Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q"

Transcript

1 Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia fiind cea prezentată în cazul general al sistemelor de criptare cu cheie publică. De aceea, un sistem RSA este însoţit permanent de un certificat generat conform unui protocol P KI (Public Key Infrastructure) şi bineînţeles de un generator de numere prime Informaţii despre p şi q Evident, cunoaşterea lui φ(n) este suficientă pentru spargerea sistemului. În acest caz, totul se reduce la rezolvarea în N timesn a sistemului { pq = n (p 1)(q 1) = φ(n) sau - după substituţie - a ecuaţiei X 2 (n φ(n) + 1)X + n = 0 Deci, dacă Oscar determină φ(n), el poate factoriza n şi sparge sistemul. Cu alte cuvinte, calculul lui φ(n) nu este mai simplu decât factorizarea lui n. De asemenea, o slăbiciune constă în alegerea unor numere p, q prime apropiate unul de altul. În acest caz (cu p > q), vom avea (p q)/2 un număr foarte mic, iar (p + q)/2 un număr foarte apropiat de n. În plus, (p + q) 2 n = 4 (p q)2, 4 deci membrul stâng este pătrat perfect. Atunci, pentru factorizarea lui n se testează toate numerele întregi x > n până se găseşte unul astfel încât x 2 n este pătrat perfect; fie acesta y 2. Atunci vom avea imediat p = x + y, q = x y. 1

2 2 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Exemplul 11.1 Pentru n = se găseşte n = 311, 998. Apoi n = 1, ceea ce conduce la factorizarea p = 313, q = 311. Deci, în general este recomandabil ca cele două numere prime p şi q să difere prin lungime Exponentul de decriptare Factorizarea modulului ştiind exponentul de decriptare Dacă există un algoritm care calculează exponentul de decriptare a, acesta poate fi utilizat ca oracol 1 într-un algoritm probabilist care descompune n. Deci, se poate spune că dacă a este descoperit, secretul factorizării lui n este compromis; deci Bob va trebui să schimbe nu numai exponentul de decriptare, ci şi modulul n. Algoritmul de descompunere care va fi descris este de tip Las Vegas. Definiţia 11.1 Fie ɛ (0 ɛ < 1). Un algoritm tip Las Vegas este un algoritm probabilist care, pentru orice apariţie a unei probleme, poate oferi un răspuns - totdeauna corect - sau poate eşua şi să nu dea nici un răspuns, cu probabilitate ɛ. Observaţia 11.1 Un algoritm Las Vegas poate să nu dea răspuns, dar dacă dă - acest răspuns este sigur corect. Algoritmii Monte Carlo în schimb dau totdeauna răspuns, deşi acesta uneori este incorect. Deci, dacă avem un algoritm Las Vegas pentru rezolvarea unei probleme, putem să îl apelăm de mai multe ori, până se obţine un răspuns. Probabilitatea ca el să nu răspundă la m tentative consecutive este ɛ m. Să considerăm un algoritm ipotetic A care calculează exponentul de decriptare a plecând de la exponentul de criptare b. Se poate descrie atunci un algoritm Las Vegas care utilizează A ca oracol. El este bazat pe studiul rădăcinilor pătrate ale unităţii modulo n, când n = pq, p şi q fiind numere prime impare. În acest caz x2 1 (mod p) are ca singure soluţii x ±1 (mod p). La fel, x 2 1 (mod q) are soluţiile x ±1 (mod q). Din Teorema chineză a resturilor rezultă că x 2 1 (mod n) este echivalentă cu x 2 1 (mod p) şi x 2 1 (mod q). Vom avea deci patru rădăcini pătrate ale unităţii modulo n, care pot fi calculate cu Teorema chineză a resturilor. Două sunt soluţiile triviale ±1 (mod n), iar celelalte - numite netriviale - sunt opuse modulo n. Exemplul 11.2 Fie n = 403 = Cele patru rădăcini pătrate ale lui 1 modulo 403 sunt 1, 92, 311 şi program care răspunde numai cu Da/Nu la o întrebare - tip a utilizatorului

3 11.2. EXPONENTUL DE DECRIPTARE 3 Să presupunem acum că x este o rădăcină pătrată netrivială a lui 1 modulo n, deci o soluţie a ecuaţiei x 2 1 (mod n). Avem n (x 1)(x + 1) Dar n nu poate divide nici unul din factorii din membrul drept. Deci va trebui ca cmmdc(x+1, n) = p, cmmdc(x 1, n) = q - sau invers - cmmdc(x+1, n) = q, cmmdc(x 1, n) = p. Acest cel mai mare divizor comun se poate calcula fără a şti descompunerea lui n, construind algoritmul de mai jos, care foloseşte A ca oracol: 1. Se generează aleator w Zn, w 1; 2. x cmmdc(w, n); 3. if x > 1 then Stop (cu p = x sau q = x); 4. a A(b); 5. Se descompune ab 1 = 2 s r, r impar; 6. v w r (mod n); 7. if v 1 (mod n) then Stop (eşec); 8. while v 1 (mod n) do 8.1. v 0 v; 8.2. v v 2 (mod n); 9. if v 0 1 (mod n) then Stop (eşec); else x cmmdc(v 0 +1, n), Stop (p = x sau q = x). Deci, cunoaşterea unei rădăcini pătrate netriviale a lui 1 modulo n determină des-compunerea lui n printr-un calcul de complexitate polinomială. Exemplul 11.3 Fie n = , b = , a = şi să considerăm că s-a tras aleator w = 5. Vom avea: ab 1 = La pasul 6 se obţine v = , iar la pasul 8.2, v = 1. La pasul 9 se va obţine atunci cmmdc( , n) = Acesta este un factor al lui n; celălalt este n/9103 = Trebuie demonstrată următoarea afirmaţie: Afirmaţia 11.1 Procedeul descris este un algoritm. Demonstraţie: Ca o primă observaţie, dacă există suficientă şansă şi w este multiplu de p sau q, atunci el se factorizează imediat (pasul 2). Dacă w este prim cu n, atunci se calculează succesiv w r, w 2r,... prin ridicări succesive la pătrat, până se ajunge la un t cu w 2tr 1 (mod n). Deoarece ab 1 = 2 s r 0 (mod φ(n)), se ştie că w 2sr 1 (mod n). Deci bucla while va efectua maxim s iteraţii. La sfârşitul buclei se va găsi o valoare v 0 1 (mod n) cu v0 2 1 (mod n). Dacă v 0 1 (mod n), algoritmul eşuează; altfel, v 0 este o rădăcină pătrată netrivială a lui 1 modulo n care - la pasul 12 - permite descompunerea lui n. Se poate arăta ([2]) că acest algoritm se termină cu succes cu probabilitate 1/2.

4 4 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Atacul lui Wiener În [4] este dezvoltat un atac asupra sistemului de criptare RSA în care exponentul de decriptare a este mic; mai exact, trebuie verificate condiţiile 3a < n 1/4, q < p < 2q. Deci, dacă n are j biţi, atunci atacul va fi eficient pentru orice sistem de criptare RSA în care a are mai puţin de j/4 1 biţi, iar p şi q sunt suficient de apropiaţi 2. Din condiţia a b 1 (mod φ(n)) rezultă că există un număr întreg t astfel ca a b t φ(n) = 1. Pe de-altă parte, din n = pq > q 2 rezultă q < n, deci 0 < n φ(n) = pq (p 1)(q 1) = p + q 1 < 2q + q 1 < 3q < 3 n Pe baza acestor relaţii, putem evalua b n t a = ab tn an = 1 + t(φ(n) n) an < 3t n an = 3 t a n Deoarece t < a (evident), vom avea 3 t < 3 a < n 1/4 şi deci b n t a < 1 a n < 1 1/4 3 a. 2 Rezultă că valoarea fracţiei t/a este foarte apropiată de valoarea lui b/n. Din teoria fracţiilor continue se ştie că orice aproximare suficient de bună a lui b/n este una din convergenţele dezvoltării în fracţie continuă a lui b/n. Să descriem acest procedeu. Definiţia 11.2 O fracţie continuă (finită) este un m-tuplu de numere naturale [q 1, q 2,..., q m ] care reprezintă notarea expresiei q q q qm Fie a, b două numere întregi pozitive prime între ele şi (q 1, q 2,..., q m ) secvenţa câturilor obţinute prin aplicarea algoritmului lui Euclid. Se verifică uşor că a b = [q 1, q 2,..., q m ]. Vom spune că [q 1, q 2,..., q m ] este dezvoltarea în fracţie continuă a lui a/b. 2 Bob poate fi tentat să aleagă astfel de parametri, pentru creşterea vitezei de decriptare; reamintim, RSA este un sistem relativ lent.

