Απ ή υ οποίηση α ορί μου Fast Multipole Method ανεξάρτητου συνάρτησης πυρήνα

Transcript

1 Αριστοτέ ειο Πανεπιστήμιο Θεσσα ονίκης Πο υτε νική Σ ο ή Τμήμα Η εκτρο ό ν Μη ανικών και Μη ανικών Υπο ο ιστών Τομέας Η εκτρονικής και Υπο ο ιστών Απ ή υ οποίηση α ορί μου Fast Multipole Method ανεξάρτητου συνάρτησης πυρήνα Εκπόνηση Ερ ασίας: Κ νσταντίνος Μυ νάκης Επι έπ ν Κα η ητής: Νικό αος Πιτσιάνης Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 206

2 ii

3 Η παρούσα αποτε εί τη διπ ματική μου ερ ασία ια το Τμήμα Η εκτρο ό ν Μη ανικών και Μη ανικών Η εκτρονικών Υπο ο ιστών του Αριστοτε είου Πανεπιστημίου Θεσσα ονίκης, η οποία εκπονή ηκε κατά τη διάρκεια του ακαδημαϊκού έτους Αποτε εί την πρώτη μου εκτενή προσπά εια ενασ ό ησης με το πεδίο τ ν α ορί μ ν. Θέ να ευ αριστήσ ιδιαίτερα τον κα η ητή μου κ. Νίκο Πιτσιάνη που μου έδ σε την δυνατότητα να ασ ο η ώ με ένα τόσο ενδιαφέρον έμα, κα ώς επίσης και ια την κα οδή ηση και την υπομονή του. Η ερ ασία αυτή αφιερώνεται σε ό ους τους κοντινούς μου αν ρώπους, που με στήριξαν κα ό η τη διάρκεια αυτής της προσπά ειας και έδειξαν εμπιστοσύνη στο πρόσ πό μου. Κ νσταντίνος Μυ νάκης iii

4 iv

5 Περιε όμενα Εισα ή. Περι ραφή προ ήματος Υπάρ ουσες Προσε ίσεις Στό οι της Ερ ασίας Δομή της Ερ ασίας Αρι μητικές Επεκτάσεις 5 2. Επέκταση Taylor Δισδιάστατη Επέκταση Taylor Τρισδιάστατη Επέκταση Taylor Επέκταση Ying Biros Zorin Ανεξαρτησία συνάρτησης πυρήνα Ανεξαρτησία συνάρτησης στην επέκταση Taylor Ανεξαρτησία συνάρτησης στην επέκταση Ying Biros Zorin Α όρι μος Fast Multipole Method 3 3. Δημιουρ ία Δέντρ ν Α όρι μος Dual Tree Traversal Α όρι μος Locals Υπο ο ισμός σε ένα επίπεδο Α όρι μος O(N) Εφαρμο ή Τε εστών στις επεκτάσεις 9 4. Τε εστές Taylor Particle to Multipole (P2M) Multipole to Multipole (M2M) Multipole to Local (M2L) v

6 4..4 Local to Local (L2L) Local to Target (L2T) Τε εστές Ying Boris Zorin Particle to Multipole (P2M) Multipole to Multipole (Μ2Μ) Multipole to Local (M2L) Local to Local (L2L) Local to Target (L2T) Δια είριση μνήμης, μέ οδοι επιτά υνσης και παρα η οποίηση του α ορί μου Δια είριση μνήμης δέντρ ν Μέ οδοι επιτά υνσης του Α ορί μου Επιτά υνση τε εστών M2M και L2L Επιτά υνση τε εστή M2L Παρα η οποίηση του α ορί μου με Cilk Πειράματα-Αποτε έσματα Πειράματα ια δισδιάστατα προ ήματα Πειράματα ια τρισδιάστατα προ ήματα Εφαρμο ές Α ορί μου 4 7. Διάταξη μίας ρά δου Διάταξη τριών ρά δ ν Συμπεράσματα και Με οντικά έματα 47 Αʹ Σειριακός κώδικας Matlab 49 Αʹ. Core Functions Αʹ.. Υπορουτίνες του Dual tree traversal Αʹ.2 Συναρτήσεις επέκτασης Taylor Αʹ.3 Συναρτήσεις επέκτασης Ying Biros Zorin Αʹ.4 Συναρτήσεις δημιουρ ίας π ε μάτ ν δει ματο ηψίας Βʹ Παρά η ος κώδικας Matlab 65 vi

7 Κατά ο ος σ ημάτ ν 2. Υπο ο ισμός ισοδύναμης κατανομής ια πη ές εντός κουτιού Υπο ο ισμός ισοδύναμης κατανομής ια πη ές που ρίσκονται στη περιο ή μακρινών ειτόν ν προσ εσε περι ραφή Κατανομές σημεί ν ια τον υπο ο ισμό του μεσαίου πίνακα Διά ραμμα ροής του Dual Tree Traversal Γραφική απεικόνιση FMM Αρ ική κατάσταση [5] Δημιουρ ία Multipole [5] Δημιουρ ία Local [5] Υπο ο ισμός δυναμικού- Χρήση L2T [5] Δομή και εφαρμο ή τε εστή M2M σε δισδιάστατο πρό ημα Δομή και εφαρμο ή τε εστή L2L σε δισδιάστατο πρό ημα Τε εστής P2M στην επέκταση Ying Biros Zorin Εύρεση ισοδύναμης κατανομής ια φορτία μη ειτονικού κόμ ου Τε εστής M2M στην επέκταση Ying Biros Zorin Τε εστής M2L στην επέκταση Ying Biros Zorin Τε εστής L2L στην επέκταση Ying Biros Zorin Ιδιότητα τε εστών M2M ια κόμ ους ίδιου επιπέδου Ιδιότητα τε εστών L2L ια κόμ ους ίδιου επιπέδου Τε εστής M2L και σ ετική έση κόμ ν Σ ετικές έσεις μακρινών ειτόν ν Παράδει μα εύρεσης σ ετικής έσης Γράφος for loop με ρήση cilk_spawn [7] Γράφος for loop με ρήση cilk_for [7] vii

8 5.8 Αποφυ ή κ ειδαριών (locks) Παρά η ες α η επιδράσεις στο επίπεδο Παρά η ες α η επιδράσεις στο επίπεδο Συ κριση συναρτήσε ν πυρήνα ια επέκταση Taylor σε δισδιάστατο πρό ημα Είδη εισόδ ν στα πειράματα τριών διαστάσε ν Συ κριση συναρτήσε ν πυρήνα ια επέκταση Taylor σε τρισδιάστατο πρό ημα με είσοδο τυ αία κατανομή σε κύ ο Συ κριση συναρτήσε ν πυρήνα ια επέκταση YBZ σε τρισδιάστατο πρό ημα με είσοδο τυ αία κατανομή σε κύ ο Συ κριση συναρτήσε ν πυρήνα ια επέκταση Taylor σε τρισδιάστατο πρό ημα με είσοδο τυ αία κατανομή στην επιφάνεια / 8 της σφαίρας Συ κριση απόδοσης του α ορί μου ια μεταξύ τ ν με όδ ν επέκτασης Taylor και YBZ Ισοδυναμικές ραμμές στο επίπεδο z = 0.5 ια ετικά ομοιόμορφα φορτισμένη ρά δο Laplacian kernel ια στο επίπεδο z = 0.5 ια ετικά ομοιόμορφα φορτισμένη ρά δο Gaussian kernel ια στο επίπεδο z = 0.5 ια ετικά ομοιόμορφα φορτισμένη ρά δο Yukawa kernel ια στο επίπεδο z = 0.5 ια ετικά ομοιόμορφα φορτισμένη ρά δο συναρτήσει της παραμέτρου m Ισοδυναμικές ραμμές στο επίπεδο z = 0.5 ια διάταξη τριών ρά δ ν Ισοδυναμικές ραμμές στο επίπεδο z = 0.5 ια διάταξη τριών ρά δ ν, η μία αρνητικά φορτισμένη viii

9 Κατά ο ος πινάκ ν 2.2 Διαστάσεις Πινάκ ν επέκτασης Taylor Παράμετροι πειράματος με επέκταση Taylor με είσοδο τυ αία κατανομή σε κύ ο Παράμετροι πειράματος με επέκταση YBZ με είσοδο τυ αία κατανομή σε κύ ο Παράμετροι πειράματος με επέκταση Taylor με είσοδο τυ αία κατανομή στην επιφάνεια / 8 της σφαίρας Συνή εις συναρτήσεις πυρήνα ix

10 Περί ηψη Η υ οποίηση του α ορί μου Fast Multipole Method είναι μία δύσκο η διαδικασία που απαιτεί α ιά νώση μα ηματικών και αρι μητικής ανά υσης. Η ρήση σφαιρικών αρμονικών και ά ν τε νικών ια την αρι μητική σύ κ ιση απο αρρύνει οποιονδήποτε μη εξοικει μένο με αυτές τις έννοιες να ασ ο η εί με τον α όρι μο. Παρ ο αυτά το α ορι μικό κομμάτι του είναι κατανοητό και εύκο α υ οποιήσιμο, αφήνοντας ς μοναδικό πρό ημα το έμα της αρι μητικής σύ κ ισης. Έτσι επι ειρούμε να απ οποιήσουμε τον α όρι μο ρησιμοποιώντας επέκταση Taylor ια να προσε - ίσουμε το αποτέ εσμα και ύνουμε υποπρο ήματα μικρής πο υπ οκότητας, ρησιμοποιώντας διαφορετικές με όδους δει ματο ηψίας τ ν σημεί ν, ια να υπο ο ίσουμε αρι μητικά τους τε εστές του α - ορί μου. Η δομή της υ οποίησης μας επιτρέπει να ρησιμοποιήσουμε επιπ έον με όδους επέκτασης και η μέ οδος υπο ο ισμού του α ορί μου μας δίνει τη δυνατότητα να ύνουμε προ ήματα που ρησιμοποιούν διαφορετικές συναρτήσεις πυρήνα. Με σκοπό να ε τιώσουμε την απόδοση ρησιμοποιούμε την Cilk ια να παρα η οποιήσουμε τον α - όρι μο και να ρησιμοποιήσουμε ό ους τους δια έσιμους πόρους του συστήματος. Το ο ισμικό αναπτύ ηκε σε ώσσα προ ραμματισμού Matlab με σκοπό ο ανα νώστης να εστιάζει στην ειτουρ ία του α ορί μου και να το ρησιμοποιήσει ς οδη ό ια την περαιτέρ κατανόηση του α ορί μου. x

11 Κεφά αιο Εισα ή Ο α όρι μος Fast Multipole Method είναι μία αρι μητική τε νική που επιτα ύνει τον υπο ο ισμό τ ν μακρινών δυνάμε ν σε ένα σύστημα N σ μάτ ν. Σε ένα τέτοιο σύστημα, ο υπο ο ισμός τ ν δυνάμε ν α απαιτούσε N 2 υπο ο ισμούς όμ ς, ρησιμοποιώντας αρι μητικές με όδους η πο υπ οκότητα του υπο ο ισμού μπορεί να μει εί σε O(N). Ο α όρι μος παρουσιάστηκε από τους Rokhlin και Greengard [, 2] και ε ρείται ένας από τους δέκα σημαντικότερους α όρι μους του 20 ου αιώνα. Στο παρακάτ κεφά αιο περι ράφουμε το πρό ημα και έτουμε τις άσεις ια εξη ήσουμε π ς ειτουρ εί ο α όρι μος, ορίζουμε τους στό ους της ερ ασίας και τέ ος παρουσιάζουμε τη σειρά που α παρουσιαστούν οι ασικές ιδέες της ερ ασίας.. Περι ραφή προ ήματος Ο FMM ρησιμοποιείται σε π η ώρα εφαρμο ών έτσι, ε ρούμε ότι ο πιο κατανοητός τρόπος ια να ξεκινήσουμε την παρουσίαση του α ορί μου είναι με ένα παράδει μα από το τομέα του η εκτροστατικού πεδίου. Θα επι ειρήσουμε να με ετήσουμε το πεδίο που δημιουρ ούν η εκτρικά σημειακά φορτία στο ώρο. Αρ ικά α ε ρήσουμε ότι τα φορτία και τα σημεία που α υπο ο ίσουμε το δυναμικό είναι κα ώς δια ρισμένα. Στο σημείο αυτό είναι ρήσιμο να δώσουμε ορισμούς ια την τοπο ο ία τ ν σύνο ν. Ο ώρος διασπάται διαδο ικά σε ίσα μέρη δημιουρ ώντας μία δομή δέντρου ώστε κά ε σύνο ο να περικ είεται από ένα κουτί. Επομέν ς, προκύπτουν οι εξής ορισμοί: Ορισμός Κοντινοί γείτονες Δύο κουτιά λέγεται ότι είναι κοντινοί γείτονες, όταν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο του δέντρου και έχουν έστω και ένα κοινό σημείο. Ορισμός 2 Καλά διαχωρισμένα Δύο κουτιά λέγονται καλά διαχωρισμένα ή μακρινοί γείτονες, όταν βρίσκονται σε ίδιο επίπεδο στο δέντρο και οι γονείς των κουτιών είναι κοντινοί γείτονες αλλά οι ίδιοι δεν είναι.[3] Συ κεκριμένα, ο υπο ο ισμός του δυναμικού που δημιουρ είται από N πη ές s j με φορτίο q j, j =, 2,.., N σε M σημεία του ώρου t i, i =, 2,..M προκύπτει από τη σ έση: ϕ = Q 4πϵr (.)

12 2 Κεφάλαιο. Εισαγωγή όπου ϵ είναι η διη εκτρική στα ερά του μέσου και r η απόσταση μεταξύ του φορτίου και του σημείου υπο ο ισμού. Σε μορφή πινάκ ν ια τον υπο ο ισμό τ ν ζητούμεν ν δυναμικών α πρέπει να εκτε εστεί η πράξη ϕ K K 2 K N q ϕ 2. = K 2 K 22 K 2N q ϕ N K K N2 K N q N (.2) όπου K ij = t i s j = r. Εφαρμόζοντας Singular Value Decomposition στον πίνακα τ ν K προκύπτει K = U SV, όπου τα U και V είναι διάστασης M N και N N πίνακες αντίστοι α, και ο S είναι ένας δια ώνιος πίνακας με π ή ος μη-μηδενικών στοι εί ν στη δια ώνιο ίσο με την τάξη του πίνακα Κ. Κατά κανόνα, τα στοι εία της δια νίου είναι τοπο ετημένα σε φ ίνουσα σειρά s s 2 s 2... s r (τα υπό οιπα μηδενικά) [4]. s s S = s p (.3) Γενικά, ο πίνακας Κ είναι full rank, συνεπώς δεν μπορούμε να πετύ ουμε συμπίεση της π ηροφορίας, όμ ς στην περίπτ ση τ ν κα ώς δια ρισμέν ν κουτιών ο πίνακας εμφανίζει μικρότερη τάξη. Επομέν ς, ορίζουμε τον υπο ο ιστικά πιο αποτε εσματικό K ϵ ο οποίος περι αμ άνει μόνο τις μη-μηδενικές τιμές του πίνακα S. Χρησιμοποιώντας τον K ϵ, η εξίσ ση.2 μετασ ηματίζεται σε ϕ N = U N p S p p V p N q N (.4) επομέν ς, η πο υπ οκότητα της πράξης ίνεται O(Np + pp + pn) = O(N), σε αντί εση με την.2 που είναι O(N 2 ). Στό ος του α ορί μου είναι να ορίσει τους πίνακες U,S και V, ώστε το αποτέ εσμα να συ κ ίνει στο πρα ματικό ϕ, μέσ αρι μητικών επεκτάσε ν..2 Υπάρ ουσες Προσε ίσεις Υπάρ ουν πο ές υ οποιήσεις του α όρι μου FMM που ποικί ουν ς προς το είδος τ ν επεκτάσε ν, τις συναρτήσεις πυρήνα που ρησιμοποιούν, τον τρόπο που διαιρούν το ώρο ια να επι ύσουν το πρό ημα και τον τρόπο που ρησιμοποιούν τους δια έσιμους πόρους. Ως προς τη μέ οδο αρι μητικής επέκτασης, πο ές υ οποιήσεις ρησιμοποιούν σφαιρικές αρμονικές ια να προσε ίσουν ύσεις της εξίσ σης Laplace με ά ροισμα τ ν πο υ νύμ ν Legendre. Επίσης, ά ες ρησιμοποιούν Taylor ή Taylor-like επεκτάσεις. Ως προς τις συναρτήσεις πυρήνα, οι πιο κοινές είναι οι Laplace, Gauss, Stokes και Yukawa, η κά ε μία ρησιμοποιείται ια διαφορετικές εφαρμο ές κα ώς ύνουν διαφορετικές εξισώσεις. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι υπάρ ουν προσε ίσεις που ειτουρ ούν ανεξάρτητα της συνάρτησης πυρήνα. Ως προς τον τρόπο που διαιρείται ο ώρος, υπάρ ουν δύο μέ οδοι, ο addaptive και ο fixed. Συ κεκριμένα, το δέντρο που ρησιμοποιείται ια να ίνουν οι υπο ο ισμοί στον α όρι μο, κατά την πρώτη μέ οδο δημιουρ εί νέα παιδιά μόνο όταν ρειάζεται, ενώ κατά τη δεύτερη μέ οδο δημιουρ είται πριν τους υπο ο ισμούς και φτάνει σε προκα ορισμένο ά ος. Τέ ος, ς προς τον

13 .3. Στόχοι της Εργασίας 3 τρόπο που ρησιμοποιούν τους δια έσιμους πόρους, ό οι οι state of the art α όρι μοι ρησιμοποιούν ό ους τους πυρήνες του συστήματος με ρήση OpenMp,MPI,Cilk κα ώς επίσης, ρησιμοποιούν τη GPU με ρήση CUDA ια περαιτέρ επιτά υνση. Ένας από τους ρη ορότερους κώδικες ια FMM είναι ο ExaFMM [5] που δημιουρ ή ηκε από τον Rio Yokota και ύνει προ ήματα στο τρισδιάστατο ώρο, δίνοντας έμφαση στην απόδοση. Χρησιμοποιεί την GPU ια να επιτα ύνει τους υπο ο ισμούς και ρησιμοποιεί την adaptive ο ική ια τη δημιουρ ία τ ν δέντρ ν [6, 7, 8]. Ένα ά ο παρόμοιο ο ισμικό είναι το ScalFMM ραμμένο σε C [9]. Περιέ ει δύο με όδους επί υσης, μία με σφαιρικές αρμονικές και μία ανεξάρτητη πυρήνα ασισμένη σε παρεμ ο ή Chebyshev και Lagrange. Λειτουρ εί σε παρά η α και διανεμημένα συστήματα ρησιμοποιώντας OpenMp και MPI [0]. Τέ ος, μία ακόμα υ οποίηση του α ορί μου είναι αυτή τ ν Ying, Biros και Zorin με όνομα KIFMM3D, η οποία είναι ανεξάρτητη πυρήνα, ρησιμοποιεί FFT ια να επιτα ύνει τους υπο ο ισμούς και ειτουρ εί σ στά ια διάφορες συναρτήσεις πυρήνα όπ ς, Laplacian, modified Laplacian, Stokes και Navier-Stokes [, 2]..3 Στό οι της Ερ ασίας Στα π αίσια αυτής της ερ ασίας επι ειρούμε να δημιουρ ήσουμε έναν kernel indipendent FMM solver. Δη αδή, ένα ο ισμικό το οποίο ακο ου εί τον α όρι μο Fast Multipole Method και είναι ανεξάρτητο της συνάρτησης πυρήνα. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να ύνουμε πο ά προ ήματα διαφορετικής φύσης, σε αντί εση με τους kernel dependent FMM solvers που μπορούν να ύσουν προ ήματα μίας και μόνο συνάρτησης. Προσπα ούμε να ρησιμοποιήσουμε παραπάν από μία αρι μητικές επεκτάσεις και τρόπους δει ματο ηψίας ια να πετύ ουμε σ στά αποτε έσματα, κα ώς και να διατηρήσουμε τη δομή του κώδικα σε τέτοια μορφή που να μπορούν στο μέ ον να προστε ούν νέοι τρόποι υπο ο ισμού εύκο α και ανεξάρτητα. Σε δεύτερη φάση επι ειρούμε να παρα η οποιήσουμε τον α όρι μο ώστε να εκμετα ευτούμε ό ους τους πυρήνες του συστήματος στον οποίο εκτε είται. Σημαντικό είναι ο τρόπος της παρα η οποίησης να μην εξαρτάται από τον τρόπο της επί υσης του προ ήματος, α ά από τον τρόπο που εκτε είται ο α όρι μος, ώστε με ευκο ία να προσαρμόζεται σε κά ε επέκταση και δει ματο ηψία που ρησιμοποιείται. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι στό ος δεν αποτε εί αυτός ο solver να συ κρι εί σε απόδοση με ά ους που ρίσκονται στην ι ιο ραφία, ά α να ορίσουμε τους τρόπους με τους οποίους α μπορούσαμε να ρησιμοποιήσουμε ό η την ισ ύ του επεξερ αστή ρίς να υστερούμε σε ορ ότητα. Ο κώδικας έ ει ραφτεί σε ώσσα MATLAB ια να εκμετα ευτούμε τις υψη ού επιπέδου συναρτήσεις του. Με αυτό τον τρόπο εστιάσαμε στο α ορι μικό κομμάτι, ρίς να ανα ούμε σε προ ήματα κατανομής μνήμης και ρίς ιδιαίτερο κόπο δοκιμάσαμε αρκετές προσε ίσεις.χρησιμοποιώντας τον Profiler ανα ύσαμε την απόδοση κά ε συνάρτησης ξε ριστά, εντοπίσαμε τα σημεία όπου ο α όρι μος κα υστερούσε και τα διορ ώσαμε. Η παρά η η έκδοση του α ορί μου ρησιμοποιεί την Cilk της Intel και ράφτηκε σε ώσσα C μέσα σε MEX file, ώστε να κα είται κατευ είαν από MATLAB..4 Δομή της Ερ ασίας Στο Κεφάλαιο 2 περι ράφουμε τις δύο με όδους αρι μητικής επέκτασης που ρησιμοποιούμε και περι ράφουμε τον τρόπο με τον οποίο πετυ αίνουμε ανεξαρτησία πυρήνα. Ανα ύουμε τις πράξεις που πρέπει να ίνουν ια να πετύ ουμε σύ κ ιση και παρουσιάζουμε το κέρδος σε πο υπ οκότητα. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε τον α όρι μο Fast Multipole Method και τους τε εστές που ρησιμοποιεί. Αρ ικά, περι ράφουμε τη διαδικασία διαίρεσης του ώρου σε δύο και τρεις διαστάσεις. Έπειτα,

14 4 Κεφάλαιο. Εισαγωγή παρουσιάζουμε τον τρόπο που κινούμαστε στα δέντρα και κα ούμε τους κατά η ους τε εστές. Τέ ος, παρουσιάζουμε κά ε τε εστή ξε ριστά και ανα ύουμε την ειτουρ ία του. Στο Κεφάλαιο 4 δίνουμε μα ηματική μορφή στους τε εστές του α ορί μου ια κά ε επέκταση. Παρουσιάζουμε τον τρόπο που προκύπτουν και τον τρόπο που πρέπει να ρησιμοποιη ούν από τον α όρι μο. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζουμε με όδους που ρησιμοποιούμε ια να επιτα ύνουμε τον α όρι μο. Βασιζόμαστε στις ιδιότητες τ ν τε εστών και αποφεύ ουμε περιττές πράξεις ρησιμοποιώντας ήδη υπο ο- ισμένους πίνακες. Επίσης, ανα ύουμε την παρα η οποίηση του α ορί μου με έμφαση στον ισομερή διαμοιρασμό φόρτου στους πυρήνες και στην απουσία κ ειδαριών (locks) από τον κώδικα. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζουμε τα αποτε έσματα τ ν πειραμάτ ν. Σε αυτά επι ειρούμε να ύσουμε με ά α προ ήματα, της τάξης του ενός με δεκαέξι εκατομμυρί ν σημεί ν, ια δισδιάστατα και τρισδιάστατα προ ήματα. Ως είσοδο ρησιμοποιούμε δύο με όδους, την ομοιόμορφη κατανομή σε κύ ο και τυ αία κατανομή στην επιφάνεια / 8 σφαίρας. Στα ραφήματα συ κρίνουμε τους ρόνους εκτέ εσης ια το σειριακό και τον παρά η ο κώδικα. Επίσης, συ κρίνουμε την τα ύτητα τ ν δύο επεκτάσε ν ια τις διάφορες συναρτήσεις πυρήνα και ια τα δύο είδη εισόδου. Στο Κεφάλαιο 7 επιδεικνύουμε τη ρήση του α ορί μου σε τρεις εφαρμο ές. Δημιουρ ούμε τρεις διατάξεις με φορτισμένες ρά δους στο ώρο και ρησιμοποιώντας το ο ισμικό μας αναπαριστούμε τις ισοδυναμικές επιφάνειες.

15 Κεφά αιο 2 Αρι μητικές Επεκτάσεις Σε αυτό το κεφά αιο α παρουσιάσουμε τις δύο επεκτάσεις που ρησιμοποιήσαμε ια να προσε ίσουμε τις συναρτήσεις πυρήνα. Η πρώτη είναι η επέκταση Taylor και η ά η ασίζεται στα [2, 3] και α αναφερόμαστε σε αυτήν ς YBZ. Στο τέ ος του κεφα αίου περι ράφουμε τις ιδιότητες τ ν παραπάν επεκτάσε ν που δίνουν τη δυνατότητα στον α όρι μο να ειτουρ εί ανεξάρτητα της συνάρτησης πυρήνα. 2. Επέκταση Taylor Έστ ότι έ ουμε στο μονοδιάστατο ώρο δύο σύνο α σημεί ν s R και t R κα ά δια ρισμένα και συνάρτηση K(x, y) : R R. Αρ ικά έ ουμε να προσε ίσουμε την τιμή της K(x, y) με επέκταση Taylor και με κέντρο επέκτασης σημείο c s R το κέντρο του συνό ου s. Σύμφ να με τον τύπο της μονοδιάστατης επέκτασης έ ουμε K(x, y) = p k=0 k k! x k K(c s, y)(x c s ) k (2.) οπότε α προκύψουν p όροι που α περιέ ουν o κα ένας από μία συνάρτηση k x k K(c s, y) που εξαρτάται μόνο από την τιμή του y. Έπειτα, αν έ ουμε να προσε ίσουμε την συνάρτηση που περιέ εται σε κά ε όρο, α πρέπει να κάνουμε επέκταση Taylor ια κά ε μία από αυτές με κέντρο επέκτασης c t R. Οπότε α προκύψει k x k K(c l k+l s, y) = l! x k y l K(c s, c t )(y c t ) l, k = 0,.., p (2.2) l=0 επόμέν ς ια κά ε ένα από τους p όρους που προέκυψαν από την πρώτη επέκταση, προέκυψαν ά οι p όροι. Επειδή και οι δύο επεκτάσεις έ ιναν με κέντρο σημείο κοντά στo s και t, η K(s, t) α συ κ ίνει και όσο με α ύτερο p δια έξουμε τόσο α μειώνεται το σφά μα. Ο υπο ο ισμός του K(s, t) μπορεί να ραφεί σε μορφή πινάκ ν όπ ς δεί νει η ! (t c t) 0! (t c t). (p )! (t c t) p T 0 K(c s 0 t 0 s, c t ) K(c s t 0 s, c t ) p K(c s p t 0 s, c t ) K(c s 0 t s, c t ) 2 K(c s t s, c t ) p K(c s p t s, c t ) p s 0 t p K(c s, c t ) p K(c s t p s, c t ) 2p 2 K(c s p t p s, c t ) 5 0! (s c s) 0! (s c s). (p )! (s c s) p (2.3)

16 6 Κεφάλαιο 2. Αριθμητικές Επεκτάσεις Παρατηρούμε ότι ο μεσαίος πίνακας εξαρτάται μόνο από τα κέντρα τ ν επεκτάσε ν, επομέν ς μπορούμε να προσ έσουμε σημεία κοντά στο c s απ ά προσ έτοντας στή ες στον δεξί πίνακα με τις δυνάμεις της διαφοράς του σημείου από το κέντρο. Με αντίστοι ο τρόπο μπορούμε να προσ έσουμε σημεία κοντά στο κέντρο c t απ ά προσ έτοντας ραμμές στον αριστερό πίνακα με τις δυνάμεις της διαφοράς του σημείου από το κέντρο. Το αποτέ εσμα του πο απ ασιασμού είναι ο αριστερός πίνακας της.2 με συνάρτηση πυρήνα την συνάρτηση K. 2.. Δισδιάστατη Επέκταση Taylor Η ο ική με την οποία ρησιμοποιούμε την επέκταση Taylor παραμένει η ίδια ανεξάρτητα της διάστασης του προ ήματος. Αρ ικά προσε ίζουμε τη συνάρτηση πυρήνα ς προς τις πη ές με το ά ροισμα που ορίζει ο τύπος. Σε δεύτερη φάση προσε ίζουμε τον κά ε όρο του προη ούμενου α ροίσματος με ένα νέο ά ροισμα αυτή τη φορά ς προς τα σημεία υπο ο ισμού. Το ζητούμενο είναι να οριστούν οι πίνακες έτσι ώστε με τους πο απ ασιασμούς να προκύπτει ο τύπος Taylor. Ο τύπος της δισδιάστατης επέκτασης Taylor είναι όπου s, t R 2. K(s, t) = p k=0 Επομέν ς από τον παραπάν τύπο έ ουμε [ k(cs, t) (s x c sx ) + k(c s, t) ] k (s y c sy ) (2.4) k! s x s y k = 0 : K(c s, t) (2.5) k = : k(c s, t) s x (s x c sx ) + k(c s, t) s y (s y c sy ) (2.6) κοκ. k = 2 : [ 2 k(c s, t) (s x c sx ) k(c s, t) (s x c sx )(s y c sy ) + 2 k(c s, t) (s y c sy ) 2] (2.7) 2! s x s y s 2 x Όπ ς φαίνεται η συνάρτηση πυρήνα παρα ίζεται κατά x και κατά y, επομέν ς μπορούμε να ορίσουμε ένα πίνακα στον οποίο κατά στή ες να παρα ίζουμε κατά y, ενώ κατά ραμμές να παρα ίζουμε κατά x. s 2 y T = 0 K s 0 x s0 y (c s, t) K s 0 x s y K (c s x s 0 s, t) 2 K y s x s y p K s p x s 0 y (c s, t) p K s 0 x s p y (c s, t) p K s x sp y (c s, t) p K (c s, t) 2p K s p x s y sx p sy p (c s, t) (c s, t) (c s, t) (2.8) Είναι εύκο ο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι ια συ κεκριμένο k του α ροίσματος ρίσκονται στην k αντιδια ώνιο του παραπάν πίνακα. Βέ αια, έ ουμε α νοήσει τους συντε εστές που προκύπτουν από τα παρα οντικά και ό του αναπτύ ματος της δύναμης του k. Οι όροι τ ν παρα οντικών είναι προφανές ότι προκύπτουν από τον πίνακα 2.9. Επίσης, ια να προκύψουν οι συντε εστές του αναπτύ ματος πρέπει να ρησιμοποιήσουμε το τρί νο του Pascal (πιν.2.αʹ), το οποίο μας δίνει τους συντε εστές ια το ανάπτυ μα δύο όρ ν υψ μέν ν σε μη μηδενική δύναμη.

17 2.. Επέκταση Taylor (αʹ) Τρί νο Pascal ( ʹ) Τρί νο Pascal MATLAB 0!!. (p )!! (p )! 2! p!..... p! (2p)! (2.9) Τε ικώς, οι ακρι είς όροι του πίνακα στην 2.8 μπορούν να προκύψουν με πο απ ασιασμό Hadamard με τους κατά η ους πίνακες. Α ά, όπ ς α δούμε σε επόμενο κεφά αιο, μπορούμε να παρα ήψουμε αυτούς τους όρους κα ώς δεν μας επηρεάζουν στον τρόπο με τον οποίο ρησιμοποιούμε την επέκταση. Τώρα αν μετασ ηματίσουμε τον πίνακα Τ (πιν.2.8) σε μία ραμμή, τοπο ετώντας τα στοι εία του πίνακα κατά στή ες, προκύπτει ένας καινούριος πίνακας στον οποίο ανά ένα στοι είο αυξάνεται η παρά ος κατά x και ανά p στοι εία αυξάνεται η παρά ος κατά y. Επομέν ς, ια να ίνουν σ στά οι πράξεις που ορίζει ο τύπος τηε εξίσ σης 2.4 ια τους πρώτους p όρους, α πρέπει να πο απ ασιάσουμε τον πίνακα Τ με αυξανόμενες δυνάμεις του s x c sx. Για τους επόμενους p όρους α πρέπει να πο απ ασιάσουμε πά ι με αυξανόμενες δυνάμεις του s x c sx, α ά αυτή τη φορά πο απ ασιασμένες με το s y s cy. Συνεπώς, ια να ίνουν σ στά ό οι οι πο απ ασιασμοί α πρέπει να πο απ ασιάσουμε τον πίνακα Τ με το αποτέ εσμα της πράξης V sy V sx, όπου V sx και V sy είναι πίνακες Vandermode τ ν διαφορών από το κέντρο ια κά ε διάσταση και συμ ο ίζει την πράξη Kronecker. (s y c sy ) 0 (s y c sy ). (s y c sy ) p (s x c sx ) 0 (s x c sx ). (s x c sx ) p = (s y c sy ) 0 (s x c sx ) 0 (s y c sy ) 0 (s x c sx ). (s y c sy ) (s x c sx ) 0 (s y c sy ) (s x c sx ). (s y c sy ) p (s x c sx ) p (2.0) Όπ ς κάναμε και στην περίπτ ση της μίας διάστασης, α πρέπει να κάνουμε και δεύτερη επέκταση Taylor, ς προς τα σημεία υπο ο ισμού t αυτή τη φορά. Κά ε όρος του T α ανα υ εί σε p 2 όρους που ο κα ένας α εξαρτάται μόνο από τα κέντρα τ ν επεκτάσε ν. Επομέν ς ο τε ικός πίνακας T α είναι T = 0 K(c s,c t) s 0 x s 0 y t 0 x t 0 y K(c s,c t ) s 0 x s 0 y t x t 0 y. K(c s,c t) s 0 x s 0 y t 0 x t y 2 K(c s,c t ) s 0 x s 0 y t x t y. 2p 2 K(c s,c t) s 0 x s 0 y t p x t p y K(c s,c t) s x s 0 y t 0 x t 0 y 2 K(c s,c t ) s x s 0 y t x t 0 y. 2 K(c s,c t) s x s 0 y t 0 x t y 3 K(c s,c t ) s x s 0 y t x t y. 2p K(c s,c t) s x s 0 y t p x t p y K(c s,c t) s 0 x s y t 0 x t 0 y 2 K(c s,c t ) s 0 x s y t x t 0 y K(c s,c t) s 0 x s y t 0 x t y 3 K(c s,c t ) s 0 x s y t x t y.... 2p K(c s,c t) s 0 x s y t p x t p y 2p 2 K(c s,c t) s p x sy p t 0 x t 0 y 2p K(c s,c t ) s p x sy p t x t 0 y. 2p K(c s,c t) s p x sy p t 0 x t y 2p K(c s,c t ) s p x sy p t x t y. 4p 4 K(c s,c t) sx p s p y t p x ty p (2.)

18 8 Κεφάλαιο 2. Αριθμητικές Επεκτάσεις Τέ ος, ια να προκύψουν σ στά οι πο απ ασιασμοί από την δεύτερη επέκταση, α πρέπει να υπο ο ίσουμε την πράξη Kronecker ια τα σημεία υπο ο ισμού, παρόμοια με την εξίσ ση 2.0, α ά ανάστροφα. Ομοί ς με την περίπτ ση της μίας διάστασης, μπορούμε να προσ έσουμε φορτία και σημεία υπο ο ισμού κοντά στα κέντρα τ ν επεκτάσε ν, προσ έτοντας στους πίνακες Vandermode στή ες και ραμμές αντίστοι α. Ο πίνακας Vandermode ια N φορτία προκύπτει (s y c sy ) 0 (s x c sx ) 0 (s 2y c sy ) 0 (s 2x c sx ) 0 (s Ny c sy ) 0 (s Nx c sx ) 0 (s y c sy ) 0 (s x c sx ) (s y c sy ) 0 (s 2x c sx ) (s Ny c sy ) 0 (s Nx c sx ) V s = (s y c sy ) (s x c sx ) 0 (s 2y c sy ) (s 2x c sx ) 0 (s Ny c sy ) (s Nx c sx ) 0 (s y c sy ) (s x c sx ) (s 2y c sy ) (s 2x c sx ) (s Ny c sy ) (s Nx c sx ) (s y c sy ) p (s x c sx ) p (s 2y c sy ) p (s 2x c sx ) p (s Ny c sy ) p (s Nx c sx ) p (2.2) 2..2 Τρισδιάστατη Επέκταση Taylor Ο τύπος της επέκτασης Taylor ια τρεις διαστάσεις μοιάζει με αυτόν τ ν δύο (εξ.2.4), με τη διαφορά ότι περιέ ει τρεις όρους μέσα στις α κύ ες, μία ια κά ε διάσταση. Συνεπώς, και οι πίνακες Vandermode α πρέπει να περιέ ουν τις διαφορές και τ ν τριών διαστάσε ν. Συ κεκριμένα, α πρέπει να εκτε εστεί η πράξη V sz (V sy V sx ). Επίσης, οι συντε εστές ό του αναπτύ ματος δεν προκύπτουν από το τρί νο του Pascal α ά από την πυραμίδα Pascal. Όμ ς, όπ ς α δούμε παρακάτ, μπορούμε να α νοήσουμε τόσο τους συντε εστές του αναπτύ ματος, όσο και τους συντε εστές τ ν παρα οντικών. Παρακάτ παρουσιάζουμε ένα πίνακα με τις διαστάσεις κά ε πίνακα που απαιτείται ια την επέκταση, ια κά ε διάσταση. V t M V s D M p p p p N 2D M p 2 p 2 p 2 p 2 N 3D M p 3 p 3 p 3 p 3 N Πίνακας 2.2: Διαστάσεις Πινάκ ν επέκτασης Taylor 2.2 Επέκταση Ying Biros Zorin Θε ρούμε αρ ικά ένα δισδιάστατο ώρο που περιέ ει ένα σύνο ο από πη ές και ένα σύνο ο από σημεία υπο ο ισμού, το κα ένα από τα οποία περικ είεται από ένα τετρά νο. Συμ ο ίζουμε ς s i τις πη ές που ανήκουν στο τετρά νο B s και ϕ i το φορτίο της κά ε πη ής. Επίσης συμ ο ίζουμε ς t j τα σημεία υπο ο ισμού που ανήκουν στο τετρά νο B t. Τα δύο τετρά να ε ρούμε ότι ρίσκονται επαρκώς μακρυά το ένα από το ά ο. Δημιουρ ούμε ένα κύκ ο από φορτία που ονομάζουμε ισοδύναμη επιφάνεια και συμ ο ίζουμε s B,u. Στό ος μας είναι να ρούμε τα φορτία τ ν πη ών που ανήκουν στο s B,u, έτσι ώστε το δυναμικό που δημιουρ ούν να είναι ίσο με αυτό που δημιουρ ούν τα φορτία που ρίσκονται μέσα στο B s. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε ένα με ά ο π ή ος πη ών να το ειριζόμαστε ισοδύναμα ς ένα μικρότερο π ή ος, ομοιόμορφα κατανεμημένο πάν στον κύκ ο s B,u. Από τη ε ρία προκύπτουν δύο περιορισμοί ς προς την έση τ ν ισοδύναμ ν φορτί ν:

19 2.2. Επέκταση Ying Biros Zorin 9 ια να ε υη ούμε την ομα ότητα του δυναμικού που δημιουρ ούν, ο κύκ ος δεν πρέπει εκτείνεται ς την περιο ή που έ ουμε να υπο ο ίσουμε τα δυναμικά, δη αδή α πρέπει να ρίσκεται στην περιο ή κοντινών ειτόν ν. ια να ε υη ούμε ότι υπάρ ει κατανομή ια τις πη ές του s B,u που να δημιουρ εί ισοδύναμο δυναμικό με τα s i, α πρέπει ο κύκ ος να περικ είει ό ες τις πη ές του B s. Για την εύρεση της ισοδύναμης κατανομής, ασιζόμαστε στη ύση του Exterior Dirichlet problem. Συ κεκριμένα, τα δυναμικά που δημιουρ ούν οι δύο κατανομές είναι ισοδύναμα σε περιο ές εκτός κοντινών ειτόν ν αν είναι ισοδύναμα στο όριο της περιο ής τ ν μακρινών ειτόν ν ή σε οποιαδήποτε περιο ή εντός αυτού του ορίου. Μία τέτοια ενδιάμεση περιο ή α ονομάσουμε επιφάνεια ε έ ου και α συμ ο ίζουμε με t B,u. Η ύση που α προκύψει είναι εξ ορισμού μοναδική. Επομέν ς, ια τον υπο ο ισμό της ισοδύναμης κατανομής:. υπο ο ίζουμε το δυναμικό q B,u που δημιουρ ούν τα φορτία s i στα σημεία που ρίσκονται στην επιφάνεια ε έ ου t B,u, δη αδή πάν στον μπ ε κύκ ο του σ ήματος ύνουμε το σύστημα εξισώσε ν i s B,u K(s i, t)ϕ i = q B,u, t t B,u. Upward YBZ expansion sources equivalent surface check surface Σ ήμα 2.: Υπο ο ισμός ισοδύναμης κατανομής ια πη ές εντός κουτιού. Σε δεύτερη φάση επι ειρούμε να υπο ο ίσουμε το δυναμικό στα σημεία υπο ο ισμού που ρίσκονται εντός του B t. Θε ρώντας ότι τα φορτία ρίσκονται μακρυά από τα σημεία υπο ο ισμού, ορίζουμε την επιφάνεια ε έ ου t B,d να περικ είει τα σημεία υπο ο ισμού α ά να μην εκτείνεται πέραν τ ν μακρινών ειτόν ν και την επιφάνεια ισοδύναμ ν πη ών να περικ είει την προη ούμενη επιφάνεια. Θα επι ειρήσουμε να ρούμε τα φορτία τ ν ισοδύναμ ν πη ών ώστε το δυναμικό από τα μακρινά φορτία να είναι ίσο με αυτό τ ν πη ών της ισοδύναμης επιφάνειας. Οπότε, ια τον υπο ο ισμό τ ν ισοδύναμ ν φορτί ν q B,d α πρέπει:. να υπο ο ίσουμε το δυναμικό που δημιουρ ούν τα μακρινά φορτία στην επιφάνεια t B,d 2. να ρούμε τη ύση της i s B,d K(s i, t)ϕ i = q B,d, t t B,d.

20 0 Κεφάλαιο 2. Αριθμητικές Επεκτάσεις targets check surface equivalent surface Downward YBZ expansion Σ ήμα 2.2: Υπο ο ισμός ισοδύναμης κατανομής ια πη ές που ρίσκονται στη περιο ή μακρινών ειτόν ν. Συνεπώς, ια να υπο ο ίσουμε το δυναμικό μέσ της συνάρτησης πυρήνα K ια Ν πη ές και Ν σημεία υπο ο ισμού, α πρέπει πρώτα να υπο ο ίσουμε στην ισοδύναμη επιφάνεια s B,u την κατανομή τ ν φορτί ν q B,u, έπειτα ρησιμοποιώντας την δεύτερη επέκταση να υπο ο ίσουμε την την κατανομή τ ν φορτί ν q B,d στην ισοδύναμη επιφάνεια s B,d. Στο τέ ος α πρέπει με ευ ύ τρόπο να υπο ο ίσουμε το δυναμικό στα σημεία υπο ο ισμού ρησιμοποιώντας την ισοδύναμη επιφάνεια που περικ είει τα σημεία υπο ο ισμού. YBZ expansion equivalent source surface check surface equivalent surface Σ ήμα 2.3: προσ εσε περι ραφή Στη περίπτ ση τ ν τριών διαστάσε ν αντί ια κύκ ο μπορεί να ρησιμοποιη εί κύ ος ή σφαίρα ια τις ισοδύναμες επιφάνειες και τις επιφάνειες ε έ ου. Βέ αια, ια ό ους σύ κ ισης αυτές οι επιφάνειες πρέπει να αποτε ούνται από κανονικά σημεία. Αυτό στην περίπτ ση του κύ ου είναι εύκο ο να επιτευ εί, όμ ς στην περίπτ ση της σφαίρας μόνο προσε ίσεις μπορούν να υ οποιη ούν. Για αυτό το ο ο στην υ οποίησή μας ρησιμοποιήσαμε μόνο τον κύ ο σαν ισοδύναμη επιφάνεια.

21 2.3. Ανεξαρτησία συνάρτησης πυρήνα 2.3 Ανεξαρτησία συνάρτησης πυρήνα Παραπάν ανα ύσαμε τις επεκτάσεις που ρησιμοποιούμε και τους δώσαμε μα ηματική μορφή. Σε αυτή την υποενότητα α παρουσιάσουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να τις ρησιμοποιήσουμε ια κά ε συνάρτηση πυρήνα, α ά α τονίσουμε επίσης και τους περιορισμούς που μας επι ά ει αυτή η προσέ ιση Ανεξαρτησία συνάρτησης στην επέκταση Taylor Όπ ς αναφέραμε η επέκταση σε μορφή πινάκ ν υ οποιείται από τον πο απ ασιασμό τριών πινάκ ν. Η συνάρτηση πυρήνα εμφανίζεται μόνο στον κεντρικό πίνακα όπ ς φαίνεται στην εξίσ ση 2.8. Μία κ ασσική προσέ ιση είναι να υπο ο ίζεται ο πίνακας ια μία συ κεκριμένη συνάρτηση, συνεπώς ο α όρι μος να ειτουρ εί μόνο ια αυτήν. Όμ ς, κά ε τιμή του πίνακα εξαρτάται μόνο από τα κέντρα τ ν αποστάσε ν, επομέν ς μπορούμε ύνοντας ένα πρό ημα μικρότερης τάξης και ίδιας ε μετρίας, να υπο ο ίσουμε τις τιμές αυτού του πίνακα και να τις ρησιμοποιήσουμε ια ένα με α ύτερο πρό ημα. Έστ ότι έ ουμε να υπο ο ίσουμε τη συνάρτηση πυρήνα ια Ν σημεία υπο ο ισμού που ρίσκονται μέσα στο τετρά νο B t και Ν πη ές που ρίσκονται στο τετρά νο B s, με τα δύο τετρά να να ρίσκονται επαρκώς μακρυά το ένα από το ά ο. Επι ειρούμε να ύσουμε ένα μικρότερο πρό ημα δια έ οντας p σημεία σε κα ένα από τα παραπάν τετρά να. Δημιουρ ούμε τους πίνακες Vandermode ια τις p πη ές και τα p σημεία υπο ο ισμού και ρίς με ά ο υπο ο ιστικό κόστος, με ευ ύ τρόπο υπο ο ίζουμε τις τιμές της συνάρτησης. Όμ ς, το αποτέ εσμα από την επέκταση α πρέπει να είναι σ εδόν ίδιο με αυτό που προκύπτει από τον ευ ύ υπο ο ισμό, άρα σε αυτή την εξίσ ση παραμένει μόνο ένας ά ν στος, ο μεσαίος πίνακας. Αφού τον υπο ο ίσουμε, μπορούμε να τον ρησιμοποιήσουμε ια το αρ ικό μας πρό ημα. Μετά από πειράματα, παρατηρήσαμε ότι ο τρόπος που δια έ ουμε αυτά τα σημεία, επηρεάζει την ακρί εια της ύσης. Για την περίπτ ση τ ν δύο διαστάσε ν έ ουμε κατα ήξει σε δύο κατανομές, την τυ αία ομοιόμορφη και την κατανομή κανονικού π έ ματος. Η πρώτη τοπο ετεί σημεία στο τετρά νο τυ αία, ενώ η δεύτερη σε π έ μα με ισαπέ οντα σημεία και στις δύο διαστάσεις. Στην περίπτ ση τ ν τριών διαστάσε ν ρησιμοποιούμε τρεις κατανομές, την τυ αία ομοιόμορφη, την κατανομή κανονικού π έ ματος στον ό κο και την κατανομή κανονικού π έ ματος στην επιφάνεια του κύ ου. Random grid 2d Normal grid 2d Normal grid 3d Normal surface grid 3d Σ ήμα 2.4: Κατανομές σημεί ν ια τον υπο ο ισμό του μεσαίου πίνακα.

22 2 Κεφάλαιο 2. Αριθμητικές Επεκτάσεις Βέ αια, με τον τρόπο που εξασφα ίζουμε την ανεξαρτησία της συνάρτησης, δη αδή ύνοντας ένα μικρό πρό ημα, εισά ουμε ένα περιορισμό στον α όρι μο. Π έον δεν α αξίζει υπο ο ιστικά να ίνεται η παραπάν διαδικασία εάν το πρό ημα που έ ουμε να ύσουμε δεν είναι αρκετά με α ύτερο. Όπ ς α δούμε παρακάτ μπορούμε να εξασφα ίσουμε ότι ικανοποιείται αυτός ο περιορισμός κατά την δημιουρ ία τ ν δέντρ ν, στην αρ ή του α ορί μου Ανεξαρτησία συνάρτησης στην επέκταση Ying Biros Zorin Η δεύτερη επέκταση, επειδή ρησιμοποιεί συνε ώς την συνάρτηση πυρήνα ια να υπο ο ίσει τις ισοδύναμες κατανομές και τα δυναμικά, είναι εξ ορισμού ανεξάρτητη πυρήνα. Όμ ς, όπ ς είπαμε και στο συ κεκριμένο κεφά αιο, επειδή ασίζεται στο ε ονός ότι η ισοδύναμη κατανομή προκύπτει από το πρό- ημα Dirichlet, εισά ει τον περιορισμό η συνάρτηση να είναι αρμονική κα ώς ο ακρι ής ορισμός του προ ήματος Dirichlet είναι Ορισμός 3 Πρόβλημα Dirichlet Βρες συνάρτηση u τέτοια ώστε να είναι αρμονική στο χωρίο D, συνεχής στο D, και να ικανοποιεί τη συνθήκη όπου η f είναι δοσμένη συνεχής συνάρτηση και D το όριο του χωρίου D. u = f, στο D (2.3) Μία συνάρτηση u είναι αρμονική, εάν αποτε εί ύση της εξίσ σης Laplace, δη αδη 2 u x u y u z 2 = 0.

23 Κεφά αιο 3 Α όρι μος Fast Multipole Method Στο προη ούμενο κεφά αιο αναπτύξαμε τα μα ηματικά ερ α εία που μας οη ούν να μειώσουμε την πο υπ οκότητα του υπο ο ισμού τ ν μακρινών δυνάμε ν. Στό ος του α ορί μου δεν είναι ά ος από το να ρησιμοποιήσουμε αυτά τα ερ α εία με τέτοιο τρόπο που να επιτα ύνει το σύνο ο τ ν υπο ο ισμών. Σε αυτό το κεφά αιο α παρουσιάσουμε τα ήματα του α ορί μου και α ανα ύσουμε τον κά ε τε εστή που ρησιμοποιείται. Θα αποφύ ουμε να ορίσουμε τη μα ηματική μορφή τ ν τε εστών, αντι έτ ς α επι ειρήσουμε να κατανοήσουμε διαισ ητικά την ειτουρ ία τους, αφήνοντας τον ορισμό τους σε επόμενο κεφά αιο. 3. Δημιουρ ία Δέντρ ν Όπ ς σε κά ε α όρι μο, έτσι και στον FMM η πρώτη διερ ασία που πρέπει να υ οποιη εί είναι η επεξερ ασία της εισόδου. Στον α όρι μό μας η είσοδος αποτε είται από δύο σύνο α σημεί ν, τις πη ές και τα σημεία υπο ο ισμού, το διάνυσμα τ ν φορτί ν ια κά ε πη ή, τη συνάρτηση πυρήνα που α ρησιμοποιη εί και τις παραμέτρους του α ορί μου, μέ ιστο ύψος δέντρου (level bound), μέ ιστος αρι μός σημεί ν μέσα σε ένα κόμ ο (box limit) και μέ ε ος επέκτασης (p). Όπ ς περι ράψαμε στο προη ούμενο κεφά αιο, μπορούμε να προσε ίσουμε το αποτέ εσμα με επεκτάσεις, πράξη η οποία μειώνει την πο υπ οκότητα, α ά μπορούμε επίσης να το υπο ο ίσουμε και με ευ ύ τρόπο, ο οποίος είναι ακρι είς α ά και ρονο όρος ια με ά ο π ή ος σημεί ν. Μία ακόμη παράμετρος που πρέπει να ηφ εί υπ όψιν είναι ότι η ακρί εια της επέκτασης εξαρτάται τόσο από την απόσταση τ ν δύο κέντρ ν επέκτασης όσο και από την απόσταση τ ν σημεί ν από το κά ε κέντρο επέκτασής τους. Δη- αδή, ρησιμοποιώντας κατευ είαν μία επέκταση στα σημεία εισόδου α μας έδινε ένα αποτέ εσμα πο ύ μακρυά από το πρα ματικό κα ώς τα κέντρα επέκτασης πη ών α ρίσκονταν σε πο ύ κοντινά σημεία και η διασπορά τ ν σημεί ν ύρ από τα κέντρα α ήταν τεράστια. Η ο ική του α ορί μου είναι να διαιρεί στο ώρο τα σημεία εισόδου ξε ριστά, να ανα ν ρίζει περιο ές του ώρου που να μπορούν να υπο ο ιστούν με επέκταση και να εκτε εί τους υπο ο ισμούς. Σε περίπτ ση που ρει περιο ές που δεν μπορούν να ρησιμοποιήσουν επέκταση α ά ο ευ ύς υπο ο ισμός δεν κοστίζει υπο ο ιστικά, ό του με έ ους τ ν σημεί ν, σταματά την διαίρεση του ώρου. Ανά ο α με τη διάσταση του προ ήματος τα δέντρα είναι quad-tree, δη αδή κά ε κόμ ος δημιουρ εί τέσσερα παιδιά (δισδιάστατα προ ήματα) ή oct-tree δη αδή, κά ε κόμ ος δημιουρ εί οκτώ παιδιά (τρισδιάστατα προ ήματα). Από τις δύο με όδους διαίρεσης του ώρου, fixed και adaptive, επι έξαμε την πρώτη, επομέν ς ξεκινώντας από την κορυφή του δέντρου δημιουρ ούμε τα παιδιά του κά ε κόμ ου. Έπειτα, μοιράζουμε κά ε σημείο του ονέα στο σ στό παιδί και συνε ίζουμε την συ κεκριμένη διερ ασία. Ένας κόμ ος δεν α διαιρε εί περαιτέρ εάν έ ει φτάσει στο μέ ιστο ύψος (level bound) ή εάν τα σημεία που περιέ ει είναι μικρότερα από το όριο (box limit) που δό ηκε ς είσοδος. Η παραπάν διαδικασία ια το δέντρο τ ν πη ών περιέ ει 3

24 4 Κεφάλαιο 3. Αλγόριθμος Fast Multipole Method ένα ακόμη ήμα. Όταν ο κόμ ος είναι φύ ο, δη αδή δεν έ ει παιδιά, κα είται ο τε εστής P2M, ο οποίος συ κεντρώνει την επίδραση ό ν τ ν πη ών του κουτιού στο κέντρο του. Όταν υπο ο ιστούν αυτές ια ό α τα παιδιά ενός κόμ ου, κα είται ο τε εστής Μ2Μ, ο οποίος μεταφέρει τις επιδράσεις κά ε παιδιού στο κέντρο του ονέα και τις α ροίζει. Στο τέ ος αυτής της διαδικασίας α έ ουμε το δέντρο τ ν πη ών με την επίδραση τ ν πη ών α ροισμένη στο κέντρο κά ε κόμ ου και το δέντρο τ ν σημεί ν υπο ο ισμού. 3.2 Α όρι μος Dual Tree Traversal Ο α όρι μος Dual Tree Traversal είναι ο πυρήνας του α ορί μου. Μέσα σε αυτήν εκτε ούμε τους υπο ο ισμούς, μέσ επέκτασης όπου είναι δυνατό και με ευ ύ τρόπο όπου δεν είναι. Δέ εται σαν είσοδο τα δύο δέντρα από τα προη ούμενα ήματα και μπορεί να περι ραφεί ς ένας κυκ ικός ράφος στον οποίο συμμετέ ουν οι κόμ οι τ ν δύο δέντρ ν και οι ακμές που τα ενώνουν [4]. Ο α όρι μος ξεκινά από τις ρίζες και τ ν δύο δέντρ ν και κινείται προς τα κάτ. Όταν οι κόμ οι που με ετάει εκείνη τη στι μή ο α όρι μος είναι κοντινοί είτονες και δεν είναι κανένα από τα δύο φύ ο, τότε προ ράει στα παιδιά τ ν κόμ ν. Αντί ετα, όταν είναι μακρινοί είτονες, κα εί τον τε εστή M2L, ο οποίος μετασ ηματίζει την επίδραση από τον κόμ ο τ ν πη ών σε επίδραση στον κόμ ο τ ν σημεί ν υπο ο ισμού. Σε αυτό το σενάριο έ ουμε κάποιες υποπεριπτώσεις, όταν ο κόμ ος τ ν πη ών είναι φύ ο, ενώ ο κόμ ος τ ν σημεί ν υπο ο ισμού δεν είναι αντί του M2L κα είται ο S2L και όταν συμ αίνει το αντίστροφο, κα είται ο M2T. Τέ ος, αν οι κόμ οι είναι κοντινοί είτονες και έστ ένας είναι φύ ο, τότε κα είται ο τε εστής S2T, ο οποίος υ οποιεί τον ευ ύ υπο ο ισμό. Κά ε κ ήση σε τε εστή αποτε εί ια τον ράφο του FMM μία ξε ριστή ακμή. Ό ες αυτές οι ακμές έ ουν ς αφετηρία κάποιο κόμ ο του δέντρου τ ν πη ών και κατα ή ουν σε κόμ ο τ ν σημεί ν υπο ο ισμού. Επίσης, οι κόμ οι στις άκρες αυτής της ακμής πρέπει να ρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.με το τέ ος αυτού του α ορί μου, έ ουμε μεταφέρει την επίδραση ό ν τον κόμ ν από το δέντρο τ ν πη ών στο δέντρο τ ν σημεί ν υπο ο ισμού. Σ ήμα 3.: Διά ραμμα ροής του Dual Tree Traversal. 3.3 Α όρι μος Locals Αφού ο οκ ηρ εί η πιο πάν διερ ασία έ ουμε ό η την π ηροφορία που ρειαζόμαστε στους κόμ ους του δέντρου τ ν σημεί ν υπο ο ισμού. Το ά ο δέντρο μας είναι π έον ά ρηστο. Στό ος αυτής του α όρι μου Locals είναι να μετασ ηματίσει την επίδραση που ρίσκεται στο κέντρο κά ε κόμ ου σε επίδραση στο κά ε σημείο υπο ο ισμού που ανήκει στον κόμ ο. Ο πιο αποδοτικός τρόπος ια να ίνει αυτό είναι ξεκινήσουμε από την κορυφή του δέντρου και όποτε ο κόμ ος δεν είναι φύ ο, να μοιράζει στα

25 3.4. Υπολογισμός σε ένα επίπεδο 5 παιδιά του την επίδρασή του, ενώ αν είναι φύ ο α πρέπει να μεταφέρει την επίδραση σε κά ε στοι είο του κόμ ου ξε ριστά. Στην πρώτη περίπτ ση πρέπει να κ η εί ο τε εστής L2L, ενώ στη δεύτερη ο L2T. Παρακάτ παρουσιάζονται ραφήματα με το ράφο του α ορί μου ενοποιημένο. Τα παρά η α επίπεδα στο αριστερό μέρος του ράφου περι ράφουν το δέντρο τ ν πη ών. Τα μπ ε στί ματα ορίζουν τις επιδράσεις ή α ιώς multipoles στα κέντρα τ ν κόμ ν. Όπ ς περι ράψαμε και παραπάν, φαίνονται οι ακμές που μεταφέρουν τα multipoles και τα μετασ ηματίζουν σε επίδραση στο δέντρο τ ν σημεί ν υπο ο ισμού ή α ιώς locals. Τέ ος, φαίνεται η ειτουρ ία του α ορί μου Locals που αμ άνει μέρος αποκ ειστικά στο δεξί δέντρο και μεταφέρει τα locals από τους πάν κόμ ους στους κάτ και τε ικά στα ίδια τα σημεία υπο ο ισμού. Στο δεξί ράφημα απεικονίζονται τα ονόματα τ ν τε εστών ανά ο α με το μετασ ηματισμό που πρα ματοποιούν. (αʹ) Γράφος FMM [4]. ( ʹ) Γράφος τε εστών [5]. Σ ήμα 3.2: Γραφική απεικόνιση FMM. 3.4 Υπο ο ισμός σε ένα επίπεδο Έστ ένα κουτί με σημεία φορτίου c. (εικ. 3.3). V είναι ο vandermode πίνακας τ ν φορτί ν, K είναι ο πίνακας της επέκτασης και U είναι ο vandermode πίνακας τ ν σημεί ν υπο ο ισμού. Σ ήμα 3.3: Αρ ική κατάσταση [5]. Με ρήση του τε εστή S2M που δημιουρ ούμε το mulipole m (εικ. 3.4).

26 6 Κεφάλαιο 3. Αλγόριθμος Fast Multipole Method Σ ήμα 3.4: Δημιουρ ία Multipole [5]. Με ρήση του M2L μεταφέρουμε το multipole και το μετασ ηματίζουμε σε local στο δέντρο τ ν σημεί ν υπο ο ισμού (εικ. 3.5). Σ ήμα 3.5: Δημιουρ ία Local [5]. Με ρήση του τε εστή L2T μοιράζουμε την επίδραση του local από το κέντρο του κουτιού στο κά ε σημείο υπο ο ισμού και κατα ή ουμε σε ένα διάνυσμα με το δυναμικό στα σημεία υπο ο ισμού ό τ ν φορτί ν c (εικ. 3.6). Σ ήμα 3.6: Υπο ο ισμός δυναμικού- Χρήση L2T [5].

27 3.5. Αλγόριθμος O(N) Α όρι μος O(N) Ο αρ ικός FMM που παρουσιάστηκε από τους Greengard and Rokhlin μπορεί να κα οριστεί με τα παρακάτ ήματα, όπου B s και B t κόμ οι του δέντρου πη ών και σημεί ν υπο ο ισμού αντίστοι α:. Ορισμός παραμέτρ ν του α ορί μου: τάξη επέκτασης p. μέ ιστο ά ος δέντρου level bound. μέ ιστος αρι μός φορτί ν σε κουτί box limit. 2. κατε αίνουμε τα δέντρα μοιράζοντας τα στοι εία στα κατά η α κουτιά. 3. υπο ο ίζουμε τα multipoles στα φύ α του δέντρου φορτί ν. 4. ανε αίνουμε τα δέντρα και υπο ο ίζουμε τα multipoles τ ν ονέ ν με ρήση του τε εστή M2M. 5. Ε έ ουμε το είδος της α η επίδρασης και ρησιμοποιούμε τον κατά η ο τε εστή: αν το B s είναι μακρινός είτονας και κανένα από τα δύο κουτιά δεν είναι φύ ο, τότε ρησιμοποιώ M2L και απο ηκεύ το local στο B t. αν το B s είναι μακρινός είτονας και το B s δεν είναι φύ ο ενώ το B t είναι, τότε ρησιμοποιώ M2T και απο ηκεύ το αποτέ εσμα κατευ είαν στον πίνακα αποτε εσμάτ ν. αν το B s είναι μακρινός είτονας και το B s είναι φύ ο ενώ το B t δεν είναι, τότε ρησιμοποιώ S2L και απο ηκεύ το local στο B t. αν το B s δεν είναι μακρινός είτονας τότε ρησιμοποιώ τον τε εστή S2T και απο ηκεύ το αποτέ εσμα κατευ είαν στον πίνακα αποτε εσμάτ ν. 6. κατε αίνουμε το δέντρο τ ν σημεί ν υπο ο ισμού μοιράζοντας την επίδραση τ ν local που προέκυψαν από το προη ούμενο ήμα, ρησιμοποιώντας τον τε εστή L2L.

28 8 Κεφάλαιο 3. Αλγόριθμος Fast Multipole Method

29 Κεφά αιο 4 Εφαρμο ή Τε εστών στις επεκτάσεις Στο προη ούμενο κεφά αιο περι ράφουμε την ειτουρ ία που επιτε εί ο κά ε τε εστής, ρίς να ορίσουμε τον τρόπο με τον οποίο α προκύπτει. Κά ε επέκταση έ ει το δικό της τύπο με τον οποίο συ κ ίνει στο αποτέ εσμα, οπότε α πρέπει να ορίσουμε κά ε τε εστή ξε ριστά ια κά ε επέκταση. Ο τρόπος με τον οποίο ρησιμοποιούνται οι τε εστές στον α όρι μο είναι ο ίδιος, επομέν ς το να ρησιμοποιήσουμε την μία ή την ά η επέκταση απαιτεί μόνο να ορίσουμε στον α όρι μο να ρησιμοποιεί τους κατά η ους τε εστές. Παρακάτ ορίζουμε το τρόπο που προκύπτουν οι τε εστές ια κά ε επέκταση. 4. Τε εστές Taylor Ο κυκ ικός ράφος, που υ οποιεί τον α όρι μο FMM, αποτε είται από ακμές που αναπαριστούν είτε την μεταφορά multipoles ή locals από ένα κέντρο σε ένα ά ο, είτε το μετασ ηματισμό ενός multipole σε ένα local. Μέ ρι τώρα έ ουμε ορίσει αυτούς τους δύο όρους διαισ ητικά. Συ κεκριμένα, ένα multipole μπορούμε να το σκεφτούμε ς ένα φορτίο στο κέντρο ενός κόμ ου, το οποίο είναι ισοδύναμο με το σύνο ο τ ν φορτί ν που ρίσκονται εντός κόμ ου. Ενώ, ένα local μπορεί να το σκεφτούμε ς ένα δέκτη επίδρασης στο κέντρο ενός κόμ ου. Για να ορίσουμε τους τε εστές α πρέπει πρώτα να ορίσουμε τους τύπους τ ν multipoles και τ ν locals, και έπειτα να περι ράψουμε τον τρόπο που ίνεται η α α ή κέντρου και ο μετασ ηματισμός. 4.. Particle to Multipole (P2M) Ο τε εστής P2M ρησιμοποιείται σε κά ε φύ ο του δέντρου τ ν πη ών ια να δημιουρ η εί το multipole στο κέντρο του φύ ου. Στη συ κεκριμένη επέκταση τον ρό ο του multipole τον παίζει το αποτέ εσμα της πράξης του πίνακα Vandermode με το διάνυσμα φορτί ν. Θυμίζουμε ότι ια Ν φορτία σε ένα κόμ ο, ο πίνακας Vandermode αποτε είται από N στή ες, μία ια κά ε φορτίο, και p ραμμές. Κά ε στή η αποτε είται από αυξανόμενες δυνάμεις της απόστασης του φορτίου από το κέντρο του κόμ ου. Συνεπώς, με την πράξη του πο απ ασιασμού, δημιουρ είτε ένα διάνυσμα διάστασης p, κά ε ραμμή του οποίου περιέ ει το ά ροισμα τ ν αποστάσε ν υψ μέν ν σε δύναμη και πο απ ασιασμέν ν με το φορτίο. (s c s ) 0 (s 2 c s ) 0 (s N c s ) 0 q (s c s ) (s 2 c s ) (s N c s ) q 2 multipole = (s c s ) p (s 2 c s ) p (s N c s ) p q N (4.) 9

30 20 Κεφάλαιο 4. Εφαρμογή Τελεστών στις επεκτάσεις 4..2 Multipole to Multipole (M2M) Ο τε εστής Μ2Μ εκτε εί τη μεταφορά τ ν multipoles τ ν παιδιών ενός κόμ ου, στο κέντρο του ίδιου του κόμ ου. Στο σ στό αποτέ εσμα α φτάναμε αν εφαρμόζαμε τον P2M στον πάν κόμ ο, όμ ς αυτό α ήταν υπο ο ιστικά δαπανηρό, κα ώς ήδη σε εκείνο το σημείο του α ορί μου α έ ουμε υπο ο ίσει τα multipoles τ ν παιδιών. Συνεπώς, το μόνο που απομένει να κάνουμε είναι υπο ο ίσουμε τέσσερις πίνακες που να μεταφέρουν τα multipoles στο κέντρο του ονέα. Για την εύρεση κα ενός από αυτούς τους πίνακες, τοπο ετούμε ένα αρι μό από σημεία στον αντίστοι ο κόμ ο-παιδί, ρησιμοποιώντας μία από τις ρησιμοποιούμενες κατανομές, και υπο ο ίζουμε το multipole ια το κέντρο του παιδιού και του ονέα. Αφού αναζητούμε έναν πίνακα που να μας μετασ ηματίσει το multipole του παιδιού στο multipole του ονέα, δημιουρ είται μία εξίσ ση με έναν ά ν στο, η ύση του οποίου μας δίνει το κομμάτι του συνο ικού τε εστή M2M που αφορά το συ κεκριμένο παιδί. Οι διαστάσεις του κά ε υποπίνακα εξαρτάται από τη διάσταση του multipole και κατ επέκταση από τη διάσταση του προ ήματος. Σε δισδιάστατο πρό ημα η ο υποπίνακας που α προκύψει είναι p 2 p 2 ενώ στις τρεις διαστάσεις p 3 p 3. Για να ρησιμοποιη εί σ στά ο τε εστής, α πρέπει να εν ούν ό οι οι υποπίνακες σε σειρά κατά στή ες, δημιουρ ώντας ένα τε ικό πίνακα διαστάσε ν p dim numberofchildren p dim και τα multipoles να τοπο ετη ούν σε μία στή η με τη σειρά που εμφανίζονται οι υποπίνακες στον τε εστή. p dim p dim p dim p dim p dim p dim 2 p dim 3 p dim 4 p dim Σ ήμα 4.: Δομή και εφαρμο ή τε εστή M2M σε δισδιάστατο πρό ημα Multipole to Local (M2L) Ο τε εστής M2L είναι υπεύ υνος ια τον μετασ ηματισμό ενός multipole που ρίσκεται στο κέντρο ενός κόμ ου σε ένα local στο κέντρο ενός ά ου κόμ ου. Αυτή τη ειτουρ ία την εκτε εί ο μεσαίος πίνακας που δημιουρ είται μετά τις δύο επεκτάσεις, όπ ς παρουσιάσαμε στο δεύτερο κεφά αιο. Για την εύρεση αυτού του πίνακα ύνουμε ένα ισοδύναμο μικρότερο πρό ημα που εμπ έκει τους ίδιους κόμ ους, με σημεία που ορίζει μία από τις ρησιμοποιούμενες κατανομές. Συ κεκριμένα, δημιουρ ούμε τους πίνακες Vandermode ια τις πη ές και τα σημεία υπο ο ισμού, V s και V t αντίστοι α, κα ώς επίσης και το πίνακα Μ με τον ευ ύ υπο ο ισμό της συνάρτησης πυρήνα ια κά ε συνδυασμό. Επομέν ς, προκύπτει η εξίσ ση V t M2L V s = M με μοναδικό ά ν στο το πίνακα του τε εστή. Η διάσταση αυτού του πίνακα εξαρτάται από την τάξη της επέκτασης p α ά και από τη διάσταση του προ ήματος, και είναι p dim p dim. Για να εφαρμόσουμε τε ικά το μετασ ηματισμό πο απ ασιάζουμε τον τε εστή με το multipole από τα αριστερά.

31 4.. Τελεστές Taylor Local to Local (L2L) Ο τε εστής L2L ρησιμοποιείται από τη υπορουτίνα Locals, κατε αίνοντας το δέντρο τ ν σημεί ν υπο- ο ισμού. Μεταφέρει το local ενός κόμ ου στα κέντρα τ ν παιδιών του μέ ρι να φτάσει στα φύ α του δέντρου. Η διαδικασία εύρεσης του κά ε υποπίνακα του τε εστή είναι παρόμοια με αυτή του M2M, δη αδή ρησιμοποιώντας μία από τις με όδους κατανομής τοπο ετούμε σημεία σε κά ε παιδί και υπο ο ίζουμε τους πίνακες Vandermode ς προς τα δύο κέντρα. Γν ρίζουμε ότι πο απ ασιάζοντας τον ζητούμενο πίνακα με το πίνακα Vandermode του παιδιού α πρέπει να μας δίνει τον πίνακα Vandermode του πατέρα. Συνεπώς, δημιουρ είται μία εξίσ ση με μοναδικό ά ν στο τον υποπίνακα του τε εστή. Οι διαστάσεις του κά ε υποπίνακα εξαρτάται και σε αυτή την περίπτ ση από την τάξη της επέκτασης p α ά και από τη διάσταση του προ ήματος, και είναι p dim p dim. Για να εφαρμόσουμε τον τε εστή, α πρέπει να ενώσουμε τους υποπίνακες σε σειρά κατά ραμμές και να πο απ ασιάσουμε τον τε εστή από αριστερά στο local του πατέρα. Συ κεκριμένα, ο τε εστής α έ ει διαστάσεις numberofchildren p dim p dim, επομέν ς μετά την εφαρμο ή του τε εστή α προκύψει ένα διάνυσμα διάστασης numberofchildren p dim, το οποίο ανά p dim στοι εία μας δίνει το local του αντίστοι ου παιδιού. Προφανώς, η σειρά του αποτε έσματος ορίζεται από τη σειρά που έ ουμε τοπο ετήσει τους υποπίνακες στον τε εστή. p dim p dim p dim = p dim p dim 2 p dim 2 p dim 3 p dim 3 p dim 4 p dim 4 Σ ήμα 4.2: Δομή και εφαρμο ή τε εστή L2L σε δισδιάστατο πρό ημα Local to Target (L2T) Ο τε εστής L2T ρησιμοποιείται από την υπορουτίνα Locals στα φύ α τ ν κόμ ν. Σε εκείνο το σημείο του α ορί μου, ια κά ε φύ ο του δέντρου, έ ουμε στο κέντρο του το αντίστοι ο local και μένει να μοιράσουμε την επίδραση αυτού στα σημεία υπο ο ισμού που δό ηκαν ς είσοδος. Όπ ς μας ορίζει ο τύπος της επέκτασης που αναπτύξαμε στο Κεφάλαιο 2 ο συ κεκριμένος τε εστής είναι ένας ανάστροφος πίνακας Vandermode με δυνάμεις της απόστασης του κά ε σημείου από το κέντρο του φύ ου.