ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ Χ. ΨΑΛΤΑΚΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E-BOOK

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ Χ. ΨΑΛΤΑΚΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E-BOOK"

Transcript

1

2 ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ Χ. ΨΑΛΤΑΚΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ E-BOOK ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ιδρυτική δωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αµερικής ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2011

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ι ΡΥΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑΣ Ηράκλειο Κρήτης, Τ.Θ. 1385, Τηλ , Fax: Αθήνα: Μάνης 5, Τηλ , Fax: ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΦΥΣΙΚΗ Διευθυντής σειράς: Στέφανος Τραχανάς c 2008 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ &Γρηγόριος Χ. Ψαλτάκης Το βιβλίο στοιχειοθετήθηκε από τον συγγραφέα χρησιµοποιώντας L A TEX Πρώτη έκδοση: Νοέµβριος 2008 Εκτύπωση & βιβλιοδεσία: ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE Φιλολογική επιµέλεια: Τασούλα Μαρκοµιχελάκη Σχεδίαση εξωφύλλου: Ντίνα Γκαντή ISBN

4

5 Στη Σοφία

6 Περιεχόµενα Πρόλογος xvii I εύτερη Κβάντωση Απλά Μοντέλα 1 1 Ανασκόπησητηςκβαντοµηχανικής Ο χώρος των καταστάσεων Γραµµικοί τελεστές Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες Το θερµοδυναµικό όριο Αρµονικοί ταλαντωτές Ένα απλό πρόβληµα ιδιοτιµών Ο µονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής Σύµφωνες καταστάσεις Κβαντική θεωρία του αρµονικού κρυστάλλου Φωνόνια εύτερη κβάντωση Ταυτόσηµα σωµατίδια Καταστάσεις n-σωµατιδίων Ο χώρος του Fock Τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής Η βάση των αριθµών κατάληψης Τελεστές πεδίου Χρήσιµες µεταθετικές σχέσεις Χαµιλτονιανή και άλλοι τελεστές Τελεστές ενός-σώµατος

7 x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τελεστές δύο-σωµάτων Η εξίσωση Schrödinger Συµµετρίες στον χώρο του Fock Αλλαγή βάσης Οµογενή συστήµατα Συστήµατα µε διαφορετικά είδη σωµατιδίων Στατιστική µηχανική Σύνοψη βασικών ορισµών και σχέσεων ιακυµάνσεις αριθµού σωµατιδίων ιακυµάνσειςενέργειας Το ιδανικό κβαντικό αέριο Κατανοµή Bose-Einstein και Fermi-Dirac Το θεώρηµα του Wick Στοιχειώδεις εφαρµογές Μη αλληλεπιδρώντα φερµιόνια Θεµελιώδης κατάσταση Πίνακας πυκνότητας δύο-σωµατιδίων Στοιχειώδεις διεγέρσεις Θερµοδυναµικές ιδιότητες Η µέθοδος Hartree-Fock Αρχή της µεθόδου Οι εξισώσεις Hartree-Fock Το θεώρηµα του Koopmans Το οµογενές ηλεκτρονικό αέριο Χαµιλτονιανή Επίλυση των εξισώσεων Hartree-Fock Μαγνητισµός και το οµογενές ηλεκτρονικό αέριο Τοπικό δυναµικό ανταλλαγής και η µέθοδος X α Υπερρευστότητα Εισαγωγικά σχόλια. Χαµιλτονιανή Μη αλληλεπιδρώντα µποζόνια Ασθενώς αλληλεπιδρώντα µποζόνια Κριτήριο του Landau για την υπερρευστότητα

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi 7 Υπεραγωγιµότητα Εισαγωγικές παρατηρήσεις Φαινόµενο Meissner Η ενεργός αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου Ποιοτικά χαρακτηριστικά Η αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-φωνονίου Ζεύγη Cooper Ενέργεια δέσµευσης Η µικροσκοπική θεωρία BCS Ενεργός Χαµιλτονιανή Κανονικός µετασχηµατισµός Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος BCS Μεγάλο δυναµικό και ελεύθερη ενέργεια Μαγνητική τάξη και κύµατα σπιν Η φύση των µαγνητικών αλληλεπιδράσεων Μοντέλα µε εντοπισµένες µαγνητικές ροπές Η αλληλεπίδραση ανταλλαγής Αναπαραστάσεις τελεστών του σπιν Αναπαράσταση Schwinger Αναπαράσταση Holstein-Primakoff Το ανάπτυγµα 1/S Ο σιδηροµαγνήτης Heisenberg Ορισµός του µοντέλου Το όριο µεγάλου-s Κβαντικές διακυµάνσεις. Κύµατασπιν Μαγνήτιση. Ο νόµος του Bloch Ο αντισιδηροµαγνήτης Heisenberg Ορισµός του µοντέλου Το όριο µεγάλου-s. ΗκατάστασηNéel Κβαντικές διακυµάνσεις. Κύµατασπιν Εναλλασσόµενη µαγνήτιση II Συναρτήσεις Green Συναρτήσεις Green Ορισµοί Εικόνα Heisenberg σε πραγµατικό χρόνο

9 xii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9.2 Εικόνα Heisenberg σε φανταστικό χρόνο Απλές ιδιότητες των µέσων τιµών Ορισµός των συναρτήσεων Green Η retarded συνάρτηση Green Η advanced συνάρτηση Green Η causal συνάρτηση Green Η θερµική συνάρτηση Green Μετασχηµατισµός Fourier Αναλυτικές ιδιότητες Συναρτήσεις συσχέτισης Συναρτήσεις Green πραγµατικού χρόνου Συνάρτηση Green φανταστικούχρόνου Συνάρτηση φασµατικού βάρους Ορισµός ΑναπαράστασηLehmann Φασµατικές ροπές Αθροιστικοί κανόνες Σχέσεις διασποράς Kramers-Kronig Το θεώρηµα διακύµανσης-απορρόφησης Η ανισότητα του Bogoliubov Ένας απλός υπολογισµός Αθροίσµατα θερµικών συχνοτήτων Η θεωρία της γραµµικής απόκρισης Ο τύπος του Kubo Γενικευµένες επιδεκτικότητες Συµπιεστότητα Μαγνητική επιδεκτικότητα τουσπιν ιηλεκτρική συνάρτηση Ηλεκτρική αγωγιµότητα Η µέθοδος των εξισώσεων κίνησης Οι εξισώσεις κίνησης Το ιδανικό κβαντικό αέριο Απλές συναρτήσεις Green Το θεώρηµα του Wick Αλληλεπιδρώντα σωµατίδια Ιδιοενέργεια και η εξίσωση Dyson Θερµοδυναµικές ποσότητες

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiii Οιονεί-σωµατίδια ιαταρακτικό ανάπτυγµα Ιδιοενέργεια Μεγάλο δυναµικό Ενέργεια θεµελιώδους κατάστασης Εφαρµογή: οµογενές σύστηµα φερµιονίων Προσεγγίσεις αποσύζευξης Συναρτήσεις Green δύο-σωµατιδίων Συναρτήσεις Green τριών-σωµατιδίων Στοιχειώδεις εφαρµογές Ιδιοενέργεια στην προσέγγιση Hartree-Fock ιηλεκτρική συνάρτηση στην προσέγγιση RPA Άλλες µορφές αποσύζευξης Αποσύζευξη µε διατήρηση φασµατικών ροπών Γενικευµένη RPA Η προσέγγιση T -πίνακα Η µικροσκοπική θεωρία BCS Η αστάθεια Cooper Οι εξισώσεις κίνησης Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος Θερµοδυναµικές ιδιότητες Μεγάλο δυναµικό και ελεύθερη ενέργεια Εντροπία και ειδική θερµότητα Κρίσιµη τιµή του µαγνητικού πεδίου Μαγνητική επιδεκτικότητα του σπιν Μαγνητισµός οδευόντων ηλεκτρονίων Μοντέλο Stoner Περιγραφή µέσου πεδίου Συνάρτηση Green σωµατιδίου-οπής Παραµαγνητική φάση Σιδηροµαγνητική φάση Κύµατα πυκνότητας σπιν

11 xiv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 16 Μαγνητισµός εντοπισµένων ροπών Ο παραµαγνήτης Heisenberg Ο σιδηροµαγνήτης Heisenberg Προσέγγιση αποσύζευξης Tyablikov Η περίπτωση σπιν-1/ III ιαγράµµατα Feynman Θεωρία διαταραχών Θέση του προβλήµατος Το διαταρακτικό ανάπτυγµα Dyson Το θεώρηµα του Wick ιαγράµµατα Feynman µε σήµανση ιαγράµµατα Feynman χωρίςσήµανση Συνεκτικά και µη-συνεκτικά διαγράµµατα Αναπαράσταση συχνότητας Αναπαράσταση συχνότητας και ορµής Υπολογισµός συναρτήσεων Green ιαταρακτικό ανάπτυγµα Συνάρτηση Green ενός-σωµατιδίου Ιδιοενέργεια και η εξίσωση Dyson Αναπαράσταση συχνότητας Αναπαράσταση συχνότητας και ορµής Η προσέγγιση Hartree-Fock Η προσέγγιση RPA. ιαγράµµατα δακτυλίων Η προσέγγιση T -πίνακα. ιαγράµµατα κλίµακας Συνάρτηση κορυφής δύο-σωµατιδίων Βασικοί ορισµοί και σχέσεις Ταυτότητες Ward-Takahashi WT: διατήρηση του αριθµού σωµατιδίων WT: τοπική διατήρηση του αριθµού σωµατιδίων WT: διατήρηση της ορµής

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xv Παραρτήµατα Α Ολοκληρώµατακαισειρές 661 Β Μεταθέσεις 671 Γ Η θ-συνάρτηση βήµατος 679 Η δ-συνάρτηση του Dirac 683 Βιβλιογραφία 687 Λεξικό βασικών όρων 693 Ευρετήριο 701

13 Πρόλογος Ησυγγραφή του παρόντος βιβλίου αποτελεί προϊόν της διδασκαλίας εκ µέρους µου ενός µαθήµατοςπάνωστηνκβαντικήθεωρίατωνσυστηµάτωνπολλώνσωµατιδίων, όπως είναι αυτά που συναντάµε σε µεγάλη ποικιλία στη φυσική συµπυκνωµένης ύλης αλλά και σε άλλους κλάδους της φυσικής και της κβαντικής χηµείας. Το βιβλίο απευθύνεται στους µεταπτυχιακούς και προχωρηµένους προπτυχιακούς φοιτητές µε ενδιαφέρον για το γνωστικό αντικείµενο που πραγµατεύεται, ενώ προτίθεται να είναι χρήσιµο και στους νέους ερευνητές του πεδίου. Το κείµενο του βιβλίου χωρίζεται σε τρία µέρη που αντιστοιχούν σε µια λογική ανάπτυξη η οποία προϋποθέτει εκ µέρους του αναγνώστη µόνο την κατανόηση της στοιχειώδους κβαντοµηχανικήςκαι στατιστικής µηχανικής, όπως αυτές καλύπτονται στα αντίστοιχα βασικά προπτυχιακά µαθήµατα του Πανεπιστηµίου. Το πρώτο µέρος αφιερώνεται στην εισαγωγή και ανάπτυξη της γλώσσας της δεύτερης κβάντωσης, στην οποία είναι γραµµένη η σύγχρονη φυσική των κβαντικών συστηµάτων πολλών σωµατιδίων. Η γλώσσα αυτή χρησιµοποιείται στη συνέχεια για τον ορισµό και την ανάλυση µιας σειράς απλών µοντέλων αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων τύπου Bose ή Fermi ή και εντοπισµένων µαγνητικών ροπών (σπιν), τα οποία αποτελούν ακρογωνιαίους λίθους για την κατανόηση των συνεπειών των αλληλεπιδράσεων. Τυπικά παραδείγµατα αποτελούν, µεταξύ άλλων, το οµογενές ηλεκτρονικό αέριο, το µοντέλο του Bogoliubov για την υπερρευστότητα, και το µοντέλο των Bardeen-Cooper-Schrieffer για την υπεραγωγιµότητα. Το δεύτερο µέρος εστιάζεται στη θεωρία των συναρτήσεων Green, οι οποίες συνδέονται άµεσα µε τα παρατηρήσιµα µεγέθη των κβαντικών συστηµάτων πολλών σωµατιδίων σε πεπερασµένες θερµοκρασίες. ίνεται έµφαση στις αναλυτικές ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων και παρουσιάζεται η απλούστερη αλλά ταυτόχρονα αποτελεσµατική µέθοδος υπολογισµού τους,που δεν είναι άλλη από τη µέθοδο των εξισώσεων κίνησης µε τις συναφείς προσεγγίσεις αποσύζευξης. Τυπικές εφαρµογές σε απλά µοντέλα αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων χρησιµοποιούνται για την εξοικείωση µε διάφορες πτυχές της θεωρίας αλλά και την εξαγωγή χρήσιµων φυσικών απο-

14 xviii Πρόλογος τελεσµάτων τα οποία αφορούν τόσο δυναµικές όσο και στατικές θερµοδυναµικές ιδιότητες. Το τρίτο και τελευταίο µέρος του βιβλίου αφιερώνεται στην παρουσίαση της περίφηµης διαγραµµατικής θεωρίας διαταραχών του Feynman, πάντα σε πεπερασµένες θερµοκρασίες, η οποία αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο υπολογισµού των συναρτήσεων Green. Επιλεκτικές αθροίσεις διαγραµµάτων Feynman, οι οποίες έχουν αντιστοίχιση µε κατάλληλες προσεγγίσεις αποσύζευξης των εξισώσεων κίνησης, αποτελούν εδώ χρήσιµα παραδείγµατα για την καλύτερη κατανόηση της φύσης των προσεγγίσεων αλλά και την ανάδειξη των συγκριτικών πλεονεκτηµάτων των διαφόρων µεθόδων υπολογισµού. Οπαιδαγωγικός στόχος του βιβλίου είναι να προετοιµάσει τον φοιτητή για τη µελέτη της σχετικής ερευνητικής βιβλιογραφίας. Είναι όµως φανερό ότι ένας τέτοιος στόχος δεν µπορεί να επιτευχθεί εάν η διαδικασία µάθησης δεν περιλαµβάνει και µια ισχυρή συνιστώσα αυτοµάθησης, γιαναδανειστώµιαφράσητουσυνάδελφου Σ. Τραχανά. Ηπαρούσασυγγραφική εργασία έχει τις ρίζες της τόσο σε µακρινούς όσο και σε πλησιέστερους τόπους, χρόνους και ανθρώπους. Αναφερόµενος στους τελευταίους, οφείλω να ευχαριστήσω θερµά τους M. G. Cottam, E. W. Fenton, και C. P. Enz, για τις γνώσεις και τις ερευνητικές ευκαιρίες που µου πρόσφεραν σε σχέση µε το αντικείµενο αυτού του βιβλίου. Ευχαριστίες οφείλω επίσης και στους συναδέλφους Ε. Ν. Οικονόµου και Ν. Παπανικολάου, οι οποίοι µε τη δράση τους εξ αποστάσεως ή και εξ επαφής συνέβαλαν στην περαιτέρω δική µου κατανόηση του γνωστικού αντικειµένου. Η στοιχειοθέτηση του κειµένου του βιβλίου έγινε µε το σύστηµα LATEX ενώ ο σχεδιασµός των σχηµάτων έγινε µε τα πακέτα γραφικών PSTricks και feynmf. Ηυποστήριξητουπαραπάνω λογισµικού αλλά και της γενικότερης υπολογιστικής λειτουργίας που µου πρόσφερε ο. Κουναλάκης, µέλος του Υπολογιστικού Κέντρου του Πανεπιστηµίου Κρήτης, ήταν ανεκτίµητη και τον ευχαριστώ ιδιαιτέρως. Η τελική µορφή και έκδοση του βιβλίου οφείλεται στην άψογη επαγγελµατική εργασία του προσωπικούτων ΠανεπιστηµιακώνΕκδόσεων Κρήτης, τους οποίους ευχαριστώ θερµά. Γρηγόριος Χ. Ψαλτάκης Ηράκλειο, Οκτώβριος 2008

15 Μέρος I εύτερη Κβάντωση Απλά Μοντέλα

16

17 Κεφάλαιο 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής 1.1 Ο χώρος των καταστάσεων Å ÛÑ ØÖ ØÓ ØÛº ΠΛΑΤΩΝ Σύµφωνα µε τη θεµελιώδη πρόταση της κβαντοµηχανικής, όπως αυτή διατυπώθηκε από τον Schrödinger, η κατάσταση ενός σωµατιδίου περιγράφεται από µια τετραγωνικά ολοκληρώσιµη µιγαδική κυµατοσυνάρτηση ψ(xσ) d 3 x ψ(xσ) 2 <. (1.1) σ Ηκυµατοσυνάρτηση περιέχει όλες τις πειραµατικά ελέγξιµες πληροφορίες για την κατάσταση του σωµατιδίου. Ειδικότερα, η ποσότητα ψ(xσ) 2 d 3 x µας δίνει την πιθανότητα να βρούµε το σωµατίδιο µε σπιν 1 (ή άλλη διάκριτη µεταβλητή) σ µέσα στον στοιχειώδη όγκο d 3 x = dx 1 dx 2 dx 3,γύρωαπότοσηµείοx =(x 1,x 2,x 3 ).Για να είναι συνεπής η στατιστική αυτή ερµηνεία θα πρέπει, βεβαίως, η πιθανότητα να είναι κανονικοποιηµένη: σ d 3 x ψ(xσ) 2 =1.Οχώροςτωνκαταστάσεωνενόςσωµατιδίου ταυτίζεται λοιπόν µε το σύνολο των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων κυ- µατοσυναρτήσεων, το οποίο, όπως γνωρίζουµε, αποτελεί έναν διανυσµατικό χώρο µε εσωτερικό γινόµενο που ορίζεται από τη σχέση (φ, ψ) = d 3 xφ (xσ)ψ(xσ). (1.2) σ 1 Πιο αναλυτικά, εδώ εννοούµε την ιδιοτιµήτου τελεστή της προβολής του σπιν κατά µήκος ενός δοσµένου άξονα κβάντωσης, τον οποίο θεωρούµε συνήθως ως τον άξονα z. Για λόγους οικονοµίας στην έκφραση θα αναφερόµαστε στο µέγεθος αυτό µε τον όρο σπιν σ.

18 4 Κεφ.1 Ανασκόπηση τηςκβαντοµηχανικής Από τον ορισµό (1.2) γίνεται φανερό ότι το εσωτερικό γινόµενο έχει τις παρακάτω χαρακτηριστικές ιδιότητες: (φ, ψ) =(ψ, φ), (1.3) (φ, λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 )=λ 1 (φ, ψ 1 )+λ 2 (φ, ψ 2 ), (1.4) (ψ, ψ) 0, και (ψ, ψ) =0 ψ(xσ) =0, (1.5) όπου λ 1, λ 2 είναι µιγαδικοί αριθµοί. Μια πιο αφηρηµένη, αλλά ουσιαστικά ισοδύναµη, περιγραφή του χώρου των καταστάσεων επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας τον φορµαλισµό του Dirac, που δίνει έµφαση στα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της κβαντικής θεωρίας. Στο επίκεντρο του φορµαλισµού του Dirac βρίσκεται η λεγόµενη αρχή της υπέρθεσης των καταστάσεων, που συνοψίζεται στη δήλωση ότι: το σύνολο των καταστάσεων ενός σωµατιδίου, ή γενικότερα ενός συστήµατος, αποτελεί έναν διανυσµατικό χώρο. Τα διανύσµατα-καταστάσεις αυτού του χώρου τα συµβολίζουµε µε φ, ψ, κ.λπ., και τα ονοµάζουµε διανύσµατα ket ή απλά ket. Σε κάθε διάνυσµα ket ψ αντιστοιχούµε ένα συζυγές (conjugate) διάνυσµα που το συµβολίζουµε µε ψ και το ονοµάζουµε διάνυσµα bra ή απλά bra. Η πράξη αυτή της συζυγίας είναι αντιγραµµική, δηλαδή χ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 χ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2. (1.6) Ηένα-προς-ένα αντιστοιχία µεταξύ των διανυσµάτων ket και των διανυσµάτων bra είναι ανάλογη µε την ένα-προς-ένα αντιστοιχία µεταξύ των κυµατοσυναρτήσεων ψ(xσ) µε τις µιγαδικές συζυγείς τους ψ (xσ). Προφανώς,στοµηδενικό διάνυσµα ket αντιστοιχεί το µηδενικό διάνυσµα bra συµβολίζοντας και τα δύο (για λόγους οικονοµίας) µε 0, έχουµεότι: ψ =0 ψ =0.Πρέπεινατονίσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα (ket ή bra) δεν περιγράφει κάποια φυσική κατάσταση. Σε αναλογία µε τις (1.3) (1.5), ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων φ και ψ τον µιγαδικό αριθµό φ ψ για τον οποίο δεχόµαστε ότι υπακούει τα παρακάτω αξιώµατα: φ ψ = ψ φ, (1.7) ( φ ) λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 = λ 1 φ ψ 1 + λ 2 φ ψ 2, (1.8) ψ ψ 0, και ψ ψ = 0 ψ = 0, (1.9) όπου λ 1, λ 2 είναι µιγαδικοί αριθµοί. Εάν φ ψ =0,ταδιανύσµατα φ και ψ λέγονται ότι είναι ορθογώνια. Ως µέτρο ενός διανύσµατος ψ ορίζουµε τον µη αρνητικό

19 1.1 Ο χώρος των καταστάσεων 5 πραγµατικό αριθµό: ψ = ψ ψ.έναδιάνυσµα ψ λέγεται κανονικοποιη- µένο, εάν το µέτρο του είναι ίσο µε τη µονάδα, δηλ. εάν ψ =1ήισοδύναµα ψ ψ =1. Από τις (1.6) (1.8) είναι προφανές ότι ( ) λ 1 φ 1 + λ 2 φ 2 ψ = λ 1 φ 1 ψ + λ 2 φ 2 ψ. (1.10) Με τη βοήθεια της (1.9) συµπεραίνουµε ότι και εποµένως Οµοίως, έχουµε ότι ψ =0 φ ψ =0, για κάθε φ, (1.11) ψ 1 = ψ 2 φ ψ 1 = φ ψ 2, για κάθε φ. (1.12) ψ 1 = ψ 2 ψ 1 φ = ψ 2 φ, για κάθε φ. (1.13) Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες (1.12) (1.13) είναι χρήσιµες διότι µας δίνουν ένα αριθµητικό κριτήριο ελέγχου της ισότητας δύο διανυσµάτων. Το φυσικό περιεχό- µενο του φορµαλισµού του Dirac είναι το εξής: εάν το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση ψ, τότε η πιθανότητα (probability) να το παρατηρήσουµε σε µια κατάσταση φ δίνεται από τον µη αρνητικό αριθµό φ ψ 2,ενώοµιγαδικός αριθµός φ ψ µας δίνει το αντίστοιχο πλάτος πιθανότητας (probability amplitude) να συµβεί κάτι τέτοιο. Εάν λοιπόν συµβολίσουµε µε xσ την κατάσταση στην οποία το σω- µατίδιο βρίσκεται εντοπισµένο στη θέση x µε σπιν σ, τότετοπλάτος πιθανότητας xσ ψ δεν είναι άλλο από τη συνήθη κυµατοσυνάρτηση ψ(xσ) του φορµαλισµού του Schrödinger, δηλαδή ψ(xσ) = xσ ψ. (1.14) εδοµένου ότι κάθε κυµατοσυνάρτηση προσδιορίζει πλήρως την αντίστοιχη κατάσταση, θα ισχύει ότι φ = ψ xσ φ = xσ ψ, για κάθε x,σ. (1.15) Γνωρίζουµε επίσης ότι η κυµατοσυνάρτηση ψ(xσ) που περιγράφει ένα σωµατίδιο εντοπισµένο στη θέση x µε σπιν σ ισούται µε δ σσ δ(x x ),όπουδ σσ είναι το δ- σύµβολο του Kronecker και δ(x x ) είναι η δ-συνάρτηση του Dirac. Εποµένως, µπορούµε να γράψουµε συνοπτικά τη σχέση xσ x σ = δ σσ δ(x x ). (1.16)

20 6 Κεφ.1 Ανασκόπηση τηςκβαντοµηχανικής Χρησιµοποιώντας τώρα τις στοιχειώδεις ιδιότητες του δ-συµβόλου του Kronecker και της δ-συνάρτησης του Dirac, καθώς και την (1.16), έχουµε διαδοχικά ότι x σ ψ = d 3 xδ σσ δ(x x ) xσ ψ σ = d 3 x x σ xσ xσ ψ σ ( ) = x σ d 3 x xσ xσ ψ. (1.17) σ εδοµένου ότι η παραπάνω εξίσωση ισχύει για κάθε x,σ,συµπεραίνουµε µε τη βοήθεια της (1.15) ότι ψ = σ d 3 x xσ xσ ψ, για κάθε ψ. (1.18) Από την (1.18) έπεται ισοδύναµα ότι σ d 3 x xσ xσ =1, (1.19) όπου το 1 στο δεξιό µέλος της παραπάνω εξίσωσης συµβολίζει τον ταυτοτικό τελεστή (identity operator) στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Οι σχέσεις ορθοκανονικότητας (1.16) και πληρότητας(1.19) χαρακτηρίζουν το σύνολο των διανυσµάτων { xσ } ως µια βάση του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Γενικά, ένα σύνολο διανυσµάτων { α } λέγεται ότι αποτελεί µια βάση του χώρου των καταστάσεων εάν τα διανύσµατα αυτά είναι ορθοκανονικά και πλήρη, δηλ. εάν ικανοποιούν τις σχέσεις: α β = δ αβ, (ορθοκανονικότητα) (1.20) α α =1, (πληρότητα) (1.21) α όπου κάθε δείκτης α παριστάνει το σύνολο των κβαντικών αριθµών που απαιτούνται για τον πλήρη προσδιορισµό της κατάστασης α. Για τον λόγο αυτό, οι δείκτες α, β,...αναφέρονται συχνά ως καταστατικοί δείκτες. Το 1 στο δεξιό µέλος της (1.21) συµβολίζει τον ταυτοτικό τελεστή στον χώρο των καταστάσεων. Η σχέση πληρότητας (1.21) είναι γνωστή και ως ανάλυση της µονάδας (resolution of unity).

21 1.1 Ο χώρος των καταστάσεων 7 Πολλαπλασιάζοντας την (1.21) από δεξιά µε ένα διάνυσµα ket ψ συµπεραίνουµε ότι ψ = α α ψ, για κάθε ψ. (1.22) α Με άλλα λόγια, κάθε διάνυσµα του χώρου των καταστάσεων µπορεί να γραφεί ως ένας γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της βάσης. Οι µιγαδικοί συντελεστές α ψ,πουεµφανίζονται στον γραµµικό συνδυασµό (1.22), αποτελούν τις συντεταγ- µένες του ket ψ στη βάση { α }. Προφανώς,ισχύειότι φ = ψ α φ = α ψ, για κάθε α. (1.23) Η(1.23) µας δείχνει ότι από τη στιγµή που επιλεγεί µιαβάση { α }, ο προσδιορισµός ενός ket ψ ισοδυναµεί µε τον προσδιορισµό του συνόλου των συντεταγµένων του, α ψ, ωςπροςαυτήντηβάση.για τον λόγο αυτό, το σύνολο των συντεταγµένων α ψ λέγεται ότι αποτελεί την αναπαράσταση του ket ψ στη βάση { α }. Στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου, η αναπαράσταση ενός ket ψ στη βάση { xσ } δεν είναι άλλη από τη συνήθη κυµατοσυνάρτηση: ψ(xσ) = xσ ψ. Πρέπει να τονίσουµε ότι ειδικά για τις κυµατοσυναρτήσεις xσ α που αντιστοιχούν στα διανύσµατα ket α µιας βάσης { α } θα χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό u α (xσ) = xσ α, (1.24) έτσι ώστε οι καταστατικοί δείκτες α να εµφανίζονται κυριολεκτικά ως δείκτες των αντίστοιχων κυµατοσυναρτήσεων στο αριστερό µέλος της (1.24). Ο µετασχηµατισµός από τη βάση{ α } στη βάση { xσ }, και αντιστρόφως, περιγράφεται από τις εξισώσεις: xσ = α α α xσ = α u α (xσ) α, (1.25) α = σ d 3 x xσ xσ α = σ d 3 xu α (xσ) xσ. (1.26) Τελειώνοντας, είναι χρήσιµο να κάνουµε έναν απλό έλεγχο της συνέπειας του φορµαλισµού του Dirac εκφράζοντας το εσωτερικό γινόµενο, φ ψ, τωνδιανυσµά- των φ και ψ, µετηβοήθειατωναντίστοιχων κυµατοσυναρτήσεων, φ(xσ) και ψ(xσ). Πολλαπλασιάζοντας την (1.19) από αριστερά µε φ και από δεξιά µε ψ, έχουµε διαδοχικά µε τη βοήθεια των (1.7) και (1.14) ότι φ ψ = d 3 x φ xσ xσ ψ σ

22 8 Κεφ.1 Ανασκόπηση τηςκβαντοµηχανικής = σ = σ ( xσ ψ d 3 x xσ φ ) d 3 xφ (xσ)ψ(xσ), (1.27) σε πλήρη συµφωνία µε το δεξιό µέλος της (1.2), όπως αναµενόταν. 1.2 Γραµµικοί τελεστές Ηβασικήιδιότητα-ορισµός ενός γραµµικούτελεστή A που δρα πάνω στα διανύσµατα ket του χώρου των καταστάσεων είναι η ακόλουθη ( ) A λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 = λ 1 A ψ 1 + λ 2 A ψ 2. (1.28) Για κάθε γραµµικό τελεστή A που δρα πάνω στα διανύσµατα ket µπορούµε να ορίσουµε έναν τελεστή που δρα πάνω στα διανύσµατα bra, και τον οποίο θα συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο A,ωςεξής ( ) ( ) φ A ψ = φ A ψ. (1.29) Χρησιµοποιώντας τον παραπάνω ορισµό και τις (1.10), (1.13) είναι εύκολο να δείξουµε ότι ( ) λ 1 φ 1 + λ 2 φ 2 A = λ 1 φ 1 A + λ 2 φ 2 A. (1.30) Με άλλα λόγια, ο A είναι επίσης ένας γραµµικός τελεστής πάνω στα διανύσµατα bra. Από τον ορισµό (1.29) του ( φ A) ψ γίνεται φανερό ότιοι παρενθέσεις ( )δεν έχουν καµία ιδιαίτερη χρησιµότητα και µπορούν να παραλείπονται χωρίς κίνδυνο σύγχυσης. Από εδώ και στο εξής λοιπόν υιοθετούµε τον απλούστερο συµβολισµό φ A ψ : ( ) ( ) φ A ψ = φ A ψ = φ A ψ. (1.31) Οαριθµός φ A ψ αποτελεί το στοιχείο πίνακα του A µεταξύ των διανυσµάτων φ και ψ. Απότην(1.12), ή ισοδύναµα την (1.13), γίνεται φανερό ότι δύο τελεστές A και B είναι ίσοι εάν και µόνο εάν έχουν τα ίδια στοιχεία πίνακα, δηλαδή A = B φ A ψ = φ B ψ, για κάθε φ, ψ. (1.32) Η χαρακτηριστική ιδιότητα (1.32) είναι χρήσιµη διότι µας δίνει ένα αριθµητικόκριτήριο ελέγχου της ισότητας δύο τελεστών.

23 1.2 Γραµµικοί τελεστές 9 Για κάθε γραµµικό τελεστή A µπορούµε να ορίσουµε έναν νέο τελεστή A προσδιορίζοντας τα στοιχεία πίνακα ως εξής ψ A φ = φ A ψ, για κάθε φ, ψ. (1.33) Ο A ονοµάζεται συζυγής (adjoint) του A και δεν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι είναι επίσης ένας γραµµικός τελεστής. Από την ιδιότητα-ορισµό (1.33) και τις (1.7), (1.12) (1.13), έπεται ότι το συζυγές του διανύσµατος ket A ψ είναι το διάνυσµα bra ψ A,δηλαδή χ = A ψ χ = ψ A. (1.34) Για τυχαίους γραµµικούς τελεστές A, B, και µιγαδικό αριθµό λ, έχουµε τώρα τις απλές ιδιότητες (άσκηση): (A ) = A, (1.35) (λa) = λ A, (1.36) (A + B) = A + B, (1.37) (AB) = B A. (1.38) Ένας γραµµικός τελεστής A ονοµάζεται Ερµιτιανός εάν ισούται µε τον συζυγή του, δηλ. εάν: A = A. Μεάλλα λόγια, οι Ερµιτιανοί τελεστές είναι αυτοσυζυγείς (selfadjoint). Ένας γραµµικός τελεστής A ονοµάζεται µοναδιαίος (unitary) εάν: AA = 1=A A.Ωςαντίστροφος (inverse) ενός γραµµικού τελεστή A ορίζεται ο γραµµικός τελεστής A 1,εάνυπάρχει, που ικανοποιεί τη σχέση: AA 1 =1=A 1 A. Ένας µιγαδικός αριθµός λ λέγεται ότι είναι ιδιοτιµή ενός γραµµικού τελεστή A εάν υπάρχει µη µηδενικό ket ψ που ικανοποιεί τη λεγόµενη εξίσωση ιδιοτιµών A ψ = λ ψ, µε ψ 0. (1.39) Σε αυτήν την περίπτωση, το µη µηδενικό ket ψ λέγεται ότιείναι ένα ιδιοδιάνυσµα, ήιδιοκατάσταση, του γραµµικού τελεστή A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. Ενγένει, η εξίσωση (1.39) έχει µη µηδενικές λύσεις ψ µόνο για ορισµένες τιµές του λ. Το σύνολο των ιδιοτιµών αποτελεί το φάσµα (spectrum) του τελεστή A. Ηιδιοτιµή λ λέγεται µη εκφυλισµένη όταν το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµά της είναι µοναδικό πέρα από έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα, δηλ. όταν όλα τα αντίστοιχαιδιοδιανύσµατά της είναι συγγραµµικά. Αντιθέτως, εάν υπάρχουν δύο ή περισσότερα γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιµή, τότε η ιδιοτιµή αυτή λέγεται ότι είναι εκφυλισµένη. Ως τάξη του εκφυλισµού µιας ιδιοτιµής

24 10 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής ορίζεται το πλήθος των γραµµικώς ανεξαρτήτων ιδιοδιανυσµάτων που της αντιστοιχούν. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι (άσκηση): (α) οι ιδιοτιµές ενός Ερµιτιανού τελεστή είναι πάντα πραγµατικοί αριθµοί, και (β) δύο ιδιοδιανύσµατα ενός Ερµιτιανού τελεστή που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές ιδιοτιµές είναι ορθογώνια. Στο πλαίσιοτης κβαντοµηχανικής, όλοι οι τελεστές πουεµφανίζονται και δρουν πάνω στα διανύσµατα του χώρου των καταστάσεων ενός συστήµατος είναι γραµ- µικοί. Για τον λόγο αυτό, από εδώ και στο εξής,όλοι οι τελεστές θα εννοούνται ότι είναι γραµµικοί. Επιπλέον γνωρίζουµε ότι οι τελεστές που περιγράφουν µετρήσιµα φυσικά µεγέθη, όπως για παράδειγµα η θέση q =(q 1,q 2,q 3 ) και η ορµή p =(p 1,p 2,p 3 ) ενός σωµατιδίου, είναι Ερµιτιανοί. εδοµένου ότι το σύνολο των διανυσµάτων { xσ } αποτελεί µια βάση, οι τελεστές q και p προσδιορίζονται πλήρως από τα στοιχεία πίνακα 2 xσ q ψ = x xσ ψ = xψ(xσ), xσ p ψ = i xσ ψ = i ψ(xσ), (1.40) όπου = ( ) x =,,. (1.41) x 1 x 2 x 3 Οι σχέσεις που σηµειώνονται στην (1.40) αποτελούν την αναπαράσταση των τελεστών q και p στη βάση { xσ }. Χρησιµοποιώνταςτο κριτήριο (1.32) για την ισότητα δύο τελεστών και τη σχέση πληρότητας (1.19), µπορούµε εύκολα να ελέγξουµε ότι οι τελεστές θέσης και ορµής που ορίζονται στην(1.40) είναι πράγµατι Ερµιτιανοί (άσκηση) q i = q i, p i = p i, (1.42) µε i =1, 2, 3. Μεανάλογοτρόπο µπορούµε να ελέγξουµε ότι οι τελεστές θέσης και ορµής ικανοποιούν τις γνωστές µεταθετικές σχέσεις µε i, j =1, 2, 3, όπου,εξορισµού, [q i,p j ]=iδ ij, [q i,q j ]=0=[p i,p j ], (1.43) [A, B] =AB BA, (1.44) 2 Εδώ και σε όλες τις εξισώσεις του βιβλίου η σταθερά του Planck θεωρείται ίση µε τη µονάδα, h =1,εκτόςεάνδηλώνεται ρητά αλλιώς.

25 1.2 Γραµµικοί τελεστές 11 είναι ο µεταθέτης δύο τυχαίων τελεστών A, B. 3 Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να υπενθυµίσουµε τις απλές αλγεβρικές ιδιότητες των µεταθετών. Συγκεκριµένα, για τρεις τυχαίους τελεστές A, B, C έχουµε ότι: [A, B] = [B,A], (1.46) [A, B + C] =[A, B]+[A, C], (1.47) [A, BC] =[A, B]C + B[A, C], (1.48) [A, B] = [A,B ]. (1.49) Ας σηµειωθεί ότι για την απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων αρκεί απλώς η ρητή αναγραφή και σύγκριση των δύο µελών κάθε εξίσωσης. Με τη βοήθεια των (1.13), (1.34) και της Ερµιτιανότητας του τελεστή θέσης q, έπεται από την (1.40) ότι q xσ = x xσ. (1.50) Με άλλα λόγια, κάθε εντοπισµένηκατάσταση xσ είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή θέσης µε ιδιοτιµή x. Γενικότερα, για κάθε συνάρτηση U(q) του τελεστή θέσηςισχύει ότι U(q) xσ = U(x) xσ, (1.51) ενώ έχουµε τα στοιχεία πίνακα xσ U(q) ψ = U(x) xσ ψ = U(x)ψ(xσ). (1.52) Από εδώ και στο εξής θα θεωρούµε, χωρίς εξαίρεση, ότι η U(x) είναι µια συνάρτηση πραγµατικών τιµών, όπως συµβαίνει στην περίπτωση που περιγράφει ένα εξωτερικό δυναµικό παρουσία του οποίου κινείται κάποιο σωµατίδιο. Ο αντίστοιχος τελεστής U(q) ελέγχεται τώρα εύκολα ότι είναι Ερµιτιανός. 3 Ας αποδείξουµε, για παράδειγµα, τη σχέση: [q i,p j]=iδ ij. Ενόψειτης(1.40), έχουµε διαδοχικά ότι xσ [q i,p j] ψ = xσ q ip j ψ xσ p jq i ψ = x i xσ p j ψ + i xσ q i ψ x j = ix i xσ ψ + i (x i xσ ψ ) x j x j ( ) xi = i xσ ψ = iδ ij xσ ψ. (1.45) x j Εποµένως, από την (1.15) συµπεραίνουµε ότι: [q i,p j] ψ = iδ ij ψ, γιακάθε ψ, γεγονός που ισοδυναµεί µε την προς απόδειξη σχέση.

26 12 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής Από την (1.40) έπεται ότι για τον Ερµιτιανό τελεστή της κινητικής ενέργειας, p 2 /2m, ενόςσωµατιδίου µάζας m,έχουµεταστοιχεία πίνακα όπου xσ p2 2m ψ = 2 2m 2 xσ ψ = ψ(xσ), (1.53) 2m 2 = 2 x x x 2, (1.54) 3 είναι η γνωστή µας Λαπλασιανή. Έτσι λοιπόν, για τον τελεστή της Χαµιλτονιανής H 0 ενός σωµατιδίου µάζας m που κινείται παρουσία ενός εξωτερικού δυναµικού έχουµε τα στοιχεία πίνακα [ xσ H 0 ψ = 2 2m + U(x) Ηεξίσωση ιδιοτιµών για τη Χαµιλτονιανή H 0 H 0 = p2 + U(q), (1.55) 2m ] [ ] xσ ψ = 2 2m + U(x) ψ(xσ). (1.56) H 0 ψ = E ψ, (1.57) γράφεται τώρα ισοδύναµα µε τη µορφή, xσ H 0 ψ = E xσ ψ, ήπιοαναλυτικά [ ] 2 2m + U(x) ψ(xσ) =Eψ(xσ). (1.58) Εκτός από τους τροχιακούς βαθµούς ελευθερίας, όπως η θέση και η ορµή, ένα σωµατίδιο µπορεί να έχει και εσωτερικούς βαθµούς ελευθερίας, όπως το σπιν, το ισοτοπικό σπιν, το χρώµα, κ.λπ., πουχαρακτηρίζονται από διάκριτες µεταβλητές τις οποίες συµβολίζουµε συλλογικά µε σ. Γιαένασωµατίδιο µε µοναδικό εσωτερικό βαθµό ελευθερίας το σπιν-1/2, όπωςγιαπαράδειγµα το ηλεκτρόνιο, η µεταβλητή 1 2 σ µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές ± 1 2,δηλ. σ = ±1 ή, πιο παραστατικά, σ =,, σύµφωνα µε τις δύο δυνατές ιδιοτιµές του τελεστή της προβολής του σπιν κατά µήκος ενός δοσµένου άξονα κβάντωσης. Επιλέγοντας συµβατικά ως άξονα κβάντωσης τον άξονα z, οιτρειςτελεστές που αποτελούν τις συνιστώσες ενός σπιν-1/2, S =(S x,s y,s z ),προσδιορίζονται πλήρως από τα στοιχεία πίνακα xσ S ψ = 1 (σ) σσ xσ ψ, (1.59) 2 σ

27 1.2 Γραµµικοί τελεστές 13 όπου σ =(σ x,σ y,σ z ) είναι οιγνωστοί2 2 Ερµιτιανοί πίνακες του Pauli ( ) ( ) ( ) i 1 0 σ x =, σ 1 0 y =, σ i 0 z =. (1.60) 0 1 Υπενθυµίζεται ότι η Ερµιτιανότητα των πινάκων του Pauli συνοψίζεται στη σχέση [(σ) σσ ] =(σ) σ σ. (1.61) Ξεκινώντας από τη ρητή µορφή (1.60) των πινάκων Pauli, µπορούν να αποδειχθούν εύκολα οι παρακάτω αλγεβρικές τους σχέσεις ( ) σx 2 = σy 2 = σz = I =, (1.62) 0 1 όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας διαστάσεως 2 2, καιεπιπλέον: σ x σ y = σ y σ x = iσ z, σ y σ z = σ z σ y = iσ x, (1.63) σ z σ x = σ x σ z = iσ y. Ησχέση(1.59) αποτελεί την αναπαράσταση του τελεστή S στη βάση { xσ }. Πιο αναλυτικά, για τον τελεστή S z η(1.59) γράφεται ως ( ) x S z ψ x S z = 1 ( ) ( ) 1 0 x ψ, (1.64) ψ x ψ απ όπου έπεται ισοδύναµα ότι xσ S z ψ = 1 σ xσ ψ, (1.65) 2 µε σ = ±1. Οµοίως,γιατους τελεστές S x και S y έχουµε ότι (άσκηση): xσ S x ψ = 1 x, σ ψ, (1.66) 2 xσ S y ψ = 1 iσ x, σ ψ. (1.67) 2 Χρησιµοποιώντας το κριτήριο (1.32) για την ισότητα δύο τελεστών και τη σχέση πληρότητας (1.19), µπορούµε εύκολα να ελέγξουµε ότι (άσκηση): οι τελεστές S =

28 14 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής (S x,s y,s z ) που ορίζονται από την (1.59) έχουν όλες τις χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός σπιν-1/2. Μεάλλα λόγια, οι εν λόγω τελεστές είναι Ερµιτιανοί υπακούουν τις µεταθετικές σχέσεις (S x ) = S x, (S y ) = S y, (S z ) = S z, (1.68) [S x,s y ]=is z, [S y,s z ]=is x, [S z,s x ]=is y, (1.69) και ικανοποιούν την ταυτότητα S 2 =(S x ) 2 +(S y ) 2 +(S z ) 2 = 1 2 ( ). (1.70) Με τη βοήθεια των (1.13), (1.34), και την Ερµιτιανότητα του τελεστή S z,έπεται τώρα από την (1.65) ότι S z xσ = 1 σ xσ. (1.71) 2 Με άλλα λόγια, κάθε διάνυσµα xσ είναι ιδιοδιάνυσµα του τελεστή S z µε ιδιοτιµή σ,όπουσ = ± Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες Τα κβαντικάσυστήµατα πολλών σωµατιδίων βρίσκονται συνήθως περιορισµένα µέσα σε µια περιοχή όγκου V,τοµέγεθος του οποίου είναι πολύ µεγαλύτερο από το χαρακτηριστικό µέγεθος των σωµατιδίων που περιέχει, π.χ. ηλεκτρόνια και ιόντα σε ένα στερεό, νουκλεόνια (πρωτόνια και νετρόνια)σε έναν βαρύ πυρήνα. Η γραµµική διάσταση του όγκου V είναι επίσης πολύ µεγαλύτερη από όλα τα άλλα χαρακτηριστικά µήκη τουσυστήµατος όπως η εµβέλεια της ενεργού αλληλεπίδρασης των σω- µατιδίων, η µέση ελεύθερη διαδροµή, κ.λπ. Είναι λοιπόν λογικό να υποθέσουµε ότι, και αυτό µπορεί να αποδειχθεί ρητά σε αρκετές περιπτώσεις, οι φυσικές ιδιότητες του κυρίου µέρους (bulk) του µακροσκοπικού συστήµατος δεν εξαρτώνται ουσιαστικά από το ακριβές µέγεθος ή σχήµα του όγκου V.Γιατονλόγοαυτό, και για απλούστευση των αναλυτικών υπολογισµών, θεωρούµε στο εξής ως όγκο του συστήµατος έναν κύβο ακµής L, έτσιώστεv = L 3,όπουτοόριοV το παίρνουµε στο τέλος των υπολογισµών. Ηµαθηµατική περιγραφή τουχωρικού περιορισµούενός κβαντικούσυστήµατος πολλών σωµατιδίων συνοψίζεται στις συνοριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι κυµατοσυναρτήσεις ενός-σωµατιδίου, ψ(xσ),σταάκρατου όγκου V = L 3.

29 1.3 Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες 15 Πολλές επιλογές είναι δυνατές. Όµως, µε την προϋπόθεση ότι ο εν λόγω όγκος είναι αρκετά µεγάλος, αναµένουµε ότι η περιγραφή του συστήµατος δεν θα εξαρτάται ουσιαστικά από την τιµή των κυµατοσυναρτήσεων στα άκρα του. Η συνηθέστερη επιλογή είναι οι λεγόµενες περιοδικές συνοριακές συνθήκες: ψ(x 1 + L, x 2,x 3 )=ψ(x 1,x 2,x 3 ), ψ(x 1,x 2 + L, x 3 )=ψ(x 1,x 2,x 3 ), (1.72) ψ(x 1,x 2,x 3 + L) =ψ(x 1,x 2,x 3 ), όπου, για απλότητα, αγνοήσαµε τον αµετάβλητο από τις συνοριακές συνθήκες δείκτη του σπιν σ. Ενόψει των(1.72), είναι χρήσιµο να θεωρήσουµε στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου το σύνολο των διανυσµάτων, { kσ }, που ορίζονται δίνοντας τις αντίστοιχες κυµατοσυναρτήσεις τους, u kσ (xσ )= xσ kσ, δηλ. τις συντεταγµένες τουςωςπροςτηβάση{ xσ } u kσ (xσ )= xσ 1 kσ = δ σσ e ik x. (1.73) V Ηεπιβολήτων περιοδικών συνοριακών συνθηκών (1.72) στις κυµατοσυναρτήσεις (1.73) οδηγεί αµέσως στην παρακάτω γενική µορφή των επιτρεπόµενων τιµών των διανυσµατικών δεικτών k ( 2πm1 k = L, 2πm 2 L, 2πm ) 3, µε m i = ακέραιος. (1.74) L ιευκρινίζουµε ότι µε τη λέξη ακέραιος θα εννοούµε πάντα τους αρνητικούς ακέραιους, το µηδέν, καθώς και τους θετικούς ακέραιους. Στηνεξίσωση (1.74) έχουµε λοιπόν ότι: m 1,m 2,m 3 =0, ±1, ±2, ±3,.... Είναι τώρα εύκολο να ελέγξουµε ότι i u kσ (xσ )=ku kσ (xσ ). (1.75) Ενόψει της (1.15) και της γνωστής αναπαράστασης (1.40) του τελεστή ορµής p στη βάση { xσ }, ηπαραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα µε τη µορφή p kσ = k kσ. (1.76) Ηδράσητουτελεστή της κινητικής ενέργειας ενός ελευθέρου σωµατιδίου, H 0 = p 2 /(2m), πάνωσταδιανύσµατα kσ έπεται αµέσως από την (1.76) H 0 kσ = ε k kσ, µε ε k = k 2 2m. (1.77)

30 16 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής Οι καταστάσεις kσ που ορίζονται από την (1.73) ονοµάζονται επίπεδα κύµατα, ενώ οι αντίστοιχοι διανυσµατικοί δείκτες k αναφέρονται ως κυµατανύσµατα. Η εξίσωση (1.76) δείχνει ότι κάθε επίπεδο κύµα kσ είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή ορ- µής, µε ιδιοτιµή k, γεγονός που αιτιολογεί τον χαρακτηρισµό του κυµατανύσµατος k ως την ορµή του σωµατιδίου στην κατάσταση kσ. Επιπλέον, η εξίσωση (1.77) δείχνει ότι κάθε επίπεδο κύµα kσ είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή της κινητικής ενέργειας µε ιδιοτιµή ε k. Παρατηρούµε λοιπόν ότι η ιδιοτιµή της ορµής, k, συνδέεται µε την ιδιοτιµή της κινητικής ενέργειας, ε k,µετησυνήθησχέσηδιασποράς: ε k = k 2 /(2m). Πρέπεινατονίσουµε ότι το τελευταίο αυτό αποτέλεσµα είναι ένα αποκλειστικό χαρακτηριστικό των περιοδικών συνοριακών συνθηκών και αποτελεί το κύριο πλεονέκτηµά τους έναντι άλλων δυνατών συνοριακών συνθηκών. Θα ολοκληρώσουµε αυτήν την παράγραφο αποδεικνύοντας ότι, στο όριο V, το σύνολο των επιπέδων κυµάτων { kσ } αποτελεί µια βάση του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου, δηλ. ότι τα διανύσµατα αυτά είναι ορθοκανονικά και πλήρη. Πράγµατι, µε τη βοήθεια των (1.19) και (1.73) έχουµε διαδοχικά ότι kσ k σ = d 3 x kσ xσ xσ k σ σ και χρησιµοποιώντας τηνταυτότητα (άσκηση) = 1 d 3 k) x xδ σσ δ σ V σ ei(k σ 1 = δ σσ d 3 xe i(k k) x, (1.78) V 1 V d 3 xe i(k k ) x = δ kk, (1.79) συµπεραίνουµε ότι kσ k σ = δ σσ δ kk. (1.80) Μια πολύ χρήσιµη ιδιότητα για την άθροιση µιας οµαλής συνάρτησης F (k) πάνω στις επιτρεπόµενες τιµές (1.74) του κυµατανύσµατος k είναι η εξής (άσκηση) 1 V F (k) = k d 3 k F (k), µε V. (1.81) (2π) 3

31 1.3 Οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες 17 Για παράδειγµα, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (1.81) συµπεραίνουµε ότι 1 V e ik (x x ) = k d 3 k (2π) 3 eik (x x ) = δ(x x ), µε V. (1.82) Ας θεωρήσουµε τώρα δύο τυχαίαδιανύσµατα φ και ψ του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Με τη βοήθεια των (1.19), (1.73) και (1.82), έχουµε διαδοχικά ότι φ kσ kσ ψ k,σ = d 3 x 1 d 3 x 2 φ x 1 σ 1 x 1 σ 1 kσ kσ x 2 σ 2 x 2 σ 2 ψ k,σ σ 1,σ 2 = d 3 x 1 d 3 x 2 φ x 1 σ 1 eik (x 1 x 2 ) x 2 σ ψ V k,σ = d 3 x 1 d 3 x 2 φ x 1 σ δ(x 1 x 2 ) x 2 σ ψ σ = d 3 x 1 φ x 1 σ x 1 σ ψ = φ ψ. (1.83) σ εδοµένου ότι η παραπάνω εξίσωση ισχύει για κάθε φ,συµπεραίνουµεµε τη βοήθεια της (1.12) ότι ψ = kσ kσ ψ, για κάθε ψ. (1.84) k,σ Από την (1.84) έπεται ισοδύναµα ότι kσ kσ =1, (1.85) k,σ όπου το 1 στο δεξιό µέλος της παραπάνω εξίσωσης συµβολίζει τον ταυτοτικό τελεστή στον χώρο των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Οι σχέσεις ορθοκανονικότητας (1.80) και πληρότητας (1.85) χαρακτηρίζουν το σύνολο των διανυσµάτων { kσ } ως µια βάση του χώρου των καταστάσεων ενός-σωµατιδίου. Από τον ορισµό (1.73) και τις (1.25) (1.26) προκύπτουν αµέσως οι παρακάτω σχέσεις µεταξύ των διανυσµάτων της βάσης των εντοπισµένων καταστάσεων { xσ }

32 18 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής και της βάσης των επιπέδων κυµάτων { kσ }: kσ = 1 V d 3 xe ik x xσ, (1.86) xσ = 1 e ik x kσ. (1.87) V Τέλος, από τις (1.71) και (1.86) έπεται ότι στην περίπτωση όπου η διάκριτη µεταβλητή σ αναφέρεται στους βαθµούς ελευθερίας ενός σπιν-1/2 έχουµε k S z kσ = 1 σ kσ. (1.88) 2 Με άλλα λόγια, κάθε διάνυσµα kσ είναι ιδιοδιάνυσµα του τελεστή S z µε ιδιοτιµή σ,όπουσ = ± Το θερµοδυναµικό όριο Από το φυσικό περιεχόµενο των περιοδικών συνοριακών συνθηκών, αλλά και από τις λεπτοµέρειες των προηγούµενων µαθηµατικών αποδείξεων, είναι φανερό ότι θα πρέπει πάντα να έχουµε υπ όψιν µας το όριο: V,δηλ.τοόριοόπουοόγκος του συστήµατος εκτείνεται σε όλο τον χώρο. Σε µια τέτοια περίπτωση, για να έχουµε καλώς ορισµένες φυσικές ιδιότητες, θα πρέπει ο αριθµός σωµατιδίων N του συστή- µατος να τείνει επίσης στο άπειρο, N, έτσι ώστε η πυκνότητα σωµατιδίων να παραµένει σταθερή. Συνοπτικά λοιπόν, το όριο n = N V, (1.89) N, V, N V = n = (σταθερά), (1.90) παίζει έναν βασικό ρόλο στην αναλυτική περιγραφή των κβαντικών συστηµάτων πολλών σωµατιδίων, προσδιορίζοντας τις ιδιότητες του κυρίου µέρους (bulk) του µακροσκοπικού συστήµατος µε τη βοήθεια αντίστοιχων οριακών τιµών. Το όριο (1.90) είναι γνωστόωςτοθερµοδυναµικό όριο.

33 1.4 Το θερµοδυναµικό όριο 19 Πρόβληµα 1.1 (Ανισότητα του Schwarz)Χρησιµοποιώνταςτααξιώµατα τουεσωτερικού γινοµένου (1.7) (1.9) δείξτε ότι: εάν φ 1 και φ 2 είναι δύο τυχαία διανύσµατα του χώρου των καταστάσεων, τότε φ 1 φ 2 2 φ 1 φ 1 φ 2 φ 2, (1.91) όπου το ίσον στην (1.91) ισχύει εάν και µόνον εάν τα φ 1 και φ 2 είναι γραµµικώς εξαρτηµένα. Η (1.91) είναι γνωστή ως η ανισότητα του Schwarz. Πρόβληµα 1.2 Αποδείξτε το παρακάτω κριτήριο για την ισότητα δύο τυχαίων τελεστών A και B A = B φ A φ = φ B φ, για κάθε φ. (1.92) Πρέπει να τονίσουµε ότι η ισχύς τής (1.92) εξαρτάται ουσιαστικά από το γεγονός ότι οι συντελεστές που εµφανίζονται στους γραµµικούς συνδυασµούς των διανυσµάτων του χώρου των καταστάσεων είναι µιγαδικοί αριθµοί, δηλ., όπως λέµε στα µαθηµατικά, ο διανυσµατικός µας χώρος είναι υπεράνω του σώµατος των µιγαδικών αριθµών. Η (1.92) δεν αληθεύει για τελεστές που δρουν αποκλειστικά σε έναν διανυσµατικό χώρο υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών αριθµών. Για να πειστείτε για αυτό, θεωρήστε µια γεωµετρική στροφή 90 στο επίπεδο. Πρόβληµα 1.3 Έστω A 1,...,A n και B τυχαίοι τελεστές. (1.48) αποδείξτε µε τη µέθοδο της επαγωγής την ταυτότητα Κάνοντας χρήση της n [B,A 1 A n ]= A 1 A k 1 [B,A k ]A k+1 A n. (1.93) k=1 Παρατηρήστε ότι, ενόψει της (1.46), η παραπάνω ταυτότητα µπορεί να γραφεί ισοδύναµα και µε τη µορφή n [A 1 A n,b]= A 1 A k 1 [A k,b]a k+1 A n. (1.94) k=1 Πρόβληµα 1.4 Ηπαράγωγος ενός τελεστή A(λ) που εξαρτάται ρητά από µια συνεχή παράµετρο λ ορίζεται από τη σχέση da(λ) dλ = lim A(λ + ε) A(λ). (1.95) ε 0 ε

34 20 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής είξτε ότι d dλ (AB) = d dλ (A 1 )= A 1 ( ) da B + A dλ ( ) db dλ, (1.96) ( ) da A 1. (1.97) dλ Υπόδειξη: Για την απόδειξη της (1.97) χρησιµοποιήστε την ιδιότητα-ορισµό του αντιστρόφου A 1 ενός τελεστή A: AA 1 =1=A 1 A. Πρόβληµα 1.5 (Θεώρηµα των Hellmann-Feynman)ΈστωA(λ) ένας Ερµιτιανός τελεστής που εξαρτάται ρητά από µια συνεχή παράµετρο λ, και Ψ(λ) ένα κανονικοποιηµένο ιδιοδιάνυσµα του A(λ) µε πραγµατική ιδιοτιµή α(λ) A(λ) Ψ(λ) = α(λ) Ψ(λ), µε Ψ(λ) Ψ(λ) =1. (1.98) είξτε ότι ( ) dα(λ) da(λ) dλ = Ψ(λ) Ψ(λ). (1.99) dλ Ηταυτότητα (1.99) είναι γνωστή ως το θεώρηµα των Hellmann-Feynman. Πρόβληµα 1.6 Μια άµεση εφαρµογή του θεωρήµατος των Hellmann-Feynman (1.99) συναντάµε στην περίπτωση όπου η Χαµιλτονιανή ενός συστήµατος, H(λ), εξαρτάται γραµµικά από τη συνεχή παράµετρο ισχύος λ H(λ) =H 0 + λh 1, (1.100) όπου H 0 και H 1 είναι Ερµιτιανοί τελεστές ανεξάρτητοι του λ. Οόρος H 0 περιγράφει το λεγόµενο αδιατάρακτο σύστηµα, του οποίου όλες οι ιδιότητες θεωρούνται γνωστές. Ο όρος H 1 περιγράφει τη λεγόµενη διαταραχή, στην οποία συνήθως ενσωµατώνονται οι δύσκολοι σε αναλυτικό χειρισµό όροι αλληλεπίδρασης µεταξύ των σωµατιδίων του συστήµατος. Έστω E G (λ) και Ψ G (λ) ηενεργειακήιδιοτιµή και το αντίστοιχο κανονικοποιηµένο ιδιοδιάνυσµα της θεµελιώδους κατάστασης, για τυχαία τιµή της παραµέτρου λ H(λ) Ψ G (λ) = E G (λ) Ψ G (λ), µε Ψ G (λ) Ψ G (λ) =1. (1.101) Λαµβάνοντας υπ όψιν το γεγονός ότι στην παρούσα περίπτωση dh(λ)/dλ = H 1,νασυµπεράνετεαπότην(1.99) ότι έχουµε, 1 E G (1) = E G (0) + dλ Ψ G (λ) H 1 Ψ G (λ). (1.102) 0

35 1.4 Το θερµοδυναµικό όριο 21 Ηταυτότητα (1.102) µας δείχνει ότι η ενέργεια E G (1) της θεµελιώδους κατάστασης του συστήµατος H = H 0 + H 1 ισούται µε την ενέργεια E G (0) της θεµελιώδους κατάστασης του αδιατάρακτου συστήµατος H 0,συνµιαδιόρθωσηπουεκφράζεται ως ένα στοιχείο πίνακα της διαταραχής H 1,τοοποίοόµωςπρέπει να γνωρίζουµε για όλες τις τιµές της παραµέτρου ισχύος, 0 λ 1. Πρόβληµα 1.7 Για δύο τυχαίους τελεστές A και L δείξτε ότι ισχύειηταυτότητα e L Ae L = A +[L, A]+ 1 2! [L, [L, A]] + 1 [L, [L, [L, A]]] +. (1.103) 3! Υπόδειξη: Θεωρήστετον τελεστή A(λ) =e λl Ae λl,οοποίος είναι µια αναλυτική συνάρτηση της παραµέτρου λ,καιδείξτεότιικανοποιεί τηδιαφορικήεξίσωση da(λ) dλ από την οποία έπεται µε µια ακόµη παραγώγιση ότι =[L, A(λ)], (1.104) d 2 A(λ) dλ 2 =[L, [L, A(λ)]], (1.105) και ούτω καθ εξής. Στη συνέχεια, γράψτε τον τελεστή A(λ) ως ένα ανάπτυγµα Taylor γύρω από τοσηµείολ =0και θεωρήστε την τιµή A(1). Πρόβληµα 1.8 Για δύο τελεστές A και B που µετατίθενται µε τον µεταθέτη τους, δηλαδή [[A, B],A]=0=[[A, B],B], (1.106) δείξτε ότι ισχύει η λεγόµενη ταυτότητα των Baker-Campbell-Hausdorff από την οποία έπεται εύκολα και η ταυτότητα e A+B = e A e B e (1/2)[A,B], (1.107) e A e B = e B e A e [A,B]. (1.108) Υπόδειξη: Θεωρήστετον τελεστή F (λ) =e λa e λb e λ(a+b) και µε τη βοήθεια της (1.103) δείξτε ότι ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση df (λ) dλ = λ[a, B]F (λ). (1.109)

36 22 Κεφ. 1 Ανασκόπηση της κβαντοµηχανικής εδοµένου ότι ο F (λ) µετατίθεται µε τον [A, B], η παραπάνω διαφορική εξίσωση επιλύεται µε τον συνήθη τρόπο οδηγώντας στο αποτέλεσµα: F (λ) = F (0)e (1/2)λ2[A,B].Θεωρήστεστη συνέχεια την τιµή F (1). Πρόβληµα 1.9 Έστω A =(A x,a y,a z ) και B =(B x,b y,b z ) δύο διανύσµατα των οποίων οι συνιστώσες είναι αριθµοί ή τελεστές που µετατίθενται και µε τους τρεις πίνακες του Pauli (1.60), σ =(σ x,σ y,σ z ).Αποδείξτε την ταυτότητα (σ A)(σ B) =A B + iσ (A B). (1.110) Τονίζεται ότι στην περίπτωση όπου οι A και B δεν µετατίθενται µεταξύ τους, η ταυτότητα (1.110) παραµένει ισχύουσα εφ όσον οι A και B εµφανίζονται µε την ίδια σειρά τόσο στο δεξιό όσο και στο αριστερό της µέλος. Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων δεν είναι διαθέσιμη

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η8. Πηγές µαγνητικού πεδίου

Κεφάλαιο Η8. Πηγές µαγνητικού πεδίου Κεφάλαιο Η8 Πηγές µαγνητικού πεδίου Μαγνητικά πεδία Τα µαγνητικά πεδία δηµιουργούνται από κινούµενα ηλεκτρικά φορτία. Μπορούµε να υπολογίσουµε το µαγνητικό πεδίο που δηµιουργούν διάφορες κατανοµές ρευµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Περιεχόμενα Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Κεφαλαιο 1: Eισαγωγή... 1 1. ΕΠΙΣΤΗΜΗ, ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ... 1 2. ΜΙΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης Η μουσική των (Υπερ)Χορδών Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης H σύγχρονη (αγοραία) αντίληψη για την δηµιουργία του Σύµπαντος (πιθανά εσφαλµένη..) E t Ενέργεια Χρόνος String Theory/M-Theory H Ιστορία της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ. Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ»

ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ. Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» Εισαγωγή Υλικό σε εξωτερικό µαγνητικό πεδίο, Η: Β = Η + 4πΜ Μ: Μαγνήτιση ανά µονάδα όγκου Μαγνητική επιδεκτικότητα: χ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ένα προχωρημένο μάθημα για φυσικούς, μαθηματικούς και επιστήμονες πληροφορικής E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων, η πίεση

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα