4. GAIA: Ekuazio diferenzialak
|
|
- Βαρβάρα Μπλέτσας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea
2
3 Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak Sarrera Definizioak eta sailkapena Aplikazioak Ekuazio normalak Aldagai banatuetako ekuazioak Ekuazio homogeneoak Ekuazio zehatzak. Faktore integratzailea Faktore integratzaileak Lehenengo ordenako ekuazio linealak Bernoulli-ren ekuazioa Bigarren ordenako ekuazioak. Ordena-murrizketa F funtzioa soilik x, y, y aldagaien mendekoa denean F funtzioan x aldagai askea agertzen ez denean n. ordenako ekuazio linealak Funtzio linealki askeak, eta wronskiarra Koefiziente konstantedun ekuazio lineal homogeneoak Koefiziente konstantedun ekuazio lineal osoak iii
4
5 4. gaia Ekuazio diferentzialak Sarrera Definizioak eta sailkapena. Definizioa. Demagun x aldagaiaren menpeko y(x) funtzioa dugula. Funtzio hori eta haren deribatuak y, y,..., y (n) lotzen dituzten ekuazioei ekuazio diferentzial esan ohi diegu. F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0, ekuazio diferentziala era inplizituan. y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n 1) ), ekuazio diferentziala era esplizituan. Definizioa. Ekuazioan agertzen den deribatu altuenaren maila ekuazioaren ordena deitzen da adibidea. xy (4) 2x(y ) 5 y = x 2 ekuazioa 4. ordenako ekuazioa da, era inplizituan, eta y = 2(y ) 7 y +x ekuazioa 3. ordenako ekuazioa da, era esplizituan. Definizioa. Baldin y(x) funtzioa soilik x aldagaiaren mendekoa bada, orduan ekuazioari ekuazio diferentzial arrunt deituko diogu. Definizioa. Aldagai aske bat baino gehiago dituen ekuazioari deribatu partzialeko ekuazio esango diogu. 2 y(x, t) y(x, t) 4.2. adibidea. x 2 = ekuazioa deribatu partzialeko t ekuazioa da, y aldagaia bi aldagairen funtzio izateagatik. Gai honetan, ekuazio arruntak besterik ez ditugu ebatziko. Ekuazioaren itxuraren arabera, mota batean edo bestean banatuko ditugu, eta bakoitzak askatzeko bide berezia izango du. Adibidez, erraz kalkula daiteke ondoko ekuazioaren soluzioa: y = 3 sin(2x) y(x) = 3 cos(2x) + K, 2 1
6 2 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. non K hautazko integrazio-konstantea den. n. ordenako ekuazioa askatzeko, n aldiz integratu beharko dugu; beraz, soluzioa n konstanteren menpean adierazi beharko da. Baldin konstante horien balioak zehaztu nahi baditugu, orduan hasierako n baldintza finkatu beharko ditugu. Adibidez: y (x)+y(x) = 0 ekuazioaren soluzio orokorra y(x) = K 1 sin x+k 2 cos x da, baina hasierako bi baldintzak gehitzen badizkiogu, adibidez, y (x) + y(x) = 0 y(0) = 0 y (0) = 1, orduan y(x) = sin x izango da baldintza horiek betetzen dituen soluzio berezia. Hasteko, lehenengo ordenako ekuazioak aztertuko ditugu F (x, y, y ) = 0 edo y = f(x, y) gisako ekuazio diferentzial arruntak. Bi eratan idatz daitezke: bata deribatu moduan, dy = f(x, y); dx eta bestea diferentzial moduan, M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Mota horretako ekuazioak ebazteko metodo batzuk ikusiko ditugu: ekuazio normala, aldagai banatuetako ekuazioak, ekuazio homogeneoak, ekuazio linealak eta ekuazio zehatzak. Ikasgai honen bukaeran, ordena handiko ekuazio diferentzial arruntak aztertuko ditugu Aplikazioak. Fisikan zein Kimikan zein Finantzetan zein beste arlo askotan, maiz agertzen dira ekuazio diferentzialak. Ekuazio diferentzialen azalpena hauxe da: fenomeno fisikoak, kimikoak eta ekonomikoak adierazten dituzten funtzioak magnitude ugarien menpean daude, eta funtzio horien bilakaera edo hazkundea (deribatuak) orduko sistemaren egoeraren menpean adieraz daitezke. Hona hemen Kimikako adibide sinple batzuk, non ekuazioak arruntak diren.
7 Aplikazioak adibidea. Elementu erradiaktibo baten desintegrazioari buruzko problema. Jakina denez, elementu baten erradiazioaren desintegrazio-abiadura eta elementuaren kantitatea proportzionalak dira. Izan bitez y(t) elementu erradiaktiboaren kantitatea t unean, eta y 0 hasieran dagoen kantitatea. Orduan, honako ekuazio diferentzial hau betetzen da, non k konstantea negatiboa den (y(t) kantitatea beherakorra delako): { y (t) = k y(t) y(0) = y 0. Ekuazio mota hau geroago aztertuko den aldagai banatuetako ekuazio bat da, x aldagai askearen funtziopeko gaiak eta mendeko aldagaiaren funtziopekoak ekuazioaren bi alde ezberdinetan banandu daitezkelako. Ondorioz honela ebazten da: dy(t) dt = k y(t) dy(t) y(t) = k dt ln y(t) = k t + C y(t) = e kt e C y(t) = Ce kt. Hemen C integrazio konstantearen mendeko e C konstantea zuzenean hautazko konstante erreala den C ikurraz ordeztu dugu idazkera sinplifikatzeko. Gainera y(0) = y 0 betetzen denez, C = y 0. Beraz, soluzio berezia hau da: y(t) = y 0 e kt adibidea. Dakigunez, fosil batzuetan agertzen den C 14 elementu erradiaktiboaren desintegrazio-abiadura eta oraingo kantitatea proportzionalak dira. C 14 -aren erdibizitza (hasieran zegoen elementu erradiaktiboaren erdia desintegratzeko denbora tartea) 5750 urtekoa da. Fosil batek C 14 -aren %77,7 daukala jakinda, zenbat urte ditu fosilak? Ebazpena. Izan bitez y(t), t urtean dagoen C 14 -aren kantitatea eta y 0 hasieran dagoen elementu erradiaktiboaren kantitatea. Dakigunez, C 14 - aren kantitatea y(t 1 ) = y 0 = 0.777y 0 da aurten, t 1. Orduan honako ekuazio diferentzial hau betetzen da: { y (t) = k y(t) y(t 1 ) = 0.777y 0.
8 4 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. Ekuazioa ebaztean y(t) = Ce kt motakoa da, C eta k konstanteak kalkulatzeko dauzkagun baldintzak erabiliko ditugu. Alde batetik, erdibizitza 5750 urte denez, y(5750) = 1 2 y(0) = y 0 2 izango da, eta ekuazio diferentzialean ordezkatzean: y 0 2 = Cek Bestalde, t = O denean, y(0) = y 0 da, eta, ekuazioan ordezkatzean, y 0 = Ce k0 = C. Hori dela eta, goiko ekuaziotik zera dugu: 1 2 = e5750k ln(1/2) = 5750k k = ln = Eta soluzio berezia honako hau izango da: y(t) = y 0 e ln t. Fosilaren aroa jakiteko, t 1 urtea kalkulatu behar dugu. Dakigunez,fosilak urte hauek izango ditu: y(t 1 ) = 0.777y 0 = y 0 e ln t = e ln t 1 ln(0.777) = ln t 1 t 1 = ln(0.777) 5750 = ln adibidea. Substantzia baten ingurunea hoztearen problema. Ingurunearekin kontaktuan dagoen substantzia baten tenperatura aldaketa une bakoitzean, eta ingurunearen eta substantziaren tenperaturen arteko kenketa proportzionalak dira. Substantziaren tenperatura t unean T (t) bada, ekuazio diferentzial hau beteko da: T (t) = k (T (t) T ing ), non T ing inguruneko tenperatura den. Ekuazio hau lehendik azaldutako aldagai banatuetako bat denez, honela askatuko da, dt (t) dt = k (T (t) T ing ) dt (t) T (t) T ing = k dt ln T (t) T ing = kt + C T (t) T ing = e kt e C T (t) T ing = Ce kt T (t) = T ing + Ce kt.
9 Aplikazioak adibidea. Demagun felido baten gorpua aurkitzen dugula, eta une horretan 35 o C-ko tenperatura duela. Ordu bat geroago, tenperatura 34.5 o C da. Demagun inguruneko tenperatura T ing = 27 o C dela. Kalkulatu felidoa hiltzeko ordua, bizirik zegoenean 36.5 o C-ko tenperatura zuela jakinik. Ebazpena. Izan bedi T (t) gorpuaren tenperatura t unean. Felidoa hiltzeko unea t = O da, eta gorpua topatu den unea, t = t 1. Datu hauek dauzkagu: t = 0 denean, T (0) = 36.5 o C t = t 1 denean, T (t 1 ) = 35 o C t = t denean, T (t 1 + 1) = 34.5 o C Alde batetik, T (t) = k (T (t) 27) ekuazio diferentziala betetzen da, eta hau da emaitza: T (t) = 27 + C e kt. Bestalde, hiru baldintzak erabiltzen baditugu, C, k eta t 1 ezezagunak aurkituko ditugu: T (0) = 36.5 o C 27 + C = 36.5 C = 9.5 T (t 1 ) = 35 o C e kt 1 = 35 e kt 1 = k t 1 = ln(8/9.5) T (t 1 + 1) = 34.5 o C e k(t 1+1) = 34.5 e k(t 1+1) = k (t 1 + 1) = ln(7.5/9.5) Azken bi ekuazioak zatitzean, zera lortzen da: t 1 t = t 1 = ln(8/9.5) ln(7.5/9.5) t 1 ln(7.5/9.5) = t 1 ln(8/9.5) + ln(8/9.5) ln(8/9.5) ln(7.5/9.5) ln(8/9.5) = ln(8/9.5) ln(7.5/8) Beraz, felidoa hil zen orain dela t = 3.66 ordu. = 2.66 ordu. Oharra. Kasu honetan, k = ln(8/9.5) t 1 = ln(7.5/8) = negatiboa espero genuen, tenperaturaren funtzioa beherakorra baita.
10 6 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. Hainbat natura-lege ekuazio diferentzial arrunten bitartez emanda daude (esate baterako, F = md 2 x/dt 2, non F grabitate-indarra den) edo ekuazio diferentzial partzialen bidez (alegia, deribatu partzialak barnean dauzkaten ekuazioen bidez). Adibidez: BEROAREN EKUAZIOA. Joseph Fourier-ek ( ) hasi zuen beroaren ikerketa. Izan bedi B IR 3 gorputz homogeneo bat. Izan bedi T (x, y, z, t) gorputzak (x, y, z) puntuan eta t unean duen tenperatura. Fourier-ek frogatu zuenez, T -k honako deribatu partzialeko ekuazio hau bete behar du (baldintza zehatz batzuetan): k ( 2 T x T y T z 2 ) = T t (beroaren ekuazioa), non k konstante bat den; konstante horren balioa gorputzaren konduktibitatearen menpean dago. POTENTZIALAREN EKUAZIOA. Grabitate-potentziala (Newtonen potentziala) V = GmM/r ekuazioaz emanda dago, non m eta M bi gorputzen masak diren, eta r gorputz horien arteko distantzia, hots, haien grabitate-zentroak lotzen dituen (x, y, z) bektorearen luzera (beraz, r = x 2 + y 2 + z 2 ). V potentzialak ekuazio hau betetzen du edozein (x, y, z)-tarako, (0, 0, 0)-rako salbu: 2 V x V y V = 0 (Laplace-ren ekuazioa). z2 Ekuazio hori Pierre Simon de Laplace-k ( ) eman zuen. UHINAREN EKUAZIOA. Espazioko uhinaren ekuazioa honako hau da: 2 f x f y f z 2 = c2 2 f t 2. Uhinaren ekuazio unidimentsionala honako hau da: 2 f x 2 = c2 2 f t 2, John Bernoulli-k ondorioztatua inguruan.