5 11.2. EXPONENTUL DE DECRIPTARE 5 Acum, pentru fiecare j (1 j m) definim C j = [q 1, q 2,..., q j ] ca fiind a j-a convergenţă a lui [q 1, q 2,..., q m ]. Fiecare C j se poate scrie ca un număr raţional c j /d j, unde valorile c j şi d j se pot defini recursiv astfel: 1 dacă j = 0 c j = q 1 dacă j = 1 q j c j 1 + c j 2 dacă j 2 0 dacă j = 0 d j = 1 dacă j = 1 q j d j 1 + d j 2 dacă j 2 Exemplul 11.4 Să dezvoltăm în fracţie continuă 34/99. Folosind algoritmul lui Euclid se obţine [0, 2, 1, 10, 3], care este notarea fracţiei Convergenţele acestei fracţii sunt: = [0] = 0 [0, 2] = 1/2 [0, 2, 1] = 1/3 [0, 2, 1, 10] = 11/32 [0, 2, 1, 10, 3] = 34/99 Este adevărată următoarea teoremă ([4],[2]): Teorema 11.1 Dacă cmmdc(a, b) = cmmdc(c, d) = 1 şi a b c d < 1 2 d 2 atunci c/d este una din convergenţele dezvoltării în fracţie continuă a lui a/b. Să revenim acum la sistemul de criptare RSA. În condiţiile 3a < n 1/4 şi q < p < 2q, putem da următorul algoritm de factorizare a lui n: 1. Plecând de la n şi b (publice), se află dezvoltarea în fracţie continuă a lui b/n (folosind algoritmul lui Euclid). 2. Se parcurg pe rând convergenţele acestei dezvoltări. Dacă există convergenţa t/a care verifică t (a b 1), se calculează φ(n) = a b 1. t 3. Cu n şi φ(n) se află p şi q conform metodei din prima secţiune a acestei prelegeri. Dacă sunt îndeplinite ipotezele de la începutul acestui paragraf, Teorema 11.1 asigură că există o convergenţă care satisface pasul 2 al algoritmului. Ţinând cont de observaţiile anterioare, algoritmul lui Wiener poate fi detaliat:

6 6 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Intrare: [q 1, q 2,..., q m ] - dezvoltarea în fracţie continuă a lui b/n. Algoritm: 1 c 0 1, c 1 q 1, d 0 0, d 1 1; 2. for j 1 to m do 2.1. if c j (d j b 1) then m (d j b 1)/c j ; Fie p, q rădăcinile ecuaţiei x 2 (n m + 1)x + n = if p, q Z n then return(p, q); 2.2. j j + 1; 2.3. c j q j c j 1 + c k 2, d j q j d j 1 + d j 2 ; 3. return( eşec ); Exemplul 11.5 Să presupunem că n = , b = Dezvoltarea în fracţie continuă a lui b/n este [0, 2, 1, 1, 1, 4, 12, 102, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 36] Primele convergenţe sunt: 0, 1 2, 1 3, 2 5, 3 8, Primele cinci convergenţe nu verifică condiţia de divizibilitate. Pentru 14/37 avem însă: m = = Rezolvând ecuaţia x x = 0 obţinem rădăcinile şi Deci avem factorizarea = Informaţie parţială despre textul clar Să studiem puţin informaţia din textul clar care ar putea trăda sistemul de criptare RSA. Ştiind că y = e K (x), vom considera două exemple de informaţie parţială dată de y despre x: 1. par(y) - dă valoarea ultimului bit din scrierea binară a lui x; 2. jum(y) - va da 0 dacă 0 x < n/2, 1 dacă n/2 x n 1. Vom arăta ([3]) că orice algoritm care poate calcula par(y) sau jum(y) poate fi utilizat ca oracol pentru regăsirea textului clar x. Altfel spus, a calcula una din aceste funcţii este la fel de dificil cu a decripta tot textul y. Faptul că cele două funcţii sunt polinomial echivalente rezultă din jum(y) = par(y e K (2) mod n) par(y) = jum(y e K (2 1 ) mod n)

7 11.3. INFORMAŢIE PARŢIALĂ DESPRE TEXTUL CLAR 7 şi din relaţia e K (x 1 x 2 ) = e K (x 1 )e K (x 2 ). Să arătăm acum cum se poate calcula x = d K (y) cu ajutorul unui oracol care dă valoarea jum(y): 1. k [log 2 n]; 2. for i = 0 to k do 2.1. y i jum(y) 2.2. y (y e K (2)) mod n 3. jos 0; 4. sus n; 5. for i = 0 to k do 5.1. mijloc (jos + sus)/2; 5.2. if y i = 1 then jos mijloc else sus mijloc 6. x [sus] La pasul 2 se calculează y i = jum(y (e K (2)) i ) = jum(e K (x 2 i )) pentru 0 i [log 2 n]. Se observă că [ jum(e K (x)) = 0 x 0, n ) 2 [ jum(e K (2x)) = 0 x 0, n ) [ n 4 2, 3n ) 4 [ jum(e K (4x)) = 0 x 0, n ) [ n 8 4, 3n ) [ n 8 2, 5n ) [ 3n 8 4, 7n ), etc. 8 În acest mod, x se poate localiza printr-o căutare binară, realizată la paşii Exemplul 11.6 Fie n = 1457, b = 779, iar textul criptat este y = 722. Calculăm e K (2) = 946. Să presupunem că oracolul jum din pasul 3 dă următoarele răspunsuri: i y i Căutarea binară este realizată în tabelul:

8 8 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Textul clar este deci x = [999, 55] = 999. i jos mijloc sus 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Algoritmi de descompunere în factori primi Sunt extrem de numeroase lucrările care tratează descompunerea numerelor în factori primi. De aceea aici vom face doar o trecere în revistă a celor mai cunoscuţi algoritmi de factorizare. Astfel, cel mai simplu pare a fi ciurul lui Eratostene care constă în încercarea de împărţi numărul n impar prin toate numerele întregi impare din intervalul [3, n]. Pentru n < tehnica este destul de eficientă Metoda p 1 Un algoritm simplu care se poate aplica uneori şi la numere mari este metoda p 1 enunţată de Pollard în El foloseşte esenţial trei variabile de intrare: numărul n (impar) care trebuie descompus, o margine B şi un număr oarecare g [2, n 1]. Descrierea algoritmului este: Intrare: n, B, g. 1. a g 2. for j = 2 to B do a a j mod n 3. d cmmdc(a 1, n) 4. if d > 1 then d este factor al lui n, Stop else nu s-a găsit divizor al lui n Să vedem cum funcţionează acest algoritm: Presupunem că p este un divizor prim al lui n şi că toţi divizorii primi ai lui p 1 la puterile la care apar în descompunerea lui p 1 sunt mai mici decât B. Atunci p 1 B!. La terminarea ciclului de la pasul 2, avem a g B! (mod n) deci a g B! (mod p)

9 11.4. ALGORITMI DE DESCOMPUNERE ÎN FACTORI PRIMI 9 deoarece p n. Cum g p 1 1 (mod p) conform teoremei lui Fermat (în afară de cazul când p g) şi cum (p 1) B!, se obţine a 1 (mod p). Deci, la pasul 3 se ajunge la p (a 1) şi p n, de unde rezultă p d = (a 1, n). Numărul d este un divizor netrivial al lui n (în afară de cazul a = 1 la pasul 3). Având un divizor netrivial d, procesul se poate itera. Exemplul 11.7 Să considerăm n = Aplicând metoda p 1 cu B = 180, se găseşte a = , iar d = Se ajunge la descompunerea finală = Descompunerea a reuşit deoarece are numai factori primi mici : = Luând deci B 173 se obţine B!. Observaţia 11.2 Condiţia ca metoda să funcţioneze este ca divizorii primi la puterile la care apar în descompunerea lui p 1 să fie mai mici decât b. Dacă s-ar considera că doar divizorii primi să verifice această condiţie, rezultatul ar fi fals. Astfel, să considerăm p = 17 şi B = 3. Atunci p 1 = 2 4. Vom avea 2 < 3 dar 16 nu este un divixor al lui 3!! Pentru valori relativ mici ale lui B algoritmul este de complexitate polinomial scăzută (O(BlogB(log n) 3 )). Dacă B creşte până la n, el va reuşi totdeauna, dar nu va fi mai rapid decât ciurul lui Eratostene. Deci slăbiciunea metodei rezidă în faptul că n trebuie să admită un divizor p cu proprietatea că p 1 să aibă numai factori primi mici. Pentru a rezista la acest atac, se recomandă folosirea numerelor prime tari. Definiţia 11.3 Se numeşte număr prim tare un număr prim p care verifică condiţiile: 1. p 1 are un divizor prim mare r; 2. p + 1 are un divizor prim mare; 3. r 1 are un divizor prim mare. Există diverşi algoritmi pentru generarea numerelor prime tari. Pentru exemplificare am ales algoritmul lui Gordon: 1. Se generează aleator două numere prime mari s, t distincte. 2. Se alege un număr aleator i 0. Se află primul număr prim de forma 2 i t + 1, unde i i 0, i 0 + 1,.... Fie r = 2 i t + 1 acest număr prim. 3. p 0 2 (s r 2 (mod r)) s 1; 4. Se alege un număr aleator j 0. Se află primul număr prim de forma p j r s, unde j j 0, j 0 + 1,.... Fie p = p j r s acest număr prim. 5. return(p) Teorema 11.2 Numărul p generat de algoritmul Gordon este un număr prim tare.

