Ekuazioak eta sistemak
|
|
- Βηθεσδά Κοντόσταυλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste batzuk ebazten. Ekuazio linealen sistemak ebazten, metodo desberdinak erabilita. Bigarren mailako ekuazioen sistemak ebazten. Aljebraren hizkuntza problemak ebazteko aplikatzen. Hasi baino lehen. 1.Bigarren mailako ekuazioak..orria 58. mailako ekuazio osoak. mailako ekuazio ez-osoak. mailako ekuazio baten emaitzak Ekuazio bikarratuak Ecuaciones racionales.ekuazio linealen sistemak...orria 61 Sistema baten ebazpena Sistema bateragarriak eta bateraezinak Ebatzi sistemak ordezkapen-metodoa erabiliz Ebatzi sistemak berdinketa-metodoa erabiliz Ebatzi sistemak laburketa-metodoa erabiliz 3.Bigarren mailako sistemak...orria 63 Mota honetakoak: ax+byc x yd Mota honetakoak: a 0 x +b 0 y c 0 a 1 x+b 1 yc 1 4.Aplikazio praktikoak...orria 64 Problemen ebazpenak Praktikatzeko ariketak Gehiago jakiteko Lapurpena Autoebaluazioa Tutoreari bidaltzeko jarduerak MATEMATIKA B 55
2 56 MATEMATIKA B
3 Hasi baino lehen Eguneroko bizitzan topatzen ditugun problema praktiko askori aurre egiteko, ekuazio edo ekuazio-sistema bat ebatzi behar izaten dugu. Halakoetan, "aljebraren hizkuntza" erabili behar izaten dugu, izan ere hizkuntza aljebraikoa baliagarri gertatzen baitzaigu ohiko hizkuntzan helarazteko zailak diren erlazioak zehaztasunez adierazteko. Magoak proposatzen duen jolasa lagun bati egiten saiatu, pentsatutako zenbakia asmatzeko nahikoa da zure emaitzari 1000 kendu eta zati 100 egitea, ekuazio bat planteatzen baduzu egiaztatu ahal izango duzu: Pentsa ezazu zenbaki bat x Bikoiztu x Gehitu 5 unitate x+5 Biderkatu bider 5 5 (x+5) Batu 75 unitate 5 (x+5)+75 Biderkatu dena bider [5 (x+5)+75] 10 [5 (x+5)+75]emaitza 10 (10x+5+75) emaitza 10 (10x+100) emaitza 100x+1000emaitza x(emaitza-1000)/100 Pentsa ezazu zenbaki bat, bikoiztu, gehitu 5 unitate, biderkatu bider 5, batu 75 unitate eta Biderkatu dena bider 10. Orain emaitza esan eta zure zenbakia asmatuko dut Aljebrar ekin erraza MATEMATIKA B 57
4 1. Bigarren mailako ekuazioak. mailako ekuazioak honelakoak dira: ax + bx + c 0 Ebazteko ondoko formula erabiliko dugu: Ebatzi: x - x x b ± b a 4ac Ekuazio hauek bi ebazpen izan ditzakete, ebazpen bakarra edo ebazpenik ez, b -4ac-ren arabera, honi diskriminatzailea deitzen zaio. b -4ac > 0 b -4ac 0 b -4ac < 0 Bi ebazpen daude. Ebazpen bikoitza dago: x-b/a Ez dago ebazpenik. ( ) ± ( ) 4 1 ( 8) x 1 ± ± 36 ± 6 Bi ebazpen lortuko ditugu: x4 x- Ekuazio ez-osoak b, c edo biak 0 direnean. mailako ekuazio ez-osoa da. Kasu hauetan formula aplikatzea ez da beharrezkoa eta jarraian azaltzen den moduan egitea errazagoa da: b0 baldin bada ax + c 0 ax -c x -c/a x ± c a Nola lortzen da formula? ax +bx+c0 c beste aldera pasa: ax +bx -c 4a-gatik biderkatu: 4a x +4abx-4ac b gehitu: 4a x +4abx+b b -4ac Karratu perfektua dugu: (ax+b) b -4ac Erroa atera: x bakandu: ax + b ± b ± x 4ac Ebatzi: x - 6x 0 b b a 4ac x(x - 6) 0 Ebazpenak: x0 x3 c0 baldin bada ax + bx 0 x faktore komuna aterata : x(ax+b)0 x0, x-b/a dira bi ebazpenak. Ebatzi: -x / + 0 x 4 Ebazpenak: x x- 58 MATEMATIKA B
5 Askatu: x 4-5x +40 x t t -5t+40 5 ± t ± Ekuazio bikarratuak ax 4 +bx +c0 motako ekuazioak bikarratuak dira. Hauek ebazteko nahikoa da x t egitea eta. mailako ekuazioa lortuko dugu: at +bt+c0, non t 4 x t 1 x 4 x ± 4 ± 1 x ± 1 ± 1 t b ± b 4ac a x ± x ± t1 t Askatu: x 4 1 x Izendatzaileak kenduko ditugu : x(1-x)-4(1-x) Eragiketa egin : x-x -4-4x Ebatzi : x -5x+60 5 ± ± 1 3 x Ebazpenak egiaztatu: x3 x Biak baliodunak dira Jarraian. mailako ekuazio bihurtzen diren ekuazio batzuk ikusiko ditugu. Ebatzitako ariketetan adibide gehiago ikus ditzakezu. Arrazionalak Ekuazio hauetan ezezaguna izendatzailean azaltzen da. Hauek ebazteko ondoko prozesua jarraitu behar da: lehenik izendatzaileak kendu, eragiketa egin eta gelditzen den ekuazioa ebatzi. Komeni da lortutako ebazpenek izendatzailea ezeztatzen ez dutela egiaztatzea, hala gertatuko balitz ez litzatekeelako baliagarria izango. Askatu: x 1 + x 7 Erroa alde batera utzi: x 1 7 x Karratua egin: ( x 1) (7 x) x x+x Ebatzi: x -15x ± ± 5 10 x 5 Ebazpenak egiaztatu: x10 ez da balioduna x5 da ebazpena Ekuazio irrazionalak Ekuazio hauetan ezezaguna erroaren barruan azaltzen da. Hauek ebazteko erroa albo batera uzten da eta bi aldeak karratu egiten dira. Eragiketak eginez. mailako ekuazio batera iritsiko gara eta ebatzi egingo dugu. Karratua egitean ebazpen "arraroak" gertatzen direnez jatorrizko ekuazioak egiaztatu behar dira. MATEMATIKA B 59
6 1. Ebatzi ekuazioak: Ariketen emaitzak a) x 1 ± x x b) 9x 6 ± x x 18. Ebatzi ekuazioak: 1 ± 16 1 ± 4 6 ± a) x + 5x 0 x(x+5)0 x0, x-5/ b) x 3 0 x 16 x ± 4 3. m-ren balioa kalkulatu x +mx+90 ekuazioak ebazpen bikoitza izan dezan. Δb -4ac diskriminatzaileak 0 izan behar du, m 4 90 m 36 eta m±6 m6 baldin bada, x +6x+90 eta ebazpena x-3; m-6 baldin bada, x -6x+90 eta ebazpena x3 4. Ebatzi ekuazioak: a) x 4-5x t 5t x 5 ± ± 49 5 ± 7 16 x ± 4 t t 9 x ± 3 1. b) x 4 + 9x 16 0 t + 9t 16 0 x t 9 ± ± 79 9 ± 7 18 Sin sol. t 9 x ± 3 5. Ebatzi ekuazioak: 9 x 3 a) + (9-x)(1-x)+3(1+3x)-(1+3x)(1-x) 1 + 3x 1 x 9-9x-x+x +3+9x-+x-6x+6x 5x 3 ± ± 89 3 ± 17 3x 14 0 x /5 Ekuazioan ordezkatuz bi ebazpenek balio dute 1 x 8 b) 1 (x-)(1-x)-8 5(x+1)5(x+1)(x-) 5(x + 1) x x--x +x-40x-405x +5x-10x-10 6x 3 ± ± 56 3 ± x x / 3 Ekuazioan ordezkatuz bi ebazpenek balio dute 6. Ebatzi ekuazioak: a) x + 1 5x x + 1 5x + 1 ( x + 1) ( 5x + 1) x +x+15x+1 x -3x0 x(x-3)0 x0, x3 Ekuazioan ordezkatuz bi ebazpenek balio dute b) 3 x x 4 3x x ( 3x + 4) (4 x) 3x x+4x 4x -19x ± ± ± 13 4 x / 4 x3/4 ebazpenak bakarrik balio du 60 MATEMATIKA B
7 Adierazi: x-y1 y0,5x-0,5 Balioak ematen x 0 1 ditugu: y -0,5 0. Ekuazio-sistemak Ekuazio linealen sistema aldi berean betetzen diren lehen mailako ekuazioen multzoa da. a1x + b ax + b 1 y c y c 1 a 1, b 1, a, b, c 1, c zenbaki errealak dira Sistemaren ebazpena zenbaki bikote bat da (x,y) sistemaren bi ekuazioak egiaztatzen dituena. Ebazpen berdina duten bi sistema baliokideak dira. Ebazpena duten sistemak bateragarriak dira eta ez dutenak bateraezinak Bi ezezagunen ekuazio linealen sistema batean, ekuazio bakoitzak planoan zuzen bat irudikatzen du. Sistema bat eztabaidatzea, zuzen horiek planoan nola kokatzen diren aztertzea da. Honelakoak izan daitezke: Ebakitzaileak, sistemak ebazpen bakarra dauka, Bateragarri zehaztua deitzen da. Baterakideak, sistemak ebazpen infinituak ditu, Bateragarri zehaztugabea da. Paraleloak, sistemak 3x + ez 4y du 7 Askatu: ebazpenik, Bateraezina deitzen da. x y 1 ORDEZKAPEN METODOA ERABILIZ x bakandu. ekuazioan eta lehenengoan ordezkatu: x1+y 3(1+y)+4y-7 3+6y+4y-7 10y-10 y-1 x1+ (-1)-1 BERDINKETA METODOA ERABILIZ x bakandu bi ekuazioetan 4y 7 eta berdindu: 1 + y 3-4y-73(1+y) -4y-6y3+7-10y10 y-1 x-1 LABURKETA bidez 3x+4y-7 rekin biderkatzen dugu x 4y Batuz: 5x -5 Hortaz: x-1 Eta ordezkatuz: y-1 Ekuazio sistema bat ebazteko ondoko hiru metodoetako edozein erabiliko dugu: Ordezkatze-metodoa Ekuazioetako batean ezezagun bat bakandu eta lortutako adierazpena beste ekuazioak ordezkatu behar da, eta ezezagun bakarra duen lehen mailako ekuazio bat lortzen da; hau aurkitu ondoren bestea kalkulatu. Berdintze-metodoa Bi ekuazioetan ezezagun berdina bakandu behar da eta lortutako adierazpenak berdindu. Berriz ere ezezagun bakarra duen lehen mailako ekuazioa lortuko dugu. Laburtze-metodoa Bi ezezagunetako bat ezabatu behar dugu bi ekuazioak batuz. Horretarako bietako ekuazio bat edo biak biderkatu egingo ditugu x edo y-ren koefizienteak berdinak eta aurkako zeinukoak izan daitezen. MATEMATIKA B 61
8 Ariketen emaitzak 7. Dagozkien zuzenak adierazi eta ondoko sistemak eztabaidatu: + y 3 y 3 3x 3y 3 a) b) c) x y 1 x y 1 x y 1 Bateragarri determinatua Bateraezin Bateragarri indeterminatua 8. Ebatzi ordezpen metodoa erabiliz: x + 4y 5 3x + 5y 45 a) b) 10x 5y 5 4x y 43 1.go ekuazioan x bakandu. ekuazioan y bakandu x-5-4y.ean ordezkatu y-4x+43 1.goan ordezkatu -10(-5-4y)-5y y-5y5 3x+5(-4x+43)45 3x-0x y-45 y-7-17x-170 x10 x-5-4 (-7)3 y Ebatzi berdinketa-metodoa erabiliz: 4x + y 0 y 0 + 4x 3x 4y 31 x (31 + 4y) / 3 a) b) 6x 9y 0 y 6x / 9 5x 9y 11 x (11 + 9y) / 5 6x y y 0 + 4x x6x (31+4y)-3(11+9y) 30x-180 x y-33-7y 47y-188 y-4 y-36/9-4 x(11-36)/ Ebatzi laburketa-metodoa erabiliz: 5x 10y 5 5x + 3y 1 a) b) 8x + y 4 7x + 8y 37 Ebatzi: 5x 10y5-7 -gatik biderkatu -35x-1y gatik biderkatu 40x+10y0 5 -gatik biderkatu 35x+40y 185 Batuz: 45x 45 Batuz: 19y 38 x1 y- y x3 x y x 7y 8 izendatzaileak kenduz eta. ekuazioa sinplifikatuz, sistema baliokide bakarra bihurtzen da. LABURKETA METODOA ERABILIZ 5x-3y -3y+3y-1 x 10 x5 y1 5x 3y x y 4 6 MATEMATIKA B
9 4x + y 1 x y 3 1.go ekuazioan y1+4x.ean ordezkatuz x(1+4x)3 4x +x-30 1 ± ± 7 x 8 8 x3/4 y4 x-1 y-3 3x + y 4 x + y. ekuazioan: y-x 1.goan ordezkatzen da 3x +(-x) 4 3x +4-4x+x 4 4x -4x0 x(4x-4)0 Sistema hauetan ekuazio bat edo biak ez dira linealak. Hauek ebazteko. mailako ekuazioak ebazteko erabiltzen ditugun metodoak eta sistema linealak aplikatuko ditugu. Ikus ditzagun adibide batzuk. Mota: a Mota: a ax + by c x y c 1 1 x + b1y c x + b y c Mota honetako sistemak ebazteko x edo y bakanduko ditugu ekuazio batean eta bestean ordezkatuko dugu.murriztu egiten da eta geratzen den ekuazioa ebazten da. Amaitzeko bakandutako ekuazioan aurkitutako balioak ordezkatuko ditugu beste ezezaguna kalkulatzeko. 1 Ariketen emaitzak 11. Ebatzi: y 1 + 3y 30 a) b) x y 0 x y 4 1.go ekuazioan: xy-1. ekuazioan: x4/y. ekuazioan: (y-1)y0 1.go ekuazioan: 48/y+3y30 y -y-00 3y -30y+480 y -10y ± ± 9 5 x 4 10 ± ± 6 8 y y 4 x 5 x 3 x 1 1. Ebatzi: x + y 41 a) x + y 1 x y 7 b) x + 3y 1. ekuazioan: x-y-1. ekuazioan: x(-1-3y)/ ( 1 3y) 1.go ekuazioan: (-y-1) +y 41 1.go ekuazioan: 4 y +y+1+y 41 y 7 y +y y +6y-8y 8 y +6y-70 y ± ± 18 4 x 5 6 ± ± 1 3 x 5 y x 4 9 x 13 MATEMATIKA B 63
10 4. Problemen ebazpenak Problema bat ekuazio baten edo ekuazio-sistema baten bidez ebazteko, hizkuntza aljebraikora itzuli behar dira enuntziatuaren baldintzak eta gero ekuazioa edo planteatutako sistema ebatzi. A continuación puedes ver algunos ejemplos: Bilera batean partaide bakoitzak beste guztiak agurtzen ditu, trukatzen diren agur kopurua 8 bada, zenbat pertsonek hartzen dute parte bileran? x laguntzaile kopurua x(x 1) 8 x x56 x x ± ± 15 x Ondokoa lortuko dugu x-14/-7 eta x16/8 Ebazpen negatiboak ez du balio pertsona kopuruaz ari garelako, beraz, 8 pertsona joango dira. Bi pertsonak topo egiten dute eta bakoitzak kapital zehatz bat du. Batak besteari esaten dio: Daukazunetik 3 unitate ematen badizkidazu, nik dudanari gehituz biok berdina izango dugu ;; eta besteak eratzuten dio: Zuk duzunetik 6 unitate ematen badizkiot eta geratzen zaizunaren bikoitza izando du. Zenbat du bakoitzak? A-k badauka x + 3 y 3 y 6 B- b (x 6) y + 6 x y 18 Ebatzi laburketa-metodoa erabiliz: x + y 6 x y 18 x 4 y6+x30 Lursail angeluzuzen bat hesiz inguratu nahi da, alde batean eureka dagoela. Lursailaren azalera 000 m -koa bada eta hesitu beharreko hiru aldeek 140 m neurtzen badute, zein dira lursailaren neurriak?. Dimensiones: x (ancho), y (largo) + y 140 x y ekuazioan: y140-x Sustituyendo en la ª: x (140-x)000 Resolvemos la ecuación: x - 140x x50 y40 x0 y100 Problemak ebazteko 1º) Enuntziatua ulertu. º) Ezezagunak identifikatu. 3º) Hizkuntza aljebraikoa itzuli. 4º) Ekuazioa edo sistema ebatzi. 5º) Egiaztatu ebazpenak. Laguntzaile kopurua: x Bakoitzak beste guztiak agurtzen ditu: x-1 A B eta B A agurrak berdinak dira, beraz, agur kopurua: x: zabalera y: luzera x (x-1)/ Egiaztapena: 8 pertsona, bakoitzak beste 7ak agurtzen ditu; eta erdia 8. A pertsona: B pertsona: A-k badaukax B- badaukay x y B-k ematen dio 3 A-ren Hesitu behar den perimetroa: x+y140 m Azalera (oinarria x altuera): x y000 m Egiaztapena: x50 y40 x y x0 y100 x y y A-k B-ri 6 ematen dizkio x+3 x 6 y 3 y+6 Biak berdin A-k dio: x+3 y 3 B-k dio: y+6 (x-6) Egiaztapena: B-k ematen dio 3 A-ren B bikoitza A A-k B-ri 6 ematen dizkio A: x B: y B bikoitza Biak berdin A x x 64 MATEMATIKA B
11 Praktikatzeko Ekuazioak eta sistemak 1. Ebatzi ekuazioak: a) -6x 7x x b) 3x + 8x x c) (x-6)(x-10)60 d) (x+10)(x-9)-78. Ebatzi ekuazioak: a) x 4 4x b) x x 7 0 c) x d) (x 8)(x 1) 8 3. Ebatzi ekuazioak: 9 4 a) + 5 x 3x 5 + x b) + x 4 3x 6x + 6 c) 3 x 1 7x x x + d) + 5 3x + 1 x Ebatzi ekuazioak: a) 9x x 9 b) 3 + 6x 4x c) x x 5 5. Ebatzi ekuazioak: a) c) y x y 1 y x + 3y Ebatzi ekuazioak: a) 6y 15 x y 9 x 3y c) x + y 1 b) d) b) y x + 5y 33 y x 7y 0 + y 18 x y 40 x + y 65 d) x + y 3 7. Bi zenbaki osoren biderkadura 19 da eta kendura 4. Zeintzuk dira zenbakiok?. 8. Segidan dauden bi zenbaki naturalen karratuak batu eta 34 bada, zeintzuk dira zenbakiok? izendatzailea duen zatiki bat bere alderantzizkoarekin batu eta 109/30 bada, zein da zatikia?. 10. Zenbaki baten karratua gehi 6 zenbaki berbera bider 5 bada, zein da zenbakia?. 11. Bilatu ondoko baldintza betetzen duen zenbaki positibo bat: zenbaki hori ber 4 eta bider 6 gehi zenbaki hori ber eta bider 7 eginez 14 izan dadila. 1. Juanen adina orain dela 9 urte hemendik 11 urtera izango duen adinaren erro karratua zen. Zehaztu orain duen adina. 13. Zatiki positibo baten zenbatzailea 4 da. Izendatzaileari 9 unitate gehituz zatikiaren balioa unitate bat gutxiago da. Zein da jatorrizko izendatzailea? 14. Bi iturrik ura aldi berean isurtzen badute eta biltegi bat betetzeko ordu behar badituzte, zenbat denbora behar du bakoitzak bere aldetik, batek besteak baino 3 ordu gehiago behar baditu? ARRASTOA: Iturri batek biltegia betetzeko x ordu behar baditu ordubetean biltegiaren 1/x beteko du. 15. Aurkitu m x mx+110 polinomioak ebazpen bikoitza izan dezan. 16. Bi zenbakiren batura 400 da eta handiena txikiena baino 4 aldiz handiagoa da, zeintzuk dira zenbakiok?. 17. Palomak 7 ordaindu zituen kontzertu baterako 4 sarreren eta antzerkirako 8 sarreren truke, Luisak 47 ordaindu zituen kontzerturako 9 sarreren eta antzerkirako 3 sarreren truke. Zenbat balio du ikuskizun bakoitzera joateko sarrerak? MATEMATIKA B 65
12 18. Bi zenbakiren batura 41 eta kendura 99. Zeintzuk dira zenbakiok?. 8. Lauki zuzen baten aldeen luzerak kalkulatu ondokoa jakinik: diagonalak 58 cm neurtzen ditu eta alde luzeak motza baino cm gehiago neurtzen du. 19. Bi zenbakiren batura 400 da eta handiena txikiena baino 4 aldiz handiagoa da, zeintzuk dira zenbakiok?. 0. Pedro 335 ditu 5 -ko eta 10 -ko billeteetan; guztira 5 billete baldin baditu, zenbat ditu bakoitzeko?. 1. Hotel batean 67 logela daude, logela bikoitzak eta banakakoak batuta. Guztira 9 ohe baldin badaude, mota bakoitzeko zenbat logela ditu?.. 1 /litroko ardoa eta 3 /litroko ardoa nahastu nahi dira 1, /litroko ardoa lortzeko. Prezio bakoitzeko zenbat litro jarri beharko ditugu nahasketaren 000 litro lortzeko?. 3. Biltegi batean bi motako lanparak daude, A motakoek bonbilla erabiltzen dituzte eta B motakoek 7. Biltegian guztira 5 lanpara eta 160 bonbilla baldin badaude, mota bakoitzeko zenbat lanpara daude?. 4. Jolas-parke batean norian ibiltzeak 1 balio du eta errusiar mendian ibiltzeak 4. Ana 13 aldiz ibili bada eta 16. gastatu baditu, zenbat aldiz ibili da bakoitzean?. 9. Bi zenbaki naturalen batura 13 da eta zenbaki horien karratuena 109, aurkitu zenbakiok. 30. Bi zenbaki osoen kendura 6 da eta biderkadura 47. Zeintzuk dira zenbakiok?. 31. Bi pertsonen adinaren batura 18 urte da eta biderkadura 77. Zenbat urte ditu bakoitzak?. 3. Kalkulatu 48 cm-ko perimetroa duen triangelu angeluzuzen baten aldeak, katetoen batura 8 cm dela jakinik. 33. Zenbaki baten bi zifren biderkadura 14 da eta batekoen zifraren eta hamarrekoen zifraren bikoitzaren arteko batura 16. Aurkitu zenbakia. 34. Bi karratuen azaleraren batura 100 cm bada eta perimetroen batura 56, zenbat neurtzen duten aldeek. 35. Triangelu isoszele baten alde berdinek 13 cm neurtzen dute eta altuera oinarria baino cm luzeagoa da. Kalkulatu azalera. 5. Ukuilu batean 77 ardi eta oilo daude, eta guztira 74 hanka zenbatzen ditugu. Zenbat ardi eta zenbat oilo daude? 6. Aurkitu bi zifra dituen zenbaki bat ondokoa jakinik: bi zenbakien batura 7 da eta zenbaki horren eta elkarren artean aldatu ondoren gelditzen den zenbakiaren kendura 7 da. ARRASTOA: x hamarrekoen zifra baldin bada eta y batekoen zifra, zenbakia 10x+y da, eta elkarren artean aldatzerakoan gelditzen den zenbakia 10y+x da 7. Bi zenbaki naturalen batura 4 da eta biderkadura 135, zeintzuk dira zenbakiok?. Zenbakien edo kopuruen erlazio abstraktuen inguruko problemak ebazteko problema hori ingelesetik edo beste hizkuntzaren batetik hizkuntza aljebraikora itzultzea baino gauza hoberik ez dago Newton (Aritmetica Universalis) 66 MATEMATIKA B
13 Gehiago jakiteko Aljebraren "asmatzailea" Mohamed ibn-musa Al-Khwarizmi, gutxi gorabehera urteen artean bizi izan zen eta Bagdadeko Jakinduriaren Etxean lan egin zuen. Bere lanetatik bost liburu heldu dira guganaino, haien artean "al-mujtasar fi hisab al-jabr wa'l muqabala", ezagutzen den aljebrari buruzko lehen tratatua. Al-Khwarizmik sei mota desberdinetan sailkatzen ditu ekuazioak eta kasu bakoitza modu desberdinean ebazten du, metodo geometrikoak erabiliz, grafikoan ikus dezakezun bezalakoa. Ekuazioen sailkapena Al- Jwarizmi-ren arabera x +8x33 gauzagauzaren karratua ax bx gauzazenbakiaren karratua ax c gauzazenbakia ax b gauza+gauzazenbakia ax +bxc gauza+zenbakiagauzaren karratua ax +cbx gauzagauza+zenbakiaren karratua ax bx+c x (x+4) x +8x33 x +4 x33 x + 4x (x+4) 49 x+47 x+4-7 x3 x-11 Zergatik x? Arabiarrek "shay" (gauza) deitzen zioten ezezagunari. Lehen itzulpena latinera Espainian egin zen (Roberto de Chester, Toledo, 1145), eta arabieraren hitzak Erdi Aroko x-aren antza duenez, x deitu zioten eta hortxe darrai. Italian "cosa" bezala itzuli zuten, laburduran co deitu zioten eta ekuazioak ebazten zituztenei "cosista" deitzen zieten. MATEMATIKA B 67
14 Gogora ezazu garrantzitsuena Bigarren mailako ekuazioak Osoak: ax +bx+c0 Ebazpen bikoitza Bi ebazpen Ebazpenik Ondoko formula erabiliz ebazten dira: x b ± b a 4ac Osatugabeak: ax +c0 Bakandu: x ± c a Osatugabeak: ax +bx0 Diskriminatzailearen zeinuaren arabera: Δb -4ac ekuazioak bi ebazpen izango ditu, bakarra edo ebazpen errealik ez du izango. Bi ebazpen: x0, x-b/a Ekuazio linealen sistemak a1x + b1y c1 ax + by c Bi ezezagun dituen bi ekuazio linealeko sistema batean ekuazio bakoitzak bere adierazpena du planoko zuzen batean. Ebakidura-puntua (x,y) baldin badago sistemaren ebazpena da. Sistema bat ebazteko ondoko metodoak erabiliko ditugu: Ordezkapen-metodoa: Ekuazio batean ezezagun bat bakandu eta bestean ordezkatzen da. Berdinketa-metodoa: Bi ekuazioetan ezezagun berdina bakandu eta lortutako adierazpenak berdintzen dira. Laburketa-metodoa: Ekuazio bat edo biak zenbaki egokiagatik biderkatu eta biak batzerakoan ezezagun bat ezabatu egingo da.. mailako ekuazio-sistema Sistema hauetan ekuazioetako bat edo biak bigarren mailakoak dira ezezagun batean edo bietan. Normalean lehen mailako ekuazioan ezezagun bat askatuz eta bestean bigarren mailako ekuazioa sortzen duena ordezkatuz ebazten dira. Sistema baliokideek ebazpen berbera dute. Sistema bat bateragarria izango da ebazpen baldin badu, eta bateraezina ebazpenik ez badu. Problemak ebazteko Enuntziatua ulertu. Ezezagunak identifikatu. Hizkuntza aljebraikora itzuli. Ekuazioa edo sistema ebatzi. Egiaztatu ebazpenak. MATEMÁTICAS B 68
15 Autoebaluazioa 1. Ebatzi ekuazioa: 3x + 15x 0. Ebatzi ekuazioa: x 4 37x Ebatzi ekuazioa: (x 3) 1 6(8 x). 4. Ebatzi ekuazioa: x x + 4 x x Ebatzi ondoko sistema: y x y Ebatzi ondoko sistema: 4 x 0 x y x y 3 7. Aurkitu segidan dauden bi zenbaki natural zenbaki horien karratuen batura 1105 izanik ditugu -ko eta 50 zantimoko txanponetan, guztira 14 txanpon baldin badaude, zenbat dira mota bakoitzekoak? m -kose lursail bat hesiz inguratzeko, 11 m hesi erabili dira. Kalkula itzazu lursailaren neurriak. 10. Aurkitu. mailako ekuazio bat erroen batura 7 eta biderkadura 1 izanik. MATEMATIKA B 69
16 Praktikatzeko ariketen ebazpenak 1. a) x5, x-31/6 b) x-, x-7/3 c) x16, x0 d) x1, x1. a) x ± 1 b) x± c) x±3 d) x0, x±3 3. a) x5, x- b) x19/9, x0 c) x1, x-4/7 d) x0, x-9/11 4. a) x9 b) x-1/8, x-1/ c) x3, x9/4 Ez da balioduna 5. a) x7 y8 b) x1 y5 c) x4 y d) x4 y0 6. a) x-3 y3; x-9/ y b) x-5 y-8; x-4 y-10 c) x-5 y3; x-1 y1 d) x-4 y7; x7 y eta 16 edo -16 eta edo / y 11. Izendatzailea 3 da urte (Ebazpen negatiboak ez du balio) 14. Iturri batek 3 h eta besteak h 15. eta eta Antzerkiak: 5, kontzertuak: eta eta ko 15 eta 5 -ko bikoitz eta 4 banakako. 1 ko 1800 litro eta 3 ko 00 litro 3. A motako 3 eta B motako 4. Norian 1 aldiz eta errusiar mendian behin oilo eta 60 ardi 6. 5 zenbakia 7. 9 eta eta eta , 19 eta -13, eta 7 3. Katetoek 1 eta 16, hipotenusak eta altuera1, oinarria10; azalera 60 Autoebaluazioebazpenak 1. x0, x-5. x ± 6, x ± 1 3. x8 ; x15 4. x ± 8 5. x30 y8 6. x6 y9 x y eta ko 4 eta 0,50 -ko m x 0 m 10. x 7x + 10 Ebazpenak 3 eta 4 Jarduerak tutoriari bidali, ahaztu gabe MATEMÁTICAS B 70
DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )
DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak
Διαβάστε περισσότερα= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.
1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi
Διαβάστε περισσότεραInekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak
5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen
Διαβάστε περισσότεραANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna
Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x
Διαβάστε περισσότερα7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i
7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela
Διαβάστε περισσότεραHirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea
Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,
Διαβάστε περισσότεραDBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak
6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten
Διαβάστε περισσότεραHasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa
1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten
Διαβάστε περισσότεραBanaketa normala eta limitearen teorema zentrala
eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza
Διαβάστε περισσότεραARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten
Διαβάστε περισσότερα9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak
9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin
Διαβάστε περισσότερα5 Hizkuntza aljebraikoa
Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun
Διαβάστε περισσότεραTrigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK
Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c
ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE
Διαβάστε περισσότεραZirkunferentzia eta zirkulua
10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015
MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika
Διαβάστε περισσότερα(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n
5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S
Διαβάστε περισσότερα1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak
1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)
Διαβάστε περισσότεραMate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.
Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...
Διαβάστε περισσότερα1 Aljebra trukakorraren oinarriak
1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,
Διαβάστε περισσότεραZenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK
Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien
Διαβάστε περισσότεραERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea
ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa
Διαβάστε περισσότεραERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA
ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE PROBA MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA Modulua MATEMATIKA Oinarrizko Prestakuntza -. maila Erdi Mailako heziketa-zikloetarako
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 2: dinamika eta estatika
Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1
Διαβάστε περισσότεραEmaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043
KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;
Διαβάστε περισσότεραPoisson prozesuak eta loturiko banaketak
Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune
Διαβάστε περισσότεραAldagai Anitzeko Funtzioak
Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x
Διαβάστε περισσότερα2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA
2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA: Ekuazio diferenzialak
4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................
Διαβάστε περισσότεραAURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7
AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa
Διαβάστε περισσότεραFuntzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK
Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)
PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:
Διαβάστε περισσότερα6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana
6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak
Διαβάστε περισσότεραARIKETAK (I) : KONPOSATU ORGANIKOEN LOTURAK [1 5. IKASGAIAK]
Arikk-I (1-5 Ikasgaiak) 1 ARIKETAK (I) : KPSATU RGAIKE LTURAK [1 5. IKASGAIAK] 1.- 3 6 formula molekularreko 8 egitur-formula marraztu. 2.- Azido bentzoiko solidoararen disolbagarritasuna urn honako hau
Διαβάστε περισσότερα1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?
1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia
Διαβάστε περισσότερα1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK
http://thales.cica.es/rd/recursos/rd98/fisica/01/fisica-01.html 1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK 1.1. BOLUMENA Nazioarteko Sisteman bolumen unitatea metro kubikoa da (m 3 ). Hala ere, likido eta gasen
Διαβάστε περισσότερα4. Hipotesiak eta kontraste probak.
1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa
Διαβάστε περισσότεραINDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK
INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu
Διαβάστε περισσότερα9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko
9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua
Διαβάστε περισσότεραMakina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.
Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa
HELBURUAK: HELBURUAK: mekanismoaren mekanismoaren sintesiaren sintesiaren kontzeptua kontzeptuaeta eta motak motaklantzea. Hiru Hiru Dimentsio-Sintesi motak motakezagutzea eta eta mekanismo mekanismo erabilgarrienetan,
Διαβάστε περισσότεραEUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA
EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako
Διαβάστε περισσότερα1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.
1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore
Διαβάστε περισσότεραOxidazio-erredukzio erreakzioak
Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/
Διαβάστε περισσότεραHidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean
Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten
Διαβάστε περισσότερα10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a
1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa
Διαβάστε περισσότεραKANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.
EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,
Διαβάστε περισσότεραUNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA
1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa
Διαβάστε περισσότεραLANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa
Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa
Διαβάστε περισσότερα1. Ur-ponpa batek 200 W-eko potentzia badu, kalkulatu zenbat ZP dira [0,27 ZP]
Ariketak Liburukoak (78-79 or): 1,2,3,4,7,8,9,10,11 Osagarriak 1. Ur-ponpa batek 200 W-eko potentzia badu, kalkulatu zenbat ZP dira [0,27 ZP] 2. Gorputz bat altxatzeko behar izan den energia 1,3 kwh-koa
Διαβάστε περισσότερα1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)
UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko
Διαβάστε περισσότερα3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos
3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia
Διαβάστε περισσότεραEREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA
AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.
Διαβάστε περισσότεραFisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2
Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,
Διαβάστε περισσότερα1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...
Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu
Διαβάστε περισσότερα6.1. Estatistika deskribatzailea.
6. gaia Ariketak. 6.1. Estatistika deskribatzailea. 1. Zerrenda honek edari-makina baten aurrean dauden 15 bezerok txanpona sartzen duenetik edaria atera arteko denbora (segundotan neurtuta) adierazten
Διαβάστε περισσότεραGIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1
BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak
Διαβάστε περισσότεραI. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa
I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua
Διαβάστε περισσότεραZinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa
Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................
Διαβάστε περισσότεραGorputz geometrikoak
orputz geometrikoak POLIEDROAK ELEMENTUAK EULERREN FORMULA PRISMAK ETA PIRAMIDEAK ELEMENTUAK MOTAK AZALERAK BIRAKETA-ORPUTZAK IRUDI ESFERIKOAK AZALERAK BOLUMENAK CAVALIERIREN PRINTZIPIOA PRISMEN ETA PIRAMIDEEN
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00
ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. I. ebazkizuna Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00 Makina bateko erregai-kontsumoa (litrotan) eta ekoizpena (kilotan) jaso dira ordu batzuetan
Διαβάστε περισσότεραDokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:
Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren
Διαβάστε περισσότερα0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK
1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10
Διαβάστε περισσότεραJose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak
HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak
Διαβάστε περισσότερα(5,3-x)/1 (7,94-x)/1 2x/1. Orekan 9,52 mol HI dago; 2x, hain zuzen ere. Hortik x askatuko dugu, x = 9,52/2 = 4,76 mol
KIMIKA 007 Ekaina A-1.- Litro bateko gas-nahasketa bat, hasiera batean 7,94 mol hidrogenok eta 5,30 mol iodok osatzen dutena, 445 C-an berotzen da eta 9,5 mol Hl osatzen dira orekan, erreakzio honen arabera:
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN
Διαβάστε περισσότεραTEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak
TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad
Διαβάστε περισσότεραKONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA
eman ta zabal zazu Euskal Herriko Unibertsitatea Informatika Fakultatea Konputagailuen rkitektura eta Teknologia saila KONPUTGILUEN TEKNOLOGIKO LBORTEGI KTL'000-00 Bigarren parteko dokumentazioa: Sistema
Διαβάστε περισσότεραElementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.
Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar
Διαβάστε περισσότεραMikel Lizeaga 1 XII/12/06
0. Sarrera 1. X izpiak eta erradiazioa 2. Nukleoaren osaketa. Isotopoak 3. Nukleoaren egonkortasuna. Naturako oinarrizko interakzioak 4. Masa-defektua eta lotura-energia 5. Erradioaktibitatea 6. Zergatik
Διαβάστε περισσότερα7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa
7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.
Διαβάστε περισσότεραEREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK
EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,
Διαβάστε περισσότεραLOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA
Lotura kobalenteetan ez-metalen atomoen arteko elektroiak konpartitu egiten dira. Atomo bat beste batengana hurbiltzen denean erakarpen-indar berriak sortzen dira elektroiak eta bere inguruko beste atomo
Διαβάστε περισσότεραmc 2 sen 2 θ+3 Matematikako problemak ebazten jakitea (3)
~% b 2 dq/dt mc 2 (y-y )2 θ x 2 -y 2 =a 2 a 2 sen 2 θ+3 x Francisco Javier López pesteguía Matematikako problemak ebazten jakitea (3) Ikasleen koadernoa atzeko, kentzeko, biderkatzeko eta zatitzeko problemak,
Διαβάστε περισσότερα7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k
7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a
Διαβάστε περισσότερα2011 Kimikako Euskal Olinpiada
2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra
Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................
Διαβάστε περισσότερα9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.
9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak
Διαβάστε περισσότερα5. GAIA Solido zurruna
5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK
4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa
Διαβάστε περισσότερα1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak
1 TELEKOMUNIKAZIOAK 1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak Telekomunikazio komertzialetan bi sistema nagusi bereiz ditzakegu: irratia eta telebista. Telekomunikazio-sistema horiek, oraingoz, noranzko bakarrekoak
Διαβάστε περισσότεραMagnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9
Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak
Διαβάστε περισσότεραdu = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA
. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA.. TERMODINAMIKAREN LAN-ARLOA Energi eraldaketak aztertzen dituen jakintza-adarra termodinamika da. Materia tarteko den prozesuetan, natural
Διαβάστε περισσότεραDBH 2 MATEMATIKA. erein
Arantza Egurcegui Irakaslearen gidaliburua - Emaitzak DBH 2 MATEMATIKA erein Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak
Διαβάστε περισσότεραLH6. Matematika Gaitasuna Lehen Hezkuntzako 6.a. Izen-abizenak: Ikastetxea: Ikastaldea/Ikasgela: Herria: Data:
Ebaluazio eta Kalitate Atala Sección de Evaluación y Calidad LH6 2016-2017 Izen-abizenak: Ikastetxea: Ikastaldea/Ikasgela: Herria: Data: Matematika Gaitasuna Lehen Hezkuntzako 6.a Argibideak Proba honetan
Διαβάστε περισσότεραAgoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena
Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 1. AKTIBITATEA Lan Proposamena ARAZOA Zurezko oinarri baten gainean joko elektriko bat eraiki. Modu honetan jokoan asmatzen dugunean eta ukitzen dugunean
Διαβάστε περισσότερα6 INBERTSIOA ENPRESAN
6 INBERTSIOA ENPRESAN 6.1.- INBERTSIO KONTZEPTUA 6.2.- INBERTSIO MOTAK 6.3.- DIRUAREN BALIOA DENBORAN ZEHAR 6.2.1.- Oinarrizko hainbat kontzeptu 6.2.2.- Etorkizuneko kapitalen gutxietsien printzipioa 6.2.3.-
Διαβάστε περισσότεραOREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA
GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en
Διαβάστε περισσότεραOrdenadore bidezko irudigintza
Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea
Διαβάστε περισσότερα6. GAIA: Oinarrizko estatistika
6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................
Διαβάστε περισσότερα3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:
3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak
Διαβάστε περισσότεραFreskagarriak: hobe light badira
Freskagarriak: hobe light badira Ez dute kaloriarik, eta zaporea, antzekoa OHIKO FRESKAGARRIEK AZUKREA DUTE, ETA LIGHT DEITZEN DIRENEK, EZTITZAILE EDO EDULKORATZAILEAK DITUZTE, KALORIARIK GABEAK. HORI
Διαβάστε περισσότερα