ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΕ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ Ε ΤΣΙΡΑΚΗ Διπλωματική εργασία που υποβλήθηκε στο τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πειραιάς Απρίλιος 3

2 Η παρούσα διπλωματική εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την τριμελή εξεταστική επιτροπή που ορίστηκε από τη ΓΣΕΣ του τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς σύμφωνα με τον εσωτερικό κανονισμό λειτουργίας του προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Τα μέλη της επιτροπής ήταν : -Χατζηκωνσταντινίδης Ε Επιβλέπων καθηγητής) -Μαχαιράς Νικόλαος -Ψαρράκος Γεώργιος Η έγκριση της διπλωματικής εργασίας από το τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα

3 3

4 Στο Μάνο 4

5 5

6 Ευχαριστίες Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμότερες μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή μου κ Χατζηκωνσταντινίδη για την πολύτιμη συνεισφορά του στην ολοκλήρωση της παρούσας διπλωματικής εργασίας Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω και τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής για την επίβλεψη της εργασίας 6

7 7

8 Περίληψη Στο κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου, τα ασφάλιστρα εισπράττονται από την ασφαλιστική εταιρία με σταθερό ρυθμό, δηλαδή θεωρούνται ότι είναι γραμμικές συναρτήσεις του χρόνου Σε αυτή τη διπλωματική εργασία, θεωρούμε την πιο ρεαλιστική υπόθεση όπου τα συνολικά ασφάλιστρα όπως και οι συνολικές ζημιές) είναι στοχαστικές ανελίξεις και συγκεκριμένα ακολουθούν τη σύνθετη Poo στοχαστική ανέλιξη Θα εξεταστούν δύο μοντέλα κινδύνου Στο πρώτο θεωρούμε ότι τα ασφάλιστρα και οι συνολικές αποζημιώσεις είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και στο δεύτερο εξετάζουμε μια συγκεκριμένη μορφή εξάρτησης μεταξύ των μεγεθών ατομικών ζημιών, του ύψους των ασφαλίστρων και των χρόνων εμφάνισης των κινδύνων Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή όπου παρουσιάζονται βασικές έννοιες από τη θεωρία χρεοκοπίας, γίνεται αναφορά στην ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση και την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτησης ποινής των Gerber-Sh Στο δεύτερο κεφάλαιο υποθέτουμε ένα μοντέλο χρεοκοπίας όπου τόσο η διαδικασία καταβολής των αποζημιώσεων, όσο και η διαδικασία είσπραξης των ασφαλίστρων ικανοποιούν σύνθετες διαδικασίες Poo Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση Gerber-Sh του νέου μοντέλου ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση, όπως και μια εξίσωση ολοκληρωτικής μορφής Τέλος η περίπτωση όπου τα ύψη των ασφαλίστρων ακολουθούν Erlag,β) κατανομή και η κατανομή του μεγέθους των αποζημιώσεων είναι αυθαίρετη, μελετάται πιο διεξοδικά Στα πλαίσια αυτής της περίπτωσης γίνεται και ο υπολογισμός κάποιων μέτρων χρεοκοπίας όπως της απόλυτης χρεοκοπίας και του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία Στο τρίτο κεφάλαιο επεκτείνουμε το μοντέλο με στοχαστικά ασφάλιστρα υποθέτοντας την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης εξάρτησης μεταξύ του ύψους των αποζημιώσεων, του ενδιαμέσου χρόνου επέλευσης των ζημιών και του ύψους των ασφαλίστρων Υποθέτουμε επίσης, ότι οι κατανομές του ύψους των ασφαλίστρων και των ενδιάμεσων χρόνων επέλευσης των αποζημιώσεων ελέγχονται πλήρως από το ύψος των αποζημιώσεων Όταν τα ύψη των ασφαλίστρων είναι εκθετικά κατανεμημένα τότε υπολογίζουμε τους μετασχηματισμούς Laplace και τις ελλειμματικές ανανεωτικές εξισώσεις που ικανοποιούν οι συναρτήσεις Gerber-Sh Τέλος, όταν τα ύψη των ασφαλίστρων έχουν συγκεκριμένη μορφή μετασχηματισμού Laplace, αποδεικνύουμε ότι μπορούμε να βρούμε και το μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων προεξοφλημένης ποινής 8

9 9

10 ABSTRACT I the clacal model of r theory, race premm collected by the race compay at a fxed rate, e amed to be lear fcto of tme I th the, we coder the more realtc ampto coderg that the total premm a total loe) are tochatc procee ad eqece of the complex Poo tochatc proce We coder two r model At frt we coder premm ad total compeato are depedet of each other ad the ecod we coder a pecfc form of depedecy amog the dvdal clam ze, the premm ze ad the terclam tme More pecfcally, the frt chapter a trodcto whch preet bac cocept r theory, a referece to the defectve reewal eqato ad the expected dcoted pealty fcto of Gerber-Sh I the ecod chapter we ame a r model where both premm ad clam follow compod Poo procee We etablh that the expected dcoted pealty fcto atfe a defectve reewal eqato ad a tegral eqato Fally, the cae whe premm have Erlag,β) dtrbto ad the dtrbto of the clam arbtrary vetgated more depth Alo the cotext of th cae, we fd explct expreo for pecfc r meare, le the ltmate r ad the rpl before r I the thrd chapter, we exted the model wth tochatc premm come by amg that there ext a pecfc depedece trctre amog the clam ze, terclam tme ad premm ze We alo ame that the dtrbto of the premm ze ad terclam tme are flly cotrolled by the clam ze Whe the dvdal premm ze are expoetally dtrbted, the Laplace traform ad the defectve reewal eqato for the Gerber-Sh dcoted pealty fcto are obtaed Fally, whe the dvdal premm ze have ratoal Laplace traform, we prove that the Laplace traform for the dcoted pealty fcto ca alo be obtaed

11 Περιεχόμενα Κεφάλαιο : Εισαγωγή Η στοχαστική διαδικασία Poo Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος3 3 Μέτρα χρεοκοπίας4 4 Η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση 6 4 Η λύση της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης 6 5 Η συνάρτηση των Gerber Sh8 5 Ειδικές περιπτώσεις της συνάρτησης των Gerber-Sh9 Κεφάλαιο : Η διαδικασία πλεονάσματος με στοχαστικά ασφάλιστρα και ανεξαρτησία μεταξύ του ύψους των αποζημιώσεων και του ύψους των ασφαλίστρων Εισαγωγή Περιγραφή μοντέλου κινδύνου με στοχαστικά ασφάλιστρα 3 Η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση που ικανοποιεί η συνάρτηση Gerber Sh 4 4 Η ολοκληρωτική εξίσωση που ικανοποιεί η συνάρτηση Gerber Sh8 5 Η μελέτη της συνάρτησης Gerber Sh για εκθετικά ύψη ασφαλίστρων 3 6 Η μελέτη της συνάρτησης Gerber Sh για ύψη ασφαλίστρων που ακολουθούν τη κατανομή Erlag,β) 36 7 Μέτρα χρεοκοπίας 47 3 Κεφάλαιο 3: Ένα μοντέλο κινδύνου με στοχαστικά ασφάλιστρα και συγκεκριμένη εξάρτηση μεταξύ ύψους ασφαλίστρων και αποζημιώσεων 53 3 Εισαγωγή 53 3 Περιγραφή μοντέλου κινδύνου με στοχαστικά ασφάλιστρα Η μελέτη της συνάρτησης Gerber Sh Η ειδική περίπτωση της συνάρτησης Gerber-Sh για εκθετικό ύψος ασφαλίστρων Η ειδική περίπτωση της συνάρτησης Gerber-Sh για συγκεκριμένη μορφή μετασχηματισμών Laplace του ύψους των ασφαλίστρων 7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 74 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 77

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα γίνει μια επισκόπηση των βασικών εννοιών της θεωρίας χρεοκοπίας Πιο συγκεκριμένα, θα οριστούν η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος καθώς και διάφορα μέτρα κινδύνου, όπως η πιθανότητα χρεοκοπίας, ο χρόνος χρεοκοπίας, το έλλειμμα και το πλεόνασμα τη στιγμή της χρεοκοπίας Τέλος, θα γίνει εκτενής αναφορά στη συνάρτηση προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής ή αλλιώς συνάρτηση των Gerber-Sh, η οποία θα αποτελέσει βασικό στοιχείο μελέτης στα ακόλουθα κεφάλαια Η στοχαστική διαδικασία Poo Η στοχαστική διαδικασία Poo αποτελεί το κατάλληλο πιθανοθεωρητικό μοντέλο για την περιγραφή γεγονότων τα οποία συμβαίνουν με κάποια τυχαιότητα στο χρόνο ή στο χώρο Τέτοια γεγονότα μπορεί να είναι: οι αφίξεις πελατών σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης τράπεζες, στάσεις λεωφορείων κτλ), ο αριθμός σωματιδίων που εκπέμπονται από μια ραδιενεργή πηγή, τα ατυχήματα σε ένα οδικό δίκτυο, οι απαιτήσεις για αποζημίωση σε μια ασφαλιστική εταιρία ΟΡΙΣΜΟΣ : Mια στοχαστική ανέλιξη { N t) : t } καλείται ανέλιξη Poo αν ισχύουν τα εξής: N ) Έχει ανεξάρτητες και ομογενείς προσαυξήσεις h o h ), αν 3 P N t h) N t) ) h o h ), αν oh ), αν, Δηλαδή, μπορεί να συμβεί το πολύ ένα γεγονός σε ένα πολύ μικρό διάστημα h και επίσης η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός είναι ανάλογη του διαστήματος Το σύμβολο oh ) καλείται παράγοντας διόρθωσης, είναι δηλαδή μια συνάρτηση oh ) που έχει την ιδιότητα h καθώς h Αυτό σημαίνει ότι η ποσότητα oh ) συγκλίνει στο πιο γρήγορα από το h και άρα μπορεί να θεωρηθεί κάτι το αμελητέο αν συγκριθεί με αυτό Δύο βασικές ιδιότητες της στοχαστικής ανέλιξης Poo είναι οι ακόλουθες: Έστω { N t) : t } μια διαδικασία Poo t ), τότε για κάθε t, η τμ Nt ) έχει την κατανομή Poo t ), δηλαδή t t P N t) ) e,,,,!

13 Οι ενδιάμεσοι χρόνοι αφίξεων W, W, W 3, σε μια διαδικασία Poo t ) είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που έχουν την εκθετική ) κατανομή Ας θεωρήσουμε τώρα, ως παράδειγμα αναφοράς ένα χαρτοφυλάκιο κινδύνων ζημιών)υποθέτουμε πως T, T, T3, είναι οι διαδοχικές στιγμές αφίξεων των ζημιών στο χρονικό διάστημα, ) και Nt ) είναι ο συνολικός αριθμός των ζημιών στο διάστημα, t ], όπου N ) Ισχύει ότι N t) max{ : T t }, όπου T Για κάθε συγκεκριμένο t, η Nt ) είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με τιμές στο, ενώ η οικογένεια { N t) : t } είναι μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου και διακριτού χώρου καταστάσεων Η στοχαστική διαδικασία { T : } αναφέρεται ως διαδικασία αφίξεων ενώ η { N t) : t } ως απαριθμήτρια διαδικασία αφίξεων Όταν οι ενδιάμεσοι χρόνοι αφίξεων W T T, είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές, η διαδικασία αφίξεων ονομάζεται ανανεωτική διαδικασία, διότι με κάθε άφιξη μπορεί να θεωρηθεί πως ξεκινά πάλι από την αρχή για ότι αφορά τις μελλοντικές αφίξεις Η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος Στη θεωρία χρεοκοπίας σημαντικό ρόλο κατέχει η έννοια της διαδικασίας πλεονάσματος Συνήθως χρησιμοποιείται για τη μελέτη μη προβλέψιμων χαρτοφυλακίων οικονομικών επιχειρήσεων, όπου τα έσοδα ή τα έξοδα τους περιέχουν τυχαιότητα μεγέθους ή ρυθμού εμφάνισης Για την καλύτερη κατανόηση της διαδικασίας πλεονάσματος, θα θεωρήσουμε το χαρτοφυλάκιο μιας ασφαλιστικής εταιρίας Όπως είναι γνωστό, κάθε ασφαλιστική εταιρία,συνάπτει συμβόλαια με τους ασφαλισμένους της για την κάλυψη κινδύνων έναντι προκαθορισμένων ασφαλίστρων Ανά τακτά χρονικά διαστήματα δέχεται πλήθος απαιτήσεων για αποζημιώσεις ζημιών του χαρτοφυλακίου της, μικρής ή μεγάλης διάρκειας Σκοπός της λοιπόν είναι να αντιμετωπίσει τυχόν απρόσμενες και πολλές φορές δυσμενείς καταστάσεις που μπορεί να θέσουν σε κίνδυνο την εύρυθμη λειτουργία όπως επίσης και την ύπαρξή της χρεοκοπία) Για το λόγο αυτό είναι απαραίτητο να κατέχει πρόσθετα κεφάλαια-αποθεματικά tal reerve) με τα οποία προσδοκά πως θα καλύψει ζημιές στο χαρτοφυλάκιο της Ας μελετήσουμε το χαρτοφυλάκιο της ασφαλιστικής εταιρίας στο διάστημα, t ], όπου ως σημείο αναφοράς θεωρούμε τη σύναψη του πρώτου ασφαλιστήριου συμβολαίου Τα έσοδα από τα ασφάλιστρα που πληρώνουν οι ασφαλισμένοι και εισπράττονται από την ασφαλιστική εταιρία είναι συνολικά Pt ) στο χρονικό διάστημα, t ], ενώ τα έξοδα που προκύπτουν στο ίδιο παραπάνω διάστημα είναι St ) Οπότε, η αξία του χαρτοφυλακίου της πλεόνασμα τη χρονική στιγμή t είναι: U t) P t) S t ), t Με τον όρο λοιπόν πλεόνασμα ή αξία, εννοούμε τη διαφορά του παθητικού από το ενεργητικό μιας ασφαλιστικής εταιρίας Στην ουσία, το πλεόνασμα αποτελεί ένα «περιθώριο ασφαλείας», δηλαδή το κεφάλαιο για την αντιμετώπιση τυχόν αποκλίσεων στις ασφαλιστικές υποχρεώσεις και στις αξίες του ενεργητικού της εταιρίας Αν θεωρήσουμε Ut ) την τιμή του πλεονάσματος τη χρονική στιγμή t, τότε 3

14 για κάθε t η Ut ) θα είναι μια τμ, άρα το πλεόνασμα δεν είναι τίποτα άλλο από μια στοχαστική διαδικασία, μια ανέλιξη Αξίζει να παρατηρηθεί ότι και οι ποσότητες Pt ) και St ) είναι τυχαίες μεταβλητές για συγκεκριμένο t, ενώ για κάθε t αποτελούν τις στοχαστικές διαδικασίες ασφαλίστρων και αποζημιώσεων αντίστοιχα Χρησιμοποιώντας μια ακολουθία από τμ Y, Y, Y 3, που αντιστοιχούν στα ύψη των εξόδων που προκύπτουν στο χρονικό διάστημα, t ] και μια απαριθμήτρια στοχαστική ανέλιξη { N t) : t } που εκφράζει το πλήθος των ζημιογόνων γεγονότων στο ίδιο διάστημα και η οποία είναι ανεξάρτητη από τις τμ Y,, μπορούμε να γράψουμε τη στοχαστική ανέλιξη των εξόδων της ασφαλιστικής εταιρίας σαν μια σύνθετη στοχαστική ανέλιξη, όπως φαίνεται παρακάτω:,αν Nt ) St ) N) t Y,αν N t) Ομοίως, χρησιμοποιώντας μια ακολουθία από τμ P, P, P 3, που αντιστοιχούν στα ύψη των ασφαλίστρων που εισπράττονται στο χρονικό διάστημα, t ] και μια απαριθμήτρια στοχαστική ανέλιξη { M t) : t } που εκφράζει το πλήθος των ασφαλίστρων στο ίδιο διάστημα και η οποία είναι ανεξάρτητη από τις τμ P,, μπορούμε να γράψουμε τη στοχαστική ανέλιξη των εσόδων της ασφαλιστικής εταιρίας σαν μια σύνθετη στοχαστική ανέλιξη, όπως φαίνεται παρακάτω:,αν Mt ) Pt ) M) t P,αν M t) Συνεπώς, μοντελοποιώντας τη διαδικασία πλεονάσματος έχουμε τον ακόλουθο ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ : Η διαδικασία πλεονάσματος είναι η στοχαστική ανέλιξη U t) P t) S t), t, όπου U ) : το αρχικό αποθεματικό που διαθέτει η ασφαλιστική εταιρία, Pt ):τα συνολικά ασφάλιστρα έσοδα) που έχει λάβει η εταιρία από τους ασφαλισμένους της μέχρι τη χρονική στιγμή t και St:οι ) συνολικές απαιτήσεις για αποζημίωση που πληρώνει η ασφαλιστική εταιρία έξοδα) μέχρι τη χρονική στιγμή t 3 Μέτρα χρεοκοπίας Όπως είναι γνωστό, η ποσότητα με το μεγαλύτερο ενδιαφέρον στη θεωρία χρεοκοπίας είναι η πιθανότητα χρεοκοπίας, δηλαδή η πιθανότητα το πλεόνασμα της ασφαλιστικής εταιρίας Ut ) να γίνει για κάποια στιγμή αρνητικό Παρακάτω παραθέτουμε τον καθαρά συμβολικό μη υπολογιστικό) ορισμό της πιθανότητας χρεοκοπίας οποτεδήποτε με άπειρο χρονικό ορίζοντα): ΟΡΙΣΜΟΣ 3: Η πιθανότητα χρεοκοπίας με αρχικό αποθεματικό ορίζεται από την ακόλουθη σχέση : ) P U t) για κάποιο t U) ) 4

15 ΟΡΙΣΜΟΣ 4: Η πιθανότητα μη χρεοκοπίας με αρχικό αποθεματικό ορίζεται από την ακόλουθη σχέση : ) P U t) για κάθε t U) ) Αξίζει να τονιστεί πως πρόκειται για τεχνική χρεοκοπία που δεν έχει σχέση με οποιοδήποτε νομικό ή ακόμα και οικονομικό ορισμό χρεοκοπίας Στην πράξη, η διαδικασία πλεονάσματος δεν είναι ο μοναδικός πόρος της ασφαλιστικής εταιρίας Αντίθετα η καταβολή μιας αποζημίωσης δεν είναι ένα στιγμιαίο γεγονός Απαιτεί κάποιο χρονικό διάστημα που συνεπάγεται εισροή ασφαλίστρου πέρα από το εισπραγμένο μέχρι στιγμή T Η επιχείρηση μπορεί να συνάψει δάνειο ή να αυξήσει το μετοχικό της κεφάλαιο κοκ Έτσι, η μαθηματική χρεοκοπία που ορίζεται εδώ δεν ταυτίζεται αναγκαία με την πραγματική χρεοκοπία και είναι απλά ένα σημαντικό εργαλείο για την ανάπτυξη πρόσθετης χρήσιμης θεωρίας σχετικά με διαδικασίες συνολικών αποζημιώσεων Πρέπει επίσης να επισημανθεί πως η κλασική θεωρία κινδύνων περιορίζεται στη μελέτη της χρεοκοπίας εξαιτίας των αποζημιώσεων, αγνοώντας άλλα δυνατά αίτια χρεοκοπίας Μια τυχαία μεταβλητή που είναι σχετική με την πιθανότητα χρεοκοπίας είναι ο χρόνος χρεοκοπίας, δηλαδή η χρονική στιγμή την οποία για πρώτη φορά το αποθεματικό λαμβάνει αρνητική τιμή ΟΡΙΣΜΟΣ 5: Η τυχαία μεταβλητή που ορίζεται παρακάτω ως f{ t : U t) U ) } T, αν U t) t καλείται χρόνος χρεοκοπίας Παρατηρούμε ότι P T ) P U t) t ) ) ) Επίσης, αξίζει να αναφερθεί ότι πρόκειται για μια ελλειμματική τυχαία μεταβλητή, διότι: Pνα επέλθει χρεοκοπία) = PT ) Pνα μην επέλθει χρεοκοπία) = PT ) Μια άλλη τμ που ενδιαφέρει την ασφαλιστική εταιρία σε περίπτωση που συμβεί χρεοκοπία είναι το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας ΟΡΙΣΜΟΣ 6: Η τυχαία μεταβλητή η οποία εκφράζει το μέγεθος της πτώσης του πλεονάσματος κάτω από το μηδέν τη χρονική στιγμή t T ονομάζεται έλλειμμα defct) τη στιγμή της χρεοκοπίας και συμβολίζεται με UT ) UT ) UT ) Συνήθως εξετάζουμε την τυχαία μεταβλητή του ελλείμματος κατά απόλυτη τιμή, κάτι το οποίο εξηγείται εξαιτίας της αρνητικής τιμής του Μία άλλη τυχαία μεταβλητή που είναι συναφής με την στιγμή της χρεοκοπίας είναι το πλεόνασμα πριν τη στιγμή της χρεοκοπίας ΟΡΙΣΜΟΣ 7: Η τυχαία μεταβλητή η οποία εκφράζει το μέγεθος του πλεονάσματος πριν τη χρονική στιγμή t T ονομάζεται πλεόνασμα rpl) πριν τη στιγμή της χρεοκοπίας και συμβολίζεται με UT ) 5

16 UT ) lm Ut ) t T 4 Η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση Στη θεωρία χρεοκοπίας, οι ανανεωτικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για την ανάλυση της διαδικασίας πλεονάσματος Στη παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με τις ελλειμματικές ανανεωτικές εξισώσεις και τη λύση τους ΟΡΙΣΜΟΣ 8 ανανεωτικής εξίσωσης): Μια εξίσωση που έχει τη μορφή ) x) dg x) g ), ονομάζεται ανανεωτική εξίσωση, όπου : μια άγνωστη συνάρτηση, G : μια συνάρτηση κατανομής με G ) και g : μια συνάρτηση η οποία είναι φραγμένη και συνεχής για ΟΡΙΣΜΟΣ 9 ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης): Μια εξίσωση που έχει τη μορφή ) x) g x) dx g ), όπου είναι μια σταθερά η οποία ανήκει στο,), gx ) G x ), ονομάζεται ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση defectve reewal eqato) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι ανανεωτικές εξισώσεις διακρίνονται στις παρακάτω περιπτώσεις : Ελλειμματικές ανανεωτικές εξισώσεις defectve reewal eqato) όταν Κανονικές ή μη ελλειμματικές ανανεωτικές εξισώσεις o defectve reewal eqato) όταν Η λύση της παραπάνω ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης θα δοθεί στην επόμενη παράγραφο, όπως αποδείχθηκε από τους L και Wllmot το Η λύση της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης Ας θεωρήσουμε την παρακάτω ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση : ) x) dg x) H ), ) όπου, G x) G x ) είναι συνάρτηση κατανομής με G ) και H ) είναι μια συνεχής συνάρτηση για Ορίζουμε επίσης, τη K, ) όπου K ) K ), ως δεξιά ουρά μιας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής όπως φαίνεται ακόλουθα : 6

17 όπου * ) ), K G, * G ) είναι η ουρά της -οστής συνέλιξης του G ) Με την εισαγωγή της K, ) η λύση της ) μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της K ) Για να προχωρήσουμε λοιπόν στη λύση της παραπάνω ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης, όπως παρουσιάζεται στο επόμενο θεώρημα, θα ορίσουμε την έννοια του μετασχηματισμού Laplace ΟΡΙΣΜΟΣ : Έστω μια συνεχής συνάρτηση f :[, ) Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f ορίζεται ως η συνάρτηση ) x f e f x ) dx, ΘΕΩΡΗΜΑ : Η λύση της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης ) μπορεί να εκφραστεί ως εξής : ) H x) dk x) ), ) ή H) ) K x) dh x) K ) H ), 3) Στην περίπτωση που η H ) είναι διαφορίσιμη, η ) ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση : H) ) K x) H x) dx K ) H ), 4) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω g ) e dg ) ο μετασχηματισμός Laplace της gx, ) τότε ο μετασχηματισμός Laplace της x ) δίνεται από τον παρακάτω τύπο : ) ) ) K e dk e dk ) Επίσης, έστω g ) g ) ) e ) d και 5) ) H e H ) d Τότε από την ) με τη χρήση μετασχηματισμών Laplace, έχουμε ότι : ) ) g ) H ) ) ) ) g ) H ) ) 5) H g )) ) H ) ) H ) ) g ) 7

18 ) H ) e dk ) Με τη βοήθεια αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace,έχουμε ότι : ) H x) dk x) ), Οπότε, αποδείχθηκε η σχέση ) του θεωρήματος Στη συνέχεια, ολοκληρώνοντας κατά μέλη προκύπτει : H x) dk x) H x) dk x) H x) K x) K x) dh x ) H) K ) H ) K) K x) dh x ) Αντικαθιστώντας στη σχέση ) έχουμε: Σημειώνοντας ότι ) H ) K ) H ) K) K x) dh x) ) K ), έπονται οι σχέσεις 3) και 4) Σκοπός μας είναι να εκφράσουμε τη λύση της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης ως προς K ) ώστε να εκμεταλλευτούμε τις καλές ιδιότητες της K ) Αρχικά παρατηρούμε ότι e K ) d e dk ) σχέση 5) προκύπτει ότι : g ) e K ) d g )) Ο παραπάνω τύπος μπορεί να εκφραστεί ως εξής : ) e K ) d g ) e K ) d g, η οποία ανάγεται στην K ) K x) dg x) G ),,οπότε συνδυάζοντας με τη 5 Η συνάρτηση των Gerber Sh Το 998, οι Gerber-Sh στο άρθρο τους O the tme vale of r εισήγαγαν μια συνάρτηση που ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση η οποία αποτέλεσε τομή στη μελέτη της θεωρίας χρεοκοπίας και θα δώσει πολλές ελπίδες για την εξέλιξη και τη βελτίωσή της Η συνάρτηση των Gerber-Sh έχει γίνει αντικείμενο μελέτης από πολλούς ερευνητές και θεωρείται ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία στον αναλογισμό 8

19 Ας θεωρήσουμε για δοθέν, την από κοινού συνάρτηση πυκνότηταςπιθανότητας f x, y, t ) των τμ του ελλείμματος, του πλεονάσματος και του χρόνου χρεοκοπίας Τότε, f x, y, t ) dxdydt P T U) ) ) Η παραπάνω σππ καλείται ελαττωματική αφού ), λαμβάνοντας υπόψη ότι τα έσοδα της ασφαλιστικής εταιρίας στη μονάδα του χρόνου κατά μέσο όρο είναι μεγαλύτερα από τα έξοδα ΟΡΙΣΜΟΣ : Η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ή συνάρτηση των Gerber-Sh, ορίζεται ως εξής: t ) E e w U T ), U T ) ) I T ) U ), 6) όπου w x, y ) είναι μια μη-αρνητική συνάρτηση των x, y η οποία καλείται συνάρτηση ποινής, η ένταση ανατοκισμού και I ) η δείκτρια συνάρτηση, αν συμβαίνει το ενδεχόμενο Α ΙΑ)=, διαφορετικά Προφανώς, ισχύει ότι : t ) e w x, y) f x, y, t ) dxdydt 5 Ειδικές περιπτώσεις της συνάρτησης των Gerber-Sh Ορίζοντας, λοιπόν, κάθε φορά διαφορετικές τιμές για την ένταση ανατοκισμού καθώς και για την συνάρτηση ποινής w x, y ), παρατηρούμε ότι η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής μπορεί να λάβει διαφορετικές μορφές Μερικά παραδείγματα που το αποδεικνύουν αυτό, είναι τα ακόλουθα : Για και w x, y ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την πιθανότητα χρεοκοπίας: ) P T U) ) ) Για και w x, y ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε το μετασχηματισμό Laplace του χρόνου χρεοκοπίας: T ) E e I T ) U ) ) ) Για και w x, x) I X x) I X y ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την προεξοφλημένη από κοινού συνάρτηση κατανομής των τμ του πλεονάσματος UT ) και του ελλείμματος UT ) τη στιγμή της χρεοκοπίας και συμβολίζεται F x, y ) : T ) E e I U T ) x) I U T ) y) I T ) U ) F x, y ) 9

20 Για και w x, x) I X x) I X y ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την από κοινού συνάρτηση κατανομής των τμ του πλεονάσματος UT ) και του ελλείμματος UT ) τη στιγμή της χρεοκοπίας και συμβολίζεται F x, y ): ) E ) x ) ) y ) ) ) ) P U T ) x), U T) y, T U) ) F x, y ) Για και w x, x) I X x) I X y ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την προεξοφλημένη από κοινού συνάρτηση πυκνότητας-πιθανότητας των UT ) και UT ) τη στιγμή της χρεοκοπίας και συμβολίζεται f x, y ) : T ) E e I U T ) x) I U T ) y) I T ) U ) f x, y ) Για και w x, x) I X x ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την προεξοφλημένη συνάρτηση κατανομής του πλεονάσματος UT ) τη στιγμή της χρεοκοπίας: ) E e T I U T ) x) I T ) U ) F x ) Για και w x, x) I X y ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την προεξοφλημένη συνάρτηση κατανομής του ελλείμματος UT ) τη στιγμή της χρεοκοπίας: T ) E e I U T ) y) I T ) U ) F y ) Για και w x, x) I X x ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την προεξοφλημένη συνάρτηση πυκνότητας-πιθανότητας του πλεονάσματος UT ) τη στιγμή της χρεοκοπίας: T ) E e I U T ) x) I T ) U ) f x ) Για και w x, x) I X y ) στη σχέση 6), λαμβάνουμε την προεξοφλημένη συνάρτηση πυκνότητας-πιθανότητας του ελλείμματος UT ) τη στιγμή της χρεοκοπίας: T ) E e I U T ) y) I T ) U ) f y )

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η διαδικασία πλεονάσματος με στοχαστικά ασφάλιστρα και ανεξαρτησία μεταξύ του ύψους των αποζημιώσεων και του ύψους των ασφαλίστρων Εισαγωγή Στο κλασικό μοντέλο, το οποίο είναι γνωστό ως Cramer-Ldberg μοντέλο, η διαδικασία των αποζημιώσεων περιγράφεται από μια στοχαστική διαδικασία Poo και τα ασφάλιστρα εισπράττονται από την ασφαλιστική εταιρία με σταθερό ρυθμό κατά τη διάρκεια του χρόνου, κάτι το οποίο σημαίνει ότι το ποσό των ασφαλίστρων που θα εισπραχθούν στο μέλλον είναι γνωστό Στην εργασία αυτή, θα γενικεύσουμε το κλασικό μοντέλο και θα υποθέσουμε ότι και τα ασφάλιστρα περιγράφονται από μια στοχαστική διαδικασία Poo Η ιδέα αυτή για πρώτη φορά είχε προταθεί σε μια εργασία του Bochere κα6) Ακολούθως, έχουν ασχοληθεί με το γενικευμένο μοντέλο κι άλλοι, όπως οι Boov5), Temov4) και Melov) Έτσι, εν αντιθέσει με το κλασικό μοντέλο, όπου μόνο η διαδικασία των αποζημιώσεων είναι τυχαία, γίνονται επιπλέον οι υποθέσεις ότι και η διαδικασία των ασφαλίστρων περιγράφεται με τυχαίο τρόπο αλλά και πως υπάρχει ανεξαρτησία μεταξύ των συνολικών αποζημιώσεων και των ασφαλίστρων Μελετώντας λοιπόν, το νέο μοντέλο, παρατηρούμε ότι κατέχει σημαντική θέση στη θεωρία κινδύνου κυρίως για δυο λόγους Ο πρώτος είναι ότι λόγω των υποθέσεων, το μοντέλο απλοποιείται αρκετά με αποτέλεσμα να μπορούν να υπολογιστούν διάφορα μέτρα κινδύνου πιο εύκολα Ενώ ο δεύτερος είναι η δυνατότητα επέκτασης της έρευνας σε μοντέλα τα οποία είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα Μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτό ότι σε χώρες αναπτυσσόμενες όπου ο αριθμός των ασφαλισμένων είναι χαμηλός, όπως επίσης και σε μικρές ασφαλιστικές εταιρίες όπου το ύψος των ασφαλίστρων παρουσιάζει μεγαλύτερη πτητικότητα απ ότι στην περίπτωση των μεγάλων αντίστοιχα εταιριών, το μοντέλο παρουσιάζει καλύτερα αποτελέσματα- προβλέψεις Στο κεφάλαιο αυτό, θα δοθεί μια εκτενής μελέτη της συνάρτησης Gerber-Sh για το γενικευμένο μοντέλο Πιο συγκεκριμένα, θα περιγραφεί αναλυτικά η διαδικασία πλεονάσματος κάτω από τις υποθέσεις του νέου μοντέλου και θα αποδειχθεί ότι η συνάρτηση Gerber-Sh ικανοποιεί μια ολοκληρωτική εξίσωση, η λύση της οποίας γίνεται με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace, παρουσιάζοντας ότι η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση στις ειδικές περιπτώσεις όπου το ύψος των ασφαλίστρων είτε ακολουθεί εκθετική κατανομή Exp ), είτε κατανομή Erlag, ) Περιγραφή μοντέλου κινδύνου με στοχαστικά ασφάλιστρα Έστω St ) η σύνθετη διαδικασία Poo που μοντελοποιεί τη διαδικασία των αποζημιώσεων και έστω Nt ) η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των αποζημιώσεων ζημιών) που επέρχονται μέχρι τη χρονική στιγμή t και ακολουθεί την κατανομή Poo με παράμετρο t Υποθέτουμε επίσης ότι τη χρονική στιγμή

22 t το πλήθος των αποζημιώσεων προς απαίτηση είναι μηδέν, δηλαδή ισχύει ότι N ) Οι τυχαίες μεταβλητές Y, Y, Y 3, εκφράζουν τα μεγέθη των αποζημιώσεων, είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ισόνομες με κατανομή Y στο, ) και συνάρτηση κατανομής F y), y Αξίζει να σημειωθεί ότι τα ύψη των αποζημιώσεων είναι ανεξάρτητα από τον αριθμό των αποζημιώσεων Ομοίως, έστω Pt ) η σύνθετη διαδικασία Poo που μοντελοποιεί τη διαδικασία είσπραξης των ασφαλίστρων, θεωρούμε πως η Mt ) παριστάνει τον αριθμό των ασφαλίστρων που εισπράττονται μέχρι τη χρονική στιγμή t και ακολουθεί την κατανομή Poo με παράμετρο t Οι τυχαίες μεταβλητές P, P, P 3, εκφράζουν τα μεγέθη των ασφαλίστρων που καταβάλλονται, είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ισόνομες με κατανομή P στο, ) και συνάρτηση κατανομής G x), x Υποθέτουμε επίσης ότι τα μεγέθη των ασφαλίστρων είναι ανεξάρτητα από το πλήθος των ασφαλίστρων ΟΡΙΣΜΟΣ : Με τις παραπάνω υποθέσεις, η διαδικασία πλεονάσματος μοντελοποιείται ως εξής: M t) N t) U t) P Y, t ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Αν Mt ) ή Nt ), τότε στο χρονικό διάστημα,t] δεν υπήρξε καμία είσπραξη ασφαλίστρου ή απαίτηση για αποζημίωση, δηλαδή ή N) t Y ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Αν θεωρήσουμε τώρα πως χρεοκοπία συμβαίνει με πιθανότητα όταν το πλεόνασμα για πρώτη φορά γίνει αρνητικό Για να μην προκύψει κάτι τέτοιο αρκεί να θεωρήσουμε πως τα έσοδα της ασφαλιστικής εταιρίας στη μονάδα του χρόνου κατά μέσο όρο είναι μεγαλύτερα από τα έξοδα Δηλαδή, θέλουμε E P t)) E S t)) E P) E M t)) E Y) E N t )) te P ) te Y ) E P ) E Y ), αφού t ) Παρατηρούμε ότι στο αριστερό μέλος της σχέσης αυτής έχουμε το μέσο ρυθμό είσπραξης ασφαλίστρων στη μονάδα του χρόνου πολλαπλασιασμένο επί το μέσο ασφάλιστρο Δηλαδή, στην ουσία το αριστερό μέλος δηλώνει τη μέση τιμή των εσόδων για την ασφαλιστική εταιρία στη μονάδα του χρόνου Ομοίως, στο δεξιό μέλος έχουμε το μέσο ρυθμό αποζημιώσεων στη μονάδα του χρόνου πολλαπλασιασμένο επί τη μέση αποζημίωση Οπότε, το δεξιό μέλος δηλώνει τη μέση τιμή των εξόδων για την ασφαλιστική εταιρία στη μονάδα του χρόνου Θεωρώντας ως, το περιθώριο ασφαλείας έχουμε ότι: P) ) Y ) Διαισθητικά, το περιθώριο ασφαλείας μπορεί να είναι το αναμενόμενο ποσοστό κέρδους της ασφαλιστικής εταιρίας, κάλυψης κάποιων λειτουργικών εξόδων, φόρων M ) t P

23 και προμηθειών Στην ουσία, φανερώνει πόσο μεγαλύτερα είναι τα έσοδα από τα έξοδα της ασφαλιστικής εταιρίας κατά μέσο όρο σε ένα χαρτοφυλάκιο, γι αυτό ισχύει ότι Εκτός από την υπόθεση ότι, απαιτούμε και,συνθήκη που άλλωστε επιβάλλεται και νομοθετικά, όπως παραδείγματος χάριν το ελάχιστο μετοχικό κεφάλαιο, το περιθώριο φερεγγυότητας κλπ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 3: Θα ορίσουμε με διαφορετικό τρόπο τη διαδικασία πλεονάσματος Ut ) Ας θεωρήσουμε J t) M t) N t ), την απαριθμήτρια συνάρτηση των αποζημιώσεων και των εισπράξεων ασφαλίστρων μέχρι τη χρονική στιγμή t, η οποία ακολουθεί την κατανομή Poo με παράμετρο )t Έστω επίσης, ανεξάρτητες και ισόνομες τμ B,,, που ακολουθούν την κατανομή Beroll με πιθανότητα επιτυχίας, την πιθανότητα να επέλθει είσπραξη ασφαλίστρου και πιθανότητα αποτυχίας, την πιθανότητα να επέλθει απαίτηση για αποζημίωση Δηλαδή, B, με πιθ, με πιθ Ορίζουμε τις τμ X I B ) P I B ) Y,,, οπότε η διαδικασία πλεονάσματος ) μπορεί να μοντελοποιηθεί ως εξής: J) t U t) X, t 3) Στην ουσία, καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως η διαδικασία πλεονάσματος της σχέσης ) είναι ίση κατά κατανομή με αυτήν της σχέσεως 3) Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι: E X ) E P ) E Y ) E P) E Y ) E P ) E Y ) μέσω της σχέσης ) Για τα επόμενα θα συμβολίζουμε με m ) τη συνάρτηση Gerber Sh για το νέο μοντέλο, η οποία έχει οριστεί στο Κεφάλαιο 5) όπως και στο κλασικό μοντέλο, ως εξής : t m ) E e w U T ), U T ) ) I T ) U ), 3

24 3 Η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση που ικανοποιεί η συνάρτηση Gerber Sh Στην παράγραφο αυτή, θα βρούμε την ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση που ικανοποιεί η συνάρτηση Gerber Sh κάτω από τις υποθέσεις του κλασικού μοντέλου κινδύνου με στοχαστικά ασφάλιστρα Αρχικά, αποδεικνύουμε την παρακάτω πρόταση που είναι άμεσο αποτέλεσμα της σχέσης ) και αποτελεί σημαντικό εργαλείο για την απόδειξη του Θεωρήματος ΠΡΟΤΑΣΗ : Κάτω από τον ορισμό, η πιθανότητα χρεοκοπίας ),), για ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω [, ) Θεωρώ την τμ T M ως το χρόνο μέχρι να εισπραχθεί το πρώτο ασφάλιστρο, όπου ακολουθεί εκθετική κατανομή με σππ P T ) t M t e, t Επίσης, θεωρώ πως μέχρι να εμφανιστεί το πρώτο ασφάλιστρο, έχουν εμφανιστεί ζημιές, το ύψος των οποίων είναι μεγαλύτερο από, δηλ υπάρχει και ώστε να επέλθει χρεοκοπία πριν υπάρξει εισροή του πρώτου ασφάλιστρου Οπότε, NY ανεξ ) P N T ) Y, Y,, Y ) P N T ) ) P Y, Y,, Y ) M M P N TM ) ) F ) Οπότε δεσμεύοντας ως προς το χρόνο είσπραξης του πρώτου ασφαλίστρου έχουμε ότι: t ) F ) e P N T ) ) dt t t t) F ) e e dt! ) t F ) t e dt Άρα απεδείχθη ότι ) για κάθε [, ) Επίσης γνωρίζουμε ότι, ) ) 3)! J) t P T U ) ) P X, t ) P X,,,3,), το οποίο θα αποδειχθεί επαγωγικά Για, έχουμε ότι PX ) M Υποθέτουμε ότι ισχύει για, δηλαδή P X ) για κάθε Έχουμε ότι P X ) P X X ) P X ) Θα αποδείξουμε ότι 4

25 P X P ) P X P ) P X Y ) P X Y ) = P X P ) P X P ) P X P ) >, άρα απεδείχθη το επαγωγικό βήμα Οπότε ισχύει ότι ), δηλαδή ) Η ) όμως είναι φθίνουσα συνάρτηση, δηλ ισχύει ότι ) ) Οπότε απεδείχθη το ζητούμενο, δηλ ), Η Πρόταση έχει δυο σημαντικές εφαρμογές Η πρώτη είναι ότι η χρεοκοπία δεν είναι βέβαιη αλλά ούτε και μπορεί να αποφευχθεί Η δεύτερη, που θα μας βοηθήσει στη συνέχεια, είναι ότι είναι απαραίτητη προκειμένου να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση Gerber Sh ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση Για τη συνέχεια, είναι απαραίτητα τα ακόλουθα: Έστω [, ) και B ) η borel σ-άλγεβρα του Με το v συμβολίζουμε το μέτρο πιθανότητας στο χώρο πιθανότητας, B )), που επάγεται από τις τυχαίες μεταβλητές UT ) και T, δεδομένου ότι U ) Αυτό σημαίνει ότι η από κοινού συνάρτηση κατανομής του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία και του χρόνου χρεοκοπίας δίνεται από την ακόλουθη σχέση v[, x] [, t]) P U T ) x, T t U) ) x, t Έστω px y), y η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τμ του ελλείμματος UT ), δεδομένου ότι U T ) x και T t για κάποια x, t Αυτή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σχετίζεται πλήρως με τη συμπεριφορά f x y) της τμ Y x δεδομένου ότι Y x Οπότε px y), y F x) Το επόμενο θεώρημα είναι σημαντικό καθώς επιβεβαιώνει πως η συνάρτηση των Gerber Sh ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση ΘΕΩΡΗΜΑ : Κάτω από τις υποθέσεις της παραγράφου και θεωρώντας ως m) τη συνάρτηση Gerber Sh, ισχύει ότι : όπου m ) m y) f y) dy H ) 4) και t e v dx dt ), 5) f y) e t p y) v dx dt), y >, 6), w x t H ) e w x, y ) p y) v dx dt) dy, 7) x, w 5

26 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Καταρχήν, παρατηρούμε ότι η από κοινού συνάρτηση κατανομής των τμ UT ), UT ) και T, δεδομένου ότι U) μπορεί να εκφραστεί μέσω των v και px y ) Πιο συγκεκριμένα αν x, y, t τότε y x t * * * * P U T ) x, U T ) y, T t U ) ) p * y ) v dx dt ) dy x Δεσμεύουμε ως προς την πρώτη πτώση από το αρχικό αποθεματικό, οπότε έχουμε ότι : t m ) m y) e p y) v dx dt) dy x t e w x, y ) p y) v dx dt) dy, x t Θέτουμε λοιπόν, H, w ) e w x, y ) px y) v dx dt) dy Παρατηρούμε ότι, με χρήση του θεωρήματος Fb βλ Παράρτημα Α) προκύπτει ότι t e p y) v dx dt) dy e v dx dt ) t x Δηλαδή, αν θέσουμε f y) e t p y) v dx dt), y > με έχουμε ότι η f είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Επίσης, ισχύει ότι x t e v dx dt ) v ) ), από το οποίο εύκολα συμπεραίνουμε ότι λόγω της Πρότασης Συνεπώς, αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση Gerber- Sh ικανοποιεί τη σχέση 4) Το επόμενο αποτέλεσμα προκύπτει άμεσα από το Θεώρημα και απλοποιεί τη δομή της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης για μια ειδική περίπτωση της συνάρτησης ποινής w ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 4: Αν υποθέσουμε ότι w x, y ), για x, y, τότε η συνάρτηση των Gerber-Sh ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace του χρόνου χρεοκοπίας όπως έχουμε ήδη δει στο πρώτο κεφάλαιο και ικανοποιεί την παρακάτω απλοποιημένη ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση : ) y) df y) F ),, 8) t αφού H, w ) e w x, y ) px y) v dx dt) dy t e p y) v dx dt) dy F ) x Το Θεώρημα έχει το πλεονέκτημα να είναι αρκετά γενικό κάτι όμως που μας δυσκολεύει όταν θέλουμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια τα, f και H,w Στη 6

27 συνέχεια θα προσπαθήσουμε να βρούμε πιο ακριβείς εκφράσεις για τη συνάρτηση m με κόστος βέβαια περισσότερων υποθέσεων Για να το καταφέρουμε αυτό, θα χαρακτηρίσουμε τη συνάρτηση Gerber-Sh μέσω του μετασχηματισμού Laplace της και έπειτα με αντιστροφή θα παράγουμε τη συνάρτηση προεξοφλημένης ποινής m Αξίζει να σημειωθεί ότι για να είναι ο μετασχηματισμός Laplace της m καλά ορισμένος για όλα τα, θα πρέπει η συνάρτηση m να είναι ολοκληρώσιμη, κάτι για το οποίο αρκεί E Y Labbe-Sedova3) Τέλος για να είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μοναδικός θα πρέπει η m να είναι και συνεχής Labbe- Sedova3) Στο παρακάτω παράδειγμα, θα εξετάσουμε την ειδική περίπτωση όπου το ύψος των αποζημιώσεων ακολουθεί εκθετική κατανομή και η συνάρτηση ποινής w έχει συγκεκριμένη μορφή ούτως ώστε να μπορεί να βρεθεί μια κλειστή μορφή για τη συνάρτηση Gerber Sh ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση ποινής είναι η zx w x, y) e w y), z με w :, ) [, ) και ) ax f x ae, a Θα προσπαθήσουμε να βρούμε την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής m ) Από την ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση, που αποδείξαμε στο Θεώρημα, έχουμε: m ) m y) f y) dy H ) Με χρήση των μετασχηματισμών Laplace προκύπτει ότι m ) m ) f ) H ) H ), w m ) f ) Για να βρούμε το μετασχηματισμό Laplace της m, αρκεί να υπολογίσουμε τις ποσότητες f ) και H, w) Αρχικά, a x y) f x y) ae ay px y) ae, y ax F x) e ) Οπότε t H ) e w x, y ) p y) v dx dt) dy, w t z x) ay x, w, w e e w y ) ae v dx dt) dy ay t z x) ) ) w y ae dy e e v dx dt a a y ) t z x) e w y ) ae dy e e v dx dt ) a z) a, ze, 7

28 όπου a, )) t zx z E w Y e v dx dt ) Άρα, H ), w a, z a z ay Όμως, f y) ae, y, άρα a f ) a Οπότε, a, z a, z a ) a, z a ) m ) a z a a a ) a z) a )) a z) a Με τη χρήση αντίστροφων μετασχηματισμών Laplace και τη βοήθεια του θεωρήματος επέκτασης του Heavde βλ παράρτημα Α7) καταλήγουμε ότι : m b a e ze,όπου ) ) ), a a z z ) b z, zx t E w Y)) e v dx dt) z a 4 Η ολοκληρωτική εξίσωση που ικανοποιεί η συνάρτηση Gerber Sh Στην παράγραφο αυτή, θα προσπαθήσουμε να βρούμε τη μορφή ολοκληρωτικής εξίσωσης που ικανοποιεί η συνάρτηση Gerber-Sh Αυτή η εξίσωση είναι σημαντική γιατί έχει αρκετές πρακτικές εφαρμογές Στις παραγράφους που ακολουθούν θα εξετάσουμε τη συνάρτηση Gerber-Sh στις ειδικές περιπτώσεις όπου το ύψος των στοχαστικών ασφαλίστρων ακολουθεί κατανομή εκθετική ) και Erlag, ) ΘΕΩΡΗΜΑ : Η συνάρτηση Gerber Sh ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση: ) m ) m x) dg x) m y) df y) ),, 9) όπου ) w, y ) df y ) ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Ας θεωρήσουμε την τμ T N ως το χρόνο μέχρι την πρώτη ζημιά, με t σππ P TN t) e, και την τμ T M ως το χρόνο μέχρι το πρώτο t ασφάλιστρο, με σππ P T t) e, Αν θέσουμε Z m T, T ), ισχύει ότι Διότι, M P Z t) ) e ) t Fz t) P Z t) Pm TM, TN ) t) Pm TM, TN ) t ) ) M N 8

29 Όμως, m T, T ) Άρα, M N T N, αν TN T M T M, διαφορετικά t Pm T, T ) t) P T t T t) P T t) P T t) e e M N N M N M )t e ) Οπότε η σχέση ) μέσω της ) γίνεται : ) t FZ t) e δηλαδή, Z Exp ) Δεσμεύοντας ως προς το χρόνο του γεγονότος που θα συμβεί πρώτα, είτε επέλευση ζημιάς είτε εισροή ασφάλιστρου, η συνάρτηση Gerber-Sh από το θεώρημα ολικής πιθανότητας γίνεται : ) t m ) m Z t) P Z t) dt m Z t) ) e dt m Z t, T T ) P T T ) m Z t, T T ) P T T )) ) ) t e dt N M N M N M N M ) t m Z t, TN TM ) m Z t, TN TM ) e dt Αν εισπραχθεί πρώτα ασφάλιστρο ύψους πχ x, η διαδικασία συνεχίζεται με αποθεματικό x Αν συμβεί πρώτα ζημιά ύψους πχ y, σε περίπτωση που η ζημιά είναι μικρότερη από το αρχικό αποθεματικό δηλ y, η διαδικασία συνεχίζεται με αποθεματικό y, διαφορετικά εφαρμόζεται συνάρτηση ποινής t Οπότε, t ) t ) ) ), ) ) ) ) ) m e e m y f y dy w y f y dy m x g x dx dt ) ) )) ) ) ) t e dt m y f y dy m x g x dx, όπου ) w, y ) df y ) Άρα, m ) ) m y) f y) dy )) m x) g x) dx Δηλ απεδείχθη το ζητούμενο Στην ειδική περίπτωση όπου και, ) w x y, για, x y έχουμε την ακόλουθη σχέση για τη πιθανότητα χρεοκοπίας : 9

30 ) ) y) f y) dy F ) x) g x) dx,, αφού ) w, y ) df y) f y) dy F ) Μια εφαρμογή του Θεωρήματος είναι να υπολογίσουμε τα και b,z του Παραδείγματος, όπως παρουσιάζονται ακολούθως ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Θα αποδείξουμε ότι η αποτελεί μοναδική λύση της εξίσωσης ) g ) a ) στο,) και E w Y )) bz, a z g a z) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έχουμε αποδείξει στο Παράδειγμα ότι ) ) m ) b a e a ze a z ), z, zx t E w Y)) e v dx dt) όπου, bz, 3) z a Οπότε, μέσω της ολοκληρωτικής εξίσωσης που αποδείξαμε παραπάνω, έχουμε: m ) ) m y) f y) dy )) m x) g x) dx ) b a e ) b ze a ) a z) z, z, ) ) ) ) b, a x a z x z a e ze ) g x) dx a bz, a e ) y) ze a z) y) ) f y) dy ), z όπου ) w, y ) f y) dy e w y ) f y) dy e w y ) ae dy e w y ) ae dy z ay a z ) a y ) a z) e E w Y )) Οπότε, a z a ) e E w Y )) b ) a e ) ze z, ) a z) z, a ) x) a z) x) ) ) a ) y) a z) y) ) ) b a e ze g x dx a e ze f y dy a z) a ) a ) x e E w Y)) bz, a e e g x) dx 3

31 a z) a z) x ) y) ay a z) y) ay ze e g x) dx a a e e dy ze e dy Όμως, a z) y) ay a z) zy a a z) ze ) e dy ze e dy e e a ) y) ay a ) a y a ) a e ) e dy a e e dy e e Αφού ανεξάρτητο του z και w, τότε για z και w y ), έχουμε: a a e b a e g ) a)) a e e ) a ) a ), Όμως, b, από την 3) a Άρα έχουμε, a a ) a ) a e e g ) a)) e e ) e ) e g ) a)) e ) g ) a ) a ) a ) a ) Προφανώς,,) και είναι η λύση της εξίσωσης : ) g ) a ) 4) Θέτουμε v ) a, v, a ) στη σχέση 4) και έχουμε : a v a v ) g v) ) g v) a a a gv ) a v Δηλ h v) g v ), όπου hv ) Παρατηρούμε ότι: a a v a Η gv ) είναι κυρτή, αφού v g v) e g ) d v g v)) e g ) d g v e g d v )) ) Η hv ) είναι κοίλη, αφού a hv ) a v h v) a a v ) 3 h v) a a v ) Όμως, για v έχουμε : h ) και g) g ) d Άρα, h) g ) Άρα, η λύση της εξίσωσης 4) είναι μοναδική 3

32 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3: Εκθετικό ύψος αποζημιώσεων και Erlag, ) ύψος ασφαλίστρων) Υποθέτουμε ότι το ύψος των ασφαλίστρων ακολουθεί κατανομή Erlag, ) με σππ x ),,,,,,3, g x x e x )! Οπότε από το Παράδειγμα σχέση 4) έχουμε ότι, ) g ) a ), όπου g: ) μετασχηματισμός Laplace της σππ των ασφαλίστρων Όμως, g ) a) ) a Άρα, η σχέση 4) αν θέσουμε )a v και αντικαταστήσουμε το σαν συνάρτηση του v, δηλαδή v) a a, γίνεται : p v v v a v a ) ) ) ) ), με, a v, αφού,) Για παράδειγμα στη περίπτωση όπου τα ασφάλιστρα ακολουθούν την εκθετική ) κατανομή ) και, προκύπτει ότι ) Από το Παράδειγμα για z και w y), y έχουμε b, ) P T U e e ) ) ) ), z a και 5 Η μελέτη της συνάρτησης Gerber Sh για εκθετικά ύψη ασφαλίστρων Στην παράγραφο αυτή, θα δείξουμε ότι η συνάρτηση Gerber-Sh ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση για εκθετική κατανομή ύψους ασφαλίστρων ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Κάτω από τις συνθήκες που ικανοποιεί το μοντέλο με στοχαστικά ασφάλιστρα και υποθέτοντας ότι το ύψος των ασφαλίστρων ακολουθεί εκθετική κατανομή και η κατανομή του ύψους των αποζημιώσεων ικανοποιεί τη σχέση EY ), έχουμε ότι η συνάρτηση Gerber-Sh ικανοποιεί την παρακάτω ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση : όπου m ) m y) f y) dy H ),, w 3

33 ) T F ), 5) f y) f y) ) T f y ), 6) ) H ) ) ) ), w T 7) και η ρίζα με θετικό πραγματικό μέρος της εξίσωσης Ldberg ΑΠΟΔΕΙΞΗ : Από το Θεώρημα έχουμε ότι : ) m ) m x) dg x) m y) df y) ),, όπου ) w, y ) df y ) Οπότε με χρήση μετασχηματισμών Laplace προκύπτει ότι : ) m ) m ) f ) ) A ), όπου A ) m x) g x) dx Προκειμένου να βρεθεί η μορφή της συνάρτησης Gerber-Sh, αρκεί να υπολογίσουμε το μετασχηματισμό Laplace A ) ) ) A e A d e m x ) g x ) dxd x e m x) e dxd θέτουμε y x y ) e m y) e dyd e T m ) d T m) Οπότε, έχουμε: ) m ) m ) f ) ) T m ), δηλ m ) m ) ) m ) m ) f ) ) ) ) m ) ) m ) f ) ) ) m ) m )) m ) ) ) ) f ) ) ) m ) m ) m ) ) ) m ) ) ) ) f ) ) ) m ) 8) ) f )) 33

34 Παρατηρώ ότι ο παρονομαστής ) f )) της παραπάνω εξίσωσης γράφεται ) f ) ) f ) Σκοπός μας είναι να βρούμε τις ρίζες του παρονομαστή και του αριθμητή προκειμένου να απλοποιηθεί περαιτέρω το κλάσμα Θέτουμε A ) ) ) m ), τον αριθμητή της κλασματικής εξίσωσης 8) και B ) ) f ) ) f ), τον παρονομαστή της Παρατηρούμε ότι: ) ) f ) f ) ) ) ) f ) ) ) f ) Θέτουμε h ) f ) και a ) ) ) Όμως, ισχύουν: x h ) e x) f x) dx και h e x f x dx x ) ) ) ) ) )) a ), ) αφού ) ) ) )) h) f ) a ) Άρα a) h ) Δηλ υπάρχει μοναδική ρίζα του παρονομαστή B ) A ) Επειδή m ) και ρίζα του παρονομαστή B, ) πρέπει να είναι και ρίζα B ) του αριθμητή A, ) γιατί αν δεν ήταν θα έπρεπε m ), άτοπο, αφού m ) Οπότε ισχύουν τα ακόλουθα : A ) ) ) m ) Άρα, ο αριθμητής A ) γίνεται : A ) ) ) m ) ) ) m ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) )) ) ) ) ) ) )) ) ) ) )) 34

35 B ) ) ) f ) Άρα, ο παρονομαστής B ) γίνεται : B ) ) ) f ) ) ) f ) ) ) f )) ) ) f ) f ) f ) f ) ) ) f ) f )) f ) f ) f ) f ) ) ) f ) f )) f ) ) f ) f )) Άρα, έχουμε ότι A ) m ) B ) ) )) ) ) ) )) = ) ) f ) f )) f ) ) f ) f )) ) )) ) ) ) )) ) ) f ) f )) f ) ) f ) f )) T ) ) T ) ) T f ) f ) T f ) ) T ) ) f T f ) ) ) ) Οπότε, ) m ) m ) f ) ) m ) T f ) ) T ) ) Με χρήση αντίστροφων μετασχηματισμών Laplace έχουμε ότι : ) m ) m y ) f y ) dy ) m y ) T f y ) dy Δηλαδή, ) T ) ) ) m ) m y ) f y ) dy ) m y ) T f y ) dy ) T ) ) m ) m y ) f y ) dy ) m y ) T f y ) dy ) T ) )) Θέτουμε H ) ) T ) )) Επίσης, παρατηρούμε ότι, w 35

36 f y) ) T f y)) dy ) T F )) Θεωρώντας λοιπόν, ) T F ), προκύπτει ότι f y) f y) ) T f y ) ) Οπότε απεδείχθη το ζητούμενο 6 Η μελέτη της συνάρτησης Gerber Sh για ύψη ασφαλίστρων που ακολουθούν τη κατανομή Erlag,β) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με τη περίπτωση όπου το ύψος των ασφαλίστρων ακολουθεί Erlag κατανομή με παραμέτρους και, όπου θετικός ακέραιος και, χωρίς να γίνεται καμιά υπόθεση για τη κατανομή του ύψους των αποζημιώσεων Το κύριο αποτέλεσμα αυτής της ενότητας είναι ότι η συνάρτηση Gerber Sh ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση η οποία αποτελεί ειδική περίπτωση του Θεωρήματος κάτω από την υπόθεση της συγκεκριμένης κατανομής του ύψους των ασφαλίστρων Πριν φθάσουμε όμως σε αυτό το αποτέλεσμα το πρώτο μας βήμα είναι να βρούμε το χαρακτηρισμό του μετασχηματισμού Laplace της προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής Καταρχήν, θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: ) m y) df y) ),, κάτι που απλοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση 9) Είναι σημαντικό βέβαια να συμπληρώσουμε ότι οι συναρτήσεις ) και ) επιδέχονται μετασχηματισμό Laplace Αρχικά, η συνάρτηση w είναι φραγμένη από τον ορισμό της και αφού EY, η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη οπότε ορίζεται ο μετασχηματισμός Laplace της Επίσης, η ολοκληρωσιμότητα της ολοκληρωσιμότητα της m αν E Y προέρχεται από την, όπως έχουμε ήδη αναφέρει αλλά και από της κάνοντας χρήση του θεωρήματος Fbβλ Παραρτημα Α) Η επόμενη πρόταση έχει ως στόχο να μας δώσει ένα χαρακτηρισμό για το μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης Gerber Sh με τη βοήθεια του Θεωρήματος Πριν από αυτό όμως, το επόμενο λήμμα είναι απαραίτητο γιατί μας δίνει βασικές ιδιότητες της σππ της κατανομής Erlag, ) που θα είναι πολύτιμες για τη συνέχεια x ), ΛΗΜΜΑ : Για και, η τμ X με σππ g x x e x )! ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: ) ) g ),,,,, και ) g ) 36

37 ) g ) x), για x ) ) ) g d, για,,,, ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αποδεικνύεται με επαγωγικό τρόπο μία κλειστή μορφή για τη κ-οστή παράγωγο της g,όπου,,,, x g x) g x) x e )! x Ιδιαίτερα για, προκύπτει g x) g x) e Οπότε συμπεραίνουμε ότι για x στις προηγούμενες σχέσεις έχουμε την ) Παραγωγίζοντας τη g έχουμε τα εξής : x g x) g x) e g x) g x) g x) g x) g x), Pacal η οποία είναι ισοδύναμη με τη ) Επίσης, επαγωγικά από την ) και ) εύκολα έπεται και η σχέση ) Τώρα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε την παρακάτω πρόταση που μας δίνει το χαρακτηρισμό για το μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης Gerber Sh ΠΡΟΤΑΣΗ : Υποθέτουμε ότι το μέγεθος των ασφαλίστρων ακολουθεί κατανομή Erlag, ) και τα μεγέθη των αποζημιώσεων ικανοποιούν τη σχέση E Y Τότε, ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Gerber Sh, δίνεται από τον τύπο: f )) ) m ) ) ) p ),, όπου p είναι ένα πολυώνυμο το πολύ - βαθμού Επιπλέον εάν p, p,, p είναι διαφορετικές ανά δύο ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος της παρακάτω εξίσωσης, γνωστής και ως γενικευμένης εξίσωσης Ldberg, ) ) ) L f, 9) τότε το πολυώνυμο p μπορεί να γραφτεί και ως ) ) p ) ), ) ) όπου 37

38 , εάν ) l ), εάν,3, 4,,,, l l ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Ορίζουμε τη συνάρτηση, l ) m x) g x) dx m x) g x ) dx ) Επειδή η m είναι συνεχής, από τις σχέσεις ) και ) του Λήμματος και τον κανόνα του Lebz βλ Παράρτημα Α3) προκύπτει ότι : και ) ) l ) ) g x ) m x) dx,,,,,,, ) ) ) l ) ) g x ) m x) dx ) m ), 3) Επειδή η m είναι ολοκληρώσιμη, τότε από τη σχέση ) του Λήμματος μας επιτρέπεται να ορίσουμε το μετασχηματισμό Laplace l ) για όλα τα,,,, ) Έτσι ορίζοντας Sl ) ) l ), 4) από τη σχέση ) του Λήμματος και των ), 3) μετά από πράξεις οδηγούμαστε στο γεγονός ότι Sl ) m ),, οπότε ο μετασχηματισμός Laplace της S l στο σημείο είναι S ) l m ), 5) Επίσης από μια ιδιότητα του μετασχηματισμού Laplace βλ Παράρτημα Α4), έχουμε ότι : l ) l ) l ),,,,, το οποίο σε συνδυασμό με την 4), μας δίνει ότι ) ) ) p ) S l,, 6) l όπου το p είναι ένα πολυώνυμο το πολύ - βαθμού Αντικαθιστώντας, λοιπόν, τη σχέση 5) στην 6) έχουμε : ) l ) m ) p ), Όμως, χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Laplace στη σχέση 9) του Θεωρήματος έχουμε ότι : ) m ) m ) f ) ) l ) ) ) ) ) ) m m f ) m ) p ) ) ) p ) m ) f )) ) Οπότε, αποδείχθηκε το ζητούμενο 7) Ο παρονομαστής του παραπάνω κλάσματος είναι γνωστός ως η γενικευμένη εξίσωση του Ldberg Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι,,, είναι ρίζες της γενικευμένης εξίσωσης του Ldberg και είναι εμφανές από τη σχέση 7) ότι 38

39 p ) ),,,, Επειδή το p είναι ένα πολυώνυμο το πολύ - βαθμού και οι,,, είναι διακριτές ρίζες τότε με τη βοήθεια των πολυωνύμων Lagrage βλπαράρτημα Α8) έπεται η ) Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε την έκφραση ) για το πολυώνυμο που εμπλέκεται στο μετασχηματισμό Laplace της σχέσης 7) στη Πρόταση, θα πρέπει απαραίτητα να υπάρχουν το πλήθος διακριτές μιγαδικές ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος στη γενικευμένη εξίσωση του Ldberg, κάτι το οποίο όμως δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστικό αφού όπως αποδεικνύεται στο επόμενο λήμμα πάντα υπάρχουν ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος, άρα το μόνο που μένει είναι να εξεταστεί αν είναι και διακριτές ΛΗΜΜΑ : Η γενικευμένη εξίσωση του Ldberg έχει ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος Επιπλέον, όταν, μία από αυτές τις ρίζες είναι μηδέν ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω z τότε η εξίσωση Ldberg γράφεται ισοδύναμα ως εξής: ) z z f z )) 8) Έστω, τότε επιλέγουμε r,) τέτοιο ώστε ) r και θεωρούμε το σύνολο C z όπου z τω z =r Τότε και οι δύο συναρτήσεις, δηλ οι αναλυτικές στο C z και το εσωτερικό του Για όλα τα z C, ισχύει ότι : z ) z ) z r ) r ) z και z f z )), είναι r z z f z )) Άρα, ) z z f z )) Οπότε, από το θεώρημα Roche βλ Παράρτημα Α5), προκύπτει ότι η ) z και η ) z z f z )) έχουν τον ίδιο αριθμό ριζών στο εσωτερικό του C z Επίσης, και οι ρίζες του προηγούμενου ανήκουν στο κύκλο / z z =, το οποίο είναι εσωτερικό του C z, αφού Έτσι, η ) z z f z )) έχει ακριβώς ρίζες στο εσωτερικό του C z Άρα, η εξίσωση Ldberg έχει τον ίδιο αριθμό ριζών στο C όπου τω r Δεδομένου ότι το εσωτερικό του C περιέχεται ολόκληρο στο πρώτο και στο τέταρτο τεταρτημόριο, αφού και r και οι ρίζες θα έχουν θετικό πραγματικό μέρος 39

40 Στη περίπτωση που ισχύει ότι τότε η σχέση 8) γράφεται : ) ) F z z z f z )) Παρατηρούμε ότι μηδενίζεται για z, οπότε η F δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Roche αφού δεν είναι αναλυτική γενικά στο κλειστό χωρίο όπου z Επομένως θα χρειαστούμε μία τροποποίηση του θεωρήματος Roche, βλ Παράρτημα Α6) Αν θέσουμε λοιπόν, f z) ) z και z) z f z )),τότε παρατηρούμε ότι στο χωρίο ακόλουθα : C z όπου z τω z και z, ισχύουν τα f z) ) z ) z και z) y y z y z) z f z)) z f z)) e df y) e e df y) Οπότε ισχύει ότι f z) z ) Επίσης, παρατηρούμε ότι ) z z f z )) και τελικά z z d dz d ) z z f z)) dz ) z E Y z Έτσι ικανοποιούνται όλες οι αναγκαίες συνθήκες του τροποποιημένου θεωρήματος Roche και αφού έχουμε αποδείξει ότι οι ρίζες της συνάρτησης f είναι το πλήθος στο χωρίο z τότε οι ρίζες του F είναι στο ίδιο χωρίο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4: Είναι εμφανές από την εξίσωση 9), ότι η συνάρτηση του Ldberg L είναι συνεχής και ισχύουν τα ακόλουθα: ) L f ) ) και L ) Έτσι εάν, έχουμε ότι L ) και η L έχει μία ρίζα, ), ενώ αν τότε είναι μία ρίζα Στην περίπτωση που, το πολυώνυμο p ) ) ) είναι ένας σταθερός αριθμός Στη περίπτωση όπου w x, y), x, y ισχύει ότι ) EY ) και επιπλέον αν, προκύπτει p ) E Y ) Για, παρατηρούμε ότι L ) f )) Επειδή όμως L ) και η L είναι συνεχής, υπάρχει αναγκαστικά μία ρίζα στο διάστημα, ) Τότε η ύπαρξη δύο διακριτών ριζών αποδεικνύεται αφού ισχύει η σχέση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5: Ο μετασχηματισμός Laplace του χρόνου χρεοκοπίας, όταν w x, y), x, y, γίνεται 4

41 ) ) ) p ) f )) ) Επιπλέον αν υποθέσουμε ότι η κατανομή του ύψους των αποζημιώσεων είναι Erlag a,, ) τότε το παραπάνω γίνεται ) a ) ) ) p ) ) a ) a a ) ) ) Παρατηρούμε ότι το δεύτερο κλάσμα είναι στην ουσία ο λόγος ενός πολυωνύμου βαθμού, διαιρεμένο με ένα πολυωνύμου βαθμού, το οποίο μπορούμε να αντιστρέψουμε κάνοντας χρήση του θεωρήματος επέκτασης του Heavde βλ Παράρτημα Α7) και να βρούμε το ) Χρήσιμο για τα επόμενα είναι να εισάγουμε τον τελεστή Dco-Hpp για τον ορισμό του οποίου και ορισμένες ιδιότητες του βλ Παράρτημα Α) Εν συνεχεία, εφόσον έχουμε βρει το μετασχηματισμό Laplace της m, στόχος μας είναι κάτω από τις συγκεκριμένες υποθέσεις του μοντέλου που εξετάζουμε, να βρούμε τη μορφή της ανανεωτικής εξίσωσης που ικανοποιεί η συνάρτηση Gerber-Sh Πιο συγκεκριμένα, έχουμε το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 4: Κάτω από τις συνθήκες που ικανοποιεί το μοντέλο με στοχαστικά ασφάλιστρα και υποθέτοντας ότι το ύψος των ασφαλίστρων ακολουθεί κατανομή Erlag, ), η κατανομή του ύψους των αποζημιώσεων ικανοποιεί τη σχέση EY ) και οι ρίζες,,, της εξίσωσης Ldberg έχουν θετικό πραγματικό μέρος και είναι διακριτές, η συνάρτηση Gerber-Sh ικανοποιεί την παρακάτω ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση : όπου m ) m y) f y) dy H ),, w ) T F, 9) ) ) ) ) f y) f y) ) T f y ), 3) ) ) ) H T 3), w ) ) ) ) ) ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω S ) ) ), 3) Με τη βοήθεια μιας ιδιότητας του μετασχηματισμού Laplace, προκύπτει ότι ) ) ) ) ), Οπότε, σε συνδυασμό με τη σχέση 3), έχουμε ότι το πολυώνυμο 4