Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q"

Transcript

1 Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia fiind cea prezentată în cazul general al sistemelor de criptare cu cheie publică. De aceea, un sistem RSA este însoţit permanent de un certificat generat conform unui protocol P KI (Public Key Infrastructure) şi bineînţeles de un generator de numere prime Informaţii despre p şi q Evident, cunoaşterea lui φ(n) este suficientă pentru spargerea sistemului. În acest caz, totul se reduce la rezolvarea în N timesn a sistemului { pq = n (p 1)(q 1) = φ(n) sau - după substituţie - a ecuaţiei X 2 (n φ(n) + 1)X + n = 0 Deci, dacă Oscar determină φ(n), el poate factoriza n şi sparge sistemul. Cu alte cuvinte, calculul lui φ(n) nu este mai simplu decât factorizarea lui n. De asemenea, o slăbiciune constă în alegerea unor numere p, q prime apropiate unul de altul. În acest caz (cu p > q), vom avea (p q)/2 un număr foarte mic, iar (p + q)/2 un număr foarte apropiat de n. În plus, (p + q) 2 n = 4 (p q)2, 4 deci membrul stâng este pătrat perfect. Atunci, pentru factorizarea lui n se testează toate numerele întregi x > n până se găseşte unul astfel încât x 2 n este pătrat perfect; fie acesta y 2. Atunci vom avea imediat p = x + y, q = x y. 1

2 2 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Exemplul 11.1 Pentru n = se găseşte n = 311, 998. Apoi n = 1, ceea ce conduce la factorizarea p = 313, q = 311. Deci, în general este recomandabil ca cele două numere prime p şi q să difere prin lungime Exponentul de decriptare Factorizarea modulului ştiind exponentul de decriptare Dacă există un algoritm care calculează exponentul de decriptare a, acesta poate fi utilizat ca oracol 1 într-un algoritm probabilist care descompune n. Deci, se poate spune că dacă a este descoperit, secretul factorizării lui n este compromis; deci Bob va trebui să schimbe nu numai exponentul de decriptare, ci şi modulul n. Algoritmul de descompunere care va fi descris este de tip Las Vegas. Definiţia 11.1 Fie ɛ (0 ɛ < 1). Un algoritm tip Las Vegas este un algoritm probabilist care, pentru orice apariţie a unei probleme, poate oferi un răspuns - totdeauna corect - sau poate eşua şi să nu dea nici un răspuns, cu probabilitate ɛ. Observaţia 11.1 Un algoritm Las Vegas poate să nu dea răspuns, dar dacă dă - acest răspuns este sigur corect. Algoritmii Monte Carlo în schimb dau totdeauna răspuns, deşi acesta uneori este incorect. Deci, dacă avem un algoritm Las Vegas pentru rezolvarea unei probleme, putem să îl apelăm de mai multe ori, până se obţine un răspuns. Probabilitatea ca el să nu răspundă la m tentative consecutive este ɛ m. Să considerăm un algoritm ipotetic A care calculează exponentul de decriptare a plecând de la exponentul de criptare b. Se poate descrie atunci un algoritm Las Vegas care utilizează A ca oracol. El este bazat pe studiul rădăcinilor pătrate ale unităţii modulo n, când n = pq, p şi q fiind numere prime impare. În acest caz x2 1 (mod p) are ca singure soluţii x ±1 (mod p). La fel, x 2 1 (mod q) are soluţiile x ±1 (mod q). Din Teorema chineză a resturilor rezultă că x 2 1 (mod n) este echivalentă cu x 2 1 (mod p) şi x 2 1 (mod q). Vom avea deci patru rădăcini pătrate ale unităţii modulo n, care pot fi calculate cu Teorema chineză a resturilor. Două sunt soluţiile triviale ±1 (mod n), iar celelalte - numite netriviale - sunt opuse modulo n. Exemplul 11.2 Fie n = 403 = Cele patru rădăcini pătrate ale lui 1 modulo 403 sunt 1, 92, 311 şi program care răspunde numai cu Da/Nu la o întrebare - tip a utilizatorului

