ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΙΑΣ Δ. ΚΑΙΣΑΡΗ ΠΑΤΡΑ, 2014

2 Στον σύζυγο μου Κώστα στις κόρες μου Κατερίνα και Ηλιάνα στους γονείς μου Κατερίνα και Διονύση ii

3 Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου Αναστάσιο Πατρώνη, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Πάτρας, για την καθοδήγηση, τις υποδείξεις του και την εκπαίδευσή μου τα χρόνια της εκπόνησης της διατριβής αυτής. Τον ευχαριστώ επίσης για την ηθική υποστήριξή του και την εμψύχωσή του αλλά και γιατί πίστεψε στην δυνατότητά μου να ολοκληρώσω την διατριβή αυτή. Τέλος τον ευχαριστώ που μου επέτρεψε να σκέπτομαι με τον δικό μου τρόπο διδάσκοντάς μου μου τον σεβασμό στην μοναδικότητα του κάθε ανθρώπου. Ευχαριστώ επίσης θερμά τον Βασίλειο Παπαντωνίου, Ομότιμο Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών Πανεπιστημίου της Πάτρας και μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής μου επιτροπής για τις χρήσιμες επισημάνσεις και υποδείξεις όλα αυτά τα χρόνια. Τον ευχαριστώ επίσης που η αγάπη και το πάθος του για την Γεωμετρία όπως εγώ εισέπραξα στην αίθουσα του Πανεπιστημίου τα φοιτητικά μου χρόνια, ήταν η αιτία για την ενασχόλησή μου με την Γεωμετρία τα επόμενα χρόνια. Ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω επίσης και στο τρίτο μέλος της συμβουλευτικής μου επιτροπής την Δέσποινα Πόταρη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Μαθηματικού τμήματος του Πανεπιστημίου Αθήνας. Την ευχαριστώ για την υπομονή της και την βοήθειά της καθ όλη την διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής αυτής. Ευχαριστώ θερμά επίσης τους καθηγητές του Τομέα ΠΙΦΜ του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Πάτρας, Ιωάννα Μαμμωνά, Ευτύχη Παπαδοπετράκη και Δημήτρη Σπανό για την βοήθεια που μου προσέφεραν όποτε και να την ζητούσα. Ευχαριστώ επίσης τα μέλη της επταμελούς επιτροπής Παναγή Καραζέρη Χαρά Σταθοπούλου, Αντρέα Αρβανιτογεώργο και Τίνα Ζορμπαλά για τις διορθώσεις και την βοήθειά που μου προσέφεραν. iii

4 Ένα μεγάλο ευχαριστώ τέλος στους δικούς μου ανθρώπους, τον σύζυγό μου για την υπομονή του τις συμβουλές του και την δύναμη που μου έδινε η παρουσία του και τους γονείς μου, που στάθηκαν στο πλευρό μου όλα τα χρόνια των σπουδών μου στηρίζοντάς με ηθικά και οικονομικά. iv

5 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ... 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ... 8 ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΣΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥΣ Πρώτη Περίοδος: H αμφισβήτηση του πέμπτου αιτήματος Saccheri- Lambert Από τον Newton στον Gauss: η έννοια της καμπυλότητας Δεύτερη Περίοδος: Η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία από τους Bolyai και Lobachevsky Τρίτη Περίοδος: Riemann και Beltrami Riemann Beltrami Τέταρτη περίοδος: Cayley -Klein- Poincare-Hilbert Η μετρική του Cayley Η χρήση της μετρικής από τον Klein Τα μοντέλα του Poincaré Hilbert Η Ελλειπτική Γεωμετρία και τα αξιώματα της διάταξης Η σφαίρα ως μοντέλο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας Μια ταξινόμηση των μοντέλων των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών Το μοντέλο της μισής σφαίρας Συγκριτική μελέτη των παραπάνω μοντέλων...62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Θεωρία και Μέθοδος ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Πρακτικές συνδεόμενες με Θεσμούς (institutional practices) Τρείς θεσμικές πρακτικές στα Μαθηματικά Νόημα, χρήση και κατανόηση των μαθηματικών εννοιών Τύποι χρήσης των γεωμετρικών εννοιών Η μαθηματική απόδειξη σε διαφορετικές θεσμικές πρακτικές...76 v

6 3.3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ποιοτική έρευνα και συμμετοχική παρατήρηση Τριγωνοποίηση Μέθοδος Project και επιλογή θέματος Συνέντευξη έρευνας ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΥΡΙΩΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ...94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Μέρος από την Πρώτη Φάση του πειράματος: Συντομότερη διαδρομή πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας: Απόδειξη και χρήση των γεωμετρικών εννοιών Δεύτερη φάση του πειράματος: Αξιωματικοποίηση Τρίτη φάση του πειράματος Η έννοια της καμπυλότητας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΟΙΚΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ vi

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα από πιο σημαντικά και επίκαιρα ζητήματα στην Μαθηματική εκπαίδευση είναι η μετάβαση των μαθητών-φοιτητών από την μια βαθμίδα εκπαίδευσης στην άλλη. Από την πρωτοβάθμια εκπαίδευση στην δευτεροβάθμια, (Friedel, Cortina, Turner, & Midgley, 2010, Sdrolias, & Triandafillidis, 2008) και από την δευτεροβάθμια στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Liston, & O Donoghue, 2010, Hernandez- Martinez, Williams, Black, Davis, Pampaka, & Wake, G. 2011, Hong, Kerr, Klymchuk, McHardy, Murphy, Spencer, & Watson, P. 2009). Σύμφωνα με την Gueudet (2008), η λεγόμενη μετάβαση από την δευτεροβάθμια στην τριτοβάθμια εκπαίδευση αφορά δύο χρόνια πριν την είσοδο στο Πανεπιστήμιο και δύο χρόνια μετά. Πολλά Πανεπιστήμια, προκειμένου να αντιμετωπίσουν τις δυσκολίες των φοιτητών προσφέρουν μαθήματα μετάβασης ή γεφύρωσης (bridge) (Moore, 1994). Στα μαθήματα αυτά, διδάσκουν τους φοιτητές πώς να επικοινωνούν στην γλώσσα των Μαθηματικών αλλά και πώς να γράφουν τυπικές αποδείξεις. Επίσης, καλύπτουν κενά που πιθανόν υπάρχουν αλλά και αποδεικνύουν μαθηματικές προτάσεις που στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση δίνονταν χωρίς αποδείξεις (Wood, 2001). O Hillel (1999) περιγράφει ένα τέτοιο μάθημα, εστιασμένο στην απόδειξη και σε διαφορετικούς τύπους αυτής. Η Μαμωνά (Mamona, 2001) έχει ασχοληθεί με φοιτητές στα δύο πρώτα έτη της φοίτησης τους και έχει διερευνήσει τις δυσκολίες τους με βασικές έννοιες της Ανάλυσης όπως το όριο και τις πραγματικές ακολουθίες. Επίσης σε άλλες έρευνες οι Μαμωνά και Downs (Mamona- Downs, & Downs, 2004, 2005), μέσα από την διαδικασία επίλυσης προβλήματος βοηθούν τους φοιτητές να κατανοήσουν μαθηματικές τεχνικές τις οποίες δύσκολα κατακτούν ακόμα και μετά το 1

8 πέρας των σπουδών τους. Ο Παπαντωνίου (1999) σχολιάζει τις επιλογές του Αναλυτικού Προγράμματος του Λυκείου και αναφέρεται τους φοιτητές που δύσκολα κατανοούν βασικές έννοιες (όπως το εξωτερικό γινόμενο) αλλά και στους απόφοιτους μαθηματικών τμημάτων κατά το σύντομο πέρασμά τους από την εκπαίδευσή τους (ΠΕΚ) πριν διδάξουν στις σχολικές αίθουσες. Την μετάβαση από τα Στοιχειώδη στα Ανώτερα Μαθηματικά πραγματεύονται οι Gray, Pinto, Pitta, και Tall (1999) επικεντρώνοντας στην γνωστική ανάπτυξη των Στοιχειωδών και των Ανώτερων μαθηματικών και επιχειρώντας την μεταξύ τους σύνδεση. Ιστορικά, μια τέτοια σύνδεση ξεκινά από τον Klein (1925) ο οποίος εστιάζεται στις δυσκολίες του αντικειμένου των μαθηματικών. Στην παρούσα διατριβή και στο παραπάνω εκπαιδευτικό πλαίσιο μας απασχολεί συστηματικότερα και ειδικότερα η σύνδεση των Στοιχειωδών με τα Ανώτερα Μαθηματικά, μέσω συγκεκριμένων θεμάτων που ευνοούν τη σύνδεση αυτή, η οποία αποτελεί και τον γενικό σκοπό της έρευνάς μας στο πρακτικό επίπεδο. Οι μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες αποτελούν ένα ελκυστικό αντικείμενο για έρευνα στο παραπάνω πλαίσιο. Η έρευνά μας λοιπόν, αφορά τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και τα μοντέλα τους και ιδιαίτερα την Ελλειπτική Γεωμετρία: καθώς αυτή μοντελοποιείται πάνω στη σφαίρα, θα μπορούσε να αποτελέσει τη γέφυρα για το πέρασμα από την Ευκλείδεια στις μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες. Πιο συγκεκριμένα, ξεκινάμε με την υπόθεση ότι η αναδιατύπωση των αξιωμάτων του Hilbert στο πλαίσιο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας και η κατασκευή ενός μοντέλου της, αναπαριστά σημαντικές συνδέσεις μεταξύ Στοιχειώδους και Ανώτερης γεωμετρίας. Η έννοια του μοντέλου μας απασχολεί ιστορικά και διδακτικά, καθώς η δυσκολία της διαπραγμάτευσης των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών μέχρι την ιστορική ωρίμανση της έννοιας του μοντέλου, καθιστά την έννοια αυτή πολύ σημαντική για την μαθηματική παιδεία. Αρκετοί ερευνητές (κεφάλαιο 2 ο ) 2

9 επιχειρούν να δώσουν μια απάντηση για το παράδοξο της καθυστέρησης της θεμελίωσης της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Στην έρευνά μας επιχειρούμε να ανιχνεύσουμε τις δυσκολίες που έχει η αξιωματική θεμελίωση της γεωμετρίας αυτής, παρά τη προφανή (μερική) μοντελοποίησή της πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Στο πλαίσιο της πανεπιστημιακής εκπαίδευσης συναντάμε πολλές έρευνες στο θέμα της Υπερβολικής Γεωμετρίας. Ένα παράδειγμα είναι οι έρευνες των Stevenson (2000) και Stevenson & Noss (1999) σε πλαίσιο χρήσης σχεδιαστικών προγραμμάτων σε υπολογιστικό περιβάλλον. Σχετικά με την προετοιμασία των εκπαιδευτικών μπορούμε να αναφερθούμε στον Connor (2002). Επίσης στην σφαιρική γεωμετρία οι Lo, Gaddis and Henderson (1996) ερευνούν τις δυσκολίες των φοιτητών κατά το πέρασμα από το επίπεδο στην σφαιρική επιφάνεια καθώς αυτοί δημιουργούν τους δικούς τους ορισμούς για τις γεωμετρικές έννοιες. Στο πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης συναντάμε περισσότερες έρευνες που σχετίζονται με την σφαιρική γεωμετρία. Σημαντική είναι η έρευνα του Lenart (1993) στην οποία περιγράφει ένα διδακτικό πείραμα στο οποίο αντιπαραθέτει τις έννοιες της επίπεδης γεωμετρίας και της σφαιρικής γεωμετρίας σε μαθητές μεταξύ 10 και 15 ετών. Ως διδακτικό υλικό κατασκευάστηκε μια μπάλα, πάνω στην οποία οι μαθητές μπορούν να κάνουν μετρήσεις γωνιών και τόξων. Παρά, όμως, το γεγονός ότι μία μαθήτρια προσέγγισε την ταύτιση των αντιδιαμετρικών σημείων πάνω στην σφαίρα, το πείραμα δεν προχώρησε σε Ελλειπτική Γεωμετρία αφού αυτή δεν περιλαμβάνονταν στους στόχους της έρευνας. Αξιοσημείωτο είναι ότι οι δάσκαλοι και καθηγητές των μαθηματικών που συμμετείχαν στο πείραμα ήρθαν για πρώτη φορά σε επαφή με το αντικείμενο της σφαιρικής γεωμετρίας. Στο ίδιο πλαίσιο, πολύ σημαντικές είναι και οι έρευνες του Jan van den Brink και της ομάδας του που διεξήχθησαν στο ινστιτούτο Freudenthal. Το πρόγραμμα αυτό στο επίπεδο του λυκείου (high school) 3

10 επιχειρεί να αναδιαρθρώσει το αναλυτικό πρόγραμμα των μαθηματικών ξεκινώντας από το εκπαιδευτικό εγχειρίδιο Mecca (van den Brink & Meeder, 1991; van den Brink, 1993, 1994). Το εκπαιδευτικό αυτό εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές 15 με 16 ετών και ασχολείται κυρίως με την σφαιρική γεωμετρία πάνω στην υδρόγειο σφαίρα. Το θέμα επηρεάστηκε από την αθρόα μετανάστευση μουσουλμάνων στην Ολλανδία και το βασικό ερώτημα είναι προς ποια κατεύθυνση προσεύχονται οι μουσουλμάνοι: που βρίσκεται η Μecca; Ένα από κύρια σημεία αυτού του εγχειριδίου είναι οι διαφορές μεταξύ των χαρτών και της υδρογείου, ως διαφορετικών αναπαραστάσεων της σφαιρικής γεωμετρίας. Τελικά ο van den Brink (1995) επικεντρώνεται στο πώς η εκπαιδευτική πρακτική χρησιμοποιείται (ή πώς τα διδακτικά πειράματα επιλέγονται) για να δημιουργηθούν ή να ενισχυθούν θεωρίες. Σχολιάζοντας τα έξι μαθήματα σφαιρικής γεωμετρίας που αναλύονται στα άρθρα του, ο van den Brink επισημαίνει το γεγονός ότι οι μαθητές αγγίζουν την Ελλειπτική Γεωμετρία φτιάχνοντας το αξίωμα: Κάθε ζευγάρι ευθειών στην σφαιρική επιφάνεια τέμνονται, άρα δεν υπάρχει παραλληλία στην επιφάνεια της Γης. Στην συνέχεια γίνεται αναφορά στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και στο παράδοξο της καθυστερημένης αποδοχής από την μαθηματική κοινότητα (σελ. 25). Σε έρευνα που σχετίζεται, στο ίδιο εκπαιδευτικό πλαίσιο με το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη θα αναφερθούμε στον Πατρώνη (Patronis, 1994) και σε διδακτική του έρευνα με μαθητές της Α Λυκείου. Οι μαθητές, στην αυθόρμητη προσπάθειά τους να αποδείξουν το αίτημα του Ευκλείδη, κατασκεύασαν το τετράπλευρο του Saccheri και γύρω από αυτό επιχειρηματολόγησαν για την φύση της γεωμετρίας και συγκρούστηκαν για την έννοια του ορισμού. Ο Πατρώνης παρατηρεί μια συμβατιστική (conventionalist) στάση αντιμετώπισης της γνώσης όταν ένας μαθητής επιχειρηματολόγησε λέγοντας ότι σωστό είναι αυτό που οι περισσότεροι αποδέχονται. Οι συγκρούσεις, η αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών 4

11 και η συνεχής διαπραγμάτευση του νοήματος, είναι αυτά που πιθανά θα ανατρέπουν ένα τέτοιο κλίμα και θα δημιουργούν συνθήκες για περαιτέρω μάθηση- κατανόηση. Στο παραπάνω άρθρο η Ευκλείδεια γεωμετρία που διδάσκονται οι μαθητές στο Λύκειο χαρακτηρίζεται ως «ημι-αξιωματική γεωμετρία μοντέρνου τύπου». Ο Δ. Σπανός (Spanos, 1989), σε έρευνα του σε μαθητές Λυκείου πάνω στα αξιώματα του Hilbert, συμπεραίνει ότι οι μαθητές που τελειώνουν την Α Λυκείου δεν μπορούν να αποδώσουν άλλο νόημα στους όρους σημείο και ευθεία παρά μόνο αυτό της κοινής εποπτείας. Ο Τ. Πατρώνης και ο Γ. Θωμαΐδης (Patronis, & Thomaidis, 1997) δείχνουν με ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα, πως στα πλαίσια της αριθμητικοποιημένης σχολικής γεωμετρίας, το αριθμητικό μοντέλο (προϋποθέτοντας το σύστημα των πραγματικών αριθμών) συγχέεται με τα αξιώματα (σελ. 265). Έτσι οι μαθητές καταλήγουν να εκτελούν μηχανιστικά τις γεωμετρικές αποδείξεις χωρίς να κατανοούν το γεωμετρικό τους νόημα. Σύμφωνα με τον Cobb (1986), σε καταστάσεις αλληλεπίδρασης, η διαπραγμάτευση του νοήματος βοηθά τους συμμετέχοντες να αναπτύξουν την δική τους μαθηματική τους κατανόηση αλλά και να κατανοήσουν ο ένας τον άλλον. Στην διαπραγμάτευση του νοήματος μέσα από διαφωνίες και συγκρούσεις στοχεύουμε να φτάσουμε με την βοήθεια του γνωστικού αντικείμενου της μη-ευκλείδειας Γεωμετρίας. Άλλωστε και ιστορικά η ανακάλυψη των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών δημιούργησε διαμάχες και συγκρούσεις στην μαθηματική κοινότητα (Torretti, 1984; Russell, 1956). Τα κύρια ερευνητικά ερωτήματα που απασχόλησαν την παρούσα διατριβή, στο παραπάνω ειδικό διδακτικό και ιστορικό πλαίσιο είναι τα εξής: 1. Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούν τα μαθηματικά θέματα που προκαλούν συνθήκες για την διαπραγμάτευση του μαθηματικού νοήματος; 5

12 2. Πώς μπορεί να γίνει χρήση της ιστορίας των Μαθηματικών στην παραπάνω κατεύθυνση; 3. Με ποιο τρόπο τα μοντέλα της Γεωμετρίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για διδακτικούς σκοπούς; 4. Με ποιους τρόπους οι φοιτητές χρησιμοποιούν τις γεωμετρικές έννοιες κατά την διατύπωση αξιωμάτων και την κατασκευή μοντέλου μιας μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας; 5. Με ποιους τρόπους οι φοιτητές διαπραγματεύονται το μαθηματικό νόημα και αλληλεπιδρούν καθώς εμπλέκονται με τέτοιου είδους θέματα; Το διδακτικό πείραμα της έρευνάς μας διεξήχθη στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Πατρών, στα πλαίσια δύο εξαμηνιαίων μαθημάτων του ακαδημαϊκού έτους Βασίστηκε σε ποιοτική μέθοδο έρευνας καθώς και στην μέθοδο project. Η παρούσα διατριβή δομείται σε πέντε κεφάλαια. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μια ιστορική αναδρομή από την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών μέχρι την αξιωματική θεμελίωση του Hilbert. Περισσότερη έμφαση δίνεται στα μοντέλα των μη Ευκλειδείων τα οποία επιχειρούμε να κατηγοριοποιήσουμε. Τέλος προτείνουμε και ένα μοντέλο για πιθανή διδακτική χρήση. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύουμε ένα νέο θεωρητικό πλαίσιο έρευνας για την διδακτική της γεωμετρίας και συνεχίζουμε περιγράφοντας την ερευνητική μεθοδολογία. Επίσης παραθέτουμε αποσπάσματα από το προπειραματικό στάδιο και αναλύουμε τους λόγους που μας οδήγησαν στον διαφορετικό τρόπο παρουσίασης του θέματος στο κυρίως πείραμα και τέλος περιγράφουμε συνολικά το κυρίως πείραμα. Στο τέταρτο κεφάλαιο, αναλύουμε επεισόδια από το κυρίως πείραμα το οποίο είναι χωρισμένο σε τρία μέρη με βάση το θεωρητικό πλαίσιο που εισαγάγαμε στο τρίτο κεφάλαιο. Στο πέμπτο κεφάλαιο επιχειρούμε να 6

13 απαντήσουμε στα ερευνητικά ερωτήματα που θέσαμε παραπάνω καθώς και να διατυπώσουμε νέους προβληματισμούς. 7

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΣΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥΣ Στο κεφάλαιο αυτό, ακολουθούμε, ως ένα βαθμό, την πορεία της ανακάλυψης των μη Ευκλειδείων γεωμετριών, από την αμφισβήτηση του πέμπτου αιτήματος έως την εύρεση των μοντέλων τους. Το θέμα αυτό, είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια της ιστορίας και φιλοσοφίας των Μαθηματικών και ένας από τους λόγους είναι η αλλαγή της Ευκλείδειας αντίληψης. Η αντίληψη αυτή, βαθιά ριζωμένη στους μαθηματικούς, προκάλεσε πολύχρονες προσπάθειες για την απόδειξη του πέμπτου αιτήματος, αμφισβητήσεις και συγκρούσεις στην μαθηματική κοινότητα. Την ανακάλυψη των μη Ευκλειδείων γεωμετριών έχουν πραγματευθεί πολλοί ιστορικοί των Μαθηματικών και αρκετοί από το χώρο της φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Ένα από τα χαρακτηριστικά που κάνουν τις μελέτες αυτές διαφορετικές μεταξύ τους, είναι ο τρόπος που χωρίζουν το κομμάτι αυτό της ιστορίας των Μαθηματικών σε περιόδους. Ο διαχωρισμός αυτός είναι σημαντικός, αφού υποδεικνύει τα σημεία καμπής, δηλαδή τα σημεία στα οποία οι εξελίξεις ή οι αντιλήψεις αλλάζουν. Σύμφωνα με τον (νέο σε ηλικία, τότε) φιλόσοφο Bertrand Russell, στην πραγματεία του Επί των Θεμελίων της Γεωμετρίας (Russell, 1897/1956), η αμφισβήτηση του πέμπτου αιτήματος σηματοδοτεί την έναρξη της πρώτης περιόδου της μεταγεωμετρίας. Σ αυτήν την πραγματεία του ο Russell, ασχολείται με την γεωμετρία σε σχέση με την επιστήμη του χώρου και την εμπειρία αλλά και το ερώτημα της a priori γνώσης. Αυτό το είδος γνώσης, σύμφωνα με τον Kant και την πραγματεία του Η κριτική του Καθαρού Λόγου, (Καντ, 1781/1976) αφορά την αντίληψη του φυσικού 8

15 χώρου. Το ανθρώπινο μυαλό, σύμφωνα με τον Kant, οργανώνει την χωρική εμπειρία σύμφωνα με μια a-priori διαίσθηση που υπακούει στους κανόνες του Ευκλείδη. O Russell, ακολουθώντας αυτή την καντιανή αντίληψη, καταλήγει ότι αυτή η a-priori γεωμετρική διαίσθηση υπακούει στους κανόνες της Προβολικής Γεωμετρίας, χωρίς όμως να συνδέεται άμεσα με την εμπειρία. Η δεύτερη περίοδος για τον Russell είναι μικρότερη σε διάρκεια αλλά καθοριστικής σημασίας αφού απαντά σε ερωτήματα που σχετίζονται με το λεγόμενο πρόβλημα του χώρου. Η περίοδος αυτή ξεκινά με τον Riemann και την διάσημή του διάλεξη (Riemann, 1854). Συνεχίζεται αλλά και τελειώνει με τους Beltrami και Helmholtz. Η τρίτη περίοδος σύμφωνα με τον Russell διαφέρει από την προηγούμενη τόσο στις μεθόδους και στους στόχους όσο και στο φιλοσοφικό υπόβαθρο. Όλες οι λεγόμενες μετρικές έννοιες ανάγονται σε προβολικές, κατορθώνοντας μια μεθοδολογική απλοποίηση που δε θα μπορούσε να γίνει την προηγούμενη περίοδο. Στην περίοδο αυτή πρωτοστατούν οι Klein, Poincare, Cayley και Sophus Lie. O Roberto Bonola (1912), ορίζει το ίδιο κομμάτι της ιστορίας των Μαθηματικών σε τέσσερα μέρη. Το πρώτο μέρος ξεκινά από την αμφισβήτηση του πέμπτου αιτήματος και τον Saccheri (1733) και τελειώνει με τον Thibaut (1809). Οι προσπάθειες απόδειξης του πέμπτου αιτήματος αποβαίνουν άκαρπες αλλά δημιουργούν το υπόβαθρο για τις έρευνες που θα ακολουθήσουν. Το δεύτερο μέρος, ξεκινά με τον Gauss και την αλληλογραφία του με τον W. Bolyai και τελειώνει με την σφαιρική γεωμετρία του Taurinus. Το τρίτο μέρος, αφιερώνεται στους Bolyai και Lobachevsky ενώ το τέταρτο στην μετέπειτα εξέλιξη της μη-ευκλείδειας Γεωμετρίας, από τον Riemann έως τον Cayley. O Coolidge (1940/1963) ορίζει δύο μόνο περιόδους: την περίοδο έως τους Bolyai και Lobachevsky και την περίοδο μετά απ αυτούς την οποία καλεί μοντέρνα θεώρηση του προβλήματος από τους Riemann, Beltrami, Klein κ.λπ. 9

16 Σύμφωνα, πάλι με τον Τorretti (1930/1984), η πρώτη περίοδος ξεκινά από τον Ευκλείδη ενώ τελειώνει με τους Bolyai και Lobachevsky. Η δεύτερη δομείται από τους Gauss, Riemann, Herbart και Grassman ξεκινώντας από την έννοια της καμπυλότητας και τελειώνοντας με την έννοια της πολλαπλότητας. Στην παρούσα διατριβή, θα χωρίσουμε το κομμάτι αυτό της ιστορίας των Μαθηματικών σε τέσσερις περιόδους. Το κριτήριο σύμφωνα με το οποίο έγινε αυτός ο χωρισμός αυτός, είναι η αλλαγή στους στόχους όπως αυτοί μπορούν να διαφανούν μέσα από τις πραγματείες των μεγάλων Μαθηματικών. Η πρώτη περίοδος, ξεκινά από τον Ευκλείδη και τελειώνει με τους Gauss και Minding και την ενασχόλησή τους με τις επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας. Ασφαλώς το τέλος αυτής της περιόδου με τους Gauss και Minding πρέπει να θεωρηθεί μια μεταβατική φάση αφού ήδη η ύπαρξη μιας άλλης γεωμετρίας είναι ορατή. Η δεύτερη περίοδος, αφιερώνεται στους Bolyai και Lobachevsky και στην ανακάλυψη της μη- Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η περίοδος, αυτή πολύ μικρότερη από την προηγούμενη και πολύ διαφορετική σε μέθοδο αφού χρησιμοποιείται η Ανάλυση. Στην δεύτερη περίοδο λοιπόν, στόχος δεν είναι να αποδειχθεί το πέμπτο αίτημα για να αναδειχθεί η Ευκλείδεια Γεωμετρία ως η μοναδική γεωμετρία του χώρου, αλλά η θεμελίωση μιας νέας γεωμετρίας. Η τρίτη περίοδος, σηματοδοτείται από την διάσημη διάλεξη του Riemann και συνεχίζεται από τον Beltrami και τα μοντέλα του. Η τέταρτη περίοδος, περιλαμβάνει τους Klein, Poincare, Cayley και τον Hilbert. Ο λόγος που η τρίτη περίοδος διαχωρίζεται από την δεύτερη είναι ότι και εδώ ο στόχος έχει αλλάξει: ο Beltrami επηρεασμένος από τον Riemann δημιουργεί τα μοντέλα με σκοπό να βρει τρόπο να αναπαραστήσει και να ερμηνεύσει την μη Ευκλείδεια γεωμετρία στον Ευκλείδειο χώρο. Στην τέταρτη περίοδο, δεν υπάρχει αυτή η πρόθεση, παρότι στα μοντέλα του Klein υπάρχει η έννοια της αναπαράστασης και της ερμηνείας, στόχος είναι όπως λέει ο ίδιος να 10

17 εξηγηθεί η η πραγματική ουσία των μη-ευκλείδειων γεωμετριών. H περίοδος αυτή, κλείνει με τον Hilbert και το αξιωματικό του σύστημα Πρώτη Περίοδος: H αμφισβήτηση του πέμπτου αιτήματος Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, γραμμένα γύρω στο 300 π.χ., περιέχεται το περίφημο 5 ο αίτημα ειδικότερα στο 1 ο από τα 13 βιβλία ο Ευκλείδης ξεκινά με τα πέντε αιτήματά του: I. Ζητείται να γίνει παραδεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο άγεται προς οποιοδήποτε σημείο ευθεία γραμμή. II. III. IV. Και πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται κατά τρόπο συνεχή σε ευθεία. Και με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. V. Και αν ευθεία η οποία συναντά δυο ευθείες, σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες (κατά το άθροισμα) των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ άπειρο, συναντιούνται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες που είναι μικρότερες των δύο ορθών. Το πέμπτο αίτημα ειδικότερα διαφέρει από τα υπόλοιπα ως προς την διατύπωσή του και είναι αυτό το οποίο δημιούργησε αμφιβολία σε όσους ήθελαν να βλέπουν τα αιτήματα του Ευκλείδη είτε ως αυτονόητα. Συγκρινόμενο με τα τέσσερα προηγούμενα αιτήματα φαίνεται να προστέθηκε από τον Ευκλείδη με σκοπό να στηρίξει το οικοδόμημά του (Torretti, 1984 σελ.43). Πράγματι ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί το Πέμπτο 11

18 Αίτημα μέχρι την πρόταση 29 1 του πρώτου βιβλίου. Η πρόταση 17 του πρώτου βιβλίου του Ευκλείδη, είναι το αντίστροφο του Πέμπτου Αιτήματος: Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε γωνιών του είναι μικρότερο των δύο ορθών. Αυτή είναι μία από τις προτάσεις που ανήκουν στην λεγόμενη Ουδέτερη (ή Απόλυτη) Γεωμετρία. Ο Πρόκλος (Proclus, translated by Morrow, σελ. 285, σειρές 3-4) αναρωτιέται πώς το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να θεωρείται μη αποδείξιμο, όταν το αντίστροφό του συμπεριλαμβάνεται στις προτάσεις που χρειάζονται απόδειξη. Αξιοσημείωτες προσπάθειες για απόδειξη του πέμπτου αιτήματος έγιναν από τους: Ποσειδώνιος (1 ος αιώνας μχ), Nasireddin ( ) Commandino ( ), Clavio ( ), Cataldi ( ), Borelli ( ), Vitale ( ), Wallis ( ), και Saccheri ( ). Το σφάλμα στις αποδείξεις αυτές ήταν κυρίως ότι χρησιμοποιούσαν προτάσεις ισοδύναμες με το πέμπτο αίτημα. Θα αναφερθούμε πιο αναλυτικά στις προσπάθειες του Saccheri και του Lambert Saccheri- Lambert Ο Saccheri στο έργο του Euclides ab omni naevo vindicatus (Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από κάθε σφάλμα) (1733/1976) που δημοσιεύθηκε λίγο πριν τον θάνατό του, Μιλάνο 1733, ασχολείται κυρίως με την απόδειξη του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη. Με την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι πρώτες είκοσι έξη προτάσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη, ο Saccheri κάνει την υπόθεση ότι δεν ισχύει το πέμπτο αίτημα και περιμένει να καταλήξει σε άτοπο. Αυτή η μέθοδος που επέλεξε θα τον οδηγήσει στην διατύπωση των τριών διάσημων υποθέσεων καθώς και σε αποδείξεις προτάσεων- θεμελίων 1 Η ευθεία η οποία τέμνει δύο παράλληλες ευθείες σχηματίζει τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τις εντός-εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες και τις εντός και επί τα αυτά με άθροισμα δύο ορθές. 12

19 για τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η κατασκευή ενός νέου σχήματος είναι η βάση σε όλη την προσπάθεια του Saccheri. Το σχήμα αυτό είναι το ισοσκελές δισορθογώνιο το οποίο έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και κάθετες στην βάση. (σχήμα 2.1) Στην πρόταση ΙΙΙ διατυπώνει τις τρείς διάσημες υποθέσεις: Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα AC και BD είναι κάθετα σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, τότε το ευθύγραμμο τμήμα CD που τα ενώνει θα είναι ίσο, μικρότερο ή μεγαλύτερο από το ΑΒ ανάλογα με το αν οι γωνίες που σχηματίζει το CD με τα AC και BD είναι ορθές, αμβλείες ή οξείες (Saccheri 1733/1986, σελ. 21). Με την πρόταση XXXII (Saccheri 1733/1986, σελ. 171) ουσιαστικά ο Saccheri καταλήγει στο εξής σημαντικό συμπέρασμα: «Όσον αφορά στην υπόθεση της οξείας γωνίας, αν θεωρήσουμε μια ευθεία b και ένα σημείο Α το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία, απ όλες τις ευθείες που περνούν από το Α, υπάρχουν δύο ευθείες p, q από δεξιά και από αριστερά. Οι ευθείες αυτές είναι ασύμπτωτες της b, και χωρίζουν την δέσμη των ευθειών που περνούν από το Α σε δυο μέρη (κλάσεις): αυτές που τέμνουν την b και αυτές που έχουν κοινή κάθετο με την b». 13

20 Α q p b (σχήμα 2.2) Φυσικά οι ευθείες p και q δεν είναι άλλες από τις ασυμπτωτικά παράλληλες ευθείες της Υπερβολικής Γεωμετρίας όπως θα δούμε παρακάτω. Σύμφωνα και με τον Bonola (Bonola, 1912, σελ. 43) στο σημείο αυτό ο Saccheri έπρεπε να πάρει μια απόφαση. Τελικά η επιθυμία του να αποδείξει το πέμπτο αίτημα υπερίσχυσε και έτσι φτάνει στην πρόταση XXXIIΙ: η υπόθεση της οξείας γωνίας είναι εσφαλμένη γιατί αντίκειται στη φύση της ευθείας γραμμής (Saccheri 1733/1986, σελ. 137), την οποία αποδεικνύει μετά από μια σειρά πέντε λημμάτων. Η κατάρριψη της υπόθεσης αυτής περιέχει πολλές ασάφειες και αστήρικτα συμπεράσματα. Απ ό,τι φαίνεται ούτε αυτός ικανοποιείται από τους συλλογισμούς αυτούς και προσπαθεί στο δεύτερο μέρος του έργου του να ενισχύσει τους ισχυρισμούς του, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των παραλλήλων ως ισαπεχουσών. Το έργο του Saccheri είναι μεγάλης σπουδαιότητας γιατί με την άρνηση του πέμπτου αιτήματος διατύπωσε σημαντικές προτάσεις των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών και αποτέλεσε τον προάγγελό τους 100 χρόνια πριν την ανακάλυψή τους. Ο Johann Heinrich Lambert ( ) θα μπορούσαμε να πούμε ότι συνέχισε το έργο του Saccheri. Ο Lambert εκτός από μαθηματικός και φιλόσοφος, ήταν και από τους μεγαλύτερους πρακτικούς μαθηματικούς (practitioners) του 18 ου αιώνα. Η τελευταία του ιδιότητα έδωσε μια άλλη 14

21 διάσταση στο έργο του, την οποία θα συζητήσουμε εκτενέστερα στο επόμενο κεφάλαιο. Ο Lambert έστρεψε την προσοχή του στο αίτημα των παραλλήλων το 1765, αφού διάβασε την διατριβή του Klügel στην οποία αναλύεται και το έργο του Saccheri. Το 1766 ο Lambert έγραψε το έργο του Theorie der Parallellinien το οποίο όμως δημοσιεύθηκε μετά το θάνατό του το 1786 (Lambert, 1786). Ο Lambert ξεκινά την παραπάνω πραγματεία του με αναφορά στο πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη παρατηρώντας ότι το αίτημα αυτό δεν είναι τόσο ξεκάθαρο και αυτονόητο σαν τα άλλα έτσι η πρώτη αντίδραση κάποιου να είναι η απαίτηση απόδειξης. Συνεχίζει αναφέροντας: για να αποδειχθεί το αίτημα του Ευκλείδη αυστηρά ή για να θεμελιωθεί μια γεωμετρία γενικά δεν πρέπει να γίνει οπτικοποίηση ή αναπαράσταση του «θέματος» (1786, παρ. 2). O Lambert, έχει σκοπό να αποδείξει το πέμπτο αίτημα, χωρίς να αναφερθεί ούτε σε ορισμούς 2 ούτε σε αναπαράσταση του θέματος. Αναφέρει χαρακτηριστικά: Αφού ο Ευκλείδης στα αιτήματα και στα αξιώματα χρησιμοποιεί λέξεις, αυτό σημαίνει ότι η απόδειξη δεν θα πρέπει να αναφέρεται στο «θέμα» αλλά η όποια απόδειξη να γίνει καθαρά συμβολικά εφόσον είναι δυνατόν. Από αυτήν την άποψη τα αιτήματα του Ευκλείδη είναι όπως οι αλγεβρικές εξισώσεις όπου τις έχεις μπροστά σου και υπολογίζεις τα x, y, z, κ.τ.λ. χωρίς να κοιτάς πίσω στο ίδιο το «θέμα» (1786, παρ. 11). Σύμφωνα με την Dunlop, (Dunlop, 2009, σελ. 37) ο Lambert προτείνει μια μέθοδο απόδειξης φορμαλιστική που δεν θα αναφέρεται στο σημασιολογικό περιεχόμενο των προτάσεων. Το βασικό σχήμα που χρησιμοποιεί ο Lambert, είναι το τετράπλευρο με τρείς ορθές γωνίες. Εξετάζει και αυτός όπως ο Saccheri τρείς υποθέσεις: η πρώτη, αν η γωνία είναι ορθή, η δεύτερη, αν η γωνία είναι αμβλεία και η 2 Ο Lambert δεν θεωρεί τους ορισμούς σαν βάση πάνω στην οποία στηρίζονται οι λογικοί συμπερασμοί αλλά απαιτεί ένα είδος επαλήθευσης για αυτούς (1786, παρ. 6) 15

22 τρίτη, αν η γωνία είναι οξεία. Η πρώτη υπόθεση οδηγεί στην γεωμετρία του Ευκλείδη και ο Lambert σκοπεύει να αποδείξει ότι η δεύτερη και η τρίτη υπόθεση οδηγούν σε αντιφάσεις. (σχήμα 2.3) Όσον αφορά την δεύτερη υπόθεση ο Lambert παρατηρεί ότι στην σφαιρική επιφάνεια, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου ικανοποιεί δύο συνθήκες οι οποίες προκύπτουν από την υπόθεση αυτή: είναι μεγαλύτερο από 180 ο και δεύτερον το πλεόνασμα είναι ανάλογο του εμβαδού του τριγώνου: 2 r ˆ ˆ ˆ. «Μου φαίνεται εκπληκτικό το γεγονός ότι η δεύτερη υπόθεση (υπόθεση της αμβλείας) ισχύει αν θεωρήσουμε σφαιρικά τρίγωνα αντί για επίπεδα τρίγωνα.» ( Lambert, 1786, παρ. 82 και Stackel και Engel, 1895, σελ. 202). Επίσης παρατηρεί ότι ο τελευταίος αυτός τύπος είναι ανεξάρτητος από το αίτημα των παραλλήλων και συνεπώς ισχύει και για τις τρεις υποθέσεις (Dunlop, 2009, σελ. 43). Κατά την προσπάθειά του να αποδείξει την δεύτερη υπόθεση κάνει το ίδιο σφάλμα με τον Saccheri, υποθέτει δηλαδή ότι οι ευθείες έχουν άπειρο μήκος. Ο Lambert, θεωρεί την φανταστική σφαιρική επιφάνεια, για την οποία ισχυρίζεται ότι έχει σχεδόν καταλήξει ότι η τρίτη υπόθεση ισχύει. Λέγοντας 16

23 φανταστική σφαιρική επιφάνεια πιθανά εννοεί την σφαιρική επιφάνεια ακτίνας ir. Για την επιφάνεια αυτή ισχύει αντίστοιχα ο τύπος: 2 ir ˆ ˆ ˆ r 2 Δηλαδή ˆ ˆ ˆ Σύμφωνα με την Dunlop (ibid) η επιφάνεια αυτή δεν είναι ένα απλό κατασκεύασμα της φαντασίας. Το 1768 ο Lambert δημοσίευσε την πρώτη συστηματική μελέτη υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (Lambert, 1768). Θεωρώντας σφαιρικά τρίγωνα και αντικαθιστώντας στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις των πλευρών τις φανταστικές τιμές, οι συναρτήσεις μετατρέπονται σε υπερβολικές. Στο άρθρο του αυτό ασχολείται με αστρονομικό πρόβλημα που για την λύση του απαιτεί τη χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε φανταστικά τόξα (σφαιρικά τρίγωνα με φανταστικές πλευρές). Η σφαιρική επιφάνεια με τρίγωνα που έχουν φανταστικές πλευρές και πραγματικές γωνίες είναι ισοδύναμη με την σφαίρα φανταστικής ακτίνας. Για να διαψεύσει την τρίτη υπόθεση ο Lambert, το μοναδικό επιχείρημα που χρησιμοποιεί είναι ότι αν αλήθευε η τρίτη υπόθεση τότε δύο μεταξύ τους κάθετες ευθείες θα ήταν παράλληλες προς την ίδια ευθεία (Torretti, 1984, σελ. 51). Αυτό βέβαια αντιστοιχεί στην περίπτωση που η γωνία παραλληλίας, σύμφωνα με τον Lobachevsky, γίνει ίση με. 4 Το ενδιαφέρον του Lambert για την αναπαράσταση του θέματος σε συνδυασμό με τις επιφάνειες που χρησιμοποιεί ( κανονική σφαίρα και σφαίρα φανταστικής ακτίνας) ώθησαν τους ερευνητές όπως ο Torretti (Torretti, 1984) και ο Webb (Webb, 1995) να θεωρήσουν ότι o Lambert έχει προσεγγίσει την έννοια του μοντέλου (όχι βέβαια με την μοντέρνα σημασία). Ωστόσο στην πρόσφατη έρευνά της η Dunlop υποστηρίζει ότι τις δύο επιφάνειες που χρησιμοποιεί ο Lambert δεν τις θεωρεί αναπαραστάσεις 17

24 του θέματος αλλά σαν σχηματικά παραδείγματα που θα τον βοηθούσαν να οδηγηθεί σε άτοπο (Dunlop, 2009 σελ ). Ο Lambert δεν προόριζε την εργασία του στη θεωρία των παραλλήλων για δημοσίευση και σύμφωνα με τον Bonola (1912 σελ. 50), το γεγονός ότι ποτέ ο ίδιος δεν δημοσίευσε κανένα από τα αποτελέσματά του μας οδηγεί να εικάσουμε ότι ίσως είχε ανακαλύψει άλλο τρόπο να αντιμετωπίσει το ζήτημα αυτό Από τον Newton στον Gauss: η έννοια της καμπυλότητας. Οι καμπύλες και οι επιφάνειες στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο εμφανίζονται ήδη από την αρχαιότητα. Στα Κωνικά, ο Απολλώνιος μελετά τις τομές του κώνου με το επίπεδο απ όπου προκύπτουν και οι γνωστές κωνικές τομές: η έλλειψη, η υπερβολή και η παραβολή. Θα περάσει μια χιλιετία για να αλλάξει το σκηνικό στη Γεωμετρία και αυτό οφείλεται ασφαλώς στον Descartes. Η πραγματεία του, La Geometrie, που δημοσιεύθηκε το 1637, συνδέει άμεσα την γεωμετρία με την άλγεβρα, και δημιουργεί την γνωστή μας Αναλυτική Γεωμετρία. Η Συνθετική Γεωμετρία είναι η γεωμετρία που χρησιμοποιεί την αξιωματική μέθοδο του Ευκλείδη και από τον Descartes και μετά διαχωρίζεται από την Αναλυτική. Επόμενη αλλαγή σκηνικού στην Γεωμετρία είναι η γεφύρωσή της με τον διαφορικό λογισμό. Το 1671 ο Newton παρουσιάζει την μονογραφία του The method of Fluxions and Infinite Series η οποία όμως δημοσιεύεται το Στην μονογραφία του αυτή η καμπυλότητα παίζει κεντρικό ρόλο και ο Newton καταλήγει στον γνωστό μας τύπο (όταν η παράμετρος είναι τυχαία και η καμπύλη επίπεδη που ορίζεται ως η συνάρτηση y f x ): 18

25 k f x 3 1 f x 2 (1) Ο καμπύλες στον τρισδιάστατο χώρο μελετώνται από τον Clairaut το 1731 και συνεχίζουν οι Euler, Cauchy για να φτάσουμε στους Frenet και Serret και στους γνωστούς τύπους: d0 kn0 ds dn0 k b ds db0 n0 ds 0 0 Με k όπως είδαμε πριν συμβολίζουμε την καμπυλότητα της καμπύλης ενώ με σ συμβολίζουμε την στρέψη της καμπύλης. dr Όπου 0 είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο ds d 0 σημείο P(s), n0 s ds, το διάνυσμα της πρώτης κάθετης στης d 0 ds b s s n s, το διάνυσμα της δεύτερης καμπύλης στο P(s) και καθέτου στο σημείο P(s) Το διατεταγμένο σύνολο s, n s, b s (2) ονομάζεται συνοδεύον τρίεδρο του Frenet, ορίζεται σε κάθε σημείο της καμπύλης και αποτελεί ένα τρισορθογώνιο σύστημα του 3. 2 Η καμπυλότητα σε ένα σημείο μιας ομαλής καμπύλης γ κλάσης C, r r s είναι γνωστό ότι είναι ένας θετικός αριθμός που ορίζεται ως εξής: k s 1 ds dr s 2 d 0 d r 2 (3) 19

26 Όπου s η φυσική παράμετρος (μήκος τόξου), 0 το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο αυτό ( Βλ. Παπαντωνίου, 1996 σελ. 79) και s η ακτίνα καμπυλότητας. Ο τύπος αυτός είναι ισοδύναμος με τον αρχικό τύπο που έδωσε ο Newton το 1671 (Βλ. Παπαντωνίου, 1996 σελ ). Από τον παραπάνω τύπο είναι φανερό ότι η καμπυλότητα είναι το μέτρο της ταχύτητας μεταβολής του εφαπτόμενου διανύσματος. Η ακτίνα καμπυλότητας δεν είναι άλλη από την ακτίνα του εγγύτατου κύκλου, του κύκλου δηλαδή του εγγύτατου επιπέδου ο οποίος έχει κοινή εφαπτομένη με την καμπύλη και εφάπτεται με αυτήν κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Η απόδοση του όρου εγγύτατος κύκλος οφείλεται στον Leibnitz. Η γενίκευση όμως της έννοιας της καμπυλότητας ήταν αυτή που επέτρεψε στο μέγεθος αυτό να παίρνει και αρνητικές τιμές. Αυτό έγινε σε μια επίπεδη καμπύλη όπου ορίζεται το κάθετο διανυσματικό πεδίο χρησιμοποιώντας την έννοια του προσανατολισμού: με n0 συμβολίζουμε s,n s ως το κάθετο διανυσματικό πεδίο έτσι ώστε η δυάδα 0 0 διατεταγμένο ζεύγος, να αποτελεί δεξιόστροφη ορθοκανονική βάση του 2. Ως καμπυλότητα τώρα μιας επίπεδης καμπύλης στο τυχαίο σημείο της θα ορίζεται ο πραγματικός αριθμός που δίνεται από τη σχέση (βλ. Παπαντωνίου Ι σελ. 196):, n k s s s (4) 0 0 Η μελέτη των επιφανειών τον 19 ο αιώνα έχει κεντρικό πρόσωπο τον Carl Friederich Gauss ( ) και την δημοσίευση του περίφημου άρθρου του το 1828 General Investigations of Curved Surfaces (Gauss, 1828/2005). Στην πραγματεία του αυτή ο Gauss ξεκινά θεωρώντας την σφαίρα με μοναδιαία ακτίνα ως βοήθημα. Η ιδέα του αυτή συνδέεται φυσικά με τις αστρονομικές του έρευνες. Σε αυτή τη βάση ο Gauss ορίζει την ολική καμπυλότητα μιας επιφάνειας αντιστοιχίζοντάς την στην μοναδιαία σφαίρα. Η σύγχρονη ερμηνεία του ορισμού αυτού έχει ως εξής: 20

27 Έστω S μια προσανατολισμένη επιφάνεια με παραμετρικοποίηση 2 3 r : D S r : u, v r r u, v Θεωρούμε την απεικόνιση της επιφάνειας αυτής στην μοναδιαία σφαίρα: N : S S 2 N : P N P Το σημείο P της επιφάνειας αντιστοιχίζεται στο σημείο Ν(P) της μοναδιαίας σφαίρας έτσι ώστε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας στο σημείο P να είναι ίσο με το διάνυσμα θέσης του Ν(P). Αν U είναι (στοιχειώδες) τμήμα της επιφάνειας S και N(U) η εικόνα του με την παραπάνω απεικόνιση, ορίζεται ως καμπυλότητα της επιφάνειας S στο σημείο P το όριο: K P lim U P όπου, U τα αντίστοιχα εμβαδά των U και N(U). Ο Gauss (Gauss, N U σελ. 10) όσον αφορά τον ορισμό αυτό, αναφέρεται στον λόγο των (στοιχειωδών) αυτών εμβαδών όχι όμως στο όριο του λόγου όταν U 0. Παρόλα αυτά η ερμηνεία που έχει δοθεί, είναι ότι ο Gauss εννοούσε το όριο του λόγου αυτού (Torretti, 1984, σελ.73). Το πρόσημο του λόγου αυτού, όπως βλέπουμε, μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ανάλογα με τον προσανατολισμό της απεικόνισης. Όπως αναφέρει ο Gauss (Gauss, 1828/2005, σελ. 10): «Η θέση του σχήματος πάνω στην σφαίρα μπορεί να είναι ίδια ή αντίθετη από ότι στην επιφάνεια». Στην συνέχεια ο Gauss δίνει επιπλέον εξηγήσεις για την ολική καμπυλότητα ανάλογα με την φύση της επιφάνειας: «Αν το τμήμα της επιφάνειας είναι τέτοιο ώστε διαφορετικά του σημεία να αντιστοιχίζονται σε διαφορετικά σημεία της επιφάνειας της σφαίρας τότε δεν χρειάζονται επιπλέον επεξηγήσεις Αν όμως δεν συμβαίνει N U U (5) 21

28 κάτι τέτοιο ο απλούστερος τρόπος θα είναι να θεωρήσουμε κομμάτια της επιφάνειας για τα οποία ισχύει η παραπάνω συνθήκη Η ολική τότε καμπυλότητα ενός τμήματος της επιφάνειας θα είναι kd όπου k το μέτρο της καμπυλότητας σε κάθε σημείο και dσ το στοιχείο της επιφάνειας του σχήματος 3». Στην ίδια εργασία ο Gauss υπολογίζει το στοιχείο αυτό της επιφάνειας: αν c είναι μια καμπύλη που κατοικεί στην επιφάνεια αυτή με εξισώσεις,,, u u t v v t t a, τότε το τετράγωνο της απόστασης δύο γειτονικών σημείων ονομάζεται γραμμικό στοιχείο ή πρώτη θεμελιώδης διαφορική τετραγωνική μορφή και δίνεται από τον τύπο που αποδείχθηκε από τον Gauss (Gauss, 1827/2005, σελ. 20):, 2,, I ds E u v du F u v dudv G u v dv (6) Όπου E, F και G τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης με E u, v r, F u, v r r, G u, v r 2 2 u u v v Ο Gauss καταλήγει στο λεγόμενο Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregrium) σύμφωνα με το οποίο η καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας σε ένα σημείο εξαρτάται μόνο από τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης και τις παραγώγους τους πρώτης και δεύτερης τάξης: LN M K EG F όπου (7) LN M Evv Fuv Guu AE BF G 2 Τα Α, Β, και Γ είναι συναρτήσεις των E, F, G και των παραγώγων τους ως προς u και v. Συγκεκριμένα ο Gauss αναφέρει: Αν μια επιφάνεια S αναπτυχθεί σε οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, το μέτρο της καμπυλότητας της 3 Το γραμμικό στοιχείο της επιφάνειας. 22

29 επιφάνειας S σε κάθε σημείο παραμένει σταθερό (Gauss, 1827/2005, σελ. 20). Το θεώρημα που συνέδεσε τον Gauss με την ανακάλυψη των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών είναι η πρώτη μορφή ενός από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών, του θεωρήματος Gauss-Bonnet. Συγκεκριμένα ο Gauss αποδεικνύει το εξής: Έστω Α, Β, Γ τρία σημεία πάνω σε μια επιφάνεια Ε, τα οποία ενώνονται με καμπύλες ελαχίστου μήκους. Έστω α, β, γ οι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ που σχηματίζεται από τα τόξα ελαχίστου μήκους. Τότε ισχύει: Kd (8) i) αν η διαφορά, είναι θετική ο Gauss την ονομάζει υπεροχή και το τρίγωνο ΑΒΓ κείται σε επιφάνεια θετικής καμπυλότητας, ii) αν είναι αρνητική την ονομάζει έλλειμμα και το τρίγωνο κείται σε επιφάνεια αρνητικής καμπυλότητας. (Gauss, 1827/2005, σελ. 30). Η περίπτωση όπου το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι π τότε έχουμε την επιφάνεια μηδενικής καμπυλότητας και η γεωμετρία στην οποία αντιστοιχεί είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Στο παρακάτω σχήμα μπορούμε να δούμε τις τρείς περιπτώσεις τριγώνων όταν κείνται σε επιφάνεια μηδενικής, θετικής και αρνητικής καμπυλότητας αντίστοιχα. (σχήμα 2.4) 23

30 Ο Gauss λοιπόν γνώριζε για τις επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας. Συγκεκριμένα γνώριζε και για την επιφάνεια της ψευδοσφαίρας αφού αναφέρεται σε αυτήν σε αδημοσίευτα άρθρα που έγραψε το 1823 και το 1827 (Gray, 1989, σελ. 139). Την θεωρεί ως αντίστροφη της σφαίρας αλλά δεν την συνδέει με τις μη- Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η άτρακτος είναι η επίπεδη καμπύλη που δημιουργεί την Ψευδοσφαίρα αν περιστραφεί γύρω από την ασύμπτωτό της. Η καμπύλη αυτή αναφέρεται από τον Leibniz το 1693 στο Acta Euiditorum και έχει την εξής ιδιότητα: το τμήμα της εφαπτομένης της καμπύλης μεταξύ του σημείου επαφής και του σημείου τομής της εφαπτομένης με σταθερή ευθεία του επιπέδου της (ασύμπτωτος της καμπύλης) είναι σταθερό (βλ. Παπαντωνίου σελ. 31). Ο Minding σε ένα άρθρο που δημοσιεύεται το 1839 μελετά την επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή της ατράκτου γύρω από την ασύμπτωτή της. Η Ψευδοσφαίρα που δημιουργείται από την περιστροφή αυτή είναι μια επιφάνεια αρνητικής καμπυλότητας που θα συνδεθεί τριάντα χρόνια αργότερα με τις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες. Ο Gauss ήταν μάλλον ο πρώτος που άτυπα προσέγγισε τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, όπως προκύπτει τουλάχιστον μέσα από την αλληλογραφία του Gauss τόσο με τον W.Bolyai όσο και με άλλους μαθηματικούς της εποχής του, (Olbers, Schumacher, Taurinus, Bessel). Έγιναν έτσι γνωστές οι έρευνες του Gauss πάνω στο 5 ο αίτημα και τη θεωρία των παραλλήλων, καθώς ο ίδιος δεν δημοσίευσε καμία από αυτές. O Gauss δεν ήθελε να διακινδυνεύσει την φήμη του έτσι ώστε να μπορεί να εργάζεται ανενόχλητος: Φοβάμαι τις φωνές των Βοιωτών, έγραψε ο Gauss στον Bessel το 1829 (Bonola, 1912, σελ. 67). 24

31 2.2. Δεύτερη Περίοδος: Η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία από τους Bolyai και Lobachevsky Η ανακάλυψη μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας έγινε σχεδόν ταυτόχρονα από τους Lobachevsky ( ) και Bolyai ( ) γύρω στο Ο Lobachevsky δημοσίευσε το την πραγματεία του Αρχές της Γεωμετρίας ενώ ο Bolyai δημοσίευσε το 1831 την πραγματεία του Απόλυτη επιστήμη του χώρου. Με διαφορετικό στυλ οι δύο γεωμέτρες θεμελιώνουν την Υπερβολική, όπως ονομάστηκε αργότερα, γεωμετρία. Ο Lobachevsky στο «Γεωμετρικές μελέτες πάνω στην θεωρία των παραλλήλων» ορίζει τις παράλληλες ως εξής: Όλες οι ευθείες γραμμές που άγονται σ ένα επίπεδο από το ίδιο σημείο, αναφορικά σε μία ευθεία του ίδιου επιπέδου, χωρίζονται σε δύο κλάσεις, ειδικότερα σε τέμνουσες και μη τέμνουσες. Οριακές ευθείες των δύο αυτών κλάσεων θα ονομάζονται παράλληλες στην δοσμένη ευθεία. Από το σημείο Α φέρνουμε κάθετη AD στην BC και στην συνέχεια την ΑΕ κάθετη στην AD. Στην ορθή γωνία EAD περιέχονται ευθείες οι οποίες είτε τέμνουν την DC, όπως για παράδειγμα η AF, είτε δεν την τέμνουν, όπως η ΑΕ. Στο ερώτημα αν η ΑΕ είναι η μοναδική που δεν τέμνει την DC, θεωρούμε ότι υπάρχουν και άλλες ευθείες οι οποίες δεν τέμνουν την DC, όσο και αν προεκταθούν, όπως η AG. Περνώντας από όλες τις ευθείες που δεν τέμνουν την DC προς τις ευθείες που την τέμνουν συναντάμε την ΑΗ παράλληλη στην DC, μια οριακή ευθεία, όπου από την μία της πλευρά βρίσκονται οι ευθείες που τέμνουν την DC ενώ από την άλλη πλευρά αυτές που δεν την τέμνουν. Η γωνία HAD, μεταξύ της παράλληλης ΑΗ και της κάθετης AD ονομάζεται γωνία παραλληλίας την οποία συμβολίσουμε Π(p) από το μήκος AD=p (σχήμα 2.5). 25

32 (σχήμα 2.5) Στην συνέχεια ο Lobachevsky διακρίνει δύο περιπτώσεις για τη γωνία παραλληλίας: 1 1. Αν Π(p)=, τότε έχουμε την περίπτωση της Ευκλείδειας 2 γεωμετρίας όπου οι ευθείες μπορεί να είναι είτε τέμνουσες είτε παράλληλες προς τη δοσμένη ευθεία Αν Π(p)<, έχουμε δύο παράλληλες προς δοσμένη ευθεία, ενώ οι 2 υπόλοιπες ευθείες χωρίζονται σε τέμνουσες και μη τέμνουσες. Το αξίωμα των παραλλήλων στην περίπτωση της γεωμετρίας αυτής διαμορφώνεται ως εξής: ΑΞΙΩΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ Έστω Α ένα σημείο και (ε) τυχαία ευθεία η οποία δεν διέρχεται από το Α. Τότε από το Α διέρχονται δύο ευθείες 1. ΧΑΥ δεν αποτελεί ευθεία. XX και YY τέτοιες ώστε: 26

33 2. Οι ευθείες XX, YY είναι και οι δύο παράλληλες προς την (ε). 3. Καμία ευθεία γραμμή η οποία περιέχεται στην γωνία ΧΑΥ δεν είναι παράλληλη προς την ευθεία (ε) (σχήμα 2.6). Υ Α Χ Χ Υ ε (σχήμα 2.6) Σύμφωνα με τον Gray (1979, σελ.243) η σημαντική διαφορά των εργασιών των Lobachevsky και Bolyai είναι ότι ο Bolyai έδωσε βαρύτητα στην λεγόμενη απόλυτη γεωμετρία, ενώ ο Lobachevsky ενδιαφερόταν για τις ιδιότητες της ίδιας της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Επιπλέον ο Lobachevsky ενδιαφερόταν για την γεωμετρία του φυσικού χώρου όπως αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. 27

34 2.3. Τρίτη Περίοδος: Riemann και Beltrami Riemann Το ευρύτερο ενδιαφέρον για τις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες αλλά και η τρίτη περίοδος, ξεκίνησαν με την γνωστή διάλεξη του Riemann το 1854 Επί των υποθέσεων επάνω στις οποίες θεμελιώνεται η γεωμετρία. Η διάλεξη αυτή σηματοδοτεί την αρχή της μοντέρνας φιλοσοφίας της γεωμετρίας και ανοίγει τον δρόμο για την εξέλιξη της γεωμετρίας ως επιστήμη (Torretti, 1984, σελ. 68). Ο Riemann, ξεκινά τη διάλεξή του λέγοντας ότι όλες οι πραγματείες της γεωμετρίας έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: προϋποθέτουν την έννοια του χώρου. Η χρήση των θεμελιωδών εννοιών, όπως του σημείου και της ευθείας, γίνεται στον χώρο αυτό. Συνεχίζει τονίζοντας ότι: Οι ονομαστικοί ορισμοί των θεμελιωδών εννοιών που δίνει ο Ευκλείδης δεν διαφωτίζουν τις σχέσεις μεταξύ των υποθέσεων και δεν μας πληροφορούν για την a-priori ύπαρξή τους. Riemann 1998/1854 σελ. 1 Λέγοντας υποθέσεις ο Riemann εννοεί τα αξιώματα ενώ ο χώρος για αυτόν έχει ευρύτερη σημασία: είναι ο Χώρος, μια οντότητα μοναδική μέσα στην οποία λαμβάνουν χώρα όλα τα φυσικά φαινόμενα. Στο πλαίσιο αυτό φαίνεται εύλογο το ερώτημα αν η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι η μοναδική και η καταλληλότερη για να περιγράψει όλα τα φυσικά φαινόμενα. Στην διάλεξη αυτή ο Riemann αναφέρεται για πρώτη φορά στις πολλαπλά εκτεταμένες ποσότητες που σήμερα ονομάζουμε πολλαπλότητες του Riemann. Με την καμπυλότητα ως κυρίαρχη έννοια, ο Riemann διαχωρίζει τις πολλαπλότητες σ αυτές με σταθερή και σ αυτές με μη σταθερή καμπυλότητα: Ο κοινός χαρακτήρας εκείνων των πολλαπλοτήτων των οποίων η καμπυλότητα είναι σταθερή, μπορεί να εκφραστεί ως εξής: μπορούν 28

35 να κινηθούν εντός τους σχήματα χωρίς να παραμορφωθούν. Δίνει επίσης τον γενικό τύπο του γραμμικού στοιχείου μιας πολλαπλότητας σταθερής καμπυλότητας: 1 i i ds dx dx k i i 1 x x 4 (9) Το μήκος των γεωδαισιακών 4 γραμμών πάνω σε μια πολλαπλότητα, θα είναι πεπερασμένο όταν πρόκειται για επιφάνεια θετικής καμπυλότητας. Συγκεκριμένα αναφέρει: Η θεώρηση επιφανειών σταθερής καμπυλότητας μπορεί να χρησιμεύσει για μια γεωμετρική ερμηνεία. Εύκολα βλέπουμε ότι οι επιφάνειες με θετική καμπυλότητα μπορούν πάντοτε να τυλιχθούν πάνω σε μια σφαίρα ακτίνας ίσης με το αντίστροφο της καμπυλότητας Η επιφάνεια μηδενικής καμπυλότητας θα είναι ένας κύλινδρος που εφάπτεται πάνω στον ισημερινό. Οι επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας θα αγγίζουν αυτόν τον κύλινδρο από το εξωτερικό του και η μορφή τους θα μοιάζει με το τμήμα της επιφάνειας ενός δακτυλίου ο οποίος είναι τοποθετημένος κοντά στον άξονα (Riemann, 1998/1854, σελ. 9). Δεν συνδέει άμεσα την περίπτωση των επιφανειών με αρνητική καμπυλότητα, με την μη Ευκλείδεια γεωμετρία των Lobachevsky και Bolyai. Σύμφωνα νε τον Torretti (1984, σελ. 101), είχε επίγνωση της σύνδεσης αυτής, αλλά σκοπός του ήταν διαφορετικός: να δείξει ότι ο Ευκλείδειος χώρος είναι μόνο μια ειδική περίπτωση της νεοεισαχθείσας έννοιας, της έννοιας της πολλαπλότητας. Μια πολλαπλά εκτεταμένη ποσότητα επιδέχεται ποικίλες μετρικές σχέσεις με αποτέλεσμα ο Ευκλείδειος 3-διάστατος χώρος να συνιστά μια ειδική μόνο περίπτωση μιας τριπλά εκτεταμένης ποσότητας (Riemann, 1999/1854, σελ. 22). 4 Οι γεωδαισιακές ορίζονται ως οι γραμμές ελαχίστου μήκους πάνω σε μια επιφάνεια. 29

36 Πρώτος ο Riemann όμως, κάνει την κρίσιμη παραδοχή ότι οι ευθείες μπορεί να μην έχουν όριο (φράγμα) χωρίς ωστόσο να είναι άπειρες σε έκταση (Gray, 1989, σελ. 155) όπως είναι οι μέγιστοι κύκλοι πάνω στην σφαίρα, προαναγγέλλοντας τα μοντέλα της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Έτσι, ενώ ο Gauss εφαρμόζει την έννοια της καμπυλότητας μόνο στις επιφάνειες, ο Riemann επεκτείνεται στις ν-διαστάσεις, μετατρέποντας την έννοια της καμπυλότητας σε θεμελιώδη ιδιότητα του χώρου Beltrami Ο Beltrami στην πραγματεία του Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (1868), υποστηρίζει ότι υπάρχουν συγκεκριμένες επιφάνειες στον Ευκλείδειο χώρο, οι ψευδοσφαίρες, στις οποίες τα θεωρήματα της μη-ευκλείδειας γεωμετρίας των Lobachevsky- Bolyai επαληθεύονται. Οι ψευδοσφαίρες, αντίθετα από την σφαίρα που έχει σταθερή θετική καμπυλότητα, είναι επιφάνειες σταθερής αρνητικής καμπυλότητας. Υποθέτοντας την ύπαρξη αυτών των επιφανειών, δηλώνει ο ίδιος ότι προσπαθεί να βρει μια πραγματική βάση για την γεωμετρία των Lobachevsky- Bolyai. Στην πραγματεία του το 1865 θέτει το πρόβλημα της εύρεσης όλων των επιφανειών οι οποίες μπορούν να παραμετρικοποιηθούν με τέτοιο τρόπο ώστε όλες οι γεωδαισιακές να παριστάνονται από ευθείες γραμμές (Arcozzi, 2012, σελ. 7). Ανακαλύπτει ότι την ιδιότητα αυτή την έχουν μόνο οι επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας με παράδειγμα την σφαίρα, όπου μέσω της στερεογραφικής προβολής όπου οι μέγιστοι κύκλοι απεικονίζονται σε ευθείες (Παπαντωνίου, 1997, τόμος ΙΙ. σελ. 301, 314). Έτσι για την σφαίρα ακτίνας R η οποία προβάλλεται στερεογραφικά σε επίπεδο που απέχει από το κέντρο της απόσταση α, 30

37 R a (σχήμα 2.7) η μετρική θα είναι: ds R a u v a v du uvdudv a u dv (11) Στην συνέχεια χρησιμοποιεί την σφαίρα φανταστικής ακτίνας και στην παραπάνω σχέση θέτει όπου α το iα και όπου R το ir: ds ia u v ir ia v du uvdudv ia u dv (12) και έτσι προκύπτει ds R a u v a v du uvdudv a u dv (13) Συνεχίζει στηριζόμενος στο γεγονός ότι οι γεωδαισιακές γραμμές δεν αλλάζουν στην πραγματική και στην φανταστική περίπτωση, επομένως και στο δίκτυο u, v θα είναι ευθείες γραμμές. Οι ευθείες αυτές είναι χορδές στο εσωτερικό κύκλου ακτίνας α (σχήμα 2.7). Για τον Beltrami σημείο θα είναι ένα σημείο στην επιφάνεια αρνητικής καμπυλότητας με 31

38 2 2 2 παραμέτρηση (u, v) που ορίζεται στον δίσκο u, v : u v a ενώ ευθεία θα είναι μια γεωδαισιακή σύμφωνα με την μετρική (13). Ας δούμε τώρα τι ακριβώς συμβαίνει στο εσωτερικό αυτού του κύκλου: Τα σημεία του μοντέλου είναι τα συνήθη σημεία στο εσωτερικό του κύκλου ενώ ευθείες είναι οι χορδές του κύκλου (εξαιρούμε από αυτές τα σημεία που ανήκουν στην περιφέρεια του κύκλου. Έστω Α ένα σημείο και λ μια ευθεία που δεν διέρχεται από το Α και τέμνει την περιφέρεια του κύκλου στα Β και C. Θεωρούμε τις δύο χορδές που ενώνουν το A με τα B και C. Οι ευθείες αυτές του μοντέλου δεν τέμνουν την λ στο εσωτερικό του κύκλου και επιπλέον χωρίζουν τις χορδές που διέρχονται από το Α σε δύο κλάσεις: σε αυτές που τέμνουν την λ και σε αυτές που δεν την τέμνουν. Στο μοντέλο αυτό, από ένα τυχόν σημείο Α διέρχονται άπειρες παράλληλες προς την ευθεία λ και είναι όλες αυτές που δεν τέμνουν τα εσωτερικά σημεία του BC στο εσωτερικό του κύκλου. (σχήμα 2.8) Σύμφωνα με τον Torretti (Torretti, σελ. 133) το μοντέλο αυτό ήταν μεταβατικό για τον Beltrami αφού στόχος του ήταν να φτάσει στην Ψευδοσφαίρα. Η υλοποίηση της γεωμετρίας των Lobachevsky- Bolyai είχε νόημα για αυτόν σε ένα πραγματικό αντικείμενο του χώρου. 32

39 Η σημασία των επιφανειών με σταθερή καμπυλότητα επισημάνθηκε από τον Riemann στην γνωστή του διάλεξη, όπως αναφέραμε στην παράγραφο 2.2. Το ερώτημα αν υπήρχε επιφάνεια του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου πάνω στην οποία να εφαρμόζεται η υπερβολική γεωμετρία, απασχολούσε όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο τον Beltrami. Στην παράγραφο 2.3 είδαμε ότι ο Minding με την βοήθεια της ατράκτου φ x 0, y Rημφ, z εr lnεφ φ με ε=1 ή ε=-1 (14) 2 δημιουργεί την επιφάνεια εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα των z. Η επιφάνεια αυτή είναι η Ψευδοσφαίρα γνωστή και ως the surface of revolution (σχήμα 2.9) Στο άρθρο Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante το οποίο δημοσιεύθηκε σχεδόν ταυτόχρονα με το πρώτο (Beltrami, 1968) πραγματεύεται τις ν-διάστατες πολλαπλότητες σταθερά αρνητικής καμπυλότητας και αναφέρει: Κάθε έννοια της μη-ευκλείδειας γεωμετρίας μπορεί να βρει ένα τέλειο ισοδύναμο στην γεωμετρία του χώρου με σταθερά αρνητική καμπυλότητα. Πρώτος ο Beltrami λοιπόν, με το επίπεδο μοντέλο αλλά κυρίως με την Ψευδοσφαίρα, υλοποιεί ή πραγματώνει την γεωμετρία των Lobachevsky και Bolyai. Στο ερώτημα αν η καινούρια γεωμετρία είναι συνεπής η απάντηση, μέσω αυτών των μοντέλων, είναι ότι οποιαδήποτε 33

40 ασυνέπεια στην γεωμετρία αυτή θα σήμαινε ασυνέπεια στην γεωμετρία του χώρου (Ευκλείδεια γεωμετρία). Ωστόσο, όπως απέδειξε ο Hilbert (Hilbert, 1901), καμία επιφάνεια σταθερά αρνητικής καμπυλότητας (εμφυτευμένη στον Ευκλείδειο χώρο) δεν μπορεί να θεωρηθεί ως ολικό μοντέλο της Υπερβολικής Γεωμετρίας Τέταρτη περίοδος: Cayley -Klein- Poincare- Hilbert Στην τέταρτη περίοδο έρχεται η πλήρης αποδοχή των μη Ευκλείδειων γεωμετριών και η κατανόησή τους από την Μαθηματική κοινότητα με την εύρεση των μοντέλων τους ή καλύτερα των αναπαραστάσεων τους, αφού η έννοια των μοντέλων δεν είχε τότε τη σημερινή σημασία Η μετρική του Cayley. Ενώ η ανακάλυψη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας από τους Lobachevsky- Bolyai δεν τράβηξε την προσοχή της Μαθηματικής κοινότητας, την ίδια περίοδο η ανάπτυξη της Προβολικής Γεωμετρίας είχε μεγάλη απήχηση. Η απλότητά της, η ομορφιά της και η φαινομενική της ομοιότητα με την Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι οι βασικοί λόγοι σύμφωνα με τον Torretti (1978/1984, σελ.110), χάρη στους οποίους η Προβολική Γεωμετρία οφείλει την αποδοχή της. Οι ρίζες της Μοντέρνας αυτής γεωμετρίας, όπως συνήθιζαν να την ονομάζουν, βρίσκονται στην τεχνική της προοπτικής και στην τέχνη της ζωγραφικής και της αρχιτεκτονικής της Αναγέννησης (Kline, 1953/1987 σελ ). Πρώτος ο Kepler το 1604, 34

41 στο πλαίσιο των Μαθηματικών, είναι αυτός που σε κάθε ευθεία θα αντιστοιχίσει ένα σημείο στο άπειρο. Ακολούθησαν οι Desargues ( ), Pascal ( ), Hire ( ). Η μεγάλη απήχηση της Προβολικής Γεωμετρίας οφείλεται κυρίως στους Monge ( ) και Poncelet ( ) που ήταν μαθητής του πρώτου. Μέχρι και τον Poncelet η γεωμετρία αυτή ήταν συνθετική αλλά από τον Klein ξεκινά η ανάπτυξη της αναλυτικής Προβολικής γεωμετρίας. Η σύνδεση της Προβολικής Γεωμετρίας με τις μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες ξεκίνησε όταν ο Cayley ( ) εισήγαγε την έννοια της μετρικής στο πλαίσιο αυτό. Το 1859 στην εργασία του Sixth Memoir on Quantics ξεκινά με την φράση Στην εργασία αυτή προτείνω να διαπραγματευτούμε την γεωμετρική θεωρία. Αυτό που εννοεί ο Cayley είναι η διασαφήνιση της σχέσης της Προβολικής Γεωμετρίας και της μετρικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ας δούμε πρώτα πως ορίζεται η κωνική στο προβολικό επίπεδο. Στο παρακάτω σχήμα θεωρούμε τις ευθείες α, β, γ που διέρχονται από το Ρ και τις ευθείες α, β, γ που διέρχονται από ένα σημείο Ρ διαφορετικό του Ρ. Τα σημεία τομής Α, Β, Γ των ευθειών (α, α ), (β, β ) και (γ, γ ) αντίστοιχα ορίζουν μια κωνική. Κωνική σημειοσειρά λοιπόν θα είναι το σύνολο των σημείων τομής ομόλογων ζευγών ευθειών προβολικών επίπεδων δεσμών από δύο διαφορετικά σημεία. 35

42 Ρ' Ρ β γ α' β' γ' χ' α Γ χ Α Β ( σχήμα 2.10) Κωνική δέσμη, δυικά, θα καλούμε το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από τα ομόλογα σημεία δύο προβολικών συνεπίπεδων σημειοσειρών (σχήμα 2.11). (σχήμα 2.11) Στην εργασία του αυτή ο Cayley εισάγει μια μετρική στο προβολικό επίπεδο βασισμένη σε μια δοσμένη κωνική την οποία καλεί απόλυτη (absolute) και θεωρεί τους προβολικούς μετασχηματισμούς που αφήνουν την κωνική αυτή αμετάβλητη. 36

43 A B Q P Ο (σχήμα 2.12) Αν Α και Β δύο σημεία του προβολικού επιπέδου, ο Cayley ορίζει την μετρική:, ln,,, d A B k R A B P Q (15) όταν P και Q είναι τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με την κωνική και k σταθερά. Με R συμβολίζουμε το διπλό λόγο τεσσάρων συνευθειακών σημείων: R A, B, P, Q AP BP (16) AQ BQ Οι μετρικές ιδιότητες ενός σχήματος δεν έχουν να κάνουν με το σχήμα αυτό καθεαυτό ξεχωριστά από οτιδήποτε άλλο, αλλά θεωρώντας το σε σχέση με ένα άλλο σχήμα όπως είναι η κωνική βάση με τον τρόπο αυτό η προβολική γεωμετρία περιέχει όλες τις γεωμετρίες. (Cayley, 1859, σελ.130). Η εξίσωση της κωνικής οδηγεί σε διαφορετικές γεωμετρίες: c x x x για τις διάφορες τιμές του c Ο Cayley διακρίνει δύο περιπτώσεις εκ των οποίων η πρώτη οδηγεί (όπως αργότερα θα φανεί) στην Ελλειπτική Γεωμετρία και η δεύτερη στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Η πρώτη περίπτωση είναι αυτή στην οποία η κωνική 37

44 είναι φανταστική, δηλαδή η εξίσωσή της έχει πραγματικούς συντελεστές αλλά δεν ικανοποιείται για κανένα πραγματικό σημείο εκτός του μηδενός. Αυτό συμβαίνει για c 1στην εξίσωση της κωνικής και οδηγεί στην Ελλειπτική Γεωμετρία. Στην δεύτερη περίπτωση η κωνική εκφυλίζεται σε δύο σημεία τα οποία ορίζονται ως η τομή μιας επ άπειρον ευθείας με έναν κύκλο. Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει για c 0 στην εξίσωση της κωνικής και είναι η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ωστόσο τον Cayley δεν τον απασχολεί η σύνδεση των ευρημάτων του με την μη Ευκλείδεια Γεωμετρία των Lobachevsky και Bolyai, μια σύνδεση την οποία πραγματοποιεί ο Klein το1873 στην πραγματεία του Επί της λεγόμενης μη- Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Stillwell, 1996, σελ ) Η χρήση της μετρικής από τον Klein. Ο Klein ( ) στην πραγματεία του Κάτω από τις υποθέσεις στις οποίες στηρίζεται η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία συνδέει την κωνική βάση της μετρικής του Cayley με τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες (Klein, 1871). Συγκεκριμένα αναφέρει: Η ανάγκη να κάνουμε διαισθητικά ξεκάθαρες τις αφηρημένες υποθέσεις που οδήγησαν στις τρείς γεωμετρίες, οδήγησαν τις έρευνές μου στην εύρεση παραδειγμάτων μετρικών, που θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως αναπαραστάσεις των τριών Γεωμετριών κάνοντας προφανή τη συνέπεια της κάθε μιας Σκοπός μου είναι να κατασκευάσω αναπαραστάσεις, στο επίπεδο και στον χώρο, των τριών γεωμετριών, οι οποίες θα προσφέρουν μια πλήρη εικόνα των χαρακτηριστικών γνωρισμάτων τους. Με τον τρόπο αυτό οι αναπαραστάσεις αυτές δεν θα είναι απλά ερμηνείες των εν λόγω γεωμετριών αλλά θα εξηγούν την πραγματική τους ουσία Η γενικευμένη αυτή μετρική κατασκευάστηκε ουσιαστικά από τον Cayley. Του Cayley η οπτική γωνία ήταν ωστόσο τελείως διαφορετική από την 38

45 παρούσα, αφού κατασκευάζει την μετρική του με σκοπό να δείξει πως η μετρική Ευκλείδεια Γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως τμήμα της Προβολικής Γεωμετρίας. (Klein, 1871, σελ ) Θεωρώντας την κωνική επιφάνεια στον χώρο, οι υποθέσεις τις οποίες θεωρεί ο Klein είναι οι εξής: I. Η θεμελιώδης επιφάνεια είναι φανταστική II. Η θεμελιώδης επιφάνεια είναι πραγματική III. Η θεμελιώδης επιφάνεια εκφυλίζεται σε φανταστική καμπύλη. Οι τρείς αυτές υποθέσεις οδηγούν αντίστοιχα στην Ελλειπτική Γεωμετρία, στην Υπερβολική, και στην Ευκλείδεια. O Klein χρησιμοποίησε την μετρική του Cayley και στο επίπεδο μοντέλο Beltrami που περιγράψαμε στην παράγραφο: Αν L και M δύο σημεία της ευθείας λ, τότε 1 1 LB MC pk L, M ln RL, M, B, C ln (17) 2 2 LC MB και έτσι ορίζεται η απόσταση των σημείων L και M (βλ. σχήμα 2.8). Στον τύπο αυτόν, o οποίος οφείλεται στον Klein, καταλήγουμε μέσω γραμμικών μετασχηματισμών του προβολικού επιπέδου (Borsuk και Szmielew, 1960, σελ ). Το ανάλογο μοντέλο στον χώρο θα ήταν το εσωτερικό μιας σφαίρας, όπου τα σημεία θα ήταν τα συνήθη του χώρου στο εσωτερικό της σφαίρας, οι ευθείες θα ήταν οι χορδές της σφαίρας και ως επίπεδο θα θεωρούσαμε το εσωτερικό κυκλικού δίσκου με την περιφέρειά του στην επιφάνεια της σφαίρας (Aleksandrov,1956). Ο σκοπός του Beltrami φτιάχνοντας το παραπάνω μοντέλο ήταν διαφορετικός από του Klein. Αν με κάποιο τρόπο τα διαχωρίζαμε θα λέγαμε ότι το μοντέλο του Klein στοχεύει στην αναπαράσταση του θέματος ενώ του Beltrami στην Ευκλείδεια υλοποίηση. Ο Klein, όπως θα δούμε, δεν στοχεύει σε ένα αντικείμενο του πραγματικού χώρου όπως ο Beltrami Ωστόσο το μοντέλο αυτό θα το καλούμε το μοντέλο των Beltrami-Klein. 39

46 Τα μοντέλα του Poincaré Ο Poincaré ( ), ήταν ένας από τους τελευταίους επιστήμονες με ευρύ φάσμα έρευνας, που καλύπτει τα Μαθηματικά τη Φυσική την και Αστρονομία. Το 1908 έδωσε μια διάλεξη στο Παρίσι στην Société de Psychology και έναν χρόνο μετά δημοσίευσε το γνωστό του άρθρο Science et méthode (Poincaré, 1909) το οποίο τον συνέδεσε με τις μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες. Ωστόσο, οι πεποιθήσεις του Poincaré για την επιστήμη γενικότερα είναι ένα μεγάλο κεφάλαιο της φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Ο Torretti (1978/1984) συνοψίζει σε μια παράγραφο την κεντρική ιδέα αυτού που αποκαλείται συμβατισμός (conventionalism) του Poincaré: Η αναντιστοιχία του απόλυτου χώρου με τις επιστημονικές παρατηρήσεις και τα πειράματα, τον οδήγησαν από νωρίς σε ένα ακραίο συμπέρασμα: η εμπειρία δεν μπορεί να μας διδάξει τίποτα για την δομή του πραγματικού χώρου τελικά η επιλογή της γεωμετρίας για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων είναι καθαρά θέμα σύμβασης. (σελ. 325) Το επίπεδο μοντέλο των Beltrami-Klein, οδήγησε τον Poincaré σε δύο άλλα επίπεδα μοντέλα: τον δίσκο και το ημιεπίπεδο. Θεωρούμε το επίπεδο μοντέλο των Beltrami-Klein (σχήμα 2.8) και το καλούμε B 2. Με την ίδια ακτίνα θεωρούμε σφαίρα στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο που εφάπτεται στον δίσκο 2 B στο κέντρο του. Προβάλλουμε κάθετα τον στην σφαίρα: η περιφέρεια του δίσκου θα προβληθεί στον ισημερινό της σφαίρας, ενώ οι χορδές του 2 B 2 B θα είναι τώρα τόξα ορθογώνια στον ισημερινό της σφαίρας. Τώρα προβάλλουμε στερεογραφικά το νότιο αυτό ημισφαίριο από τον βόρειο πόλο Ν στο εφαπτόμενο επίπεδο στης σφαίρας στον νότιο πόλο S (σχήμα 2.13). 40

47 (σχήμα 2.13) Το διάσημο μοντέλο του Poincare (σχήμα 2.14) είναι ο δίσκος 2 D που προέκυψε από αυτή την στερεογραφική προβολή. Οι ευθείες στον δίσκο του Poincare είναι ημικύκλια ορθογώνια στην περιφέρεια του δίσκου αφού η στερεογραφική προβολή είναι ισογώνια. Η παραπάνω κατασκευή αναπαριστά τον ισομορφισμό με τον οποίο συνδέονται τα δύο αυτά μοντέλα, δηλαδή την ένα προς ένα και επί αντιστοιχία μεταξύ των σημείων και των ευθειών τους (Greenberg, 1980). (σχήμα 2.14) Ένα άλλο μοντέλο που οφείλεται στον Poincaré είναι το upper half-plane model το οποίο συμβολίζεται με Η, είναι το μοντέλο στο οποίο ως χώρος έχει επιλεγεί το πάνω ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή είναι το 41

48 σύνολο που περιέχει όλους τους μιγαδικούς αριθμούς των οποίων το φανταστικό μέρος είναι θετικό. l k m n Χ' Χ (σχήμα 2.15) Δηλαδή το σύνολο Η={z=x+iy/ Imz=y0}. Ως σημεία του μοντέλου αυτού θεωρούμε τα Ευκλείδεια σημεία του επιπέδου πάνω από τον άξονα δηλαδή τον άξονα των πραγματικών αριθμών. Οι ευθείες όμως του Η είναι δύο ειδών. Το ένα είδος είναι οι τομές του Η με κύκλους που έχουν τα κέντρα τους πάνω στον άξονα και το άλλο είδος οι τομές του Η με τις κάθετες ευθείες στον άξονα (σχήμα 2.15). Με τι είδους μετρική θα εφοδιάζαμε τον χώρο αυτό; Σύμφωνα με τον Poincaré με αυτή που μας βολεύει. Ο σκοπός του ερευνητή είναι αυτός που θα καθορίσει τη δομή και το είδος του μαθηματικού κατασκευάσματος. Θα μπορούσε κάποιος απλά να χρησιμοποιεί την Ευκλείδεια μετρική αφού τα σημεία του Χώρου είναι τα συνήθη. 42

49 2 Έστω f : a, b μια διαδρομή στο H με είναι f t x t y t i και θα έχουμε: b 2 2. length f x t y t dt f t dt a b a f t x t y t i, θα Θα μπορούσαμε βέβαια, να εφοδιάσουμε τον Η με την Υπερβολική μετρική: Αν x, y είναι ένα μη κενό σύνολο από διαδρομές f :, a b και θεωρήσουμε την συνάρτηση dh : H H, με τιμή: H, inf :, d x y length f f x y (Anderson, 2006, σελ. 73 ), τότε η συνάρτηση αυτή d H ορίζει μια υπερβολική μετρική στο Η Hilbert Ο πρώτος που συνέταξε πλήρες σύστημα αξιωμάτων ήταν ο David Hilbert ( ) το οποίο δημοσίευσε το 1899 στο έργο του με τίτλο Grundlagen der Geometrie (Θεμέλια της Γεωμετρίας). Σε αυτό το σύστημα ο Hilbert θεωρεί τον τριδιάστατο χώρο ως σύνολο θεμελιωδών στοιχείων και ορίζει τρία συστήματα αντικειμένων: Πρώτου συστήματος ονομάζει τα σημεία του μονοδιάστατου χώρου δηλαδή τα στοιχεία της γραμμικής γεωμετρίας και τα συμβολίζει με Α, Β, C,... Δεύτερου συστήματος ονομάζει τις ευθείες δηλαδή τα στοιχεία της επίπεδης γεωμετρίας και τα συμβολίζει με a, b, c. Τρίτου συστήματος ονομάζει τα επίπεδα δηλαδή τα στοιχεία του τρισδιάστατου χώρου και τα συμβολίζει με α, β, γ. Οι ιδιότητες του τρισδιάστατου χώρου προκύπτουν από τις σχέσεις των θεμελιωδών αυτών στοιχείων. Τα αξιώματα στα οποία στήριξε ο Hilbert το 43

50 σύστημά του, τα χωρίζει σε πέντε ομάδες όπου κάθε ομάδα αντιστοιχεί και σε μια λέξη η οποία εκφράζει κάποια σχέση μεταξύ των θεμελιωδών στοιχείων. I. Τα αξιώματα θέσεως, τα οποία αντιστοιχούν στην σχέση ανήκειν των θεμελιωδών στοιχείων. II. Τα αξιώματα διάταξης που εκφράζουν την σχέση κείσθαι μεταξύ των θεμελιωδών στοιχείων. III. Τα μετρικά αξιώματα που απορρέουν από την σχέση της ισότητας. IV. Το αξίωμα των παραλλήλων από την λέξη παραλληλία. V. Τα αξιώματα συνέχειας από την λέξη συνέχεια. Από τις πέντε ομάδες αξιωμάτων θα δούμε το αξίωμα των παραλλήλων για το οποίο ο Hilbert ξεκινά με τους βασικούς ορισμούς: 1. Δυο ευθείες λέγονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο μεταξύ τους. 2. Δύο επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο μεταξύ τους. 3. Μια ευθεία είναι παράλληλη προς ένα επίπεδο όταν δεν έχει κανένα κοινό σημείο με αυτό. Ι. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΘΕΣΗΣ 1. Σε δύο σημεία αντιστοιχεί μία ευθεία στην οποία τα σημεία αυτά ανήκουν. 2. Η ευθεία στην οποία αντιστοιχούν δύο σημεία είναι μοναδική και ταυτίζεται με την ευθεία στην οποία ανήκουν. 3. Σε μία ευθεία ανήκουν τουλάχιστον δύο σημεία και υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. 4. Σε τρία σημεία αντιστοιχεί ένα επίπεδο, στο οποίο τα σημεία αυτά ανήκουν, και σε ένα επίπεδο αντιστοιχεί τουλάχιστον ένα σημείο το οποίο ανήκει σε αυτό. 44

51 5. Σε τρία σημεία τα οποία δεν ανήκουν σε μία ευθεία αντιστοιχεί μοναδικό επίπεδο και στο οποίο τα σημεία αυτά ανήκουν. 6. Αν δύο σημεία ανήκουν σε ένα επίπεδο τότε όλα τα σημεία της ευθείας την οποία ορίζουν τα σημεία αυτά, ανήκουν στο επίπεδο αυτό. 7. Αν ένα σημείο ανήκει σε δύο επίπεδα τότε θα υπάρχει και άλλο σημείο το οποίο θα ανήκει στα επίπεδα αυτά. 8. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. ΙΙ. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ 1. Αν το σημείο Β βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Γ τότε τα σημεία Α, Β και Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους και ανήκουν στην ίδια ευθεία. Μετά το αξίωμα αυτό μπορεί να δοθεί ο ορισμός του ευθύγραμμου τμήματος: Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή ΒΑ με άκρα τα δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α και Β ονομάζουμε το σχήμα που αποτελείται από το σύνολο των σημείων που βρίσκονται μεταξύ των Α και Β. Το σχήμα αυτό προφανώς ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα Α και Β. 2. Στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α και Β υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Γ τέτοιο ώστε το Β να βρίσκεται μεταξύ των Α, Γ. 3. Από τρία σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία, το πολύ ένα βρίσκεται μεταξύ των άλλων δύο. 4. Έστω τρία σημεία Α, Β, Γ τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία και (ε) η ευθεία η οποία ανήκει στο επίπεδο που ορίζουν τα Α, Β, Γ και δεν διέρχεται από κανένα από τα σημεία αυτά (σχήμα 2.16). Αν η ευθεία αυτή έχει κοινό σημείο με ένα από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ 45

52 τότε θα έχει κοινό σημείο και με το ένα από τα υπόλοιπα δύο ευθύγραμμα τμήματα. Α ε Β Γ (σχήμα 2.16) ΙΙΙ ΜΕΤΡΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ 1. Έστω (λ) μια ευθεία, Α, Β δύο σημεία αυτής και Γ σημείο της ίδιας ευθείας ή κάποιας άλλης ευθείας (μ). Έστω Γχ η μια από τις ημιευθείες που σχηματίζει το Γ με την (λ) ή με την (μ). Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Δ της Γχ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ να είναι ίσο με το ΑΒ δηλαδή ΑΒ=ΓΔ. 2. Αν μεταξύ τριών ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ισχύουν ΑΒ=ΓΔ και ΓΔ=ΕΖ τότε θα είναι και ΑΒ=ΕΖ. 3. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ μιας ευθείας (ε) δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και το ίδιο συμβαίνει για τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ, ΕΖ της ίδιας ή άλλης ευθείας και ισχύουν οι σχέσεις ΑΒ=ΔΕ, ΒΓ=ΕΖ τότε θα έχουμε ότι: ΑΓ=ΔΖ. 4. Έστω επίπεδη γωνία xoy ˆ με Π το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται και ευθεία (ε) η οποία βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με την γωνία ή σε άλλο επίπεδο έστω P. Αν K σημείο της ευθείας (ε) θεωρούμε Kx 1 την μια από τις ημιευθείες που ορίζει το Κ στην (ε). Τότε αν Ε το ένα από τα 46

53 ημιεπίπεδα που σχηματίζει η Kx 1 με το επίπεδο Π ή το P, υπάρχει επί του ημιεπιπέδου αυτού μοναδική ημιευθεία Ky 1 με αρχή το Κ τέτοια ώστε η γωνία x ˆ 1ky 1 να είναι ίση προς την γωνία xoy ˆ. 5. Έστω (Α, Δ), (Β, Ε), (Γ, Ζ) τρία ζεύγη σημείων από τα οποία το ένα τουλάχιστον περιέχει σημεία διάφορα μεταξύ τους και τα σημεία Α, Β, Γ αλλά και τα Δ, Ε, Ζ δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Αν ισχύει ΔΕ=ΑΒ, ΔΖ=ΑΓ και ˆ ˆ E τότε θα ισχύει και ˆ ˆ, ˆ ˆ. IV ΑΞΙΩΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Από κάθε σημείο που δεν ανήκει σε μια ευθεία διέρχεται μια τουλάχιστον παράλληλος προς τη ευθεία αυτή. Το αξίωμα των παραλλήλων του Hilbert είναι το εξής: Από κάθε σημείο το οποίο δεν ανήκει σε δοθείσα ευθεία διέρχεται το πολύ μια παράλληλος προς την ευθεία αυτή. Από το αξίωμα αυτό και το θεώρημα 1 προκύπτει το εξής: ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Από κάθε σημείο το οποίο δεν ανήκει σε δοθείσα ευθεία διέρχεται μοναδική παράλληλος προς την ευθεία αυτή. V. ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 1. Έστω ημιευθεία Αχ με αρχή το σημείο Α και Β σημείο της ημιευθείας αυτής. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ είναι άνισα και έστω ΑΒΓΔ τότε επί της ημιευθείας με αρχή το Α και στην οποία ανήκει το 47

54 ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, υπάρχει πεπερασμένο πλήθος διαδοχικών σημείων A,,, 1 A τέτοιων ώστε: 2 AA1 A1 A2 A2 A3 A 1 A (σχήμα 2.17). A 2. Έστω ευθεία (ε) και ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των οποίων αποτελούν ακολουθία A B, A B, 2, A i B, και τα οποία i ανήκουν στην ευθεία αυτή. Είναι δε τέτοια ώστε το A j βρίσκεται μεταξύ των A, B j 1 1 ή συμπίπτει με το A j1 και επίσης B j βρίσκεται μεταξύ των B, A j 1 1 ή συμπίπτει με το B j1 με j 2,, i, και δεν υπάρχει τμήμα της (ε) το οποίο να ανήκει στο A B n n τμήμα της ακολουθίας και συγχρόνως να ανήκει σε όλα τα επόμενα του A τμήματα της ακολουθίας. Τότε υπάρχει σημείο B n n 48

55 Μ της ευθείας (ε) τέτοιο ώστε να μην είναι εξωτερικό προς κανένα από τα τμήματα της ακολουθίας. Από τα αξιώματα αυτά το πρώτο είναι το γνωστό Αξίωμα του Αρχιμήδη ή Αξίωμα του Εύδοξου, ενώ το δεύτερο είναι το γνωστό Αξίωμα του Cantor. Τα δύο αυτά αξιώματα μπορούν να αντικατασταθούν από ένα άλλο αξίωμα το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως το μοναδικό αξίωμα διάταξης. Αυτό είναι το γνωστό Αξίωμα του Dedekind και είναι το εξής: Θεωρούμε ότι τα σημεία και τα άκρα ενός διατεταγμένου ευθύγραμμου τμήματος χωρίζονται σε δύο κατηγορίες με ονομασίες, πρώτη και δεύτερη, τέτοιες ώστε α) η αρχή του τμήματος να ανήκει στην πρώτη κατηγορία και το πέρας στην δεύτερη β) τυχαίο σημείο του τμήματος να ανήκει στην πρώτη ή την δεύτερη κατηγορία γ) οποιοδήποτε σημείο το οποίο ανήκει στην πρώτη κατηγορία προηγείται όλων των σημείων που ανήκουν στη δεύτερη κατηγορία. Τότε υπάρχει σημείο στην ευθεία στην οποία ανήκει το ευθύγραμμο αυτό τμήμα, τέτοιο ώστε να μην είναι εξωτερικό του τμήματος. Το σημείο αυτό κατά την συγκεκριμένη διάταξη έπεται του ευθύγραμμου τμήματος και ανήκει στην πρώτη κατηγορία. Επίσης οποιοδήποτε σημείο του τμήματος έπεται του σημείου αυτού, ανήκει στην δεύτερη κατηγορία. Το σημείο αυτό είναι μοναδικό και ανήκει σε μια από τις δυο κατηγορίες. Αν συμπίπτει με την αρχή τότε είναι και το μοναδικό σημείο πρώτης κατηγορίας, ενώ αν συμπίπτει με το πέρας είναι το μοναδικό σημείο δεύτερης κατηγορίας. Ας δούμε τώρα το αριθμητικό μοντέλο του Hilbert για την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Με Ω συμβολίζουμε το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών που ορίζεται ως εξής: 1 Αν a, b, b 0, τότε και a+b, a-b, ab, a:b ανήκουν στο Ω. 49

56 Αν a, τότε και 2 1 a. 2 Το x θα ονομάζεται σημείο, με x, x x, x κάθε κλάση τριάδων, ενώ ευθεία θα καλείται 1 2 u u1, u2, u3,, ui όπου u1, u 2 να μην είναι ταυτόχρονα μηδέν. Την κλάση αυτή την συμβολίζουμε με u1 : u2 : u3. Θα λέμε ότι ένα σημείο x x, x θα ανήκει στην ευθεία u u : u : u αν 1 2 u1x 1 u2x2 u Στο μοντέλο αυτό επαληθεύονται τα αξιώματα I1, I2, I 3, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV καιv 1. Αν αντί του Ω έχουμε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε το παραπάνω μοντέλο δεν είναι άλλο από τη συνηθισμένη Καρτεσιανή Γεωμετρία (Hilbert, 1962 σελ ). Ο Hilbert καταλήγει ότι αν το σύστημά του είχε αντιφάσεις, τότε αυτές θα παρουσιάζονταν και στην αριθμητική των πραγματικών αριθμών. Για τον Hilbert τα αξιώματα έχουν τελείως διαφορετικό νόημα από αυτό που αποδίδεται στον Ευκλείδη αφού δεν συνδέονται με την διαίσθηση. Το κριτήριο του Hilbert για την αλήθεια είναι η μη αντιφατικότητα των αξιωμάτων και των συνεπειών τους που θα συνεπάγεται την ύπαρξη των αντικειμένων που ορίζουν. Θέλοντας να αποκοπεί από την καντιανή αντίληψη για την γεωμετρία ήταν πρόθυμος να αλλάξει τον χαρακτηρισμό αξίωμα για να μην δημιουργείται σύγκρουση με την χρήση του από τους Μαθηματικούς και τους Φυσικούς (Torretti, 1978/1984, σελ. 249) Η Ελλειπτική Γεωμετρία και τα αξιώματα της διάταξης. Η Ελλειπτική Γεωμετρία, υλοποιείται πάνω στην σφαίρα, μια επιφάνεια πολύ πιο οικεία στους μαθητές και φοιτητές από τα αντίστοιχα 50

57 μοντέλα της Υπερβολικής Γεωμετρίας. Ωστόσο όπως είδαμε στο 1 ο κεφάλαιο, οι ερευνητές σπάνια χρησιμοποιούν την Ελλειπτική Γεωμετρία για να εισάγουν τους μαθητές στις μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες. Ο λόγος είναι πως τα αξιώματα στην περίπτωση της Ελλειπτικής Γεωμετρίας πρέπει να υποστούν κάποιες τροποποιήσεις στις οποίες δύσκολα φτάνουν οι μαθητές ή οι φοιτητές. Συγκεκριμένα θα αναφερθούμε στα αντίστοιχα αξιώματα της διάταξης όπως αυτά μεταφέρονται στην Ελλειπτική Γεωμετρία (Coxeter, 1998, σελ και Greenberg, 1979 σελ ). Για να καταλάβουμε τι ακριβώς συμβαίνει με τα αξιώματα διάταξης, αρκεί να θεωρήσουμε ως ευθεία έναν μέγιστο κύκλο και τρία σημεία πάνω σε αυτόν: Α Β Γ Δ (σχήμα 2.18) Όπως βλέπουμε δεν έχει νόημα να λέμε ότι το Β βρίσκεται ανάμεσα στα Α και Γ. Τώρα τα αξιώματα της διάταξης αντικαθίστανται από τα αξιώματα του διαχωρισμού γνωστά από την Προβολική Γεωμετρία: τα Α και Γ διαχωρίζουν τα Β και Δ εφόσον δεν μπορούμε να φτάσουμε από το Β στο Δ χωρίς να περάσουμε από το Α ή το Γ. Θα λέμε ότι τα Α και Γ διαχωρίζουν τα Β και Δ και θα συμβολίζουμε ως εξής: (Α, Γ Β, Δ). Ας δούμε τώρα πως διαμορφώνονται τα αξιώματα διαχωρισμού: Αξίωμα 1 ο 51

58 Αν (Α, Γ Β, Δ), τότε τα Α, Β, Γ, και Δ είναι συνευθειακά και διαφορετικά μεταξύ τους. Αξίωμα 2 ο Αν (Α, Γ Β, Δ) τότε (Β, Δ Α, Γ) αλλά και (Γ, Α Β, Δ). Αξίωμα 3 ο Αν (Α, Γ Β, Δ) τότε δεν ισχύει ότι (Α, Β Γ, Δ). Αξίωμα 4 ο Αν τα σημεία Α, Β, Γ, και Δ είναι συνευθειακά και διαφορετικά μεταξύ τους, τότε (Α, Β Γ, Δ) ή (Α, Γ Β, Δ) ή (Α, Δ Β, Γ). Αξίωμα 5 ο Αν τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά τότε υπάρχει σημείο Δ τέτοιο ώστε (Α, Β Γ, Δ). Αξίωμα 6 ο Για κάθε πέντε συνευθειακά σημεία διαφορετικά μεταξύ τους Α, Β, Γ, Δ, Ε, αν (Α, Β Δ, Ε), τότε ή (Α, Β Γ, Δ) ή (Α, Β Γ, Ε). Α Α Ε Δ Β Γ Ε Β Γ Δ (σχήμα 2.19) Πριν διατυπώσουμε το 7 ο αξίωμα θα δούμε την έννοια της προοπτικότητας. 52

59 Έστω ε, ε δύο ευθείες και Ο ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτές. Αν για κάθε σημείο Α της ε η ευθεία ΟΑ τέμνει την ε στο μοναδικό σημείο Α τότε λέμε ότι το Α είναι η εικόνα του Α κάτω από προοπτικότητα με κέντρο Ο (σχήμα 2.20). Δηλαδή αυτή η ένα προς ένα αντιστοιχία όπου κάθε Α της ε το αντιστοιχίζεται στο Α της ε λέγεται προοπτικότητα της ε στην ε με κέντρο Ο. Ο Α Β Γ ε Α' Β' Γ' ε' (σχήμα 2.20) Αξίωμα 7 ο Οι προοπτικότητες διατηρούν την σχέση διαχωρισμού δηλαδή αν (Α, Β Γ, Δ) με Α, Β, Γ και Δ να ανήκουν σε μία ευθεία c και αν Α, Β, Γ, και Δ τα αντίστοιχα σημεία σε ευθεία c κάτω από μία προοπτικότητα, τότε (Α, Β Γ, Δ ). Σύμφωνα τώρα με τη σχέση αυτή θα ορισθεί και το ευθύγραμμο τμήμα: ένα ευθύγραμμο τμήμα ορίζεται από τρία συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και αποτελείται από τα σημεία αυτά καθώς και από όλα τα σημεία που το Β δεν τα διαχωρίζει από τα Α και Γ. 53

60 2.6. Η σφαίρα ως μοντέλο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας Τόσο ο Lobachevsky όσο και ο Bolyai δουλεύουν με τη σφαιρική γεωμετρία ως μια ουδέτερη γεωμετρία δηλαδή ανεξάρτητη από το 5 ο αίτημα. Ωστόσο η Ελλειπτική Γεωμετρία θα θεμελιωθεί 40 χρόνια αργότερα. Παρότι η σφαιρική γεωμετρία ήταν γνωστή από την αρχαιότητα εύλογα τίθεται το ερώτημα γιατί καθυστέρησε τόσο πολύ η ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών. Η Ελλειπτική γεωμετρία συνδέεται με τη σφαιρική ωστόσο η Υπερβολική γεωμετρία ήταν αυτή που ανακαλύφθηκε πρώτη. Σύμφωνα με τον Busemann (1950) αυτή η καθυστέρηση οφείλεται στο γεγονός ότι η σφαιρική γεωμετρία δεν ικανοποιεί όλα τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Η μαθηματική κοινότητα ενδιαφερόταν πάντα για γεωμετρίες στις οποίες οι ευθείες θα είχαν την Ευκλείδεια ιδιότητα να προεκτείνονται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις. Σύμφωνα με τον Gray (1989/2003), το πρόβλημα της γεωμετρίας του χώρου προκάλεσε την καθυστέρηση της σύνδεσης των μη Ευκλείδειων γεωμετριών με τις επιφάνειες που αυτές εφαρμόζονται. Ο χώρος των τριών διαστάσεων ήταν Ευκλείδειος και οι επιφάνειες εμφυτευμένες σε αυτόν. Η έννοια του μοντέλου δεν είχε ακόμα διαμορφωθεί έτσι οι επιφάνειες της σφαίρας και της ψευδοσφαίρας δεν μπορούσαν να συνδεθούν ακόμα με τις αντίστοιχες μη Ευκλείδειες γεωμετρίες. Τη σφαιρική επιφάνεια ως επιφάνεια όπου ισχύει η υπόθεση της αμβλείας γωνίας την είχαν αποδεχθεί ήδη ο Lambert και ο Taurinus (Gray, 1989, σελ. 71). Ο Daniels (1974) υποστηρίζει ότι ο Σκοτσέζος φιλόσοφος Thomas Reid στην Γεωμετρία των ορατών στόχευσε πρώτος στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες μέσω της σφαιρικής Γεωμετρίας 5. Η εύρεση όμως του πρώτου μοντέλου της Ελλειπτικής Γεωμετρίας πάνω στην επιφάνεια 5 Ο Torretti (1984, σελ. 380, υποσημείωση 22) εκφράζει την αντίθεση του με τον ισχυρισμό του Daniels στηρίζοντάς την στο γεγονός ότι ο Reid δεν αναφέρεται σε ιδιότητες των ευθειών όπως ότι «δύο ευθείες συναντώνται σε δύο σημεία». 54

61 της σφαίρας οφείλεται στον Klein. Ο Riemann ανέπτυξε την Διαφορική Γεωμετρία του σφαιρικού χώρου. Από την άλλη μεριά ο Cayley θεωρώντας το χώρο με την ευρύτερη έννοια όρισε αποστάσεις μέσω ομογενών συντεταγμένων. Ο Klein ήταν όμως αυτός που είδε πρώτος τον τρόπο να απελευθερώσει την Σφαιρική Γεωμετρία χρησιμοποιώντας την «ατέλεια» της Coxeter, 1942/1998, σελ.13). (σχήμα 2.21) Ο Coxeter εδώ αναφέρεται στην ιδιότητα των μέγιστων κύκλων, σύμφωνα με την οποία τέμνονται όχι σε ένα αλλά σε δύο σημεία. Έτσι ο Klein, θεώρησε την ταύτιση των αντιδιαμετρικών σημείων: κάθε σημείο θα ταυτίζεται με το αντιδιαμετρικό του και αυτό θα θεωρείται σημείο της επιφάνειας της σφαίρας (σχήμα 2.21). Αυτήν την τροποποίηση έκανε ο Klein στην σφαιρική γεωμετρία και ονόμασε την γεωμετρία που προέκυψε Ελλειπτική. Σύμφωνα με τον Coxeter, ο Klein δημιούργησε σχεδόν ένα μοντέλο της αντίστοιχης θεωρίας, μια πειστική αναπαράσταση σε πιο οικείους όρους και έννοιες (Coxeter, 1956/1998, σελ. 13). Από την άλλη μεριά αν κάποιος επιλέξει να μην ταυτίσει τα αντιδιαμετρικά σημεία στην επιφάνεια της σφαίρας οδηγείται στην λεγόμενη Διπλή Ελλειπτική γεωμετρία (Gans, 1985). 55

62 Μια βασική διαφορά των επιφανειών αυτών αφορά στον προσανατολισμό τους. Θεωρούμε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα N 0 της επιφάνειας S. Το ζεύγος (S, N 0 ) θα ονομάζεται προσανατολισμένη επιφάνεια (δίπλευρη) αν το N 0 με μια από τις δυο δυνατές του φορές, διαγράφοντας μια κλειστή καμπύλη της επιφάνειας και ξεκινώντας από συγκεκριμένο σημείο επιστρέφει πάλι στο σημείο αυτό με την ίδια φορά. Στην αντίθετη περίπτωση όπου δηλαδή το N 0 επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης με αντίθετη φορά, η επιφάνεια είναι μονόπλευρη ή μη προσανατολισμένη (μονόπλευρη). Παράδειγμα τέτοιας επιφάνειας είναι η διάσημη λωρίδα του Mobius (βλέπε Παπαντωνίου 1997, σελ.4-5). Το Ελλειπτικό επίπεδο είναι μονόπλευρη επιφάνεια ενώ το σφαιρικό δίπλευρη επιφάνεια Μια ταξινόμηση των μοντέλων των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών Όταν λέμε ότι ένα σύστημα αξιωμάτων είναι συνεπές εννοούμε ότι δεν έχει αντιφάσεις. Δηλαδή δεν μπορεί να προκύπτουν δύο θεωρήματα που το ένα να έχει αντίφαση με το άλλο. Θεωρητικά δεν υπάρχει άμεσος τρόπος να ελεγχθεί η συνέπεια ενός αξιωματικού συστήματος αφού θα έπρεπε να καταλήξουμε σε άπειρο αριθμό θεωρημάτων για να δούμε αν υπάρχουν αντιφάσεις. Ένας έμμεσος τρόπος να ελεγχθεί η συνέπεια είναι η χρήση του μοντέλου. Μοντέλο είναι ένα σύνολο αντικειμένων που ικανοποιούν τα ίδια αξιώματα με τις μη ορισμένες οντότητες του αρχικού συστήματος. Κάθε αντίφαση του αρχικού συστήματος αξιωμάτων θα αναπαρασταθεί στο μοντέλο του οποίου τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται μπορεί να είναι ορισμένα ή μη ορισμένα. Ο Coxeter, (1942/1998, σελ ) δίνει δύο 56

63 κατηγορίες μοντέλων με παραδείγματα από την Προβολική Γεωμετρία ανάλογα με τα αντικείμενα από τα οποία αποτελούνται: i. Τα αντικείμενα αυτά, μπορεί να είναι οντότητες ενός αφηρημένου συστήματος, που όμως η συνέπειά του να θεωρείται δεδομένη. Για παράδειγμα, θεωρούμε όλες τις διατεταγμένες τριάδες πραγματικών αριθμών x1, x2, x 3, όπου δεν είναι όλοι μηδέν. Ορίζουμε ως σημείο το σύνολο των τριάδων που είναι ανάλογες της δοσμένης με συντελεστή αναλογίας λ, για λ διάφορο του μηδενός. Δηλαδή το σημείο (2, 4, 8) είναι το ίδιο με το (1, 2, 4). Ευθεία θα ονομάζουμε τις διατεταγμένες τριάδες που είναι ανάλογες στην δοσμένη τριάδα X1, X 2, X 3. Ένα σημείο x θα ανήκει σε μία ευθεία Χ αν και μόνο αν X1x1 X2x2 X3x3 0 (Coxeter, 1973, σελ ). ii. Μπορεί όμως να είναι φυσικά αντικείμενα των οποίων η ύπαρξη να θεωρείται δεδομένη: για παράδειγμα θεωρούμε ένα σημείο Ρ του χώρου E 3 και έστω S(P) η κεντρική δέσμη ευθειών του 3 E δηλαδή το σύνολο των ευθειών του χώρου που διέρχονται από το P. Έστω τα επίπεδα π του χώρου τα οποία διέρχονται από το P. Ορίζουμε ως σημεία τα στοιχεία της δέσμης S(P) ενώ ως ευθείες το σύνολο των στοιχείων της S(P) που περιέχονται σε ένα επίπεδο π (Coxeter, 1942/1998, σελ. 26). Ο Suppes (1961) θεωρεί δύο μεγάλες κατηγορίες μοντέλων, τα μαθηματικά μοντέλα και τα μοντέλα των εμπειρικών επιστημών. Υποστηρίζει ότι η έννοια του μοντέλου είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις και αυτό που αλλάζει είναι η χρήση της έννοιας. Η έννοια του μοντέλου στην φυσική βέβαια, ήταν γνωστή από το 1894 και τα δυναμικά μοντέλα του Hertz. Παρόλα αυτά στα μαθηματικά επικρατούσε ό όρος ερμηνεία από τα γνωστά μοντέλα του Beltrami. Ο όρος μοντέλο είναι στενά συνδεδεμένος 57

64 με τα αξιώματα της θεωρίας και χρησιμοποιήθηκε στα μαθηματικά, για πρώτη φορά, από τον von Neumann το 1925 όταν μίλησε για μοντέλα της θεωρίας συνόλων (Von Neumann, 1925). Ο όρος μοντέλο όμως βρίσκει απήχηση όταν χρησιμοποιείται από τον Weyl στο Philosophy of Mathematics and natural Science (1927). Ο Carnap (1928) κάνει τον διαχωρισμό σε realization (concrete, spatio-temporal) και μοντέλα (abstract interpretations), ο Tarski (1935/1956) δεν διαχωρίζει τις έννοιες αυτές και μιλά για realization or model ενώ ο Gödel (1932) χρησιμοποιεί τον όρο realization. Ακολουθώντας την διάκριση του Coxeter, θα θεωρήσουμε τις δύο κατηγορίες μοντέλων ανάλογα με τα αντικείμενα από τα οποία αποτελούνται. Στην πρώτη κατηγορία που περιγράφει ο Coxeter θα περιλάβουμε όλα τα μοντέλα τα οποία αποτελούνται από μη- φυσικά αντικείμενα και θα τα ονομάζουμε αφηρημένα μοντέλα. Στην δεύτερη κατηγορία, θα περιλάβουμε όλα τα μοντέλα των οποίων τα αντικείμενα από τα οποία αποτελούνται είναι φυσικά και θα τα ονομάζουμε προσιτά στην αίσθηση (concrete) μοντέλα. Την δεύτερη κατηγορία την χωρίζουμε σε δύο επιπλέον κατηγορίες: στα αναπαραστατικά μοντέλα και στα υλικά μοντέλα. Τα αναπαραστατικά μοντέλα αποτελούνται από φυσικά αντικείμενα (ευθείες, σημεία) δεν μπορούν όμως να θεωρηθούν ότι υπάγονται στην εμπειρία. Τα υλικά μοντέλα αποτελούνται και αυτά από φυσικά αντικείμενα αλλά σε αντίθεση με τα αναπαραστατικά, η συνολική τους δομή μπορεί να θεωρηθεί μέρος του συνήθους χώρου ή του φυσικού χώρου. Ανάλογα τώρα με την μετρική με την οποία ένα μοντέλο είναι εφοδιασμένο, θα κάνουμε έναν επιπλέον διαχωρισμό που θα αφορά μόνο τα προσιτά στην αίσθηση μοντέλα. Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό: 58

65 Μια τοπολογική πολλαπλότητα Μ εμφυτευμένη στον n λέγεται «τοπικά εγγενές μοντέλο» μιας μη-ευκλείδειας γεωμετρίας Γ, όταν ισχύουν τα εξής: α. Για κάθε σημείο x 0 της Μ υπάρχει περιοχή του x 0 στην Μ, στην οποία επαληθεύονται τα αξιώματα της γεωμετρίας Γ. β. Η εγγενής γεωμετρία της Μ «αντιστοιχεί τοπικά» με τη γεωμετρία Γ, δηλαδή για κάθε σημείο x 0 της Μ υπάρχει περιοχή του x 0 στην Μ, μέσα στην οποία η εγγενής μετρική της Μ αντιστοιχεί στην Ευκλείδεια μετρική και οι περιορισμοί των γεωδαισιακών της Μ αντιστοιχούν σε κομμάτια ευθειών της Γ (ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες ή ολόκληρες ευθείες). Ο παραπάνω ορισμός διατυπώνεται και στην περίπτωση μιας πολλαπλότητας Μ με σύνορο, εξαιρώντας τα σημεία του συνόρου στις συνθήκες α, β. Παρακάτω θα διαπιστώσουμε ότι στις δύο διαστάσεις η Σφαίρα μοντέλα 2 S και η Ψευδοσφαίρα του Beltrami αποτελούν τοπικά εγγενή της Ελλειπτικής και της Υπερβολικής Γεωμετρίας αντίστοιχα, χωρίς όμως να είναι και ολικά μοντέλα αυτών των Γεωμετριών Το μοντέλο της μισής σφαίρας Κατά την a-priori ανάλυση του διδακτικού πειράματος για την εκπόνηση της παρούσας διδακτορικής διατριβής, δημιουργήθηκε η ανάγκη της δημιουργίας ενός μοντέλου της Ελλειπτικής Γεωμετρίας, το οποίο θα ήταν πιο φυσικό να αντιληφθούν οι φοιτητές. Αυτή η ανάγκη δημιουργήθηκε γιατί η ταύτιση των αντιδιαμετρικών σημείων στο μοντέλο της σφαίρας για τους περισσότερους φοιτητές ίσως θα ήταν μια ενέργεια η οποία δεν συμφωνεί με την κοινή λογική, μια ενέργεια που θα φαινόταν 59

66 αυθαίρετη. Το μοντέλο αυτό αναλύεται και μελετάται σε σχέση με μερικά από τα πιο διάσημα μοντέλα μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Θεωρούμε το σύνολο που προκύπτει από την επιφάνεια της σφαίρας αν για κάθε σημείο εξαιρέσουμε το αντιδιαμετρικό του. Δηλαδή αν Σ το σύνολο των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας και G το παραπάνω σύνολο, θα είναι: G u : u G, με u ό του u. (σχήμα 2.22) Οι ευθείες στο μοντέλο αυτό είναι τόξα μέγιστων κύκλων ανοικτά από τη μια μεριά. Τα σημεία ορίζονται όπως στη σφαίρα με τη διαφορά ότι για κάθε σημείο δεν υπάρχει το αντιδιαμετρικό του. Το μοντέλο αυτό έχει σύνορο ένα τόξο ΑΑ, όπου το σημείο Α ανήκει αλλά το αντιδιαμετρικό του, Α, δεν ανήκει στο σύνολο G. Το σημειοσύνολο αυτό είναι εγγενές τοπικό μοντέλο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας: Πράγματι, πρόκειται για μια πολλαπλότητα με μερικό σύνορο. Αν εξαιρέσουμε τα σημεία του συνόρου τότε για κάθε άλλο σημείο u του G μπορούμε να βρούμε μια περιοχή μέσα στην οποία να επαληθεύονται τα αξιώματα της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Τα αξιώματα της σύνδεσης, του διαχωρισμού και της συνέχειας επαληθεύονται αφού αναδιατυπωθούν κατάλληλα. Ας δούμε για παράδειγμα ένα από τα αξιώματα της ισότητας: Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους μ και ένα σημείο A. Για κάθε ευθεία 60

67 που διέρχεται από το A μπορούμε να βρούμε τουλάχιστον τρία σημεία B, C, D, τέτοια ώστε (B,C A,D) και (AB)=(AD)=μ (σχήμα 2.23) Σε μια κατάλληλη περιοχή του Α μπορούμε για ένα αρκετά μικρό μήκος μ να επαληθεύσουμε το παραπάνω αξίωμα. Επίσης για κάθε σημείο του G μπορούμε να βρούμε περιοχή μέσα στην οποία η εγγενής μετρική του G συμπίπτει με την Ευκλείδεια μετρική. Οι γεωδαισιακές περιορισμένες στην περιοχή αυτή θα αντιστοιχούν σε ευθύγραμμα τμήματα ή ημιευθείες της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Εισάγουμε τώρα τη μετρική στο σύνολο G. Για κάθε δύο σημεία B, C στο G θεωρούμε ένα τόξο μέγιστου κύκλου που περιέχεται στο G και στο οποίο ανήκουν τα B, C και ορίζουμε: B, C BC, αν 0 BC 2 π BC BC, αν BC 2 όπου BC είναι το μήκος του τόξου BC. (18) Με τη βοήθεια της μετρικής αυτής το G γίνεται ολικό μοντέλο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Τα αξιώματα σύνδεσης, διαχωρισμού και συνέχειας εξακολουθούν να ισχύουν. Ας δούμε από τα αξιώματα ισότητας το παραπάνω στην ειδική περίπτωση ενός σημείου Α, όπου το Α ανήκει στο σύνορο του G. Αν έχουμε ένα τόξο ή 2 μπορούμε να βρούμε 2 61

68 ένα σημείο C για το οποίο θα υπάρχει το C, έτσι ώστε AC AC και ένα σημείο D με (A,D C,C ). Το τόξο AC θα είναι το παραπληρωματικό του AC. Επιπλέον παρατηρούμε ότι, με τη παραπάνω μετρική, το σύνολο G, καθίσταται πλήρης μετρικός χώρος, καθώς κάθε βασική ακολουθία σημείων του G συγκλίνει σ ένα σημείο εσωτερικό του ή του συνόρου του Συγκριτική μελέτη των παραπάνω μοντέλων Στο μοντέλο των Klein-Beltrami επαληθεύονται όλα τα αξιώματα της Υπερβολικής Γεωμετρίας και έτσι γίνεται ένα ολικό μοντέλο. Επιπλέον θα μπορούσαμε να το θεωρήσουμε αναπαραστατικό μοντέλο αφού τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται είναι ευθείες και σημεία. Είναι όμως προφανές ότι δεν είναι ένα εγγενές τοπικό μοντέλο, αφού η εγγενής (Ευκλείδεια) μετρική του εσωτερικού ενός κύκλου δεν αντιστοιχεί στην μετρική της Υπερβολικής Γεωμετρίας. Η επιφάνεια της σφαίρας 2 S, εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι ένα εγγενές τοπικό μοντέλο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας και υλικό αφού είναι μέρος του συνήθους χώρου. Δεν είναι όμως ολικό μοντέλο. Πράγματι το δεύτερο από τα αξιώματα θέσης, σύμφωνα με το οποίο δύο διαφορετικά σημεία ορίζουν μοναδική ευθεία, δεν επαληθεύεται αφού από δύο αντιδιαμετρικά σημεία διέρχονται άπειρες ευθείες (μέγιστοι κύκλοι). Το μοντέλο του Klein για την σφαιρική γεωμετρία, το οποίο προκύπτει αν ταυτίσουμε τα αντιδιαμετρικά σημεία της σφαίρας, είναι ένα ολικό μοντέλο, αλλά όχι ένα εγγενές τοπικό μοντέλο, καθώς το μοντέλο αυτό δεν είναι τοπολογικά εμφυτευμένο στον Ευκλείδειο χώρο. Επίσης θα μπορούσαμε να το χαρακτηρίσουμε ως αναπαραστατικό μοντέλο. 62

69 Η Ψευδοσφαίρα του Beltrami είναι ένα εγγενές τοπικό μοντέλο. Ο λόγος αυτή τη φορά είναι ότι, εξαιρώντας τον συνοριακό της κύκλο, η Ψευδοσφαίρα ικανοποιεί τα α, β του ορισμού. Δεν είναι όμως ολικό μοντέλο της Υπερβολικής Γεωμετρίας αφού σαν μετρικός χώρος δεν είναι πλήρης. Το μοντέλο αυτό το χαρακτηρίζουμε ως υλικό μοντέλο. Μια παρόμοια εικόνα παρουσιάζουν και τα υπόλοιπα μοντέλα στα οποία αναφερθήκαμε. Το μοντέλο όμως της μισής σφαίρας είναι και ολικό μοντέλο και εγγενές τοπικό. Επιπλέον θα μπορούσαμε να το χαρακτηρίσουμε υλικό αφού θα μπορούσε να αποτελέσει μέρος του συνήθους χώρου. Είναι άραγε αυτό μια επαρκής προϋπόθεση για να χρησιμοποιηθεί ένα μοντέλο ως διδακτικό εργαλείο και να βοηθήσει την έρευνα στην διδακτική των Μαθηματικών; Στο τέταρτο κεφάλαιο θα δούμε τις δυσκολίες των φοιτητών να εργαστούν σε μοντέλο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας και πως τελικά το μοντέλο της μισής σφαίρας επινοείται από έναν φοιτητή. Όπως θα δούμε στην συνέχεια το ιστορικό αυτό μέρος αποτελεί τη βάση της έρευνας. Ανακατασκευάζεται για να βοηθήσει στον σχεδιασμό και συμβάλει στην ερμηνεία κατά τρόπο αμφίδρομο. 63

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. «Έχει γίνει πλέον ξεκάθαρο ότι οι τρόποι κατανόησης, μερικών τουλάχιστον φοιτητών, αξίζουν περισσότερο σεβασμό και προσοχή, και αντί να προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε την λανθασμένη γνώση των φοιτητών με την σωστή, οι προσπάθειες των δασκάλων των μαθηματικών θα πρέπει να επενδύονται, στην διαπραγμάτευση νοήματος με τους φοιτητές, στην εύρεση ειδικών θεμάτων μέσα από τα οποία οι φοιτητές θα βιώνουν νοητικές συγκρούσεις, οι οποίες θα τους δημιουργούν την επίγνωση ότι οι δικοί τους τρόποι κατανόησης, δεν είναι οι μόνοι δυνατοί (.)» Sierpinska 1994, εισαγωγή, xii 3.1. Θεωρία και Μέθοδος Δεν είναι τυχαίο ότι πραγματευόμαστε τη θεωρία και τη μέθοδο στο ίδιο κεφάλαιο της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Σύμφωνα με τον Merton (1967, σελ. 40), η θεωρία είναι αυτή που έχει βαρύνουσα σημασία, ενώ η μέθοδος έπεται, δεν συνδέεται απαραίτητα με την θεωρία και θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως ένα μη-θεωρητικό εργαλείο έρευνας. Οι Blumer (1956) και Denzin (1970) θεωρούν, αντίθετα, ότι η μέθοδος είναι εξίσου σημαντική με την θεωρία και πρέπει να πηγαίνει μαζί της χέρι-χέρι. Η πρώτη άποψη συναντάται για πρώτη φορά τον 15 ο αιώνα στις φυσικές επιστήμες και στις μεθόδους που χρησιμοποιούσαν οι επιστήμονες στο αντικείμενο φύση (Frey, 2002). Η μέθοδος είναι σύμφωνα με την άποψη αυτή αυθύπαρκτη και τυπική και δεν αφορά στο περιεχόμενο της έρευνας. Η δεύτερη άποψη αντικατοπτρίζει την αρχική ιστορική-φιλοσοφική σημασία που είχε η λέξη μέθοδος, σύμφωνα με την οποία η μέθοδος χαρακτηρίζει την θεωρία και δεν αφορά μόνο την διαδικασία-διεξαγωγή της έρευνας. 64

71 Ο φιλόσοφος του 18 ου αιώνα Giambattista Vico θεωρεί ότι οι επιστήμες ως ανθρώπινες κατασκευές δημιουργούν και δημιουργούνται σε κοινωνικούς χώρους. Στο έργο του On the Study Methods of our Time (1708/1965) διακρίνει τρία μέρη της επιστημονικής μεθόδου: τα εργαλεία, τα συμπληρωματικά βοηθήματα, και το σκοπό. Εργαλείο είναι, θα λέγαμε σήμερα, για παράδειγμα η ανάλυση για τη μελέτη της γεωμετρίας ή η κοινωνιολογία για την παιδαγωγική επιστήμη. Τα εκπαιδευτικά ιδρύματα μπορούν να θεωρηθούν ως συμπληρωματικά βοηθήματα. Ο σκοπός τέλος, πρέπει να διατρέχει όλη τη μέθοδο, όπως το αίμα διατρέχει όλα τα μέρη του σώματος. Για τον Vico ο επιστήμονας είναι και τεχνίτης και αρχιτέκτονας, που σημαίνει ότι δεν χειρίζεται απλά την επιστήμη, αλλά έχει υπεύθυνη θέση στην λειτουργία της. Η παρούσα έρευνα συμφωνεί με την αρχική έννοια της λέξης μέθοδος. Για τον λόγο αυτό πραγματευόμαστε στο ίδιο κεφάλαιο το θεωρητικό πλαίσιο (θεωρία) και τη μεθοδολογία της έρευνας (μέθοδο) με σκοπό τη διασύνδεσή τους ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Πρακτικές συνδεόμενες με Θεσμούς (institutional practices) Είναι πλέον αποδεκτό, ότι η μαθηματική γνώση δεν είναι ένα οικοδόμημα ανεξάρτητο από το κοινωνικό και το θεσμικό πλαίσιο στο οποίο τα άτομα εμπλέκονται με τα μαθηματικά. Η αναγνώριση των διαφορετικών μαθηματικών πρακτικών (mathematical practices), που ακολουθούνται σε διαφορετικά κοινωνικά πλαίσια (social contexts) και σε ειδικότερα θεσμικά πλαίσια (institutional contexts) για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, βρίσκεται στο επίκεντρο πολλών σύγχρονων ερευνών (Abreu, Bishop &Presmeg, 2002, Castela, 2004). 65

72 Σύμφωνα με τους Godino και Batanero (1998), ως «μαθηματική πρακτική» θεωρείται ένα σύνολο δράσεων (λεκτικό ή οτιδήποτε άλλο) που υιοθετεί ένα άτομο (ή ομάδα ατόμων), για να λύσει ένα μαθηματικό πρόβλημα, να αλληλεπιδράσει με άλλα άτομα, εξηγώντας την λύση αυτή, έτσι ώστε να εγκυροποιήσει και να γενικεύσει την λύση αυτή (σελ. 182). Σύμφωνα με τον Bishop (2002), δεν μπορεί να ορισθεί πλήρως κάθε μαθηματική πρακτική. Αυτό συμβαίνει, γιατί διαμορφώνεται και αναδιαμορφώνεται συνεχώς από τους συμμετέχοντες σε αυτήν. Υιοθετούμε, λοιπόν, μια εξελικτική άποψη για τις μαθηματικές πρακτικές, τις οποίες θεωρούμε στο ευρύτερο ιστορικό, κοινωνικό και πολιτισμικό τους πλαίσιο. Οι Godino και Batanero επίσης θεωρούν ως «θεσμό» (institution), κάθε σύνολο ανθρώπων, που μοιράζονται κοινά ενδιαφέροντα (π.χ. σε σχέση με τα μαθηματικά), υιοθετώντας μία ή περισσότερες (μαθηματικές) πρακτικές με χρήση κοινών μεθόδων (σελ. 183). Περιορίζουν όμως την έννοια του «μαθηματικού θεσμού» στο σύνολο των ατόμων που παράγουν νέα μαθηματικά. Εμείς θα αναφερθούμε στις «θεσμικές μαθηματικές πρακτικές» περιλαμβάνοντας όχι μόνο την παραπάνω έννοια του μαθηματικού θεσμού, αλλά και όλους τους επαγγελματικούς θεσμούς ή/και τα εκπαιδευτικά ιδρύματα που εμπλέκονται με μαθηματικά προβλήματα. Έτσι λοιπόν, γενικότερα, με ένα ορισμένο «θεσμό» συνδέθηκαν ιστορικά και συνδέονται διάφορες μαθηματικές πρακτικές, οι οποίες, εν μέρει τουλάχιστον, τον καθορίζουν. Θα αναφερθούμε στην συνέχεια σε δύο διαφορετικά είδη εκπαιδευτικών θεσμών (ή είδη ιδρυμάτων): το Σχολείο και το Πανεπιστήμιο. Όσον αφορά στο Σχολείο, θα ασχοληθούμε με τις θεσμικές μαθηματικές πρακτικές, όπως τις μεταφέρουν οι φοιτητές από την σχολική τους εκπαίδευση στις Πανεπιστημιακές αίθουσες. Για το Πανεπιστήμιο θα ασχοληθούμε με δύο ειδών μαθηματικές πρακτικές: αυτές που συναντάμε στα Μαθηματικά τμήματα ή σχολές, και αυτές που συναντάμε σε άλλα τμήματα ή σχολές που χρησιμοποιούν Μαθηματικά. Κάθε μια από αυτές τις 66

73 πρακτικές μεταφέρονται στις Πανεπιστημιακές αίθουσες από τους φοιτητές, αλλά και τους Καθηγητές μέσω των διαφορετικών τρόπων που χρησιμοποιούν τις μαθηματικές έννοιες, όπως θα δούμε στην συνέχεια Τρείς θεσμικές πρακτικές στα Μαθηματικά Ο Zilsel (1942) θεωρούσε ότι οι εξελίξεις στην επιστήμη καθορίζονται (αναφέρεται στον 19 ο αιώνα) από τρείς κοινωνικές κάστες: τους επαγγελματίες-χρήστες (practitioners),τους δασκάλους- καθηγητές και τους πανεπιστημιακούς (academics). Θεωρούμε ότι οι τρείς αυτοί ρόλοι από κοινωνική και επαγγελματική άποψη συνεχίζουν να παίζουν σημαντικό ρόλο. i. Μαθηματικά στις φυσικές επιστήμες ή σε πρακτικές καταστάσεις Η πρώτη ομάδα μαθηματικών πρακτικών αναφέρεται στα μαθηματικά ως προς την εργαλειακή τους χρήση, όπως αυτή εμφανίζεται σε πραγματικές καταστάσεις, ή στις φυσικές επιστήμες. Οι επαγγελματίες χρήστες των μαθηματικών (practitioners), ήταν η ιστορική ομάδα που έδρασε ως προς αυτήν την κατεύθυνση, στην διάρκεια του 15 ου και 16 ου αιώνα. Η ομάδα αυτή εργάστηκε στα πεδία της ναυπηγικής, της ναυσιπλοΐας, της χαρτογραφίας, της επιστήμης των μηχανικών κ.α. (Schemmel, 2008; Taylor, 1954) και δεν συνεργαζόταν με τους ακαδημαϊκούς την εποχή εκείνη, με αποτέλεσμα πολλά ζητήματα να παραμένουν άλυτα, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός του γεωγραφικού μήκους. Σύμφωνα με την δική μας οπτική, η 67

74 δυσκολία της επικοινωνίας και της συνεργασίας μεταξύ επαγγελματιών χρηστών των μαθηματικών (practitioners) και Μαθηματικής Κοινότητας οφειλόταν κυρίως στην διαφορά μεταξύ του νοήματος των μαθηματικών εννοιών που προέρχεται από την εργαλειακή τους χρήση και του νοήματος που τους αποδίδουν οι θεσμικές πρακτικές (institutional meaning). Οι επαγγελματίες χρήστες των μαθηματικών, χρησιμοποιούσαν ποσοτικές μεθόδους όπως μέτρηση, παρατήρηση κ.α. ενώ οι ερευνητές της Μαθηματικής κοινότητας ακολουθούσαν το ακαδημαϊκό στυλ. Ο διαχωρισμός αυτός περιγράφηκε από τον Zilsel (1942). Οι λεγόμενες εργαλειακές πρακτικές σήμερα υλοποιούνται μέσω ακαδημαϊκών συγγραμμάτων και μαθημάτων στα αντίστοιχα πανεπιστημιακά τμήματα. Για παράδειγμα στην ναυσιπλοΐα (Hofmann-Wellenhof, Legat & Wieser, 2003; Wolper, 2001), στην γεωγραφία (Feeman, 2002), στα Τμήματα οικονομικών, μηχανικών, φυσικών, βιολόγων, χημικών και γεωλόγων (Witten, 2005). ii. Σχολικά Μαθηματικά Η δεύτερη ομάδα μαθηματικών πρακτικών περιλαμβάνει τα σχολικά μαθηματικά του Λυκείου και κατ επέκταση το σύνολο των σχολικών μαθηματικών γνώσεων όπως οι φοιτητές τις μεταφέρουν στις πανεπιστημιακές αίθουσες. Τα σχολικά Μαθηματικά ως περιεχόμενο και πρακτική έχουν δομηθεί σε διάφορα εκπαιδευτικά συστήματα και χώρες (Nebres 1988; Dörfler & McLone, 1986). Παρότι τα Μαθηματικά αυτά διαφέρουν από κοινωνιολογική άποψη λόγω του ότι δομούνται κάτω από διαφορετικές εθνικές παραδόσεις και κουλτούρες, έχουν έναν κοινό παρανομαστή. Όπως αναφέρουν οι Dörfler και McLone (1986), συναντάμε πολλά θεωρήματα ή θεωρίες που έχουν δημιουργηθεί για χρήση στα σχολικά Μαθηματικά αποκλειστικά, όπου σε πολλές περιπτώσεις εκφράζουν μερικώς, το τι γίνεται στα Μαθηματικά ή το εκφράζουν 68

75 εσφαλμένα (σελ. 64). Οι πρακτικές αυτές μαζί με τις αντίστοιχες πεποιθήσεις και ιδεολογίες παρατηρούνται στους φοιτητές των Μαθηματικών καθώς και των φυσικών επιστημών. Η επιρροή των σχολικών Μαθηματικών στους φοιτητές, αποτελεί συχνά εμπόδιο στην κατανόηση νέων εννοιών, καθώς και στην κατασκευή καινούριας γνώσης (Brown & McNamara, 2005, σελ ). Το φαινόμενο αυτό παρατηρείται στους φοιτητές στο πρώτο έτος φοίτησής τους, κατά την λεγόμενη μεταβατική περίοδο (Wood, 2001; Artigue, 2001) αλλά και σε περιπτώσεις που εισάγεται μια νέα έννοια. iii. Ανώτερα Μαθηματικά Η τρίτη ομάδα μαθηματικών πρακτικών αφορά τις εκπαιδευτικές διαδικασίες στα Μαθηματικά Τμήματα σε ανώτερο προπτυχιακό ή μεταπτυχιακό επίπεδο (βλ. π.χ., Katok, Sossinsky, & Tabachinikov, 2003). Οι μαθηματικές έννοιες σε αυτές τις πρακτικές είναι αυστηρά περιχαραγμένες και φορμαλιστικά δομημένες (συνήθως με την έννοια του αξιωματικού συστήματος) και οι αποδείξεις δίνονται κυρίως χωρίς την χρήση της διαίσθησης. (Tall, 1991, σελ. 3-20; Dörfler & McLone, σελ. 60) Νόημα, χρήση και κατανόηση των μαθηματικών εννοιών Το νόημα των λέξεων και των προτάσεων συνδέθηκε με την χρήση τους για πρώτη φορά από τον Wittgenstein στο έργο του Philosophical Investigations (1953). Σύμφωνα με τον Wittgenstein, το νόημα μιας λέξης ή μιας 69

76 πρότασης ορίζεται μέσω της χρήσης της (της λέξης ή της πρότασης) σε συγκεκριμένο πλαίσιο (Baker & Hacker, 2005, σελ. 133). Το πλαίσιο μέσα στο οποίο γίνεται η χρήση μιας λέξης ή μιας πρότασης, παίζει σημαντικό ρόλο στην σύλληψη του νοήματος. Κάθε απόπειρα αποπλαισιοποίησης, οδηγεί απλά σε μια ψευδαίσθηση αντίληψης νοήματος. Σύμφωνα με τα παραπάνω, το νόημα των μαθηματικών εννοιών δεν μπορεί να παραχθεί μόνο μέσω ορισμών ή τυπικοκρατικών μαθηματικών εξηγήσεων. Δεν μπορεί να μην λάβουμε υπόψη μας την παραγωγή μαθηματικού νοήματος και κατά συνέπεια την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών μέσω της χρήσης τους στο πλαίσιο διαφορετικών μαθηματικών πρακτικών. Τα άτομα που μοιράζονται τις ίδιες μαθηματικές πρακτικές, χρησιμοποιούν τις μαθηματικές έννοιες με τον ίδιο τρόπο. Κεντρικό ρόλο στην έρευνά μας παίζει η λεγόμενη διαπραγμάτευση του νοήματος: πρόκειται για την δημιουργία κοινών νοημάτων από τους εμπλεκόμενους σε μια συζήτηση κατά την προσπάθειά τους να κατανοήσουν ο ένας τον άλλον (Foster, 1998). Οι Τριανταφύλλου και Πόταρη (Triantafillou, Potari, 2010), επικεντρώνονται στην κατασκευή ενός ειδικού μαθηματικού νοήματος από τεχνικούς που εργάζονται σε τηλεπικοινωνίες, δίνοντας έμφαση στις διαφορετικές μαθηματικές πρακτικές. Θεωρούμε ότι μία από τις οδούς προς την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών, είναι η διαπραγμάτευση του νοήματος μέσω αλληλεπιδραστικών καταστάσεων. Τέτοιες αλληλεπιδραστικές καταστάσεις, μπορούμε να παρατηρήσουμε σε μία αίθουσα όταν οι φοιτητές, κάνοντας διαφορετική χρήση την μαθηματικών εννοιών προσπαθούν, σ έναν μεταξύ τους διάλογο, να κατανοήσει ο ένας τον άλλον. Ο Suppes (1960) αναγνωρίζει την δυσκολία του να μιλάει κάποιος για μία έννοια χωρίς να αναφέρεται στη χρήση της. Ωστόσο η ίδια η έννοια γίνεται κατανοητή μόνο μέσα από τις διαφορετικές χρήσεις της σε διαφορετικές πρακτικές. 70

77 Τύποι χρήσης των γεωμετρικών εννοιών Με βάση την ιστορία της γεωμετρίας κατά τους τελευταίους αιώνες κατατάξαμε τους τρόπους χρήσης των Μαθηματικών εννοιών σε τρείς τύπους: 1 ος τύπος χρήσης: Οι γεωμετρικές έννοιες ως μέσα αναπαράστασης/μοντελοποίησης του χώρου της εμπειρίας Σ αυτόν τον τύπο χρήσης, η γεωμετρία θεωρείται ως μοντέλο του χώρου της εμπειρίας μας, ή ως μοντέλο του φυσικού χώρου. Οι αυστηροί ορισμοί και οι τυπικές αποδείξεις δεν συναντώνται στον τύπο αυτό. Αυτού του είδους η χρήση των γεωμετρικών εννοιών συναντάται: (i). τόσο σε μεθόδους επίλυσης πρακτικών προβλημάτων στα πλαίσια πραγματικών καταστάσεων και σε εμπειρικές μετρήσεις που αποσκοπούν στην επαλήθευση επιστημονικών θεωριών. (ii). Όσο και στην θεμελίωση θεωριών που στηρίζονται ως έναν βαθμό στην εμπειρία. Στην πρώτη κατηγορία, μπορούμε να αναφέρουμε τις γεωδαιτικές εργασίες του Gauss και την μέθοδο της τριγωνοποίησης (Sheynin, 1994) αλλά και τον Lobachevsky και το πείραμα που πραγματοποίησε κατά την διάρκεια των ερευνών του για τις μη- Ευκλείδειες γεωμετρίες. Όσον αφορά στον Lobachevsky, οι έρευνες του, είχαν ήδη ξεκινήσει από το 1823 (Halsted, 1899), αλλά η πρώτη δημοσίευση έγινε το 1829 στα Θεμέλια της Γεωμετρίας. Το έργο αυτό περιείχε θεμελιώδη θεωρήματα της μη 71

78 Ευκλείδειας Γεωμετρίας, καθώς και μια μελέτη για το Σύμπαν. Στην πραγματεία του αυτή δηλώνει: Είναι γνωστό, ότι όσον αφορά την γεωμετρία η θεωρία των παραλλήλων έχει μείνει ανολοκλήρωτη έως τώρα. Οι ανώφελες προσπάθειες από την εποχή του Ευκλείδη, με ανάγκασαν να υποψιαστώ ότι οι έννοιες αυτές καθαυτές δεν περιέχουν την αλήθεια που επιθυμούμε να αποδείξουμε, αλλά η αλήθεια αυτή μπορεί μόνο να ελεγχθεί όπως οι φυσικοί νόμοι με ένα πείραμα, όπως είναι οι αστρονομικές παρατηρήσεις. Ο Lobachevsky, με σκοπό να προσδιορίσει πειραματικά τις ιδιότητες του φυσικού χώρου, προσπάθησε να υπολογίσει το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου, με βάση ίση με την ακτίνα a (ή διάμετρο) της τροχιάς της Γης και ύψος ίσο με την απόσταση του Σείριου από την Γη. Στο παραπάνω σχήμα, αν θεωρήσουμε το έλλειμμα του τριγώνου 6 ίσο με 2ω, και 2 είναι η μέγιστη παράλλαξη του αστέρα τότε οι γωνίες θα είναι ˆ A 2 p, B ˆ και S ˆ 2 p Το έλλειμμα κάθε πολυγώνου προκύπτει αν από το 2(ν-2) αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου. 72

79 Θεωρώντας ότι οι AS, BS είναι παράλληλες θα έχουμε 1 2 Έτσι εφ 1 = 2 Αλλά εφ 1 p >εφ p 4 1 p e a k a k, έτσι e 1 p < 1 p > 2 p. 2 Τελικά, οι μετρήσεις αυτές, δεν βοήθησαν τον Lobachevsky να προχωρήσει σε συμπεράσματα, αφού το έλλειμμα ήταν πολύ μικρό σε σχέση με το σφάλμα της παρατήρησης. Ως παράδειγμα στην δεύτερη κατηγορία μπορούμε να αναφερθούμε στον Gauss και στην θεμελίωση της Διαφορικής Γεωμετρίας (κεφ. 2, σελ ) Παράδειγμα του τύπου αυτού χρήσης των γεωμετρικών εννοιών στην μαθηματική εκπαίδευση, συναντάμε στην διαπραγμάτευση του νοήματος από τους μαθητές στο άρθρο του van den Brink (1991). Εκεί στο βασικό ερώτημα που τίθεται για το που βρίσκεται η Μέκκα; οι μαθητές ασχολούνται με ερωτήματα όπως αυτό της συντομότερης διαδρομής μεταξύ δύο σημείων πάνω στην υδρόγειο σφαίρα. Οι διαφορές μεταξύ επίπεδου χάρτη και υδρογείου ως μοντέλα της Γης καθώς και η δημιουργία του χάρτη της Kibla δίνουν την ευκαιρία στους μαθητές να χρησιμοποιήσουν γνωστές τους έννοιες από την γεωγραφία, προκειμένου να απαντήσουν στο ερώτημα αυτό. 2 ος Τύπος: Οι γεωμετρικές έννοιες ως αντικείμενα της παραδοσιακής σχολικής πρακτικής και γενικότερα της εκπαιδευτικής παράδοσης. Μια δημοφιλής ιδεολογική παραδοχή μεταξύ των Ελλήνων μαθητών (αλλά και μερικές φορές και των δασκάλων των μαθηματικών), είναι ότι μία και μόνο γεωμετρία στον κόσμο είναι δυνατή: η Ευκλείδεια γεωμετρία. 73

80 Χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της αντίληψης εμφανίζεται στην πραγματεία του Ε. Σταμάτη (1979), όπου χαρακτηρίζει τις μη-ευκλείδειες γεωμετρίες ως ασκήσεις τινές γεωμετρίας επί της Γεωμετρίας του Ευκλείδου. Την αντίληψη αυτή, καθώς και την αντίσταση για αλλαγή στο ύφος της σχολικής γεωμετρίας από τους υπεύθυνους του προγράμματος σπουδών, περιγράφει χαρακτηριστικά ο Τουμάσης (Toumasis, 1990, σελ. 504). Το φαινόμενο αυτό δεν περιορίζεται στην Ελλάδα. Σύμφωνα με τους Hoyles και Jones, (1998) στο σχολείο η απόδειξη διδάσκεται στα πλαίσια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και αυτό δημιουργεί προβλήματα στην κατανόηση κάποιου άλλου τύπου απόδειξης. Χαρακτηριστικό λοιπόν αυτού του τύπου χρήσης, είναι η ιδεολογική αντίσταση στην αλλαγή της καθιερωμένης γνώσης. Ως προδρομικά ιστορικά παραδείγματα αυτού του τύπου χρήσης μπορούμε να θεωρήσουμε τις διάφορες απόπειρες που έγιναν για απόδειξη του Πέμπτου Αιτήματος του Ευκλείδη. Αναφέρουμε χαρακτηριστικά τον Saccheri, ο οποίος αρνείται το πέμπτο αίτημα με σκοπό να καταλήξει σε άτοπο. Η διαδικασία αυτή τον οδηγεί σε αποδείξεις προτάσεων- θεμέλια για τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες καθώς και στην έννοια των ασυμπτωτικά παραλλήλων. Η επιθυμία του όμως να αποδείξει το πέμπτο αίτημα τον ώθησε στην διατύπωση του εξής επιχειρήματος: Η υπόθεση της οξείας γωνίας είναι εσφαλμένη γιατί αντίκειται στην φύση της ευθείας γραμμής (Saccheri 1733/1986, σελ 137, πρόταση XXXIII). Ένα ανάλογο εμπειρικό παράδειγμα αυτού του τύπου χρήσης στη σχολική τάξη παρουσιάζεται από τον Πατρώνη (1997). Οι μαθητές, στην εμπειρία αυτή, στην προσπάθειά τους να αποδείξουν το Πέμπτο Αίτημα, κατασκευάζουν ένα τετράπλευρο παρόμοιο με αυτό του Saccheri. Σε υπεράσπιση του Ευκλείδειου νοήματος της ευθείας, ένας μαθητής δηλώνει: Μάλλον υπάρχουν πρακτικοί λόγοι, που θεωρούμε μια καμπύλη ως τον συντομότερο δρόμο μεταξύ δύο σημείων (πάνω στην επιφάνεια της Γης). 74

81 Στην πραγματικότητα, η ευθεία είναι η συντομότερη διαδρομή και δεν έχει σημασία αν μπορούμε να την ακολουθήσουμε ή όχι (σελ. 39). 3 ος Τύπος: Οι γεωμετρικές έννοιες ως συστατικά μιας μαθηματικής θεωρίας Ο συγκεκριμένος τύπος χρήσης χαρακτηρίζεται από τις αφαιρετικές διαδικασίες που απαιτούνται για τον χειρισμό των ανώτερων μαθηματικών, και πολύ συχνά από τον φορμαλισμό. Οι γεωμετρικές έννοιες χρησιμοποιούνται ως θεωρητικά εργαλεία και ορίζονται με βάση ένα αυστηρά αξιωματικό σύστημα. Η σύνδεση με την εμπειρία δεν θεωρείται απαραίτητη, τόσο για την δημιουργία μιας θεωρίας όσο και για την επαλήθευσή της. Σαν αντιπροσωπευτικά ιστορικά παραδείγματα αυτού του τύπου χρήσης μπορούμε να αναφέρουμε τον Riemann και την πραγματεία του για τις πολλαπλότητες n-διαστάσεων (Riemann, 1919) όπως περιγράψαμε στο δεύτερο κεφάλαιο (σελ ), καθώς και τον Hilbert με το αξιωματικό του σύστημα για την Ευκλείδεια Γεωμετρία αλλά και το αριθμητικό μοντέλο του για την Ευκλείδεια Γεωμετρία (Hilbert, 1899) (κεφάλαιο δεύτερο, 32-38). Όσον αφορά στις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, ως παράδειγμα θα μπορούσε να είναι μια νεότερη απόδειξη που περιέχεται στα σχόλια του Kagan για την θεωρία του Lobachevsky, (Λομπαστέφσκι 1945, σχόλια του Kagan). Παραμένοντας στον Lobachevsky αξίζει να τον αναφέρουμε για την διπλή, μάλλον, χρήση που κάνει των γεωμετρικών εννοιών. Στον πρώτο τύπο χρήσης αναφέραμε το πείραμά του στα πλαίσια των αστρονομικών του παρατηρήσεων αλλά και τα σχόλιά του πριν εκθέσει τη θεωρία των παραλλήλων. Αφού όμως ολοκληρώνει την λεγόμενη Φανταστική Γεωμετρία με τις γνωστές τριγωνομετρικές εξισώσεις, ισχυρίζεται το εξής: «οι εξισώσεις δείχνουν ότι η φανταστική γεωμετρία είναι 75

82 δυνατή. Δεν έχει νόημα να προσπαθούμε να το εξακριβώσουμε πειραματικά πέρα από τις ίδιες τις αστρονομικές παρατηρήσεις» Η μαθηματική απόδειξη σε διαφορετικές θεσμικές πρακτικές Σύμφωνα με τον Sowder, (1998) κάθε άτομο δομεί το προσωπικό του σχήμα απόδειξης (personal proof scheme): το προσωπικό σχήμα απόδειξης αποτελείται από ότι για το άτομο αυτό θεωρείται «ascertaining and persuading» (πειστικό για τον ίδιο και για τους άλλους) (σελ. 244). Οι Recio και Godino (2001) πραγματεύονται την μαθηματική απόδειξη μέσα από τα διαφορετικά θεσμικά πλαίσια: Με σημείο εκκίνησης την γνώση από την ανθρωπολογική της πλευρά, κάνουμε την υπόθεση ότι τα κύρια χαρακτηριστικά των προσωπικών σχημάτων απόδειξης των φοιτητών, μπορούν να συσχετιστούν με το νόημα των αποδείξεων στα διάφορα θεσμικά πλαίσια (institutional contexts) και το νόημα αυτό θα μπορούσε να εξηγήσει (ερμηνεύσει) το προσωπικό σχήμα απόδειξης (personal proofscheme). (σελ. 84) Συγκεκριμένα θεωρούν τέσσερα διαφορετικά πλαίσια: την καθημερινή ζωή, τις πειραματικές επιστήμες, τα ακαδημαϊκά μαθηματικά (professional mathematics), την λογική και τα θεμέλια των Μαθηματικών. Στη συνέχεια συνδέουν τα πλαίσια αυτά με το προσωπικό σχήμα απόδειξης των φοιτητών. Η Mariotti (2006, σελ. 188) θεωρεί συνιστώσα της απόδειξης την κοινωνική προοπτική απέναντι στην ατομική. Εμείς θεωρούμε ως 76

83 πρωτεύον το κοινωνικό πλαίσιο μέσα στο οποίο το άτομο δομεί το προσωπικό του σχήμα απόδειξης. Πιο συγκεκριμένα το κοινωνικό πλαίσιο είναι για εμάς (μέσα στην αίθουσα, σχολική ή πανεπιστημιακή) η εκάστοτε θεσμική πρακτική. Στην παρούσα διατριβή θεωρούμε τρία πλαίσια θεσμικών πρακτικών, μαθηματικά και πρακτικές καταστάσεις, σχολικά μαθηματικά, ανώτερα μαθηματικά, όπως τα περιγράψαμε παραπάνω. Στην συνέχεια αντιστοιχίσαμε σε αυτά τρείς τύπους χρήσης των γεωμετρικών εννοιών. Υποστηρίζουμε ότι άτομα με την ίδια χρήση γεωμετρικών εννοιών μπορούν να έχουν διαφορετικό προσωπικό σχήμα απόδειξης. Κατά αναλογία, τρία θα είναι και τα είδη των αποδείξεων που αντιστοιχούν στα πλαίσια αυτά: εμπειρική απόδειξη, απόδειξη στα σχολικά μαθηματικά και τυπική (formal) απόδειξη στα ανώτερα μαθηματικά. Άλλα είδη αποδείξεων όπως αναφέρονται από τον Sowder, (1998), Recio και Godino (2002) και από άλλους δεν θα μας απασχολήσουν στην παρούσα έρευνα, αφού το πείραμά μας αφορά φοιτητές Μαθηματικού τμήματος ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ποιοτική έρευνα και συμμετοχική παρατήρηση. Καθώς ξεκινά η νέα δεκαετία είναι απαραίτητο να επαναπροσδιοριστεί η ποιοτική έρευνα ως ριζοσπαστική δημοκρατική πρακτική Σήμερα καταλαβαίνουμε ότι γράφουμε κουλτούρα και αυτό δεν είναι μια αθώα πρακτική. Denzin, N. K σελ. 23 Η έρευνα στην Παιδαγωγική επιστήμη χρησιμοποιεί τις μεθόδους έρευνας των Κοινωνικών Επιστημών. Δύο είναι τα είδη των μεθόδων που χρησιμοποιούν οι ερευνητές των επιστημών αυτών: οι ποσοτικές μέθοδοι 77

84 και οι ποιοτικές. Η ποσοτική μέθοδος ουσιαστικά επαληθεύει ή διαψεύδει τις προϋπάρχουσες θεωρίες ή υποθέσεις, μιμούμενη τις φυσικές επιστήμες. Οι θεωρητικές υποθέσεις δηλαδή είναι διατυπωμένες από την αρχή της έρευνας και ελάχιστες αλλαγές επιδέχονται. Τα στατιστικά εμπειρικά δεδομένα είναι αυτά τα οποία αναλύονται και ελέγχουν την θεωρία. Είναι προφανές ότι αυτό το είδος μεθοδολογίας συμφωνεί με την πρώτη άποψη για την σχέση θεωρίας και μεθόδου, όπως την περιγράψαμε στην αρχή του κεφαλαίου. Ένα δεύτερο χαρακτηριστικό της ποσοτικής μεθοδολογίας είναι ότι δίνει τη δυνατότητα εξέτασης από τον ερευνητή, ενός μεγάλου δείγματος του πληθυσμού (Κυριαζή, 1998, σελ. 47) ενώ το σύνηθες μέσο συλλογής δεδομένων σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, είναι το ερωτηματολόγιο. Αντίθετα, η ποιοτική μεθοδολογία διαμορφώνει και αναπτύσσει τη θεωρία, η οποία δεν είναι εξαρχής πλήρως διατυπωμένη. Θεωρία και μέθοδος εμπλέκονται και αναπτύσσονται ταυτόχρονα, καθώς η ποιοτική μέθοδος είναι ευέλικτη και επιτρέπει αλλαγές όχι μόνο στον τρόπο συλλογής δεδομένων αλλά και στο ίδιο το δείγμα (Κυριαζή, 1998; Denzin & Lincoln, 2000; Berg, 2004). Σύμφωνα με τους Schwartz και Jacobs (1979) η ποιοτική έρευνα προϋποθέτει ότι το (κοινωνικό) νόημα δεν βρίσκεται μέσα στις ίδιες τις κοινωνικές δραστηριότητες, αλλά αποδίδεται σε αυτές από τα άτομα, ανάλογα με το κοινωνικό πλαίσιο στο οποίο βρίσκονται. Το είδος της έρευνας αυτής έχει επίσης ως χαρακτηριστικό ότι χρησιμοποιεί ως δείγμα λίγα άτομα και γίνεται μελέτη σε βάθος. Τα άτομα του δείγματος δεν μπορεί να θεωρηθούν ανεξάρτητα από το κοινωνικό και ιστορικό τους πλαίσιο, και η μελέτη της εξέλιξής τους μέσα σ αυτό το πλαίσιο μαρτυρά και τη δυναμική φύση της ποιοτικής έρευνας. Η μέθοδος αυτή είναι σύμφωνη με την άποψη (όπως την περιγράψαμε στην αρχή του κεφαλαίου) κατά την οποία θεωρία και μέθοδος συνδέονται σε όλες τις φάσεις της έρευνας και η μία ολοκληρώνει την άλλη. 78

85 Το πιο συνηθισμένο είδος ποιοτικής έρευνας στην εκπαίδευση, που αποτελεί και τη βασική μέθοδο της έρευνάς μας, είναι η συμμετοχική παρατήρηση. Προέρχεται από την κοινωνική ανθρωπολογία (Malinowski, 1922) και τα βασικά χαρακτηριστικά της είναι πως είναι επιτόπια έρευνα και δεν γίνεται εκ των προτέρων ή εκ των υστέρων, όπως στην ποσοτική έρευνα με τα ερωτηματολόγια ή τα τεστ πριν και μετά τη διδασκαλία. Έτσι λοιπόν η μελέτη γίνεται όπως λέει και ο Burgess (1984) «στο εργαστήριο της κοινωνικής ζωής», που στην εκπαιδευτική έρευνα είναι η αίθουσα της διδασκαλίας. «Η συμμετοχική παρατήρηση είναι κατάλληλη μέθοδος όταν θέλουμε να εξετάσουμε τα πράγματα από τη σκοπιά των υποκειμένων, να τοποθετήσουμε τον εαυτό μας στη θέση τους και να διαπιστώσουμε τη σημασία και το νόημα που δίνουν σε συγκεκριμένες καταστάσεις και γεγονότα» (Κυριαζή Ν σελ. 246). Ο ερευνητής λοιπόν πρέπει να έχει άμεση επαφή με τα άτομα και το περιβάλλον στο οποίο θέλει να τα μελετήσει: τους φοιτητές και στην αίθουσα διδασκαλίας στην περίπτωσή μας, προκειμένου να συλλέγει στοιχεία που αφορούν στην αλληλεπίδραση του ατόμου με το περιβάλλον. Εύλογα έρχεται το ερώτημα για τον τρόπο συμμετοχής του ερευνητή σε μια τέτοια έρευνα. Σύμφωνα με τον Gold (1958) υπάρχουν τέσσερεις ρόλοι ερευνητή στην συμμετοχική παρατήρηση. Ο πρώτος αναφέρεται ως αποκλειστικά συμμετέχων (complete participant), ο οποίος ενσωματώνεται στο πεδίο της έρευνας. Η ταυτότητά του δεν είναι φανερή στα άτομα τα οποία ερευνά και αλληλεπιδρά με αυτά κατά όσο φυσικό τρόπο γίνεται. Η υιοθέτηση του ρόλου αυτού κρίνεται απαραίτητη όταν πρόκειται να μελετηθούν ομάδες ατόμων οι οποίες δεν είναι ανοικτές σε ξένα άτομα. Τέτοιου είδους έρευνες έχουν δεχθεί έντονες κριτικές (Erikson, 1967). O ερευνητής ο οποίος αποκαλύπτει την ταυτότητά του και επιδιώκει συμμετοχή σε όλες τις δραστηριότητες της ομάδας και τις διαδικασίες του πειράματος είναι ο συμμετέχων ως παρατηρητής (participant as observer). Ο ερευνητής, στην περίπτωση αυτή, αποκτά στενή σχέση με τα άτομα τα 79

86 οποία ερευνά εμπλεκόμενος συναισθηματικά ακόμα και σε επίπεδο φιλίας. Αυτό έχει ως συνέπεια να μην είναι σε θέση ο ερευνητής να καταγράφει διαρκώς πληροφορίες παρά μόνο σε προκαθορισμένες καταστάσεις για τις οποίες τα άτομα είναι ήδη ενήμερα. Στο επίπεδο της εκπαιδευτικής έρευνας, ο ερευνητής στην περίπτωση αυτή κατευθύνει και ελέγχει την έρευνα σε όλες τις φάσεις της. Ο ρόλος του παρατηρητή ως συμμετέχοντα (observer as participant), εστιάζεται στην καταγραφή πληροφοριών και λιγότερο στην συμμετοχή. Η ταυτότητά του είναι επίσης γνωστή στα άτομα τα οποία ερευνά. Αποκτά επαφή με τα άτομα, πιο χαλαρή όμως από ότι ο συμμετέχων ως παρατηρητής. Στην εκπαιδευτική έρευνα, η συμμετοχή του στην παρατήρηση χαρακτηρίζεται από κρίσιμες παρεμβάσεις κατά τη διεξαγωγή της έρευνας. Τέλος έχουμε τον ερευνητή ως αποκλειστικά παρατηρητή (complete observer). Στην περίπτωση αυτή, ο ερευνητής δεν συμμετέχει καθόλου στις δραστηριότητες της ομάδας, παρά μόνο καταγράφει πληροφορίες. Η ταυτότητά του ακόμα και αν είναι γνωστή στα άτομα που μελετά, καθώς η έρευνα προχωρά, επηρεάζει ελάχιστα την ομάδα, η οποία συνήθως ξεχνά την ύπαρξή του Τριγωνοποίηση Σύμφωνα με τον αρχικό ορισμό, τριγωνοποίηση στις κοινωνικές επιστήμες είναι η χρήση πολλαπλών μεθόδων για την έρευνα του ίδιου αντικειμένου (Campbell and Friske, 1959). Ωστόσο ο Denzin (1970) διακρίνει τέσσερα βασικά είδη τριγωνοποίησης. Την τριγωνοποίηση που περιγράφεται από τον αρχικό ορισμό την ονομάζει μεθοδολογική 80

87 τριγωνοποίηση. Υπάρχει η θεωρητική τριγωνοποίηση, όπου επιστήμονες από διαφορετικά πεδία συμμετέχουν στην ίδια έρευνα. Η ερευνητική τριγωνοποίηση, όπου περισσότεροι από ένας ερευνητές, αλλά με διαφορετικούς ρόλους, λαμβάνουν μέρος στην έρευνα. Τέλος, η πολυδιάστατη τριγωνοποίηση, όπου στην ίδια έρευνα συνδυάζονται περισσότερα από ένα είδη τριγωνοποίησης. Στην δική μας έρευνα εφαρμόσαμε ερευνητική τριγωνοποίηση χρησιμοποιώντας τρείς από τους τέσσερεις ρόλους παρατηρητή: τον συμμετέχοντα ως παρατηρητή, τον παρατηρητή ως συμμετέχοντα και τον αποκλειστικά παρατηρητή. Όπως αναφέραμε και προηγούμενα, η βασική μας μέθοδος είναι η συμμετοχική παρατήρηση. Χρησιμοποιήσαμε όμως ταυτόχρονα την μέθοδο project και την μέθοδο των συνεντεύξεων όπως θα περιγράψουμε παρακάτω. Κάναμε δηλαδή και μεθοδολογική τριγωνοποίηση. Χρησιμοποιώντας τελικά δύο είδη τριγωνοποίησης, εφαρμόσαμε μια πολυδιάστατη τριγωνοποίηση Μέθοδος Project και επιλογή θέματος Η Μέθοδος Project (Frey, 2002) κρατά την αρχική σημασία της λέξης μέθοδος, όπως περιγράψαμε στην αρχή του κεφαλαίου αφορά δηλαδή στο περιεχόμενο της έρευνας. Σε γενικές γραμμές, η μέθοδος Project, είναι ένας τρόπος να διδάξεις ένα αντικείμενο και να ερευνήσεις τη διδασκαλία μέσα από μια διαδικασία συμμετοχής όλων των εμπλεκομένων στην διαμόρφωσή της. Είναι δύσκολο να δοθεί ένας συνοπτικός και ακριβής ορισμός της μεθόδου αυτής, αφού είναι ταυτόχρονα μια ανοικτή παιδαγωγική διαδικασία και παιδαγωγική μέθοδος. Κύριο χαρακτηριστικό της είναι ότι 81

88 λαμβάνει υπόψη τις προθέσεις και τα ενδιαφέροντα των μαθητών ή φοιτητών, οι οποίοι και επιλέγουν αν θα ασχοληθούν με ένα θέμα, από έναν αριθμό προτεινόμενων θεμάτων. Στην περίπτωσή μας, το θέμα το οποίο προτείναμε χαρακτήρισε και τη φύση της έρευνας. Η επιλογή του κατάλληλου θέματος ήταν ουσιώδης, καθώς το θέμα αυτό, σε μια πρώτη φάση, (όπου το θέμα εισάγεται μέσα από επιμέρους εργασίες) θα έπρεπε να προκαλεί διάλογο ανάμεσα στους φοιτητές και να δημιουργεί συνθήκες για διαπραγμάτευση του μαθηματικού νοήματος. Επίσης στα πλαίσια του γενικού σκοπού της έρευνας, θα πρέπει το θέμα να διευκολύνει την εννοιολογική μετάβαση από την δευτεροβάθμια στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Έτσι λοιπόν επιλέξαμε το θέμα σύμφωνα με τα παρακάτω κριτήρια: 1. Το θέμα, κατά περίπτωση, οφείλει να περιγράφεται μέσα από πραγματικές καταστάσεις ή να δημιουργεί δυνατότητα σύνδεσης με την εμπειρία. 2. Να δημιουργεί σύνδεση ανάμεσα στα στοιχειώδη και τα ανώτερα μαθηματικά, λαμβάνοντας υπόψη την ιστορική εξέλιξη των εννοιών που αναδεικνύονται μέσα από το θέμα. 3. Να αντανακλά κρίσιμα σημεία στην Ιστορία των Μαθηματικών, τα οποία σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να έχουν δημιουργήσει συγκρούσεις στην μαθηματική κοινότητα. Τα δύο πρώτα κριτήρια, ως χαρακτηριστικά του θέματος, επιτρέπουν στους φοιτητές να δουν διάφορα ζητήματα που αφορούν το θέμα, από διαφορετικές οπτικές γωνίες και σύμφωνα με κάποιες πρακτικές που είτε τους είναι οικείες είτε όχι. Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο χαρακτηριστικό διευκολύνει τα άτομα που αναφέρονται στην χρήση των Μαθηματικών σε πρακτικές καταστάσεις. Το δεύτερο χαρακτηριστικό θα μπορούσε να αφορά στις άλλες δύο θεσμικές πρακτικές που περιγράψαμε: Σχολικά Μαθηματικά 82

89 και Ανώτερα Μαθηματικά (σελ. 51). Αυτό μπορεί να βοηθήσει στο να φανερωθούν τα διαφορετικά ενδιαφέροντα των φοιτητών και κατά συνέπεια στην δημιουργία ενός κλίματος διαλόγου. Με το τρίτο κριτήριο δεν εννοούμε ότι οι αντίστοιχες ιστορικές καταστάσεις και συγκρούσεις θα επαναληφθούν στην τάξη. Όμως, ένα θέμα που πληροί αυτό το κριτήριο μπορεί να βοηθήσει στην οργάνωση της γνωστικής αλληλεπίδρασης μεταξύ των φοιτητών, στη διαμόρφωση επιστημολογικών στάσεων και στη διαπραγμάτευση του νοήματος των μαθηματικών εννοιών. Ένα θέμα λοιπόν που θα συγκεντρώνει τα παραπάνω χαρακτηριστικά, θα μπορεί από τη μια να ενταχθεί σε διαφορετικά πλαίσια, και από την άλλη θα βοηθά στην διαπραγμάτευση του νοήματος και κατά συνέπεια στην κατανόηση των νέων μαθηματικών εννοιών. Το ζήτημα είναι πώς θα βρεθούν τέτοιου είδους θέματα. Η αναζήτησή τους μέσα από την Ιστορία των Μαθηματικών είναι το πρώτο βήμα για να ικανοποιηθεί το τρίτο κριτήριο. Η συστηματική μελέτη της ιστορικής εξέλιξης τέτοιων θεμάτων και της ιστορίας της διδασκαλίας τους αποτελεί το δεύτερο βήμα. Αυτό το βήμα, σε συνδυασμό με τον σκοπό της έρευνας μας βοηθά να μετασχηματίσουμε το θέμα κατάλληλα σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο. Μπορούμε να περιγράψουμε το θέμα μέσα από πραγματικές καταστάσεις αν το επιτρέπει η φύση του (αν δηλαδή αυτό προσφέρεται σε μια τέτοια περιγραφή ή όχι). Αν αυτό δεν είναι εφικτό προσπαθούμε να βρούμε πώς το θέμα μας μπορεί να συνδέεται με την εμπειρία Συνέντευξη έρευνας. Η συνέντευξη, ως βασικό μεθοδολογικό εργαλείο στις κοινωνικές επιστήμες, χρησιμοποιείται με διάφορους τρόπους στην εκπαιδευτική 83

90 έρευνα. Οι τρόποι αυτοί καθορίζονται από την φύση της εκάστοτε έρευνας και τους στόχους της. Τρία είναι τα βασικά είδη της συνέντευξης έρευνας όπως περιγράφονται στην βιβλιογραφία (Richardson, Dohrenwend και Klein, 1965; Denzin, 1970 ; Cohen και Manion 2000): η δομημένη συνέντευξη, η εστιασμένη συνέντευξη, και η μη δομημένη συνέντευξη. Η δομημένη συνέντευξη είναι πλήρως καθορισμένη πριν την έναρξη της συνέντευξης. Αυτό αφορά στο περιεχόμενο αλλά και στην σειρά των ερωτήσεων, πρόκειται δηλαδή για τυποποιημένο ερωτηματολόγιο. Η γενική υπόθεση μιας τέτοιας συνέντευξης είναι ότι κάθε ερωτώμενος ερμηνεύει με τον ίδιο τρόπο την ίδια ερώτηση. Έτσι, το δείγμα στο οποίο αναφέρεται η δομημένη συνέντευξη πρέπει να είναι ομοιογενές, διαφορετικά αμφισβητείται ως μέθοδος έρευνας. Το είδος αυτό της συνέντευξης ταιριάζει σε ποσοτική έρευνα. Η μη δομημένη ή ελεύθερη συνέντευξη δεν είναι καθορισμένη από πριν. Ο συνεντευκτής μιλά ελάχιστα, περιοριζόμενος στην διευκρίνιση υπό αμφισβήτηση σημείων, ενώ ο ερωτώμενος, έχει την ευκαιρία να εκφράσει απόψεις και συναισθήματα όσο αυθόρμητα θέλει. Είναι προφανές ότι οι ρίζες της συνέντευξης αυτής βρίσκονται στην ψυχοθεραπεία, σήμερα όμως εφαρμόζεται και για τη σύνθεση των λεγόμενων βιογραφιών (Rosenthal, 1993). Τέλος η εστιασμένη συνέντευξη (focused interview) την οποία και χρησιμοποιούμε στην έρευνά μας, έχει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, που την κάνουν να διαφέρει από τους άλλους τύπους συνέντευξης και περιγράφονται από τους Merton και Kendall (1946): 1. Τα άτομα από τα οποία λαμβάνεται η συνέντευξη, έχουν συμμετάσχει σε μία συγκεκριμένη κατάσταση: έχουν δει μια ταινία ή έχουν ακούσει ένα ραδιοφωνικό πρόγραμμα ή έχουν διαβάσει ένα κείμενο άρθρο ή ένα βιβλίο. Ακόμα μπορεί να έχουν βιώσει ή εμπλακεί σε μία συγκεκριμένη κοινωνική κατάσταση. 84

91 2. Ο ερευνητής έχει εκ των προτέρων αναλύσει τα στοιχεία που θεωρεί σημαντικά από την συγκεκριμένη κατάσταση ή το κείμενο που αναφέραμε στο 1. Σύμφωνα με αυτήν την ανάλυση περιεχομένου, ο ερευνητής έχει καταλήξει σε ένα σύνολο υποθέσεων που αφορούν τις έννοιες τις οποίες ερευνά. 3. Με βάση την ανάλυση αυτή ο ερευνητής συντάσσει έναν οδηγό συνέντευξης, προσδιορίζοντας της κύριες περιοχές της έρευνας και τις υποθέσεις που οδηγούν σε κάποια πιθανά στοιχεία, που θα διερευνηθούν κατά την συνέντευξη. 4. Η συνέντευξη επικεντρώνεται στις υποκειμενικές εμπειρίες των ατόμων που έχουν συμμετάσχει στην συγκεκριμένη κατάσταση. Οι απαντήσεις τους κατά την διάρκεια της συνέντευξης, επιτρέπουν στον ερευνητή, από τη μια να ελέγξει τις αρχικές υποθέσεις του και από την άλλη, λαμβάνοντας υπόψη του τις μη προβλέψιμες απαντήσεις τους, να δημιουργήσει νέες υποθέσεις. Επίσης οι Merton και Kendall (1946) ορίζουν τέσσερα κριτήρια τα οποία βοηθούν στον διαχωρισμό του παραγωγικού από το μη παραγωγικό υλικό της συνέντευξης: 1. Μη καθοδήγηση: Η καθοδήγηση από τον ερευνητή κατά την διάρκεια της συνέντευξης, πρέπει να ελαχιστοποιείται. Με τον τρόπο αυτό δίνεται η δυνατότητα στο υποκείμενο να εκφράσει τις απόψεις του για θέματα που το ενδιαφέρουν και όχι απαραιτήτως για αυτά που έχει συμπεριλάβει ο ερευνητής στον οδηγό συνέντευξης. 2. Συγκεκριμενοποίηση: Η ανάγκη απόδοσης νοήματος στα θέματα που αναπτύσσονται από τους ερωτώμενους, καθιστά απαραίτητο αυτό το κριτήριο. Ο ερευνητής λοιπόν αναζητά το πλαίσιο μέσα στο οποίο οι ερωτώμενοι θα μπορούν να 85

92 εκφρασθούν πλήρως και με σαφήνεια. Με τον τρόπο αυτό αποφεύγονται λανθασμένες ερμηνείες από τον ερευνητή που αποπροσανατολίζουν την έρευνα. 3. Πεδίο: Η συνέντευξη πρέπει να δίνει τα μέγιστα δυνατά ερεθίσματα, έτσι ώστε οι ερωτώμενοι να μιλούν για την συγκεκριμένη κατάσταση από οποιαδήποτε οπτική γωνία ταιριάζει σε αυτούς και με οποιοδήποτε τρόπο. Μια χρονική στιγμή της συνέντευξης που απαιτεί προσοχή για το κριτήριο αυτό είναι η μετάβαση από το ένα θέμα στο άλλο. Στο σημείο αυτό ο ερευνητής πρέπει να αποφασίσει αν και με ποιο τρόπο θα αφήσει τον ερωτώμενο να κάνει αυτήν την μετάβαση ή θα ακολουθήσει τον οδηγό συνέντευξης. 4. Βάθος και προσωπικό πλαίσιο: Η συνέντευξη πρέπει να αποκαλύπτει και τις συναισθηματικές συνιστώσες των απαντήσεων, να ανασύρει το προσωπικό πλαίσιο, τις πεποιθήσεις και τις ιδέες των ερωτωμένων. Ένας από τους στόχους της εστιασμένης συνέντευξης, είναι να καθορίσει πως οι πρότερες εμπειρίες και οι πεποιθήσεις των ερωτώμενων σχετίζονται με τις αντιδράσεις τους στην συγκεκριμένη κατάσταση. Το προσωπικό και το κοινωνικό πλαίσιο, δημιουργούν τις συνδέσεις μεταξύ των ερεθισμάτων και των απαντήσεων. Μέσω αυτής της ανακάλυψης των πλαισίων, η αλλαγή στο νόημα που αποδίδεται στα σύμβολα και άλλες έννοιες, μπορεί να γίνει κατανοητή. Όσον αφορά στα παραπάνω κριτήρια, εφαρμόσαμε εν γένει το 1 ο το 3 ο και το 4 ο ενώ παραλείψαμε το 2 ο κριτήριο, αφού δεν συμφωνεί με την φύση της έρευνάς μας. Πιο συγκεκριμένα, στην αρχή δηλαδή του διδακτικού πειράματος, πραγματοποιήσαμε εστιασμένες συνεντεύξεις κατά τις οποίες οι 86

93 φοιτητές μιλούν ελεύθερα για το παρελθόν τους, τα σχέδιά τους και τις εμπειρίες τους από το Πανεπιστήμιο. Οι συνεντεύξεις αυτές σύμφωνα με το κριτήριο 4 που περιγράψαμε, ανασύρουν το προσωπικό πλαίσιο, και μας βοηθούν να καταλάβουμε πως οι πρότερες εμπειρίες και οι πεποιθήσεις των ερωτώμενων σχετίζονται με τις αντιδράσεις τους στην συγκεκριμένη κατάσταση. Στα πλαίσια της Κριτικής Εκπαίδευσης το background, μπορεί να ερμηνευθεί, ως ένα δίκτυο κοινωνικά κατασκευασμένο που αφορά το παρελθόν του ατόμου και καθορίζει τις προθέσεις του (Skovsmose, 1994, σελ. 179). Επίσης σημαντικό για το άτομο είναι το foreground, το οποίο ερμηνεύεται ως το σύνολο των δυνατοτήτων που παρέχονται στο άτομο από μια δεδομένη κοινωνική κατάσταση και το βοηθούν να αντιληφθεί, τις δικές του δυνατότητες (Skovsmose, 1994, σελ. 179). Έτσι λοιπόν, όχι μόνο background αλλά και το foreground ενός ατόμου, καθορίζει τις προθέσεις του. Με δεδομένο ότι οι δράσεις ενός ατόμου σχετίζονται με τις προθέσεις του, η γνώση των προθέσεων μας βοηθά να ερμηνεύσουμε τις δράσεις του. Καθώς ο χρόνος κυλά, τόσο το background όσο και το foreground μεταβάλλονται, άρα και οι προθέσεις του ατόμου. Τα βιώματα, οι κοινωνικές καταστάσεις και οι βαθμοί ελευθερίας που δίνονται στο άτομο, επιφέρουν αλλαγές στις διαθέσεις και στις προθέσεις του. Αυτές τις αλλαγές προσπαθήσαμε να εντοπίσουμε με τις εστιασμένες συνεντεύξεις που πραγματοποιήσαμε στο τέλος όλων των φάσεων. Το 4 ο λοιπόν κριτήριο, σύμφωνα με τα παραπάνω, το τροποποιούμε σε background και foreground ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Το μάθημα στα πλαίσια του οποίου πραγματοποιήθηκε η πιλοτική έρευνα, καθώς και το κύριο πείραμα, ονομάζεται Σύγχρονη πραγμάτευση στοιχειωδών Μαθηματικών και είναι μάθημα επιλογής του Μαθηματικού 87

94 Τμήματος του Πανεπιστημίου Πατρών. Απευθύνεται σε φοιτητές τρίτου έτους, αλλά το ακροατήριο συνήθως αποτελείται και από φοιτητές μεγαλύτερων ετών. Οι φοιτητές που παρακολουθούσαν σχεδόν ανελλιπώς, ήταν περίπου 30. Ανεξάρτητα από τα θέματα που εξέταζε το μάθημα, δόθηκαν στους φοιτητές κάποια projects (ανάμεσά τους και αυτό της Γεωμετρίας της Σφαίρας), από τα οποία οι φοιτητές μπορούσαν να διαλέξουν. Το project για την Γεωμετρία της Σφαίρας ανέλαβαν έξη ομάδες των δύο ατόμων και ένας φοιτητής μόνος του, σύνολο δηλαδή δεκατρείς φοιτητές. Οι φοιτητές αυτοί ήταν υποχρεωμένοι να παραδώσουν μια πρώτη, πρόχειρη μορφή της εργασίας τους περίπου ένα μήνα πριν παραδώσουν την τελική μορφή. Στην συνέχεια ακολούθησαν οι παρουσιάσεις των project από τις ομάδες στη φοιτητική τάξη, με το διδάσκοντα του μαθήματος σε ρόλο παρατηρητή ως συμμετέχοντα (σελ. 59). Τέλος δόθηκαν συνεντεύξεις από κάθε ομάδα χωριστά στους αντίστοιχους ερευνητές. Για το project, ο τίτλος του οποίου ήταν Η Γεωμετρία της Σφαίρας, οι φοιτητές ασχολήθηκαν με τα παρακάτω ερωτήματα: Ερώτημα 1 ο Να δειχθεί ότι από δύο μη αντιδιαμετρικά σημεία που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, διέρχεται μοναδικός μέγιστος κύκλος. Τι συμβαίνει με τα αντιδιαμετρικά σημεία; Να μελετηθεί η παραλληλία των μέγιστων κύκλων. Ερώτημα 2 ο Ποιος είναι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δυο σημείων (τόπων) πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας (Γης); Να δικαιολογηθεί. Μελέτη σφαιρικών τριγώνων και ιδιότητές τους. Ερώτημα 3 ο Με ποιο τρόπο θα παρουσιάζατε το παράρτημα του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας (Α, Β Λυκείου), μετά την μελέτη που κάνατε; 88

95 Των παραπάνω ερωτημάτων προηγείται μια δίωρη παρουσίαση από την ερευνήτρια, στην οποία οι φοιτητές αρχικά καλούνται να εργαστούν σε κάποια θέματα που αφορούν στην Γεωμετρία της Σφαίρας, όπως, για παράδειγμα: από τέσσερα σημεία τα οποία δεν βρίσκονται όλα στο ίδιο επίπεδο, διέρχεται μοναδική σφαίρα και κάθε τετράεδρο εγγράφεται σε μοναδική σφαίρα. Στην συνέχεια, γίνεται αναφορά στην Υδρόγειο Σφαίρα ως μοντέλου για την επιφάνεια της Γης, με έμφαση στους μέγιστους κύκλους και τις ιδιότητές τους. Τόσο στο προ-πειραματικό στάδιο, όσο και στο κυρίως πείραμα, η ανάλυση των διαλόγων, έγινε εφαρμόζοντας την ανάλυση επεισόδιο-προςεπεισόδιο (episode-by-episode analysis) (Cobb & Whitenack, 1996). Η ανάλυση του είδους αυτού ενδείκνυται για την έρευνα με μικρό αριθμό ατόμων στην οποία το κοινωνικό πλαίσιο (εδώ της πανεπιστημιακής αίθουσας) παίζει καθοριστικό ρόλο. Κάθε επεισόδιο, είναι διακριτό από τα υπόλοιπα ως προς το επιμέρους θέμα το οποίο πραγματεύεται, αλλά όλα τα επεισόδια, αν και αυτοτελή, συνδέονται μεταξύ τους αφού όλα μαζί συνθέτουν το διδακτικό πείραμα. Στην παρούσα έρευνα κάναμε επιπλέον χωρισμό των επεισοδίων σε σκηνές. Σε κάθε επεισόδιο οι βασικές συνιστώσες που καθορίζουν την ανάλυση είναι οι εξής: i. Ο τύπος χρήσης των εννοιών του κάθε φοιτητή χωριστά. ii. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των φοιτητών. iii. Ο τρόπος που ο ένας φοιτητής κατανοεί τον άλλον. iv. Η κατανόηση του μαθηματικού περιεχομένου από κάθε φοιτητή. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε ενδεικτικά δύο σκηνές, από το προπειραματικό στάδιο της έρευνας. Επεισόδιο 1 Σκηνή 1 η Έχει τεθεί το ερώτημα του πόσα σημεία χρειάζονται για να ορισθεί η σφαίρα. 89

96 1. Λεωνίδας 7 : Νομίζω ότι χρειαζόμαστε πέντε σημεία. Δηλαδή τρία σημεία για να δημιουργήσουμε έναν κύκλο όπως πριν, και από εκεί σ ένα κέντρο κάθετη προς αυτόν τον κύκλο, να δημιουργήσουμε έναν άλλο κύκλο με το ίδιο κέντρο. 2. Συμμετέχων ως παρατηρητής (Σ.Π): Τα επίπεδα των κύκλων πώς θα είναι; 3. Λεωνίδας: Θα είναι κάθετα μεταξύ τους. Έτσι αν περιστρέψουμε το ένα από τα δυο ημικύκλια, θα φτιάξουμε την σφαίρα. 4. Παρατηρητής ως συμμετέχων (Π.Σ): Αυτό το σχήμα, το φαντάζεσαι κατά αναλογία με την κατασκευή κύκλου στο επίπεδο για τον κύκλο, δηλαδή όπως φέραμε τις μεσοκάθετες στις χορδές θα το κάνουμε και εδώ; Πως σου ήρθε δηλαδή να πάρεις δυο επίπεδα κάθετα; 5. Λεωνίδας: Το ένα να καλύψει είναι όπως η Γη ένας κυκλικός δίσκος στην μέση, αν τον περιστρέψεις, θα δημιουργήσεις κάποια σημεία της σφαίρας και νομίζω, άλλο ένα ορθογώνιο προς αυτό θα γυρίσει και θα κάνει τα υπόλοιπα σημεία και θα ολοκληρωθεί η σφαίρα. Ένας κύκλος στην μέση ο ισημερινός ας πούμε και ένας άλλος κάθετος προς αυτό ένας μεσημβρινός. Στους φοιτητές, δεν έγινε καμία αναφορά στο μοντέλο της Γης και καμία αναφορά στον φυσικό χώρο. Βλέπουμε όμως ότι στην προσπάθεια του ο Λεωνίδας να βρει τρόπο να ορίσει την σφαίρα, ανατρέχει από μόνος του στο σφαιρικό μοντέλο της Γης (γραμμή 5). Οι μέγιστοι κύκλοι ταυτίζονται με τον ισημερινό και τον μεσημβρινό, καθώς και τα επίπεδα που τους δημιουργούν. Η χρήση του σφαιρικού μοντέλου της Γης από κάποιους φοιτητές, φανερώνει την ανάγκη της σύνδεσης με τον φυσικό χώρο, ή καλύτερα με οικεία μοντέλα του. Ο φοιτητής αυτός φαίνεται να λειτουργεί 7 Τα ονόματα των φοιτητών δεν είναι τα πραγματικά τους. Αυτό ισχύει και για το προπειραματικό στάδιο αλλά και για το κυρίως πείραμα. 90

97 σύμφωνα με τον πρώτο τύπο χρήσης των γεωμετρικών εννοιών όπως περιγράψαμε παραπάνω ( 3.24). Σκηνή 2 η Οι φοιτητές συζητούν για την εύρεση της συντομότερης διαδρομής, μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια της σφαίρας και μια ομάδα παρουσιάζει την λύση της στο πρόβλημα αυτό. Στον πίνακα έχουν σχεδιάσει το παρακάτω σχήμα: (σχήμα 3.1) 6. Αλέξανδρος: Τα επίπεδα των δύο κύκλων με τι γωνία τέμνονται; Είναι συγκεκριμένη; 7. Περικλής: Όχι, είναι τυχαία. 8. Αλέξανδρος: Εγώ νομίζω, ότι είναι πολύ συγκεκριμένη. Είναι ορθή! 9. Περικλής: Μα ο μικρός κύκλος είναι τυχαίος. 10. Αλέξανδρος: Για να περνάει από τα Α, Β ο μικρός κύκλος δεν μπορεί παρά να είναι κάθετος στον μικρό. 11. Περικλής: Μα ένας μικρός κύκλος πάνω στη σφαίρα που περνά από τα Α, Β μπορεί να τέμνει τον μέγιστο κύκλο κατά πολλές γωνίες! Απλά το κέντρο του μικρού κύκλου δεν θα περνάει από το κέντρο της σφαίρας. 91

98 12. Αλέξανδρος: Περίμενε! Αν έχεις την Γη και πάρεις πάνω στον ισημερινό την Αφρική και την Αμερική σαν δύο σημεία. Ο άλλος κύκλος που ενώνει αυτά τα σημεία, θα είναι ένας κύκλος μοναδικός, δεν υπάρχει περίπτωση και θα είναι κάθετος στον ισημερινό. 13. Περικλής: Κάνεις λάθος! Να στο δείξω από τα πλάγια: (σχήμα 3.2) Αυτός ο μικρός κύκλος μπορεί να δημιουργήσει άπειρες γωνίες με τον μέγιστο κύκλο. Φαντάσου ότι μπορεί να γυρνάει! 14. Αλέξανδρος: Ναι όμως θα μπαίνει μέσα στο φλοιό της Γης και θα βγαίνει απ έξω. Ότι είναι άπειροι οι κύκλοι που περνάνε από τα Α, Β το ξέρω. Δεν με ενδιαφέρουν όμως αυτοί που βρίσκονται στο εσωτερικό της ή στην ατμόσφαιρά της. 15. Σ.Π: Μήπως βοηθάει η κίνηση που κάνει το επίπεδο που βρίσκεται ο μικρός κύκλος; 16. Αλέξανδρος: Ναι αλλά μόνο ο κύκλος που είναι κάθετος στον ισημερινό βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια της Γης! Ακολουθεί διάλογος των φοιτητών, μια μικρή διαμάχη, με τα ίδια επιχειρήματα να επαναδιατυπώνονται. 17. Αλέξανδρος: Παιδιά αυτό που λέτε δεν ισχύει! Αποκλείεται! Είμαι σίγουρος! 92

99 18. Σ.Π: Ένας κύκλος, μικρός ή μέγιστος, πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, δημιουργείται από την τομή της με ένα επίπεδο, έτσι δεν είναι; 19. Αλέξανδρος: Ναι. 20. Σ.Π: Από δύο σημεία, για παράδειγμα τα Α, Β πόσα επίπεδα περνάνε; 21. Αλέξανδρος: Άπειρα. 22. Σ.Π: Άρα άπειροι δεν θα είναι και οι κύκλοι που δημιουργούν τα επίπεδα αυτά πάνω στη σφαίρα; 23. Αλέξανδρος: Από όλους όμως τους κύκλους είναι μόνο δύο που βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας. Ο ισημερινός και ο κάθετος στον ισημερινό που περνάει από τα Α, Β. 24. Π.Σ: Ας φανταστούμε την επιφάνεια της Γης και ας πάρουμε έναν παράλληλο κύκλο στον ισημερινό πάνω στην υδρόγειο σφαίρα. Αν πάρουμε δύο σημεία με το ίδιο γεωγραφικό πλάτος, αυτά θα είναι πάνω στον παράλληλο κύκλο που πήραμε. Από αυτά τα σημεία περνάει ένας μέγιστος κύκλος; 25. Αλέξανδρος: Πως δεν περνάει! 26. Π.Σ: Θα είναι πάντα κάθετος στον ισημερινό; 27. Αλέξανδρος: Όχι... εντάξει... κατάλαβα ευχαριστώ. Ο φοιτητής κάθεται στην θέση του και το συγκεκριμένο θέμα τελειώνει εκεί. Η ομάδα των φοιτητών παρουσίασε το θέμα καθαρά γεωμετρικά χωρίς την χρήση της Γης ως μοντέλου. Από εκεί και μετά, τίποτα δεν στάθηκε ικανό να πείσει τον Αλέξανδρο ότι τα πράγματα δεν είναι όπως νομίζει. Έκπληξη προκαλεί το ασυμβίβαστο της σιγουριάς του για αυτά που λέει με την ευκολία με την οποία στο τέλος πείθεται και αποχωρεί (χαμογελώντας με ανακούφιση). Η χρήση του σφαιρικού μοντέλου της Γης και συγκεκριμένα της Υδρογείου σφαίρας, από τον Π.Σ υπήρξε καταλυτική. Ο Αλέξανδρος όπως βλέπουμε έχει ανάγκη την οικεία αναπαράσταση της Γης για την εύρεση του συντομότερου δρόμου στην επιφάνεια της σφαίρας. Ο 93

100 Περικλής όμως δεν ανατρέχει στην Υδρόγειο σφαίρα, αλλά εργάζεται στην σφαίρα θεωρώντας την ως μαθηματική επιφάνεια. Το νόημα των εννοιών είναι το ίδιο και για τους δύο φοιτητές, αλλά η χρήση τους είναι διαφορετική. Στο παράρτημα παρουσιάζουμε αναλυτικά τους διαλόγους του προ-πειραματικού σταδίου. Οι σκηνές που παραθέσαμε είναι αντιπροσωπευτικές και δείχνουν τον λόγο που στο κυρίως πείραμα επιλέξαμε να χρησιμοποιήσουμε το πλαίσιο της ναυσιπλοΐας, για να εισάγουμε το θέμα μας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΥΡΙΩΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Οι τρεις φάσεις του πειράματος είναι οι εξής: 1 η Φάση: Σύνδεση της Σφαιρικής Γεωμετρίας με τον φυσικό κόσμο χρησιμοποιώντας την Γη ως μοντέλο. 2 η Φάση: Η σφαίρα ως επιφάνεια πάνω στην οποία υλοποιείται η Ελλειπτική Γεωμετρία. 3 η Φάση: Κατασκευή μοντέλου της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. 1 η Φάση Στη αυτή, γίνεται κατευθείαν αναφορά στην Γη και στην Υδρόγειο Σφαίρα και όλα τα προβλήματα τίθενται μέσα από κατάλληλα διδακτικά σενάρια. Κατά τον τρόπο αυτό πληρείται το πρώτο κριτήριο για την επιλογή του θέματος, που περιγράψαμε στο δεύτερο κεφάλαιο. Θα μας απασχολήσουν κυρίως α) το πρόβλημα της εύρεσης του στίγματος (γεωγραφικές συντεταγμένες) ενός σημείου β) το πρόβλημα της εύρεσης της ελάχιστης διαδρομής μεταξύ δύο σημείων πάνω στην επιφάνεια της Γης. Το πρόβλημα αυτό, μας οδηγεί στην αναγκαιότητα του ορισμού σημείου και ευθείας πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. 94

101 Αρχικά, ενημερώνονται οι φοιτητές για τα project που θα δοθούν στα πλαίσια του εξαμηνιαίου μαθήματος. Η ενημέρωση για το συγκεκριμένο project, γίνεται από τον συμμετοχικό παρατηρητή, ο οποίος γνωστοποιεί στους φοιτητές ότι πρόκειται για έρευνα που γίνεται στα πλαίσια του διδακτορικού της. Για το περιεχόμενο του project, οι φοιτητές μαθαίνουν ότι θα περιλαμβάνει στοιχεία από γεωμετρία της σφαίρας, πέρασμα στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, καθώς και ένα διδακτικό κομμάτι, στο οποίο οι φοιτητές θα επισκεφθούν μια σχολική τάξη. Ενημερώνονται επίσης, ότι θα ακολουθήσει μια πρώτη ανταπόκριση, στην οποία ανάλογα με το ενδιαφέρον που θα εκδηλώσουν θα δημιουργηθεί και η ομάδα που θα αναλάβει το project. Αρχικά, δίνεται το παρακάτω κείμενο σε 25 περίπου φοιτητές. Με αφορμή το παρακάτω απόσπασμα από το βιβλίο του Ντενί Γκετζ la Bela: Η αυτοβιογραφία μιας καραβέλας οργανώστε μια διδασκαλία που θα απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου. Η διδασκαλία αυτή θα είναι μια εισαγωγή στην Γεωμετρία της Σφαίρας την οποία όμως έχετε σκοπό να στηρίξετε στο μοντέλο της Γης. Το κείμενο αυτό θα σας βοηθήσει να εισαγάγετε κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν το σφαιρικό μοντέλο της Γης. Αν επέζησα από τόσους κινδύνους, αν βρίσκομαι ακόμη εδώ για να σου αφηγηθώ την ιστορία μου, είναι επειδή, χωρίς καμιά αμφιβολία, γεννήθηκα κάτω από καλό αστέρι Ποιο απ όλα; Καλή ερώτηση. Ανάμεσα στα εκατομμύρια εκείνα κεφάλια της καρφίτσας, που έλαμπαν στο γενέθλιο ουρανό μου, έπρεπε οπωσδήποτε να διαλέξω ένα. Με δυο λόγια τον οδηγό μου. Αυτό που θα ήταν το Δικό Μου αστέρι! Έψαξα ώρα πολλή 95

102 Έπρεπε πια να το παραδεχτώ. Ο ουρανός, που τον παρατηρούσα έναν ολόκληρο χρόνο και που τον νόμιζα αμετακίνητο, άλλαζε συνεχώς. Από πού λοιπόν να πιαστώ; Πάνω εκεί ψηλά, όλα γύριζαν και μου έφερναν ζαλάδα. Ναι, όλα τα αστέρια μετατοπίζονταν. Όλα, εκτός από ένα. Εκείνο εκεί, που στην αρχή δεν το είχα προσέξει, πώς αυτό; Καλοκαίρι και χειμώνα, ξημέρωμα και σούρουπο, ήταν πάντα πιστό στο ραντεβού. Ανεπηρέαστο από τις μετακινήσεις που έκαναν άνω κάτω τον ουρανό θα λεγες πως είχε ρίξει άγκυρα στην ουράνια σφαίρα. Που έμοιαζε να περιστρέφεται ολόκληρη γύρω του Επιτέλους το είχα βρει, αυτό θα ήταν το αστέρι μου, ο Πολικός Αστέρας. Καιρός ήταν! Ενώ λοιπόν είχα περιοριστεί στην ακτοπλοΐα, ένα πρωί άκουσα έναν ναύτη να φωνάζει: «Έι! Κοιτάξτε!» Και τι βλέπω; Ή μάλλον τι δεν βλέπω, ή καλύτερα τι δεν βλέπω πια; Η σκιά του μεγάλου μου καταρτιού, πάει, χάθηκε! Το άλλο πρωί- απίστευτο!- είχε ξαναγυρίσει. Όμως είχε περάσει από την άλλη πλευρά του καταρτιού. Τώρα απλωνόταν, μικρή ακόμη, στην μπροστινή γέφυρα. Μα τι είχε συμβεί τέλος πάντων; Μια μέρα, χωρίς να το έχουμε επιδιώξει, παρασυρόμενοι ανεπαίσθητα προς τα ανοιχτά, βρεθήκαμε, δεν ξέρω ακόμη πως, στη μέση του ωκεανού, ναι, μέσα στην υγρή απεραντοσύνη. Από παντού θάλασσα. Θάλασσα και ουρανός. Δεν υπήρχαν πια ακτές να προσανατολιστώ, δεν υπήρχαν στεριές να κατευθυνθώ. Την ημέρα εκείνη έγινα μια καραβέλα της ανοικτής θάλασσας, ένα πλοίο ποντοπόρο. Πέταξα το μπαστούνι του τυφλού, και με μάτια ορθάνοικτα, καρφωμένα στον ουρανό, δεν είχα παρά μόνο τον ουρανό για να βρω το δρόμο μου και να πορευτώ καταμεσής του ωκεανού. Μέσα σε μια πνοή ανέμου, άκουσα μια φωνή να μου ψιθυρίζει: «Bela, πες μου τι βλέπεις, και θα σου πω που βρίσκεσαι.» Περιττό να πω πόσο ευτυχισμένη ένιωσα όταν ο τιμονιέρης δήλωσε στο μαγεμένο μούτσο: «Ο Πολικός Αστέρας, δεν υπάρχει καλύτερος οδηγός για το γεωγραφικό πλάτος!» Το αστέρι μου! Ήμουν περήφανη για την επιλογή που είχα κάνει άλλοτε Ένας κρυφός φόβος με είχε κυριεύσει, όσο κατεβαίναμε προς το νότο, το αστέρι μου έδυε. Κάθε βράδυ, ο Πολικός Αστέρας ήταν και πιο χαμηλά στον 96

103 ορίζοντα. Ώσπου μια νύχτα- ακόμα και τώρα που σου το διηγούμαι ύστερα από τόσο καιρό, μου είναι οδυνηρό- μια νύχτα λοιπόν εξαφανίστηκε εντελώς Στο άλλο ημισφαίριο, στην άλλη μεριά του ουρανού, στην άλλη πλευρά του κόσμου, απαλά εισχωρούσα. Ο ισημερινός; Το ίδιο με τον τροπικό: κανένα σημάδι, κανένα ορατό ίχνος στο νερό, τίποτε. Γεωγραφικό πλάτος μηδέν, αυτό και αν είναι παράξενο! Όμως για μένα, το τρομακτικό νέο βρισκόταν αλλού. Ο Πολικός Αστέρας είχε εξαφανιστεί! Για πρώτη στη ζωή μας, οι ναύτες ο καπετάνιος και εγώ η Bela, δεν βλέπαμε τον Πολικό μας Αστέρα. Ήμουν ορφανή. Ήμουν θλιμμένη. Τρομερά θλιμμένη. Ένα μόνο αστέρι σου λείπει, και όλος ο κόσμος είναι άδειος. Από πού να πιαστώ τώρα; Το γεωγραφικό μας πλάτος συνηθίζαμε να τι υπολογίζουμε με τον Πολικό Αστέρα. Τι θα κάναμε τώρα που αυτός είχε χαθεί; «Ο Ήλιος», απάντησε ο τιμονιέρης. Μα βέβαια ο Ήλιος. Και σε εκείνα τα νερά, δεν λείπει καθόλου. Αργότερα, από τον πίσω πύργο όπου είχαν εγκατασταθεί, τον άκουσα να διδάσκει στον Αουγκουστίνου- έτσι έλεγαν τον μούτσο- τις στοιχειώδεις αρχές της αστρονομικής ναυσιπλοΐας. «Αν θέλεις να ξέρεις που βρίσκεσαι, θα πρέπει πρώτα να μετρήσεις το ύψος του Ήλιου με τον αστρολάβο, και μάλιστα το μεσημέρι, όταν ο Ήλιος βρίσκεται στο μέγιστο ύψος του. - Το ύψος του Ήλιου; Μα είναι πολύ πολύ ψηλά, δεν θα τα καταφέρω ποτέ», κλαψούρισε ο Αουγκουστίνου Απίστευτο! Όταν οι ναύτες κατέβηκαν στην ακτή, έμαθαν το απίστευτο νέο. Έτρεξαν στην κουπαστή και βάλθηκαν να μετρούν και να ξαναμετρούν τα σημάδια που είχαν χαράξει στο σκοροφαγωμένο ξύλο. Ε λοιπόν, θα σου πω κάτι που δεν θα το πιστέψεις, κι όμως αυτή είναι η εκπληκτική αλήθεια: στο πλοίο, είχαμε Τετάρτη! Στη στεριά, ήταν Πέμπτη! Ένας ναύτης ξέσπασε σε γέλια: «Ξέρετε τι πάθαμε; Φτάσαμε μια μέρα πριν από την άφιξή μας!»οι πάντες ξεκαρδίστηκαν «Ζήτω η Bela! Ζήτω η Bela!» Τι θρίαμβος! Ποτέ κανένα πλοίο δεν αποθεώθηκε όπως εγώ. Πόσο περήφανη ήμουν! Είχα κάνει το γύρο του κόσμου! Ολόκληρο το γύρο, χα, χα!και επιπλέον, απέδειξα ότι η Γη, εκτός 97

104 του ότι είναι στρογγυλή, γυρίζει κιόλας. Και μάλιστα περιστρέφεται από δυτικά προς τα ανατολικά. Γιατί ήμουν σε θέση να το διαβεβαιώσω αυτό; Διότι, πλέοντας διαρκώς προς τη δύση, είχα κερδίσει μια μέρα. Με δυο λόγια, το ταξίδι με αναζωογόνησε, αφού με έκανε νεότερη κατά μια μέρα. Πόσοι γύροι του κόσμου για να ξαναγίνω κοπελίτσα; Μέσω του κειμένου αυτού, οι φοιτητές μπορούσαν να διαπραγματευτούν θέματα από την επιστήμη της ναυσιπλοΐας, όπως η εύρεση γεωγραφικού πλάτους και μήκους. Οι γνώσεις τους σε τέτοιου είδους θέματα ήταν ελάχιστες και έτσι ανέτρεξαν σε βιβλία αστρονομίας. Πρόθεσή μας με τη διαδικασία αυτή, ήταν η εμπλοκή των φοιτητών με την γεωμετρία του χώρου αλλά και την γεωμετρία της σφαίρας από την σκοπιά της ναυσιπλοΐας και της αστρονομίας. Το κείμενο που παρουσίασαν οι φοιτητές, ήταν η δική τους ερμηνεία του κειμένου, όπου αντανακλούσε τα ενδιαφέροντα και τις προθέσεις τους. Για την επιλογή των συμμετεχόντων στο πείραμα, θέσαμε το κριτήριο του ενδιαφέροντος, όπου σε αυτήν την φάση είναι σύμφωνα με τον Habermas (1971) τεχνικό. Το ενδιαφέρον αυτού του είδους όπου βρίσκει εφαρμογή στις φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά, ήδη από το πρώτο κείμενο, αυτό φαίνεται να αναδύεται με τρείς διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης του κειμένου: (i) από την σκοπιά της ναυσιπλοΐας, της χαρτογραφίας ή της μαθηματικής Αστρονομίας (ii) από την σκοπιά της γεωμετρίας του χώρου (iii) και τέλος από την σκοπιά της Διαφορικής Γεωμετρίας. Έντεκα φοιτητές ανταποκρίθηκαν σε αυτό το εισαγωγικό θέμα. Επτά από αυτούς παρέδωσαν κείμενο, το οποίο ανταποκρινόταν στο κριτήριο του ενδιαφέροντος που είχαμε θέσει ενώ τα κείμενα των υπολοίπων περιορίζονταν σε αναπαραγωγή του κειμένου. Πέντε από τους επτά φοιτητές κατάφεραν να ανταποκριθούν στις απαιτήσεις του project και οι οποίοι αποτέλεσαν τους συμμετέχοντες στο πείραμα. Από τους συμμετέχοντες, ένας ήταν κορίτσι, η Ηλέκτρα, η οποία συνεργάστηκε με 98

105 τον Ορέστη, ενώ οι άλλοι φοιτητές δούλεψαν μόνοι τους. Ο Ορέστης η Ηλέκτρα και ο Πάρης είναι φοιτητές τρίτου έτους, ενώ ο Αχιλλέας τέταρτου έτους. Η Ηλέκτρα διάλεξε αυτό το project, επειδή η Γεωμετρία ήταν ευκολότερη γι αυτήν από τα σχολικά της χρόνια. Στον Ορέστη και τον Αχιλλέα άρεσε η γεωμετρία περισσότερο από όλα τα μαθήματα του πανεπιστημίου. Ειδική περίπτωση αποτελεί ο Αγαμέμνονας, ο οποίος είχε στο παρελθόν περάσει το μάθημα στα πλαίσια του οποίου διεξήχθη το project και συμμετείχε από καθαρό ενδιαφέρον. Όπως είπε, η γεωμετρία ήταν πάντα ένα μυστήριο γι αυτόν και τώρα του δινόταν η ευκαιρία να εμπλακεί με αυτήν με ένα διαφορετικό τρόπο. Στην συνέχεια δώσαμε στους συμμετέχοντες ένα δεύτερο κείμενο, παρμένο από τον Δεκαπενταετή Πλοίαρχο του Ιουλίου Βερν, αλλά προσαρμοσμένο στα ζητούμενα του project: Κείμενο ΙΙ...Πριν πηδήσει στη φαλαινίδα, ο καπετάνιος έριξε μια τελευταία ματιά στο πλοίο του, για να βεβαιωθεί πως όλα ήταν εντάξει κι έδωσε τις τελευταίες οδηγίες στον Ντικ. «Σ αφήνω μονάχο», είπε στο νεαρό δόκιμο. «Έχε το νου σου στο καθετί. Αν, πράγμα που δεν το πιστεύω, το κυνήγι του φυσητήρα μας παρασύρει πολύ μακριά, θα αναγκαστείς να βάλεις σε κίνηση το πλοίο... Θάρρος και ψυχραιμία. Έτσι γίνεσαι μονομιάς δεύτερος καπετάνιος. Φρόντισε να τιμήσεις το αξίωμά σου. Κανείς άλλος ως τώρα δεν το πέτυχε σε τόσο μικρή ηλικία»... Μπροστά στην τρομακτική αυτή καταστροφή οι επιβάτες του Πίλγκριμ ένιωσαν βαθιά συμπόνια ανάμικτη με φρίκη. Στην αρχή δεν σκέφτηκαν τίποτα άλλο, εκτός από το φοβερό θάνατο του καπετάνιου και των πέντε ναυτών που τον συνόδευαν... Η θέση τους ήταν τραγική. Πάνω στο πλοίο δεν βρισκόταν ούτε ένας ναυτικός. Ή μάλλον όχι. Υπήρχε ένας. Ο Ντικ Σαντ. Αλλά και αυτός ήταν ένα παιδί. Ένας δεκαπεντάχρονος δόκιμος. Τι να πρωτοκάνει μοναχός; Τον 99

106 καπετάνιο; Τον τιμονιέρη; Τον αρμενιστή; Μπορούσε ένα αγόρι να ν αντικαταστήσει ολόκληρο πλήρωμα;... Το δωμάτιο του καπετάνιου, ο Ντικ, μέχρι τώρα, το είχε δει μόνο από τη μισάνοιχτη πόρτα. Οι γρήγορες αυτές ματιές, ήταν αρκετές για να δουλέψει η φαντασία του μικρού αγοριού. Το φως των κεριών πάνω στα ξύλινα έπιπλα, οι πίνακες στους τοίχους με ναυτικά θέματα άλλων εποχών, αλλά κυρίως το τραπέζι στο κέντρο του δωματίου με τους χάρτες, άλλους διπλωμένους, άλλους ανοικτούς με τεράστιους χάρακες πάνω τους και άλλα όργανα που ο Ντικ δεν γνώριζε. Γι αυτόν ο Κάπταιν Χουλ δεν ήταν απλά ο καπετάνιος ενός φαλαινοθηρικού. Ήταν ένας εξερευνητής, ένας θαλασσοπόρος. Τώρα το δωμάτιο αυτό ήταν δικό του, αλλά για το αγόρι ήταν άλλο ένα φορτίο που έπρεπε να σηκώσει. Άνοιξε την πόρτα και μπήκε μέσα. Τελικά δεν ήταν τόσο τρομακτικό, ούτε είχε την πολυτέλεια που ο Ντικ είχε φανταστεί. Ο τοίχος που δεν φαινόταν από την μισάνοιχτη πόρτα, ήταν γεμάτος βιβλία. Το αγόρι έμεινε έκπληκτο. Ο κάπταιν Χουλ διάβαζε! Την προσοχή του όμως αμέσως τράβηξε το τραπέζι με τους χάρτες. Πώς θα κατάφερνε να διαβάσει αυτούς τους χάρτες; Ο Ντικ, ένα παιδί χωρίς πατέρα και μητέρα, μπαρκάρισε σαν μούτσος, πριν ακόμα γίνει δέκα χρονών. Δεν άργησε να γίνει δόκιμος και να καταλάβει ότι η θάλασσα είναι η ζωή του και οι άνθρωποί της, η οικογένειά του. Είχε μάθει πολλά πράγματα, ή τουλάχιστον αυτό πίστευε μέχρι τώρα. Αχ, γιατί δεν ζήτησε από τον καπετάνιο να δει αυτούς τους χάρτες νωρίτερα, αφού τόσο το ήθελε! Πλησίασε και κοίταξε τον ανοιγμένο χάρτη. Μερκατοριανός παγκόσμιος χάρτης. Πού ακριβώς βρίσκονταν; Εδώ και μέρες είχαν αφήσει τις Ακτές τις Νέας Ζηλανδίας και κατευθύνονταν προς Αμερική. Αν κρατούσε σταθερή πορεία για λίγο; Μόνο μέχρι να μπορέσει να καταλάβει τι γίνεται. Γύρισε πάλι προς την βιβλιοθήκη. Τα βιβλία ήταν σχεδόν όλα ναυτικού περιεχομένου. Μαθήματα Ναυτιλίας, Ορθοδρομία-Αστροναυτλία. Το τράβηξε από την βιβλιοθήκη και το άνοιξε. Μάλιστα! Τα είχε όλα! Γεωγραφικές συντεταγμένες, χρήση μαγνητικής βελόνης, αστρολάβου, εξάντα Ορθοδρομία: ο συντομότερος μεταξύ δυο σημείων πλους! Και δεν το είχε 100

107 φανταστεί μέχρι τώρα. Ναι, είχε δει να χρησιμοποιούν την πυξίδα, τον αστρολάβο, να αποφεύγουν ρεύματα και φουρτούνες, αλλά ότι ακολουθούν συγκεκριμένο δρόμο που είναι και ο γρηγορότερος! Μα είναι λογικό: μήπως όταν περπατάμε στην στεριά κάνουμε κύκλους; Ευθεία πάμε. Η ορθοδρομία είναι η ευθεία για την θάλασσα! Ο Ντικ ενθουσιάστηκε. Γύρισε αμέσως στον χάρτη. Πράγματι ο καπετάνιος είχε χαράξει μια πορεία, αλλά κάθε άλλο παρά ευθεία ήταν! Τώρα μπερδεύτηκε περισσότερο. Τι περίεργη καμπύλη! Αυτήν θα πρέπει να ακολουθήσουμε; Αν είχε μια υδρόγειο σφαίρα, ίσως και να καταλάβαινε αν ήξερε δηλαδή πώς είναι αυτές οι ορθοδρομίες πάνω στην υδρόγειο σφαίρα ίσως και να καταλάβαινε γιατί είναι ο γρηγορότερος δρόμος. Ο Ντικ αποφάσισε να το αφήσει αυτό για αργότερα. Προς το παρόν έπρεπε να οδηγήσει το πλοίο στην Αμερική. Με αφορμή το κείμενο αυτό οι φοιτητές ασχολήθηκαν με θέματα όπως η χρήση του εξάντα και η χαρτογραφία. Το κύριο όμως ερώτημα του προκύπτει από το κείμενο αυτό και στο οποίο οι φοιτητές κλήθηκαν να απαντήσουν, είναι να βρεθεί η ελάχιστη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια της Γης (θεωρώντας την σφαιρική). Οι τρείς προσεγγίσεις όπως τις περιγράψαμε παραπάνω (σελ. 98), ενισχύονται στην ανταπόκριση των φοιτητών σε αυτό το κείμενο, ενδυναμώνοντας το θεωρητικό πλαίσιο το οποίο περιγράψαμε στο προηγούμενο. Καθώς το project προχωρούσε οι φοιτητές ερευνώντας το θέμα, ανακάλυπταν τις κλίσεις και τις προτιμήσεις τους, αφού μόνοι τους επέλεγαν τον τρόπο εργασίας τους. Έτσι, αναδύθηκε το είδος του ενδιαφέροντος που σύμφωνα με τον Habermas ονομάζεται χειραφετικό. Αυτό το ενδιαφέρον, σύμφωνα με τις έρευνες (Garland, 2012), είναι το πιο δύσκολο να αναδυθεί μέσα από τα αναλυτικά προγράμματα των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται το πρώτο μέρος του πειράματος-σημείο αφετηρίας για την έρευνα. Οι τρείς διαφορετικές προσεγγίσεις των φοιτητών όπως τις περιγράψαμε παραπάνω, είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για την αλληλεπίδραση και την διαπραγμάτευση του νοήματος που θα ακολουθήσει στο υπόλοιπο του πειράματος. 101

108 2 η Φάση Η φάση αυτή ξεκίνησε με συζήτηση πάνω στο πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. Η συζήτηση αυτή συνεχίστηκε με την ανακάλυψη των μη- Ευκλείδειων Γεωμετριών, καθώς και με τα αξιώματα του Hilbert. Ο ορισμός των γεωμετρικών όρων σημείο και ευθεία πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας και μετασχηματισμός των τριών πρώτων αξιωμάτων θέσεως, θα απασχόλησε τους φοιτητές στην φάση αυτή. Τα αξιώματα αυτά τα οποία και δόθηκαν στους φοιτητές είναι τα τρία πρώτα αξιώματα θέσεως του Hilbert (κεφάλαιο 2, σελ.44-45). Στην αρχή έγινε και η σύνδεση των Στοιχειωδών με τα Ανώτερα Μαθηματικά, σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο για την επιλογή του θέματος, όπως περιγράφεται στο δεύτερο κεφάλαιο. Οι φοιτητές, επαναδιατύπωσαν τα παραπάνω αξιώματα πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, και βρήκαν ποιά θα είναι στην περίπτωση αυτή τα σημεία και ποιές οι ευθείες. Κατά τον τρόπο αυτό από τα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την επιφάνεια της σφαίρας, πέρασαν στα αξιώματα της Ελλειπτικής Γεωμετρίας και σε ένα πρώτο μοντέλο αυτής. Το ζήτημα αυτό κυριάρχησε και σε μια συνάντηση των φοιτητών κατά την οποία ανταλλάσουν ιδέες για την διαπραγμάτευση του παραπάνω ζητήματος. Στην συνάντηση αυτή, η οποία αναλύεται στο επόμενο κεφάλαιο, γίνεται φανερό και το τρίτο από τα κριτήρια που θα πρέπει να πληροί το θέμα μας: μια ανακάλυψη-ορόσημο για τα μαθηματικά, που προκάλεσε συγκρούσεις και διαμάχες στην μαθηματική κοινότητα (Torretti, 1946, Russell, 1956) (τα ιστορικά στοιχεία έχουν περιγραφεί στο τρίτο κεφάλαιο), δημιούργησε με την διαπραγμάτευσή της στην τάξη (σχολική ή πανεπιστημιακή) αλληλεπίδραση μέσω συγκρούσεων των φοιτητών. Η 2 η φάση τελειώνει με την λήξη του εξαμήνου, κατά την οποία οι φοιτητές παρουσιάζουν τις εργασίες τους. 102

109 3 η Φάση Στην φάση αυτή συνεχίζουν δύο από τους συμμετέχοντες φοιτητές της προηγούμενης φάσης: ο Ορέστης και η Ηλέκτρα. Το project συνεχίζεται στα πλαίσια του μαθήματος Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί για ένα ακόμα εξάμηνο. Στόχος είναι η εύρεση ενός επίπεδου μοντέλου της Ελλειπτικής Γεωμετρίας και οι φοιτητές ξεκινούν ελέγχοντας τα υπόλοιπα αξιώματα στο μοντέλο που είχαν φτιάξει στην προηγούμενη φάση. Όπως και στα δύο πρώτα μέρη του διδακτικού πειράματος, σε όλη την διάρκεια του εξαμήνου γίνονταν συναντήσεις με τον Ορέστη και την Ηλέκτρα και συζητούσαμε την εξέλιξη της εργασία τους που στο τρίτο μέρος του πειράματος, είναι κοινή. Επιπλέον στην φάση αυτή, καταγράψαμε τις παρατηρήσεις και στο μάθημα στο οποίο συμμετείχαν οι φοιτητές. Στο τέλος ο Ορέστης και η Ηλέκτρα παραδίδουν την εργασία τους και στις τελικές παρουσιάσεις των project του συγκεκριμένου μαθήματος, παρουσιάζουν το μοντέλο τους στην φοιτητική αίθουσα. 103

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλύσουμε σημαντικά μέρη από τις φάσεις του διδακτικού πειράματος, όπως αυτό περιγράφηκε συνολικά στο προηγούμενο κεφάλαιο. Συγκεκριμένα θα αναλύσουμε διαλόγους από συναντήσεις των παιδιών στις οποίες ανταλλάσουν τις απόψεις τους πάνω στα θέματα με τα οποία έχουν ασχοληθεί, καθώς και γραπτά τους κείμενα. Υπενθυμίζουμε εδώ, τους τρείς τύπους χρήσης των γεωμετρικών εννοιών (βλέπε τρίτο κεφάλαιο) πάνω στους οποίους θα στηρίξουμε την ανάλυσή μας. 1 ος Τύπος: Οι γεωμετρικές έννοιες ως αντικείμενα αναπαράστασης της εμπειρίας. 2 ος Τύπος: Οι γεωμετρικές έννοιες ως αντικείμενα της παραδοσιακής σχολικής πρακτικής. 3 ος Τύπος: Οι γεωμετρικές έννοιες ως συστατικά μιας μαθηματικής θεωρίας Μέρος από την Πρώτη Φάση του πειράματος: Συντομότερη διαδρομή πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας: Απόδειξη και χρήση των γεωμετρικών εννοιών. Στην παράγραφο αυτή θα δούμε πώς οι φοιτητές στοιχειοθετούν μια απόδειξη και τον ρόλο που παίζει ο τύπος χρήσης γεωμετρικών εννοιών στην απόδειξη αυτή. Συγκεκριμένα θα αναλύσουμε αποσπάσματα από μια 104

111 συνάντηση στην οποία οι φοιτητές παρουσιάζουν τις προσπάθειες τους για την εύρεση της συντομότερης διαδρομής πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Αχιλλέας: (απευθύνεται στους συμφοιτητές του) Δεν ξέρω πόσες γνώσεις έχετε από Διαφορική Γεωμετρία, αλλά θα προσπαθήσω να σας εξηγήσω αυτά που θα χρειαστούμε. Να δούμε το τρίεδρο του Frenet. Αν είχαμε μια καμπύλη r r s, όπου s η φυσική παράμετρος (εξηγεί τους τύπους που έχει ήδη γράψει για το τρίεδρο του Frenet). Επίσης θα χρειαστούμε την καμπυλότητα d που δίνεται από τον τύπο k s 0 r s και εκφράζει τον τρόπο που ds η διεύθυνση της εφαπτομένης μεταβάλλεται πάνω στη καμπύλη...τον ρυθμό μάλλον με τον οποίο η διεύθυνση της εφαπτομένης μεταβάλλεται πάνω στη καμπύλη. Είναι μια σημαντική έννοια την οποία θα χρειαστούμε. Τώρα ας r r u, v. Πάνω περάσουμε σε επιφάνειες, και έστω έχουμε την επιφάνεια σε αυτήν μπορούμε να φέρουμε μια καμπύλη η οποία να ανήκει στο επίπεδο της επιφάνειας...μια τυχαία καμπύλη. Εκτός από το τρίεδρο Frenet μπορούμε σε κάθε σημείο της καμπύλης αυτής να ορίσουμε ένα άλλο τρίεδρο το οποίο λέγεται τρίεδρο Darboux. Αυτό αποτελείται επίσης από τρία διανύσματα 0, n g, N0 με 0 το εφαπτόμενο μοναδιαίο διάνυσμα της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και το ng καλείται γεωδαισιακή κάθετος και ορίζεται μέσα από την ισότητα 0 ng N0 με N 0 το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια. Στην συνέχεια θα ορίσουμε μια σημαντική έννοια, την έννοια της γεωδαισιακής καμπυλότητας. Ο ορισμός της γεωδαισιακής καμπυλότητας είναι kg k όπου k η καμπυλότητα Gauss, και θ η γωνία που σχηματίζουν τα N 0 και n0 (σχεδιάζει το παρακάτω σχήμα και εξηγεί): 105

112 N 0 b 0 0 n0 (σχήμα 4.1) Θα πάρουμε έτοιμους κάποιους τύπους γιατί είναι οι αποδείξεις μεγάλες. d n g kg 0 g N0 ds Ο τύπος αυτός προκύπτει από τους τύπους Frenet-Serret και g η γεωδαισιακή στρέψη...ένα μέγεθος παρόμοιο με την γεωδαισιακή καμπυλότητα. Πολλαπλασιάζουμε την τελευταία σχέση εσωτερικά με το 0 και έχουμε: dn g 0, kg 0, 0 g 0, N0 ds Αλλά το 0 είναι μοναδιαίο άρα 0, 0 1 Έτσι καταλήγουμε:, dng kg 0 ds άρα 0, N0 0. και 0 N0 dr Επίσης ng N0 0 N0 ds dr Έτσι αντικαθιστούμε στην ( 1) το ng N0 και παίρνουμε την παράγωγό ds του...όχι λάθος...ή μάλλον καλύτερα την 1 να την γράψουμε ισοδύναμα: (1) 106

113 k g d 0 ds dn g ds dn ds 0 0, ng (2) d ds k n g g n g k N k N 0 0 g 0 k n n 0 g g (3) (4) (5) Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά την (3) με t έχουμε: k g, dng (5) 0 ds Μάλλον δεν χρειαζόμαστε αυτήν την σχέση αλλά την ισοδύναμή της k g d 0, ng (6). ds Ο Π.Σ. (παρατηρητής ως συμμετέχων) παρεμβαίνει και ρωτάει γιατί οι (5) και (6) είναι ισοδύναμες. Μετά από κάποια σκέψη ο Αχιλλέας απαντά ότι ο τύπος (6) προκύπτει από τον τύπο (1) αφού πολλαπλασιάσουμε εσωτερικά με n g. Εντωμεταξύ, ο Αγαμέμνονας γράφει την δική του απάντηση και την δείχνει στην Σ.Π. (συμμετέχουσα ως παρατηρήτρια): a, b 0 a, b a, b 0 a, b a, b (Με a, b οποιεσδήποτε διαφορίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις a t, b t Ο Αχιλλέας συνεχίζει: Θα αποδείξουμε την πρόταση: Μια καμπύλη γ: r r s r u s, v s αποτελεί γεωδαισιακή της επιφάνειας S αν και μόνο αν n0 N 0 Αφού ο Αχιλλέας αποδεικνύει την παραπάνω πρόταση, συνεχίζει θεωρώντας την επιφάνεια της σφαίρας. ) 107

114 Τώρα η εξίσωση του κύκλου στην μοναδιαία σφαίρα είναι r r s s,0, s r s s,0, s r s s s r s,0, Όμως, από τα προηγούμενα, έχουμε άρα kn 0 r s. Και τι συμπεραίνουμε από αυτό; (απαντά ο ίδιος) Ότι n 0 N δηλαδή n N, 1 0, δηλαδή 0 0 n N. 0 0 Αγαμέμνονας: Ορίζουμε την συνάρτηση R R x x : 0, 2 0, R R όπου x είναι το μήκος του μικρότερου τόξου που αντιστοιχεί στην R σφαιρική χορδή x. Έστω A1, A2,, An με n 3 σημεία της σφαιρικής επιφάνειας. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι θα το γράψω τώρα και θα εξηγήσω αργότερα: A A 1 A0 A (1) R i i R k Ο Αγαμέμνονας αποδεικνύει την ανισότητα (1) (μια γενίκευση της γνωστής τριγωνικής ανισότητας για σφαιρικά τρίγωνα χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή. Έστω μια καμπύλη στον χώρο των τριών διαστάσεων με άκρα Α, Β. Προσπαθούμε να προσεγγίσουμε το μήκος της καμπύλης αυτής με πολυγωνικές γραμμές. 108

115 (σχήμα 4.2) γ i i1 i0 0, υπαρχει 0 : A x x x x B και x x n μ x x n i i1 Ο Αγαμέμνονας προσπαθεί να προσεγγίσει την καμπύλη πάνω στην σφαιρική επιφάνεια με τόξα μεγίστων κύκλων: Έστω τώρα το μήκος του μέγιστου κύκλου με άκρα τα A, B και το μήκος μιας τυχαίας γραμμής που συνδέει τα A, B. Θα αποδείξουμε ότι.προσεγγίζουμε το με σφαιρικές πολυγωνικές γραμμές Αν θεωρήσουμε ότι τότε χρησιμοποιώντας την (2) για μια κατάλληλη επιλογή σημείων xi πάνω στην σφαιρική επιφάνεια έχουμε: R i i1 A A, άτοπο λόγω της (1). Παρότι ο Αγαμέμνονας υπόσχεται ότι θα εξηγήσει τις επιλογές του, δεν το κάνει και οι συμφοιτητές του δυσκολεύονται να ακολουθήσουν τις ενέργειές του. Παρόμοια απόδειξη με αυτή του Αγαμέμνονα συναντάμε στον Lyusternik (1976) αλλά με διαισθητική προσέγγιση και χωρίς τυπική 109

116 μαθηματική γλώσσα. Ο ίδιος ο Αγαμέμνονας δεν γνωρίζει την ύπαρξη της απόδειξης αυτής και κατασκευάζει δική του απόδειξη με δικό του συμβολισμό. Η απόδειξή του εκφράζει έναν φορμαλιστικό τρόπο σύνταξης και φανερώνει την άνεσή του στην χρήση της τυπικής μαθηματικής γλώσσας. Το ίδιο έδειξε και η παρέμβασή του στην απόδειξη του Αχιλλέα όπου επικεντρώνεται σε μια ιδιότητα των διανυσματικών συναρτήσεων χωρίς να τον απασχολεί ποιες είναι οι συναρτήσεις αυτές (σελ. 107). Και οι δύο φοιτητές χρησιμοποιούν μια τυπική μαθηματική γλώσσα στα πλαίσια των ανώτερων μαθηματικών αν και με διαφορετικές επιμέρους τεχνικές (ο Αγαμέμνονας προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την μέθοδο της εξάντλησης). Ο Αχιλλέας όπως θα φανεί και στην συνέχεια χρησιμοποιεί τις γεωμετρικές έννοιες με τον τρίτο τύπο χρήσης, αλλά και με τον πρώτο. Για τον λόγο στην συγκεκριμένη απόδειξη λειτουργεί στο πλαίσιο της Διαφορικής Γεωμετρίας η οποία στο επίπεδο της θεωρίας επιφανειών συνδέεται ακόμα με την εμπειρία. Ο Αγαμέμνονας λειτουργεί αυστηρά σύμφωνα με τον τρίτο τύπο χρήσης και δυσκολεύεται τόσο να παρακολουθήσει τον τρόπο που σκέφτονται οι συμφοιτητές του, όσο και να τους εξηγήσει πως σκέφτεται ο ίδιος. Στην συνέχεια θα αναλύσουμε την απόπειρα απόδειξης του Πάρη (όπως την παρέδωσε στην γραπτή εργασία του) στην οποία φαίνεται η έντονη επιρροή της σχολικής γεωμετρίας και πως μια απόδειξη δεν ολοκληρώνεται σε ένα τέτοιο πλαίσιο. Πάρης: Θα δείξουμε ότι η συντομότερη διαδρομή πάνω στην Γη εάν θεωρηθεί σφαιρική από έναν τόπο Α σε έναν τόπο Β είναι αυτή του μήκους τόξου (ΑΒ) του μέγιστου κύκλου που περνάει από τους τόπους Α και Β. Ενώ οποιαδήποτε άλλη διαδρομή πάνω σε μικρότερο κύκλο είναι μεγαλύτερη. 110

117 (σχήμα 4.3) Τα Α και Β δεν είναι αντιδιαμετρικά. Συνεπώς περνάει από αυτά ένας και μοναδικός μέγιστος κύκλος. Η χορδή που ενώνει τα Α και Β είναι μοναδική και για τους δύο κύκλους. Έστω (K,R) ο μέγιστος κύκλος και (K, R ) ο μικρός κύκλος. Φέρνω τους δύο κύκλους στο ίδιο επίπεδο ώστε τα κέντρα Κ και Κ να συμπέσουν (ομόκεντροι). (σχήμα 4.4) 111

118 Φέρνω την μεσοκάθετο ΜΚ η οποία χωρίζει την χορδή και το τόξο ΑΒ του μέγιστου κύκλου σε (δύο) ίσα μέρη. Η ΜΚ θα χωρίζει και την Α Β σε ίσα μέρη. Αφού δεν μπορώ να συγκρίνω τόξα διαφορετικών κύκλων, αν προεκτείνω κατάλληλα τις πλευρές Κ Α και Κ Β θα τέμνουν τον μέγιστο κύκλο (K, R) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Το τόξο (Α Β ) του μέγιστου κύκλου (K, R) θα είναι το αντίστοιχο του τόξου (Α Β ) του κύκλου (Κ, R ) αφού θα έχουν τις ίδιες επίκεντρες γωνίες. Συνεπώς το τόξο (ΑΒ) του μέγιστου κύκλου θα είναι πάντα μικρότερο από το (Α Β ) αφού η επίκεντρη γωνία φ του (Α Β ) θα είναι μεγαλύτερη από την θ του (ΑΒ). Έτσι το αντίστοιχο τόξο του μικρού κύκλου (Κ, R ) θα είναι πάντα μεγαλύτερο από το (ΑΒ) του μεγάλου κύκλου. Καταλήγει στα εξής Θεωρήματα : Θεώρημα Ι : Επομένως, οποιοσδήποτε μικρότερος κύκλος με ίση χορδή με το μέγιστο θα έχει πάντα μεγαλύτερο μήκος τόξου από αυτόν και αυτό γιατί ο μικρότερος κύκλος με την ίδια χορδή έχει μεγαλύτερη καμπυλότητα. Θεώρημα ΙΙ: Επίσης σε οποιοδήποτε μέγιστο κύκλο με δύο χορδές από τις οποίες η μία είναι μεγαλύτερη της άλλης τότε και το τόξο που αντιστοιχεί στη μία θα είναι μεγαλύτερο του τόξου της άλλης και αυτό γιατί η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη χορδή θα είναι μεγαλύτερη από την άλλη. Συνεχίζει προσθέτοντας: Από κάθε σημείο πάνω στη Γη περνάνε άπειροι μέγιστοι κύκλοι. Άρα υπάρχουν άπειρες διάμετροι. Κάθε διάμετρος έχει (αντιστοιχεί σε) άπειρους κύκλους και κάθε μέγιστος κύκλος χωρίζει τη Γη σε δύο ημισφαίρια. Σε κάθε ημισφαίριο υπάρχουν άπειροι μικροί κύκλοι παράλληλοι στον μέγιστο κύκλο που χωρίζει τη Γη σε δύο ημισφαίρια. Άρα από δύο μη αντιδιαμετρικά σημεία θα περνάει τουλάχιστον ένας μικρός κύκλος. 112

119 (σχήμα 4.5) Επομένως οποιαδήποτε και αν είναι η καμπύλη μας πάνω στη Γη αυτή κατά κατάλληλα τμήματα θα ανήκει σε τόξα μικρών ή μέγιστων κύκλων. Θα δείξουμε ότι για οποιαδήποτε διαδρομή από έναν τόπο Α σε έναν τόπο Β (Α, Β μη αντιδιαμετρικά) η συντομότερη διαδρομή θα είναι αυτή του μέγιστου κύκλου που περνάει από τα Α και Β. Η διαδρομή μας είναι από τον τόπο Α στον τόπο Β. Έστω ότι πάμε από τον τόπο Α στον τόπο Γ και ύστερα στον τόπο Β. (σχήμα 4.6) 113

120 Τα Α, Β, Γ δεν είναι ποτέ συνευθειακά, διότι η τομή μιας ευθείας με μια σφαίρα εσωτερικά είναι δύο σημεία πάνω στη σφαίρα. Τα Α, Β, Γ είναι ανά δύο μη αντιδιαμετρικά, έτσι από τις χορδές ΑΓ και ΓΒ θα περνάει τουλάχιστον ένας μικρός και ένας μέγιστος κύκλος για κάθε μία από αυτές. Εάν μπορούσαμε να δούμε πανοραμικά και μέσα από τη γη θα βλέπαμε τις χορδές ΑΒ, ΑΓ, ΓΒ και τους μικρούς και μέγιστους κύκλους όπως στο σχήμα. (σχήμα 4.7) Σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα ΑΒ<ΑΓ+ΓΒ. Τώρα φέρνουμε τον μέγιστο κύκλο (Κ, R) της χορδής ΑΒ και τους μικρούς (Κ, R ) και (Κ, R ) των ΑΓ και ΓΒ αντίστοιχα στο ίδιο επίπεδο και ομόκεντρους. (σχήμα 4.8) Και εδώ ο Πάρης προεκτείνει τις ακτίνες των κύκλων για να βρει τα αντίστοιχα τόξα. Καταλήγει στο εξής: 114

121 Θεώρημα ΙΙΙ: Το άθροισμα των μηκών τόξων των χορδών ΑΓ και ΑΒ που ανήκουν σε τυχαίους μικρούς κύκλους είναι πάντα μεγαλύτερο από το μήκος τόξου της χορδής ΑΒ ενός μέγιστου κύκλου. Στην περίπτωση όπου τα τόξα των ΑΓ και ΒΓ ανήκουν σε μέγιστους κύκλους, πάλι φέρνει το σχήμα στο ίδιο επίπεδο μεταφέροντας τις χορδές ΑΒ, ΑΓ, και ΓΒ ξεχωριστά την κάθε μία: (σχήμα 4.9) Τελευταία περίπτωση, έστω ότι η διαδρομή που ακολουθούμε είναι πολύ περίπλοκη για να πάμε από τον Α τόπο στον Β. Την διαμερίζω σε n σημεία μη αντιδιαμετρικά μεταξύ τους κατάλληλα ώστε ανά δύο να ανήκουν σε τόξα μικρών ή μέγιστων κύκλων. Θα συγκρίνουμε την διαδρομή αυτή με το μήκος του μέγιστου κύκλου της χορδής του ΑΒ. Έστω ότι τα n σημεία είναι τα Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τότε αφού ενώσω μέσα από την Γη τις χορδές ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΒ, με κατάλληλες περιστροφές των χορδών και των τόξων των διάφορων μικρών ή μέγιστων κύκλων τα φέρνω στο επίπεδο. 115