Ε νικό Μετσό ιο Πο υτε νείο

Transcript

1 Ε νικό Μετσό ιο Πο υτε νείο Σ ο ή Μη ανο ό ν Μη ανικών Τομέας Ρευστών Ερ αστήριο Θερμικών Στρο ι ομη ανών Μονάδα Παρά η ης Υπο ο ιστικής Ρευστοδυναμικής& Βε τιστοποίησης Η συνε ής συζυ ής μέ οδος ια περιοδικές ροές, με εφαρμο ή της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών στην επί υση του ευ έος και του συζυ ούς προ ήματος Διπ ματική Ερ ασία Νικό αος Σημηριώτης Επι έπ ν: Κυριάκος Χ. Γιαννάκο ου, Κα η ητής ΕΜΠ Α ήνα, 2013

2 ii

3 Περί ηψη Σκοπός της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας είναι η εφαρμο ή και η πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών στην επί υση τόσο του ευ έος όσο και του συζυ ούς προ ήματος που προκύπτει από τη συνε ή συζυ ή μέ οδο (continuous adjoint method) και στον υπο ο ισμό τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας ια μία αεροτομή. Η πιστοποίηση της με όδου ίνεται ια διαφορετικές εφαρμο ές όπου η ροή ασυμπίεστου ρευστού που με ετάται παραμένει στρ τή και είναι περιοδικά μετα α όμενη στο ρόνο. Η συνε ής συζυ ής μέ οδος ρησιμοποιείται ια τον υπο ο ισμό της κ ίσης μίας αντικειμενικής συνάρτησης ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού. Ως μετα ητές σ εδιασμού στις εφαρμο ές που περι αμ άνονται στην ερ ασία αυτή τέ ηκαν οι μετατοπίσεις τ ν κόμ ν της με ετούμενης αεροτομής κατά την κά ετη στο τοί μα της αεροτομής διεύ υνση. Οι συνε είς συζυ είς εξισώσεις και οριακές συν ήκες, κα ώς και οι παρά οι ευαισ ησίας προκύπτουν από την παρα ώ ιση της επαυξημένης αντικειμενικής συνάρτησης. Η τε ευταία προκύπτει από την προς ε α ιστοποίηση συνάρτηση στην οποία προστί ενται τα ρικά και ρονικά ο οκ ηρώματα τ ν μη-μόνιμ ν εξισώσε ν κατάστασης (Navier-Stokes) του ευ έος προ ήματος πο απ ασιασμένες με τις συζυ είς μετα ητές. Τα δύο προ ήματα (ευ ύ και συζυ ές), κα ότι περιοδικά, επι ύονται αφού πρώτα εφαρμοστεί η μέ οδος ισορροπίας τ ν αρμονικών με την οποία οι ρονικά μη-μόνιμες εξισώσεις που περι ράφουν το κά ε πρό ημα αντικα ίστανται από ένα σύστημα ρονικά μόνιμ ν εξισώσε ν που είναι μεταξύ τους πεπ ε μένες. Τα συστήματα εξισώσε ν διακριτοποιούνται και επι ύονται με έναν κοινό α όρι μο επί υσης ρονικά μόνιμ ν προ ημάτ ν. Η συ κεκριμένη τε νική αποσκοπεί στη μεί ση του υπο ο ιστικού κόστους της επί υσης ρονικά μη-μόνιμ ν ροών και στη μει μένη δέσμευση

4 iv μνήμης, κα ώς η επί υση του συζυ ούς προ ήματος απαιτεί απο ήκευση της ύσης του ευ έος προ ήματος. Στην ερ ασία αυτή, η πιστοποίηση της με όδου επί υσης του ευ έος προ ήματος ίνεται μέσ σύ κρισης τ ν δυνάμε ν άν σης και αντίστασης που ασκούνται πάν στην αεροτομή, όπ ς υπο ο ίζονται με τη ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών, με τις δυνάμεις που υπο ο ίζει ένας κ ασικός επι ύτης ρονικά μη-μόνιμ ν ροών. Για το συζυ ές πρό ημα, η πιστοποίηση ασίζεται στη σύ κριση τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας που υπο ο ίζονται με τις δύο με όδους. Η διερεύνηση της αξιοπιστίας της με όδου ίνεται ια τρεις διαφορετικές εφαρμο ές, όπου εξετάζεται κυρί ς η επίδραση του αρι μού Reynolds της ροής και το π άτος τα άντ σης της νίας που σ ηματίζει το διάνυσμα της επ άπειρον ροής με τη ορδή της αεροτομής. Η εκπόνηση της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας περιε άμ ανε προ ραμματισμό σε ώσσα προ ραμματισμού C++ και τη ρήση του ε εύ ερου ο ισμικού OpenFOAM ( ια το οποίο η συζυ ής μέ οδος έ ει προ ραμματιστεί στη Μονάδα Παρά η ης Υπο ο ιστικής Ρευστοδυναμικής & Βε τιστοποίησης) με το οποίο ίνονται και ό οι οι υπο ο ισμοί τ ν ροϊκών με ε ών.

5 National echnical University of Athens School of Mechanical Engineering Fluid Section Lab of hermal urbomachines Parallel CFD & Optimization Unit he continuous adjoint method for periodic flows via the harmonic balance method for the solution of both the primal and adjoint problems Diploma hesis Nikolaos S. Simiriotis Advisor: Kyriakos C. Giannakoglou, Professor NUA Athens, 2013 Abstract he aim of this diploma thesis is the application and validation of the harmonic balance method for solving both the primal and adjoint problems. he adjoint problem results from the application of the continuous adjoint. his thesis is primarily concerned with the successful calculation of the sensitivity derivativies of an airfoil. For the validation of the harmonic balance method, various cases are studied, in all of which the unsteadiness of the laminar flow of an incompressible fluid is the result of the periodical time variation of the flow conditions. he continuous adjoint method is used in the calculation of the gradient of an objective function, with respect to the design variables. he normal (with respect to the shape skin) displacement of each point along the airfoil constitute the design variables of the optimization problem. he continuous adjoint equations, the

6 ii corresponding boundary conditions and sensitivity derivatives are derived using an objective function, the choice of which is not of a matter, augmented with the field and time integral of the product of the unsteady state equations (Navier-Stokes) that describe the primal problem, with the adjoint variables. Both problems - the primal and the adjoint problems - are solved via the the harmonic balance method, provided that one of the boundary conditions varies periodically with time. With the application of the harmonic balance method, each equation of the unsteady problem is replaced with a system of coupled steady equations. he equations in the latter are descritized and both the primal and adjoint problems are solved with the corresponding boundary conditions and with the use of the same algorithm, suitable for solving steady problems. his technique aims at reducing the computational cost of solving an unsteady problem, as well as the required memory, provided that the solution of the adjoint problem requires the solution of the primal problem to be stored. For the validation of the method, the results obtained by the use of the harmonic balance method are compared with those of a commonly used unsteady solver, i.e. the one that solves the flow equations in the time domain. Regarding the primal problem, validation is achieved by comparing the forces acting on the airfoil, while for the adjoint problem by comparing the sensitivity derivatives computed on the airfoil. hree different cases are studied, so as to examine mainly the effect of different values of Reynolds number as well as of the amplitude of the oscillation of the angle of attack. he coding needed for this diploma thesis is done in C++. Moreover, OpenFOAM, a free, internet-distributed software (for which the adjoint method was programmed at the Parallel CFD & Optimization Unit of NUA) was used.

7 Ευ αριστίες Με την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας σηματοδοτείται το τέλος της πενταετούς φοίτησής μου στη σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Σε αυτό το σημείο μου δίνεται η ευκαιρία να ευχαριστήσω όλους εκείνους που βοήθησαν να ολοκληρωθεί η εργασία αυτή αλλά και όσους ήταν πάντα δίπλα μου καθόλη τη διάρκεια της φοίτησης μου. Πρωτίστως θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ. Κ. Χ. Γιαννάκογλου. Η συνεχής του καθοδήγηση και οι γνώσεις του αποτέλεσαν τον βασικότερο οδηγό για την ολοκλήρωση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Όντας πάντοτε διαθέσιμος για τυχόν απορίες και διευκρινήσεις, αφιέρωσε σημαντικό χρόνο στην συστηματική ενασχόληση και στην επιμελή διόρθωση της εργασίας αυτής, στοιχεία που αναμφίβολα συμβάλλουν στην επιτυχή ολοκλήρωση της. Τον ευχαριστώ που μου έδωσε τη δυνατότητα να ασχοληθώ με ένα θέμα που αποδείχθηκε ιδιαίτερα επιμορφωτικό, αλλά κυριότερα που από τα πρώτα έτη ως καθηγητής με ενέπνευσε να ασχοληθώ με αντικείμενα που παρουσιάζουν ξεχωριστό ενδιαφέρον για τους μηχανικούς. Επιπλέον οφείλω να ευχαριστήσω όλα τα μέλη της ΜΠΥΡ&Β του Εργαστηρίου Θερμικών Στροβιλομηχανών, των οποίων η συμβολή στην εκπόνηση της διπλωματικής αυτής εργασίας υπήρξε καθοριστικής σημασίας. Ιδιαίτερα πρέπει να ευχαριστήσω τους υποψήφιους διδάκτορες Γιάννη Καββαδία και Βαγγέλη Παπουτσή. Ειδικά ο πρώτος μου έδωσε σημαντική ώθηση στο ξεκίνημα της εργασίας και ήταν πάντοτε διαθέσιμος για τυχόν απορίες και πρόθυμος να βοηθήσει σε οποιοδήποτε πρόβλημα προέκυπτε, αφιερώνοντας σημαντικό χρόνο. Σε καμία περίπτωση δεν θα μπορούσα να παραλείψω να ευχαριστήσω θερμά τους φίλους μου που ήταν πάντοτε δίπλα μου όλα αυτά τα χρόνια προσφέροντας μου υποστήριξη

8 iv και συντροφιά. Μη θέλοντας να παραλείψω κάποιον θα αποφύγω μία εκτενή αναφορά ονομάτων. Ωστόσο οφείλω να κάνω ειδική και ξεχωριστή μνεία στους Χρήστο Καπέλλο, Νίκο Μπεμπεδέλη και Πάνο Πυργολιό, και οι τρεις συμφοιτητές και καλοί φίλοι. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά την οικογένεια μου. Η αμέριστη συμπαράσταση τους από την παιδική μου ηλικία μέχρι και το τέλος των σπουδών μου, και το ζεστό περιβάλλον το οποίο μου εξασφαλίζουν όλα αυτά τα χρόνια, συντελούν καταλυτικά σε οτιδήποτε έχω επιτύχει. Τους ευχαριστώ για την απεριόριστη υποστήριξη που μου προσέφεραν με κάθε δυνατό τρόπο και μέσο σε όλους τους τομείς, για την απόλυτη εμπιστοσύνη που μου δείχνουν όλα αυτά τα χρόνια και κυρίως γιατί μου παρείχαν τη δυνατότητα να ακολουθήσω τα όνειρα μου.

9 Στη μνήμη του Χαράλαμπου Χατζηαλέξη

10 vi

11 Περιε όμενα 1 Αιτιοκρατικές μέ οδοι ε τιστοποίησης & Υπο ο ιστική Ρευστοδυναμική Εισα ή στη ε τιστοποίηση Η συζυ ής μέ οδος Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια ρονικά μη-μόνιμη ροή Μει μένη δέσμευση μνήμης με τη μέ οδο της ισορροπίας τ ν αρμονικών Το ο ισμικό OpenFOAM (Field Operation And Manipulation) Α όρι μος PISO Σύζευξη τα ύτητας-πίεσης και α όρι μος επί υσης Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών Εισα ή Μα ηματική εμε ί ση Εφαρμο ή της με όδου ια δύο Αρμονικές Γενίκευση ια περισσότερες από δύο αρμονικές Συμπεράσματα και παρατηρήσεις πάν στη Μέ οδο Ισορροπίας τ ν Αρμονικών Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή Εξισώσεις ροής Εισα ή τ ν μετα ητών του συζυ ούς προ ήματος Αντικειμενική συνάρτηση Ε α ιστοποίηση της μέσης δύναμης αντίστασης

12 ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.4 Διατύπ ση τ ν συζυ ών πεδιακών εξισώσε ν Συζυ είς οριακές συν ήκες και παρά οι ευαισ ησίας Συζυ είς οριακές συν ήκες στο S In Συζυ είς οριακές συν ήκες στο S out Συζυ είς οριακές συν ήκες στα στερεά τοι ώματα S w Τε ική έκφραση παρα ώ ν ευαισ ησίας Συνοπτική παρά εση εξισώσε ν συζυ ούς προ ήματος Εφαρμο ή της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών και διακριτοποίηση τ ν πεδιακών μερικών διαφορικών εξισώσε ν - Α όρι μος επί υσης Εξισώσεις ροής ευ έος και συζυ ούς προ ήματος Χρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Γένεση π έ ματος στο ρίο επί υσης Διακριτοποίηση με τη μέ οδο τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν Διακριτοποίηση της εξίσ σης της ορμής Διακριτοποίηση του όρου μεταφοράς Διακριτοποίηση του όρου διά υσης Διακριτοποίηση τ ν όρ ν πη ής Τε ική έκφραση της εξίσ σης μεταφοράς-διά υσης Α όρι μος SIMPLE Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Περι ραφή του προ ήματος Γε μετρία του προ ήματος Εφαρμο ή της με όδου Εφαρμο ή ια Re= Εφαρμο ή ια Re= Εφαρμο ή ια Re= Ανακεφα αί ση & Συμπεράσματα 103 Βι ιο ραφία 107

13 Κεφά αιο 1 Αιτιοκρατικές μέ οδοι ε τιστοποίησης & Υπο ο ιστική Ρευστοδυναμική Η υπο ο ιστική ρευστοδυναμική (Computational Fluid Dynamics, CFD) είναι ο κ άδος της επιστήμης της μη ανικής τ ν ρευστών όπου ρησιμοποιούνται αρι μητικές μέ οδοι ια την επί υση και την ανά υση προ ημάτ ν που αφορούν ροές ρευστών. Η ανάπτυξη της συνάδει με την ανάπτυξη τ ν αρι μητικών με όδ ν και της επιστήμης τ ν υπο ο ιστών και στο εύει στην άρση τ ν σημαντικών περιορισμών που η ρευστοδυναμική αντιμετώπιζε στις αρ ές εξέ ιξης της, ό τ ν μει μέν ν δυνατοτήτ ν ανα υτικής επί υσης τ ν εξισώσε ν που περι ράφουν τη ροή ενός ρευστού. Η ανάπτυξη της επιστήμης της υπο ο ιστικής ρευστοδυναμικής είναι παρά η η με εκείνη τ ν η εκτρονικών υπο ο ιστών. Ως ερ α είο, με την αυξανόμενη ισ ύ και ρηστικότητα τ ν η εκτρονικών υπο ο ιστών, καταφέρνει να δώσει ύσεις σε ό ο και δυσκο ότερα προ ήματα που αφορούν τη ρευστοδυναμική. Επιπ έον, με την περαιτέρ εξέ ιξη τ ν υπο ο ιστών και της υπο ο ιστικής ισ ύος, είναι δυνατόν να εφαρμοστούν νέες μέ οδοι αρι μητικής επί υσης, που με τη σειρά τους είναι σε έση να δώσουν ακρι έστερες ύσεις στα επι υόμενα προ ήματα. Είναι προφανές επομέν ς ότι ο κ άδος της υπο ο ιστικής ρευστοδυναμικής προοδεύει υπο οη ούμενος πάντοτε από την εξέ ιξη στο πεδίο τ ν η εκτρονικών υπο ο ιστών. Στην σύ ρονη επο ή η επί υση τ ν προ ημάτ ν δεν είναι αρκετή από μόνη της. Υπάρ ει π έον η ανά κη να διερευνάται το κατά πόσο η κά ε ύση σε ένα πρό ημα

14 2 1. Αιτιοκρατικές μέ οδοι ε τιστοποίησης & Υπο ο ιστική Ρευστοδυναμική είναι η έ τιστη ή το κατά πόσο ο τρόπος με τον οποίο κατα ήξαμε σε αυτή είναι έ τιστος. Η ανα καιότητα αυτή έφερε με τη σειρά της την ανάπτυξη τ ν με όδ ν ε τιστοποίησης, οι οποίες κα ιερώ ηκαν ς ένα ασικό ερ α είο ια έναν μη ανικό. Οι μέ οδοι ε τιστοποίησης εφαρμόζονται σε π η ώρα προ ημάτ ν διαφορετικής φύσης, και αναμφισ ήτητα συνεισφέρουν στην εύρεση της έ τιστης ύσης και σε προ ήματα υπο ο ιστικής ρευστοδυναμική. 1.1 Εισα ή στη ε τιστοποίηση Η ε τιστοποίηση είναι εκείνη η διαδικασία που ανι νεύει το ώρο τ ν υποψήφι ν ύσε ν ενός προ ήματος και οδη εί στον εντοπισμό της έ τιστης από ό ες τις υποψήφιες ύσεις [1]. Η τα ύτητα με την οποία αυτό επιτυ άνεται από μία μέ οδο ε τιστοποίησης είναι ένας από τους σημαντικότερους παρά οντες, κα ώς οι υποψήφιες ύσεις είναι συνή ς πο απ ά άπειρες σε π ή ος. Κατά την ανί νευση του ώρου τ ν υποψήφι ν ύσε ν απαιτείται υποστήριξη από ένα ερ α είο το οποίο α αξιο ο εί την κά ε υποψήφια ύση, ς προς τους στό ους που τέ ηκαν. Στα προ ήματα αεροδυναμικής (όπ ς αυτό που εξετάζεται στο π αίσιο της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας) ειδικότερα, η ανά υση ενός σώματος ς προς τα αεροδυναμικά της αρακτηριστικά μπορεί να ίνει είτε με πειραματικές μετρήσεις είτε με ρήση η εκτρονικού υπο ο ιστή και σ ετικών υπο ο ιστικ ν μοντέ ν. Σε ότι πρόκειται να ακο ου ήσει, ας ε ρη εί ότι η υποψήφια ύση αξιο ο είται με τη οή εια υπο ο ιστικών μοντέ ν και κ δίκ ν, με τη οή εια δη αδή της Υπο ο ιστικής Ρευστοδυναμικής. Για ένα σύν ετο πρό ημα αεροδυναμικής ε τιστοποίησης, ο μη ανικός πρέπει να έ ει στη διά εση του ένα σύνο ο στοι εί ν απαραίτητ ν ια την επί υση του. Οι στό οι και οι ε εύ ερες παράμετροι του προ ήματος πρέπει να είναι π ήρ ς κα- ορισμένοι. Στις παραμέτρους αυτές α αποδο ούν τιμές που να εξασφα ίζουν την επι υμητή αεροδυναμική συμπεριφορά, σύμφ να με τους στό ους που τέ ηκαν. Η αξιο ό ηση της ύσης και η διαδικασία της ε τιστοποίησης ενικότερα μπορεί να επιτευ εί με πο ές διαφορετικές με όδους, ανά ο α με τις ανά κες ή τις ιδιαιτερότητες του προ ήματος ή ανά ο α ακόμα και με τα (υπο ο ιστικά) μέσα τα οποία

15 1.1. Εισα ή στη ε τιστοποίηση 3 ο μη ανικός δια έτει. Οι πρώτες μέ οδοι που αναπτύ ηκαν ύρ από το έ τιστο σ εδιασμό μίας αεροδυναμικής μορφής με σκοπό να π ηρεί συ κεκριμένα αεροδυναμικά κριτήρια, στό ευαν στη διαμόρφ ση μίας επι υμητής κατανομής πίεσης ή τα ύτητας ύρ από την αεροδυναμική μορφή, οι οποίες ήταν ν στό ότι οδη ούσαν στην επι υμητή αεροδυναμική συμπεριφορά [2]. Η σ στή επι ο ή τ ν κατανομών στηριζόταν στην εμπειρία του μη ανικού. Με δεδομένες τις κατανομές αναζητείτο η ε μετρία που αντιστοι εί στην κατανομή αυτή ια δεδομένες συν ήκες ροής. Επομέν ς, η σ στή επι ο ή τ ν κατανομών επηρέαζε κατά πο ύ τη ύση στην οποία κατέ η ε η διαδικασία ε τιστοποίησης. Αξιοποιώντας π έον τη ρα δαία αύξηση της υπο ο ιστικής ισ ύος α ά και τις σύ - ρονες εξε ίξεις στην υπο ο ιστική ρευστοδυναμική, η πρόσφατη τάση στην επί υση προ ημάτ ν έ τιστου σ εδιασμού αεροδυναμικών μορφών είναι η διατύπ ση τους υπό τη μορφή προ ημάτ ν ε τιστοποίησης (ε α ιστοποίησης) μιας μα ηματικής συνάρτησης κόστους. Μέσ της συνάρτησης κόστους αποτιμάται η επίδοση της εκάστοτε ε μετρίας (εφόσον αναφερόμαστε σε διαδικασία έ τιστου σ εδιασμού) ς προς τα αεροδυναμικά κριτήρια που έ ουν τε εί. Η αποτίμηση αυτή ίνεται μέσ της επί υσης τ ν εξισώσε ν κατάστασης του προ ήματος, δη αδή τ ν εξισώσε ν ροής στα αεροδυναμικά προ ήματα. Το πρό ημα έ τιστου σ εδιασμού ανά εται στο μα ηματικό πρό ημα ε α ιστοποίησης μίας αντικειμενικής συνάρτησης, ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού. Ο τρόπος με τον οποίο α επιτευ εί η ε α ιστοποίηση αυτή ποικί ει, ανά ο α με τη μέ οδο που ρησιμοποιείται. Οι μέ οδοι ε τιστοποίησης τώρα, είναι δυνατόν να κατη οριοποιη ούν σε δύο ενικές κατη ορίες, τις αιτιοκρατικές και τις στο αστικές με όδους ε τιστοποίησης [1]. Μία αιτιοκρατική μέ οδος ε τιστοποίησης ρησιμοποιεί τη ενικευμένη έννοια της παρα ώ ου μίας αντικειμενικής συνάρτησης, τιμές τις οποίας απαιτείται να υπο ο ίσει ή ενα ακτικά να προσε ίσει. Οι στο αστικές μέ οδοι, αντι έτ ς, ρησιμοποιούν στοι εία τυ αίας ή ορ αν μένα τυ αίας αναζήτησης της έ τιστης ύσης σε ένα πεδίο πι ανών ύσε ν. Οι στο αστικοί α όρι μοι είναι ενικοί (με την έννοια ότι εύκο α προσαρμόζονται ια την επί υση διαφορετικών προ ημάτ ν), στη ενική πε-

16 4 1. Αιτιοκρατικές μέ οδοι ε τιστοποίησης & Υπο ο ιστική Ρευστοδυναμική ρίπτ ση πιο αρ οί από αντίστοι ους αιτιοκρατικούς και προσφέρουν τη δυνατότητα εύρεσης του κα ο ικού ακρότατου της αντικειμενικής συνάρτησης [26]. Παραδεί ματα εφαρμο ής στο αστικών με όδ ν αποτε ούν οι εξε ικτικοί α όρι μοι [24], [25]. Η παρούσα διπ ματική ερ ασία δεν εξετάζει την επί υση προ ημάτ ν ε τιστοποίησης με στο αστικές με όδους. Αντί ετα, στην παρούσα ερ ασία, υ οποιείται μια αιτιοκρατική μέ οδος ε τιστοποίησης, μια μέ οδος δη αδή που ασίζεται όπ ς αναφέρ ηκε στον υπο ο ισμό της κ ίσης της αντικειμενικής συνάρτησης. Τέτοιες μέ οδοι (gradient-based methods) απαιτούν τον υπο ο ισμό τ ν πρώτ ν (συ νά και δεύτερ ν) παρα ώ ν της αντικειμενικής συνάρτησης, ς προς τις ε εύ ερες παραμέτρους του προ ήματος. Του- ά ιστον σε σύν ετα προ ήματα αεροδυναμικής ε τιστοποίησης, το να υ οποιη- εί μία αιτιοκρατική μέ οδος ε τιστοποίησης απαιτεί σημαντικό ρόνο από π ευρά προ ραμματισμού και μα ηματικής διατύπ σης ενώ αναμφί ο α είναι δυσκο ότερα επεκτάσιμη σε ά α παρεμφερή προ ήματα, του ά ιστον σε σύ κριση με τις στο- αστικές με όδους. Επιπ έον, δεν εξασφα ίζουν ότι η ύση η οποία επιτυ άνεται αποτε εί κα ο ικό ακρότατο της αντικειμενικής συνάρτησης και ό ι ένα τοπικό, κα- ώς η ύση στην οποία κατα ή ουν εξαρτάται άμεσα από το σημείο εκκίνησης της επί υσης. Η σύ κ ιση όμ ς τ ν αιτιοκρατικών με όδ ν είναι ιδιαίτερα ρή ορη, σε σύ κριση πάντα με τις στο αστικές με όδους [1]. Η τα ύτερη σύ κ ιση της με όδου ενισ ύεται εφαρμόζοντας κατά η ες με όδους στον υπο ο ισμό τ ν απαιτούμεν ν παρα ώ ν. Ο υπο ο ισμός τ ν παρα ώ ν της αντικειμενικής συνάρτησης ίνεται με τη ρήση της συζυ ούς με όδου η οποία, όπ ς α φανεί και στη συνέ εια, παρουσιάζει ιδιαίτερα σημαντικά π εονεκτήματα. 1.2 Η συζυ ής μέ οδος Οι συζυ είς διατυπώσεις είναι μα ηματικά-υπο ο ιστικά ερ α εία υπο ο ισμού της κ ίσης (gradient) μίας αντικειμενικής συνάρτησης, εξασφα ίζοντας ταυτό ρονα την ικανοποίηση τ ν ασικών εξισώσε ν που διέπουν το πρό ημα που εξετάζεται. Τέτοιες εξισώσεις σε ένα πρό ημα αεροδυναμικής ια παράδει μα, είναι οι εξισώσεις ροής (εξισώσεις Euler, εξισώσεις Navier-Stokes). Η μα ηματική διατύπ ση της με-

17 1.2. Η συζυ ής μέ οδος 5 όδου ασίζεται στη ο ική τ ν πο απ ασιαστών Lagrange. Επειδή, σε μία μέ οδο ε τιστοποίησης, η κ ίση της αντικειμενικής συνάρτησης ρησιμοποιείται ια να την οδη ήσει (.. με τη μέ οδο της απότομης κα όδου- steepest descent) στη ύση που εξασφα ίζει ε ά ιστη τιμή αυτής, πο ές φορές όταν αναφέρονται οι συζυ είς με όδους υπο ο ισμού της κ ίσης της αντικειμενικής συνάρτησης περι αμ άνεται και η διαδικασία ε α ιστοποίησής της. Η ανάπτυξη τ ν συζυ ών με όδ ν αποσκοπεί στο να καταστεί το υπο ο ιστικό κόστος ανεξάρτητο του π ή ους τ ν μετα ητών σ εδιασμού του προ ήματος. Αυτό ίνεται ιδιαίτερα εμφανές στην περίπτ ση που εξετάζεται ε τιστοποίηση της ε μετρίας αεροδυναμικών μορφών, όπ ς συμ αίνει στις εφαρμο ές της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας, α ά και ενικότερα σε προ ήματα αεροδυναμικής ε τιστοποίησης. Οι μετα ητές, ς προς τις οποίες υπο ο ίζονται οι παρά οι τ ν αντικειμενικών συναρτήσε ν, είναι, στη ενική περίπτ ση, πο ές σε αρι μό. Ωστόσο, η συζυ ής μέ οδος απαιτεί ια τον υπο ο ισμό τ ν παρα ώ ν απ ά την επί υση του προ- ήματος που με ετάται (ευ ύ πρό ημα) και του συζυ ούς που προκύπτει. Έτσι, ανεξάρτητα από το π ή ος τ ν μετα ητών σ εδιασμού, το υπο ο ιστικό κόστος της συζυ ούς με όδου παραμένει το ίδιο με το κόστος ια την επί υση δύο πρ τευόντ ν προ ημάτ ν. Ο συνδυασμός μιας αιτιοκρατικής με όδου με τη συζυ ή μέ οδο ια τον υπο ο ισμό τ ν παρα ώ ν εξασφα ίζει την εξοικονόμηση σημαντικού υπο- ο ιστικού ρόνου, σε σύ κριση ια παράδει μα με μια στο αστική μέ οδο η οποία ια ένα τόσο με ά ο π ή ος μετα ητών σ εδιασμού α παρουσίαζε αρκετά αρ ή σύ κ ιση. Η ανάπτυξη τ ν συζυ ών με όδ ν ια τον υπο ο ισμό τ ν παρα ώ ν αντικειμενικών συναρτήσε ν που ρησιμοποιούνται στην αεροδυναμική ε τιστοποίηση, έ ει αποτε έσει μία από τις κυριότερες δραστηριότητες της μονάδας Παρά η ης Υπο ο- ιστικής Ρευστοδυναμικής & Βε τιστοποίησης του Ερ αστηρίου Θερμικών Στρο ι- ομη ανών (ΜΠΥΡ&Β/ΕΘΣ). Η συ κεκριμένη μονάδα έ ει παράξει π ή ος ερ ασιών που αφορούν την εφαρμο ή της με όδου ια μόνιμες και μη-μόνιμες, στρ τές και τυρ ώδεις ροές, σε δομημένα και μη-δομημένα π έ ματα [9], [10], [13], [11], [12], [14]. Οι συζυ είς μέ οδοι ρίζονται στη συνε ή και στη διακριτή συζυ ή μέ οδο [1].

18 6 1. Αιτιοκρατικές μέ οδοι ε τιστοποίησης & Υπο ο ιστική Ρευστοδυναμική Και οι δύο μέ οδοι ασίζονται στη δημιουρ ία μίας επαυξημένης αντικειμενικής συνάρτησης που προκύπτει από την αντικειμενική συνάρτηση του προ ήματος με πρόσ εση όρ ν που περι αμ άνουν τις εξισώσεις του προ ήματος πο απ ασιασμένες με συζυ είς μετα ητές. Στη διακριτή συζυ ή μέ οδο, οι εξισώσεις που διέπουν το πρό ημα και η αντικειμενική συνάρτηση πρώτα διακριτοποιούνται και ραμμικοποιούνται και, στη συνέ εια, μέσ κατά η ης ανά υσης, παρά ονται οι συζυ είς εξισώσεις σε μητρ ική μορφή, έτοιμες ια αρι μητική επί υση. Αντί ετα, στη συνε ή συζυ ή μέ οδο η διακριτοποίηση ακο ου εί την παρα ή της συζυ ούς εξίσ σης. Η επαυξημένη συνάρτηση προκύπτει από την ανα υτική έκφραση της αντικειμενικής συνάρτησης και τ ν εξισώσε ν που διέπουν το πρό ημα και, επομέν ς, οι συζυ είς εξισώσεις προκύπτουν και αυτές σε ανα υτική μορφή. Με την επί υση τ ν συζυ- ών εξισώσε ν προκύπτουν τα πεδία τ ν συζυ ών μετα ητών. Με ν στά τα πεδία τ ν μετα ητών ροής και τ ν συζυ ών μετα ητών υπο ο ίζονται οι παρά οι της αντικειμενικής συνάρτησης. Στην παρούσα διπ ματική ερ ασία εφαρμόζεται αποκ ειστικά η συνε ής συζυ ής μέ οδος Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια ρονικά μη-μόνιμη ροή Στην ερ ασία αυτή ρησιμοποιείται η συνε ής συζυ ής μέ οδος ια ρονικά μημόνιμες ροές ασυμπίεστου ρευστού. Σε ρονικά μετα α όμενα φαινόμενα ροής, η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να περι αμ άνει και την επίδραση τ ν ρονικών όρ ν, όπ ς ακρι ώς συμ αίνει και με τις εξισώσεις ροής. Επομέν ς, οι συνε είς συζυ είς εξισώσεις, που έ ουν μορφή αντίστοι η τ ν εξισώσε ν κατάστασης, α περι αμ- άνουν και αυτές την επίδραση αυτή. Οι εξισώσεις ροής του ευ έος προ ήματος επι ύονται με ρονοπροέ αση (time-marching). Οι συζυ είς εξισώσεις επι ύονται επομέν ς με αντίστοι ο τρόπο, κινούμενοι όμ ς προς τα πίσ στο ρόνο. Επομέν ς, ια κά ε ρονική στι μή, στην επί υση του συζυ ούς προ ήματος, είναι απαραίτητη η νώση ο όκ ηρου του πεδίου που έ ει προκύψει από το ευ ύ πρό ημα [21]. Με τη ύση και του συζυ ούς προ ήματος υπο ο ίζονται οι παρά οι και η νέα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Γίνεται αντι ηπτό από τα προη ούμενα π ς, σε περιπτώσεις που η δια έσιμη μνήμη είναι περιορισμένη, δεν υπάρ ει η δυνατότητα να ακο ου η εί η παραπάν διαδικασία,

19 1.2. Η συζυ ής μέ οδος 7 κα ώς είναι αδύνατον να απο ηκεύονται ο όκ ηρα τα πεδία ροής ια κά ε ρονική στι μή ια την οποία το ευ ύ πρό ημα επι ύεται με τη ρήση κάποιου επι ύτη μη-μόνιμ ν προ ημάτ ν (ενός α ορί μου δη αδή που εφαρμόζει την τε νική της ρονοπροέ ασης). Μία μέ οδος που ρησιμοποιείται ια να ξεπεραστεί το εν ό πρό ημα είναι η ρήση δεικτών μνήμης (checkpointing) [21]. Με τη μέ οδο αυτή ίνεται μερική, επι εκτική απο ήκευση του πεδίου ροής σε συ κεκριμένες ρονικές στι μές. Κατά την επί υση του συζυ ούς προ ήματος και πά ι με τον επι ύτη μημόνιμ ν ροών, ια κά ε ρονικό ήμα ια το οποίο δεν έ ουν απο ηκευ εί οι ύσεις του ευ έος προ ήματος, ίνεται ξανά υπο ο ισμός του πεδίου ροής ξεκινώντας από την κοντινότερη απο ηκευμένη ρονική στι μή [23] Μει μένη δέσμευση μνήμης με τη μέ οδο της ισορροπίας τ ν αρμονικών Στην περίπτ ση που το φαινόμενο που εξετάζεται είναι περιοδικό, είναι δυνατόν, να εφαρμοστεί η μέ οδος της ισορροπίας τ ν αρμονικών (harmonic balance method) που παρά ει ιδιαίτερα ικανοποιητικά αποτε έσματα, με υπο ο ιστικό κόστος μικρότερο από τη μέ οδο τ ν δεικτών μνήμης και δεσμεύοντας, στη ενική περίπτ ση, ακόμα ι ότερη μνήμη. Με τη μέ οδο αυτή οι μετα ητές του ευ έος προ ήματος ανα- ύονται σε σειρές Fourier με πεπερασμένο π ή ος συντε εστών. Οι εξισώσεις του μη-μόνιμου προ ήματος αντικα ίστανται από τα αντίστοι α συστήματα μόνιμ ν εξισώσε ν που προκύπτουν από την ανά υση. Με την επί υση αυτών προκύπτει ένας πεπερασμένος αρι μός πεδί ν ροής ( ρίς από υτη φυσική σημασία) σε ισαπέ οντα ρονικά διαστήματα, τα οποία με τη ρήση ενός αντίστροφου μετασ ηματισμού δίνουν τις τιμές τ ν με ε ών κά ε ρονική στι μή. Άμεση επίδραση στην ακρί εια της με όδου έ ει τόσο η συ νότητα του περιοδικού φαινομένου όσο και το π ή ος τ ν αρμονικών που α ρησιμοποιη ούν, το π ή ος τ ν συντε εστών δη αδή της σειράς Fourier που α ρησιμοποιη εί ια προσέ ιση τ ν μετα ητών του προ ήματος. Έ οντας με αυτόν τον τρόπο απο ηκευμένα πεπερασμένα στον αρι μό πεδία ροής είναι δυνατόν να ακο ου ήσει η επί υση του συζυ ούς προ ήματος, το οποίο είναι δυνατόν να προκύψει μέσ δύο διαφορετικών ανα ύσε ν. Μία πρώτη επι ο ή α ήταν να εφαρμοστεί η συνε ής συζυ ής μέ οδος με ρήση τ ν ρονικά μόνιμ ν εξισώσε ν

20 8 1. Αιτιοκρατικές μέ οδοι ε τιστοποίησης & Υπο ο ιστική Ρευστοδυναμική που προέκυψαν από την εφαρμο ή της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών ια το ευ ύ πρό ημα και επομέν ς να προκύψουν οι συζυ είς εξισώσεις. Οι τε ευταίες επι ύονται ρησιμοποιώντας τα πεδία που προέκυψαν από την επί υση του ευ έος προ ήματος. Ενα ακτικά, είναι δυνατόν να εφαρμοστεί η συνε ής συζυ ής μέ οδος στις εξισώσεις του μη-μόνιμου προ ήματος που επι ύ ηκε στο ευ ύ πρό ημα. Στις ρονικά μη-μόνιμες συζυ είς εξισώσεις, εφαρμόζεται εκ νέου η μέ οδος ισορροπίας τ ν αρμονικών και προκύπτει το σύστημα τ ν μόνιμ ν ρονικά συζυ ών εξισώσε ν, η επί υση τ ν οποί ν αξιοποιεί τα δια έσιμα από την επί υση του ευ έος προ ήματος πεδία. Και οι δύο παραπάν υ οποιήσεις παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον και η διερεύνηση του κατά πόσο είναι δυνατόν να επιτευ ούν είναι ιδιαίτερα σημαντική. Οι επι ο ές που αναπτύ ηκαν παραπάν παρουσιάζονται συ κεντρ μένες στο Σχήμα 1.1. Στην παρούσα διπ ματική ερ ασία, οι εξισώσεις του συζυ ούς προ ήματος προκύπτουν μέσ της συνε ούς συζυ ούς με όδου από τις εξισώσεις ροής του μημόνιμου προ ήματος. Τα δύο μη-μόνιμα προ ήματα (ευ ύ και συζυ ές) επι ύονται με ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών ια τον υπο ο ισμό τ ν παρα ώ ν μίας αντικειμενικής συνάρτησης. Κατά την επί υση του συζυ ούς προ ήματος υπάρ- ουν απο ηκευμένα και ρησιμοποιούνται τα πεδία που προέκυψαν από την επί υση του ευ έος προ ήματος, κα ώς μόνο αυτά απαιτούνται. 1.3 Το ο ισμικό OpenFOAM (Field Operation And Manipulation) Στις εφαρμο ές τις παρούσας διπ ματικής ερ ασίας ίνεται ρήση του OpenFOAM, ενός ε εύ ερου πακέτου ο ισμικού, ανεπτυ μένο από την OpenCFD, το οποίο παρέ- ει τη δυνατότητα επί υσης φυσικών προ ημάτ ν. Αξίζει να σημει εί ακόμη π ς το OpenFOAM είναι ο ισμικό ανοι τού πη αίου κώδικα, ραμμένου σε ώσσα προ ραμματισμού C++. Επομέν ς προσφέρει στο ρήστη τη δυνατότητα τόσο να τροποποιήσει τους κώδικες ούτ ς ώστε να εξυπηρετούν τις ανά κες του και τις ιδιαιτερότητες του προ ήματος που αντιμετ πίζει, όσο και να αναπτύξει νέους κώδικες ρησιμοποιώντας έτοιμα ερ α εία που το ο ισμικό περι αμ άνει. Η ΜΠΥΡ&Β/ΕΘΣ έ ει ενερ ή συμμετο ή στον προ ραμματισμό και την προέκταση του πη αίου κώδικα του εν ό ο ισμικού. Στην παρούσα διπ ματική ερ ασία, η

21 1.3. Το ο ισμικό OpenFOAM (Field Operation And Manipulation) 9 Σ ήμα 1.1: Διαφορετικές επιλογές για εφαρμογή της μεθόδου ισορροπίας των αρμονικών. Διακρίνονται ως προς το αν το πρόβλημα επιλύεται στο πεδίο του χρόνου ή σε αυτό των συχνοτήτως. ρήση του OpenFOAM την επί υση μη-μόνιμ ν στρ τών ροών ασυμπίεστου ρευστού σε υπο ο ιστικά π έ ματα που αναπτύσσονται επίσης με το ο ισμικό αυτό. Χρησιμοποιή ηκαν κώδικες που αναπτύ ηκαν ς προέκταση εκείν ν που η ΜΠΥΡ&Β εί ε ήδη δημιουρ ήσει. Η οπτικοποίηση τ ν ροών που προ έ ονται ίνεται με τη ρήση του ραφικού περι ά οντος του ο ισμικού (paraview).

22 10 1. Αιτιοκρατικές μέ οδοι ε τιστοποίησης & Υπο ο ιστική Ρευστοδυναμική

23 Κεφά αιο 2 Α όρι μος PISO Ένας συ νά ρησιμοποιούμενος επι ύτης ρονικά μη-μόνιμ ν προ ημάτ ν ροών ασυμπίεστου ρευστού είναι ο α όρι μος PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) [22]. Ο συ κεκριμένος α όρι μος αποτε εί μία τυπική εφαρμο ή της με όδου ρονοπροέ ασης. Οι εξισώσεις Navier-Stokes που περι ράφουν το εν ό πρό ημα ράφονται σε διανυσματική συντηρητική μορφή ς εξής: U = 0 (2.0.1) U + (UU) (ν U) = p (2.0.2) t όπου με U συμ ο ίζεται το διάνυσμα της τα ύτητας και με p το μέ ε ος της πίεσης διαιρεμένο με την πυκνότητα. Το παραπάν σύστημα εξισώσε ν είναι μη- ραμμικό. Απαιτείται ραμμικοποίηση του όρου μεταφοράς ενώ υπάρ ει η ανά κη επι ο ής ενός τρόπου σύζευξης της τα ύτητας και της πίεσης. 2.1 Σύζευξη τα ύτητας-πίεσης και α όρι μος επί υσης Η εξίσ ση της ορμής είναι δυνατό να ραφεί σε ημι-διακριτή μορφή: a P U P = H(U) p (2.1.1) Η διαδικασία διακριτοποίησης μέσ της οποίας προκύπτει η παραπάν σ έση αποφεύ εται στο παρόν κεφά αιο στόσο παρατί εται ανα υτικά σε επόμενο κεφά αιο

24 12 2. Α όρι μος PISO της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας. Αναφέρεται παρό α αυτά ότι με με δείκτη P ορίζονται οι τα ύτητες στο κέντρο ενός με ετούμενου ό κου ε έ ου (ενός υπο- ο ιστικού ρίου διακριτοποιημένου με τη μέ οδο τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν). Οι συντε εστές a P και a N είναι συναρτήσεις της τα ύτητας U. Ο υπο ο ισμός τ ν συντε εστών a P και a N ίνεται με τη ρήση ενός ήδη υπάρ οντος πεδίου τα ύτητας U από προη ούμενη ρονικη στι μή. Ο όρος H(U) αποτε είται από το μητρώο τ ν συντε εστών ια κά ε ειτονική κυψέ η, πο απ ασιασμένο με τις αντίστοι ες τα ύτητες, που έ ει προκύψει από τη διακριτοποίηση τ ν όρ ν μεταφοράς και διά υσης και από το μητρώο με τους συντε- εστές της διακριτοποίησης του ρονικού όρου, με κάποιο ρονικό ήμα, και κά ε όρου πη ής. Η εξίσ ση της συνέ ειας διακριτοποείται ς εξής: U = faces S U f = 0 (2.1.2) Γράφοντας την εξίσ ση ς προς U P, προκύπτει U P = H(U) a P 1 a P p (2.1.3) Οι τα ύτητες στις έδρες του κά ε ό κου ε έ ου υπο ο ίζονται με παρεμ ο ή: ( ) H(U) U f = a P f ( ) 1 p a P f (2.1.4) Αντικα ιστώντας την εξίσ ση στην διακριτοποιημένη εξίσ ση της συνέ ειας 2.1.2, προκύπτει η εξίσ ση της πίεσης: ( ) 1 p = H(U) a P a P = faces ( ) H(U) S a P f (2.1.5) Η διακριτοποιημένη μορφή του συστήματος τ ν εξισώσε ν Navier-Stokes, όπ ς προ-

25 2.1. Σύζευξη τα ύτητας-πίεσης και α όρι μος επί υσης 13 έκυψε είναι: a P U P = H(U) faces S(p) f (2.1.6) S faces ( ) 1 p a P f = ( ) H(U) S faces Τέ ος, η ροή μάζας σε κά ε έδρα δίνεται από τη σ έση: [ (H(U) ) F = S U f = S a P f a P f ( ) ] 1 p a P f (2.1.7) (2.1.8) Ο α όρι μος επί υσης PISO ακο ου εί τα παρακάτ ήματα: Επι ύεται η διακριτοποιημένη εξίσ ση ορμής 2.1.6, με τη ρήση του ήδη υπάρ- οντος πεδίου πίεσης, και προκύπτει μια εκτίμηση του πεδίου τα ύτητας. Με το πεδίο τα ύτητας του προη ούμενου ήματος, σ ηματίζεται το μητρώο H(U) και επι ύεται η εξίσ ση της πίεσης Έτσι προκύπτει μια εκτίμηση του πεδίου πίεσης. Με το νέο πεδίο πίεσης και μέσ της σ έσης υπο ο ίζεται η ροή μάζας σε κά ε έδρα τ ν ό κ ν ε έ ου. Μέσ της σ έσης διορ ώνεται το πεδίο τα ύτητας. Τα παραπάν ήματα επανα αμ άνονται μέ ρι να ικανοποιη εί κάποιο κριτήριο σύ- κ ισης. Σε περίπτ ση που είναι επι υμητή η επί υση και του συζυ ούς προ ήματος ακο ου είται αντίστοι η ανά υση και ο α όρι μος που ρησιμοποιείται είναι ο ίδιος. Η απαίτηση ια νώση του πεδίου τα ύτητας που προκύπτει από το ευ ύ πρό ημα στην επί υση του συζυ ούς κα ύπτεται, όπ ς αναφέρ ηκε σε προη ούμενο κεφά- αιο, με τη μέ οδο checkpointing ή κάποια ά η ισοδύναμη μέ οδο, [23].

26 14 2. Α όρι μος PISO

27 Κεφά αιο 3 Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών 3.1 Εισα ή Η μέ οδος της ισορροπίας τ ν αρμονικών (harmonic balance) [3] είναι μια μέ οδος που είναι δυνατόν να εφαρμοστεί ια τη με έτη μη-μόνιμ ν, περιοδικών φαινομέν ν ροής. Περιοδικά κα ούνται τα φαινόμενα τ ν οποί ν η ύση αναμένεται να είναι μία περιοδική συνάρτηση του ρόνου. Τέτοιου είδους μη-μόνιμα (unsteady) προ ήματα προκύπτουν όταν κάποια από τις οριακές συν ήκες μετα ά εται με το ρόνο, ό ι τυ- αία α ά περιοδικά. Αξίζει επιπ έον να σημει εί ότι στα προ ήματα που πρόκειται να εξετασ ούν η μετα ο ή τ ν οριακών συν ηκών ίνεται εξανα κασμένα, επι ά - εται δη αδή μία συ κεκριμένη συ νότητα τα άντ σης, κάτι που α ίνει φανερό και στις εφαρμο ές της με όδου που α ακο ου ήσουν σε επόμενο κεφά αιο. Με την εφαρμο ή της συ κεκριμένης με όδου οι εξισώσεις που περι ράφουν ένα μη-μόνιμο πρό ημα αντικα ίστανται από ένα σύστημα εξισώσε ν όπου δεν εμφανίζονται ρονικά μετα α όμενοι όροι. Το νέο αυτό σύστημα ρονικά μόνιμ ν εξισώσε ν επι ύεται παρά οντας πεδία τα οποία ναι μεν δεν έ ουν από υτη φυσική σημασία, στόσο συν έτουν μαζί μέσ μετασ ηματισμών τη ύση του προ ήματος. Με αυτόν τον τρόπο δεν απαιτείται κάποια ανά υση ια το ποιο ρονικό ήμα α ρησιμοποιη εί, κάτι το οποίο α ήταν απαραίτητο στην περίπτ ση που ινόταν ρήση ενός επι ύτη μη-μόνιμ ν προ ημάτ ν. Το ρονικό ήμα επηρεάζει άμεσα την ευστά- εια της ύσης και είναι πάντοτε συνάρτηση τ ν ε μετρικών αρακτηριστικών τ ν

28 16 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών υπο ο ιστικών π ε μάτ ν εντός τ ν οποί ν επι ύονται τα εκάστοτε προ ήματα. Η συ κεκριμένη μέ οδος πρ το ρησιμοποιή ηκε στη με έτη η εκτρικών κυκ μάτ ν [3] και συ κεκριμένα ια την εύρεση της απόκρισης στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση, της κατάστασης ισορροπίας δη αδή που επέρ εται μετά το πέρας τ ν μετα ατικών φαινομέν ν. Αυτό είναι και το σημαντικότερο αρακτηριστικό της με- όδου αυτής. Δύναται, δη αδή, να υπο ο ίσει τις επι υμητές αποκρίσεις μόνο κατά το περιοδικό κομμάτι του προ ήματος, παρακάμπτοντας το μετα ατικό στάδιο που προη είται της μόνιμης κατάστασης. Επομέν ς, αποφεύ εται ο υπο ο ισμός του μετα ατικού φαινομένου, κάτι που επιφέρει με ά ο υπο ο ιστικό κέρδος στη με έτη μη-μόνιμ ν φαινομέν ν. Στη μόνιμη π έον κατάσταση, οι ά ν στες μετα ητές του εκάστοτε προ ήματος προσε ίζονται με σειρές Fourier, κα ώς είναι περιοδικές συναρτήσεις ς προς το ρόνο. Η κεντρική ιδέα της με όδου της ισορροπίας τ ν αρμονικών είναι ότι ό τ ν σειρών Fourier, οι ά ν στοι είναι π έον οι πεπερασμένοι στον αρι μό συντε εστές της σειράς, οι οποίοι ισούνται σε π ή ος με το διπ άσιο του αρι μού τ ν αρμονικών που ρησιμοποιούνται ια την προσέ ιση του φαινομένου, συν έναν ακόμη στα- ερό όρο, που αποτε εί ουσιαστικά και το μέσο ρονικά όρο της συνάρτησης. Π έον όμ ς, το πρό ημα έ ει μεταφερ εί στο πεδίο συ νοτήτ ν (frequency domain), και ό ι στο πεδίο του ρόνου (time domain) όπου και είναι ν στή η σύνδεση μεταξύ τ ν μετα ητών ροής μέσ τ ν φυσικών νόμ ν που διέπουν το πρό ημα [4]. Με κατά η ους διακριτούς μετασ ηματισμούς, οι οποίοι α παρουσιαστούν ανα υτικότερα στα εδάφια που ακο ου ούν, κα ίσταται δυνατή η μετά αση από το ένα πεδίο στο ά ο και αντίστροφα και, τε ικά, η επί υση του προ ήματος μέσ μίας τέτοιου τύπου επανα ηπτικής διαδικασίας. Ακο ου ούν η μα ηματική εμε ί ση της με όδου και η εξα ή τ ν ασικών τύπ ν που προκύπτουν από την μα ηματική ανά υση, ενότητες που ασίζονται σε πα αιότερες ερ ασίες [3], [4], [6].

29 3.2. Μα ηματική εμε ί ση Μα ηματική εμε ί ση Όπ ς αναφέρ ηκε προη ουμέν ς, με τη μέ οδο της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών, σε αντιδιαστο ή με τη μέ οδο ρονοπροέ ασης, ίνεται δυνατός ο απ ευ είας υπο ο- ισμός του περιοδικού φαινομένου που ενδιαφέρει, μέσ προσέ ισης της ύσης με ά ροισμα πεπερασμένου αρι μού όρ ν σειράς Fourier. Έστ ότι η διαφορική εξίσ ση (ή το σύστημα διαφορικών εξισώσε ν) που πρέπει να επι υ εί, είναι της μορφής : du + R(U(t)) = 0 (3.2.1) dt όπου U = U(t) είναι το πεδίο τ ν μετα ητών ροής που πρέπει να υπο ο ιστεί, όπ ς.. το διάνυσμα της τα ύτητας της ροής στην εξίσ ση ορμής, η οποία επι ύεται στην εφαρμο ή της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας ια την πρό εξη της ροής ασυμπίεστου συνεκτικού ρευστού που με ετάται. Ο διαφορικός τε εστής R αντιπροσ πεύει το ρικό υπό οιπο (spatial residual) τ ν εξισώσε ν ροής και περι αμ άνει τους ρονικά μόνιμους όρους της διαφορικής εξίσ σης η οποία επι ύεται. Κατά κανόνα, είναι μία συνάρτηση του U, δη αδή R=R(U(t)). Προσε ίζουμε τα ρονικά μετα α όμενα πεδία U και R μέσ σειρών Fourier με τη ρήση Ν H συ νοτήτ ν, με τη ρήση δη αδή N H αρμονικών. Οι όροι ράφονται: U(t). = Û0 + R(t). = ˆR 0 + N H n=1 N H n=1 [Ûan cos(ωnt) + Ûbn sin(ωnt)] [ ˆRan cos(ωnt) + ˆR bn sin(ωnt)] (3.2.2) όπου ω = 2π, με την περίοδο του φαινομένου, πρακτικά δη αδή την περίοδο διέ ερσης. Σύμφ να με την παραπάν σ έση, παρατηρείται ότι είναι επαρκής ο υπο- ο ισμός 2N H + 1 πεδί ν (Û0, Ûan, Ûbn), εφόσον αναφερόμαστε συνο ικά στη ροή που με ετάται σε ό ο το ρίο, ια να προσε ιστεί με ικανοποιητική ακρί εια η

30 18 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών ρονικά μετα α όμενη ύση U του προ ήματος. Τονίζεται ότι τα πεδία Ûan και Û bn που πρέπει να υπο ο ιστούν, είναι πρα ματικά πεδία. Υπο ο ίζεται: NH du [ ] dt = Ûanωn sin(ωnt) + Ûbnωn cos(ωnt) n=1 (3.2.3) Αντικα ιστώντας τη σ έση στη σ έση παίρνουμε: ˆR 0 + N H n=1 (Ûbnωn + ˆR an ) cos(ωnt) + N H n=1 ( Ûanωn + ˆR bn ) sin(ωnt) = 0 (3.2.4) Επειδή η παραπάν σ έση (3.2.4) πρέπει να ικανοποιείται ια κά ε ρονική στι μή, πρέπει να ικανοποιούνται ταυτοτικά οι ακό ου ες 2N H + 1 εξισώσεις: ˆR 0 = 0 Û bn ωn + ˆR an = 0, ια n = 1, N H (3.2.5) Ûanωn + ˆR bn = 0, ια n = 1, N H Από το σύστημα τί εται ς στό ος ο υπο ο ισμός τ ν Ûan και Û bn. Η δυσκο ία που συναντάται στην επί υση του συστήματος είναι ότι, ενώ στο πεδίο του ρόνου υπάρ ει σ έση-εξίσ ση που συνδέει τους όρους R(t) με τους α νώστους U(t) της αντίστοι ης ρονικής στι μής, κάτι τέτοιο δεν ισ ύει ια τα ˆR an και τα ˆR bn σε σ έση με τα Ûan και τα Ûbn τα οποία αναφέρονται στο πεδίο συ νοτήτ ν, αφού κά ε πρα ματικό πεδίο ˆR an ή ˆR bn εξαρτάται από ό α τα Ûan και τα Ûbn, ό της μη- ραμμικότητας της σ έσης R = R(U). Για να αποφευ εί η δυσκο ία του προσδιορισμού της σύνδεσης τ ν παραπάν συντε εστών ακο ου είται η παρακάτ διαδικασία: Πρα ματοποιείται διακριτοποίηση της ύσης U και του υπο οίπου R σε N = 2N H + 1 ισομήκη ρονικά διαστήματα μέσα στην περίοδο.

31 3.2. Μα ηματική εμε ί ση 19 Συ κεκριμένα: U(t 0 ) U(t Uhb = 0 + t). U(t 0 + t) R(t 0 ) R(t Rhb = 0 + t). R(t 0 + t) όπου t = = 2N H +1 2π 1 = α 2N H, όπου τέ ηκε: α = 2π +1 ω ω 2N H +1 Eίναι δυνατό, ια κά ε ένα από τα στοι εία-πεδία U hb και R hb, ια κά ε διακριτή ρονική στι μή δη αδή, να ικανοποιη ούν οι εξισώσεις της ρονικής σειράς Fourier. Με αυτόν τον τρόπο, δεδομένου ότι οι ά ν στοι συντε εστές Fourier είναι 2N H + 1 στον αρι μό, μπορεί να εκφραστεί κα ένας συντε εστής Û και ˆR συναρτήσει τ ν ά ν στ ν τιμών τ ν U και R αντίστοι α, στις 2N H + 1 ρονικές στι μές. Ουσιαστικά, δη αδή, μέσ ενός διακριτού μετασ ηματισμού Fourier (Discrete Fourier ransformation - DF) πρα ματοποιείται σκόπιμη μετά αση από το πεδίο τ ν συ νοτήτ ν και πά ι στο πεδίο του ρόνου ια την επί υση του προ ήματος [4], [6]. Στη συνέ εια, ίνεται αντικατάσταση τ ν εκφράσε ν που α προκύψουν από το δεύτερο ήμα στο σύστημα Με αυτόν τον τρόπο, α προκύψει τε ικά ένα νέο σύστημα, διατυπ μένο στο πεδίο του ρόνου, όπου όμ ς α συσ ετίζει σε κά ε του εξίσ ση τα U και R στις 2N H + 1 στι μές μέσα στην περίοδο, ια τα οποία όμ ς υπάρ ει δια έσιμη η συσ έτιση, μέσ της σ έσης R = R(U). Με ν στά τα πεδία U και R και με τη ρήση του αντίστροφου διακριτού μετασ ηματισμού Fourier, προκύπτουν τα πρα ματικά πεδία τ ν συντε εστών που ρησιμοποιούνται ια την ανά υση τ ν με ε ών σε σειρές Fourier Εφαρμο ή της με όδου ια δύο Αρμονικές Ακο ου εί η διαδικασία η οποία περι ράφηκε σε μία εφαρμο ή με δύο αρμονικές [3], δη αδή ια N H = 2. Σε επόμενη παρά ραφο α παρουσιαστούν και οι ενικευμένοι τύποι, όπ ς προκύπτουν ια περισσότερες αρμονικές. Για δύο αρμονικές (N H = 2) προκύπτει t =. Το πεδίο της ροϊκής ύσης U(t), προσε ιζόμενο με σειρές 5

32 20 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών Fourier, ράφεται: U(t) = Û0 + Ûa1 cos ωt + Ûb1 sin ωt + Ûa2 cos 2ωt + Ûb2 sin 2ωt (3.2.6) Τε ικά είναι ανα καίο να υπο ο ιστούν πέντε (5) ά ν στοι, οι συντε εστές-πεδία Û 0, Û a1, Û b1, Û a2 και Û b2. Σε μία περίοδο διακρίνουμε επίσης πέντε πεδία τιμών της ύσης U, εφόσον ά στε N = 2N H + 1 = 5, τα οποία, σύμφ να με όσα αναφέρ ηκαν προη ουμέν ς, είναι: Ισ ύουν οι παρακάτ σ έσεις: U(t 0 ) U(t 0 + t) Uhb = U(t t) = U(t t) U(t t) cos(ωt) = ejω t + e jω t 2 cos(2ωt) = ej2ω t + e j2ω t 2 sin(ωt) = ejω t e jω t 2j sin(2ωt) = j e j2ω t + e j2ω t Οπότε, η σ έση 3.2.6, μετά από πράξεις δίνει: 2 U 0 U 1 U 2 U 3 U 4 = j e jω t e jω t 2 U(t) = Ũ 2e j2ω t + Ũ 1e jω t + Ũ0 + Ũ1e jω t + Ũ2e j2ω t (3.2.7) όπου τα μι αδικά πεδία τιμών Ũ 2, Ũ 1, Ũ0, Ũ1 και Ũ 2 ορίζονται ς εξής: Ũ 2 = Ûa2 + jûb2 2, Ũ 1 = Ûa1 + jûb1 2, Ũ 0 = Û0, Ũ 2 = Ûa2 jûb2 2, Ũ 1 = Ûa1 jûb1 2

33 3.2. Μα ηματική εμε ί ση 21 Θε ρώντας, ρίς ά η της ενικότητας, ότι η ρονική αφετηρία είναι το μηδέν, δη αδή ότι t 0 = 0, και ικανοποιώντας το ά ροισμα Fourier ια δύο αρμονικές, με κά ε ένα από τα πέντε ρονικά ισαπέ οντα πεδία τιμών της ύσης [U 0, U 1, U 2, U 3, U 4 ], κατα ή ουμε στο ακό ου ο σύστημα εξισώσε ν: [0 t] : U 0 = Ũ 2e j0ω t +Ũ 1e j0ω t + Ũ0 +Ũ1e j0ω t + [1 t] : U 1 = Ũ 2e j2ω t +Ũ 1e jω t + Ũ0 +Ũ1e jω t + [2 t] : U 2 = Ũ 2e j4ω t +Ũ 1e j2ω t + Ũ0 +Ũ1e j2ω t + [3 t] : U 3 = Ũ 2e j6ω t +Ũ 1e j3ω t + Ũ0 +Ũ1e j3ω t + [4 t] : U 4 = Ũ 2e j8ω t +Ũ 1e j4ω t + Ũ0 +Ũ1e j4ω t + Ũ2e j0ω t Ũ2e j2ω t Ũ2e j4ω t Ũ2e j6ω t Ũ2e j8ω t [0 t] : U 0 = Ũ 2ϕ 0 + Ũ 1ϕ 0 + Ũ0ϕ 0 + Ũ1ϕ 0 + Ũ2ϕ 0 [1 t] : U 1 = Ũ 2ϕ 2 + Ũ 1ϕ 1 + Ũ0ϕ 0 + Ũ1ϕ 1 + Ũ2ϕ 2 [2 t] : U 2 = Ũ 2ϕ 4 + Ũ 1ϕ 2 + Ũ0ϕ 0 + Ũ1ϕ 2 + Ũ2ϕ 4 [3 t] : U 3 = [4 t] : U 4 = Ũ 2ϕ 6 + Ũ 1ϕ 3 + Ũ0ϕ 0 + Ũ1ϕ 3 + Ũ2ϕ 6 + Ũ 1ϕ 4 + Ũ0ϕ 0 + Ũ1ϕ 4 + Ũ2ϕ 8 (3.2.8) όπου τέ ηκε: ϕ = e jω t, ϕ 2 = e j2ω t και ούτ κα εξής. Ισ ύει ενικότερα: και, επομέν ς, εδώ έ ουμε: ϕ q = ϕ q±ρ(2n H+1) (3.2.9) ϕ 1 = ϕ 4, ϕ 2 = ϕ 3, ϕ 8 = ϕ 3 = ϕ 2 = ϕ 7 = ϕ 12 κ.ο.κ Για ό ους απ ότητας στη ραφή, υιο ετείται η α α ή δεικτών: Ũ 2 Ũ3, Ũ 1 Ũ4

34 22 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών Έτσι, μετά την α α ή δεικτών και κάνοντας ρήση της ταυτότητας 3.2.9, το σύστημα είναι δυνατό να ραφεί σε μητρ ϊκή μορφή ς εξής: ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8 1 ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ 12 1 ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ 16 Ũ 0 Ũ 1 Ũ 2 Ũ 3 Ũ 4 = U 0 U 1 U 2 U 3 U 4 (3.2.10) Υπεν υμίζεται, σε αυτό το σημείο, π ς το μητρώο τ ν συντε εστών και το διάνυσμα στο αριστερό μέ ος της παραπάν εξίσ σης (3.2.10) περι αμ άνουν ς στοι εία μι- αδικούς αρι μούς, ενώ το ινόμενο τους, δη αδή το μητρώο στο δεξί μέ ος της εν ό εξίσ σης, περι αμ άνει μόνο πρα ματικούς αρι μούς, εφόσον περιέ ει τα πεδία ύσε ν U της ροής στις πέντε ρονικές στι μές στις οποίες ανα ύεται το πρό ημα. Είναι εύκο ο να υπο ο ιστεί ανα υτικά ο αντίστροφος του μητρώου που αποτε εί το συντε εστή τ ν α νώστ ν Ũi, και επομέν ς να διατυπ εί απευ είας η ύση του συστήματος. Η αντιστροφή του συ κεκριμένου μητρώου επιτυ άνεται με τη ρήση δύο ασικών ε ρημάτ ν: Θεώρημα 1. [3] Έστ ϕ = e jω t t j2π = e. Αποδεικνύεται ότι: Θεώρημα 2. [3] 1 + ϕ + ϕ ϕ 2N H = 0 Αν r και q ακέραιοι αρι μοί (r, q Z) αποδεικνύεται ότι: { 2N H 0, αν r q (2NH + 1) ϕ κ r = 2N H + 1, αν r = q (2N H + 1) κ=0

35 3.2. Μα ηματική εμε ί ση 23 Ορίζουμε το μι αδικό πίνακα M και το συζυ ή του M: ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 M = 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8, M = 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8 = 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8 1 ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ 12 1 ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ 12 1 ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ 12 1 ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ 16 1 ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ 16 1 ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ 16 όπου έ ινε ρήση της ταυτότητας: ϕ κ = ϕ κ, με κ Z, η οποία εύκο α αποδεικνύεται. Είναι προφανές ότι ο ενικός τύπος ια τα στοι εία του M είναι: M i,j = ϕ (i 1)(j 1) και ομοί ς ο αντίστοι ος ενικός τύπος ια τα στοι εία του συζυ ούς του μητρώου είναι: M i,j = ϕ (i 1)(j 1), όπου i, j N με 1 i, j N. Υπεν υμίζεται ότι έ ει οριστεί: N = 2N H + 1. Για την εκτέ εση της πράξης του πο απ ασιασμού μεταξύ τ ν δύο μητρώ ν (M M) ξε ρίζουν οι εξής περιπτώσεις: (i) πο απ ασιασμός της i ραμμής του M με την i στή η του M: N N ϕ (i 1)(κ 1) ϕ (κ 1)(i 1) = (ϕ ϕ) (i 1)(κ 1) = N κ=1 κ=1 (ii) πο απ ασιασμός της i ραμμής του M με την j στή η του M: N ϕ (i 1)(κ 1) ϕ N (κ 1)(j 1) = ϕ (i 1)(κ 1) ϕ N 2N H (κ 1)( j+1) = ϕ (i j)(κ 1) = ϕ κ (i j) = 0 κ=1 κ=1 κ=1 κ=0 ό του Θε ρήματος 2 και επειδή: i j < N = (i j) q (2N H + 1), q Z. Εκτε ώντας τις πράξεις υπο ο ίζεται: ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ M M = 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8 = ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ 12 1 ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ 16 1 ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ

36 24 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών και, επομέν ς, είναι προφανές ότι: M 1 = 1 5 M, ή στη ενική περίπτ ση: M 1 = 1 N M (3.2.11) Τε ικά, η εξίσ ση ράφεται: Ũ 0 Ũ 1 Ũ 2 Ũ 3 Ũ ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 = 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8 1 ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ 12 1 ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ 16 U 0 U 1 U 2 U 3 U 4 (3.2.12) Κατ αντιστοι ία, τα υπό οιπα τ ν εξισώσε ν ροής, εξαιρουμέν ν τ ν ρονικών όρ ν ( άριν συντομίας, τα ρικά υπό οιπα ), ράφονται ανα υμένα σε σειρές Fourier, με ρήση δύο αρμονικών, ς εξής: R(t) = ˆR 0 + ˆR a1 cos ωt + ˆR b1 sin ωt + ˆR a2 cos 2ωt + ˆR b2 sin 2ωt (3.2.13) Ακο ου ώντας ακρι ώς την ίδια διαδικασία που περι ράφηκε προη ουμέν ς, προκύπτει μία ακόμη εξίσ ση, αντίστοι η της , ραμμένη όμ ς ια τα ρικά υπό οιπα R i : R R 1 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 R 2 = 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 6 ϕ 8 R 3 1 ϕ 3 ϕ 6 ϕ 9 ϕ 12 R 4 1 ϕ 4 ϕ 8 ϕ 12 ϕ 16 όπου έ ουν οριστεί κατ αντιστοι ία τα μι αδικά πεδία τιμών: R 0 R 1 R 2 R 3 R 4 (3.2.14) R 2 = R 3 = ˆR a2 + j ˆR b2 2, R 1 = R 4 = ˆR a1 + j ˆR b1 2, R0 = ˆR 0, R 2 = ˆR a2 j ˆR b2 2, R1 = ˆR a1 j ˆR b1 2 Γν ρίζοντας τα διανύσματα τ ν πεδί ν τ ν μετα ητών ροής και τ ν ρικών υπο-

37 3.2. Μα ηματική εμε ί ση 25 οίπ ν τ ν ισ υουσών εξισώσε ν, και ια τις πέντε ρονικές στι μές που επι έ- ηκαν ό της ρήσης δύο αρμονικών, U = [ U 0, U 1, U 2, U 3, U 4 ] και R = [ R0, R 1, R 2, R 3, R 4 ], και επι ύοντας τα συστήματα και , υπο ο ίζονται απευ είας τα μι αδικά πεδία Ũi και Ri. Με ν στά τα μι αδικά πεδία Ũi και Ri και ρίζοντάς τα σε πρα ματικό και φανταστικό μέρος είναι δυνατόν να υπο ο ιστούν τα πρα ματικά διανύσματα: ˆ U = (Û0, Û a1, Û b1, Û a2, Û b2 ) και ˆ R = ( ˆR 0, ˆRa1, ˆRb1, ˆRa2, ˆRb2 ) Αυτό που ενδιαφέρει στόσο είναι να διατυπ ούν δύο συστήματα που α εκφράζουν απευ είας τα U ˆ ˆ και R συσ ετισμένα με τα πεδία της ύσης και τ ν ρικών υπο- οίπ ν U και R. Παρατί ενται, εδώ, ξανά οι σ έσεις που δίνουν τα μι αδικά πεδία τιμών στην περίπτ ση που έ ουν ρησιμοποιη εί δύο αρμονικές: Ũ 3 = Ûa2 + jûb2 2, Ũ 4 = Ûa1 + jûb1 2, Ũ 0 = Û0, Ũ 2 = Ûa2 jûb2 2, Ũ 1 = Ûa1 jûb1 2 Ισ ύει ότι οι μι αδικοί Ũ 2 και Ũ 3 έ ουν το ίδιο πρα ματικό μέρος και αντί ετο φανταστικό μέρος ούτ ς ώστε να κατα ή ουμε σε υπο ο ισμό ίδι ν Ûa2 και Û b2. Αντίστοι α, το ίδιο ισ ύει και ια τους μι αδικούς Ũ1 και Ũ 4. Ακο ου εί μία διερεύνηση ια τους μι αδικούς Ũ2 και Ũ 3, η οποία σε τίποτα δεν διαφέρει από μία αντίστοι η ια τους μι αδικούς αρι μούς Ũ1 και Ũ 4, και η οποία πιστοποιεί την παραπάν πρόταση. Υπο ο ίζουμε: 5Ũ2 = U 0 + U 1 ϕ 2 + U 2 ϕ 4 + U 3 ϕ 6 + U 4 ϕ 8 5Ũ3 = U 0 + U 1 ϕ 3 + U 2 ϕ 6 + U 3 ϕ 9 + U 4 ϕ 12 Θέτουμε: α = ω t = 2π t. Ισ ύει ότι: 5 t = 1 = t = 1 5 = 5α = 2π. Ανα ύουμε τους μι αδικούς 5Ũ2 και 5Ũ2 σε πρα ματικό και μι αδικό μέρος.

38 26 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών Είναι: Re(5Ũ2) = U 0 + U 1 cos( 2α) + U 2 cos( 4α) + U 3 cos( 6α) + U 4 cos( 8α) = U 0 + U 1 cos(3α) + U 2 cos(6α) + U 3 cos(9α) + U 4 cos(12α) = U 0 + U 1 cos( 3α) + U 2 cos( 6α) + U 3 cos( 9α) + U 4 cos( 12α) = Re(5Ũ3) Im(5Ũ2) = U 1 sin( 2α) + U 2 sin( 4α) + U 3 sin( 6α) + U 4 sin( 8α) = U 1 sin(3α) + U 2 sin(6α) + U 3 sin(9α) + U 4 sin(12α) = U 1 sin( 3α) U 2 sin( 6α) U 3 sin( 9α) U 4 sin( 12α) = Im(5Ũ3) Επομέν ς, κα ίσταται προφανές, π ς είτε με τον υπο ο ισμό από το Ũ2 είτε με τον υπο ο ισμό από το Ũ3, υπο ο ίζονται οι ίδιες ακρι ώς τιμές τ ν συντε εστών Ûa2, Û a2 της σειράς Fourier. Χρησιμοποιώντας τις τρεις πρώτες εξισώσεις του συστήματος , δη αδή N H +1 εξισώσεις στη ενική περίπτ ση, προκύπτει η παρακάτ σ έση: Û 0 Û a1 Û b1 Û a2 Û b cos(α) 2 cos(2α) 2 cos(3α) 2 cos(4α) = sin(α) 2 sin(2α) 2 sin(3α) 2 sin(4α) 2 2 cos(2α) 2 cos(4α) 2 cos(6α) 2 cos(8α) 0 2 sin(2α) 2 sin(4α) 2 sin(6α) 2 sin(8α) Ορίζεται, επομέν ς, το μητρώο μετασ ηματισμού (transformation matrix), από το οποίο προκύπτουν τα πρα ματικά πεδία Û, E: cos(α) 2 cos(2α) 2 cos(3α) 2 cos(4α) E = sin(α) 2 sin(2α) 2 sin(3α) 2 sin(4α) 2 2 cos(2α) 2 cos(4α) 2 cos(6α) 2 cos(8α) 0 2 sin(2α) 2 sin(4α) 2 sin(6α) 2 sin(8α) U 0 U 1 U 2 U 3 U 4

39 3.2. Μα ηματική εμε ί ση 27 Για την ειδική περίπτ ση τ ν δύο αρμονικών, το σύστημα 3.2.5, ράφεται: ˆR 0 = 0 Ûb1ω = Û a1 ω = 2Ûb2ω = 2Ûa2ω = ˆR a1 ˆR b1 ˆR a2 ˆR b2 ή, ενα ακτικά, σε μητρ ική μορφή: ω Û 0 Û a1 Û b1 Û a2 Û b2 ˆR 0 ˆR a1 = ˆR b1 ˆR a2 ˆR b2 όπου ορίστηκε το μητρώο Α ς: Επομέν ς είναι: ράφεται: ωa ˆ U = ˆ R (3.2.15) A = ˆ U = E U, και κατ αντιστοι ία: ωae U = E R = ˆ R = E R. Η εξίσ ση τε ικά = ωe 1 AE U = R = = ωd U + R = 0 (3.2.16)

40 28 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών όπου ορίστηκε ότι D = E 1 AE. Η εξίσ ση είναι η ασική εξίσ ση ισορροπίας τ ν αρμονικών (harmonic balance equation) και είναι αντίστοι η τ ν αρ ικών διαφορικών εξισώσε ν Απομένει να προσδιοριστεί το μητρώο D όπ ς διατυπώνεται ια την περίπτ ση που ρησιμοποιούνται δύο αρμονικές. Από τις εξισώσεις 3.2.3, ραμμένες ια δύο αρμονικές, και ια α = 2π t, έ ουμε: U U 1 1 cos(α) sin(α) cos(2α) sin(2α) U 2 = 1 cos(2α) sin(2α) cos(4α) sin(4α) U 3 1 cos(3α) sin(3α) cos(6α) sin(6α) 1 cos(4α) sin(4α) cos(8α) sin(8α) U 4 Ορίζεται το αντίστροφο μητρώο μετασ ηματισμού E 1 : Υπο ο ίζεται: cos(α) sin(α) cos(2α) sin(2α) E 1 = 1 cos(2α) sin(2α) cos(4α) sin(4α) 1 cos(3α) sin(3α) cos(6α) sin(6α) 1 cos(4α) sin(4α) cos(8α) sin(8α) Û 0 Û a1 Û b1 Û a2 Û b sin(α) cos(α) 2 sin(2α) 2 cos(2α) E 1 A = 0 sin(2α) cos(2α) 2 sin(4α) 2 cos(4α) 0 sin(3α) cos(3α) 2 sin(6α) 2 cos(6α) 0 sin(4α) cos(4α) 2 sin(8α) 2 cos(8α) Μιας και D = E 1 AE, εκτε ώντας τις απαραίτητες πράξεις, αποδεικνύεται ότι [3] ο ενικός τύπος από τον οποίο προκύπτουν τα στοι εία του μητρώου, ια την περίπτ ση τ ν δύο αρμονικών (N H = 2), είναι ο ακό ου ος: D i,j = 2 {sin[α(j i)] + 2 sin[2α(j i)]} 5

41 3.2. Μα ηματική εμε ί ση Γενίκευση ια περισσότερες από δύο αρμονικές Ακο ου εί η ενίκευση όσ ν προη ή ηκαν [3], στην περίπτ ση που ρησιμοποιούνται παραπάν από δύο αρμονικές (N H 2) στην προσέ ιση τ ν με ε ών με σειρές Fourier. Θε ρώντας, και πά ι ρίς ά η της ενικότητας, ότι t 0 = 0, προκύπτουν οι ακό ου οι ενικοί τύποι: E = 1 N cos(α) 2 cos(2α)... 2 cos[(n 1)α] 0 2 sin(α) 2 sin(2α)... 2 sin[(n 1)α] cos(n H α) 2 cos(2n H α)... 2 cos[(n 1)N H α] 0 2 sin(n H α) 2 sin(2n H α)... 2 sin[(n 1)N H α] Και, αντίστοι α, το αντίστροφο μητρώο μετασ ηματισμού: cos(α) sin(α)... cos(n H α) sin(n H α) E 1 = 1 cos(2α) sin(2α)... cos(n H 2α) sin(n H 2α) (3.2.17) 1 cos(4α) sin(4α)... cos[n H (N 1)α] sin[n H (N 1)α] (3.2.18) Ο ενικός τύπος που δίνει τα στοι εία του μητρώου D είναι ο ακό ου ος: D i,j = 2 N N H κ=1 κsin [ακ(j i)] (3.2.19) Τέ ος, το μητρώο A προκύπτει, ανά ο α με το π ή ος τ ν αρμονικών, ς εξής: ια n N με: 1 n N H. n, ια i=2n και j=2n+1 A i,j = n, ια i=2n+1 και j=2n 0, ια κά ε ά ο συνδυασμό (3.2.20)

42 30 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών 3.3 Συμπεράσματα και παρατηρήσεις πάν στη Μέ οδο Ισορροπίας τ ν Αρμονικών Σύμφ να με τη μέ οδο Ισορροπίας τ ν Αρμονικών τε ικά δεν επι ύονται οι εξισώσεις του ρονικά μη-μόνιμου προ ήματος (εξίσ ση 3.2.1) στο πεδίο του ρόνου, α ά αντί ετα το σύστημα : ωd U + R = 0 όπου είναι δυνατό να προστε εί επιπ έον μία ψευδο ρονική παρά ος d U dτ, όπου τ ο ψευδο ρόνος, με σκοπό να διευκο ύνει την αρι μητική σύ κ ιση. Κατα ή οντας στην παραπάν εξίσ ση, αποδεί ηκε ουσιαστικά, π ς εάν προσε ίσουμε τη ύση ενός προ ήματος U με πεπερασμένους όρους σειράς Fourier, τότε η προσέ ιση της ρονικής παρα ώ ου του U ίνεται με τον ακό ου ο τρόπο: d U dt = ωd U, με ω = 2π όπου η περίοδος. (3.3.1) Σύμφ να με ό α όσα προη ή ηκαν, ακο ου είται η παρακάτ με οδο ο ία ια τον προσδιορισμό ο όκ ηρου του πεδίου U σε κά ε ρονική στι μή: (i) Επι ύεται το σύστημα τ ν N εξισώσε ν και υπο ο ίζεται το πεδίο ροής U ια τις N ισαπέ ουσες ρονικές στι μές. (ii) Πο απ ασιάζοντας το διάνυσμα U που προέκυψε με το μητρώο μετασ ηματισμού E υπο ο ίζονται οι συντε εστές Fourier, σύμφ να με τον τύπο: ˆ U = E U (3.3.2) (iii) Το πεδίο U υπο ο ίζεται την επι υμητή ρονική στι μή μέσα στην περίοδο, άσει του τύπου Fourier ια N H αρμονικές, από τη σ έση Αξίζει εδώ να σημει εί π ς η αρι μητική επί υση του προ ήματος ίνεται στο πεδίο του ρόνου, παρότι ο όκ ηρη η ανά υση τ ν εξισώσε ν ίνεται στο πεδίο συ νοτήτ ν. Μέσ του μετασ ηματισμού προκύπτουν οι συντε εστές της σειράς Fourier και, τε ικά, η ύση του προ ήματος. Η επι ο ή τώρα, του π ή ους τ ν αρμονικών που

43 3.3. Συμπεράσματα και παρατηρήσεις πάν στη Μέ οδο Ισορροπίας τ ν Αρμονικών 31 α ρησιμοποιη ούν ια την προσέ ιση της ύσης του προ ήματος, εξαρτάται από τη συ νότητα διέ ερσης. Αυτή είναι πάντοτε ν στή, κα ώς, όπ ς αναφέρ ηκε και στην εισα ή του κεφα αίου, η μέ οδος ισορροπίας τ ν αρμονικών είναι δυνατόν να ρησιμοποιη εί μόνο σε προ ήματα εξανα κασμένης τα άντ σης. Οι με α ύτερες συ νότητες απαιτούν περισσότερες αρμονικές ούτ ς ώστε να προσε ιστούν κα ύτερα. Για υψη ές συ νότητες όμ ς, ια φαινόμενα δη αδή που αρακτηρίζονται από μικρή περίοδο, κα ίσταται δυσκο ότερο να προσε ιστεί η ρονική παρά ος της ύσης d U dt. Παρατηρώντας τα στοι εία του μητρώου D, όπ ς προκύπτουν μετά από πράξεις, διαπιστώνεται π ς εκείνα που αντιστοι ούν στην κύρια δια ώνιο του μητρώου είναι πάντοτε μηδενικά. Αυτό σημαίνει π ς η επίδραση κα ενός πεδίου U από τα N, στα πεδία τ ν υπό οιπ ν ρονικών στι μών, μπορεί να α ροιστεί και να αποτε έσει ένα επιπ έον όρο πη ής της προς επί υση εξίσ σης, κάτι που α φανεί και παρακάτ. Ακόμη, αναφέρεται, ότι το ά ροισμα τ ν στοι εί ν του μητρώου D σε μία ραμμή ισούται με το μηδέν. Αυτό ενδιαφέρει επειδή, τε ικά, η μέ οδος είναι δυνατό να εφαρμοστεί και σε ρονικά στα ερές συναρτήσεις, ε ρώντας τις οριακά περιοδικές, και να δώσει το ακρι ές αποτέ εσμα στην προσέ ιση της ρονικής παρα ώ ου της ύσης d U dt = 0. Με τη ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών αποφεύ ουμε τε ικά την επί- υση τ ν εξισώσε ν ροής μη-μόνιμ ν (unsteady) προ ημάτ ν. Αντ αυτού επι ύονται 2N H + 1 ρονικά μόνιμα (steady) προ ήματα, τα οποία όμ ς είναι μεταξύ τους πεπ ε μένα (coupled). Η επί υση εξισώσε ν, στις οποίες δεν εμφανίζονται ρονικά μη-μόνιμοι όροι, είναι σημαντικά οικονομικότερη, από άποψη υπο ο ιστικού κόστους. Παρό α αυτά, η επί υση 2N H + 1 προ ημάτ ν, αντί ια ένα, έ ει ς αποτέ εσμα την ανά κη να δεσμευτεί αρκετή μνήμη (ουσιαστικά 2N H + 1 φορές περισσότερη από εκείνη που απαιτείται ια το κά ε πρό ημα) κα ώς π έον ο κώδικας που ρησιμοποιείται ια την επί υση δια ειρίζεται 2N H + 1 διαφορετικά πεδία μετα ητών ροής. Επομέν ς, η απαιτούμενη μνήμη είναι πάντοτε ένας από τους παρά οντες που πρέπει να ηφ ούν υπόψη όταν αποφασίζεται η ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών.

44 32 3. Η μέ οδος της Ισορροπίας τ ν Αρμονικών

45 Κεφά αιο 4 Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή 4.1 Εξισώσεις ροής Οι εξισώσεις που διέπουν το πρό ημα της ροής, η οποία με ετάται στην παρούσα διπ ματική ερ ασία, είναι οι εξισώσεις Navier-Stokes, όπ ς αυτές ράφονται στην περίπτ ση του ασυμπίεστου, Νευτώνιου ρευστού [2]. Η ροή που με ετάται παραμένει στρ τή ενώ δεν αμ άνονται υπόψη οι όροι μετάδοσης ερμότητας. Οι ισ ύουσες εξισώσεις ια προ ήματα δύο ή τριών διαστάσε ν, σε τανυστική ραφή, διατυπώνονται ς εξής: R p = v j = 0 x j (4.1.1) Ri v = v i t + v v i j + p [ ( vi ν + v )] j = 0, i = 1, 2(3) x j x i x j x j x i (4.1.2) όπου με v i συμ ο ίζονται οι συνιστώσες του διανύσματος της τα ύτητας της ροής και με p η στατική πίεση διαιρεμένη με την στα ερή πυκνότητα του ρευστού ( α ονομάζεται απ ά στατική πίεση σε ότι ακο ου εί). Με ν συμ ο ίζεται η κινηματική συνεκτικότητα του ρευστού, η οποία αμ άνεται στα ερή. Ορίζονται, ια τη συνέ εια, τα ακό ου α: το U = [p, v i ] είναι το διάνυσμα μετα ητών της ροής.

46 34 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή ια τα υπό οιπα τ ν διακριτοποιημέν ν εξισώσε ν ροής ισ ύει η αντιστοι ία R U 1 = R p και R U i+1 = R v i Οι εξισώσεις ροής συμπ ηρώνονται από τις αρ ικές και οριακές συν ήκες του προ ήματος. Για εξ τερικές ροές, όπ ς αυτή που με ετάται στην εφαρμο ή της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας και η οποία παρατί εται σε ξε ριστό κεφά αιο, οι οριακές συν ήκες οι οποίες κ είνουν μα ηματικά το σύστημα τ ν εξισώσε ν ροής, στα όρια του πεδίου ροής, είναι οι εξής: Περιο ή του περι ά οντος ορίου όπου ίνεται είσοδος της τα ύτητας S In συν ήκη Dirichlet ια την τα ύτητα, διαφορετική όμ ς ια κά ε ρονική στι μή μιας και η επ άπειρον τα ύτητα α άζει, μηδενική συν ήκη Neumann ια την πίεση. Περιο ή του περι ά οντος ορίου όπου ίνεται έξοδος της τα ύτητας S Out μηδενική συν ήκη Neumann ια την τα ύτητα, μηδενική συν ήκη Neumann ια την πίεση συσ ετιζόμενη όμ ς με μία πίεση αναφοράς στο σύνορο του ρίου. Στερεά τοι ώματα αεροδυναμικών σ μάτ ν S w μηδενική συν ήκη Dirichlet ια την τα ύτητα, μηδενική συν ήκη Neumann ια την πίεση. Κρίνεται απαραίτητο εδ να σημει εί ότι η επι ο ή να ίνει δια ρισμός του επάπειρον ορίου σε δύο ξε ριστά τμάματα (ένα απ όπου εισέρ εται η ροή και ένα απ όπου εξέρ εται) οφεί εται σε ιδιαιτερότητα του ο ισμικού OpenFOAM που ρησιμοποιείται. Το εν ό ο ισμικό ια να αντιμετ πιστεί ένα πρό ημα εξ τερικής

47 4.2. Εισα ή τ ν μετα ητών του συζυ ούς προ ήματος 35 αεροδυναμικής, όπ ς αυτό που με ετάται εδώ, τί ενται οριακές συν ήκες σε δύο τμήματα (εισόδου και εξόδου της ροής), τα οποία όμ ς στην πρα ματικότητα αποτε ούν ενιαίο σύνορο. 4.2 Εισα ή τ ν μετα ητών του συζυ ούς προ ήματος Η επί υση ενός προ ήματος μονοκριτηριακής ε τιστοποίησης της αεροδυναμικής μορφής ενός σώματος, ς προς ένα προκα ορισμένο κριτήριο, εκφρασμένο από μία συνάρτηση κόστους/στό ο F obj = F obj (U(b), b), υ οποιείται μέσ της ε α ιστοποίησης της συνάρτησης αυτής, στο ώρο τ ν μετα ητών σ εδιασμού b [1]. Στην περίπτ ση του έ τιστου σ εδιασμού μορφής, οι μετα ητές σ εδιασμού προκύπτουν είτε από σημεία πάν στο ίδιο το αεροδυναμικό σώμα είτε, τις περισσότερες φορές του ά ιστον, από συντε εστές που έ ουν προκύψει από κάποια τε νική παραμετροποίησης της προς σ εδιασμό μορφής. Το διάνυσμα b = (b 1, b 2,..., b M ) περι αμ άνει το σύνο ο τ ν M μετα ητών σ εδιασμού. Η αντικειμενική συνάρτηση του εκάστοτε προ ήματος, εκφράζεται μα ηματικά από τη συνάρτηση F obj = F obj (U(b), b) επειδή ακρι ώς συσ ετίζεται τόσο με τις μετα- ητές σ εδιασμού όσο και με τις μετα ητές της ροής U. Η εξάρτηση της συνάρτησης από τις ε μετρικές ποσότητες του ρίου είναι διττή. Οι ε μετρικές ποσότητες του ρίου, που είναι κατά κανόνα άρρηκτα συνδεδεμένες με τις μετα ητές σ εδιασμού σε προ ήματα ε τιστοποίησης μορφής, επιδρούν άμεσα στην αντικειμενική συνάρτηση. Εκτός τούτου όμ ς, επιδρούν και στη ροϊκή ύση U, εφόσον αυτή α άζει κα ώς μετα ά ονται οι τιμές τ ν μετα ητών σ εδιασμού b, κα ώς μετα ά εται δη αδή η ε μετρία της προς σ εδιασμό μορφής, και ικανοποιούνται οι εξισώσεις ροής στο τροποποιημένο ρίο. Με αυτόν τον τρόπο οι μετα ητές σ εδιασμού επιδρούν στην αντικειμενική συνάρτηση (και) έμμεσα. Για τη διατύπ ση του συζυ ούς προ ήματος ορίζεται η επαυξημένη αντικειμενική συνάρτηση (augmented objective function) F aug, η οποία προκύπτει προσ έτοντας στην αντικειμενική συνάρτηση του προ ήματος μηδενικούς όρους πο - απ ασιαζόμενους με πο απ ασιαστές Lagrange. Οι μηδενικοί όροι Ri v και R p που

48 36 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή ρησιμοποιούνται εδώ, είναι οι εξισώσεις ροής ια το μη-μόνιμο πρό ημα, και δίνονται από τις εξισώσεις και οι οποίες έ ουν ικανοποιη εί ια το πρό ημα που εξετάζεται. Οι πο απ ασιαστές Lagrange ταυτίζονται με τα πεδία τ ν συζυ- ών μετα ητών (adjoint variables). Η επαυξημένη αντικειμενική συνάρτηση ορίζεται [2]: F aug = F obj + Ω Ψ l Rl U dωdt = F obj + όπου το διάνυσμα συζυ ών μετα ητών Ψ = [q, u] Ω u i Ri v dωdt Ω qr p dωdt (4.2.1) περι αμ άνει τα αντίστοι α συζυ ή με έ η ια την πίεση (q) και το διάνυσμα της τα ύτητας (u). Ο δεύτερος όρος ( Ω qrp dωdt) αφαιρείται, αντί να προτί εται. Αυτό επι έ εται ούτ ς ώστε, όταν α προκύψουν οι συζυ είς πεδιακές εξισώσεις, να υπάρ ει αντιστοι ία αυτών με τις ροϊκές εξισώσεις του προ ήματος. Είναι αρακτηριστικό ότι η ποσότητα Ψ l R U l ο οκ ηρώνεται σε ό ο το ρίο ροής Ω, α ά και στο πεδίο του ρόνου, ια μία περίοδο, κα ώς οι εξισώσεις ροής είναι ραμμένες ια την περίπτ ση της μη-μόνιμης ροής. Σκοπός της συζυ ούς με όδου είναι ο υπο ο ισμός τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας δf obj οι οποίες εκφράζουν τις μετα ο ές της αντικειμενικής συνάρτησης ς προς τις μετα ο ές τ ν τιμών τ ν μετα ητών σ εδιασμού. Επειδή, όμ ς, ό οι οι επιπ έον όροι της είναι εξ ορισμού μηδενικοί, οι παρά οι ευαισ ησίας δf obj ταυτίζονται με τις παρα ώ ους ευαισ ησίας της επαυξημένης αντικειμενικής συνάρτησης δf aug. Διαφορίζοντας [2], [7], [8]: δf aug = δf obj δu i + R v δri v i dωdt + u i dωdt Ω Ω και τε ικά : δf aug = δf obj + Ω δq R p dωdt Ω Ω q δrp dωdt + δεδομένου ότι ισ ύει εκ ταυτότητος: R u i = R p = 0. Ω (u i R v i qr p ) δdω δr v i u i dωdt q δrp dωdt + (u i Ri v qr p ) δdω Ω Ω (4.2.2)

49 4.2. Εισα ή τ ν μετα ητών του συζυ ούς προ ήματος 37 Ο ο ικός ρυ μός μετα ο ής δφ μίας οποιασδήποτε ποσότητας Φ, προκύπτει ς ά ροισμα της άμεσης επίδρασης τ ν μετα ητών σ εδιασμού και της μετακίνησης της έσης του υπόψη σημείου ό, ουσιαστικά, μετακίνησης του π έ ματος. Έτσι είναι δυνατόν να ραφεί: δφ = Φ + Φ δx k (4.2.3) b m x k Για κά ε κόμ ο του π έ ματος, ο όρος Φ b m εκφράζει το ρυ μό μερικής μετα ο ής της τιμής της ποσότητας Φ ό της μετα ο ής του b m, ε ρώντας ότι η έση του κόμ ου δεν επηρεάζεται από τη μετα ο ή του b m. O όρος Φ δx k x k εκφράζει την επιπ έον μετα ο ή της τιμής της ποσότητας Φ σε κάποιον κόμ ο, ακρι ώς ό της μετατόπισης του κόμ ου αυτού. Είναι φανερό π ς εμπ έκονται τόσο η ρική παρά ος της ποσότητας Φ, προτού η ε μετρία μετα η εί, όσο και ο ρυ μός μετα ο ής της έσης του κόμ ου. Επιπ έον ισ ύει η ταυτότητα [7]: δ(dω) = ( ) δxk dω (4.2.4) x k Λό τ ν σ έσε ν και 4.2.4, η ράφεται στην ακό ου η μορφή: δf aug = δf obj Ω Ω Ω R v i u i dωdt q Rp dωdt b m Ω b m ( ) Ri v u i q Rp δxk dωdt x k x k (u i Ri v qr p ) ( ) δxk dωdt (4.2.5) x k Εφαρμόζοντας το εώρημα Green-Gauss, το τε ευταίο ο οκ ήρ μα της εξίσ σης 4.2.5, μετασ ηματίζεται: (u i Ri v qr p ) ( ) δxk dωdt = x k Ω S Ω Ω (u i R v i qr p ) δx k n k dsdt ( u i Ri v q R p ) δx k dωdt x k x k Ri v (u i q Rp ) δx k dωdt x k x k

50 38 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή και τε ικά: (u i Ri v qr p ) ( ) δxk dωdt = x k Ω S Ω (u i R v i qr p ) δx k n k dsdt Ri v (u i q Rp ) δx k dωdt x k x k όπου S το όριο του πεδίου ροής Ω. H σ έση 4.2.5, μετά από αμοι αίες απα οιφές όρ ν, ίνεται: δf aug = δf obj R v i + u i dωdt q Rp dωdt+ (u i Ri v qr p ) δx k n k dsdt Ω b m Ω b m S (4.2.6) Σημειώνεται π ς το ο οκ ήρ μα που περι αμ άνει τους όρους RU l x k ήταν δυνατό να απο ειφ εί από την εξίσ ση Όπ ς φάνηκε όμ ς, κάτι τέτοιο δεν ήταν ανα καίο, κα ώς απα είφ ηκε αμοι αία με τους το δεύτερο ο οκ ήρ μα που προέκυψε από το μετασ ηματισμό του ( ) (u Ω iri v qr p ) δx k x k dωdt. 4.3 Αντικειμενική συνάρτηση Η αντικειμενική συνάρτηση προ ημάτ ν αεροδυναμικής ε τιστοποίησης αποτε είται συνή ς από ο οκ ηρώματα ροϊκών ποσοτήτ ν στο εσ τερικό του πεδίου ροής Ω ή/και τα όρια του πεδίου S [2]. Μία τέτοια συνάρτηση ράφεται στη μορφή: F obj = S f s ds + Ω f Ω dω (4.3.1) όπου με f s και f ω συμ ο ίζονται οι προς ο οκ ήρ ση ποσότητες στο όριο, ή σε τμήμα του ορίου, και στο εσ τερικό του ρίου αντίστοι α. Η παρά ος της συνάρτησης της σ έσης ράφεται: δf obj = + S Ω f s ds + b m S f Ω b m dω + Ω f s δx k δ(ds) ds + f s x k S f Ω x k δx k dω + Ω f Ω δ(dω)

51 4.3. Αντικειμενική συνάρτηση 39 Εφαρμόζοντας το εώρημα Green-Gauss, το τε ευταίο ο οκ ήρ μα της παραπάν σ έσης ράφεται: Ω δ(dω) δx k f Ω δx k f Ω = f Ω n k ds dω S Ω x k Επομέν ς, τε ικά οδη ούμαστε στη μορφή: δf obj = S ( ) f s fs δxk δ(ds) f Ω ds + + f Ω n k dsdt + f s + dω b m S x k S Ω b m Κα ίσταται φανερό π ς με τη ρήση του ε ρήματος Green-Gauss επι έ εται να αντικα ίστανται τα ρικά ο οκ ηρώματα από τα αντίστοι α συνοριακά. Η συ κεκριμένη τε νική αποσκοπεί στη μεί ση υπο ο ιστικού κόστους κα ώς αποφεύ ονται οι υπο ο ισμοί ο οκ ηρ μάτ ν που εξαρτώνται από τις μετα ο ές σε ο όκ ηρο το πεδίο ροής. Επιπ έον, ενισ ύεται και η ακρί εια με την οποία υπο ο ίζονται οι παρά οι ευαισ ησίας. Στη συνέ εια, ακο ου εί η αντικειμενική συνάρτηση η οποία ρησιμοποιείται στην εφαρμο ή της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας Ε α ιστοποίηση της μέσης δύναμης αντίστασης Στό ος του προ ήματος ε τιστοποίησης αεροδυναμικής μορφής που εξετάζεται στην παρούσα διπ ματική ερ ασία, είναι η ε α ιστοποίηση της ρονικά μέσης τιμής της αεροδυναμικής αντίστασης που ασκείται σε ο όκ ηρο το σώμα σε μία περίοδο. Η συ κεκριμένη εφαρμο ή δε διαφοροποιείται στη ο ική από μία αντίστοι η, ια τη με ιστοποίηση της άν σης παραδεί ματος άριν, εκτός από το ε ονός ότι α εί αμε ε αφρώς διαφορετική αντικειμενική συνάρτηση F obj = F obj (U(b), b). Η με- οδο ο ία και η ακο ου ία τ ν πράξε ν στόσο α ήταν κοινή σε κά ε περίπτ ση. Η αντικειμενική συνάρτηση που επι έ ηκε δίνεται από τη σ έση: (min) F obj = 1 fds w dt (4.3.2) S w όπου f είναι η δύναμη που ασκείται σε κά ε σημείο του αεροδυναμικού σώματος ό της ροής. Ο οκ ηρώνοντας την σε ό ο το στερεό σύνορο S w (στα στερεά τοι ώματα), προκύπτει η συνο ική δύναμη που ασκείται σε ο όκ ηρο το σώμα. Η ο οκ ήρ ση στο ρόνο α δώσει τη συνο ική δύναμη που δέ εται το σώμα στη

52 40 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή διάρκεια μίας περιόδου. Η f υπο ο ίζεται και δίνεται από τον τύπο: f = [ ( vi ν + v ) ] j n j + pn i r i x j x i όπου r i οι συνιστώσες ενός μοναδιαίου διανύσματος παρά η ου στο διάνυσμα της επ άπειρον τα ύτητας στην περίπτ ση που με ετάται η ε α ιστοποίηση της οπισ έ κουσας. Ξε ρίζουν στην παραπάν σ έση δύο όροι, το ά ροισμα τ ν οποί ν δίνει τη συνο ική δύναμη. Ο πρώτος αφορά τις συνεκτικές δυνάμεις που ασκούνται πάν στο σώμα ενώ ο δεύτερος αναφέρεται στις δυνάμεις ό πίεσης. H παρά ος ευαισ ησίας της αντικειμενικής συνάρτησης, ακο ου ώντας μία διαδικασία αντίστοι η με εκείνη που περι ράφηκε στην προη ούμενη παρά ραφο, δίνεται από την έκφραση: δf obj = 1 S w f b m ds w dt + 1 S w f x k x k b m ds w dt + 1 f δ(ds w) S w η οποία, αντικα ιστώντας τον τύπο από τον οποίο υπο ο ίζεται η f, ράφεται: δf obj = S w S w S w [ ν b m [ ν x k [ ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( vi x j + v j x i ) n j + p ) n j + p x k n i ] n i r i ds w dt b m ] δxk r i ds w dt ) δ (n j ds w ) + p δ (n i ds w ) ] r i dt dt (4.3.3) 4.4 Διατύπ ση τ ν συζυ ών πεδιακών εξισώσε ν Οι συζυ είς εξισώσεις στο πεδίο ροής προκύπτουν από περαιτέρ ανάπτυξη της σ έσης [2]. Στην εν ό σ έση εμφανίζονται οι άμεσες μετα ο ές τ ν ρικών υπο οίπ ν τ ν εξισώσε ν ροής RU l b m. Για τη διατύπ ση τ ν συζυ ών εξισώσε ν, τα υπό οιπα πρέπει να αντικαταστα ούν από τις ανα υτικές τους εκφράσεις, όπ ς αυτές δίνονται από τις εξισώσεις ροής και Σημειώνεται εδώ π ς, επειδή ακρι-

53 4.4. Διατύπ ση τ ν συζυ ών πεδιακών εξισώσε ν 41 ώς υπάρ ει εμπ οκή μόνο τ ν άμεσ ν μετα ο ών b m, και ό ι τ ν ο ικών δ, μετά την αντικατάσταση τ ν ανα υτικών εκφράσε ν, επιτρέπεται η ενα α ή της σειράς παρα ώ ισης, στις μετα ητές της ροής στις οποίες εμφανίζεται η μικτή παρά ος ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού και τις ρικές συντετα μένες, εφόσον ά στε η άμεση b m μετα ο ή είναι απεμπ ε μένη από οποιαδήποτε ρική μετατόπιση δx k. Για κά ε ποσότητα Φ ισ ύει: b m ( ) Φ x k = ( ) Φ x k b m Οι εξισώσεις ροής, σύμφ να με όσα αναφέρ ηκαν, ράφονται: R p b m = x j ( ) vj b m (4.4.1) και: Ri v = ( ) vi b m t b m ν [ x j x j ( ) ( ) vj vi vi + + v j b m x j x j b m ( ) ( vi v j + b m x i b m + ( ) p x i b m )], i = 1, 2(3) (4.4.2) Με τη ρήση του ε ρήματος Green-Gauss αναπτύσσονται, ξε ριστά, τα ο οκ ηρώματα του δεξιού μέ ους της εξίσ σης 4.2.6, [8]: Το ρικό ο οκ ήρ μα της συζυ ούς πίεσης δίνει: q Rp dωdt = q ( ) vj dωdt Ω b m Ω x j b m = + S Ω q v j b m n j dsdt p x j v j b m dωdt Οι μη-συνεκτικοί όροι του έτερου ρικού ο οκ ηρώματος ( ) u Ri v Ω i b m ρά-

54 42 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή φονται: ( vi u i v j Ω x j b m ( p u i x i b m Ω ) dωdt = ) dωdt = S S v i u i v j n j dsdt (u i v j ) v i dωdt b m Ω x j b m p u i n i dsdt b m Ω u i x i p b m dωdt ενώ ο όρος Ω u i v j v i b m x j dωdt α ρησιμοποιη εί ς έ ει, και ς εκ τούτου δεν μετασ ηματίζεται. Και αντίστοι α, οι συνεκτικοί όροι του τε ευταίου ο οκ ηρώματος δίνουν: Ω [ ( vi νu i x j x j b m )] dωdt = S + Ω ( vi νu i x j b m ( vi x j b m ν u i x j ) n j dsdt ) dωdt = S Ω v i νu i n j dsdt + x j b m ν 2 u i x 2 j v i b m dωdt S ν u i x j v i b m n j dsdt και ομοί ς: Ω νu i x j [ ( )] ( vj vj dωdt = νu i x i b m S x i b m + ν u ( i vj x j x i b m Ω ) n j dsdt ) dωdt = S Ω ( ) vj νu i n j dsdt + ν u i v j n i dsdt x i b m S x j b m ν 2 u i x i x j v j b m dωdt

55 4.4. Διατύπ ση τ ν συζυ ών πεδιακών εξισώσε ν 43 Τέ ος, ο ρονικός όρος του ο οκ ηρώματος Ω = ( ) vi u i dωdt = t b m Ω [( )] v i u i dω b m 0 Ω Ω u Ri v Ω i b m μετασ ηματίζεται: ( ) v i u i v i u i dωdt dωdt t b m Ω t b m u i t v i u i dωdt = b m Ω t v i b m dωdt εφόσον ά στε οι δύο ρονικές αυτές στι μές, η αρ ή (t = 0) και το τέ ος της περιόδου (t = ), ταυτίζονται. Αντικα ιστώντας ό α τα παραπάν αναπτύ ματα στην εξίσ ση 4.2.6, όπ ς επίσης και τη σ έση στην οποία κατα ήξαμε σε προη ούμενη παρά ραφο, και ομαδοποιώντας κατά η α τους όρους, η παρά ος της επαυξημένης συνάρτησης, ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού, ράφεται: δf aug = S Ω S S S w S w S w [ ν b m [ ν x k [ ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i [ u i v j n j qn i + ν ) n j + p n i b m ) n j + p n i x k ] r i ds w dt ] δxk r i ds w dt ) δ (n j ds w ) + p δ (n i ds w ) ( ui x j + u j x i [ u i t + u u j j (u iv j ) x i x j u i n i p b m dsdt νu i b m ( vi x j + v j x i όπου απα είφ ηκε το ο οκ ήρ μα και Ri v είναι εκ ταυτότητος μηδενικοί. ) n j ] ui b m dsdt + q x i ν x j ] r i dt ( ui + u )] j ui dωdt x j x i b m u i p dωdt Ω x i b m ) n j dsdt (4.4.3) S (u ir v i qr p ) δx k n k dsdt μιας και οι όροι R p

56 44 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή Παρατηρώντας την παραπάν εξίσ ση (4.4.3) είναι φανερό π ς οι όροι έ ουν ομαδοποιη εί άσει δύο ειδών μετα ο ών, τ ν άμεσ ν μετα ο ών τ ν ροϊκών μετα ητών ( δp, δv i ), τόσο στο εσ τερικό όσο και στα όρια του πεδίου ροής, και τ ν ε μετρικών μετα ο ών ( δx k ) στα όρια του πεδίου ροής. Η συζυ ής μέ οδος υπο ο ι-, δ(ds) σμού τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας αποσκοπεί ακρι ώς στο να μην υπο ο ίζονται οι μετα ο ές τ ν ροϊκών μετα ητών ό του ότι το υπο ο ιστικό κόστος ια κάτι τέτοιο είναι ιδιαίτερα υψη ό. Αντί ετα, οι μετα ο ές τ ν ε μετρικών ποσοτήτ ν είναι υπο ο ίσιμες με πο ύ μικρό υπο ο ιστικό κόστος. Με την απα οιφή επομέν ς τ ν ο οκ ηρ μάτ ν που εμπεριέ ουν εκείνες τις μετα ο ές που δεν είναι επι υμητό να υπο ο ιστούν, επιτυ άνεται η έκφραση τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας συναρτήσει μόνο τ ν εύκο α υπο ο ίσιμ ν με ε ών. Απα είφοντας τα ρικά ο οκ ηρώματα που εμπεριέ ουν τις μετα ο ές τ ν μετα- ητών ροής, προκύπτουν οι συζυ είς πεδιακές εξισώσεις: R q = u j x j = 0 (4.4.4) και: Ri u = u i t + u u j j (u iv j ) + q x i x j x i x j [ ( ui ν + u )] j = 0 x j x i ενώ κάνοντας ρήση της εξίσ σης της συνέ ειας: v j x j ράφεται: Ri u = u i t + u u j u i j v j + q x i x j x i x j = 0, η προη ούμενη εξίσ ση [ ( ui ν + u )] j = 0, i = 1, 2(3) x j x i (4.4.5) Η επί υση τ ν συζυ ών εξισώσε ν έ ει υπο ο ιστικό κόστος αντίστοι ο με αυτό της επί υσης τ ν ροϊκών εξισώσε ν του προ ήματος. Ακόμη, η συζυ ής ύση που προκύπτει είναι κοινή και ανεξάρτητη του πόσες και ποιες είναι οι μετα ητές σ εδιασμού.

57 4.5. Συζυ είς οριακές συν ήκες και παρά οι ευαισ ησίας Συζυ είς οριακές συν ήκες και παρά - οι ευαισ ησίας Ικανοποιώντας τις συζυ είς πεδιακές εξισώσεις και 4.4.5, οι παρά οι ευαισ ησίας κα ίστανται ανεξάρτητες τ ν μετα ο ών τ ν ροϊκών ποσοτήτ ν ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού, στο εσ τερικό του πεδίου ροής. Η παρά ος της επαυξημένης συνάρτησης ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού, ράφεται στην παρακάτ, απ οποιημένη μορφή: δf aug = S S S w S w S w [ ν b m [ ν x k [ ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i [ u i v j n j qn i + ν p u i n i dsdt b m S ) n j + p ) n j + p x k n i ] n i r i ds w dt b m ] δxk r i ds w dt ) δ (n j ds w ) + p δ (n i ds w ) ( ui + u j x j x i νu i b m ) ] vi n j dsdt b m ( vi + v j x j x i ] r i dt ) n j dsdt (4.5.1) Για να προκύψει η τε ική έκφραση τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας πρέπει να ηφ ούν υπόψη οι οριακές συν ήκες του συν ήκες του προ ήματος ροής που εξετάζεται. Από αυτές, και απα είφοντας τους όρους εκείνους που πο απ ασιάζονται με τις μετα ο- ές τ ν ροϊκών με ε ών, στα ο οκ ηρώματα στα όρια του πεδίου ροής, προκύπτουν οι οριακές συν ήκες του συζυ ούς προ ήματος Συζυ είς οριακές συν ήκες στο S In Στα όρια εισόδου του ρίου S In δεν μετα ά εται η ε μετρία του ρίου ροής. Ισ ύει επομέν ς: δx k = 0 και δ(ds) = 0 (4.5.2)

58 46 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή Στην είσοδο του πεδίου ροής επι ά εται κα ορισμένη κατανομή τα ύτητας (συν- ήκη Dirichlet). Επομέν ς, η τιμή της τα ύτητας είναι π ήρ ς ανεξάρτητη από τις μετα ητές σ εδιασμού και, αυτονόητα, η ο ική μετα ο ή του διανύσματος της τα- ύτητας, ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού, α είναι μηδενική. Ισ ύει: δv i = 0 = και, τε ικά, ό της σ έσης προκύπτει ότι: v i b m + v i x k δx k = 0 (4.5.3) v i b m = 0 (4.5.4) Για τη στατική πίεση στην είσοδο ισ ύει η μηδενική συν ήκη Neumann. Οι όροι που απομένουν στον τύπο της επαυξημένης αντικειμενικής συνάρτησης είναι: δf aug p = u i n i ds In dt νu i S In b m S In b m ( vi + v ) j n j ds In dt x j x i Για να απα ειφ ούν οι δύο παραπάν όροι, αρκεί να επι η ούν στην είσοδο οι εξής οριακές συν ήκες: u i b m u i n i = 0 ( vi + v ) j n j = 0 x j x i Αποδεικνύεται [2] ότι οι παραπάν συν ήκες ισοδυναμούν με το να επι η εί στην είσοδο του πεδίου ροής η συν ήκη: { } u<n> = 0 u <t> = 0 = u i = 0 (4.5.5) όπου u <n>, u <t> η κά ετη και η εφαπτομενική συνιστώσα της τα ύτητας στο όριο, αντίστοι α. Τε ικά, δη αδή, και ό ες οι συνισταμένες της συζυ ούς τα ύτητας είναι μηδενικές. H συν ήκη ια τη συζυ ή πίεση είναι η μηδενική Neumann και η τιμή της υπο ο ίζεται συσ ετιζόμενη με τη συζυ ή στατική πίεση στο εσ τερικό του ρίου.

59 4.5. Συζυ είς οριακές συν ήκες και παρά οι ευαισ ησίας Συζυ είς οριακές συν ήκες στο S out Στα όρια εξόδου του ρίου s out, επίσης, δεν μετα ά εται η ε μετρία του πεδίου. Ισ ύει και πά ι επομέν ς: δx k = 0 και δ(ds) = 0 Στην έξοδο του πεδίου ροής η πίεση συσ ετίζεται με μία πίεση αναφοράς έτσι ώστε να προσαρμόζει τη ροή κατά η α. Επομέν ς, είναι ανεξάρτητη από τις μετα ο ές τ ν μετα ητών σ εδιασμού. Αντίστοι α με προη ουμέν ς, η ο ική μετα ο ή της στατικής πίεσης ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού α είναι: δp = 0 = και τε ικά ό της σ έσης προκύπτει ότι: p + p δx k = 0 (4.5.6) b m x k p b m = 0 (4.5.7) Οι όροι που απομένουν στον τύπο της επαυξημένης αντικειμενικής συνάρτησης είναι: δf aug = S Out [ ( ui u i v j n j qn i + ν + u ) ] j vi n j ds Out dt x j x i b m νu i S Out b m ( vi x j + v j x i ) n j ds Out dt Για να απα ειφ ούν οι δύο παραπάν όροι, αρκεί να επι η ούν στην έξοδο οι εξής οριακές συν ήκες: ( ui u i v j n j qn i + ν + u j x j x i ( vi νu i + v j b m x j x i ) n j = 0 ) n j = 0 Η δεύτερη από τις δύο εξισώσεις πρακτικά ισ ύει αυτόματα στην έξοδο ενός πεδίου ροής, αν το πεδίο τα ύτητας διακρίνεται από ικανοποιητική ομοιο ένεια, και ς

60 48 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή εκ τούτου η ρική παρά ος της τα ύτητας είναι μηδενική. Η πρώτη συν ήκη ξανα ράφεται, ανα υόμενη σε δύο συνιστώσες, μία κά ετη και μία εφαπτομενική: q = u i n i v j n j + ν 0 = u i t i v j n j + ν ( ui + u ) j n i n j (4.5.8) x j x i ( ui x j + u j x i ) t i n j (4.5.9) Χρησιμοποιώντας τις δύο παραπάν σ έσεις προσδιορίζονται π ήρ ς τα ροϊκά με έ η στην έξοδο του πεδίου ροής. Παίρνοντας π ηροφορία ια μία συνιστώσα της τα ύτητας από το εσ τερικό του ρίου, παρεκ ά οντάς την ια παράδει μα στο όριο της εξόδου, υπο ο ίζεται η δεύτερη συνιστώσα ρησιμοποιώντας τη σ έση Από τη σ έση υπο ο ίζεται τε ικά και η συζυ ής στατική πίεση με άση τις τιμές τ ν συζυ ών με ε ών που εί αν υπο ο ιστεί σε προη ούμενη επανά ηψη ενός επανα ηπτικού α ορί μου Συζυ είς οριακές συν ήκες στα στερεά τοι ώματα S w Επισημαίνεται εξαρ ής ότι ο όρος στερεά τοι ώματα αναφέρεται αποκ ειστικά, στην παρούσα διπ ματική ερ ασία, στα όρια της προς ε τιστοποίηση αεροδυναμικής μορφής. Στα στερεά τοι ώματα ισ ύει η συν ήκη μη-ο ίσ ησης v i = 0. Επομέν ς, η τιμή της τα ύτητας είναι και σε αυτήν την περίπτ ση π ήρ ς ανεξάρτητη από τις μετα ητές σ εδιασμού. Η ο ική μετα ο ή του διανύσματος της τα ύτητας ς προς τις μετα ητές σ εδιασμού α είναι και εδώ μηδενική: δv i = 0 = v i b m + v i x k δx k = 0 = v i b m = v i x k δx k (4.5.10) αφού το στερεό σύνορο αναμένεται να κινη εί ( δx k 0). Με άση τα παραπάν η σ έση απ οποιείται περαιτέρ, και η επαυξημένη αντικειμενική συνάρτηση

61 4.5. Συζυ είς οριακές συν ήκες και παρά οι ευαισ ησίας 49 ράφεται: δf aug = ή, ισοδύναμα, δf aug = S w S w S w S w [ ν b m [ ν x k [ ν [ qn i + ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( ui + u j x j x i S w u i n i p b m ds w dt S w S w S w S w S w ν [ ν x k [ ν [ qn i ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( ui x j + u j x i ) n j + p ) n j + p x k n i ] n i r i ds w dt b m ] δxk r i ds w dt ) δ (n j ds w ) + p δ (n i ds w ) ) n j ] vi x k x k b m ds w dt νu i S w b m ( u i n i + 1 ) p n ir i ds w dt b m ( u i n j + 1 n jr i ) ( vi x j + v j x i ] r i dt ) n j ds w dt ) n j + p ] δxk n i r i ds w dt x k ) δ (n j ds w ) + p δ b m ) n j ] vi x k x k b m ds w dt ( vi + v ) j ds w dt x j x i ] (n i ds w ) r i dt Για να απα ειφ ούν τα ο οκ ηρώματα στα οποία εμφανίζονται εκείνοι οι όροι, τ ν p οποί ν ο υπο ο ισμός πρέπει να αποφευ εί, δη αδή οι b m και επι ά ονται οι εξής οριακές συν ήκες στα στερεά τοι ώματα: ( v i b m x j + v j x i ), u i n i + 1 n ir i = 0 και u i n j + 1 n jr i = 0

62 50 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή Τε ικά, η οριακή συν ήκη, ια το διάνυσμα της συζυ ούς τα ύτητας στα στερεά τοι ώματα, προκύπτει: u i n i = u i n j = 1 n ir i 1 n jr i = u i = 1 r i (4.5.11) Υπεν υμίζεται ότι με r i συμ ο ίζονται οι συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος, παρά η ου στην κατεύ υνση του διανύσματος της τα ύτητας, όπ ς εισέρ εται από την είσοδο του ρίου, στην περίπτ ση που στό ος της ε τιστοποίησης είναι η μεί ση της αεροδυναμικής αντίστασης. Για τη συζυ ή στατική πίεση ρησιμοποιείται η μηδενική μηδενική Neumann Τε ική έκφραση παρα ώ ν ευαισ ησίας Με την απα οιφή ό ν τ ν παραπάν όρ ν, ια την ανάπτυξη τ ν συζυ ών πεδιακών εξισώσε ν, α ά και τ ν αντίστοι ν οριακών συν ηκών, προέκυψε η τε ική, σημαντικά απ οποιημένη έκφραση τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας, από τους εναπομείναντες όρους: δf aug = S w S w S w [ ν x k [ ν [ qn i ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( ui x j + u j x i ) n j + p ] δxk n i r i ds w dt x k ) δ (n j ds w ) + p δ ] (n i ds w ) r i dt ) ] vi x k n j ds w dt (4.5.12) x k b m Είναι αρακτηριστικό π ς ό α τα ο οκ ηρώματα υπο ο ίζονται κατά μήκος τ ν στέρε ν τοι μάτ ν, κα ώς με την προη ούμενη ανά υση έ ουν απα ειφ εί ό οι οι ο οκ ηρ ματικοί όροι είτε στο εσ τερικό του ρίου είτε στα υπό οιπα όριά του. Επι ύοντας, τώρα, τις εξισώσεις της συζυ ούς ροής και υπο ο ίζοντας τις συζυ είς μετα ητές, ο υπο ο ισμός τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας είναι άμεσος. Οι μετα ο ές τ ν κα αρά ε μετρικών ποσοτήτ ν δ (n i ds w ) και δx k, εξαρτώνται από την παρα-

63 4.6. Συνοπτική παρά εση εξισώσε ν συζυ ούς προ ήματος 51 μετροποίηση που έ ει προη η εί και είναι επομέν ς και αυτές εύκο α υπο ο ίσιμες. 4.6 Συνοπτική παρά εση εξισώσε ν συζυ ούς προ ήματος Παρατί ενται σε αυτό το σημείο, ό ες οι σ έσεις στις οποίες κατέ ηξε η συνε ής συζυ ής ανά υση που πρα ματοποιή ηκε στις προη ούμενες παρα ράφους, ξεκινώντας από τις μερικές διαφορικές εξισώσεις που διέπουν το πρό ημα της μη-μόνιμης, στρ τής ροής ια ασυμπίεστο ρευστό. Οι εξισώσεις αυτές (4.1.1 και 4.1.2) κα ώς και οι αντίστοι ες συζυ είς που προέκυψαν α επι υ ούν με τη ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών, μέσ ανά υσης που ακο ου εί στο επόμενο κεφά αιο. Συζυ είς πεδιακές εξισώσεις Ri u = u i t + u u j u i j v j + q x i x j x i R q = u j x j = 0 x j [ ( ui ν + u )] j = 0, i = 1, 2(3) x j x i Οριακές συν ήκες συζυ ούς προ ήματος ια την περιο ή του περι ά οντος ρίου απ όπου εισέρ εται η ροή u i = 0 q n i x i = 0 ια την περιο ή του περι ά οντος ρίου απ όπου εξέρ εται η ροή q = u i n i v j n j + ν 0 = u i t i v j n j + ν ( ui + u ) j n i n j x j x i ( ui x j + u j x i ) t i n j

64 52 4. Η Συνε ής συζυ ής μέ οδος ια μη-μόνιμη, ασυμπίεστη, στρ τή ροή ια τα στερεά τοι ώματα του ρίου ροής u i = 1 r i q x i n i = 0 Παρά οι Ευαισ ησίας δf aug = S w S w S w [ ν x k [ ν [ qn i ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( ui x j + u j x i ) n j + p ] δxk n i r i ds w dt x k ) δ (n j ds w ) + p δ ) n j ] vi x k x k b m ds w dt ] (n i ds w ) r i dt

65 Κεφά αιο 5 Εφαρμο ή της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών και διακριτοποίηση τ ν πεδιακών μερικών διαφορικών εξισώσε ν - Α - όρι μος επί υσης Στον παρόν κεφά αιο παρουσιάζεται ανα υτικά η μέ οδος με την οποία διακριτοποιούνται οι πεδιακές εξισώσεις, τόσο του ευ έος όσο και του συζυ ούς προ ήματος, κα ώς και το ρίο επί υσης του προ ήματος. Σε πρώτη φάση, παρατί ενται ξανά οι προς επί υση εξισώσεις ροής τ ν δύο προ ημάτ ν, οι οποίες διακριτοποιούνται, ρικά, με τη ρήση της με όδου πεπερασμέν ν ό κ ν. Επιπ έον ρησιμοποιείται η μέ οδος ισορροπίας τ ν αρμονικών, η οποία ανα ύ ηκε σε προη ούμενο κεφά αιο, ούτ ς ώστε οι ρονικά μη-μόνιμοι όροι να αντικαταστα ούν από το ινόμενο του μητρώου D με το διάνυσμα τ ν πεδιών τ ν ροϊκών μετα ητών. Τέ ος, ίνεται αναφορά στον (κοινό) α όρι μο επί υσης του ευ έoς και του συζυ ούς προ ήματος. Η διακριτοποίηση, η ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών και ο α όρι μος επί υσης δεν απαιτούν διαφορετική δια είριση ια τα δύο προ ήματα, κάτι το οποίο α ίνει φανερό στη συνέ εια του κεφα αίου. Αυτό ά στε είναι και ένα από τα ασικά προτερήματα της συνε ούς συζυ ούς με όδου, η οποία ρησιμοποιή ηκε στην ανά υση με την οποία προέκυψαν οι συζυ είς πεδιακές εξισώσεις και οριακές συν ήκες.

66 54 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν 5.1 Εξισώσεις ροής ευ έος και συζυ ούς προ- ήματος Οι πεδιακές εξισώσεις του ευ έος προ ήματος παρατέ ηκαν στο δεύτερο κεφά αιο (2.0.1 και 2.0.2) σε διαφορική συντηρητική μορφή [18], όπ ς αυτές ράφονται στην περίπτ ση στρ τής ροής, ρίς μετάδοση ερμότητας, ασυμπίεστου συνεκτικού ρευστού. Στις συ κεκριμένες σ έσεις αμε ούνται οι αρυτικές δυνάμεις ενώ υπεν υμίζεται ότι με p συμ ο ίζεται η πίεση του ρευστού διαιρεμένη με τη στα ερή πυκνότητα αυτού. Σε αντίστοι η μορφή ράφονται οι συζυ είς πεδιακές εξισώσεις, στις οποίες κατέ ηξε η συνε ής συζυ ής μέ οδος που εφαρμόστηκε στο προη ούμενο κεφά αιο. Τα δύο συστήματα εξισώσε ν παρατί ενται μαζί: Ευ ύ πρό ημα Εξίσ ση Συνέ ειας v = 0 Εξίσ ση Ορμής v t + ( v v) = p + (ν v) Συζυ ές πρό ημα Εξίσ ση Συνέ ειας u = 0 Εξίσ ση Ορμής u t ( v u) + ( u ) v = q + (ν u) Είναι αρακτηριστικό π ς τα δύο προ ήματα είναι αντίστοι α, με τη διαφορά ότι στο συζυ ές πρό ημα εμφανίζεται ένας ακόμη όρος μεταφοράς ( u ) v. 5.2 Χρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Η συ κεκριμένη μέ οδος ανα ύ ηκε εκτενώς σε προη ούμενο κεφά αιο όπου αναπτύ ηκαν οι σ έσεις με τις οποίες εφαρμόζεται. Με τη μέ οδο της ισορροπίας τ ν αρμονικών επι ειρείται η προσέ ιση της ρονικής παρα ώ ου, από τη σ έση 3.3.1,

67 5.2. Χρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών 55 που προέκυψε μέσ μα ηματικής ανά υσης προη ουμέν ς: d U dt = ωd U όπου ω = 2π με τη περίοδος του φαινομένου. Τα στοι εία του πίνακα D δίνονται από τη σ έση Το ρονικά μη-μόνιμο πρό ημα επομέν ς, αντικα ίσταται από N = 2N H + 1 πεπ ε μένα ρονικά μόνιμα προ ήματα, όπου N H το π ή ος τ ν αρμονικών που επι- έ ηκε ια την προσέ ιση της παρα ώ ου, τα οποία αποτε ούν ένα σύστημα εξισώσε ν. Οι εξισώσεις του εν ό συστήματος είναι δυνατόν να επι υ ούν είτε πεπ ε μένα (implicitly) είτε ρητά (explicitly). Στη δεύτερη περίπτ ση, οι εξισώσεις παραμένουν πεπ ε μένες (coupled), επι ύονται όμ ς σε ξε ριστό ήμα η κα εμιά. Εφαρμόζεται η προσέ ιση στις ροϊκές εξισώσεις τ ν δύο προ ημάτ ν ούτ ς ώστε να απα ειφ ούν οι ρονικές παρά οι στην εξίσ ση ορμής του ευ έος προ ήματος και στη συζυ ή της: Ευ ύ πρό ημα Εξίσ ση Συνέ ειας V = 0 Εξίσ ση Ορμής ωdv + ( V V) ( = P + ν V ) ( V V) ( ν V ) = P ωdv Συζυ ές πρό ημα Εξίσ ση Συνέ ειας U = 0 Εξίσ ση Ορμής ωdu V U) ( ) + U V ( = Q + ν U ) ( V U) ( ) + U V ( ν U ) = Q + ωdu Κρίνεται εδώ σκόπιμο να επανα ηφ εί το εξής: κα εμιά ξε ριστά από τις παραπάν εξισώσεις, στην πρα ματικότητα, αποτε εί ένα σύστημα N = 2N H + 1 εξισώσε ν. Τα V, U, P και Q είναι διανύσματα που περι αμ άνουν τα πεδία ια την τα ύτητα, τη

68 56 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν συζυ ή τα ύτητα, τη στατική πίεση και τη συζυ ή στατική πίεση στις N ρονικές στι μές. Επιπ έον, υπεν υμίζεται ότι, επειδή η δια ώνιος του μητρώου D περι αμ άνει μόνο μηδενικά στοι εία, η τα ύτητα της οποίας η εξίσ ση επι ύεται κά ε φορά δεν εμπ έκεται στο ά ροισμα που προσε ίζει τη ρονική μερική παρά ο. Επομέν ς, οι όροι ωdv και ωdu μεταφέρονται στο δεξιό μέ ος της εξίσ σης κα ώς, όπ ς α φανεί και στις παρα ράφους που ακο ου ούν, είναι δυνατόν να αντιμετ πιστούν σε κά ε εξίσ ση ς επιπ έον όροι πη ής. Κα εμιά από τις παραπάν εξισώσεις που αντιστοι εί σε μία από τις N ρονικές στι μές πρέπει να διακριτοποιη εί και να επι υ εί. Η ύση ό ν τ ν εξισώσε ν α δώσει τα πεδία ια τις ρονικές στι μές αυτές. Με κατά η ο μετασ ηματισμό, όπ ς περι ράφηκε σε προη ούμενο κεφά αιο (σ έση 3.3.2), α υπο ο ιστούν τε ικά οι αντίστοι οι συντε εστές τ ν σειρών Fourier και επομέν ς α προσδιοριστεί η ύση τ ν δύο προ ημάτ ν, ευ έος και συζυ ούς δη αδή, ια τις επι υμητές ρονικές στι μές. 5.3 Γένεση π έ ματος στο ρίο επί υσης Η διακριτοποίηση του ρίου επί υσης παρά ει ένα υπο ο ιστικό π έ μα εντός του οποίου επι ύονται οι διαφορικές εξισώσεις και υπο ο ίζονται οι μετα ητές του προ- ήματος. Κα ορίζει τη έση κά ε σημείου του ώρου και κα ορίζει τα σύνορα του ρίου ροής. Σύμφ να με τη μέ οδο τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν [17], [15] το ρίο διακριτοποιείται σε μικρές υπο ο ιστικές κυψέ ες, ή όπ ς αναφέρονται στη συ κεκριμένη μέ οδο, σε ό κους ε έ ου. Οι ό κοι δεν υπερκα ύπτονται ποτέ και συμπ ηρώνουν ο όκ ηρο το υπο ο ιστικό ρίο. Όπ ς αναφέρ ηκε παραπάν, οι ό κοι στη ενική περίπτ ση είναι πο ύεδρα σ ήματα. Αυτό συνεπά εται ότι ειτονεύουν με πο ούς ακόμη ό κους σ ηματίζοντας, πάντοτε στη ενική περίπτ ση, μη-δομημένα π έ ματα, παρέ οντας με ά η ε ευ ερία στην ανάπτυξη π ε μάτ ν που περι αμ άνουν περίπ οκες ε μετρίες. Ένας τυπικός ό κος ε έ ου παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.2. Το σημείο P όπου ίνονται ό οι οι υπο ο ισμοί ια έναν ό κο, τοπο ετείται στο

69 5.3. Γένεση π έ ματος στο ρίο επί υσης 57 Σ ήμα 5.1: Εξαεδρικοί όγκοι ελέγχου [15]. κέντρο αυτού, ούτ ς ώστε: V P (x x P ) dv = 0 (5.3.1) Στις εφαρμο ές της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας ρησιμοποιούνται δομημένα π έ ματα που αναπτύσσονται ύρ από μία αεροδυναμική μορφή. Τα συ κεκριμένα δομημένα π έ ματα ρησιμοποιούν εξαεδρικούς ό κους και ς εκ τούτου είναι τριδιάστατα. Σημειώνεται στόσο π ς το ο ισμικό OpenFOAM ειρίζεται τα δομημένα π έ ματα ς μη-δομημένα. Η διαφοροποίηση έ κειται στον τρόπο με τον οποίο απο- ηκεύονται οι κόμ οι του π έ ματος. Ο διδιάστατος αρακτήρας προσδίδεται στο πρό ημα μέσ κατά η ης διακριτοποίησης κατά τη διεύ υνση του ά ους, όπ ς α φανεί και παρακάτ. Τυπικοί εξαεδρικοί ό κοι ε έ ου παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.1. Ένας ό κος ε έ ου οριο ετείται από ένα σύνο ο επίπεδ ν εδρών (faces) τις οποίες μοιράζεται με ειτονικούς ό κους. Το κέντρο ενός ειτονικού ό κου N φαίνεται στο Σχήμα 5.2.Οι έδρες αυτές ρίζονται σε δύο κατη ορίες: τις εσ τερικές έδρες (internal faces), οι οποίες ρίσκονται μεταξύ δύο ειτονικών ό κ ν, και τις οριακές έδρες (boundary faces), τα οποία μοιράζεται ο ό κος ε έ ου με τα σύνορα του υπο ο ιστικού ρίου. Το κά ετο διάνυσμα σε μία έδρα S f ορίζεται πάντοτε να έ ει

70 58 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν Σ ήμα 5.2: Τυπικός όγκος ελέγχου [20]. φορά προς το εξ τερικό του ό κου με τη μικρότερη αρί μηση, όπ ς αυτή ορίζεται από τη διαδικασία διακριτοποίησης και μέτρο ίσο με την επιφάνεια της αντίστοι ης έδρας. Αντίστοι α, τα κά ετα διανύσματα στα οριακά μέτ πα έ ουν φορά προς το εξ τερικό του υπο ο ιστικού ρίου. 5.4 Διακριτοποίηση με τη μέ οδο τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν Η διαδικασία της διακριτοποίησης έ ει στό ο να μετατρέψει μία μερική διαφορική εξίσ ση σε ένα σύστημα α ε ρικών εξισώσε ν, ια την αρι μητική επί υση της. Στη ενική περίπτ ση η διαδικασία περι αμ άνει τη διακριτοποίηση του ρίου επί υσης και τη διακριτοποίηση τ ν ρικών και ρονικών διαφορών τ ν εν ό εξισώσε ν [20]. Η διακριτοποίηση του ρίου επί υσης παρέ ει μία αρι μητική περι ραφή του ρίου όπου ίνονται οι υπο ο ισμοί. Το ρίο διαιρείται σε πεπερασμένο αρι μό υπο ο- ιστικών κυψε ών, στην ουσία μικρότερ ν διακριτών τμημάτ ν. Έτσι κα ίσταται π ήρ ς ν στή η έση κά ε σημείου στην οποία υπο ο ίζεται η ύση και περι ράφονται π ήρ ς τα όρια του ρίου. Για μη-μόνιμα ρονικά φαινόμενα, το πεδίο του ρόνου διακριτοποιείται αντίστοι α σε πεπερασμένο αρι μό ρονικών ημάτ ν.

71 5.4. Διακριτοποίηση με τη μέ οδο τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν 59 Η μέ οδος τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν περι αμ άνει συ κεκριμένα ήματα, τα οποία εδώ περι ράφονται, και ακο ου ούνται στις επόμενες παρα ράφους. Σε πρώτη φάση, οι διαφορικές εξισώσεις, οι εξισώσεις ροής ια το πρό ημα που αντιμετ πίζεται στην παρούσα διπ ματική ερ ασία, ο οκ ηρώνονται σε κά ε πεπερασμένο ό κο, που ταυτίζεται ουσιαστικά με την υπο ο ιστική κυψέ η, όπ ς ορίζεται στη διακριτοποίηση του ρίου επί υσης. Στη συνέ εια, οι ο οκ ηρ ματικές εξισώσεις διακριτοποιούνται ώστε να ικανοποιούνται οι φυσικοί νόμοι που διέπουν το πρό ημα, όπ ς είναι η διατήρηση της μάζας και της ορμής, και σε διακριτό επίπεδο. Απαιτείται έ αια το σύστημα συντετα μέν ν να είναι ανα οί το με το ρόνο και το π έ μα του ρίου επί υσης να μην μετα ά εται. Οι πεπερασμένοι ό κοι, στη ενική περίπτ ση, έ ουν πο υεδρικό σ ήμα, κάτι που κάνει τη μέ οδο κατά η η τόσο ια δομημένα (structured) όσο και ια μη-δομημένα (unstructured) π έ ματα. Όπ ς και συμ αίνει και με τις περισσότερες με όδους διακριτοποίησης, οι μη- ραμμικές διαφορικές εξισώσεις απαιτούν ραμμικοποίηση πριν τη διακριτοποίησή τους. Με τη διαδικασία αυτή οι μη- ραμμικοί ε ρούνται πα μένοι (frozen) στην τρέ ουσα επανά ηψη ενός α όρι μου επί υσης, ν στοί δη αδή από προη ούμενη επανά ηψη, και ρησιμοποιούνται ια τους αρι μητικούς υπο ο ισμούς. Στις επόμενες παρα ράφους περι ράφεται η διαδικασία διακριτοποίησης του υπο ο- ιστικού ρίου και τ ν ρικών διαφορών τ ν ροϊκών εξισώσε ν που διέπουν το πρό ημα που με ετάται. Σημειώνεται π ς δεν εφαρμόζεται κάποια διακριτοποίηση στο πεδίου του ρόνου κα ώς με τη ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών η ρονική παρά ος προσε ίζεται διακριτοποιώντας την ουσιαστικά σε N ρονικές στι μές Διακριτοποίηση της εξίσ σης της ορμής Για κα εμιά από τις N ρονικές στι μές, η εξίσ ση της ορμής ια το ευ ύ πρό ημα, α ά και η συζυ ής της, ράφονται: Εξίσ ση Ορμής ( V i V i ) (ν V i ) = P i ωd i V

72 60 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν Συζυ ής της Εξίσ σης Ορμής ( ) Ui V i ( ) (ν U i ) = Q i Ui V i + ωd i U με 1 i N, όπου με D i συμ ο ίζονται ό α τα στοι εία μίας σειράς του μητρώου D. Τα V i, U i είναι α μ τά με έ η που αντιστοι ούν σε μία από τις συνιστώσες της τα ύτητας του ευ έος και του συζυ ούς προ ήματος αντίστοι α, ανά ο α με τη διεύ υνση ς προς την οποία ράφεται η εξίσ ση της ορμής. Ο επιπ έον όρος μεταφοράς της συζυ ούς εξίσ σης μεταφέρεται στο δεύτερο μέ ος της εξίσ σης, κα ώς πρόκειται να αντιμετ πιστεί και αυτός ς όρος πη ής, ούτ ς ώστε να διευκο υν εί η αρι μητική σύ κ ιση του προ ήματος. Οι δύο εξισώσεις είναι αντίστοι ες. Για αυτόν ακρι ώς το ό ο, η ανά υση που ακο ου εί δεν επανα αμ άνεται και ια τις δύο εξισώσεις. Αντ αυτού εφαρμόζεται σε μία εξίσ ση μεταφοράς-διά υσης ια μία α μ τή μετα ητή u k, έστ ια μία από τις συνιστώσες της τα ύτητας, που αποτε εί ενική μορφή τ ν προη ούμεν ν δύο: ( uu k ) (ν u k ) = S(u k ) (5.4.1) όπου με S( ) συμ ο ίζονται οι όροι πη ής της εξίσ σης. Στη ενική περίπτ ση η S( ) είναι συνάρτηση του α μ τού με έ ους u k. Η παραπάν είναι μία μη- ραμμική διαφορική εξίσ ση δεύτερης τάξης. Η εξίσ ση 5.4.1, σε ο οκ ηρ ματική μορφή, πρέπει να ικανοποιείται σε κά ε ό κο ε έ ου V P ύρ από το κά ε σημείο P. Ο οκ ηρώνοντας: ( uu k )dv V P (ν u k ) dv = V P S(u k )dv V P (5.4.2) Η διακριτοποίηση τ ν ρικών όρ ν της εξίσ σης επιτυ άνεται με ρήση του ε ρήματος Gauss. Ακο ου εί απ ή παρά εση τ ν ασικών σ έσε ν που ρησιμο-

73 5.4. Διακριτοποίηση με τη μέ οδο τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν 61 ποιούνται, ρίς περαιτέρ ανά υση [20]: adv = V adv = V adv = V V V V ds f a (5.4.3) ds f a (5.4.4) ds f a (5.4.5) όπου V η κ ειστή επιφάνεια που περικ είει έναν ό κο V και ds f το απειροστό στοι είο επιφάνειας πο απ ασιασμένο με το κά ετο στην επιφάνεια μοναδιαίο διάνυσμα με φορά προς το εξ τερικό της. Στις παραπάν σ έσεις ρησιμοποιούνται: ένα α μ τό μέ ε ος και a ένα διανυσματικό. Τα παραπάν επικαμπύ ια ο οκ ηρώματα μετασ ηματίζονται σε α ροίσματα στο σύνο ο τ ν μετώπ ν f του ό κου. Η διακριτοποίηση της α εξεταστεί ξε ριστά ια κά ε όρο [20] Διακριτοποίηση του όρου μεταφοράς Η διακριτοποίηση του όρου μεταφοράς επιτυ άνεται με ρήση της εξίσ σης 5.4.3: ( uu k )dv = ds f ( uu k ) f = S f ( u) f (u k )f = φ(u k ) f (5.4.6) V P V P f f όπου το α μ τό μέ ε ος φ αντιπροσ πεύει τη ροή μάζας (mass flux) διαμέσου κά ε μετώπου f. Η συ κεκριμένη εφαρμο ή είναι απαραίτητη προκειμένου να ραμμικοποιη εί ο μη- ραμμικός όρος που εμφανίζεται στην εξίσ ση ορμής του ευ έος προ ήματος. Η τιμή της μετα ητής u στην κά ε έδρα f, υπο ο ίζεται μέσ παρεμ ο ής στις τιμές της μετα ητής από τα κέντρα δύο ειτονικών ό κ ν, όπ ς παρουσιάζεται κα- ύτερα στο Σχήμα 5.3. Στην περίπτ ση που ρησιμοποιείται ραμμική παρεμ ο ή μεταξύ τ ν κέντρ ν τ ν

74 62 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν Σ ήμα 5.3: Σχηματική παράσταση της γραμμικής παρεμβολής για τον προσδιορισμό της τιμής σε ένα μέτωπο [20]. δύο ό κ ν, η τιμή της u στο μέτ πο υπο ο ίζεται από τη σ έση: (u k ) f = f x (u k ) p + (1 f x )(u k ) N όπου το f x ορίζεται ς ο ό ος τ ν παρακάτ αποστάσε ν: fn f x = P N Η παραπάν ανά υση είναι ένα αρακτηριστικό παράδει μα κεντρικών διαφορών (central differencing). Ωστόσο, η ρήση κεντρικών διαφορών δεν εξασφα ίζει σε καμία περίπτ ση σύ κ ιση του α ορί μου, ό του ότι προκα ούν τα άντ ση της ύσης ια τον όρο μεταφοράς. Στην εφαρμο ή της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας ρησιμοποιή ηκαν σ ήματα πρώτης και δεύτερης τάξης στα οποία η τιμή της μετα ητής u κα ορίζεται ανά ο α με τη κατεύ υνση της ροής. Εδώ παρατί εται ενδεικτικά ένα τέτοιο σ ήμα πρώτης τάξης (first order upwind differencing): (u k ) P, ια φ 0 (u k ) f = (u k ) N, ια φ < 0

75 5.4. Διακριτοποίηση με τη μέ οδο τ ν πεπερασμέν ν ό κ ν Διακριτοποίηση του όρου διά υσης Η διακριτοποίηση του όρου διά υσης επιτυ άνεται αντίστοι α με τη ρήση του ε- ρήματος Green: (ν u k )dv = ds f (ν u k ) f = νs f ( u k ) f (5.4.7) V P V P f Στη ενική περίπτ ση τα π έ ματα δεv ρειάζεται να είναι ορ ο ώνια. Το αποτέ εσμα του εσ τερικού ινομένου S f ( φ) f ρίζεται σε δύο μέρη: S f ( u k ) f = ( u k ) f + k ( u k ) f (5.4.8) Ο πρώτος από τους δύο παραπάν όρους αναφέρεται στην ορ ο ώνια συμ ο ή του ινομένου ενώ ο δεύτερος αποτε εί απ ά μία διόρ ση ό της μη-ορ ο νικότητας. Τα δύο διανύσματα της εξίσ σης πρέπει να ικανοποιούν την παρακάτ συν ήκη: S f = + k Το διάνυσμα επι έ εται παρά η ο στην ευ εία που διέρ εται από τα κέντρα δύο ειτονικών ό κ ν και, επομέν ς, απομένει μόνο η κατά η η επι ο ή του διανύσματος k, ανά ο α με την τε νική διόρ σης που ρησιμοποιείται. Η τε ική διακριτοποιημένη μορφή του όρου διά υσης δίνεται από την ακό ου η Σ ήμα 5.4: Σχηματική παράσταση της τομή μίας έδρας f με το επίπεδο στο οποίο κείτεται το διάνυσμα PN για ένα μη-ορθογωνικό πλέγμα, και ανάλυση του κάθετου στην έδρα διανύσματος S f σε δύο συνιστώσες.

76 64 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν σ έση: S ( u k ) f = (u k) N (u k ) P P N + k ( u k ) f (5.4.9) όπου ο όρος ( u) f προσε ίζεται, ια την συμ ο ή της μη-ορ ο νικότητας, ενα - ακτικά από τη σ έση: ( u k ) f = f x ( u k ) P + (1 f x ) ( u k ) N, όπου: ( u k ) P = 1 S(u k ) f V P Εάν το π έ μα αρακτηρίζεται από ικανοποιητική ορ ο νικότητα και, επομέν ς, δεν υπάρ ει ανά κη μη-ορ ο νικής διόρ σης, το εσ τερικό ινόμενο S ( φ) f διακριτοποιείται με την ακό ου η έκφραση: S ( φ) f = S φn φ P P N f Διακριτοποίηση τ ν όρ ν πη ής Ανα ύ ηκε προη ουμέν ς ποιοι όροι σε κά ε εξίσ ση αντιμετ πίζονται ς όροι πη- ής, μιας και δεν είναι δυνατό να ραφούν ς μεταφορικοί όροι ή όροι διά υσης. Η ραμμικοποίηση του όρου πη ής προη είται της διακριτοποίησής του. Έτσι ο όρος πη ής ανα ύεται: S(u k ) = S u (u k ) + S p (u k ) u H ο οκ ήρ ση στον ό κο ε έ ου δίνει: S(u k )dv = S uk V P + S p V P (u k ) P (5.4.10) V P Τε ική έκφραση της εξίσ σης μεταφοράς-διά υσης Διακριτοποιώντας ό ους τους παραπάν όρους, η τε ική έκφραση της εξίσ σης μεταφοράς που με ετάται στο παρούσα παρά ραφο, και κατ αντιστοι ία της εξίσ σης ορμής του ευ έος προ ήματος που αναφέρ ηκε σε προη ούμενη παρά ραφο

77 5.5. Α όρι μος SIMPLE 65 α ά και της συζυ ούς της, είναι δυνατό να ραφεί σε ημι-διακριτή μορφή ς εξής: α P (u k ) P H(u k ) = p (5.4.11) όπου H(u k ) = N α N(u k ) N. Υπεν υμίζεται ότι με τον δείκτη P ορίζεται η τιμή της μετα ητής στο κέντρο του ό κου ε έ ου, και με το δείκτη N οι τιμές της μετα ητής στα κέντρα τ ν ειτονικών ό κ ν. Οι συντε εστές α P και α N ορίζονται και αυτοί συναρτήσει της μετα ητής u k, κα ώς η εξίσ ση, όπ ς αναφέρ ηκε ήδη, είναι μη- ραμμική. Οι συ κεκριμένοι όροι προέκυψαν από τη διακριτοποίηση τ ν όρ ν μεταφοράς, διά υσης και τ ν όρ ν πη ών της μεταφορικής εξίσ σης. Ακο ου εί ο α όρι μος που περι ράφει τη διαδικασία επί υσης της παραπάν εξίσ σης (5.4.11) και ο οποίος ρησιμοποιή ηκε στην εφαρμο ή της παρούσας διπ ματικής ερ ασίας. Όπ ς α φανεί παρακάτ, οι συντε εστές α P και α N υπο ο ίζονται με τις υπάρ ουσες τιμές της μετα ητής u, από προη ούμενο ήμα του α ορί μου, ακρι ώς ό της ανά κης να ξεπεραστεί το πρό ημα της μη- ραμμικότητας της εξίσ σης. 5.5 Α όρι μος SIMPLE Παρατί εται ο α όρι μος ο οποίος ακο ου είται ια την επί υση του προ ήματος [19]. Ο α όρι μος SIMPLE είναι ένας ευρέ ς ρησμοποιούμενος επι ύτης ρονικά μόνιμ ν προ ημάτ ν. Βασικό στοι είο του είναι η διαδικασία που ακο ου εί ια τον υπο ο ισμό της στατικής πίεσης μέσ της τε νικής της διόρ σης πίεσης (pressure correction). Η συ κεκριμένη τε νική ρησιμοποιείται κα ώς δεν υπάρ ει ξε ριστή, ρητή έκφραση ια τον υπο ο ισμό της πίεσης. Η εξίσ ση της ορμής ράφεται σε ημι-διακριτή μορφή σύμφ να με τη σ έση , κατ αντιστοι ία δη αδή με την εξίσ ση μεταφοράς της προη ούμενης ενότητας. Η εξίσ ση , σε διανυσματική μορφή, ράφεται: v P = H( v) α P p α P (5.5.1) Υπεν υμίζεται ότι οι συντε εστές α P και α N ε ρούνται ν στοί κα ώς υπο ο ί-

78 66 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν στηκαν με τιμές του πεδίου u από προη ούμενο ήμα. Μέσ παρεμ ο ής στη σ έση 5.5.1, υπο ο ίζεται η τιμή της u σε κά ε μέτ πο του ό κου ε έ ου ς εξής: ( ) H( v) v f = α P Διακριτοποιείται η εξίσ ση της συνέ ειας: f ( ) p α P f (5.5.2) v = f S f v f = 0 (5.5.3) Αντικα ιστώντας την εξίσ ση στη διακριτοποιημένη εξίσ ση συνέ ειας, κατα ή ουμε στην απαιτούμενη επιπ έον εξίσ ση ια τον υπο ο ισμό της στατικής πίεσης: ( ) ( ) p H( v) = = ( ) H( v) S f α P α P α P f f (5.5.4) Τε ικά, το σύστημα τ ν δύο εξισώσε ν, της συνέ ειας και της ορμής (ή τ ν συζυ ών τους), ράφεται σε διακριτοποιημένη μορφή ς εξής: α P v P = H( v) f S f p (5.5.5) ( ) p S f = ( ) H( v) S f α P α P f f f (5.5.6) Ο επανα ηπτικός α όρι μος επί υσης του παραπάν συστήματος ακο ου εί τα εξής ήματα: Ανακτώνται τα δεδομένα της προη ούμενης επανά ηψης του α ορί μου. Σημειώνεται π ς οι επανα ήψεις αυτές αναφέρονται σε επανα ήψεις ια σύ κ ιση του α ορί μου και δεν αποτε ούν ρονικά ήματα κα ώς επι ύονται ρονικά μόνιμα προ ήματα. Επι ύεται η εξίσ ση ρησιμοποιώντας τις τιμές πίεσης της προη ούμενης επανά ηψης, ια μία πρώτη εκτίμηση του πεδίου τα ύτητας. Υπο ο ίζονται οι συντε εστές α P ο όκ ηρου του πεδίου και η τιμή της v ρίς όμ ς τη διόρ ση της πίεσης.

79 5.5. Α όρι μος SIMPLE 67 Με την παραπάν τιμή της v υπο ο ίζεται η ροή μάζας μέσ παρεμ ο ής. Επι ύεται η εξίσ ση 5.5.6, ν ρίζοντας τη ροή μάζας σε ό ο το πεδίο, και προκύπτει το διορ μένο πεδίο στατικής πίεσης. Με τη διόρ ση της πίεσης υπο ο ίζεται η νέα διορ μένη τιμή της τα ύτητας και της ροής μάζας. Τα παραπάν ήματα επανα αμ άνονται έ ς ότου επιτευ εί σύ κ ιση. Επανα αμ άνεται ακόμη π ς η επί υση του κα ενός από τα N συστήματα εξισώσε ν, ια κα εμία από τις N ρονικές στι μές αντίστοι α, ίνεται σε ξε ριστό ήμα στην ίδια επανά ηψη σύ κ ισης του α ορί μου. Η παραπάν διαδικασία ακο- ου είται επακρι ώς ια την επί υση της συζυ ούς εξίσ σης ορμής.

80 68 5. Εφαρμο ή με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών & διακριτοποίηση εξισώσε ν

81 Κεφά αιο 6 Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Στον παρόν κεφά αιο ίνεται η πιστοποίηση της με όδου στους υπο ο ισμούς ια το ευ ύ και συζυ ές πρό ημα. Για το ευ ύ πρό ημα, αυτό επιτυ άνεται μέσ σύ κρισης της άν σης και της δύναμης της αντίστασης που ασκούνται σε μία αεροτομή, όπ ς υπο ο ίζεται με τη μέ οδο ισορροπίας τ ν αρμονικών και από τον ήδη πιστοποιημένο κώδικα επί υσης στο πεδίο του ρόνου (με ρήση της με όδου ρονοπροέ ασης). Για το συζυ ές πρό ημα, συ κρίνονται οι παρά οι ευαισ ησίας που υπο ο ίζονται με ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών, με εκείνες που υπο- ο ίζονται αντίστοι α με την κ ασική μέ οδο. Η πιστοποίηση ίνεται ια τρεις ξε ριστές περιπτώσεις ροών ύρ από την ίδια αεροτομή, όπου διαφοροποιούνται οι τιμές ια το εύρος τα άντ σης της νίας που σ ηματίζει το διάνυσμα της τα ύτητας όπ ς εισέρ εται στο ρίο με τη ορδή της αεροτομής και η συ νότητα με την οποία αυτή τα αντώνεται, ο αρι μός Reynolds της ροής α ά και το π ή ος τ ν αρμονικών που ρησιμοποιούνται. Οι τρεις αυτές περιπτώσεις κα ίστανται επαρκείς να πιστοποιήσουν την ε κυρότητα της με όδου α ά και να αναδείξουν τυ όν αδυναμίες της. Η πρό εξη της ροής σε κά ε εφαρμο ή ίνεται με ρήση του ε εύ ερου ο ισμικού OpenFOAM και η πιστοποίηση της με όδου ίνεται σε σύ κριση με τα αποτε έσματα που υπο ο ίζει ο επι ύτης pisofoam, ένας επι ύτης του OpenFOAM που εφαρμόζει τον α όρι μο PISO.

82 70 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών 6.1 Περι ραφή του προ ήματος Στις εφαρμο ές που α ακο ου ήσουν, εξετάζεται το πρό ημα διδιάστατης στρ τής ροής ασυμπίεστου ρευστού ύρ από μία αεροτομή. Οι πεδιακές εξισώσεις ια το συ κεκριμένο πρό ημα παρατέ ηκαν σε προη ούμενο κεφά αιο. Από αυτές τις εξισώσεις ροής αναπτύ ηκαν οι πεδιακές εξισώσεις και του συζυ ούς προ ήματος. Τα δύο προ ήματα (ευ ύ και συζυ ές) μαζί με τις αντίστοι ες οριακές συν ήκες που παρουσιάστηκαν σε προη ούμενο κεφά αιο, επι ύονται ια κα εμιά από τις τρεις περιπτώσεις ια τις οποίες ίνεται η πιστοποίηση της με όδου. Στο πρό ημα το οποίο με ετάται, το διάνυσμα της επ άπειρον τα ύτητας δεν σ ηματίζει στα ερή νία με τη ορδή της αεροτομής κα ό η τη διάρκεια του φαινομένου. Αντί ετα, η νία που σ ηματίζει με τον οριζόντιο άξονα τα αντώνεται εξανα κασμένα ημιτονοειδώς με το ρόνο ύρ από την τιμή μηδέν, οδη ώντας έτσι το φαινόμενο να αποκτήσει μη-μόνιμο αρακτήρα. Το μέτρο του διανύσματος της τα ύτητας της αδιατάρακτης ροής παραμένει στα ερό. Σύμφ να με τα παραπάν, οι συνιστώσες του διανύσματος της επ άπειρον τα ύτητας υπο ο ίζονται κά ε ρονική στι μή από τον τύπο: v inf = ( v inf cos ϑ, v inf sin ϑ) (6.1.1) με: ϑ = ϑ ampl sin(2πft) (6.1.2) όπου: f η συ νότητα τα άντ σης, ϑ ampl το π άτος τα άντ σης της νίας και v in το στα ερό μέτρο της επ άπειρον τα ύτητας. Ο υπο ο ισμός τ ν δυνάμε ν που ασκούνται πάν στην αεροτομή κά ε ρονική στι μή, ίνεται με ρήση της σ έσης: D = fds w (6.1.3) Sw όπου f είναι η δύναμη που ασκείται σε ένα σημείο του αεροδυναμικού σώματος και

83 6.1. Περι ραφή του προ ήματος 71 υπο ο ίζεται αντίστοι α από τον τύπο: f = [ ( vi ν + v ) ] j n j + pn i d i x j x i όπου d i είναι οι συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος, παρά η ου στην ευ εία που ορίζει η ορδή της αεροτομής όταν υπο ο ίζεται η αεροδυναμική αντίσταση και κά ετου στην ευ εία που ορίζει η ορδή της αεροτομής όταν υπο ο ίζεται η άν ση 1. Παρατί ενται οι παρά οι ευαισ ησίας που προκύπτουν ια την ε α ιστοποίηση της οπισ έ κουσας όπ ς αυτές προέκυψαν από την ανά υση προη ούμενου κεφα αίου: δf aug = S w S w S w [ ν x k [ ν [ qn i ν ( vi + v j x j x i ( vi + v j x j x i ( ui x j + u j x i ) n j + p ] δxk n i r i ds w dt x k ) δ (n j ds w ) + p δ ) n j ] vi x k x k b m ds w dt ] (n i ds w ) r i dt Ως μετα ητές σ εδιασμού ια τις εφαρμο ές που α ακο ου ήσουν, ρησιμοποιή ηκαν οι μετατοπίσεις, κατά τη κά ετη στο τοί μα διεύ υνση, κά ε κόμ ου που αποτε εί και σημείο της αεροτομής. Όταν ένας κόμ ος της αεροτομής μετακινείται, τα υπό οιπα σημεία της επιφάνειάς της παραμένουν στα ερά. Συνεπώς, ια έναν κόμ ο µ του τοι ώματος της αεροτομής, με συντετα μένες x µ k και με μοναδιαίο κά ετο διάνυσμα στη έση αυτή το n µ k, α ισ ύει ότι: δx µ δx µ k k δb = m = 0, ια µ m (6.1.4) δx m k = n m k, ια µ = m 1 Σημειώνεται π ς οι δυνάμεις που υπο ο ίζονται και συ κρίνονται εδώ δεν είναι οι μέ ιστες δυνάμεις που ασκούνται πάν στην αεροδυναμική μορφή κά ε ρονική στι μή κα ώς η ευ εία πάν στην οποία προ ά ονται έ ει στα ερή στο ρόνο διεύ υνση και δεν ακο ου εί το διάνυσμα της τα ύτητας.

84 72 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Γράφοντας το διακριτό ισοδύναμο της σ έσης με την οποία υπο ο ίζονται οι παρά- οι ευαισ ησίας, προκύπτει η παρακάτ έκφραση: δf aug = M t=0 µ=1 M t=0 µ=1 M t=0 µ=1 [ ν ( vi + v ) j n j + p ] n i n µ k x k x j x i x r i S µ t k µ [ ν [ qn i ν ( vi + v ) j x j x i µ δ ( n µ ( ui + u ) ] j n j x j x i µ j S µ ) ] δ + p µ (n µ i δb S µ ) r i t m v i n µ k S µ t όπου με S µ συμ ο ίζεται το στοι ειώδες τμήμα επιφάνειας της αεροτομής. Η παραπάν σ έση απ οποιείται περαιτέρ με ρήση της εξίσ σης και αμ άνει τη μορφή: δf aug = t=0 t=0 t=0 x µ k [ ν ( vi + v ) j n j + p ] n i n m k r i S m t x k x j x i x k m [ ( vi ν + v ) j δ ( n m x j x i m δb j S m ) ] δ + p m (n m i S m ) r i t m [ qn i ν ( ui + u ) ] j n j x j x i m v i n m k S m t (6.1.5) Η τε ευταία εξίσ ση (6.1.5) ρησιμοποιείται ια τον προσδιορισμό τ ν παρα ώ ν x m k ευαισ ησίας, που τε ικά συν έτουν το άρτη ευαισ ησίας Γε μετρία του προ ήματος Όπ ς αναφέρ ηκε, με ετάται η ροή ύρ από μία αεροτομή. Η αεροτομή έ ει ορδή ίση με c = 0.035m και είναι μη-συμμετρική. Το π έ μα που ρησιμοποιή ηκε αποτε- είται από υπο ο ιστικές κυψέ ες και παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.1. Πρέπει να τονιστεί εδώ π ς, επειδή το συ κεκριμένο ο ισμικό επι ύει μόνο τριδιάστατα προ ήματα, το π έ μα αποτε είται από εξαεδρικούς ό κους. Η ροή στόσο αποκτά τον επι υμητό, ια το πρό ημα που εξετάζεται, διδιάστατο αρακτήρα έτοντας κα-

85 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 73 Σ ήμα 6.1: C-type πλέγμα γύρω από τη μελετούμενη αεροτομή. τά η ες συν ήκες συμμετρίας και διακριτοποιώντας στην τρίτη διεύ υνση (σε αυτή του ά ος) μόνο με μία υπο ο ιστική κυψέ η. 6.2 Εφαρμο ή της με όδου Ακο ου ούν οι τρεις εφαρμο ές τις με όδου που πρα ματοποιή ηκαν σε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις ροών. Σε κα εμιά από τις εφαρμο ές επι έ ονται διαφορετικές τιμές του π άτους της τα άντ σης της νίας που σ ηματίζει το διάνυσμα της τα ύτητας με τον οριζόντιο άξονα. Επιπ έον η τα άντ ση ίνεται με διαφορετική συ νότητα άση της οποίας κα ορίζεται και το π ή ος τ ν αρμονικών που α ρησιμοποιη ούν. Ιδιαίτερο άρος, στόσο, δίνεται στο εάν οι τιμές του αρι μού Reynolds και του π άτους της τα άντ σης της νίας που σ ηματίζει η επ άπειρον τα ύτητα με τη ορδή της αεροτομής επηρεάζουν άμεσα την ικανότητα της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών να εκτε έσει ακρι είς υπο ο ισμούς. Η διερεύνηση αυτή ίνεται δικαιο ο ημένα κα ώς η επίδραση της συ νότητας τα άντ σης έ ει με ετη εί σε πα αιότερη ερ ασία [3]. Οι τρεις εφαρμο ές ταξινομούνται ανά ο α με τον αρι μό Reynolds της ροής, ανοι μένο στη ορδή της αεροτομής, και παρατί ενται συνοπτικά στον Πίνακα 6.1.

86 74 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Case 1 Case 2 Case 3 Reynolds number frequency (Hz) ϑ ampl 2 o 5 o 3 o v inf (m/s) Πίνακας 6.1: Παράθεση των βασικών χαρακτηριστικών της ροής για τις τρεις εφαρμογές. Σε ό ες τις εφαρμο ές ακο ου είται παρόμοια διαδικασία. Επι έ εται ο κατά η ος αρι μός αρμονικών ια την εφαρμο ή της με όδου. Το ευ ύ πρό ημα επι ύεται με τις οριακές συν ήκες που προκύπτουν από τα αρακτηριστικά της εκάστοτε εφαρμο ής. Με την επί υση του ευ έος προ ήματος προκύπτουν τα πεδία της τα ύτητας και της στατικής πίεσης. Το π ή ος τ ν πεδί ν που προκύπτουν εξαρτάται από το π ή ος τ ν αρμονικών που ρησιμοποιούνται (N = 2N H + 1). Από τα πεδία με ρήση της σ έσης προκύπτουν οι συντε εστές τ ν σειρών Fourier. Με τους συντε εστές αυτούς είναι δυνατόν να υπο ο ιστούν τα πεδία τα ύτητας και στατικής πίεσης κά ε ρονική στι μή. Έ οντας π ήρ ς δια έσιμο το πεδίο της τα ύτητας και της στατικής πίεσης σε κά ε ρονική στι μή της περιόδου τα άντ σης της νίας, υπο ο ίζονται οι δυνάμεις που ασκούνται στην αεροδυναμική μορφή, ς προς τον στα ερά οριζόντιο άξονα και τον κά ετο σε αυτόν. Με τις δυνάμεις αυτές υπο ο ίζονται οι αδιάστατοι αεροδυναμικοί συντε εστές. Αυτοί προκύπτουν με την αδιαστατοποίηση τ ν δυνάμε ν (ανά μονάδα ά ους πεδίου b) που υπο ο ίζονται, ια αρακτηριστικό μήκος ίσο με το μήκος της ορδής της αεροτομής c και στα ερή πυκνότητα ρευστού ίση με ρ = 1.2kg/m 3, από τις σ έσεις: c L = L/b 1 2 ρu2 inf c, c D = D/b 1 2 ρu2 inf c Το ευ ύ πρό ημα επι ύεται με τον α όρι μο PISO. Οι αεροδυναμικοί συντε εστές που προκύπτουν με τη μέ οδο ισορροπίας τ ν αρμονικών και με τον α όρι μο PISO παρατί ενται σε κοινά δια ράμματα. Οι τιμές τ ν συντε εστών συ κρίνονται μέσ της ποσοστιαίας σ ετικής απόκ ισης που παρουσιάζουν οι τιμές που υπο ο ίζονται με τη μέ οδο της ισορροπίας τ ν αρμονικών (ΗΒ από αυτό το σημείο και έπειτα) από

87 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 75 εκείνες που υπο ο ίζονται με τον α όρι μο PISO. Η σ ετική απόκ ιση υπο ο ίζεται από τη σ έση: var = forces HB forces P ISO forces P ISO (6.2.1) Έ οντας π ήρ ς προσδιορισμένα και απο ηκευμένα τα N = 2N H + 1 πεδία της τα ύτητας και της στατικής πίεσης επι ύεται και το συζυ ές πρό ημα. Οι οριακές συν ήκες του προ ήματος είναι εκείνες που εξή ησαν και περι ράφηκαν σε προη ούμενο κεφά αιο. Η συζυ ής τα ύτητα πάν στο σύνορο της αεροτομής τί- εται u i = f i r i (m/s), όπου r i είναι οι συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος παρά η ου (εφόσον ενδιαφερόμαστε ια ε τιστοποίηση με στό ο τη μεί ση της αεροδυναμικής αντίστασης) στο διάνυσμα της τα ύτητας της αδιατάρακτου ροής κά ε ρονική στι μή. Επομέν ς η διεύ υνση του r i α τα αντώνεται ημιτονοειδώς με συ- νότητα f = 1Hz και π άτος τα άντ σης ϑ amp ύρ από την τιμή μηδέν, όπ ς ακρι ώς και το διάνυσμα της αδιατάρακτου ροής ια το ευ ύ πρό ημα. Για την επί- υση του συζυ ούς προ ήματος ρησιμοποιείται ίδιο π ή ος αρμονικών με το ευ ύ πρό ημα. Με την επί υση του συζυ ούς προ ήματος προκύπτουν τα αντίστοι α N πεδία τ ν συζυ ών μετα ητών. Από τα πεδία και με ρήση της σ έσης προκύπτουν οι αντίστοι οι συντε εστής τ ν σειρών Fourier. Με τους συντε εστές αυτούς είναι δυνατό να υπο ο ιστούν τα πεδία συζυ ούς τα ύτητας και συζυ ούς στατικής πίεσης κά ε ρονική στι μή. Με π ήρ ς προσδιορισμένα τα πεδία της συζυ ούς τα ύτητας και συζυ ούς στατικής πίεσης κά ε ρονική στι μή, α ά και εκείνα της τα ύτητας και της στατικής πίεσης από το ευ ύ πρό ημα, είναι δυνατό να προσδιοριστούν οι παρά οι ευαισ ησίας, με ρήση της σ έσης Οι παρά οι ευαισ ησίας συν έτουν με τη σειρά τους το άρτη ευαισ ησίας, μία κατανομή δη αδή πάν στην αεροτομή που δη ώνει ποιοτικά το πόσο α επηρεάσει η μετατόπιση του κά ε κόμ ου τη μεί ση της αεροδυναμικής αντίστασης που ασκείται πάν στην αεροτομή. Αρνητική τιμή της παρα ώ ου ευαισ ησίας δη ώνει ότι ο κόμ ος πρέπει να μετακινη εί προς το εσ τερικό της αεροτομής ούτ ς ώστε να μει εί η αεροδυναμική αντίσταση που ασκείται στην αεροτομή, ενώ αντί ετα, ετική τιμής δη ώνει την ανά κη ια μετατόπιση προς το εξ τερικό της

88 76 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών αεροτομής. Το συζυ ές πρό ημα επι ύεται, και ατό, με ρήση του α ορί μου PISO. Με ρήση της με όδου checkpointing υπο ο ίζονται οι μετα ητές της ροής που προέκυψαν από την επί υση του ευ έος προ ήματος, η νώση τ ν οποί ν απαιτείται στην επί υση του συζυ ούς. Η κατανομή τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας, κατά μήκος τ ν κόμ ν της αεροτομής, που προκύπτει με τη ρήση του PISO παρατί εται σε κοινό διά ραμμα με εκείνη που υπο ο ίστηκε με ρήση της με όδου ΗΒ. Η σύ κριση τ ν δύο κατανομών συ κρίνονται με τον υπο ο ισμό και πά ι της ποσοστιαίας σ ετικής απόκ ισης που παρουσιάζουν οι τιμές τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας όπ ς υπο ο ίζονται με ρήση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών, από τις αντίστοι ες που υπο ο ίζονται με τον α όρι μο PISO. Η σ ετική απόκ ιση δίνεται: df db var = m HB df df db m P ISO db m P ISO (6.2.2) Εφαρμο ή ια Re=100 Στην παρούσα εφαρμο ή ρησιμοποιή ηκαν δύο αρμονικές οι οποίες κρί ηκαν επαρκείς ια την ικανοποιητική πρό εξη της ροής. Στα Σχήματα 6.2 και 6.3 παρουσιάζονται τα πεδία της τα ύτητας και της στατικής πίεσης που προκύπτουν από την πρό εξη της ροής ια το ευ ύ πρό ημα. Παρατί ενται τα πεδία ια τις πέντε (N = 2N H +1 = 5) ρονικές στι μές μέσα σε μία περίοδο τα άντ σης ( = 1sec), που προκύπτουν από τη ρήση δύο αρμονικών. Στα Σχήματα 6.4αʹ και 6.4 ʹ παρουσιάζεται η μετα ο ή τ ν αεροδυναμικών συντε εστών με το ρόνο ια μία περίοδο. Παρατηρώντας τα Σχήματα 6.4αʹ και 6.4 ʹ είναι εμφανής η ικανοποιητική ακρί εια με την οποία οι δυνάμεις υπο ο ίζονται, σε σ έση με τους υπο ο ισμούς που ίνονται από τον κ ασικό επι ύτη ια τα μη-μόνιμα προ ήματα. Οι τιμές τ ν με ε ών που υπο ο ίζονται είναι παραπ ήσιες, ενώ είναι ιδιαίτερα σημαντικό ότι και με τις δύο με όδους τα με έ η παρουσιάζουν πανομοιότυπη τα αντ τική συμπεριφορά. Οι υπο- ο ισμοί ια την δύναμη αντίστασης φαίνονται να απέ ουν, στόσο αυτό οφεί εται κα αρά στην κ ίμακα του κατακόρυφου άξονα. Ο συντε εστής άν σης τα αντώνεται με την περίοδο του φαινομένου, ενώ ο συντε εστής αντίστασης με τη μισή. Ο ό ος

89 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 77 που συμ αίνει αυτό είναι προφανής. Η δύναμη άν σης προ ά εται στον κά ετο στην ορδή άξονα, (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.2sec ( ʹ) t = 0.4sec (δʹ) t = 0.6sec (εʹ) t = 0.8sec Σ ήμα 6.2: Εφαρμογή για Re=100, πεδίο ταχύτητας υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 5 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση δύο αρμονικών.

90 78 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.2sec ( ʹ) t = 0.4sec (δʹ) t = 0.6sec (εʹ) t = 0.8sec Σ ήμα 6.3: Εφαρμογή για Re=100, πεδίο στατικής πίεσης υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 5 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση δύο αρμονικών.

91 6.2. Εφαρμο ή της με όδου HB method PISO algorithm Lift Coefficient (αʹ) Μεταβολή του συντελεστή άνωσης της αεροτομής με το χρόνο. t (s) 0.5 HB method PISO algorithm 0.48 Drag Coefficient ( ʹ) Μεταβολή του συντελεστή αντίστασης της αεροτομής με το χρόνο. Σ ήμα 6.4: Μεταβολή των αεροδυναμικών συντελεστών της αεροτομής με το χρόνο, για Re = 100 και πλάτος ταλάντωσης της γωνίας ϑ ampl = 2 o, όπως υπολογίζεται από τις δύο μεθόδους. t (s)

92 80 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών 80 Re= variation (%) t (s) 5.4 (αʹ) Ποσοστιαία απόκλιση του συντελεστή άνωσης της αεροτομής. Re= variation (%) ( ʹ) Ποσοστιαία απόκλιση του συντελεστή αντίστασης της αεροτομής. Σ ήμα 6.5: Ποσοστιαία απόκλιση των αεροδυναμικών συντελεστών όπως υπολογίζονται με τη μέθοδο ΗΒ, από τα αποτελέσματα του αλγορίθμου PISO. t (s)

93 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 81 επομέν ς, κα ώς το διάνυσμα τα ύτητας τα αντώνεται και η κά ετη συνιστώσα του παίρνει αρνητικές τιμές, η άν ση α πάρει και αυτή αρνητικές τιμές. Μέσα στην ίδια περίοδο όμ ς, η αντίσταση, που προ ά εται πάντοτε στον οριζόντιο άξονα, δεν α πάρει αρνητικές τιμές αφού η οριζόντια συνιστώσα της τα ύτητας παραμένει πάντα ετική και ς εκ τούτου α εκτε έσει ά η μία τα άντ ση μέσα στην ίδια περίοδο. Η ακρί εια με την οποία υπο ο ίζονται οι δυνάμεις κα ίσταται ακόμη περισσότερο εμφανής μέσ τ ν Σχημάτων 6.5αʹ και 6.5 ʹ που ακο ου ούν, όπου παρουσιάζεται η σ ετική ποσοστιαία απόκ ιση τ ν δυνάμε ν, όπ ς υπο ο ίζονται από τη μέ οδο HB, από τις δυνάμεις που υπο ο ίζονται από τον κώδικα ια τα μη-μόνιμα φαινόμενα. Η σ ετική απόκ ιση παίρνει μικρές τιμές (ε ά ιστα με α ύτερη του 5%) στον υπο ο ισμό της δύναμης αντίστασης (Σχήμα 6.5 ʹ) κα ό η τη διάρκεια του φαινομένου. Το ίδιο φαίνεται να ισ ύει και ια την υπο ο ιζόμενη άν ση. Οι παραπ ανητικά υψη ές τιμές που εμφανίζονται στο Σχήμα 6.5αʹ οφεί ονται στο ότι σε εκείνες τις ρονικές στι μές (t 1 = 1.6sec, t 2 = 1.9sec) η δύναμη άν σης μηδενίζεται, και ς εκ τούτου η σ ετική απόκ ιση, υπο ο ιστικά, απειρίζεται. Στις υπό οιπες ρονικές στι μές όμ ς παραμένει σε τιμές σημαντικά μικρότερες του 10%. Στα Σχήματα 6.6 και 6.7 παρουσιάζονται τα πεδία της συζυ ούς τα ύτητας και της συζυ ούς στατικής πίεσης που προκύπτουν από την πρό εξη της ροής ια το συζυ ές πρό ημα. Παρατί ενται τα πεδία ια τις πέντε (N = 2N H + 1 = 5) ρονικές στι μές μέσα σε μία περίοδο τα άντ ση που προκύπτουν από τη ρήση δύο αρμονικών. Οι παρά οι ευαισ ησίας υπο ο ίζονται και συν έτουν με τη σειρά τους το άρτη ευαισ ησίας (Σχήμα 6.8). Αυτό που απομένει είναι να συ κρι ούν οι τιμές τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας που υπο- ο ίζονται με τη μέ οδο HB, με τις αντίστοι ες που υπο ο ίζονται με ρήση κ ασικού του επι ύτη μη-μόνιμ ν προ ημάτ ν. Η σύ κριση ίνεται μέσ του Σχήματος 6.9αʹ. Στο εν ό σ ήμα παρουσιάζονται οι τιμές τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας, όπ ς υπο ο ίζονται και με τις δύο με όδους, ια κά ε κόμ ο της αεροτομής. Οι κόμ οι παρατί ενται με τη σειρά που το ο ισμικό ένεσης π έ ματος τους έ ει αρι μήσει.

94 82 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.2sec ( ʹ) t = 0.4sec (δʹ) t = 0.6sec (εʹ) t = 0.8sec Σ ήμα 6.6: Εφαρμογή για Re=100, πεδίο συζυγούς ταχύτητας υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 5 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση δύο αρμονικών.

95 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 83 (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.2sec ( ʹ) t = 0.4sec (δʹ) t = 0.6sec (εʹ) t = 0.8sec Σ ήμα 6.7: Εφαρμογή για Re=100, πεδίο συζυγούς στατικής πίεσης υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 5 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση δύο αρμονικών.

96 84 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Οι δύο κατανομές παρουσιάζουν παραπ ήσιες τιμές. Η κατανομή που προκύπτει από τον κώδικα ια την επί υση μη-μόνιμ ν φαινομέν ν είναι ε αφρώς μετατοπισμένη προς τα επάν σε σ έση με την αντίστοι η που προκύπτει με τη μέ οδο HB. Ωστόσο, και οι δύο κατανομές μετα ά ονται με παρόμοιο τρόπο, κάτι ιδιαίτερα σημαντικό κα- ώς φανερώνει π ς, ποιοτικά του ά ιστον, οι δύο μέ οδοι παρά ουν ακρι ώς τα ίδια αποτε έσματα. Αυτό πιστοποιείται εξετάζοντας επιπ έον το Σχήμα 6.9 ʹ όπου παρουσιάζεται η ποσοστιαία απόκ ιση μεταξύ τ ν αποτε εσμάτ ν τ ν δύο με όδ ν. Σ ήμα 6.8: Χάρτης ευαισθησίας πάνω στην αεροτομή, με μεταβλητές σχεδιασμού τη μετατόπιση του κάθε κόμβου κατά την κάθετη στον κόμβο διεύθυνση, για Re = 100 και πλάτος ταλάντωσης της γωνίας ϑ ampl = 2 o. Η ποσοστιαία απόκ ιση μεταξύ τ ν τιμών που υπο ο ίζονται με τις δύο με όδους, παραμένει μικρότερη του 20% σ εδόν σε ό α τα σημεία της αεροτομής. Στις περιο ές που φαίνεται η απόκ ιση να παίρνει με ά ες τιμές η τιμή τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας τείνουν προς το μηδέν. Επομέν ς, όπ ς και με τις δυνάμεις οι τιμές αυτές είναι π ασματικές. Πρόκειται στην ουσία ια υπο ο ιστικά σφά ματα και δεν αντικατοπτρίζουν την απόκ ιση σε εκείνες τις περιο ές, η οποία, παρατηρώντας και το Σχήμα 6.9αʹ κυμαίνεται σε φυσιο ο ικά επίπεδα. Ένας σημαντικός παρά οντας στον οποίο οφεί εται η απόκ ιση τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας είναι η όποια διαφορά σημειώνεται στους υπο ο ισμούς ια το ευ ύ πρό ημα και ίνεται φανερή από την εξέταση τ ν δυνάμε ν.

97 6.2. Εφαρμο ή της με όδου HB method PISO algorithm 0-2 Sensitivity Derivatives (x10-5 ) points along the airfoil (αʹ) Παράγωγοι ευαισθησίας με μεταβλητές σχεδιασμού την κάθετη στο κάθε σημείο της αεροτομής διεύθυνση. 100 Re= variation (%) points along the airfoil ( ʹ) Ποσοστιαία απόκλιση των παραγώγων ευαισθησίας. Σ ήμα 6.9: Παράγωγοι ευαισθησίας της μέσης αντίστασης για Re = 100, όπως υπολογίζονται με τις δύο μεθόδους και ποσοστιαία απόκλιση των τιμών που η μέθοδος ΗΒ υπολογίζει από εκείνες που υπολογίζονται με τον αλγόριθμο PISO.

98 86 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Εφαρμο ή ια Re=350 Στην παρούσα εφαρμο ή ρησιμοποιή ηκαν τρεις αρμονικές οι οποίες κρί ηκαν επαρκείς ια την ικανοποιητική πρό εξη της ροής. Στα Σχήματα 6.10 και 6.11 παρουσιάζονται τα πεδία της τα ύτητας και της στατικής πίεσης που προκύπτουν από την πρό εξη της ροής ια το ευ ύ πρό ημα. Παρατί ενται τα πεδία ια τις επτά (N = 2N H +1 = 7) ρονικές στι μές μέσα σε μία περίοδο τα άντ σης ( = 0.5sec), που προκύπτουν από τη ρήση τριών αρμονικών. Στα Σχήματα 6.12αʹ και 6.12 ʹ παρουσιάζεται η μετα ο ή τ ν αεροδυναμικών συντε εστών με το ρόνο ια μία περίοδο. Παρατηρώντας τα εν ό σ ήματα είναι εμφανής η ακρί εια με την οποία οι δυνάμεις υπο ο ίζονται, σε σ έση με τους υπο- ο ισμούς που ίνονται από τον κ ασικό επι ύτη ια τα μη-μόνιμα προ ήματα. Οι τιμές τ ν με ε ών που υπο ο ίζονται σ εδόν ταυτίζονται κάτι που ίνεται ακόμη περισσότερο εμφανές εξετάζοντας τα Σχήματα 6.13αʹ και 6.13 ʹ που ακο ου ούν. Στα τε ευταία, παρουσιάζεται η σ ετική ποσοστιαία απόκ ιση τ ν δυνάμε ν, όπ ς υπο ο ίζονται από τις δύο με όδους. Η σ ετική απόκ ιση ια τον υπο ο ισμό της άν σης (Σχήμα 6.13αʹ) κυμαίνεται σε τιμές μικρότερες του 10% ενώ η απόκ ιση ια την υπο ο ιζόμενη αντίσταση (Σχήμα 6.13 ʹ) είναι ιδιαίτερα μικρή (τιμές αμη ότερες του 0.5%). Τονίζεται ξανά π ς στις ρονικές στι μές κοντά στις οποίες η άν ση μηδενίζεται η σ ετική απόκ ιση απειρίζεται αρι μητικά. Αυτό έ ει ς αποτέ εσμα να εμφανίζονται οι παραπ ανητικά υψη ές τιμές της απόκ ισης τις ρονικές στι μές t 1 = 1.73sec και t 2 = 1.95sec.

99 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 87 (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.10: Εφαρμογή για Re=350, πεδίο ταχύτητας υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec

100 88 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.11: Εφαρμογή για Re=350, πεδίο στατικής πίεσης υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec

101 6.2. Εφαρμο ή της με όδου PISO algorithm HB method 0.1 Lift Coefficient t (s) (αʹ) Μεταβολή του συντελεστή άνωσης της αεροτομής με το χρόνο PISO algorithm HB method Drag Coefficient ( ʹ) Μεταβολή του συντελεστή αντίστασης της αεροτομής με το χρόνο. Σ ήμα 6.12: Μεταβολή των αεροδυναμικών συντελεστών της αεροτομής με το χρόνο, για Re = 350 και πλάτος ταλάντωσης της γωνίας ϑ ampl = 5 o, όπως υπολογίζεται από τις δύο μεθόδους. t (s)

102 90 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών 10 Re=350 8 variation (%) t (s) (αʹ) Ποσοστιαία απόκλιση του συντελεστή άνωσης της αεροτομής. 0.5 Re= variation (%) ( ʹ) Ποσοστιαία απόκλιση του συντελεστή αντίστασης της αεροτομής. Σ ήμα 6.13: Ποσοστιαία απόκλιση των αεροδυναμικών συντελεστών όπως υπολογίζονται με τη μέθοδο ΗΒ, από τα αποτελέσματα του αλγορίθμου PISO. t (s)

103 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 91 Στα Σχήματα 6.14 και 6.15 παρουσιάζονται τα πεδία της συζυ ούς τα ύτητας και της συζυ ούς στατικής πίεσης που προκύπτουν από την πρό εξη της ροής ια το συζυ ές πρό ημα. Παρατί ενται τα πεδία ια τις επτά (N = 2N H +1 = 7) ρονικές στι μές, μέσα σε μία περίοδο τα άντ σης, που προκύπτουν από τη ρήση τριών αρμονικών. Οι παρά οι ευαισ ησίας υπο ο ίζονται και συν έτουν με τη σειρά τους το άρτη ευαισ ησίας (Σχήμα 6.17). Ακο ου εί η σύ κριση τ ν τιμών τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας που υπο ο ίζονται με τη μέ οδο HB με τις αντίστοι ες που υπο ο ίζονται με ρήση του α ορί μου PISO. Η σύ κριση ίνεται μέσ του Σχήματος 6.16αʹ όπου παρουσιάζονται οι τιμές τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας, όπ ς υπο ο ίζονται και με τις δύο με όδους, ια κά ε κόμ ο της αεροτομής. Οι δύο κατανομές σ εδόν ταυτίζονται. Η μέ οδος ΗΒ φαίνεται να υποεκτιμά τις παρα ώ ους ευαισ ησίας σε κάποιους κόμ ους πάν στην αεροτομή. Αυτό πιστοποιείται εξετάζοντας και την ποσοστιαία απόκ ιση τ ν δύο κατανομών (Σχήμα 6.16 ʹ). Η ποσοστιαία απόκ ιση μεταξύ τ ν τιμών που υπο ο ίζονται με τις δύο με όδους (εξαιρουμένου πάντα τ ν σημεί ν όπου οι παρά οι μηδενίζονται και τα αποτε έσματα είναι τε εί ς παραπ ανητικά) κυμαίνεται σε τιμές μικρότερες του 10%, ενώ σε κάποιες περιο ές εμφανίζονται αποκ ίσεις σ εδόν μηδενικές.

104 92 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.14: Εφαρμογή για Re=350, πεδίο συζυγούς ταχύτητας υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec

105 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 93 (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.15: Εφαρμογή για Re=350, πεδίο συζυγούς στατικής πίεσης υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec

106 94 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών 0.1 PISO algorithm HB method 0.05 Sensitivity Derivatives (x10-5 ) points along the airfoil (αʹ) Παράγωγοι ευαισθησίας με μεταβλητές σχεδιασμού την κάθετη στο κάθε σημείο της αεροτομής διεύθυνση. 80 Re= variation (%) points along the airfoil ( ʹ) Ποσοστιαία απόκλιση των παραγώγων ευαισθησίας. Σ ήμα 6.16: Οι κατανομές των παραγώγων ευαισθησίας της μέσης αντίστασης για Re = 350 και η ποσοστιαία απόκλιση των τιμών που η μέθοδος ΗΒ υπολογίζει από εκείνες που υπολογίζονται με τον αλγόριθμο PISO.

107 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 95 Σ ήμα 6.17: Χάρτης ευαισθησίας πάνω στην αεροτομή, με μεταβλητές σχεδιασμού τη μετατόπιση του κάθε κόμβου κατά την κάθετη στον κόμβο διεύθυνση διεύθυνση, για Re = 350 και πλάτος ταλάντωσης της γωνίας ϑ ampl = 5 o Εφαρμο ή ια Re=1000 Στην παρούσα εφαρμο ή ρησιμοποιή ηκαν και πά ι τρεις αρμονικές. Στα Σχήματα 6.18 και 6.19 παρουσιάζονται τα πεδία της τα ύτητας και της στατικής πίεσης που προκύπτουν από την πρό εξη της ροής ια το ευ ύ πρό ημα. Παρατί ενται τα πεδία ια τις επτά (N = 2N H + 1 = 7) ρονικές στι μές μέσα σε μία περίοδο τα άντ σης ( = 1sec), που προκύπτουν από τη ρήση τριών αρμονικών. Στα Σχήματα 6.20αʹ και 6.20 ʹ παρουσιάζεται η μετα ο ή τ ν αεροδυναμικών συντε εστών με το ρόνο ια μία περίοδο. Παρατηρώντας τα προαναφερ έντα σ ήματα είναι εμφανές π ς οι αποκ ίσεις μεταξύ τ ν δυνάμε ν παραμένουν μικρές. Στον υπο- ο ισμό της άν σης εμφανίζονται οι με α ύτερες διαφορές, ρίς στόσο να είναι ιδιαίτερα έντονες. Η προσέ ιση της δύναμης αντίστασης στόσο (Σχήμα 6.20 ʹ) παραμένει εξαιρετική, αν ανα ο ιστεί κανείς και την κ ίμακα του κατακόρυφου άξονα. Στα Σχήματα 6.21 και 6.22 παρουσιάζονται τα πεδία της συζυ ούς τα ύτητας και της συζυ ούς στατικής πίεσης που προκύπτουν από την πρό εξη της ροής ια το συζυ ές πρό ημα της τρίτης εφαρμο ής. Παρατί ενται τα πεδία ια τις επτά (N = 2N H + 1 = 7) ρονικές στι μές μέσα στην περίοδο τα άντ σης που προκύπτουν από τη ρήση τριών αρμονικών.

108 96 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών Η σύ κριση τ ν τιμών τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας που υπο ο ίζονται με τη μέ οδο ΗΒ με τις αντίστοι ες που υπο ο ίζονται με τον α όρι μο PISO, ίνεται μέσ τ ν σ ημάτ ν 6.23αʹ και 6.23 ʹ. Είναι φανερό π ς οι τιμές τ ν παρα ώ ν ευαισ ησίας που υπο ο ίζονται από τις δύο με όδους έ ουν σημαντικά μικρή απόκ ιση. Υπάρ- ουν περιο ές στην αεροτομή που η σ ετική απόκ ιση μεταξύ τ ν παρα ώ ν που υπο ο ίζονται με τις δύο με όδους αυξάνεται, στο με α ύτερο μέρος τους στόσο οι δύο κατανομές είναι αρκετά κοντά (αποκ ίσεις μικρότερες του 20%).

109 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 97 (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.18: Εφαρμογή για Re=1000, πεδίο ταχύτητας υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec

110 98 6. Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.19: Εφαρμογή για Re=1000, πεδίο στατικής πίεσης υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec

111 6.2. Εφαρμο ή της με όδου HB method PISO algorithm 0.1 Lift Coefficient t (s) (αʹ) Μεταβολή του συντελεστή άνωσης της αεροτομής με το χρόνο HB method PISO algorithm Drag Coefficient ( ʹ) Μεταβολή του συντελεστή αντίστασης της αεροτομής με το χρόνο. Σ ήμα 6.20: Μεταβολή των αεροδυναμικών συντελεστών της αεροτομής με το χρόνο, για Re = 1000 και πλάτος ταλάντωσης της γωνίας ϑ ampl = 3 o, όπως υπολογίζεται από τις δύο μεθόδους. t (s)

112 Πιστοποίηση της με όδου ισορροπίας τ ν αρμονικών (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.21: Εφαρμογή για Re=1000, πεδίο συζυγούς ταχύτητας υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec

113 6.2. Εφαρμο ή της με όδου 101 (αʹ) t = 0sec ( ʹ) t = 0.07sec ( ʹ) t = 0.14sec (δʹ) t = 0.21sec (εʹ) t = 0.29sec (στʹ) t = 0.36sec Σ ήμα 6.22: Εφαρμογή για Re=1000, πεδίο συζυγούς στατικής πίεσης υπολογισμένο με τη μέθοδο HB, για τις 7 χρονικές στιγμές που προκύπτουν από τη χρήση τριών αρμονικών. (ζʹ) t = 0.43sec