3 11.2. EXPONENTUL DE DECRIPTARE 3 Să presupunem acum că x este o rădăcină pătrată netrivială a lui 1 modulo n, deci o soluţie a ecuaţiei x 2 1 (mod n). Avem n (x 1)(x + 1) Dar n nu poate divide nici unul din factorii din membrul drept. Deci va trebui ca cmmdc(x+1, n) = p, cmmdc(x 1, n) = q - sau invers - cmmdc(x+1, n) = q, cmmdc(x 1, n) = p. Acest cel mai mare divizor comun se poate calcula fără a şti descompunerea lui n, construind algoritmul de mai jos, care foloseşte A ca oracol: 1. Se generează aleator w Zn, w 1; 2. x cmmdc(w, n); 3. if x > 1 then Stop (cu p = x sau q = x); 4. a A(b); 5. Se descompune ab 1 = 2 s r, r impar; 6. v w r (mod n); 7. if v 1 (mod n) then Stop (eşec); 8. while v 1 (mod n) do 8.1. v 0 v; 8.2. v v 2 (mod n); 9. if v 0 1 (mod n) then Stop (eşec); else x cmmdc(v 0 +1, n), Stop (p = x sau q = x). Deci, cunoaşterea unei rădăcini pătrate netriviale a lui 1 modulo n determină des-compunerea lui n printr-un calcul de complexitate polinomială. Exemplul 11.3 Fie n = , b = , a = şi să considerăm că s-a tras aleator w = 5. Vom avea: ab 1 = La pasul 6 se obţine v = , iar la pasul 8.2, v = 1. La pasul 9 se va obţine atunci cmmdc( , n) = Acesta este un factor al lui n; celălalt este n/9103 = Trebuie demonstrată următoarea afirmaţie: Afirmaţia 11.1 Procedeul descris este un algoritm. Demonstraţie: Ca o primă observaţie, dacă există suficientă şansă şi w este multiplu de p sau q, atunci el se factorizează imediat (pasul 2). Dacă w este prim cu n, atunci se calculează succesiv w r, w 2r,... prin ridicări succesive la pătrat, până se ajunge la un t cu w 2tr 1 (mod n). Deoarece ab 1 = 2 s r 0 (mod φ(n)), se ştie că w 2sr 1 (mod n). Deci bucla while va efectua maxim s iteraţii. La sfârşitul buclei se va găsi o valoare v 0 1 (mod n) cu v0 2 1 (mod n). Dacă v 0 1 (mod n), algoritmul eşuează; altfel, v 0 este o rădăcină pătrată netrivială a lui 1 modulo n care - la pasul 12 - permite descompunerea lui n. Se poate arăta ([2]) că acest algoritm se termină cu succes cu probabilitate 1/2.

4 4 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Atacul lui Wiener În [4] este dezvoltat un atac asupra sistemului de criptare RSA în care exponentul de decriptare a este mic; mai exact, trebuie verificate condiţiile 3a < n 1/4, q < p < 2q. Deci, dacă n are j biţi, atunci atacul va fi eficient pentru orice sistem de criptare RSA în care a are mai puţin de j/4 1 biţi, iar p şi q sunt suficient de apropiaţi 2. Din condiţia a b 1 (mod φ(n)) rezultă că există un număr întreg t astfel ca a b t φ(n) = 1. Pe de-altă parte, din n = pq > q 2 rezultă q < n, deci 0 < n φ(n) = pq (p 1)(q 1) = p + q 1 < 2q + q 1 < 3q < 3 n Pe baza acestor relaţii, putem evalua b n t a = ab tn an = 1 + t(φ(n) n) an < 3t n an = 3 t a n Deoarece t < a (evident), vom avea 3 t < 3 a < n 1/4 şi deci b n t a < 1 a n < 1 1/4 3 a. 2 Rezultă că valoarea fracţiei t/a este foarte apropiată de valoarea lui b/n. Din teoria fracţiilor continue se ştie că orice aproximare suficient de bună a lui b/n este una din convergenţele dezvoltării în fracţie continuă a lui b/n. Să descriem acest procedeu. Definiţia 11.2 O fracţie continuă (finită) este un m-tuplu de numere naturale [q 1, q 2,..., q m ] care reprezintă notarea expresiei q q q qm Fie a, b două numere întregi pozitive prime între ele şi (q 1, q 2,..., q m ) secvenţa câturilor obţinute prin aplicarea algoritmului lui Euclid. Se verifică uşor că a b = [q 1, q 2,..., q m ]. Vom spune că [q 1, q 2,..., q m ] este dezvoltarea în fracţie continuă a lui a/b. 2 Bob poate fi tentat să aleagă astfel de parametri, pentru creşterea vitezei de decriptare; reamintim, RSA este un sistem relativ lent.

