APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE"

Transcript

1 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ

2 2

3 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale Exemple şi exerciţii rezolvate Exemple şi exerciţii propuse Funcţii definite implicit Exemple şi exerciţii rezolvate Exemple şi exerciţii propuse Extreme ale funcţiilor definite implicit Exemple şi exerciţii rezolvate Probleme propuse Extreme condiţionate. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange Exemple şi exerciţii rezolvate Probleme propuse Extremele funcţiilor reale definite pe mulţimi compacte în IR m Exemple şi exerciţii rezolvate Probleme propuse Transformări punctuale regulate Exemple şi exerciţii rezolvate Probleme propuse Dependenţă şi independenţă funcţională Exemple şi exerciţii rezolvate Exemple şi exerciţii propuse Schimbări de variabile Schimbarea variabilei independente în ecuaţii diferenţiale ordinare Schimbarea ambelor variabile într o ecuaţie diferenţială ordinară

4 4 CONTENTS Schimbarea variabilelor independente în expresii diferenţiale cu derivate parţiale Schimbarea tuturor variabilelor într o ecuaţie diferenţială Exemple şi exerciţii propuse

5 Chapter 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale Exemple şi exerciţii rezolvate Exerciţiul Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f : IR 2 IR, f(x, y) = x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 8x + 8y. Soluţie. Determinăm punctele critice (staţionare) ale funcţiei f. Întrucât funcţia f este de clasă C (IR 2 ), pentru determinarea acestor puncte staţionare, trebuie să calculăm derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f. Avem f x (x, y) = 4x3 + 4xy 2 8, f y (x, y) = 4y3 + 4x 2 y + 8. Soluţiile sistemului obţinut prin anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f x 4 + xy 2 = 2 y 3 + x 2 y = 2 vor fi ppunctele staţionare ale funcţiei f. Sistemul obţinut este omogen. După adunarea ecuaţiilor şi împărţirea cu y 3 se ajunge la ecuaţia t 3 + t 2 + t + 1 = 0, t = x y. 5

6 6 Ion Crăciun Singura soluţie reală a ecuaţiei în t este t 0 = 1 şi pentru a determina punctele staţioanre avem de rezolvat sistemul y = x x 3 + xy 2 = 2. Rezolvând acest sistem, găsim că singurul punct staţionar este x 0 = (1, 1). Pentru a decide natura acestui punct staţionar trebuie să calculăm valorile derivatelor parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f în punctul x 0. Avem: 2 f x 2 (x 0) = (12x 2 + 4y 2 ) / (1, 1) = 16; 2 f y 2 (x 0) = (12y 2 + 4x 2 ) / (1, 1) = f x y (x 0) = (8xy) / (1, 1) = 8; Hessiana funcţiei f în punctul x 0 este matricea pătratică simetrică de ordinul al doilea H f (x 0 ) = Minorii principali ai acestei matriec sunt 1 = 16 > 0 şi 2 = det H f (x 0 ) = 192 > 0 şi, după criteriul lui Sylvester, rezultă că x 0 = (1, 1) este punct de minim local al funcţiei f, iar valoarea minimă este f min = f(1, 1) = 12. Exerciţiul Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f : D IR, f(x, y) = 1 2 xy + (47 x x y)( 3 + y ), 4 unde D este domeniul format din toate punctele primului cadran al reperului xoy. Soluţie. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei sunt: f x (x, y) = 1 2 y ( x 3 + y ) 1 + (47 x y) 4 3 f y (x, y) = 1 2 x ( x 3 + y ) 1 + (47 x y). 4 4 Sistemul dedus după anularea acestor derivate are în final forma 8x + y = 4 47 x + 6y = 3 47.

7 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 7 Soluţia acestui sistem este x 0 = 21, y 0 = 20 şi deci singurul punct staţionar al funcţiei este M 0 (21, 20). Derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f sunt: 2 f x 2 (x, y) = 2 3 ; 2 f x y (x, y) = 1 12 ; 2 f y 2 (x, y) = 1 2. Diferenţiala a doua a funcţiei f într un punct arbitrar M(x, y) D este d 2 f(x, y) = 2 f x 2 (x, y)dx f x y (x, y)dxdy + 2 f y 2 (x, y)dy2. În punctul staţionar determinat rezultă că diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul M 0 (x 0, y 0 ) este d 2 f(x 0, y 0 ) = 2 3 dx2 1 6 dxdy 1 2 dy2. Observăm că această formă pătratică se poate scrie ca d 2 f(x 0, y 0 ) = 1 6 [( 2dx dy) dy2] 2, de unde deducem că diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul staţionar găsit este o formă pătratică negativ definită ceea ce atrage că M 0 este punct de maxim. Valoarea maximă locală a funcţiei f este f max = f(m 0 ) = 220. Exemplul Funcţia reală de două variabile reale f : IR 2 IR, f(x, y) = x 3 + y xy + 36x + 36y are două puncte staţionare. Unul dintre ele este punct de maxim iar celălalt este punct de tip şa. Soluţie. Sistemul ale cărui soluţii sunt punctele staţionare ale funcţiei f este x 2 + 7y + 12 = 0, x 2 + 7y + 12 = 0, = y 2 + 7x + 12 = 0. (x y)(x + y + 7) = 0. Ultimul sistem este echivalent cu două sisteme dintre care doar x 2 + 7y + 12 = 0, x + y + 7 = 0.

8 8 Ion Crăciun are soluţii reale. Rezolvându l, se găsesc două soluţii, ( 4, 4) şi ( 3, 3). Prin urmare, funcţia f are două puncte staţionare M 1 şi M 2, unde M 1 ( 4, 4), M 2 ( 3, 3). Derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f au expresiile 2 f (x, y) = 6x, x2 2 f (x, y) = 21, x y iar valorile acestora în punctele staţionare sunt: 2 f x (M 2 f 1) = 24, 2 x y (M 1) = 21, 2 f x 2 (M 2) = 18, 2 f x y (M 2) = 21, 2 f (x, y) = 6y, x2 2 f x 2 (M 1) = 24, 2 f x 2 (M 2) = 18. Diferenţialele de ordinul al doilea în punctele staţionare au expresiile: d 2 f(m 1 ) = 24dx dxdy 24dy 2 ; d 2 f(m 1 ) = 18dx dxdy 18dy 2, Fiecare diferenţială este o formă pătratică definită pe IR 2. Vom încerca să scriem aceste forme pătratice ca sume de pătrate, ceea ce înseamnă a le aduce la expresii canonice ale lor. Vom folosi metoda lui Gauss de aducere a unei forme pătratice la o expresie canonică a sa. Aceasta constă în grupări ale termenilor după procedeul: dacă termenul care conţine dx 2 are coeficientul nenul, atunci se grupează toţi termenii care au ca factor pe dx; în cazul că nu există termen care să conţină dx 2, se aplică pasul precedent în care dx se înlocuieşte cu dy; se adună şi se scade termenul care lipseşte din dezvoltarea unui binom la pătrat; se reduc termenii asmănători după care se reia procedeul în care rolul lui dx (sau după caz dy) îl are dy (respectiv dx); dacă nu există termeni care să conţină dx 2 şi dy 2, iar coeficientul termenului ce conţine produsul dxdy este diferit de zero, atunci se efectuează schimbarea dx = dξ + dη, dy = dξ dη. În acest mod, expresia diferenţialei a doua a funcţiei f într un punct va avea un termen care conţine dξ 2 şi se reia procedeul de la primul pas;

9 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 9 în final, aplicarea repetată a acestui procedeu conduce la o expresie a diferenţialei a doua a funcţiei f într un punct ca o sumă de pătrate. Procedeul de scriere a unei forme pătratice ca o sumă de pătrate se poate aplica şi atunci când forma pătratică are mai mult de două variabile, după cum vom vedea într un alt exemplu, în care funcţia căreia îi cercetăm punctele de extrem are trei sau mai multe variabile. În cazul unei funcţii de trei variabile, pasul al treilea se înlocuieşte corespunzător cu pasul: se adună şi se scad termenii care lipsesc din dezvoltarea unui trinom la pătrat. Aplicând aici metoda descrisă, găsim: d 2 f(m 1 ) = 6 ( 2dx 7 2 ) dy2 ; d 2 f(m 2 ) = 2 ( 3dx 7 ) dy2. Examinarea acestor expresii ale celor două diferenţiale arată că prima este o formă pătratică negativ definită, iar a doua este formă pătratică nedefinită. Prin urmare, M 1 este un punct de maxim în timp ce punctul M 2 nu este punct de extrem, este punct şa. Exerciţiul Determinaţi punctele din IR 2 în care, local, funcţia are valori extreme. f : IR 2 IR, f(x, y) = x 3 + y 3 9xy + 2 Soluţie. Funcţia dată este infinit diferenţiabilă iar derivatele sale parţiale de primele două ordine sunt: f x (x, y) = 3x2 9y, 2 f (x, y) = 6x, x2 2 f (x, y) = 9, x y f y (x, y) = 3y2 9x; 2 f (x, y) = 6y. y2 Sistemul format prin anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f are două soluţii, O(0, 0) şi M 1 (3, 3) iar diferenţialele corespunzătoare au expresiile d 2 f(0, 0) = 18dxdy, d 2 f(3, 3) = 18dx 2 18dxdy + 18dy 2.

10 10 Ion Crăciun Diferenţiala a doua a funcţiei f în origine este formă pătratică nedefinită (are valori atât negative cât şi nenegative pentru diverse valori ale lui dx şi dy), aceasta arătând că originea este un punct de tip şa a funcţiei. Diferenţiala a doua a funcţiei f în cel de al doilea punct critic este formă pătratică pozitiv definită deoarece, folosind metoda lui Gauss, se poate scrie d 2 f(3, 3) = 18 [( dx 1 2 dy) dy2] şi, prin urmare, punctul M 1 (3, 3) este punct de minim local. Valoarea minimă locală a funcţiei este f min = f(3, 3) = 0. Se constată că există o vecinătate V a punctului M 1 cu proprietatea f(x, y) > f(3, 3) = 0, ( ) M(x, y) V \ M 1, fapt ce conduce la concluzia că punctul M 1 este un punct de minim local strict al funcţiei f. Exerciţiul Să se determine punctele de extrem ale funcţiei z = xy 2 e x y pe domeniul ei maxim de definiţie. Soluţie. Domeniul maxim de definiţie al funcţiei este IR 2. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei sunt: x = y2 (x + 1)e x y ; y = xy(2 y)ex y. Rezolvând sistemul care dă punctele staţionare se găsesc: M 1 (0, 0); M 2 ( 1, 0); M 3 ( 1, 2). Derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei z sunt: 2 z x (x, y) 2 = y2 (x + 2)e x y ; 2 z x y (x, y) = y(x + 1)(2 y)ex y ; 2 z y 2 (x, y) = x(2 4y + y2 )e x y.

11 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 11 Diferenţiala a doua a funcţiei z într un punct oarecare M(x, y) este d 2 z(x, y) = 2 z x 2 (x, y)dx z x y (x, y)dxdy + 2 z y 2 (x, y)dy2. Diferenţiala a doua a funcţiei z în M 2 este d 2 z(m 2 ) = 2 e dy2 şi se constată că este o formă pătratică negativă, deci M 2 este punct de maxim local al funcţiei. Diferenţiala a doua a funcţiei în M 3, d 2 z(m 3 ) = 2 e 3 (2dx2 + dy 2 ), este formă pătratică pozitiv definită, ceea ce arată că M 3 este punct de minim local al funcţiei. Diferenţiala a doua a funcţiei z în punctul M 1 este identic nulă indiferent de valorile lui dx şi dy. Prin urmare, nu putem decide asupra naturii punctului staţionar M 1 (0, 0). În acest caz se poate aplica definiţia punctului de extrem şi pentru aceasta se studiază semnul creşterii f(x, y) f(0, 0) în vecinătatea originii. Creşterea f(x, y) f(0, 0) = xy 2 e x y nu păstrează semn constant în oricare din vecinătăţile originii şi deci punctul M 1 (0, 0) nu este punct de extrem local al funcţiei z; este punct de tip şa. Exerciţiul Să se determine valorile extreme ale funcţiei f : IR 2 IR, f(x, y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y. Soluţie. Derivatele parţiale până la ordinul doi inclusiv ale funcţiei sunt: x (x, y) = 3x2 + 3y 2 15, 2 z (x, y) = 6x, x2 2 z x y (x, y) = 6y, 2 z y (x, y) = 6xy 12; y 2 (x, y) = 6x. Din anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi, efectuată pentru a se determina punctele staţionare ale funcţiei, se obţine x 2 + y 2 = 5 xy = 2 = (x + y)2 = 9 xy = 2 = x + y = ±3 xy = 2

12 12 Ion Crăciun Rezolvarea ultimelor două sisteme conduce la patru puncte staţionare M 1 (1, 2), M 2 (2, 1), M 3 ( 1, 2), M 4 ( 2, 1). Matricele hessiene corespunzătoare celor patru puncte staţionare au elementele H z (M 1 ) = 6 12, H z (M 2 ) = 12 6, H z (M 3 ) =, H z (M 4 ) = Vom folosi metoda valorilor proprii pentru a stabili natura formelor pătratice d 2 z(m 1 ), d 2 z(m 2 ), d 2 z(m 3 ), d 2 z(m 4 ) care, cu ajutorul matricelor hessiene, se scriu în forma d 2 z(m 1 ) = (dx dy) H z (M 1 ) dx, dy d 2 z(m 2 ) = (dx dy) H z (M 2 ) dx, dy d 2 z(m 3 ) = (dx dy) H z (M 3 ) dx, dy d 2 z(m 4 ) = (dx dy) H z (M 4 ) dx dy Valorile proprii ale oricărei din cele patru diferenţiale sunt aceleaşi cu ale matricei hessiene corespunzătoare. Valorile proprii ale unei matrice pătratice simetrică A, cu elementele a 11, a 12 = a 21 şi a 22, sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice P (λ) = 0, unde P (λ) este polinomul caracteristic al matricei a 11 λ a 12 P (λ) = det (A λ I 2 ) = a 22 λ a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 )λ + det A,

13 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 13 iar I 2 este matricea unitate de ordinul doi. O rădăcină a ecuaţiei caracteristice a unei matrice pătratice simetrică A se numeşte fie valoare proprie a acesteia, fie valoare proprie a formei pătratice f : IR 2 IR care în baza canonică din IR 2 are matricea A. O formă pătratică f : IR 2 IR, care în baza canonică din IR 2 are matricea A, are expresia analitică f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x 2 = a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2, unde x = (x 1, x 2 ) este un vector arbitrar din IR 2. Cele patru polinoame caracteristice P 1 (λ), P 2 (λ), P 3 (λ), P 4 (λ) ale respectiv celor patru diferenţiale ale funcţiei z în punctele staţionare M 1, M 2, M 3, M 4 sunt P 1 (λ) = (λ + 6)(λ 18), P 2 (λ) = (λ 6)(λ 18), P 3 (λ) = (λ 6)(λ + 18), P 4 (λ) = (λ + 6)(λ + 18). Criteriul pe care îl vom utiliza pentru a determina natura unei forme pătratice f : IR 2 IR, a cărei matrice A în baza canonică din IR 2 are rădăcinile caracteristice λ 1 şi λ 2, constă în următoarele: dacă toate valorile proprii ale formei pătratice f sunt pozitive, atunci forma pătratică este pozitiv definită; dacă toate valorile proprii ale formei pătratice f sunt negative, atunci forma pătratică este negativ definită; dacă toate valorile proprii ale formei pătratice f sunt nenegative, atunci forma pătratică este pozitivă; dacă toate valorile proprii ale formei pătratice f sunt nepozitive, atunci forma pătratică este negativă; dacă λ 1 > 0, iar λ 2 < 0, atunci forma pătratică este nedefinită. Natura punctului staţionar analizat depinde de natura diferenţialei a doua a funcţiei în acel punct, aceeaşi cu natura formei pătratice cu care se exprimă această diferenţială. Aplicând funcţiei z criteriul descris, găsim:

14 14 Ion Crăciun punctele M 1 şi M 3 nu sunt puncte de extrem ale funcţiei z; ele sunt puncte de tip şa; punctul M 2 este un punct de minim local al funcţiei şi f min = f(m 2 ) = 28; punctul M 2 este un punct de maxim local al funcţiei şi f max = f(m 4 ) = 36. Exerciţiul Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f : IR 2 IR, f(x, y) = x 2 xy + y 2 3y. Soluţie. Sistemul obţinut prin anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f are o singură soluţie (1, 2). Prin urmare, funcţia f are un singur punct staţionar M 0 (1, 2). Hessiana funcţiei f în punctul M 0 este H f (M 0 ) = 2 1 Polinomul caracteristic al acestei matrice este 2 λ 1 P (λ) = det H f (M 0 ) = = (1 λ)(3 λ), 1 2 λ 1 2 iar valorile proprii sunt ambele pozitive. Aceasta arată că diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul M 0 d 2 f(m 0 ) = 2dx 2 2dxdy + 2dy 2 este o formă pătratică pozitiv definită ceea ce atrage că M 0 este punct de minim local. Să observăm că expresia algebrică a funcţiei f se poate pune sub forma f(x, y) = 1 4 (2x y) (y 2)2 3, de unde deducem f(x, y) 3, oricare ar fi punctul M(x, y) IR 2, egalitatea având loc dacă şi numai dacă x = 1 şi y = 2. Aceasta arată că punctul M 0 (1, 2) este punct de minim global strict iar f(m 0 ) = 3 este valoare minimă globală strictă.

15 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 15 Exerciţiul Arătaţi că funcţia f : D IR, f(x, y) = xy + 50 x + 20 y, definită pe mulţimea deschisă D = {(x, y) IR 2 x > 0, y > 0}, are o valoare minimă locală strictă. Soluţie. Funcţia f fiind infinit diferenţiabilă, determinăm valorile extreme ale sale stabilindu i mai întâi punctele critice. Anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f conduce la un sistem care are (5, 2) drept soluţie unică. Prin urmare, funcţia f are un singur punct critic, M 0 (5, 2). În acest punct derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f au valorile 2 f x 2 (5, 2) = 4 5, 2 f (5, 2) = 1, x y 2 f (5, 2) = 5. y2 Ecuaţia caracteristică a matricei hessiene corespunzătoare H f (M 0 ), 5λ 2 29λ + 15 = 0, are ambele rădăcini pozitive şi deci d 2 f(m 0 ) este o formă pătratică pozitiv definită ceea ce atrage că M 0 este punct de minim local strict. Valoarea minimă locală strictă a funcţiei f este f min = f(5, 2) = 30. Observaţia Criteriul descris în ultimele două exerciţii poate fi generalizat astfel încât să se poată aplica pentru determinarea punctelor de extrem local ale unei funcţii reale de trei sau mai multe variabile reale. Exemplul Funcţia reală de trei variabile reale f : IR 3 IR, f(x, y, z) = x 2 y + yz + 32x z 2. are un singur punct staţionar care nu este punct de extrem. Soluţie. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f au expresiile: f f (x, y, z) = 2xy + 32, x y (x, y, z) = x2 + z, f (x, y, z) = y 2z.

16 16 Ion Crăciun Coordonatele punctelor staţionare sunt soluţii ale sistemului f (x, y, z) = 0, x f (x, y, z) = 0, y f (x, y, z) = 0, = xy + 16 = 0, x 2 + z = 0, y 2z = 0 = x 0 = 2, y 0 = 8, z 0 = 4. Deci singurul punct staţionar este M 0 (2, 8, 4). Derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f în punctul curent M(x, y, z), sunt: 2 f (x, y, z) = 2y; x2 2 f (x, y, z) = 0; y2 2 f (x, y, z) = 2x; x y 2 f (x, y, z) = 1; y 2 f (x, y, z) = 0; x 2 f (x, y, z) = 2. 2 Hessiana asociată funcţiei f în punctul x 0, unde x 0 = (x 0, y 0, z 0 ), este H f (x 0 ) = 2 f x 2 (x 0) 2 f x y (x 0) 2 f x (x 0) 2 f x y (x 0) 2 f y 2 (x 0) 2 f y (x 0) 2 f x (x 0) 2 f y (x 0) 2 f 2 (x 0) = Polinomul caracteristic al matricei H f (x 0 ) este 16 λ 4 0 P (λ) = det H f (x 0 ) λi 3 = 4 λ λ = λ 3 18λ 2 15λ+18. Ecuaţia caracteristică P (λ) = 0 nu poate avea toate rădăcinile pozitive căci λ 1 + λ 2 + λ 3 = 18 < 0, dar nici toate negative deoarece produsul lor este pozitiv, λ 1 λ 2 λ 3 = 18. Mai precis, folosind şirul lui Rolle pentru determinarea poziţiilor celor trei rădăcini constatăm că λ 1 < 0 şi λ 2 < 0 iar

17 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 17 λ 3 > 0. Există atunci o bază în spaţiul vectorial IR 3 în care forma pătratică are expresia canonică d 2 f(x 0 ) = λ 1 (dx ) 2 + λ 2 (dy ) 2 + λ 3 (dz ) 2, rezultat care arată că diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul x 0 este o formă pătratică nedefinită. Prin urmare x 0 nu este punct de extrem; este punct de tip şa. Exerciţiul Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiei f : IR 3 IR, f(x, y, z) = x 2 + 3y 2 + 2z 2 2xy + 2xz. Soluţie. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f au expresiile f (x, y, z) x = 2x 2y + 2z f (x, y, z) y = 6y 2x f (x, y, z) = 4z + 2x. Funcţia f fiind diferenţiabilă, eventualele puncte de extrem local ale sale se află printre punctele staţionare ale lui f. Pentru a determina aceste puncte staţionare trebuie să rezolvăm sistemul obţinut din anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f. După simplificarea prin 2 a fiecăreia dintre e- cuaţii se ajunge la sistemul x y + z = 0 3y x = 0 2z + x = 0. a cărui soluţie unică este x 0 = (0, 0, 0) = 0. Prin urmare, singurul punct staţionar al funcţiei f este originea sistemului Oxyz. Pentru a decide asupra naturii punctului staţionar trebuie să determinăm matricea H f (x 0 ), hessiana funcţiei f în punctul x 0 = 0. Această hessiană este o matrice pătratică simetrică de ordinul al treilea care are pe linii componentele gradienţilor derivatelor parţiale de ordinul întâi

18 18 Ion Crăciun calculate în x 0. Efectuând aceste calcule, găsim H f (0) = Lanţul minorilor principali ai acestei matrice este = 2 = 2, 2 = 2 6 = 8, 3 = det H f (0) = = 8. Deoarece toţi minorii principali ai hessienei H f (x 0 ) sunt pozitivi, conform criteriului lui Sylvester, rezultă că diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul x 0 = 0 d 2 f(x 0 ) = 2dx 2 + 6dy 2 + 4dz 2 4dxdy + 4dxdz este o formă pătratică pozitiv definită şi deci punctul critic determinat este punct de minim relativ pentru funcţia f. Exerciţiul Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiei f : D IR, f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 1 z, unde D = {M(x, y, z) IR 3 : x > 0, y > 0, z > 0}. Soluţie. Vom calcula derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei. Avem: f,1 (x, y, z) = 1 y2 4x 2, f,2(x, y, z) = y 2x z2 y 2, f,3(x, y, z) = 2z y 2 z 2. Din sistemul obţinut prin anularea acestor derivate se deduc 1 y2 = 0, f,1 (x, y, z) = 0 4x 2 y = 2x, y f,2 (x, y, z) = 0 = 2x z2 = 0, y 2 = z = y, f,3 (x, y, z) = 0 z y 1 y = z 3. = 0 z 2

19 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 19 Ultimul sistem are soluţia x = 1 2, y = 1, z = 1 Prin urmare, singurul punct staţionar al funcţiei este M 0 ( 1, 1, 1). 2 Determinăm diferenţiala a doua a funcţiei în punctul M 0 d 2 f(m 0 ) = f,11 (M 0 )dx 2 + f,22 (M 0 )dy 2 + f,33 (M 0 )dz (f,12 (M 0 )dxdy + f,23 (M 0 )dydz + f,31 (M 0 ))dzdx. Pentru aceasta avem nevoie de valorile derivatelor parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f în punctul M 0. Avem: f,11 (x, y, z) = y2 2x 3 ; f,22(x, y, z) = 1 2x + 2z2 y 3 ; f,33(x, y, z) = 2 y + 4 z 3 ; f,12 (x, y, z) = y 2x 2 ; f,23(x, y, z) = 2z y 2 ; f,31(x, y, z) = 0. De aici rezultă că valorile derivatelor parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f în punctul M 0 sunt: f,11 (M 0 ) = 4; f,22 (M 0 ) = 3; f,33 (M 0 ) = 6; f,12 (M 0 ) = 2; f,23 (M 0 ) = 2; f,31 (M 0 ) = 0. Atunci diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul M 0 este forma pătratică d 2 f(m 0 ) = 4dx 2 + 6dy 2 + 3dz 2 4dxdy 4dzdx. Folosim metoda lui Gauss de aducere a unei forma pătratice la o sumă de pătrate. În acest scop, pentru că există un termen ce îl conţine pe dx 2, grupăm toţi termenii ce au ca factor pe dx şi alcătuim cu aceştia un pătrat perfect. Găsim d 2 f(m 0 ) = 4(dx 1 2 dy 1 2 dz)2 + 5dy 2 2dydz + 2dz 2.

20 20 Ion Crăciun Pentru că există termenul ce îl conţine pe dy 2, procedăm similar cu termenii ce conţin factorul dy. În cele din urmă se obţine d 2 f(m 0 ) = 4(dx 1 2 dy 1 2 dz)2 + 5(dy 1 5 dz) dz2, de unde se vede că forma pătratică care exprimă diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul M 0 este pozitiv definită şi deci punctul staţionar determinat este punct de minim pentru funcţia f. Exerciţiul Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiei f : IR 3 IR, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy yz 4x 3y z + 4. Soluţie. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f sunt f (x, y, z) x = 2x + 2y 4 f (x, y, z) y = 2x + 2y z 3 f (x, y, z) = y + 2z 1. Sistemul format prin anularea acestor derivate are soluţia (1, 1, 1) şi deci funcţia are un singur punct staţionar M 0 (1, 1, 1). Hessiana funcţiei f în punctul M 0 este H f (M 0 ) = Vom folosi metoda valorilor proprii pentru a stabili natura formei pătratice care reprezintă diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul M 0. Pentru aceasta calculăm polinomul caracteristic al matricei hessiene 2 λ 2 0 P (λ) = 2 2 λ 1 = (λ 2)(λ 2 4λ 1) λ

21 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 21 şi apoi rezolvăm ecuaţia caracteristică P (λ) = 0. Constatăm că λ 1 = 2 > 0, λ 2 = 2 5 < 0, λ 3 = Rezultă că diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul M 0 este o formă pătratică nedefinită ceea ce atrage că punctul M 0 nu este punct de extrem, este un punct de tip şa Exemple şi exerciţii propuse Exerciţiul Să se găsească punctele staţionare (critice) şi apoi să se selecţioneze punctele de extrem pentru funcţia f : IR 2 IR, f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2 1. (1.1) Răspuns. Punctul critic (0, 0) nu este punct de extrem. Punctele critice ( 2, 2) şi ( 2, 2) sunt puncte de minim local strict. Funcţia f are aceeaşi valoare minimă în cele două puncte de minim f min = f( 2, 2) = f( 2, 2) = 9. Exerciţiul Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f : IR 2 IR, f(x, y) = x 3 3x 2 3x + y 4 8y y 2 8y. Răspuns. Există şase puncte staţionare: M 1 (1 + 2, 2); M 2 (1 + 2, 2 + 3); M 3 (1 + 2, 2 3); M 4 (1 2, 2); M 5 (1 2, 2 + 3); M 6 (1 2, 2 3). M 1, M 5 şi M 6 sunt puncte de tip şa; M 2 şi M 3 sunt puncte de minim; M 4 este punct de maxim. Exerciţiul Să se studieze dacă funcţia f : IR 3 IR, f(x, y, z) = x 2 + 4y 2 + 9z 2 + 6xy 2x are puncte de extrem. Răspuns. Funcţia f are punctul staţionar M 0 ( 4 5, 3 5, 0) care nu este punct de extrem deoarece hessiana funcţiei în acest punct nu are valorile proprii de acelaşi semn: λ 1 = < 0; λ 2 = > 0; λ 3 = 18 > 0. Prin urmare d 2 f(m 0 ) este formă pătratică nedefinită ceea ce înseamnă că M 0 este punct de tip şa pentru funcţia f.

22 22 Ion Crăciun Exemplul Funcţia reală de trei variabile reale f : IR 3 IR, f(x, y, z) = 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 2(xy + yz + x + y + 3z) are în punctul M 0 ( 3, 5, 8) un minim global strict. 1.2 Funcţii definite implicit Exemple şi exerciţii rezolvate Exemplul Dacă F C 2 (D 0 ) şi y = f(x) este funcţia definită implicit de ecuaţia F (x, y) = 0, atunci f (x) = F,xx(F,y ) 2 2F,xy F,x F,y + F,yy (F,x ) 2 (F,y ) 3 (x, f(x)) Soluţie. Într-adevăr, din teorema de existenţă şi unicitate a unei funcţii reale y = f(x), de o variabilă reală, definită implicit de ecuaţia F (x, y) = 0 rezultă mai întâi F (x, f(x)) f (x) = x F,x (x, f(x)) = F y (x, f(x)) F,y (x, f(x)). Pentru a calcula derivata secundă a funcţiei f, aplicăm operaţia de derivare în această egalitate. Avem ( ) f (x) = (f ) F,x (x, f(x)) (x) =. F,y (x, f(x)) Calculăm această derivată folosind regula de derivare a câtului şi regula de derivare a funcţiilor compuse după care înlocum valoarea lui f (x). În acest mod constatăm că se obţine rezultatul dorit. Exerciţiul Să se arate că ecuaţia F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z (x2 + y 2 + z 2 ) 3xy = 0, defineşte implicit funcţia reală de două variabile reale z = f(x, y) într o vecinătate a punctului M ( , 1 2, ) 3 f ( 1 şi apoi să se calculeze 2 x 2 y 2, 1 ). 2

23 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 23 Soluţie. Trebuie să verificăm că sunt îndeplinite ipotezele teoremei de existenţă şi unicitate a unei funcţii definite implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0. Aceste ipoteze sunt: funcţia F : IR 3 IR trebuie să fie de clasă cel puţin C 3 (IR 3 ); în punctul M 0 trebuie ca F (M 0 ) = 0; derivata parţială în raport cu variabila z a funcţiei F în punctul M 0 trebuie să fie nenulă. Funcţia F, fiind o funcţie polinom, este de clasă C (IR 2 ), deci prima dintre ipoteze este verificată. Constatăm că F (M 0 ) = F ( 1 6 2, 1 2, ) = 0, ceea ce arată că şi a doua 2 ipoteză este verificată. Derivata parţială de ordinul întâi a funcţiei F într un punct oarecare din IR 3 este F (x, y, z)b = 4z3 3z, iar valoarea acesteia în punctul M 0, F (x 0, y 0, z 0 ) = 3 6 2, este diferită de zero şi prin urmare ultima ipoteză este satisfăcută. Conform teoremei de existenţă şi unicitate a unei funcţii reale de două variabile reale definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, există un disc închis B ( (x 0, y 0 ), h ) cu centrul în punctul (x 0, y 0 ) şi raza h > 0, un număr k > 0 şi o unică funcţie f : B ( (x 0, y 0 ), h ) [z 0 k, z 0 + k], de trei ori diferenţiabilă, care satisface condiţia f(x 0, y 0 ) = z 0 şi identitatea F (x, y, f(x, y)) 0 pe mulţimea B ( (x 0, y 0 ), h ). Pentru a obţine derivata menţionată în enunţ, procedăm astfel: derivăm identitatea F (x, y, f(x, y)) 0 în raport cu y şi în raport cu x după care luăm x = x 0 şi y = y 0, de aici rezultând f y (x 0, y 0 ) şi respectiv f x (x 0, y 0 );

24 24 Ion Crăciun identităţilor obţinute li se aplică operaţia de derivare în raport cu x, de aici calculându se 2 f x y (x 0, y 0 ) şi respectiv 2 f x (x 0, y 2 0 ); aplicând penultimei identităţi operaţia de derivare parţială în raport cu x se determina derivata parţială de ordinul al treilea a funcţiei f menţionată în enunţ. Având în vedere expresia funcţiei F rezultă că identitatea care urmează a fi derivată parţial conform procedeului descris este x 3 + y 3 + ( f(x, y) ) 4 3( x 2 + y 2 + ( f(x, y) ) 2 ) 3xy 0. 2 Cele cinci identităţi obţinute prin derivările specificate sunt: 3(y 2 y x) + (4f 3 (x, y) 3f(x, y)) f (x, y) 0, y 3(x 2 x y) + (4f 3 (x, y) 3f(x, y)) f (x, y) 0; x 3 + 3(4f 2 (x, y) 1) f (x, y) f x y (x, y) + (4f 3 (x, y) 3f(x, y)) 2 f (x, y) 0, x y 3(2x 1) + 3(4f 2 (x, y) 1) ( f x (x, y)) 2 + (4f 3 (x, y) 3f(x, y)) 2 f (x, y) 0; x2 24f(x, y) ( f x (x, y)) 2 f y (x, y) + (4f 3 (x, y) 3f(x, y)) 3 f (x, y)+ x 2 y +3(4f 2 (x, y) 1) ( 2 f (x, y) f (x, y) + 2 f x2 y x (x, y) 2 f x y (x, y)) 0. Din primele două seturi de identităţi se obţin derivatele: f ( 1 y 2, 1 ) 6 = 2 12 ; 2 f ( 1 x y 2, 1 ) 19 6 = 2 72 ; f ( 1 x 2, 1 ) 6 = 2 12 ; iar din ultima identitate se obţine 2 f ( 1 x 2 2, 1 ) 5 6 = 2 72, 3 f ( 1 x 2 y 2, 1 ) 59 6 = 2 144,

25 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 25 care este derivata parţială din enunţ. Exerciţiul Funcţia z = z(x, y) este definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, unde F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ϕ(αx + βy + γz), α, β şi γ fiind constante reale arbitrare, iar u ϕ(u) o funcţie reală diferenţiabilă pe un innterval I IR. Să se arate că derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z = z(x, y) satisface egalitatea Soluţie. (γ y β z) + (α z γ x) x y = β x α y. În ipotezele menţionate, funcţia F este derivabilă şi F x F y F dϕ (x, y, z) = 2z du u (x, y, z) = 2x dϕ du u x = 2x α ϕ (u) dϕ (x, y, z) = 2y du u y = 2y β ϕ (u) = 2z γ ϕ (u), unde am făcut notaţia u = α x + β y + γ z. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, sunt F (x, y, z(x, y)) (x, y) = x, x F (x, y, z(x, y)) F (x, y, z(x, y)) y (x, y) =. y F (x, y, z(x, y)) Înlocuind aceste derivate parţiale de ordinul întâi ale funcţiei F, calculate în punctul (x, y, z(x, y)), găsim că derivatele parţiale ale funcţiei z = z(x, y) au expresiile x (x, y) = 2x α ϕ (u(x, y, z(x, y))) 2z γ ϕ (u(x, y, z(x, y))), y (x, y) = 2y β ϕ (u(x, y, z(x, y))) 2z γ ϕ (u(x, y, z(x, y))),

26 26 Ion Crăciun unde u(x, y, z(x, y)) = α x + β y + γ z(x, y). Înmulţind derivata parţială a lui z în raport cu variabila x cu γ y β z(x, y) şi cealaltă derivată parţială a funcţiei z = z(x, y) cu α z(x, y) γ x şi sumând rezultatele, găsim că (γ y β z(x, y)) (x, y) + (α z(x, y) γ x) (x, y) = β x α y, x y ceea ce arată că funcţia z = z(x, y) satisface egalitatea din enunţ. Exemplul Funcţia F (x, y, z) = Φ ( x+ z y, y+ z x), unde Φ este o funcţie diferenţiabilă pe un domeniu D IR 2, este astfel încât ecuaţia F (x, y, z) = 0 defineşte implicit funcţia diferenţiabilă z = z(x, y). Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z satisfac egalitatea x x + y y = z xy. Soluţie. Într-adevăr, ştiind că există derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei definite implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, acestea se calculează după regula (x, y) = x F (x, y, z(x, y)) x, F (x, y, z(x, y)) (x, y) = y F (x, y, z(x, y)) y. F (x, y, z(x, y)) Pentru a determina derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei F, folosim regula lanţului de derivare a funcţiilor compuse. Notând în prealabil cu u şi v variabilele funcţiei Φ şi aplicând această regulă, obţinem: F x = Φ u u x + Φ v v x = Φ u z Φ x 2 v ; F = Φ y u u y + Φ v v = Φ y v z Φ y 2 u ; F = Φ u u + Φ v v = 1 Φ y u + 1 Φ x v.

27 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 27 Atunci, derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z vor fi Φ x = u z Φ x 2 v 1 Φ y u + 1 Φ x v Φ v z Φ y = 2 u y 1 Φ y u + 1. Φ x v Înmulţind aceste expresii cu x şi respectiv y şi adunând membru cu membru rezultatele înmulţirii constatăm că egalitatea din enunţ este satisfăcută. Exerciţiul Să se arate că ecuaţia funcţia z = z(x, y) definită implicit de Φ(x az, y bz) = 0, a, b IR, fixaţi, F C 1 (D), D IR 2, verifică relaţia a (x, y) + b zy(x, y) = 1. x Soluţie. Vom nota F (x, y, z) = Φ(x az, y bz) precum şi u = x az, v = y bz. În felul acesta funcţia Φ are variabilele u şi v. Determinăm derivatele parţiale ale funcţiei F folosind regula lanţului de derivare a unei funcţii compusă. Avem: F Φ (x, y, z) = x u u x + Φ v v x = Φ u F Φ (x, y, z) = y u u y + Φ v v = Φ y v F Φ (x, y, z) = u u + Φ v v = a Φ u b Φ v. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, se calculează după regula (x, y) = x F (x, y, z(x, y)) x, F (x, y, z(x, y)) (x, y) = y F (x, y, z(x, y)) y. F (x, y, z(x, y))

28 28 Ion Crăciun Folosind rezultatele precedente găsim că (x, y) = x (x, y) = y Φ u a Φ u + b Φ, v Φ v a Φ u + b Φ. v Examinând expresiile acestor derivate parţiale constatăm că a (x, y) + b (x, y) = 1 x y şi deci funcţia z = z(x, y) satisface egalitatea din enunţ. Exemplul Ecuaţia Φ ( x z, y ) = 0 defineşte implicit funcţia reală diferenţiabilă z = z(x, y). Derivatele parţiale de ordinul întâi ale acesteia satisfac z ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale de ordinul întâi x x + y y = z. Soluţie. Într-adevăr, notând F (x, y, z) = x Φ( z, y ) şi aplicând formulele de z calcul ale derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, găsim x (x, y) = z(x, y) Φ,1 (u, v) x Φ,1 (u, v) + y Φ,2 (u, v) y (x, y) = z(x, y) Φ,2 (u, v) x Φ,1 (u, v) + y Φ,2 (u, v). Variabilele intermediare u şi v ale funcţiei Φ, notate la un moment dat cu 1 şi 2, sunt funcţii de x, y şi z, însă în relaţiile de mai sus z se consideră că fiind înlocuit cu expresia sa rezultată din ecuaţia F (x, y, z) = 0, adică u(x, y, z(x, y)) = x y, v(x, y, z(x, y)) = z(x, y) z(x, y).

29 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 29 Se vede imediat că x (x, y) + y (x, y) z(x, y), ceea ce arată că x y z = z(x, y) este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul întâi din enunţ. Exemplul Funcţia reală F F(D) de clasă C 1 pe mulţimea deschisă D IR 3 este astfel încât: F (x 0, y 0, z 0 ) = 0; F x (x 0, y 0, z 0 ) 0; F y (x 0, y 0, z 0 ) 0, F (x 0, y 0, z 0 ) 0. Dacă funcţiile reale: x = f(y, z); y = g(z, x); z = h(x, y) sunt soluţiile ecuaţiei F (x, y, z) = 0 care satisfac condiţiile iniţiale: x 0 = f(y 0, z 0 ), y 0 = g(z 0, x 0 ), z 0 = h(x 0, y 0 ), atunci f (y 0, z 0 ) g x (z 0, x 0 ) h y (x 0, y 0 ) = 1. Într-adevăr, deoarece F C 1 (D), F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 şi F (x 0, y 0, z 0 ) 0, rezultă că ecuaţia F (x, y, z) = 0 defineşte implicit funcţia z = h(x, y) într o vecinătate a punctului (x 0, y 0 ) şi În mod similar deducem: h y (x 0, y 0 ) = g x (z 0, y 0 ) = F y (x 0, y 0, z 0 ) F (x 0, y 0, z 0 ) F x (x 0, y 0, z 0 ) F y (x 0, y 0, z 0 ) ;

30 30 Ion Crăciun f (y 0, z 0 ) = F (x 0, y 0, z 0 ) F x (x 0, y 0, z 0 ) Înmulţind membru cu membru aceste trei egalităţi se obţine relaţia dorită. Exemplul Fie F = (F 1, F 2 ) F(IR 5, IR 2 ), unde F 1 (x, y, z, y 1, y 2 ) = x + yz y 1 y 2 y 2 1, F 2 (x, y, z, y 1, y 2 ) = x y + y 3 1 y 3 2. Să se arate că sistemul de ecuaţii F 1 (x, y, z, y 1, y 2 ) = 0, F 2 (x, y, z, y 1, y 2 ) = 0, defineşte implicit pe y 1 şi y 2 ca funcţii de variabilele x, y, z într o vecinătate a punctului (1, 1, 1, 1, 1) IR 5 şi să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi ale acestor funcţii în punctul (1, 1, 1) IR 3. Soluţie. Într-adevăr, din expresiile algebrice ale componentelor funcţiei F se vede că F C (IR 5, IR 2 ). Apoi, există punctul (1, 1, 1, 1, 1) IR 5, cu proprietatea F(1, 1, 1, 1, 1) = 0. Matricea jacobiană J yf (x, y, z, y 1, y 2 ), unde y = (y 1, y 2 ), este J yf (x, y, z, y 1, y 2 ) = F 1 y 1 F 1 y 2 F 2 y 1 F 2 y 2 Determinantul acestei matrice este jacobianul y 2 2y 1 y 1 = 3y1 2 3y2 2 D(F 1, F 2 ) D(y 1, y 2 ) (x, y, z, y 1, y 2 ) = 3y y y 1 y 2 2. Se vede că D(F 1, F 2 ) (1, 1, 1, 1, 1) 0. D(y 1, y 2 )

31 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 31 Prin urmare, într-o vecinătate V 0 a punctului x 0 = (1, 1, 1) IR 3 există funcţiile f 1, f 2 de clasă C cu proprietăţile: f 1 (1, 1, 1) = 1, f 2 (1, 1, 1) = 1; F 1 (x, y, z, f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z)) = 0, F 2 (x, y, z, f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z)) = 0, ( ) (x, y, z) V 0. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiilor f 1 şi f 2 sistemele algebrice: 1 f 1 x f 2 f 1 f f 2 1 x 2f 1 f 1 x 3f 2 2 f 2 x = 0; z f 2 f 1 y f 1 f 2 y 2f 1 f 1 x = 0, f 1 y = 0, se obţin din 1 + 3f 2 1 f 1 y 3f 2 2 f 2 y = 0; f 1 y f 2 f f 2 1 2f f 1 1 = 0, 3f1 2 f 1 3f 2 2 f 2 = 0. care se deduc derivând succesiv în raport cu x, y şi z egalitatea F(x, f(x)) 0, unde x = (x, y, z) iar f = (f 1, f 2 ). Rezolvând aceste sisteme şi făcând apoi în soluţiile găsite x = y = z = 1, obţinem: f 1 x (1, 1, 1) = 1 6, f 2 x (1, 1, 1) = 1 2 ; f 1 y (1, 1, 1) = 1 3, f 2 (1, 1, 1) = 0; y f 1 (1, 1, 1) = 1 4, f 2 (1, 1, 1) = 1 4. De remarcat că aceste rezultate se puteau obţine şi direct utlizând formulele de derivare parţială a unei funcţii vectoriale de variabilă vectorială definită implicit de ecuaţia vectorială F(x, f(x)) = 0.,

32 32 Ion Crăciun Exerciţiul Calculaţi derivatele parţiale (x, y) şi (x, y), unde z = x y z(x, y) este funcţia definită implicit de ecuaţia Φ(x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 ) = 0, iar funcţia (u, v) Φ(u, v) admite derivate parţiale continue pe mulţimea D deschisă în IR 2. Soluţie. Introducem notaţiile F (x, y, z) = Φ(x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 ), u = u(x, y, z) = x + y + z, v = v(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Cu aceste notaţii rezultă că funcţia z = z(x, y) este definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0 şi satisfac identitatea F (x, y, z(x, y)) 0 pe o submulţime a spaţiului IR 2 care rezultă în urma aplicării teoremei de existenţă şi unicitate a unei funcţii reale de două variabile reale definită implicit de ecuaţia de mai sus. Pentru a obţine prima dintre derivatele menţionate în enunţ, derivăm identitatea de mai sus în raport cu x ţinând cont că F (x, y, z(x, y)) = Φ(u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) şi folosind pentru aceasta regula lanţului de derivare a funcţiilor compuse. Avem: Φ u u x + Φ v v x 0 = Φ u ( 1 + x ) + Φ v ( Din ultima identitate determinăm expresia primei derivate x = 2x + 2z ).0 x Φ (u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) + 2x Φ(u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) u v. Φ Φ (u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) + 2z u v (u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) Schema de calcul de mai sus se poate aplica şi în privinţa variabilei y obţinând în acest mod y = Φ Φ (u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) + 2y (u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) u v. Φ Φ (u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y))) + 2z u v (u(x, y, z(x, y)), v(x, y, z(x, y)))

33 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 33 În expresiile acestor derivate trebuie avut în vedere că u(x, y, z(x, y)) = x + y + z(x, y), v(x, y, z(x, y)) = x 2 + y 2 + z 2 (x, y) aceste egalităţi rezultând din expresiile concrete ale variabilelor intermediare u şi v. Exemplul Sistemul de ecuaţii x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 defineşte implicit, în anumite condiţii, funcţiile x = x(z) şi y = y(z). Concluziile teoremei de existenţă şi unicitate a unui sistem de funcţii reale de o variabilă reală definit implicit de acest sistem de ecuaţii permit calculul derivatelor funcţiilor sistemului. Soluţie. Într-adevăr, funcţiile F 1(x, y, z) = x + y + z şi F 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 sunt de clasă C (IR 3 ). În orice punct M 0(x 0, y 0, z 0 ) care satisface sistemul din enunţ şi pentru care x 0 y 0, determinantul funcţional F 1 D(F 1, F 2 ) x (x, y, z) F 1 (x, y, z) y 1 1 (x, y, z) = = D(x, y) F 2 x (x, y, z) F 2 x y = y x (x, y, z) y este diferit de zero. Ca urmare, într o vecinătatea punctului M 0 în care x y, sistemul din enunţ defineşte funcţiile infinit diferenţiabile x = x(z) şi y = y(z). Aceste funcţii satisfac sistemul x(z) + y(z) + z = 0 x 2 (z) + y 2 (z) + z 2 = 1. Să derivăm ambele ecuaţii ale acestui sistem. Obţinem sistemul dx dz x(z) dx dz dy (z) + (z) = 1 dz dy (z) + y(z) (z) = z. dz

34 34 Ion Crăciun Rezolvând acest sistem, găsim dx dz (z) = y(z) z x(z) y(z), dy dz (z) = z x(z) x(z) y(z). Prin derivarea expresiilor acestor derivate se pot obţine derivatele de orice ordin ale funcţiilor x = x(z) şi y = y(z). Exerciţiul Arătaţi că funcţia z = z(x, y) definită implicit de ecuaţia xϕ(z) + ψ(z) y = 0, unde ϕ, ψ C 2 (I), I IR, satisface ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale de ordinul al doilea, neliniară 2 z ( ) 2 2 x 2 y x y 2 z x y + 2 z ( ) 2 = 0. y 2 x Soluţie. Dacă z = z(x, y) este funcţia definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = xϕ(z) + ψ(z) y = 0, atunci are loc identitatea F (x, y, z(x, y)) 0, adică xϕ(z(x, y)) + ψ(z(x, y)) y 0, pe care o vom deriva parţial în raport cu ambele variabile independente x şi y, folosind de fiecare dată regula lanţului de derivare a unei funcţii compuse de două variabile. Obţinem: ϕ(z(x, y)) + xϕ (z(x, y)) x (x, y) + ψ (z(x, y)) (x, y) x = 0; xϕ (z(x, y)) y (x, y) + ψ (z(x, y)) (x, y) 1 y = 0. Din aceste egalităţi rezultă derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z = z(x, y) : x (x, y) = ϕ(z(x, y)) xϕ (z(x, y)) + ψ (z(x, y)) ; y (x, y) = 1 xϕ (z(x, y)) + ψ (z(x, y)).

35 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 35 Pentru a obţine mai rapid derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei z = z(x, y), derivăm expresiile derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei, prima în raport cu x şi apoi cu y, iar a doua în raport cu y. Deoarece în expresiile astfel găsite vor apare derivatele parţiale de ordinul ântâi, acestea se vor înlocui cu expresiile lor. În felul acesta se obţin derivatele parţiale de ordinul al doilea. De notat că peste tot unde apare variabila z ea trebuie considerată ca fiind z(x, y). Expresiile acestor derivate secunde sunt: 2 z x (x, y) = 2(xϕ (z) + ψ (z))ϕ(z)ϕ (z) (xϕ (z) + ψ (z))ϕ 2 (z) ; 2 (xϕ (z) + ψ (z)) 3 2 z x y (x, y) = (xϕ (z) + ψ (z))ϕ(z) (xϕ (z) + ψ (z))ϕ (z) ; (xϕ (z) + ψ (z)) 3 2 z y (x, y) = xϕ (z) + ψ (z) 2 (xϕ (z) + ψ (z)). 3 Pentru a arăta că funcţia z = z(x, y) este soluţia ecuaţiei diferenţiale din enunţ, să observăm în prealabil că 2 z x (x, 2 y)( = y (x, y)) 2 2 x (x, y) y (x, y) 2 z x y (x, y) + 2 z y 2 (x, y)( x (x, y)) 2 = 1 ( 2 z (xϕ (z) + ψ (z)) 2 x (x, y) + 2 ϕ(z(x, y)) 2 z 2 x y (x, y) + ϕ2 (z(x, y)) 2 z y (x, 2 y)). Verificarea faptului că z = z(x, y) este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale este de acum o banalitate. Exerciţiul Să se găsească câţiva termeni a dezvoltării după puterile lui x 1 şi y 1 a funcţiei (x, y) z(x, y) definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = z 3 + yz xy 2 x 3 = 0. Soluţie. Observăm că ecuaţia F (x, y, z) = 0 defineşte implicit funcţia infinit diferenţiabilă (x, y) z(x, y) într o vecinătate a punctului (1, 1, 1) şi aceasta pentru că F C (IR 3 ), F (1, 1, 1) = 0, iar derivata parţială a funcţiei F în raport cu z în punctul (1, 1, 1) este diferită de zero. Funcţia (x, y) z(x, y) are proprietăţile: z(1, 1) = 1; F (x, y, z(x, y)) = 0; este diferenţiabilă de orice ordin; diferenţialele de diverse ordine se pot determina diferenţiind de câte ori avem nevoie identitatea F (x, y, z(x, y)) = 0.

36 36 Ion Crăciun Dacă impunem ca dezvoltarea funcţiei (x, y) z(x, y) după puterile binoamelor x 1 şi y 1 să conţină termeni de cel mult gradul al doilea, atunci aceasta poate rezulta din formula lui Taylor cu restul de ordinul doi z(x, y) = z(1, 1) + dz((1, 1); (x 1, y 1)) d2 z((1, 1); ((x 1, y 1), (x 1, y 1))) d3 z((ξ, η); (x 1, y 1), (x 1, y 1), (x 1, y 1)), unde punctul (ξ, η) aparţine segmentului deschis cu extremităţile în punctele (1, 1) şi (x, y). După neglijarea restului, se obţine formula aproximativă z(x, y) = z(1, 1)+dz((1, 1); (x 1, y 1))+ 1 2 d2 z((1, 1); ((x 1, y 1), (x 1, y 1))). Pentru determinarea celor două diferenţiale, diferenţiem de două ori identitatea F (x, y, z(x, y)) = 0. Se obţine: (3z 2 + y)dz = (3x 2 + y 2 )dx + (2xy z)dy; (3z 2 + y)d 2 z = 6xdx 2 + 4ydxdy + 2xdy 2 2dydz 6zdz 2. De aici se obţin diferenţialele funcţiei (x, y) z(x, y) în punctul (1, 1) dz(1, 1) = dx dy, d 2 z(1, 1) = 1 4 dxdy dy2. Considerând că dx = x 1 şi dy = y 1 obţinem în final formula de aproximare z(x, y) = 1 + (x 1) (y 1) 1 8 (x 1)(y 1) (y 1)2, pentru valori mici ale lui x 1 şi y 1.

37 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse Exemple şi exerciţii propuse Exerciţiul Să se arate că funcţia z = f(x, y) definită implicit de e- cuaţia G ( x x 0, y y ) 0 = 0, z z 0 z z 0 verifică relaţia (x x 0 ) f x (x, y) + (y y 0) f y (x, y) = f(x, y) z 0. Exerciţiul Să se arate că funcţia z = f(x, y) definită implicit de e- cuaţia G(x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 ) = 0, verifică ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale de ordinul întâi (y f(x, y)) f (x, y) + (f(x, y) x) f (x, y) = x y. x y Exerciţiul Să se arate că funcţia z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = (z + y) sin z y(x + z) = 0, satisface ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale de ordinul întâi z sin z y2 x y = 0. Răspuns. Derivatele parţiale ale funcţiei z sunt x = y sin z + (z + y) cos z y, y = x + z sin z sin z + (z + y) cos z y iar pentru a demonstra că acestea verifică ecuaţia dată se ţine cont de faptul că z = z(x, y) satisface identitatea F (x, y, z(x, y)) = 0. Exemplul Funcţia z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, unde F (x, y, z) = y(x + z) (y + z)f(z), iar f este o funcţie reală de variabilă reală, diferenţiabilă, satisface identitatea z(x + z) y(y + z) x y = 0.

38 38 Ion Crăciun Indicaţie. Se calculează derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z = z(x, y) după formulele x = F x F, y = şi în final se foloseşte faptul că funcţia z satisface ecuaţia F (x, y, z) = 0. Exemplul Funcţia z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F y F F (x, y, z) = x 2 + y 2 2xz 2yf(z) = 0, satisface ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale Exerciţiul Se dă ecuaţia (y 2 x 2 + 2xz) + 2y(z x) x y = 0. F (x + 2y, y 2x) = 1 care defineşte pe y ca funcţie de x. În ipoteza că F admite derivate parţiale de ordinul doi continue în domeniul D IR 2, să se calculeze y şi y. Indicaţie. Notăm x + 2y = u, y 2x = v şi derivăm de două ori identitatea F (u(x), v(x)) 1 0, unde u(x) = x + 2y(x), v(x) = y(x) 2x. Răspuns. y (x) = 2F, v(u(x), v(x)) F, u (u(x), v(x)) 2F, u (u(x), v(x)) + F, v (u(x), v(x)) ; y (x) = F, uu (u (x)) 2 + 2F, uv u (x) v (x)) + F, vv (v (x)) 2, 2F, u (u(x), v(x)) + F, v (u(x), v(x)) în care u (x) = 1 + 2y (x), v (x) = y (x) 2, urmând ca derivata y (x) să fie înlocuită cu expresia sa de mai sus.

39 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 39 Exerciţiul Funcţia (u, v) F (u, v) este astfel încât ecuaţia F (y + sin x, x + cos y) = 0 defineşte implicit funcţia x y(x), de două ori derivabilă. Să se calculeze derivatele y (x) şi y (x). Indicaţie. Se derivează de două ori identitatea F (y(x) + sin x, x + cos y(x)) 0 folosind regulile de derivare ale funcţiei compuse f(x) = F (u(x), v(x)) în care: u(x) = y(x) + sin x; v(x) = x + cos y(x). Prima derivată rezultă din F u (u(x), v(x)) (y (x) + cos x) + F, v (u(x), v(x)) (1 y (x) sin x) 0, iar cea de a doua din F, uu (u(x), v(x)) (u (x)) 2 + 2F, uv (u(x), v(x)) u (x) v (x)+ +F, vv (u(x), v(x)) (v (x)) 2 + F, u (u(x), v(x)) u (x) + F, v (u(x), v(x)) v (x) 0. Răspuns. y (x) = F, u (u(x), v(x)) cos x + F, v F, v (u(x), v(x)) sin y(x) F, u (u(x), v(x)) ; y = E(F, u, F, v, F, uu, F, uv, F, vv ) (F, v sin y(x) F, u ) 3, unde E(F, u, F, v, F, uu, F, uv, F, vv ) este un polinom de gradul al treilea cu coeficienţi funcţii de x. Exerciţiul Să se afle derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiilor (x, y) u(x, y), (x, y) v(x, y) definite implicit de sistemul F 1 (x, y, u, v) = x u 2 v = 0, F 2 (x, y, u, v) = y 2 uv + v 2 = 0.

40 40 Ion Crăciun Indicaţie. Se poate proceda pe două căi: fie aplicând formulele care dau derivatele parţiale menţionate în enunţ, fie derivând sistemul dat întâi în raport cu variabila x şi apoi cu y şi rezolvând sistemele obţinute în care necunoscute sunt derivatele parţiale ale funcţiilor u şi v. Răspuns. u x = u 2v 2u 2 4uv v, u 2y = y 4uv + v 2u ; 2 v x = v 4uv + v 2u, 2 v 4uy = y 2u 2 4uv v. Variabilele u şi v din membrul doi sunt funcţii de x şi y. Exerciţiul Să se calculeze diferenţialele du şi dv ale funcţiilor u = u(x, y) şi v = v(x, y), definite implicit de sistemul: e u + u sin v = x; e u u cos v = y. Indicaţie. Se diferenţiază în ambii membri ai ecuaţiilor sistemului şi se rezolvă sistemul obţinut în care necunoscutele sunt diferenţialele du şi dv. Răspuns. du = dv = sin v 1 + (sin v cos v)e dx cos v u 1 + (sin v cos v)e dy, u e u + sin v u[1 + (sin v cos v)e u ] dx e u cos v u[1 + (sin v cos v)e u ] dy, în care se ţine cont că u şi v sunt funcţii de x şi y. Exerciţiul Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi doi ale funcţiei z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, unde F (x, y, z) = Φ(x + z, y + z), iar (u, v) Φ(u, v) este o funcţie diferenţiabilă de două ori pe un domeniu D IR 2. Indicaţie. Se notează u = x + z, v = y + z, se diferenţiază de două ori egalitatea Φ(u, v) = 0 şi se ţine cont că du = dx + dz, dv = dy + dz, d 2 u = d 2 v = d 2 z.

41 Exerciţii şi probleme rezolvate şi propuse 41 Răspuns. dz = Φ, u Φ, v dx dy; Φ, u + Φ, v Φ, u + Φ, v d 2 z = (Φ, v) 2 Φ, uu 2Φ, u Φ, v Φ, uv + (Φ, u ) 2 Φ, vv (Φ, u + Φ, v ) 3 (dx dy) 2. Exerciţiul Funcţiile F şi G, definite pe mulţimi deschise în IR 2, sunt astfel încât sistemul F (x + y + z, xy + zu) 1 = 0, G(x + y + z, xz + y 2 + u 2 ) = 0 defineşte implicit pe z şi u ca funcţii de x şi y. Se cer: dz; du; x ; y ; u x ; u y. Indicaţie. Se diferenţiază fiecare ecuaţie a sistemului şi se obţine sistemul (F,1 + uf,2 )dz + zf,2 du = (F,1 + yf,2 )dx (F,1 + xf,2 )dy, (G,1 + xg,2 )dz + 2uG,2 du = (G,1 + zg,2 )dx (G,1 + 2yG,2 )dy, din care se determină dz şi du. Derivatele parţiale cerute sunt coeficienţii lui dx şi dy din expresiile diferenţialelor dz şi du. 1.3 Extreme ale funcţiilor definite implicit Exemple şi exerciţii rezolvate Exerciţiul Să se determine extremele locale ale funcţiei reale z = z(x, y) definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 10 = 0 şi să se dea o interpretare geometrică rezultatelor.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am

Διαβάστε περισσότερα

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii şi sisteme diferenţiale. Teodor Stihi

Ecuaţii şi sisteme diferenţiale. Teodor Stihi Ecuaţii şi sisteme diferenţiale Teodor Stihi December 6, 204 2 Cuprins Noţiuni introductive 5 2 Ecuaţii diferenţiale liniare (EDL) 7 2. EDL cu coeficienţi constanţi................... 7 2.. Cazul omogen.......................

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU EVEDEI April 1, 25 2 CUPRINS III ELEMENTEDECALCULVARIAŢIONAL 9 11 ELEMENTE DE CALCUL

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα