Дискретни естиматор флукса ротора асинхроног мотора у погонима високих брзина

Transcript

1 INFOEH-JAHOINA Vol., Mach. Дискретни естиматор флукса ротора асинхроног мотора у погонима високих брзина Петар Матић, Игор Крчмар Електротехнички факултет Универзитет у Бањој Луци Бања Лука, Република Српска Дарко Марчетић Факултет техничких наука Универзитет у Новом Саду Нови Сад, Србија Садржај Рад се бави дискретном естимацијом флукса ротора асинхроног мотора у погонима високих брзина. У овим погонима однос између учестаности одабирања и учестаности основног хармоника је врло мали, реда величине десетак тачака по периоди. Због тога настаје значајна грешка естимације флукса и јавља се проблем стабилности када се користе класични естиматори добијени уобичајеним поступцима дискретизације континуалног модела. У раду је анализирана стабилност класичних естиматора, а затим је, примјеном билинеарне дискретизације, изведен оригинални стабилан естиматор флукса ротора који омогућава тачну естимацију и при изузетно малим односима управљачке и основне учестаности. Перформансе предложеног дискретног естиматора верификоване су прво аналитички, а затим рачунарском симулацијом. Кључне ријечи - Асинхрони мотор, Флукс ротора, Естимација. I. УВОД Естимација флукса ротора асинхроног мотора је неопходна у погонима средњих и високих перформанси. На основу естимираног флукса ротора одређују се све величине потребне за затварање повратних спрега, као што су момент, клизање и брзина обртања [, ]. Квалитет естиматора флукса даље дефинише перформансе цјелокупног електромоторног погона. Високобрзински асинхрони мотори, са радном учестаношћу реда више стотина херца, су знатно јефтинији у односу на класичне [3]. Са друге стране, учестаност управљања је ограничена цијеном процесора и дозвољеним комутационим губицима, па не може бити већа од неке унапријед одређене вриједности []. Ова два опречна услова резултују малим односом између основне и управљачке учестаности. Због тога је потребно развити посебну методологију естимације флукса ротора за примјену у електромоторним погонима са малим односом управљачке и основне учестаности. Флукс ротора може се естимирати на два основна начина. Први начин је интеграција једначине напонске равнотеже статорског намотаја (тзв. напонски естиматор у којој фигуришу терминалне величине мотора (напон и струја. Овај естиматор је осјетљив на варијације напона, једносмјерну компоненту и промјену омске отпорности намотаја статора. Други начин је интеграција једначине напонске равнотеже роторског кола (тзв. струјни естиматор, у којој фигуришу мјерене струје и брзина обртања. Овај естиматор је осјетљив на варијацију роторске временске константе и величину периоде одабирања. Због постојања интерне негативне повратне спреге по естимираном флуксу, струјни естиматор даје тачнију вриједност естимираног флукса у односу на напонски, па је уобичајен у погонима средњих и високих перформанси. Врло често се оба естиматора користе у паралелном раду, па се међусобним поређењем естимираних вриједности адаптивно коригују остале естимиране величине (брзина обртања, омске отпорности итд. Осим тога, и многи сложени системи естимације (Калманов филтер, обсервери стања, неуронске мреже итд у основи имају интеграцију индуковане контра електромоторне силе статора и/или ротора [, ]. При дигиталној имплементацији естиматора, неопходно је дискретизовати једначине напонске равнотеже. Уобичајено се у пракси користи једноставна прва или друга варијанта Ојлерове апроксимације интеграла (енг. et/ght Eule, комбинована Ојлерова апроксимација (енг. Syetc Eule или апроксимацијa интеграла нископропусним филтром [6, 7]. Ови поступци дају задовољавајуће резултате при дискретизацији напонског естиматора, као и при дискретизацији струјног естиматора у случају када је однос између учестаности одабирања и учестаности основног хармоника велики (преко 3. Међутим, у погонима врло високих брзина, однос основне и управљачке учестаности је недовољан, што узрокује велику грешку дискретизованог струјног естиматора. Овај проблем је познат у литератури, али задовољавајуће рјешење још није нађено [,, 6, 7]. У наставку ће прво бити дате континуалне једначине асинхроног мотора које се користе у естиматорима флукса ротора. Анализираће се перформансе дигиталних естиматора добијених уобичајеним поступцима дискретизације. Након тога ће се предложити оригинални естиматор флукса ротора заснован на билинеарној дискретизацији и описаће се поступак његове реализације у пракси. На крају рада, перформансе предложеног рјешења биће илустроване симулацијом

2 II. МАТЕМАТИЧКИ МОДЕЛИ ЕСТИМАТОРА ФЛУКСА РОТОРА A. Континуалне једначине естиматора Математички модел струјног и напонског естиматора флукса ротора заснован је на нормализованим једначинама напонске равнотеже статора и ротора, те флуксних обухвата у непокретном координатном систему: d Ψ [ u ], dt ( d Ψ [( / Ψ ( / j ], dt ( Ψ ( / [ Ψ σ ], (3 гдје су u u α juβ и α jβ полифазори напона и струје статора, Ψ Ψα jψβ и Ψ Ψα jψβ полифазори флукса статора и ротора,,,, отпорности и индуктивности статора и ротора, и σ / индуктивност магнећења и коефицијент расипања, а и [ ad / ] брзина обртања и базна брзина. B. Дискретни напонски естиматор по et Eule методи Дискретни напонски естиматор добија се et Eule (ЛЕ апроксимацијом. Извод функције (t у тренутку k према [, ]: d ( t ( k, k,,..., ( dt па је напонски естиматор флукса ротора из ( и (3: ( k ( Ψ [ u ] Ψ, (5 α PF α α α ( k ( Ψ [ u ] Ψ, (6 β PF β β α ( [ Ψα σα ] ( Ψ σ β Ψ /, (7 [ ] Ψ β / β β, (8 гдје је PF временска константа евентуалног НФ филтра којим се побољшава естимација на малим бризнама и елиминише кумулативни утицај једносмјерне компоненте у естимираном флуксу. У режиму великих брзина, овај филтер практично нема утицаја []. C. Дискретни струјни естиматор по et Eule методи Дискретни струјни естиматор по ЛЕ методи добија се из ( примјеном ( као [, ]: α ( k Ψα Ψβ 3α β ( k Ψβ Ψα 3β гдје су коефицијенти ( / 3 ( /. Ψ, (9 Ψ, (, и D. Дискретни струјни естиматор по Syetc Eule методи Дискретни струјни естиматор по Syetc Eule (СЕ методи добија се тако што се једна од једначина ЛЕ естиматора ((9 или ( модификује тако да у њој фигурише флукс ротора супротне осе из наредног тренутка [6, 7]. Оваквом комбинацијом et и ght Eule (РЕ методе естиматор и даље остаје каузалан, за разлику од ситуације када би се само користио РЕ поступак за дискретизацију обје једначине. СЕ естиматор је облика: ( k Ψ Ψ Ψ, ( α α β 3 α ( k Ψ Ψ ( k Ψ. ( β β α 3 β E. Дискретизација на бази билинеарне трансформације Тачнија дискретизација континуалне функције могућа је апроксимацијом интеграла одговарајућим трапезом, а не правоугаоником, тј. примјеном Тустинове дискретизације. Овај поступак не може бити примијењен директно на ( јер се ради о нелинеарној диференцијалној једначини. Због тога се извод функције (t прво апроксимира на сљедећи начин: d ( t g( t, (3 dt ( k ( k ( k g( τ dτ. ( Примјеном поступка (3- на ( добија се: Ψ ( τ dτ j k k Ψ ( k Ψ ( k k k k ( k ( τ Ψ k ( τ dτ. (5 ( τ dτ Пошто су улази у естиматор мјерене струја и мјерена брзина, који се добијају из кола задршке првог реда, може се сматрати да се они не мијењају током периоде одабирања, па је ( k k ( τ dτ ( k, (6 ( τ ( k, k τ ( k. (7 Интеграл флукса ротора у (5 добија се апроксимацијом одговарајућим трапезом: k k Ψ ( τ d τ [ Ψ ( k Ψ ]. (8 Након уврштавања (6-8 у (5, предложени естиматор флукса ротора може се написати у облику:

3 Ψ α Ψ β ( k Ψα Ψβ Ψ ( k гдје су коефицијенти β 3 α ( k Ψβ Ψα Ψ ( k α 3 β [ ( /( ] [ ( /( ] [( / ] [ ( /( ] [( / ]/[ ( /( ], (9, (,. ( 3 Добијени естиматор (9- је каузалан јер представља систем од двије једначине са двије непознате. Рјешење система једначина представља коначни израз за Тустинов естиматор (ТУС у облику: гдје су A B * Ψ α ( k, ( B A* Ψ β ( k, (3 Ψβ α Ψ A Ψ, ( α 3 B Ψ. (5 β α 3 β III. АНАЛИЗА СТАБИЛНОСТИ ЕСТИМАТОРА Једначине разматраних естиматора дају дискретни модел динамичког система у простору стања. Прије преласка на анализу стабилности уводи се претпоставка да је cont. Ако се ова претпоставка испусти, анализа стабилности се нешто компликује. Уводе се ознаке [ Ψ ( k ] α Ψ Ψ k, (6 ( β гдје је Ψ (k вектор стања система, те [ ( k ] I k (7 ( α β вектор улаза (управљачких промјенљивих система. Сада се посматрани модели, могу записати у општем облику Ψ ( k EΨ F I( k. (8 Да би систем (8 био стабилан, потребно је и довољно да својствене вриједности матрице E, по апсолутној вриједности буду мање од. Својство стабилности се може утврдити примјеном Juy-јевог теста. Juy-јев тест стабилности ради са карактеристичним полиномом система. За дискретни систем описан једначином (8, карактеристични полином је дефинисан са n n ( J E an an a ( det a. (9 У (9 са J је означена јединична матрица одговарајуће димензије, а је комплексна промјенљива. Како се Juy-јев тест, у конкретном случају примјењује на системе другог реда, за стабилност система треба да буду задовољени слиједећи услови (, (3 (, (3 a a. (3 Анализа стабилности, за поједине естиматоре фликса, приказана је како слиједи. A. Лијеви Ојлер Матрица E код овог естиматора је дефинисана са EE, (33 па је карактеристични полином дефинисан са ( J EE ( ( ( E ( det. (3 Тест стабилности се своди на услове (3 до (3 ( ( ( ( a (, (35 E E, (36 a. (37 Уврштавањем параметара, и 3 у неједнакости (35 до (37 добија се да су неједнакости (35 и (36 увијек задовољене, а неједнакост (37 се своди на. (38 [( ] B. Симетрични Ојлер Матрица E код овог естиматора је дефинисана са E, (39 па је карактеристични полином дефинисан са ( det ( J E ( ( ( [ ]. ( Тест стабилности се сада своди на испитивање услова (3 до (3: ( ( ( (, (, ( a a. (

4 Уврштавањем параметара, и 3 у неједнакости ( до (3 добија се да је неједнакост ( увијек задовољена. Неједнакост ( се своди на услов. ( Овдје се разликују два случаја.. Сада су рјешења ( одређена са ( (. (5.б У овом случају су рјешења ( одређена са (. (6 На послијетку услов (5 се своди на (. (7 Анализом израза (5, (6 и (7, закључује се да је стабилност посматраног естиматора одређена изразом (6. C. Тустинов естиматор Матрица E код овог естиматора је дефинисана са ( ( E, (8 па је карактеристични полином дефинисан са ( ( det ( E J. (9 Тест стабилности се сада своди на испитивање услова (3 до (3 ( (5 ( (5 a a (5 Уврштавањем параметара, и 3 у неједнакости (5 до (5 добија се да су наведене неједнакости увијек задовољене, тј. Тустинов естиматор је, под наведеним претпоставкама, увијек стабилан. D. Анализа добијених резултата На Сл. приказани су услови стабилности за ЛЕ (38 и СЕ (6 естиматор, а који су дефинисани површином испод одговарајуће криве. Са Сл. види се да је за ЛЕ естиматор потребна много мања периода одабирања како би исти био стабилан x -3 [.j] n [] E Слика. Минимална периода одабирања за стабилан рад ЛЕ и СЕ IV. КОМПЕНЗАЦИЈА ФРЕКВЕНЦИЈСКОГ УВИЈАЊА Естиматор, описан једначинама (-3, је изведен под претпоставком да су улазне величене у естиматор, као динамички систем, простопериодичне функције, тачније синусне и косинусне функције времена. Надаље, естиматор се посматра као динамички систем при простопериодичној побуди у устаљеном режиму рада. То води на закључак да једначине (-3 дефинишу неки облик фреквенцијских карактеристика, посматраног динамичког система. Како је при дискретизацији примјењен принцип трапезне (Тустинове апроксимације, може се очекивати да се при имплементацији поменуте методе јави проблем фреквенцијског увијања [8]. Скупљање фреквеницјске осе се компензује прије дискретизације Тустиновом методом. Компензација се врши на тачно одређеној фреквенцији, те не вриједи за опсег фреквенција или фреквентно подручје. Да би се компензација реализовала, потребно је фреквенцијску карактеристику континуалног система, претходно, развући. Тачније, формира се нова фреквенцијска карактеристика c j G j G ( (, (59 гдје се константом c скалира учестаност естимираног сигнала. За Тустинову апроксимацију, коефицијент компензације је [8]:

5 c. (6 tg( ( / Да би се наведена компензација имплементирала у естиматору (-3, било би потребно синхрону брзину скалирати фактором c. Како у једначинама естиматора фигурише само механичка брзина, које се од синхроне разликује због величине клизања, једино рационално је да се скалирање изврши на механичкој брзини, тј. да се у рачун уведе c, умјесто. На Сл. приказана је зависност коефицијента (6 од синхроне брзине и величине периоде одабирања веома велику грешку, док за веома велике вриједности периоде одабирања естиматор није стабилан јер није испуњен услов (7., e.5.5 e t [] a t [] C.98 Слика 3. Брзина, момент и струја током залета kh kh 3kH [H]. Слика. Коефицијент компензације фреквенцијског увијања Са Сл. види се да за веће синхроне учестаности вриједност коефицијента компензације (6 више одступа од јединице. Исто важи и за мање вриједности учестаности одабирања, тј. и тада је потребна значајнија компензација. Пошто се скалирање обавља пo тренутној вриједности брзине обртања, која се од синхроне брзине разликује за вриједност клизања (реда величине до 3%, може се на основу Сл. примијетити да је утицај клизања на вриједност коефицијента компензације релативно мали. V. РЕЗУЛТАТИ СИМУЛАЦИЈЕ На Сл. 3-7 приказана је симулација рада СЕ и ТУС естиматора у два режима, док рад ЛЕ естиматора није посматран због већ наведених проблема са стабилношћу. Осим приказа ова два естиматора, на сликама је приказан и флукс ротора добијен нумеричким рјешавањем континуалних једначина модела (-3. У свим симулацијама усвојено је да је основна учестаност 5 H. У првом режиму (Сл 3-5 симулиран мотор се прикључује на номинални напон учестаности 5 H. Са Сл. 3 види се како момент, брзина и струја улазе у стационарно стање. На Сл. приказан је одзив СЕ естиматора за двије различите вриједности периоде одабирања, 5 и. Са Сл. види се да за већу вриједност периоде одабирања СЕ естиматор ствара Ψ, Contnou e-5 [] e- [] t [] Слика. Флукс ротора естимиран СЕ естиматором На Сл. 5 приказан је одзив ТУС естиматора за три вриједности периоде одабирања, двије исте као и у симулацији СЕ естиматора са Сл., и трећој, десет пута већој. Види се да ТУС естиматор даје тачнији одзив, те да стабилно ради и при веома малом односу основне и учестаности одабирања. На Сл. 6-7 приказани су резултати симулације у којој мотор убрзава из мировања на брзину 6 пута, а затим на пута већу од номиналне, односно када је учестаност основног хармоника 3 H и 6 H, а учестаност одабирања је kh. Са Сл. 7 види се да ТУС естиматор даје одзив без пулсација при свим брзинама, док СЕ естиматор гријеши на великој брзини, када је однос основне и учестаности одабирања мањи од

6 Ψ, Contnou e-5 [] e- [] e-3 [] t [] Слика 5. Флукс ротора естимиран ТУС естиматором, e a t [] e t [] Слика 6. Брзина, момент и струја током убрзавања са 6 p.u на p.u. Ψ, Contnou US t [] Слика 7. Флукс ротора естимиран СЕ и ТУС естиматором током убрзавања са 6 p.u на p.u. VI. ЗАКЉУЧАК У раду је анализирана проблематика дискретизације једначина струјног естиматора флукса ротора у погонима са малим односом основне и учестаности одабирања. Показано је да уобичајени естиматори, базирани на примјени лијеве и десне Ојлерове апроксимације, нису стабилни при малом односу основне и учестаности одабирања. Предложен је естиматор флукса ротора, заснован на модификованој Тустиновој апроксимацији континуалних једначина, за који је аналитички показано да увијек ради стабилно. Симулацијом на рачунару показано је да предложени естиматор даје изузетно брз и тачан одзив, без пулсација, а да је једноставан за практичну имплементацију у погонима високих перформанси. За рад предложеног естиматора неопходно је познавање тренутне вриједности брзине обртања, на исти начин као и у класичним ЛЕ и СЕ еситматорима флукса ротора. У ту сврху се може користити измјерена или естимирана брзина, тако да се предложени естиматор може примијенити како у погонима са давачем, тако и у погонима без давача брзине, јер он представља алтернативу класичним естиматорима флукса ротора. ЛИТЕРАТУРА [] D. W. Novotny,. A. po: Vecto Contol and Dynac o AC Dve, Oxod Unvety Pe, ondon, 997. [] Pete Va: Senole Vecto and Dect oque Contol, Oxod Unvety Pe, ondon, 998. [3] S. Vukoavc, Degnng Enegy Conveon Syte o the Next Decade, 6th Intenatonal Sypou on Powe Electonc, Poceedng, Nov Sad, Sea, Octoe 6th - 8th,. [] Hao uota, ouk Matue, Тakayoh Nako: DSP-Baed Speed Adaptve Flux Oeve o Inducton Moto IEEE anacton on Induty Applcaton, Vol. 9, No, pp.3-38, Mach/Apl 993. [5] yung-seo, Il-Han, Degn o a Dcete Flux Oeve y the Powe See Appoxaton, Jounal o Powe Electonc, Vol., No. 3, pp. 3-3, May [6] Mako Hnkkanen, Joa uo, Paaete Sentvty o Full-Ode Flux Oeve o Inducton Moto IEEE anacton on Induty Applcaton, Vol. 39, Nо., pp. 7-35, July/Augut 3. [7]. Haneo, M. Hnkkanen, Coplete Stalty o educed-ode and Full-Ode Oeve o Senole IM Dve, IEEE an. Ind. Electonc, Vol. 55, No. 3, pp , Mach. 8. [8] С. Турајлић: Управљање процесима помоћу рачунара, Електротехнички факултет у Београду, скрипта, 8. ABSAC Novel dcete oto lux etato utale o hgh peed nducton oto dve deced. In thoe dve, the ato etween undaental haonc and aplng equency vey all, n the ode o ten pont pe peod. heeoe, clacal etato aed on conventonal dcetaton ethod ae ued, a gncant eo and talty pole occu. In th wok lnea dcetaton o the oto lux etato popoed, whch enale accuate etaton, even wth vey all ato etween undaental and aple equency. he peoance o the popoed dcete etato veed analytcally, and y ulaton. DISCEE OO FUX ESIMAO FO HIGH SPEED INDUCION MOO Peta Matć, Igo ča, Dako Mačetć