ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ Χ. ΨΑΛΤΑΚΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E-BOOK

Transcript

1

2 ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ Χ. ΨΑΛΤΑΚΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ E-BOOK ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ιδρυτική δωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αµερικής ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2011

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ι ΡΥΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑΣ Ηράκλειο Κρήτης, Τ.Θ. 1385, Τηλ , Fax: Αθήνα: Μάνης 5, Τηλ , Fax: ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΦΥΣΙΚΗ Διευθυντής σειράς: Στέφανος Τραχανάς c 2008 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ &Γρηγόριος Χ. Ψαλτάκης Το βιβλίο στοιχειοθετήθηκε από τον συγγραφέα χρησιµοποιώντας L A TEX Πρώτη έκδοση: Νοέµβριος 2008 Εκτύπωση & βιβλιοδεσία: ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE Φιλολογική επιµέλεια: Τασούλα Μαρκοµιχελάκη Σχεδίαση εξωφύλλου: Ντίνα Γκαντή ISBN

4

5 Στη Σοφία

6 Περιεχόµενα Πρόλογος xvii I εύτερη Κβάντωση Απλά Μοντέλα 1 1 Ανασκόπησητηςκβαντοµηχανικής Ο χώρος των καταστάσεων Γραµµικοί τελεστές Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες Το θερµοδυναµικό όριο Αρµονικοί ταλαντωτές Ένα απλό πρόβληµα ιδιοτιµών Ο µονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής Σύµφωνες καταστάσεις Κβαντική θεωρία του αρµονικού κρυστάλλου Φωνόνια εύτερη κβάντωση Ταυτόσηµα σωµατίδια Καταστάσεις n-σωµατιδίων Ο χώρος του Fock Τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής Η βάση των αριθµών κατάληψης Τελεστές πεδίου Χρήσιµες µεταθετικές σχέσεις Χαµιλτονιανή και άλλοι τελεστές Τελεστές ενός-σώµατος

7 x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τελεστές δύο-σωµάτων Η εξίσωση Schrödinger Συµµετρίες στον χώρο του Fock Αλλαγή βάσης Οµογενή συστήµατα Συστήµατα µε διαφορετικά είδη σωµατιδίων Στατιστική µηχανική Σύνοψη βασικών ορισµών και σχέσεων ιακυµάνσεις αριθµού σωµατιδίων ιακυµάνσειςενέργειας Το ιδανικό κβαντικό αέριο Κατανοµή Bose-Einstein και Fermi-Dirac Το θεώρηµα του Wick Στοιχειώδεις εφαρµογές Μη αλληλεπιδρώντα φερµιόνια Θεµελιώδης κατάσταση Πίνακας πυκνότητας δύο-σωµατιδίων Στοιχειώδεις διεγέρσεις Θερµοδυναµικές ιδιότητες Η µέθοδος Hartree-Fock Αρχή της µεθόδου Οι εξισώσεις Hartree-Fock Το θεώρηµα του Koopmans Το οµογενές ηλεκτρονικό αέριο Χαµιλτονιανή Επίλυση των εξισώσεων Hartree-Fock Μαγνητισµός και το οµογενές ηλεκτρονικό αέριο Τοπικό δυναµικό ανταλλαγής και η µέθοδος X α Υπερρευστότητα Εισαγωγικά σχόλια. Χαµιλτονιανή Μη αλληλεπιδρώντα µποζόνια Ασθενώς αλληλεπιδρώντα µποζόνια Κριτήριο του Landau για την υπερρευστότητα

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi 7 Υπεραγωγιµότητα Εισαγωγικές παρατηρήσεις Φαινόµενο Meissner Η ενεργός αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου Ποιοτικά χαρακτηριστικά Η αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-φωνονίου Ζεύγη Cooper Ενέργεια δέσµευσης Η µικροσκοπική θεωρία BCS Ενεργός Χαµιλτονιανή Κανονικός µετασχηµατισµός Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος BCS Μεγάλο δυναµικό και ελεύθερη ενέργεια Μαγνητική τάξη και κύµατα σπιν Η φύση των µαγνητικών αλληλεπιδράσεων Μοντέλα µε εντοπισµένες µαγνητικές ροπές Η αλληλεπίδραση ανταλλαγής Αναπαραστάσεις τελεστών του σπιν Αναπαράσταση Schwinger Αναπαράσταση Holstein-Primakoff Το ανάπτυγµα 1/S Ο σιδηροµαγνήτης Heisenberg Ορισµός του µοντέλου Το όριο µεγάλου-s Κβαντικές διακυµάνσεις. Κύµατασπιν Μαγνήτιση. Ο νόµος του Bloch Ο αντισιδηροµαγνήτης Heisenberg Ορισµός του µοντέλου Το όριο µεγάλου-s. ΗκατάστασηNéel Κβαντικές διακυµάνσεις. Κύµατασπιν Εναλλασσόµενη µαγνήτιση II Συναρτήσεις Green Συναρτήσεις Green Ορισµοί Εικόνα Heisenberg σε πραγµατικό χρόνο

9 xii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9.2 Εικόνα Heisenberg σε φανταστικό χρόνο Απλές ιδιότητες των µέσων τιµών Ορισµός των συναρτήσεων Green Η retarded συνάρτηση Green Η advanced συνάρτηση Green Η causal συνάρτηση Green Η θερµική συνάρτηση Green Μετασχηµατισµός Fourier Αναλυτικές ιδιότητες Συναρτήσεις συσχέτισης Συναρτήσεις Green πραγµατικού χρόνου Συνάρτηση Green φανταστικούχρόνου Συνάρτηση φασµατικού βάρους Ορισµός ΑναπαράστασηLehmann Φασµατικές ροπές Αθροιστικοί κανόνες Σχέσεις διασποράς Kramers-Kronig Το θεώρηµα διακύµανσης-απορρόφησης Η ανισότητα του Bogoliubov Ένας απλός υπολογισµός Αθροίσµατα θερµικών συχνοτήτων Η θεωρία της γραµµικής απόκρισης Ο τύπος του Kubo Γενικευµένες επιδεκτικότητες Συµπιεστότητα Μαγνητική επιδεκτικότητα τουσπιν ιηλεκτρική συνάρτηση Ηλεκτρική αγωγιµότητα Η µέθοδος των εξισώσεων κίνησης Οι εξισώσεις κίνησης Το ιδανικό κβαντικό αέριο Απλές συναρτήσεις Green Το θεώρηµα του Wick Αλληλεπιδρώντα σωµατίδια Ιδιοενέργεια και η εξίσωση Dyson Θερµοδυναµικές ποσότητες

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiii Οιονεί-σωµατίδια ιαταρακτικό ανάπτυγµα Ιδιοενέργεια Μεγάλο δυναµικό Ενέργεια θεµελιώδους κατάστασης Εφαρµογή: οµογενές σύστηµα φερµιονίων Προσεγγίσεις αποσύζευξης Συναρτήσεις Green δύο-σωµατιδίων Συναρτήσεις Green τριών-σωµατιδίων Στοιχειώδεις εφαρµογές Ιδιοενέργεια στην προσέγγιση Hartree-Fock ιηλεκτρική συνάρτηση στην προσέγγιση RPA Άλλες µορφές αποσύζευξης Αποσύζευξη µε διατήρηση φασµατικών ροπών Γενικευµένη RPA Η προσέγγιση T -πίνακα Η µικροσκοπική θεωρία BCS Η αστάθεια Cooper Οι εξισώσεις κίνησης Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος Θερµοδυναµικές ιδιότητες Μεγάλο δυναµικό και ελεύθερη ενέργεια Εντροπία και ειδική θερµότητα Κρίσιµη τιµή του µαγνητικού πεδίου Μαγνητική επιδεκτικότητα του σπιν Μαγνητισµός οδευόντων ηλεκτρονίων Μοντέλο Stoner Περιγραφή µέσου πεδίου Συνάρτηση Green σωµατιδίου-οπής Παραµαγνητική φάση Σιδηροµαγνητική φάση Κύµατα πυκνότητας σπιν

11 xiv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 16 Μαγνητισµός εντοπισµένων ροπών Ο παραµαγνήτης Heisenberg Ο σιδηροµαγνήτης Heisenberg Προσέγγιση αποσύζευξης Tyablikov Η περίπτωση σπιν-1/ III ιαγράµµατα Feynman Θεωρία διαταραχών Θέση του προβλήµατος Το διαταρακτικό ανάπτυγµα Dyson Το θεώρηµα του Wick ιαγράµµατα Feynman µε σήµανση ιαγράµµατα Feynman χωρίςσήµανση Συνεκτικά και µη-συνεκτικά διαγράµµατα Αναπαράσταση συχνότητας Αναπαράσταση συχνότητας και ορµής Υπολογισµός συναρτήσεων Green ιαταρακτικό ανάπτυγµα Συνάρτηση Green ενός-σωµατιδίου Ιδιοενέργεια και η εξίσωση Dyson Αναπαράσταση συχνότητας Αναπαράσταση συχνότητας και ορµής Η προσέγγιση Hartree-Fock Η προσέγγιση RPA. ιαγράµµατα δακτυλίων Η προσέγγιση T -πίνακα. ιαγράµµατα κλίµακας Συνάρτηση κορυφής δύο-σωµατιδίων Βασικοί ορισµοί και σχέσεις Ταυτότητες Ward-Takahashi WT: διατήρηση του αριθµού σωµατιδίων WT: τοπική διατήρηση του αριθµού σωµατιδίων WT: διατήρηση της ορµής

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xv Παραρτήµατα Α Ολοκληρώµατακαισειρές 661 Β Μεταθέσεις 671 Γ Η θ-συνάρτηση βήµατος 679 Η δ-συνάρτηση του Dirac 683 Βιβλιογραφία 687 Λεξικό βασικών όρων 693 Ευρετήριο 701

13 Πρόλογος Ησυγγραφή του παρόντος βιβλίου αποτελεί προϊόν της διδασκαλίας εκ µέρους µου ενός µαθήµατοςπάνωστηνκβαντικήθεωρίατωνσυστηµάτωνπολλώνσωµατιδίων, όπως είναι αυτά που συναντάµε σε µεγάλη ποικιλία στη φυσική συµπυκνωµένης ύλης αλλά και σε άλλους κλάδους της φυσικής και της κβαντικής χηµείας. Το βιβλίο απευθύνεται στους µεταπτυχιακούς και προχωρηµένους προπτυχιακούς φοιτητές µε ενδιαφέρον για το γνωστικό αντικείµενο που πραγµατεύεται, ενώ προτίθεται να είναι χρήσιµο και στους νέους ερευνητές του πεδίου. Το κείµενο του βιβλίου χωρίζεται σε τρία µέρη που αντιστοιχούν σε µια λογική ανάπτυξη η οποία προϋποθέτει εκ µέρους του αναγνώστη µόνο την κατανόηση της στοιχειώδους κβαντοµηχανικήςκαι στατιστικής µηχανικής, όπως αυτές καλύπτονται στα αντίστοιχα βασικά προπτυχιακά µαθήµατα του Πανεπιστηµίου. Το πρώτο µέρος αφιερώνεται στην εισαγωγή και ανάπτυξη της γλώσσας της δεύτερης κβάντωσης, στην οποία είναι γραµµένη η σύγχρονη φυσική των κβαντικών συστηµάτων πολλών σωµατιδίων. Η γλώσσα αυτή χρησιµοποιείται στη συνέχεια για τον ορισµό και την ανάλυση µιας σειράς απλών µοντέλων αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων τύπου Bose ή Fermi ή και εντοπισµένων µαγνητικών ροπών (σπιν), τα οποία αποτελούν ακρογωνιαίους λίθους για την κατανόηση των συνεπειών των αλληλεπιδράσεων. Τυπικά παραδείγµατα αποτελούν, µεταξύ άλλων, το οµογενές ηλεκτρονικό αέριο, το µοντέλο του Bogoliubov για την υπερρευστότητα, και το µοντέλο των Bardeen-Cooper-Schrieffer για την υπεραγωγιµότητα. Το δεύτερο µέρος εστιάζεται στη θεωρία των συναρτήσεων Green, οι οποίες συνδέονται άµεσα µε τα παρατηρήσιµα µεγέθη των κβαντικών συστηµάτων πολλών σωµατιδίων σε πεπερασµένες θερµοκρασίες. ίνεται έµφαση στις αναλυτικές ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων και παρουσιάζεται η απλούστερη αλλά ταυτόχρονα αποτελεσµατική µέθοδος υπολογισµού τους,που δεν είναι άλλη από τη µέθοδο των εξισώσεων κίνησης µε τις συναφείς προσεγγίσεις αποσύζευξης. Τυπικές εφαρµογές σε απλά µοντέλα αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων χρησιµοποιούνται για την εξοικείωση µε διάφορες πτυχές της θεωρίας αλλά και την εξαγωγή χρήσιµων φυσικών απο-

14 xviii Πρόλογος τελεσµάτων τα οποία αφορούν τόσο δυναµικές όσο και στατικές θερµοδυναµικές ιδιότητες. Το τρίτο και τελευταίο µέρος του βιβλίου αφιερώνεται στην παρουσίαση της περίφηµης διαγραµµατικής θεωρίας διαταραχών του Feynman, πάντα σε πεπερασµένες θερµοκρασίες, η οποία αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο υπολογισµού των συναρτήσεων Green. Επιλεκτικές αθροίσεις διαγραµµάτων Feynman, οι οποίες έχουν αντιστοίχιση µε κατάλληλες προσεγγίσεις αποσύζευξης των εξισώσεων κίνησης, αποτελούν εδώ χρήσιµα παραδείγµατα για την καλύτερη κατανόηση της φύσης των προσεγγίσεων αλλά και την ανάδειξη των συγκριτικών πλεονεκτηµάτων των διαφόρων µεθόδων υπολογισµού. Οπαιδαγωγικός στόχος του βιβλίου είναι να προετοιµάσει τον φοιτητή για τη µελέτη της σχετικής ερευνητικής βιβλιογραφίας. Είναι όµως φανερό ότι ένας τέτοιος στόχος δεν µπορεί να επιτευχθεί εάν η διαδικασία µάθησης δεν περιλαµβάνει και µια ισχυρή συνιστώσα αυτοµάθησης, γιαναδανειστώµιαφράσητουσυνάδελφου Σ. Τραχανά. Ηπαρούσασυγγραφική εργασία έχει τις ρίζες της τόσο σε µακρινούς όσο και σε πλησιέστερους τόπους, χρόνους και ανθρώπους. Αναφερόµενος στους τελευταίους, οφείλω να ευχαριστήσω θερµά τους M. G. Cottam, E. W. Fenton, και C. P. Enz, για τις γνώσεις και τις ερευνητικές ευκαιρίες που µου πρόσφεραν σε σχέση µε το αντικείµενο αυτού του βιβλίου. Ευχαριστίες οφείλω επίσης και στους συναδέλφους Ε. Ν. Οικονόµου και Ν. Παπανικολάου, οι οποίοι µε τη δράση τους εξ αποστάσεως ή και εξ επαφής συνέβαλαν στην περαιτέρω δική µου κατανόηση του γνωστικού αντικειµένου. Η στοιχειοθέτηση του κειµένου του βιβλίου έγινε µε το σύστηµα LATEX ενώ ο σχεδιασµός των σχηµάτων έγινε µε τα πακέτα γραφικών PSTricks και feynmf. Ηυποστήριξητουπαραπάνω λογισµικού αλλά και της γενικότερης υπολογιστικής λειτουργίας που µου πρόσφερε ο. Κουναλάκης, µέλος του Υπολογιστικού Κέντρου του Πανεπιστηµίου Κρήτης, ήταν ανεκτίµητη και τον ευχαριστώ ιδιαιτέρως. Η τελική µορφή και έκδοση του βιβλίου οφείλεται στην άψογη επαγγελµατική εργασία του προσωπικούτων ΠανεπιστηµιακώνΕκδόσεων Κρήτης, τους οποίους ευχαριστώ θερµά. Γρηγόριος Χ. Ψαλτάκης Ηράκλειο, Οκτώβριος 2008

15 Μέρος I εύτερη Κβάντωση Απλά Μοντέλα

16

17 Κεφάλαιο 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής 1.1 Ο χώρος των καταστάσεων Å ÛÑ ØÖ ØÓ ØÛº ΠΛΑΤΩΝ Σύµφωνα µε τη θεµελιώδη πρόταση της κβαντοµηχανικής, όπως αυτή διατυπώθηκε από τον Schrödinger, η κατάσταση ενός σωµατιδίου περιγράφεται από µια τετραγωνικά ολοκληρώσιµη µιγαδική κυµατοσυνάρτηση ψ(xσ) d 3 x ψ(xσ) 2 <. (1.1) σ Ηκυµατοσυνάρτηση περιέχει όλες τις πειραµατικά ελέγξιµες πληροφορίες για την κατάσταση του σωµατιδίου. Ειδικότερα, η ποσότητα ψ(xσ) 2 d 3 x µας δίνει την πιθανότητα να βρούµε το σωµατίδιο µε σπιν 1 (ή άλλη διάκριτη µεταβλητή) σ µέσα στον στοιχειώδη όγκο d 3 x = dx 1 dx 2 dx 3,γύρωαπότοσηµείοx =(x 1,x 2,x 3 ).Για να είναι συνεπής η στατιστική αυτή ερµηνεία θα πρέπει, βεβαίως, η πιθανότητα να είναι κανονικοποιηµένη: σ d 3 x ψ(xσ) 2 =1.Οχώροςτωνκαταστάσεωνενόςσωµατιδίου ταυτίζεται λοιπόν µε το σύνολο των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων κυ- µατοσυναρτήσεων, το οποίο, όπως γνωρίζουµε, αποτελεί έναν διανυσµατικό χώρο µε εσωτερικό γινόµενο που ορίζεται από τη σχέση (φ, ψ) = d 3 xφ (xσ)ψ(xσ). (1.2) σ 1 Πιο αναλυτικά, εδώ εννοούµε την ιδιοτιµήτου τελεστή της προβολής του σπιν κατά µήκος ενός δοσµένου άξονα κβάντωσης, τον οποίο θεωρούµε συνήθως ως τον άξονα z. Για λόγους οικονοµίας στην έκφραση θα αναφερόµαστε στο µέγεθος αυτό µε τον όρο σπιν σ.

18 4 Κεφ.1 Ανασκόπηση τηςκβαντοµηχανικής Από τον ορισµό (1.2) γίνεται φανερό ότι το εσωτερικό γινόµενο έχει τις παρακάτω χαρακτηριστικές ιδιότητες: (φ, ψ) =(ψ, φ), (1.3) (φ, λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 )=λ 1 (φ, ψ 1 )+λ 2 (φ, ψ 2 ), (1.4) (ψ, ψ) 0, και (ψ, ψ) =0 ψ(xσ) =0, (1.5) όπου λ 1, λ 2 είναι µιγαδικοί αριθµοί. Μια πιο αφηρηµένη, αλλά ουσιαστικά ισοδύναµη, περιγραφή του χώρου των καταστάσεων επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας τον φορµαλισµό του Dirac, που δίνει έµφαση στα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της κβαντικής θεωρίας. Στο επίκεντρο του φορµαλισµού του Dirac βρίσκεται η λεγόµενη αρχή της υπέρθεσης των καταστάσεων, που συνοψίζεται στη δήλωση ότι: το σύνολο των καταστάσεων ενός σωµατιδίου, ή γενικότερα ενός συστήµατος, αποτελεί έναν διανυσµατικό χώρο. Τα διανύσµατα-καταστάσεις αυτού του χώρου τα συµβολίζουµε µε φ, ψ, κ.λπ., και τα ονοµάζουµε διανύσµατα ket ή απλά ket. Σε κάθε διάνυσµα ket ψ αντιστοιχούµε ένα συζυγές (conjugate) διάνυσµα που το συµβολίζουµε µε ψ και το ονοµάζουµε διάνυσµα bra ή απλά bra. Η πράξη αυτή της συζυγίας είναι αντιγραµµική, δηλαδή χ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 χ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2. (1.6) Ηένα-προς-ένα αντιστοιχία µεταξύ των διανυσµάτων ket και των διανυσµάτων bra είναι ανάλογη µε την ένα-προς-ένα αντιστοιχία µεταξύ των κυµατοσυναρτήσεων ψ(xσ) µε τις µιγαδικές συζυγείς τους ψ (xσ). Προφανώς,στοµηδενικό διάνυσµα ket αντιστοιχεί το µηδενικό διάνυσµα bra συµβολίζοντας και τα δύο (για λόγους οικονοµίας) µε 0, έχουµεότι: ψ =0 ψ =0.Πρέπεινατονίσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα (ket ή bra) δεν περιγράφει κάποια φυσική κατάσταση. Σε αναλογία µε τις (1.3) (1.5), ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων φ και ψ τον µιγαδικό αριθµό φ ψ για τον οποίο δεχόµαστε ότι υπακούει τα παρακάτω αξιώµατα: φ ψ = ψ φ, (1.7) ( φ ) λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 = λ 1 φ ψ 1 + λ 2 φ ψ 2, (1.8) ψ ψ 0, και ψ ψ = 0 ψ = 0, (1.9) όπου λ 1, λ 2 είναι µιγαδικοί αριθµοί. Εάν φ ψ =0,ταδιανύσµατα φ και ψ λέγονται ότι είναι ορθογώνια. Ως µέτρο ενός διανύσµατος ψ ορίζουµε τον µη αρνητικό

19 1.1 Ο χώρος των καταστάσεων 5 πραγµατικό αριθµό: ψ = ψ ψ.έναδιάνυσµα ψ λέγεται κανονικοποιη- µένο, εάν το µέτρο του είναι ίσο µε τη µονάδα, δηλ. εάν ψ =1ήισοδύναµα ψ ψ =1. Από τις (1.6) (1.8) είναι προφανές ότι ( ) λ 1 φ 1 + λ 2 φ 2 ψ = λ 1 φ 1 ψ + λ 2 φ 2 ψ. (1.10) Με τη βοήθεια της (1.9) συµπεραίνουµε ότι και εποµένως Οµοίως, έχουµε ότι ψ =0 φ ψ =0, για κάθε φ, (1.11) ψ 1 = ψ 2 φ ψ 1 = φ ψ 2, για κάθε φ. (1.12) ψ 1 = ψ 2 ψ 1 φ = ψ 2 φ, για κάθε φ. (1.13) Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες (1.12) (1.13) είναι χρήσιµες διότι µας δίνουν ένα αριθµητικό κριτήριο ελέγχου της ισότητας δύο διανυσµάτων. Το φυσικό περιεχό- µενο του φορµαλισµού του Dirac είναι το εξής: εάν το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση ψ, τότε η πιθανότητα (probability) να το παρατηρήσουµε σε µια κατάσταση φ δίνεται από τον µη αρνητικό αριθµό φ ψ 2,ενώοµιγαδικός αριθµός φ ψ µας δίνει το αντίστοιχο πλάτος πιθανότητας (probability amplitude) να συµβεί κάτι τέτοιο. Εάν λοιπόν συµβολίσουµε µε xσ την κατάσταση στην οποία το σω- µατίδιο βρίσκεται εντοπισµένο στη θέση x µε σπιν σ, τότετοπλάτος πιθανότητας xσ ψ δεν είναι άλλο από τη συνήθη κυµατοσυνάρτηση ψ(xσ) του φορµαλισµού του Schrödinger, δηλαδή ψ(xσ) = xσ ψ. (1.14) εδοµένου ότι κάθε κυµατοσυνάρτηση προσδιορίζει πλήρως την αντίστοιχη κατάσταση, θα ισχύει ότι φ = ψ xσ φ = xσ ψ, για κάθε x,σ. (1.15) Γνωρίζουµε επίσης ότι η κυµατοσυνάρτηση ψ(xσ) που περιγράφει ένα σωµατίδιο εντοπισµένο στη θέση x µε σπιν σ ισούται µε δ σσ δ(x x ),όπουδ σσ είναι το δ- σύµβολο του Kronecker και δ(x x ) είναι η δ-συνάρτηση του Dirac. Εποµένως, µπορούµε να γράψουµε συνοπτικά τη σχέση xσ x σ = δ σσ δ(x x ). (1.16)

20 6 Κεφ.1 Ανασκόπηση τηςκβαντοµηχανικής Χρησιµοποιώντας τώρα τις στοιχειώδεις ιδιότητες του δ-συµβόλου του Kronecker και της δ-συνάρτησης του Dirac, καθώς και την (1.16), έχουµε διαδοχικά ότι x σ ψ = d 3 xδ σσ δ(x x ) xσ ψ σ = d 3 x x σ xσ xσ ψ σ ( ) = x σ d 3 x xσ xσ ψ. (1.17) σ εδοµένου ότι η παραπάνω εξίσωση ισχύει για κάθε x,σ,συµπεραίνουµε µε τη βοήθεια της (1.15) ότι ψ = σ d 3 x xσ xσ ψ, για κάθε ψ. (1.18) Από την (1.18) έπεται ισοδύναµα ότι σ d 3 x xσ xσ =1, (1.19) όπου το 1 στο δεξιό µέλος της παραπάνω εξίσωσης συµβολίζει τον ταυτοτικό τελεστή (identity operator) στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Οι σχέσεις ορθοκανονικότητας (1.16) και πληρότητας(1.19) χαρακτηρίζουν το σύνολο των διανυσµάτων { xσ } ως µια βάση του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Γενικά, ένα σύνολο διανυσµάτων { α } λέγεται ότι αποτελεί µια βάση του χώρου των καταστάσεων εάν τα διανύσµατα αυτά είναι ορθοκανονικά και πλήρη, δηλ. εάν ικανοποιούν τις σχέσεις: α β = δ αβ, (ορθοκανονικότητα) (1.20) α α =1, (πληρότητα) (1.21) α όπου κάθε δείκτης α παριστάνει το σύνολο των κβαντικών αριθµών που απαιτούνται για τον πλήρη προσδιορισµό της κατάστασης α. Για τον λόγο αυτό, οι δείκτες α, β,...αναφέρονται συχνά ως καταστατικοί δείκτες. Το 1 στο δεξιό µέλος της (1.21) συµβολίζει τον ταυτοτικό τελεστή στον χώρο των καταστάσεων. Η σχέση πληρότητας (1.21) είναι γνωστή και ως ανάλυση της µονάδας (resolution of unity).

21 1.1 Ο χώρος των καταστάσεων 7 Πολλαπλασιάζοντας την (1.21) από δεξιά µε ένα διάνυσµα ket ψ συµπεραίνουµε ότι ψ = α α ψ, για κάθε ψ. (1.22) α Με άλλα λόγια, κάθε διάνυσµα του χώρου των καταστάσεων µπορεί να γραφεί ως ένας γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της βάσης. Οι µιγαδικοί συντελεστές α ψ,πουεµφανίζονται στον γραµµικό συνδυασµό (1.22), αποτελούν τις συντεταγ- µένες του ket ψ στη βάση { α }. Προφανώς,ισχύειότι φ = ψ α φ = α ψ, για κάθε α. (1.23) Η(1.23) µας δείχνει ότι από τη στιγµή που επιλεγεί µιαβάση { α }, ο προσδιορισµός ενός ket ψ ισοδυναµεί µε τον προσδιορισµό του συνόλου των συντεταγµένων του, α ψ, ωςπροςαυτήντηβάση.για τον λόγο αυτό, το σύνολο των συντεταγµένων α ψ λέγεται ότι αποτελεί την αναπαράσταση του ket ψ στη βάση { α }. Στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου, η αναπαράσταση ενός ket ψ στη βάση { xσ } δεν είναι άλλη από τη συνήθη κυµατοσυνάρτηση: ψ(xσ) = xσ ψ. Πρέπει να τονίσουµε ότι ειδικά για τις κυµατοσυναρτήσεις xσ α που αντιστοιχούν στα διανύσµατα ket α µιας βάσης { α } θα χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό u α (xσ) = xσ α, (1.24) έτσι ώστε οι καταστατικοί δείκτες α να εµφανίζονται κυριολεκτικά ως δείκτες των αντίστοιχων κυµατοσυναρτήσεων στο αριστερό µέλος της (1.24). Ο µετασχηµατισµός από τη βάση{ α } στη βάση { xσ }, και αντιστρόφως, περιγράφεται από τις εξισώσεις: xσ = α α α xσ = α u α (xσ) α, (1.25) α = σ d 3 x xσ xσ α = σ d 3 xu α (xσ) xσ. (1.26) Τελειώνοντας, είναι χρήσιµο να κάνουµε έναν απλό έλεγχο της συνέπειας του φορµαλισµού του Dirac εκφράζοντας το εσωτερικό γινόµενο, φ ψ, τωνδιανυσµά- των φ και ψ, µετηβοήθειατωναντίστοιχων κυµατοσυναρτήσεων, φ(xσ) και ψ(xσ). Πολλαπλασιάζοντας την (1.19) από αριστερά µε φ και από δεξιά µε ψ, έχουµε διαδοχικά µε τη βοήθεια των (1.7) και (1.14) ότι φ ψ = d 3 x φ xσ xσ ψ σ

22 8 Κεφ.1 Ανασκόπηση τηςκβαντοµηχανικής = σ = σ ( xσ ψ d 3 x xσ φ ) d 3 xφ (xσ)ψ(xσ), (1.27) σε πλήρη συµφωνία µε το δεξιό µέλος της (1.2), όπως αναµενόταν. 1.2 Γραµµικοί τελεστές Ηβασικήιδιότητα-ορισµός ενός γραµµικούτελεστή A που δρα πάνω στα διανύσµατα ket του χώρου των καταστάσεων είναι η ακόλουθη ( ) A λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 = λ 1 A ψ 1 + λ 2 A ψ 2. (1.28) Για κάθε γραµµικό τελεστή A που δρα πάνω στα διανύσµατα ket µπορούµε να ορίσουµε έναν τελεστή που δρα πάνω στα διανύσµατα bra, και τον οποίο θα συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο A,ωςεξής ( ) ( ) φ A ψ = φ A ψ. (1.29) Χρησιµοποιώντας τον παραπάνω ορισµό και τις (1.10), (1.13) είναι εύκολο να δείξουµε ότι ( ) λ 1 φ 1 + λ 2 φ 2 A = λ 1 φ 1 A + λ 2 φ 2 A. (1.30) Με άλλα λόγια, ο A είναι επίσης ένας γραµµικός τελεστής πάνω στα διανύσµατα bra. Από τον ορισµό (1.29) του ( φ A) ψ γίνεται φανερό ότιοι παρενθέσεις ( )δεν έχουν καµία ιδιαίτερη χρησιµότητα και µπορούν να παραλείπονται χωρίς κίνδυνο σύγχυσης. Από εδώ και στο εξής λοιπόν υιοθετούµε τον απλούστερο συµβολισµό φ A ψ : ( ) ( ) φ A ψ = φ A ψ = φ A ψ. (1.31) Οαριθµός φ A ψ αποτελεί το στοιχείο πίνακα του A µεταξύ των διανυσµάτων φ και ψ. Απότην(1.12), ή ισοδύναµα την (1.13), γίνεται φανερό ότι δύο τελεστές A και B είναι ίσοι εάν και µόνο εάν έχουν τα ίδια στοιχεία πίνακα, δηλαδή A = B φ A ψ = φ B ψ, για κάθε φ, ψ. (1.32) Η χαρακτηριστική ιδιότητα (1.32) είναι χρήσιµη διότι µας δίνει ένα αριθµητικόκριτήριο ελέγχου της ισότητας δύο τελεστών.

23 1.2 Γραµµικοί τελεστές 9 Για κάθε γραµµικό τελεστή A µπορούµε να ορίσουµε έναν νέο τελεστή A προσδιορίζοντας τα στοιχεία πίνακα ως εξής ψ A φ = φ A ψ, για κάθε φ, ψ. (1.33) Ο A ονοµάζεται συζυγής (adjoint) του A και δεν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι είναι επίσης ένας γραµµικός τελεστής. Από την ιδιότητα-ορισµό (1.33) και τις (1.7), (1.12) (1.13), έπεται ότι το συζυγές του διανύσµατος ket A ψ είναι το διάνυσµα bra ψ A,δηλαδή χ = A ψ χ = ψ A. (1.34) Για τυχαίους γραµµικούς τελεστές A, B, και µιγαδικό αριθµό λ, έχουµε τώρα τις απλές ιδιότητες (άσκηση): (A ) = A, (1.35) (λa) = λ A, (1.36) (A + B) = A + B, (1.37) (AB) = B A. (1.38) Ένας γραµµικός τελεστής A ονοµάζεται Ερµιτιανός εάν ισούται µε τον συζυγή του, δηλ. εάν: A = A. Μεάλλα λόγια, οι Ερµιτιανοί τελεστές είναι αυτοσυζυγείς (selfadjoint). Ένας γραµµικός τελεστής A ονοµάζεται µοναδιαίος (unitary) εάν: AA = 1=A A.Ωςαντίστροφος (inverse) ενός γραµµικού τελεστή A ορίζεται ο γραµµικός τελεστής A 1,εάνυπάρχει, που ικανοποιεί τη σχέση: AA 1 =1=A 1 A. Ένας µιγαδικός αριθµός λ λέγεται ότι είναι ιδιοτιµή ενός γραµµικού τελεστή A εάν υπάρχει µη µηδενικό ket ψ που ικανοποιεί τη λεγόµενη εξίσωση ιδιοτιµών A ψ = λ ψ, µε ψ 0. (1.39) Σε αυτήν την περίπτωση, το µη µηδενικό ket ψ λέγεται ότιείναι ένα ιδιοδιάνυσµα, ήιδιοκατάσταση, του γραµµικού τελεστή A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. Ενγένει, η εξίσωση (1.39) έχει µη µηδενικές λύσεις ψ µόνο για ορισµένες τιµές του λ. Το σύνολο των ιδιοτιµών αποτελεί το φάσµα (spectrum) του τελεστή A. Ηιδιοτιµή λ λέγεται µη εκφυλισµένη όταν το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµά της είναι µοναδικό πέρα από έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα, δηλ. όταν όλα τα αντίστοιχαιδιοδιανύσµατά της είναι συγγραµµικά. Αντιθέτως, εάν υπάρχουν δύο ή περισσότερα γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιµή, τότε η ιδιοτιµή αυτή λέγεται ότι είναι εκφυλισµένη. Ως τάξη του εκφυλισµού µιας ιδιοτιµής

24 10 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής ορίζεται το πλήθος των γραµµικώς ανεξαρτήτων ιδιοδιανυσµάτων που της αντιστοιχούν. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι (άσκηση): (α) οι ιδιοτιµές ενός Ερµιτιανού τελεστή είναι πάντα πραγµατικοί αριθµοί, και (β) δύο ιδιοδιανύσµατα ενός Ερµιτιανού τελεστή που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές ιδιοτιµές είναι ορθογώνια. Στο πλαίσιοτης κβαντοµηχανικής, όλοι οι τελεστές πουεµφανίζονται και δρουν πάνω στα διανύσµατα του χώρου των καταστάσεων ενός συστήµατος είναι γραµ- µικοί. Για τον λόγο αυτό, από εδώ και στο εξής,όλοι οι τελεστές θα εννοούνται ότι είναι γραµµικοί. Επιπλέον γνωρίζουµε ότι οι τελεστές που περιγράφουν µετρήσιµα φυσικά µεγέθη, όπως για παράδειγµα η θέση q =(q 1,q 2,q 3 ) και η ορµή p =(p 1,p 2,p 3 ) ενός σωµατιδίου, είναι Ερµιτιανοί. εδοµένου ότι το σύνολο των διανυσµάτων { xσ } αποτελεί µια βάση, οι τελεστές q και p προσδιορίζονται πλήρως από τα στοιχεία πίνακα 2 xσ q ψ = x xσ ψ = xψ(xσ), xσ p ψ = i xσ ψ = i ψ(xσ), (1.40) όπου = ( ) x =,,. (1.41) x 1 x 2 x 3 Οι σχέσεις που σηµειώνονται στην (1.40) αποτελούν την αναπαράσταση των τελεστών q και p στη βάση { xσ }. Χρησιµοποιώνταςτο κριτήριο (1.32) για την ισότητα δύο τελεστών και τη σχέση πληρότητας (1.19), µπορούµε εύκολα να ελέγξουµε ότι οι τελεστές θέσης και ορµής που ορίζονται στην(1.40) είναι πράγµατι Ερµιτιανοί (άσκηση) q i = q i, p i = p i, (1.42) µε i =1, 2, 3. Μεανάλογοτρόπο µπορούµε να ελέγξουµε ότι οι τελεστές θέσης και ορµής ικανοποιούν τις γνωστές µεταθετικές σχέσεις µε i, j =1, 2, 3, όπου,εξορισµού, [q i,p j ]=iδ ij, [q i,q j ]=0=[p i,p j ], (1.43) [A, B] =AB BA, (1.44) 2 Εδώ και σε όλες τις εξισώσεις του βιβλίου η σταθερά του Planck θεωρείται ίση µε τη µονάδα, h =1,εκτόςεάνδηλώνεται ρητά αλλιώς.

25 1.2 Γραµµικοί τελεστές 11 είναι ο µεταθέτης δύο τυχαίων τελεστών A, B. 3 Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να υπενθυµίσουµε τις απλές αλγεβρικές ιδιότητες των µεταθετών. Συγκεκριµένα, για τρεις τυχαίους τελεστές A, B, C έχουµε ότι: [A, B] = [B,A], (1.46) [A, B + C] =[A, B]+[A, C], (1.47) [A, BC] =[A, B]C + B[A, C], (1.48) [A, B] = [A,B ]. (1.49) Ας σηµειωθεί ότι για την απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων αρκεί απλώς η ρητή αναγραφή και σύγκριση των δύο µελών κάθε εξίσωσης. Με τη βοήθεια των (1.13), (1.34) και της Ερµιτιανότητας του τελεστή θέσης q, έπεται από την (1.40) ότι q xσ = x xσ. (1.50) Με άλλα λόγια, κάθε εντοπισµένηκατάσταση xσ είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή θέσης µε ιδιοτιµή x. Γενικότερα, για κάθε συνάρτηση U(q) του τελεστή θέσηςισχύει ότι U(q) xσ = U(x) xσ, (1.51) ενώ έχουµε τα στοιχεία πίνακα xσ U(q) ψ = U(x) xσ ψ = U(x)ψ(xσ). (1.52) Από εδώ και στο εξής θα θεωρούµε, χωρίς εξαίρεση, ότι η U(x) είναι µια συνάρτηση πραγµατικών τιµών, όπως συµβαίνει στην περίπτωση που περιγράφει ένα εξωτερικό δυναµικό παρουσία του οποίου κινείται κάποιο σωµατίδιο. Ο αντίστοιχος τελεστής U(q) ελέγχεται τώρα εύκολα ότι είναι Ερµιτιανός. 3 Ας αποδείξουµε, για παράδειγµα, τη σχέση: [q i,p j]=iδ ij. Ενόψειτης(1.40), έχουµε διαδοχικά ότι xσ [q i,p j] ψ = xσ q ip j ψ xσ p jq i ψ = x i xσ p j ψ + i xσ q i ψ x j = ix i xσ ψ + i (x i xσ ψ ) x j x j ( ) xi = i xσ ψ = iδ ij xσ ψ. (1.45) x j Εποµένως, από την (1.15) συµπεραίνουµε ότι: [q i,p j] ψ = iδ ij ψ, γιακάθε ψ, γεγονός που ισοδυναµεί µε την προς απόδειξη σχέση.

26 12 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής Από την (1.40) έπεται ότι για τον Ερµιτιανό τελεστή της κινητικής ενέργειας, p 2 /2m, ενόςσωµατιδίου µάζας m,έχουµεταστοιχεία πίνακα όπου xσ p2 2m ψ = 2 2m 2 xσ ψ = ψ(xσ), (1.53) 2m 2 = 2 x x x 2, (1.54) 3 είναι η γνωστή µας Λαπλασιανή. Έτσι λοιπόν, για τον τελεστή της Χαµιλτονιανής H 0 ενός σωµατιδίου µάζας m που κινείται παρουσία ενός εξωτερικού δυναµικού έχουµε τα στοιχεία πίνακα [ xσ H 0 ψ = 2 2m + U(x) Ηεξίσωση ιδιοτιµών για τη Χαµιλτονιανή H 0 H 0 = p2 + U(q), (1.55) 2m ] [ ] xσ ψ = 2 2m + U(x) ψ(xσ). (1.56) H 0 ψ = E ψ, (1.57) γράφεται τώρα ισοδύναµα µε τη µορφή, xσ H 0 ψ = E xσ ψ, ήπιοαναλυτικά [ ] 2 2m + U(x) ψ(xσ) =Eψ(xσ). (1.58) Εκτός από τους τροχιακούς βαθµούς ελευθερίας, όπως η θέση και η ορµή, ένα σωµατίδιο µπορεί να έχει και εσωτερικούς βαθµούς ελευθερίας, όπως το σπιν, το ισοτοπικό σπιν, το χρώµα, κ.λπ., πουχαρακτηρίζονται από διάκριτες µεταβλητές τις οποίες συµβολίζουµε συλλογικά µε σ. Γιαένασωµατίδιο µε µοναδικό εσωτερικό βαθµό ελευθερίας το σπιν-1/2, όπωςγιαπαράδειγµα το ηλεκτρόνιο, η µεταβλητή 1 2 σ µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές ± 1 2,δηλ. σ = ±1 ή, πιο παραστατικά, σ =,, σύµφωνα µε τις δύο δυνατές ιδιοτιµές του τελεστή της προβολής του σπιν κατά µήκος ενός δοσµένου άξονα κβάντωσης. Επιλέγοντας συµβατικά ως άξονα κβάντωσης τον άξονα z, οιτρειςτελεστές που αποτελούν τις συνιστώσες ενός σπιν-1/2, S =(S x,s y,s z ),προσδιορίζονται πλήρως από τα στοιχεία πίνακα xσ S ψ = 1 (σ) σσ xσ ψ, (1.59) 2 σ

27 1.2 Γραµµικοί τελεστές 13 όπου σ =(σ x,σ y,σ z ) είναι οιγνωστοί2 2 Ερµιτιανοί πίνακες του Pauli ( ) ( ) ( ) i 1 0 σ x =, σ 1 0 y =, σ i 0 z =. (1.60) 0 1 Υπενθυµίζεται ότι η Ερµιτιανότητα των πινάκων του Pauli συνοψίζεται στη σχέση [(σ) σσ ] =(σ) σ σ. (1.61) Ξεκινώντας από τη ρητή µορφή (1.60) των πινάκων Pauli, µπορούν να αποδειχθούν εύκολα οι παρακάτω αλγεβρικές τους σχέσεις ( ) σx 2 = σy 2 = σz = I =, (1.62) 0 1 όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας διαστάσεως 2 2, καιεπιπλέον: σ x σ y = σ y σ x = iσ z, σ y σ z = σ z σ y = iσ x, (1.63) σ z σ x = σ x σ z = iσ y. Ησχέση(1.59) αποτελεί την αναπαράσταση του τελεστή S στη βάση { xσ }. Πιο αναλυτικά, για τον τελεστή S z η(1.59) γράφεται ως ( ) x S z ψ x S z = 1 ( ) ( ) 1 0 x ψ, (1.64) ψ x ψ απ όπου έπεται ισοδύναµα ότι xσ S z ψ = 1 σ xσ ψ, (1.65) 2 µε σ = ±1. Οµοίως,γιατους τελεστές S x και S y έχουµε ότι (άσκηση): xσ S x ψ = 1 x, σ ψ, (1.66) 2 xσ S y ψ = 1 iσ x, σ ψ. (1.67) 2 Χρησιµοποιώντας το κριτήριο (1.32) για την ισότητα δύο τελεστών και τη σχέση πληρότητας (1.19), µπορούµε εύκολα να ελέγξουµε ότι (άσκηση): οι τελεστές S =

28 14 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής (S x,s y,s z ) που ορίζονται από την (1.59) έχουν όλες τις χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός σπιν-1/2. Μεάλλα λόγια, οι εν λόγω τελεστές είναι Ερµιτιανοί υπακούουν τις µεταθετικές σχέσεις (S x ) = S x, (S y ) = S y, (S z ) = S z, (1.68) [S x,s y ]=is z, [S y,s z ]=is x, [S z,s x ]=is y, (1.69) και ικανοποιούν την ταυτότητα S 2 =(S x ) 2 +(S y ) 2 +(S z ) 2 = 1 2 ( ). (1.70) Με τη βοήθεια των (1.13), (1.34), και την Ερµιτιανότητα του τελεστή S z,έπεται τώρα από την (1.65) ότι S z xσ = 1 σ xσ. (1.71) 2 Με άλλα λόγια, κάθε διάνυσµα xσ είναι ιδιοδιάνυσµα του τελεστή S z µε ιδιοτιµή σ,όπουσ = ± Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες Τα κβαντικάσυστήµατα πολλών σωµατιδίων βρίσκονται συνήθως περιορισµένα µέσα σε µια περιοχή όγκου V,τοµέγεθος του οποίου είναι πολύ µεγαλύτερο από το χαρακτηριστικό µέγεθος των σωµατιδίων που περιέχει, π.χ. ηλεκτρόνια και ιόντα σε ένα στερεό, νουκλεόνια (πρωτόνια και νετρόνια)σε έναν βαρύ πυρήνα. Η γραµµική διάσταση του όγκου V είναι επίσης πολύ µεγαλύτερη από όλα τα άλλα χαρακτηριστικά µήκη τουσυστήµατος όπως η εµβέλεια της ενεργού αλληλεπίδρασης των σω- µατιδίων, η µέση ελεύθερη διαδροµή, κ.λπ. Είναι λοιπόν λογικό να υποθέσουµε ότι, και αυτό µπορεί να αποδειχθεί ρητά σε αρκετές περιπτώσεις, οι φυσικές ιδιότητες του κυρίου µέρους (bulk) του µακροσκοπικού συστήµατος δεν εξαρτώνται ουσιαστικά από το ακριβές µέγεθος ή σχήµα του όγκου V.Γιατονλόγοαυτό, και για απλούστευση των αναλυτικών υπολογισµών, θεωρούµε στο εξής ως όγκο του συστήµατος έναν κύβο ακµής L, έτσιώστεv = L 3,όπουτοόριοV το παίρνουµε στο τέλος των υπολογισµών. Ηµαθηµατική περιγραφή τουχωρικού περιορισµούενός κβαντικούσυστήµατος πολλών σωµατιδίων συνοψίζεται στις συνοριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι κυµατοσυναρτήσεις ενός-σωµατιδίου, ψ(xσ),σταάκρατου όγκου V = L 3.

29 1.3 Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες 15 Πολλές επιλογές είναι δυνατές. Όµως, µε την προϋπόθεση ότι ο εν λόγω όγκος είναι αρκετά µεγάλος, αναµένουµε ότι η περιγραφή του συστήµατος δεν θα εξαρτάται ουσιαστικά από την τιµή των κυµατοσυναρτήσεων στα άκρα του. Η συνηθέστερη επιλογή είναι οι λεγόµενες περιοδικές συνοριακές συνθήκες: ψ(x 1 + L, x 2,x 3 )=ψ(x 1,x 2,x 3 ), ψ(x 1,x 2 + L, x 3 )=ψ(x 1,x 2,x 3 ), (1.72) ψ(x 1,x 2,x 3 + L) =ψ(x 1,x 2,x 3 ), όπου, για απλότητα, αγνοήσαµε τον αµετάβλητο από τις συνοριακές συνθήκες δείκτη του σπιν σ. Ενόψει των(1.72), είναι χρήσιµο να θεωρήσουµε στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου το σύνολο των διανυσµάτων, { kσ }, που ορίζονται δίνοντας τις αντίστοιχες κυµατοσυναρτήσεις τους, u kσ (xσ )= xσ kσ, δηλ. τις συντεταγµένες τουςωςπροςτηβάση{ xσ } u kσ (xσ )= xσ 1 kσ = δ σσ e ik x. (1.73) V Ηεπιβολήτων περιοδικών συνοριακών συνθηκών (1.72) στις κυµατοσυναρτήσεις (1.73) οδηγεί αµέσως στην παρακάτω γενική µορφή των επιτρεπόµενων τιµών των διανυσµατικών δεικτών k ( 2πm1 k = L, 2πm 2 L, 2πm ) 3, µε m i = ακέραιος. (1.74) L ιευκρινίζουµε ότι µε τη λέξη ακέραιος θα εννοούµε πάντα τους αρνητικούς ακέραιους, το µηδέν, καθώς και τους θετικούς ακέραιους. Στηνεξίσωση (1.74) έχουµε λοιπόν ότι: m 1,m 2,m 3 =0, ±1, ±2, ±3,.... Είναι τώρα εύκολο να ελέγξουµε ότι i u kσ (xσ )=ku kσ (xσ ). (1.75) Ενόψει της (1.15) και της γνωστής αναπαράστασης (1.40) του τελεστή ορµής p στη βάση { xσ }, ηπαραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα µε τη µορφή p kσ = k kσ. (1.76) Ηδράσητουτελεστή της κινητικής ενέργειας ενός ελευθέρου σωµατιδίου, H 0 = p 2 /(2m), πάνωσταδιανύσµατα kσ έπεται αµέσως από την (1.76) H 0 kσ = ε k kσ, µε ε k = k 2 2m. (1.77)

30 16 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής Οι καταστάσεις kσ που ορίζονται από την (1.73) ονοµάζονται επίπεδα κύµατα, ενώ οι αντίστοιχοι διανυσµατικοί δείκτες k αναφέρονται ως κυµατανύσµατα. Η εξίσωση (1.76) δείχνει ότι κάθε επίπεδο κύµα kσ είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή ορ- µής, µε ιδιοτιµή k, γεγονός που αιτιολογεί τον χαρακτηρισµό του κυµατανύσµατος k ως την ορµή του σωµατιδίου στην κατάσταση kσ. Επιπλέον, η εξίσωση (1.77) δείχνει ότι κάθε επίπεδο κύµα kσ είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή της κινητικής ενέργειας µε ιδιοτιµή ε k. Παρατηρούµε λοιπόν ότι η ιδιοτιµή της ορµής, k, συνδέεται µε την ιδιοτιµή της κινητικής ενέργειας, ε k,µετησυνήθησχέσηδιασποράς: ε k = k 2 /(2m). Πρέπεινατονίσουµε ότι το τελευταίο αυτό αποτέλεσµα είναι ένα αποκλειστικό χαρακτηριστικό των περιοδικών συνοριακών συνθηκών και αποτελεί το κύριο πλεονέκτηµά τους έναντι άλλων δυνατών συνοριακών συνθηκών. Θα ολοκληρώσουµε αυτήν την παράγραφο αποδεικνύοντας ότι, στο όριο V, το σύνολο των επιπέδων κυµάτων { kσ } αποτελεί µια βάση του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου, δηλ. ότι τα διανύσµατα αυτά είναι ορθοκανονικά και πλήρη. Πράγµατι, µε τη βοήθεια των (1.19) και (1.73) έχουµε διαδοχικά ότι kσ k σ = d 3 x kσ xσ xσ k σ σ και χρησιµοποιώντας τηνταυτότητα (άσκηση) = 1 d 3 k) x xδ σσ δ σ V σ ei(k σ 1 = δ σσ d 3 xe i(k k) x, (1.78) V 1 V d 3 xe i(k k ) x = δ kk, (1.79) συµπεραίνουµε ότι kσ k σ = δ σσ δ kk. (1.80) Μια πολύ χρήσιµη ιδιότητα για την άθροιση µιας οµαλής συνάρτησης F (k) πάνω στις επιτρεπόµενες τιµές (1.74) του κυµατανύσµατος k είναι η εξής (άσκηση) 1 V F (k) = k d 3 k F (k), µε V. (1.81) (2π) 3

31 1.3 Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες 17 Για παράδειγµα, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (1.81) συµπεραίνουµε ότι 1 V e ik (x x ) = k d 3 k (2π) 3 eik (x x ) = δ(x x ), µε V. (1.82) Ας θεωρήσουµε τώρα δύο τυχαίαδιανύσµατα φ και ψ του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Με τη βοήθεια των (1.19), (1.73) και (1.82), έχουµε διαδοχικά ότι φ kσ kσ ψ k,σ = d 3 x 1 d 3 x 2 φ x 1 σ 1 x 1 σ 1 kσ kσ x 2 σ 2 x 2 σ 2 ψ k,σ σ 1,σ 2 = d 3 x 1 d 3 x 2 φ x 1 σ 1 eik (x 1 x 2 ) x 2 σ ψ V k,σ = d 3 x 1 d 3 x 2 φ x 1 σ δ(x 1 x 2 ) x 2 σ ψ σ = d 3 x 1 φ x 1 σ x 1 σ ψ = φ ψ. (1.83) σ εδοµένου ότι η παραπάνω εξίσωση ισχύει για κάθε φ,συµπεραίνουµεµε τη βοήθεια της (1.12) ότι ψ = kσ kσ ψ, για κάθε ψ. (1.84) k,σ Από την (1.84) έπεται ισοδύναµα ότι kσ kσ =1, (1.85) k,σ όπου το 1 στο δεξιό µέλος της παραπάνω εξίσωσης συµβολίζει τον ταυτοτικό τελεστή στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Οι σχέσεις ορθοκανονικότητας (1.80) και πληρότητας (1.85) χαρακτηρίζουν το σύνολο των διανυσµάτων { kσ } ως µια βάση του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Από τον ορισµό (1.73) και τις (1.25) (1.26) προκύπτουν αµέσως οι παρακάτω σχέσεις µεταξύ των διανυσµάτων της βάσης των εντοπισµένων καταστάσεων { xσ }

32 18 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής και της βάσης των επιπέδων κυµάτων { kσ }: kσ = 1 V d 3 xe ik x xσ, (1.86) xσ = 1 e ik x kσ. (1.87) V Τέλος, από τις (1.71) και (1.86) έπεται ότι στην περίπτωση όπου η διάκριτη µεταβλητή σ αναφέρεται στους βαθµούς ελευθερίας ενός σπιν-1/2 έχουµε k S z kσ = 1 σ kσ. (1.88) 2 Με άλλα λόγια, κάθε διάνυσµα kσ είναι ιδιοδιάνυσµα του τελεστή S z µε ιδιοτιµή σ,όπουσ = ± Το θερµοδυναµικό όριο Από το φυσικό περιεχόµενο των περιοδικών συνοριακών συνθηκών, αλλά και από τις λεπτοµέρειες των προηγούµενων µαθηµατικών αποδείξεων, είναι φανερό ότι θα πρέπει πάντα να έχουµε υπ όψιν µας το όριο: V,δηλ.τοόριοόπουοόγκος του συστήµατος εκτείνεται σε όλο τον χώρο. Σε µια τέτοια περίπτωση, για να έχουµε καλώς ορισµένες φυσικές ιδιότητες, θα πρέπει ο αριθµός σωµατιδίων N του συστή- µατος να τείνει επίσης στο άπειρο, N, έτσι ώστε η πυκνότητα σωµατιδίων να παραµένει σταθερή. Συνοπτικά λοιπόν, το όριο n = N V, (1.89) N, V, N V = n = (σταθερά), (1.90) παίζει έναν βασικό ρόλο στην αναλυτική περιγραφή των κβαντικών συστηµάτων πολλών σωµατιδίων, προσδιορίζοντας τις ιδιότητες του κυρίου µέρους (bulk) του µακροσκοπικού συστήµατος µε τη βοήθεια αντίστοιχων οριακών τιµών. Το όριο (1.90) είναι γνωστόωςτοθερµοδυναµικό όριο.

33 1.4 Το θερµοδυναµικό όριο 19 Πρόβληµα 1.1 (Ανισότητα του Schwarz)Χρησιµοποιώνταςτααξιώµατα τουεσωτερικού γινοµένου (1.7) (1.9) δείξτε ότι: εάν φ 1 και φ 2 είναι δύο τυχαία διανύσµατα του χώρου των καταστάσεων, τότε φ 1 φ 2 2 φ 1 φ 1 φ 2 φ 2, (1.91) όπου το ίσον στην (1.91) ισχύει εάν και µόνον εάν τα φ 1 και φ 2 είναι γραµµικώς εξαρτηµένα. Η (1.91) είναι γνωστή ως η ανισότητα του Schwarz. Πρόβληµα 1.2 Αποδείξτε το παρακάτω κριτήριο για την ισότητα δύο τυχαίων τελεστών A και B A = B φ A φ = φ B φ, για κάθε φ. (1.92) Πρέπει να τονίσουµε ότι η ισχύς τής (1.92) εξαρτάται ουσιαστικά από το γεγονός ότι οι συντελεστές που εµφανίζονται στους γραµµικούς συνδυασµούς των διανυσµάτων του χώρου των καταστάσεων είναι µιγαδικοί αριθµοί, δηλ., όπως λέµε στα µαθηµατικά, ο διανυσµατικός µας χώρος είναι υπεράνω του σώµατος των µιγαδικών αριθµών. Η (1.92) δεν αληθεύει για τελεστές που δρουν αποκλειστικά σε έναν διανυσµατικό χώρο υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών αριθµών. Για να πειστείτε για αυτό, θεωρήστε µια γεωµετρική στροφή 90 στο επίπεδο. Πρόβληµα 1.3 Έστω A 1,...,A n και B τυχαίοι τελεστές. (1.48) αποδείξτε µε τη µέθοδο της επαγωγής την ταυτότητα Κάνοντας χρήση της n [B,A 1 A n ]= A 1 A k 1 [B,A k ]A k+1 A n. (1.93) k=1 Παρατηρήστε ότι, ενόψει της (1.46), η παραπάνω ταυτότητα µπορεί να γραφεί ισοδύναµα και µε τη µορφή n [A 1 A n,b]= A 1 A k 1 [A k,b]a k+1 A n. (1.94) k=1 Πρόβληµα 1.4 Ηπαράγωγος ενός τελεστή A(λ) που εξαρτάται ρητά από µια συνεχή παράµετρο λ ορίζεται από τη σχέση da(λ) dλ = lim A(λ + ε) A(λ). (1.95) ε 0 ε

34 20 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής είξτε ότι d dλ (AB) = d dλ (A 1 )= A 1 ( ) da B + A dλ ( ) db dλ, (1.96) ( ) da A 1. (1.97) dλ Υπόδειξη: Για την απόδειξη της (1.97) χρησιµοποιήστε την ιδιότητα-ορισµό του αντιστρόφου A 1 ενός τελεστή A: AA 1 =1=A 1 A. Πρόβληµα 1.5 (Θεώρηµα των Hellmann-Feynman)ΈστωA(λ) ένας Ερµιτιανός τελεστής που εξαρτάται ρητά από µια συνεχή παράµετρο λ, και Ψ(λ) ένα κανονικοποιηµένο ιδιοδιάνυσµα του A(λ) µε πραγµατική ιδιοτιµή α(λ) A(λ) Ψ(λ) = α(λ) Ψ(λ), µε Ψ(λ) Ψ(λ) =1. (1.98) είξτε ότι ( ) dα(λ) da(λ) dλ = Ψ(λ) Ψ(λ). (1.99) dλ Ηταυτότητα (1.99) είναι γνωστή ως το θεώρηµα των Hellmann-Feynman. Πρόβληµα 1.6 Μια άµεση εφαρµογή του θεωρήµατος των Hellmann-Feynman (1.99) συναντάµε στην περίπτωση όπου η Χαµιλτονιανή ενός συστήµατος, H(λ), εξαρτάται γραµµικά από τη συνεχή παράµετρο ισχύος λ H(λ) =H 0 + λh 1, (1.100) όπου H 0 και H 1 είναι Ερµιτιανοί τελεστές ανεξάρτητοι του λ. Οόρος H 0 περιγράφει το λεγόµενο αδιατάρακτο σύστηµα, του οποίου όλες οι ιδιότητες θεωρούνται γνωστές. Ο όρος H 1 περιγράφει τη λεγόµενη διαταραχή, στην οποία συνήθως ενσωµατώνονται οι δύσκολοι σε αναλυτικό χειρισµό όροι αλληλεπίδρασης µεταξύ των σωµατιδίων του συστήµατος. Έστω E G (λ) και Ψ G (λ) ηενεργειακήιδιοτιµή και το αντίστοιχο κανονικοποιηµένο ιδιοδιάνυσµα της θεµελιώδους κατάστασης, για τυχαία τιµή της παραµέτρου λ H(λ) Ψ G (λ) = E G (λ) Ψ G (λ), µε Ψ G (λ) Ψ G (λ) =1. (1.101) Λαµβάνοντας υπ όψιν το γεγονός ότι στην παρούσα περίπτωση dh(λ)/dλ = H 1,νασυµπεράνετεαπότην(1.99) ότι έχουµε, 1 E G (1) = E G (0) + dλ Ψ G (λ) H 1 Ψ G (λ). (1.102) 0

35 1.4 Το θερµοδυναµικό όριο 21 Ηταυτότητα (1.102) µας δείχνει ότι η ενέργεια E G (1) της θεµελιώδους κατάστασης του συστήµατος H = H 0 + H 1 ισούται µε την ενέργεια E G (0) της θεµελιώδους κατάστασης του αδιατάρακτου συστήµατος H 0,συνµιαδιόρθωσηπουεκφράζεται ως ένα στοιχείο πίνακα της διαταραχής H 1,τοοποίοόµωςπρέπει να γνωρίζουµε για όλες τις τιµές της παραµέτρου ισχύος, 0 λ 1. Πρόβληµα 1.7 Για δύο τυχαίους τελεστές A και L δείξτε ότι ισχύειηταυτότητα e L Ae L = A +[L, A]+ 1 2! [L, [L, A]] + 1 [L, [L, [L, A]]] +. (1.103) 3! Υπόδειξη: Θεωρήστετον τελεστή A(λ) =e λl Ae λl,οοποίος είναι µια αναλυτική συνάρτηση της παραµέτρου λ,καιδείξτεότιικανοποιεί τηδιαφορικήεξίσωση da(λ) dλ από την οποία έπεται µε µια ακόµη παραγώγιση ότι =[L, A(λ)], (1.104) d 2 A(λ) dλ 2 =[L, [L, A(λ)]], (1.105) και ούτω καθ εξής. Στη συνέχεια, γράψτε τον τελεστή A(λ) ως ένα ανάπτυγµα Taylor γύρω από τοσηµείολ =0και θεωρήστε την τιµή A(1). Πρόβληµα 1.8 Για δύο τελεστές A και B που µετατίθενται µε τον µεταθέτη τους, δηλαδή [[A, B],A]=0=[[A, B],B], (1.106) δείξτε ότι ισχύει η λεγόµενη ταυτότητα των Baker-Campbell-Hausdorff από την οποία έπεται εύκολα και η ταυτότητα e A+B = e A e B e (1/2)[A,B], (1.107) e A e B = e B e A e [A,B]. (1.108) Υπόδειξη: Θεωρήστετον τελεστή F (λ) =e λa e λb e λ(a+b) και µε τη βοήθεια της (1.103) δείξτε ότι ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση df (λ) dλ = λ[a, B]F (λ). (1.109)

36 22 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής εδοµένου ότι ο F (λ) µετατίθεται µε τον [A, B], η παραπάνω διαφορική εξίσωση επιλύεται µε τον συνήθη τρόπο οδηγώντας στο αποτέλεσµα: F (λ) = F (0)e (1/2)λ2[A,B].Θεωρήστεστη συνέχεια την τιµή F (1). Πρόβληµα 1.9 Έστω A =(A x,a y,a z ) και B =(B x,b y,b z ) δύο διανύσµατα των οποίων οι συνιστώσες είναι αριθµοί ή τελεστές που µετατίθενται και µε τους τρεις πίνακες του Pauli (1.60), σ =(σ x,σ y,σ z ).Αποδείξτε την ταυτότητα (σ A)(σ B) =A B + iσ (A B). (1.110) Τονίζεται ότι στην περίπτωση όπου οι A και B δεν µετατίθενται µεταξύ τους, η ταυτότητα (1.110) παραµένει ισχύουσα εφ όσον οι A και B εµφανίζονται µε την ίδια σειρά τόσο στο δεξιό όσο και στο αριστερό της µέλος. Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων δεν είναι διαθέσιμη