1 Diffie-Hellman Key Exchange Protocol

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Diffie-Hellman Key Exchange Protocol"

Transcript

1 1 Diffie-Hellman Key Exchange Potocol To 1976, οι Whitefield Diffie και Matin Hellman δημοσίευσαν το άρθρο New Diections in Cyptogaphy, φέρνοντας επανάσταση στην οποία οφείλεται η λεγόμενη "μοντέρνα κρυπτογραφια". Πριν από αυτή την δημοσίευση, κάθε ουσιώδης κρυπτογραφική τεχνική βασιζόταν σε κάποιο προ-συμφωνημένο κλειδί. Στο άρθρο τους όμως, οι Diffie και Hellman πρότειναν ένα πρωτόκολλο που επέτρεπε σε δύο μεριές, δίχως προηγούμενη επικοινωνία, να καταλήξουν σε κάποιο μυστικό κλειδί μέσω ενός μη ασφαλούς καναλιού. Στην συνέχεια θα εισάγουμε το βασικό πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού των Diffie-Hellman και θα μελετήσουμε την ασφάλειά του παρουσία παθητικών και ενεργητικών αντιπάλων. 1.1 Το πρωτόκολλο Diffie-Hellman Η εικόνα 1 αναπαριστά το απλό πρωτόκολλο Diffie-Hellman ανταλλαγής κλειδιού. Αρχικά, οι δύο πλευρές, η Αλίκη και ο Βασίλης, διαλέγουν τις τιμές x A και x B αντίστοιχα. Καμία μεριά δεν αποκαλύπτει την τιμή της στην άλλη. Αλίκη Κοινή είσοδος: p, m, g Βασίλης x A Z m x B Z m y A g x A mod p y B g x B mod p y A y B k A y x A B mod p k B y x B A mod p Έξοδος k A Έξοδος k B Σχήμα 1: Το πρωτόκολλο Diffie-Hellman ανταλλαγής κλειδιού, όπου p είναι ένας μεγάλος πρώτος και g ένα στοιχείο της ομάδας Z p τάξης m. Ο συμβολισμός x Z m σημαίνει πως το x δειγματοληπτείται σύμφωνα με την ομοιόμορφη κατανομή στο Z m. Παρατηρείστε πως y x A B = y x B A mod p, συνεπώς k A = k B και οι δυο μεριές υπολογίζουν την ίδια τιμή στο Z p. Στην ενότητα?? αναφέραμε το ενδιαφέρον μας στους στόχους, σχεδιασμούς, αρχές, μοντέλα και αποδείξεις κρυπτογραφίας. Ο στόχος ενός πρωτοκόλλου ανταλλαγής κλειδιού είναι να συμφωνήσουν οι δύο πλευρές σε ένα κλειδί παρουσία κάποιου που "κρυφακούει" την συνομιλία. Ο σχεδιασμός που μας ενδιαφέρει είναι το πρωτόκολλο Diffie-Hellman, τα θεμέλια του οποίου βασίζονται στα πρωτόκολλα δειγματοληψίας τυχαίων στοιχείων. Στη συνέχεια θα θέλαμε να μάθουμε πως να μοντελοποιήσουμε την ασφάλεια του πρωτοκόλλου ανταλλαγής κλειδιού και να μελετήσουμε τις απαραίτητες υποθέσεις για να θεωρηθεί η ανταλλαγή κλειδιού Diffie-Hellman αποδείξιμα ασφαλής. 1.2 Σχετικά Αριθμο-Θεωρητικά Προβλήματα Εδώ θα εισάγουμε διάφορα πιθανά δύσκολα προβλήματα της Θεωρίας αριθμών τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξη ασφάλειας του Diffie-Hellman μέσω αναγωγής. Στις επόμενες ενότητες εξετάζουμε τον κατάλληλο ορισμό ασφαλείας και ανάγουμε την επίλυση ενός κατάλληλου προβλήματος Θεωρίας Αριθμών στην παραβίαση της ασφαλείας του πρωτοκόλλου. Definition Για μία πολλαπλασιαστική ομάδα G έστω g G τάξης m και y g. Το πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου (discete logaithm poblem) (ΔΛ (DL)) είναι να βρεθεί ένας ακέραιος x Z m 1

2 τέτοιος ώστε g x = y. Το πρόβλημα έιναι καλά ορισμένο αφού g = {g 0, g 1,..., g m 1 }. Δεν έχουμε απόδειξη πως αυτό το πρόβλημα είναι δύσκολο. Με βάση τις γνώσεις που έχουμε ως τώρα όμως, ο αριθμός απαραίτητων βημάτων για εύρεση λύσης σε αυτό το πρόβλημα είναι υπερ-πολυωνυμικός (supe-polynomial) στο μέγεθος του στοιχείου της ομάδας, αν η ομάδα έχει επιλεγεί κατάλληλα. Definition Δεδομένης μιας κυκλικής ομάδας g τάξης m, g a και g b όπου a, b Z m, το υπολογιστικό Diffie-Hellman πρόβλημα (computational Diffie-Hellman poblem) (ΥDH (CDH)) είναι να υπολογιστεί το g ab. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι ένας αντίπαλος που επιτίθεται στο Diffie-Hellman πρωτόκολλο δεν ενδιαφέρεται για τον διακριτό λογάριθμο. Ο στόχος του είναι να λύσει το YDH. Είναι όμως ξεκάθαρο πως αν ένας αντίπαλος μπορεί να λύσει το ΔΛ έτσι ώστε να βρει το x από το g x, τότε θα μπορούσε να λύσει και το ΥDH μέσω μιας απλής ύψωσης σε δύναμη. Με άλλα λόγια το υπολογιστικό πρόβλημα Diffie-Hellman ανάγεται στο διακριτό λογάριθμο: ΥDH ΔΛ. Lemma Το υπολογιστικό πρόβλημα Diffie-Hellman poblem δεν είναι πιο δύσκολο από τον πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου. Είναι άγνωστο αν το ανάποδο ισχύει. Definition Το πρόβλημα απόφασης Diffie-Hellman (decisional Diffie-Hellman poblem) (ΑDH) είναι το εξής: δεδομένης μιας ομάδας G = g τάξης m και g a, g b, g c, όπου a, b, c Z m, αποφάσισε αν c = ab ή c Z m. Το παραπάνω είναι ένα πολύ ασθενές πρόβλημα αφού ρωτά τον αντίπαλο να αποφανθεί αν το c είναι επιλεγμένο τυχαία. Αν κάποιος μπορούσε να λύσει το ΥDH, θα μπορούσε να λύσει το ΑDH υπολογίζοντας το g ab και συγκρίνοντας το με το g c ; συνεπώς, ΑDH YDH. Lemma Το πρόβλημα απόφασης Diffie-Hellman δεν είναι δυσκολότερο από το υπολογιστικό πρόβλημα Diffie-Hellman. Επιπλέον, το τελευταίο πρόβλημα δεν είναι δυσκολότερο από το πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου. Στη συνέχεια της διάλεξης θα δείξουμε ότι το πρωτόκολλο του Diffie-Hellman είναι ασφάλες βάσει μιας υπόθεσης που σχετίζεται με το πρόβλημα ADH. Μέχρι στιγμής δεν έχουμε προσδιορίσει πως επιλέξαμε την ομάδα. Στην πραγματικότητα έχουμε επιλέξει τις παραμέτρους μας με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε πως τα προβλήματα που προκύπτουν είναι πραγματικά δύσκολα. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει πως το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου λύνεται σε πολυωνυμικό χρόνο αν δεν διαλέξουμε προσεκτικά την ομάδα. Example. Θεωρήστε την ομάδα Z p για κάποιον μεγάλο πρώτο p. Από ένα θεώρημα του Eule, το Z p έχει τάξη p 1. Για το παράδειγμα αυτό θεωρείστε την περίπτωση που το p 1 παραγοντοποιείται σε μικρούς πρώτους q i : p 1 = q 1 q 2 q s. Υπάρχει μια υπο-ομάδα G i τάξης q i. 1 Όρισε τον ομομορφισμό ομάδας f i : Z p G i ως x x p 1/q i και έστω g i = g p 1/q i για κάποιον φιξαρισμένο γεννήτορα g του Z p. Παρατηρείστε πως το g i έχει τάξη q i. Διαλέγουμε κάποιο y = g x mod p. Υψώνοντας και τις δύο μεριές στην δύναμη (p 1)/q i, έχουμε y p 1/qi (g p 1/qi ) x x mod qi gi mod p όπου 1 i s. Επειδή το q i είναι ένας μικρός πρώτος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εξαντλητική αναζήτηση (bute foce) για να λύσουμε το πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου, δηλαδή να βρούμε το σύνολο των αναλογιών x i x mod q i. Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε το x με βάση το κινέζικο θεώρημα υπολοίπων. Για να αποφύγουμε αυτού του είδους την επίθεση, μπορούμε να διαλέξουμε το Zp έτσι ώστε να περιέχει μια μεγάλη υπο-ομάδα. Για παράδειγμα αν p = 2q +1 και ο q είναι πρώτος, υπάρχει μια υπο-ομάδα μεγέθους q που μπορούμε να χρησιμομοποιήσουμε για να τρέξουμε το πρωτόκολλο Diffie-Hellman. Η μεγαλύτερη ομάδα μέσα στο Zp που υπάρχει περίπτωση ο διακριτός λογάριθμος να είναι γενικά δύσκολος είναι τα τετραγωνικά υπόλοιπα του Z p. 1 Η ύπαρξη μιας τέτοιας υπο-ομάδας είναι εγγυημένη από το θεώρημα Cauchy. 2

3 Definition Το τετραγωνικό υπόλοιπο (quadatic esidue) του G είναι η υπο-ομάδα που αποτελείται από όλα τα y G τέτοια ώστε υπάρχει x G με x 2 = y. Όταν G = Z n, γράφουμε το τετραγωνικό υπόλοιπο ως QR(n). Στην συγκεκριμένη περίπτωση G = Z p για κάποιον πρώτο p, QR(p) = g 2 ενός γεννήτορα g του G. Η ομάδα QR(p) έχει ακριβώς τα μισά στοιχεία της ομάδας G. Είναι το μεγαλύτερη γνήσια υπο-ομάδα του Z p. Η απεικόνιση x x p 1 2 είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην συγεκριμένη περίπτωση. Είναι εύκολο να δει κανείς πως η εικόνα της απεικόνισης είναι {1, 1}. Αποδεικνύουμε το επόμενο χρήσιμο αποτέλεσμα σχετικά με τα τετραγωνικά υπόλοιπα. Lemma Θεωρείστε κάποιο a Z και p 3 mod 4. Ισχύει πως a p 1 2 = 1 mod p αν και μόνο αν a QR(p). Απόδειξη. Για την ευθεία κατεύθυνση, υποθέστε πως υπάρχει κάποιο a p 1 2 = 1 mod p. Έστω y = a p+1 4 mod p. Τότε έχουμε πως y 2 = a p+1 2 = a p 1 2 a = a mod p Δεδομένου ότι y 2 = a mod p παίρνουμε a QR(p). Για την ανάποδη κατεύθυνση, αν a QR(p), δηλαδή y 2 1 mod p. = a mod p έχουμε πως a p 1 2 = y p 1 = Παρατηρείστε πως η απόδειξη του λήμματος είναι κατασκευαστική, δηλαδή μας δίνει και έναν τρόπο να κατασκευάσουμε τις ρίζες ενός τετραγωνικού υπολοίπου του p. Πράγματι, δεδομένου ενός a και δύο ρίζες του a υπόλοιπο p υπολογίζονται ως ±a p+1 4 mod p. 1.3 Γεννήτορες ομάδας Definition Ένας γεννήτορας ομάδας (goup geneato) GGen είναι ένας πιθανοτικός αλγόριθμος που παράγει μια περιγραφή μιας πεπερασμένης ομάδας G δεδομένου ενός μήκους λ. Το λιγότερο, η περιγραφή περιέχει ένα στοιχείο της ομάδας, μια πράξη στην ομάδα και έναν τρόπο (αλγόριθμο) ελέγχου ενός στοιχείου αν είναι μέλος της ομάδας. Example. Διαλέγουμε το Z p να είναι η ομάδα μας για κάποιο πρώτο p μήκους λ. Ο GGen επιστρέφει ένα στοιχείο g τάξης m, όπου m είναι μια συνάρτηση των λ και p. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός υπόλοιπό p και αν ένας ακέραιος είναι μεταξύ 0 και p 1, θεωρείτε μέλος της ομάδας. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος GGen με είσοδο 1 λ μπορεί να υπολογίσει ένα τυχαίο αριθμό p της μορφής 3k +4 που έχει λ bits, μετά να ελέγξει άν p είναι πρώτος. Αν όχι, διαλέγει άλλο p, αλλιώς ελεγχει άν (p 1)/2 είναι πρώτος, αν όχι διαλέγει άλλο p. Όταν βρεθεί το κατάλληλο p, διαλέγει ένα αριθμό a {2,..., p 2} στην τύχη και υπολογίζει το a (p 1)/2 mod p. Αν αυτή η τιμή είναι 1 τότε διαλέγει άλλο a. Αλλιώς θέτει g = a 2 mod p. Η έξοδος του αλγόριθμου GGen είναι οι τιμές (p, g, m = (p 1)/2). 1.4 Η υπόθεση προβλήματος απόφασης Diffie-Hellman Διαισθητικά, το ΑDH υποθέτει πως είναι δύσκολο να διακρίνει κανείς πλειάδες της μορφής G, m, g, g a, g b, g ab και G, m, g, g a, g b, g c, όπου το g ανήκει σε κάποιο πολλαπλασιαστική ομάδα και τα a, b και c είναι τυχαία επιλεγμένες δυνάμεις. Definition Ένας γεννήτορας GGen λέμε πως ικανοποιεί την υπόθεση απόφασης Diffie-Hellman (decisional Diffie-Hellman assumption) αν τα σύνολα πιθανοτήτων {D λ } λ N και {R λ } λ N είναι υπολογιστικά αδιαχώριστα. { } D λ := G, m, g GGen(1 λ ); a, b Z m : (G, m, g a, g b, g ab ) { } R λ := G, m, g GGen(1 λ ); a, b, c Z m : (G, m, g a, g b, g c ) 3

4 όπου m = od(g). Αντίστοιχα, αν A είναι ένα στατιστικό τεστ που η υπολογιστική του ισχύς φράσσεται από πολυωνυμικό χρόνο με δυνατότητα χρήσης πιθανοτήτων ( pobabilistic polynomial-time (PPT)) ισχύει πως Adv A (λ) = Pob [A(γ) = 1] Pob [A(γ) = 1] γ D λ γ R λ είναι αμελητέο στο λ. Το Adv A ονομάζετε το πλεονέκτημα (advantage) of A. 1.5 Μοντελοποίηση της Ασφάλειας έναντι Παθητικών Αντιπάλων Όταν ορίζουμε την ασφάλεια, είναι σημαντικό να λαμβάνουμε υπ' όψη τον αναμενόμενο αντίπαλο. Στην ενότητα αυτή εστιάζουμε στου παθητικούς αντιπάλους. Ένας τέτοιος αντίπαλος "κρυφακούει" το κανάλι επικοινωνίας και προσπαθεί να εξάγει πληροφορία για το κλειδί χωρίς να παρεμβαίνει. Πριν μελετήσουμε τους ορισμούς ασφαλείας, καθιερώνουμε κάποιους κοινούς συμβολισμούς. Έστω tans A,B (1 λ ) η κατανομή των καταγραφών των αλληλεπιδράσεων μεταξύ δύο παικτών A και B. Στο πρωτόκολλο Diffie-Hellman, η καταγραφή συμπεριλαμβάνει την κοινή είσοδο και κάθε ανταλλαγή πληροφορίας. Το κοινό κλειδί που παράγεται στο τέλος της καταγραφής τ συμβολίζεται ως key(τ). Τέλος, το κατηγόρημα V είναι ένας αλγόριθμος που η έξοδοι του είναι 1 και 0 (Tue και False). Μοντέλο Ασφάλειας 1 Το πιο προφανές μοντέλο ασφαλείας για κάθε ανταλλαγή κλειδιού ορίζει πως το πρωτόκολλο για να είναι ασφαλές πρέπει ο αντίπαλος να μην μπορεί να λάβει μέρος του κλειδιού. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε PPT αντιπάλους 2 A, Pob [A(τ) = key(τ)] τ tans A,B (1 λ ) είναι αμελητέα συνάρτηση στο λ. Σε αυτό το μοντέλο, είναι εύκολο ένας αντίπαλος να εξάγει πληροφορία για ένα μικρό μέρος του κλειδιού. Γι' αυτό το λόγο το μοντέλο είναι ανεπαρκές. Ο αριθμός των bits που προστατεύονται σε αυτό το μοντέλο μπορεί να είναι μόνο log 2 (λ). Μοντέλο Ασφάλειας 2 Για κάθε PPT αντίπαλο A και κατηγορήματα V, ορίζουμε πως μια ανταλλαγή κλειδιού είναι ασφαλής αν Pob [A(τ) = V (key(τ))] 1 τ tans A,B (1 λ ) 2 + negl(λ) για κάποια αμελητέα συνάρτηση negl(λ). Αυτό το μοντέλο είναι ιδανικό, διότι αν το πρωτόκολλό μας είναι ασφαλές, ένας αντίπαλος δεν μπορεί να ανακαλύψει καμία πληροφορία για το κλειδί. Δυστυχώς, το παραπάνω μοντέλο δεν είναι ρεαλιστικό. Θα δούμε γιατί παρακάτω προσπαθώντας να αποδείξουμε ότι το DH πρωτόκολλο είναι ασφαλές. Υποθέστε πως το μοντέλο αυτό ορίζει την ασφάλεια και υπάρχει ένα PPT αντίπαλος A ικανός να σπάσει το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού. Τότε υπάρχει ένα κατηγόρημα V τέτοιο ώστε Pob [A(τ) = V (key(τ))] 1 τ tans A,B (1 λ ) 2 + α, όπου α μη αμελητέο. Έστω B ένα στατιστικό τεστ ΑDH τέτοιο ώστε, δεδομένου γ = G, m, g, a, b, c, B χρησιμοποιεί γ για να κατασκευάσει μια καταγραφή τ γ = G, m, g, a, b. B και προσομοιώνει τον A στο τ γ για να λάβει το αποτέλεσμά του S. Ο B θα επιστρέψει 1 αν V (c) = S και 0 αν V (c) S. Όταν το c είναι ένα τυχαίο στοιχείο της κυκλικής ομάδας G, έστω Pob[V (c) = 1] = δ. 2 Θα λέμε αντίπαλο εννοώντας οποιονδήποτε PPT αλγόριθμο. 4

5 1. Αν γ D λ, τότε c = key(τ γ ) και Pob γ D λ [B(γ) = 1] α. 2. Αν γ R λ, τότε c G και Pob [B(γ) = 1] = Pob [A(G, m, g, a, b) = V (c)] γ R λ G,m,g,a,b,c R λ = Pob[A(τ γ ) = V (c)] = Pob[A(τ γ ) = V (c) V (c) = 1] Pob[V (c) = 1] Pob[A(τ γ ) = V (c) V (c) = 0] Pob[V (c) = 0] = Pob[A(τ γ ) = 1] Pob[V (c) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0] Pob[V (c) = 0] Στην ειδική περίπτωση όπου δ = 1/2, έχουμε πως Βλέποντας την υπόθεση DDH, Pob [B(γ) = 1] = (Pob[A(τ γ ) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0]) 1 γ R λ 2 = 1 2. Adv B ( ) α 1 2 = α. Επειδή το α είναι μη αμελητέο, ο B παραβιάζει την υπόθεση ΑDH δοθέντος του A και ισχύει δ = 1/2. Όταν όμως δ 1/2, είναι εύκολο να βρούμε V που ο αντίπαλος μπορεί να μαντέψει με πιθανότητα καλύτερη από 1/2 (π.χ., V μπορεί να είναι το ``ή'' των δύο πρώτων bits του c). Ως αποτέλεσμα, όλα τα σχήματα αποτυγχάνουν στο αφύσικα ισχυρό μοντέλο. Μοντέλο Ασφάλειας 3 Το παραπάνω παράδειγμα μας έδειξε οτι οι απαιτήσεις που είχαμε στο μοντέλο ασφάλειας ήταν μη ρεαλιστικές. Εδώ μελετούμε το μοντέλο στο οποίο η ασφάλεια του πρωτοκόλλου ανταλλαγής κλειδιού μπορεί να αποδειχθεί. Αυτό ορίζει την παθητική ασφάλεια. Πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι ο αντίπαλος να καταλάβει κάποια συνάρτηση ενός μέρος του κλειδιού με πιθανότητα καλύτερη από 1/2, συνεπώς έστω Pob [V (key) = 1] = δ, key Key(1 λ ) όπου Key(1 λ ) είναι η πιθανοτική κατανομή του πεδίο ορισμού του κλειδιού για το πρωτόκολλο με παράμετρο 1 λ ( δηλαδή η τυχαία μεταβλητή key(tans A,B (1 λ )). Μπορεί εύκολα να διαπιστώσει κανεις πως στη περίπτωση της ανταλλαγής κλειδιού Diffie Hellman ισχύει πως το Key(1 λ ) ισούται με ένα ομοιόμορφα επιλεγμένο στοιχείο της ομάδας g. Στη συνέχεια ορίζουμε πως το πρωτόκολλο είναι ασφαλές αν ισχύει πως Υποθέτουμε ότι Pob [A(τ) = V (key(τ))] max {δ, 1 δ} + negl(λ). τ tans A,B (1 λ ) Pob [B(γ) = 1] max {δ, 1 δ} + α γ D λ για μη αμελητεο α. Χρησιμοποιώντας αυτό δείχνουμε πως Pob γ R λ [B(γ) = 1] max {δ, 1 δ}: 5

6 Pob [B(γ) = 1] = Pob[A(τ γ ) = 1] Pob[V (c) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0] Pob[V (c) = 0] γ R λ = Pob[A(τ γ ) = 1]δ + Pob[A(τ γ ) = 0](1 δ) Pob[A(τ γ ) = 1](max {δ, 1 δ}) + Pob[A(τ γ ) = 0](max {δ, 1 δ}) = (Pob[A(τ γ ) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0]) max {δ, 1 δ} = max {δ, 1 δ}. Βασιζόμενοι στο παραπάνω αποδεικνύουμε το παρακάτω θεώρημα. Theoem Επειδή η υπόθεση ΑDH είναι αληθής, το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman είναι ασφαλές έναντι παθητικών αντιπάλων στο μοντέλο Ασφαλείας Κατάλληλοι γεννήτορες ομάδων για την υπόθεση ΑDH Σε αυτή την ενότητα, εξετάζουμε την υπόθεση ΑDH σε δύο ομάδες. Πρώτον θεωρείστε g = Z p για κάποιον μεγάλο πρώτο p. Αυτή η ομάδα είναι πιθανώς μια κακή επιλογή. Στην πραγματικότητα μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν PPT αλγόριθμο A όπως στην εικόνα 2 που "σπάει" την υπόθεση ΑDH. Αλγόριθμος A(p, m, g, a, b, c) Αν (a m/2 = 1 b m/2 = 1) (c m/2 = 1) τότε επέστρεψε 1 διαφορετικά επέστρεψε 0 Σχήμα 2: Ένας PPT αλγόριθμος που "σπάει" την υπόθεση ΑDH όταν g = Z p, a, b, c g, και m = od(g) είναι άρτιος. Από το θεώρημα του Eule, το Z p έχει τάξη m = p 1. Επειδή το p είναι περιττό για κάθε πρώτο μεγαλύτερο του 2, το m είναι περιττό για κάθε μη τετριμμένη ομάδα. Έστω γ = p, m, g, a, b, c όπου a = g x, b = g y, and c = g xy. Αν x είναι άρτιος, θέτουμε x = 2k για κάποιο k Z. Τότε a m/2 = (g x ) m/2 = g km = 1. Αν το x είναι περιττό, θέτουμε x = 2j + 1 για κάποιο j Z. Τότε a m/2 = (g 2j+1 ) m/2 = g m/2 = 1. Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει για το g y ανάλογα αν το y είναι άρτιο ή περιττό. Αν το xy είναι άρτιο ή περιττό εξαρτάται από τα x και y, συνεπώς c m/2 = (g xy ) m/2 = 1 εφόσον ένα από τα δύο το x ή το y είναι άρτιο. Γι' αυτό ισχύει πως Pob γ D [A(γ) = 1] = 3 4. Αν διαφορετικά γ R, συνεπώς c = g z για τυχαία επιλεγμένο z, υπάρχει ίση πιθανότητα το z να είναι άρτιο ή περιττό. Έτσι Pob [A(γ) = 1] = 3 γ R 8. Βασιζόμενοι σε αυτήν την πληροφορία συμπεραίνουμε πως Adv A = =

7 Σε μια ιδανική περίπτωση, και οι δυο πιθανότητες είναι κοντά στο 1/2, συνεπώς η διαφορά του είναι αμελητέα. Επειδή το Adv A = 3/8, ο A μπορεί να διαχωρίσει τις δύο πλειάδες. Συνεπώς είναι αναποτελεσματικό να εφαρμόσουμε ανταλλαγή κλειδιού στην ομάδα του Z p. Μια ομάδα που μπορούμε να φτιάξουμε ανταλλαγή κλειδιού είναι τα τετραγωνικά υπόλοιπα QR(p) του Z p. Για παράδειγμα, αν p = 2q + 1 για κάποιο πρώτο q, το QR(p) έχει τάξη q. Με βάση τις υπάρχουσες γνώσεις, είναι μια επαρκής ομάδα. Θυμίζουμε πως το QR(p) = g 2 για κάποιον γεννήτορα g του Z p είναι κυκλική ομάδα περιττής τάξης 1.7 Τροποποιημένο πρωτόκολλο Diffie-Hellman Στην υπόθεση ΑDH, το κλειδί που παράγεται είναι ένα τυχαίο στοιχείο της ομάδας g. Δυστυχώς δεν είναι ξεκάθαρο τι μπορεί κανεις να κάνει με ένα τυχαίο στοιχείο της ομάδας g (για να δείτε το πρόβλημα σκεφτείτε την εξής άσκηση: φτιάξτε ένα αλγόριθμο που παράγει ένα 10 τυχαία bits με μόνη τυχαιότητα την λειτουργία y g ). Αυτό είναι προβληματικό στην χρήση του κλειδιού σε κρυπτογραφικές εφαρμογές. Εδώ θα δούμε πως να εξάγουμε έναν τυχαίο ακέραιο από το τυχαίο στοιχείο της ομάδας. Αυτό μας βοηθάει αφού γνωρίζουμε την δομή των ακεραίων. Μια προσέγγιση είναι να ορίσουμε ένα κατηγόρημα V τέτοιο ώστε Pob x g [V (x) = 1] = 1/2. Το V τότε ορίζει ένα τυχαίο bit από την οπτική γωνία του αντιπάλου. Δεν είναι όμως ξεκάθαρο, πως να βρούμε ένα τέτοιο κατηγόρημα. Θα πρέπει κανείς να καταλάβει πλήρως τη δομή της ομάδας για να ξεχωρίσει πιο bit είναι τυχαίο. Έστω τώρα: H : Z m QR(p) με x (x + 1) 2 mod p. Αυτή η απεικόνιση είναι αμφιμονοσήμαντη (ένα-προς-ένα και επί). Για να δείξουμε πως είναι ένα-προς-ένα, υποθέτουμε πως H(x) = H(y) για κάποια x, y Z m. Τότε (x + 1) 2 (y + 1) 2 mod p (x + 1) 2 (y + 1) 2 0 mod p x 2 + 2x 2y y 2 0 mod p (x y)(x + y + 2) 0 mod p. Συνεπώς είτε x y 0 mod p ή x + y mod p. Αφού x, y Z m, έχουμε πως 0 x, y m 1. Τότε x + y + 2 2(m 1) + 2 = 2m < 2m mod p. Συνεπώς x + y mod p, που σημαίνει πως x y 0 mod p, ή αντίστοιχα x y mod p. Αφού x, y Z m Z p, ισχύει πως x = y, δείχνοντας πως το H είναι ένα-προς-ένα. Η H είναι επί χρησιμοποιώντας αυτή την αντίστροφη απεικόνιση για κάθε y QR(p), { H 1 y p+1/4 mod p 1, if y p+1/4 mod p {1, 2,..., m} (y) = p y p+1/4 mod p 1, othewise. Χρησιμοποιώντας αυτό μπορούμε να τροποποιήσουμε το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού όπως φαίνεται στην εικόνα 3. Στο τροποποιημένο πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση H για να μεταβούμε από ένα τυχαίο στοιχείο της ομάδας που δεν γνωρίζουμε την δομή της επακριβώς σε κάποιο τυχαίο ακέραιο υπόλοιπο m. 7

8 Κοινή είσοδος: p, m, g Alice Bob x A Z m x B Z m y A g x A mod p y B g x B mod p y A y B k A H 1 (y x A B mod p) k B H 1 (y x B A mod p) Έξοδος k A Έξοδος k B Σχήμα 3: Το τροποποιημένο πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman όπου ο p είναι ένας μεγάλος πρώτος, ο g είναι γεννήτορας της ομάδας QR(p) τάξης m, και H : Z m QR(p) με x (x + 1) 2 mod p. Άσκηση: Δείξαμε πως να βρούμε ένα τυχαίο στοιχείο στο Z m. Αυτό μας βοηθά στις κρυπτογραφικές εφαρμογές που χρειάζονται έναν ακέραιο υπόλοιπο m σαν κλειδί. Οι περισσότερες εφαρμογές όμως, απαιτούν πως το κλειδί είναι μια συμβολοσειρά από bit. Δείξτε πως μπορούμε να εξάγουμε τη μεγαλύτερη δυνατή bit συμβολοσειρά από έναν ακέραιο υπόλοιπο m. Είναι ενδιαφέρον να αναφέρουμε πως σε ένα κλειδί με λ bits key, η πιθανότητα το λιγότερο σημαντικό bit (least significant bit) να είναι ένα είναι κοντά στο 1/2, ενώ η πιθανότητα το περισσότερο σημαντικό bit (most significant bit) να είναι ένα μπορεί να απέχει αρκετά από το 1/ Ισχυρότεροι Αντίπαλοι Παρόλο που το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman όπως δίνεται στην ενότητα 1.7, είναι ασφαλές έναντι ενός αντιπάλου που απλά "κρυφακούει", δεν παραμένει ασφαλές απέναντι σε πιο ενεργητικούς αντιπάλους. Στην εικόνα 3, δείχνουμε την man-in-the-middle attack στην οποία ο αντίπαλος, Μάγδα, συμμετέχει στην ανταλλαγή πληροφορίας της Αλίκης και του Βασίλη. Ο αντίπαλος τώρα είναι το ίδιο το επικοινωνιακό κανάλι. Η Μάγδα μπορεί να εμβάλει μηνύματα στην συζήτηση και να υποδυθεί την ταυτότητα μιας από της μεριές στην άλλη. Για να το καταφέρει η Μάγδα κατασκευάζει δύο κλειδιά, ένα για να μοιράζεται με την Αλίκη και ένα με τον Βασίλη. Αυτή η επίθεση αιτιολογεί την ανάγκη για ταυτοποίηση και ελέγχου ταυτοποίησης σε κάθε ανταλλαγή. Στη συνέχεια θα εισάγουμε τις ψηφιακές υπογραφές, ένα σημαντικό κρυπτογραφικό σχήμα, που είναι απαραίτητο εργαλείο απέναντι σε τακτικές σαν την επίθεση man-in-the-middle. Κοινή είσοδος: p, m, g Αλίκη Μάγδα Βασίλης x A Z m x M, x M Z m x B Z m y A g x A mod p y M g x M mod p y B g x B mod p y M g x M mod p y A y M y M y B k A H 1 (y x A M mod p) k M H 1 (y x M A mod p) k B H 1 (y x B M mod p) k M H 1 (y x M B mod p) Έξοδος k A Έξοδος k M, k M Έξοδος k B Σχήμα 4: Η επίθεση ``man-in-the-middle" έναντι του πρωτοκόλλου ανταλλαγης κλειδιού Diffie-Hellman. Επιμέλεια σημειώσεων Αγγλικά: S. Pehlivanoglu, J. Todd, & H.S. Zhou. Ελληνικά : Μ. Πουντουράκης. 8

1 Ψηφιακές Υπογραφές. 1.1 Η συνάρτηση RSA : Η ύψωση στην e-οστή δύναμη στο Z n. Κρυπτογραφία: Αρχές και πρωτόκολλα Διάλεξη 6. Καθηγητής Α.

1 Ψηφιακές Υπογραφές. 1.1 Η συνάρτηση RSA : Η ύψωση στην e-οστή δύναμη στο Z n. Κρυπτογραφία: Αρχές και πρωτόκολλα Διάλεξη 6. Καθηγητής Α. 1 Ψηφιακές Υπογραφές Η ψηφιακή υπογραφή είναι μια βασική κρυπτογραφική έννοια, τεχνολογικά ισοδύναμη με την χειρόγραφη υπογραφή. Σε πολλές Εφαρμογές, οι ψηφιακές υπογραφές χρησιμοποιούνται ως δομικά συστατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κρυπτοσυστήματα ροής. Πέτρος Ποτίκας. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κρυπτογραφία. Κρυπτοσυστήματα ροής. Πέτρος Ποτίκας. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτογραφία Κρυπτοσυστήματα ροής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 22 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Δ Εξάμηνο

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Δ Εξάμηνο ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Ασύμμετρη Κρυπτογράφηση (Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού) Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδη Υπολογιστικά Προβλήματα στην Κρυπτογραφία

Θεμελιώδη Υπολογιστικά Προβλήματα στην Κρυπτογραφία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Θεμελιώδη Υπολογιστικά Προβλήματα στην Κρυπτογραφία Κωνσταντινίδης Ορέστης Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. Επιβλέπων καθηγητής: Άρης Παγουρτζής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

1 Βασικές Έννοιες Ιδιωτικότητας

1 Βασικές Έννοιες Ιδιωτικότητας 1 Βασικές Έννοιες Ιδιωτικότητας Τα κρυπτογραφικά εργαλεία που συζητήσαμε μέχρι στιγμής δεν μπορούν να λύσουν το πρόβλημα της ανάγκης για ιδιωτικότητα των χρηστών ενός συστήματος Η ιδιωτικότητα με την έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ(Θ)

ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ(Θ) ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ(Θ) Ενότητα 5: ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΧΕΙΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ψηφιακές Υπογραφές Ορίζονται πάνω σε μηνύματα και είναι αριθμοί που εξαρτώνται από κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Κατακερματισμός Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Λεξικό Dictionary Ένα λεξικό (dictionary) είναι ένας αφηρημένος τύπος δεδομένων (ΑΤΔ) που διατηρεί

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou ιαχείριση Κλειδιών Ορισμός: Εγκαθίδρυση κλειδιού (key establishment) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Cryptography and Network Security Chapter 9. Fifth Edition by William Stallings

Cryptography and Network Security Chapter 9. Fifth Edition by William Stallings Cryptography and Network Security Chapter 9 Fifth Edition by William Stallings Chapter 9 Κρυπτογραφια Δημοσιου Κλειδιου και RSA Every Egyptian received two names, which were known respectively as the true

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική. Μια σύντοµη διαδροµή στα µονοπάτια της σύγχρονης κρυπτογραφίας

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική. Μια σύντοµη διαδροµή στα µονοπάτια της σύγχρονης κρυπτογραφίας Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική Μια σύντοµη διαδροµή στα µονοπάτια της σύγχρονης κρυπτογραφίας Γιάννης Κ. Σταµατίου ΣΕΠ ΠΛΗ 10 Πάτρα, Ιουνιος 2003 Τι θα εξετάσουµε Πώς η κρυπτογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Συνολικό Πλαίσιο Ασφάλεια ΠΕΣ Εμπιστευτικότητα Ακεραιότητα Πιστοποίηση Μη-αποποίηση Κρυπτογράφηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία

Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία 09/10/2015 1 / 46 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία) Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία Περιεχόμενα Ορισμός Κρυπτοσυστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κατάλογος Σχηµάτων. Κατάλογος Πινάκων. I Κρυπτανάλυση 21

Κατάλογος Σχηµάτων. Κατάλογος Πινάκων. I Κρυπτανάλυση 21 Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Πινάκων ix xiv xvi I Κρυπτανάλυση 21 1 Βασικές αρχές κρυπτανάλυσης 23 1.1 Εισαγωγή....................... 24 1.2 Βασικές επιθέσεις................... 25 1.3 Η επίθεση του Hellman-TMTO............

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Παύλος Εφραιμίδης. Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας. Ασφ Υπολ Συστ

Παύλος Εφραιμίδης. Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας. Ασφ Υπολ Συστ Παύλος Εφραιμίδης Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας Ασφ Υπολ Συστ 1 Βασικές υπηρεσίες/εφαρμογές κρυπτογραφίες: Confidentiality, Authentication, Integrity, Non- Repudiation Βασικές έννοιες κρυπτογραφίας 2 3

Διαβάστε περισσότερα

7 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΛΕΙΔΙΩΝ

7 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΛΕΙΔΙΩΝ 7 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΛΕΙΔΙΩΝ 7.1. Εισαγωγή Το σημείο αναφοράς της ασφάλειας ενός κρυπτοσυστήματος είναι οι ειδικές ποσότητες πληροφορίας που ονομάζουμε κλειδιά. Σε ένα καλά σχεδιασμένο κρυπτοσύστημα, η ασφάλειά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Επιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα

Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Παύλος Εφραιµίδης 25/04/2013 1 Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Bit Commitment Fair Coin Mental Poker Secret Sharing Zero-Knowledge Protocol 2 πρωτόκολλα και υπηρεσίες χρήστης κρυπτογραφικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Ψηφιακή Υπογραφή και Αυθεντικοποίηση Μηνύματος Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org Αντίρριο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές

8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές Κεφάλαιο 8 8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές Σελ. 320-325 Γεώργιος Γιαννόπουλος ΠΕ19, ggiannop (at) sch.gr http://diktya-epal-g.ggia.info/ Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Δ Εξάμηνο

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Δ Εξάμηνο ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Οι Αλγόριθμοι Κρυπτογραφίας και οι Ιδιότητές τους Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org Αντίρριο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Συναρτήσεις Κατακερματισμού και Πιστοποίηση Μηνύματος Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org Αντίρριο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

4 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4.1. Εισαγωγή Τα προηγούμενα κεφάλαια αποτελούν μια εισαγωγή στην κρυπτολογία, στις κατηγορίες κρυπτογραφικών πράξεων καθώς και στα βασικά μοντέλα κρυπτανάλυσης και αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press. Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο. Ψηφιακές Υπογραφές. 11.1 Εισαγωγή. Πίνακας Περιεχομένων

Κεφάλαιο. Ψηφιακές Υπογραφές. 11.1 Εισαγωγή. Πίνακας Περιεχομένων Κεφάλαιο Ψηφιακές Υπογραφές Πίνακας Περιεχομένων 11.1 Εισαγωγή..............................................1 11.2 Ένα πλαίσιο για μηχανισμούς ψηφιακών υπογραφών........... 2 11.3 RSA και σχετικά σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Κρυπτογραφία/Ψηφιακές Υπογραφές Διάλεξη 2η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Kρυπτανάλυση Προσπαθούμε να σπάσουμε τον κώδικα. Ξέρουμε το

Διαβάστε περισσότερα