5 11.2. EXPONENTUL DE DECRIPTARE 5 Acum, pentru fiecare j (1 j m) definim C j = [q 1, q 2,..., q j ] ca fiind a j-a convergenţă a lui [q 1, q 2,..., q m ]. Fiecare C j se poate scrie ca un număr raţional c j /d j, unde valorile c j şi d j se pot defini recursiv astfel: 1 dacă j = 0 c j = q 1 dacă j = 1 q j c j 1 + c j 2 dacă j 2 0 dacă j = 0 d j = 1 dacă j = 1 q j d j 1 + d j 2 dacă j 2 Exemplul 11.4 Să dezvoltăm în fracţie continuă 34/99. Folosind algoritmul lui Euclid se obţine [0, 2, 1, 10, 3], care este notarea fracţiei Convergenţele acestei fracţii sunt: = [0] = 0 [0, 2] = 1/2 [0, 2, 1] = 1/3 [0, 2, 1, 10] = 11/32 [0, 2, 1, 10, 3] = 34/99 Este adevărată următoarea teoremă ([4],[2]): Teorema 11.1 Dacă cmmdc(a, b) = cmmdc(c, d) = 1 şi a b c d < 1 2 d 2 atunci c/d este una din convergenţele dezvoltării în fracţie continuă a lui a/b. Să revenim acum la sistemul de criptare RSA. În condiţiile 3a < n 1/4 şi q < p < 2q, putem da următorul algoritm de factorizare a lui n: 1. Plecând de la n şi b (publice), se află dezvoltarea în fracţie continuă a lui b/n (folosind algoritmul lui Euclid). 2. Se parcurg pe rând convergenţele acestei dezvoltări. Dacă există convergenţa t/a care verifică t (a b 1), se calculează φ(n) = a b 1. t 3. Cu n şi φ(n) se află p şi q conform metodei din prima secţiune a acestei prelegeri. Dacă sunt îndeplinite ipotezele de la începutul acestui paragraf, Teorema 11.1 asigură că există o convergenţă care satisface pasul 2 al algoritmului. Ţinând cont de observaţiile anterioare, algoritmul lui Wiener poate fi detaliat:

6 6 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Intrare: [q 1, q 2,..., q m ] - dezvoltarea în fracţie continuă a lui b/n. Algoritm: 1 c 0 1, c 1 q 1, d 0 0, d 1 1; 2. for j 1 to m do 2.1. if c j (d j b 1) then m (d j b 1)/c j ; Fie p, q rădăcinile ecuaţiei x 2 (n m + 1)x + n = if p, q Z n then return(p, q); 2.2. j j + 1; 2.3. c j q j c j 1 + c k 2, d j q j d j 1 + d j 2 ; 3. return( eşec ); Exemplul 11.5 Să presupunem că n = , b = Dezvoltarea în fracţie continuă a lui b/n este [0, 2, 1, 1, 1, 4, 12, 102, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 36] Primele convergenţe sunt: 0, 1 2, 1 3, 2 5, 3 8, Primele cinci convergenţe nu verifică condiţia de divizibilitate. Pentru 14/37 avem însă: m = = Rezolvând ecuaţia x x = 0 obţinem rădăcinile şi Deci avem factorizarea = Informaţie parţială despre textul clar Să studiem puţin informaţia din textul clar care ar putea trăda sistemul de criptare RSA. Ştiind că y = e K (x), vom considera două exemple de informaţie parţială dată de y despre x: 1. par(y) - dă valoarea ultimului bit din scrierea binară a lui x; 2. jum(y) - va da 0 dacă 0 x < n/2, 1 dacă n/2 x n 1. Vom arăta ([3]) că orice algoritm care poate calcula par(y) sau jum(y) poate fi utilizat ca oracol pentru regăsirea textului clar x. Altfel spus, a calcula una din aceste funcţii este la fel de dificil cu a decripta tot textul y. Faptul că cele două funcţii sunt polinomial echivalente rezultă din jum(y) = par(y e K (2) mod n) par(y) = jum(y e K (2 1 ) mod n)

7 11.3. INFORMAŢIE PARŢIALĂ DESPRE TEXTUL CLAR 7 şi din relaţia e K (x 1 x 2 ) = e K (x 1 )e K (x 2 ). Să arătăm acum cum se poate calcula x = d K (y) cu ajutorul unui oracol care dă valoarea jum(y): 1. k [log 2 n]; 2. for i = 0 to k do 2.1. y i jum(y) 2.2. y (y e K (2)) mod n 3. jos 0; 4. sus n; 5. for i = 0 to k do 5.1. mijloc (jos + sus)/2; 5.2. if y i = 1 then jos mijloc else sus mijloc 6. x [sus] La pasul 2 se calculează y i = jum(y (e K (2)) i ) = jum(e K (x 2 i )) pentru 0 i [log 2 n]. Se observă că [ jum(e K (x)) = 0 x 0, n ) 2 [ jum(e K (2x)) = 0 x 0, n ) [ n 4 2, 3n ) 4 [ jum(e K (4x)) = 0 x 0, n ) [ n 8 4, 3n ) [ n 8 2, 5n ) [ 3n 8 4, 7n ), etc. 8 În acest mod, x se poate localiza printr-o căutare binară, realizată la paşii Exemplul 11.6 Fie n = 1457, b = 779, iar textul criptat este y = 722. Calculăm e K (2) = 946. Să presupunem că oracolul jum din pasul 3 dă următoarele răspunsuri: i y i Căutarea binară este realizată în tabelul:

