Σχήµα 1. . Μητρόπουλος Στερεό. Άξονας Β. Άξονας Α. ίσκος 2. ίσκος 1. Βάση στήριξης. Σύστηµα στήριξης του δίσκου 1. Κοχλίες σύσφιξης.

Transcript

1 ύο δίσοι µε ιµάν ι πιχνίδι ης σροφορµής () Άξονς Άξονς ίσος ίσος Σχήµ άση σήριξης Η ειονιζόµενη διάξη σο σχήµ είνι έν σύσηµ δύο οριζόνιων δίσων µε µάζες Μ, Μ ι ίνες,, συνεζευγµένων µε ιµάν, που µπορούν ν σρέφονι γύρω πό ους όρυφους άξονες ι. Η πόσση ων δύο ξόνων είνι r. Ο άξονς είνι λόνη σερεωµένος ι σηρίζει ο βάρος ου δίσου χωρίς ν εµποδίζει ην ελεύθερη περισροφή ου. Σηρίζει επίσης ι όληρο ο σύσηµ συγράησης ου δίσου (βλέπε σχήµ ), µε η βοήθει άλληλων δυλίων, χωρίς ν εµποδίζει ην ελεύθερη περισροφή ου συσήµος υού, πρά µόνο εάν ο ινηοποιήσουµε πάνω σον άξον µε ους οχλίες σύσφιξης. Άξονς Σύσηµ σήριξης ου δίσου ύλιοι Άξονς Το σύσηµ σήριξης ου δίσου ποελείι πό δύο (σχεδόν) οριζόνιους Σχήµ βρχίονες ενωµένους λόνη µε ον άξον. λόνη σον άξον είνι σερεωµένο ι ο ίνηο µήµ ου ηλεριού µοέρ. Το ινηό µήµ ου µοέρ είνι λόνη συνδεδεµένο µε ον δίσο ώσε ν σρέφει µζί ου ι ν ου σεί ροπή όν λειουργεί ο ινηήρς. Ο άξονς σηρίζει ο βάρος ου δίσου, επιρέπονς ην ελεύθερη περισροφή ου. Όλ εξρήµ σήριξης, ο µοέρ ι ο ιµάνς είνι σευσµέν πό ελφρά υλιά, ώσε ν µπορούµε ν θεωρήσουµε η µάζ ους µεληέ. Σο σχήµ 3 ης επόµενης σελίδς φίνει ο σύσηµ ων δύο δίσων σε άοψη. Ο ινηήρς λειουργεί, σεί ροπή νγάζονς ο δίσο ν περισρέφει. Μέσω ου ιµάν περισρέφει ι ο δίσος. ν οι σφιήρες είνι χλροί, θ ρχίσει όπως θ δούµε πιο άω ν περισρέφει ι όληρο ο σύσηµ σήριξης ου δίσου. Κοχλίες σύσφιξης Σελίδ πό 7

2 + r Σχήµ 3 ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ (Το σύσηµ σήριξης ου δίσου είνι σθεροποιηµένο) ρχιά ο σύσηµ είνι ίνηο. Οι σφιήρες είνι βιδωµένοι, ώσε ο σύσηµ σήριξης ου δίσου ν είνι ινηοποιηµένο. Θέουµε η χρονιή σιγµή t0 ον ινηήρ σε λειουργί, οπόε ο δίσος δέχει σθερή ροπή µέρου ι ρχίζει ν σρέφει. Μέσω ου ιµάν συµπρσύρει σε περισροφή ι ον. ) Ν σχιάσεε ις ροπές που σούνι σον άθε δίσο ως προς ους νίσοιχους άξονες περισροφής ους ι ν εφρµόσεε ον θεµελιώδη νόµο ου Νεύων γι η σροφιή ους ίνηση. Ο δίσος δέχει: (Τ σύµβ πρισάνουν µέρ µεγεθών) Τη ροπή πό ον ινηήρ, προς η θειή φορά, που ον νγάζει ν ρχίσει ν επιχύνει νίθε πό ο ρόι. Έσι ο επάνω µήµ ου ιµάν ενώνει περισσόερο πό όι ο άω (Τ>Τ ), ώσε ν συµπρσύρει ι ον δίσο. Η συνισµένη ροπή σο δίσο πό ις δύο άσεις Τ ι Τ είνι (Τ Τ ) µε ρνηιή φορά. Η συνιή ροπή πάνω σον έχει θειή φορά, ι ο µέρο ης είνι:, (Τ Τ ) οπόε:, Ι γων, (Τ Τ ) Ι γων, () Ο δίσος δέχει: ή λλιώς: (Τ Τ ) ½ M ² γων, () Τη συνισµένη ροπή (Τ Τ ) πό ις δύο άσεις, µε θειή φορά ώρ, εξιίς ης οποίς επιχύνει:, (Τ Τ ) οπόε:, Ι γων, (Τ Τ ) Ι γων, (3) ή λλιώς: (Τ Τ ) ½ M ² γων, (4) Σελίδ πό 7

3 ) Ποι σχέση συνδέει ις γωνιές χύηες ι επιχύνσεις ων δύο δίσων; Ν υπογίσεε ις ελευίες. Τ σηµεί ου ιµάν έχουν όλ ην ίδι γρµµιή χύη υ ι επιάχυνση, ι φού ο ιµάνς δεν ισθίνει, µεγέθη υά θ είνι ίσ µε νίσοιχ επιρόχι µεγέθη ων σηµείων ης περιφέρεις ων δύο δίσων. Έσι: υ ω ω ω (5). Όµοι: ω γων, γων, γων, γων, ή λλιώς: γων, γων, (6). (3) Τ Τ Ι γων, / (3) (), (3), (6) Ι γων, / Ι γων, / ν ώρ ονοµάσουµε Ι γων, / + Ι γων, / λ ον λόγο µεάδοσης ης ίνησης πό ον σον (δηλδή ο λόγο υποβιβσµού ων σροφών φού > ), ή ν θέλεε ον νίσροφο λόγο πλπλσισµού ης ροπής (φού ο λόγος πλπλσισµού ροπής πό ον σον είνι: λ / /λ) όε η ελευί σχέση γίνει: (Ι /λ+λ Ι ) γων, γων, I/λ+ λι ι πό (6) ή ι ν νισήσουµε ι ις Ι, Ι : γων, γων, (8) γων, (9) (M+ M ) ι γων, (0) (M + M ) λ (7) Σελίδ 3 πό 7

4 3) Ν εφράσεε ο µέρο ης σροφορµής ου άθε σρεφόµενου δίσου, ά ον νίσοιχο άξον περισροφής, σε συνάρηση µε ο χρόνο t. Ποι είνι η φορά ους; ρείε επίσης η συνιή σροφορµή ων δύο δίσων ά ον άξον. d σθ. 0 I γων, Ιγων, t 0 I t () µε θειή φορά. d, Ι γων, σθ. γων 0 I t 0 λ λ I + Ι λι t () µε θειή φορά. Ι + λ Ι Ή ι µε νιάσση ων Ι, Ι : M t (3) µε θειή φορά. M + M M t (4) µε θειή φορά. λ M + M Την ην υπογίσµε γι ον άξον. Την όµως ην υπογίσµε γι ον άξον. Ισχύει:, ( cm, ) B + ( ) cm, 0 +, Οπόε η συνιή σροφορµή ων δύο δίσων ά ον άξον είνι: + Ή ι µε ην νιάσση ων Ι, Ι : + I+ λι t (5) µε θειή φορά. I + λ I λμ+ M t (6) λ M + M Σελίδ 4 πό 7

5 4) Με βάση ην ελευί σχέση, θεωρείε όι ο σύσηµ ων δύο δίσων (µζί µε ο σύσηµ σήριξης ι ον ινηήρ) είνι σροφιά µονωµένο πό ο περιβάλλον ου ή όχι; ν όχι, ν εξηγήσεε µε ποιο ρόπο σείι σο σύσηµ εξωεριή ροπή ι ν ην υπογίσεε. Σο σύσηµ υό ινούνι µόνο οι δύο δίσοι (ι ο ινηό µέρος ου µοέρ που έχει όµως µεληέ µάζ). Εποµένως, η σροφορµή ων δύο δίσων που υπογίσµε πιο πάνω, είνι η συνιή σροφορµή ου συσήµος, που η σιγµή t0 ήν µηδενιή. πό η (6) φίνει όι η σροφορµή ου συσήµος υξάνει, ο σύσηµ λοιπόν δεν µπορεί ν είνι σροφιά µονωµένο, διόι όε θ έπρεπε ν πρµένει η σροφορµή ου σθερή. νλυιά, συµβίνουν εξής: ) Ο ινηήρς σεί σο δίσο θειή ροπή µέρου µε ποέλεσµ ν δέχει πό νίδρση σο σθερό µήµ ου νίθεη ροπή ίδιου µέρου,. Η ροπή υή είνει ν περισρέψει ο σώµ ου ινηήρ, ι εποµένως όληρο ο σύσηµ σήριξης ου δίσου, ά η φορά ων δειών ου ρογιού. β) Επιπλέον, ι εδώ είνι ο πιο ενδιφέρον, ο σύσηµ σήριξης δέχει ι άλλη ροπή, πό ους δύο σρεφόµενους δίσους ως εξής: + φ φ r Σχήµ 4 Σο σχήµ 4 έχουµε µεφέρει ις άσεις Τ ι Τ που δέχει ο δίσος σο ένρο µάζς ου (προσθέονς ι ις νάλογες ροπές ζεύγους Τ ι Τ ). Ο δίσος δεν µεφέρει, άρ ο άξονς σεί δύνµη νίθεη πό η συνισµένη ων Τ ι Τ, r ώσε ν ισχύει σο δίσο Σ F 0. Εποµένως, ο άξονς δέχει σν νίδρση πό ο δίσο δύνµη, έσω F, ίση µε η συνισµένη ων Τ ι Τ. υή η δύνµη όµως δεν έχει η διεύθυνση ης διένρου που ενώνει ους δύο άξονες, λλά έχει µι λίση προς πάνω (φού Τ>Τ ). Όµοι ι συµµεριά, ό άλλος άξονς δέχει µι νίθεη δύνµη F πό ο δίσο, που έχει λίση προς άω. Οι δύο υές δυνάµεις F, F που σούνι σους άξονες πό ους δίσους, σχηµίζουν ζεύγος. Η ροπή ου ζεύγους υού, έσω είνει ι υή ν σρέψει ο σύσηµ σήριξης, όπως ι η, ά η φορά ου ρογιού. Σελίδ 5 πό 7

6 Γι ν υπογίσουµε η ροπή, ρεί ν βρούµε ις άθεες προς ην συνισώσες ων Τ ι Τ ι ν πλπλσιάσουµε η διφορά ους µε ην πόσση r: (Τ ηµφ Τ ηµφ) r (Τ Τ ) r ηµφ (Τ Τ ) r ( )/r (Τ Τ ) ( ), ι µε η χρήση ων (3) ι (7): λ I + λ Ι γων, ( )/ Ι γων, ( )/ Ι ( λ) ή ελιά: (λ λ ) Ι γ) Η συνιή ροπή λοιπόν που δέχει ο σύσηµ σήριξης ου δίσου, είνι: + + (λ λ ) Ι I + λι (7) I + λ Ι Ι Το σύσηµ υό µπορεί ν σρέφει (µε η βοήθει ων δυλίων, που επιρέπουν ην ελεύθερη περισροφή γύρω ου) γύρω πό ον άξον, ι θ σρεφόν ν οι δύο σφιήρες ήν ξεβίδωοι. Οι σφιήρες όµως είνι σφιγµένοι, ι προσπθούν ν συµπρσύρουν ι ον άξον σην περισροφή υή. Ο άξονς όµως είνι πωµένος σο σήριγµ ι σο έδφος, ο οποίο νγάζει ν σήσει ροπή εξ νίθεη πό ην, ώσε ν ρήσει ελιά ίνηο όληρο ο σύσηµ. ηλδή ο σύσηµ δέχει µέσω ου άξον πό ο περιβάλλον εξωεριή θειή ροπή εξ ίδιου µέρου µε ην που βρήµε ση (7) ι η ροπή υή πρεί ύξηση ση σροφορµή ου! Πράγµι, θ µπορούσµε ν υπογίσουµε ην εξωεριή ροπή ι µε η βοήθει ης σχέσης (5): εξ d συσ, d d I I + λι + λ I t I+ λι I + λ I ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ: i) Οι ροπές που σούνι σο δίσο πό ον ινηήρ, ή σους άξονες, λπ., είνι ροπές ζεύγους, γι υό ι µεφέρονι όπου χρειάζει. ii) Ση σχέση (7) βρήµε ο µέρο ης εξωεριής ροπής που δέχει ο σύσηµά µς. Πρηρείσε όι ν ο δίσος έχει σήµνη µάζ, δηλδή Ι 0, όε η πιούµενη εξωεριή ροπή είνι εξ, φού πριά µόνο ο δίσος ποάει σροφορµή, που νγάζει σε περισροφή πό ον ινηήρ. ν όµως είνι ο δίσος (υός που δέχει η ροπή ου ινηήρ) που έχει σήµνη µάζ, είνι δηλδή Ι 0, όε η πιούµενη εξωεριή ροπή είνι εξ /λ ή λλιώς εξ λ. Είνι δηλδή ώρ µεγλύερη, πλπλσισµένη µε ο λόγο λ / φού ώρ είνι µόνο ο δεύερος δίσος που ποά σροφορµή, όπου σ υόν η ροπή ου ινηήρ φάνει πλπλσισµένη (εις βάρος βέβι ης συχνόης περισροφής ου). Σελίδ 6 πό 7

7 iii) ν νί ης σύζευξης µε ιµάν, ήν οι δύο ροχοί σηριγµένοι πιο ονά ώσε ν εφάπονι ι ο ένς ν περισρέφει µε νίθεη φορά πό ον άλλο, όε: Εύ, προύπει όι οι γωνιές ους επιχύνσεις θ δίνονν πάλι πό ις ίδιες σχέσεις (7) ι (8). Οι σροφορµές ους θ είχν νίθεες φορές ι η συνιή σροφορµή θ δινόν πό η σχέση: I λι t (8) I + λ I Πρηρείσε όι ν ώρ ινοποιείι η συνθήη: Ι λ Ι ½ M ² ½ M ² M M όε η σροφορµή ου συσήµος πρµένει µηδενιή, άρ εξ 0. Πράγµι, η ροπή που θ δεχόν ο σύσηµ σήριξης πό ους σρεφόµενους δίσους (περίπωση 4 β πιο πριν), θ ήν: Τ () Τ ( + ) όπου: Τ Ι γων, Ι λ /(Ι +λ²ι ) Τ Ι λ /[(Ι +λ²ι ) ] ι ελιά: Ι λ (λ+) /(Ι +λ²ι ) ι η φορά ης θ ήν νίθεη πό υή ης, οπόε η συνιή ροπή που δέχει ο σύσηµ σήριξης θ ήν (λγεβριά): Ι λ (λ+) /(Ι +λ²ι ) ( Ι +λ Ι )/(Ι +λ²ι ) ι η πιούµενη εξωεριή ροπή: εξ (Ι λ Ι )/(Ι +λ²ι ) (9) Η ελευί υή σχέση συµφωνεί µε η σχέση (8) πιο πάνω. Τ Τ Τ Τ ιονύσης Μηρόπουλος Σελίδ 7 πό 7