1 Diffie-Hellman Key Exchange Protocol

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Diffie-Hellman Key Exchange Protocol"

Transcript

1 1 Diffie-Hellman Key Exchange Potocol To 1976, οι Whitefield Diffie και Matin Hellman δημοσίευσαν το άρθρο New Diections in Cyptogaphy, φέρνοντας επανάσταση στην οποία οφείλεται η λεγόμενη "μοντέρνα κρυπτογραφια". Πριν από αυτή την δημοσίευση, κάθε ουσιώδης κρυπτογραφική τεχνική βασιζόταν σε κάποιο προ-συμφωνημένο κλειδί. Στο άρθρο τους όμως, οι Diffie και Hellman πρότειναν ένα πρωτόκολλο που επέτρεπε σε δύο μεριές, δίχως προηγούμενη επικοινωνία, να καταλήξουν σε κάποιο μυστικό κλειδί μέσω ενός μη ασφαλούς καναλιού. Στην συνέχεια θα εισάγουμε το βασικό πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού των Diffie-Hellman και θα μελετήσουμε την ασφάλειά του παρουσία παθητικών και ενεργητικών αντιπάλων. 1.1 Το πρωτόκολλο Diffie-Hellman Η εικόνα 1 αναπαριστά το απλό πρωτόκολλο Diffie-Hellman ανταλλαγής κλειδιού. Αρχικά, οι δύο πλευρές, η Αλίκη και ο Βασίλης, διαλέγουν τις τιμές x A και x B αντίστοιχα. Καμία μεριά δεν αποκαλύπτει την τιμή της στην άλλη. Αλίκη Κοινή είσοδος: p, m, g Βασίλης x A Z m x B Z m y A g x A mod p y B g x B mod p y A y B k A y x A B mod p k B y x B A mod p Έξοδος k A Έξοδος k B Σχήμα 1: Το πρωτόκολλο Diffie-Hellman ανταλλαγής κλειδιού, όπου p είναι ένας μεγάλος πρώτος και g ένα στοιχείο της ομάδας Z p τάξης m. Ο συμβολισμός x Z m σημαίνει πως το x δειγματοληπτείται σύμφωνα με την ομοιόμορφη κατανομή στο Z m. Παρατηρείστε πως y x A B = y x B A mod p, συνεπώς k A = k B και οι δυο μεριές υπολογίζουν την ίδια τιμή στο Z p. Στην ενότητα?? αναφέραμε το ενδιαφέρον μας στους στόχους, σχεδιασμούς, αρχές, μοντέλα και αποδείξεις κρυπτογραφίας. Ο στόχος ενός πρωτοκόλλου ανταλλαγής κλειδιού είναι να συμφωνήσουν οι δύο πλευρές σε ένα κλειδί παρουσία κάποιου που "κρυφακούει" την συνομιλία. Ο σχεδιασμός που μας ενδιαφέρει είναι το πρωτόκολλο Diffie-Hellman, τα θεμέλια του οποίου βασίζονται στα πρωτόκολλα δειγματοληψίας τυχαίων στοιχείων. Στη συνέχεια θα θέλαμε να μάθουμε πως να μοντελοποιήσουμε την ασφάλεια του πρωτοκόλλου ανταλλαγής κλειδιού και να μελετήσουμε τις απαραίτητες υποθέσεις για να θεωρηθεί η ανταλλαγή κλειδιού Diffie-Hellman αποδείξιμα ασφαλής. 1.2 Σχετικά Αριθμο-Θεωρητικά Προβλήματα Εδώ θα εισάγουμε διάφορα πιθανά δύσκολα προβλήματα της Θεωρίας αριθμών τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξη ασφάλειας του Diffie-Hellman μέσω αναγωγής. Στις επόμενες ενότητες εξετάζουμε τον κατάλληλο ορισμό ασφαλείας και ανάγουμε την επίλυση ενός κατάλληλου προβλήματος Θεωρίας Αριθμών στην παραβίαση της ασφαλείας του πρωτοκόλλου. Definition Για μία πολλαπλασιαστική ομάδα G έστω g G τάξης m και y g. Το πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου (discete logaithm poblem) (ΔΛ (DL)) είναι να βρεθεί ένας ακέραιος x Z m 1

2 τέτοιος ώστε g x = y. Το πρόβλημα έιναι καλά ορισμένο αφού g = {g 0, g 1,..., g m 1 }. Δεν έχουμε απόδειξη πως αυτό το πρόβλημα είναι δύσκολο. Με βάση τις γνώσεις που έχουμε ως τώρα όμως, ο αριθμός απαραίτητων βημάτων για εύρεση λύσης σε αυτό το πρόβλημα είναι υπερ-πολυωνυμικός (supe-polynomial) στο μέγεθος του στοιχείου της ομάδας, αν η ομάδα έχει επιλεγεί κατάλληλα. Definition Δεδομένης μιας κυκλικής ομάδας g τάξης m, g a και g b όπου a, b Z m, το υπολογιστικό Diffie-Hellman πρόβλημα (computational Diffie-Hellman poblem) (ΥDH (CDH)) είναι να υπολογιστεί το g ab. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι ένας αντίπαλος που επιτίθεται στο Diffie-Hellman πρωτόκολλο δεν ενδιαφέρεται για τον διακριτό λογάριθμο. Ο στόχος του είναι να λύσει το YDH. Είναι όμως ξεκάθαρο πως αν ένας αντίπαλος μπορεί να λύσει το ΔΛ έτσι ώστε να βρει το x από το g x, τότε θα μπορούσε να λύσει και το ΥDH μέσω μιας απλής ύψωσης σε δύναμη. Με άλλα λόγια το υπολογιστικό πρόβλημα Diffie-Hellman ανάγεται στο διακριτό λογάριθμο: ΥDH ΔΛ. Lemma Το υπολογιστικό πρόβλημα Diffie-Hellman poblem δεν είναι πιο δύσκολο από τον πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου. Είναι άγνωστο αν το ανάποδο ισχύει. Definition Το πρόβλημα απόφασης Diffie-Hellman (decisional Diffie-Hellman poblem) (ΑDH) είναι το εξής: δεδομένης μιας ομάδας G = g τάξης m και g a, g b, g c, όπου a, b, c Z m, αποφάσισε αν c = ab ή c Z m. Το παραπάνω είναι ένα πολύ ασθενές πρόβλημα αφού ρωτά τον αντίπαλο να αποφανθεί αν το c είναι επιλεγμένο τυχαία. Αν κάποιος μπορούσε να λύσει το ΥDH, θα μπορούσε να λύσει το ΑDH υπολογίζοντας το g ab και συγκρίνοντας το με το g c ; συνεπώς, ΑDH YDH. Lemma Το πρόβλημα απόφασης Diffie-Hellman δεν είναι δυσκολότερο από το υπολογιστικό πρόβλημα Diffie-Hellman. Επιπλέον, το τελευταίο πρόβλημα δεν είναι δυσκολότερο από το πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου. Στη συνέχεια της διάλεξης θα δείξουμε ότι το πρωτόκολλο του Diffie-Hellman είναι ασφάλες βάσει μιας υπόθεσης που σχετίζεται με το πρόβλημα ADH. Μέχρι στιγμής δεν έχουμε προσδιορίσει πως επιλέξαμε την ομάδα. Στην πραγματικότητα έχουμε επιλέξει τις παραμέτρους μας με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε πως τα προβλήματα που προκύπτουν είναι πραγματικά δύσκολα. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει πως το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου λύνεται σε πολυωνυμικό χρόνο αν δεν διαλέξουμε προσεκτικά την ομάδα. Example. Θεωρήστε την ομάδα Z p για κάποιον μεγάλο πρώτο p. Από ένα θεώρημα του Eule, το Z p έχει τάξη p 1. Για το παράδειγμα αυτό θεωρείστε την περίπτωση που το p 1 παραγοντοποιείται σε μικρούς πρώτους q i : p 1 = q 1 q 2 q s. Υπάρχει μια υπο-ομάδα G i τάξης q i. 1 Όρισε τον ομομορφισμό ομάδας f i : Z p G i ως x x p 1/q i και έστω g i = g p 1/q i για κάποιον φιξαρισμένο γεννήτορα g του Z p. Παρατηρείστε πως το g i έχει τάξη q i. Διαλέγουμε κάποιο y = g x mod p. Υψώνοντας και τις δύο μεριές στην δύναμη (p 1)/q i, έχουμε y p 1/qi (g p 1/qi ) x x mod qi gi mod p όπου 1 i s. Επειδή το q i είναι ένας μικρός πρώτος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εξαντλητική αναζήτηση (bute foce) για να λύσουμε το πρόβλημα διακριτού λογαρίθμου, δηλαδή να βρούμε το σύνολο των αναλογιών x i x mod q i. Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε το x με βάση το κινέζικο θεώρημα υπολοίπων. Για να αποφύγουμε αυτού του είδους την επίθεση, μπορούμε να διαλέξουμε το Zp έτσι ώστε να περιέχει μια μεγάλη υπο-ομάδα. Για παράδειγμα αν p = 2q +1 και ο q είναι πρώτος, υπάρχει μια υπο-ομάδα μεγέθους q που μπορούμε να χρησιμομοποιήσουμε για να τρέξουμε το πρωτόκολλο Diffie-Hellman. Η μεγαλύτερη ομάδα μέσα στο Zp που υπάρχει περίπτωση ο διακριτός λογάριθμος να είναι γενικά δύσκολος είναι τα τετραγωνικά υπόλοιπα του Z p. 1 Η ύπαρξη μιας τέτοιας υπο-ομάδας είναι εγγυημένη από το θεώρημα Cauchy. 2

3 Definition Το τετραγωνικό υπόλοιπο (quadatic esidue) του G είναι η υπο-ομάδα που αποτελείται από όλα τα y G τέτοια ώστε υπάρχει x G με x 2 = y. Όταν G = Z n, γράφουμε το τετραγωνικό υπόλοιπο ως QR(n). Στην συγκεκριμένη περίπτωση G = Z p για κάποιον πρώτο p, QR(p) = g 2 ενός γεννήτορα g του G. Η ομάδα QR(p) έχει ακριβώς τα μισά στοιχεία της ομάδας G. Είναι το μεγαλύτερη γνήσια υπο-ομάδα του Z p. Η απεικόνιση x x p 1 2 είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην συγεκριμένη περίπτωση. Είναι εύκολο να δει κανείς πως η εικόνα της απεικόνισης είναι {1, 1}. Αποδεικνύουμε το επόμενο χρήσιμο αποτέλεσμα σχετικά με τα τετραγωνικά υπόλοιπα. Lemma Θεωρείστε κάποιο a Z και p 3 mod 4. Ισχύει πως a p 1 2 = 1 mod p αν και μόνο αν a QR(p). Απόδειξη. Για την ευθεία κατεύθυνση, υποθέστε πως υπάρχει κάποιο a p 1 2 = 1 mod p. Έστω y = a p+1 4 mod p. Τότε έχουμε πως y 2 = a p+1 2 = a p 1 2 a = a mod p Δεδομένου ότι y 2 = a mod p παίρνουμε a QR(p). Για την ανάποδη κατεύθυνση, αν a QR(p), δηλαδή y 2 1 mod p. = a mod p έχουμε πως a p 1 2 = y p 1 = Παρατηρείστε πως η απόδειξη του λήμματος είναι κατασκευαστική, δηλαδή μας δίνει και έναν τρόπο να κατασκευάσουμε τις ρίζες ενός τετραγωνικού υπολοίπου του p. Πράγματι, δεδομένου ενός a και δύο ρίζες του a υπόλοιπο p υπολογίζονται ως ±a p+1 4 mod p. 1.3 Γεννήτορες ομάδας Definition Ένας γεννήτορας ομάδας (goup geneato) GGen είναι ένας πιθανοτικός αλγόριθμος που παράγει μια περιγραφή μιας πεπερασμένης ομάδας G δεδομένου ενός μήκους λ. Το λιγότερο, η περιγραφή περιέχει ένα στοιχείο της ομάδας, μια πράξη στην ομάδα και έναν τρόπο (αλγόριθμο) ελέγχου ενός στοιχείου αν είναι μέλος της ομάδας. Example. Διαλέγουμε το Z p να είναι η ομάδα μας για κάποιο πρώτο p μήκους λ. Ο GGen επιστρέφει ένα στοιχείο g τάξης m, όπου m είναι μια συνάρτηση των λ και p. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός υπόλοιπό p και αν ένας ακέραιος είναι μεταξύ 0 και p 1, θεωρείτε μέλος της ομάδας. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος GGen με είσοδο 1 λ μπορεί να υπολογίσει ένα τυχαίο αριθμό p της μορφής 3k +4 που έχει λ bits, μετά να ελέγξει άν p είναι πρώτος. Αν όχι, διαλέγει άλλο p, αλλιώς ελεγχει άν (p 1)/2 είναι πρώτος, αν όχι διαλέγει άλλο p. Όταν βρεθεί το κατάλληλο p, διαλέγει ένα αριθμό a {2,..., p 2} στην τύχη και υπολογίζει το a (p 1)/2 mod p. Αν αυτή η τιμή είναι 1 τότε διαλέγει άλλο a. Αλλιώς θέτει g = a 2 mod p. Η έξοδος του αλγόριθμου GGen είναι οι τιμές (p, g, m = (p 1)/2). 1.4 Η υπόθεση προβλήματος απόφασης Diffie-Hellman Διαισθητικά, το ΑDH υποθέτει πως είναι δύσκολο να διακρίνει κανείς πλειάδες της μορφής G, m, g, g a, g b, g ab και G, m, g, g a, g b, g c, όπου το g ανήκει σε κάποιο πολλαπλασιαστική ομάδα και τα a, b και c είναι τυχαία επιλεγμένες δυνάμεις. Definition Ένας γεννήτορας GGen λέμε πως ικανοποιεί την υπόθεση απόφασης Diffie-Hellman (decisional Diffie-Hellman assumption) αν τα σύνολα πιθανοτήτων {D λ } λ N και {R λ } λ N είναι υπολογιστικά αδιαχώριστα. { } D λ := G, m, g GGen(1 λ ); a, b Z m : (G, m, g a, g b, g ab ) { } R λ := G, m, g GGen(1 λ ); a, b, c Z m : (G, m, g a, g b, g c ) 3

4 όπου m = od(g). Αντίστοιχα, αν A είναι ένα στατιστικό τεστ που η υπολογιστική του ισχύς φράσσεται από πολυωνυμικό χρόνο με δυνατότητα χρήσης πιθανοτήτων ( pobabilistic polynomial-time (PPT)) ισχύει πως Adv A (λ) = Pob [A(γ) = 1] Pob [A(γ) = 1] γ D λ γ R λ είναι αμελητέο στο λ. Το Adv A ονομάζετε το πλεονέκτημα (advantage) of A. 1.5 Μοντελοποίηση της Ασφάλειας έναντι Παθητικών Αντιπάλων Όταν ορίζουμε την ασφάλεια, είναι σημαντικό να λαμβάνουμε υπ' όψη τον αναμενόμενο αντίπαλο. Στην ενότητα αυτή εστιάζουμε στου παθητικούς αντιπάλους. Ένας τέτοιος αντίπαλος "κρυφακούει" το κανάλι επικοινωνίας και προσπαθεί να εξάγει πληροφορία για το κλειδί χωρίς να παρεμβαίνει. Πριν μελετήσουμε τους ορισμούς ασφαλείας, καθιερώνουμε κάποιους κοινούς συμβολισμούς. Έστω tans A,B (1 λ ) η κατανομή των καταγραφών των αλληλεπιδράσεων μεταξύ δύο παικτών A και B. Στο πρωτόκολλο Diffie-Hellman, η καταγραφή συμπεριλαμβάνει την κοινή είσοδο και κάθε ανταλλαγή πληροφορίας. Το κοινό κλειδί που παράγεται στο τέλος της καταγραφής τ συμβολίζεται ως key(τ). Τέλος, το κατηγόρημα V είναι ένας αλγόριθμος που η έξοδοι του είναι 1 και 0 (Tue και False). Μοντέλο Ασφάλειας 1 Το πιο προφανές μοντέλο ασφαλείας για κάθε ανταλλαγή κλειδιού ορίζει πως το πρωτόκολλο για να είναι ασφαλές πρέπει ο αντίπαλος να μην μπορεί να λάβει μέρος του κλειδιού. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε PPT αντιπάλους 2 A, Pob [A(τ) = key(τ)] τ tans A,B (1 λ ) είναι αμελητέα συνάρτηση στο λ. Σε αυτό το μοντέλο, είναι εύκολο ένας αντίπαλος να εξάγει πληροφορία για ένα μικρό μέρος του κλειδιού. Γι' αυτό το λόγο το μοντέλο είναι ανεπαρκές. Ο αριθμός των bits που προστατεύονται σε αυτό το μοντέλο μπορεί να είναι μόνο log 2 (λ). Μοντέλο Ασφάλειας 2 Για κάθε PPT αντίπαλο A και κατηγορήματα V, ορίζουμε πως μια ανταλλαγή κλειδιού είναι ασφαλής αν Pob [A(τ) = V (key(τ))] 1 τ tans A,B (1 λ ) 2 + negl(λ) για κάποια αμελητέα συνάρτηση negl(λ). Αυτό το μοντέλο είναι ιδανικό, διότι αν το πρωτόκολλό μας είναι ασφαλές, ένας αντίπαλος δεν μπορεί να ανακαλύψει καμία πληροφορία για το κλειδί. Δυστυχώς, το παραπάνω μοντέλο δεν είναι ρεαλιστικό. Θα δούμε γιατί παρακάτω προσπαθώντας να αποδείξουμε ότι το DH πρωτόκολλο είναι ασφαλές. Υποθέστε πως το μοντέλο αυτό ορίζει την ασφάλεια και υπάρχει ένα PPT αντίπαλος A ικανός να σπάσει το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού. Τότε υπάρχει ένα κατηγόρημα V τέτοιο ώστε Pob [A(τ) = V (key(τ))] 1 τ tans A,B (1 λ ) 2 + α, όπου α μη αμελητέο. Έστω B ένα στατιστικό τεστ ΑDH τέτοιο ώστε, δεδομένου γ = G, m, g, a, b, c, B χρησιμοποιεί γ για να κατασκευάσει μια καταγραφή τ γ = G, m, g, a, b. B και προσομοιώνει τον A στο τ γ για να λάβει το αποτέλεσμά του S. Ο B θα επιστρέψει 1 αν V (c) = S και 0 αν V (c) S. Όταν το c είναι ένα τυχαίο στοιχείο της κυκλικής ομάδας G, έστω Pob[V (c) = 1] = δ. 2 Θα λέμε αντίπαλο εννοώντας οποιονδήποτε PPT αλγόριθμο. 4

5 1. Αν γ D λ, τότε c = key(τ γ ) και Pob γ D λ [B(γ) = 1] α. 2. Αν γ R λ, τότε c G και Pob [B(γ) = 1] = Pob [A(G, m, g, a, b) = V (c)] γ R λ G,m,g,a,b,c R λ = Pob[A(τ γ ) = V (c)] = Pob[A(τ γ ) = V (c) V (c) = 1] Pob[V (c) = 1] Pob[A(τ γ ) = V (c) V (c) = 0] Pob[V (c) = 0] = Pob[A(τ γ ) = 1] Pob[V (c) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0] Pob[V (c) = 0] Στην ειδική περίπτωση όπου δ = 1/2, έχουμε πως Βλέποντας την υπόθεση DDH, Pob [B(γ) = 1] = (Pob[A(τ γ ) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0]) 1 γ R λ 2 = 1 2. Adv B ( ) α 1 2 = α. Επειδή το α είναι μη αμελητέο, ο B παραβιάζει την υπόθεση ΑDH δοθέντος του A και ισχύει δ = 1/2. Όταν όμως δ 1/2, είναι εύκολο να βρούμε V που ο αντίπαλος μπορεί να μαντέψει με πιθανότητα καλύτερη από 1/2 (π.χ., V μπορεί να είναι το ``ή'' των δύο πρώτων bits του c). Ως αποτέλεσμα, όλα τα σχήματα αποτυγχάνουν στο αφύσικα ισχυρό μοντέλο. Μοντέλο Ασφάλειας 3 Το παραπάνω παράδειγμα μας έδειξε οτι οι απαιτήσεις που είχαμε στο μοντέλο ασφάλειας ήταν μη ρεαλιστικές. Εδώ μελετούμε το μοντέλο στο οποίο η ασφάλεια του πρωτοκόλλου ανταλλαγής κλειδιού μπορεί να αποδειχθεί. Αυτό ορίζει την παθητική ασφάλεια. Πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι ο αντίπαλος να καταλάβει κάποια συνάρτηση ενός μέρος του κλειδιού με πιθανότητα καλύτερη από 1/2, συνεπώς έστω Pob [V (key) = 1] = δ, key Key(1 λ ) όπου Key(1 λ ) είναι η πιθανοτική κατανομή του πεδίο ορισμού του κλειδιού για το πρωτόκολλο με παράμετρο 1 λ ( δηλαδή η τυχαία μεταβλητή key(tans A,B (1 λ )). Μπορεί εύκολα να διαπιστώσει κανεις πως στη περίπτωση της ανταλλαγής κλειδιού Diffie Hellman ισχύει πως το Key(1 λ ) ισούται με ένα ομοιόμορφα επιλεγμένο στοιχείο της ομάδας g. Στη συνέχεια ορίζουμε πως το πρωτόκολλο είναι ασφαλές αν ισχύει πως Υποθέτουμε ότι Pob [A(τ) = V (key(τ))] max {δ, 1 δ} + negl(λ). τ tans A,B (1 λ ) Pob [B(γ) = 1] max {δ, 1 δ} + α γ D λ για μη αμελητεο α. Χρησιμοποιώντας αυτό δείχνουμε πως Pob γ R λ [B(γ) = 1] max {δ, 1 δ}: 5

6 Pob [B(γ) = 1] = Pob[A(τ γ ) = 1] Pob[V (c) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0] Pob[V (c) = 0] γ R λ = Pob[A(τ γ ) = 1]δ + Pob[A(τ γ ) = 0](1 δ) Pob[A(τ γ ) = 1](max {δ, 1 δ}) + Pob[A(τ γ ) = 0](max {δ, 1 δ}) = (Pob[A(τ γ ) = 1] + Pob[A(τ γ ) = 0]) max {δ, 1 δ} = max {δ, 1 δ}. Βασιζόμενοι στο παραπάνω αποδεικνύουμε το παρακάτω θεώρημα. Theoem Επειδή η υπόθεση ΑDH είναι αληθής, το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman είναι ασφαλές έναντι παθητικών αντιπάλων στο μοντέλο Ασφαλείας Κατάλληλοι γεννήτορες ομάδων για την υπόθεση ΑDH Σε αυτή την ενότητα, εξετάζουμε την υπόθεση ΑDH σε δύο ομάδες. Πρώτον θεωρείστε g = Z p για κάποιον μεγάλο πρώτο p. Αυτή η ομάδα είναι πιθανώς μια κακή επιλογή. Στην πραγματικότητα μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν PPT αλγόριθμο A όπως στην εικόνα 2 που "σπάει" την υπόθεση ΑDH. Αλγόριθμος A(p, m, g, a, b, c) Αν (a m/2 = 1 b m/2 = 1) (c m/2 = 1) τότε επέστρεψε 1 διαφορετικά επέστρεψε 0 Σχήμα 2: Ένας PPT αλγόριθμος που "σπάει" την υπόθεση ΑDH όταν g = Z p, a, b, c g, και m = od(g) είναι άρτιος. Από το θεώρημα του Eule, το Z p έχει τάξη m = p 1. Επειδή το p είναι περιττό για κάθε πρώτο μεγαλύτερο του 2, το m είναι περιττό για κάθε μη τετριμμένη ομάδα. Έστω γ = p, m, g, a, b, c όπου a = g x, b = g y, and c = g xy. Αν x είναι άρτιος, θέτουμε x = 2k για κάποιο k Z. Τότε a m/2 = (g x ) m/2 = g km = 1. Αν το x είναι περιττό, θέτουμε x = 2j + 1 για κάποιο j Z. Τότε a m/2 = (g 2j+1 ) m/2 = g m/2 = 1. Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει για το g y ανάλογα αν το y είναι άρτιο ή περιττό. Αν το xy είναι άρτιο ή περιττό εξαρτάται από τα x και y, συνεπώς c m/2 = (g xy ) m/2 = 1 εφόσον ένα από τα δύο το x ή το y είναι άρτιο. Γι' αυτό ισχύει πως Pob γ D [A(γ) = 1] = 3 4. Αν διαφορετικά γ R, συνεπώς c = g z για τυχαία επιλεγμένο z, υπάρχει ίση πιθανότητα το z να είναι άρτιο ή περιττό. Έτσι Pob [A(γ) = 1] = 3 γ R 8. Βασιζόμενοι σε αυτήν την πληροφορία συμπεραίνουμε πως Adv A = =

7 Σε μια ιδανική περίπτωση, και οι δυο πιθανότητες είναι κοντά στο 1/2, συνεπώς η διαφορά του είναι αμελητέα. Επειδή το Adv A = 3/8, ο A μπορεί να διαχωρίσει τις δύο πλειάδες. Συνεπώς είναι αναποτελεσματικό να εφαρμόσουμε ανταλλαγή κλειδιού στην ομάδα του Z p. Μια ομάδα που μπορούμε να φτιάξουμε ανταλλαγή κλειδιού είναι τα τετραγωνικά υπόλοιπα QR(p) του Z p. Για παράδειγμα, αν p = 2q + 1 για κάποιο πρώτο q, το QR(p) έχει τάξη q. Με βάση τις υπάρχουσες γνώσεις, είναι μια επαρκής ομάδα. Θυμίζουμε πως το QR(p) = g 2 για κάποιον γεννήτορα g του Z p είναι κυκλική ομάδα περιττής τάξης 1.7 Τροποποιημένο πρωτόκολλο Diffie-Hellman Στην υπόθεση ΑDH, το κλειδί που παράγεται είναι ένα τυχαίο στοιχείο της ομάδας g. Δυστυχώς δεν είναι ξεκάθαρο τι μπορεί κανεις να κάνει με ένα τυχαίο στοιχείο της ομάδας g (για να δείτε το πρόβλημα σκεφτείτε την εξής άσκηση: φτιάξτε ένα αλγόριθμο που παράγει ένα 10 τυχαία bits με μόνη τυχαιότητα την λειτουργία y g ). Αυτό είναι προβληματικό στην χρήση του κλειδιού σε κρυπτογραφικές εφαρμογές. Εδώ θα δούμε πως να εξάγουμε έναν τυχαίο ακέραιο από το τυχαίο στοιχείο της ομάδας. Αυτό μας βοηθάει αφού γνωρίζουμε την δομή των ακεραίων. Μια προσέγγιση είναι να ορίσουμε ένα κατηγόρημα V τέτοιο ώστε Pob x g [V (x) = 1] = 1/2. Το V τότε ορίζει ένα τυχαίο bit από την οπτική γωνία του αντιπάλου. Δεν είναι όμως ξεκάθαρο, πως να βρούμε ένα τέτοιο κατηγόρημα. Θα πρέπει κανείς να καταλάβει πλήρως τη δομή της ομάδας για να ξεχωρίσει πιο bit είναι τυχαίο. Έστω τώρα: H : Z m QR(p) με x (x + 1) 2 mod p. Αυτή η απεικόνιση είναι αμφιμονοσήμαντη (ένα-προς-ένα και επί). Για να δείξουμε πως είναι ένα-προς-ένα, υποθέτουμε πως H(x) = H(y) για κάποια x, y Z m. Τότε (x + 1) 2 (y + 1) 2 mod p (x + 1) 2 (y + 1) 2 0 mod p x 2 + 2x 2y y 2 0 mod p (x y)(x + y + 2) 0 mod p. Συνεπώς είτε x y 0 mod p ή x + y mod p. Αφού x, y Z m, έχουμε πως 0 x, y m 1. Τότε x + y + 2 2(m 1) + 2 = 2m < 2m mod p. Συνεπώς x + y mod p, που σημαίνει πως x y 0 mod p, ή αντίστοιχα x y mod p. Αφού x, y Z m Z p, ισχύει πως x = y, δείχνοντας πως το H είναι ένα-προς-ένα. Η H είναι επί χρησιμοποιώντας αυτή την αντίστροφη απεικόνιση για κάθε y QR(p), { H 1 y p+1/4 mod p 1, if y p+1/4 mod p {1, 2,..., m} (y) = p y p+1/4 mod p 1, othewise. Χρησιμοποιώντας αυτό μπορούμε να τροποποιήσουμε το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού όπως φαίνεται στην εικόνα 3. Στο τροποποιημένο πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση H για να μεταβούμε από ένα τυχαίο στοιχείο της ομάδας που δεν γνωρίζουμε την δομή της επακριβώς σε κάποιο τυχαίο ακέραιο υπόλοιπο m. 7

8 Κοινή είσοδος: p, m, g Alice Bob x A Z m x B Z m y A g x A mod p y B g x B mod p y A y B k A H 1 (y x A B mod p) k B H 1 (y x B A mod p) Έξοδος k A Έξοδος k B Σχήμα 3: Το τροποποιημένο πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman όπου ο p είναι ένας μεγάλος πρώτος, ο g είναι γεννήτορας της ομάδας QR(p) τάξης m, και H : Z m QR(p) με x (x + 1) 2 mod p. Άσκηση: Δείξαμε πως να βρούμε ένα τυχαίο στοιχείο στο Z m. Αυτό μας βοηθά στις κρυπτογραφικές εφαρμογές που χρειάζονται έναν ακέραιο υπόλοιπο m σαν κλειδί. Οι περισσότερες εφαρμογές όμως, απαιτούν πως το κλειδί είναι μια συμβολοσειρά από bit. Δείξτε πως μπορούμε να εξάγουμε τη μεγαλύτερη δυνατή bit συμβολοσειρά από έναν ακέραιο υπόλοιπο m. Είναι ενδιαφέρον να αναφέρουμε πως σε ένα κλειδί με λ bits key, η πιθανότητα το λιγότερο σημαντικό bit (least significant bit) να είναι ένα είναι κοντά στο 1/2, ενώ η πιθανότητα το περισσότερο σημαντικό bit (most significant bit) να είναι ένα μπορεί να απέχει αρκετά από το 1/ Ισχυρότεροι Αντίπαλοι Παρόλο που το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman όπως δίνεται στην ενότητα 1.7, είναι ασφαλές έναντι ενός αντιπάλου που απλά "κρυφακούει", δεν παραμένει ασφαλές απέναντι σε πιο ενεργητικούς αντιπάλους. Στην εικόνα 3, δείχνουμε την man-in-the-middle attack στην οποία ο αντίπαλος, Μάγδα, συμμετέχει στην ανταλλαγή πληροφορίας της Αλίκης και του Βασίλη. Ο αντίπαλος τώρα είναι το ίδιο το επικοινωνιακό κανάλι. Η Μάγδα μπορεί να εμβάλει μηνύματα στην συζήτηση και να υποδυθεί την ταυτότητα μιας από της μεριές στην άλλη. Για να το καταφέρει η Μάγδα κατασκευάζει δύο κλειδιά, ένα για να μοιράζεται με την Αλίκη και ένα με τον Βασίλη. Αυτή η επίθεση αιτιολογεί την ανάγκη για ταυτοποίηση και ελέγχου ταυτοποίησης σε κάθε ανταλλαγή. Στη συνέχεια θα εισάγουμε τις ψηφιακές υπογραφές, ένα σημαντικό κρυπτογραφικό σχήμα, που είναι απαραίτητο εργαλείο απέναντι σε τακτικές σαν την επίθεση man-in-the-middle. Κοινή είσοδος: p, m, g Αλίκη Μάγδα Βασίλης x A Z m x M, x M Z m x B Z m y A g x A mod p y M g x M mod p y B g x B mod p y M g x M mod p y A y M y M y B k A H 1 (y x A M mod p) k M H 1 (y x M A mod p) k B H 1 (y x B M mod p) k M H 1 (y x M B mod p) Έξοδος k A Έξοδος k M, k M Έξοδος k B Σχήμα 4: Η επίθεση ``man-in-the-middle" έναντι του πρωτοκόλλου ανταλλαγης κλειδιού Diffie-Hellman. Επιμέλεια σημειώσεων Αγγλικά: S. Pehlivanoglu, J. Todd, & H.S. Zhou. Ελληνικά : Μ. Πουντουράκης. 8

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Cryptography and Network Security Chapter 9. Fifth Edition by William Stallings

Cryptography and Network Security Chapter 9. Fifth Edition by William Stallings Cryptography and Network Security Chapter 9 Fifth Edition by William Stallings Chapter 9 Κρυπτογραφια Δημοσιου Κλειδιου και RSA Every Egyptian received two names, which were known respectively as the true

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ψηφιακές Υπογραφές Ορίζονται πάνω σε μηνύματα και είναι αριθμοί που εξαρτώνται από κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κατάλογος Σχηµάτων. Κατάλογος Πινάκων. I Κρυπτανάλυση 21

Κατάλογος Σχηµάτων. Κατάλογος Πινάκων. I Κρυπτανάλυση 21 Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Πινάκων ix xiv xvi I Κρυπτανάλυση 21 1 Βασικές αρχές κρυπτανάλυσης 23 1.1 Εισαγωγή....................... 24 1.2 Βασικές επιθέσεις................... 25 1.3 Η επίθεση του Hellman-TMTO............

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Επιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Ψηφιακή Υπογραφή και Αυθεντικοποίηση Μηνύματος Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org Αντίρριο

Διαβάστε περισσότερα

8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές

8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές Κεφάλαιο 8 8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές Σελ. 320-325 Γεώργιος Γιαννόπουλος ΠΕ19, ggiannop (at) sch.gr http://diktya-epal-g.ggia.info/ Creative

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Συναρτήσεις Κατακερματισμού και Πιστοποίηση Μηνύματος Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org Αντίρριο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο. Ψηφιακές Υπογραφές. 11.1 Εισαγωγή. Πίνακας Περιεχομένων

Κεφάλαιο. Ψηφιακές Υπογραφές. 11.1 Εισαγωγή. Πίνακας Περιεχομένων Κεφάλαιο Ψηφιακές Υπογραφές Πίνακας Περιεχομένων 11.1 Εισαγωγή..............................................1 11.2 Ένα πλαίσιο για μηχανισμούς ψηφιακών υπογραφών........... 2 11.3 RSA και σχετικά σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου)

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 15 λεπτά για τη βασική δραστηριότητα, περισσότερο για τις επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Οι απειλές. Απόρρητο επικοινωνίας. Αρχές ασφάλειας δεδομένων. Απόρρητο (privacy) Μέσω κρυπτογράφησης

Οι απειλές. Απόρρητο επικοινωνίας. Αρχές ασφάλειας δεδομένων. Απόρρητο (privacy) Μέσω κρυπτογράφησης Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2014-015 Ασφάλεια Δεδομένων http://www.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Οι απειλές Ένας κακόβουλος χρήστης Καταγράφει μηνύματα που ανταλλάσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση Ανασκόπηση ύλης Στόχοι της κρυπτογραφίας Ιστορικό Γενικά χαρακτηριστικά Κλασσική κρυπτογραφία Συμμετρικού κλειδιού (block ciphers stream ciphers) Δημοσίου κλειδιού

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Κρυπτογραφία/Ψηφιακές Υπογραφές Διάλεξη 2η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Kρυπτανάλυση Προσπαθούμε να σπάσουμε τον κώδικα. Ξέρουμε το

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Κρυπτογραφία

Σύγχρονη Κρυπτογραφία Σύγχρονη Κρυπτογραφία 50 Υπάρχουν μέθοδοι κρυπτογράφησης πρακτικά απαραβίαστες Γιατί χρησιμοποιούμε λιγότερο ασφαλείς μεθόδους; Η μεγάλη ασφάλεια κοστίζει σε χρόνο και χρήμα Πολλές φορές θυσιάζουμε ασφάλεια

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

: " : " : " = 0 < 0 = ", + Τ_Ρ(Δ)) / = ", - Τ_Ρ(Δ))

:  :  :  = 0 < 0 = , + Τ_Ρ(Δ)) / = , - Τ_Ρ(Δ)) Δομή Επιλογής Άσκηση 1 - τριώνυμο Να γραφεί αλγόριθμος που να βρίσκει τις ρίζες ενός τριωνύμου. Αρχικά να ρωτά τους συντελεστές α, β και γ του τριωνύμου και κατόπιν να εμφανίζει τις ρίζες ή την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Οι αναλλοίωτες κατανομές είναι κατά κάποιο τρόπο οι φυσικές καταστάσεις μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Αν μια αλυσίδα ξεκινήσει από μια αναλλοίωτη κατανομή της θα παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

9 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΚΑ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ

9 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΚΑ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ 9 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΚΑ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ 9.1. Εισαγωγή Στο Kεφάλαιο 1, δώσαµε έναν ορισµό του πρωτοκόλλου. Είδαµε επίσης σε διάφορα σηµεία του βιβλίου ότι προκειµένου να ολοκληρωθούν ορισµένες διαδικασίες, όπως η ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Διάλειψη (fading) είναι η παραμόρφωση ενός διαμορφωμένου σήματος λόγω της μετάδοσης του σε ασύρματο περιβάλλον. Η προσομοίωση μίας τέτοιας μετάδοσης γίνεται με την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Cryptography and Network Security Chapter 13. Fifth Edition by William Stallings

Cryptography and Network Security Chapter 13. Fifth Edition by William Stallings Cryptography and Network Security Chapter 13 Fifth Edition by William Stallings Chapter 13 Digital Signatures To guard against the baneful influence exerted by strangers is therefore an elementary dictate

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου 1 Σχεδίαση συστήματος Η εταιρία μας θέλει να καλύψει με κυψελωτό σύστημα τηλεφωνίας μία πόλη επιφάνειας 20000 km 2 (συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα