ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη

2 Περιεχόµενα 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Πράξεις στο R - υνάµεις µε εκθέτη ακέραιο Μέθοδοι απόδειξης - Ταυτότητες - Παραγοντοποίηση ιάταξη πραγµατικών αριθµών Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού Ρίζες πραγµατικών αριθµών Εξισώσεις 14.1 Εξισώσεις 1ου ϐαθµού Η εξίσωση x ν = a Εξισώσεις ου ϐαθµού Ανισώσεις Ανισώσεις 1ου ϐαθµού Ανισώσεις ου ϐαθµού Πρόοδοι Αριθµητική πρόοδος Γεωµετρική πρόοδος Συναρτήσεις Η έννοια της συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης Η συνάρτηση f(x) = ax + β Η συνάρτηση f(x) = ax + βx + γ

3 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Πράξεις στο R - υνάµεις µε εκθέτη ακέραιο 1.1. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, τοποθετώντας σε κάθε τετραγωνάκι το σύµβολο αν ο αριθµός της στήλης ανήκει στο αριθµοσύνολο της αντίστοιχης γραµµής και το σύµβολο / αν δεν ανήκει. N Z Q R 4-5 -/5 1,3, 5 π 1.. Να χαρακτηρίσετε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασµένη: Αν a = β τότε a(x 1) = β(x 1). ϐ) Αν a(x 1) = β(x 1) τότε a = β. γ) Αν (x 1)(x 3) 0 τότε x 1 ή x 3. δ) Αν (x )(x + 3) = 0 τότε x = ή x = Με δεδοµένο ότι a + β = 3, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: A = (a + 3β 1) + 3(a + β + 5) β + 4 και B = (a β) + 4(a + 3β) 1β Με δεδοµένο ότι a β = 5, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: A = ( a+5β)+4(a+β +1)+6a 0β και B = 3(a+β) 5(a+3β)+11β Για τις τιµές των µεταβλητών που οι παρακάτω παραστάσεις ορίζονται, να τις απλοποιήσετε αν αυτό είναι δυνατόν: A = aβ aγ B = a 3 6 a Γ = a + β aγ = aγ aβ + γ E = aγ aβ γ β 1.6. Για τις µεταβλητές a, β, γ ισχύουν a + β + γ = 11, a + β + γ = 8 και a + β + γ = 9. Να υπολογίσετε το άθροισµα a + β + γ Για τις µεταβλητές a, β, x ισχύουν οι σχέσεις a + 1 = 5 + x και β + 4 = 3 + x. Να υπολογίσετε τη διαφορά a β. ϐ) Αν a + β =, να ϐρείτε την τιµή του x ίνεται η παράσταση A = 3 + 5(xy 1) y(x ) 4(1 + xy). x(y 5) y(x 1) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. ϐ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α για x = 1/10 και y = 1/3.

4 1.9. Με δεδοµένο ότι x/y = /3, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: A = x + y x y B = 3x + y x + 3y Γ = x 4y x y Με δεδοµένο ότι x/y = a/β = 3, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: A = x + a y + β B = x + 3a y + 3β Γ = x + a y + β Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις ως µια δύναµη: a = 6 9 b = 5 7 : 5 4 c = d = 6 1 : 1 e = ( 3 4) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις ως µια δύναµη: a = b = c = (3 5 ) 4 81 d = ( 7) Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων: ( 3) 4 ( ) 5 3 a = b = 5 13 : 5 15 c = (0, 5) d = [ 8 1 : 31] ( 3) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: A = ( x 3) 5 4x 3 B = xy 5 (x y 3) 4 ( xy) 1 Γ = ( x 3) : ( 4x) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: ( ) 3x A = : ( x ) 3 : (y) 3 B = ( x y 3) ( 3x 3 : y ) 3 ( x : y 3) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: ( ) ( ) x ( ) A = y : x x a 3 ( 9β B = 3y 3 y 3β 4a 4 Στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιµή της Α για x = 1/10, y = 19, 03 και την τιµή της Β για a = 3, β = 5/ Εστω ν ϑετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι οι παραστάσεις είναι πολλαπλάσια του 13. A = 3 ν + 3 ν ν+ και B = ν + ν+ + ν Αν ν ϑετικός ακέραιος και a 0, a 1, να απλοποιηθεί η παράσταση A = ϐ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης B = 1 a ν a ν )

5 1. Μέθοδοι απόδειξης - Ταυτότητες - Παραγοντοποίηση Αν για τους πραγµατικούς x και y ισχύουν οι ισότητες 3x + y = 5 και x + 3y = 10, να δείξετε ότι x + y = Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α, ϐ, γ ισχύει η σχέση γ = (a + β)/, να δείξετε ότι β γ = (β a)/ Αν ο αριθµός x είναι ακέραιος, να δείξετε ότι ο αριθµός x(x + 1) είναι άρτιος. (Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις: x άρτιος, x περιττός.) 1.. Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y ισχύουν οι σχέσεις x +1 = y, x 0 και y 1, να δείξετε ότι 1 + y x = x y Αν x, y είναι ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να αποδείξετε την ανισότητα x x + 1 < x + y + 3 x + y Αν για τους αριθµούς α, ϐ, γ ισχύει η σχέση a + β + γ = aβ + βγ + γa, να δείξετε ότι a(a β) + β(β γ) = γ(a γ) Αν για τον αριθµό x ισχύει x 9 5x 6 = x 3, να δείξετε ότι x Αν (a β) 5 + (β a) 5 = a 5 + β 5 + 1, να δείξετε ότι a β Εστω x ακέραιος αριθµός τέτοιος ώστε ο x να είναι περιττός. Να δείξετε ότι ο x περιττός ακέραιος Είναι γνωστό ότι το άθροισµα και η διαφορά δύο ϱητών αριθµών είναι ϱητός. Αν x ϱητός και y άρρητος, να δείξετε ότι το άθροισµα x + y είναι άρρητος Να δείξετε ότι η σχέση x 4 > x δεν είναι δυνατόν να αληθεύει για όλους τους ϑετικούς αριθµούς x Να δείξετε ότι η σχέση x y > x + y δεν είναι δυνατόν να αληθεύει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς x, y Αν x, y είναι άρρητοι αριθµοί να δείξετε ότι το γινόµενό τους δεν είναι πάντοτε άρρητος Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα: (x + 3y) ϐ) (5x y) γ) ( 3x + 5y) δ) ( x 4y) Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα: ( x + ) ( ϐ) x y 3) x γ) ( x + 1 y ) δ) ( x 3 ) x 4

6 1.34. Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα: (x + 3y) 3 ϐ) (x y) 3 γ) ( 3x + y) 3 δ) ( x 3y) Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα: (x + y + ) ϐ) ( 3x y + 1 ) γ) (3x + y z + 1) Αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες: (5a 1) + (5a + 1) = (5a + 1) (1) (x(x + 1)) (x(x 1)) = 4x 3 () ( x y ) + (xy) = ( x + y ) (3) (x + y) 3 (x y) ( x 4 y 4) = xy ( x y ) (4) ( a + β ) ( x + y ) (ax + βy) = (ay βx) (5) (a + β) 4 + a 4 + β 4 = ( a + aβ + β ) (6) Αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες: (a + β + γ) 3 = a 3 + β 3 + γ (a + β) (β + γ)(γ + a) (1) (x + y z) + 4z(x + y) = (x + y + z) () 4γ(a + β) + (a + β γ) = 4β(a + γ) + (a β + γ) (3) ( a β ) (a + β) = a (a β) 3 β (β a) 3 (4) ( 1 x y + 1 y z + 1 ) = z x Αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες: 1 (x y) + 1 (y z) + 1 (z x) (5) (a + β) + (a + β)(a β) + (a β) = 4a (1) (a + β) (a + β)(a β) + (a β) = (3β a) () (a + β) 3 + 3(a + β) (a β) + 3(a + β)(a β) + (a β) 3 = 8a 3 (3) Αποδείξτε την παρακάτω ταυτότητα: (x y) + (y z) + (z x) + (x y)(y z) + (y z)(z x) + (z x)(x y) = Υπολογίστε τις τιµές των παραστάσεων: A =, , 9 +, 71 7, 9 B =, , 13 0, 6, Αν x + y + z = 0, αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες: (xy + yz + zx) = x y + y z + z x (1) x 3 + y 3 + z 3 xy + (x + y) = x + y + z + 3xyz () (x y) + (y z) + (z x) = (x + y) + (y + z) + (z + x) (3) 5

7 1.4. Αν x + y + z = 0, αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες: (x + y) 4 + (y + z) 4 + (z + x) 4 = x 4 + y 4 + z 4 (1) x(y z) + y(z x) + z(x y) = ( y z ) (z y) + ( z x ) (x z) + ( x y ) (y x) () Να ϐρείτε για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού x ισχύει η σχέση (x 1) 3 + (5x 9) 3 + (10 7x) 3 = 0. ϐ) Αποδείξτε την ταυτότητα (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 = 3(x y)(y z)(z x) Αν x + y + z =, αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες: (x 1) + (y 1) + (z 1) + 1 = x + y + z (1) (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) = x + y + z () Αν για τον πραγµατικό αριθµό a 0 ισχύει (a + 1/a) = 4, να δείξετε ότι a = 0. a Αν a + β + γ = 1 και aβ + βγ + γa = 0, να δείξετε ότι a + β + γ = Να δείξετε ότι: Αν a + β γ =, τότε a + β γ = ( + γ aβ). ϐ) Αν a β = 1, τότε a 3 a β + β 3 aβ = a + β. γ) Αν a + β = 1, τότε (a β ) = a 3 + β 3 aβ Αν για τους µη µηδενικούς πραγµατικούς αριθµούς x, y, z ισχύει η σχέση 1/xy + 1/yz + 1/zx = 1, να δείξετε ότι: x + y + z = xyz ϐ) x + y z + y + z x + z + x y = xy + yz + zx Να δείξετε ότι (x + y + z)(xy + yz + zx) xyz = (x + y)(y + z)(z + x). ϐ) Με δεδοµένο ότι οι πραγµατικοί αριθµοί x, y, z και x + y + z είναι µη µηδενικοί και ισχύει η σχέση 1 x + y + z = 1 x + 1 y + 1 z να δείξετε ότι 1 (x + y + z) = x y z Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 3x y + 5xy xy ϐ) x y 4 + 3x 3 y + x y γ) 5x + x y 5y xy Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: x + y + ax + ay ϐ) x 3 + x + x + 1 γ) x + y xy 1 6

8 1.5. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: x + 7x + 6 ϐ) x 4x + 3 γ) x + 5x + 3 δ) x 3ax + a Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 4x 9y ϐ) x (4y + 3) γ) x 4 4y δ) 16x 4 81y Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8x 3 + y 3 ϐ) x 3 7 γ) (x 1) 3 8 δ) x y 3 x 5y Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: A = xa xβ + ya yβ B = x + x 3(x + 1) a β x 9 Γ = x + 3x x + 5x Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: A = x4 y 4 x + y x3 + y 3 x y B = x + 4x + 4 x 4 Γ = x 3 4x x 3 x + x Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: A = x y ( ) x x y xy y + y xy x B = 1 a ax + 1 a + ax x a + a x 7

9 1.3 ιάταξη πραγµατικών αριθµών Αν x 4 και 1 y 3, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: x + y ϐ) xy γ) x + y δ) x 3 + y Αν 4 x 5 και 1 y, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: x y ϐ) x y γ) 3x y δ) x + y y Αν x 3 και 4 y 1, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: x + y ϐ) x + y γ) x 3 + y 3 δ) x 3 3y Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y σε καθεµία από τις πα- ϱακάτω περιπτώσεις: (x + 5) + x + y xy = 0 ϐ) x + y 4x + 6y + 13 = Μια πλατεία σχήµατος ορθογωνίου έχει εµβαδό µεταξύ 190m και 05m. Το µήκος της πλατείας είναι 0m. Να ϐρείτε το πλάτος της πλατείας αν είναι γνωστό ότι αυτό είναι ϑετικός ακέραιος αριθµός Να συγκρίνετε τις παραστάσεις Α και Β σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: A = (a + β), B = 4aβ ϐ) A = (x + y)(x + y), B = xy Αν a > να συγκρίνετε τις παραστάσεις Α και Β σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Αποδείξτε ότι: A = a +, B = a 3 + a ϐ) A = a 4 + a, B = 4a + a + β + γ a(β + γ) ϐ) ( a + β ) ( γ + δ ) (aγ + βδ) Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα στην περίπτωση ( Αποδείξτε ότι: x y + y x, όπου x, y > 0. ϐ) x y + y x, όπου x > 0 > y Αν a < β < γ και λ, µ > 0, να δείξετε ότι: aγ + β < β(a + γ) ϐ) 3a β < γ γ) a < λa + µβ λ + µ < β 8

10 1.68. Αν a, β ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να δείξετε ότι: a + β 1 + a + β < a 1 + a + β 1 + β ϐ) a a a < Χρησιµοποιώντας την ανισότητα x + y xy ή αλλιώς, να δείξετε ότι a + β + γ aβ + βγ + γa Χρησιµοποιώντας την ανισότητα x + 1/x για x > 0 ή αλλιώς, να δείξετε ότι για ϑετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, ϐ, γ ισχύει a + 1 a + β + 1 β + γ + 1 γ Αποδείξτε ότι για x, y > 0 ισχύει x + y xy και στη συνέχεια να δείξετε ότι για a, β, γ > 0 ισχύει (a + β)(β + γ)(γ + a) 8aβγ Αποδείξτε ότι (x + y ) (x + y), όπου x, y πραγµατικοί αριθµοί και στη συνέχεια να δείξετε ότι για a, β, γ > 0 ισχύει a + β a + β + β + γ β + γ + γ + a γ + a a + β + γ Αποδείξτε ότι x 3 + y 3 xy(x + y), όπου x, y ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί και στη συνέχεια να δείξετε ότι για a, β, γ > 0 ισχύει ( a 3 + β 3 + γ 3) aβ(a + β) + βγ(β + γ) + γa(γ + a). 9

11 1.4 Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: A = B = , 5 Γ = ( ) 3 ( 1) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς το σύµβολο της απόλυτης τιµής: 1, 3 π,, x Αν 1 < x < 5, να δείξετε ότι: x 1 + x 5 = 4 ϐ) x 1 + x 5 < x + + x Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς το σύµβολο της απόλυτης τιµής, για τις διάφορες τιµές του x. A = x x B = 3x 15 7 Γ = x 3 4 x Υπολογίστε τις δυνατές τιµές των παραστάσεων: ( ) x x 1 x ( x + x) ϐ) x + x x γ) 3 x x + 5 y y Αποδείξτε ότι: x 4 x + = x ϐ) x(x + ) + x(x 1) x (x + 1) x x = 3 x γ) x + y x y Αν x < 1 και y < 1, να δείξετε ότι x + y < 1 + xy Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, z ισχύουν οι σχέσεις: Να δείξετε ότι x + y + z = 0. x + y z, y + z x, z + x y Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Αποδείξτε ότι: x y + 14 = 0 ϐ) 3x y + y + 33 = 0. a a 1 µε a 0 a ϐ) a 1 µε a 0 γ) 4 x + x + +5 x x 9 µε x ± Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες αληθεύει καθεµία από τις παρακάτω σχέσεις: x + 5 = 8 ϐ) 3x 7 = γ) x 1 = 3x 5 δ) x x + 1 = 0 10

12 1.85. Αν x, y 0, ϑέτουµε a = x x + y και β = y. Αποδείξτε ότι a + β =. x + y Αν x y = 5 και x + y = 6 να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων x + y ϐ) x y γ) 1x 1y x + y δ) y x 4x + 4y Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες αληθεύει καθεµία από τις παρακάτω σχέσεις: x + 4x + 8 = 15 ϐ) x x x = Αποδείξτε ότι: x y x 3a + 3a y ϐ) 3x + y x + y a + x + a Με δεδοµένο ότι a 0, β 0 και a ±β, να δείξετε ότι: a + β a β + a + β a + β 3 ϐ) a a + β + β a β Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες αληθεύει καθεµία από τις παρακάτω σχέσεις: 4x 3 > 5 ϐ) x 3 γ) x 3 8 δ) x 1 < Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες αληθεύει καθεµία από τις παρακάτω σχέσεις: x 5 ϐ) x + 4 < γ) x 3 x + δ) 1 < x 1 < Αν x 4 3, να δείξετε ότι: 1 4x 3 5 ϐ) x Αν x 3 και y 1, να δείξετε ότι: 4x + 3y 15 ϐ) x y Να ϐρείτε την απόσταση των αριθµών α, ϐ στις παρακάτω περιπτώσεις: a = 5 και β = 8 ϐ) a = 5 και β = π γ) a = 55 και β = Η απόσταση των αριθµών x, 4 είναι µικρότερη του 1 και η απόσταση των αριθµών y, 7 είναι µικρότερη του. Να δείξετε ότι x + y 11 < Εστω ότι για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y ισχύει (x 5)(5 y) > 0. Να δείξετε ότι ο 5 ϐρίσκεται µεταξύ των x, y. ϐ) Αν επιπλέον x y = 13 να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης x 5 + y ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α, ϐ, γ, δ του διαστήµατος [0, 1). Αποδείξτε ότι δύο τουλάχιστον από τους αριθµούς αυτούς, έχουν απόσταση µικρότερη του 1/3. 11

13 1.5 Ρίζες πραγµατικών αριθµών Υπολογίστε τις παραστάσεις: ϐ) 45 5 γ) δ) ( 1, 67) + (, 11) Αποδείξτε ότι: ( 3 + ) ( 3 ) 8 = 1 ϐ) = 0 γ) 3 6 = Αποδείξτε ότι: ( ) = 18 ϐ) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: ( ) 18 : + 0, 3 =, 8 A = ( 5) + ( 1, 43) B = 7 ( ) 4 ( ) 6 ( ) 8 0, 07 3 Γ = Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: A = B = 16 Γ = Αν 0 < x < 1, να δείξετε ότι x x (x 1) x 1 = ϐ) x + x x 10x + 5 ( 3) 1 = Αν 1 < x < 5, να δείξετε ότι (x 1) x (x + 1) + (x 5) = 1 6 ϐ) ( 16) + ( 9) + 81 x x x 16x + 64 = Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα των ( ) και ( 3 1 ) και να δείξετε ότι = Να µετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητούς παρονοµαστές: ϐ) γ) δ) ε) Να συγκρίνετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και ϐ στις παρακάτω περιπτώσεις: a = 7 5, β = 3 π ϐ) a = 1 5, β =

14 Να συγκρίνετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και ϐ στις παρακάτω περιπτώσεις: a = 3, β = 7 6 ϐ) a = 5 6, β = Υπολογίστε τις παραστάσεις: ϐ) γ) + δ) Να µετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητούς παρονοµαστές: ϐ) 3 5 γ) Να συγκρίνετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και ϐ σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: a = 3 και β = 4 3 ϐ) a = 3 5 και β = 3 γ) a = 4 και β = Αποδείξτε ότι: = 8 ϐ) = γ) = δ) = 3 13

15 Εξισώσεις.1 Εξισώσεις 1ου ϐαθµού.1. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3(x ) = 1 (x 4) ϐ) (3 4x) + 1 = 7 8x γ) (1 x) = 3 x.. Να λύσετε τις εξισώσεις: x + 1 x 5 = x 4 ϐ) 4x 1 8 = x 1 8 γ) 4x 1 8 = x 1.3. Να λύσετε τους παρακάτω τύπους ως προς x, a, R και m αντίστοιχα: y = a x ϐ) V = V 0 (1 + aθ) γ) F = m v R δ) I = mne mr 1 + nr.4. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ R : (λ 1)x = λ + 5 ϐ) ( λ λ ) x = λ γ) λ x λ = 5x Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες τιµές των παραµέτρων λ, µ R : (λ µ)x + µ = 3λx + 5 ϐ) ( λ λµ + µ ) x + λµ = λ.6. Ο Νίκος διάβασε ένα ϐιβλίο 300 σελίδων σε 4 ηµέρες. Κάθε µέρα διάβαζε 10 σελίδες περισσότερες από την προηγούµενη. Πόσες σελίδες διάβασε την πρώτη µέρα;.7. Αγόρασε κάποιος ένα σαλόνι που αποτελείται από τέσσερις πολυθρόνες και ένα καναπέ και πλήρωσε 960. Αν ο καναπές κοστίζει όσο πολυθρόνες, να ϐρείτε πόσο κοστίζει κάθε πολυθρόνα και πόσο κοστίζει ο καναπές..8. Από τους µαθητές µιας τάξης, οι µισοί πηγαίνουν στο σχολείο µε τα πόδια, το 1/3 αυτών χρησιµοποιεί ποδήλατο, το 1/9 αυτών πηγαίνει στο σχολείο µε το λεωφορείο και δύο µαθητές τους πηγαίνουν οι γονείς τους µε το αυτοκίνητό τους. Πόσους µαθητές έχει η τάξη αυτή;.9. Ενας πατέρας είναι 43 ετών και ο γιος του 1 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα ϑα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιου του;.10. Σε ένα κριτήριο αξιολόγησης µε 0 ερωτήσεις κάθε σωστή απάντηση ϐαθµολογείται µε 10 µονάδες, για κάθε λανθασµένη απάντηση αφαιρούνται 5 µονάδες, ενώ αν σε κάποια ερώτηση δεν δοθεί κάποια απάντηση ούτε δίνονται ούτε αφαιρούνται µονάδες. Ο Γιώργος δεν έδωσε κάποια απάντηση σε ερωτήσεις και πήρε στο κριτήριο αυτό 10 µονάδες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά;.11. Μια ϐρύση µπορεί να αδειάσει µια γεµάτη δεξαµενή σε 8 ώρες, ενώ µια άλλη µπορεί να γεµίσει την ίδια δεξαµενή όταν είναι άδεια σε 6 ώρες. Σε πόσες ώρες ϑα γεµίσει η δεξαµενή, αν είναι άδεια και ανοίξουµε ταυτόχρονα και τις δύο ϐρύσες; 14

16 .1. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 3x = 0 ϐ) x 3 8x x + 8 = 0 γ) (x 4) (4 x)(x + 3) = Να λύσετε τις εξισώσεις: 9x 3 5x 9x + 5 = 0 ( ϐ) x 4 ) (x + 3) + (x ) ( x + 5x + 6 ) = Να λύσετε τις εξισώσεις: 3 x x 4 = 1 x.15. Να λύσετε την εξίσωση: ϐ) 1 x x + 3 x 1 = 5 x γ) 1 x + 3 = x x 9 x x x = x x x Να λύσετε τις εξισώσεις: x = x Να λύσετε τις εξισώσεις: ϐ) 8 x = 1 3 x 8 +4 γ) x 3 + x = 1 x 4x + 4 = 3x + 4 ϐ) x 1 = 3 γ) x 1 = x Να λύσετε τις εξισώσεις: x + 3x 1 = 5 x ϐ) x 1 + x = 5 γ) x x = x 15

17 . Η εξίσωση x ν = a..19. Να λύσετε τις εξισώσεις: x = 64 ϐ) x 4 16 = 0 γ) x 4 5 = 0 δ) x = 0.0. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 5 = 3 ϐ) x 5 11 = 0 γ) x = 0 δ) x = 0.1. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 4 8x = 0 ϐ) x 4 + 6x = 0 γ) x 10 + x = 0 δ) x 9 x = 0.. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 10 = 10 ϐ) x 1 = 1 γ) (x + 1) 4 = 16 δ) (x + 3) 3 = 7.3. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 8 + 3x 7 x 6 = 0 ϐ) x 9 + x 8 8 x 8 = 0.4. Ενας κύβος ακµής x, έχει όγκο µικρότερο από τον όγκο ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων x, x, 5x κατά 3cm 3. Να ϐρείτε το µήκος της ακµής του κύβου. 16

18 .3 Εξισώσεις ου ϐαθµού.5. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 4x + 3 = 0 ϐ) 3x + x + 5 = 4x + γ) 3x x + = 0.6. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 8x = 0 ϐ) x 5 = 0 γ) x + 3 = 0 δ) x + 0x = 0.7. Να λύσετε τις εξισώσεις: ( x 1 ) ( x + 1 ) = 5x + x ϐ) x + (x + ) = 3x Να λύσετε τις εξισώσεις: x 4 + x 8 = 0 ϐ) x 0 6x = 0 γ) (x 5) = x Να λύσετε τις εξισώσεις: ( x 3x + ) + ( x 3x + 3 ) 5 = 0 ϐ) x x 8 x x = 4 x.30. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε a 0, η εξίσωση x 3x + a + 5 = 0 είναι αδύνατη στο R..31. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε a R, η εξίσωση x ax + a 1 = 0 έχει λύση στο R. Στη συνέχεια να λύσετε την παραπάνω εξίσωση..3. ίνεται η εξίσωση a x + (a β ) x β = 0 όπου a 0 και β R. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει λύση στο R την οποία να ϐρείτε..33. ίνεται η εξίσωση x 4x + λ = 0, µε άγνωστο x και παράµετρο τον πραγ- µατικό αριθµό λ. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση είναι αδύνατη. ϐ) Αν η εξίσωση έχει ϱίζα τον αριθµό 5, να ϐρείτε την παράµετρο λ και την άλλη ϱίζα..34. ίνεται η εξίσωση x 4 + (λ 4) x + 1 λ = 0, όπου λ πραγµατικός αριθµός. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ, η εξίσωση έχει τέσσερις διαφορετικές µεταξύ τους ανά δύο πραγµατικές ϱίζες..35. Το εµβαδό ενός τετραγώνου είναι αριθµητικά ίσο µε το εννιαπλάσιο της πλευ- ϱάς του αυξηµένο κατά 10. Να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου..36. Θεωρούµε ορθογώνιο µε εµβαδό 10 cm, η µία πλευρά του οποίου είναι κατά 3 cm µικρότερη από την άλλη. Να ϐρείτε τα µήκη των πλευρών του..37. Να ϐρείτε έναν αριθµό ο οποίος όταν προστεθεί στον αντίστροφό του δίνει άθροισµα 5. 17

19 .38. Σε µια γιορτή κάθε καλεσµένος τσούκρισε το ποτήρι του µε κάθε έναν από τους υπόλοιπους καλεσµένους. Ακούστηκαν 36 τσουγκρίσµατα. Πόσοι ήταν οι καλεσµένοι;.39. Μια τάξη νοίκιασε για εκδροµή ένα λεωφορείο αντί 40. Επειδή δύο µαθητές αρρώστησαν, το εισιτήριο αυξήθηκε για καθένα από τους υπόλοιπους κατά 0,5. Πόσοι µαθητές πήγαν εκδροµή;.40. ύο ποδηλάτες διανύουν µια απόσταση 45 km µε µέσες ταχύτητες που διαφέ- ϱουν κατά 5 km/h. Ο ένας ποδηλάτης χρειάζεται 1,5 h περισσότερο από τον άλλο. Να ϐρείτε τις ταχύτητες των ποδηλατών..41. Χαρακτηρίστε σωστή ή λανθασµένη καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις: Η εξίσωση x 5x + 1 = 0, έχει ϱίζες στο R µε άθροισµα 5/. ϐ) Η εξίσωση x 5x + 10 = 0, έχει ϱίζες στο R µε γινόµενο Να ϐρείτε δύο αριθµούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν: Άθροισµα 6 και γινόµενο -3. ϐ) Άθροισµα 6 και γινόµενο Να ϐρείτε εξίσωση ου ϐαθµού που να έχει ϱίζες τις 1/ και 1/ Η εξίσωση x 5x 3 = 0 έχει ϱίζες τους αριθµούς x 1, x. Να ϐρείτε το άθροισµα και το γινόµενο των ϱιζών της παραπάνω εξίσωσης. ϐ) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση ου ϐαθµού που να έχει ϱίζες τους αριθµούς ρ 1 = x 1 + και ρ = x Θεωρούµε την εξίσωση x ( ) x + 17 = 0. Να λύσετε την εξίσωση µε τη ϐοήθεια του τύπου που δίνει τις ϱίζες µιας εξίσωσης ου ϐαθµού. ϐ) Να λύσετε την εξίσωση µε τη ϐοήθεια των συµπερασµάτων για το άθροισµα και το γινόµενο ϱιζών µιας εξίσωσης ου ϐαθµού..46. ίνεται η εξίσωση x (λ 4) x + λ = 0, όπου λ R. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει ϱίζες αντίθετες. ϐ) Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει ϱίζες αντίστροφες. 18

20 3 Ανισώσεις 3.1 Ανισώσεις 1ου ϐαθµού 3.1. Να λύσετε τις ανισώσεις: 3(x 1) + (5 x) > 4 x ϐ) (x 3) + 5 > x 7 γ) (x + ) > 5(x + ) 3.. Να λύσετε τις ανισώσεις: 3x + 5x < + x ϐ) x 5 > 8 + x γ) x 4 + 3x x Να λύσετε τις ανισώσεις: x 1 3 x x + 3 ϐ) x 1 3 x ( x + x 1 ) Να ϐρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: { { 5x 8 3(x 1) 4(x ) 3(x 1) x + 4 ϐ) (3x 1) < 3(4x + 7) x + 4 > 3x Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x αληθεύει η σχέση που δίνεται σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: 3 < 4x ϐ) x + 5x + 1 6x + 4 γ) 1 4x Μια τάξη ετοιµάζει µια εκδροµή στο τέλος της σχολικής χρονιάς. ύο ταξιδιωτικά γραφεία Α και Β προσφέρουν τις υπηρεσίες τους νοικιάζοντας εκδροµικά λεωφορεία ως εξής: Γραφείο Α: 00 και για κάθε χιλιόµετρο 15 λεπτά. Γραφείο Β: 10 και για κάθε χιλιόµετρο 10 λεπτά. Για ποιες τιµές της χιλιοµετρικής απόστασης είναι πιο συµφέρουσα η προσφορά του γραφείου Α; 3.7. Να λύσετε τις ανισώσεις: x > x 1 ϐ) 5 x 10 7 γ) x 1 3 < 3.8. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x αληθεύουν οι σχέσεις: x 1 < x ϐ) x + x 4 3x γ) x < x 1 < x 3 19

21 3. Ανισώσεις ου ϐαθµού 3.9. Να παραγοντοποιήσετε, αν αυτό είναι δυνατόν, τα τριώνυµα: x 3x + 1 ϐ) 9x 6x + 1 γ) x + 3x + 5 δ) x x Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: x 4x + 3 x 5x + 6 ϐ) 5x + 4x 1 x 1 γ) x (a + 1)x + a x a Οταν το x µεταβάλλεται από 3 έως 5, το πρόσηµο του τριωνύµου x 8x+1 µεταβάλλεται; ϐ) Να λύσετε την ανίσωση x 8x Να λύσετε τις ανισώσεις: x + x + 3 > 0 ϐ) x 4x 4 γ) x + x + 5 > 0 δ) x + x + 1 < Να λύσετε τις ανισώσεις: 5x + 3x > 4x x + 4 ϐ) x 3x + > 6x Να λύσετε τις ανισώσεις: x 1 > x 3 ϐ) x 3x + 5 > x + x Να ϐρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων x 8 < 0 και x 5x ϐ) x < 4 και x + 1 < 7x Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x αληθεύει καθεµία από τις παρακάτω σχέσεις: 3 < x + x + 3 < 0 ϐ) x + x + 1 < x + 1 < x + x Αποδείξτε ότι η ανίσωση x + 5ax + 9a 0 όπου α πραγµατικός αριθµός, αληθεύει για κάθε πραγµατικό αριθµό x Να ϐρείτε τις τιµές του λ R για τις οποίες: Το τριώνυµο (λ 5)x 3x + 4 είναι ϑετικό για κάθε x R. ϐ) Το τριώνυµο x + 4x + λ 1 είναι αρνητικό για κάθε x R. 0

22 4 Πρόοδοι 4.1 Αριθµητική πρόοδος 4.1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος: 5, 9, 13,... Να ϐρείτε τον πεντηκοστό όρο της προόδου και να υπολογίσετε το άθροισµα a 49 + a 50 + a 51. ϐ) Να ϐρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 405. γ) Να ϐρείτε τον νιοστό όρο της προόδου. 4.. Οι αριθµοί 1 x 1, x 1 και x 1 + είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Να ϐρείτε το x Θεωρούµε την ακολουθία a ν = 3ν +. Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθµητική πρόοδος. ϐ) Να ϐρείτε το άθροισµα των τριών πρώτων όρων της. γ) Να ϐρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε Σε µια αριθµητική πρόοδο ο πρώτος όρος της είναι ίσος µε 6 και ο δωδέκατος όρος της είναι ίσος µε 94. Να ϐρείτε την διαφορά της προόδου και τον δέκατο όρο της Μεταξύ των αριθµών 5 και 50 παρεµβάλλουµε τους αριθµούς x 1 < x < < x µ. Αν x µ = 3x και οι αριθµοί 5, x 1, x,..., x µ, 50 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθ- µητικής προόδου, να ϐρείτε το µ και τη διαφορά αυτής της προόδου Σ έναν ουρανοξύστη 60 ορόφων, τα γραφεία του ίδιου ορόφου έχουν το ίδιο ε- νοίκιο. Κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται 00 το µήνα. Κάθε γραφείο ενός ορόφου, ενοικιάζεται 0 το µήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγού- µενου ορόφου. Ποιο είναι το µηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέµπτου ορόφου; ϐ) Πόσο ακριβότερο είναι το µηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του εικοστού ορόφου από ένα του ογδόου ορόφου; γ) Σε ποιους ορόφους το µηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου ξεπερνά τα 950 ; 1

23 4. Γεωµετρική πρόοδος 4.7. ίνεται η γεωµετρική πρόοδος: 5, 10, 0,... Να ϐρείτε το νιοστό όρο της προόδου και να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης a 10 a 8 + a 1 a 10 + a 14 a Οι αριθµοί x, x + 1 και 4 x, όπου x 0, είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Να ϐρείτε το x Θεωρούµε την ακολουθία a ν = 3 ν. Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωµετρική πρόοδος. ϐ) Να ϐρείτε το άθροισµα των τριών πρώτων όρων της. γ) Να ϐρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε Σε µια γεωµετρική πρόοδο το άθροισµα του τρίτου και του τέταρτου όρου της είναι ίσο µε 0 και η διαφορά του δεύτερου από τον τέταρτο όρο της είναι ίση µε 10. Να ϐρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της προόδου Η τιµή αγοράς ενός αυτοκινήτου στην αρχή της ϕετινής χρονιάς ήταν Είναι γνωστό ότι στο τέλος κάθε χρόνου, το αυτοκίνητο χάνει το 10% της αξίας που είχε στην αρχή του χρόνου. Ποια είναι η αξία του αυτοκινήτου στο τέλος του πρώτου χρόνου; ϐ) Αν a ν είναι η αξία του αυτοκινήτου στο τέλος της νιοστής χρονιάς, να εξετάσετε αν η ακολουθία a ν είναι γεωµετρική πρόοδος. Στην περίπτωση που είναι, να ϐρείτε το λόγο της προόδου. γ) Πόσο ϑα µειωθεί η αξία του αυτοκινήτου 10 χρόνια µετά; δ) Στο τέλος ποιου χρόνου η αξία του αυτοκινήτου ϑα γίνει ίση µε 790 ;

24 5 Συναρτήσεις 5.1 Η έννοια της συνάρτησης 5.1. Ποιες από τις παρακάτω αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις; Μαθητής ενός σχολείου Ηµέρα γενεθλίων ϐ) Μαθητής ενός σχολείου ιδασκόµενα µαθήµατα στο σχολείο γ) Ελληνας πολίτης Α.Μ.Κ.Α. δ) Ελληνας πολίτης Αριθµός αστυνοµικής ταυτότητας. 5.. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: f(x) = 3 4x + ϐ) g(x) = x3 + 1 x 16 γ) h(x) = x 5x + 4 x Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: x 5 f(x) = x ϐ) g(x) = x 1 γ) h(x) = 3x + 4 8x x Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = x + 3x 1, x R. Να ϐρείτε τον τύπο της συνάρτησης g(x) = f(x + 1) + f(x 1). ϐ) Να ϐρείτε τον τύπο της συνάρτησης h(x) = f(x ) + f(x) Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = { ax x, 3 x 5 5x + 4a, x > 5 όπου α πραγµατικός αριθµός. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. ϐ) Να ϐρείτε την τιµή της παραµέτρου α για την οποία ισχύει f(6) = f(1) Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = { x 7x + 8, x 3 x 3 + 1, x < 3. Να ϐρείτε τις τιµές f(0), f(3), f(4) και να λύσετε την εξίσωση f(x) = Εχουµε περιφράξει µε συρµατόπλεγµα µήκους 00 µέτρων, ένα οικόπεδο σχή- µατος ορθογωνίου, από τις τρεις πλευρές του. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος µήκους x µέτρων. Να ϐρείτε το εµβαδό του οικοπέδου ως συνάρτηση του x Σε µια κοινότητα η χρέωση της µηνιαίας κατανάλωσης νερού γίνεται ως εξής: 5 πάγιο κάθε µήνα, ανεξαρτήτως αν υπάρχει ή όχι κατανάλωση νερού. ϐ) 0, 3 /m 3, για τα πρώτα 0 κυβικά µέτρα νερού. γ) 0, 5 /m 3, για όσα κυβικά µέτρα νερού είναι πάνω από τα πρώτα 0. Να ϐρείτε µια συνάρτηση η οποία να δίνει τη χρέωση της µηνιαίας κατανάλωσης νερού συναρτήσει των x κυβικών µέτρων νερού που καταναλώθηκαν. 3

25 5. Γραφική παράσταση συνάρτησης 5.9. Θεωρούµε το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε κορυφές σηµεία A(1, 4), B(5, 4), Γ(5, ), (1, ). Να ϐρείτε το εµβαδό του παραλληλογράµµου ΑΒΓ. ϐ) Ενα σηµείο M(x, y) κινείται εντός του παραλληλογράµµου ΑΒΓ. Ποιοι περιορισµοί ισχύουν για τα x, y ; Θεωρούµε το σηµείο A(, 4). Να ϐρείτε το συµµετρικό του Α: ως προς τον άξονα x x ϐ) ως προς τον άξονα y y γ) ως προς την αρχή των αξόνων O(0, 0) δ) ως προς την διχοτόµο της γωνίας xôy Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = x 1 4. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. ϐ) Να κάνετε ένα πίνακα τιµών της f και µε τη ϐοήθεια αυτού να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. γ) Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f µε τη ϐοήθεια της γραφικής της παράστασης Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = x x. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. ϐ) Να κάνετε ένα πίνακα τιµών της f και µε τη ϐοήθεια αυτού να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. γ) Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f µε τη ϐοήθεια της γραφικής της παράστασης Να εξετάσετε σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αν το αντίστοιχο διάγραµµα αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. 4

26 5.14. ίνονται το σηµείο A( 1, 9) και οι συναρτήσεις f(x) = x και g(x) = x + ax 3, όπου α πραγµατικός αριθµός. Να εξετάσετε αν το σηµείο Α ανήκει στην γραφική παράσταση της f. ϐ) Να ϐρείτε το α ώστε το σηµείο Α να ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g Να ϐρείτε, αν υπάρχουν, τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης f µε τους άξονες x x, y y σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: f(x) = x 5x + 6 ϐ) g(x) = x 3 γ) h(x) = x Να ϐρείτε, αν υπάρχουν, τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g, σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: f(x) = x 5x, g(x) = x 4 ϐ) f(x) = x + x + 6, g(x) = x Θεωρούµε τις συναρτήσεις f(x) = x 4 και g(x) = 9x x. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. ϐ) Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης g ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα x x Θεωρούµε τις συναρτήσεις f(x) = x + 3 και g(x) = 3x + 1. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g Στο σχήµα που ακολουθεί δίνεται η γραφική παράσταση της f. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0. ϐ) Να ϐρείτε το πρόσηµο της τιµής f(1). γ) Να ϐρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων f(x) = 0 και f(x) = 4. 5

27 5.3 Η συνάρτηση f(x) = ax + β 5.0. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων,τις ευθείες ε 1 : y = x, ε : y = x και ε 3 : y = 3x Να σχεδιάσετε τις ευθείες ε 1 : y = 4, ε : y = 3x, ε 3 : y = x Θεωρούµε την ευθεία ε η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σηµείο A(, 3). Να σχεδιάσετε την ευθεία ε σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. ϐ) Να ϐρείτε την κλίση της ευθείας ε. γ) Να εξετάσετε αν τα σηµεία B(4, 6) και Γ(, 5) ανήκουν στην ευθεία ε ίνονται οι ευθείες ɛ 1 : y = 4x 8 και ɛ : y = (3λ 5)x + 4, όπου λ πραγµατικός αριθµός. Να σχεδιάσετε την ευθεία ɛ 1 σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. ϐ) Να ϐρείτε το λ ώστε οι ευθείες ɛ 1 και ɛ να είναι παράλληλες Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας ε σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Η ε έχει κλίση 3 και τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο H(0, 4). ϐ) Η ε είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : y = 5x + 3 και διέρχεται από το σηµείο A( 1, 4). γ) Η ε διέρχεται από τα σηµεία A(1, 5) και B(, 1) ίνεται η συνάρτηση f(x) = ax + 4, όπου a < 0. Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x x, y y. ϐ) Να ϐρείτε το εµβαδό του τριγώνου που σχηµατίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τους άξονες x x, y y. γ) Για ποια τιµή του α το εµβαδό του παραπάνω τριγώνου είναι ίσο µε 4; 5.6. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: { { x 4, x 3x 1, x 1 f(x) = ϐ) g(x) = x + 3, x < x + 4, x > Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: { x, { x 0 x, x < 1 f(x) = ϐ) g(x) = x +, x < 0 x 1, x Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις να γράψετε τον τύπο της f χωρίς το σύµβολο της απόλυτης τιµής και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική γραφική παράσταση της f. f(x) = 3x 6 + x 1 ϐ) f(x) = x x γ) f(x) = 5x x + 3 δ) f(x) = 1 ( x + x) 6

28 5.9. Στο παρακάτω σχήµα η τεθλασµένη γραµµή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και η ευθεία γραµµή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της f. ϐ) Να ϐρείτε τις τιµές f( ), f(1) και f(4). γ) Για ποιες τιµές του x ισχύει f(x) = 3; δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f(x) = ; ε) Να λυθεί η ανίσωση f(x) g(x) Μια άδεια δεξαµενή έχει όγκο m 3. Μια αντλία παροχής νερού αρχίζει να τη γεµίζει µε ϱυθµό 10 λίτρα ανά λεπτό. Μόλις γεµίσει η δεξαµενή η αντλία σταµατά να λειτουργεί µε τη ϐοήθεια κατάλληλου µηχανισµού. Να ϐρείτε τον όγκο του νερού (σε λίτρ στη δεξαµενή συναρτήσει του χρόνου (σε λεπτά) που έχει µείνει ανοιχτή η αντλία. ϐ) Να κάνετε τη γραφική γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης Το εισιτήριο του λεωφορείου που συνδέει δύο πόλεις κοστίζει 0 για άτοµα µικρότερα των έξι ετών, 5 για άτοµα από έξι ετών και άνω αλλά µικρότερα των δεκαοκτώ ετών και 10 για άτοµα από δεκαοκτώ ετών και άνω. Να εκφράσετε την τιµή του εισιτηρίου ως συνάρτηση της ηλικίας. ϐ) Να κάνετε τη γραφική γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. 7

29 5.4 Η συνάρτηση f(x) = ax + βx + γ 5.3. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = 1 4 x και g(x) = 1 4 x στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = 1 x, g(x) = x και h(x) = x στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων. Τι παρατηρείτε; Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x, g(x) = x +4 και h(x) = x 4 στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x, g(x) = (x 3) και h(x) = (x + 3) στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων Στο σχήµα που ακολουθεί δίνεται η γραφική παράσταση της f η οποία αποτελείται από ένα τµήµα παραβολής και ένα ευθύγραµµο τµήµα. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f. ϐ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = f(x). γ) Να ϐρείτε τον τύπο της f Θεωρούµε τις συναρτήσεις f(x) = 3x 6x + 5 και g(x) = 3x. Να γράψετε τον τύπο της f στη µορφή a(x p) + q. ϐ) Να ϐρείτε µε ποια οριζόντια µετατόπιση και ποια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της g µπορεί να προκύψει η γραφική παράσταση της f Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f(x) = x 4x + 7 ϐ) g(x) = x + x Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = x + (λ + 3)x + µ, όπου λ, µ πραγµατικοί αριθµοί. Είναι δεδοµένο ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται του άξονα x x και έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x =. Να ϐρείτε τους αριθµούς λ, µ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. 8

30 5.40. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής f(x) = ax + βx + γ. Να ϐρείτε το πρόσηµο του α, το πρόσηµο της διακρίνουσας του τριωνύµου f(x) καθώς και το πρόσηµο του τριωνύµου f(x) για 1 x 3. ϐ) Να ϐρείτε τον τύπο της f Με 00 µέτρα συρµατόπλεγµα ϑέλουµε να περιφράξουµε µια περιοχή σχή- µατος ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε σκοπό να κατασκευαστεί σ αυτήν ένα ϑερµοκήπιο. Να ϐρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε το εµβαδό του να είναι το µέγιστο δυνατό Η ηµερήσια παραγωγή µιας περιοχής µε 30 πηγάδια άντλησης πετρελαίου είναι 6000 ϐαρέλια. Ολα τα πηγάδια έχουν την ίδια ηµερήσια παραγωγή. Για κάθε νέο πηγάδι που ανοίγεται η ηµερήσια παραγωγή κάθε πηγαδιού µειώνεται κατά 5 ϐαρέλια. Να εκφράσετε την ολική παραγωγή ως συνάρτηση του αριθµού x των νέων πηγαδιών. ϐ) Να ϐρείτε τον αριθµό των νέων πηγαδιών ώστε να έχουµε τη µέγιστη ηµερήσια παραγωγή. 9

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα........................ Ιδιότητες συναρτήσεων 3.1 Μονοτονία,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει α + β = 0 και β + α την τιμή της παράστασης αβ + αβ. =. Να υπολογίσετε. Αν x y

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Παραδείγµατα και ασκήσεις Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη 017 ISBN: 978-960-93-941-5 Πρόλογος Οι παρούσες σηµειώσεις έχουν ως κύριο στόχο να παρουσιάσουν τις διάφορες κατηγορίες εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii) Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 4 0, να υπολογίσετε χωρίς να λύσετε την

2 3x 4 0, να υπολογίσετε χωρίς να λύσετε την ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κ.Κ. (θέματα προηγούμενων χρόνων) 1.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : i. 16 81 6 3 ii. 64 64 64. Aν x1, xοι ρίζες της εξίσωσης x 3x 4 0, να υπολογίσετε χωρίς να λύσετε την εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Δημήτρης Πατσιμάς Στέλιος Μιχαήλογλου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {,,, 4, 5, 6,7,8,9, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {,,4,6},

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ 09-00 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1 και x 0.

B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1 και x 0. 1 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R 1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος.

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος. α) Να λύσετε την εξίσωση: x+ 1 x+ 1+ 4 = 3 5 2 3 (Μονάδες 9) β) Nα λύσετε την ανίσωση: - x 2 +2x +3 0 (Μονάδες 9) γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 4 εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ 1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( x 1 ) µ = 5( 10x µ ) Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β. ( x 1 ) µ 5( 10x µ ) ( µ 50) x = µ 5µ () 1 = µ x µ = 50x 5µ µ x 50x = µ 5µ Λύνουµε την εξίσωση:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β. Γραμμικές Εξισώσεις. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + β διέρχεται από το σημείο Α(, ). Να βρείτε τον αριθμό. ίνεται η ευθεία = + (α ). Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) Δίνεται η εξίσωση (8-λ)x 2-2(λ-2)x+1=0, με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) β) Αν η εξίσωση είναι 2 ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα