Η ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ «ΩΡΑΙΟΥ» ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΕΡΓΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΟΙΚΙΕΣ ΤΟΥ 19 ΟΥ ΑΙΩΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ «ΩΡΑΙΟΥ» ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΕΡΓΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΟΙΚΙΕΣ ΤΟΥ 19 ΟΥ ΑΙΩΝΑ"

Transcript

1 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 Η ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ «ΩΡΑΙΟΥ» ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΕΡΓΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΟΙΚΙΕΣ ΤΟΥ 19 ΟΥ ΑΙΩΝΑ ΝΙΚΟΣ ΚΟΥΡΝΙΑΤΗΣ Αρχιτέκτονας Μηχανικός Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΑΝΝΗ ΒΡΥΧΕΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Η αναζήτηση του ωραίου στα πρώτα δείγματα εργατικής κατοικίας του 19 ου αιώνα Στην εξέλιξη του σχεδιασμού της κατοικίας για τον εργάτη και την οικογένειά του, η οποία πρωτοεμφανίστηκε ως προβληματισμός στις βιομηχανικές εκθέσεις του 19 ου αιώνα, έπαιξε σημαντικό ρόλο η αναζήτηση του «ωραίου». Εδώ πρέπει να αποσαφηνιστεί ότι ο όρος «ωραίο» έχει υιοθετηθεί για να τονιστεί η πρόθεση στο σχεδιασμό να παραχθούν κατοικίες με συσχετίσεις χώρων, εσωτερικό μέτρο και αναλογίες που έχουν μελετηθεί στο παρελθόν και φέρουν την πιστοποίηση του ωραίου αποτελέσματος. Αυτή η μελέτη σχέσεων και αναλογιών από το παρελθόν, ήταν γνωστή στους σχεδιαστές της εποχής που μελετάμε. Όπως θα δούμε στην παρούσα μελέτη, οι τελευταίοι χρησιμοποίησαν τέτοιους κανόνες αναλογιών, μέσα βέβαια στο πλαίσιο της λιτότητας, οικονομικής και αισθητικής, που υπαγόρευε η ιδεολογία της εποχής. Οι κατόψεις και οι όψεις που παρήχθησαν εμπεριέχουν αναλογίες που θυμίζουν τύπους που έχουν μελετηθεί από μεγάλους αρχιτέκτονες του παρελθόντος, όπως ήταν ο Palladio. Παρατηρούνται στοιχεία συμμετρίας και ρυθμού καθώς και συστήματα αναλογιών που αφ ενός δεν είναι πρωτοεμφα-

2 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 2 νιζόμενα, αφ ετέρου έχουν ισχυρό θεωρητικό υπόβαθρο. Δεν πρόκειται τόσο για πιστή αντιγραφή τύπων όσο για την υιοθέτηση ενός λεξιλογίου αναλογιών και μορφολογίας, που είχε στόχο να λειτουργήσει ως συντακτικό εργαλείο των νέων μορφών, παρά ως βιβλιοθήκη δανεισμού στοιχείων. Εικόνα 1: (Πηγή: «Κατοίκιση και Κατοικία», Άννη Βρυχέα). Ο στόχος ήταν να συνταχθούν ωραίες νέες μορφές. Πράγματι, όπως φαίνεται στην εικόνα 1, η μορφή των λυόμενων σπιτιών για οικογένειες εργατών του 1840 έχει σαφείς αναφορές σε αντίστοιχες μορφές που συναντώνται σε έργα του Palladio 1. Στην ανάλυση που ακολουθεί παρατίθενται κάποια παραδείγματα εργατικών κατοικιών, τα οποία διερευνώνται με μια προδιάθεση γεωμετρικοποίησης των μορφών, ενώ ταυτόχρονα γίνονται αναφορές σε παραδείγματα του παρελθόντος με τα οποία κατά κάποιο τρόπο σχετίζονται. Προκύπτουν έτσι γενικές παρατηρήσεις για τη δομή του χώρου (1) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

3 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 3 της κατοικίας, καθώς και για τις συσχετίσεις των επιμέρους χώρων μεταξύ τους, που θα πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις των μελών μέσα στην οικογένεια, που καθορίζονται από τον ίδιο μηχανισμό. Εφαρμόζοντας στα ως άνω αντιπροσωπευτικά παραδείγματα γεωμετρικές αρχές και χαράξεις, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι τέτοιες αρχές έχουν ληφθεί υπ όψιν στο σχεδιασμό τους Πλαίσιο αναφοράς και ανάπτυξης της κατοικίας της εργατικής οικογένειας Από τις πρώτες σχεδιαστικές απόπειρες, η κατοικία για τον εργάτη, όπως αυτή παρουσιάζεται, ως νέο αντικείμενο έρευνας, που ακολουθεί τους κανόνες μιας νέας ιδεολογίας, μέσα στο πλαίσιο των διεθνών βιομηχανικών εκθέσεων (έκθεση του 1887), διέπεται στο σχεδιασμό της από ένα αίσθημα οργάνωσης των πραγμάτων 2. Αυτό το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του σχεδιασμού των εν λόγω κτιρίων απομονώνεται, γιατί θεωρείται θεμελιώδης παράγοντας της κατοικίας που τελικά παράγεται. Η οργάνωση ξεκινά κατ αρχάς από τον επαναπροσδιορισμό του ρόλου του εργάτη στην πόλη, ως κατοίκου ενεργού, στο κέντρο της και όχι στην περιφέρειά της. ως ένα κομμάτι του οργανισμού της πόλης της εποχής. Από μία έρευνα των συνθηκών που καθοδήγησαν το εργατικό σπίτι σε αυτό που τελικά κατέληξε να είναι, μπορεί να συμπεράνει κανείς ότι η οργάνωση λαμβάνει χώρα σε δύο κυρίως επίπεδα. Σε ένα πρώτο επίπεδο, διατυπώνεται σαφώς μια αντίληψη κατοίκισης που οφείλουν να υπηρετούν οι οικογένειες μέλη της κοινωνίας της πόλης. Οι ρόλοι των μελών της οικογένειας και τα σενάρια που καθορίζουν τις μεταξύ τους σχέσεις συγκροτούνται από τις αντιλήψεις για ηθική, υγιεινή και οικονομία. Αργότερα, (έκθεση του 1867) σε αυτά προστίθεται και ο παράγοντας της ευχάριστης και βολικής κατοίκισης, με άξονα τη βελτίωση της ποιότητας των συνθηκών διαβίωσης των πολλών. Συγκεκριμένα, η επιδίωξη για βολική και ευχάριστη κατοίκιση αποβλέπει στο να κρατηθεί ο άντρας στην κατοικία και να μην καταφεύγει στο καπηλειό για τη διασκέδασή του.

4 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 4 Πίσω από τέτοιου είδους στρατηγικές βέβαια κρύβονταν οι αυστηροί κανόνες ηθικής, στους οποίους έπρεπε να υπακούει η κατοικία των πολλών και φυσικά ο σχεδιασμός της. Αξιοσημείωτο είναι ότι ίσως θα έπρεπε ακόμη και να της δοθεί μια «όψη πολυτέλειας», προκειμένου να επιτευχθεί ο σκοπός τους 2. Ο καθορισμός των ρόλων των μελών μέσα στην οικογένεια επεκτείνεται και προσβλέπει στον καθορισμό του ρόλου της οικογένειας και κατ επέκταση των μελών της μέσα στην κοινωνία. Η νέα ιδεολογία που βλέπει την οικογένεια ως κύτταρο της κοινωνίας, προσπαθεί να βελτιώσει την ποιότητα διαβίωσης Ποιος οργανισμός θέλει να συντηρεί άρρωστα κύτταρα; - Πατρονάρει όμως σε ακραίο βαθμό τον τρόπο ζωής των μελών, ώστε να «θυμίζει στρατόπεδο». Η χωρική έκφραση αυτής της ιδεολογίας οδήγησε στις εργατικές κατοικίες, νέο αντικείμενο της εποχής, όπως εκτέθηκαν και εξελίχθηκαν μέσα από το θεσμό των βιομηχανικών εκθέσεων. Μέσα από την έρευνα προέκυψαν διάφοροι τύποι κατοικίας. Το δεύτερο επίπεδο, που μαρτυρά το αίσθημα οργάνωσης της εποχής, ήταν η γένεση της τυπολογίας, ως διερεύνηση των ιδανικών τύπων κατοίκισης. Η έννοια του τύπου κατοικίας και κατοίκισης για εργένη εργάτη, για μία, δύο ή πολλές οικογένειες, άρχισε να διαμορφώνει μια εικόνα για τις επιπτώσεις που θα είχαν για την πόλη οι κατοικίες αυτές. Η σχέση του πλήρους με τον ελεύθερο χώρο, η διάταξη όμοιων ή διαφορετικών κατοικιών κατά μήκος ενός δρόμου και η οργάνωση ενός οικοδομικού τετραγώνου είναι θέματα οργάνωσης. Στο εσωτερικό των εν λόγω κατοικιών παρατηρείται επίσης οργάνωση των χώρων βάσει των αρχών της νέας ιδεολογίας περί ηθικής, υγιεινής, άνεσης και οικονομίας. Οι σχέσεις των χώρων, η διάταξή τους και η όλη οργάνωση παράγει γεωμετρική δομή που βασίζεται σε σύνθεση γεωμετρικών στοιχείων και σχέσεων. Μέσα από τη διερεύνηση των γεωμετρικών σχέσεων, που διέπουν τις συνθέσεις των χώρων στις εργατικές κατοικίες, προέκυψε ότι έχουν εφαρμοστεί γεωμετρικές αρχές, όπως η ισομετρία, οι γεωμετρικές χαράξεις και η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, οι οποίες παρατίθενται, ώστε να μπορούν να ενσωματωθούν στη συνέχεια της μελέτης. (2) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

5 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 5 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ «Η συμμετρία όσο ευρεία ή στενή κι αν οριστεί η έννοιά της, είναι μια ιδέα με την οποία ο άνθρωπος διαμέσου των εποχών προσπάθησε να εννοήσει και να δημιουργήσει την τάξη, την ομορφιά, και την τελειότητα.» (Weyl, 1952:5) Ο όρος «συμμετρία» προέρχεται από τις λέξεις συν και μέτρον. Ο συνδυασμός τους σημαίνει κατά γράμμα «ιδίου μέτρου» ή «σε αναλογία» 3. Η έννοια της συμμετρίας είναι βαθιά συνυφασμένη με την οργάνωση. Συγκεκριμένα είναι οργάνωση με κάποιους κανόνες. Μια πιο γενική έννοια του όρου «συμμετρία» είναι η «ισομετρία». Για την ακρίβεια, ο όρος «συμμετρία» είναι περίπτωση των ισομετριών που μπορεί να προκύψουν εφαρμόζοντας γεωμετρικούς μετασχηματισμούς σε μια μορφή, διατηρώντας αναλλοίωτη τη μορφή. Μετά από την εισαγωγή της θεωρίας των ομάδων από τον E. Galois, η μαθηματική διερεύνηση των ισομετριών οδήγησε στη διατύπωση της άλγεβρας των συμμετριών και τον καταμερισμό σε ομάδες. Έτσι, στο επίπεδο διακρίνουμε επτά ισομετρίες ταινιών και δεκαεπτά ισομετρίες επιπέδου, από τις οποίες προκύπτουν πλακοστρώσεις, ψηφιδωτά και ταπετσαρίες. Οι ισομετρίες ταινιών προκύπτουν από τις περιστροφές, τις μεταφορές, τις συμμετρίες, καθώς και από το συνδυασμό ενός αρχικού σχήματος σε σχέση με μία αρχική ευθεία, η οποία παραμένει αναλλοίωτη. Στον πίνακα ισομετριών που ακολουθεί, επεξηγούνται σχηματικά οι επτά ισομετρίες ταινιών που εφαρμόζονται σε ένα σχήμα 4. Στην πρώτη περίπτωση, το σχήμα επαναλαμβάνεται σε ίσες αποστάσεις «α» και κάθε φορά ταυτίζεται με τον εαυτό του. Η δεύτερη αποτελείται από ένα γινόμενο ισομετριών, μια περιστροφή περί κέντρο και στη συνέχεια μετατόπιση κατά α ή περιστροφή του συνόλου γύρω από το επόμενο κέντρο. Ομοίως και στην τρίτη περίπτωση, το αντικείμενο αντικατοπτρίζεται επί τόπου και στη συνέχεια είτε μετατοπίζεται κατά α, είτε αντικατοπτρίζεται ως προς τον επόμενο άξονα για να βρεθεί στη νέα του θέση. Στην τέταρτη περίπτωση το σχήμα αντικατοπτρίζεται ως προς τον οριζόντιο άξονα και στη συνέχεια το σύνολο μετατοπίζεται κατά «α», ενώ στην (3) «Οπτική Σύνταξη», Ε.Γ. Βακαλό, (4) Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και μορφή, Παντελή Ξαγοράρη.

6 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 6 πέμπτη μόνο το είδωλο κάθε φορά του αρχικού μετατοπίζεται κατά «α» (αντιμετρία). Η έκτη ισομετρία είναι ένας συνδυασμός της τρίτης και τέταρτης. Τέλος, στην έβδομη έχουμε μια ακόμα περίπτωση αντιμετρίας, όπου μόνο το είδωλο του αντικειμένου μετατοπίζεται κάθε φορά κατά «α» (πίνακας 1). Πίνακας 1

7 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 7 3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ «Σκοπός κάθε συστήματος χαράξεων και αναλογιών είναι να δημιουργεί μία αίσθηση τάξης μεταξύ των στοιχείων μιας σύνθεσης» 5. Υπάρχουν πολλά τέτοια συστήματα που έχουν μελέτηθει από τους γεωμέτρες και καλλιτέχνες περιόδων του παρελθόντος. Στο σύνολο των συστημάτων χαράξεων και αναλογιών, οι μαθηματικές αναλογίες (ο αριθμητικός, ο γεωμετρικός και ο αρμονικός μέσος) καθώς και οι γεωμετρικές χαράξεις (χρυσή τομή, δυναμικά ορθογώνια κ.λπ.) εμφανίζονται να συμμετέχουν στην οργάνωση των χώρων των εργατικών κατοικιών του 19 ου αιώνα Μαθηματικές αναλογίες Χρησιμοποιούνται συχνά σαν βάση αναλογικών συστημάτων και αποτελούνται από ακολουθίες αριθμών, ο καθένας εκ των οποίων προέρχεται από τον αμέσως προηγούμενο με ένα σύστημα αριθμητικών πράξεων. Η αρμονική συγκεκριμένα πρόοδος, είναι η πρόοδος της οποίας οι όροι αν αντιστραφούν, δημιουργείται αριθμητική πρόοδος. Παραδείγματα αρμονικών προόδων είναι οι: 3, 4, 6, 6, 8, 12, 9, 12, 18, Παρόμοιες αρμονικές πρόοδοι χρησιμοποιήθηκαν από τον Alberti και τον Palladio. Πράγματι έχει αποδειχθεί ότι οι χώροι στις βίλες του Palladio έχουν διαστάσεις, όρους αρμονικής προόδου. Η λέξη «αρμονία» στις αρμονικές χαράξεις συνδέεται με την αρμονία της μουσικής των αρχαίων Ελλήνων, έτσι που η αναλογία 3:4:6 μπορεί να διαβαστεί σαν διάστημα μιας τετάρτης και μιας πέμπτης στη μουσική 6. Ο Rudolf Wittkover, στο βιβλίο του «Architectural Principles in the Age of Humanism», υποστηρίζει ότι «η χρήση αρμονικών αναλογιών δε σημαίνει απαραίτητα ότι όλο το κτίριο πρέπει να έχει αρμονικές αναλογίες, αλλά η διασύνδεση των δωματίων μεταξύ τους (5) «Οπτική Σύνταξη», Ε. Γ. Βακαλό, (6) The problem of harmonic proportion in Architecture. Archtectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower, 1949

8 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 8 χρησιμοποιώντας συστηματικά αρμονικές χαράξεις ήταν η καινοτομία του Palladio.» Έτσι παρατηρούνται αναλογίες δωματίων 2:3, 3:4 και 4:5, σαν μια προσπάθεια να περάσει η αρμονία της μουσικής στην αρχιτεκτονική Οι γεωμετρικές χαράξεις (τα δυναμικά ορθογώνια και το ορθογώνιο της χρυσής τομής) Ένα είδος γεωμετρικής χάραξης είναι τα δυναμικά ορθογώνια ή αλλιώς ορθογώνια τετραγωνικής ρίζας 7. Η γεωμετρική αυτή χάραξη βασίζεται στην ομοιότητα των μορφών. Οι γεωμετρικές μορφές θεωρούνται όμοιες μόνο όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και όλα τα άλλα αντίστοιχα περί αυτές τμήματά τους ανάλογα. Σχήμα 1 Έστω ότι το ΑΒΓΔ είναι ένα τετράγωνο, το ΒΔ το τόξο ενός κύκλου με ακτίνα ίση προς τις πλευρές του τετραγώνου, και ΑΓ η διαγώνιος του τετραγώνου (σχήμα 1). Έστω ότι Ν είναι το σημείο που το τόξο ΒΔ και το τμήμα ΑΓ τέμνονται. Από το Ν θεωρούμε την ΕΖ παράλληλο προς την ΒΓ. Προκύπτει τότε το ορθογώνιο ΑΕΖΔ, του οποίου ο λόγος των πλευρών ΑΕ/ΕΖ ισούται με 2. Το ορθογώνιο αυτό ανήκει στην ομάδα των δυναμικών ορθογωνίων και είναι γνωστό ως ορθογώνιο 2. Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν τα δυναμικά ορθογώνια ΑΗΘΔ (ορθογώνιο 3), ΑΙΚΔ (ορθογώνιο 4), ΑΛΜΔ (7) Βασικά συστήματα αναλογιών, «Οπτική Σύνταξη», Ε.Γ. Βακαλό, 1988.

9 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 9 (ορθογώνιο 5) κ.ο.κ. Ένας άλλος τρόπος προσδιορισμού των δυναμικών ορθογωνίων είναι αυτός που προκύπτει από ένα αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 1 (σχήμα 2). Η διαγώνιός του ΒΔ ισούται με 2. Το ορθογώνιο ΑΕΖΔ, του οποίου η πλευρά ΔΖ=ΒΔ= 2 είναι το ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 2. Ομοίως το ορθογώνιο ΑΗΘΔ, του οποίου ΔΘ=ΔΗ= 3 είναι το ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 3. Το ορθογώνιο ΑΙΚΔ είναι το ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 4 κ.ο.κ. Στην πράξη αυτό σημαίνει ότι το κάθε ένα ορθογώνιο έχει μήκος πλευράς ίσο με τη διαγώνιο του ορθογωνίου από το οποίο προέρχεται. Εφαρμογή του παραπάνω είδους χάραξης συναντάται σε κατόψεις όπου η πλευρά ενός χώρου έχει διάσταση ίση με τη διαγώνιο ένος άλλου χώρου. Έτσι προκύπτει ένα σύστημα σχημάτων που συνδέονται αναλογικά μεταξύ τους με αυτό τον τρόπο. Το ορθογώνιο της χρυσής τομής είναι γνωστό από την αρχαιότητα και έχει χρησιμοποιηθεί εκτεταμένα στην αρχιτεκτονική. Η γεωμετρική κατασκευή της χρυσής τομής ξεκινά από ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς δύο μονάδων (σχήμα 3). Ενώνοντας τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του, το τετράγωνο διαιρείται στα δύο. Καθένα από τα προκύπτοντα ορθογώνια ΑΗΘΔ και ΗΒΓΘ έχει λόγο πλευρών 1:2 και έχει διαγωνίους ίσες προς 5. Χρησιμοποιώντας τη διαγώνιο ΘΒ ως ακτίνα, γράφουμε το τόξο ΒΖ που τέμνει την προέκταση του ΔΓ στο Ζ. Το τμήμα BG= 5-1. Ο λόγος του ΔΓ προς το ΓΖ είναι ΔΓ/ΓΖ = 2/( 5-1) = 2x( 5+1)/4 = ( 5+1)/2 = 1,618 Το προκύπτον ορθογώνιο, το γνωστό ως χρυσό ορθογώνιο, έχει λόγο μήκους προς πλάτος ίσο με 1,618 (θετική ρίζα της εξίσωσης x 2 =x+1). O γεωμετρικός λόγος 1,618 αναφέρεται ως ο χρυσός αριθμός Φ 8. Σχήμα 2 Σχήμα 3 (8) Βασικά συστήματα αναλογιών, «Οπτική Σύνταξη», Ε.Γ. Βακαλό, 1988.

10 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Γεωμετρικός συσχετισμός των επιμέρους χώρων της κατοικίας και της οργάνωσης του συνόλου Συμμετρικές πράξεις πάνω στα επιλεγμένα παραδείγματα κατοικιών, ως ένας τρόπος ερμηνείας των συσχετισμών των επιμέρους χώρων της κατοικίας και της οργάνωσης του συνόλου Η διερεύνηση των γεωμετρικών σχέσεων των επιμέρους χώρων, όσον αφορά στο μέγεθος και τις αναλογίες τους, γίνεται με βάση επιλεγμένα παραδείγματα, τα οποία θεωρούνται αντιπροσωπευτικά. Γενικά, παρατηρείται ότι χώροι όμοιας χρήσης έχουν ανάλογα μεγέθη και συνήθως τοποθετούνται με τέτοιο τρόπο στο σύνολο, ώστε η μεταξύ τους τοποθέτηση να δικαιολογείται με την εφαρμογή κάποιου συμμετρικού μετασχηματισμού ή και συνδυασμού τέτοιων μετασχηματισμών. Ακόμα και αν οι επιμέρους χώροι μιας κατοικίας ή ενός συγκροτήματος κατοικιών, δεν έχουν σχεδιαστεί με συνειδητή εφαρμογή των εν λόγω πράξεων, ξεκινώντας κάθε φορά από τον ένα χώρο και μεταβαίνοντας σε ένα γειτονικό του, είναι αξιοσημείωτη η ύπαρξη τέτοιων σχέσεων στη δομή των εν λόγω κατόψεων. Στο σημείο αυτό γεννιέται ένα ερώτημα: Πού μπορεί να οφείλεται η ύπαρξη τόσο έντονων συμμετρικών διατάξεων; Οι συμμετρικές δομές που προκύπτουν, γεννιούνται σε κάποιο βαθμό και από λειτουργικές ανάγκες; Στο πρώτο ερώτημα, μια απάντηση θα μπορούσε να αναζητηθεί στο πλαίσιο της τυποποίησης που ερευνάται για την παραγωγή των εν λόγω κατοικιών αυτή την εποχή 9. Το θέμα της τυποποίησης άπτεται τόσο της μορφής, όσο και του θέματος της κατασκευής των κατοικιών. Όσον αφορά στο δεύτερο ερώτημα, παρ όλο που απαιτείται ιδιαίτερη διερεύνηση, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η εξοικονόμηση χώρου και η αναζήτηση των βέλτιστων λύσεων που θα ικανοποιούσαν τις απαιτήσεις για υγιεινή, οικονομία και άνεση, βασικά ζητήματα της εποχής που διέπουν τη φιλοσοφία του σχεδιασμού για τους πολλούς, οδηγούν σε αναλογίες χώρων που «κουμπώνουν» μεταξύ τους με βέλτιστο (με οικονομικά και λειτουργικά κριτήρια) τρόπο. (9) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

11 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 11

12 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 12

13 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 13

14 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 14

15 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 15 Από το σχολιασμό της παραπάνω ανάλυσης παρατηρεί κανείς ότι σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις εμφανίζεται έντονα η συμμετρία ως προς άξονα (αντικατοπτρισμός), διαχωρίζοντας έτσι δύο κατοικίες ίσου μεγέθους, στοιχείο που υποδηλώνει την ισότιμη αντιμετώπιση στο σχεδιασμό, των συνόλων που θα τις κατοικήσουν. Επίσης, παρατηρείται η θέσπιση ενός μεγέθους α, ως διάσταση ενός χώρου, και η οργάνωση του συνόλου σύμφωνα με τη διάσταση αυτή (παραδείγματα Γ, Δ). Τέλος, σε μια πιο σύνθετη αντιμετώπιση, σε κάποιες κατόψεις (παραδείγματα Δ, Ε) φαίνεται να ενυπάρχει ένα ορθογώνιο, το οποίο μεταφέρεται και στρέφεται, παράγοντας τελικά το σύνολο της κάτοψης 10. Στον παρακάτω πίνακα (εικόνα 2) φαίνονται κάποιες αναλογίες που παρατηρούνται σε κατόψεις του Palladio 11. Έχει γίνει μια εργασία σχηματοποίησης των κατόψεων, ώστε ο κάθε χώρος να διαβάζεται στο σχέδιο σαν το εσωτερικό ενός ορθογωνίου. Η επανάληψη του ίδιου ορθογωνίου με απλή μεταφορά και στροφή, καθώς και η έντονη συμμετρία ως προς άξονα, θυμίζουν τις συμμετρίες που παρατηρούμε στις προηγούμενες κατοικίες. Είναι απόλυτα λογικό να παρατηρούνται τέτοιου είδους ομοιότητες, αφού το έργο των μεγάλων δημιουργών του παρελθόντος ήταν γνωστό στους σχεδιαστές της εποχής που μελετάμε. Στη συνέχεια, εφαρμόζονται γεωμετρικές χαράξεις, όπως παρουσιάστηκαν προηγουμένως, με κύριο στόχο την εμβάθυνση, στο πλαίσιο πάντα της έρευνας, στο θέμα της αναζήτησης του ωραίου, όπως αυτό αναπτύχθηκε στο εισαγωγικό κεφάλαιο. (10) Πηγή των παραπάνω παραδειγμάτων κατοικιών αποτέλεσε το σύγγραμμα The dwellings of the labouring classes, Henry Roberts. (11) Archtectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower, 1949.

16 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 16 Εικόνα 2: (Πηγή: Architectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower)

17 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Εφαρμογή χαράξεων πάνω κτίριο κατοικίας για μία οικογένεια όψη κάτοψη ορόφου κάτοψη ισογείου Εικόνα 3: Κατοικία για μία οικογένεια. (Πηγή: Habitations Ouvrieres ả la fin du XIX Siecle., Emile Cacheux). Πριν αρχίσει η έρευνα, πρέπει να γίνει σαφές ότι σε όλες τις χαράξεις υπάρχει ένα περιθώριο ανοχής και σφάλματος, το οποίο μπορεί να οφείλεται στο μέγεθος και την ποιότητα της φωτογραφίας ή του σχεδίου, όπου αυτές εφαρμόζονται. Με αυτό ως προϋπόθεση, δεχόμαστε ότι αποκλίσεις των 5-10 cm στις μετρήσεις είναι αμελητέες, προκειμένου να συνεχιστεί η έρευνα. Και στην πράξη άλλωστε, οι γεωμετρικές χαράξεις δεν έχουν εφαρμοστεί ούτε σε σχέδια ούτε στο πραγματικό προϊόν με ακρίβεια, δεδομένου ότι πολλές φορές προκύπτουν αριθμοί με πολλά δεκαδικά ψηφία, οι οποίοι στρογγυλοποιούνται και αριθμητικά και σχεδιαστικά. Στο πρώτο παράδειγμα (εικόνα 3), εκ πρώτης όψεως παρατηρεί κανείς ότι η κάτοψη του κτιρίου είναι σχεδόν τετράγωνη (σχέδιο 1). Πράγματι, υλοποιείται ένα τετράγωνο, αν συμπληρωθεί η γωνία που λείπει στο σχέδιο. Ονομάζουμε το συμπληρωμένο αυτό τετράγωνο ΑΒΓΔ. Η πλευρά του ΑΒΓΔ, σύμφωνα με τις αναγεγραμμένες στο σχέδιο διαστάσεις είναι 6.30 m. Το τετράγωνο ΑΒΓΔ φαί-

18 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 18 νεται να έχει προκύψει από ένα μικρό τετράγωνο αβγδ, του οποίου η πλευρά είναι ίση με 1.50 m, ως εξής: Κατ αρχάς, το τετράγωνο αβγδ είναι το σχήμα που λείπει για να συμπληρωθεί το ΑΒΓΔ. Στη συνέχεια παρατηρούμε ένα δεύτερο τετράγωνο ΑΘΙΚ, με πλευρά 3.00 m, δηλαδή διπλάσιας του μικρού αρχικού σχήματος. Το δεύτερο αυτό τετράγωνο προσδιορίζει το ένα υπνοδωμάτιο στον όροφο της κατοικίας. Στη συνέχεια, και σύμφωνα με τη γεωμετρική μέθοδο των δυναμικών ορθογωνίων της τετραγωνικής ρίζας, από το τετράγωνο ΑΘΙΚ προκύπτει το ορθογώνιο ΑΕΝΚ, με πλευρά ίση προς τη διαγώνιο του τετραγώνου ΑΘΙΚ (περίπου ίση με 4.50 m). Η πλευρά ΕΝ του ΑΕΝΚ επεκτείνεται κατά ΝΖ, ώστε να προκύψει το τετράγωνο ΑΕΖΗ, που ορίζει και τη θέση του σπασίματος του όγκου μέσα στο χώρο. Ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία (των ορθογωνίων της τετραγωνικής ρίζας) για το νέο τετράγωνο ΑΕΖΗ, προκύπτει το ορθογώνιο ΑΒΞΗ και τελικά το τετράγωνο ΑΒΓΔ, που ορίζει το συνολικό όγκο του κτιρίου. Όπως ειπώθηκε και παραπάνω, από τον όγκο αυτό αφαιρείται το μικρό μοναδιαίο τετράγωνο, γενεσιουργό του συνόλου. Μια δεύτερη παρατήρηση είναι το γεγονός ότι τα τόξα ΗΕ και ΔΒ με τον άξονα α που υλοποιείται από τον τοίχο του υπνοδωματίου και της σκάλας, ορίζουν τα χρυσά ορθογώνια ΑΛΜΚ και ΘΛΜΙ. Αυτό έχει ενδιαφέρον, γιατί το τμήμα της κάτοψης έξω από το χρυσό ορθογώνιο ΑΛΜΚ και μέχρι το δεξί όριο της κάτοψης περιγράφει τρία χρυσά ορθογώνια διατεταγμένα καθ ύψος. Παρατηρώντας την όψη του εν λόγω κτιρίου (σχέδιο 2), δημιουργείται κατ αρχάς η απορία γιατί, σε ένα τέτοιο κτίριο που φαίνεται να έχει υλοποιηθεί κατά κόρο το τετράγωνο σχήμα, υπάρχει μικρή διαφορά στο πλάτος της όψης (6.30 m) και στο ύψος του κτιρίου (6.50 m). Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι η κλίση των πλευρών της στέγης είναι 45. Αν υλοποιηθεί το τετράγωνο ΑΒΓΔ, προκύπτει ότι η ποδιά του παραθύρου της στέγης βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο αυτού. Ταυτόχρονα, το πρέκι του βρίσκεται πάνω στην οριζόντιο που διέρχεται από το μέσο Θ της ΑΒ. Προεκτείνοντας την ΟΘ και προς τις δύο κατευθύνσεις, παρατηρούμε ότι διέρχεται από το σημείο Ε του μεγάλου ορθογωνίου, πράγμα αναμενόμενο, αφού η κλίση της στέγης είναι 45. Η θέση της κατακορύφου ΚΝ, που οριοθετεί το μπροστινό όγκο του σπιτιού, μπορεί να προκύψει από το αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ, αν με κέντρο το Ξ, μέσο

19 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 19 της ΒΓ, γράψουμε τεταρτοκύκλιο μέχρι να συνατήσουμε την κάθετο ΞΝ στη ΒΓ. Το σημείο Ν είναι το ένα άκρο της ζητούμενης κατακορύφου. Επίσης, αν προεκτείνουμε τη ΓΔ μέχρι να συναντήσουμε τη ΖΛ στο Μ, παρατηρούμε ότι ο λόγος της ΓΜ προς τη ΒΓ είναι λόγος χρυσής τομής. Μπορούμε λοιπόν να ισχυριστούμε αντιστρόφως ότι η θέση της ΖΛ και συνεπώς η διάσταση 6.30 m έχει προκύψει από το αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ. Μια τελική παρατήρηση για τον κυρίως όγκο του κτιρίου είναι ότι ο μπροστινός όγκος όπως φαίνεται στην όψη, έχει αναλογίες πλευρών ΙΚ:ΚΝ=3:4. Τέλος, το ύψος στο οποίο φτάνει η καμινάδα (σημείο Π στο σχέδιο) βρίσκεται ως σημείο τομής του άξονά της με την προέκταση της ΒΓ. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι τίποτα δεν έχει αφεθεί στην τύχη και όλα συγκροτούνται ξεκινώντας από το τετράγωνο, τόσο σε επίπεδο κάτοψης, όσο και στην όψη. Σχέδιο 1

20 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 20 Σχέδιο 2

21 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Ένα δεύτερο παράδειγμα κατοικίας για μία οικογένεια όψη στο δρόμο κάτοψη ισογείου κάτοψη υπογείου κάτοψη 1 ου ορόφου Εικόνα 4: Σπίτι της Societe Cooperative Ommobiliere. Αρχιτέκτων Stanitas Ferrard. (Πηγή: «Κατοίκιση και Κατοικία», Άννη Βρυχέα). Για τη μελέτη της παρούσας κατοικίας (εικόνα 4) δεχόμαστε όλα τα παραπάνω περί σφαλμάτων της τάξεως των 10 cm. Στην προκειμένη περίπτωση, δεν αναγράφονται οι

22 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 22 διαστάσεις στα σχέδια, διατίθενται όμως καλής ποιότητας σχέδια. Τα αποτελέσματα δεν είναι δυνατόν να δώσουν συγκεκριμένα νούμερα για τις διαστάσεις των χώρων και τον τρόπο που προέκυψαν, αλλά αναλογικές σχέσεις μεταξύ τους, που είναι άλλωστε και το ζητούμενο. Η κάτοψη του συγκεκριμένου σπιτιού (σχέδιο 3), αν ειδωθεί γεωμετρικά, προκύπτει ότι περικλείει ένα χρυσό ορθογώνιο ΑΒΓΔ που ορίζει το χώρο του κλιμακοστασίου και ένα χώρο αναλογιών ΒΕ:ΕΖ=3:4. Αν η κάτοψη χαρακτηρίζεται από μια τέτοια απλότητα, δε συμβαίνει το ίδιο και στην όψη (σχέδιο 4). Κατ αρχάς παρατηρείται έντονη διακοσμητική διάθεση στην όψη, πράγμα που από μόνο του φανερώνει την αναζήτηση του ωραίου στην κατασκευή. Πίσω όμως από τη διακόσμηση, η ίδια η δομή της όψης εμπεριέχει κανόνες που συγκροτούν το τελικό αποτέλεσμα. Η οργάνωσή της ξεκίνησε από την ιδέα να βρεθεί στο κέντρο βάρους της ένα «χρυσό» ορθογώνιο (ΜΝΞΠ). Το κέντρο Ο του ορθογωνίου χωρίζει οριζοντίως την όψη σε δύο εν γένει ορθογώνια (τα ΑΒΛΚ και ΚΛΤΧ), με αναλογίες πλευρών a:b=3: 4. Επίσης, σημαντική είναι η παρατήρηση ότι αν γράψουμε κύκλο με κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΑ, ο κύκλος αυτός διέρχεται από το κεντρικό σημείο Γ της βάσης του κτιρίου. Αν το δούμε λίγο διαφορετικά, το χρυσό ορθογώνιο είναι έτσι τοποθετημένο μέσα στην όψη του κτιρίου, ώστε ο κύκλος με ακτίνα ΟΓ να περνά από τα Α και Β, ορίζοντας έτσι το ύψος του κτιρίου. Στη συνέχεια, αν φέρουμε τις διαγωνίους του χρυσού ορθογωνίου (ΜΞ και ΝΠ), και ονομάσουμε Δ και Ε τα σημεία τομής τους με την ΑΒ, τότε παρατηρούμε ότι οι κατακόρυφες από τα Δ και Ε διέρχονται από τα μέσα των τόξων της όψης. Μάλιστα προκύπτει ότι τα τόξα αυτά είναι τμήματα κύκλων με διάμετρο ίση με τη μεγάλη πλευρά του αρχικού ορθογωνίου. Η δε τομή των κύκλων αυτών ορίζει τη θέση των μεταλλικών υποστυλωμάτων της όψης, τα οποία φέρουν τα εν λόγω τόξα, ενώ η απόσταση d από την εφαπτόμενη του κεντρικού κύκλου και μέχρι την άκρη του κτιρίου είναι ίση με τη μικρή πλευρά του αρχικού χρυσού ορθογωνίου. Και σε αυτή την περίπτωση η οργάνωση ξεκινά από ένα σχήμα με «ωραίες» αναλογίες, οι οποίες με γεωμετρικές πράξεις (χαράξεις) απλώνονται στο σύνολο.

23 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 23 Σχέδιο 3

24 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 24 Σχέδιο 4

25 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Παράδειγμα κατοικίας για τέσσερις οικογένειες πρόσοψη κάτοψη ισογείου Εικόνα 5: Σπίτι για τέσσερις οικογένειες στους στρατώνες του ιππικού στο Hyde Park. (Πηγή: «Κατοίκιση και Κατοικία», Άννη Βρυχέα).

26 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 26 Παρατηρώντας κατ αρχάς την κάτοψη αυτού του σπιτιού (εικόνα 5, σχέδιο 5), δεν ήταν φανερή μία γεωμετρική ιδέα που θα μπορούσε να οδηγήσει στην ανάλυσή της. Προσεγγίζοντας κάθε χώρο χωριστά, με τη βοήθεια του υπολογιστή προκύπτει ότι η αναλογία μήκους προς πλάτος στα δωμάτια των παιδιών είναι 5:6, στο δωμάτιο των γονέων 4:5 και στο καθιστικό 3:4. Εκτός από το ότι η αρμονία των αριθμών 3, 4, 5, 6 έχει μελετηθεί από την αρχαιότητα με αναγωγή στις μουσικές κλίμακες και έχει υιοθετηθεί στο έργο πολλών αρχιτεκτόνων, η παρατήρηση αυτή καθαρά μετρική δεν παρέχει επαρκή πληροφόρηση για την τελική δομή του χώρου σε κάτοψη. Με μια πιο προσεκτική ματιά (το κενό του κλιμακοστασίου βοηθάει σε αυτό) παρατηρούμε ότι στην κάτοψη κρύβονται δύο είδη συμμετριών. Η μία, λίγο πολύ προφανής, που είναι η αντικατοπτρική σχέση των σπιτιών ως προς ένα κεντρικό κατακόρυφο άξονα καθρέφτη, και μια άλλη λιγότερο φανερή. Το σχήμα της κάτοψης μοιάζει να ορίζει την περιφέρεια ενός κύκλου με κέντρο κάπου μέσα στο χώρο του κλιμακοστασίου. Πράγματι, φέρνοντας τις διαγωνίους ΖΝ και ΗΜ του σχήματος και προεκτείνοντάς τες προς τα κάτω μέχρι να τμηθούν, ορίζεται το κέντρο Ο 2 ενός κύκλου που εγγράφεται ακριβώς στο χώρο του κλιμακοστασίου ΘΗΖΕ. Στη συνέχεια, με κέντρο το Ο 2 και ακτίνα Ο 2 Ρ (όπου Ρ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ), ο προκύπτων κύκλος εφάπτεται στις εξωτερικές πλευρές ΑΒ και ΓΔ του κτιρίου. Επιπλέον, αν φέρουμε την οριζόντιο από το Ο 2 και ονομάσουμε Ξ και Π τα σημεία τομής της με τις ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, τότε τα σχήματα ΒΡΟ 2 Ξ και ΡΓΠΟ 2 είναι τετράγωνα. Επίσης, αν από τα σημεία Θ και Ε φέρουμε παράλληλες προς τις αρχικές διαγώνιους ΗΜ και ΖΝ, τότε ο κύκλος από το σημείο τομής (Ο 3 ) των νέων αυτών ευθειών περνάει επίσης από το Ρ. Με τη βοήθεια των δύο αυτών κύκλων μπορούμε να πούμε ότι ορίζεται το βάθος ΗΘ=Ο 2 Ο 3 του κλιμακοστασίου. Ένας άλλος τρόπος να οριστεί η θέση του Ο 2 είναι αν από το κέντρο Ο 1 της κάτοψης φέρουμε κύκλο που να εφάπτεται στους τοίχους των σπιτιών στα σημεία Ψ και Ι. Παρατηρούμε ότι ο κύκλος αυτός περνά στο κατώτερο σημείο του από το Ο 2. Η εφαπτόμενη α στο ανώτερο σημείο του εν λόγω κύκλου τέμνει το μεγάλο κύκλο κέντρου Ο 2

27 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 27 ορίζοντας το διαχωριστικό τοίχο του υπνοδωματίου των γονιών από του ενός παιδιού. Το σημείο τομής του ίδιου κύκλου με τις αρχικές διαγωνίους ΗΜ και ΖΝ ορίζει τις θέσεις των διαχωριστικών τοίχων των υπνοδωματίων των παιδιών. Όσον αφορά στον οριζόντιο διαχωριστικό τοίχο μεταξύ των υπνοδωματίων των παιδιών και του καθιστικού, η θέση του προκύπτει, με μικρή απόκλιση, σε απόσταση από τον κεντρικό οριζόντιο άξονα του κτιρίου περίπου ίση με την απόσταση του άξονα α από τον πίσω τοίχο του σπιτιού. Γενικά, παρατηρούμε ότι η χάραξη με τη βοήθεια κύκλων επεξηγεί τη θέση των εσωτερικών πετασμάτων καθώς και τις αναλογίες του κενού του κλιμακοστασίου. Ως προς την όψη (σχέδιο 6), αν από το κέντρο της Ο 1 γράψουμε κύκλο με ακτίνα την απόσταση μέχρι τη βάση του κτιρίου, ο κύκλος εφάπτεται στις πλευρές ΒΓ και ΕΘ των κατακόρυφων γραμμών της όψης. Τα δε ορθογώνια ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ έχουν αναλογίες πλευρών 3:4, ενώ το ΓΙΚΘ είναι τεράγωνο. Η όψη οργανώνεται με δύο ορθογώνια 3:4, ένα τετράγωνο κεντρικά τοποθετημένο και κάποιες ζώνες πλάτους α που περισσεύουν στις επάνω γωνίες του σχήματος. Αν από τα πρέκια των κάτω παραθύρων φέρουμε μια αξονική γραμμή, η γραμμή αυτή θα τέμνει τον κεντρικό κατακόρυφο άξονα συμμετρίας της όψης στο Ο 2. Η απόσταση Ο 1 Ο 2 είναι ακριβώς ίση με α και ο κύκλος με κέντρο το Ο 2 και ακτίνα μέχρι τη βάση του κτιρίου ορίζει τη θέση των κατακόρυφων γραμμών ΞΝ και ΜΛ της όψης, καθώς και το ύψος του κενού του κλιμακοστασίου. Επίσης, αν αυτός ο τελευταίος κύκλος αντιγραφεί οριζοντίως έτσι, ώστε το κέντρο του να συμπέσει με το μέσο των πρεκιών των κάτω ανοιγμάτων, στο ανώτερο σημείο ορίζει τη θέση των πρεκιών των επάνω παραθύρων. Τέλος, οι ποδιές των κάτω παραθύρων βρίσκονται πάνω σε μια οριζόντιο που διέρχεται από τα σημεία τομής των τελευταίων κύκλων με τα εξωτερικά όρια της όψης. Συνοψίζοντας, τόσο στην κάτοψη όσο και στην όψη, οι θέσεις των ανοιγμάτων και τα σπασίματα του όγκου οργανώνονται με τη χάραξη κύκλων, των οποίων τα κέντρα βρίσκονται στον ίδιο κατακόρυφο άξονα και είναι μετατοπισμένα κατά μια ποσότητα, η οποία υλοποιείται στη μορφή του κτιρίου, στη μεν κάτοψη ως βάθος κλιμακοστασίου, στη δε όψη ως τις επάνω γωνιακές ζώνες.

28 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 28 Σχέδιο 5

29 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 29 Σχέδιο 6

30 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μέσα από την παρούσα έρευνα προέκυψαν συμπεράσματα σχετικά με την επιδίωξη ή μη των αρχιτεκτόνων της εποχής για κατασκευή «ωραίων κτιρίων». Μάλλον πιο σωστό θα ήταν να πει κανείς ότι ενισχύθηκαν οι αρχικές υποθέσεις. Πράγματι, προέκυψε ένας πιθανός τρόπος παραγωγής των συγκεκριμένων κατόψεων και όψεων, και το σκεπτικό που κρύβεται πίσω από τη δομή. Αν αναλογιστούμε το πλαίσιο μέσα στο οποίο εξελίχθηκαν αυτές οι δομές (τις διεθνείς εκθέσεις), παραδεχόμαστε ότι δεν είναι δυνατόν να μην έπαιξε ρόλο στο νεοπαραχθέν προϊόν η έννοια του «ωραίου». Αυτό όμως που πραγματικά έχει ενδιαφέρον είναι από πού ξεκίνησε αυτή η επιδίωξη. Τα θεμέλια τέθηκαν στην έκθεση του 1867, όπου άρχισε να εμφανίζεται η έννοια της βολικής και ευχάριστης κατοίκισης 12. Πώς εξελίχθηκε όμως η αναζήτηση αυτή με το χρόνο; Πώς επεκτάθηκε σε επίπεδο πόλης; Μέχρι πότε η έννοια του ωραίου συμβαδίζει με τη γενικότερη αίσθηση της οργάνωσης και της τάξης; Πρόκειται για ερωτήματα που δίνουν ώθηση για μια νέα διερεύνηση στο εν λόγω πεδίο. Κλείνοντας όμως, πρέπει να τονιστεί ότι στα συγκεκριμένα κτίρια πρέπει να έχουν εφαρμοστεί κανόνες αναλογιών, γνωστοί από το παρελθόν, που οργανώνουν τόσο λειτουργικές σχέσεις στην κάτοψη όσο και αρμονικές σχέσεις στην όψη. 4. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής, Άννη Βρυχέα. 1. The dwellings of the Labouring classes, Henry Roberts. 2. Habitations ouvrieres ả la fin du XIX siecle, Emile Cacheux. 3. Committee on building of model houses, General George M. Sternberg. 4. Habitations a bon marche en France et ả l etranger, Charles Lucas. 5. The smaller english house of the later renaissance , A.E. Richardson, H. Donaldson Eberlein. 6. Palladian and others Venetian villas, Carlo Bestetti. (12) «Κατοίκιση και Κατοικία, διερευνώντας τα όρια της αρχιτεκτονικής», Άννη Βρυχέα.

31 ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ Architectural principles in the age of humanism, Rudolf Wittkower. 8. Οπτική Σύνταξη, Ε.Γ. Βακαλό, Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και μορφή, Παντελή Ξαγοράρη. Στη μνήμη της καθηγήτριας του Ε.Μ.Π. Άννης Βρυχέα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Απεικόνιση του θέματος στον καθορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΕΞΟΧΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Το κτήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυκατοικία. Γ. Σάββενας. Γιώργος Αρχιτέκτων Μηχ/κος Ε.Μ.Π. Πόλη της Ρόδου (Ανάληψη)

Πολυκατοικία. Γ. Σάββενας. Γιώργος Αρχιτέκτων Μηχ/κος Ε.Μ.Π. Πόλη της Ρόδου (Ανάληψη) Πολυκατοικία Πόλη της Ρόδου (Ανάληψη) Σάββενας Γιώργος Αρχιτέκτων Μηχ/κος Ε.Μ.Π. Αρχιτεκτονική Μελέτη: Γ. Σάββενας Πολιτικός Μηχανικός: Κ. Χριστόπουλος Διακοσμήτρια: Κ. Καλλιγά Σάββενα Φωτογραφίες: Γ.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ 19 Σεπτεμβρίου 2013 ΘΕΜΑ: «ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΤΕΤΑΡΤΗ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΛΑΪΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΤΗΣ ΣΑΝΤΟΡΙΝΗΣ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ι. ΣΤΑΔΙΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ιι. ΣΤΑΔΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ιιι. ΣΥΝΘΕΤΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ & ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΩΝ ΜΝΗΜΕΙΩΝ

ι. ΣΤΑΔΙΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ιι. ΣΤΑΔΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ιιι. ΣΥΝΘΕΤΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ & ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΩΝ ΜΝΗΜΕΙΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ & ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΩΝ ΜΝΗΜΕΙΩΝ ι. ΣΤΑΔΙΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ιι. ΣΤΑΔΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ιιι. ΣΥΝΘΕΤΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟ ι. ΣΤΑΔΙΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ α. Αρχειακή έρευνα β. Βιβλιογραφική έρευνα γ. Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΘΕΜΑ: Σύνθεση με τρία αντικείμενα ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ: Το προς σχεδίαση θέμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η εισαγωγή στην τεχνογνωσία των οπτικών ινών και η μελέτη τους κατά τη διάδοση μιας δέσμης laser. Συγκεκριμένα μελετάται η εξασθένιση που υφίσταται το σήμα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του.

Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του. Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του. σημειώσεις για το μάθημα Εικαστική Σύνθεση 2, του τμήματος ΕΑΔΣΑ στο ΤΕΙ Σερρών. Οι αναφορές στα μοτίβα είναι βασισμένες επάνω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014

1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014 1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014 Συνθεση πινακίδας παρουσίασης συνθετικά και γεωμετρικά στοιχεία Εισαγωγη στην Αρχιτεκτονικη Συνθεση Θεμα 1ο ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ ΓΡΑΦΑΚΟΥ Καθηγήτρια της Σχολης Αρχιτεκτονων Ε.Μ.Π. Εικονογραφηση

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Νεοκλασική μορφολογία και βασικές αρχές δόμησης

Νεοκλασική μορφολογία και βασικές αρχές δόμησης Νεοκλασική μορφολογία και βασικές αρχές δόμησης Βασικές αρχές της αρχιτεκτονικής του νεοκλασικισμού 1. Το δομικό σύστημα που χρησιμοποιείται είναι αυτό της «δοκού επί στύλου», δηλ. κατακόρυφοι φέροντες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

τα μεταλλικά Μια στρώμα. Για την έννοια πως αν και νανοσωματίδια (με εξάχνωση Al). πρέπει κανείς να τοποθετήσει τα μερικές δεκάδες nm πράγμα

τα μεταλλικά Μια στρώμα. Για την έννοια πως αν και νανοσωματίδια (με εξάχνωση Al). πρέπει κανείς να τοποθετήσει τα μερικές δεκάδες nm πράγμα Φραγή Coulomb σε διατάξεις που περιέχουν νανοσωματίδια. Ι. Φραγή Coulomb σε διατάξεις που περιέχουν μεταλλικά νανοσωματίδια 1. Περιγραφή των διατάξεων Μια διάταξη που περιέχει νανοσωματίδια μπορεί να αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΚΡΗΤΙΚΟ ΣΤΕΝΟΜΕΤΩΠΟ ΚΑΜΑΡΟΣΠΙΤΟ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ http://www.ikastiko.gr/ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ: Ένα συνεκτικό και επαρκές σώμα γνώσεων Τα παιδιά να αναγνωρίζουν, να ονομάζουν και εντοπίζουν τόπους στον πραγματικό χώρο, σε απεικόνιση (π.χ. φωτογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ Το κεφάλαιο αυτό γράφτηκε από το Βαγγέλη Δρίβα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την συμμετρία στο επίπεδο. Αυτή έχει την έννοια της μεταφοράς όλων των σημείων ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Το παιχνίδι tangram. PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1. sdoukakis@acg.edu

Το παιχνίδι tangram. PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1. sdoukakis@acg.edu Το παιχνίδι tangram Ανδριανού Αφροδίτη 3, Γεωργιάδης Μάρκος 2, Γεωργιάδης Μάριος 1, Δεσποτάκης Γεράσιμος 2, Καραμπάσης Κλείτος 2, Κουτσιούμπας Ευριπίδης 1, Μελένιου Μιράντα 2, Ξενάκης Αριστοτέλης 1, Παπαβασιλόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Τζ. Τσιτοπούλου, Ι. Χριστακόπουλος] Για

Διαβάστε περισσότερα