ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ. 1. Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί 4573 και στην πλησιέστερη α) δεκάδα και β) χιλιάδα.

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ 1. Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί 4573 και στην πλησιέστερη α) δεκάδα και β) χιλιάδα.. Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί στην πλησιέστερη α) εκατοντάδα και β) χιλιάδα: Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός στην πλησιέστερη α) δεκάδα β) εκατοντάδα γ) χιλιάδα.. 4. Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός στην πλησιέστερη α) δεκάδα β) εκατοντάδα γ) χιλιάδα.. 5.Στρογγυλοποιήστε στην πλησιέστερη χιλιάδα τους αριθμούς: 84885, , Να συμπληρωθούν τα κενά 1) Φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί ) Άρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που.. 3) Περιττοί λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που 7. Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί : 98, 317, 13, 16, 351, 8, 546, 7, 4, 09 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ταξινομώντας τους αριθμούς αυτούς σε άρτιους και περιττούς. ΑΡΤΙΟΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ 1

2 8. Στον αριθμό το 7 είναι.. το 6 είναι το 5 είναι. Το 4 είναι.. το 3 είναι το είναι 9. Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο αριθμών λέγεται. 10. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο αριθμών λέγεται 11. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο αριθμών λέγεται.. 1. Συμπλήρωσε τις πράξεις = = = = ΠΡΑΞΕΙΣ. Να υπολογίσετε τα γινόμενα: α) β) γ) δ) Να συμπληρώσετε τα κενά Αν α+β=5 και γ+δ=13 να υπολογίσετε τα αθροίσματα α β = γ δ =... α + δ β γ = Να γίνουν οι πράξεις: α) 73-(5-45) β) 68-(14+6) γ) (35+45)-30

3 δ) (73-5)-45 ε) (68-14)-6 στ) (35-30) Αν x= ,y= ,ω=y-x-8 να βρεθούν οι διαφορές: α) y-x β) y-ω γ) x-ω. 7. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας: α) β) Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα: α) β) γ) Αν χ+ψ=6, να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : Α=χ+4+6+ψ Β=3 ( χ+1 ) +6 ( 3- ) +3ψ 10. Να υπολογίσετε με τη βοήθεια της επιμεριστικής τα παρακάτω γινόμενα = = = = χ χ =... 1 ( χ + ) = ( α β ) = Να υπολογίσετε με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας 3 ( χ + y) + ( x+ y) = 3 (3x y) + 3 (x 3 y) = 1. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις με δυο τρόπους α) 7 ( ) β)

4 13. Να γίνουν οι πράξεις με τη βοήθεια επιμεριστικής ιδιότητας αν α + β = 10 ( α β) ( α β) = β 14. Αν a + = 16, β + γ = 7 και γ + α = 13 να υπολογίσετε τα αθροίσματα α + β γ α + 1+ β + γ = και 4 + α + (7 + β ) + (5 + α ) + ( γ + 4) = + = και α + β = 30 να βρεθεί η τιμή της παράστασης 7α κ + 8+ λ + 7β 15. Αν κ λ 0 ΔΥΝΑΜΕΙΣ -ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.Δύναμη του α στη ν λέγεται. Το α λέγεται Το ν λέγεται. Τετράγωνο του α λέγεται Κύβος του α λέγεται..η προτεραιότητα των πράξεων είναι α).. β).. γ).. δ) 3. Να γράψετε σύντομα τις παρακάτω παραστάσεις α) β) 8*8*8*8*8*8 γ) α+α+α+α+α+α+α δ) α α α α ε) ω + ω + ω 4

5 4. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις = = = = = = = = 5. Να γράψετε με τη μορφή δυνάμεων τα γινόμενα χ χ χ χ χ = 6. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις = ( ) (7 1 ) = (5 + 3 ) = ( ) 5 3 ( 3) = 7. Αν 3 3 Α = (5 ) ( 3) και 4 Β = 5 (3 ) 3 (5 ) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων ( Α+Β) 5 ( Α Β) 5 Β Α Α Β 5

6 8. Να γίνουν οι πράξεις: α) (11+9) -(8+5) β) (143-43) Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: α) 8*1-17+9*13-5 β) 96-8*9+8*14-3 γ) 13*15-7*1-3(11-8) δ) 7(8+6)-9*4+6*8 (Απ:α)171,β)104,γ)10,δ)110). 10. Να γίνουν οι πράξεις : ( ) ( ) α) ( ) ( ) 4 3 β) Εφαρμόζοντας τους κανόνες που ισχύουν για την προτεραιότητα των πράξεων, να υπολογίσετε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: α) (3 +1)+4 5 β) 3 (1+3 ) γ)8+ +3 (14+6) δ) ε) 15 (8 +6 ) 4 10 στ)3 +18 ζ) 46 3 η) 13+4 (8 3 ) θ) ( ) 4 1. Αν α= ,β= ,γ)=4 +3-1,να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων Κ=α +β +γ και Λ=α 3 -β 3 +γ 3. (Απ:Κ=9,Λ=83) Αν x= ( 3 - ) και ψ=3 ( 4-5 3), να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : ( ) Α=8 χ + ψ - ψ-χ και Β=χ +ψ +005 ψ χ ψ-χ 14. Nα υπολογιστούν οι παραστάσεις : Α =

7 Β = 4 (6 3) 3(4 3) Γ = (3 3) + 3 (3+ 3) = 1 ( + 4) + 4(7 + 6) 7 (6 5) Nα υπολογιστούν οι παραστάσεις : 0 Α= (6 : 3 4) Β= 3 + ( 4 ) : (3 7) 5 4 Γ= + ( : 4) (5 6 ) 5 0 Δ= ( + 6 ) : 3 (5 4 ) 16. Αν είναι x=7,y=6x+5,ω=4x-3,να υπολογισθούν οι παραστάσεις: α) x+y-ω β) xy-ωx+yω γ) xyω+xy Αν α=8,β=9 γ=5 να υπολογισθούν οι παραστάσεις: Α=α(β+γ)+β(α+γ)+γ(α+β) Β=αβ++βγ+γα-69 Γ=(β-α)(β-γ)(α-γ)+78 Δ=(β-α)(β+α)+(β+γ)(β-γ)+(α-γ)(α+γ) 18. Αν x= ,y= ,ω= να βρεθεί η παράσταση Α=(x-y)+(x-ω)+(y+ω). 19. Αν x=(7-13)+(5-44)+(85-39), y=( )+( ) και ω=x+y-95,να βρεθεί η παράσταση Α=(x-ω)+(y-ω). 0. Να υπολογιστούν οι αριθμοί χ, y και ω: x = 8 3 = y ω = Για τα παραπάνω χ,y,ω που βρήκατε να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= ( 6 x ω ) ( y 3 x ) 3 ( ω + x 3 y) Β= 3 y y Γ = ( y + 5 ω x ) + (5 y + 1 x ) + ( x ω y 13) 7

8 1. Να υπολογισθούν οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: Α=57-6 : Β=9 -(5 +6 )+7:1-3*8 Γ= 3 :(5 )+15:(3 ) Δ=6+: 1 ( 3 1) Ε=( ):(5 6 ). Να υπολογισθούν οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: Α=1(6+13)-5(39-33) Β=13 -(8 +5 )+( )( ) 3. Να γίνουν οι πράξεις: α) 66:11+14:4+7:9 β) (1*9):6+(8*15):5-56:7 γ) (3+47):(16-6)+(50-130):(7+5) 4. Να υπολογιστούν οι αριθμοί : 4 3 ( 3 ) (4 3 ) 3 (9 1) : + ( 3) 4 3 χ= ψ= Α. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : 3 α= ( 4 3 ) (3 5 ) β= ( 3 ) + (4 3 ) 0 Β. Για τους αριθμούς α,β που βρήκατε,να υπολογίσετε την παράσταση : Χ= β ( α 3 β + 1) 007 ( 4 β α) ( a 3 β ) 6. Να υπολογιστούν με τη βοήθεια της επιμεριστικής 6 6 Α = = Β = = 8

9 7. Ομοίως Α = Β = ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ-ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: α) 57 / 37 β) 7708 / 8 γ) 588 / 14 δ) 5645 / 3.. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: α) 908 / 17 β) 7568 / 53 γ) 7609 / 65 δ) 4839 / Να υπολογισθεί: α) Πόσα πουκάμισα θα αγοράσουμε με 1900 δρχ.,αν το ένα κοστίζει 4800 δρχ. β) Πόσα κιβώτια αναψυκτικών χρειαζόμαστε για να θέσουμε 810 φιάλες αναψυκτικά σε κιβώτια που χωράνε 18 φιάλες γ) Ποιά μέρα θα είναι μετά από 3 μέρες,αν σήμερα είναι Τετάρτη δ) Η πλευρά τετραγώνου που έχει περίμετρο 148 μέτρα. 4. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω ισότητες εκφράζουν ταυτότητα ευκλείδειας διαίρεσης 93= = = = Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ισότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης Δ=δ π+υ, σε κάθε περίπτωση: α) 18:5 β) 47:8 γ) 73:4 δ)610:9 6.Ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες Διαιρέσεις; α) 5= 8+9 β) 356= γ) 8=4 7 9

10 7. Σύμφωνα με την ευκλείδια διαίρεση να υπολογισθούν: α) Ποιά μέρα θα έχουμε μετά από 68 μέρες,αν σήμερα είναι Δευτέρα β) Σε πόσες αυγοθήκες των 30 θέσεων μπορούμε να συσκυάσουμε 847 αυγά. 8. α) Να βρεθεί ένας φυσικός αριθμός ο οποίος όταν διαιρεθεί με το 5 δίνει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 4. β) Να βρεθεί ένας φυσικός αριθμός ο οποίος όταν διαιρεθεί με το 6 δίνει πηλίκο 7 και υπόλοιπο Διαιρώντας το 189 με κάποιον φυσικό αριθμό διάφορο του μηδέν, βρίσκουμε πηλίκο 13 και υπόλοιπο. Αν ο διαιρέτης είναι διπλάσιος του υπολοίπου, να βρεθούν ο διαιρέτης και το υπόλοιπο. ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ-ΜΚΔ-ΕΚΠ 1. Συμπληρώστε τα κενά με τα κατάλληλα ψηφία έτσι ώστε : ο αριθμός που θα προκύψει να διαιρείται με το 3 : 1_65 Όμοια ώστε ο 3_48_, να διαιρείται με το 5 και το 3 ταυτόχρονα. Όμοια ώστε ο 1_8_, να διαιρείται με το,3,5 ταυτόχρονα.. Συμπληρώνοντας τα τετράγωνα με τα κατάλληλα ψηφία να γραφούν ολοι οι τετραψήφιοι αριθμοί που διαιρούνται συγχρόνως με το 5 και το Να συμπληρώσετε το κενό ώστε ο αριθμός 73. να διαιρείται με το και το 3. 10

11 4. Να συμπληρωθεί ο πίνακας Διαιρείται με το Διαιρείται με το 3 Διαιρείται με το 5 Διαιρείται με το Διαιρείται με το Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους αριθμούς α) 3 4 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 9. β) 1 3 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το και το 3. γ) 4 1 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το Συμπληρώστε τους αριθμούς που λείπουν ώστε ο αριθμός: i) 57_ να διαιρείται με το και το 5 ii) 4 να διαιρείται με το 3 και το 5 iii) 5 να διαιρείται με το 3 και το 9 iv) 1 0 να διαιρείται με το 5 και το 3 v) 13_ να διαιρείται με το και το 3 vi) 888_ να διαιρείται με το 9 7. Απαντήστε με ΝΑΙ ή ΟΧΙ ανάλογα με το αν είναι τέλειες οι διαιρέσεις. i) 04 : ii) 059 : 5 iii) 169 : 3 iv) 001 : 3 v) 001 : 9 vi) 5644 : 9 vii) 5643 : 9 viii) 643 : 3 ix) 108 : 9 x) 108 : 11

12 8. Να γράψετε α) τα πολλαπλάσια του 13 που είναι μικρότερα του 10 β) τα πολλαπλάσια του 14 που είναι μεταξύ των αριθμών 30 και Να γράψετε α) το σύνολο των πολλαπλασίων του 8 και 1 και 0 β) το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων των 8,1 και 0 γ) το ΕΚΠ (8,1,0). 10. Να αναλθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων οι αριθμοί α) 55 β) 7 γ) 154 δ) Να βρείτε το Ε.Κ.Π και το Μ.Κ.Δ των παρακάτω αριθμών α) 1, 16, 4 β) 14, 1, 35 γ) 4, 7, Να υπολογισθεί το ΕΚΠ των α) 19,38 και β) 5,6,8 13. Να βρεθεί ο ΜΚΔ των αριθμών: α) 4 και 3 β) 45,60,75 γ) 5, 15 δ) 17, 11 ε) 81, 7 14.Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 60 και 70,και να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ τους. 15.Να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 1080,600,180 με ανάλυση πρώτων παραγόντων 16. Δίνονται οι αριθμοί : α= 3 5, β= 3 7, γ= 3 7 Να βρεθούν το Ε.Κ.Π. και ο Μ.Κ.Δ. των φυσικών αριθμών α,β,γ. 17. Α. Να γραφούν οι αριθμοί 180,150 και 168 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Β. Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. των αριθμών του παραπάνω ερωτήματος. 1

13 18. Δίνονται οι αριθμοί α = ( 3 ) 3 ( 5 3 7) 10 : ( 3 8) ( ) : ( 1) β = + + Να βρείτε το Μ.Κ.Δ και το Ε.Κ.Π των α και β. 19. Ένας βιβλιοπώλης έχει 4 μολύβια και 18 γόμες και 1 ξύστρες. α) Πόσα το πολύ όμοια πακέτα μπορεί να φτιάξει χρησιμοποιώντας όλα τα είδη που έχει χωρίς να περισσέψει κανένα ; β) Πόσα μολύβια, πόσες γόμες και πόσες ξύστρες θα περιέχει καθένα από αυτά τα πακέτα; γ) Μπορούν να σχηματιστούν 9 τέτοια πακέτα και γιατί ; 0. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 7 αγόρια και 108 κορίτσια και θέλουν να χωριστούν σε μικτές ομάδες αγοριών και κοριτσιών. Σε κάθε ομάδα πρέπει να υπάρχει ο ίδιος αριθμός αγοριών και κοριτσιών. Α) Πόσες το πολύ ομάδες μπορούν να δημιουργηθούν; Β) Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια θα υπάρχουν σε κάθε ομάδα; 1. Ένας μαθητής ρωτήθηκε πόσους βώλους έχει και απάντησε ότι αν τους μετρήσει ανά 4 ή ανά 7 ή ανά 14 δεν περισσεύει κανένας.αν γνωρίζουμε ότι έχει περισσότερους από 130 και λιγότερους από 150, πόσους βώλους έχει ο μαθητής ;. Ένας ανθοπώλης διαθέτει 198 κόκκινα τριαντάφυλλα, 75 ροζ τριαντάφυλλα και 13 άσπρα τριαντάφυλλα. Πόσες το πολύ,όμοιες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει και πόσα κόκκινα,ροζ και άσπρα τριαντάφυλλα θα έχει κάθε ανθοδέσμη χωρίς να περισσεύει κανένα λουλούδι ; 3. Αν έχουμε 64 άνδρες, 5 γυναίκες και 10 παιδιά σε πόσες το πολύ ομοιόμορφες ομάδες δηλ. σε ομάδες που κάθε μία έχει ίδιο αριθμό ανδρών, γυναικών και παιδιών, και πόσους άνδρες, γυναίκες παιδιά έχει κάθε ομάδα ; 13

14 4. Ένας ανθοπώλης έχει 3 τριαντάφυλλα, 56 γαρύφαλλα και 7 μαργαρίτες. Πόσες το πολύ ίδιες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει με όλα αυτά τα λουλούδια και πόσα λουλούδια από το κάθε είδος θα έχει ανθοδέσμη ; 5. Έχουμε 36 ίδια βιβλία, 30 τετράδια και 1 στυλούς. Πόσα το πολύ όμοια δέματα θα φτιάξουμε και πόσα βιβλία, τετράδια, στυλούς, θα έχει το κάθε δέμα; ΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ 1. α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες. α+0=.. α 1=. α-α=.. α:α=. 0 α=. 0:α=. Το α είναι ένας αριθμός διαφορετικός του 0. β) Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση: Η παράσταση α+α+α είναι ίση με: Α: α 3 Β: 3α Γ: α Δ: 0 Η παράσταση α α α είναι ίση με: Α: α 3 Β: 3α Γ: 1 Δ: α Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 0,01 μεταφέρουμε την υποδιαστολή του: Α: προς τα δεξιά θέσεις Β: προς τα αριστερά 1 θέση Γ: προς τα δεξιά 1 θέση Δ: προς τα αριστερά θέσεις Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 μεταφέρουμε την υποδιαστολή του: Α: προς τα δεξιά θέσεις Β: προς τα αριστερά 1 θέση Γ: προς τα δεξιά 1 θέση Δ: προς τα αριστερά θέσεις 14

15 ΘΕΜΑ. α) Αν α ένας αριθμός πως ονομάζεται το γινόμενο ααα.α (ν παράγοντες); β) Να αντιστοιχήσετε κάθε στοιχείο της α στήλης του παρακάτω πίνακα με ένα στοιχείο της β στήλης του συμπληρώνοντας τον ο πίνακα. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. α α: κύβος του α. α 3 β: τετράγωνο του α 3. α 4 γ: τέταρτη δύναμη του α 1 3 γ) Να συμπληρώσετε τις δυνάμεις του 10: 10 1 = 10 = 10 6 = 10 3 = 10 4 = 10 8 = ΘΕΜΑ 3. α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες; α(β+γ)=.. αβ-αγ= αβ+αγ=.. α(β-γ)= Ποια ιδιότητα αποτελούν αυτές οι 4 ισότητες; ΘΕΜΑ 4. α) Στην ισότητα α:β=γ Διαιρετέος είναι ο αριθμός. Διαιρέτης είναι ο αριθμός Πηλίκο είναι ο αριθμός β) Στην διαίρεση ποιος αριθμός δεν πρέπει να είναι 0; Ο διαιρετέος, Ο διαιρέτης, ή Το πηλίκο ; γ) Ποια διαίρεση ονομάζεται ευκλείδεια; 15

16 ΘΕΜΑ 5. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι; Ποιος είναι ο μοναδικός άρτιος που είναι πρώτος; β) Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας; γ) Είναι σωστό ή λάθος; Κάθε πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού διαιρεί αυτό τον αριθμό Ένας φυσικός αριθμός που διαιρεί δυο άλλους αριθμούς θα διαιρεί και το άθροισμα τους και τη διαφορά τους και το γινόμενο τους. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί αναλύονται σε γινόμενο πρώτων αριθμών. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Αν χ= και να βρείτε το όπου A = ( x+ y) x + y. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 18, 175, 468, Να βρείτε το Ε.Κ.Π και το Μ.Κ.Δ των αριθμών α) 48, 64 β) 56, 140, Να βρείτε το Ε.Κ.Π και το Μ.Κ.Δ των αριθμών 37, 111, 5 5. Από τους αριθμούς 144, 14, 750, 108, 4190 να βρείτε αυτούς που διαιρούνται με το α) β) 5 γ) 10 δ) 3 6. Να γραφούν πιο σύντομα α) χ+χ+χ+χ= β) x x x x x = y = ) Να γίνει η διαίρεση και να γραφεί η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης 71: 8 8) Να γραφούν με τη μορφή δυνάμεων οι αριθμοί 64= 36=.. 49= = 16

17 9) Να βρεθούν τα τετράγωνα και οι κύβοι των αριθμών 3, 5, 8 10) Να γραφούν στην αναπτυγμένη τους μορφή οι αριθμοί α) 175 β) 1543 γ) ) Να βρείτε τους αριθμούς που είναι μικρότεροι του 30 και όταν διαιρεθούν με το 3 αφήνουν υπόλοιπο Να γίνει η επιμεριστική ιδιότητα ( χ y) = 3 ( x+ 6) = 5 x+ 5 = ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΕΝΝΟΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 7 1. Ένα σχολείο έχει 440 μαθητές.να βρείτε πόσοι είναι τα των 8 μαθητών.. Στη σχολική εκδρομή θα συμμετάσχουν τα από τους 00 μαθητές του σχολείου. Πόσοι μαθητές δεν θα συμμετάσχουν στην εκδρομή; 5 3. Αν τα των μαθητών ενός σχολείου είναι 35 μαθητές,να βρεθεί 6 πόσους μαθητές έχει το σχολείο. 4. Ένας γεωργός έχει 400kg σιτάρι στις αποθήκες του και πούλησε τα 7 του σιταριού.πόσα kg σιτάρι πούλησε και πόσα έμειναν στις 1 αποθήκες; 17

18 5. Ένα γυμνάσιο έχει 450 μαθητές από τους οποίους τα 9 5 είναι αγόρια και τα άλλα κορίτσια.πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια; 6. Από ένα κατάστημα που κάνει έκπτωση ίση με το 4 1 της αξίας των ειδών του,αγοράσαμε μια ζώνη που είχε 1400 δρχ. πριν από την έκπτωση.να βρεθεί πόσο θα αγοράσουμε την ζώνη. 7. Να βρείτε το Να βρείτε τα 3 5 του αριθμού 45 των 300 ευρώ 9. Τα 3 των μαθητών της Α τάξης ενός γυμνασίου είναι 36 μαθητές. 7 Πόσοι είναι όλοι οι μαθητές; 10. Τα 3 ενός βιβλίου είναι 34 σελίδες. 4 Α) Πόσες σελίδες είναι όλο το βιβλίο; Β) Πόσες σελίδες είναι όλο το βιβλίο; 11. Τα 3 5 των χρημάτων που έχει ο Γιάννης είναι 10 ευρώ. Να βρείτε τα 5 8 των χρημάτων. 1. Η κυρία Γεωργία έχει 15 κιλά αλεύρι. Από αυτά χρησιμοποίησε τα 3 5 για να φτιάξει κέικ. Από το αλεύρι που περίσσεψε χρησιμοποίησε τα 3 για να φτιάξει κουλούρια.πόσα κιλά αλεύρι περίσσεψαν τελικά; 13. Τα 4 λίτρα λάδι κοστίζουν 0 ευρώ. Να βρείτε πόσο κοστίζουν τα 4 5 λίτρα λάδι. 14. Ένας μανάβης αγόρασε 15 κιλά φρούτα και πούλησε τα 137 κιλά ενώ τα υπόλοιπα σάπισαν. Ποιο μέρος σάπισε; 18

19 15. Το 1 μίας διαδρομής γίνεται σε 45 λεπτά. Σε πόση ώρα γίνεται 10 όλη η διαδρομή; 16. Πόσα cm είναι τα 5 του μέτρου; 17. Τα 3 13 μίας διαδρομής είναι 36 km.να βρείτε α)πόσα km είναι όλη η διαδρομή και β) πόσα km είναι τα 3 της διαδρομής. 4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1. Το κλάσμα 8 1 να τραπεί σε ισοδύναμο κλάσμα που να έχει παρονομαστή τον αριθμό α) 16 β) 3 γ) 56 δ) 80 ε) 144 στ) Το κλάσμα 6 5 να τραπεί σε ισοδύναμο κλάσμα που να έχει παρονομαστή τον αριθμό α) 18 β) 36 γ) 48 δ) 7 ε) 10 στ) Το καθένα από τα κλάσματα,,,,,,, ισοδύναμο κλάσμα με παρονομαστή το 10. να τραπούν σε 4. Να μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με παρονομαστή: α) 100 β) 4 γ) 40 δ) 0 5. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι ισοδύναμα: α) και β) και γ) και δ) και 6. Για τους αριθμούς α, β ισχύει ότι Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: Αν ο αριθμός β είναι ο 15 τότε ο αριθμός α =.. Αν ο αριθμός β είναι ο 1 τότε ο αριθμός α =.. Αν ο αριθμός α είναι ο 00 τότε ο αριθμός β =.. 19

20 7. Να βρείτε τα α, β, γ,δ ώστε τα κλάσματα α δ,,,, 15 β 30 γ 10 να είναι ισοδύναμα. 8. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα: 17 α) 34 4 β) γ) δ) 84 7 ε) στ) Να απλοποιηθούν τα κλάσματα: Α= Β= (3+ 37) : (36 3) + 3 (1 + 6)3 7 α + 35α Γ=. 8α 10. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσματα: α) β) γ) 11. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσματα ( 3 ) 1 α) β) 3 ( 5 4) δ) ( ) 1. Να μετατρέψετε σε ανάγωγο το παρακάτω κλάσμα 3 3 ( 1) + 9+ ( ) 3 ( 5 ) ( 3 3 ) + 7 ( 3 3) 13. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα α) β) 3 5 α β γ 4 3 α β γ 14. Να κάνετε ομώνυμα τα παρακάτω κλάσματα και ( ) Να γίνουν ομώνυμα τα κλάσματα,. 0

21 16. Να τρέψετε τα κλάσματα παρονομαστή το 96., , Να τρέψετε σε ομώνυμα τα κλάσματα: α) 3, 5 7, β) 13, , 5 σε ομώνυμα με κοινό γ) 11, , 0 5 δ) 9 3,, ε) 1, 13, Να τρέψετε σε ομώνυμα τα κλάσματα: α) δ) 4, , 3 4 β) ε) 7, , γ) 7 5, Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ομώνυμα: α) και β) και γ) και δ) και 0. Συμπληρώστε τα κενά με κατάλληλο αριθμό, στα παρακάτω κλάσματα, ώστε να προκύψουν ομώνυμα κλάσματα:,., :, ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 1. Να συγκρίνετε τα παρακάτω κλάσματα α) ,,, β) 1 5,,, Να συγκρίνετε τα κλάσματα: α) 3 7, β) 5 5, γ),. 1

22 3. Να γραφούν στη σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο τα κλάσματα: α) 7, , β),,. 4.Να γράψετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω κλάσματα:,,,, και 5. Ομοίως να γράψετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω κλάσματα:,, και 6. Δίνονται οι αριθμοί 3 α = 3+ 5 ( 5 3) : 7 και ( ) ( ) β = , να βάλετε σε αύξουσα σειρά α β τους αριθμούς 1,, β α 7.Αν α, β, γ διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί με 1<α<β<γ να συγκρίνετε με το 1 τα παρακάτω κλάσματα:,,, 8. Να συγκριθούν με τη μονάδα τα κλάσματα , , Αν γνωρίζετε ότι ο φυσικός αριθμός x είναι μεγαλύτερος του 1, να συγκρίνετε τα παρακάτω κλάσματα με τη μονάδα: α) β) γ) δ) 10. Να βρείτε ένα κλάσμα που βρίσκεται μεταξύ των κλασμάτων α) 1 7 και β) 7 11 και 8 11 γ) 3 και 3 4

23 11. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 8 7 και μικρότερο από το Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά με κατάλληλο κλάσμα: α) β) γ) δ) 1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 1. Να βρεθούν τα αθροίσματα: α) β) + γ) + δ) Να βρεθούν με τον απλούστερο τρόπο τα αθροίσματα: Α= Να βρείτε τις διαφορές: α) και Β= β) γ) δ) Να βρείτε τις διαφορές: α) β) 5. Να κάνετε τις πράξεις γ) Να κάνετε τις πράξεις

24 7.Να γίνουν οι πράξεις α) β) Ο Γιώργος αγόρασε ένα βιβλίο που άξιζε 30 ευρώ και ο βιβλιοπώλης του έκανε έκπτωση ίση με τα 3 της αξίας του βιβλίου. Να βρείτε : 10 α) Πόσα ευρώ ήταν η έκπτωση β) Πόσα ευρώ πλήρωσε για το βιβλίο. 9. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α = Να κάνετε τις πράξεις Α = Να υπολογίσετε τον αντίστροφο του κλάσματος :

25 1. Να βρεθεί ο αντίστροφος του αριθμού: 1 α) 13 β) 15 1 γ) 3 δ) Να βρεθούν τα πηλίκα: α) 7 : 9 5 β) 8 1 : 13 7 γ) 19 5 : δ) :. 14. Να βρεθεί με ποιόν αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο αριθμός 7 1 για να μας δώσει γινόμενο α),β),γ) Να γίνουν απλά τα σύνθετα κλάσματα: 3 5 α) 5 β) 9 7 γ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Άσκηση 1: 1) Για να διαιρέσουμε δυο κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο ) Το σύνθετο κλάσμα α β γ δ ισούται με. 3) Αντίστροφα λέγονται δύο κλάσματα που έχουν.. 4) Το γινόμενο δυο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει αριθμητή το 5) Για να προσθέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα 6) Για να προσθέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα. 5

26 7) Για να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα.. 8) Για να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα 9)Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που.. 10) Για να συγκρίνουμε δυο ετερώνυμα κλάσματα τα 11) Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει τον 1) Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν α γ 13) Αν τα κλάσματα β και δ είναι ισοδύναμα τότε 14) Για να προκύψουν ισοδύναμα κλάσματα μπορούμε α) ή β).αυτή η διαδικασία λέγεται απλοποίηση. 15) Ανάγωγο λέγεται ένα κλάσμα το οποίο 16) Ομώνυμα λέγονται δύο κλάσματα που 6

27 17) Ετερώνυμα λέγονται δυο κλάσματα που Άσκηση : Απαντήστε Σ σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και Λ αν είναι λανθασμένες. Μεταξύ των κλασμάτων και δεν υπάρχει άλλο κλάσμα. Σ Λ Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. Σ Λ Το κλάσμα είναι μικρότερο του 5. Σ Λ Άσκηση 3: α) Στο κλάσμα α β ποιος είναι ο αριθμητής του και ποιος ο παρανομαστής του; β) Πότε δυο κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα; γ) Πότε δυο κλάσματα ονομάζονται ισοδύναμα; δ) Δυο ομώνυμα κλάσματα είναι ισοδύναμα; Δυο ισοδύναμα κλάσματα είναι ομώνυμα; Άσκηση 4: α) Πότε ένα κλάσμα είναι μικρότερο του 1; β) Αν για του φυσικούς αριθμούς α,β ισχύει α<β i) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα κλάσματα α β α,, β α α ii) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα κλάσματα 1 1, α β. Άσκηση 5: α) Ποια πράξη παριστάνει το κλάσμα α β ; β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: a... 1 = 0 =... a a λ α =... =... a α 7

28 α γ γ) Στην ισότητα κλασμάτων: = κάνοντας χιαστί ποια από τις β δ παρακάτω ισότητες προκύπτει; Α: αδ=βγ Β: αγ=βδ Γ: αβ=γδ Άσκηση 6: α) Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; β) Έχουν όλοι οι αριθμοί αντίστροφο; γ) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: Ο αντίστροφος του κλάσματος β α είναι :. Ο αντίστροφος του α είναι : Ο αντίστροφος του α 1 είναι : Άσκηση 7: Α) Ποια κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Β) Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; Γιατί ο μηδέν δεν έχει αντίστροφο; Γ) Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Δ) Μεταξύ δύο κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή, ποιο είναι μεγαλύτερο; Άσκηση 8: Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α) Όταν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται... β) Όταν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν διαφορετικό παρονομαστή ονομάζονται... γ) Όταν οι όροι ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτει κλάσμα... Άσκηση 9: Δίνονται τα κλάσματα + 3 Α = ( + 1) Β= ( ) ( ) α) Να υπολογιστούν και μετά να απλοποιηθούν β) Να τοποθετήσετε σε φθίνουσα σειρά τους Α,Β,Γ : 3 5 ( ) Γ=

29 Άσκηση 10: Να κάνετε τις πράξεις: α) 15:( 4353 " 1# :4 β) 157 ( 6 4: Άσκηση11: Έστω χ = (3 ) + ( 4 ) 3 + και ψ = 3 (7 6 ) (13 3 ) [ (4 5 )] α) Να υπολογίσετε τις τιμές των χ και ψ β) Να συγκρίνετε τα κλάσματα χ και ψ ψ χ. γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ψ 1 χ ψ χ Α = χ χ ψ ψ. Άσκηση 1: α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α=(3 3 ) (5. 3 )+( ).( 5.0,5 1) B=( + ) 1+( ): A B β)να συγκρίνετε τους αριθμούς: + 1 και - 1 όπου Α, Β οι τιμές B A των προηγουμένων παραστάσεων. 9

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 0 ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ-ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 1. Να γραφούν σαν δεκαδικά κλάσματα οι δεκαδικοί αριθμοί: α) 3,79 β) 0,0056 γ) 3,074 δ) 0,0781 ε) 1,004 στ) 13,800.. Να γραφούν σαν δεκαδικοί τα κλάσματα: 379 α) β) γ) δ) ε) στ) Να βρείτε ποιοί από τους παρακάτω αριθμούς έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος και ποιοί έχουν το ίδιο δεκαδικό μέρος: ,04 19, , , ,4 53,04 330,40 14, Να βρεθεί το ψηφίο των χιλιάδων και το ψηφίο των χιλιοστών στους αριθμούς: α) 6705, β) 3,508 γ) 7,9 δ) 610, Να βρεθεί το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των δεκάτων στους αριθμούς: α) 48,57 β) 30,06 γ) 491 δ) 0, Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί 7,891 και 7,4356 στο πλησιέστερο α) δέκατο και β) εκατοστό. 7. Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί α) στο δέκατο, β) στο εκατοστό και γ) στο χιλιοστό: 8, ,1345 0, ,8637 5,8703 9, , , ,9983 0,

31 8. Δίνεται η παράσταση 37 Α = 15 : α) Να υπολογιστεί η Α β) Να γραφεί η Α ως δεκαδικός αριθμός γ) Να γίνει στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο i)χιλιοστό ii)εκατοστό iii)δέκατο ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 1. Να βρεθούν οι παρακάτω διαφορές: α) 358,53-66,47 β) 47,155-8,479 γ) 69-4,087 δ) 3057,34-789,037. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις με τη σειρά που σημειώνονται: α) 453,1+64,7-318,9-153,7 β) 0,307+6,04-,8+3,005 γ) 44,39+17,5+7,8-3,49 δ) 34,69+8,17-6,9-1,4+5,3 3. Να αντικατασταθούν τα κενά με κατάλληλα ψηφία: α) 7 β) 43, 1 γ), ,83 _ 7, 87 8,76 36,46 4. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: α) 6 * 9,3-3(8,9-7,8)+1,5 β) 48,9-3, * 5,6+8,7(4,3-,5) γ) 19 * 7,8-6,9 * 4,7-3,1(9,-8,3) δ) 9,4(8+7)-11 * 3,4+18 * 5,3 5. Να γίνουν οι πράξεις: α) (9+6)(1+11) β) 9 * 1+9 * 11+6 * 1+6 * 11 γ) (5,+3,4)(7,1+8,6) δ) 5, * 7,1+5, * 8,6+3,4 * 7,1+3,4 * 8,6 6. Αν α=11,8+14,6-9,,β=(1,3-9,1)(1-17) και γ=4,6 +,7-4 να βρεθεί το πηλίκο (α+β+γ) : 0,5. 31

32 7. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίμετρο 48,9 μέτρα και βάση 11,5 μέτρα.να βρεθεί κάθε μία από τις ίσες πλευρές του. 8. Να βρεθούν τα πηλίκα των διαιρέσεων α) 34 / 9 β) 43,8 / 3 γ) 5381 / 195 δ) 73,5 / 6,7 i) με προσέγγιση δεκάτου ii) με προσέγγιση εκατοστού iii) με προσέγγιση χιλιοστού. 9. Να υπολογισθούν οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: Α=54: :1 Β=7*1-9+13*4-4:6 Γ=6,8:0,34+(5,8-4,3 ) Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: α) 31 / 5 β) 0,3 / 7 γ) 8,8 /,5 δ) 19,44 / 3,6 ε) 4,576 / 6,4 11. Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης 180 / 17 α) με προσέγγιση δεκάτου β) με προσέγγιση εκατοστού γ) με προσέγγιση χιλιοστού. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΜΕ 10,100, Να κάνετε τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς: α) β) γ),7. 10 δ) 8, ε) 0, Να κάνετε τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς: α) β) 0, γ) 8, δ) 37, Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις: α) 10:10 β) 1500:10 γ) 1,7:10 δ) 8,34:10 ε) 0,071:10 4. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις: α) 1800:100 β) 10:100 γ),7:100 δ) 8,34:100 ε) 0,07: Να κάνετε τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς: α) 8. 0,1 β) ,1 γ) 859,. 0,1 δ) 59. 0,01 3

33 ε) ,01 στ) 0,75. 0,01 6. Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς: α) β) γ) 6, δ) 50,4. 10 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Να γράψετε τους παρακάτω αριθμούς στην τυποποιημένη μορφή: α) β) γ) δ) ε) στ) Να γράψετε σε δεκαδική μορφή τους παρακάτω αριθμούς: α),910 3 β) 5,710 4 γ) 4, δ) 7, ε), ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ 1. Να τραπούν σε dm και σε cm τα παρακάτω μήκη: α) 960 mm β) 8,3 m γ) 0,43 km δ) 0,95 m.. Nα τραπούν α) Τα 68,543 m σε cm β) Τα 75 mm σε cm γ) Τα 84 mm σε cm. 3. Να τραπούν σε m τα μήκη: α) 9dm 4cm β) 3m 6cm 5mm γ) 48 m dm 8mm δ) 3 m 7 cm 8mm. 4. Να μετατρέψετε : Α) Τα 5,6 km σε m. Β) Τα m σε km. Γ) Tα 13 mm σε cm. Δ) Τα 35 km σε dm. Ε) Tα 14 cm σε dm. ΣΤ) 8 m 3 dm 4 mm σε cm. Ζ) 3 m cm 1 mm σε dm. 5. Ένα χωράφι έχει σχήμα τετραπλεύρου με πλευρές ΑΒ=80,6 m ΒΓ=94,7 m ΓΔ=7,3m και ΔΑ=78 m.να βρεθεί η περίμετρος του σε m και σε km. 33

34 6. Οι πλευρές ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι : ΑΒ=,4 m BΓ=37dm ΓΔ=13 cm και ΔΑ=46dm.Να βρεθεί η περίμετρος του σε m,dm,cm. 7. Να γραφούν τα παρακάτω μήκη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. α) 0,603m 1,34m 1,337m 5,8m 6,47m 7,004m 6,03m β) 153dm 11,4m 11499mm 0,015km 1546cm. 8. Να τραπούν σε m τα εμβαδά: α) 1,3km β) 870dm γ) 43100cm δ) mm ε) 841dm στ) 0,947km. 9. Να μετατρέψετε : Α) Τα 7, 6 km² σε m². Β) Τα 55, 6 dm² σε m². Γ) Τα 3, 58 m² σε mm². Δ) Τα 3, 58 m² σε στρέμματα. 10. Να τραπούν σε m τα παρακάτω εμβαδά: α) 9,6 στρέμματα β) 471 στρέμματα γ) 3149, στρέμματα. 11. Να τραπούν σε cm τα εμβαδά: α) 5,40m β) 6,9dm γ) 3156mm δ) 41000mm ε) 0,7m στ) 0,019dm. 1. Να τραπούν σε στρέμματα τα παρακάτω εμβαδά: α) 69000m β) 36850m γ) 79000m. 13. Ένας κτηματίας πούλησε ένα αγρότεμάχιο με 38,5 є το m και πήρε єπόσα στρέμματα ήταν το αγροτεμάχιο; 14. Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδό ορθογωνίου που έχει μήκος 0,68 m και πλάτος 50 cm. 15. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 1,8km και το μήκος του 360m.Να βρεθεί το πλάτος και το εμβαδό του. 16. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος 7,8m και εμβαδό 50,7m.Nα βρεθεί το πλάτος και η περίμετρος του ορθογωνίου. 17. Ένα χωράφι έχει σχήμα ορθογωνίου με πλάτος 48,5m και πουλήθηκε δρχ. το στρέμμα και κόστισε δρχ.να βρεθεί το εμβαδό και το μήκος του. 34

35 18. Να υπολογίσετε το εμβαδό ορθογωνίου με πλάτος 5 dm και μήκος 10 cm. 19. Να τραπούν σε dm 3 οι όγκοι: α) 0,69m 3 β) 48cm 3 γ) 7,361m Να τραπούν σε cm 3 οι όγκοι: α) 0,054dm 3 β) 78mm 3 γ) 0,07m Να τραπούν σε mm 3 οι όγκοι: α) 0,0036m 3 β) 8,14dm 3 γ) 5,17cm 3.. Να τραπούν σε m 3 οι όγκοι: α) mm 3 β) cm Να τραπούν σε λίτρα: α) 7dm 3 β) 18m 3 γ) 78cm 3 δ) 9514ml 4. Ένας συνεταιρισμός έχει lt κρασί και μπουκάλια με χωρητικότητα 850ml το καθένα.πόσα περίπου από αυτά τα μπουκάλια χρειάζεται ο συνεταιρισμός για να γεμίσει με όλο το κρασί που έχει; 5. Να βρεθεί ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 6,4m,65dm,3850mm. 6. Nα βρεθεί ο όγκος κύβου με ακμή 4,7m σε: α) m 3 β) dm 3 γ) cm Το εμβαδό μιας έδρας ενός κύβου είναι 144cm 3.Nα βρεθεί ο όγκος του. 8. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το μήκος είναι 70dm και το πλάτος του είναι 5m.Αν ο όγκος του είναι 17m 3,να βρεθεί το ύψος του. 35

36 9. Ένα δοχείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις,9m,1,5m και 0,7m.Να βρεθεί η χωριτηκότητα του σε lt και ml. 30. Ένα ενυδρείο έχει μήκος 80 cm,πλάτος 45cm και ύψος 60cm. α) Να βρεθεί ο όγκος του. β) Αν ρίξουμε μέσα στο ενυδρείο 10lt νερό,να υπολογισθεί σε τι ύψος θα φτάσει το νερό. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1.Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς: = = ,1= , = ,1= ,967. 0,01= 9, =.... 8:10= :100= ,. 0,0001= :10 3 = Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) β) γ) Να γραφούν σε τυποποιημένη μορφή: 7.000=...., =... 36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 0 ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να γράψετε τις παρακάτω εκφράσεις με τη βοήθεια μιας μεταβλητής α) Το οκταπλάσιο ενός αριθμού β) Σε ένα αριθμό προσθέτω 17 και βρίσκω 35 και γ) Τα επτά όγδοα ενός αριθμού.. Να γράψετε τις παρακάτω εκφράσεις με τη βοήθεια μιας μεταβλητής α) Από ένα αριθμό αφαιρούμε 19 και βρίσκουμε 11 β) Το τετραπλάσιο ενός αριθμού είναι 48 και γ) Το εξαπλάσιο ενός αριθμού είναι μεγαλύτερο του Να διατυπωθούν με λόγια οι παρακάτω εκφράσεις: α) x+17 β) x-13 γ) x<8 δ) x+6=43 ε) 9x+5 4.Στο διπλάσιο ενός αριθμού προσθέτουμε το 5 και βρίσκουμε 17. α) Ποια από τις παρακάτω 4 ισότητες περιγράφει με μαθηματικό τρόπο, (εξίσωση), την παραπάνω πρόταση; Α χ = 17 Β. 5 + χ + = 17 Γ. 5χ + = 17 Δ. χ + 5 = 17 β) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς επαληθεύει την ισότητα που βρήκατε Α. 7 Β. 10 Γ. 3 Δ. 6 5.Με την βοήθεια των μεταβλητών και των πράξεων μεταξύ των αριθμών να γράψετε τις ισότητες ή τις παραστάσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω προτάσεις Σ έναν αριθμό προσθέτουμε το και στο άθροισμα πολλαπλασιάζουμε το 3. Μειώνουμε έναν αριθμό κατά 8 και βρίσκουμε το μισό του αριθμού.. Πολλαπλασιάζουμε δύο αριθμούς που διαφέρουν κατά μονάδες.. Το τριπλάσιο ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα του αριθμού αυτού με το10. 37

38 6. Να γράψετε με προτάσεις το νόημα των παρακάτω ισοτήτων ή παραστάσεων ή ανισοτήτων. 5α 3χ - 5. ψ + 3 = 11.. (χ )χ. 7. Αν σ ένα ορθογώνιο η μια διάσταση του είναι 18 μέτρα,να εκφράσετε το εμβαδό και την περίμετρο του,χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή x για την άλλη διάσταση.(εφαρμογή,όταν x=15 μέτρα.) 8. Να βρεθεί ποιοί από τους αριθμούς 4,6,7 είναι λύσεις της εξίσωσης x+5= Να βρεθεί ποιοί από τους αριθμούς 7,8,9,11,13,15 είναι λύσεις των εξισώσεων: α) x+11=19 β) 4x=43 γ) x+1= Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν χ + = 3 τότε χ =.. Αν 5 + χ = 7 τότε χ =.. Αν χ - 9 = 1 τότε χ =.. Αν 7 - χ = 5 τότε χ =.. 11.Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν χ. 3 = 18 τότε χ =.. Αν 4. χ = 15 τότε χ =.. Αν χ : 3 = 0 τότε χ =.. Αν 7 : χ = τότε χ =.. 1.Να λυθούν οι εξισώσεις: x 3 α) = 0 6 x +, β) = t 1 + λ, γ) = 0, δ) = 5 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΗ 1. Να βρεθεί το εμβαδό ενός τετραγώνου που έχει περίμετρο Π=36,8m. (Απ:Ε=84,64m ) 38

39 . Ένα ορθογώνιο έχει μήκος 5m και το εμβαδό του ισούται με το εμβαδό τετραγώνου πλευράς 0m.Πόσο είναι το πλάτος του ορθογωνίου; (Απ:16m) 3. Αν ο χ είναι ένας περιττός φυσικός αριθμός τότε ποιος είναι ο επόμενός του περιττός φυσικός αριθμός; Να βρείτε τους παραπάνω δυο περιττούς φυσικούς αριθμούς αν είναι γνωστό ότι έχουν άθροισμα Κάποιος μαθητής έχει υπολογίσει ότι το 016 θα έχει διπλάσια ηλικία από αυτή που έχει το 003. Να υπολογίσετε το έτος της γέννησής του. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 0 ΠΟΣΟΣΤΑ ΕΥΡΕΣΗ ΠΟΣΟΣΤΩΝ ΑΠΟ ΜΝΗΜΗΣ 1.Πως βρίσκουμε το 10% ενός αριθμού: Βρίσκουμε το, δηλαδή κόβουμε ένα μηδενικό από το τέλος του αριθμού, αν υπάρχει, ή μετακινούμε την υποδιαστολή μία θέση προς τα αριστερά. Το 10% του 60 είναι. Το 10% του 850 είναι.το 10% του 45 είναι..πως βρίσκουμε το 0% ενός αριθμού: Βρίσκουμε το 10% και το διπλασιάζουμε. Το 0% του 80 είναι. Το 0% του 35 είναι.. 3.Πως βρίσκουμε το 30% ενός αριθμού: Βρίσκουμε το 10% και.. Το 30% του 00 είναι. Το 30% του 50 είναι.. Το 40% του 30 είναι 39

40 4.Πως βρίσκουμε το 5% ενός αριθμού:. Το 5% του 10 είναι. Το 5% του 30 είναι Πως βρίσκουμε το 1% ενός αριθμού: Βρίσκουμε το, δηλαδή 100 κόβουμε δύο μηδενικά από το τέλος του αριθμού, αν υπάρχουν, ή μετακινούμε την υποδιαστολή δύο θέσεις προς τα αριστερά. Το 1% του 600 είναι. Το 1% του 50 είναι.το 1% του 40 είναι. 6.Πως βρίσκουμε το 4% ενός αριθμού: Βρίσκουμε το 1% και Το 4% του 300 είναι Το 7% του 00 είναι Το % του 40 είναι. 7.Πως βρίσκουμε το 4% ενός αριθμού: Βρίσκουμε το 0% και το 4% και τα προσθέτουμε. Το 4% του 300 είναι.το 17% του 00 είναι.το 3% του 40 είναι. 8.Πως βρίσκουμε το 50% ενός αριθμού: Βρίσκουμε... Το 50% του 34 είναι. 9.Πως βρίσκουμε το 5% ενός αριθμού: Το 5% του 80 είναι. 10.Πως βρίσκουμε το 10% ενός αριθμού:.... Το 10% του 300 είναι. 11.Να συμπληρώσετε τα ποσοστά των παρακάτω αριθμών στα τετραγωνάκια που είναι κενά: Αριθμός 10% 0% 40% 5% 1% 3% 4% 130%

41 ΕΥΡΕΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΥ ΜΙΑΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ Πως βρίσκουμε το 0% του ος τρόπος 0 Πολλαπλασιάζουμε το 60 με το : = = ή καλύτερα = = = 1 (κάνουμε απλοποίηση στα μηδενικά) = 1 ος τρόπος Πολλαπλασιάζουμε το 60 με το 0,: 60 0, = 1 1. Να βρεθεί το 30% του ος τρόπος: ος τρόπος:. Να βρεθούν τα ποσοστά των παρακάτω αριθμών με όποιον τρόπο θέλετε: α) το 14% του 500 β) το 7% του 4000 γ) το 40% του. δ) το 130% του Να βρεθεί το 10% των παρακάτω αριθμών: α) του 300 β) του 40. γ) του 5.. δ) του Να υπολογισθεί : α) το 16% του 3750 β) 6,% του 30 γ) 0,7% του 1940 δ) το 3% του 500 ε) 9% του στ) 7,3% του ζ) Το 6% του αριθμού 400 η) Το 15% του αριθμού 40 41

42 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΟΣΟΣΤΟ Να γραφεί ως ποσοστό επί τοις εκατό το κλάσμα 5 1 ος τρόπος: Το μετατρέπουμε σε ισοδύναμο με παρονομαστή το 100 (πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό) ος τρόπος: Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. 1. Να γραφούν ως ποσοστό επί τοις εκατό τα κλάσματα: Κλάσμα 1 ος τρόπος ος τρόπος α) β) 0 1 γ) = 0 1 = = = Να κάνετε τις διαιρέσεις που παριστάνουν τα παρακάτω κλάσματα με προσέγγιση εκατοστού και στη συνέχεια να γράψετε τα κλάσματα σαν ποσοστά. α) β) γ) δ) 3. Να γραφούν σε μορφή ποσοστών τα παρακάτω κλάσματα i) ,,,,,, ii) ,,,,,, iii) 8, ,, Να συμπληρώσετε τα κενά α) =. % β) =. % γ) =. % δ) =. % 5. Ομοίως να συμπληρώσετε τα κενά: α) 0,3=.. % β) 1,34= % γ) 0,03=.. % δ),18= % 4

43 6. Να γραφούν με μορφή ποσοστών τα παρακάτω κλάσματα: α) β) 3 6,35 γ) δ) Να γραφούν σαν κλάσματα τα ποσοστά i) %, 4%, 13%, 75% ii),5%, 1,5%, 3,7%, 65,% iii) 11%, 00%, 150%, 15,5% 18, 54 ε) Να γραφούν σαν κλάσματα τα ποσοστά: α) 7%,3% β) 1,1%,36,8% γ) 18%,139% δ) 11,7%,19,4%. 73 στ) Τι ποσοστό είναι α) τα 00 ευρώ για τα 1000 ευρώ.. β) τα 1 λεπτά για τη μία ώρα Τι ποσοστό είναι α) τα 15 ευρώ για τα 60 ευρώ.. β) τα 45 λεπτά για τη μία ώρα Τι ποσοστό είναι α) τα 8 ευρώ για τα 00 ευρώ.. β) τα 15 λεπτά για τη μία ώρα.. 1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα μετατρέποντας τα ποσοστά σε κλάσματα και σε δεκαδικούς αριθμούς ή αντίστροφα: Ποσοστό 5% 15% Δεκαδικός Αριθμός Κλάσμα Κλάσμα μετά από απλοποίηση 43

44 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Το 0% από τους 10 μαθητές της Α τάξης επέλεξε να διδαχθεί Γερμανικά ως δεύτερη ξένη γλώσσα ενώ οι υπόλοιποι μαθητές θα διδαχθούν Γαλλικά. Πόσοι μαθητές θα διδαχθούν Γαλλικά;. Ο κήπος του σπιτιού στο οποίο μένει η Αθηνά έχει συνολική έκταση 35 m από τα οποία τα 18 m είναι καλυμμένα με γκαζόν. Τι ποσοστό της συνολικής έκτασης του κήπου δεν καλύπτεται από γκαζόν; 3. Η Ελευθερία τώρα στις εκπτώσεις σκοπεύει να αγοράσει: α) Ένα μπουφάν των 90 στο οποίο το κατάστημα κάνει έκπτωση 30% β) Μία μπλούζα των 40 στην οποία κάνουν έκπτωση 15% γ) Ένα φόρεμα αξίας 100 στην οποία κάνουν έκπτωση 0% Ποιο είναι το συνολικό ποσό που θα δαπανήσει η Ελευθερία; 4. Ο Αντώνης αγόρασε ένα πουλόβερ αξίας 5800 δρχ. και ο έμπορος του έκανε έκπτωση 98 δρχ.να βρεθεί το ποσοστό της έκπτωσης. 5. Το εισιτήριο με το πλοίο από τον Πειραιά σε ένα νησί είναι 450 δρχ.αν υποτεθεί ότι αυξάνει και κοστίζει 793 δρχ.,να βρεθεί το ποσοστό της αύξησης. 6. Για ένα κράμα από χαλκό και νικέλιο χρησιμοποιήθηκαν 4kg χαλκός και 8kg νικέλιο.να βρεθεί το ποσοστό του χαλκού και το ποσοστό του νικελίου μέσα στο κράμα αυτό. 7. Ένα παντελόνι πριν από τις εκπτώσεις κόστιζε 8400 δρχ.,ενώ στην περίοδο των εκπτώσεων πουλήθηκε 6384 δρχ.να βρεθεί το ποσοστό της έκπτωσης. 8. Ένα λουρί μηχανής, όταν ήταν καινούριο, είχε μήκος 180 cm. Μάκρυνε ύστερα από χρήση κατά 5%. Κατά ποσα εκατοστά μάκρυνε; 9. Το εισιτήριο απλής διαδρομής στις αστικές συγκοινωνίες της Αθήνας έχει 0,5. Αν υποτεθεί ότι αυξάνει και κοστίζει 0,6 να υπολογίσετε το ποσοστό της αύξησης. 44

45 10. Αν ψήσουμε,5 kg ωμό κρέας, θα μείνει 1,9 kg ψημένο κρέας. Να βρείτε πόσο τοις εκατό απώλεια έχουμε. 11.Μία οικογένεια έχει συνολικό μηνιαίο εισόδημα.000 Є.Από αυτά διαθέτει το 0 % για ενοίκιο και το ¼ για τα υπόλοιπα έξοδα του σπιτιού. α)τι ποσοστό χρημάτων της απομένει; β)πόσα είναι τα χρήματα αυτά; 1. Πόσο τόκο θα πάρουμε αν αποταμιεύσουμε στην τράπεζα με επιτόκιο 4% για: α) Ένα έτος β) Έξι μήνες γ) Εννέα μήνες δ) Ένα μήνα 13. Ο Πέτρος κατέθεσε στην τράπεζα την 15 η Απριλίου δρχ. με επιτόκιο 16,5%.Αν κάνει ανάληψη όλων των χρημάτων σε 1 χρόνο τι ποσό θα πάρει; 14. Η κ. Ελένη στις εκπτώσεις αγόρασε ένα πλυντήριο με έκπτωση 5% και πλήρωσε 450. Ποια ήταν η τιμή του πλυντηρίου πριν τις εκπτώσεις; 15. Ένας βιβλιοπώλης πούλησε ένα βιβλίο με κέρδος 5% και κερδισε 00 δρχ.πόσο το κόστος του βιβλίου 16. Ένας βιβλιοπώλης πούλησε ένα βιβλίο με ζημιά 16% αντί 756 δρχ.πόσο ήταν το κόστος του βιβλίου; 17. Ένα αυτοκίνητο πουλήθηκε με έκπτωση 10 %. Ποια η αρχική τιμή του αυτοκινήτου, αν το ποσό που πληρώθηκε είναι δρχ. 18. Για ένα είδος που έχει συντελεστή Φ.Π.Α. 16% πληρώσαμε στο ταμείο συνολικά 9976 δρχ.να βρεθεί α) η αξία του είδους αυτού χωρίς Φ.Π.Α. β) ο Φ.Π.Α. που πληρώσαμε γι αυτό. 19. Η τιμή ενός εμπορεύματος αυξήθηκε κατά % και κοστίζει τώρα δρχ.ποιά η αρχική τιμή του εμπορεύματος; 0. Ένας έμπορος πούλησε ένα ραδιομαγνητόφωνο με ζημιά 0% επί της τιμής αγοράς και εισέπραξε 4000 δρχ.πόσο θα εισέπραττε αν το πουλούσε με κέρδος 0% επί της αξίας της αγοράς; 45

46 1. Ένας επιπλοποιός πούλησε μια βιβλιοθήκη με κέρδος 1% και εισέπραξε 6700 δρχ.αν την πουλούσε 5500 δρχ. θα κέρδιζε ή θα ζημιωνόταν και σε τι ποσοστό;. Το 009 ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής κόστιζε 100. Στη συνέχεια, το 010 έγινε μείωση στην τιμή του κατά 10% και το 011 κι άλλη μείωση κατά 15%.Πόσο πωλείται ο υπολογιστής το 011; 3. Ένα ποδήλατο πουλιόταν 8000 δρχ.η τιμή του πρώτα αυξήθηκε 11% και μετά μειώθηκε 11%.Πόσο ήταν η τιμή του ποδηλάτου μετά τη μείωση; 4.Ένα αντικείμενο έχει αξία Η τιμή του αυξήθηκε 0%, ποια είναι η νέα του τιμή ;. Εάν στη νέα τιμή γίνει μείωση 0% ποια θα είναι η τελική τιμή του αντικειμένου; 5. Η τιμή πώλησης ενός προϊόντος αυξήθηκε κατά 15% και μετά από μια εβδομάδα μειώθηκε κατά 15%. Πότε συνέφερε να το αγοράσουμε; 6. Καφεκοπτείο αγοράζει το νωπό καφέ προς 900 δρχ. το κιλό και το πουλάει ψημένο προς 1305 δρχ. το κιλό. Να βρείτε πόσο τοις % επί της τιμής του κόστους κερδίζει ο καφεπώλης αν ο καφές κατά το καβούρδισμα χάνει το 0 % του βάρους του. 7. Τρεις τεχνίτες πήραν από μια εργασία δρχ. Ο α ως επικεφαλής του συνεργείου πήρε 1 % του ποσού για τη χρήση των μηχανημάτων και τα υπόλοιπα τα μοιράστηκαν. Ο α εργάστηκε 15 ημέρες, ο β 1 ημέρες και ο γ 18 ημέρες. Πόσες δρχ. πήρε ο καθένας; 8.Ένας έμπορος αγοράζει 500 ηλεκτρονικούς υπολογιστές πληρώνοντας Πουλάει τους 310 με κέρδος 0 % και τους υπόλοιπους με κέρδος 15 %. α) Πόσα χρήματα κερδίζει συνολικά; β) Πόσο τοις εκατό είναι το κέρδος του από την πώληση όλων των υπολογιστών; 46

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 0 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 1. Να εξεταστεί αν τα ποσά είναι ανάλογα στους παρακάτω πίνακες: x 0, y, Α Ε Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών δυο ποσών x y Να εξετάσετε αν τα ποσα είναι ανάλογα. 3.Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών.εξετάστε αν τα ποσά είναι ανάλογα χ 3 5 5,5 7 8,5 ψ 0,6 1 1,1 1,4 1,7 4.Δίνονται οι παρακάτω πίνακες τιμών δυο ποσών. Να εξετάσετε, αν τα ποσά αυτά είναι ανάλογα. α) α Ε β) 47

48 x 0,5 1,5 3 4,5 y Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών δυο ποσών. x 1 0,5 1, 4 5,4 y 0,5 0,5 0,6,7 Να διαπιστώσετε ότι τα ποσα αυτά είναι ανάλογα και στη συνέχεια να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του χ. 6.α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ανάλογων ποσών: Πορτοκάλια σε κιλά Αξία σε δραχμές χ β) Να εκφράσετε την αξία των πορτοκαλιών ως συνάρτηση του βάρους τους 7. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών δυο ποσών x y Να εξετάσετε αν τα ποσα είναι ανάλογα. Αν ναι να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x. 8.Αν για 4 kg μήλα πληρώνουμε 480 δρχ. βρείτε πόσα θα πληρώσουμε για 11 kg μήλα, καθώς και πόσαα κιλά μήλα θα αγοράσουμε με 000 δρχ. 9. Τρείς εργάτες δούλεψαν σε μια οικοδομή και πληρώθηκαν ανάλογα με τις μέρες που δούλεψε ο καθένας. Ο πρώτος δούλεψε 15 ημέρες, ο δεύτερος 1 ημέρες και ο τρίτος 18 ημέρες. Πήραν συνολικά δρχ. Πόσες δραχμές πήρε ο καθένας; 48

49 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 1.Στον παρακάτω πίνακα έχουμε τις αντίστοιχες τιμές δυο ποσών x και y. x y Να συμπληρώσετε τον πίνακα αν ξέρετε ότι τα ποσα είναι αντιστρόφως ανάλογα.. 0 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 48 ημέρες.βρείτε πόσες ημέρες θα χρειαστούν οι 16 εργάτες για να τελειώσουν το ίδιο έργο. 3.Αν καταναλώνουμε 3 κουταλιές κακάο την ημέρα, τότε ένα κουτί μας φτάνει για 1 μέρες. Αν καταναλώνουμε κουταλιές την ημέρα, για πόσες μέρες θα μας φτάσει το κουτί; 4. Χρειαζόμαστε 00 σωλήνες με μήκος 5 m ο καθένας για μια ύδρευση. Πόσους σωλήνες χρειαζόμαστε, αν ο καθένας έχει μήκος 4 m; 5. Μια οικογένεια μπορεί να κάνει 15 μέρες διακοπές, αν ξοδεύει καθημερινά 00. Αν θέλει να κάνει 0 μέρες διακοπές, πόσο πρέπει να περιορίσει τα ημερήσια έξοδα της; 6. Ένας επιπλοποιός αν εργάζεται 8 ώρες την ημέρα τελειώνει ένα έπιπλο σε 5 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα τελειώσει το ίδιο έπιπλο αν εργάζεται 10 ώρες την ημέρα. 7. Οι 4 εργάτες μπορούν να τελειώσουν ένα έργο σε 5 ημέρες. Αν θέλουμε να τελειώσει το έργο 5 ημέρες νωρίτερα πόσους εργάτες με την ίδια απόδοση πρέπει να προσλάβουμε ακόμη; 49

50 8. Μια οικογένεια καταναλώνει 00 gr λάδι την ημέρα και το ένα δοχείο της φτάνει για 84 μέρες. Αν καταναλώνει 300 gr λάδι την ημέρα πόσες ημέρες θα περάσει με ένα δοχείο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ-ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΡΗΤΩΝ 1. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη αριθμών είναι ομόσημοι και ποια ετερόσημοι: α) +1, +4 β) 5, +4 γ) +5,6, 6 δ) +7, 5. Στις επόμενες προτάσεις να απαντήσετε με Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή με Λ αν η πρόταση είναι λάθος: Ο +4,57 είναι αρνητικός αριθμός. Σ Λ Δύο ετερόσημοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο. Σ Λ Οι ομόσημοι αριθμοί έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο. Σ Λ Ο α είναι οπωσδήποτε αρνητικός αριθμός. Σ Λ Το μηδέν είναι θετικός αριθμός. Σ Λ 3. Να βρείτε ποιες είναι οι τετμημένες των σημείων Α,Β,Γ,Δ στον παρακάτω άξονα 4. Να παραστήσετε με σημεία του άξονα τους παρακάτω αριθμούς: 3, +4, 6,, 4,5, 3,8 5. Να τοποθετήσετε τους αριθμούς -4,-,3,-1,8,- 6 5,+ 5,+4,5 πάνω στον άξονα. 6. Στις παρακάτω προτάσεις απαντήστε με Σ αν η πρόταση είναι σωστή και με Λ αν η πρόταση είναι λανθασμένη: Η απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. Σ Λ Ισχύει πάντα ότι * =α Σ Λ 50

51 Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Σ Λ 7. Να βρείτε την απόλυτη τιμή των αριθμών: α) +87 β) 95 γ) +38 δ) 13 ε) 9,1 στ) 56,7 ζ) η) θ) 0,03 ι). 8. Να βρείτε τους αριθμούς που έχουν απόλυτη τιμή: α) 3 β) 0,4 γ) Να υπολογισθεί η τιμή των παραστάσεων: α) β) γ) 8,3 +,5 9, 6 δ) 8,,11 + 0,8. 10.Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων α) β) γ),5 + 11,8 1, δ) 4,75 4,5 + 0, 5 11.Να βρείτε την απόλυτη τιμή των παρακάτω αριθμών ,56 11, , Στις παρακάτω ανισότητες να βρείτε ποιες είναι αληθείς και ποιες ψευδείς. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.,1 < -,01 3,5 < -1,91 < - 3, 5,43 < - 5,34 8,34 < - 8, > Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α) 64 και 57 β) 9,1 και 8,5 γ) 0,4 και 4 δ) 7 και 6,7 ε) 0 και,9 στ) 199 και Στα παρακάτω ζευγάρια να συμπληρώσετε τα κενά με ένα από τα σύμβολα < ή > : 51

52 α) β) ,8 γ) δ) ε) στ) 7,3...7,3. ζ) 6. 1 η) 7. 7,5 θ) 0-10 ι) ια) 0-18 ιβ) 3,5.. 3,5 15.Να συγκρίνετε τους αριθμούς α) 3 και 4 β) 7,5 και 6,5 γ) 0,5 και 1 δ)3 και,5 ε)0 και 1,7 στ) 1988 και Να βρείτε όλους τους ακέραιους που έχουν απόλυτη τιμή Μικρότερη του 4 Μικρότερη του 1 Μικρότερη ή και ίση του 5 Μικρότερη ή και ίση του 1 17.Να βρείτε: α) Τρεις ακεραίους αριθμούς που έχουν απόλυτη τιμή μεγαλύτερη από 5. β) Τρεις ακεραίους αριθμούς που έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη από 18.Να γράψετε τρεις ρητούς αριθμούς που να είναι Μεγαλύτεροι από τον 8 και μικρότεροι από τον 6 Μεγαλύτεροι από τον 4,6 και μικρότεροι από τον 3,5 Μεγαλύτεροι από τον,6 και μικρότεροι από τον,5 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ 1. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: (+ 0) + (+ 70) (- 5) + (- 6) (+ 13) + (+ 9) (- 10) + (- 9) (+ 148) + (+ 37) (- 10) + (- 5) (+7) + (+1) (+1,3) + (+ 16,6) 4 (+4,67) + ( ) 3 (-1,5) + (+ ) 5 (-7) + (-1) (-) + (-16,5) 5

53 1 8 (-13) + ( ) (+1,1) + 0 (-7) + (+1) (-4,4) + (+6,9) ( + ) + ( ) 0 + (-1,1) 0 0.Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) ( 4 ) + ( ) ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: (+ 16) + (- 6) (- 5) + (+ 38) (- 40) + (+ 5) (- 00) + (+ 150) (- 49) + 0 (+ 38) + (- 1) 4.Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: (+ 0) + (- 1) + (- 35) + (+ 50) (- 7) + (- 13) + (+ 5) + (- 31) (+ 18) + (- 5) + (+ 11) + (- 37) + (+ 6) (- 3,8) + (+ 18,5) + (- 0,9) + (+ 3) (+ 0,75) + (- 0,1) + (+ 0,35) + (- 3,85) (+ 16,3) + (- 10,7) + (+ 5,4) + (-,7) 5. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) ( 15)+( 4)++16)+ + 16) β) +97)+ + 7)+ +3)+ + 5) γ) ( 5)+( 3)+ +67)+ + 6) δ) +43)+ +7)+ +3)+ +17) ε) (45)+( 9)+ +9)+ + 6) στ) +76)+ + 43)+ +3)+ +17) 6.Να βρείτε τα αθροίσματα (+4) + (+9) (-15) + (-) (-11) + (+ 10) (+19) + (-7) (-,5) + (-4) (+,8) + (-3,5) (+1,8) + (-3,7) (-14) + (+1,4) (-0,48) + (-1,5) (-19,4) + (+19,4) 1 5 ( ) + ( ) ( ) + ( + ) ( + ) + ( )

54 7.Να βρείτε τα αθροίσματα: (+11)+(+4) (+13,8)+(+6,5) (-14)+(-7) (-0,6)+(-13) (-17)+(+8) (+49)+(-64) (+41)+(-41) (-7,6)+(+48,4) (-0,39)+(+0,39). (-5,37)+(-4,61) (+19,3)+(-15,37) (-7,94)+(+0,85) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) ( )+( )++ )+ + )++ ) β) ( )+( )++ )+ + )++ ) γ) ( )+( )++ )+ + )++ ) Να τοποθετήσετε στα κενά κατάλληλα πρόσημα ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. α) ( 3)+( 87)=+90 β) ( 15)+( 17)= γ)( 3)+( 5)=+18 δ) ( 14)+( 6)=+0 ε) ( 56)+( 57)= 1 στ)( 3)+( 7)= Να γράψετε σε κάθε τετραγωνάκι το κατάλληλο πρόσημο ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. ( 7) + (-6) = - 13 ( 8) + (+ 17) = -11 ( 17) + ( 6) = -11 ( 60) + (+14) = 46 ( 19) + ( 40) = 59 (+11) + ( 8) = + 3 (-49) + ( 53) = - 10 ( 0) + ( 7) = + 13 (-6) + ( 7) = 13 ( 4) + ( 13) = Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε Στον + 5 για να βρούμε άθροισμα 9 Στον 6 για να βρούμε άθροισμα 4 Στον + 1 για να βρούμε άθροισμα Στον 10 για να βρούμε άθροισμα

55 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ 1.Να βρείτε τις διαφορές (-3)-(+9) (-17) (-8) (+ 11) -(-8) (-5) (+3) (+ 3) (-5) (-3) (+ 3) (-7) (+ 11) (+ 37) (+46) 0 (+5) (-14) (-83) (-50) (-50) (+1,5) (-1) (+,7) (+ 1,) (+11,1) (-7,9).Να βρείτε τις διαφορές: (+ ) (+ 3) (+ 5) (+ 8) (+ 6) (+ 10) (- 5) (- 3) (- 9) (- 7) (- 4) (- 1) 0 (- 5) 0 (+ 0,7) (-7) 11 (-11) 11 (+11) (-16,5) 1,35 16,65 4,4 (-6,9) ( ) ( 0,5) ,67 ( + ) 13 (+ 1 ) 8 0 (-3) 0 (+ 1 ) 0 (-,7) , ,5 (- 1 ) + 7 (+7) 3.Να υπολογίσετε τα αθροίσματα ,1 3,5 +, + 7 1,1 1, 55

56 , , , , 1 + 0, , ,1 1, ,3 5,05 6, ,18 1, Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α = Β = Γ = Να υπολογισθούν τα αθροίσματα με τον συντομότερο τρόπο ,5 0,5 + 1, Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα: 5 (+ 7) + (- 1) (- 10) 0 + (- 8) (+ 4) + (+ 11) (+ 10) (- 8) + (- 3) + (- 4) (+ 5) + (- 30) + (+ 9) (- 14) (- 7) + (- 5) (+ 8) + (- 7) (- 15) 0 (- 30) (+ 10) + (- 5) + (- 0) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( ) + ( + ) (-1) + (-) + (-3) (-7) + (+3) + (+7) 1 3 ( + ) + ( + ) + ( )

57 5 (-,5) + (-1,) + (+ ) (-7) + (-5) + (+) + (+7) + (-1) + (+6) 1 (-0,5) + (+5) + (-0,1) + (+ ) + (+1,1) (-16) + (-3) + (+7) + (-5,7) + (+13) 3 (-3,7) + ( 5 ) + (-1,7) + (+9,) + (0,65) + (-7,35) 4 7.Αφού κάνετε πρώτα απαλοιφή παρενθέσεων, να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων ( ) ( ) ( ) ( ) + 4 (5 ) (8 + 4) ( + 8 1) (- 7 14) -( ) + ( ), -( ) ( ) -( ) (- 7-3) ( ) ( ) ( ) -( ) + ( ) - 5 (7 3,4) + (-6,6) ( 1) ( + 1 ) + ( ) ,6 [ + 0,6 (4 0,8)] -,5 + [-(,7-3) 5,] (3,,1) -(-4 + 1) [-5 + (-3 + 8) (-9 + 3)] ( ) 8.Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = - [(-3 + 8) (-5 + 3)] (3 + 15) Β = - ( ) [8 + 5 ( + 5-9)] Γ = [- 5 (5+ 9-6) + ( )] (+ 1 - ) Δ = - [(0 + 7)- (-1 3)] [(3 5 + ) 3 + 7] 9.Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: [ ( ) ( )] 0 + ( ) [( )-(6-3)] (15-5) (9-6) [- 8 ( ) (+9-4)] 57

58 [-( ) ( )] [( ) ( )] 10. Βρείτε τα εξαγόμενα (-36) 40 (-) + (- 54) 69 1,7 3,4 + (-,1) (-0,7) (,7) ( 4 ) + 3, (-7) (-11) (+6) (-7) (+11) 1 (- 0,5) + (- 3 ) (+ 3 ) (-0,6) 5 3,875 5 (-3,8) (+3,875) + (-8,8) ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΓΚΥΛΕΣ 1. A ( x y) x x 3 ( y 3 x) x ( 3 x) = = Να δείξετε ότι είναι ανεξάρτητη του x και y.. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: { ( x ) 5 ( x ) } ( 5 x ) Α = = { ( ) } ( ) B = 4+ x x + + x 4+ x = 3. Αν α+β=3 να βρείτε την τιμή της παράστασης: { ( 3) 7 ( ) } A = a+ β γ γ + = 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: ( 5) ( ) ( 7) A = + = ( ) B = x + x = 5. Δίνεται η παράσταση: A= 3( x+ 5) + 1x 6( x 9) να βρείτε την τιμή της όταν α) x = -1/3 και β) x = - 58

59 6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: = 5 ( + 10ω) ( ω) + 9 όταν x = 0, y = -1, ω = 0, A x x y x y y 7. Αν A= x 5( x y) και B = 5y ( a 3) + a x να δείξετε ότι Α=Β. 8. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( x ) 3 3x 1 ( 10) ( 5) + + = 9.Αν είναι x = -, y = 3 και z = - 1 να υπολογιστεί η παράσταση Α = - [- x + (- y + x)] (-x - z) 10.Δίνεται η παράσταση A = - (- 8 + y + x) + [x (1 + x)] [- (x + y) x] + x + 6 να δείξετε ότι η τιμή της είναι ανεξάρτητη από τους αριθμούς x, y. 11. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α= ( 5*8(α+4) Β=10+( 16--( 139) 1. Αν α+β=6, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π= ( 43 8-* Υπολογίστε τισ παραστάσεις Α = (α - γ) (β - γ) (α - β) Β = 8 (α β + γ) + (α - β) (- γ - β) β + 3 Γ = 5 (1 - α) + (β - γ) (α + β - γ) Δ = 3 [α (β - x)] (y - α) (β - 1), όταν x + y = Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ίσες με την παράσταση x + y, ποιες με την x y και ποιες με την y x; (-x) + y y + (-x) (-x) y (-x) + (-y) (-y) + x x (-y) (-x) (-y) 59

60 15.Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων (17 x) + (x - 17) (9 + α) + (-α - 9) (y - 3) + (3 - y) (-3 + α - β) (α β - 6) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1.Να βρείτε τα εξαγόμενα: (-5)٠(+3) (-8)٠(-) (-1)٠4 (+0,6)٠(-10) (-4)٠1 1 ( + ) ( 6) 5 3 ( ) ( + 3 (-5)٠0 ).Να υπολογίσετε τα γινόμενα 3(-7) 4(-10) 1,5(-0,7) 4 7 ( ) ( ) ,63(-11) 0,5(-) 3 7 ( ) 7 3 0(-3,85) 1(-00) (-1)(-1) 3.Να υπολογίσετε τα γινόμενα (-1)(-1) (-1)(-1)(-1) (-1)(-1)(-1) (-1) 4.Να βρείτε τι πρόσημο θα έχουν τα παρακάτω γινόμενα, χωρίς να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς. (-)(-7)(+3)(-9)(+4)(-8) 0,7(-6,3)4(-9,3)0,01(-6,8)(-0,001)(-1988) 5.Να υπολογίσετε τα γινόμενα: (-6)(-)(-7)(-8) (+)(+3)٠0٠(+4)(+5) 60

61 (-1)٠3٠(-4)٠5٠(-6) (-1)(-)(-3)٠1٠٠3 6.Να υπολογίσετε τα γινόμενα: (-1)(-5)(+) ( )( )( ) ( 3) ( )( )( )( 5) ( 5,6)( )( 8) 0 ( 014) Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα (-)(+9)(-5) (+8)(-4)(-15)(+5) (-3,5)(-0,4)(-)(-0,4)1,5 ( 3 )( )( 3 )( 3,) (-)٠4٠5٠3٠(-6)( )( 1)( ) (-1)( )( + )( 1)( + 3)( )( 1) (-3,705)(-8,35)(-583)(-3+3)014 8.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α = ( )( 1)( )( 4) [( )( 1)( )( 4)] Β = ( + )( )( ) + ( )( )( ) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων Α = (-1)(-)(-3)(-8)(+0,15) + (-1)(-)(-3)(-8)(-0,15) Β = (-1)(-)(-3)(-8)(-0,15) + (+1)(+)(+3)(+8)( +0,15) 10. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες (-)(+8)( 6) = - ( 5)(-7)(-3) = + (+5)( 3)(-0)(-) = - (-11)(-)( 5)(+3)(-5) = Να κάνετε τις πράξεις: [- - (-1)]٠[-1 (-1)+ (3 )٠( - 3)] - 1 (4 3)٠[( - 1)٠(4-5)]٠{-[+ (5-7) - ]٠(-1)} 61

62 1.Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = ٠ (-) Β = - [ ٠ (-)] Γ = ( ) ٠ (-) Δ = -1 (5 + 3) ٠ (-) Ε = - 1 [(5 + 3) ٠ (-)] Ζ = (-1-5)(+3 ) 13.Να κάνετε τις πράξεις: 3٠ (4+3) ٠ (-5) + (1-5)٠ ( - 4) (7+5)٠ [1 (-4)] 6 ( - 7)+ [1 (1 +4)٠3] ٠(-5) 4٠[-1 + (7-3)٠(8-5)+6] (+3)٠(-5+1) 14.Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = [ 13 ( 3) + ] ( 5) ( 1+ ) Β = ( 5) ( + 5) + ( + ) Γ = 6 ( 1) + [ ( + 1 ) + ( 1 8)] Να γράψετε σε απλούστερη μορφή με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας τις παρακάτω παραστάσεις: α) x+5x β) 4x 6x γ) 8x+6x x 8x δ) 9ω 4ω+7ω 10ω 16. Να εφαρμόσετε την επιμεριστική ιδιότητα στις παρακάτω παραστάσεις: α) (α 3) β) 3(x y) γ) 4(x+y 8) δ) (x )(y+3) ε) (α+4)(β 1) 1.Να υπολογίσετε τα πηλίκα: ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ 6

63 (+49):(+7) (+10):(+10) (+81):(+7) (-5):(-5) (-7):(-1) (-40):(-5) (-13):(+13) (-1):(+3) (-00):(+0) 350 :(-35) (+51):(-17) 84 : 1 (-10):(+,5) (+8,4):(1,) (0,65):(+1,5) 3,5 :(-5) 0 :(-5) 9,6: 6.Να βρείτε τα πηλίκα: 3 5 : ( ) 8 4 : ( ) ( ): : : ( ) : ( ) Να κάνετε τις διαιρέσεις 15 :(-3) 60 :(-1) 56 : 8 (-3,5): 7 (-10):(-4) 6,75: 5 1,5 :(-3) 9 :(- 3 5 ) :(-1,75) :(-6) ( 7 ) : ( ) 18 4.Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 7 : : ٠ : : 7 (1-7): + (-9+3) : (-6) (x + 1) ٠ 3 + (3x + ) : (-1) ٠ [3 (-1)] [10 : (-)] ٠ Να κάνετε τις πράξεις 63

64 ( ) + ( 0,65 0,15) ( ) + 4(,6 + 7,4) 9[--(-7)] 3 6 [7-(-11)]8 (13,4+7,6)(4,9 1,8) + 15,٠16,3 3(-0,6) + 6(-4,5) + 9,8(5-7) [-(-5)]3 8-[-(-3)] + (-)[-(-7)] (-3)(-8+5) 6.Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων Α = 5[7 (-3)] + [6 : (-4)]8 Β = [5(-) (-3) (-6)] : [0,5٠(-0,) (-0,3)(-0,6)] ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΡΗΤΩΝ-ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΙ 1.Να γράψετε με δεκαδική μορφή τους ρητούς Να γράψετε με κλασματική μορφή τους αριθμούς 0, 45 3, 6 9, ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ 1.Να γράψετε με εκθέτη φυσικό κάθε μια από τις δυνάμεις: 5-4, , ( ),(-5) -,(-1) , ( ), (0,5) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: 15-1,(-4) , ( ),( ),( ) ,(0,1) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις (-1) 4 (-) 5 (-1,4) 3 4.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων 3 64

65 (-3) 3 5.Στην πρώτη στήλη του 1 ου πίνακα δίνονται κάποιες δυνάμεις και στη δεύτερη στήλη του τα αποτελέσματά τους. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με ένα μόνο στοιχείο της δεύτερης στήλης του 1 ου πίνακα συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. 1 ος ΠΙΝΑΚΑΣ Α Β Γ Δ Ε ος ΠΙΝΑΚΑΣ Α Β Γ Ε 6.Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα από τα σύμβολα >, <, =, ώστε να προκύψουν αληθείς ανισότητες ή ισότητες (-8) (-1) (-7) (-1) 15.0 (-4) Να συγκρίνετε με το μηδέν τους αριθμούς: 7-1, (-7) , ( ), ( ), -(0,6) -6, (-1) 0, Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων (-) 1 + (-) + (-) 3 + (-) (-) 5 65

66 9.Να υπολογίσετε τα γινόμενα: i) 3-6 ٠ 3 3 ii) (-5) 7 ٠ (-5) 10 ٠(-5) -15 ٠(-5) iii) ( ) ( ) ( ) ( ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = (-1) -6 + (-1) -3 + (-1) 0 + (-1) 3 + (-1) 6 Β = [ 3 + ( 5) + 1 ( ) 5 1 ] 0 11.Υπολογίστε την τιμή της παρακάτω αριθμητικής παράστασης όταν α = 4, β = 3, γ = 10 Π = α 3 + β 3 + γ 3 (α β )(α + β αβ) Να γράψετε το κλάσμα 5 σαν μια δύναμη με βάση Αν α = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης κ = α 8 8α Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) 3-1 : 6-1 ii) ( 5) 10 ( 5) () 10 ( ) 1 iii) Να απλοποιήσετε το κλάσμα: ( 7) ( 5) 11 ( 7)

67 16.Να γράψετε τα παρακάτω γινόμενα με μορφή δύναμης 3 ٠ 4 (-3) ٠(-3) 3 ٠ 3 ٠ 5 (-3)(-3) (-3) (-0,3)(-0,3) (-0,3) 6 (-0,3) 4 17.Να υπολογίσετε τα γινόμενα (0,5) 7 ٠ 40 7 (-) 4 ٠ ٠ 1, Να υπολογίσετε τα πηλίκα (-15) : 3 (-3,4) 3 : (6,48) 3 19.Να υπολογίσετε τις δυνάμεις ( ) 5 [(-3) ] 3 [(-10) ] 3 (-10 4 ) [( ) ] 0.Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) ( - ) 3 8 β) (-3) (-3) -4 γ) (0,75) - δ) 36 3 : (-1) 3 ε) (,5) 4 (-4) 4 στ) 4-0 : Να συμπληρώσετε τις πιο κάτω ισότητες με το πρόσημο + ή : 40 α) ( ) =..., β) ( ) 99 =... γ) =... 8 = δ) (.16) =...,16 ε) ( ) =... στ) ( ) 8.Να γράψετε τις παραστάσεις με μορφή δύναμης ενός αριθμού 67

68 ( 0 ٠ 7 ٠) : 5 (-3) 15 : [(-3) 4 ٠(-3) 9 ٠(-3)] [(1,3) 5 ٠ (-1,34) 4 ] : [(-1,3) ٠ (-1,3) 6 ] 3.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α = -6 [- 4 9 (-) 3 ] + 6 ٠(-3) 13 Β = 5 ٠ [7 (-3)] [6 : (-4)] ٠ (-) 3 Γ = 3 ٠ 5 4 9,8 ٠ ٠ 5 4 5, ٠ Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα :(-0,7) ( - ٠-3 ) ,1 (0,75) 3 (0,75) Να βρείτε το συντομότερο τρόπο τα εξαγόμενα ,5 3,5 3, ( 4 ) 6.Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) ( 4 ) ( 7 ) 3 β) ( 10 ) 7 (Απ: 0,1) (Aπ: 8) 19 7.Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 15 = 5 64 x β) ( ) 4 8 x = γ) 4 4 = x δ) 3 x = 9 8.Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 10 = Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 1 = 1 x β) 5 3 x = x β) x = 4 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΡΗΤΩΝ 68

69 1.Να γράψετε με τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς , , Να γράψετε με τυποποιημένη μορφή Τη διάμετρο ενός ατόμου υδρογόνου που είναι 0, cm Τη διάμετρο του πυρήνα του ατόμου που είναι 0, cm Το ηλεκτρικό φορτίο ηλεκτρόνιου που είναι 0, cb 3.Να γράψετε τις παρακάτω δυνάμεις του 10 ως δεκαδικούς αριθμούς = = =.. 4.Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς: = = =.. 7, = Να κάνετε τον πολλαπλασιασμό: 4, =. 6.Είναι σωστή η ισότητα 0, =43, ; 7.Είναι το 43, η τυποποιημένη μορφή του αριθμού;. 8.Να γράψετε τους παρακάτω αριθμούς σε τυποποιημένη μορφή: 0,0003=. 0, =.. 0, Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς α= και β=3.000 και να βρείτε το γινόμενό τους. α=.., β=,α. β=.. 10.Να γράψετε τους παρακάτω αριθμούς σε τυποποιημένη μορφή: 0,0014=. 0,00093=.. 0,00164=.. 11.Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς 69

70 α=0,005 και β=0,00013 και να βρείτε το γινόμενό τους και το πηλίκο τους: α=., β= α. α β= = β. 1.Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς α= και β=0, και να βρείτε το γινόμενό τους και το πηλίκο τους και να τα γράψετε σε τυποποιημένη μορφή: α=.., β=. α. α β= = β Να κάνετε τις πράξεις ٠ , ٠ 0, : 0, Να κάνετε τις πράξεις, , , 10 7, 10 7, , , , Να συγκρίνετε τους αριθμούς δίχως να τους μετατρέψετε σε δεκαδικούς α) 4, ,7 10 β) 3, , 10 7 γ) 4, , Να συγκρίνετε τους αριθμούς και , και 5, και , 10-7 και 5, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 70

71 1.Να συμπληρώσεις τις προτάσεις: α) Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε. αριθμός. β).. λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Όταν προσθέτεις δύο ομόσημους αριθμούς γράφεις το. που έχουν και προσθέτεις τις απόλυτες τιμές τους. γ) Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν.. πρόσημο. Άρα οι αριθμοί - και -7 δεν είναι αλλά είναι.. δ) Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αριθμούς.. Να βρείτε την απόλυτη τιμή των αριθμών: α) +4,14 β) 736 γ)34 δ) 0 ε) στ) Να βρείτε τους αριθμούς που έχουν απόλυτη τιμή: α) 3 β)7 γ) δ) 0 ε) 7 4. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: α) β) / / 1 / / γ) δ) Να κάνετε τις πράξεις: α) ( 45)+( 3)+38)+ 78) β) +84) + 7)+ +3) + 54) γ) ( 43)+ 301)+ +691)+ + 06) δ) +9)+ +81) +63)+ +17) 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x+(3= 67 β) x+(18= 4 γ) x (89= 56 δ) (95 x= 5 7. Αν α, β είναι μη μηδενικοί ρητοί αριθμοί και μ,ν ακέραιοι, να αντιστοιχίσετε στην κόλλα σας τον κάθε αριθμό της πρώτης στήλης στο κατάλληλο γράμμα της δεύτερης στήλης του ακόλουθου πίνακα, ώστε να ισχύουν ισότητες : 1. α ν α μ α. 1. α 0 β. 1/α ν 3. (α ν ) μ γ. α ν /β ν 4. (α:β) ν δ. α ν+μ 71

72 5. α -ν ε. α ν μ 8.Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις παρακάτω ισότητες, ώστε να εκφράζουν τους ορισμούς και τις ιδιότητες των δυνάμεων: Α. α µ = Β. µ ν 0 α α = Γ. α = ν α µ Δ. ( ) ν α = Ε. ( α β) ν = ΣΤ. Ζ. ν α = Η. ν α β = ν α β 9.A. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι; Β. Πως προσθέτουμε δύο ομόσημους ρητούς; Γ.Να γράψετε στο τετράδιό σας τις λέξεις που λείπουν στις παρακάτω προτάσεις: α) Το πρόσημο του γινομένου δύο ετερόσημων ρητών είναι. β) Αν το πρόσημο του γινομένου πολλών παραγόντων είναι αρνητικό τότε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων του γινομένου είναι... γ) Το γινόμενο δύο αντιστρόφων αριθμών είναι ίσο με. 10.Α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β, γ, δ, ε, ζ, η, όπως δίνονται από τις παρακάτω ισότητες α β γ δ ε 3 =, ( 3) =, + 6 =, ( + 6) =, 8 : ( 4) =, ( 1)( )( + )( 1)( + 3)( )( 1) = ζ, ( )( )( + )( 4)( 3)( )( )( + ) = η Β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3 (3 χ) ( ψ 1) ( 3 1) όταν χ+ψ = β α + δε-ζη Α = [ ] 11.i) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: Α= 5 +, Β= 6 + 1, Γ= ii) Να υπολογισθεί το Α+Β-Γ = Να υπολογίσεις τις παραστάσεις: α) Α= (+17)+(-7)+(+7)+(-41)+(-11)+(+35) β) Β=(+1)-(-9)+(+4)+(-41)-(+14) γ) Γ=Α-Β 7

73 13.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α=(+5) (- 3)+(+3)-(-10) και Β=- - -(-) -1.Στη συνέχεια να βρείτε το πηλίκο Α:Β. 14.Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= ( 3 ) 1 (4 :-6)- (10 :0-) 15.Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων ) Α= + ) Β= 3-3) Γ= 5 ( + 4) + ( 1) ( 7) 4) Δ= 10 ( 10 ( 0) 9) ( ) + ( 4) 6 + 5) A+B+Γ+Δ 16.Δίνονται οι παραστάσεις: 3 Α = ( : 4 1) 6 και Β = : α) Να αποδείξετε ότι Α+1 και Β=-5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β) βρεθεί η τιμή της παράστασης: Δίνονται οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: Α=( ) :, Β= ( ) ( ) ( ) Να δείξετε ότι για τις τιμές των παραστάσεων Α και Β ισχύει ότι Α =Β. Α Β 3 ΑΛΓΕΒΡΑ- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 1 oυ ΚΑΙ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1: Εφαρμόζοντας τους κανόνες που ισχύουν για την προτεραιότητα των πράξεων, να υπολογίσετε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: α) 4 (3 +1) β) 6 (1+3 )

74 γ) 6 (1+3 ) (14+6) δ) ( ε) 10 (8 +6 )4 10 στ)3 +5 ζ) η) (8 3 ) 4000 θ) (3 4) Άσκηση : Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ισότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης Δ=δ π+υ, σε κάθε περίπτωση: α) 500:5 β) 340:3 γ) 433:4 δ)9810:5 Άσκηση 3: Ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες Διαιρέσεις; α) 5= +1 β) 50= 0+10 γ) 8=4 7 δ) 40= Άσκηση 4: Αν ν είναι φυσικός αριθμός ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν:8; Άσκηση 5: Με τη βοήθεια της Επιμεριστικής Ιδιότητας να συμπληρώσετε τις ισότητες: (α+β)=.. 8 α8 β= 3 α18 α=.. Άσκηση 6: Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις χρησιμοποιώντας την Επιμεριστική Ιδιότητα: α) β) γ) Άσκηση 7:α) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 40 και 36. β) Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ τους. Άσκηση 8: Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους αριθμούς α) 4 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 9. β) 5 1 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το και το 3. γ) 6 1 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 10. Άσκηση 9: Να βρείτε ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι ισοδύναμα: α) και β) και γ) και δ) και 74

75 Άσκηση 10: Αν γνωρίζετε ότι ο φυσικός αριθμός x είναι μεγαλύτερος του 1, να συγκρίνετε τα παρακάτω κλάσματα με τη μονάδα: α) β) γ) δ) Άσκηση 11: Να μετατρέψετε τα παρακάτω σύνθετα κλάσματα σε απλά: α) 1 : β) γ) 7 8 :7 δ) :3 6 Άσκηση 1: Να κάνετε τις πράξεις: α) 15:( 4000 " 1# :3 β) 157 ( 5 6 8: ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ! ΑΛΓΕΒΡΑ- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΣΧΑ Άσκηση 1: Εφαρμόζοντας τους κανόνες που ισχύουν για την προτεραιότητα των πράξεων, να υπολογίσετε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: α)13 (4 16) 3 β) 9( ) γ) 3( 4 +3 ) +3(14+ 1 ) δ)16+(4 35) ε) 10 3 (8 +6 ) 10 5 στ)( ζ) η) (8 3 ) 75

76 θ) ( Άσκηση : Να γράψετε πιο σύντομα τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα: α) x+x+x+x+x+x β) xxxx γ) α+α+α+α+α+α δ) ααα Άσκηση 3: Ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες Διαιρέσεις; α) 3=56+ β) 100=0+60 γ) 34=17 δ) 1=5 + Άσκηση 4: α)αν ν είναι φυσικός αριθμός ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν:5; β) Αν ένας αριθμός διαιρεθεί διά του 8 δίνει πηλίκο 4 και υπόλοιπο 3. Ποιος είναι ο αριθμός; Άσκηση 5: Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους αριθμούς α) 3 7 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 9. β) 1 1 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το και το 3. γ) 8 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 10. Άσκηση 6:α) Να βρείτε ποια από τα παρακάτω ζεύγη κλασμάτων είναι ισοδύναμα: και, και και και β)να κάνετε τις συγκρίσεις: 1, 1,,,,.1,.1 Άσκηση 7: Να μετατρέψετε τα παρακάτω σύνθετα κλάσματα σε απλά: α) :7 4 β) γ) :8 6 δ) Άσκηση 8: Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Αριθμός Αντίστροφος Αντίθετος 76

77 Άσκηση 9: Να γράψετε σε απλούστερη μορφή με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας τις παρακάτω παραστάσεις: α) 3x+15x β) 16x 6x γ) 7x+3x 3x 9x δ) 5ω+7ω 13ω Άσκηση 10: Να εφαρμόσετε την επιμεριστική ιδιότητα στις παρακάτω παραστάσεις: α) (x 3) β) 6(x 8) γ) 5(x y ) Άσκηση 11: Να κάνετε τις πράξεις: α) [( 5)( 1)+(+16):( 4)]:(+1) ( 1)(+8) β)[(+ " #+ +4::+ +8 γ) [( "#+5:+ : ;+406: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 77

78 1. Να ονομάσετε με τρία γράμματα τις σημειωμένες με τόξο γωνίες στα παρακάτω σχήματα: A B Κ Μ A Λ B Γ. Στο διπλανό σχήμα να βρείτε: α) Ποια πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη γωνία Ε; β) Ποια γωνία περιέχεται στις πλευρές ΔΖ και ΕΖ; γ) Ποιες γωνίες είναι προσκείμενες στην πλευρά ΔΕ; Ε Ζ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Στο διπλανό τρίγωνο ΚΛΜ Κ Λ Μ 78

79 Η περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΛΜ και ΛΚ είναι η γωνία Η απέναντι πλευρά της γωνίας ˆM είναι η Η πλευρά ΚΜ έχει απέναντι γωνία την Οι προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΚΜ είναι η. και η. Η πλευρά ΜΛ είναι απέναντι της γωνίας. και έχει προσκείμενες τις γωνίες.. Στο διπλανό τρίγωνο ΚΛΜ Π Ρ Ε Η γωνία που έχει απέναντι πλευρά την ΡΕ είναι η γωνία.. Οι προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΠΕ είναι η. και η. Η πλευρά που έχει προσκείμενες γωνίες τις. ˆ ˆΠ και Ε είναι η Η περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΠΕ και ΕΡ είναι.. 3. Στο διπλανό σχήμα να γράψετε : Α Β Γ 79

80 Δ α) τις κυρτές γωνίες που σχηματίζονται.... β) τις προσκείμενες γωνίες στην πλευρά ΑΔ του τριγώνου ΑΒΔ.... γ) την απέναντι πλευρά της γωνίας ˆΒ του τριγώνου ΑΒΔ.... δ) την περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΔ,ΔΓ του τριγώνου ΑΔΓ.... ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1) Την έννοια του σημείου μας την δίνει ) Μία τεντωμένη κλωστή με άκρα Α και Β μας δίνει την εικόνα της έννοιας ενός. Α Β τα Α και Β λέγονται 3) Η ευθεία προκύπτει από Α Β 4) Από ένα σημείο διέρχονται 5) Από δυο σημεία διέρχεται 80

81 6) Μια ημιευθεία προκύπτει Α Β 7) Αντικείμενες ημιευθείες λέγονται αυτές που. χ Ο χ 8) Επίπεδο λέγεται μια επιφάνεια πάνω στην οποία εφαρμόζει. ε Π 9) Ένα επίπεδο επεκτείνεται.. 10) Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται. Από ένα σημείο ή δύο σημεία διέρχονται.. Α Γ Π Β 11) Η ονομασία του επιπέδου δίνεται με. 1) Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο. ε Π 81

82 ΓΩΝΙΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1) Σχεδιάζουμε δύο ημιευθείες Οχ,Οψ με κοινή αρχή το Ο και έτσι σχηματίζουμε τη γωνία ΑΟΓ Το σημείο Ο λέγεται..και οι ημιευθείες Οχ και Οy.. Επίσης μια γωνία τη συμβολίζουμε και με κάποιο μικρό γράμμα π.χ ω ) Ένα τρίγωνο έχει τρεις γωνίες την. τη. και τη.. 3) Η γωνία Α λέγεται. των πλευρών ΑΒ και ΑΓ 4) Οι προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΑΒ είναι οι και. 8

83 5) Τεθλασμένη γραμμή λέγεται μία. 6) Ευθύγραμμο σχήμα λέγεται κάθε τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα... 7) Κυρτή λέγεται μια τεθλασμένη γραμμή όταν η Γ Ξ Ρ Β Ε Ο Σ Α Π.. 8) ) Μη Κυρτή λέγεται μια τεθλασμένη γραμμή όταν η 83

84 Υ Β Τ Ψ Α Γ Φ Ω Ε.... 9) Ισα σχήματα λέγονται αυτά που ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1) ΧΙΛΙΟΜΕΤΡΟ ΜΕΤΡΟ Km m 84

85 ΔΕΚΑΤΟΜΕΤΡΟ ΕΚΑΤΟΣΤΟΜΕΤΡΟ (ΕΚΑΤΟΣΤΟ) ΧΙΛΙΟΣΤΟΜΕΤΡΟ (ΧΙΛΙΟΣΤΟ) dm cm mm ) Απόσταση δύο σημείων Α και Β λέγεται και τη συμβολίζουμε. 3) Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζουμε. 4) Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα έχει μέσο 1) ΠΡΟΣΘΕΣΗ-ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΥΘ. ΤΜΗΜΑΤΩΝ Η τεθλασμένη γραμμή έχει μήκος ίσο με το άθροισμα των ) Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι από το μήκος της τεθλασμένης γραμμής με τα ίδια άκρα. 85

86 3) Περίμετρος ενός ευθύγραμμου σχήματος λέγεται ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 1. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ του τριγώνου, να φέρετε τις κάθετες: α) Από το Μ προς τις ευθείες των πλευρών ΑΓ και ΒΓ του τριγώνου. β) Από τα σημεία Α και Β προς την ευθεία ΓΜ.. Να σχεδιάσετε μια γωνία 10 0 και την κατακορυφήν της. Να φέρετε τις διχοτόμους των γωνιών αυτών και να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν. 3. Να σχεδιάσετε μια γωνία 70 0 και στη συνέχεια να σχεδιάσετε την εφεξής και παραπληρωματική της. Να φέρετε τις διχοτόμους των γωνιών αυτών και να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν. 4.Εάν η γωνία α του διπλανού σχήματος είναι 50 ο να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες β,γ και δ δικαιολογώντας τα αποτελέσματα γ δ β α=50 ο που βρήκες. 86

87 5.Να υπολογίσετε τις γωνίες του παρακάτω σχήματος (χωρίς μοιρογνωμόνιο). 6.α) Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες γωνίες και στη δεύτερη τα χαρακτηριστικά τους. Να αντιστοιχήσετε κάθε στοιχείο της α στήλης του με ένα στοιχείο της β στήλης του συμπληρώνοντας τον ο πίνακα. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. Ορθή γωνία α. Οι πλευρές της είναι αντικείμενες ημιευθείες Β. Ευθεία γωνία β. Οι πλευρές της συμπίπτουν Γ. Πλήρης γωνία γ. Οι πλευρές της είναι κάθετες Δ. Αμβλεία γωνία δ. Γωνία μικρότερη της ορθής Ε. Οξεία γωνία ε. Γωνία μεγαλύτερη της ορθής Α Β Γ Δ Ε β) Να αντιστοιχήσετε κάθε γωνία της α στήλης του παρακάτω πίνακα με το μέτρο της που βρίσκεται στην β στήλη συμπληρώνοντας τον ο πίνακα. ΣΤΗΛΗ Α Α. Ορθή γωνία α. 0 ο Β. Ευθεία γωνία β. 1 ο Γ. Πλήρης γωνία γ. 360 ο Δ. Μηδενική γωνία δ. 90 ο ΣΤΗΛΗ Β ε. 180 ο Α Β Γ Δ 7.α) Ποιες γωνίες λέγονται εφεξής; Να σχεδιάσετε δυο εφεξής γωνίες. 87

88 β) Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Να σχεδιάσετε δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες. γ) Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Να σχεδιάσετε δυο εφεξής και συμπληρωματικές γωνίες. 8.α) Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν; β) Να δικαιολογήσετε ότι δυο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες Να βρεθούν σε μοίρες οι γωνίες α) φ= ορθής,β) ω= ορθής Το άθροισμα τριών γωνιών α,β,γ είναι 17 0.Αν είναι α=84 0,β= 3 ορθής,να βρεθεί η γωνία γ. 11. Δίνεται γωνία ω=39 0.Να βρεθεί η παραπληρωματική της και η συμπληρωματική της σε μοίρες. (Απ:51 0,141 0 ) 1. Δίνεται γωνία ω= Να υπολογισθεί η παραπληρωματική και η συμπληρωματική της γωνίας ω. (Απ: , ) 13. Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές.αν η μία είναι τετραπλάσια από την άλλη,να βρείτε σε μοίρες κάθε μία από τις γωνίες αυτές. (Απ:36 0,144 0 ) 14. Μία γωνία είναι μεγαλύτερη από την παραπληρωματική της κατά 4 0.Να βρείτε σε μοίρες κάθε μία από τις γωνίες αυτές. (Απ:69 0,111 0 ) 15. Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν δύο οξείες ή δύο αμβλείες γωνίες να είναι παραπληρωματικές. 16. Αν δύο παραπληρωματικές γωνίες είναι ίσες,να βρείτε το είδος των γωνιών αυτών. 17. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μια είναι τετραπλάσια από την άλλη πόσες μοίρες είναι η κάθε γωνία; 88

89 18. Δίνονται δύο γωνίες που είναι παραπληρωματικές και η μία είναι διπλάσια από την άλλη. Να βρείτε πόσο είναι η καθεμιά Μια γωνία είναι µικρότερη από την συµπληρωµατική της κατά 15.Να βρεθούν οι δυο γωνίες. ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΩΝ -ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΕΥΘΕΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ 1. Να σχεδιάσετε δύο παράλληλες ευθείες που απέχουν μεταξύ του 3cm.. Δίνεται μία γωνία <=>? =60 0. Από ένα σημείο Α της διχοτόμου της γωνίας αυτής, φέρτε τις αποστάσεις του Α προς τις πλευρές της γωνίας. Συγκρίνετε με το υποδεκάμετρο τις αποστάσεις αυτές. Τι παρατηρείτε; 3. Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4cm. Αν Μ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος, να φέρετε την κάθετη στο ΑΒ ευθεία ε η οποία διέρχεται από το Μ. Πάρτε ένα σημείο Γ πάνω στην ευθεία ε. Συγκρίνετε με το υποδεκάμετρο τις αποστάσεις των σημείων Α και Β από την ε. Τι παρατηρείτε; 4. Να σχεδιάσετε μια ευθεία ε και ένα σημείο Α που απέχει 0,6dm από την ευθεία ε. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε μια ευθεία ε 1 που να διέρχεται από το Α και να είναι παράλληλη στην ε. ΚΥΚΛΟΣ 1.α) Τι λέγεται κύκλος και τι κυκλικός δίσκος; β)ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου (σχήματα).. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο με διάμετρο 5cm. 3. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο, cm). Να χρωματίσετε με κόκκινο το μέρος του επιπέδου που απέχει από το Ο απόσταση μικρότερη ή ίση από cm και με γαλάζιο το μέρος του επιπέδου που απέχει από το Ο απόσταση μεγαλύτερη από cm. 89

90 4. Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=5cm. Να γράψετε τους κύκλους (Α, 3cm) και (Β, 4cm). Να χρωματίσετε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν ταυτόχρονα απόσταση μικρότερη ή ίση από 3cm από το Α και μικρότερη ή ίση από 4cm από το Β. 5. Να σχεδιάσετε τους κύκλους (Ο, cm) και (Ο, 3cm). Να χρωματίσετε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Ο απόσταση μεγαλύτερη από cm και μικρότερη ή ίση με 3cm. 6. Να γράψετε δύο κύκλους (Κ,5cm) και (Κ,4cm).Να βρείτε το σύνολο των σημείων του επιπέδου που είναι εσωτερικά του κύκλου (Κ,5cm) και εξωτερικά του κύκλου (Κ,4cm). 7. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4 cm. Να χρωματίσετε τα σημεία του επι-πέδου που απέχουν από το Α λιγότερο από cm και από το Β λιγότερο από 36 mm. 8. Να σχεδιάσετε έναν κύκλο (Ο, cm). Να θεωρήσετε δύο σημεία Α και Β του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από το Ο είναι αντίστοιχα cm και 4cm. α)φέρτε την κάθετη ευθεία στο τμήμα ΟΑ η οποία διέρχεται από το Α. Ποια είναι η σχετική θέση της ευθείας αυτής και του κύκλου; β) Φέρτε την κάθετη ευθεία στο τμήμα ΟΒ η οποία διέρχεται από το Β. Ποια είναι η απόσταση της ευθείας αυτής από το Ο; 9. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο,ρ) και μια διάμετρό του ΑΒ. Φέρτε τις εφαπτομένες ευθείες του κύκλου στα σημεία Α και Β. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο αυτών ευθειών. 10. Να ορίσετε ένα σημείο Ο.Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Ο.α) Περισσότερο από 1,4cm β) Λιγότερο από,1cm γ) Περισσότερο από 1,4cm και ταυτόχρονα λιγότερο από,1cm. 11. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ=3,4cm.Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Μ λιγότερο από,8cm και από το Ν λιγότερο από,3cm. 90

91 1. Να σχεδιάσετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και να φέρετε μια διάμετρό του ΑΒ. Να βρείτε δύο σημεία του κύκλου που να ισαπέχουν από τα Α και Β. 13. Σ ένα κύκλο (Ο, ρ) φέρτε δύο διαμέτρους ΑΒ και ΓΔ. Αν γνωρίζουμε ότι το B =60 0, να υπολογιστούν όλες οι γωνίες που σχηματίζουν οι δύο διάμετροι. 14. Στον κύκλο (Ο,ρ) θεωρήστε τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ που σχηματίζουν γωνία 80 ο και στη συνέχεια πάρτε την διχοτόμο ΟΓ της α) Να συγκρίνετε τα B και DE B. β) Να συγκρίνετε τις χορδές ΑΓ και ΒΓ 15. Να κατασκευάσετε τις εφαπτόμενες ενός κύκλου με διάμετρο ΑΒ = 6 cm στα σημεία Α και Β.Να δικαιολογήσετε ότι αυτές είναι παράλληλες. 16. Σε κύκλο (ο, ρ) φέρνουμε μια ακτίνα ΟΑ και την κάθετη ε στο σημείο Α της ακτίνας ΟΑ που είναι εφαπτομένη του κύκλου. Να δικαιολογήσετε ότι κάθε άλλο σημείο της ε βρίσκεται έξω από τον κύκλο. 17. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 4 cm.να κατασκευάσετε την μεσοκάθετο μιας χορδής ΑΒ αυτού και να ονομάσετε Μ και Ν τα σημεία στα οποία τέμνει τον κύκλο. Να συγκρίνετε τις χορδές ΜΑ και ΜΒ και να δικαιολογήσετε το αποτέλεσμα. 91

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ 1.α) Στο παρακάτω σχήμα να γράψετε: Τα ζευγάρια των εντός εναλλάξ γωνιών. Τα ζευγάρια των εντός και επί τα αυτά γωνιών. Τα ζευγάρια των εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών. ε µ λ ν κ ε β δ α ε 1 β) Όταν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τρίτη τότε ποιες από τις από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Π 1 : Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι παραπληρωματικές. Π : Οι εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές. Π 3 : Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες. Π 4 : Οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες. Π 5 : Οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές..στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, φ, ω ε 1 ε β φ 80 0 ω α

93 3.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες και η γωνία ω είναι ορθή. Να υπολογίσετε τις γωνίες α,β,φ. ε 1 β φ φ ω ε α β 70 4.Στο διπλανό σχήμα είναι Â 1=3 0, ε 1 //ε και δ 1 δ (κάθετες). Να υπολογίσετε τις γωνίες θ και ω. A 1 ε1 θ ω ε δ δ1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 0 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1.α) Τι ονομάζουμε διάμεσο, ύψος και διχοτόμο ενός τριγώνου. β) Να αναφέρετε τις ιδιότητες των πλευρών, των γωνιών και των δευτερευόντων στοιχείων ενός ισοπλεύρου τριγώνου.. Τι ονομάζουμε διάμεσο, τι ύψος και τι διχοτόμο ενός τριγώνου; (Να κάνετε τα αντίστοιχα σχήματα) 93

94 3. α) Ποιο τρίγωνο λέγεται ισοσκελές; β) Ποιες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες; γ) Ποιο τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο; δ) Τι γνωρίζετε για τις γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου; α) Συμπληρώστε τις προτάσεις: Π 1 : Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με Π : Ορθογώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει.. Π 3 : Αμβλυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει. Π 4 : Οξυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει. Τι ονομάζουμε διάμεσο ενός τριγώνου; Τι ονομάζουμε ύψος ενός τριγώνου; Πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο; Πώς λέγεται το σημείο που τα ενώνει; Να κάνετε τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα. 4. Να σχεδιάσετε τα ύψη ενός αμβλυγώνιου τριγώνου. 5. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο και να φέρετε τις μεσοκάθέτους των πλευρών του. 6. α)τι είναι διάμεσος, ύψος και διχοτόμος ενός τριγώνου ΑΒΓ; β) Αποδείξτε ότι το άθροισμα γωνιών ενός τριγώνου είναι 180. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1.α) Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει δυο ορθές γωνίες ή δυο αμβλείες γωνίες; Δικαιολογήστε την απάντηση σας. β) Να δικαιολογήσετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ο.. Ενός τριγώνου η γωνία A είναι διπλάσια από τη γωνία Β και η γωνία Γ τριπλάσια της γωνίας Β. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. 3. Να υπολογίσετε πόσες μοίρες είναι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. 4. Ισοσκελούς τριγώνου η μια από τις παρά τη βάση γωνίες του είναι 45. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου. 94

95 5. Υπολογίστε τις γωνίες ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ που έχει Β= και Γ=5 0 0.Να βρεθεί η τρίτη γωνία Α αυτού. (Απ:Α= ) 7. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) η γωνία της κορυφής των ίσων πλευρών του είναι 5 0.Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου. (Απ:Β=Γ=64 0 ) 8. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) η μία από τις ίσες γωνίες της βάσης του είναι 57 0.Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου (Απ:Α=66 0 ) 9. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α=35 0 και η γωνία Β είναι τετραπλάσια από την γωνία Γ.Να υπολογισθούν οι γωνίες Β και Γ. (Απ:Γ=9 0,Β=116 0 ) 10. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α=40 0 και Β=84 0.Να υπολογίσετε την γωνία Γ και τη γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Β. (Απ:56 0,118 0 ) 11.Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες στα παρακάτω σχήματα: 95

96 1.Δύο ευθείες x x και y y παράλληλες μεταξύ τους τέμνονται από τρίτη ευθεία ε στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και η γωνία x Αε είναι 10 ο.φέρτε τη διχοτόμο της γωνίας ΑΒy που τέμνει την x x στο Γ. Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. 13.Να υπολογίσετε στο παρακάτω σχήμα τις γωνίες χ, ψ, ω γνωρίζοντας ότι οι ευθείες (ε) και (δ) είναι παράλληλες. ω ε ψ 70 ο χ 15 0 δ 14.Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ, ε του παρακάτω σχήματος και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας, αν ε 1 παράλληλη με τηνε : ε δ ε 1 γ α 55 ο β 130 ο ε 96

97 15.Στο διπλανό σχήμα (αστέρι) δίνονται οι γωνίες Ĥ=5, Ẑ=35, ˆ =35 0 και ˆΕ=45. Να υπολογίσετε 1. τη γωνία ˆx του τριγώνου ΗΓΕ,. τη γωνία ˆψ του τριγώνου ΑΖΔ και τέλος τις γωνίες ˆ, α βˆ και ˆγ του τριγώνου ΑΒΓ. 16.Στο διπλανό σχήμα δίνεται: ε 1 //ε και ΟΑ=ΟΒ. Α. Να βρεθούν οι γωνίες ω και φ. Β. Να βρεθούν οι γωνίες θ και κ. Γ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. 17.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες. Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες β, γ, δ, ε και η. Β. Να αναφέρετε το είδος του τριγώνου ΚΛΜ ως προς τις γωνίες του. 97