10 10 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Demonstraţie: Cum r s, vom avea s r 1 1 (mod r) (Fermat). Deci p 0 1 (mod r) şi p 0 1 (mod s). Acum: (1) p 1 = p j r s 1 0 (mod r), deci p 1 are pe r drept divizor prim. (2) p + 1 = p j r s (mod s), deci s este un divizor prim al lui p + 1. (3) r 1 = 2 i t 0 (mod t), deci numărul prim t divide pe r 1. Practic, generarea unui număr prim tare se realizează în trei paşi: - Cu un generator de numere aleatoare, se generează numerele s, t, i 0, j 0 ; - Se testează dacă s şi t sunt numere prime, folosind algoritmul Miller - Rabin; - În caz afirmativ, se aplică algoritmul lui Gordon, bazat de asemenea pe algoritmul Miller - Rabin. De multe ori, pentru criptarea RSA este suficient să se folosească numere prime mari p cu proprietatea că p 1 este de asemenea număr prim. 2 Exemplul 11.8 În practică este folosit frecvent exponentul de criptare b = 3. În acest caz însă, este necesar ca p 1 şi q 1 să nu fie divizibile cu 3. Rezultatul este o criptare extrem de rapidă, deoarece se foloseşte o singură înmulţire modulară şi o singură ridicare la pătrat modulară. De asemenea este utilizat des şi b = = Acest număr are numai doi de 1 în reprezentarea binară, aşa că o criptare foloseşte 16 ridicări la pătrat modulare şi o înmulţire modulară Algoritmul lui Dixon şi sita pătratică Algoritmul lui Dixon se bazează pe o idee extrem de simplă: dacă se pot afla două numere x, y cu x y (mod n) dar x 2 y 2 (mod n), atunci cmmdc(x y, n) este un divizor netrivial al lui n. Metoda utilizează o bază B de factori primi mici. Se caută întâi mai multe numere x pentru care divizorii primi ai lui x 2 mod n sunt în B. Se formează apoi produse cu aceste numere în aşa fel ca fiecare factor prim al pătratului produsului să apară de un număr par de ori. Aceasta conduce la o relaţie x 2 y 2 (mod n) care va da eventual o descompunere a lui n. Se- Exemplul 11.9 Fie n = şi alegem mulţimea B= {2, 3, 5, 7, 11, 13}. lectăm (mod n) (mod n) (mod n) Dacă se ia produsul acestor trei congruenţe, se ajunge la ( ) 2 ( ) 2 (mod n)

11 11.5. ALTE TIPURI DE ATAC 11 Reducând conţinutul parantezelor modulo n, se obţine (mod n). Vom calcula acum cmmdc( , ) = , care va da un divizor al lui n. Fie B= {p 1, p 2,..., p B }; considerăm un număr C puţin mai mare decât B (de exemplu C = B + 10) şi presupunem că am găsit C relaţii de forma x 2 j p α 1j 1 p α 2j 2... p α Bj B 1 j C Pentru fiecare j se consideră vectorul binar (elementele sale se iau modulo 2) α j = (α 1j,..., α Bj ) Z B 2. Dacă se poate determina o submulţime a acestor vectori a căror sumă modulo 2 este (0, 0,..., 0), pătratul produsului elementelor x j corespunzătoare va avea fiecare divizor în B de un număr par de ori. Exemplul Revenind la Exemplul 11.9, cei trei vectori care se construiesc sunt α 1 = (0, 1, 0, 1, 0, 0), α 2 = (1, 0, 0, 1, 0, 1), α 3 = (1, 1, 0, 0, 0, 1). Se verifică imediat că α 1 + α 2 + α 3 (0, 0, 0, 0, 0, 0) (mod 2). Evident, a căuta o submulţime de C vectori de sumă nulă modulo 2 revine la a căuta o relaţie de dependenţă liniară (în Z 2 ) între aceşti vectori. Dacă C > B, o asemenea relaţie există şi poate fi găsită uşor prin eliminare gaussiană. Ar mai fi de văzut cum să se obţină acei x j pentru care x 2 j se descompun în factori primi din baza B. Sunt mai multe metode posibile pentru aceasta; de exemplu, ciurul pătratic - construit de Pomerance - foloseşte numere întregi de forma x j = j + [ n], j = 1, 2,.... De remarcat că dacă B este mare, este foarte posibil ca un întreg x j să se descompună în B, dar numărul acestor x j trebuie să crească pentru a căuta relaţiile de dependenţă. Se arată că alegerea optimă pentru B este în jur de logn log e logn Alte tipuri de atac Atac bazat pe proprietăţi multiplicative ale criptării RSA Fie m 1, m 2 două texte clare şi c 1 respectiv c 2 textele criptate corespunzătoare. Vom avea (m 1 m 2 ) b m b 1m b 2 c 1 c 2 (mod n) Această proprietate de hmomorfism a criptării poate oferi unui adversar activ posibilitatea unui atac cu text clar ales.

12 12 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Să presupunem că Oscar vrea să decripteze mesajul c = m b (mod n) trimis de Bob lui Alice, iar Alice are amabilitatea să îi decripteze lui Oscar orice text criptat primit (înafară de c, bineinţeles). Atunci Oscar va alege un număr aleator x Z n, va calcula c 1 = c x b (mod n) şi va solicita decriptarea lui. Alice va decripta pentru el m 1 = c a 1 (mod n). Deoarece m 1 c a 1 c a (x b ) a mx (mod n) Oscar va afla imediat m = m 1 x 1 (mod n). Acest tip de atac este prevenit de obicei impunând anumite structuri speciale asupra textelor clare Atac bazat pe un exponent mic de criptare Asa cum s-a arătat în Exemplul 11.8, pentru mărirea vitezei de criptare se preferă exponenţi mici de criptare (cum este b = 3). Această alegere are unele slabiciuni, care permit atacuri în anumite condiţii. Astfel, să presupunem că Alice doreşte să trimită acelaşi text clar m la trei destinatari diferiţi, care au modulele n i, dar acelaşi exponent de criptare b = 3. Deci textele criptate vor fi c i = m 3 (mod n i ) i = 1, 2, 3. Oscar le interceptează şi rezolvă sistemul x c 1 (mod n 1 ), x c 2 (mod n 2 ), x c 3 (mod n 3 ) folosind teorema chineză a resturilor, care asigură existenţa unui x [0, n 1 n 2 n 3 ). Deoarece m 3 < n 1 n 2 n 3, va rezulta că x = m 3. Deci Oscar va afla textul clar m extrăgând rădăcina de ordinul 3 din solutîa x. În general, exponenţi mici de criptare asigură o securitate redusă pentru mesajele mici m: dacă m < n 1/b atunci textul clar poate fi dedus din textul criptat c = m b calculând rădăcina de ordin b a lui c. Folosirea unui modul comun de criptare de către mai mulţi utilizatori permite de asemenea un atac uşor. Să presupunem că Alice trimite acelaşi mesaj m către doi utilizaotri care au cheile publice b 1, b 2 dar acelaşi modul n. Deci c 1 m b 1 (mod n), c 2 m b 2 (mod n). Fără a micşora generalitatea, putem presupune că cmmdc(b 1, b 2 ) = 1. Oscar va folosi algoritmul lui Euclid pentru a determina numerele întregi r, s astfel ca r b 1 + s b 2 = 1 Unul din numerele r, s este negativ; să presupunem că este r (pentru s negativ se procedează analog). Atunci Oscar obţine textul clar m folosind egalitatea (c 1 1 ) r c s 2 m (mod n)

13 11.6. ALTE SISTEME DE CRIPTARE ÎNRUDITE CU RSA Atacuri ciclice Fie c = m b (mod n) un text criptat şi k un întreg pozitiv astfel ca c bk c (mod n) (un astfel de k există totdeauna, deoarece criptarea RSA este de fapt o permutare în spaţiul Z n al textelor clare). Rezultă că c bk 1 m (mod n) Această observaţie conduce la un atac ciclic: Oscar calculează c bi (mod n) pentru i = 1, 2,... până găseşte un k astfel ca c bk c (mod n). Atunci va decripta c în c bk 1 m (mod n). Un atac ciclic generalizat constă în aflarea celui mai mic întreg pozitiv k astfel ca cmmdc(c bk c, n) > 1. Vom avea implicaţia şi similar c bk c (mod p), c bk c (mod q) = k = p c bk c (mod p), c bk c (mod q) = k = q În ambele cazuri s-a obţinut factorizarea lui n. Pe de-altă parte, dacă c bk c (mod p), c bk c (mod q) = k = nşic bk c (mod n) În acest caz s-a reusţi decriptarea m = c bk 1 (mod n). Folosirea unor numere prime tari asigură o protecţie suficientă pentru acest gen de atac Alte sisteme de criptare înrudite cu RSA Sistemul de criptare Rabin Sistemul de criptare Rabin este o variantă a sistemului RSA (propusă în 1979), care oferă o securitate de calcul echivalentă. Descrierea sa este: Fie n = pq unde p, q sunt numere prime distincte, p, q 3 (mod 4). Se ia P = C= Z n şi K= {(n, p, q, B) 0 B n 1}. Pentru cheia K = (n, p, q, B) se definesc: B 2 e K (x) = x(x + B) (mod n) d K (y) = 4 + y B 2

14 14 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Observaţia 11.3 Numerele prime n cu n 3 (mod 4) se numesc numere Blum. Există patru texte clare distincte care se pot cripta în acelaşi text. Să detaliem această afirmaţie: Fie α una din cele patru rădăcini pătrate modulo n ale unităţii, şi x Z n. Efectuăm calculele ( e K (α x + B ) B ) ( = α 2 x + B ) 2 ( ) B 2 = x 2 + Bx = e K (x) (calculele s-au realizat în Z n, iar împărţirea la 2 şi 4 s-a făcut prin înmulţirea în Z n cu 2 1 respectiv 4 1 ). Cele patru texte clare care se cifrează în e K (x) sunt x, x B, α(x + B/2) B/2 şi α(x + B/2) B/2, unde α este o rădăcină pătrată netrivială a unităţii modulo n. Verificarea este imediată. În general, Bob nu are nici un mijloc de a distinge care din cele patru mesaje este cel corect, dacă nu dispune de informaţii suplimentare. Să vedem cum se realizează decriptarea. Bob primeşte mesajul criptat y şi încearcă să să determine x astfel ca x 2 + Bx y (mod n). Aceasta este o ecuaţie de gradul doi în x. Termenul de gradul 1 se poate elimina folosind substituţia x 1 = x + B/2 (sau echivalent x = x 1 B/2). Se ajunge la ecuaţia x 2 1 B2 4 + y (mod n). Notând membrul drept cu C, această ecuaţie se scrie x 2 1 C (mod n). Deci decriptarea se reduce la extragerea rădăcinilor pătrate modulo n. Aceasta echivalează cu rezolvarea sistemului x 2 1 C (mod p) x 2 1 C (mod q) care, prin combinarea soluţiilor fiecărei ecuaţii va da patru rădăcini pătrate mo-dulo n. Într-o criptare corectă, C este totdeauna un rest pătratic modulo p şi q. Dacă p 3 (mod 4), există o formulă simplă pentru extragerea rădăcinilor pătrate dintr-un rest pătratic C modulo p. Avem (calculele se fac modulo p): ( ±C (p+1)/4 ) 2 C (p+1)/2 C (p 1)/2 C C (s-a folosit Teorema 10.1). Avem deci cele patru rădăcini pătratice ±C (p+1)/4 (mod p), ±C (q+1)/4 (mod q) care prin combinare pe baza teoremei chineze a resturilor dau cele patru rădăcini pătrate ale lui C.

15 11.6. ALTE SISTEME DE CRIPTARE ÎNRUDITE CU RSA 15 Observaţia 11.4 De remarcat că nu se cunoaşte un algoritm polinomial determinist pentru extragerea rădăcinilor pătratice modulo p pentru p 1 (mod 4); în această situaţie există doar algoritmi Las Vegas. După determinarea acestor rădăcini x 1, se află x = x 1 B/2. Aceasta dă formula de decriptare din enunţul metodei Rabin. Exemplul Fie n = 77 = 7 11 şi B = 9. Funcţia de criptare este e K (x) = x 2 + 9x (mod 77) iar cea de decriptare 1 + y 43 (mod 77). d K (y) = Să presupunem că Bob vrea să decripteze textul y = 22. El va trebui să determine rădăcinile pătrate ale lui 23 modulo 7 şi 11. Cum aceste două module sunt congruente cu 3 modulo 4, se poate aplica formula arătată anterior: 23 (7+1)/ (mod 7) 23 (11+1)/ (mod 11). Utilizând teorema chineză a resturilor, se obţin rădăcinile pătrate ale lui 23 modulo 77: 11 2 a b (mod 77) unde a = ±4, b = ±1. Calculând, se obţin valorile posibile (calculate modulo 77) vor fi deci: ±10, ±32. Cele patru texte clare = 44, = 24, = 66, = 2. Se verifică imediat că toate aceste patru texte clare se criptează în 22. Să studiem acum securitatea sistemului de criptare Rabin. Să presupunem că există un algoritm de decriptare A; acesta poate fi atunci utilizat într-un algoritm Las Vegas care descompune modulul n cu probabilitate 1/2; algoritmul este următorul: 1. Se alege aleator r Z n ; 2. y r 2 B 2 /4 mod n; 3. x A(y); 4. x 1 x + B/2; 5. if x 1 ±r (mod n) then Stop (eşec) else cmmdc(x 1 + r, n) = p sau q, Stop Să observăm întâi că y = e K ( r B 2 ), deci la pasul 3 se decriptează x sub forma r B/2. Cum la pasul 5. avem x 2 1 r 2 (mod n), rezultă x 1 ±r (mod n) sau x 1 ±αr (mod n), unde α este o rădăcină netrivială modulo n a unităţii. În al doilea caz, n (x 1 r)(x 1 + r)

16 16 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA şi n nu divide nici unul din cei doi factori. Deci, calculul lui cmmdc(x 1 + r, n) sau cmmdc(x 1 r, n) va da p sau q, adică o descompunere a lui n. Să calculăm probabilitatea de succes a algoritmului ([2]), din n 1 extrageri posibile ale lui r. Pentru două resturi nenule r 1, r 2, se defineşte r 1 r 2 r 2 1 r 2 2 (mod n) Aceasta este evident o relaţie de echivalenţṫoate clasele de echivalenţă din Z n sunt de cardinal patru, fiecare fiind de forma [r] = {±r, ± alr}. În algoritmul anterior, două valori dintr-o clasă de echivalenţă conduc la acelaşi y. Să considerăm un x 1 calculat plecând de la valoarea x returnată de oracolul A pentru un y dat. x 1 este un element din [r]. Dacă x 1 = ±r, algoritmul eşuează; dacă x 1 = ± alr, el reuşeşte să descompună n. Cum r este aleator, cele patru posibilităţi sunt echi-probabile, deci algoritmul dă reuşită în 50% din cazuri Exerciţii 11.1 Folosind metoda p 1 şi diverse margini B, factorizaţi şi Cât este B pentru fiecare caz? 11.2 Fie n = şi b = Descompuneţi n în factori, folosind algoritmul lui Wiener Considerăm algoritmul lui Rabin cu p = 199, q = 211, n = pq şi B = (a) Criptaţi mesajul 32767; (b) Determinaţi cele 4 mesaje clare care duc la textul criptat y = e K (32767).

17 Bibliografie [1] A. Menezes, P. Oorschot, S. Vanstome, Handbook of applied cryptography [2] D. Stinton, Cryptography, theory et practice, Chapman & Hall/CRC, 2002 [3] A. Salomaa, Criptografie cu chei publice, Ed. Militară, 1994 [4] M.J. Wiener - Cryptanalysis of short RSA secret exponents, IEEE Trans on Information Theory, 36 (1990),

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA Prelegerea 10 Sistemul de criptare RSA 10.1 Descrierea sistemului RSA Sistemul de criptare RSA (Rivest - Shamir - Adlema este în acest moment cel mai cunoscut şi uzitat sistem cu cheie publică 1. Aceasta

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Rădăcini primitive modulo n

Rădăcini primitive modulo n Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai 1 Corpuri finite. 1.1 Introducere Reamintim mai intai Definiţie 1 Se numeşte corp un inel comutativ (K,+, ) cu proprietatea ca orice element nenul x din k este inversabil, i.e. există x 1 k astfel încât

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

2 Fracţii continue Fracţii continue finite Fracţii continue infinite Fracţii continue periodice... 43

2 Fracţii continue Fracţii continue finite Fracţii continue infinite Fracţii continue periodice... 43 Cuprins Notaţii 9 1 Numere întregi 11 1.1 Divizibilitate în N...................... 11 1. Relaţia de divizibilitate pe Z................ 13 1.3 Teorema fundamentală a aritmeticii............ 0 1.4 Numere

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice 4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα