ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - Τμήμα πολιτικών μηχανικών ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ σύγκριση μεθόδων 17/11/2011. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - Τμήμα πολιτικών μηχανικών ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ σύγκριση μεθόδων 17/11/2011. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΗΛΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΚΑΛΙΑΜΠΕΤΣΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Καρακικές Ιωάννης Βόλος Δεκέμβριος 2011 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 1

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή της σχολής Πολιτικών Μηχανικών κ. Ηλιού Νικόλαο και τον επιστημονικό συνεργάτη κ. Καλιαμπέτσο Γεώργιο για την αμέριστη βοήθεια και συμπαράσταση που μου παρείχαν καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης της εργασίας, ώστε να γίνει εφικτή η πραγματοποίησή της. Επίσης τις ευχαριστίες μου θα ήθελα να εκφράσω στους γονείς μου και την αδερφή μου, για την υποστήριξη και την εμπιστοσύνη που μου έδειξαν όλα αυτά τα χρονιά. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 2

3 Περιεχόμενα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΤΕΩΝ ΜΗΚΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Ανάλυση Περιπτώσεων ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΕΝΙΚΑ Τυπική διατομή Εύρεση υφιστάμενων έργων οδοποιίας Υπολογισμός χωματισμών σε διάφορες πυκνώσεις Υπολογισμός αποτελεσμάτων σε πύκνωση ανά 20 m με λ/ Σύγκριση των αποτελεσμάτων πύκνωσης ανά 20 m Επεξεργασία αποτελεσμάτων για προσδιορισμό κριτηρίων ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύγκριση αποτελεσμάτων των δυο μεθόδων Σύγκριση μεθόδων συναρτήσει διάφορων παραμέτρων Τελικά συμπεράσματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ IV ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 3

4 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για τον υπολογισμό των όγκων των χωματισμών σε έργα οδοποιίας χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι, οι περισσότερες από τις οποίες βασίζονται στη χρήση των διατομών, (κατά πλάτος τομές κάθετες στον άξονα της οδού), σε χαρακτηριστικές θέσεις. Στο στάδιο οριστικής μελέτης, οι διατομές λαμβάνονται ανά μέτρα στην ευθυγραμμία αλλά πυκνότερα στις καμπύλες (10 μέτρα) και σε περιοχές που απαιτούν λεπτομερή εξέταση. Για τον καθορισμό του όγκου των χωματισμών χρησιμοποιούνται συνήθως οι μέθοδοι των μέσων επιφανειών και των εφαρμοστέων μηκών. Η τελευταία είναι αυτή που θα χρησιμοποιήσουμε για να κάνουμε την σύγκριση. Στο κεφάλαιο 2, περιγράφεται τι είναι ακριβώς αυτή η μέθοδος και πως λειτουργεί. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να συγκρίνουμε εάν το εφαρμοστέο μήκος* ανάμεσα σε δύο διαδοχικές διατομές, είτε αφορά όρυγμα είτε επίχωμα, πρέπει να υπολογίζεται με χρήση του λ/4 ή κάνοντας χρήση του λ/2 σε όλες τις περιπτώσεις (ανεξάρτητα από το εάν πηγαίνουμε από μία διατομή που έχει όρυγμα (επίχωμα) σε μία διατομή που δεν έχει/έχει όρυγμα (επίχωμα)). Επίσης, να προσδιορίσουμε εκείνα τα κριτήρια που υποδεικνύουν ποτέ ο ένας τρόπος (λ/2 παντού) είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα σε σχέση με τη χρήση του λ/4. Στο κεφάλαιο 3 αναφέρονται λεπτομερώς, οι ενέργειες που έγιναν προκειμένου να πραγματοποιηθεί η σύγκριση των μεθόδων. Το σύνολο των εργασιών παρατίθεται βήμα-βήμα, ξεκινώντας από την παρουσίαση των έργων που επιλέχθηκαν για να μας βοηθήσουν έως παραστατικά γραφήματα ενός έργου-παραδείγματος για την καλύτερη κατανόηση. Το κεφάλαιο 4 περιέχει όλα τα χρήσιμα συμπεράσματα που απορρέουν από την παραπάνω επεξεργασία. Τα αποτελέσματα και εδώ απεικονίζονται σε γραφήματα είτε συγκεντρωτικά, είτε μεμονωμένα με πλήρη σχολιασμό. Τέλος, το παράρτημα χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Το κάθε ένα περιέχει χρήσιμα γραφήματα που προέκυψαν από την επεξεργασία όλων των έργων και οδηγούν σε χρήσιμα συμπεράσματα μιας και καλύπτουν όλες τις εξεταστέες περιπτώσεις. *εφαρμοστέο μήκος ορίζεται ως το ημιάθροισμα μηκών εκατέρωθεν μιας διατομής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 4

5 2.ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΤΕΩΝ ΜΗΚΩΝ 2.1 ΓΕΝΙΚΑ Σύμφωνα με τη μέθοδο των εφαρμοστέων μηκών, οι επιφάνειες των ορυγμάτων (Ο i ) και επιχωμάτων (Ε i ) κάθε διατομής παριστάνονται σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων ως τεταγμένες (θετικές για τα ορύγματα και αρνητικές για τα επιχώματα) και οι μεταξύ αυτών αποστάσεις ως τετμημένες. Έτσι κατασκευάζεται το διάγραμμα επιφανειών για όλο το μήκος ή τμήμα της οδού. Στην συνέχεια θεωρούνται τα εφαρμοστέα μήκη λ 1 /2, (λ 1 +λ 2 )/2, (λ 2 +λ 3 )/2 τα οποία πολλαπλασιαζόμενα με τις αντίστοιχες επιφάνειες, δίνουν τον όγκο των χωματισμών. Σημειώνεται ότι η μέθοδος αυτή επιτάσσει ότι σε δύο διαδοχικές διατομές όπου η μία βρίσκεται σε όρυγμα (επίχωμα) και η άλλη έχει μηδενικό όρυγμα (επίχωμα), το εφαρμοστέο μήκος να λαμβάνεται ίσο με λ/4. Ο όρος εφαρμοστέα μήκη αναφέρεται στον πολλαπλασιασμό τους με τις αντίστοιχες επιφάνειες Ο 1, Ο 2, Ο 3, κ.λπ.. (ή Ε 1, Ε 2, Ε 3 κ.λπ..) οπότε προκύπτει ο τελικός όγκος Vορ όπως φαίνεται στην παρακάτω σχέση: Vορ=Ο 1 *λ 1 /2+Ο 2 *(λ 1 +λ 2 )/2+Ο 3 *(λ 2 +λ 3 )/2+ Όπου, Ο 1, Ο 2, Ο 3 είναι οι επιφάνειες των ορυγμάτων και, Ε 1, Ε 2, Ε 3 είναι οι επιφάνειες των επιχωμάτων λ 1, λ 2, λ 3 μήκη ανάμεσα στις διατομές Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 5

6 2.2 Ανάλυση Περιπτώσεων Έτσι με απλούς συλλογισμούς και σύμφωνα με όσα προαναφέρθηκαν, για κάθε περίπτωση έχουμε: Α) όταν και οι δύο διατομές είναι σε όρυγμα (ή επίχωμα), ο όγκος μεταξύ των διατομών είναι: V ορ =Ο 1 *λ 1 /2+Ο 2 *λ 1 /2 Β) Όταν η μία διατομή βρίσκεται ολόκληρη σε όρυγμα και η άλλη ολόκληρη σε επίχωμα, ο όγκος μεταξύ των διατομών είναι: V ορ =Ο 1 *λ 1 /4 V επιχ =Ε 2 *λ 1 /4 Θεωρούμε ότι η αλλαγή από επίχωμα σε όρυγμα ή αντίστροφα γίνεται στο μέσον. Μια υπόθεση που μοιάζει λογική. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 6

7 Γ) Όταν η μία διατομή είναι μικτή και η άλλη ολόκληρη σε όρυγμα (ή επίχωμα), ο όγκος μεταξύ των διατομών είναι: V ορ =Ο 1 *λ 1 /2+Ο 2 *λ 1 /2 V επιχ =Ε 1 *λ 1 /4 Θεωρούμε ότι το επίχωμα φτάνει μέχρι το μέσο. Από αυτήν την θεώρηση προκύπτει και ο υπολογισμός του λ/4. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι η υπόθεση αυτή δεν είναι πάντα λογική. Δ) Όταν και οι δύο διατομές είναι μικτές, ο όγκος μεταξύ των διατομών είναι: V ορ =Ο 1 *λ 1 /2+Ο 2 *λ 1 /2 V επιχ =Ε 1 *λ 1 /2+Ε 2 *λ 1 /2 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 7

8 Ωστόσο το παραπάνω, δεν απαντά στην περίπτωση που η μία διατομή βρίσκεται σε επίχωμα αριστερά και όρυγμα δεξιά ή αντίστροφα, όπως φαίνεται παρακάτω. Εδώ θα μπορούσε να θεωρηθεί σαν δύο διατάξεις μεμονομένες και να αντιμετωπισθεί όπως έχει ήδη περιγραφεί στη Β) περίπτωση. Ε) Όταν μία από τις δύο διαδοχικές διατομές είναι μηδενική, τότε ο όγκος: - Η πρώτη σε όρυγμα V ορ =Ο 1 *λ 1 /2 - Η πρώτη σε επίχωμα V επιχ =Ε1*λ 1 /2 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 8

9 -Η πρώτη μικτή V ορ =Ο 1 *λ 1 /2 V επιχ =Ε 1 *λ 1 /2 Από τα παραπάνω αποτελέσματα προκύπτει ο ακόλουθος πρακτικός κανόνας (ανάλογος με τον προηγούμενο): Για τον υπολογισμό του όγκου των χωματισμών πρέπει να εφαρμόζουμε το γενικό τύπο: V ορ =Ο 1 *λ 1 /2+Ο 2 *(λ 1 +λ2)/2+ Όταν όμως πρόκειται για διατομές, οι οποίες γειτονεύουν με διατομές με μηδενικό όρυγμα ή με μηδενικό επίχωμα, τοποθετούμε λ/4 αντί λ/2 εκτός από τη περίπτωση όπου το όρυγμα και το επίχωμα είναι μηδέν, οπότε τίθεται λ/2. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 9

10 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.1 ΓΕΝΙΚΑ Τα βήματα που ακολουθούνται ούτως ώστε να εκπληρώσουμε τον σκοπό της εργασίας, συνοπτικά είναι: α. εύρεση υφιστάμενων έργων οδοποιίας με δεδομένη οριζόντια και κατακόρυφη χάραξη β. υπολογισμός των χωματισμών των έργων σε πύκνωση διατομών ανά 20, 10, 5, 1* μέτρα με την βοήθεια του προγράμματος anadelta tessera** γ. υπολογισμός των αποτελεσμάτων για πύκνωση ανά 20 μέτρα με χρήση του λ/4 δ. σύγκριση των αποτελεσμάτων πύκνωσης ανά 20 μέτρα με χρήση και με μη χρήση του λ/4 ε. επεξεργασία στοιχείων ή αποτελεσμάτων που προκύπτουν για τον προσδιορισμό κριτηρίων επιλογής τρόπου *ανάμεσα σε δύο διατομές δεν γνωρίζουμε πως θα είναι το έδαφος, άρα το ακριβέστερο είναι να λαμβάνουμε διατομές όσο πιο κοντά γίνεται. Εμείς επιλέξαμε να θεωρήσουμε ως ακριβέστερο την πύκνωση ανά ένα μέτρο. Ο λόγος που κάνουμε πύκνωση διατομών ανά 10 και 5 μέτρα είναι για να δούμε πως συγκλίνουν τα αποτελέσματα από τις διάφορες πυκνώσεις. **ο υπολογισμός μέσω του προγράμματος γίνεται χωρίς τη χρήση λ/4 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 10

11 3.2 Τυπική διατομή Πρέπει να αναφερθεί σε αυτό το σημείο ότι η τυπική διατομή*** που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό των χωματισμών είναι η (η1,η2,ε2). Ο λόγος που επιλέχθηκε αυτή σαν τυπική διατομή, είναι διότι πρόκειται για μια απλή διατομή με την οποία δεν θα αντιμετωπίζαμε προβλήματα υπολογισμού τομών κ.α.. Όπως φαίνεται και από τον παραπάνω πίνακα η τυπική διατομή που χρησιμοποιήσαμε προτείνεται σε οδούς μεταξύ μικρών οικισμών έως και δασικές οδούς. *** Με τον όρο τυπική διατομή εννοούμε τον καθορισμό της μορφής της διατομής μιας οδού, με όλα τα στοιχεία που τη συνθέτουν, τις διαστάσεις και τις κατασκευαστικές λεπτομέρειες αυτών, προκειμένου να χρησιμοποιηθούν στο σχεδιασμό και την κατασκευή της οδού. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 11

12 Μεικτή διατομή Διατομή σε όρυγμα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 12

13 Διατομή σε επίχωμα 3.3 Εύρεση υφιστάμενων έργων οδοποιίας Τα εννέα (9) έργα που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπλήρωση της εργασίας δόθηκαν εξ ολοκλήρου από το εργαστήριο οδοποιίας. Πρόκειται για μελέτες υφιστάμενες που περιλαμβάνουν τα εδάφη, τις χαράξεις, τους δρόμους (οριζοντιογραφία, μηκοτομή, διατομές). Οι μελέτες αυτές δόθηκαν σε ηλεκτρονική μορφή σε αρχεία τύπου *.ADF. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 13

14 1. έργο ELLINOP Χιλιόμετρα (m) 3760,5 κορυφές οριζοντιογραφίας 31 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 4,25 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 14

15 2. έργο ENVIR Χιλιόμετρα (m) 3286,44 κορυφές οριζοντιογραφίας 27 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 4,50 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 15

16 3. έργο METRO Χιλιόμετρα (m) 11844,64 κορυφές οριζοντιογραφίας 12 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 6,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 16

17 4. έργο demo_1 Χιλιόμετρα (m) 1479,49 κορυφές οριζοντιογραφίας 9 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 6,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 17

18 5. έργο demo_2 Χιλιόμετρα (m) 1283,24 κορυφές οριζοντιογραφίας 4 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 10,275 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 18

19 6. έργο demo_3 Χιλιόμετρα (m) 952,76 κορυφές οριζοντιογραφίας 3 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 6,25 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 19

20 7. έργο ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ Χιλιόμετρα (m) 3163,73 κορυφές οριζοντιογραφίας 17 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 5,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 20

21 8. έργο Crete_sec Χιλιόμετρα (m) 4021,61 κορυφές οριζοντιογραφίας 26 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 4,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 21

22 9. έργο ΠΗΛΙΟ_first Χιλιόμετρα (m) 1613,17 κορυφές οριζοντιογραφίας 9 διατομή η1,η2,ε2 ημιπλάτος διατομών (m) 4,75 Τα παρακάτω βήματα θα γίνουν πιο κατανοητά με την βοήθεια ενός παραδείγματος (ΕΡΓΟ: ELLINOP). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 22

23 3.4 Υπολογισμός χωματισμών σε διάφορες πυκνώσεις Αναλυτικότερα σε κάθε έργο έγινε πύκνωση διατομών στην οριζοντιογραφία ανά 20, 10, 5 και 1 μέτρο. Ακολούθησε ο υπολογισμός των χωματουργικών των διατομών με την απλοποιημένη μέθοδο λ/2 και τα αποτελέσματα αποθηκεύτηκαν σε ξεχωριστά αρχεία excel. (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ELLINOP) ΠΥΚΝΩΣΗ ΑΝΑ (m) ΜΕ ΧΡΗΣΗ λ/ ELLINOP ΟΡΥΓΜΑΤΑ (m^3) ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , , , , , Υπολογισμός αποτελεσμάτων σε πύκνωση ανά 20 m με λ/4 Σε κάθε επιμέρους έργο, πάμε στο excel που δημιουργήθηκε με τον υπολογισμό των χωματουργικών για πύκνωση ανά 20 μέτρα. Έπειτα, χρησιμοποιούμε μία φόρμουλα υπολογισμού των όγκων χωματισμών σύμφωνα με την επικρατούσα μέθοδο υπολογισμού χωματισμών των εφαρμοστέων μηκών. Η φόρμουλα αυτή, όπως ήδη έχει αναφερθεί και παραπάνω, έχει τον παρακάτω τύπο και δουλεύει με τον εξής τρόπο: =IF(E12>0; C13/2; C13/4) + IF(E14>0; C14/2; C14/4) Στήλη C: απόσταση δύο διαδοχικών διατομών Στήλη D: εφαρμοστέο μήκος Στήλη Ε: εμβαδόν ορυγμάτων Στήλη F: όγκος ορυγμάτων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 23

24 Το αποτέλεσμα αυτής της εξίσωσης ισούται με το εφαρμοστέο μήκος κάθε διατομής. Αναλυτικότερα περιγράφει ότι εάν το εμβαδόν της προηγούμενης διατομής Ε12 είναι μεγαλύτερο από 0, (δηλαδή διάφορο του 0) τότε σαν πρώτο τμήμα του εφαρμοστέου μήκους βάλε τη μισή απόσταση μεταξύ της προηγούμενης και της επόμενης διατομής C13/2. Επίσης εάν το εμβαδόν της επόμενης διατομής E14 είναι μεγαλύτερο από 0 τότε σαν δεύτερο τμήμα του εφαρμοστέου μήκους βάλε τη μισή απόσταση μεταξύ της προηγούμενης και της επόμενης διατομής C14/2. Έτσι, το εφαρμοστέο μήκος για κάθε διατομή βγαίνει από το άθροισμα IF( )+IF( ) των δύο παραπάνω επιμέρους μηκών. Τώρα σε περίπτωση όπου το εμβαδόν είναι 0 σε ένα ή και στους δύο όρους του αθροίσματος τότε πρέπει το αντίστοιχο εφαρμοστέο μήκος να είναι το ένα τέταρτο της μεταξύ απόστασης των δύο διατομών C13/4 ή και C14/4. Ακριβώς, το ίδιο σκεπτικό ισχύει και για τα επιχώματα. Στην συνέχεια, για να υπολογίσουμε τους όγκους των διατομών αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το αντίστοιχο εφαρμοστέο μήκος με το αντίστοιχο εμβαδόν της κάθε διατομής. Τέλος, αθροίζουμε όλους τους όγκους των ορυγμάτων και των επιχωμάτων αντίστοιχα από κάθε διατομή και έχουμε τα τελικά ορύγματα και επιχώματα στο έργο μας με πύκνωση ανά 20 μέτρα σύμφωνα με τη συμβατική μέθοδο εφαρμοστέων μηκών. (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ELLINOP) ΠΥΚΝΩΣΗ ΑΝΑ 20 (λ/4) (m) ELLINOP ΟΡΥΓΜΑΤΑ (m^3) ,60 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 49930,55 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 24

25 3.6 Σύγκριση των αποτελεσμάτων πύκνωσης ανά 20 m Στο γενικό excel της διπλωματικής εργασίας αναγράφονται τα τελικά αποτελέσματα του όγκου ορυγμάτων και όγκου επιχωμάτων, για κάθε έργο ξεχωριστά και για κάθε πύκνωση (ανά 20 με λ/4, 20, 10, 5,1). Στο ίδιο αρχείο (φύλλο ΚΕΝΤΡΙΚΟ ), στην στήλη J, έχουμε υπολογίσει την ποσοστιαία απόκλιση των όγκων που είναι υπολογισμένοι για πύκνωση ανά 20 μέτρα με τη χρήση λ/4 σε σχέση με εκείνων που έχουμε θεωρήσει ως πραγματικούς*. Η σχέση που μας δίνει αυτήν την ποσοστιαία απόκλιση είναι: * πραγματικούς όγκους θεωρήσαμε αυτούς που υπολογίσθηκαν σε πύκνωση διατομών ανά 1 μέτρο. =((D6-H6)/D6) όπου, Στήλη D: όγκοι από πύκνωση ανά 20 μέτρα με χρήση λ/4 Στήλη Η:όγκοι από πύκνωση ανά 1 μέτρο Ακριβώς αντίστοιχα, στην στήλη K, είναι υπολογισμένη η ποσοστιαία απόκλιση των όγκων ανά 20 μέτρα (χωρίς λ/4) από των πραγματικών. Η σχέση υπολογισμού είναι: =((E6-H6)/E6) όπου, Στήλη Ε: όγκοι από πύκνωση ανά 20 μέτρα (χωρίς χρήση λ/4) (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ELLINOP) ΠΥΚΝΩΣΗ ΑΝΑ (m) ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ % 20 (λ/4) 20 1 λ/4 λ/2 ELLINOP ΟΡΥΓΜΑΤΑ (m 3) , , ,90 0,61% 0,69% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 49930, , ,82-2,45% -0,84% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 25

26 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - Τμήμα πολιτικών μηχανικών ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ σύγκριση μεθόδων 17/11/ Επεξεργασία αποτελεσμάτων για προσδιορισμό κριτηρίων Στο φύλλο εργασίας ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ (m^3-m) του ίδιου αρχείου excel απεικονίζονται δύο γραφήματα, ένα για τους όγκους ορυγμάτων και ένα για τους όγκους επιχωμάτων, για κάθε έργο ξεχωριστά. Τα γραφήματα αυτά δείχνουν τους όγκους των χωματουργικών συναρτήσει των διαφόρων πυκνώσεων διατομών που έχουν πραγματοποιηθεί σε κάθε έργο. (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ELLINOP) Στα παραπάνω διαγράμματα, φαίνεται η σύγκλιση προς τους πραγματικούς όγκους όσο αυξάνεται η πύκνωση των διατομών. Αντίστοιχα διαγράμματα για τα υπόλοιπα έργα, βρίσκονται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ i. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 26

27 Στο επόμενο φύλλο εργασίας ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ (αποκλ%-m) απεικονίζεται ένα γράφημα για κάθε έργο αυτή την φορά. Τα γραφήματα αυτά δείχνουν τις ποσοστιαίες αποκλίσεις όπως περιγράφηκαν και προηγουμένως, συναρτήσει των διαφόρων πυκνώσεων διατομών. Οι ποσοστιαίες αποκλίσεις αυτήν την φορά αναφέρονται για όλες τις πυκνώσεις που έχουν γίνει σε σχέση με αυτήν του ενός μέτρου. (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ELLINOP) ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) ELLINOP ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,61% 0,69% 0,19% 0,14% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -2,45% -0,84% -0,06% -0,02% 0,00% Και εδώ τα διαγράμματα περιγράφουν, πως τα ποσοστά συγκλίνουν καθώς μεταβαίνουμε σε μεγαλύτερη πύκνωση διατομών. Στην πύκνωση ανά 1 μέτρο ουσιαστικά υπάρχει ταύτιση του ποσοστού με το 0 μιας και υπάρχει μηδενική απόκλιση. Αντίστοιχα διαγράμματα για τα υπόλοιπα έργα βρίσκονται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ii. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 27

28 Το επόμενο φύλλο εργασίας ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ((m^3/km)-m) περιγράφει γραφήματα τα οποία απεικονίζουν την διαφορά των όγκων μεταξύ κάθε πύκνωσης από τους πραγματικούς, ανά χιλιόμετρο. Η παραπάνω συνάρτηση απεικονίζεται με ένα γράφημα για κάθε επιμέρους έργο. (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ELLINOP) ELLINOP ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,18 0,20 0,06 0,04 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,33-0,11-0,01 0,00 0,00 Επίσης εδώ τα διαγράμματα περιγράφουν, πως υπάρχει σύγκλιση καθώς μεταβαίνουμε σε μεγαλύτερη πύκνωση διατομών. Αντίστοιχα διαγράμματα για τα υπόλοιπα έργα βρίσκονται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ iii. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 28

29 Τέλος, το τελευταίο φύλλο εργασίας με όνομα ΚΛΙΣΕΙΣ ΕΔΑΦΟΥΣ αναφέρεται στα εδάφη που χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό των χωματουργικών. Αρχικά έγινε ένα διάγραμμα πίτας που απεικόνιζε τι εμβαδό εδάφους είναι στις αντίστοιχες κλίσεις, % % % % άπειρο %. (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ELLINOP) ELLINOP Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό m 2 ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ Άπειρο ,83% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 29

30 Πρέπει να αναφέρουμε πως, η παραπάνω κατηγοριοποίηση και υπολογισμός των εμβαδών έγινε με την βοήθεια του προγράμματος anadelta tessera. Με την βοήθεια του ίδιου λογισμικού στην συνέχεια υπολογίστηκε μία μέση ποσοστιαία κλίση εδάφους. Τελικά, τα ίδια αποτελέσματα απεικονίζονται και σε ένα ιστόγραμμα ανά έργο για καλύτερο σχολιασμό των αποτελεσμάτων. Αντίστοιχα διαγράμματα για τα υπόλοιπα έργα βρίσκονται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ iv. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 30

31 4. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 4.1 Σύγκριση αποτελεσμάτων των δυο μεθόδων Όπως φαίνεται παρακάτω η μη χρήση του λ/4 οδηγεί σε ασφαλέστερα αποτελέσματα στην πλειοψηφία των περιπτώσεων. Ο κάτωθι πίνακας ενισχύει το συμπέρασμα μας, μιας και δεκατρείς περιπτώσεις στις δεκαοχτώ αποκλίνουν λιγότερο από την πραγματικότητα, αν δεν κάνουμε χρήση του λ/4. Οι αποκλίσεις των υπόλοιπων πέντε περιπτώσεων από την πραγματικότητα, διαφέρουν ελάχιστα (έως καθόλου) από αυτές που δεν κάναμε χρήση λ/4. Αναλυτικότερα, ΕΡΓΟ ELLINOP ENVIR METRO demo_1 demo_2 demo_3 ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ ΚΡΗΤΗ_second ΠΗΛΙΟ_first ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ % ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ λ/4 λ/2 (πιο ακριβές) ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,61% 0,69% το λ/4 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -2,45% -0,84% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,35% 0,26% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -2,33% -0,76% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,31% 0,03% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,70% -0,08% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,77% 0,03% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -1,59% 0,23% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,37% 0,47% το λ/4 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 0,46% 1,07% το λ/4 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,22% -0,13% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -1,19% 0,35% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,57% 0,30% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,66% 0,46% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -1,43% -0,84% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -2,07% -0,90% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,20% 0,36% το λ/4 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 0,28% 0,35% το λ/4 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 31

32 Από τις παραπάνω πέντε περιπτώσεις παρατηρούμε ότι μόνο σε μία (επιχώματα, demo_2) η διαφορά των αποκλίσεων (λ/4) - (λ/2) είναι παραπάνω της τάξης του 0,16% ( 0,36% - 0,20% = 0,16% είναι η διαφορά αποκλίσεων των επιχωμάτων στο έργο ΠΗΛΙΟ_first). Για την ακρίβεια η διαφορά αυτή είναι 1,07% - 0,46% = 0,61%. Το ποσοστό αυτό ισούται με 208 κυβικά μέτρα σε ένα έργο περί τα κυβικά μέτρα, ποσότητα σχεδόν αμελητέα σε τέτοια έργα. Σε αυτό το σημείο είναι βάσιμο να ισχυριστούμε ότι η χρήση λ/4 στον υπολογισμό των χωματισμών είναι περιττός κόπος. Με επιφύλαξη θα λέγαμε επίσης, ότι η χρήση λ/2 αποδίδει, στην πλειοψηφία των έργων, πιο αξιόπιστα αποτελέσματα. Οπότε, τελικό συμπέρασμα είναι ότι στον υπολογισμό των χωματισμών σύμφωνα με τη μέθοδο εφαρμοστέων μηκών, δεν χρειάζεται να γίνεται καθόλου χρήση του λ/4!! Στην συνέχεια θα εξετάσουμε αν, υπάρχει κάποιο κριτήριο προκειμένου να έχουμε τα πιο αξιόπιστα αποτελέσματα για κάθε περίπτωση (δηλαδή να κάνουμε χρήση ή του λ/4 ή του λ/2 ανάλογα την περίπτωση). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 32

33 4.2 Σύγκριση μεθόδων συναρτήσει διάφορων παραμέτρων Αρχικά προσπαθήσαμε να βγάλουμε κάποιο πόρισμα από το μήκος του ίδιου του έργου. Έτσι έχουμε, ΕΡΓΟ ELLINOP ENVIR METRO demo_1 demo_2 demo_3 ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ ΚΡΗΤΗ_second ΠΗΛΙΟ_first ΜΗΚΟΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (m) (πιο ακριβές) ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/4 3760,5 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 3286,44 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/ ,64 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 1479,49 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/4 1283,24 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/4 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 952,76 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 3163,73 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 4021,61 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/4 1613,17 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/4 Από τον παραπάνω πίνακα είναι εμφανές, ότι δεν μπορούμε να οδηγηθούμε σε κάποιο βέβαιο αποτέλεσμα μιας και σε δύο έργα που το μήκος τους είναι περίπου ίσο (demo_1, ΠΗΛΙΟ_first) οι υπολογισμοί είναι πιο αξιόπιστοι στο μεν δεύτερο με χρήση λ/4 ενώ στο πρώτο χωρίς. Επίσης, δεν είναι ασφαλές να πούμε πως δρόμοι για παράδειγμα μήκους μεγαλύτερου των 10 χιλιομέτρων (METRO) πρέπει να υπολογίζονται χωρίς λ/4 μιας και υπάρχει μόνο ένα έργο, για να στηρίξει κάτι τέτοιο. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για έργα μικρού μήκους (demo_3). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 33

34 Ένα άλλο κριτήριο που εξετάσθηκε είναι η μέση κλίση των εδαφών των έργων. ΕΡΓΟ ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (πιο ακριβές) ELLINOP ENVIR METRO demo_1 demo_2 demo_3 ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ ΚΡΗΤΗ_second ΠΗΛΙΟ_first ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/4 23,83% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 41,26% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 11,82% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 45,61% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/4 43,71% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/4 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 43,71% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 19,15% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/2 40,11% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ το λ/4 20,26% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ το λ/4 Όπως φαίνεται και στον παραπάνω πίνακα ούτε η μέση κλίση ως κριτήριο μπορεί να μας οδηγήσει σε ασφαλή συμπεράσματα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι δύο έργα (demo_2, demo_3) με ίδιο ακριβώς έδαφος, ενώ στο πρώτο η χρήση του λ/4 οδηγεί σε πιο πραγματικά αποτελέσματα, στο δεύτερο πιο κοντά στην πραγματικότητα είναι το λ/2. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 34

35 Τέλος, ένας συντελεστής που αξιοποιήθηκε στην ίδια κατεύθυνση είναι αυτός των χωματουργικών όγκων ανά χιλιόμετρο. Αναλυτικότερα, παρουσιάζεται ο εξής πίνακας. ΕΡΓΟ ορύγματα/ επιχώματα ανά χιλιόμετρο (m 3 ) χωματισμοί ανά χιλιόμετρο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (πιο ακριβές) ELLINOP ENVIR METRO demo_1 demo_2 demo_3 ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ ΚΡΗΤΗ_second ΠΗΛΙΟ_first ΟΡΥΓΜΑΤΑ 29,26 το λ/4 42,87 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 13,60 το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 111,73 το λ/2 152,85 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 41,11 το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 40,84 το λ/2 78,39 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 37,55 το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 86,87 το λ/2 145,49 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 58,62 το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 27,88 το λ/4 53,79 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 25,92 το λ/4 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 29,67 το λ/2 47,52 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 17,85 το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 7,43 το λ/2 17,79 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 10,35 το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 32,24 το λ/2 56,49 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 24,25 το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 7,05 το λ/4 32,62 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 25,58 το λ/4 Ο πίνακας έχει υπολογισμένο ένα συντελεστή για τα ορύγματα, ένα για τα επιχώματα και ένα συνολικά (άθροισμα) για τα χωματουργικά κάθε έργου. Εδώ φαίνεται πως σε δύο έργα (ENVIR, demo_1) όπου ο συντελεστής είναι και μεγαλύτερος του 140 η χρήση λ/2 δίνει αποτέλεσμα πιο κοντά στην πραγματικότητα. Επίσης παρατηρούμε πως εκεί που τα ορύγματα είναι αρκετά Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 35

36 μεγάλα (ENVIR, demo_1) πάλι η χρήση της μεθόδου λ/2 είναι πιο αξιόπιστη. Για το κάτω όριο, δηλαδή για μικρούς συντελεστές δεν μπορούμε να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα, είτε επιμέρους, είτε συνολικά για τα χωματουργικά. Ίσως η χρήση λ/2 αποφέρει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα σε έργα που έχουν συντελεστή μεγάλο της τάξης του 140 και άνω. Για να αποδειχθεί όμως κάτι τέτοιο θα πρέπει εξετασθούν περισσότερες περιπτώσεις έργων. 4.3 Τελικά συμπεράσματα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 36

37 Το παραπάνω γράφημα δείχνει συγκεντρωτικά το ποσοστό της απόκλισης των κυβικών από την πραγματικότητα (για κάθε πύκνωση) των ορυγμάτων, συναρτήσει των διάφορων πυκνώσεων των διατομών ανά 20 (με χρήση λ/4), 20, 10, 5 και 1 μέτρα για όλα τα έργα. Όπως είναι φυσικό όσο η πύκνωση γίνεται πιο πυκνή τόσο πλησιάζουμε ποσοστιαία το 0% (περίπτωση πύκνωσης ανά 1 μέτρο). Αξίζει να σημειωθεί, πέραν της σύγκρισης για την πύκνωση ανά 20 μέτρα με τις δύο μεθόδους που έχει σχολιασθεί προηγουμένως, ότι σε μερικές περιπτώσεις (METRO, demo_1, demo_3, ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ) η απόκλιση αυτού του συντελεστή είναι μικρότερη στα 20 μέτρα σε σχέση με τα 10 μέτρα. Αυτό ίσως να οφείλεται στο γεγονός ότι η θέση των διατομών στην πύκνωση ανά 10 μέτρα δεν είναι οι πιο ιδανικές. Η εξήγηση που δίνεται είναι ότι μάλλον πρόκειται για ένα τυχαιοματικό γεγονός! Τα ίδια ακριβώς, ισχύουν και για τα επιχώματα με την διαφορά ότι εκεί δεν παρατηρείται σε καμία περίπτωση το γεγονός που μόλις περιγράψαμε. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 37

38 Το παρακάτω γράφημα δείχνει συγκεντρωτικά το ποσοστό της διαφοράς των κυβικών από την πραγματικότητα (για κάθε πύκνωση) των ορυγμάτων ανά χιλιόμετρο, συναρτήσει των διάφορων πυκνώσεων των διατομών ανά 20 (με χρήση λ/4), 20, 10, 5 και 1 μέτρα για όλα τα έργα. Όπως είναι φυσικό όσο η πύκνωση γίνεται πιο πυκνή τόσο πλησιάζουμε ποσοστιαία το 0% (περίπτωση πύκνωσης ανά 1 μέτρο). Άξιο αναφοράς και εδώ, ότι στις ίδιες περιπτώσεις με πριν (METRO, demo_1, demo_3, ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ) η απόκλιση αυτού του συντελεστή είναι μικρότερη στα 20 μέτρα σε σχέση με τα 10 μέτρα. Επίσης στα επιχώματα δεν παρουσιάζεται το προαναφερθέν γεγονός της μη σύγκλισης. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 38

39 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 39

40 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Όγκοι χωματουργικών για κάθε πύκνωση Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 40

41 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 41

42 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 42

43 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 43

44 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 44

45 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 45

46 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 46

47 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 47

48 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ Ποσοστιαίες αποκλίσεις όγκων για κάθε πύκνωση ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) ENVIR ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,35% 0,26% -0,15% 0,01% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -2,33% -0,76% 0,06% -0,16% 0,00% ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) METRO ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,31% 0,03% 0,04% 0,01% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,70% -0,08% -0,01% -0,04% 0,00% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 48

49 ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) demo_1 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,77% 0,03% -0,10% 0,00% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -1,59% 0,23% 0,14% -0,05% 0,00% ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) demo_2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,37% 0,47% 0,03% 0,00% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 0,46% 1,07% 0,10% 0,01% 0,00% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 49

50 ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) demo_3 ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,22% -0,13% 0,21% -0,01% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -1,19% 0,35% -0,28% 0,05% 0,00% ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,57% 0,30% 0,46% 0,14% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,66% 0,46% 0,03% 0,06% 0,00% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 50

51 ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) ΚΡΗΤΗ_second ΟΡΥΓΜΑΤΑ -1,43% -0,84% -0,17% 0,03% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -2,07% -0,90% 0,04% 0,00% 0,00% ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ% (από πύκνωση ανά 1 m) 20 (λ/4) ΠΗΛΙΟ_first ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,20% 0,36% 0,11% -0,01% 0,00% ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 0,28% 0,35% 0,04% 0,00% 0,00% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 51

52 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Απόκλιση από τους πραγματικούς όγκους για κάθε πύκνωση ανά χλμ ENVIR ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,39 0,29-0,17 0,01 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,94-0,31 0,03-0,06 0,00 METRO ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,13 0,01 0,02 0,00 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,26-0,03 0,00-0,02 0,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 52

53 demo_1 ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,66 0,02-0,09 0,00 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,92 0,13 0,08-0,03 0,00 demo_2 ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,10 0,13 0,01 0,00 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 0,12 0,28 0,03 0,00 0,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 53

54 demo_3 ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,07-0,04 0,06 0,00 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,21 0,06-0,05 0,01 0,00 ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,04 0,02 0,03 0,01 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,07 0,05 0,00 0,01 0,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 54

55 ΚΡΗΤΗ_second ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ -0,45-0,27-0,05 0,01 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ -0,49-0,22 0,01 0,00 0,00 ΠΗΛΙΟ_first ΚΥΒΙΚΑ ανά ΧΛΜ 20 (λ/4) ΟΡΥΓΜΑΤΑ 0,01 0,03 0,01 0,00 0,00 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ 0,07 0,09 0,01 0,00 0,00 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 55

56 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ IV Κλίσεις εδάφους ENVIR Έδαφος : Έδαφος 3 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , Άπειρο 21444,99 41,26% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 56

57 METRO Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , , Άπειρο 3510,71 11,82% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 57

58 demo_1 Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , Άπειρο 28251,73 45,61% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 58

59 demo_2 Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , , Άπειρο 20835,03 43,71% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 59

60 demo_3 Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , , Άπειρο 20835,03 43,71% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 60

61 ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , , Άπειρο 1545,34 19,15% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 61

62 Crete_second Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , , Άπειρο ,45 40,11% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 62

63 Pelio_first Έδαφος : Έδαφος 1 Κλίμακα : Κλίσεις Εδάφους 1 Κλίσεις (%) Εμβαδό (τ.μ.) ΜΕΣΗ ΚΛΙΣΗ , , , , Άπειρο 24751,75 20,26% Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 63

64 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V Συγκεντρωτικός πίνακας όγκων χωματισμών με χρήση της τυπικής διατομής (η1,η2,ε3) ΕΡΓΟ ELLINOP ENVIR METRO demo_1 demo_2 demo_3 ΚΑΛΛΙΠΕΥΚΗ ΚΡΗΤΗ_second ΠΗΛΙΟ_first ΠΥΚΝΩΣΗ ΑΝΑ (m) ΜΕ ΧΡΗΣΗ λ/4 ΜΕ ΧΡΗΣΗ λ/2 ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ % ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 20 (λ/4) λ/4 λ/2 (πιο ακριβές) ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,9 0,61% 0,69% το λ/4 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,8-2,45% -0,84% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,6-0,35% 0,26% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,3-2,33% -0,76% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,6-0,31% 0,03% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,4-0,70% -0,08% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,2-0,77% 0,03% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,5-1,59% 0,23% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,0 0,37% 0,47% το λ/4 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,6 0,46% 1,07% το λ/4 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,2-0,22% -0,13% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,3-1,19% 0,35% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,9-0,57% 0,30% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,2-0,66% 0,46% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,5-1,43% -0,84% το λ/2 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,4-2,07% -0,90% το λ/2 ΟΡΥΓΜΑΤΑ , , , , ,1 0,20% 0,36% το λ/4 ΕΠΙΧΩΜΑΤΑ , , , , ,0 0,28% 0,35% το λ/4 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 64

65 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Γ.ΚΑΝΕΛΛΑΪΔΗΣ Γ. ΜΑΛΕΡΔΟΣ Γ. ΓΛΑΡΟΣ (2001), ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ ΙΙ, χωματισμοί κίνηση γαιών, ΕΜΠ. ΚΩΝΣΤ. ΧΑΡ. ΚΩΤΣΟΒΟΛΟΥ, ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΕΡΓΑ, Οδοποιία. Α. Π. ΓΙΩΤΗΣ Γ.ΚΑΝΕΛΛΑΪΔΗΣ Γ. ΜΑΛΕΡΔΟΣ (1990), ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΔΩΝ, ΕΜΠ. CE%95-41.pdf Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σελίδα 65

ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ. ωτήρης Λυκουργιώτης

ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ. ωτήρης Λυκουργιώτης ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ ωτήρης Λυκουργιώτης ΦΩΜΑΣΙΜΟΙ Για τον υπολογισμό των όγκων χωματισμών έχουν χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς διάφορες μέθοδοι. Οι περισσότερες βασίζονται στη χρήση διατομών. Διατομές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ

ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Περιεχόμενο της Οδοποιΐας 1 1.2. Κανονισμοί 2 1.2.1. Ιστορικό 2 1.2.2. Ισχύοντες Κανονισμοί στην Ελλάδα 5 1.2.3. Διαδικασία Εκπόνησης Μελετών Οδοποιΐας 6 1.3. Ανάπτυξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία IΙ. Ενότητες 5 & 6 : Χωματισμοί, κίνηση και διανομή γαιών Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Οδοποιία IΙ. Ενότητες 5 & 6 : Χωματισμοί, κίνηση και διανομή γαιών Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία IΙ Ενότητες 5 & 6 : Χωματισμοί, κίνηση και διανομή γαιών Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ»

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ» Ο σχεδιασμός μιας οδού είναι μια σύνθετη και επαναληπτική διαδικασία. Με τα σημερινά μέσα (υπολογιστές και

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία II. Ενότητα 8: Εφαρμογές Οδοποιία ΙI. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Οδοποιία II. Ενότητα 8: Εφαρμογές Οδοποιία ΙI. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία II Ενότητα 8: Εφαρμογές Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 1. Εισαγωγή ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι γραφικές παραστάσεις (ή διαγράμματα) χρησιμεύουν για την απεικόνιση της εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΟΠΟΙΙΑ Ι: 3η Διάλεξη ΟΜΟΕ-Χ (Κριτήρια Ασφαλείας Ι, ΙΙ και ΙΙΙ)

ΟΔΟΠΟΙΙΑ Ι: 3η Διάλεξη ΟΜΟΕ-Χ (Κριτήρια Ασφαλείας Ι, ΙΙ και ΙΙΙ) ΟΔΟΠΟΙΙΑ Ι: 3η Διάλεξη ΟΜΟΕ-Χ (Κριτήρια Ασφαλείας Ι, ΙΙ και ΙΙΙ) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Υπεύθυνος Μαθήματος Γαλάνης Αθανάσιος Πολιτικός Μηχανικός PhD Επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Άγγελος Βασιλάς, Σπουδαστής ΕΜΠ Κωνσταντίνος Αποστολέρης, Πολιτικός Μηχανικός, MSc Σοφία Βαρδάκη, Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

12-13 Μαρτίου 2015 Αθήνα. Εντοπισμός δυνητικών θέσεων τροχαίων ατυχημάτων σε υφιστάμενο οδικό δίκτυο αναφορικά με τη γεωμετρία της οδού

12-13 Μαρτίου 2015 Αθήνα. Εντοπισμός δυνητικών θέσεων τροχαίων ατυχημάτων σε υφιστάμενο οδικό δίκτυο αναφορικά με τη γεωμετρία της οδού 12-13 Μαρτίου 2015 Αθήνα Εντοπισμός δυνητικών θέσεων τροχαίων ατυχημάτων σε υφιστάμενο οδικό δίκτυο αναφορικά με τη γεωμετρία της οδού Κωνσταντίνος Αποστολέρης Πολιτικός Μηχανικός, MSc Φώτης Μερτζάνης

Διαβάστε περισσότερα

Αγωγιμομετρία. Η Πορεία των Υπολογισμών με Παραδείγματα.

Αγωγιμομετρία. Η Πορεία των Υπολογισμών με Παραδείγματα. Αγωγιμομετρία Η Πορεία των Υπολογισμών με Παραδείγματα. Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την ισοδύναμη αγωγιμότητα άπειρης αραίωσης για κάθε ηλεκτρολύτη. Εδώ πρέπει να προσέξουμε τις μονάδες. Τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α)

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α) Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Αγ. Νικόλαος), Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σελίδα 1 από 13 5η Εργαστηριακή Άσκηση Σκοπός: Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση στοχεύει στην εκμάθηση κατασκευής γραφημάτων που θα παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 3 η Διάλεξη : Μορφοποίηση Δεδομένων Φώτιος Π. Μάρης, Αναπλ. Καθηγητής Δ.Π.Θ. Πηγή: Τίτλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και έλεγχος της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στην ελεύθερη πτώση σώματος. (Ανάλυση video μέσω του Σ.Σ.Λ.Α, LoggerPro της Vernier)

Μελέτη και έλεγχος της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στην ελεύθερη πτώση σώματος. (Ανάλυση video μέσω του Σ.Σ.Λ.Α, LoggerPro της Vernier) Μελέτη και έλεγχος της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στην ελεύθερη πτώση σώματος. (Ανάλυση video μέσω του Σ.Σ.Λ.Α, LoggerPro της Vernier) Στόχοι Να μελετήσουμε τις μεταβολές της κινητικής και της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Γραφήματα οικογένειας παραβολών

Γραφήματα οικογένειας παραβολών Γραφήματα οικογένειας παραβολών Η βολή ενός αντικειμένου στον αέρα έχει ως αποτέλεσμα μια καμπυλωμένη τροχιά, η οποία είναι πάντοτε μια παραβολή. Η παραβολή είναι το γράφημα μιας δευτεροβάθμιας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα: Α 2 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ονοµατεπώνυµο:.. Πειραιάς 4 /12 / 2006 Οδηγίες: Στις τρεις πρώτες ερωτήσεις, να επιλέξτε την σωστή πρόταση. Προσοχή!! Υπάρχει και η πίσω σελίδα. Μην ξεχάσετε

Διαβάστε περισσότερα

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τη σειρά si. Λύση: Παρατηρούμε ότι si 0 άρα η σειρά δεν συγκλίνει. Συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

4 Το άτομο ως παραγωγός (η προσφορά των αγαθών)

4 Το άτομο ως παραγωγός (η προσφορά των αγαθών) 4 Το άτομο ως παραγωγός (η προσφορά των αγαθών) Σκοπός Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε τη ζήτηση των αγαθών, η οποία προέρχεται από τα νοικοκυριά (τους καταναλωτές). Τα αγαθά αυτά παράγονται και προσφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Η οδός βρίσκεται στον νομό Κιλκίς στο γεωγραφικό διαμέρισμα της κεντρικής Μακεδονίας.

Η οδός βρίσκεται στον νομό Κιλκίς στο γεωγραφικό διαμέρισμα της κεντρικής Μακεδονίας. Η οδός βρίσκεται στον νομό Κιλκίς στο γεωγραφικό διαμέρισμα της κεντρικής Μακεδονίας. Συνδέει την κωμόπολη Αξιούπολη με το χωριό Φανός. Ο Φανός έπειτα συνδέεται με τα χωρία Σκρά και Πλαγία. Ο υφιστάμενος

Διαβάστε περισσότερα