Η ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ «ΩΡΑΙΟΥ» ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΕΡΓΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΟΙΚΙΕΣ ΤΟΥ 19 ΟΥ ΑΙΩΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ «ΩΡΑΙΟΥ» ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΕΡΓΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΟΙΚΙΕΣ ΤΟΥ 19 ΟΥ ΑΙΩΝΑ"

Transcript

1 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 Η ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ «ΩΡΑΙΟΥ» ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΕΡΓΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΟΙΚΙΕΣ ΤΟΥ 19 ΟΥ ΑΙΩΝΑ ΝΙΚΟΣ ΚΟΥΡΝΙΑΤΗΣ Αρχιτέκτονας Μηχανικός Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΑΝΝΗ ΒΡΥΧΕΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Η αναζήτηση του ωραίου στα πρώτα δείγματα εργατικής κατοικίας του 19 ου αιώνα Στην εξέλιξη του σχεδιασμού της κατοικίας για τον εργάτη και την οικογένειά του, η οποία πρωτοεμφανίστηκε ως προβληματισμός στις βιομηχανικές εκθέσεις του 19 ου αιώνα, έπαιξε σημαντικό ρόλο η αναζήτηση του «ωραίου». Εδώ πρέπει να αποσαφηνιστεί ότι ο όρος «ωραίο» έχει υιοθετηθεί για να τονιστεί η πρόθεση στο σχεδιασμό να παραχθούν κατοικίες με συσχετίσεις χώρων, εσωτερικό μέτρο και αναλογίες που έχουν μελετηθεί στο παρελθόν και φέρουν την πιστοποίηση του ωραίου αποτελέσματος. Αυτή η μελέτη σχέσεων και αναλογιών από το παρελθόν, ήταν γνωστή στους σχεδιαστές της εποχής που μελετάμε. Όπως θα δούμε στην παρούσα μελέτη, οι τελευταίοι χρησιμοποίησαν τέτοιους κανόνες αναλογιών, μέσα βέβαια στο πλαίσιο της λιτότητας, οικονομικής και αισθητικής, που υπαγόρευε η ιδεολογία της εποχής. Οι κατόψεις και οι όψεις που παρήχθησαν εμπεριέχουν αναλογίες που θυμίζουν τύπους που έχουν μελετηθεί από μεγάλους αρχιτέκτονες του παρελθόντος, όπως ήταν ο Palladio. Παρατηρούνται στοιχεία συμμετρίας και ρυθμού καθώς και συστήματα αναλογιών που αφ ενός δεν είναι πρωτοεμφα-

2 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 2 νιζόμενα, αφ ετέρου έχουν ισχυρό θεωρητικό υπόβαθρο. Δεν πρόκειται τόσο για πιστή αντιγραφή τύπων όσο για την υιοθέτηση ενός λεξιλογίου αναλογιών και μορφολογίας, που είχε στόχο να λειτουργήσει ως συντακτικό εργαλείο των νέων μορφών, παρά ως βιβλιοθήκη δανεισμού στοιχείων. Εικόνα 1: (Πηγή: «Κατοίκιση και Κατοικία», Άννη Βρυχέα). Ο στόχος ήταν να συνταχθούν ωραίες νέες μορφές. Πράγματι, όπως φαίνεται στην εικόνα 1, η μορφή των λυόμενων σπιτιών για οικογένειες εργατών του 1840 έχει σαφείς αναφορές σε αντίστοιχες μορφές που συναντώνται σε έργα του Palladio 1. Στην ανάλυση που ακολουθεί παρατίθενται κάποια παραδείγματα εργατικών κατοικιών, τα οποία διερευνώνται με μια προδιάθεση γεωμετρικοποίησης των μορφών, ενώ ταυτόχρονα γίνονται αναφορές σε παραδείγματα του παρελθόντος με τα οποία κατά κάποιο τρόπο σχετίζονται. Προκύπτουν έτσι γενικές παρατηρήσεις για τη δομή του χώρου (1) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

3 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 3 της κατοικίας, καθώς και για τις συσχετίσεις των επιμέρους χώρων μεταξύ τους, που θα πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις των μελών μέσα στην οικογένεια, που καθορίζονται από τον ίδιο μηχανισμό. Εφαρμόζοντας στα ως άνω αντιπροσωπευτικά παραδείγματα γεωμετρικές αρχές και χαράξεις, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι τέτοιες αρχές έχουν ληφθεί υπ όψιν στο σχεδιασμό τους Πλαίσιο αναφοράς και ανάπτυξης της κατοικίας της εργατικής οικογένειας Από τις πρώτες σχεδιαστικές απόπειρες, η κατοικία για τον εργάτη, όπως αυτή παρουσιάζεται, ως νέο αντικείμενο έρευνας, που ακολουθεί τους κανόνες μιας νέας ιδεολογίας, μέσα στο πλαίσιο των διεθνών βιομηχανικών εκθέσεων (έκθεση του 1887), διέπεται στο σχεδιασμό της από ένα αίσθημα οργάνωσης των πραγμάτων 2. Αυτό το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του σχεδιασμού των εν λόγω κτιρίων απομονώνεται, γιατί θεωρείται θεμελιώδης παράγοντας της κατοικίας που τελικά παράγεται. Η οργάνωση ξεκινά κατ αρχάς από τον επαναπροσδιορισμό του ρόλου του εργάτη στην πόλη, ως κατοίκου ενεργού, στο κέντρο της και όχι στην περιφέρειά της. ως ένα κομμάτι του οργανισμού της πόλης της εποχής. Από μία έρευνα των συνθηκών που καθοδήγησαν το εργατικό σπίτι σε αυτό που τελικά κατέληξε να είναι, μπορεί να συμπεράνει κανείς ότι η οργάνωση λαμβάνει χώρα σε δύο κυρίως επίπεδα. Σε ένα πρώτο επίπεδο, διατυπώνεται σαφώς μια αντίληψη κατοίκισης που οφείλουν να υπηρετούν οι οικογένειες μέλη της κοινωνίας της πόλης. Οι ρόλοι των μελών της οικογένειας και τα σενάρια που καθορίζουν τις μεταξύ τους σχέσεις συγκροτούνται από τις αντιλήψεις για ηθική, υγιεινή και οικονομία. Αργότερα, (έκθεση του 1867) σε αυτά προστίθεται και ο παράγοντας της ευχάριστης και βολικής κατοίκισης, με άξονα τη βελτίωση της ποιότητας των συνθηκών διαβίωσης των πολλών. Συγκεκριμένα, η επιδίωξη για βολική και ευχάριστη κατοίκιση αποβλέπει στο να κρατηθεί ο άντρας στην κατοικία και να μην καταφεύγει στο καπηλειό για τη διασκέδασή του.

4 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 4 Πίσω από τέτοιου είδους στρατηγικές βέβαια κρύβονταν οι αυστηροί κανόνες ηθικής, στους οποίους έπρεπε να υπακούει η κατοικία των πολλών και φυσικά ο σχεδιασμός της. Αξιοσημείωτο είναι ότι ίσως θα έπρεπε ακόμη και να της δοθεί μια «όψη πολυτέλειας», προκειμένου να επιτευχθεί ο σκοπός τους 2. Ο καθορισμός των ρόλων των μελών μέσα στην οικογένεια επεκτείνεται και προσβλέπει στον καθορισμό του ρόλου της οικογένειας και κατ επέκταση των μελών της μέσα στην κοινωνία. Η νέα ιδεολογία που βλέπει την οικογένεια ως κύτταρο της κοινωνίας, προσπαθεί να βελτιώσει την ποιότητα διαβίωσης Ποιος οργανισμός θέλει να συντηρεί άρρωστα κύτταρα; - Πατρονάρει όμως σε ακραίο βαθμό τον τρόπο ζωής των μελών, ώστε να «θυμίζει στρατόπεδο». Η χωρική έκφραση αυτής της ιδεολογίας οδήγησε στις εργατικές κατοικίες, νέο αντικείμενο της εποχής, όπως εκτέθηκαν και εξελίχθηκαν μέσα από το θεσμό των βιομηχανικών εκθέσεων. Μέσα από την έρευνα προέκυψαν διάφοροι τύποι κατοικίας. Το δεύτερο επίπεδο, που μαρτυρά το αίσθημα οργάνωσης της εποχής, ήταν η γένεση της τυπολογίας, ως διερεύνηση των ιδανικών τύπων κατοίκισης. Η έννοια του τύπου κατοικίας και κατοίκισης για εργένη εργάτη, για μία, δύο ή πολλές οικογένειες, άρχισε να διαμορφώνει μια εικόνα για τις επιπτώσεις που θα είχαν για την πόλη οι κατοικίες αυτές. Η σχέση του πλήρους με τον ελεύθερο χώρο, η διάταξη όμοιων ή διαφορετικών κατοικιών κατά μήκος ενός δρόμου και η οργάνωση ενός οικοδομικού τετραγώνου είναι θέματα οργάνωσης. Στο εσωτερικό των εν λόγω κατοικιών παρατηρείται επίσης οργάνωση των χώρων βάσει των αρχών της νέας ιδεολογίας περί ηθικής, υγιεινής, άνεσης και οικονομίας. Οι σχέσεις των χώρων, η διάταξή τους και η όλη οργάνωση παράγει γεωμετρική δομή που βασίζεται σε σύνθεση γεωμετρικών στοιχείων και σχέσεων. Μέσα από τη διερεύνηση των γεωμετρικών σχέσεων, που διέπουν τις συνθέσεις των χώρων στις εργατικές κατοικίες, προέκυψε ότι έχουν εφαρμοστεί γεωμετρικές αρχές, όπως η ισομετρία, οι γεωμετρικές χαράξεις και η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, οι οποίες παρατίθενται, ώστε να μπορούν να ενσωματωθούν στη συνέχεια της μελέτης. (2) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

5 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 5 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ «Η συμμετρία όσο ευρεία ή στενή κι αν οριστεί η έννοιά της, είναι μια ιδέα με την οποία ο άνθρωπος διαμέσου των εποχών προσπάθησε να εννοήσει και να δημιουργήσει την τάξη, την ομορφιά, και την τελειότητα.» (Weyl, 1952:5) Ο όρος «συμμετρία» προέρχεται από τις λέξεις συν και μέτρον. Ο συνδυασμός τους σημαίνει κατά γράμμα «ιδίου μέτρου» ή «σε αναλογία» 3. Η έννοια της συμμετρίας είναι βαθιά συνυφασμένη με την οργάνωση. Συγκεκριμένα είναι οργάνωση με κάποιους κανόνες. Μια πιο γενική έννοια του όρου «συμμετρία» είναι η «ισομετρία». Για την ακρίβεια, ο όρος «συμμετρία» είναι περίπτωση των ισομετριών που μπορεί να προκύψουν εφαρμόζοντας γεωμετρικούς μετασχηματισμούς σε μια μορφή, διατηρώντας αναλλοίωτη τη μορφή. Μετά από την εισαγωγή της θεωρίας των ομάδων από τον E. Galois, η μαθηματική διερεύνηση των ισομετριών οδήγησε στη διατύπωση της άλγεβρας των συμμετριών και τον καταμερισμό σε ομάδες. Έτσι, στο επίπεδο διακρίνουμε επτά ισομετρίες ταινιών και δεκαεπτά ισομετρίες επιπέδου, από τις οποίες προκύπτουν πλακοστρώσεις, ψηφιδωτά και ταπετσαρίες. Οι ισομετρίες ταινιών προκύπτουν από τις περιστροφές, τις μεταφορές, τις συμμετρίες, καθώς και από το συνδυασμό ενός αρχικού σχήματος σε σχέση με μία αρχική ευθεία, η οποία παραμένει αναλλοίωτη. Στον πίνακα ισομετριών που ακολουθεί, επεξηγούνται σχηματικά οι επτά ισομετρίες ταινιών που εφαρμόζονται σε ένα σχήμα 4. Στην πρώτη περίπτωση, το σχήμα επαναλαμβάνεται σε ίσες αποστάσεις «α» και κάθε φορά ταυτίζεται με τον εαυτό του. Η δεύτερη αποτελείται από ένα γινόμενο ισομετριών, μια περιστροφή περί κέντρο και στη συνέχεια μετατόπιση κατά α ή περιστροφή του συνόλου γύρω από το επόμενο κέντρο. Ομοίως και στην τρίτη περίπτωση, το αντικείμενο αντικατοπτρίζεται επί τόπου και στη συνέχεια είτε μετατοπίζεται κατά α, είτε αντικατοπτρίζεται ως προς τον επόμενο άξονα για να βρεθεί στη νέα του θέση. Στην τέταρτη περίπτωση το σχήμα αντικατοπτρίζεται ως προς τον οριζόντιο άξονα και στη συνέχεια το σύνολο μετατοπίζεται κατά «α», ενώ στην (3) «Οπτική Σύνταξη», Ε.Γ. Βακαλό, (4) Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και μορφή, Παντελή Ξαγοράρη.

6 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 6 πέμπτη μόνο το είδωλο κάθε φορά του αρχικού μετατοπίζεται κατά «α» (αντιμετρία). Η έκτη ισομετρία είναι ένας συνδυασμός της τρίτης και τέταρτης. Τέλος, στην έβδομη έχουμε μια ακόμα περίπτωση αντιμετρίας, όπου μόνο το είδωλο του αντικειμένου μετατοπίζεται κάθε φορά κατά «α» (πίνακας 1). Πίνακας 1

7 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 7 3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ «Σκοπός κάθε συστήματος χαράξεων και αναλογιών είναι να δημιουργεί μία αίσθηση τάξης μεταξύ των στοιχείων μιας σύνθεσης» 5. Υπάρχουν πολλά τέτοια συστήματα που έχουν μελέτηθει από τους γεωμέτρες και καλλιτέχνες περιόδων του παρελθόντος. Στο σύνολο των συστημάτων χαράξεων και αναλογιών, οι μαθηματικές αναλογίες (ο αριθμητικός, ο γεωμετρικός και ο αρμονικός μέσος) καθώς και οι γεωμετρικές χαράξεις (χρυσή τομή, δυναμικά ορθογώνια κ.λπ.) εμφανίζονται να συμμετέχουν στην οργάνωση των χώρων των εργατικών κατοικιών του 19 ου αιώνα Μαθηματικές αναλογίες Χρησιμοποιούνται συχνά σαν βάση αναλογικών συστημάτων και αποτελούνται από ακολουθίες αριθμών, ο καθένας εκ των οποίων προέρχεται από τον αμέσως προηγούμενο με ένα σύστημα αριθμητικών πράξεων. Η αρμονική συγκεκριμένα πρόοδος, είναι η πρόοδος της οποίας οι όροι αν αντιστραφούν, δημιουργείται αριθμητική πρόοδος. Παραδείγματα αρμονικών προόδων είναι οι: 3, 4, 6, 6, 8, 12, 9, 12, 18, Παρόμοιες αρμονικές πρόοδοι χρησιμοποιήθηκαν από τον Alberti και τον Palladio. Πράγματι έχει αποδειχθεί ότι οι χώροι στις βίλες του Palladio έχουν διαστάσεις, όρους αρμονικής προόδου. Η λέξη «αρμονία» στις αρμονικές χαράξεις συνδέεται με την αρμονία της μουσικής των αρχαίων Ελλήνων, έτσι που η αναλογία 3:4:6 μπορεί να διαβαστεί σαν διάστημα μιας τετάρτης και μιας πέμπτης στη μουσική 6. Ο Rudolf Wittkover, στο βιβλίο του «Architectural Principles in the Age of Humanism», υποστηρίζει ότι «η χρήση αρμονικών αναλογιών δε σημαίνει απαραίτητα ότι όλο το κτίριο πρέπει να έχει αρμονικές αναλογίες, αλλά η διασύνδεση των δωματίων μεταξύ τους (5) «Οπτική Σύνταξη», Ε. Γ. Βακαλό, (6) The problem of harmonic proportion in Architecture. Archtectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower, 1949

8 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 8 χρησιμοποιώντας συστηματικά αρμονικές χαράξεις ήταν η καινοτομία του Palladio.» Έτσι παρατηρούνται αναλογίες δωματίων 2:3, 3:4 και 4:5, σαν μια προσπάθεια να περάσει η αρμονία της μουσικής στην αρχιτεκτονική Οι γεωμετρικές χαράξεις (τα δυναμικά ορθογώνια και το ορθογώνιο της χρυσής τομής) Ένα είδος γεωμετρικής χάραξης είναι τα δυναμικά ορθογώνια ή αλλιώς ορθογώνια τετραγωνικής ρίζας 7. Η γεωμετρική αυτή χάραξη βασίζεται στην ομοιότητα των μορφών. Οι γεωμετρικές μορφές θεωρούνται όμοιες μόνο όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και όλα τα άλλα αντίστοιχα περί αυτές τμήματά τους ανάλογα. Σχήμα 1 Έστω ότι το ΑΒΓΔ είναι ένα τετράγωνο, το ΒΔ το τόξο ενός κύκλου με ακτίνα ίση προς τις πλευρές του τετραγώνου, και ΑΓ η διαγώνιος του τετραγώνου (σχήμα 1). Έστω ότι Ν είναι το σημείο που το τόξο ΒΔ και το τμήμα ΑΓ τέμνονται. Από το Ν θεωρούμε την ΕΖ παράλληλο προς την ΒΓ. Προκύπτει τότε το ορθογώνιο ΑΕΖΔ, του οποίου ο λόγος των πλευρών ΑΕ/ΕΖ ισούται με 2. Το ορθογώνιο αυτό ανήκει στην ομάδα των δυναμικών ορθογωνίων και είναι γνωστό ως ορθογώνιο 2. Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν τα δυναμικά ορθογώνια ΑΗΘΔ (ορθογώνιο 3), ΑΙΚΔ (ορθογώνιο 4), ΑΛΜΔ (7) Βασικά συστήματα αναλογιών, «Οπτική Σύνταξη», Ε.Γ. Βακαλό, 1988.

9 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 9 (ορθογώνιο 5) κ.ο.κ. Ένας άλλος τρόπος προσδιορισμού των δυναμικών ορθογωνίων είναι αυτός που προκύπτει από ένα αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 1 (σχήμα 2). Η διαγώνιός του ΒΔ ισούται με 2. Το ορθογώνιο ΑΕΖΔ, του οποίου η πλευρά ΔΖ=ΒΔ= 2 είναι το ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 2. Ομοίως το ορθογώνιο ΑΗΘΔ, του οποίου ΔΘ=ΔΗ= 3 είναι το ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 3. Το ορθογώνιο ΑΙΚΔ είναι το ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 4 κ.ο.κ. Στην πράξη αυτό σημαίνει ότι το κάθε ένα ορθογώνιο έχει μήκος πλευράς ίσο με τη διαγώνιο του ορθογωνίου από το οποίο προέρχεται. Εφαρμογή του παραπάνω είδους χάραξης συναντάται σε κατόψεις όπου η πλευρά ενός χώρου έχει διάσταση ίση με τη διαγώνιο ένος άλλου χώρου. Έτσι προκύπτει ένα σύστημα σχημάτων που συνδέονται αναλογικά μεταξύ τους με αυτό τον τρόπο. Το ορθογώνιο της χρυσής τομής είναι γνωστό από την αρχαιότητα και έχει χρησιμοποιηθεί εκτεταμένα στην αρχιτεκτονική. Η γεωμετρική κατασκευή της χρυσής τομής ξεκινά από ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς δύο μονάδων (σχήμα 3). Ενώνοντας τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του, το τετράγωνο διαιρείται στα δύο. Καθένα από τα προκύπτοντα ορθογώνια ΑΗΘΔ και ΗΒΓΘ έχει λόγο πλευρών 1:2 και έχει διαγωνίους ίσες προς 5. Χρησιμοποιώντας τη διαγώνιο ΘΒ ως ακτίνα, γράφουμε το τόξο ΒΖ που τέμνει την προέκταση του ΔΓ στο Ζ. Το τμήμα BG= 5-1. Ο λόγος του ΔΓ προς το ΓΖ είναι ΔΓ/ΓΖ = 2/( 5-1) = 2x( 5+1)/4 = ( 5+1)/2 = 1,618 Το προκύπτον ορθογώνιο, το γνωστό ως χρυσό ορθογώνιο, έχει λόγο μήκους προς πλάτος ίσο με 1,618 (θετική ρίζα της εξίσωσης x 2 =x+1). O γεωμετρικός λόγος 1,618 αναφέρεται ως ο χρυσός αριθμός Φ 8. Σχήμα 2 Σχήμα 3 (8) Βασικά συστήματα αναλογιών, «Οπτική Σύνταξη», Ε.Γ. Βακαλό, 1988.

10 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Γεωμετρικός συσχετισμός των επιμέρους χώρων της κατοικίας και της οργάνωσης του συνόλου Συμμετρικές πράξεις πάνω στα επιλεγμένα παραδείγματα κατοικιών, ως ένας τρόπος ερμηνείας των συσχετισμών των επιμέρους χώρων της κατοικίας και της οργάνωσης του συνόλου Η διερεύνηση των γεωμετρικών σχέσεων των επιμέρους χώρων, όσον αφορά στο μέγεθος και τις αναλογίες τους, γίνεται με βάση επιλεγμένα παραδείγματα, τα οποία θεωρούνται αντιπροσωπευτικά. Γενικά, παρατηρείται ότι χώροι όμοιας χρήσης έχουν ανάλογα μεγέθη και συνήθως τοποθετούνται με τέτοιο τρόπο στο σύνολο, ώστε η μεταξύ τους τοποθέτηση να δικαιολογείται με την εφαρμογή κάποιου συμμετρικού μετασχηματισμού ή και συνδυασμού τέτοιων μετασχηματισμών. Ακόμα και αν οι επιμέρους χώροι μιας κατοικίας ή ενός συγκροτήματος κατοικιών, δεν έχουν σχεδιαστεί με συνειδητή εφαρμογή των εν λόγω πράξεων, ξεκινώντας κάθε φορά από τον ένα χώρο και μεταβαίνοντας σε ένα γειτονικό του, είναι αξιοσημείωτη η ύπαρξη τέτοιων σχέσεων στη δομή των εν λόγω κατόψεων. Στο σημείο αυτό γεννιέται ένα ερώτημα: Πού μπορεί να οφείλεται η ύπαρξη τόσο έντονων συμμετρικών διατάξεων; Οι συμμετρικές δομές που προκύπτουν, γεννιούνται σε κάποιο βαθμό και από λειτουργικές ανάγκες; Στο πρώτο ερώτημα, μια απάντηση θα μπορούσε να αναζητηθεί στο πλαίσιο της τυποποίησης που ερευνάται για την παραγωγή των εν λόγω κατοικιών αυτή την εποχή 9. Το θέμα της τυποποίησης άπτεται τόσο της μορφής, όσο και του θέματος της κατασκευής των κατοικιών. Όσον αφορά στο δεύτερο ερώτημα, παρ όλο που απαιτείται ιδιαίτερη διερεύνηση, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η εξοικονόμηση χώρου και η αναζήτηση των βέλτιστων λύσεων που θα ικανοποιούσαν τις απαιτήσεις για υγιεινή, οικονομία και άνεση, βασικά ζητήματα της εποχής που διέπουν τη φιλοσοφία του σχεδιασμού για τους πολλούς, οδηγούν σε αναλογίες χώρων που «κουμπώνουν» μεταξύ τους με βέλτιστο (με οικονομικά και λειτουργικά κριτήρια) τρόπο. (9) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

11 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 11

12 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 12

13 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 13

14 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 14

15 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 15 Από το σχολιασμό της παραπάνω ανάλυσης παρατηρεί κανείς ότι σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις εμφανίζεται έντονα η συμμετρία ως προς άξονα (αντικατοπτρισμός), διαχωρίζοντας έτσι δύο κατοικίες ίσου μεγέθους, στοιχείο που υποδηλώνει την ισότιμη αντιμετώπιση στο σχεδιασμό, των συνόλων που θα τις κατοικήσουν. Επίσης, παρατηρείται η θέσπιση ενός μεγέθους α, ως διάσταση ενός χώρου, και η οργάνωση του συνόλου σύμφωνα με τη διάσταση αυτή (παραδείγματα Γ, Δ). Τέλος, σε μια πιο σύνθετη αντιμετώπιση, σε κάποιες κατόψεις (παραδείγματα Δ, Ε) φαίνεται να ενυπάρχει ένα ορθογώνιο, το οποίο μεταφέρεται και στρέφεται, παράγοντας τελικά το σύνολο της κάτοψης 10. Στον παρακάτω πίνακα (εικόνα 2) φαίνονται κάποιες αναλογίες που παρατηρούνται σε κατόψεις του Palladio 11. Έχει γίνει μια εργασία σχηματοποίησης των κατόψεων, ώστε ο κάθε χώρος να διαβάζεται στο σχέδιο σαν το εσωτερικό ενός ορθογωνίου. Η επανάληψη του ίδιου ορθογωνίου με απλή μεταφορά και στροφή, καθώς και η έντονη συμμετρία ως προς άξονα, θυμίζουν τις συμμετρίες που παρατηρούμε στις προηγούμενες κατοικίες. Είναι απόλυτα λογικό να παρατηρούνται τέτοιου είδους ομοιότητες, αφού το έργο των μεγάλων δημιουργών του παρελθόντος ήταν γνωστό στους σχεδιαστές της εποχής που μελετάμε. Στη συνέχεια, εφαρμόζονται γεωμετρικές χαράξεις, όπως παρουσιάστηκαν προηγουμένως, με κύριο στόχο την εμβάθυνση, στο πλαίσιο πάντα της έρευνας, στο θέμα της αναζήτησης του ωραίου, όπως αυτό αναπτύχθηκε στο εισαγωγικό κεφάλαιο. (10) Πηγή των παραπάνω παραδειγμάτων κατοικιών αποτέλεσε το σύγγραμμα The dwellings of the labouring classes, Henry Roberts. (11) Archtectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower, 1949.

16 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 16 Εικόνα 2: (Πηγή: Architectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower)

17 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Εφαρμογή χαράξεων πάνω κτίριο κατοικίας για μία οικογένεια όψη κάτοψη ορόφου κάτοψη ισογείου Εικόνα 3: Κατοικία για μία οικογένεια. (Πηγή: Habitations Ouvrieres ả la fin du XIX Siecle., Emile Cacheux). Πριν αρχίσει η έρευνα, πρέπει να γίνει σαφές ότι σε όλες τις χαράξεις υπάρχει ένα περιθώριο ανοχής και σφάλματος, το οποίο μπορεί να οφείλεται στο μέγεθος και την ποιότητα της φωτογραφίας ή του σχεδίου, όπου αυτές εφαρμόζονται. Με αυτό ως προϋπόθεση, δεχόμαστε ότι αποκλίσεις των 5-10 cm στις μετρήσεις είναι αμελητέες, προκειμένου να συνεχιστεί η έρευνα. Και στην πράξη άλλωστε, οι γεωμετρικές χαράξεις δεν έχουν εφαρμοστεί ούτε σε σχέδια ούτε στο πραγματικό προϊόν με ακρίβεια, δεδομένου ότι πολλές φορές προκύπτουν αριθμοί με πολλά δεκαδικά ψηφία, οι οποίοι στρογγυλοποιούνται και αριθμητικά και σχεδιαστικά. Στο πρώτο παράδειγμα (εικόνα 3), εκ πρώτης όψεως παρατηρεί κανείς ότι η κάτοψη του κτιρίου είναι σχεδόν τετράγωνη (σχέδιο 1). Πράγματι, υλοποιείται ένα τετράγωνο, αν συμπληρωθεί η γωνία που λείπει στο σχέδιο. Ονομάζουμε το συμπληρωμένο αυτό τετράγωνο ΑΒΓΔ. Η πλευρά του ΑΒΓΔ, σύμφωνα με τις αναγεγραμμένες στο σχέδιο διαστάσεις είναι 6.30 m. Το τετράγωνο ΑΒΓΔ φαί-

18 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 18 νεται να έχει προκύψει από ένα μικρό τετράγωνο αβγδ, του οποίου η πλευρά είναι ίση με 1.50 m, ως εξής: Κατ αρχάς, το τετράγωνο αβγδ είναι το σχήμα που λείπει για να συμπληρωθεί το ΑΒΓΔ. Στη συνέχεια παρατηρούμε ένα δεύτερο τετράγωνο ΑΘΙΚ, με πλευρά 3.00 m, δηλαδή διπλάσιας του μικρού αρχικού σχήματος. Το δεύτερο αυτό τετράγωνο προσδιορίζει το ένα υπνοδωμάτιο στον όροφο της κατοικίας. Στη συνέχεια, και σύμφωνα με τη γεωμετρική μέθοδο των δυναμικών ορθογωνίων της τετραγωνικής ρίζας, από το τετράγωνο ΑΘΙΚ προκύπτει το ορθογώνιο ΑΕΝΚ, με πλευρά ίση προς τη διαγώνιο του τετραγώνου ΑΘΙΚ (περίπου ίση με 4.50 m). Η πλευρά ΕΝ του ΑΕΝΚ επεκτείνεται κατά ΝΖ, ώστε να προκύψει το τετράγωνο ΑΕΖΗ, που ορίζει και τη θέση του σπασίματος του όγκου μέσα στο χώρο. Ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία (των ορθογωνίων της τετραγωνικής ρίζας) για το νέο τετράγωνο ΑΕΖΗ, προκύπτει το ορθογώνιο ΑΒΞΗ και τελικά το τετράγωνο ΑΒΓΔ, που ορίζει το συνολικό όγκο του κτιρίου. Όπως ειπώθηκε και παραπάνω, από τον όγκο αυτό αφαιρείται το μικρό μοναδιαίο τετράγωνο, γενεσιουργό του συνόλου. Μια δεύτερη παρατήρηση είναι το γεγονός ότι τα τόξα ΗΕ και ΔΒ με τον άξονα α που υλοποιείται από τον τοίχο του υπνοδωματίου και της σκάλας, ορίζουν τα χρυσά ορθογώνια ΑΛΜΚ και ΘΛΜΙ. Αυτό έχει ενδιαφέρον, γιατί το τμήμα της κάτοψης έξω από το χρυσό ορθογώνιο ΑΛΜΚ και μέχρι το δεξί όριο της κάτοψης περιγράφει τρία χρυσά ορθογώνια διατεταγμένα καθ ύψος. Παρατηρώντας την όψη του εν λόγω κτιρίου (σχέδιο 2), δημιουργείται κατ αρχάς η απορία γιατί, σε ένα τέτοιο κτίριο που φαίνεται να έχει υλοποιηθεί κατά κόρο το τετράγωνο σχήμα, υπάρχει μικρή διαφορά στο πλάτος της όψης (6.30 m) και στο ύψος του κτιρίου (6.50 m). Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι η κλίση των πλευρών της στέγης είναι 45. Αν υλοποιηθεί το τετράγωνο ΑΒΓΔ, προκύπτει ότι η ποδιά του παραθύρου της στέγης βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο αυτού. Ταυτόχρονα, το πρέκι του βρίσκεται πάνω στην οριζόντιο που διέρχεται από το μέσο Θ της ΑΒ. Προεκτείνοντας την ΟΘ και προς τις δύο κατευθύνσεις, παρατηρούμε ότι διέρχεται από το σημείο Ε του μεγάλου ορθογωνίου, πράγμα αναμενόμενο, αφού η κλίση της στέγης είναι 45. Η θέση της κατακορύφου ΚΝ, που οριοθετεί το μπροστινό όγκο του σπιτιού, μπορεί να προκύψει από το αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ, αν με κέντρο το Ξ, μέσο

19 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 19 της ΒΓ, γράψουμε τεταρτοκύκλιο μέχρι να συνατήσουμε την κάθετο ΞΝ στη ΒΓ. Το σημείο Ν είναι το ένα άκρο της ζητούμενης κατακορύφου. Επίσης, αν προεκτείνουμε τη ΓΔ μέχρι να συναντήσουμε τη ΖΛ στο Μ, παρατηρούμε ότι ο λόγος της ΓΜ προς τη ΒΓ είναι λόγος χρυσής τομής. Μπορούμε λοιπόν να ισχυριστούμε αντιστρόφως ότι η θέση της ΖΛ και συνεπώς η διάσταση 6.30 m έχει προκύψει από το αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ. Μια τελική παρατήρηση για τον κυρίως όγκο του κτιρίου είναι ότι ο μπροστινός όγκος όπως φαίνεται στην όψη, έχει αναλογίες πλευρών ΙΚ:ΚΝ=3:4. Τέλος, το ύψος στο οποίο φτάνει η καμινάδα (σημείο Π στο σχέδιο) βρίσκεται ως σημείο τομής του άξονά της με την προέκταση της ΒΓ. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι τίποτα δεν έχει αφεθεί στην τύχη και όλα συγκροτούνται ξεκινώντας από το τετράγωνο, τόσο σε επίπεδο κάτοψης, όσο και στην όψη. Σχέδιο 1

20 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 20 Σχέδιο 2

21 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Ένα δεύτερο παράδειγμα κατοικίας για μία οικογένεια όψη στο δρόμο κάτοψη ισογείου κάτοψη υπογείου κάτοψη 1 ου ορόφου Εικόνα 4: Σπίτι της Societe Cooperative Ommobiliere. Αρχιτέκτων Stanitas Ferrard. (Πηγή: «Κατοίκιση και Κατοικία», Άννη Βρυχέα). Για τη μελέτη της παρούσας κατοικίας (εικόνα 4) δεχόμαστε όλα τα παραπάνω περί σφαλμάτων της τάξεως των 10 cm. Στην προκειμένη περίπτωση, δεν αναγράφονται οι

22 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 22 διαστάσεις στα σχέδια, διατίθενται όμως καλής ποιότητας σχέδια. Τα αποτελέσματα δεν είναι δυνατόν να δώσουν συγκεκριμένα νούμερα για τις διαστάσεις των χώρων και τον τρόπο που προέκυψαν, αλλά αναλογικές σχέσεις μεταξύ τους, που είναι άλλωστε και το ζητούμενο. Η κάτοψη του συγκεκριμένου σπιτιού (σχέδιο 3), αν ειδωθεί γεωμετρικά, προκύπτει ότι περικλείει ένα χρυσό ορθογώνιο ΑΒΓΔ που ορίζει το χώρο του κλιμακοστασίου και ένα χώρο αναλογιών ΒΕ:ΕΖ=3:4. Αν η κάτοψη χαρακτηρίζεται από μια τέτοια απλότητα, δε συμβαίνει το ίδιο και στην όψη (σχέδιο 4). Κατ αρχάς παρατηρείται έντονη διακοσμητική διάθεση στην όψη, πράγμα που από μόνο του φανερώνει την αναζήτηση του ωραίου στην κατασκευή. Πίσω όμως από τη διακόσμηση, η ίδια η δομή της όψης εμπεριέχει κανόνες που συγκροτούν το τελικό αποτέλεσμα. Η οργάνωσή της ξεκίνησε από την ιδέα να βρεθεί στο κέντρο βάρους της ένα «χρυσό» ορθογώνιο (ΜΝΞΠ). Το κέντρο Ο του ορθογωνίου χωρίζει οριζοντίως την όψη σε δύο εν γένει ορθογώνια (τα ΑΒΛΚ και ΚΛΤΧ), με αναλογίες πλευρών a:b=3: 4. Επίσης, σημαντική είναι η παρατήρηση ότι αν γράψουμε κύκλο με κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΑ, ο κύκλος αυτός διέρχεται από το κεντρικό σημείο Γ της βάσης του κτιρίου. Αν το δούμε λίγο διαφορετικά, το χρυσό ορθογώνιο είναι έτσι τοποθετημένο μέσα στην όψη του κτιρίου, ώστε ο κύκλος με ακτίνα ΟΓ να περνά από τα Α και Β, ορίζοντας έτσι το ύψος του κτιρίου. Στη συνέχεια, αν φέρουμε τις διαγωνίους του χρυσού ορθογωνίου (ΜΞ και ΝΠ), και ονομάσουμε Δ και Ε τα σημεία τομής τους με την ΑΒ, τότε παρατηρούμε ότι οι κατακόρυφες από τα Δ και Ε διέρχονται από τα μέσα των τόξων της όψης. Μάλιστα προκύπτει ότι τα τόξα αυτά είναι τμήματα κύκλων με διάμετρο ίση με τη μεγάλη πλευρά του αρχικού ορθογωνίου. Η δε τομή των κύκλων αυτών ορίζει τη θέση των μεταλλικών υποστυλωμάτων της όψης, τα οποία φέρουν τα εν λόγω τόξα, ενώ η απόσταση d από την εφαπτόμενη του κεντρικού κύκλου και μέχρι την άκρη του κτιρίου είναι ίση με τη μικρή πλευρά του αρχικού χρυσού ορθογωνίου. Και σε αυτή την περίπτωση η οργάνωση ξεκινά από ένα σχήμα με «ωραίες» αναλογίες, οι οποίες με γεωμετρικές πράξεις (χαράξεις) απλώνονται στο σύνολο.

23 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 23 Σχέδιο 3

24 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 24 Σχέδιο 4

25 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Παράδειγμα κατοικίας για τέσσερις οικογένειες πρόσοψη κάτοψη ισογείου Εικόνα 5: Σπίτι για τέσσερις οικογένειες στους στρατώνες του ιππικού στο Hyde Park. (Πηγή: «Κατοίκιση και Κατοικία», Άννη Βρυχέα).

26 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 26 Παρατηρώντας κατ αρχάς την κάτοψη αυτού του σπιτιού (εικόνα 5, σχέδιο 5), δεν ήταν φανερή μία γεωμετρική ιδέα που θα μπορούσε να οδηγήσει στην ανάλυσή της. Προσεγγίζοντας κάθε χώρο χωριστά, με τη βοήθεια του υπολογιστή προκύπτει ότι η αναλογία μήκους προς πλάτος στα δωμάτια των παιδιών είναι 5:6, στο δωμάτιο των γονέων 4:5 και στο καθιστικό 3:4. Εκτός από το ότι η αρμονία των αριθμών 3, 4, 5, 6 έχει μελετηθεί από την αρχαιότητα με αναγωγή στις μουσικές κλίμακες και έχει υιοθετηθεί στο έργο πολλών αρχιτεκτόνων, η παρατήρηση αυτή καθαρά μετρική δεν παρέχει επαρκή πληροφόρηση για την τελική δομή του χώρου σε κάτοψη. Με μια πιο προσεκτική ματιά (το κενό του κλιμακοστασίου βοηθάει σε αυτό) παρατηρούμε ότι στην κάτοψη κρύβονται δύο είδη συμμετριών. Η μία, λίγο πολύ προφανής, που είναι η αντικατοπτρική σχέση των σπιτιών ως προς ένα κεντρικό κατακόρυφο άξονα καθρέφτη, και μια άλλη λιγότερο φανερή. Το σχήμα της κάτοψης μοιάζει να ορίζει την περιφέρεια ενός κύκλου με κέντρο κάπου μέσα στο χώρο του κλιμακοστασίου. Πράγματι, φέρνοντας τις διαγωνίους ΖΝ και ΗΜ του σχήματος και προεκτείνοντάς τες προς τα κάτω μέχρι να τμηθούν, ορίζεται το κέντρο Ο 2 ενός κύκλου που εγγράφεται ακριβώς στο χώρο του κλιμακοστασίου ΘΗΖΕ. Στη συνέχεια, με κέντρο το Ο 2 και ακτίνα Ο 2 Ρ (όπου Ρ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ), ο προκύπτων κύκλος εφάπτεται στις εξωτερικές πλευρές ΑΒ και ΓΔ του κτιρίου. Επιπλέον, αν φέρουμε την οριζόντιο από το Ο 2 και ονομάσουμε Ξ και Π τα σημεία τομής της με τις ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, τότε τα σχήματα ΒΡΟ 2 Ξ και ΡΓΠΟ 2 είναι τετράγωνα. Επίσης, αν από τα σημεία Θ και Ε φέρουμε παράλληλες προς τις αρχικές διαγώνιους ΗΜ και ΖΝ, τότε ο κύκλος από το σημείο τομής (Ο 3 ) των νέων αυτών ευθειών περνάει επίσης από το Ρ. Με τη βοήθεια των δύο αυτών κύκλων μπορούμε να πούμε ότι ορίζεται το βάθος ΗΘ=Ο 2 Ο 3 του κλιμακοστασίου. Ένας άλλος τρόπος να οριστεί η θέση του Ο 2 είναι αν από το κέντρο Ο 1 της κάτοψης φέρουμε κύκλο που να εφάπτεται στους τοίχους των σπιτιών στα σημεία Ψ και Ι. Παρατηρούμε ότι ο κύκλος αυτός περνά στο κατώτερο σημείο του από το Ο 2. Η εφαπτόμενη α στο ανώτερο σημείο του εν λόγω κύκλου τέμνει το μεγάλο κύκλο κέντρου Ο 2

27 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 27 ορίζοντας το διαχωριστικό τοίχο του υπνοδωματίου των γονιών από του ενός παιδιού. Το σημείο τομής του ίδιου κύκλου με τις αρχικές διαγωνίους ΗΜ και ΖΝ ορίζει τις θέσεις των διαχωριστικών τοίχων των υπνοδωματίων των παιδιών. Όσον αφορά στον οριζόντιο διαχωριστικό τοίχο μεταξύ των υπνοδωματίων των παιδιών και του καθιστικού, η θέση του προκύπτει, με μικρή απόκλιση, σε απόσταση από τον κεντρικό οριζόντιο άξονα του κτιρίου περίπου ίση με την απόσταση του άξονα α από τον πίσω τοίχο του σπιτιού. Γενικά, παρατηρούμε ότι η χάραξη με τη βοήθεια κύκλων επεξηγεί τη θέση των εσωτερικών πετασμάτων καθώς και τις αναλογίες του κενού του κλιμακοστασίου. Ως προς την όψη (σχέδιο 6), αν από το κέντρο της Ο 1 γράψουμε κύκλο με ακτίνα την απόσταση μέχρι τη βάση του κτιρίου, ο κύκλος εφάπτεται στις πλευρές ΒΓ και ΕΘ των κατακόρυφων γραμμών της όψης. Τα δε ορθογώνια ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ έχουν αναλογίες πλευρών 3:4, ενώ το ΓΙΚΘ είναι τεράγωνο. Η όψη οργανώνεται με δύο ορθογώνια 3:4, ένα τετράγωνο κεντρικά τοποθετημένο και κάποιες ζώνες πλάτους α που περισσεύουν στις επάνω γωνίες του σχήματος. Αν από τα πρέκια των κάτω παραθύρων φέρουμε μια αξονική γραμμή, η γραμμή αυτή θα τέμνει τον κεντρικό κατακόρυφο άξονα συμμετρίας της όψης στο Ο 2. Η απόσταση Ο 1 Ο 2 είναι ακριβώς ίση με α και ο κύκλος με κέντρο το Ο 2 και ακτίνα μέχρι τη βάση του κτιρίου ορίζει τη θέση των κατακόρυφων γραμμών ΞΝ και ΜΛ της όψης, καθώς και το ύψος του κενού του κλιμακοστασίου. Επίσης, αν αυτός ο τελευταίος κύκλος αντιγραφεί οριζοντίως έτσι, ώστε το κέντρο του να συμπέσει με το μέσο των πρεκιών των κάτω ανοιγμάτων, στο ανώτερο σημείο ορίζει τη θέση των πρεκιών των επάνω παραθύρων. Τέλος, οι ποδιές των κάτω παραθύρων βρίσκονται πάνω σε μια οριζόντιο που διέρχεται από τα σημεία τομής των τελευταίων κύκλων με τα εξωτερικά όρια της όψης. Συνοψίζοντας, τόσο στην κάτοψη όσο και στην όψη, οι θέσεις των ανοιγμάτων και τα σπασίματα του όγκου οργανώνονται με τη χάραξη κύκλων, των οποίων τα κέντρα βρίσκονται στον ίδιο κατακόρυφο άξονα και είναι μετατοπισμένα κατά μια ποσότητα, η οποία υλοποιείται στη μορφή του κτιρίου, στη μεν κάτοψη ως βάθος κλιμακοστασίου, στη δε όψη ως τις επάνω γωνιακές ζώνες.

28 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 28 Σχέδιο 5

29 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 29 Σχέδιο 6

30 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μέσα από την παρούσα έρευνα προέκυψαν συμπεράσματα σχετικά με την επιδίωξη ή μη των αρχιτεκτόνων της εποχής για κατασκευή «ωραίων κτιρίων». Μάλλον πιο σωστό θα ήταν να πει κανείς ότι ενισχύθηκαν οι αρχικές υποθέσεις. Πράγματι, προέκυψε ένας πιθανός τρόπος παραγωγής των συγκεκριμένων κατόψεων και όψεων, και το σκεπτικό που κρύβεται πίσω από τη δομή. Αν αναλογιστούμε το πλαίσιο μέσα στο οποίο εξελίχθηκαν αυτές οι δομές (τις διεθνείς εκθέσεις), παραδεχόμαστε ότι δεν είναι δυνατόν να μην έπαιξε ρόλο στο νεοπαραχθέν προϊόν η έννοια του «ωραίου». Αυτό όμως που πραγματικά έχει ενδιαφέρον είναι από πού ξεκίνησε αυτή η επιδίωξη. Τα θεμέλια τέθηκαν στην έκθεση του 1867, όπου άρχισε να εμφανίζεται η έννοια της βολικής και ευχάριστης κατοίκισης 12. Πώς εξελίχθηκε όμως η αναζήτηση αυτή με το χρόνο; Πώς επεκτάθηκε σε επίπεδο πόλης; Μέχρι πότε η έννοια του ωραίου συμβαδίζει με τη γενικότερη αίσθηση της οργάνωσης και της τάξης; Πρόκειται για ερωτήματα που δίνουν ώθηση για μια νέα διερεύνηση στο εν λόγω πεδίο. Κλείνοντας όμως, πρέπει να τονιστεί ότι στα συγκεκριμένα κτίρια πρέπει να έχουν εφαρμοστεί κανόνες αναλογιών, γνωστοί από το παρελθόν, που οργανώνουν τόσο λειτουργικές σχέσεις στην κάτοψη όσο και αρμονικές σχέσεις στην όψη. 4. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής, Άννη Βρυχέα. 1. The dwellings of the Labouring classes, Henry Roberts. 2. Habitations ouvrieres ả la fin du XIX siecle, Emile Cacheux. 3. Committee on building of model houses, General George M. Sternberg. 4. Habitations a bon marche en France et ả l etranger, Charles Lucas. 5. The smaller english house of the later renaissance , A.E. Richardson, H. Donaldson Eberlein. 6. Palladian and others Venetian villas, Carlo Bestetti. (12) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

31 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Architectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower. 8. Οπτική Σύνταξη, Ε.Γ. Βακαλό, Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και μορφή, Παντελή Ξαγοράρη. Στη μνήμη της καθηγήτριας του Ε.Μ.Π. Άννης Βρυχέα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Απεικόνιση του θέματος στον καθορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2.

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2. ΜΡΟΣ Β 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 1 Ορισμοί μβαδόν τετραγώνου 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α. E α α α μβαδόν ορθογωνίου Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΧΕΔΙΩΝ. Το οικόπεδο μας ανήκει στον κύριο Νίκο Δαλιακόπουλο καθώς και το γειτονικό οικόπεδο.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΧΕΔΙΩΝ. Το οικόπεδο μας ανήκει στον κύριο Νίκο Δαλιακόπουλο καθώς και το γειτονικό οικόπεδο. - 99 - ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΧΕΔΙΩΝ 1. Τοπογραφικό Διάγραμμα : To τοπογραφικό διάγραμμα της δεύτερης αρχιτεκτονικής μελέτης ταυτίζεται με αυτό της πρώτης αρχιτεκτονικής μελέτης εφόσον και οι δυο μελέτες εχουν γίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΕΞΟΧΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Το κτήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Το κτίριο περιγράφεται σχηµατικά από το τρίπτυχο: δοµή, µορφή, περιεχόµενο

Το κτίριο περιγράφεται σχηµατικά από το τρίπτυχο: δοµή, µορφή, περιεχόµενο Το κτίριο περιγράφεται σχηµατικά από το τρίπτυχο: δοµή, µορφή, περιεχόµενο Τύπος είναι µια επαναλαµβανόµενη αναγνωρίσιµη οργανωτική δοµή. εν έχει διαστάσεις και κλίµακα. Βρίσκεται σε διαλεκτική σχέση µε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί-Τάξη Δ Δημοτικού (3 ώρες) Προαπαιτούμενα:

Μετασχηματισμοί-Τάξη Δ Δημοτικού (3 ώρες) Προαπαιτούμενα: Μετασχηματισμοί-Τάξη Δ Δημοτικού (3 ώρες) Προαπαιτούμενα: Α τάξη Β τάξη Γ τάξη Παρατηρούν μετατοπίσεις και στροφές (90 ο, 180 ο, 360 ο ) και μπορούν αν προβλέψουν το αποτέλεσμα. Αναγνωρίζουν συμμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα