη απόσταση, όπως αποδεικνύεται στην Πρόταση 1 του παραρτήματος. 9

18 Οπότε από τη (2.15) προκύπτουν: και ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )cccccc 2ππ λλ ΒΒ σσ ddωω = VV ccccccφφ vv (2.17) 4ππ 4ππ ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )ssssss 2ππ λλ ΒΒ σσ ddωω = VV ssssssφφ vv (2.18) Αντικαθιστώντας τις (2.17) και (2.18) στις (2.13) και (2.14) μπορούμε να καταλήξουμε στα ακόλουθα: rr 1 BB, ss FF = ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB λλ ss FF VV ccccccφφ vv + ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB λλ ss FF VV ssssssφφ vv (2.19) και Συνεπώς, rr 2 BB, ss FF = ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB rr 2 = rr rr 2 2 = ΔΔvv 2 VV 2 cccccc 2 2ππ BB Ή η (2.21) λίγο διαφορετικά, λλ ss FF VV ccccccφφ vv + ΔΔvvvvvvvv 2ππ BB λλ ss FF + ΔΔvv 2 VV 2 ssssss 2 2ππ BB λλ ss FF VV ssssssφφ vv (2.20) λλ ss FF = ΔΔvv 2 VV 2 (2.21) VV = rr ΔΔvv (2.22) Επιπλέον αν ΚΚ οριστεί ο λόγος ΚΚ = rr 2 rr 1, τότε: ΚΚ = rr 2 = tttttt 2ππ BB tttttt 2ππ BB rr 1 λλ λλ ss FF + ttttttφφ vv ss FF φφ vv = 1 + tttttt 2ππ BB λλ ss FF ttttttφφ vv KK KKKKKKKK 2ππ BB λλ ss FF ttttttφφ vv = tttttt 2ππ BB λλ ss FF ttttttφφ vv ttttttφφ vv = tttttt 2ππ BB λλ ss FF + KK 1 KKtttttt 2ππ BB λλ ss FF (2.23) Ακόμη, με απλές πράξεις στις σχέσεις (2.13) και (2.14) μπορεί να αποδειχτεί ότι: VV mmmmmm = 1 ΔΔvv (rr 1 + jjrr 2 ) (2.24) 10

19 Άρα χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (2.22) και (2.23) μπορεί να υπολογιστεί το μέτρο και η φάση αντίστοιχα της μιγαδικής ορατότητας VV, με βάση τις τιμές των εξόδων rr 1 και rr 2, το διάνυσμα θέσης ΒΒ της κεραίας #2 ως προς την κεραία #1 και το διάνυσμα σκόπευσης ss FF. Ακόμη, με βάση τη σχέση (2.24), μπορεί να υπολογιστεί η τιμή της τροποποιημένης μιγαδικής ορατότητας VV mmmmmm απευθείας από τις εξόδους του complex correlator του σχήματος 2.3. Σύστημα συντεταγμένων Μέχρι στιγμής δεν επιλέχθηκε κάποιο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων ώστε να εκφραστούν τα διανύσματα θέσης του σχήματος 2.2 με κάποιον συστηματικό τρόπο. Για το σκοπό αυτό ορίζεται ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (ΟΟ; uu BB vv BB ww BB ) με αρχή OO τη θέση της κεραίας #1 και μοναδιαία διανύσματα τα uu, vv και ww, τέτοια ώστε το ww να συμπίπτει με την διεύθυνση σκόπευσης ss FF. Τότε μπορεί να γραφεί: και ΒΒ = uu BB uu + vv BB vv + ww BB ww (2.25) ww ss FF (2.26) Στη συνέχεια ορίζονται τα συνημίτονα κατεύθυνσης ll TT, mm TT, nn TT του διανύσματος ss ως προς το ορθογώνιο αυτό σύστημα συντεταγμένων (ΟΟ; uu BB vv BB ww BB ), οπότε το ss όντας μοναδιαίο μπορεί να γραφεί ως: ss = ll ΤΤ uu + mm ΤΤ vv + nn ΤΤ ww (2.27) Εφεξής, κάθε διάνυσμα που έχει κατεύθυνση από τη θέση της κεραίας #1 προς τον στόχο TT θα έχει συνημίτονα κατεύθυνσης ως προς τους άξονες του τοπικού αυτού συστήματος συντεταγμένων (ΟΟ; uu BB vv BB ww BB ) τα ll TT, mm TT, nn TT. Αν ληφθεί υπόψιν ότι τα ll TT, mm TT, nn TT αποτελούν τριάδα συνημιτόνων κατεύθυνσης, τότε nn TT = 1 ll 2 2 TT mm TT και η (2.27) γράφεται: ss = ll ΤΤ uu + mm ΤΤ vv + 1 ll TT 2 mm TT 2 ww (2.28) Ακόμη, με βάση τις σχέσεις (2.25), (2.26), (2.27) και (2.28) μπορούν να γραφούν οι ακόλουθες σχέσεις: ΒΒ ss FF = ww BB (2.29) BB ss = uu BB ll TT + vv BB mm TT + ww BB nn TT = uu BB ll TT + vv BB mm TT + ww BB 1 ll TT 2 mm TT 2 (2.30) Με βάση τις (2.29) και (2.30) και με τη χρήση της (2.9) καταλήγουμε στην: ΒΒ σσ = ΒΒ (ss ss FF) = uu BB ll TT + vv BB mm TT + ww BB 1 ll TT 2 mm TT 2 1 (2.31) 11

20 Στη συνέχεια θα αξιοποιηθεί η σχέση (Π2.12) του Παραρτήματος: dddd = ddll TTddmm TT 1 ll 2 2 TT mm TT (ΠΠ2.12) Με βάση τις σχέσεις (2.31) και (Π2.12), η σχέση (2.15) για τη μιγαδική ορατότητα γράφεται ως: 1 1 VV = ΑΑ(σσ )ΙΙ(σσ )ee jj 2ππ λλ ΒΒ σσ ddωω = 4ππ = AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT )ee jj 2ππ λλ uu BB ll TT +vv BB mm TT +ww BB 1 ll TT ll TT = 1 mm TT = 1 2 mm TT 2 1 ddll TT ddmm TT 1 ll TT 2 mm TT 2 (2.32) Στο σημείο αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι για μεγάλες αποκλίσεις από την κατεύθυνση εστίασης ισχύει: AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT ) = 0 (2.33) Η σχέση (2.33) υπονοεί ότι η λήψη ισχύος περιορίζεται είτε από το πεπερασμένο του στόχου είτε από το διάγραμμα ακτινοβολίας των κεραιών, οπότε η (2.32) καταλήγει εύκολα στην ακόλουθη: VV = AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT )ee jj 2ππ λλ uu BB ll TT +vv BB mm TT +ww BB 1 ll TT ll TT = mm TT = 2 mm TT 2 1 ddll TT ddmm TT 1 ll TT 2 mm TT 2 (2.34) Η σχέση (2.34) μοιάζει πάρα πολύ με ένα διδιάστατο μετασχηματισμό Fourier. Για να λάβει τη μορφή ακριβώς ενός διδιάστατου μετασχηματισμού Fourier θα πρέπει να μηδενιστεί ο όρος ww BB 1 ll TT 2 mm TT 2 1. Αυτό μπορεί να γίνει είτε (α) θεωρώντας την έκταση της επιφανειακά διανεμημένης πηγής πολύ περιορισμένη ώστε 1 ll TT 2 mm TT 2 1, ή (β) επιλέγοντας τις θέσεις της κεραίας #2, ώστε σε κάθε θέση της να ισχύει ww BB = 0. Η περίπτωση (α) είναι αυτή που εφαρμόζεται κυρίως σε ραδιοαστρονομικές παρατηρήσεις γιατί η κάθε πηγή-άστρο εντοπίζεται σε αρκετά περιορισμένη στερεά γωνία. Η περίπτωση (β) προϋποθέτει ότι το διάνυσμα ΒΒ δεν έχει συνιστώσα κατά την ww ss FF διεύθυνση, ή διαφορετικά, ότι η κεραία #2 κινείται αποκλειστικά σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση σκόπευσης ss FF. Κάτι τέτοιο είναι δύσκολο να επιτευχθεί με τις μεγάλες παραβολικές κεραίες των ραδιοτηλεσκοπίων, είναι όμως εφικτό σε μια διάταξη με μικρότερες κεραίες και δυνατότητα μετακίνησης της κεραίας #2 και στις 3 διαστάσεις ώστε σε κάθε θέση να ικανοποιείται η συνθήκη ww BB = 0. Με τις παραπάνω θεωρήσεις η (2.34) καταλήγει στην: VV(uu BB, vv BB ) = ll TT = mm TT = AA(ll TT, mm TT ) 1 ll 2 TT mm II(ll 2 TT, mm TT )ee jj TT 2ππ λλ (uu BB ll TT +vv BB mm TT ) ddll TT ddmm TT (2.35) Συμπερασματικά, σύμφωνα με την παραπάνω ανάλυση για να καταλήξουμε ακριβώς σε έναν 2-D διδιάστατο μετασχηματισμό Fourier θα πρέπει για κάθε θέση των κεραιών #1 και #2 να ισχύει ww BB = 0. 12

21 Επιλέγεται αρχικά η διεύθυνση σκόπευσης ss FF οπότε και οι κεραίες εστιάζουν προς αυτή την κατεύθυνση. Στη συνέχεια επιλέγεται να μετακινείται η κεραία #2 σε επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα σκόπευσης ss FF διατηρώντας τη διεύθυνση σκόπευσης. Στη συνέχεια σχηματίζεται ένα πλέγμα (τις περισσότερες φορές τετραγωνικό) σε αυτό το κάθετο επίπεδο από τις διαδοχικές θέσεις της κεραίας #2. Τελικά μέσω της (2.35) υπάρχει η δυνατότητα να αντιστοιχηθούν οι τιμές των μετρήσεων της μιγαδικής ορατότητας VV στο πεδίο (uu BB, vv BB ) με τις τιμές της έντασης των πηγών της σκηνής στο πεδίο (ll TT, mm TT ) και με έναν αντίστροφο διδιάστατο μετασχηματισμό Fourier να εξαχθεί η πληροφορία της έντασης της πηγής II(ll TT, mm TT ). Απεικόνιση πηγών σε ευθεία Ο διδιάστατος μετασχηματισμός Fourier είναι στην ουσία ένας μετασχηματισμός από ένα τετραγωνικό πλέγμα (uu BB, vv BB ) σε ένα άλλο επίσης τετραγωνικό πλέγμα (ll TT, mm TT ). Στη περίπτωση όμως που επιθυμούμε να μεταφέρουμε την απεικόνιση των πηγών από την ουράνια σφαίρα πάνω σε κάποιο επίπεδο τότε το πλέγμα παύει να είναι τετραγωνικό και η διακριτική ικανότητα μειώνεται όσο τα ll TT και mm TT αποκλίνουν από το 0. Έστω ότι αντί να προβληθούν οι πηγές στην ουράνια σφαίρα όπως γινόταν μέχρι στιγμής, επιθυμούμε την προβολή τους πάνω σε κάποιο επίπεδο. Συνεπώς, στις επόμενες PP TT ss uu xx FF ss FF uu θθ RR ωω #2 OO #1 ww dd Σχήμα

22 ενότητες θα εξεταστούν κάποια χαρακτηριστικά επίπεδα και πώς επηρεάζεται η διακριτική ικανότητα του συστήματος στις επίπεδες αυτές επιφάνειες. Θεωρείται αρχικά το διδιάστατο πρόβλημα, στο οποίο η κεραία #2 έχει τη δυνατότητα να μετακινείται πάνω σε έναν μόνο άξονα, τον uu BB και ορίζεται το αντίστοιχο σύστημα συντεταγμένων (ΟΟ; uu BB ww BB ). Ορίζεται ακόμη μια παράλληλη μετατόπιση του τοπικού συστήματος συντεταγμένων (ΟΟ; uu BB ww BB ) ως προς το διάνυσμα ss FF, οπότε προκύπτει το (FF; uu TT ww TT ) σύστημα συντεταγμένων και ένα σύστημα συντεταγμένων (FF; xx PP zz PP ) πάνω στην ευθεία που θέλουμε την απεικόνιση των πηγών. Θεωρούμε περιφέρεια κύκλου ακτίνας RR και επιλέγουμε αρχικά ως ευθεία προβολής των πηγών την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο που τέμνει τον κύκλο το διάνυσμα εστίασης ss FF. Προφανώς στο διδιάστατο πρόβλημα απαιτείται η χρήση μόνο ενός συνημιτόνου κατεύθυνσης, του ll TT, που στην ουσία είναι η προβολή του διανύσματος κατεύθυνσης της πηγής ss πάνω στον άξονα uu BB στον οποίο κινείται η κεραία #2. Σύμφωνα με το Σχήμα 2.4 ισχύει: Από τη γεωμετρία του ίδιου σχήματος ισχύει ακόμη ότι: ll TT = uu ss = ssssssθθ (2.36) και (TTTT) = RRRRRRRRRR = ll TTRR 2 1 ll TT (2.37) (PPPP) = dddddddd(θθ + ωω) ddddddddωω (2.38) Όμως, dd = RRRRRRRRRR, άρα η (2.38) γράφεται ως εξής: ttttttθθ + ttttttωω (PPFF) = RRRRRRRRRR 1 ttttttθθttttttωω ttttttωω = RRRRRRRRRRttttttθθ 1 tttttt2 ωω 1 ttttttθθttttttωω (2.39) Με τη βοήθεια της (2.36) η (2.39) καταλήγει στην ακόλουθη έκφραση: 1 tttttt 2 ωω (PPFF) = ll TT RRRRRRRRRR 1 ll 2 TT ll TT tttttttt (2.40) Ο προσδιορισμός των πηγών πάνω στην ευθεία των στόχων ΤΤ εξυπηρετεί την περίπτωση περιορισμένου χωρικά στόχου. Με άλλα λόγια, όλες οι πηγές που θέλουμε να εντοπίσουμε βρίσκονται μέσα στον κύριο λοβό του διαγράμματος ακτινοβολίας των κεραιών #1 και #2 καθώς αυτές στοχεύουν κατά την κατεύθυνση ss FF και σκοπός της χρησιμοποίησης ενός συμβολομετρικού συστήματος είναι η διακριτοποίηση των πηγών που εντοπίζονται στην περιοχή του κυρίου αυτού λοβού. Αφού οριστεί η κατεύθυνση εστίασης ss FF, καθώς και η απόσταση της ευθείας από τη θέση της κεραίας #1, τότε έχουν οριστεί πλήρως και η ευθεία απεικόνισης των πηγών ως προς τη θέση της κεραίας #1, αλλά και το σημείο FF που αντιστοιχεί στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων (FF; xx PP zz PP ) που χρησιμοποιείται στην ευθεία αυτή. Συνεπώς, μπορεί η κεραία #2 να μετακινείται πάνω στον άξονα ΟΟuu, ανά διακριτά βήματα μιας σταθεράς ΔΔuu BB να υπολογίζεται η μιγαδική ορατότητα στη θέση αυτή από τις σχέσεις (2.22) και (2.23). Στη συνέχεια μέσω της αντιστροφής του μετασχηματισμού Fourier της εξίσωσης (2.35), από το διάνυσμα της μιγαδικής ορατότητας μπορεί να υπολογίζεται το διάνυσμα των πηγών της σκηνής, ίδιου μήκος με αυτό της μιγαδικής ορατότητας και με σταθερή γωνιακή απόκλιση ΔΔll TT το ένα στοιχείο από το άλλο. Στη 14

23 συνέχεια γνωρίζοντας τη γωνιακή απόκλιση ll TT του κάθε στοιχείου μέσω της (2.37) μπορεί να απεικονιστεί η κατανομή των πηγών στην ευθεία αυτή. Αντίθετα, ο προσδιορισμός των πηγών στην ευθεία FFFF μπορεί να βοηθήσει στην καταγραφή εκτεταμένης πηγής μεγαλύτερης από τον κύριο λοβό του διανύσματος ακτινοβολίας. Επειδή όπως θα αποδειχτεί παρακάτω όσο απομακρυνόμαστε από το σημείο FF τόσο η αναλυτικότητα στην διακριτοποίηση των στόχων μειώνεται, είμαστε αναγκασμένοι να εστιάσουμε και σε νέα σημεία FF. Μιας και το ζητούμενο είναι όλες οι πηγές να προβληθούν πάνω στην ίδια ευθεία (όσο μελετάμε ακόμη το διδιάστατο πρόβλημα-στο τρισδιάστατο πρόβλημα οι ευθείες θα αντικατασταθούν από επίπεδα), έστω στην FFFF του σχήματος 2.4, θα πρέπει όλα τα νέα αυτά σημεία FF να βρίσκονται πάνω σε αυτή την ευθεία, ορίζοντας με αυτόν τον τρόπο και τις αντίστοιχα νέες ακτίνες RR. Τελικά θα προκύψουν ισάριθμα διανύσματα λόγω του μετασχηματισμού Fourier, τα οποία όμως θα αλληλεπικαλύπτονται, προσφέροντας όμως βέλτιστη αναλυτικότητα σε διαφορετικά σημεία της ευθείας το ένα σε σχέση με τα υπόλοιπα. Προφανώς με κάποια διαδικασία κατασκευής μωσαϊκού χάρτη είναι δυνατόν να εκμεταλλευτούμε το γεγονός αυτό και να απεικονιστούν οι πηγές με την καλύτερη δυνατή αναλυτικότητα πάνω στην ευθεία FFFF. Στη συνέχεια περνώντας στον τρισδιάστατο χώρο, οι έννοιες των ευθειών γενικεύονται στα αντίστοιχα επίπεδα, τα οποία είναι κάθετα στα εκάστοτε διανύσματα στόχευσης ss FF, χωρίς όμως να μεταβάλλεται η φιλοσοφία που αναλύθηκε παραπάνω. Απεικόνιση πηγών σε επίπεδη επιφάνεια εφαπτόμενη στην ουράνια σφαίρα Αντίστοιχα με πριν και για περίπτωση περιορισμένης χωρικά πηγής μπορούν να προβληθούν οι πηγές πάνω στο επίπεδο, το κάθετο στο διάνυσμα ss FF, στο σημείο FF. Η προβολή τους μπορεί να προσδιοριστεί όπως αναλύεται παρακάτω. Έστω τα συνημίτονα κατεύθυνσης ll TT, mm TT, nn TT του διανύσματος ss στο (OO; uu BB vv BB ww BB ) σύστημα συντεταγμένων: ss = ll TT uu + mm TT vv + 1 ll TT 2 mm TT 2 ww (2.41) Οπότε κάθε ευθεία με φορέα αυτό το διάνυσμα γράφεται παραμετρικά στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων ως εξής: uu BB = ll TT tt vv BB = mm TT tt ww BB = 1 ll TT 2 mm TT 2 tt (2.42aa) (2.42bb) (2.42cc) Στο επίπεδο των στόχων ΤΤ ισχύει προφανώς: Από τις σχέσεις (2.42c) και (2.43) προκύπτει: ww BB = RR (2.43) RR tt = 1 ll 2 2 TT mm TT (2.44) 15

24 και τελικά: ll TT RR uu BB = 1 ll 2 2 TT mm TT mm TT RR vv BB = 1 ll 2 2 TT mm TT ww BB = RR (2.45aa) (2.45bb) (2.45cc) Αν θέλουμε να μεταβούμε στο σύστημα συντεταγμένων (FF; uu TT vv TT ww TT ) που έχει την αρχή του πάνω στο επίπεδο των στόχων TT, τότε αρκεί μια απλή μεταφορά του (OO; uu BB vv BB ww BB ) συστήματος συντεταγμένων πάνω στη διεύθυνση του διανύσματος ww κατά απόσταση RR. Οι συντεταγμένες του στόχου στο νέο αυτό σύστημα συντεταγμένων θα είναι απλά: ll TT RR uu ΤΤ = 1 ll 2 2 TT mm TT mm TT RR vv ΤΤ = 1 ll 2 2 TT mm TT ww ΤΤ = 0 (2.46aa) (2.46bb) (2.46cc) Στη συνέχεια θα επιχειρηθεί να βρεθεί η αναλυτικότητα με την οποία μπορεί να προσδιοριστεί κάποια πηγή πάνω στο επίπεδο που προβάλλονται οι στόχοι ΤΤ. Όπως έχει διατυπωθεί και προηγούμενα, η κατανομή ΙΙ(ll TT, mm TT ) προκύπτει από την αντιστροφή του διδιάστατου μετασχηματισμού Fourier της μιγαδικής ορατότητας μέσω της αντιστροφής της σχέσης (2.35). Αν οι μετρήσεις της μιγαδικής ορατότητας αφορούν ένα πλέγμα MMMMMM τιμών, τότε λόγω ακριβώς του μετασχηματισμού Fourier ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: ΔΔll TT = 1 MMΔΔuu BB ΔΔmm TT = 1 MMΔΔvv BB (2.47aa) (2.47bb) Στην περίπτωση που οι μετρήσεις της μιγαδικής ορατότητας λαμβάνονται σε ίσα διαστήματα και στους 2 άξονες OOOO και OOOO, τότε: ΔΔuu BB = mmmmmm(uu BB) mmmmmm(uu BB ) MM ΔΔvv BB = mmmmmm(vv BB) mmmmmm(vv BB ) MM (2.48aa) (2.48bb) Λόγω των σχέσεων (2.48), οι σχέσεις (2.47) μπορούν να γραφούν: ΔΔll TT = ΔΔmm TT = 1 mmmmmm(uu BB ) mmmmmm(uu BB ) 1 mmmmmm(vv BB ) mmmmmm(vv BB ) (2.49aa) (2.49bb) 16

25 Οι σχέσεις (2.49) επαληθεύουν το αναμενόμενο συμπέρασμα ότι σε όσο μεγαλύτερες αποστάσεις μετακινείται η κεραία #2, τόσο βελτιώνεται η διακριτική ικανότητα του συστήματος που μελετάται. Για να υπολογιστεί η διακριτική ικανότητα στο επίπεδο των στόχων ΤΤ, θα χρησιμοποιηθούν οι σχέσεις (2.46a) και (2.46b), που για προσέγγιση μεταβολής 1 ης τάξης ισχύει: ΔΔuu TT = uu TT ΔΔll ll TT + uu 2 TT 1 mm TT ΔΔmm TT mm TT = RR TT (1 ll 2 TT mm 2 TT ) 3 ΔΔll TT + RR 2 ΔΔvv TT = vv TT ll TT ΔΔll TT + vv TT mm TT ΔΔmm TT = RR ll TT mm TT (1 ll 2 TT mm 2 TT ) 3 2 ΔΔll TT + RR ll TT mm TT (1 ll 2 TT mm 2 TT ) ll TT 2 (1 ll 2 TT mm 2 TT ) 3 2 ΔΔmm TT (2.50aa) ΔΔmm TT (2.50bb) Από τις σχέσεις (2.50) παρατηρούμε ότι η διακριτική ικανότητα (ΔΔuu TT, ΔΔvv TT ) στο επίπεδο που μελετάμε είναι ευθέως ανάλογη της διακριτικής ικανότητας (ΔΔll TT, ΔΔmm TT ) στο πεδίο (ll TT, mm TT ). Επιπλέον, με την αύξηση της απόστασης RR του επιπέδου από τη θέση της κεραίας #1, μειώνεται η διακριτική ικανότητα. Τέλος, όσο αποκλίνουμε από το διάνυσμα εστίασης ss FF, το οποίο αντιστοιχεί στη θέση ll TT = mm TT = 0, τόσο μεγαλώνει ο παρονομαστής των (2.50), επομένως μειώνεται πάλι η διακριτική ικανότητα. Συνεπώς στην περίπτωση που υπάρχουν πηγές μακριά από το διάνυσμα εστίασης ss FF, θα πρέπει να ληφθούν νέες μετρήσεις με τη μετακίνηση της κεραίας #2 σε νέο επίπεδο (uu BB, vv BB ) και φυσικά και αντίστοιχη σκόπευση του ζεύγους των κεραιών σε κατεύθυνση κάθετη στο νέο αυτό επίπεδο. Για την καλύτερη εποπτεία της διακριτικής ικανότητας των πηγών στο επίπεδο των στόχων ΤΤ, θα απεικονίσουμε τις μεταβλητές ΔΔuu TT και ΔΔvv TT κανονικοποιημένες ως προς την απόσταση RR του επιπέδου των στόχων. Επιπλέον θεωρούμε και ότι αποκλίνουμε τη θέση της κεραίας #2 το ίδιο και στους 2 άξονες uu BB και vv BB οπότε: mmmmmm(uu BB ) = mmmmmm(vv BB ) mmmmmm(uu BB ) = mmmmmm(vv BB ) (2.51aa) (2.51bb) Οπότε οι σχέσεις (2.49) καταλήγουν μέσω των σχέσεων (2.51) στην: ΔΔll TT = ΔΔmm TT (2.52) Σχήμα

26 Και τελικά κανονικοποιούμε τη διακριτική ικανότητα των σχέσεων (2.50) επιπλέον και ως προς ΔΔll TT = ΔΔmm TT. Το αποτέλεσμα φαίνεται στα διαγράμματα του σχήματος 2.5. Παρατηρούμε ότι όσο απομακρυνόμαστε από τη θέση (ll TT = 0, mm TT = 0), τόσο χειροτερεύει η αναλυτικότητα, ωστόσο παρατηρείται κάποια ιδιαίτερη ευαισθησία σε ορισμένους άξονες όπως διακρίνεται στα σχήματα 2.5. Απεικόνιση πηγών σε αυθαίρετη επίπεδη επιφάνεια Στη συνέχεια, θα επιχειρηθεί μια προσέγγιση για την απεικόνιση των πηγών πάνω σε ένα δεδομένο επίπεδο στον χώρο και όχι κατ ανάγκην στο εφαπτομενικό στο διάνυσμα εστίασης ss FF επίπεδο όπως αναλύθηκε προηγουμένως. Ο λόγος που γίνεται κάτι τέτοιο είναι γιατί όπως διαπιστώθηκε παραπάνω, στη διεύθυνση ss FF έχουμε την καλύτερη διακριτική ικανότητα και όσο αποκλίνουμε από αυτή, η αναλυτικότητα καταρρέει. Αν όμως γίνουν μετρήσεις προς διάφορες διευθύνσεις εστίασης ss FF, τότε μπορούν να αποτυπωθούν οι πηγές από την επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας σε ισάριθμα επίπεδα, κάθε ένα κάθετο στο εκάστοτε διάνυσμα εστίασης. Με την ανάλυση που ακολουθεί, όμως, μπορούν να ενοποιηθούν οι πληροφορίες για τις πηγές που περιλαμβάνονται στα διαφορετικά επίπεδα σε ένα ενιαίο επίπεδο, ώστε σε αυτό το νέο επίπεδο να παρουσιάζεται βελτιωμένη αναλυτικότητα και σε σημεία εκτός του σημείου FF του σχήματος 2.4 (στο αντίστοιχο διδιάστατο πρόβλημα). Αρχικά πρέπει να βρεθεί ένας τρόπος ορισμού του επιπέδου στο χώρο. Επιλέγουμε να το προσδιορίσουμε με το διάνυσμα dd, το οποίο είναι κάθετο στο αναφερόμενο επίπεδο και έχει αρχή τη θέση της κεραίας #1. Προφανώς το επίπεδο απέχει απόσταση dd = dd από την κεραία #1. Στη συνέχεια, ορίζεται ένα νέο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων (OO; xx BB yy BB zz BB ) με αρχή τη θέση της κεραίας #1 και άξονα zz τη διεύθυνση του διανύσματος dd. Σε συνέπεια με τα προηγούμενα, μπορούν να οριστούν και οι άλλοι 2 άξονες του συστήματος συντεταγμένων xx και yy, ώστε να είναι κάθετοι στο διάνυσμα dd. Έστω λοιπόν, ότι έχει οριστεί ένα διάνυσμα παρατήρησης ss FF και έχουν οριστεί οι άξονες του τοπικού συστήματος συντεταγμένων (OO; uu BB vv BB ww BB ) uu και vv κάθετοι στο διάνυσμα ss FF. Η κεραία #2 κινείται σε θέσεις που σχηματίζουν ορθογώνιο πλέγμα πάνω στο επίπεδο OOOOOO σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλυση. Το σύστημα συντεταγμένων (OO; xx BB yy BB zz BB ) αποτελεί μια στροφή του συστήματος (OO; uu BB vv BB ww BB ) γύρω από τη θέση της κεραίας #1 με τα ακόλουθα συνημίτονα κατεύθυνσης μεταξύ των αξόνων των 2 συστημάτων συντεταγμένων που ορίζουν την περιστροφή: ll 1 = xx uu mm 1 = xx vv nn 1 = xx ss FF ll 2 = yy uu mm 2 = yy vv nn 2 = yy ss FF (2.53) ll 3 = zz uu mm 3 = zz vv nn 3 = zz ss FF όπου έχει χρησιμοποιηθεί η σχέση (2.26) ww ss FF. Αφού είναι γνωστές οι διευθύνσεις και των 2 συστημάτων συντεταγμένων (OO; uu BB vv BB ww BB ) και (OO; xx BB yy BB zz BB ) μπορούν να υπολογιστούν όλα τα συνημίτονα κατεύθυνσης που ορίζονται από τις σχέσεις (2.53). Στη συνέχεια ορίζεται το διάνυσμα κατεύθυνσης ss ενός στόχου TT και στα 2 αυτά συστήματα συντεταγμένων. Στο σύστημα συντεταγμένων (OO; uu BB vv BB ww BB ) έχουν ήδη προσδιοριστεί οι συντεταγμένες του από τη σχέση (2.41) που επαναλαμβάνεται σε αυτό το σημείο: 18

27 ss = ll TT uu + mm TT vv + 1 ll TT 2 mm TT 2 ww (2.41) Στο (OO; xx BB yy BB zz BB ) σύστημα συντεταγμένων μπορεί να γραφεί το διάνυσμα ss ως εξής: ss = ll PP xx + mm PP yy + nn PP zz (2.54) ss TT ss FF vv ww uu uu TT vv TT dd ss PP xx PP yy PP DD xx yy zz #1 OO PP Σχήμα 2.6* Οι συντεταγμένες του διανύσματος ss στα 2 συστήματα συντεταγμένων (OO; uu BB vv BB ww BB ) και (OO; xx BB yy BB zz BB ) σχετίζονται μεταξύ τους μέσω του πίνακα στροφής και των σχέσεων (2.53): ll ll PP ll 1 mm 1 nn TT 1 mm TT mm PP = ll 2 mm 2 nn 2 (2.55) nn PP ll 3 mm 3 nn 3 1 ll 2 2 TT mm TT Αφού έχουν υπολογιστεί τα συνημίτονα κατεύθυνσης ll PP, mm PP, nn PP στο νέο σύστημα συντεταγμένων (OO; xx BB yy BB zz BB ), ορίζεται το διάνυσμα ss PP το οποίο έχει ως αρχή ΟΟ τη θέση της κεραίας #1, διεύθυνση αυτή του ss, αφού και αυτό δείχνει προς το στόχο TT και μήκος τέτοιο, ώστε το πέρας του να βρίσκεται πάνω στο επίπεδο PP του σχήματος 2.6: ss PP = xx PP xx + yy PP yy + zz PP zz (2.56) * Το σύστημα συντεταγμένων (OO; xx BB yy BB zz BB ) έχει ως αρχή τη θέση της κεραίας #1. Χάριν όμως καλύτερης εποπτείας του σχήματος, το σύστημα συντεταγμένων είναι μετακινημένο κατά τον άξονα ΟΟΟΟ, ώστε η αρχή του να φαίνεται ότι βρίσκεται πάνω στο επίπεδο PP και τελικά να συμπίπτει με το σύστημα συντεταγμένων (DD; xx PP yy PP zz PP ). Ομοίως, αντί του συστήματος συντεταγμένων (OO; uu BB vv BB ww BB ), απεικονίζεται το σύστημα (FF; uu TT vv TT ww TT ) που έχει υποστεί μια αντίστοιχη παράλληλη μετακίνηση πάνω στη διεύθυνση ss FF. 19

28 Το επίπεδο PP ορίζεται στο (OO; xx BB yy BB zz BB ) σύστημα συντεταγμένων από τη σχέση: zz ΒΒ = dd (2.57) Άρα, για να βρίσκεται το πέρας του διανύσματος ss PP πάνω στο επίπεδο, με βάση της σχέσεις (2.54), (2.56) και (2.57), θα πρέπει να ισχύει: ss PP = dd nn PP ss (2.58) Από τη (2.56) με τη βοήθεια της (2.58) προκύπτουν πλέον εύκολα οι συντεταγμένες xx BB και yy BB. Αν τέλος θεωρηθεί και μια μεταφορά του συστήματος συντεταγμένων (OO; xx BB yy BB zz BB ) πάνω στον άξονα OOOO κατά dd, ώστε η αρχή του καινούριου συστήματος συντεταγμένων (DD; xx PP yy PP zz PP ) να βρίσκεται πάνω στο επίπεδο, τότε μπορούν να γραφούν οι συντεταγμένες της προβολής του στόχου ΤΤ πάνω στο επίπεδο PP: xx PP = dd xx zz yy PP = dd yy zz zz PP = 0 (2.59aa) (2.59bb) (2.59cc) Αν χρησιμοποιηθεί η σχέση (2.55) στις (2.59), τότε οι τελευταίες μπορούν να γραφούν στην ακόλουθη μορφή: xx PP = dd ll 1ll TT + mm 1 mm TT + nn 1 1 ll TT 2 mm TT 2 ll 3 ll TT + mm 3 mm TT + nn 3 1 ll TT 2 mm TT 2 yy PP = dd ll 2ll TT + mm 2 mm TT + nn 2 1 ll TT 2 mm TT 2 ll 3 ll TT + mm 3 mm TT + nn 3 1 ll TT 2 mm TT 2 (2.60aa) (2.60bb) Συνεπώς, επιλέγοντας κάθε φορά ένα διάνυσμα εστίασης ss FF και μετακινώντας την κεραία #2 στο εκάστοτε ΟΟuuuu επίπεδο, μέσω των σχέσεων μετασχηματισμού (2.60) μπορούμε να απεικονίσουμε την κατανομή των στόχων πάνω στο DDDDDD επίπεδο, με βέλτιστη διακριτική ικανότητα κατά τη διεύθυνση ss FF γενικεύοντας τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την ανάλυση του διδιάστατου προβλήματος. Επιλέγοντας διαφορετικό διάνυσμα εστίασης ss FF κάθε φορά και αντίστοιχο επίπεδο ΟΟuuuu κίνησης της κεραίας #2, επιτυγχάνεται καλύτερη διακριτική ικανότητα σε διαφορετικό σημείο του επιπέδου DDDDDD. Με επαλληλία όλων αυτών των πληροφοριών μπορεί να επιτευχθεί διακριτική ικανότητα σε όλη την έκταση της επιφάνειας του επιπέδου DDDDDD που επιθυμούμε. 20

29 Κεφάλαιο 3 Εστίαση σε σημείο πεπερασμένης απόστασης Η ανάλυση που προηγήθηκε στο κεφάλαιο 2 στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι κεραίες #1 και #2 στοχεύουν παράλληλα και εστιάζουν στην ίδια σημειακή πηγή. Αυτή η υπόθεση μπορεί να είναι αποδεκτή μόνο όταν οι πηγές βρίσκονται σε πολύ μεγαλύτερη απόσταση από ότι το μήκος του διανύσματος BB που βαίνει από την κεραία #1 στην κεραία #2. Μια τέτοια συνθήκη μπορεί να ικανοποιείται σε παρατηρήσεις αστρικών πηγών ή ακόμη και ηλεκτρομαγνητικών πηγών μέσα στην ατμόσφαιρα της γης. Στην περίπτωση όμως που απαιτείται να προσδιοριστούν πηγές που βρίσκονται σε εγγύτερες αποστάσεις, για να λαμβάνουν και οι 2 κεραίες σήμα από την ίδια θέση θα πρέπει οι κύριοι λοβοί των 2 κεραιών να μην είναι παράλληλοι, αλλά να τέμνονται σε ένα σημείο εστίασης FF. Συνεπώς, στο κεφάλαιο 3 γίνεται μια προσπάθεια να διευρυνθεί η ανάλυση που έγινε προηγούμενα σε διατάξεις με μη παράλληλα εστιασμένες κεραίες. Διανυσματική θεμελίωση Έστω 2 κεραίες στο χώρο, η κεραία #1 και η κεραία #2. Θεωρώντας τη θέση της #1 ως αρχή του συστήματος αναφοράς, τότε η #2 βρίσκεται τοποθετημένη στο πέρας του διανύσματος BB. Ακόμη, RR FF = RR FF RR FF είναι το διάνυσμα σκόπευσης της #1 και RR FF = RR FF RR FF το αντίστοιχο διάνυσμα της #2. Τα διανύσματα RR FF και RR FF, ή διαφορετικά οι κύριοι λοβοί των 2 κεραιών, τέμνονται σε ένα σημείο FF στον χώρο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.1. Με δεδομένες τις θέσεις των κεραιών #1 και #2, υποθέτουμε μια στοιχειώδη σημειακή πηγή ΤΤ με ένταση ακτινοβολίας ΙΙ στο πέρας του διανύσματος RR TT και έστω RR TT το διάνυσμα από την κεραία #2 στη θέση της πηγής. Τέλος, ορίζεται ως DD το διάνυσμα θέσης της πηγής από το σημείο εστίασης FF στο σημείο που βρίσκεται η πηγή ΤΤ. Για να έχουμε σύμφωνη λήψη από το σημείο εστίασης θα πρέπει τα μέτρα των διανυσμάτων RR FF και RR FF να είναι ίσα*. Για να ισχύει κάτι τέτοιο θα πρέπει η κεραία #2 να βρίσκεται πάνω σε κύκλο, για 2-D γεωμετρίες, ή πάνω στην επιφάνεια σφαίρας, για 3-D γεωμετρίες, με κέντρο και στις 2 περιπτώσεις το σημείο εστίασης FF και ακτίνα το μήκος RR FF. * Δεδομένης σύμφωνης εστίασης στο σημείο FF, πρέπει να ικανοποιείται η σχέση RR FF RR FF = κκκκ, κκ Z. Εμείς στο εξής θα εξετάσουμε τη σύμφωνη εστίαση μόνο για κκ = 0, δηλαδή για RR FF = RR FF. 21

30 TT RR TT DD RR TT FF RR FF RR FF #1 BB #2 Σχήμα 3.1 Με βάση το σχήμα 3.1 μπορούν να γραφούν οι ακόλουθες ισότητες: RR FF = RR TT DD (3.1) RR FF = RR TT DD (3.2) ΔΔRR RR ΤΤ RR ΤΤ (3.3) Ισχύει RR FF = RR FF, οπότε με βάση τις (3.1), (3.2) και (3.3): RR TT DD 2 = RR TT DD 2 RR 2 TT + DD 2 2 2RR TT DD = RR TT + DD 2 2RR TT DD RR 2 2 TT RR TT = 2 RR TT RR TT DD (RR TT RR TT )(RR TT + RR TT ) = 2ΒΒ DD 22

31 ΔΔRR(2RR TT + ΔΔΔΔ) = 2BB DD ΔΔRR(2RR TT + ΔΔΔΔ) = 2BB DD (3.4) Αν θεωρήσουμε ότι RR TT ΔR, τότε η παραπάνω έκφραση απλοποιείται ως εξής: RR TT ΔΔRR BB DD (3.5) Ισχύει όμως από τη γεωμετρία του σχήματος ότι: DD = RR FF + RR TT (3.6) Τελικά με εφαρμογή των (3.6) και (Π3.1) στην (3.5) προκύπτει: Δηλαδή, RR TT ΔΔRR = BB DD = BB RR FF + RR TT = BB RR FF BB RR TT = 1 2 BB2 BB RR TT 2RR TT ΔΔRR = BB 2 2BB RR TT (3.7) Η διανυσματική ανάλυση που προηγήθηκε είναι γενική και ανεξάρτητη της τελικής επιλογής των συστημάτων συντεταγμένων. Θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για να αναπτυχθεί τρόπος εκτίμησης των παραμέτρων της σκηνής των ηλεκτρομαγνητικών πηγών στην περίπτωση μιας μεμονωμένης πηγής στο διδιάστατο χώρο, μιας μεμονωμένης πηγής στον τρισδιάστατο χώρο και μιας εκτεταμένης ηλεκτρομαγνητικής κατανομής στον τρισδιάστατο χώρο. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, οφείλει το σύστημα διάταξη λήψηςηλεκτρομαγνητική πηγή να ικανοποιεί την προσέγγιση RR TT ΔR, ώστε να μην εισάγεται σφάλμα στις εκτιμήσεις του συμβολομέτρου. Στο κεφάλαιο 4 εξετάζεται μια περίπτωση όπου η προσέγγιση αυτή οριακά καλύπτεται με αποτέλεσμα οι επιδόσεις του συστήματος που μελετάται να υποβαθμίζονται σημαντικά. 23

32 Προσδιορισμός μεμονωμένης πηγής σε 2-D χώρο Έστω ότι υπάρχει μεμονωμένη και μοναδική πηγή με ένταση ΙΙ κάπου στο επίπεδο. Ο πλήρης προσδιορισμός της πηγής περιλαμβάνει τον υπολογισμό των μεγεθών θθ και RR ΤΤ ώστε να καθοριστεί πλήρως το διάνυσμα θέσης της πηγής και φυσικά η ένταση της ΙΙ. Με την ακόλουθη μεθοδολογία προσδιορίζεται αρχικά η απόσταση της πηγής RR ΤΤ από την κεραία #1, στη συνέχεια η γωνία θθ που δείχνει την απόκλιση από το διάνυσμα εστίασης RR FF και τέλος η ένταση ΙΙ της πηγής. Για τον πλήρη προσδιορισμό της πηγής απαιτούνται 2 διαφορετικές θέσεις της κεραίας #2, με την προϋπόθεση ότι και στις 2 περιπτώσεις έχουμε εστίαση στο σημείο FF, δηλαδή RR FF = RR FF. Τα μεγέθη με δείκτη a αφορούν την 1 η θέση της κεραίας #2, ενώ τα μεγέθη που σχετίζονται με τη 2 η θέση της κεραίας #2 σημειώνονται με δείκτη b. TT DD RR TT RR TT FF RR FF θθ θθ RR FF ββ #1 BB Σχήμα 3.2 #2 Από τη γεωμετρία του προβλήματος προκύπτει: ccccccθθ = RR FF RR TT RR FF RR TT = RR FF RR FF + DD RR FF RR TT = RR FF 2 + RR FF DD RR FF RR TT = RR FF 2 + BB + RR FF DD RR FF RR TT + ΔΔRR RR ΤΤ + ΔΔRR RR FF ccccccθθ = RR FF 2 + RR FF DD BB DD (3.8) Όμως, BB DD = 1 2 ΔΔRR(2RR TT + ΔΔRR) λόγω της (3.4), άρα η (3.8) γράφεται: 24

33 RR ΤΤ + ΔΔRR RR FF ccccccθθ = RR FF 2 + RR FF DD ΔΔRR(2RR TT + ΔΔΔΔ) (3.9) Αντίστοιχα, ccccccθθ = RR FF RR TT RR FF RR TT = RR FF RR FF + DD = RR FF 2 + RR FF DD RR FF RR TT RR FF RR TT Με κατά μέλη αφαίρεση των (3.9) και (3.10) προκύπτει: RR FF RR TT ccccccθθ = RR FF 2 + RR FF DD (3.10) 2RR FF [ RR ΤΤ + ΔΔRR ccccccθθ RR TT ccccccθθ] = ΔΔRR(2RR TT + ΔΔΔΔ) (3.11) Θεωρώντας ότι RR TT ΔΔRR, μπορούμε να καταλήξουμε στην απλοποίηση της απόλυτης τιμής: RR TT ΔΔRR RR TT + ΔΔRR ΔΔRR + ΔΔRR 0 RR ΤΤ + ΔΔRR = RR ΤΤ + ΔΔRR οπότε η παραπάνω έκφραση απλοποιείται ως εξής: ΔΔΔΔ RR FF (ccccccθθ ccccccθθ) (3.12) Στη συνέχεια θα επιχειρηθεί να βρεθεί μια σχέση που συνδέει τα RR ΤΤ,θθκαι θθ. Ισχύει η (3.7) η οποία επαναλαμβάνεται και παρακάτω: 2RR ΤΤ ΔΔRR = ΒΒ 2 2ΒΒ RR TT Αν ββ είναι η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα ΒΒ και RR, FF τότε: Και με αντικατάσταση της (3.12) στη (3.13) προκύπτει: 2RR ΤΤ ΔΔRR = ΒΒ 2 2ΒΒRR ΤΤ cccccc(θθ + ββ) (3.13) 2RR FF RR ΤΤ (ccccccθθ ccccccθθ) = ΒΒ 2 2ΒΒRR ΤΤ cccccc(θθ + ββ) (3.14) Μετά τη μίξη των σημάτων από τις 2 κεραίες και το πέρασμά τους από το χαμηλοπερατό φίλτρο σύμφωνα με το Σχήμα 2.3, λαμβάνονται τα εξής σήματα από τον complex correlator: rr 1 = AA(θθ)ΑΑ(θθ )ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2ππ λλ ΔΔRR (3.15) rr 2 = AA(θθ)ΑΑ(θθ )ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2ππ λλ ΔΔRR (3.16) Συνεπώς μπορούν να προσδιοριστούν οι όροι: AA(θθ)ΑΑ(θθ )ΙΙ = rr rr 2 2 (3.17) και 25

34 2ππ λλ ΔΔRR = tttttt 1 rr 2 rr 1 (3.18) Η (3.18) γράφεται πιο εύχρηστα*: ΔΔRR = λλ 2ππ tttttt 1 rr 2 rr 1 (3.19) Ξεκινώντας από τη σχέση (3.13) που επαναλαμβάνεται σε αυτό το σημείο: καταλήγουμε με τη βοήθεια της (3.19) στην: 2RR ΤΤ ΔΔRR = ΒΒ 2 2ΒΒRR ΤΤ cccccc(θθ + ββ) cccccc(θθ + ββ) = ΒΒ 2 λλ rr RR 2 ΤΤ ππ tttttt 1 rr1 (3.20) 2ΒΒRR ΤΤ TT RR TT FF RR FF θθ #1 ββ aa ββ bb BB bb BB aa #2a Σχήμα 3.3 #2b * Λόγω της απειρίας λύσεων της τριγωνομετρικής συνάρτησης της αντίστροφης εφαπτομένης υπάρχει ασάφεια ως προς την τιμή της μεταβλητής ΔΔRR. Η πλήρης λύση της (3.19), η οποία θα εξεταστεί προσεχώς είναι προφανώς: ΔΔRR = λλ rr 2ππ tttttt κκ λλ rr 1 2, κκ Z Θεωρούμε ότι το σήμα ΔΔRR έχει επεξεργαστεί από έναν αλγόριθμο phase unwrapping που αίρει την ασάφεια αυτή και δε θα αποτελέσει αντικείμενο μελέτης της παρούσης εργασίας. 26

35 Αν πάρουμε 2 διαφορετικές θέσεις για την κεραία #2, που όμως εστιάζουν πάντα στο ίδιο σημείο FF και με δείκτη aa συμβολίζονται τα μεγέθη που σχετίζονται με την 1 η θέση της κεραίας #2, ενώ με δείκτη bb τα αντίστοιχα μεγέθη της 2 ης θέσης, έχουμε: cccccc(θθ + ββ aa ) = cccccc(θθ + ββ bb ) = ΒΒ aa 2 RR TT λλ ππ tttttt 1 rr 2aa rr 1aa 2BB aa RR TT aa (3.21) ΒΒ bb 2 RR TT λλ ππ tttttt 1 VV 2bb VV 1bb 2BB bb RR TT bb (3.22) Από αυτές τις (3.21) και (3.22) απαλείφεται η μεταβλητή θθ ως εξής: ccccccccccccccββ aa ssssssθθθθθθθθββ aa = aa ccccccccccccccββ bb ssssssθθθθθθθθββ bb = bb Με αντίθετους συντελεστές λύνεται το παραπάνω σύστημα ως εξής: ccccccccccccccββ aa ccccccββ bb ssssssθθθθθθθθββ aa ccccccββ bb = aa ccccccββ bb ccccccccccccccββ aa ccccccββ bb ssssssθθccccccββ aa ssssssββ bb = bbbbbbbbββ aa Με αφαίρεση κατά μέλη και λίγες πράξεις προκύπτει: ssssssθθ = bbbbbbbbββ aa aaaaooooββ bb ssssss(ββ aa ββ bb ) (3.23) Με ακριβώς ανάλογη διαδικασία προκύπτει και η σχέση για το ccccccθθ: ccccccccccccccββ aa ssssssββ bb ssssssθθθθθθθθββ aa ssssssββ bb = aassssssββ bb ccccccccccccccββ aa ccccccββ bb ssssssθθθθθθθθββ aa ssssssββ bb = bbssssssββ aa ccccccθθ = bbbbbbbbββ aa aaaaaaaaββ bb ssssss(ββ aa ββ bb ) (3.24) Όμως, ssssss 2 θθ + cccccc 2 θθ = 1 Και μετά από μερικές πράξεις: aa 2 + bb 2 2aaaaaaaaaa(ββ aa ββ bb ) = ssssss 2 (ββ aa ββ bb ) (3.25) Αν αντικατασταθούν τα a και b από τις (3.21) και (3.22) στην (3.25), προκύπτει μια 2 ο βάθμια εξίσωση ως προς RR ΤΤ συναρτήσει των σταθερών της γεωμετρίας του προβλήματος: όπου ΑΑRR ΤΤ 2 + ΒΒRR ΤΤ + CC = 0 (3.26) 27

36 AA = λλ2 ππ 2 ΒΒ bb 2 tttttt 1 rr 2 2αα + λλ2 rr 1αα ππ 2 ΒΒ aa 2 tttttt 1 rr 2 2bb rr 1bb 2cccccc(ββ aa ββ bb ) λλ2 ππ 2 ΒΒ aaββ bb tttttt 1 rr 2αα rr 1αα tttttt 1 rr 2bb rr 1bb 4ΒΒ aa 2 ΒΒ bb 2 ssssss 2 (ββ aa ββ bb ) BB = 2 λλ ππ ΒΒ aa 2 ΒΒ bb 2 tttttt 1 rr 2αα rr 1αα 2 λλ ππ ΒΒ aa 2 ΒΒ bb 2 tttttt 1 rr 2bb rr 1bb + +2 λλ ππ cccccc(ββ aa ββ bb )ΒΒ aa 3 ΒΒ bb tttttt 1 rr 2bb rr 1bb + 2 λλ ππ cccccc(ββ aa ββ bb )ΒΒ aa ΒΒ bb 3 tttttt 1 rr 2αα rr 1αα CC = ΒΒ aa 4 ΒΒ bb 2 + ΒΒ aa 2 ΒΒ bb 4 2cccccc(ββ aa ββ bb )ΒΒ aa 3 ΒΒ bb 3 Αφού έχει υπολογιστεί η τιμή της RR ΤΤ, τότε: ccccccθθ = bbbbbbbbββ aa aaaaaaaaββ bb ssssss(ββ aa ββ bb ) = = BB bb 2 RR TT λλ ππ tttttt 1 rr 2bb rr 1bb BB aa ssssssββ aa BB aa 2 RR TT λλ ππ tttttt 1 rr 2αα rr 1αα BB bb ssssssββ bb 2RR ΤΤ BB aa BB bb ssssss(ββ aa ββ bb ) (3.27) Συνεπώς έχει υπολογιστεί και η τιμή της θθ. Γνωρίζοντας τα θθ και RR TT, γνωρίζουμε τη θέση στο χώρο της πηγής και για τον πλήρη προσδιορισμό της πηγής απαιτείται ο υπολογισμός της έντασής της ΙΙ. Ισχύει από τη (3.12) ότι: Οπότε με τη βοήθεια της (3.19) προκύπτει: ΔΔΔΔ aa = RR FF (ccccccθθ ccccccθθ) ccccccθθ = ΔΔΔΔ aa RR FF + ccccccθθ = λλ 2ππRR FF tttttt 1 rr 2αα rr 1αα + ccccccθθ (3.28) Έχοντας υπολογίσει τα θθ, θθ και ΔΔRR aa με βάση την εξίσωση (3.15) προκύπτει: rr 1αα ΙΙ = AA(θθ)ΑΑ(θθ )cccccc 2ππ λλ ΔΔΔΔ aa (3.29) Στο Κεφάλαιο 4 θα εξεταστεί η απόκριση αυτής της διάταξης όταν το σήμα ΔΔRR είναι αλλοιωμένο από προσθετικό λευκό θόρυβο για όλες τις δυνατές επιλογές για την 1 η και 2 η θέση της κεραίας #2. Στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου επιχειρείται να λυθεί το ίδιο πρόβλημα αλλά σε τρισδιάστατο χώρο. 28

37 Προσδιορισμός μεμονωμένης πηγής σε 3-D χώρο Έστω πάλι μία σημειακή και μοναδική πηγή στον τρισδιάστατο χώρο αυτή τη φορά. Θα παρουσιαστεί στη συνέχεια μια μεθοδολογία για τον πλήρη προσδιορισμό της θέσης και της έντασης της πηγής. Ακουθείται η ίδια φιλοσοφία με προηγουμένως,, δηλαδή η κεραία #1 εστιάζει σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση στο χώρο, αυτή του διανύσματος RR FF και η κεραία #2 εστιάζει στην κατεύθυνση RR FF ώστε για το σημείο εστίασης FF να ισχύει RR FF = RR FF. Στη συνέχεια, η κεραία #2 μετακινείται ώστε να παραμένει πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας κέντρου FF και ακτίνας RR FF. Για την επίλυση του 3-D προβλήματος απαιτείται η κεραία #2 να μετακινηθεί σε 3 διαφορετικές θέσεις #2a, #2b και #2c, όπου σε κάθε θέση θα ικανοποιείται η προαναφερθείσα συνθήκη. Στην ακόλουθη προσέγγιση θα βρεθεί πρώτα η διεύθυνση της πηγής στο χώρο και στη συνέχεια η απόστασή του από τη θέση της κεραίας #1 και τέλος η ένταση ΙΙ της πηγής. Έστω ΒΒ το διάνυσμα από τη θέση της κεραίας #1 στη θέση της κεραίας #2 και RR TT το διάνυσμα θέσης της πηγής σε ένα αυθαίρετο τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (ΟΟ; uuuuuu) που ως αρχή OO έχει τη θέση της κεραίας #1. Τα διανύσματα ΒΒ και RR TT έχουν συνηνίτονα κατεύθυνσης στο (ΟΟ; uuuuuu) σύστημα συντατεγμένων τα ll BB, mm BB, nn BB και ll TT, mm TT, nn TT αντίστοιχα και μπορούν να γραφούν με την ακόλουθη μορφή: ΒΒ = (ll BB uu + mm BB vv + nn BB ww )ΒΒ (3.30) RR TT = (ll TT uu + mm TT vv + nn TT ww )RR TT (3.31) Με αντικατάσταση των (3.30) και (3.31) στην εξίσωση (3.7) προκύπτει: 2ΔΔRRRR TT = BB 2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )ΒΒRR TT (3.32) RR TT = BB 2 2[ΔΔRR + (ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )ΒΒ] (3.33) Αν η (3.33) γραφεί λίγο διαφορετικά, μπορεί να οριστεί η μεταβλητή ΚΚ, η τιμή της οποίας εξαρτάται μόνο από το RR TT και είναι ανεξάρτητη της θέσης των κεραιών #1 και #2: ΔΔRR + (ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )ΒΒ BB 2 = 1 2RR TT ΚΚ (3.34) Αν επιλέξουμε 3 διαφορετικές θέσεις για την κεραία #2, δηλαδή τις θέσεις #2a, #2b και #2c, όπως έχει ήδη ειπωθεί, και χρησιμοποιηθούν σύμβολα με δείκτη a, b και c για τα μεγέθη της #2a, #2b και #2c θέσης αντίστοιχα, τότε η (3.30) λαμβάνει την ακόλουθη μορφή: BB aa = (ll BBaa xx + mm BBBB yy + nn BBBB zz )BB aa για την #2a (3.35a) BB bb = (ll BBBB xx + mm BBBB yy + nn BBBB zz )BB bb για την #2b (3.35b) BB cc = (ll BBBB xx + mm BBBB yy + nn BBBB zz )BB cc για την #2c (3.35c) 29

38 Αντίστοιχα, η (3.34) γράφεται για τις 3 θέσεις τις κεραίας #2 ως ακολούθως: ll BBBB ll TT + mm BBBB mm TT + nn BBBB nn TT = ΚΚBB aa ΔΔRR aa BB aa ll BBBB ll TT + mm BBBB mm TT + nn BBBB nn TT = ΚΚBB bb ΔΔRR bb BB bb ll BBBB ll TT + mm BBBB mm TT + nn BBBB nn TT = ΚΚBB cc ΔΔRR cc BB cc (3.36a) (3.36b) (3.36cc) Οι σχέσεις (3.36) μπορούν να γραφούν και σε μορφή πίνακα: όπου, ll BBBB mm BBBB nn BBBB ll BBBB mm BBBB nn BBBB ll BBBB mm BBBB nn BBBB ll TT mm TT BB aa = KK BB bb nn TT BB cc ΔΔRR aa BB aa ΔΔRR bb BB bb ΔΔRR cc BB cc (3.37) ll TT 2 + mm TT 2 + nn TT 2 = 1 (3.38) μιας και αποτελούν 3άδα συνημιτόνων κατεύθυνσης. Οι (3.37) και (3.38) ορίζουν ένα σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους. Η επίλυση του συστήματος αυτού θα μας δώσει τις τιμές των ll TT, mm TT και nn TT που ορίζουν τη διεύθυνση στο χώρο στην οποία βρίσκεται η πηγή και την τιμή του KK. Από τη σχέση (3.34) όμως: RR TT = 1 2ΚΚ (3.39) οπότε αν λυθεί το σύστημα αυτό, τότε έχει προσδιοριστεί πλήρως η θέση της πηγής ΙΙ. Επίλυση του συστήματος (3.37), (3.38) Έστω ll TT mm TT ΤΤ = (3.40) nn TT ll BBBB mm BBBB nn BBBB ΑΑ = ll BBBB mm BBBB nn BBBB (3.41) ll BBBB mm BBBB nn BBBB BB aa ΒΒ = KK BB bb BB cc ΔΔRR aa BB aa ΔΔRR bb BB bb ΔΔRR cc BB cc ΚΚBB aa ΔΔRR aa BB aa = ΚΚBB bb ΔΔRR bb BB bb ΚΚBB cc ΔΔRR cc BB cc (3.42) 30

39 Τότε οι (3.37) και (3.38) γράφονται αντίστοιχα: και ΑΑΑΑ = ΒΒ (3.43) ΤΤ = 1 (3.44) Παρατηρούμε ότι ο πίνακας Α εκφράζει ένα μετασχηματισμό στροφής του συστήματος συντεταγμένων (ΟΟ; uuuuuu) ως προς τη θέση της κεραίας #1, κατά τον οποίο οι νέοι άξονες συντεταγμένων έχουν συνημίτονα κατεύθυνσης ως προς τους άξονες του αρχικού συστήματος συντεταγμένων τα (ll BBBB, mm BBBB, nn BBBB ), (ll BBBB, mm BBBB, nn BBBB ) και (ll BBBB, mm BBBB, nn BBBB ) αντίστοιχα. Οι άξονες του νέου αυτού συστήματος συντεταγμένων δεν είναι αναγκαστικά κάθετοι μεταξύ τους. Απαραίτητη προϋπόθεση όμως για να μπορεί να λυθεί το σύστημα (3.37), (3.38) είναι: rrrrrrrr(aa) = 3 (3.45) Τότε μπορεί να οριστεί ο πίνακας μετασχηματισμού από το ένα σύστημα στο άλλο ως εξής: ΑΑ 1 1 = ll BBcc mm BBbb nn BBBB + ll BBbb mm BBcc nn BBBB ll BBBB mm BBcc nn BBbb + ll BBcc mm BBBB nn BBbb ll BBbb mm BBBB nn BBcc + ll BBBB mm BBbb nn BBcc mm bb nn BBcc mm BBcc nn BBbb mm BBcc nn BBBB mm BBBB nn BBcc mm BBBB nn BBbb mm BBbb nn BBBB ll BBcc nn BBbb ll BBbb nn BBcc ll BBBB nn BBcc ll BBcc nn BBBB ll BBcc nn BBBB ll BBBB nn BBcc (3.46) ll BBbb mm BBcc ll BBcc mm BBbb ll BBcc mm BBBB ll BBBB mm BBcc ll BBBB mm BBbb ll BBbb mm BBBB Αν επιλεγούν τα διανύσματα BB aa, BB bb και BB cc, ώστε να είναι κάθετα μεταξύ τους, τότε ο πίνακας ΑΑ 1 απλοποιείται στον εξής: ll BBBB ll BBBB ll BBBB ΑΑ 1 = AA TT = mm BBBB mm BBBB mm BBBB (3.47) nn BBBB nn BBBB nn BBBB 31

40 Προσδιορισμός εκτεταμένης πηγής σε 3-D χώρο Με τη βοήθεια της τεχνικής που αναλύθηκε στον προσδιορισμό μεμονωμένης πηγής θα επιχειρηθεί ο προσδιορισμός μιας εκτεταμένης πηγής ακτινοβολίας. Για το σκοπό αυτό, θα χρησιμοποιηθούν πάλι οι κεραίες #1 και #2, οι έξοδοι τους θα πολλαπλασιάζονται και θα διέρχονται από ένα χαμηλοπερατό φίλτρο. Θα χρησιμοποιηθεί επιπλέον και ένας complex correlator αντίστοιχος του σχήματος 2.3 όπως και στην προηγούμενη περίπτωση. Από εδώ και στο εξής το διάγραμμα ακτινοβολίας ΑΑ(θθ, φφ) της κάθε κεραίας θα εκφράζεται με τη βοήθεια των συνημιτόνων κατεύθυνσης ως προς τους άξονες του συστήματος συντεταγμένων (ΟΟ; uuuuuu) που φαίνεται στο σχήμα 3.4 και έχει αρχή ΟΟ τη θέση της κεραίας #1, δηλαδή ως ΑΑ(ll, mm). ww TT RR TT DD nn ΤΤ RR TT FF RR FF RR FF nn ΤΤ ll ΤΤ OO #1 mm ΤΤ BB ll ΤΤ #2 mm ΤΤ vv uu Σχήμα

41 Το διαφορικό του χώρου dddd συναρτήσει των διαφορικών ddll TT και ddmm TT γράφεται σύμφωνα με το (Π2.1) ως εξής: dddd = RR TT ll TT 2 mm TT 2 ddll TTddmm TT ddrr TT (ΠΠ2.1) Όπως είναι αναμενόμενο, το αποτέλεσμα καθεμιάς από τις εξόδους του complex correlator του σχήματος 2.3 είναι αντίστοιχα: 1 1 rr 1 = AA(ll TT, mm TT )AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT, RR TT )cccccc 2ππ λλ ΔΔRR RR TT 2 RR TT =0 ll TT = 1 mm TT = rr 2 = AA(ll TT, mm TT )AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT, RR TT )ssssss 2ππ λλ ΔΔRR RR TT 2 RR TT =0 ll TT = 1 mm TT = 1 1 ll TT 2 mm TT 2 ddll TTddmm TT ddrr TT (3.48) 1 ll TT 2 mm TT 2 ddll TTddmm TT ddrr TT (3.49) όπου ΔΔRR = ΔΔRR ll TT, mm TT, RR TT, BB είναι η διαφορά στην απόσταση ενός στοιχειώδους τμήματος της πηγής από τις θέσεις των κεραιών #1 και #2. Στη συνέχεια θεωρούμε το μιγαδικό μέγεθος VV mmmmmm rr = rr 1 + jjrr 2 κατ αναλογία με την τροποποιημένη μιγαδική ορατότητα της σχέσης (2.24), οπότε με βάση τις (3.48) και (3.49) προκύπτει: 1 1 rr = AA(ll TT, mm TT )AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT, RR TT )ee jj 2ππ λλ ΔΔRR RR TT 2 RR TT =0 ll TT = 1 mm TT = 1 1 ll TT 2 mm TT 2 ddll TTddmm TT ddrr TT (3.50) Με βάση το αυθαίρετο τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (ΟΟ; uuuuuu) του σχήματος 3.4, με αρχή ΟΟ τη θέση της κεραίας #1, εκφράζονται τα διανύσματα RR TT, RR TT και ΒΒ με βάση τα συνημίτονα κατεύθυνσης ως προς τους άξονες αυτού του συστήματος συντεταγμένων ως εξής: Από τη γεωμετρία του προβλήματος έχουμε: Η (3.54) με τη βοήθεια των (3.51) και (3.53) γράφεται: RR TT = (ll TT uu + mm TT vv + nn TT ww )RR TT (3.51) RR TT = (ll TT uu + mm TT vv + nn TT ww )RR TT (3.52) ΒΒ = (ll ΒΒ uu + mm ΒΒ vv + nn ΒΒ ww )ΒΒ (3.53) RR TT = BB + RR TT (3.54) RR TT = (ll BB uu + mm BB vv + nn BB ww )BB + (ll ΤΤ uu + mm ΤΤ vv + nn ΤΤ ww )RR TT (3.55) Με μικρή αναδιάταξη η (3.55) καταλήγει στην ακόλουθη μορφή: RR TT = (ll TT RR TT ll BB BB)uu + (mm TT RR TT mm BB BB)vv + (nn TT RR TT nn BB BB)ww (3.56) Όσον αφορά το μέτρο του διανύσματος RR TT, υπολογίζεται με νόμο συνημιτόνων: 33

42 RR TT 2 = RR TT 2 + BB 2 2RR TT BB = RR TT 2 + BB 2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )RR TT BB (3.57) Από τις (3.52) και (3.56) μπορούν να υπολογιστούν τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος θέσης του στοιχειώδους τμήματος της πηγής ως εξής: ll TT RR TT ll BB BB ll TT = RR 2 TT + BB 2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )RR TT BB mm TT RR TT mm BB BB mm ΤΤ = RR 2 TT + BB 2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )RR TT BB nn TT RR TT nn BB BB nn ΤΤ = RR 2 TT + BB 2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )RR TT BB (3.57aa) (3.57bb) (3.57cc) H (3.32), οποία προφανώς ισχύει και για κάθε στοιχειώδη σημειακή πηγή στο χώρο, μπορεί να γραφεί στην ακόλουθη μορφή: ΔΔRR = ΒΒ2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )RR TT ΒΒ 2RR TT (3.58) Με αντικατάσταση των (3.57a) και (3.57b) στην (3.50) προκύπτει: 1 rr = AA(ll TT, mm TT ) 1 RR TT =0 ll TT = 1 mm TT = 1 ll AA TT RR TT ll BB BB mm TT RR TT mm BB ΒΒ, RR 2 TT + BB 2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )RR TT BB RR 2 TT + BB 2 2(ll BB ll TT + mm BB mm TT + nn BB nn TT )RR TT BB II(ll TT, mm TT, RR TT )ee jj 2ππ λλ ΔΔRR RR TT 2 1 ll TT 2 mm TT 2 ddll TTddmm TT ddrr TT (3.59) Αν υποθέσουμε ότι λόγω του διαγράμματος ακτινοβολίας η τιμή της μεταβλητής rr παίρνει πολύ μικρές τιμές όταν ll tt 1, 1 και mm tt 1, 1 μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα όρια αυτών των μεταβλητών ώστε να τείνουν στο +, αντίστοιχα. Αν επιπλέον αντικατασταθεί και η (3.58) στην (3.59) έχουμε: rr = AA(ll TT, mm TT )AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT, RR TT )ee jj ππ λλ RR TT =0 ll TT = mm TT = RR TT 2 BB 2 RR TT ee jj 2ππ λλ (ll BB ll TT +mm BB mm TT +nn BB nn TT )ΒΒ 1 ll TT 2 mm TT 2 ddll TTddmm TT ddrr TT (3.60) 34

43 Παρατήρηση: Αν θεωρήσουμε ότι οι κεραίες μας εστιάζουν στο άπειρο, ή ισοδύναμα ότι το σημείο εστίασης FF είναι στο άπειρο, και υποθέσουμε ότι όλες οι πηγές βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας, τότε μπορούμε να καταλήξουμε μέσω της (3.60) στην εξίσωση της τροποποιημένης μιγαδικής ορατότητας VV mmmmmm για εστίαση στο άπειρο. Οι αλλαγές που πρέπει να γίνουν είναι οι εξής: Εφόσον οι 2 κεραίες στοχεύουν παράλληλα, τότε ll TT = ll TT και mm TT = mm TT. Επειδή στη θεώρηση που είχε γίνει τότε το διάνυσμα θέσης του σημείου εστίασης ss είχε μέτρο μονάδα, θα πρέπει RR TT = 1 TT και εκφυλίζεται η ολοκλήρωση ως προς ddrr TT. Από το (Π3.1) προκύπτει: BB 2 = 2RR FF BB. Με αυτές τις αλλαγές η (3.60) μετασχηματίζεται στην: rr = AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT ) ΙΙee jj2ππ RR FF BB 1 ll 2 λλ ee jj 2ππ λλ ll BB ll TT +mm BB mm TT +nn BB 1 ll 2 TT mm 2 TT ΒΒ ddllττ ddmm 2 ΤΤ (3.61) TT + mm TT ll TT = mm TT = Σύμφωνα όμως με τη (3.53): η (3.61) μπορεί να γραφεί στη μορφή: rr = AA(ll TT, mm TT )II(ll TT, mm TT ) 1 ll 2 2 TT + mm TT ll TT = mm TT = ΒΒ = (ll ΒΒ uu + mm ΒΒ vv + nn ΒΒ ww )ΒΒ uu BB uu + vv BB vv + ww BB ww (3.53) ΙΙee jj2ππ RR FF BB λλ ee jj 2ππ λλ uu BB ll TT +vv BB mm TT +ww BB 1 ll 2 TT +mm 2 TT 1 ddll TT ddmm TT που δεν είναι άλλη από την σχέση (2.32) που αποδείχθηκε στο κεφάλαιο 2 της εστίασης σε σημείο στο άπειρο, εκφρασμένης με την εκδοχή της τροποποιημένης μιγαδικής ορατότητας VV mmmmmm όπως αυτή ορίστηκε στη σχέση (2.16). Επιστρέφοντας στη σχέση (3.60) έχει ολοκληρωθεί η διατύπωση της τροποποιημένης μιγαδικής ορατότητας VV mmmmmm. Όπως είναι αναμενόμενο είναι αρκετά πιο πολύπλοκη από την αντίστοιχη σχέση της μιγαδικής ορατότητας για εστίαση σε σημείο εις άπειρο που βρέθηκε στο Κεφάλαιο 2. Η σχέση (3.60) εμπλέκει και την απόσταση του στοιχειώδους τμήματος της κατανομής των πηγών ddrr TT με αποτέλεσμα η VV mmmmmm να προκύπτει από τριπλό ολοκλήρωμα. Για να εφαρμοστεί αντιστροφή του προβλήματος μέσω μετασχηματισμών Fourier ώστε με γνώση της VV mmmmmm σε διάφορες θέσεις των κεραιών #1 και #2 να υπολογίζεται η συνάρτηση της έντασης των πηγών II(ll TT, mm TT, RR TT ), επιβάλλεται η ολοκλήρωση να είναι διπλή. Η συγκεκριμένη εργασία περιορίζεται σε αυτό το σημείο στην διατύπωση του προβλήματος αφήνοντας ως πρόκληση την ανάπτυξη κάποιας τεχνικής ώστε η τριπλή ολοκλήρωση να αναχθεί σε διπλή και στη συνέχεια να τροποποιηθεί ώστε να μπορέσει να καταλήξει στη μία συνάρτηση του ζεύγους του μετασχηματισμού Fourier. Στα πλαίσια κάποιων πρώιμων ιδεών θα μπορούσε να θεωρηθεί ll TT ll TT και mm TT mm TT όταν εμφανίζονται ως παράμετροι του διαγράμματος ακτινοβολίας, δηλαδή να θεωρηθεί ότι AA(ll TT, mm TT ) AA(ll TT, mm TT ) και η κατανομή των πηγών II(ll TT, mm TT, RR TT ) να προσεγγιστεί με ένα πεπερασμένο άθροισμα διανεμημένων επιφανειακά πηγών, με κάθε προσθετέος να αντιπροσωπεύει την επιφάνεια σφαίρας διαφορετικής μεν κάθε φορά ακτίνας RR TT, σταθερής δε για κάθε επιφάνεια. Δηλαδή: 35

44 II(ll TT, mm TT, RR TT ) NN ii=1 II ll TT, mm TT, RR TT ii (3.62) Στα μέχρι στιγμής προβλήματα που επιλύσαμε, είχαμε τη δυνατότητα διατηρώντας την κεραία #1 σταθερή να μπορούμε να εντοπίζουμε την επιφανειακή κατανομή πηγών στην ουράνια σφαίρα κατά την εστίαση σε σημείο εις άπειρο, ή τη μεμονωμένη σημειακή πηγή στο χώρο κατά την εστίαση σε πεπερασμένο σημείο. Ωστόσο, για την επίλυση του συστήματος που θα έχει Ν όρους σύμφωνα με την (3.62) απαιτείται πρόσθετη πληροφορία και επομένως και η μετακίνηση της κεραίας #1. Σε αυτό το σημείο ολοκληρώνεται το παρόν κεφάλαιο αφήνοντας μια ανοιχτή πρόκληση για τους επίδοξους αναγνώστες! 36

45 Κεφάλαιο 4 Απόκριση συστήματος σε περιβάλλον θορύβου Μέχρι στιγμής μελετήθηκε η απόκριση του συμβολομετρικού συστήματος σε ιδανικό περιβάλλον μηδενικού θορύβου. Ωστόσο, η ύπαρξη θορύβου μπορεί να επηρεάσει αρνητικά έως και καταστροφικά την ακρίβεια τέτοιων συστημάτων και για το λόγο αυτό κρίνεται αναγκαίο να γίνει μια πρώτη προσέγγιση προσομοίωσης λειτουργίας του συμβολομέτρου σε περιβάλλον θορύβου. Συγκεκριμένα, για λόγους καλύτερης εποπτείας και ευκολότερης εξαγωγής συμπερασμάτων θα εξεταστεί το διδιάστατο πρόβλημα που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 3. Όπως έχει ήδη φανεί και από τη θεωρητική ανάλυση, το παρουσιαζόμενο συμβολόμετρο έχει αρκετούς βαθμούς ελευθερίας. Επιγραμματικά αυτοί είναι: Επιλογή της απόστασης εστίασης RR FF, είτε πολύ μικρότερη της εκτιμώμενης απόστασης απόστασης στόχου RR TT, δηλαδή RR FF RR TT, είτε απλά μικρότερη αλλά της ίδιας τάξης μεγέθους, δηλαδή απλά RR FF < RR TT. Επιλογή της γωνίας εστίασης στο διδιάστατο επίπεδο σε σχέση με το στόχο ΤΤ που πρέπει να προσδιοριστεί. Επιλογή των γωνιών ββ αα και ββ bb που σχηματίζουν τα διανύσματα ΒΒ αα και ΒΒ bb αντίστοιχα με το διάνυσμα εστίασης RR FF. Για το λόγο αυτό θα παρατεθούν κάποια συγκριτικά διαγράμματα στα οποία μόνο μια παράμετρος θα μεταβάλλεται ενώ οι άλλες θα παραμένουν σταθερές ώστε να γίνει όσο το δυνατόν πιο φανερή η επίδραση της κάθε παραμέτρου στην επίδοση της διάταξης. Ας σημειωθεί ότι σε όλα τα διαγράμματα στους 2 άξονες xx yy απεικονίζονται οι γωνίες ββ αα και ββ bb οι οποίες θεωρείται ότι μεταβάλλονται στο εύρος ( 180 οο, 180 οο ) αντίστοιχα. Στοιχεία διάταξης υπό προσομοίωση Θεωρείται, όπως προαναφέρθηκε, η συμβολομετρική διάταξη του σχήματος 3.3, η οποία επαναλαμβάνεται για ευκολία εποπτείας και παρακάτω. Τα ζωνοδιαβατά φίλτρα του σχήματος 2.3 θεωρείται ότι έχουν κεντρική συχνότητα ff oo = 10GGGGGG, συχνότητα στην οποία υποθέτουμε ότι ακτινοβολεί και η πηγή που προσπαθούμε να προσδιορίσουμε. Επιπλέον, ο θόρυβος θεωρείται ότι είναι γκαουσιανής κατανομής, λευκός ως προς τη συχνότητα και προσθετικός. Τέλος, το σημείο αναφοράς για το επίπεδο ισχύος του θορύβου είναι το σήμα ΔΔRR = RR TT RR TT, μέγεθος το οποίο φαίνεται στο σχήμα 3.2. Όπως αποδεικνύεται στην Πρόταση 4 του Παραρτήματος, ο θόρυβος στο σήμα ΔΔRR είναι μηδενικός όταν ο ολοκληρωτής του complex correlator έχει άπειρο χρόνο ολοκλήρωσης. Ωστόσο, λόγω του 37

46 γεγονότος ότι κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό στην πραγματικότητα, αλλά και λόγω διαφόρων άλλων πηγών θορύβων το σήμα ΔΔRR καταλήγει σε ένα πραγματικό σύστημα να είναι αλλοιωμένο από θόρυβο. TT RR TT FF RR FF θθ ββ aa #1 ββ bb BB aa BB bb #2a #2b Σχήμα 3.3 Επίδραση του πλήθους των ανεξάρτητων δειγμάτων Μιας και ο θόρυβος είναι μια συγκεκριμένη στοχαστική διαδικασία η οποία αλλοιώνει τα εκτιμώμενα μεγέθη της πηγής που θέλουμε να προσδιορίσουμε και αφού έχει μέση τιμή 0, είναι αναμενόμενο ότι αν γίνουν πολλές ανεξάρτητες μετρήσεις τότε η τιμή του προσδιοριζόμενου μεγέθους αλλοιωμένη από το θόρυβο θα προσεγγίζει την πραγματική τιμή. Στη συγκεκριμένη προσομοίωση επιλέγεται τα στοιχεία της διάταξης ως εξής: λλ = 3ccmm θθ = 20 οο RR FF = 2000λλ RR TT = 50000λλ SSSSSS = 0dddd Τα διαγράμματα που θα παρατεθούν αφορούν 1, 10, 100 και 1000 ανεξάρτητες μετρήσεις για κάθε θέση των κεραιών #1 και #2, ενώ ως ενδεικνύμενη τιμή λαμβάνεται ο μέσος όρος των υπολογισμών για την απόσταση και την γωνιακή απόκλιση της πηγής από το διάνυσμα εστίασης RR FF. Ας σημειωθεί ότι η σωστή απόσταση του στόχου είναι RR TT = = 1500mm. 38

47 Σχήμα 4.1α Σχήμα 4.1b Σχήμα 4.1c Σχήμα 4.1d Όπως είναι αναμενομένο, παρατηρείται μια ευθεία απροσδιοριστίας όταν 𝑏𝑏𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏. Σε αυτή την περίπτωση η 2η θέση της κεραίας #2 συμπίπτει με την 1η θέση της κεραίας #2 και συνεπώς δεν παρέχεται επαρκής πληροφορία για την επίλυση του προβήματος. Οι άλλες 2 ευθείες απροσδιοριστίας 𝑏𝑏𝑎𝑎 = 90𝑜𝑜 και 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 90𝑜𝑜 αντιστοιχούν στην περίπτωση όπου η θέση της κεραίας #2 ταυτίζεται με τη θέση της κεραίας #1, περίπτωση κατά την οποία ο στόχος φαίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο και από τις 2 κεραίες, οπότε πάλι δεν παρέχεται επαρκής πληροφορία για την επίλυση. Συνεχίζοντας τις παρατηρήσεις των διαγραμμάτων των σχημάτων 4.1, βλέπουμε πως όσο περισσότερο απομακρυνόμαστε από αυτές τις ευθείες απροσδιοριστίας, τόσο καλύτερη εκτίμηση της απόστασης του στόχου πετυχαίνουμε. Οσο αυξάνει ο αριθμός των ανεξάρτητων μετρήσεων, τόσο βελτιώνεται η ακρίβεια στις προαναφερθείσες περιοχές του διαγράμματος, με την τιμή των 100 ανεξάρτητων παρατηρήσεων να ορίζει ένα αυθαίρετο κατώφλι ποιότητας της μέτρησης. Οσο όμως και αν αυξηθούν οι μετρήσεις, δεν επιτυγχάνεται βελτίωση στη διεύρυνση των περιοχών καλής λειτουργίας ανάμεσα στις ευθείες απροσδιοριστίας. Σχετικά με τα αποτελέσματα στην εκτίμηση της γωνίας 𝜃𝜃 των σχημάτων 4.2 που βρίσκεται ο στόχος, τα αποτελέσματα είναι πολύ καλύτερα σε σχέση με την εκτίμηση της απόστασης του 𝑅𝑅𝑇𝑇. Παρατηρούμε πως οι περιοχές ασφαλούς εκτίμησης της γωνίας 𝜃𝜃 είναι αισθητά πιο διευρυμένες σε σχέση με τα σχήματα 4.1, ενώ και σε αυτή την περίπτωση το κατώφλι των 39

48 100 ανεξάρτητων μετρήσεων δίνει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα. Για το σκοπό αυτό, όλες οι υπόλοιπες προσομοιώσεις θα γίνονται λαμβάνοντας υπόψιν 100 μετρήσεις. Σχήμα 4.2α Σχήμα 4.2b Σχήμα 4.2α Σχήμα 4.2b Επίδραση της σηματοθορυβικής σχέσης (SSSSSS) Στη συνέχεια, θα θεωρηθούν όλες οι παράμετροι του συστήματος σταθερές και θα μεταβάλλεται μόνο η σηματοθορυβική σχέση (SSSSSS) στο σήμα ΔΔRR που λαμβάνεται μετά τον complex correlator. Για την αξιολόγηση της επίδρασης του SSSSSS σύστημα επιλέγεται διάταξη με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: λλ = 3cccc θθ = 20 οο RR FF = 2000λλ RR TT = 50000λλ llllllllll =

49 Τέλος, θα απεικονιστούν οι τιμές των υπολογιζόμενων μεγεθών 𝑅𝑅𝑇𝑇 και 𝜃𝜃 για τιμές 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 10, 0, 10, 20𝑑𝑑𝑑𝑑. Όπως φαίνεται στα επόμενα διαγράμματα που παρουσιάζουν τις εκτιμώμενες τιμές για την απόσταση 𝑅𝑅𝑇𝑇 του στόχου, υπάρχει έντονη μεταβολή στη διακριτική ικανότητα του συστήματος. Όταν 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 10𝑑𝑑𝑑𝑑, τότε σύμφωνα με το διάγραμμα του σχήματος 4.3a παρατηρείται πλήρης ασάφεια και δεν μπορεί να εξαχθεί συμπέρασμα για κανένα ζεύγος θέσεων της κεραίας #2. Όσο βελτιώνεται η σηματοθορυβική σχέση, τόσο εμφανίζονται οι περιοχές καλής εκτίμησης που αναλύθηκαν προηγουμένως, περιοχές που όσο αυξάνει το 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 διευρύνονται. Ασυμπτωτικά, όταν 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆, οι περιοχές ασάφειας εντοπίζονται αποκλειστικά πάνω στις 3 ευθείες 𝑏𝑏𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑏𝑏𝑎𝑎 = 90𝑜𝑜 και 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 90𝑜𝑜 που συζητήθηκαν προηγούμενα. Σχήμα 4.3α Σχήμα 4.3b Σχήμα 4.3c Σχήμα 4.3d Αξίζει να τονιστεί σε αυτό το σημείο ότι ανάλογα με τη θέση του στόχου 𝛵𝛵 και ανάλογα με τη διαφορά στην τάξη μεγέθους των αποστάσεων στόχου 𝑅𝑅𝑇𝑇 και εστίασης 𝑅𝑅𝐹𝐹 το κατώφλι αναγνώρισης του στόχου μεταβάλλεται σε μεγάλο βαθμό. Με τα συγκεκριμένα στοιχεία της διάταξης και του στόχου το κατώφλι ανίχνευσης εντοπίζεται για 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 0𝑑𝑑𝑑𝑑. Η εξέταση του κατωφλίου ανίχνευσης για μεταβολές των παραμέτρων που θεωρήθηκαν δεδομένες στη συγκεκριμένη περίπτωση θα γίνει παρακάτω. 41

50 Αναφορικά με τη γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση του στόχου ΤΤ με το διάνυσμα εστίασης RR FF οι περιοχές ασάφειας είναι πολύ πιο περιορισμένες για τις ίδιες τιμές SSSSSS. Επιβεβαιώνεται και σε αυτή τη διερεύνηση ότι ο προσδιορισμός της γωνίας που εντοπίζεται ο στόχος είναι λιγότερο ευαίσθητος στον γκαουσιανό θόρυβο σε σχέση με την απόσταση που βρίσκεται ο στόχος. Σχήμα 4.4α Σχήμα 4.4b Σχήμα 4.4c Σχήμα 4.4d Επίδραση της γωνίας θθ που σχηματίζει ο στόχος ΤΤ Στην παρούσα διερεύνηση θα εξεταστεί η επίδραση της γωνίας που σχηματίζει ο στόχος ΤΤ ως προς το διάνυσμα εστίασης RR FF στην ακρίβεια του συστήματος συναρτήσει του SSSSSS. Για το σκοπό αυτό υποτίθεται διάταξη με τα στοιχεία που φαίνονται παρακάτω ενώ ο στόχος ΤΤ τοποθετείται διαδοχικά σε γωνίες θθ = 0 οο, 20 οο, 50 οο, 80 οο. Και σε αυτή την περίπτωση παρατίθενται τα διαγράμματα απόστασης του στόχου και γωνιακής απόκλισης του στόχου συναρτήσει των διαφορετικών θέσεων της κεραίας #2. 42

51 𝜆𝜆 = 3𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑅𝑅𝐹𝐹 = 2000𝜆𝜆 𝑅𝑅𝑇𝑇 = 50000𝜆𝜆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 10𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 100 Όπως είναι διαισθητικά αναμενόμενο, καλύτερη ανοχή στον θόρυβο παρατηρείται όταν ο στόχος βρίσκεται πάνω στη διεύθυνση του διανύσματος εστίασης 𝑠𝑠 𝐹𝐹, δηλαδή για 𝜃𝜃 = 0𝜊𝜊. Όσο ο στόχος απομακρύνεται από αυτή τη διεύθυνση τόσο αυξάνονται οι περιοχές ασάφειας πάνω στο επίπεδο των 2 θέσεων της κεραίας #2. Ταυτόχρονα όμως παρατηρείται αλλοίωση της συμμετρίας των διαγραμμάτων ως προς το σημείο (𝛽𝛽𝛼𝛼 = 90𝜊𝜊, 𝛽𝛽𝑏𝑏 = 90𝑜𝑜 ) όσο η γωνία 𝜃𝜃 απομακρύνεται από την τιμή 𝜃𝜃 = 0𝜊𝜊. Σχήμα 4.5a Σχήμα 4.5b Σχήμα 4.5c Σχήμα 4.5d Ας σημειωθεί ότι για μεγάλες τιμές της γωνίας 𝜃𝜃 η ανοχή του συστήματος στο θόρυβο είναι ελάχιστη με αποτέλεσμα ακριβής ανίχνευση σε τέτοιες γωνίες θέασης του στόχου να 43

52 απαιτούν υψηλότερο σηματοθορυβικό λόγο SSSSSS. Στη συνέχεια παρατίθενται τα διαγράμματα που απεικονίζουν την εκτίμηση της γωνιακής απόκλισης του στόχου, καθώς αυτή μεταβάλλεται σε σταθερό επίπεδο θορύβου. Σχήμα 4.6a Σχήμα 4.6b Σχήμα 4.6c Σχήμα 4.6d Επίδραση του SSSSSS σε ίδιας μεγάλης τάξης μεγέθους απόσταση εστίασης RR FF και στόχου RR TT Η διαφορά στην τάξη μεγέθους μεταξύ των αποστάσεων εστίασης RR FF και στόχου RR TT είναι ένας κρίσιμος παράγοντας που επηρεάζει καταλυτικά την απόδοση της διάταξης σε περιβάλλον θορύβου. Προς αυτό το σκοπό είναι προσανατολισμένες οι προσομοιώσεις των επόμενων ενοτήτων αρχής γενομένης από την παρούσα. Αρχικά, εξετάζεται η απόδοση της διάταξης όταν και οι 2 προαναφερθείσες αποστάσεις έχουν τιμές της τάξης μεγέθους δεκάδων χιλιάδων μηκών κύματος λλ. Τα ακριβέστερα χαρακτηριστικά της διάταξης που προσομοιώνεται φαίνονται παρακάτω: 44

53 𝜆𝜆 = 3𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 = 20𝜊𝜊 𝑅𝑅𝐹𝐹 = 20000𝜆𝜆 𝑅𝑅𝑇𝑇 = 50000𝜆𝜆 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 100/1000 Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα διαγράμματα εκτίμησης της απόστασης του στόχου 𝑅𝑅𝑇𝑇 για τιμές σηματοθορυβικού λόγου 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 40, 30, 20, 10𝑑𝑑𝑑𝑑. Σχήμα 4.7a Σχήμα 4.7b Σχήμα 4.7c Σχήμα 4.7d Αναφορικά με τα προηγούμενα διαγράμματα, εμφανίζονται πάλι οι ευθείες αβεβαιότητας που έχουν αναλυθεί στις προηγούμενες προσομοιώσεις. Αυτό που αξίζει να σημειωθεί είναι ότι τα στοιχεία της συγκεκριμένης διάταξης είναι ακριβώς ίδια με αυτά των σχημάτων 4.3 με εξαίρεση την απόσταση εστίασης 𝑅𝑅𝐹𝐹. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η απόσταση 𝑅𝑅𝐹𝐹 έχει αυξηθεί κατά 1 τάξη μεγέθους σε σχέση με τα σχήματα 4.3 και πλέον οι αποστάσεις 𝑅𝑅𝐹𝐹 και 𝑅𝑅𝑇𝑇 είναι της ίδιας τάξης μεγέθους. Το αποτέλεσμα είναι ότι με τις νέες παραμέτρους της 45

54 διάταξης έχει βελτιωθεί κατά περίπου 40dddd η απόδοση του συστήματος (αν θεωρηθεί ότι τα σχήματα 4.3c και 4.7b παρέχουν ίδιας τάξης ασάφεια ως προς την απόσταση RR TT ). Ανάλογα συμπεράσματα προκύπτουν και από τα διαγράμματα εκτίμησης της γωνίας θθ του στόχου, όπως φαίνεται παρακάτω: Σχήμα 4.8a Σχήμα 4.8b Σχήμα 4.8c Σχήμα 4.8d Επίδραση του SSSSSS σε ίδιας μικρής τάξης μεγέθους απόσταση εστίασης RR FF και στόχου RR TT Στη συνέχεια επιλέγεται να εξεταστεί μία διάταξη, στην οποία και η απόσταση εστίασης RR FF και η απόσταση του στόχου RR TT είναι της τάξης μερικών δεκάδων μηκών κύματος. λλ = 3cccc θθ = 20 οο RR FF = 20λλ RR TT = 50λλ llllllllll = 100/

55 Στη συγκεκριμένη περίπτωση η απόδοση επηρεάζεται και από την προσέγγιση που έχει ληφθεί στη σχέση 3.5 του προηγούμενου κεφαλαίου, η οποία στη συγκεκριμένη περίπτωση μπορεί να μην ικανοποιείται απόλυτα μιας και η απόσταση του στόχου 𝑅𝑅𝑇𝑇 έχει μικρύνει αρκετά. Ας σημειωθεί βέβαια, ότι σε όλη τη θεώρηση της συγκεκριμένης εργασίας υποτέθηκε ότι στις κεραίες #1 και #2 προσπίπτει επίπεδο κύμα, δηλαδή η πηγή βρίσκεται σε αρκετή απόσταση από το σύστημα παρατήρησης ώστε να μπορούν να θεωρηθούν τα μέτωπα κύματος επίπεδα. Το γεγονός αυτό στερεί της συγκεκριμένης προσέγγισης φυσική υλοποίηση, ωστόσο προκύπτουν κάποια ενδιαφέροντα συμπεράσματα για την ακρίβεια της προσέγγισης της σχέσης 3.5. Επιλέγεται να γίνει η προσομοίωση για σηματοθορυβικούς λόγους 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 10, 20, 30, 40𝑑𝑑𝑑𝑑. Σχήμα 4.9a Σχήμα 4.9b Σχήμα 4.9c Σχήμα 4.9d Συγκρίνοντας τα σχήματα 4.9 με τα σχήματα 4.3 παρατηρείται μια μείωση της ανοχής του συστήματος στο θόρυβο της τάξης των 20𝑑𝑑𝑑𝑑 (αν θεωρηθούν αντιστοίχου ποιότητας τα σχήματα 4.3c και 4.9c). Αν τα αποτελέσματα συγκριθούν με τις αμέσως προηγούμενες προσομοιώσεις των σχημάτων 4.7 η διαφορά μπορεί να είναι και της τάξης των 60𝑑𝑑𝑑𝑑. Στη συνέχεια παρατίθενται και τα διαγράμματα για την εκτίμηση της γωνίας 𝜃𝜃 του στόχου, που παρουσιάζουν ανάλογη συμπεριφορά. Τελικά, όπως ήταν αναμενόμενο, η επίδοση του συστήματος σε κοντινούς στόχους υποβαθμίζεται σημαντικά, απαιτώντας υψηλότερη σηματοθορυβική σχέση 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 για να γίνει ασφαλής ανίχνευση του στόχου. 47

56 Σχήμα 4.10a Σχήμα 4.10b Σχήμα 4.10c Σχήμα 4.10d Επίδραση του SSSSSS σε χαμηλής τάξης μεγέθους απόσταση εστίασης RR FF και υψηλής τάξης μεγέθους απόσταση στόχου RR TT Στο συγκεκριμένο μοντέλο εξετάζεται η απόκριση του συστήματος λήψης όταν η απόσταση εστίασης RR FF είναι αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερη από την απόσταση του στόχου RR TT. Μια τέτοια περίπτωση μπορεί να βρει εφαρμογή όταν η απόσταση του στόχου που πρέπει να εκτιμηθεί είναι τελείως άγνωστη. Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να γίνει μια σταδιακή προσέγγιση της τάξης μεγέθους της απόστασης εστίασης ώστε να πλησιάσει στην απόσταση του στόχου και να μπορεί η διάταξη να ανταποκριθεί με ακρίβεια και σε χαμηλότερους σηματοθορυβικούς λόγους SSSSSS. Για την προσομοίωση της συγκεκριμένης περίπτωσης επιλέγεται διάταξη η οποία έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά και προσομοιώνεται για SSSSSS = 70, 80, 90, 100dddd: 48

57 𝜆𝜆 = 3𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 = 20𝜊𝜊 𝑅𝑅𝐹𝐹 = 20𝜆𝜆 𝑅𝑅𝑇𝑇 = 50000𝜆𝜆 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 100/1000 Η υποβάθμιση της ποιότητας του συστήματος λήψης γίνεται φανερή από το 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 που απαιτείται για να επιτευχθεί ικανοποιητική εκτίμηση της θέσης του στόχου όπως φαίνεται στα διαγράμματα που ακολουθούν: Σχήμα 4.11a Σχήμα 4.11b Σχήμα 4.11c Σχήμα 4.11d Αναφορικά με την εκτίμηση της γωνίας που βρίσκεται ο στόχος, η διάταξη υπό αυτές τις συνθήκες παρουσιάζει αρκετά βελτιωμένη διακριτική ικανότητα σε σχέση με την εκτίμηση της απόστασης 𝑅𝑅𝑇𝑇 που παρουσιάστηκε στα σχήματα Για τις ίδιες τιμές 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διαγράμματα για τη γωνία 𝜃𝜃 που σχηματίζει ο στόχος με το διάνυσμα εστίασης 𝑅𝑅 𝐹𝐹 : 49

58 Σχήμα 4.12a Σχήμα 4.12b Σχήμα 4.12c Σχήμα 4.12d Εν κατακλείδι, στο παρόν κεφάλαιο εξετάστηκαν σχεδόν όλες οι παράμετροι του διδιάστατου προβλήματος και ο τρόπος με τον οποίο επηρεάζονται οι εκτιμήσεις της διάταξης κάτω από την επίδραση θορύβου. Ο προσδιορισμός της γωνίας θθ γίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια από τον προσδιορισμό της απόστασης RR TT για ίδιο SSSSSS. Βέλτιστη απόδοση επιτυγχάνεται όταν το διάνυσμα εστίασης RR FF και το διάνυσμα θέσης του στόχου RR TT είναι συγγραμικά και επιπλέον τα μέτρα τους RR FF και RR TT είναι της ίδιας τάξης μεγέθους. Ωστόσο, και στις άλλες περιπτώσεις που αναλύθηκαν η συμπεριφορά είναι αρκετά καλή με εξαίρεση την τελευταία κατά την οποία η διάταξη εστιάζει πολύ κοντά και ο στόχος βρίσκεται πολύ μακριά, όπου απαιτείται αρκετά υψηλό SSSSSS για ακριβή εκτίμηση της απόστασης RR TT του στόχου. 50

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες συντεταγμένες

Γενικευμένες συντεταγμένες Γενικευμένες συντεταγμένες Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων. Η θέση του συστήματος ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθορίζεται την τυχαία χρονική στιγμή t από τα διανύσματα θέσης των υλικών σημείων:

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 5: Ηλεκτρικό δυναμικό στις 3 διαστάσεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 5: Ηλεκτρικό δυναμικό στις 3 διαστάσεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 5: Ηλεκτρικό δυναμικό στις 3 διαστάσεις Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ορισμός και ερμηνεία του ηλεκτρικού δυναμικού στις 3 διαστάσεις μέσω:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις 1 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο Αριστείδης Δοκουμετζίδης Ύλη Διανύσματα Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα Διαφορικές εξισώσεις ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μία φυσική ποσότητα μπορεί να αναπαρίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην έννοια της μαγνητικής ροής και ορισμός του μαθηματικού τύπου της

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση

Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση Εντοπισμός ενός σήματος STOP σε μια εικόνα. Περιγράψτε τη διαδικασία με την οποία μπορώ να εντοπίσω απλά σε μια εικόνα την ύπαρξη του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Ένα οπτικό φράγμα με δυο σχισμές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=0.20 mm είναι τοποθετημένο σε απόσταση =1,20 m από μια οθόνη. Το οπτικό φράγμα με τις δυο σχισμές

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες ΣΡ Κινητήρες ΣΡ

Γεννήτριες ΣΡ Κινητήρες ΣΡ Γεννήτριες ΣΡ Κινητήρες ΣΡ - Στοιχειώδεις Ηλεκτρικές Μηχανές Επαγωγή λέγεται το φαινόμενο κατά το οποίο αναπτύσσεται ΗΕΔ: a. Στα άκρα αγωγού όταν αυτός κινείται με ταχύτητα υ μέσα σε μαγνητικό πεδίο επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 8: Μαγνητισμός. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 8: Μαγνητισμός. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 8: Μαγνητισμός Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εξοικείωση με τις έννοιες του μαγνητισμού και του μαγνητικού πεδίου Κινούμενο φορτίο σε μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #7: Άλγεβρα Βαθμίδων (μπλόκ) Ολική Συνάρτηση Μεταφοράς Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Γ Λυκείου Σελ. 1 από 10 ΟΔΗΓΙΕΣ: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ 1 Ο

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Γ Λυκείου Σελ. 1 από 10 ΟΔΗΓΙΕΣ: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ 1 Ο ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Οι απαντήσεις σε όλα τα ερωτήματα θα πρέπει να αναγραφούν στο Φύλλο Απαντήσεων που θα σας δοθεί χωριστά από τις εκφωνήσεις.. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε φύλλα Α4 ή σε τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Αδιαστατοποίησης - Δυναμικής Πληθυσμών Άσκηση 3.3, σελίδα 32 από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I Άσκηση 1 Ερώτημα (i) HH 0 : μμ 1 = μμ = μμ 3 = μμ 4 = μμ HH 1 : τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Επανάληψη θεωρίας διανυσμάτων Εξοικείωση με τη χρήση τους στην περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεραίες Χοάνης(Horn Antennas)

Κεραίες Χοάνης(Horn Antennas) 19 Απριλίου 2010 Συστήματα Κεραιών & Ασύρματη Διάδοση Κεραίες Χοάνης, Ανακλαστήρα & Μικροταινίας Κεραίες Χοάνης(Horn Antennas) Από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες στις μικροκυματικές επικοινωνίες.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 12: To φως. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 12: To φως. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 12: To φως Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στο φως και στη δυική φύση του (κυματική, σωματιδιακή) Ορισμός ηλεκτρομαγνητισμού, ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 13: Γεωμετρική οπτική. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 13: Γεωμετρική οπτική. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 13: Γεωμετρική οπτική Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Η κυματική φύση του φωτός: διάθλαση, ανάκλαση, απορρόφηση Γωνίες πρόσπτωσης, ανάκλασης

Διαβάστε περισσότερα

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση Κυματική οπτική Η κυματική οπτική ασχολείται με τη μελέτη φαινομένων τα οποία δεν μπορούμε να εξηγήσουμε επαρκώς με τις αρχές της γεωμετρικής οπτικής. Στα φαινόμενα αυτά περιλαμβάνονται τα εξής: Συμβολή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ηλεκτρoακουστικής Άσκηση 2 - Σελίδα 1 ΗΛΕΚΤΡΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2

Εργαστήριο Ηλεκτρoακουστικής Άσκηση 2 - Σελίδα 1 ΗΛΕΚΤΡΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 Εργαστήριο Ηλεκτρoακουστικής Άσκηση 2 - Σελίδα 1 ΗΛΕΚΤΡΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 MEΤΡΗΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΚΑΙ ΗΧΟΜΟΝΩΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σαν θόρυβος ορίζεται συνήθως η κατηγορία των ανεπιθύμητων ήχων, που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Ένα οπτικό φράγμα με δυο σχισμές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση =0.0 mm είναι τοποθετημένο σε απόσταση =1,0 m από μια οθόνη. Το οπτικό φράγμα με τις δυο σχισμές φωτίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 7: Κυκλική κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 7: Κυκλική κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 7: Κυκλική κίνηση Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην κυκλική κίνηση Παρουσίαση και επεξήγηση γωνιακών μεγεθών ακτίνια, ταχύτητα,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ανάλυση σύνθετων κινήσεων (υλικών σημείων και σωμάτων) σε μεταφορική και περιστροφική Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑ ΙΟΤΗΛΕΣΚΟΠΙΑ. Κεραίες: Βασικές θεωρητικές έννοιες Λειτουργία και χρήση ραδιοαστρονοµικών οργάνων Παραβολικές κεραίες Συµβολοµετρία

ΡΑ ΙΟΤΗΛΕΣΚΟΠΙΑ. Κεραίες: Βασικές θεωρητικές έννοιες Λειτουργία και χρήση ραδιοαστρονοµικών οργάνων Παραβολικές κεραίες Συµβολοµετρία ΡΑ ΙΟΤΗΛΕΣΚΟΠΙΑ Κεραίες: Βασικές θεωρητικές έννοιες Λειτουργία και χρήση ραδιοαστρονοµικών οργάνων Παραβολικές κεραίες Συµβολοµετρία Γιάννης Σειραδάκης Τµήµα Φυσικής, ΑΠΘ Το ηλεκτροµαγνητικό φάσµα Ραδιοφωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton

Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton.Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η μελέτη της εστιακής απόστασης συστήματος φακών, η εύρεση της ισοδύναμης εστιακής απόστασης του συστήματος αυτού καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 6 ο : ορυφορικές κεραίες

Μάθηµα 6 ο : ορυφορικές κεραίες Μάθηµα 6 ο : ορυφορικές κεραίες Στόχοι: Στο τέλος αυτού του µαθήµατος ο σπουδαστής θα γνωρίζει: Τα βασικά χαρακτηριστικά των δορυφορικών κεραιών Τους σηµαντικότερους τύπους κεραιών που χρησιµοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες . Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

Διάφορες κεραίες. Μετάδοση ενέργειας μεταξύ πομπού-δέκτη

Διάφορες κεραίες. Μετάδοση ενέργειας μεταξύ πομπού-δέκτη Κεραίες Antennas Διάφορες κεραίες Μετάδοση ενέργειας μεταξύ πομπού-δέκτη Hκεραία αποτελεί μία μεταλλική κατασκευή η λειτουργία της οποίας εστιάζεται στη μετατροπή των υψίσυχνων τάσεων ή ρευμάτων σε ηλεκτρομαγνητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικό πεδίο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικό πεδίο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 2: Ηλεκτρικό πεδίο Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην έννοια του ηλεκτρικού πεδίου Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένης πηγής Ορισμός έντασης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο Α. Για την ταχύτητα υυ και την επιτάχυνση αα ενός κινούμενου σώματος δίνονται οι ακόλουθοι συνδυασμοί τιμών:

Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο Α. Για την ταχύτητα υυ και την επιτάχυνση αα ενός κινούμενου σώματος δίνονται οι ακόλουθοι συνδυασμοί τιμών: Α Λυκείου 7 Μαρτίου 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΘ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0-3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. 0 ' Θεωρούμε τα σημεία A, A, A που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων

Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων του καθ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες ΣΡ Κινητήρες ΣΡ

Γεννήτριες ΣΡ Κινητήρες ΣΡ Κινητήρες ΣΡ Ως γεννήτρια ΣΡ χαρακτηρίζεται η ηλεκτρική μηχανή που κατά τη λειτουργία της λαμβάνει κινητική ενέργεια και τη μετατρέπει σε ηλεκτρική με τη μορφή συνεχούς ρεύματος Η ΗΕΔ που δημιουργείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

β) Για ένα μέσο, όπου το Η/Μ κύμα έχει ταχύτητα υ

β) Για ένα μέσο, όπου το Η/Μ κύμα έχει ταχύτητα υ Ασκ. 5 (σελ 354) Το πλάτος του μαγνητικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος ειναι 5.4 * 10 7 Τ. Υπολογίστε το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου, αν το κύμα διαδίδεται (a) στο κενό και (b) σε ένα μέσο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 9: Στροφορμή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 9: Στροφορμή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 9: Στροφορμή Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην έννοια της στροφορμής Διαφοροποίηση υλικού σημείου από στερεό σώμα Εναλλακτικοί

Διαβάστε περισσότερα

6.2.2 Χαρακτηριστικά κεραιών 1 / 18

6.2.2 Χαρακτηριστικά κεραιών 1 / 18 6.2.2 Χαρακτηριστικά κεραιών 1 / 18 Για κάθε κεραία υπάρχουν μια σειρά από μεγέθη που χαρακτηρίζουν τη λειτουργία της και την καταλληλότητά της για κάθε περίπτωση χρήσης. 2 / 18 Η ιδιοσυχνότητα fo Η ιδιοσυχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #6: Συστήματα Ασαφούς Λογικής Ασαφοποιητές - Αποασαφοποιητές Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Από τις (1) και (2) έχουμε:

Από τις (1) και (2) έχουμε: ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ 3 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ, ΟΠΤΙΚΕΣ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ» ΤΟΥ ΠΑΤΡΙΚ ΑΣΕΝΟΒ (OR STEVE HARRIS FOR MY FRIENDS FROM THE SHMMY FORUM) Θέμα ον : Έχουμε ιοντικό

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Γεωμετρική Αναπαράσταση Κυματομορφών Σήματος

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Γεωμετρική Αναπαράσταση Κυματομορφών Σήματος Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Γεωμετρική Αναπαράσταση Κυματομορφών Σήματος Ψηφιακό Τηλ/κό Σύστημα: Τι είδαμε ως τώρα; ΠΗΓΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ ΠΗΓΗΣ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ ΚΑΝΑΛΙΟΥ ΦΙΛΤΡΟ ΠΟΜΠΟΥ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ ΚΑΝΑΛΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση και ορισμός της έννοιας του έργου Κατανόηση της κινητικής ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα του Plücker

Διάνυσμα του Plücker ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΥΘΕΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2016-17 Διδάσκων: Αναπλ. Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 1. Εισαγωγή ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι γραφικές παραστάσεις (ή διαγράμματα) χρησιμεύουν για την απεικόνιση της εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα