ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 21 Σεπτεµβρίου 2010 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ. (ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) »

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 21 Σεπτεµβρίου 2010 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ. (ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) - 2010»"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 1 Σεπτεµβρίου 010 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας : ΗΡΑΚΛΕΙΟ Τηλ. Κατοικίας : Κινητό : Προς : Τους κ. κ. Kαθηγητές Μαθηµατικών του Ν. Ρεθύµνου και Ν. Ηρακλείου αρµοδιότητάς µου. Κοιν.: Προϊστάµενο Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης. ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ. (ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) - 010» Αγαπητοί Συνάδελφοι, Πριν τρία χρόνια σας είχα στείλει διδακτικό υλικό για τα Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Στα χρόνια αυτά έκανα στο υλικό αυτό µικρές βελτιώσεις και κρίνω σκόπιµο να σας το στείλω. Έτσι σήµερα σας στέλνω το διδακτικό υλικό που αναφέρεται στο κεφάλαιο των Μιγαδικών αριθµών, ενώ στην διάρκεια του χρόνου θα ακολουθήσει υλικό και για τα άλλα κεφάλαια. Ελπίζω στα κείµενα αυτά να βρείτε ιδέες, προτάσεις και ασκήσεις χρήσιµες για το µαθηµατικό και το διδακτικό σας έργο, αλλά και να θυµηθείτε κάποια σηµεία από τα πανεπιστηµιακά σας µαθήµατα που µπορούν να απαντήσουν σε πιθανές ερωτήσεις και απορίες δικές σας ή των µαθητών σας. Όπως έχω αναφέρει και άλλη φορά οι σηµειώσεις αυτές απευθύνονται µόνο στους διδάσκοντες το µάθηµα. Eλπίζοντας ότι θα βρείτε στις σηµειώσεις αυτές χρήσιµα στοιχεία για την διδασκαλία σας, περιµένω και τις δικές σας παρατηρήσεις και συµπληρώσεις. Αυτονόητη θεωρώ την διατήρηση του αρχείου στο σχετικό φάκελο (υλικό και ηλεκτρονικό) του σχολείου. Καλή δύναµη

2 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί Συµπληρώσεις, Παρατηρήσεις, Επισηµάνσεις και Ασκήσεις στο κεφάλαιο των Μιγαδικών αριθµών (.1,.,.3) Α. Προαπαιτούµενες Γνώσεις 1. Τα 3-4 πρώτα µαθήµατα είναι χρήσιµο να αφιερωθούν σε µια επανάληψη βασικών εννοιών και ασκήσεων από την κλασική Άλγεβρα της Α Λυκείου (ταυτότητες, ανισοταυτότητες, απόλυτη τιµή, τριώνυµο) και από την Β Λυκείου κατεύθυνσης (συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας διανυσµάτων, ορισµοί και εξισώσεις κωνικών τοµών). Η επανάληψη θα συµπληρωθεί στην εισαγωγή του Α κεφαλαίου της Ανάλυσης µε υπενθύµιση γνώσεων από την Άλγεβρα της Β Λυκείου (κυρίως εκθετική, λογάριθµοι). Β. Ορισµός και πράξεις Μιγαδικών 1. Εισαγωγή στους Μιγαδικούς αριθµούς. Μια πρώτη συζήτηση, για αφόρµηση (πρόκληση ενδιαφέροντος) Είναι φανερό ότι η εξίσωση χ + = 0 δεν έχει λύση στο σύνολο Ν των φυσικών αριθµών, έχει όµως στο ευρύτερο σύνολο Ζ των ακεραίων αριθµών. Όµοια η εξίσωση 3x = 1 δεν έχει λύση στο σύνολο Ζ, αλλά έχει στο ευρύτερο σύνολο Q των ρητών. Όµοια η εξίσωση χ = 3 δεν έχει λύση στο σύνολο των ρητών, αλλά έχει λύση στο σύνολο των αρρήτων, άρα στο ευρύτερο σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. Επίσης είναι γνωστό ότι και η εξίσωση χ = - 1 δεν έχει λύση στο σύνολο R, δηλαδή ουσιαστικά δεν έχει έννοια στο σύνολο R η τετραγωνική ρίζα του αριθµού -1. Γενικά, κάθε δευτεροβάθµια εξίσωση µε αρνητική διακρίνουσα, όπως γνωρίζουµε, δεν έχει λύσεις στο σύνολο R. Η πορεία αυτή µας δηµιουργεί την ελπίδα µήπως και οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις σε ένα άλλο ευρύτερο σύνολο αριθµών. Ιστορικά όµως η ανάγκη δηµιουργίας νέων αριθµών δεν προέκυψε από την λύση των δευτεροβαθµίων εξισώσεων, αλλά από τη λύση των τριτοβαθµίων εξισώσεων και συνεχίζουµε όπως στην εισαγωγή του βιβλίου... Ιστορικά στοιχεία (εκτός αυτά του βιβλίου) Οι µιγαδικοί αριθµοί είναι σχετικά πρόσφατη ανακάλυψη, όχι ενός ανθρώπου αλλά πολλών. Φαίνεται ότι οι µιγαδικοί αριθµοί εισήχθησαν στα Μαθηµατικά, από τον John Wallis (1673). Όµως, πολύ πριν από αυτόν, το πρόβληµα του υπολογισµού τετραγωνικής ρίζας αρνητικού αριθµού είχε τεθεί από παλιά (π.χ. Ήρων (50 µ.χ.), ιόφαντος (75 µ.χ.), Mahavira (850 µ.χ.), Bhaskara (1150 µ.χ.) κλπ.). Ο Wallis στο Algebra (cap. LXVI, Vol. II, p. 86, έκδοση στα Λατινικά), λέει ότι, «η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθµού αν και αδύνατος, δεν είναι ωστόσο πιο ακατανόητη από έναν αρνητικό αριθµό». Ονοµάζει τις ποσότητες αυτές φανταστικές και φτάνει µέχρι το σηµείο να θεωρήσει έναν άξονα κάθετο προς τον άξονα των πραγµατικών αριθµών και να πει ότι αυτός θα έπρεπε να λέγεται άξων των φανταστικών ποσοτήτων. Πέραν του σηµείου αυτού όµως, δεν προχωρά. Την συνέχεια της µελέτης των φανταστικών ποσοτήτων την ανέλαβε ο Leibnitz (1676) και ο Jean Bernoulli (170). Γεωµετρική αναπαράσταση των µιγαδικών αριθµών έδωσαν οι Wessel (1797), Argand (1806) και

3 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 3 Gauςς (1831). Τέλος ο W. R. Hamilton ( ) θεµελίωσε αργότερα µε αλγεβρικό τρόπο τη θεωρία των µιγαδικών αριθµών. Για περισσότερες λεπτοµέρειες βλ. History of Mathematics. Vol II, σελ. 61, του D.E. Smith, έκδοση Dover. Η εισαγωγή αυτή είναι απαραίτητη ώστε να φανεί η αναγκαιότητα εισαγωγής των µιγαδικών αριθµών. Στο σηµείο αυτό πρέπει να επισηµάνουµε στους µαθητές το τόλµηµα και συνάµα το ρίσκο της ανθρώπινης (επιστηµονικής) φαντασίας, στηριζόµενης στη διαίσθηση, να δεχθεί ένα ανύπαρκτο για τα καθιερωµένα «αριθµό» (συµβολικά τον i) µε την ιδιότητα i = -1 και να καλπάσει σε νέα άγνωστα επιστηµονικά πεδία. Ο συµβολισµός 1 = i οφείλεται στον Euler. Αποφεύγουµε όµως να χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό 1 όπως θα εξηγήσουµε παρακάτω. Καλό είναι τέλος να αναφέρουµε ότι κάθε πολυωνυµική εξίσωση οποιουδήποτε βαθµού, µε συντελεστές µιγαδικούς, έχει πάντα λύση στο νέο σύνολο αριθµών (σύµφωνα µε το θεµελιώδες θεώρηµα της Άλγεβρας που διατύπωσε πρώτος ο D Alembert, αλλά απέδειξε ο Gauss στην διδακτορική του διατριβή το 1799) και ως συνέπεια αυτού όλες οι λύσεις της, πλήθους όσο ο βαθµός της, είναι µιγαδικοί αριθµοί και έτσι δεν υπάρχει πια ανάγκη για νέους αριθµούς. Εδώ πρέπει να γίνει η επισήµανση ότι το θεώρηµα αυτό δεν είναι στην εξεταστέα ύλη και δεν πρέπει να χρησιµοποιείται στις εξετάσεις, αλλά καλό είναι να το γνωρίζουν. Έχει παρατηρηθεί τα προηγούµενα χρόνια, ότι µερικοί µαθητές, το θεωρούν δεδοµένο και το χρησιµοποιούν σε ασκήσεις µε εξισώσεις που αντιµετωπίζονται µε µέσα της Ανάλυσης.. Ο τρόπος εισαγωγής των Μιγαδικών αριθµών από το σχολικό βιβλίο δεν είναι αυστηρά Μαθηµατικός, αλλά είναι ένας επαγωγικο-παραγωγικός τρόπος κατάλληλος για µαθητές που έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή µε τους µιγαδικούς αριθµούς. Χρήσιµο είναι να επισηµανθεί ότι κάθε πραγµατικός αριθµός χ = χ + i0 είναι και µιγαδικός ενώ δεν ισχύει το αντίστροφο. Η γεωµετρική αναπαράσταση του C τονίζει ακόµη περισσότερο αυτή την διαφορά. Ένας µη µηδενικός µιγαδικός αριθµός που δεν είναι πραγµατικός λέγεται καθαρά µιγαδικός αριθµός. Το 0 είναι ένας πραγµατικός αριθµός, αλλά τον θεωρούµε (καταχρηστικά) και φανταστικό. Αυτό δικαιολογείται και από την εποπτεία, αφού ανήκει και στον y-άξονα που είναι ο φανταστικός άξονας, αλλά βοηθά και στην αποφυγή περιπτωσιολογίας σε διάφορα προβλήµατα. 3. Α. Συχνό είναι το λάθος των µαθητών να θεωρούν σε καρτεσιανή µορφή ένα οποιοδήποτε µιγαδικό που έχει την µορφή ζ + ωi, π.χ. α = - + (3-i)i ή β = (+i)+3i. Xρειάζεται λοιπόν να τονιστεί, όχι µόνο λεκτικά (ότι πρέπει ζ R και ω R) αλλά και «βιωµατικά» π.χ. α = - + (3 - i)i = - + 3i +1 = i, οπότε Re(α) = -1, Im(α) =3 κλπ. Β. Η ισοδυναµία α + βi = γ + δi α = γ και β = δ, δικαιολογείται από το σχ. βιβλίο λόγω της παραδοχής της µοναδικότητας του µιγαδικού α + βi, δηλαδή της µοναδικότητας των α, β. Μπορούµε όµως, µετά την διδασκαλία των 4 πράξεων, να δώσουµε -3 αριθµητικές παραστάσεις (ή να πουν οι µαθητές δικές τους) µε πραγµατικούς αριθµούς και τον i συνδεδεµένους µε τις 4 πράξεις, που τελικά µετά τις πράξεις καταλήγουν υποχρεωτικά στην τελική ( ανηγµένη ) µορφή α + βi, µε α, β µοναδικούς ασφαλώς πραγµατικούς αριθµούς. Αυτό µπορεί να µην αποδεικνύει την µοναδικότητα αλλά πείθει και είναι αρκετό για την φάση αυτή. Γ. Η ισοδυναµία α + βi = γ + δi α = γ και β = δ, ισχύει µόνο αν όλοι οι αριθµοί α, β, γ, δ είναι πραγµατικοί, π.χ. είναι (i + 1) +3i = (1 + i) + 4i αλλά δεν ισχύει i + 1 = 1+i ή 3 = 4.

4 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 4 4. ιαφορές των συνόλων R και C: α. Η γνωστή ισοδυναµία στο R, z κ + ω λ = 0 z = ω = 0 (κ, λ Ν*), δεν ισχύει στους µιγαδικούς, π.χ. 1 + i = 0. β. εν µπορούµε να ορίσουµε διάταξη στο σύνολο των µιγαδικών. Ο ορισµός καταρχήν κάποιας «φυσικής» διάταξης συµβιβαστής µε τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του C και λαµβάνοντας υπόψη την διάταξη του R, παρουσιάζει προβλήµατα: Αν π.χ. ορίσουµε ως θετικό ένα µιγαδικό µε α + βi > 0 α > 0 και β > 0, τότε ενώ το άθροισµα δυο τέτοιων θετικών µιγαδικών είναι θετικός, όπως εύκολα αποδεικνύεται, δεν ισχύει το ίδιο για το γινόµενο: ενώ 1+i > 0 και 1+i > 0 το γινόµενό τους είναι (1+i)(1+i) = -1+3i που δεν είναι θετικός σύµφωνα µε τον ορισµό µας, άρα ο πολλαπλασιασµός δεν θα είναι συµβατός µε την διάταξη αυτή (όπως θα περιµέναµε) κλπ. Πιο γενικά, η ισότητα i = -1, απαγορεύει τον ορισµό διάταξης σο C: Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µια διάταξη «<» (εννοείται ολική) στο C συµβιβαστή µε τις πράξεις +,.Tότε (εξ ορισµού της ολικής- διάταξης σε σώµα ) θα υπάρχει ένα µη κενό υποσύνολο Θ του C ώστε : για κάθε ζ C να ισχύει ζ = 0 ή ζ Θ ή ζ Θ και για κάθε ζ, ω Θ να ισχύουν ζ + ω Θ και ζ ω Θ. Ας ονοµάσουµε θετικό (>0) ένα αριθµό του Θ, οπότε αρνητικός (<0) είναι ένας µιγαδικός ζ, συµβολικά ζ < 0, όταν -ζ Θ ή ζ > 0. Ο i δεν είναι µηδέν, οπότε (εξ ορισµού) θα έχουµε i > 0 ή i < 0. Θα δείξουµε ότι και τα δυο οδηγούν σε άτοπο. Αν i > 0, τότε i i > 0 ή -1>0 (βλ. σηµείωση). Άρα 1<0 (εξ ορισµού του αρνητικού), αλλά τότε και 1 = (-1)(-1) > 0, άτοπο (άρα 1>0)). Σηµείωση: Η σχέση -1>0 δεν είναι κατ αρχήν ψευδής, εφόσον η υποτιθέµενη διάταξη στο C δεν οφείλει να είναι επέκταση αυτής του R. Έτσι προχωρήσαµε και ουσιαστικά δείξαµε και (το θεώρηµα) ότι η µονάδα ενός διατεταγµένου σώµατος είναι θετικό στοιχείο (γνωστή πρόταση από την πανεπιστηµιακή άλγεβρα). Στο άτοπο µπορούµε να οδηγηθούµε και αλλιώς: -1 > 0, οπότε λόγω i > 0, θα έχουµε - i = (-1)i > 0, οπότε i < 0, άτοπο. Όµοια, αν i < 0 τότε - i > 0 (εξ ορισµού του αρνητικού), οπότε και (-i)(-i) > 0 ή -1>0 και λόγω - i > 0, i = (-1)(- i) > 0, άτοπο. Άρα δεν µπορεί να οριστεί διάταξη στο C συµβιβαστή µε τις πράξεις του +,. Μπορεί όµως να οριστεί µια άλλη «τυπική διάταξη» η λεγόµενη «λεξικογραφική» : Αν ζ = α + βi, ω = γ + δi, τότε ορίζουµε ζ < ω ( α < γ) ή ( α = γ και β < δ), έτσι π.χ.. 0 = (0, 0) < (0, 1) = i. Eποµένως, αν ζ C, ισχύει, ζ > 0 αν και µόνο (ζ R και ζ > 0). Όµοια αν ζ < 0. γ. εν ορίζουµε τετραγωνική ρίζα µιγαδικού. Αν θέλαµε π.χ. να ορίσουµε τετραγωνική ρίζα του i, ένα αριθµό (ασφαλώς) µε την ιδιότητα ζ = i, τότε αν ζ = χ + ψi, θα έχουµε

5 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 5 (χ + ψi) = i χ - ψ = 0 και χψ = χ = ψ = 1 ή χ = ψ = -1 Άρα ζ = 1+i ή ζ= -1- i. ηλαδή ο i έχει δυο τετραγωνικές ρίζες. Το ίδιο αποδεικνύεται για κάθε µιγαδικό αριθµό. Πως όµως θα τις διακρίνουµε, αν θέλουµε να κάνουµε πράξεις µε αυτές, αφού στο C δεν έχουµε διάκριση µεταξύ θετικών και αρνητικών αριθµών ή άλλη διάκριση; εν ορίζεται λοιπόν (µονοσήµαντα) η τετραγωνική ρίζα µιγαδικού, όπως συµβαίνει στους (θετικούς) πραγµατικούς και έτσι δεν ορίζουµε τετραγωνική ρίζα µιγαδικού ούτε χρησιµοποιούµε το σύµβολο της ρίζας (τετραγωνικής ή άλλης). Συνέπεια αυτού είναι να µην ορίζουµε και δυνάµεις µιγαδικών µε εκθέτη ρητό, όπως συµβαίνει στους πραγµατικούς και περιοριζόµαστε µόνο σε δυνάµεις µιγαδικών µε εκθέτες ακέραιους Πάντως σε µερικά πανεπιστηµιακά βιβλία ορίζεται το σύµβολο z µε διπλή σηµασία, δηλαδή παριστάνει και τις δυο τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού z. Έτσι όµως ο τύπος φ(z) = z δεν ορίζει συνάρτηση κατά τα γνωστά (είναι µια πλειότιµος συνάρτηση). 5. Οµοιότητες των συνόλων R και C. Έχουν τις ίδιες πράξεις και τις ιδιότητες των πράξεων, µε συνέπειες : Α. Να ισχύουν στο C όλες οι γνωστές ταυτότητες στο R και ειδικά οι (πολύ χρήσιµες) z 3 + w 3 = (z + w)(z zw + w ), α 3 - β 3 = (α - β)(α + αβ + β ) z 3-1 = (z - 1)(z + z + 1), z = (z + 1)(z z + 1) (Προσοχή στις αξιοσηµείωτες παραστάσεις α ± αβ + β, z ± z + 1) Β. Ο αλγεβρικός λογισµός να γίνεται όπως στους πραγµατικούς αριθµούς λαµβάνοντας υπόψη ότι 1 + i = 0. Επίσης και η λύση συστηµάτων µιγαδικών γίνεται µε τις γνωστές µεθόδους από τους πραγµατικούς αριθµούς Γ. Οι δυνάµεις µιγαδικών (µε εκθέτες µόνο ακέραιους) να έχουν τις γνωστές από τους πραγµατικούς αριθµούς ιδιότητες. 6. α. Το µιγαδικό επίπεδο (Μ.Ε.) ή επίπεδο Gauss, δεν ταυτίζεται µε το καρτεσιανό επίπεδο. Το Μ.Ε. έχει επιπλέον στοιχεία (δοµή). Ενώ ως προς τις πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση δεν υπάρχει διαφορά, στο Μ.Ε. ορίζεται γινόµενο και πηλίκο µιγαδικών, ενώ στο καρτεσιανό δεν ορίζουµε γινόµενο διανυσµάτων (ως εσωτερική πράξη, το εσωτερικό γινόµενο δεν είναι ως γνωστό εσωτερική πράξη, ενώ το εξωτερικό είναι διάνυσµα αλλά όχι του επιπέδου των διανυσµάτων). β. Αν z = α + βi (α, β R) και Z η εικόνα του στο Μ.Ε., τότε Ζ(α, β) και OZ= (α, β) = (Re(z), Im(z)). ηλαδή, η διανυσµατική ακτίνα (δ. α.) ενός µιγαδικού είναι διάνυσµα µε συντεταγµένες το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του µιγαδικού αυτού, δηλαδή

6 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 6 έχει τις ίδιες συντεταγµένες µε την εικόνα του z. Η µετάβαση από τους µιγαδικούς στις διανυσµατικές τους ακτίνες είναι χρήσιµη σε πολλά θέµατα µιγαδικών. γ. Κατ αναλογία µε τους πραγµατικούς αριθµούς, αντί να λέµε η εικόνα του µιγαδικού z, µπορούµε να λέµε απλά το σηµείο z ή ο µιγαδικός z και να εννοούµε από τα συµφραζόµενα την εικόνα του z. δ. Έστω z, ω C*, λ R, και Ζ, W οι εικόνες τους αντίστοιχα. Ισχύουν = z = λω αν και µόνο αν OZ λ OW και ειδικότερα z i. OZ OW υπάρχει λ > 0 µε z = λω > 0. ω ii. z OZ OW υπάρχει λ< 0 µε, z = λω < 0. ω (Μπορεί να δοθούν ως ασκήσεις και καλό είναι να αποµνηµoνευτούν) 7. Στο παραλληλόγραµµο της πρόσθεσης µιγαδικών y Z(z)z A(z+w) (z-w) W(w) O x -w H κύρια διαγώνιος ΟΑ ορίζει την δ.α. O Α = OZ+ Re( z + w), Im(z + w) του z + w, ενώ η άλλη διαγώνιος WZ = O την δ. α. O = WZ = OZ- Re( z w), Im(z w) της διαφοράς z - w. Άρα και z w OW = ( ) = (Ο ) = (ΖW) OW = ( ) Με βάση τα παραλληλόγραµµα ΟΖΑW, OWZ και χρησιµοποιώντας γνώσεις από την Γεωµετρία µπορούµε να αντιµετωπίσουµε πολλές ασκήσεις µιγαδικών. Π.χ. αν z + w = z - w τότε οι δ. α των µιγαδικών z, w είναι κάθετες και αντίστροφα. Πράγµατι, το παραλληλόγραµµο ΟΖΑW έχει ίσες διαγώνιες αν και µόνο είναι ορθογώνιο. Στο πολλαπλασιασµό των µιγαδικών, χρήσιµο είναι να δώσουµε και το γινόµενο (α + βi)(α - βi) = α + β, επισηµαίνοντας ότι ο µιγαδικός α + βi πολλαπλασιαζόµενος µε τον (συζυγή του) α βi δίνει πάντα γινόµενο πραγµατικό (και µάλιστα µη γ + δi αρνητικό) αριθµό. Έτσι όταν στην συνέχεια θέλουµε να βρούµε το πηλίκο (σε α + βi

7 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 7 καρτεσιανή µορφή) θα έρθει φυσιολογικά το τέχνασµα του πολλαπλασιασµού και των δυο όρων µε τον α-βi για «να κάνουµε τον α + βi πραγµατικό». 8. υνάµεις του i: Παρατηρείται συχνά οι µαθητές την ιδιότητα i ν = i υ, ν = 4κ+υ, να την γενικεύουν για κάθε µιγαδικό ζ, δηλαδή να γράφουν ζ 4κ+υ = ζ υ. Καλό είναι λοιπόν να τονιστεί το σηµείο αυτό και µάλιστα να δοθεί ένα αντιπαράδειγµα, π.χ. (i) 5 (i) 1. Γ. Συζυγείς Μιγαδικοί 9. Οι σχέσεις z + z =α, z - z = βi χρήσιµο είναι να γραφούν και στη µορφή z + z z z z + z =Re(z), z - z = Im(z)i ή Re(z) =, Im(z) = i (έκφραση του πραγµατικού και φανταστικού µέρους µιγαδικού) 10. Κριτήρια πραγµατικού και φανταστικού αριθµού µε συζυγείς. Iσχύουν α) z R z = z β) z I z= - z Να τονίσουµε ότι τα κριτήρια αυτά χρησιµοποιούνται συνήθως σε θεωρητικά θέµατα (όπου δεν γράφουµε συνήθως τους µιγαδικούς σε καρτεσιανή µορφή) και προκύπτουν εύκολα από τις παραπάνω σχέσεις του βιβλίου. Μπορούν να χρησιµοποιούνται από τους µαθητές αλλά τουλάχιστον µε την αναφορά ότι προκύπτουν από τις σχέσεις z + z = α, z - z = βi του βιβλίου. 11. Αξιοσηµείωτες συζυγείς αριθµοί : z w, z w µε Re( zw ) = Re( z w), Im( zw ) = Im( z w) z w + z w = Re( zw ), z w z w = Im(zw ) i, z w z w = z w 0 1. Η ιδιότητα του πηλίκου συζυγών µπορεί να αποδειχθεί και µε την βοήθεια της z1 ιδιότητας γινοµένου συζυγών, παρατηρώντας ότι z1 = z κλπ. z 13. Αν w C-{0}, z C, τότε ισχύουν, z z w R R OZ // OW O, Z, W συνευθειακά, και w z z w I I OZ κάθετη στην OW. w (Να δοθούν ως ασκήσεις. Αποδεικνύονται και µε την βοήθεια του µέτρου) 14. Η εξίσωση αz + βz + γ = 0, α, β, γ R, α 0. Α. Η λύση της εξίσωσης αυτής διευκολύνεται αν προηγηθεί η λύση, ως προς ζ, της εξίσωση ζ = ω και να τονιστεί ότι ισχύει και στο C η ισοδυναµία ζ = ω ζ = ±ω. Β. Επισηµαίνουµε ότι την εξίσωση αυτή την λύνουµε µε τους συντελεστές να είναι µόνο πραγµατικοί αριθµοί και µε αυτή την προϋπόθεση έχει συζυγείς ρίζες όταν δεν

8 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 8 έχει πραγµατικές. Επίσης ότι οι γνωστοί τύποι του Vieta ισχύουν και για µιγαδικές ρίζες και είναι αρκετά χρήσιµοι σε σχετικά θέµατα.. Μέτρο Μιγαδικού 15. Το µέτρο ενός µιγαδικού είναι επέκταση στο C της γνωστής έννοιας της απόλυτης τιµής πραγµατικού αριθµού. Έτσι προκύπτει, ειδικότερα, ότι το µέτρο ενός πραγµατικού αριθµού είναι ίσο µε την απόλυτη τιµή του. Για τον ορισµό λοιπόν του µέτρου µπορούµε να αρχίσουµε από τον γεωµετρικό ορισµό της απόλυτης τιµής πραγµατικού και να επεκταθούµε οµαλά στο µέτρο µιγαδικού. Στην συνέχεια να επιστρέψουµε αλγεβρικά στην απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού ως ειδική περίπτωση. Ασφαλώς µερικά απλά παραδείγµατα υπολογισµού µέτρου δεν πρέπει να θεωρηθεί αυτονόητο ότι είναι εύκολη υπόθεση για όλους τους µαθητές 16. Ιδιότητες του µέτρου Α. Η ιδιότητα ζ = 0 ζ = 0 µας διευκολύνει µερικές φορές να δείξουµε ότι ένας µιγαδικός αριθµός ή µια αλγεβρική µιγαδική παράσταση είναι µηδέν. Β. Μέσω της (σηµαντικής) σχέσης z = z z γίνεται η «απαλλαγή» από το µέτρο. z z Χρήσιµες σε ασκήσεις είναι και οι ισοδύναµες σχέσεις z =, z = z z οι οποίες εκφράζουν ένα από τους z, z συναρτήσει του άλλου. Γ. Με την βοήθεια των σχέσεων z = -z = z = - z «απαλλασσόµαστε ή µετακινούµε τους συζυγείς ή τα πρόσηµα» µέσα στα µέτρα. Το τελευταίο είναι αρκετά χρήσιµο σε σχέσεις σχετικές µε εξίσωση κύκλου ή µεσοκαθέτου στο C.. Η ιδιότητα του µέτρου πηλίκου µπορεί να αποδειχθεί και µε την βοήθεια αυτής του z1 γινοµένου, παρατηρώντας ότι z1 = z, κλπ. z ν ν Ε. Η ιδιότητα z = z ή η αντίστοιχη στους συζυγείς, καλό είναι ζητηθεί από τους µαθητές να την αποδείξουν µε την µέθοδο της Μαθηµατικής επαγωγής για να φανεί η συνέχεια της Μαθηµατικής γνώσης, αλλά και θυµηθούν οι µαθητές την µέθοδο αυτή. Μια άµεση και καλή εφαρµογή αυτής της ιδιότητας είναι : να βρεθεί η απόσταση του i µιγαδικού ζ= από την αρχή του Μ.Ε. 17. Κριτήρια πραγµατικού και φανταστικού αριθµού µε µέτρα: z R z = z, z I z = - z. (καλό είναι να τα γνωρίζουν οι µαθητές, αλλά απαιτείται απόδειξη αν το αναφέρουν στις εξετάσεις!). Ιδιαίτερα να επισηµάνουµε το συχνό λάθος των µαθητών (z) = z (π.χ. i i ) και γενικά ότι (z) ν z ν, ν Ν*, (ζ + ω) ζ + ω κλπ.

9 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί Τριγωνική Ανισότητα. Α. Στην τριγωνική ανισοταυτότητα, z - ω z + ω z + ω. Αν Ζ, W οι εικόνες των z, ω αντίστοιχα, η ισότητα αριστερά ισχύει αν και µόνο OZ OW, ενώ δεξιά αν και µόνο OZ OW. Aυτό προκύπτει και από τον συλλογισµό ότι, αν τα σηµεία Ο, Ζ, W δεν είναι συνευθειακά τότε ορίζουν τρίγωνο και ισχύουν αυστηρά οι ανισότητες στο τρίγωνο ΟΖW, άρα τα σηµεία Ο, Ζ,W είναι συνευθειακά κλπ.. Υπενθυµίζουµε και την αντίστοιχη (τριγωνική) ανισοϊσότητα στα διανύσµατα. OZ OW OZ+ OW OZ + OW. Β. Ως άµεσες εφαρµογές της τριγωνικής ανισότητας µπορούν να δοθούν οι ασκήσεις : αν α, β, γ µιγαδικοί αριθµοί τότε ισχύουν i) α - β α + β ii) α - β α + β, iii) α - β α - γ + γ - β Γ. Ας σηµειωθεί ακόµη ότι σε προβλήµατα µέγιστων ή ελάχιστων όταν χρησιµοποιούµε την τριγωνική ανισότητα, πρέπει να εξασφαλίζεται απαραίτητα η ισότητα για να έχουµε ακρότατο. Π.χ. αν ζ = 1, ω = τότε το µέγιστο της παράστασης ζ + ω, για την οποία έχουµε ζ + ω ζ + ω = 3, δεν είναι οπωσδήποτε το 3, αλλά ίσως είναι το 3 (δεν ξέρουµε δηλαδή αν υπάρχει µέγιστο). Απαιτείται να εξετάσουµε αν οι δ. α. ακτίνες των ζ, ω µπορούν να είναι οµόρροπες και (αν ζητείται ) για ποιους µιγαδικούς συµβαίνει αυτό. Συχνά όµως τα σχετικά προβλήµατα αντιµετωπίζονται πιο άµεσα µε Γεωµετρικό τρόπο. 19. Απόσταση µιγαδικών Α. Η έκφραση της απόστασης των (εικόνων) δυο µιγαδικών ζ, ω µε την διαφορά ζ-ω είναι ένα ιδιαίτερο σηµαντικότερο θέµα στη τωρινή ύλη των Μιγαδικών και πρέπει να γίνει κατανοητή µέσα από απλές και ποικίλες ασκήσεις κατανόησης. Β. Εκτός από τους δυο γ. τ., τον κύκλο και την µεσοκάθετη που υπάρχουν στο βιβλίο, µπορούµε να αναφέρουµε και δυο άλλους σε µιγαδική µορφή: την έλλειψη z - z 1 + z - z = α και την υπερβολή z - z 1 - z - z = α ως άµεση εφαρµογή του ορισµού των και ως άσκηση την παραβολή, που έχει την µιγαδική µορφή (z z ) = 4p(z + z ). Ε. Μεθοδολογικές Σηµειώσεις 1. Αν ζ = ω τότε ζ = ω και γενικά ζ ν = ω ν (ν Ν*) αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο (όπως και στο R). Ισχύει όµως ζ = ω ζ = ±ω, µόνο όµως µε εκθέτη. γιατί αν ν ακέραιος, ν > 1, τότε η ισότητα ζ ν = ω ν δεν είναι ισοδύναµη µε ζ = ±ω. Π.χ. i 4 = Ισχύει, ζ = ω ζ = ω (απαλλαγή ή µετακίνηση συζυγών σε ισότητα). 3. Ισχύει, ζ = ω ζ = ω (πολύ χρήσιµη σε ασκήσεις µε δυνάµεις, ιδίως µεγάλες, µιγαδικών) (αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο : i = -i, ιδιαίτερη προσοχή σ αυτό. Υπόψη και η άσκηση 50.Β παρακάτω).

10 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί Πολλές γνώσεις από τα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου είναι χρήσιµες στην αντιµετώπιση θεµάτων µε µιγαδικούς αριθµούς. Ιδιαίτερα επισηµαίνουµε τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας διανυσµάτων, το εσωτερικό γινόµενο, την εξίσωση ευθείας και τις κωνικές τοµές. 5. Συχνή είναι η τάση των µαθητών σε ασκήσεις µιγαδικών να γράφουν αµέσως τους µιγαδικούς σε καρτεσιανή µορφή µε ολέθρια συνήθως αποτελέσµατα. Να τονιστεί ότι αυτή η γραφή δεν µας βοηθά καθόλου σε θεωρητικές ασκήσεις (όπου συνήθως εργαζόµαστε µε τις ιδιότητες) και εν πάση περιπτώσει είναι η τελευταία µας κίνηση αν βλέπουµε ότι δεν µπορούµε να προχωρήσουµε αλλιώς. 6. Σε θέµατα ακρότατων αποστάσεων µιγαδικών σχετικά µε κύκλους και ευθείες, χρήσιµο είναι να έχουµε υπόψη τις παρακάτω προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωµετρίας: Α. Αν η αρχή του Μ.Ε. βρίσκεται εκτός ενός κύκλου, τότε απ όλους τους µιγαδικούς που ανήκουν στο κύκλο αυτό, την µικρότερη και την µεγαλύτερη απόσταση (µέτρο) από την αρχή του Μ.Ε. την έχουν οι µιγαδικοί που αντιστοιχούν στα (αντιδιαµετρικά) σηµεία τοµής της διακεντρικής ευθείας που διέρχεται από την αρχή του Μ.Ε. µε τον κύκλο. Β. Αν µια ευθεία βρίσκεται εκτός κύκλου, τότε απ όλους τους µιγαδικούς που ανήκουν στο κύκλο αυτό, την µικρότερη και την µεγαλύτερη απόσταση από την ευθεία αυτή την έχουν αυτοί που αντιστοιχούν στα σηµεία τοµής της κάθετης από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία αυτή, µε τον κύκλο. Γ. Αν δυο µιγαδικοί κινούνται πάνω σε δυο µη τεµνόµενους κύκλους, χωριστά, τότε η ελάχιστη και η µέγιστη απόσταση τους αντιστοιχεί σε µιγαδικούς µε εικόνες τα σηµεία τοµής της διακεντρικής ευθείας µε τους κύκλους αυτούς. Γενικά, µε την βοήθεια κυρίως της Γεωµετρίας και δευτερευόντως της Άλγεβρας αντιµετωπίζονται ευκολότερα πολλά θέµατα µιγαδικών. Έτσι, ιδίως σε δύσκολες ασκήσεις µιγαδικών ας φέρνουµε κατά νου πρώτα τον γεωµετρικό τρόπο λύσης. 7. Γεωµετρικοί τόποι µερικές επισηµάνσεις. Στα προβλήµατα γεωµετρικών τόπων (γ. τ.) απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή: α) Να αναφέρονται τα δεδοµένα και τα σταθερά του προβλήµατος, β) Να αναφέρεται µε σαφήνεια η ιδιότητα που έχει το σηµείο του οποίου ζητούµε τον γεωµετρικό τόπο, και γ) πρέπει να αποδεικνύεται το ορθό και το αντίστροφο. Γνωστή είναι η ασάφεια σε θέµα των απολυτηρίων εξετάσεων του 006, αλλά δεν θα το σχολιάσω εδώ. Θα σχολιάσω όµως ένα θέµα των εισαγωγικών εξετάσεων τέκνων Ελλήνων εξωτερικού (θετικής κατεύθυνσης) που δόθηκε πριν λίγα χρόνια, επειδή το θεωρώ διδακτικότερο. ΘΕΜΑ Έστω ότι για ένα µιγαδικό αριθµό z ισχύει (5z - 1) 5 = (z - 5) 5 : α) Nα δείξετε ότι 5z -1 = z - 5. β) Nα δείξετε ότι z = 1. γ) Αν w = 5z + 1 να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγαδικό επίπεδο.

11 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 11 Κατ αρχή το (α) προκύπτει από την δεδοµένη σχέση παίρνοντας τα µέτρα, ενώ το (β) είναι συνέπεια και συνέχεια του (α). Για το (γ) «λύνουµε την w = 5z + 1 ως προς z και αντικαθιστούµε στην z = 1, οπότε προκύπτει ο κύκλος w - 1 = 5». Ασάφεια υπάρχει στο (γ) ερώτηµα. Ωραία, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγαδικό επίπεδο, προφανώς (κατά τον εξεταστή) όταν µεταβάλλεται ο z (που έπρεπε να αναφέρεται), αλλά που µεταβάλλεται ο z; Ίσως (ή προφανώς;) εννοεί ο εξεταστής, στον µοναδιαίο κύκλο (από το ερώτηµα (β)), αλλά αυτό από πού προκύπτει; Το (γ) είναι ένα ανεξάρτητο ερώτηµα και έπρεπε οπωσδήποτε να αναφέρεται που µεταβάλλεται ο z. Το ότι πολλές φορές στα διάφορα θέµατα «επικρατεί η συνήθεια» να θεωρείται «αυτονόητο» ένα επόµενο ερώτηµα να λαµβάνει υπόψη του το συµπέρασµα του προηγουµένου, απλά είναι µια κακή και επικίνδυνη συνήθεια, που µόνο σύγχυση µπορεί να δηµιουργήσει σε µαθητές και βαθµολογητές και ως εξεταστές πρέπει να την αποφεύγουµε γενικώς. Γιατί όµως ο z να µην µεταβάλλεται ώστε (υπόθεση) (5z - 1) 5 = (z - 5) 5 ; Θα µπορούσε κάλλιστα κάποιος µαθητής να το εκλάβει έτσι, και έτσι είναι το σωστό, αφού τα αρχικά δεδοµένα καλύπτουν όλα τα ερωτήµατα, οπότε η συνεπαγωγή (5z - 1) 5 = (z - 5) 5 w - 1 = 5 θα προέκυπτε, µέσω των ερωτηµάτων (α), (β), ασφαλώς δυσκολότερα. Το αντίστροφο όµως, που πρέπει ασφαλώς να αποδειχθεί µια και έχουµε γεωµετρικό τόπο, δηλαδή η συνεπαγωγή w - 1 = 5 (5z - 1) 5 = (z - 5) 5, δεν µπορεί να αποδειχθεί, γιατί δεν ισχύει! Το ζήτηµα είναι ότι οι σχέσεις (5z - 1) 5 = (z - 5) 5, z = 1, δεν είναι ισοδύναµες, απλά η πρώτη συνεπάγεται την δεύτερη. Καλύτερα λοιπόν θα ταν το (γ) ερώτηµα να είχε δοθεί ως εξής : (γ) Αν w = 5z + 1 να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγαδικό επίπεδο, όταν η εικόνα του z µεταβάλλεται (σ ολόκληρο) στον µοναδιαίο κύκλο. Μια άλλη παρατήρηση που µπορεί να γίνει εδώ, αλλά δεν αφορά τους µαθητές, είναι ότι οι µιγαδικοί z µε την ιδιότητα (5z - 1) 5 = (z - 5) 5 δεν είναι άπειροι, αλλά ακριβώς 5, ως λύσεις µιας πολυωνυµικής εξίσωσης 5 ου βαθµού. Άρα και οι µιγαδικοί w είναι ακριβώς 5, εποµένως ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος δεν είναι ο κύκλος w - 1 = 5, αλλά µόνο 5 σηµεία του κύκλου αυτού! Είναι σχεδόν βέβαιο ότι κανείς µαθητής δεν θα έδωσε αυτή την σωστή απάντηση, χωρίς δική του βέβαια υπαιτιότητα, αλλά σίγουρα πολλοί βαθµολογήθηκαν µε άριστα, αφού οι εκπτώσεις στην βαθµολογία σε αυτές τις περιπτώσεις είναι αναπόφευκτες. Έτσι λοιπόν το σωστότερο τελικά θα ταν το ερώτηµα (γ) να είχε διατυπωθεί ως εξής: (γ) Αν w = 5z+1 να βρεθεί η καµπύλη πάνω στην οποία ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών w 8. Από τις παρακάτω ασκήσεις ο διδάσκων µπορεί να επιλέξει όσες κρίνει σκόπιµο όταν θα διδάσκει τους µιγαδικούς, αλλά και στο τέλος, στη γενική επανάληψη. Όµως προτού γίνει αυτό πρέπει απαραίτητα να λυθούν όσες ασκήσεις κριθούν σκόπιµο από το σχ. βιβλίο, συµπεριλαµβανοµένων των ασκήσεων κατανόησης και των γενικών ασκήσεων. Οι ασκήσεις της σελίδας 1 του σχ. βιβλίου αναφέρονται σε ενότητα εκτός ύλης αλλά οι ασκήσεις 8 (Α οµάδας) και 4, 6, 7, 8 (Β οµάδας) µπορούν να λυθούν και καλό είναι να δοθούν, ίσως προαιρετικές. Το ίδιο µπορεί να γίνει και µε τις παρακάτω ασκήσεις µε αστερίσκο.

12 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠAΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ A. Ορισµός Πράξεις Μιγαδικών 1. α) Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y για τους οποίους ισχύει (x - i)(4 + yi) = x(4i + yi - 1) β) Να λύσετε το σύστηµα ( zi + ω = 1 + 3i, z ωi = i).. Να γράψετε σε καρτεσιανή µορφή τους µιγαδικούς ζ = (-3 + i) 3 + i 3 i + (5 - i)(3 + i), z = +, ω = -008(συνθ - iηµθ) 3 i 3 + i 3. A. Αν ω =1-i 3 να υπολογίσετε τους αριθµούς ω 3, ω 005. Β. Να λύσετε τις εξισώσεις α) z + zi = i, β) z = 3-4i, γ) z 3 = -8, δ) z 3 + z(z+1) + 1= Να προσδιορίσετε τους µιγαδικούς α, β ώστε να ισχύει επιτρεπτό µιγαδικό z. α β + = για κάθε z + i z i 1+ z (Aπ. i, -i) 5. α) Aν Α(α), Β(β), α, β C τότε η δ. α. του µιγαδικού α - β ισούται µε το διάνυσµα AB: Α. Σωστό Β. Λάθος β) Αν η διανυσµατική ακτίνα (δ. α.) του µιγαδικού ω = z σχηµατίζει γωνία 60 ο µε τον ηµιάξονα Οx, τότε η εικόνα του z είναι σηµείο της ευθείας Α. y = ( 3 /3)x, x > 0, B. y = x 3 Γ. y =x 3,. y = -x 3, x>0. γ) Αν z = -3ω και η δ. α. του z σχηµατίζει µε τον ηµιάξονα Οx γωνία 40 ο, τότε η δ. α. του ω σχηµατίζει µε τον ηµιάξονα Οx γωνία Α.180 ο Β. -80 ο Γ. 60 ο. 150 ο. δ) Αν z = x - yi, τότε Im(-z ) = A. xyi, B. xyi, Γ. xy. xy. ε) Αν ζ + ω = 0 τότε Α. ζ = ω = 0 B. ζ = 0 ή ω = 0 Γ. άλλο στ) Αν ζ + 1 = ζ, τότε ζ 3 + ζ 004 =, Α. 1, Β. -1, Γ. i,., Ε. 0. ζ) Αν z, w C, z + iw = 0 τότε Α. z = w = 0 Β. z = 0 ή w = 0 Γ. άλλο. 6. Να βρεθούν οι µιγαδικοί z, ω ώστε η εξίσωση zx + ωx = ω + 4 να έχει 010 λύσεις ως προς x στο σύνολο C. z 4z + 3 x + i 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων f (z) = g(x) = 3 z 1 x 4 (στο 1 σύνολο C ) και στην συνέχεια να απλοποιηθεί ο τύπος τους. 8. α) Αν a, b, c µιγαδικοί δείξετε ότι Re(a + b + c) = Re(a) + Re(b) + Re(c), Im(a + b + c) = Im(a) + Im(b) + Im(c).

13 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 13 Στην συνέχεια να δείξετε ότι αν τρεις µιγαδικοί ανήκουν στο πρώτο τεταρτηµόριο του Μ.Ε., τότε και το άθροισµά τους ανήκει στο ίδιο τεταρτηµόριο. β) Αν ζ = α + (7α 5-i)i, α R, να βρεθεί ο α ώστε η εικόνα του ζ να ανήκει στην παραβολή y = x. 9*. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα S = i i i i 006, Σ = i + ( + 3i) + (4 + 5i) + (6 + 7i) + +(ν- + (ν-1)i), ν Ν*. 10. A. Να δειχθεί ότι οι εικόνες των µιγαδικών ζ = 3λ-1+i(6-13λ), λ R, ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. B. Αν ζ+(λ -λ+1)ω = 0, λ R να βρεθεί η γωνία των δ. α. των µιγαδικών ζ, ω. 11. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί x, y αν ισχύει η ισότητα (χ - ψ)ζ = χ + ψ - 6, όπου ζ C, µε ζ + ζ + = Nα βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των µιγαδικών z µε την ιδιότητα : z 1 Α) Η δ. α. του µιγαδικού u= να σχηµατίζει γωνία 30 ο µε τον x άξονα. z + 1 (Απ. τόξο κύκλου) z -1 Β) Ο µιγαδικός ω = να έχει εικόνα στον θετικό ηµιάξονα των y. z + 1 B. Συζυγείς Μιγαδικοί 13. α) Για τον αριθµό α = z ω + ω z, ισχύει A. α R B. α I Γ. α C,. α > 0. β) Για τον αριθµό α = z ω - ω z, ισχύει A. α R B. α I Γ. α C,. α = 0. γ) Η εξίσωση αζ + βζ + γ = 0, α, β, γ R έχει ρίζες κ, λ C µε κ λ. Ισχύει Α. κ, λ µιγαδικοί αριθµοί Β.κ, λ πραγµατικοί αριθµοί Γ.κ, λ φανταστικοί αριθµοί δ) Αν οι µιγαδικοί αριθµοί ζ,, ζ, -ζ, - ζ σχηµατίζουν (κυρτό) τετράπλευρο, τότε αυτό είναι : Α. Παραλληλόγραµµο Β. Ορθογώνιο Γ. Ρόµβος. τετράγωνο ε) Ο αριθµός (ζ + ζ ), ζ C, είναι : Α. µιγαδικός Β. φανταστικός Γ. µη θετικός. µη αρνητικός στ ) Ο αριθµός (ζ - ζ ), ζ C, είναι : Α. µιγαδικός Β. φανταστικός Γ. µη θετικός. µη αρνητικός 14. Έστω ζ, ω δυο καθαρά µιγαδικοί αριθµοί. Να αποδειχθεί ότι αν ισχύει µια από τις παρακάτω συνθήκες τότε οι αριθµοί αυτοί είναι συζυγείς. α) Το άθροισµα και το γινόµενό τους είναι πραγµατικοί αριθµοί. β) Το άθροισµα τους καθώς και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι πραγµατικοί αριθµοί. 15. Έστω z, ω C*. Να αποδειχθεί ότι α) ω z R ω/z R και ω z Ι ω/z Ι. β) Αν ω/z Ι τότε οι δ. α. των z, ω είναι κάθετες και αντίστροφα.

14 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί α) Να βρεθεί δευτεροβάθµια εξίσωση µε συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς που έχει ρίζα τον αριθµό -3+5i. β) Αν κ, λ οι ρίζες της προηγούµενης εξίσωσης να δειχθεί ότι ο αριθµός ζ = κ ν + λ ν, είναι πραγµατικός για κάθε ν Ν. 17. A.Aν η εξίσωση ζ + αζ + β = 0, α, β C, έχει ρίζες συζυγείς να δειχθεί ότι α, β R. B.Nα βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών που ικανοποιούν την εξίσωση 3( z+ z) + i(z- z) + 4(zz - 1) +5(z z + 1) = α) Αν το πολυώνυµο Ρ(ζ) = αζ 3 + βζ + γζ + δ, α, β, γ, δ R, έχει ρίζα τον µιγαδικό z, να δειχθεί έχει ρίζα και τον συζυγή του. β) εδοµένου ότι κάθε πολυώνυµο ν βαθµού (µε συντελεστές µιγαδικούς) έχει ν µιγαδικές ρίζες, είναι δυνατόν το πολυώνυµο Ρ(ζ) να µην έχει πραγµατική ρίζα; γ) Αν η εξίσωση x 3 + βx + γx + δ = 0, β, γ, δ R, έχει λύση x = 3-5i, τότε αποκλείεται να έχει λύση την Α. 6, Β. 3+5i, Γ. 0,. +3i, E Έστω α, β, γ καθαρά µιγαδικοί αριθµοί και οι αριθµοί ω= α (β + γ) + β (γ + α) + γ (α + β), z = α (β - γ)+ β (γ - α)+ γ (α - β). Να δειχθεί ότι ο αριθµός ω είναι πραγµατικός, ενώ ο z φανταστικός. 1+ z 0. Έστω z C µε z z = 1, z 1,-1. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α = z 1 1+ z φανταστικός, ενώ ο αριθµός β = z πραγµατικός. 009 είναι Γ. Μέτρο Μιγαδικού 1. Να υπολογίσετε τα µέτρα των µιγαδικών z C*, ν Ν*. 1 i 6 8i z v ω = + i, ζ =, q =, 5 + i 10 z ν. α) Αν z = z, τότε A. z R, B. z I, Γ. z C,. z = 0, E. z > 0. β) Αν z + z = 0, τότε A. z R, B. z I, Γ. z = 0,. z < 0, E. z C. γ) Οι εικόνες των µιγαδικών z µε i - 3 z = 1 ανήκουν σε κύκλο κέντρου A. Κ(i), B. K(-i), Γ. K(i/3),. K(-i/3), Ε. Κ(4) δ) Οι εικόνες των µιγαδικών ζ µε ζ + 1 = 1 + z - 1, ανήκουν σε Α. ευθεία, Β. κύκλο, Γ. έλλειψη,. υπερβολή. Ε. Παραβολή ε) Ο γ. τόπος των µιγαδικών w µε w + i + i + w = 6 είναι Α. ευθεία, Β. κύκλος, Γ. έλλειψη,. υπερβολή. Ε. Παραβολή Στ ) Αν ω z = z + ω τότε οι δ. α. των µιγαδικών z, ω είναι Α.οµόρροπες Β. αντίρροπες Γ.κάθετες.τεµνόµενες ζ) Ο γ.τ. των µιγαδικών ω µε ωi + 1 = ω+1 είναι

15 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 15 A. η ευθεία y = x B. η ευθεία y = -x Γ.ο κύκλος Κ(-1+i). Άλλο 3. A. Αν o µιγαδικός z ανήκει στον κύκλο κέντρου 1-i και ακτίνας, να δειχθεί ότι 8 z + 5-7i 1 B.Αν α, β, γ µιγαδικοί αριθµοί τότε ισχύουν i) α β α + β, ii) α - β α - γ + γ - β 4. α) Να λυθεί η εξίσωση χ 3-4χ + χ + 6 = 0. β) Να δειχθεί ότι οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. 5. A. Aν ισχύει (i 4ω) i 15 = να δείξετε ότι ο ω ανήκει σε κύκλο κέντρου 4 Κ(i/) και ακτίνας 1/4. Β. Αν z + i = 4ω, όπου ο µιγαδικός ω ανήκει στον προηγούµενο κύκλο και δεν είναι 1913 i + z φανταστικός, να δείξετε ότι ο αριθµός u = είναι φανταστικός. i z Γ. Ποια ιστορικά γεγονότα έγιναν τα έτη 1866, 1913; 6. Να βρεθεί ο γ. τ. των µιγαδικών ζ µε την ιδιότητα, το τρίγωνο µε κορυφές τους µιγαδικούς ζ, ζ και την αρχή των αξόνων να είναι ισόπλευρο. (Απ. δυο ευθείες εκτός αρχής) 7. Έστω z, ω C*. Nα αποδειχθεί ότι α) ότι z ω > 0 z ω > 0 ω z > 0, β) z - ω = z + ω ω z < 0, γ) z - ω = z - ω ω z > 0, δ) Re( z ω ) = z ω οι δ.α των z, ω οµόρροπες. ε) Αν z - ω = z + ω ή z - ω = z - ω τότε οι εικόνες των z, ω και η αρχή των αξόνων είναι σηµεία συνευθειακά (και αντίστροφα). 8. A.Να βρείτε το µέτρο του µιγαδικού ζ αν ισχύει ζ - 1 = ζ -. (Απ. 1) z w Β. Αν Re(z) Re(w) > 0, τότε η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στο εσωτερικό του z + w µοναδιαίου κύκλου και αντίστροφα. 9. Α. Να βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί ζ, ω µε την ιδιότητα ζ - ω + ω + i = 0 Β. Έστω α, β µιγαδικοί β 0. Να εξεταστεί αν οι µιγαδικοί α + β, α - β, α + i 3 β αποτελούν κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 30. Aν ο λόγος των αποστάσεων του µιγαδικού z από τις εικόνες των µιγαδικών ζ 1 =-16 και ζ = -1 είναι 4, να δείξετε ότι ο z ανήκει σε κύκλο κέντρου O. 31. Έστω ζ = 3 και ω = 4 + 3i. α)να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της παράστασης ζ + ω, β) Ποιο σηµείο του κύκλου ζ = 3 απέχει λιγότερο και ποιο περισσότερο από την εικόνα του ω; (Απ.8,, (1/5, 9/5), (-1/5, -9/5)) 3. Oι ρίζες των εξισώσεων - ω = ωi + i, ( z) i(005-3z) 008 = 0 έχουν εικόνες στον φανταστικό άξονα.

16 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί Να βρεθεί ο µιγαδικός ζ ώστε το τρίγωνο µε κορυφές τους µιγαδικoύς 1, -i και ζ να είναι ισόπλευρο. (Απ. ( 1± 3)(1 i) / ) 34. α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος (γ. τ.) των µιγαδικών z που ικανοποιούν την εξίσωση (1 + i) z + (1 - i)z = 1. β) αν η εικόνα ενός µιγαδικού z κινείται πάνω στην ευθεία x + y = 1, να δειχθεί ότι ο ω = 1/z κινείται σε κύκλο, γ) αν ζω = 1-i να δειχθεί ότι ο ζ ανήκει σε ευθεία.. Επανάληψης 35. Α. Να βρεθεί ο x C ώστε ο αριθµός z = x(x + ) x i να είναι φανταστικός. Στην συνέχεια να βρεθεί ο z. Β. Αν α. β C, β 0, να δειχθεί ότι οι εικόνες των µιγαδικών α + β, α + i 3 β, α - β, α - i 3 β, σχηµατίζουν ρόµβο. 36. Έστω οι µιγαδικοί z = - 3i, ω = 3 + i. Να δείξετε ότι α) ω z = -i, β) z 19 +ω 19 = 0, γ) Ποιο ιστορικό γεγονός έγινε το 19; 37. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = α + βi, όπου α, β R και w = 3z i z+ 4. α) Να αποδείξετε ότι Re(w) = 3α β + 4, Ιm(w) = 3β α. β) Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x 1, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x. γ) Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x, έχει το ελάχιστο µέτρο. (Παν/ες. 003) z α 38. Θεωρούµε τη συνάρτηση f (z) = µε α C, 0< α < 1, 0< z 1. 1 α z Να αποδειχθεί ότι, α) α z 1 β) Ο z ανήκει στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου, αν και µόνο ο f(z) ανήκει στο εσωτερικό του ίδιου κύκλου, 1 1 γ) z = 1 αν και µόνο f(z) = 1, δ) f =, z α. z f (z) 39. Α. Έστω ζ C. Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη (όσο αφορά τον ζ) ώστε α) οι αριθµοί 1+ ζi, 1 - ζi να είναι ρίζες µιας δευτεροβάθµιας εξίσωσης µε πραγµατικούς συντελεστές. β) οι αριθµοί i + ζi, -i + ζi να είναι ρίζες µιας εξίσωσης ου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές. (Απ. ζ R, ζ Ι) Β. Από τους µιγαδικούς ζ µε την ιδιότητα ζ 3 - i = 1 να βρεθεί αυτός που απέχει λιγότερο καθώς και αυτός που απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων. 40. Α. Αν το άθροισµα δυο καθαρά µιγαδικών αριθµών είναι πραγµατικός και η διαφορά τους φανταστικός να αποδειχθεί ότι είναι συζυγείς.

17 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 17 Β. Έστω z, α, β, γ µιγαδικοί αριθµοί. Να αποδειχθεί ότι α) z + z + z - z z, β) α β - γ β γ - α + γ α - β. 41.Έστω ότι οι µιγαδικοί αριθµοί α, β, γ ανήκουν στον µοναδιαίο κύκλο. Να δείξετε ότι, α β α) ο αριθµός Κ = + είναι πραγµατικός, β) ισχύει α + β + γ = αβ + βγ + γα. β α 4. Α.Να δείξετε ότι οι µιγαδικοί αριθµοί ζ = συνθ ηµθ + i(συνθ + ηµθ), ω = - (συνθ + ηµθ) + i(συνθ - ηµθ) είναι διαφορετικοί για κάθε θ R και ότι οι εικόνες τους και η αρχή του µιγαδικού επιπέδου είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. Β.Nα βρείτε τον µιγαδικό αριθµό του οποίου η εικόνα είναι το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου αυτού. 43. Έστω ω µιγαδικός αριθµός µε την ιδιότητα ω 7 ω 3 = 1. α) Να δειχθεί ότι ω = 1, β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση ω 7 ω 3 = 1 είναι ισοδύναµη µε την ω 4 = 1, γ) Να λυθεί η εξίσωση z 7 z 3 = 1. 44*.α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των µιγαδικών z µε την ιδιότητα οι δ. α. των µιγαδικών z + i, z - i να είναι αντίρροπες. β) Να λυθεί η εξίσωση z + i + z - i =. 45. Α. Να βρεθεί ο γ. τ. των µιγαδικών αριθµών ζ µε την ιδιότητα + ζ + 5i =. Β. Από όλους τους µιγαδικούς που ανήκουν στον προηγούµενο γεωµετρικό τόπο να βρεθεί αυτός : α) του οποίου η δ. α. σχηµατίζει τη µικρότερη γωνία µε τον χ άξονα, β) που απέχει λιγότερο από τον χ-άξονα, γ*) του οποίου η δ. α σχηµατίζει τη µεγαλύτερη γωνία µε τον χ-άξονα. 46. α) Να βρεθεί ο γ. τ. των µιγαδικών z µε την ιδιότητα z + i < z - i. β) Αν οι µιγαδικοί α, β, γ ανήκουν στον προηγούµενο γ. τ. να αποδειχθεί ότι και το άθροισµά τους ανήκει στον ίδιο γ. τ. 47*. Α. Αν α, β, z C µε α β τότε ισχύει, α z+ βz = 0 αν και µόνο αν z = 0. 9 B. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(z) = z +, z C*, έχει ελάχιστη τιµή το 6, όταν ο z z ανήκει σε ένα κύκλο τον οποίο και να ορίσετε. 48*. Α. Να βρεθεί ο γ. τ. των µιγαδικών ζ µε την ιδιότητα οι µιγαδικοί ζ,, ζ, - ζ, - ζ να είναι κορυφές (κυρτού) τετραπλεύρου. Β. Αν ζ C τότε να δείξετε ότι ζ = ζ + 1 = 1 αν και µόνο αν ζ + ζ + 1 = Έστω ρ > 0 και λ (0, 1) σταθεροί. Αν η εικόνα του µιγαδικού z διαγράφει τον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ, να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού ω µε ω = z(1 + λ) + z(1 - λ) διαγράφει έλλειψη µε ηµιάξονες ρ, λρ.

18 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί Α) Αν z = z + να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού ω = z ανήκει σε ευθεία z παράλληλη στον άξονα των φανταστικών αριθµών. Β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο ν ώστε (1 - i) ν = 8. (Απ. ν = 6 ;;) 51*. Α. Να βρεθούν οι καθαρά µιγαδικές ρίζες της εξίσωσης z 6 = 1. Β. Έστω α, β, γ µιγαδικοί, α β. Αν α - β = i(α - γ) να αποδειχθεί ότι οι εικόνες των α, β, γ είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. 5. Έστω z, ω µιγαδικοί αριθµοί. α) Να γραφεί η παράσταση Α = 1 + z ω + z ω + z ω ως τετράγωνο ενός µη αρνητικού αριθµού. β) Να δειχθεί ότι z - ω (1 + z ) (1 + ω ), γ) Να αποδειχθεί ότι συνάρτηση φ(χ) = χ + z - ω χ +(1 + z )(1 + ω ), είναι µη αρνητική για κάθε χ R. 53*. α) Αν ω z R τότε οι εικόνες των z, ω και η αρχή των αξόνων είναι σηµεία συνευθειακά και αντίστροφα. β) Αν ω = 1 να δειχθεί ότι οι δ. α. των µιγαδικών ω, ω+ω 3 ανήκουν σε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. γ) Έστω z, ω C µε z = ω, z iω. Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες των µιγαδικών α = (z + iω) 004, β = (z - iω) 004 και η αρχή των αξόνων είναι σηµεία συνευθειακά. Στην συνέχεια να δειχθεί ότι υπάρχει θ > 0 ώστε α = θβ. 54*. Α. Να λύσετε την εξίσωση z συν θ - zηµθ + = συν θ, θ (-π/, π/). Β. Να δείξετε ότι η εικόνα της ρίζας της εξίσωσης αυτής µε θετικό φανταστικό µέρος, καθώς το θ µεταβάλλεται, ανήκει σε υπερβολή. 1 55*. α) Αν α R και ω = να δείξετε ότι ω - ω = ( z - z) ω. z α β) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση = 5 έχει όλες τις ρίζες της x 1 x x 3 x 4 πραγµατικές. 56. α) Αν α, β, γ µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι α - β + α - γ β - γ. β) Να δειχθεί ότι η ισότητα ισχύει όταν και µόνο οι εικόνες των οι α, β, γ είναι σηµεία συνευθειακά και ο α βρίσκεται είναι µεταξύ των β, γ. γ) Να δειχθεί ότι οι λύσεις της εξίσωσης χ + χ χ - + χ - 3 = 4, χ C είναι όλοι οι (πραγµατικοί) αριθµοί του διαστήµατος [1, ] και µόνο αυτοί. 57. α) Να λυθεί η εξίσωση (z + 1) + z 3 + z = 0. β) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των εξισώσεων (z + 1) + z 3 + z = 0, z 16 + z = 0. 58*. Αν η δ. α. του µιγαδικού ζ σχηµατίζει γωνία π/4 µε τον ηµιάξονα Οx, να δειχθεί ότι η εικόνα του µιγαδικού ω = ζ - ανήκει σε τµήµα υπερβολής. ζ 59*. A.Nα βρεθεί ο γ. τ. των µιγαδικών ζ µε την ιδιότητα ζ ζ 3i =5. (Απ.ευθ. τµ.) B. Έστω α, β C* µε α β και α + β = αβ. Τότε ισχύουν i) α = β, ii) οι εικόνες των α, β και η αρχή των αξόνων είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

19 . Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. - ιδακτικό Υλικό Γ Λυκείου : Μιγαδικοί Αριθµοί 19 60*. α) Να βρεθεί ο α R ώστε η εξίσωση αx 4-10x 3 + 5x = x + 5 να χει ρίζα ένα καθαρά µιγαδικό ζ µε ζ 3 = -1. (Απ. 4) β) για την προηγούµενη τιµή του α να δειχθεί ότι η εξίσωση αυτή έχει ως ρίζες της ρίζες της εξίσωσης x x + 1 = 0 και στην συνέχεια να λυθεί. 61.α) Nα βρεθεί το πεδίο ορισµού A R της συνάρτησης φ µε τύπο φ(t) = 1 ( t). β) Αν z = 3 t + iφ(t), t A, να δειχθεί ότι οι δ. α. των µιγαδικών α = z και β = z 1, z 0, είναι οµόρροπες. 6*. Έστω Σ η εικόνα ενός πραγµατικού αριθµού θ και Α, Β οι εικόνες των µιγαδικών z, ω αντίστοιχα στο Μ.Ε., ώστε το τρίγωνο ΑΣΒ να είναι ορθογώνιο στο Σ και ισοσκελές. Aν Re(ω) > θ > Re(z) και τα φανταστικά µέρη των z, ω είναι θετικοί αριθµοί, να δειχθεί ότι α) ο αριθµός (z - θ)( ω θ ) είναι φανταστικός, β) ω = θ - i(z - θ). 63. A. Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει z 1 + z = 4 + 4i, z 1 - z = 5 + 5i, να βρείτε τους z 1, z. B.Aν για τους µιγαδικούς αριθµούς z, ω ισχύουν z 1-3i, ω 3 - i : i. να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί µιγαδικοί αριθµοί z, ω έτσι ώστε z = ω και ii. να βρείτε τη µέγιστη τιµή του z - ω. (Επαναληπτικές. 005) 64**. Έστω ο µιγαδικός z = α + βi, (α, β R), β 0 και ω = Να αποδειχθεί ότι α) z + =, β) ω z = 1. z + z µε (ω z) R. 65*. Έστω α, β, γ C* µε α = β = γ =1 και α + β + γ = 0. Να αποδειχθεί ότι Α. αβ + βγ + γα = α β + β γ + γ α = 0. Β.i) αβ + β α =-1, ii) οι α, β, γ αποτελούν κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 3. 66*.Α)Αν οι µιγαδικοί αριθµοί α, β, γ ανήκουν στο εσωτερικό του κύκλου κέντρου Κ(0) και ακτίνας 1, τότε ισχύει αβ + βγ + γα αβγ. Β) Για οποιουσδήποτε µιγαδικούς α, β, γ ισχύει (1- α)(1- β)(1- γ) 1 - α - β - γ. (Υπ. Σε µια προφανή περίπτωση ισχύει η (Β)) 67**. Να αποδειχθεί ότι: α) Αν ζ C τότε Re(ζ) ζ, β) Αν z, ω µιγαδικοί αριθµοί, θ (0, π/) τότε ισχύει z ω συν θ ηµ θ + z + ω + Re(zω). (Θαλής 006) * * * ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Σταύρος Σ Λίτσας Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς Μιγαδικοί αριθμοί i =- ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 0 C:\Users\Stavros\Desktop\ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ internet\00 0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ για internet Αdoc 7/07/ διάχυση της γνώσης Vincent Van Gogh Στη

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα