ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 Σεραφείµ Καραµογιάς 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόο ανάτυξης σε σειρά ourir ενός εριοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό ourir ενός µη εριοδικού αναλογικού σήµατος, ο οοίος αρέχει τη δυνατότητα µετάβασης αό το εδίο του χρόνου στο εδίο της συχνότητας. ώσουµετηφυσικήσηµασίατουανατύγµατοςσεσειρά ourir και του µετασχηµατισµού ourir.

2 Σεραφείµ Καραµογιάς Εφαρµόσουµε το αραάν ανάτυγµα/µετασχηµατισµό στις εριτώσεις α του εριοδικού τετραγνικού σήµατος, β του τετραγνικού αλµού και γ του αιτιατού εκθετικού σήµατος. Θα αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού ourir. Υολογίσουµε το µετασχηµατισµό ourir µερικών βασικών συναρτήσεν. Εεκτείνουµε τις έννοιες της ενέργειας και της ισχύος τόσο στο εδίο του χρόνου όσο και στο εδίο τν συχνοτήτν. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-

3 Στο χώρο τν n-διαστάσεν κάθε διάνυσµα αριστάνεται ς n a a i i i Το εστερικό γινόµενο δύο διανυσµάτν ορίζεται αότησχέση a, b a b a b n i Για µια ορθοκανονική βάση διανυσµάτν οι συντεταγµένες α, α,, α n, ενός διανύσµατος a, είναι οι ροβολές του a σε κάθε ένα αό τα διανύσµατα βάσης και ροσδιορίζονται αό τη σχέση a i a, i i,,, n Το µέτρο norm ή µήκος ενός διανύσµατος, ορίζεται αό τη σχέση a a, a i i n a i i Ένα σύνολο διανυσµάτν a, a,, a n καλείται ορθοκανονικό όταν a a, m δ m,, m m n n ψ, ψ ψ d n n b a n n ψ, ψ δ m m d b *, y y a Σεραφείµ Καραµογιάς, b a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-3 d

4 Σεραφείµ Καραµογιάς Περιγραφή σήµατος στο εδίο του χρόνου και της συχνότητας Υάρχουν δύο τρόοι εριγραφής ενός αιτιοκρατικού σήµατος. Ο ρώτος τρόος εριγραφής ραγµατοοιείται στο εδίο του χρόνου, ενώ ο δεύτερος στο εδίο της συχνότητας. Ο ρώτος τρόος είναι άµεσα αντιλητός και η χρονική µεταβολή του σήµατος δίδεται είτε µέσ αναλυτικής σχέσης µαθηµατικός τύος είτε µε γραφική αράσταση. συν f A + 4 A A A Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-4

5 Σεραφείµ Καραµογιάς Η εριγραφή τν σηµάτν στο εδίο της συχνότητας εριλαµβάνει, κατά ερίτση, τη χρήση της σειρά ή του µετασχηµατισµού ourir µέσ τν οοίν ένα σήµα εριγράφεται αό το φασµατικότουεριεχόµενο. Πλάτος A f +φ Aσυν f Συχνότητα Φάση φ f Συχνότητα Το φάσµα του σήµατος Η συνάρτηση η οοία εριέχει τη φασµατική εριγραφή ενός σήµατος ονοµάζεται φάσµα του σήµατος. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-5

6 Σεραφείµ Καραµογιάς Πλάτος a a sin f a f Συχνότητα Χρόνος Πλάτος a3 sin 3 f a 3 a 3 3 f Συχνότητα Χρόνος Πλάτος a a 3 + f 3 f Συχνότητα Χρόνος Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-6

7 Το εστερικό γινόµενο δύο σηµάτν και y είναι Θα ροσδιορίσουµε το εστερικό γινόµενο τν σηµάτν, y ύο µη µηδενικά σήµατα και y λέγονται ορθογώνια αν και µόνο αν το εστερικό τους γινόµενο ισούται µε µηδέν, y. j και Σεραφείµ Καραµογιάς a b jm * y d j j m, m j m d j j m d, m j j m, j m d m j j m j m j m j m + j j m cos m j sin m Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-7

8 Το εστερικό γινόµενο δύο σηµάτν και y είναι Θα ροσδιορίσουµε το εστερικό γινόµενο τν σηµάτν, y j και Σεραφείµ Καραµογιάς ύο µη µηδενικά σήµατα και y λέγονται ορθογώνια αν και µόνο αν το εστερικό τους γινόµενοισούταιµεµηδέν. * y d jm j j m, j m d j j m d, m δ m, m m j j m, j d d Παρατηρούµε ότι το εστερικό γινόµενο τν σηµάτν και είναι ίσο µε µηδέν για m, εοµένς τα σήµατα είναι ορθογώνια και σχηµατίζουν ένα σύνολο ορθογώνιν σηµάτν. j jm Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-8

9 Σεραφείµ Καραµογιάς Το σύνολο τν ορθογνίν αναλογικών εκθετικών εριοδικών σηµάτν Γιαταεκθετικάσήµατα j,, ±, ±,..., αρατηρούµε j j m, j m d δ m j Τα εκθετικά σήµατα j,, ±, ±,..., σε οοιοδήοτε εερασµένο χρονικά διάστηµα [, + ], διάρκειας /, καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα εκθετικά σήµατα και σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο σηµάτν. Εοµένς κάθε σήµα στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται j a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-9

10 Σεραφείµ Καραµογιάς Έστ τώραένασήµα στο διάστηµα [, + ], καιαςυοθέσουµεότιείναιδυνατόννα ανατυχθεί σε άθροισµα εκθετικών στοιχειδών σηµάτν, a j Θαυολογίσουµετουςσυντελεστές a Πολλαλασιάσουµε και τα δύο µέλη µε j n j n a j j n καιολοκληρώνουµεαό ές +, + j n d + j j n a d a + j a j, j n j n Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3- d

11 Σεραφείµ Καραµογιάς j j n, j j n d, n, n δ n n + j n j n d a j, n n n+ j n a, j n +, n j n a n j n + n+ j n a, + j n + j n d a n a n + j n d Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-

12 Σεραφείµ Καραµογιάς ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ OURIER - ΣΕΙΡΑ OURIER Εκθετική σειρά ourir j a Εξίσση σύνθεσης a n + j n d Εξίσση ανάλυσης Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-

13 Σεραφείµ Καραµογιάς j a Η σειρά αοτελεί την εκθετική σειρά ourir ή το ανάτυγµα ourir του σήµατος Οιµιγαδικοίσυντελεστές a καλούνταισυντελεστές ourirήφασµατικέςγραµµές του και ορίζουντοφάσµατουσήµατος Κάθεσυντελεστής a δηλώνειτο φασµατικό εριεχόµενο του σήµατος στη συχνότητα καιονοµάζεται στη αρµονικήσυνιστώσα. Ησταθερά a είναιησυνεχήςήησταθεράσυνιστώσατουφάσµατος. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-3

14 Σεραφείµ Καραµογιάς Να υολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourir για το εριοδικό ορθογώνιο σήµα, <, < < a a sin Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-4

15 Σεραφείµ Καραµογιάς a 4 a a a sin sin sin a 4 4 sin a 3 sin sin a sin a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-5

16 Σεραφείµ Καραµογιάς a 5 4 a a a sin sin sin a 4 4 sin a 3 sin sin 3 3 sin 4 a a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-6

17 Το σύνολο τν ορθογνίν αναλογικών τριγνοµετρικών εριοδικών σηµάτν. Γιατασήµατα, sin και cos,αρατηρούµεότι Σεραφείµ Καραµογιάς sin m,sin δ m cos m, cos δ m sin, cos m, γιακάθε και m Τασήµατα, sin και cos, < <, σεοοιοδήοτεεερασµένοχρονικάδιάστηµα [, +], διάρκειας / καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα σήµατακαισχηµατίζουνέναορθογώνιοσύνολο. Εοµένς κάθε σήµα στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται a + b cos + c sin Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-7

18 Τριγνοµετρική σειρά ourir Σεραφείµ Καραµογιάς a + b cos + c sin a + d ΗΜέσηΤιµήτουσήµατος b c + + d,,... cos d,,... sin Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-8

19 Σεραφείµ Καραµογιάς Αν χρησιµοοιήσουµε τη γνστή τριγνοµετρική ταυτότητα b cos ϕ + c sin ϕ A cos ϕ+ θ a + b a όου cos A b + c και + c sin + cos + c + cos + c sin b sin b θ an + c b a + A + + A cos + θ cos θ + A + b c A + b c Γενικά θ an c b A θ an + A cos + θ c b A a A + b c και an θ c b Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-9

20 Σεραφείµ Καραµογιάς j a Σειρές ourir a n + j n d A + A cos + θ A a a + b cos + c sin a b j c Παρατηρούµε ότιταλάτητου τριγνοµετρικού ανατύγµατος A είναιίσαµε τοδιλάσιοτναντιστοίχνσυντελεστώντουεκθετικούανατύγµατος a. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-

21 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Ναυολογιστούνοισυντελεστέςτηςεκθετικήςσειράς ourir γιατασήµατα: A cos A sin j a j j + a + a + a + a j + a j 3 + a + j 3 3 Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-

22 Σεραφείµ Καραµογιάς Κατασκευήτουσήµατος αόαρµονικάσυσχετιζόµενασυνηµίτονα. Φυσική σηµασία της εκθετικής σειράς ourir. 5 j a 5 a 5 5 a a a a 3 6 a 6 a a 5 5 j j6 + j j j cos j6 j6 j cos j j j j cos j sin j cos + j sin j cos ρόσθεση j + cos j Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-

23 Πλάτος 5 j a 5 + cos + cos 3 Σεραφείµ Καραµογιάς 6 + cos Συχνότητα + Πλάτος cos Πλάτος Πλάτος Συχνότητα Συχνότητα 5 Συχνότητα cos cos Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-3

24 Σειρές ourir εριοδικών σηµάτν Σεραφείµ Καραµογιάς + 3 a j a n + j n d + 3 Ορίσαµε το ανάτυγµα σε σειρά ourir ενός εριοδικού σήµατος, +, σ ένα + a j διάστηµα [, + ]. Παρατηρούµεότιησειρά ourir συγκλίνειστοσήµα για κάθε χρονική στιγµή, δηλαδή a j < < Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-4

25 Σειρές ourir µη εριοδικών σηµάτν Σεραφείµ Καραµογιάς + a j a n + j n d Ορίσαµετοανάτυγµασεσειρά ourirενόςµηεριοδικούσήµατοςσ έναδιάστηµα [, +]. Έξ αό το διάστηµα αυτό η σειρά ourir σήµα, δηλαδή + j a a j < + < δεν συγκλίνει κατ ανάγκη στο Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-5

26 Σεραφείµ Καραµογιάς Ύαρξη σειράς ourir. Ικανή Συνθήκη: Σε κάθε ερίοδο το σήµα να είναι αόλυτα ολοκληρώσιµο: + d < + Ησυνθήκηαυτήεξασφαλίζειότικάθεσυντελεστήςα είναιεερασµένος + a j d + d < + Ένασήµατοοοίοαραβαίνειτησυνθήκηαυτήείναιτοσήµα, < Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-6

27 Σεραφείµ Καραµογιάς. Ικανή Συνθήκη: Το σήµα σε κάθε εερασµένο χρονικό διάστηµα είναι συνεχές ή να εριέχει εερασµένο αριθµό ασυνεχειών, κάθε µία αό τις οοίες να είναι εερασµένου ύψους., < /, 4 < /4, 6 <, Ικανή Συνθήκη: Το σήµα σε κάθε εερασµένο χρονικό διάστηµα να είναι φραγµένης κύµανσης, δηλαδήναυάρχουνεερασµένοςαριθµόςµεγίστνκαιελαχίστνστοδιάστηµα. sin, < Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-7

28 Φαινόµενο Gibbs Σεραφείµ Καραµογιάς Ας ροσαθήσουµε να ροσεγγίσουµε το εριοδικό σήµα αό το εερασµένο άθροισµα Το σφάλµα ροσέγγισης είναι: Εφαρµογή: Για N έχουµε N N +N N a j N + a j j j j + a a j a + cos cos j + j a j a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν

29 Σεραφείµ Καραµογιάς + cos y y cos + + cos Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-9

30 + cos Σεραφείµ Καραµογιάς 3 cos cos 5 cos + cos cos Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-3

31 Σεραφείµ Καραµογιάς 8 N 8 79 N 79 Στα σηµεία ασυνέχειας του το ανάτυγµα σε σειρά ourir δίνει τη µέση τιµή του αριστερού και του δεξιού ορίου του σήµατος, δηλαδή N + + Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-3

32 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Ναυολογιστείηµέσηισχύςκάθεόρουτηςεκθετικήςσειράς ourir + j a Αάντηση P j j a a a d * d a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-3

33 Σεραφείµ Καραµογιάς Ταυτότητα του Parsval P d a Ηολικήµέσηισχύςενόςεριοδικούσήµατοςείναιίσηµετοάθροισµατνισχύν όλν τν όρν της εκθετικής σειράς ourir, ράγµατι, P d * d + j a d + a j + d a + a a Αντοσήµα είναιραγµατικόλόγτηςα * α - έχουµε P d a + a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-33

34 Παράδειγµα Ναυολογιστείηµέσηισχύςκάθεόρουτηςτριγνοµετρικήςσειράς ourir θ a + A cos + Σεραφείµ Καραµογιάς P d A + cos θ d + cos cos ϕ ϕ A + cos + θ d A d + A cos + θ d Αάντηση P A + d cos θ A Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-34

35 Σεραφείµ Καραµογιάς Παρατηρήσεις Στο τριγνοµετρικό ανάτυγµα ourir το σήµα έχει αναλυθεί σε ένα άθροισµασυνηµιτόνν, κάθεένααόταοοίαέχειδιαφορετικόλάτος A και φάσηθ. a + A cos + θ αρατηρούµε ότι δεν υεισέρχονται αρνητικές συχνότητες. Στην εκθετική σειρά ourir το σήµα έχει αναλυθεί σε ένα άθροισµα εκθετικών σηµάτν, κάθεένααόταοοίαέχειδιαφορετικόλάτοςα. + j a αρατηρούµε ότι τώρα υεισέρχονται στο άθροισµα αρνητικές συχνότητες. Οι αρνητικές συχνότητες υεισέρχονται στο άθροισµα εειδή ανατύσσουµε ένα ραγµατικό σήµα µε τη βοήθεια µιγαδικών συναρτήσεν. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-35

36 Σεραφείµ Καραµογιάς Η µέση ισχύς κάθε όρου της τριγνοµετρικής σειράς ourir είναι A P Η µέση ισχύς κάθε όρου της εκθετικής σειράς ourir είναι P a Γιαραγµατικάσήµατα * a a ή a a, δηλαδή P στης * a a P στης Είσηςγιαραγµατικάσήµαταεειδή A a έχουµε P a + a A Η ύαρξη αρνητικής συχνότητας, για ραγµατικά σήµατα είναι αόρροια της ανααράστασης του σήµατος µε τη βοήθεια µιγαδικών σηµάτν και έχει ς αοτέλεσµα να µοιράζει εξίσου την ισχύ µεταξύ θετικής και αρνητικής αρµονικής. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-36

37 Σεραφείµ Καραµογιάς Γιατοεριοδικόορθογώνιοσήµα, <, < < Οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourir είναι a a sin Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-37

38 a sin a a Σεραφείµ Καραµογιάς Περιβάλλουσα Τ sin Τ Η συνεχής συνιστώσα του φάσµατος είναι a Η θεµελειώδης συχνότητα είναι Η αόσταση µεταξύ τν φασµατικών γραµµών είναι Ο ρώτος µηδενισµός της εριβάλλουσας του φάσµατος γίνεται όταν Η συχνότητα του ρώτου µηδενισµού είναι sin Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-38

39 Στο ανάτυγµα σε σειρά ourir, η εξίσση ανάλυσης + j a αναλύειένασήµα στοδιάστηµα [, +], ήστοδιάστηµα -, αντοσήµα είναι εριοδικό, σε ένα διακριτό φάσµα εριοδικών εκθετικών σηµάτν µε συχνότητες, µελάτοςα. j a d Σεραφείµ Καραµογιάς Όταντοσήµα είναισήµατάσηςηµονάδαµέτρησηςτνσυντελεστών a Vols. είναι Με άλλα λόγια το ανάτυγµα ourir τν εριοδικών σηµάτν ανααριστά µη εριοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόο αυτό αοκαλύτει το φασµατικό του εριεχόµενο. Όταν το σήµα δεν είναι εριοδικό τότε ο µετασχηµατισµός ourir ανααριστά το σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόο αυτό αοκαλύτει το φασµατικό του εριεχόµενο. a a a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-39

40 X ή X ΟΜετασχηµατισµός ourir ήτοφάσµατου + + f j d j f d Η συνάρτηση X αοτελεί την εξίσση ανάλυσης και είναι ο Μετασχηµατισµός ourir Μτουσήµατος. Σεραφείµ Καραµογιάς Ακριβέστερα, µετασχηµατισµός ourir είναι ο κανόνας εύρεσης της X αό την. ή + + j X d j f X f df Η εξίσση αοτελεί την εξίσση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήµα στο εδίο του χρόνου Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-4

41 Σεραφείµ Καραµογιάς Ναυολογιστείοµετασχηµατισµός ourir τουορθογώνιουαλµούδιάρκειας., <, αλλιώς Αάντηση: X sin X Συνεχές φάσµα εριοδικών εκθετικών σηµάτν Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-4

42 Οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourir για το εριοδικό ορθογώνιο σήµα. Σεραφείµ Καραµογιάς a a a sin 4 a a a 3 3 a 3 3 ιακρικό φάσµα εριοδικών εκθετικών σηµάτν µε αρµονικά συσχετιζόµενες συχνότητες Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-4

43 Σεραφείµ Καραµογιάς Στο µετασχηµατισµό ourir, η εξίσση ανάλυσης + j X d αναλύει ένα µη εριοδικό σήµα στο διάστηµα, σ ένα συνεχές φάσµα εριοδικών εκθετικώνσηµάτν. X είναι το φασµατικό εριεχόµενο στο αειροστό διάστηµα συχνοτήτν [, + d]. Η συνεισφορά τν συχνοτήτν [, + d] έχει λάτος X d ή X f df Ο µετασχηµατισµός ourir X είναι η φασµατική υκνότητα λάτους. Όταν είναι σήµα τάσης, τότε ο X έχει µονάδα µέτρησης Vols ανά µονάδα συχνότητας. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-43

44 Σεραφείµ Καραµογιάς Ο µετασχηµατισµός ourir αρέχει τη δυνατότητα µετάβασης αό το εδίο του χρόνου στο εδίοσυχνότητας. Με το µετασχηµατισµό ourir αναλύουµε µη εριοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόο αυτό αοκαλύτεται το φασµατικό τους εριεχόµενο. Το αιτιατό εκθετικό σήµα a u, a R έχει µετασχηµατισµό ourir X X a a a a a + j arg X a 4 Το αιτιατό εκθετικό σήµα. 4 a Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-44

45 Να υολογιστεί το σήµα, του οοίου ο µετασχηµατισµός ourir είναι, αράθυρο συχνοτήτν µε λάτος W, δηλαδή, X, < W, αλλιώς Σεραφείµ Καραµογιάς Αάντηση sin W X W W W W W Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-45

46 Συνάρτηση ειγµατοληψίας Σεραφείµ Καραµογιάς sinc sin,, sinc Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-46

47 Σεραφείµ Καραµογιάς A X f A A y A Y f A 3 f A ˆ Xˆ f 3 f A A A 3 f Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-47

48 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού ourir Σεραφείµ Καραµογιάς X { } X Συζυγία * * X Γραµµικότητα c + c c X + c X, <, αλλιώς a u X sin X a+ j X X Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-48

49 Άρτιο-εριττόµέροςσήµατος. Πραγµατικό-φανταστικό µέρος φάσµατος Ολίσθηση στο χρόνο γιακάθεραγµατικόαριθµό. o { X } R { X } jim j X Σεραφείµ Καραµογιάς X, <, αλλιώς X sin,, < αλλιώς X sin j Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-49

50 Σεραφείµ Καραµογιάς Ολίσθηση συχνότητας j X Η ιδιότητα αυτή αοτελεί τη βάση της διαµόρφσης ου χρησιµοοιείται ευρές στις τηλεικοιννίες., <, αλλιώς a u X sin X a+ j X X Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-5

51 M A Σεραφείµ Καραµογιάς Εφαρµογή: Αν το σήµα µηνύµατος m έχει φάσµα M το µέτρο του οοίου είναι W W Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο σήµα m. Ναβρεθείτοφάσµατουσήµατος z m cos W W + W { } z [ M + M + ] Z A W +W Το φάσµα του διαµορφµένου σήµατος. W Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-5

52 Σεραφείµ Καραµογιάς Αλλαγή κλίµακας στο χρόνο και τη συχνότητα - Ανάκλαση a X και X a a a a a X X X Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-5

53 Σεραφείµ Καραµογιάς Ανάκλασης X Θεώρηµα της Συνέλιξης y h Y H X h y h H X Y H X Υολογίζεται εύκολα το φάσµα του σήµατος εξόδου Y ενός ΓΧΑ συστήµατος αν γνρίζουµε το φάσµα του σήµατος εισόδου X και την αόκριση συχνότητας H. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-53

54 Θεώρηµα του Parsval E d X d X f df Σεραφείµ Καραµογιάς Η οσότητα X εκφράζει την κατανοµή ενέργειας ανά µονάδα συχνότητας και ονοµάζεται φασµατική υκνότητα ενέργειας του σήµατος., <, αλλιώς a u X sin X a+ j X X Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-54

55 Παραγώγιση j X d d α στο εδίο του χρόνου d X d j β στο εδίο συχνότητας Σεραφείµ Καραµογιάς Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-55 y d y d RC + C A B y Γ i M N d d b d y d a Για σήµα έχουµε και j j H y j H j d dy + j j j H H j RC + y d y d RC + H H j RC RC j H +

56 Παραγώγιση Σεραφείµ Καραµογιάς α στο εδίο του χρόνου d d j X, <, αλλιώς a u u β στο εδίο συχνότητας j d d X X sin X X a+ j a+ j a δ X sgn X, j X X Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-56

57 Ολοκλήρση τ dτ X + X δ j Συµµετρίες για ραγµατικά σήµατα R Im X X * X R X { } { } { } { } X Im X Σεραφείµ Καραµογιάς Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-57

58 υϊσµός X Το σήµα y X έχει µετασχηµατισµό ourir: Y Σεραφείµ Καραµογιάς X W X W W W W Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-58

59 Σεραφείµ Καραµογιάς υϊσµός X Το σήµα y X έχει µετασχηµατισµό ourir: Y, <, αλλιώς a u X sin X a+ j u X a+ j δ X a X δ δ f u X δ + j a a X a + y Y + Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-59

60 Ναυολογιστείοµετασχηµατισµός ourir τουτριγνικούαλµούδιάρκειας. u u u d d + + Λ d d + + Λ δ δ δ < Λ αλλιώς,, < Λ αλλιώς,, Οτριγνικόςαλµόςδιάρκειας. Λ Λ d d Η ρώτη αράγγος του τριγνικούαλµούδιάρκειας. Λ d d Η δεύτερη αράγγος του τριγνικούαλµούδιάρκειας. Λ c sin Σεραφείµ Καραµογιάς Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-6

61 Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ourir του σήµατος cos εοµένς ο µετασχηµατισµός ourir του σήµατος είναι { } { } [ ] cos δ δ + + Το σήµα γράφεται και ς j j + δ δ j X o j X Οµετασχηµατισµός ourir τουσήµατος cos. Σεραφείµ Καραµογιάς Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-6

62 Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ourir του σήµατος cos u Το σήµα γράφεται και ς u u j j + εοµένς ο µετασχηµατισµός ourir του σήµατος είναι { } { } [ ] cos δ δ j u Συνεχές τµήµα του φάσµατος ιακριτό τµήµα του φάσµατος δ δ + + j u j u j X o j Σεραφείµ Καραµογιάς Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-6

63 Μετασχηµατισµός ourir εριοδικών σηµάτν j a X a δ Όςγνρίζουµεέναεριοδικόσήµαανατύσσεταισεσειρά ourir j a δ δ j X o j Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός ourir εεκτείνεται και στα εριοδικά σήµατα. Σεραφείµ Καραµογιάς Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-63

64 Σεραφείµ Καραµογιάς j a a sin, καια a δ X X Ο µετασχηµατισµός ourir για το εριοδικό ορθογώνιο κύµα Το φάσµα ενός εριοδικού σήµατος µε ερίοδο αοτελείται αό συναρτήσεις δέλτα οµοιόµορφα κατανεµηµένες σε αόσταση /Τ µε λάτος φορές το αντίστοιχο λάτος του συντελεστή της εκθετικής σειράς ourir του σήµατος. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-64

65 Συναρτήσεις Συσχέτισης Σεραφείµ Καραµογιάς Για ένα σήµα ενέργειας ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R τ + τ τ τ d + τ + d Για ένα σήµα ισχύος ορίζεται η µέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R τ lim τ d Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R τ εξαρτάται αό το λάτος του σήµατος. Ορίζεται ο συντελεστήςαυτοσυσχέτισηςοοοίοςείναιανεξάρτητοςαότολάτοςτουσήµατος. r τ R τ E Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-65

66 Ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η ενέργεια, E, σήµατος,, είναι ίση µε τη τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήµατος, R τ, γιατ. + R τ τ d τ + R d Σεραφείµ Καραµογιάς Ο M της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήµατος ισούται µε τη φασµατική υκνότητα ενέργειαςτουσήµατος. R τ τ τ [ R τ ] X E X R τ h R h τ y h R τ R τ R τ y h Y X H Σχέσεις µεταξύ τν συναρτήσεν εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της εξόδου ΓΧΑ συστήµατος ισούται µε τη συνέλιξη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της εισόδου µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της κρουστικής αόκρισης του συστήµατος Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-66

67 Ιδιότητες της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Ηµέσηισχύς, P σήµατος είναιίσηµετηµέσηχρονικήσυνάρτησηαυτοσυσχέτισης, R τ, γιατ. R τ lim τ d τ Ο µετασχηµατισµός ourir της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, ισούται µε τη φασµατική υκνότητα ισχύος του σήµατος. [ R τ ] S Ησυνάρτηση S εριγράφειτοντρόοµετονοοίοκατανέµεταιηισχύςτουσήµατοςστο χώρο τν συχνοτήτν. R lim Σεραφείµ Καραµογιάς d P R τ S h R h τ y h R y τ R τ * h τ * h S S H y * τ Σχέσεις µεταξύ τν συναρτήσεν εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-67

68 Με τη βοήθεια ενός radar είναι δυνατή η µέτρηση της αόστασης στην οοία βρίσκεται ένας στόχος.χ. αερολάνο. Το σήµα εκοµής αοτελείται αό ορθογώνιους αλµούς διάρκειας, οι οοίοι εαναλαµβάνονταιµεερίοδοτ. Υοθέτουµε ότι ο στόχος βρίσκεται σε αόσταση d. Το χρονικό διάστηµα τ αό τη στιγµή εκοµής του αλµού µέχρι τη στιγµή ου φτάνει η ηχώ του στόχου είναι τ d c όου c είναι η ταχύτητα του φτός. r τ + τ Οαλµόςεκοµής,καιοαλµόςλήψης r, σε ένα ιδανικό σύστηµα Radar. Αρχή λειτουργίας Radar Η διάταξη ροσδιορίζει το χρονικό διάστηµα τ, και στη συνέχεια ροσδιορίζει την αόσταση d. d Σεραφείµ Καραµογιάς c τ Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-68

69 Η ηχώ του σήµατος εκοµής αό το στόχο διαβρώνεται αό θόρυβο. Εοµένς ο ροσδιορισµός του τ ρακτικά είναι αδύνατο να ροσδιορισθεί αευθείας αό το σήµα εκοµήςκαιαότηνηχώτου. r Οαλµόςεκοµής,καιοαλµόςλήψης r, σεέναραγµατικόσύστηµα Radar. Σεραφείµ Καραµογιάς Το σήµα ηχούς, r εφαρµόζεται στη είσοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος το οοίο ονοµάζεται ροσαρµοσµένο φίλτρο machd filr. Η κρουστική αόκριση του ροσαρµοσµένου φίλτρουείναιηανάκλασητουσήµατοςεκοµής, δηλαδή, h r Προσαρµοσµένο φίλτρο στο σήµα y r h Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-69

70 Σεραφείµ Καραµογιάς Η έξοδος του ροσαρµοσµένου φίλτρου y, είναι η συνέλιξη του σήµατος ηχούς r, µε την κρουστικήαόκριση h, δηλαδή, y r * h. r y τ Οαλµόςεκοµής,καιοαλµόςλήψης r, καιηέξοδοςτου ροσαρµοσµένου σήµατος y, σε ένα ραγµατικό σύστηµα Radar. Το χρονικό διάστηµα τ είναι ίσο µε τη χρονική στιγµή κατά την οοία η έξοδος του ροσαρµοσµένου φίλτρου αοκτά τη µέγιστη τιµή της. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-7

71 Ηδιαµόρφσηκαιηαοδιαµόρφσηστηµετάδοσησήµατος. Η διαµόρφση χρησιµοοιεί το σήµα ληροφορίας m για να µεταβάλλει το λάτος ενός ηµιτονοειδούςφέροντος cos c. m cos c u α ιαµορφτής Το διαµορφµένο σήµα είναι u Κανάλι r cos c z Χαµηλοερατό Φίλτρο βσύγχρονη ήσύµφνηαοδιαµόρφση Το λαµβανόµενο σήµα αουσία θορύβου µέσ ιδανικού καναλιού είναι Το αοδιαµορφµένο σήµα είναι r u m cos m cos m cos cos z r cos c c Το σήµα αυτό διέρχεται µέσα αό ιδανικό χαµηλοερατό φίλτρο µε εύρος-ζώνης W. Η έξοδος του φίλτρου είναι y l m c c c m + Σεραφείµ Καραµογιάς m cos c y l Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-7

72 Σεραφείµ Καραµογιάς Μελέτη της διαµόρφσης και αοδιαµόρφσης στο εδίο συχνότητας M f A W Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο m f c W f c f c + W U f A c A W f c W W Το φάσµα U f του διαµορφµένου σήµατος f c + f f c Z c f + f c f c f c f c + W + αόκριση φίλτρου διέλευσηςχαµηλ. συχν. f c f f f c W f c f c + W W W f c W c f c + W f Το φάσµα Ζ f του σήµατος στην είσοδο του φίλτρου Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-7 f

73 Πολυλεξία Σηµάτν Σεραφείµ Καραµογιάς H διαδικασία της διαµόρφσης µας δίδει τη δυνατότητα να διευθετήσουµε τη µετάδοση ολλών µηνυµάτν αό διαφορετικούς χρήστες µέσα αό το ίδιο φυσικό κανάλι Στη ραδιοφνία και στην τηλεοτική εκοµή ο οµός µεταφέρει το φάσµα του σήµατος ληροφορίας ου ρόκειται να εκέµψει στην κατάλληλη εριοχή συχνοτήτν για να µη αρεµβάλλεται µε κάοιον άλλον. Η διαδικασία κατά την οοία συνδυάζουµε έναν αριθµό ξεχριστών σηµάτν µηνύµατος σε σύνθετο σήµα για να τα µεταδώσουµε µέσα αό ένα κοινό κανάλι καλείται ολυλεξία. Υάρχουν δύο βασικές τεχνικές ολυλεξίας Η ολυλεξία µε διαίρεση συχνότητας DM rquncy Division Mulipling Η ολυλεξία µε διαίρεση χρόνου DM im Division Mulipling Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-73

74 M f Σεραφείµ Καραµογιάς Πολυλεξία µε ιαίρεση Συχνότητας f c W W f m διαµορφτής u LP M f f c W W f m LP διαµορφτής u Σ ΚΑΝΑΛΙ M 3 f f c3 W 3 W 3 f m 3 LP διαµορφτής u 3 Ποµός DM. Παράδειγµα ολυλεξίας τριών σηµάτν µε διαίρεση συχνότητας Μια τυική διάταξη συστήµατοc DM φαίνεται στο Σχήµα. Το σχήµα αυτό δείχνει την ολυλεξία διαίρεσης συχνότητας στον οµό 3 σηµάτν µηνύµατος. Τα χαµηλοερατά φίλτρα στον οµό χρησιµοοιούνταιγιαναείναιβέβαιοότιτοεύρος-ζώνηςτνσηµάτνµηνύµατοςεριορίζεταισε W Hz. Κάθε σήµα διαµορφώνει ένα ξεχριστό φέρον και εοµένς ααιτούνται 3 διαµορφτές. Στη συνέχεια τα σήµατααότους 3 διαµορφτέςροστίθενταικαιµεταδίδονταιµέσααότοκανάλι. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-74

75 Σεραφείµ Καραµογιάς U f Ζώνη ροστασίας Ζώνη ροστασίας Ζώνη ροστασίας Φίλτρο λήψηςγιατο m 3 f c f c +W f c f c3 f c + W 3 f c + W 3 f Φάσµα του ολυλεγµένου σήµατος Για τον εριορισµό της ιθανότητας φασµατικής εικάλυψης, τα διαµορφµένα φάσµατα διαχρίζονται µεταξύ τους κατά συχνότητα µε ζώνες ροστασίας. Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-75

76 Σεραφείµ Καραµογιάς Η ολυλεξία διαίρεσης χρόνου χρησιµοοιείται συνήθς κατά τη διαβίβαση ψηφιακής ληροφορίας. m m Πολυλεξία µε ιαίρεση Χρόνου N σήµατα, ου είναι όλα εριορισµένου εύρους-ζώνης µέχρι B 34Hz λόγ τν χαµηλοερατών φίλτρν εισόδου LP, δειγµατολητούνται στον οµό τοέναµετάτοάλλο m 3 m 4 Κυµατοµορφή DM µε τέσσερα κανάλια f N λαίσιο f f Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-76

77 Πολυλεξία µε ιαίρεση Χρόνου Σεραφείµ Καραµογιάς m LP s Περίοδος δειγµατοληψίας m LP s s s m 3 LP s Σ s 3 m 4 LP s 3 s 4 s 4 Μεταγγή Καταµερισµού Χρόνου Κυµατοµορφές ελέγχου µεταγγής Ανάτυγµα - Μετασχηµατισµός ourir Αναλογικών Σηµάτν 3-77