8 8 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Textul clar este deci x = [999, 55] = 999. i jos mijloc sus 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Algoritmi de descompunere în factori primi Sunt extrem de numeroase lucrările care tratează descompunerea numerelor în factori primi. De aceea aici vom face doar o trecere în revistă a celor mai cunoscuţi algoritmi de factorizare. Astfel, cel mai simplu pare a fi ciurul lui Eratostene care constă în încercarea de împărţi numărul n impar prin toate numerele întregi impare din intervalul [3, n]. Pentru n < tehnica este destul de eficientă Metoda p 1 Un algoritm simplu care se poate aplica uneori şi la numere mari este metoda p 1 enunţată de Pollard în El foloseşte esenţial trei variabile de intrare: numărul n (impar) care trebuie descompus, o margine B şi un număr oarecare g [2, n 1]. Descrierea algoritmului este: Intrare: n, B, g. 1. a g 2. for j = 2 to B do a a j mod n 3. d cmmdc(a 1, n) 4. if d > 1 then d este factor al lui n, Stop else nu s-a găsit divizor al lui n Să vedem cum funcţionează acest algoritm: Presupunem că p este un divizor prim al lui n şi că toţi divizorii primi ai lui p 1 la puterile la care apar în descompunerea lui p 1 sunt mai mici decât B. Atunci p 1 B!. La terminarea ciclului de la pasul 2, avem a g B! (mod n) deci a g B! (mod p)

9 11.4. ALGORITMI DE DESCOMPUNERE ÎN FACTORI PRIMI 9 deoarece p n. Cum g p 1 1 (mod p) conform teoremei lui Fermat (în afară de cazul când p g) şi cum (p 1) B!, se obţine a 1 (mod p). Deci, la pasul 3 se ajunge la p (a 1) şi p n, de unde rezultă p d = (a 1, n). Numărul d este un divizor netrivial al lui n (în afară de cazul a = 1 la pasul 3). Având un divizor netrivial d, procesul se poate itera. Exemplul 11.7 Să considerăm n = Aplicând metoda p 1 cu B = 180, se găseşte a = , iar d = Se ajunge la descompunerea finală = Descompunerea a reuşit deoarece are numai factori primi mici : = Luând deci B 173 se obţine B!. Observaţia 11.2 Condiţia ca metoda să funcţioneze este ca divizorii primi la puterile la care apar în descompunerea lui p 1 să fie mai mici decât b. Dacă s-ar considera că doar divizorii primi să verifice această condiţie, rezultatul ar fi fals. Astfel, să considerăm p = 17 şi B = 3. Atunci p 1 = 2 4. Vom avea 2 < 3 dar 16 nu este un divixor al lui 3!! Pentru valori relativ mici ale lui B algoritmul este de complexitate polinomial scăzută (O(BlogB(log n) 3 )). Dacă B creşte până la n, el va reuşi totdeauna, dar nu va fi mai rapid decât ciurul lui Eratostene. Deci slăbiciunea metodei rezidă în faptul că n trebuie să admită un divizor p cu proprietatea că p 1 să aibă numai factori primi mici. Pentru a rezista la acest atac, se recomandă folosirea numerelor prime tari. Definiţia 11.3 Se numeşte număr prim tare un număr prim p care verifică condiţiile: 1. p 1 are un divizor prim mare r; 2. p + 1 are un divizor prim mare; 3. r 1 are un divizor prim mare. Există diverşi algoritmi pentru generarea numerelor prime tari. Pentru exemplificare am ales algoritmul lui Gordon: 1. Se generează aleator două numere prime mari s, t distincte. 2. Se alege un număr aleator i 0. Se află primul număr prim de forma 2 i t + 1, unde i i 0, i 0 + 1,.... Fie r = 2 i t + 1 acest număr prim. 3. p 0 2 (s r 2 (mod r)) s 1; 4. Se alege un număr aleator j 0. Se află primul număr prim de forma p j r s, unde j j 0, j 0 + 1,.... Fie p = p j r s acest număr prim. 5. return(p) Teorema 11.2 Numărul p generat de algoritmul Gordon este un număr prim tare.

10 10 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Demonstraţie: Cum r s, vom avea s r 1 1 (mod r) (Fermat). Deci p 0 1 (mod r) şi p 0 1 (mod s). Acum: (1) p 1 = p j r s 1 0 (mod r), deci p 1 are pe r drept divizor prim. (2) p + 1 = p j r s (mod s), deci s este un divizor prim al lui p + 1. (3) r 1 = 2 i t 0 (mod t), deci numărul prim t divide pe r 1. Practic, generarea unui număr prim tare se realizează în trei paşi: - Cu un generator de numere aleatoare, se generează numerele s, t, i 0, j 0 ; - Se testează dacă s şi t sunt numere prime, folosind algoritmul Miller - Rabin; - În caz afirmativ, se aplică algoritmul lui Gordon, bazat de asemenea pe algoritmul Miller - Rabin. De multe ori, pentru criptarea RSA este suficient să se folosească numere prime mari p cu proprietatea că p 1 este de asemenea număr prim. 2 Exemplul 11.8 În practică este folosit frecvent exponentul de criptare b = 3. În acest caz însă, este necesar ca p 1 şi q 1 să nu fie divizibile cu 3. Rezultatul este o criptare extrem de rapidă, deoarece se foloseşte o singură înmulţire modulară şi o singură ridicare la pătrat modulară. De asemenea este utilizat des şi b = = Acest număr are numai doi de 1 în reprezentarea binară, aşa că o criptare foloseşte 16 ridicări la pătrat modulare şi o înmulţire modulară Algoritmul lui Dixon şi sita pătratică Algoritmul lui Dixon se bazează pe o idee extrem de simplă: dacă se pot afla două numere x, y cu x y (mod n) dar x 2 y 2 (mod n), atunci cmmdc(x y, n) este un divizor netrivial al lui n. Metoda utilizează o bază B de factori primi mici. Se caută întâi mai multe numere x pentru care divizorii primi ai lui x 2 mod n sunt în B. Se formează apoi produse cu aceste numere în aşa fel ca fiecare factor prim al pătratului produsului să apară de un număr par de ori. Aceasta conduce la o relaţie x 2 y 2 (mod n) care va da eventual o descompunere a lui n. Se- Exemplul 11.9 Fie n = şi alegem mulţimea B= {2, 3, 5, 7, 11, 13}. lectăm (mod n) (mod n) (mod n) Dacă se ia produsul acestor trei congruenţe, se ajunge la ( ) 2 ( ) 2 (mod n)

11 11.5. ALTE TIPURI DE ATAC 11 Reducând conţinutul parantezelor modulo n, se obţine (mod n). Vom calcula acum cmmdc( , ) = , care va da un divizor al lui n. Fie B= {p 1, p 2,..., p B }; considerăm un număr C puţin mai mare decât B (de exemplu C = B + 10) şi presupunem că am găsit C relaţii de forma x 2 j p α 1j 1 p α 2j 2... p α Bj B 1 j C Pentru fiecare j se consideră vectorul binar (elementele sale se iau modulo 2) α j = (α 1j,..., α Bj ) Z B 2. Dacă se poate determina o submulţime a acestor vectori a căror sumă modulo 2 este (0, 0,..., 0), pătratul produsului elementelor x j corespunzătoare va avea fiecare divizor în B de un număr par de ori. Exemplul Revenind la Exemplul 11.9, cei trei vectori care se construiesc sunt α 1 = (0, 1, 0, 1, 0, 0), α 2 = (1, 0, 0, 1, 0, 1), α 3 = (1, 1, 0, 0, 0, 1). Se verifică imediat că α 1 + α 2 + α 3 (0, 0, 0, 0, 0, 0) (mod 2). Evident, a căuta o submulţime de C vectori de sumă nulă modulo 2 revine la a căuta o relaţie de dependenţă liniară (în Z 2 ) între aceşti vectori. Dacă C > B, o asemenea relaţie există şi poate fi găsită uşor prin eliminare gaussiană. Ar mai fi de văzut cum să se obţină acei x j pentru care x 2 j se descompun în factori primi din baza B. Sunt mai multe metode posibile pentru aceasta; de exemplu, ciurul pătratic - construit de Pomerance - foloseşte numere întregi de forma x j = j + [ n], j = 1, 2,.... De remarcat că dacă B este mare, este foarte posibil ca un întreg x j să se descompună în B, dar numărul acestor x j trebuie să crească pentru a căuta relaţiile de dependenţă. Se arată că alegerea optimă pentru B este în jur de logn log e logn Alte tipuri de atac Atac bazat pe proprietăţi multiplicative ale criptării RSA Fie m 1, m 2 două texte clare şi c 1 respectiv c 2 textele criptate corespunzătoare. Vom avea (m 1 m 2 ) b m b 1m b 2 c 1 c 2 (mod n) Această proprietate de hmomorfism a criptării poate oferi unui adversar activ posibilitatea unui atac cu text clar ales.

12 12 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Să presupunem că Oscar vrea să decripteze mesajul c = m b (mod n) trimis de Bob lui Alice, iar Alice are amabilitatea să îi decripteze lui Oscar orice text criptat primit (înafară de c, bineinţeles). Atunci Oscar va alege un număr aleator x Z n, va calcula c 1 = c x b (mod n) şi va solicita decriptarea lui. Alice va decripta pentru el m 1 = c a 1 (mod n). Deoarece m 1 c a 1 c a (x b ) a mx (mod n) Oscar va afla imediat m = m 1 x 1 (mod n). Acest tip de atac este prevenit de obicei impunând anumite structuri speciale asupra textelor clare Atac bazat pe un exponent mic de criptare Asa cum s-a arătat în Exemplul 11.8, pentru mărirea vitezei de criptare se preferă exponenţi mici de criptare (cum este b = 3). Această alegere are unele slabiciuni, care permit atacuri în anumite condiţii. Astfel, să presupunem că Alice doreşte să trimită acelaşi text clar m la trei destinatari diferiţi, care au modulele n i, dar acelaşi exponent de criptare b = 3. Deci textele criptate vor fi c i = m 3 (mod n i ) i = 1, 2, 3. Oscar le interceptează şi rezolvă sistemul x c 1 (mod n 1 ), x c 2 (mod n 2 ), x c 3 (mod n 3 ) folosind teorema chineză a resturilor, care asigură existenţa unui x [0, n 1 n 2 n 3 ). Deoarece m 3 < n 1 n 2 n 3, va rezulta că x = m 3. Deci Oscar va afla textul clar m extrăgând rădăcina de ordinul 3 din solutîa x. În general, exponenţi mici de criptare asigură o securitate redusă pentru mesajele mici m: dacă m < n 1/b atunci textul clar poate fi dedus din textul criptat c = m b calculând rădăcina de ordin b a lui c. Folosirea unui modul comun de criptare de către mai mulţi utilizatori permite de asemenea un atac uşor. Să presupunem că Alice trimite acelaşi mesaj m către doi utilizaotri care au cheile publice b 1, b 2 dar acelaşi modul n. Deci c 1 m b 1 (mod n), c 2 m b 2 (mod n). Fără a micşora generalitatea, putem presupune că cmmdc(b 1, b 2 ) = 1. Oscar va folosi algoritmul lui Euclid pentru a determina numerele întregi r, s astfel ca r b 1 + s b 2 = 1 Unul din numerele r, s este negativ; să presupunem că este r (pentru s negativ se procedează analog). Atunci Oscar obţine textul clar m folosind egalitatea (c 1 1 ) r c s 2 m (mod n)

13 11.6. ALTE SISTEME DE CRIPTARE ÎNRUDITE CU RSA Atacuri ciclice Fie c = m b (mod n) un text criptat şi k un întreg pozitiv astfel ca c bk c (mod n) (un astfel de k există totdeauna, deoarece criptarea RSA este de fapt o permutare în spaţiul Z n al textelor clare). Rezultă că c bk 1 m (mod n) Această observaţie conduce la un atac ciclic: Oscar calculează c bi (mod n) pentru i = 1, 2,... până găseşte un k astfel ca c bk c (mod n). Atunci va decripta c în c bk 1 m (mod n). Un atac ciclic generalizat constă în aflarea celui mai mic întreg pozitiv k astfel ca cmmdc(c bk c, n) > 1. Vom avea implicaţia şi similar c bk c (mod p), c bk c (mod q) = k = p c bk c (mod p), c bk c (mod q) = k = q În ambele cazuri s-a obţinut factorizarea lui n. Pe de-altă parte, dacă c bk c (mod p), c bk c (mod q) = k = nşic bk c (mod n) În acest caz s-a reusţi decriptarea m = c bk 1 (mod n). Folosirea unor numere prime tari asigură o protecţie suficientă pentru acest gen de atac Alte sisteme de criptare înrudite cu RSA Sistemul de criptare Rabin Sistemul de criptare Rabin este o variantă a sistemului RSA (propusă în 1979), care oferă o securitate de calcul echivalentă. Descrierea sa este: Fie n = pq unde p, q sunt numere prime distincte, p, q 3 (mod 4). Se ia P = C= Z n şi K= {(n, p, q, B) 0 B n 1}. Pentru cheia K = (n, p, q, B) se definesc: B 2 e K (x) = x(x + B) (mod n) d K (y) = 4 + y B 2

14 14 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA Observaţia 11.3 Numerele prime n cu n 3 (mod 4) se numesc numere Blum. Există patru texte clare distincte care se pot cripta în acelaşi text. Să detaliem această afirmaţie: Fie α una din cele patru rădăcini pătrate modulo n ale unităţii, şi x Z n. Efectuăm calculele ( e K (α x + B ) B ) ( = α 2 x + B ) 2 ( ) B 2 = x 2 + Bx = e K (x) (calculele s-au realizat în Z n, iar împărţirea la 2 şi 4 s-a făcut prin înmulţirea în Z n cu 2 1 respectiv 4 1 ). Cele patru texte clare care se cifrează în e K (x) sunt x, x B, α(x + B/2) B/2 şi α(x + B/2) B/2, unde α este o rădăcină pătrată netrivială a unităţii modulo n. Verificarea este imediată. În general, Bob nu are nici un mijloc de a distinge care din cele patru mesaje este cel corect, dacă nu dispune de informaţii suplimentare. Să vedem cum se realizează decriptarea. Bob primeşte mesajul criptat y şi încearcă să să determine x astfel ca x 2 + Bx y (mod n). Aceasta este o ecuaţie de gradul doi în x. Termenul de gradul 1 se poate elimina folosind substituţia x 1 = x + B/2 (sau echivalent x = x 1 B/2). Se ajunge la ecuaţia x 2 1 B2 4 + y (mod n). Notând membrul drept cu C, această ecuaţie se scrie x 2 1 C (mod n). Deci decriptarea se reduce la extragerea rădăcinilor pătrate modulo n. Aceasta echivalează cu rezolvarea sistemului x 2 1 C (mod p) x 2 1 C (mod q) care, prin combinarea soluţiilor fiecărei ecuaţii va da patru rădăcini pătrate mo-dulo n. Într-o criptare corectă, C este totdeauna un rest pătratic modulo p şi q. Dacă p 3 (mod 4), există o formulă simplă pentru extragerea rădăcinilor pătrate dintr-un rest pătratic C modulo p. Avem (calculele se fac modulo p): ( ±C (p+1)/4 ) 2 C (p+1)/2 C (p 1)/2 C C (s-a folosit Teorema 10.1). Avem deci cele patru rădăcini pătratice ±C (p+1)/4 (mod p), ±C (q+1)/4 (mod q) care prin combinare pe baza teoremei chineze a resturilor dau cele patru rădăcini pătrate ale lui C.

15 11.6. ALTE SISTEME DE CRIPTARE ÎNRUDITE CU RSA 15 Observaţia 11.4 De remarcat că nu se cunoaşte un algoritm polinomial determinist pentru extragerea rădăcinilor pătratice modulo p pentru p 1 (mod 4); în această situaţie există doar algoritmi Las Vegas. După determinarea acestor rădăcini x 1, se află x = x 1 B/2. Aceasta dă formula de decriptare din enunţul metodei Rabin. Exemplul Fie n = 77 = 7 11 şi B = 9. Funcţia de criptare este e K (x) = x 2 + 9x (mod 77) iar cea de decriptare 1 + y 43 (mod 77). d K (y) = Să presupunem că Bob vrea să decripteze textul y = 22. El va trebui să determine rădăcinile pătrate ale lui 23 modulo 7 şi 11. Cum aceste două module sunt congruente cu 3 modulo 4, se poate aplica formula arătată anterior: 23 (7+1)/ (mod 7) 23 (11+1)/ (mod 11). Utilizând teorema chineză a resturilor, se obţin rădăcinile pătrate ale lui 23 modulo 77: 11 2 a b (mod 77) unde a = ±4, b = ±1. Calculând, se obţin valorile posibile (calculate modulo 77) vor fi deci: ±10, ±32. Cele patru texte clare = 44, = 24, = 66, = 2. Se verifică imediat că toate aceste patru texte clare se criptează în 22. Să studiem acum securitatea sistemului de criptare Rabin. Să presupunem că există un algoritm de decriptare A; acesta poate fi atunci utilizat într-un algoritm Las Vegas care descompune modulul n cu probabilitate 1/2; algoritmul este următorul: 1. Se alege aleator r Z n ; 2. y r 2 B 2 /4 mod n; 3. x A(y); 4. x 1 x + B/2; 5. if x 1 ±r (mod n) then Stop (eşec) else cmmdc(x 1 + r, n) = p sau q, Stop Să observăm întâi că y = e K ( r B 2 ), deci la pasul 3 se decriptează x sub forma r B/2. Cum la pasul 5. avem x 2 1 r 2 (mod n), rezultă x 1 ±r (mod n) sau x 1 ±αr (mod n), unde α este o rădăcină netrivială modulo n a unităţii. În al doilea caz, n (x 1 r)(x 1 + r)

16 16 PRELEGEREA 11. SECURITATEA SISTEMULUI RSA şi n nu divide nici unul din cei doi factori. Deci, calculul lui cmmdc(x 1 + r, n) sau cmmdc(x 1 r, n) va da p sau q, adică o descompunere a lui n. Să calculăm probabilitatea de succes a algoritmului ([2]), din n 1 extrageri posibile ale lui r. Pentru două resturi nenule r 1, r 2, se defineşte r 1 r 2 r 2 1 r 2 2 (mod n) Aceasta este evident o relaţie de echivalenţṫoate clasele de echivalenţă din Z n sunt de cardinal patru, fiecare fiind de forma [r] = {±r, ± alr}. În algoritmul anterior, două valori dintr-o clasă de echivalenţă conduc la acelaşi y. Să considerăm un x 1 calculat plecând de la valoarea x returnată de oracolul A pentru un y dat. x 1 este un element din [r]. Dacă x 1 = ±r, algoritmul eşuează; dacă x 1 = ± alr, el reuşeşte să descompună n. Cum r este aleator, cele patru posibilităţi sunt echi-probabile, deci algoritmul dă reuşită în 50% din cazuri Exerciţii 11.1 Folosind metoda p 1 şi diverse margini B, factorizaţi şi Cât este B pentru fiecare caz? 11.2 Fie n = şi b = Descompuneţi n în factori, folosind algoritmul lui Wiener Considerăm algoritmul lui Rabin cu p = 199, q = 211, n = pq şi B = (a) Criptaţi mesajul 32767; (b) Determinaţi cele 4 mesaje clare care duc la textul criptat y = e K (32767).

17 Bibliografie [1] A. Menezes, P. Oorschot, S. Vanstome, Handbook of applied cryptography [2] D. Stinton, Cryptography, theory et practice, Chapman & Hall/CRC, 2002 [3] A. Salomaa, Criptografie cu chei publice, Ed. Militară, 1994 [4] M.J. Wiener - Cryptanalysis of short RSA secret exponents, IEEE Trans on Information Theory, 36 (1990),

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

S-TCM. Figura 11. Alocarea MSP pentru TCM din Ex partiţionarea continuă în funcţie de valoarea celui Δ 2 =2a

S-TCM. Figura 11. Alocarea MSP pentru TCM din Ex partiţionarea continuă în funcţie de valoarea celui Δ 2 =2a d Precod Dif i i + B B - B - + C C C Mod. 8-PSK Subset El. din subset S-TCM Schema bloc a codorului TCM este prezentată în fig.. Modulaţia necodată care asigură acelaşi debit binar util este -PSK, care

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

ARHITECTURA, FUNCŢIONAREA ŞI APLICAŢII ALE TEMPORIZATORULUI 555

ARHITECTURA, FUNCŢIONAREA ŞI APLICAŢII ALE TEMPORIZATORULUI 555 ARHITETURA, FUNŢIONAREA ŞI APLIAŢII ALE TEMPORIZATORULUI 555 1. Arhitectura temporizatorului 555 Temporizatorul 555 a fost folosit prima oară în 1971 de Signetics orporation şi a fost primul temporizator

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM ANEXA Prezentare model actuarial GLM INTRODUCERE Societățile de asigurare folosesc metode actuariale pentru a determina aceste variabile utilizându-se în general o modelare de tipul generalized linear

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE 5.1. Analiza conceptuală a termenilor de fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată [Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată Statistică Aplicată (C1) 1 Elemente de Statistic teoretic (C1) Populaµie statistic O populaµie (colectivitate) statistic este o mulµime de elemente ce posed o trasatur

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

4. FAMILIA DE CIRCUITE INTEGRATE NUMERICE CMOS ( )

4. FAMILIA DE CIRCUITE INTEGRATE NUMERICE CMOS ( ) 4. FAMILIA DE CIRCUITE INTEGRATE NUMERICE CMOS (9.4.4) 4.. INTRODUCERE Familia de circuite integrate CMOS a fost dezvoltată aproximativ în aceeaşi perioadă cu familia TTL, dar iniţial a avut o extindere

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ SPRING User s Manual Air Purifier with Ionizer Εγχειρίδιο Χρήστη Ιονιστής/Καθαριστής αέρα Σας ευχαριστούµε για την επιλογή ηλεκτρικών συσκευών INVENTOR. Για την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Producator: BIANCHI F.LLI srl - Italia Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Model : Articol 447 / B de la ½ la 2 Cod Romstal: 40180447, 40184471, 40184472, 40184473, 40184474,

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE ELECTRONICE FUNDAMENTALE - Probleme zona tematică 5 -

CIRCUITE ELECTRONICE FUNDAMENTALE - Probleme zona tematică 5 - CICITE ELECTONICE FNDAMENTALE - Probleme zona tematică 5 -. Se consideră circuitul amplificator din figur de mai jos, pentru care se cunosc parametrii TEC-J: g m = 5mA/V, r ds =, C gd = 5pF, C gs = pf,

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice ÎNDRUMĂTOR DE PROIECTARE A MAŞINII ASINCRONE Pentru uz intern La baza acestui îndrumător stă un material elaborat de domnul dr.ing. Madescu

Διαβάστε περισσότερα

EPSICOM GENERATOR CU NE 555 EP Colecţia Începători. Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale

EPSICOM GENERATOR CU NE 555 EP Colecţia Începători. Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale EPSICOM Ready Prototyping Colecţia Începători EP 0004... Cuprins Introducere 1. Funcţionare 2 2. Schema 2 3. Lista de componente 3 4. PCB 4 5. Tutorial Circuitul NE555 5-6 GENERATOR CU NE 555 Avantaj Pret/Calitate

Διαβάστε περισσότερα

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE REPARTIŢIA TENSINILOR ÎNALTE PE LANŢRI DE IZOLATOARE 1. NOTINI TEORETICE Principalul criteriu distinctiv al sistemelor şi echipamentelor electrice de înaltă tensiune faţă de cele de joasă tensiune îl constituie

Διαβάστε περισσότερα