11 4. 3. Aldagai banatuetako ekuazioak Ekuazio normalak. Ondoko ekuazio diferentzialari n. ordenako ekuazio normal deitzen diogu: y (n) = f(x) n 1, Eta n = 1 kasuan, y = f(x) ekuazioaren soluzioa berehalakoa da: y(x) = f(x)dx + K. Goi-ordenako kasuetan, banan-banan errepikatzen da ideia berbera adibidea. Kalkulatu ondoko ekuazioaren soluzioa: y = x 2 ; hau da, kalkulatu y = y(x) funtzioa, non ekuazio diferentziala betetzen den. Ebazpena. Zera dugu: y = x 2 dx = x3 3 + K 1 ( ) x y 3 = 3 + K 1 dx = x K 1x + K 2 ( ) x 4 y = 12 + K 1x + K 2 dx = x K x K 2x + K 3. Beraz, y(x) = x K x K 2x + K 3 ekuazio diferentzialaren soluzioa orokorra da; hiru konstanteren menpean dago, ekuazioa hirugarren ordenakoa izateagatik eta hasierako baldintzarik ez egoteagatik Aldagai banatuetako ekuazioak. Horrela esaten zaie ondoko gisaz adieraz daitezkeen ekuazioei: g(y)dy = f(x)dx, non x-ren menpeko gai guztiak f(x) funtzioan eta y-ren menpeko gai guztiak g(y) funtzioan biltzen diren. Aldagai bakoitzaren funtziopeko gai guztiak berdintzaren alde batean bereizita daudenez, alde bakoitzari dagokion aldagaiarekin integratuko dugu, hau da: g(y)dy = f(x)dx + K.
12 8 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. Baldin ekuazioa ϕ 1 (x)φ 1 (y)dy = ϕ 2 (x)φ 2 (y)dx motakoa bada, orduan aurreko adierazpidera pasa dezakegu: φ 1 (y) φ 2 (y) dy = ϕ 2(x) ϕ 1 (x) dx adibidea. Askatu 3e x tan ydx + (2 e x ) sec 2 ydy = 0 ekuazio diferentziala. Ebazpena. Ekuazio diferentzial hau ondoko eraldaketaren bidez aldagai banatuetako bihur daiteke: 3e x e x 2 dx = sec2 y tan y dy. Gero berdintzaren alde bakoitzari dagokion aldagaiarekin integratuko dugu, e x sec 2 3 e x 2 dx = y tan y 3 ln ex 2 + K = ln tan y e K e x 2 3 = tan y. Baldin K hautazko integrazio-konstantea bada, orduan e K hautazko konstante positiboa izango da, eta, aurreko adierazpena bakantzeko, K = e K idatz dezakegu. Beraz, soluzioaren adierazpena honako hau izango da: y(x) = arctan(±k(e x 2) 3 ). Oharra. Aurrerantzean adierazpidea ahal bezain garbia eta erraza izateko, zuzenean hautazko konstanteen ±e K K aldaketa ordeztuko dugu. Ondorioz, aurreko adierazpena honela geratuko litzateke: y(x) = arctan(k(e x 2) 3 ), K IR adibidea. Aurkitu y(π/2) = e hasierako baldintza betetzen duen y sin x = y ln y ekuazio diferentzialaren soluzio berezia. Ebazpena. dy sin x = y ln y dx dx dx sin x = dy y ln y sin x = dy. Orain integratuz, y ln y tan ln x + K = ln ln y 2
13 4. 3. Aldagai banatuetako ekuazioak. 9 K tan x 2 = ln y y = ek tan x 2. Baldin soluzio horrek y(π/2) = e hasierako baldintza bete behar badu, orduan K hautazko konstanteari balio berezi bat esleitu beharko zaio. Ikus dezagun zein den balio hori: e = y(π/2) = e K tan π 4 = e K K tan π/4 = 1 K 1 = 1 K = 1 eta soluzio zehatza y = e tan x 2 da adibidea. Aurkitu ondoko bi baldintzak betetzen dituen y(x) kurba: a) kurba (0, -2) puntutik igarotzen da; ii) bere ukitzailearen malda, puntu guztietan, 3 gehi 2 bider funtzioaren balioa da. Ebazpena. Baldintzak honela adieraz daitezke, y = 3 + 2y eta y(0) = 2. Lehenbizi ekuazio diferentzial orokorra askatuko dugu: dy 2y + 3 = dx 1 ln 2y + 3 = x + K 2y + 3 = Ke2x 2 y = Ke 2x 3 2. Gero, hasierako baldintza betetzeko K-ren balio egokia ondorioztatuko dugu: 2 = y(0) = K 3 2 K = 1 2, eta soluzio zehatza y = 1 2 e2x 3 2 da. Ariketa. Kalkulatu x sin ydx+(x 2 +1) cos ydy = 0 ekuazioaren soluzioa. (Em.: (x 2 + 1) sin 2 y = K) Baldin ekuazioak itxura hau badu: dy dx = f(ax + by + c), orduan aldagai banatuetako adierazpidea lor daiteke z = ax + by + c aldagai-aldaketaren bitartez. Gogora dezagun z aldagai berriaren diferentzialaren itxura: dz dx = a + b dy dx dy dx = 1 dz b dx a b. Orain, ekuazioaren egitura bakandu da eta lehenengoaren moduan askatuko dugu.
14 10 4. gaia. Ekuazio diferentzialak adibidea. Kalkulatu y = (2y + x) 2 ekuazioaren soluzioa. Ebazpena. Lehenik, ez da aldagai banatuetako ekuazio bat. Hala ere, bihur daiteke ondoko aldagai aldaketa eginez: z = 2y+x. Orain, y = z 2 eta z = 2y(x) + x dz dx = 2y (x) + 1 dz dx = 2z Azken ekuazioa aldagai banatuetakoa da, hortaz: dz 2z = dx dz ( 2z) = dx 1 2 arctan( 2z) = x + K 1 arctan( 2z) = 2x + 2K 1 2z = tan( 2x + 2K1 ) z = 1 2 tan( 2x + 2K 1 ). Aldagai-aldaketa deseginez gero z = 2y + x y = z 2 x 2. Ondorioz, hona hemen soluzioa: y(x) = tan( 2x + 2K 1 ) x Ekuazio homogeneoak. Definizioa. f(x, y) funtzioak f(t x, t y) = t n f(x, y) ezaugarria betetzen badu, n. mailako funtzio homogeneoa izango da adibidea. f(x, y) = x 2 +y 2 xy, 2. mailako funtzio homogeneoa da, zeren f(t x, t y) = t 2 x 2 + t 2 y 2 t 2 xy = t 2 (x 2 + y 2 xy) = t 2 f(x, y). Definizioa. dy = f(x, y) itxurako ekuazioari, zeina f(x, y) funtzioa 0. dx mailako funtzio homogeneoa den, ekuazio homogeneo deritzogu. Mota hauetakoak askatzeko, lehenbizi f(x, y) = ϕ (y/x) gisaz idatziko dugu, eta, gero, aldagai-aldaketa hau aplikatuko diogu: u = y x x u = y eta deribatuz u + xdu dx = dy dx = ϕ(u).
15 4. 4. Ekuazio homogeneoak. 11 Ekuazio hau lehen ikusitako aldagai banatuetakoa da, hots: u + x du dx = ϕ(u) du ϕ(u) u = dx x adibidea. Askatu xy = x 2 y 2 + y ekuazio diferentzial homogeneoa. Ebazpena. xy = ( y ) 2 ( y x 2 y 2 + y y = 1 + f(tx, ty) = f(x, y) x x) ekuazio homogeneoa da. Beraz, ondoko aldagai aldaketa egingo dugu: u = y/x, y = ux, y = u + xu u + xu = 1 u 2 + u Orain, ekuazioa aldagai banatuetakoa bihurtu denez, hau izango dugu: du 1 u 2 = dx x arcsin u = ln x + K u = sin(ln x + K), eta xu = y aldaketa deseginez, soluzio orokorra izango dugu: y = x sin(ln x + K). Ariketa. Kalkulatu (x 2 3y 2 )dx + 2xydy = 0 ekuazioaren soluzioa. (Em.: y = ± Kx 3 + x 2.) Baldin dy ( ) dx = f a1 x + b 1 y + c 1 motako ekuazioa badugu, orduan a 2 x + b 2 y + c 2 { a1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 sistema lineala askatuko dugu. Hiru aukera hauek ager daitezke: Sistema bateragarria indeterminatua: bi zuzenak berdinak dira, orduan (a 1, b 1, c 1 ) = λ(a 2, b 2, c 2 ) eta y = F (λ) = K, ekuazio normala da. Sistema bateraezina: bi zuzenak paraleloak dira, zeren (a 1, b 1 ) = λ(a 2, b 2 ) eta c 1 λc 2. Kasu honetan, z = a 2 x + b 2 y aldagai aldaketa eginez, ekuazioa aldagai banatuetakoa bihurtuko da. Sistema bateragarri determinatua: bi zuzenak puntu bakar batean gurutzatzen dira. Izan bedi (x 0, y 0 ) puntua sistemaren soluzioa. Orain,
16 12 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. ekuazioari x = x x 0, y = y y 0 aldagai-aldaketa aplikatuko diogu ekuazio homogeneo bihurtzeko adibidea. Askatu (x + y 2)dx + (x y + 4)dy = 0 ekuazio diferentziala. Ebazpena. Lehendabizi ondoko sistema ebatziko dugu: { x + y 2 = 0 x y + 4 = 0. Haren soluzioa (x 0, y 0 ) = ( 1, 3) da. Jarraian x = x + 1 eta y = y 3 aldagai aldaketa erabiliko dugu hurrengo ekuazio homogeneo baliokidea idazteko: (x + y)dx + (x y)dy = 0 dy dx = x + y x y = 1 + y x y x 1 u + xu = 1 + u u 1, non u = y/x eta u + xu = y baitira. Orain, ekuazioa aldagai banatuetakoa denez: du 1+ u u 1 u = dx x u 1 u 2 + 2u + 1 du = dx x 1 2 ln u2 + 2u + 1 = K + ln x u 2 + 2u + 1 = K(x) 2. Orain, u = y/x eta x = x + 1, y = y 3 aldagai-aldaketak deseginez, honako soluzio hau lortuko dugu era inplizitoan: ( ) 2 ( ) y 3 y = K(x + 1) 2. x + 1 x Ekuazio zehatzak. Faktore integratzailea. Definizioa. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 motako ekuazioari ekuazio zehatz esaten zaio, baldin eta u(x, y) gisako funtzio bat existitzen bada
17 non ondoko erlazioak betetzen diren: Ekuazio zehatzak. Faktore integratzailea. 13 M = u x eta N = u y. Ondorioz, funtzio horretarako zera betetzen da: du = u u dx + dy = 0 du = 0 u = k. x y Oharra. Baldin u(x, y) funtzioa C 2 klasekoa bada, orduan x eta y- rekiko deribatu partzial gurutzatuen ordenak ez du emaitza aldatuko: 2 u x y = 2 u y x M y = N x Ondorioz, M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 ekuazioa zehatza da baldin eta soilik baldin M y = N x bada adibidea. Askatu (sin(xy) + xy cos(xy))dx + x 2 cos(xy)dy = 0 ekuazio zehatza. Ebazpena. M(x, y) = sin(xy) + xy cos(xy) M y = 2x cos(xy) x2 y sin(xy) N(x, y) = x 2 cos(xy) N x = 2x cos(xy) x2 y sin(xy) Beraz, ekuazio zehatza izateko baldintza bete da, eta, ondorioz, u(x, y) funtzio bat existitzen da, eta honela kalkula daiteke: Aurrenik u(x, y) = M(x, y)dx = (sin(xy) + xy cos(xy))dx = cos(xy) + y x cos(xy)dx y = cos(xy) ( x sin(xy) + y 1 ) sin(xy)dx y y y = cos(xy) y = x sin(xy) + h 1 (y) + x sin(xy) + cos(xy) y + h 1 (y)
18 14 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. non h 1 (y) batugaia x-rekiko integrazio-konstantea den. Bigarrenez, era berean: u(x, y) = N(x, y)dy = x 2 cos(xy)dy = x sin(xy) + h 2 (x) non y-rekiko integrazio-konstantea den h 2 (x). Ondorioz, u-ren adierazpenak berdinak izateko, aski da h 1 (y) = h 2 (x) = 0 hartzea. Orduan, soluzioa u(x, y) = x sin(xy) = K da, edo, esplizituki adierazita: y(x) = 1 x arcsin K x Faktore integratzaileak. Batzuetan, M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 ekuazio diferentziala ez da zehatza, M y N direlako, baina, konponketa txiki baten bitartez, x ekuazio zehatza bihur dezakegu. Horretarako trikimailu bat erabili behar dugu. Baldin M(x, y)dx + N(x, y)dy batuketa 0 bada eta µ(x, y) funtzioaz biderkatzen badugu, adierazpenak 0 balioko du: µ(x, y) M(x, y)dx + µ(x, y) N(x, y)dy = 0. Aurreko ekuazioa zehatza izateko, bere deribatu partzial hauek berdinak izan behar dute: x (µn) = y (µm), edo formula hori garatuz: µ x N +µ N x = µ y M +µ M y N µ ( µ M M x y = y N ) µ. x Azken ekuazio hori betetzen duen µ(x, y) funtzioa aurkitu behar dugu. Funtzio horri faktore integratzaile deituko diogu, ekuazioa integratzen lagunduko baitigu. Azken ekuazio hori deribatu partzialetakoa da; beraz, hasierako ekuazio diferentzial arrunta baino zailagoa izan daiteke. Hala ere, µ-ri buruzko aztarnaren bat daukagu eta prozesua asko erraztuko da. Adibidez, baldin badakigu faktore integratzailea soilik x-ren menpekoa dela, µ = µ(x), orduan asko laburtuko da goiko ekuazioa: µ = µ(x) µ y = 0 N µ ( M x = y N ) µ 1 M µ x µ x = y N x N.
19 4. 6. Lehenengo ordenako ekuazio linealak. 15 Azken adierazpen hori soilik x-ren menpekoa bada, orduan ebatzi egin daiteke. Adibide batzuetan µ(y), µ(x n y m ) eta antzeko menpekotasunak ager daitezke adibidea. Askatu (x + y 2 )dx 2xydy = 0 ekuazio diferentziala µ = µ(x) faktore integratzaile baten laguntzaz. Ebazpena. Kasu honetan, M = x + y 2 eta N = 2xy ditugunez, zera lortuko dugu: M 1 µ µ x = y N x N = 2y + 2y 2xy = 2 x dµ dx µ = 2 x ln µ = 2 ln x µ(x) = x 2, integrazioaren konstantea 0 dela kontsideratuz (faktore integratzaile sinpleena erabiltzeko). Orain, emandako ekuazio diferentziala faktore integratzaileaz biderkatuz, ondorengo ekuazio zehatza izango dugu: x + y 2 dx 2y x dy = 0 x 2 x + y 2 u(x, y) = x 2 dx = u(x, y) = 2y x ( ) 1 x + y2 x 2 dx = ln x y2 x + h 1(y) dy = y2 x + h 2(x), u(x, y)-ren bi adierazpenak berdinak izateko h 1 (y) = 0 eta h 2 (x) = ln x bete behar dira. Ondorioz u(x, y) = ln x y2 x = K y(x) = ± (ln x K)x Lehenengo ordenako ekuazio linealak. Baldin ekuazio diferentziala y eta y funtzioekiko lineala bada, orduan lehenengo mailako ekuazio diferentzial lineala dela esango dugu. Nolabait esateko, ekuazio hauetan ez da y 2, yy, y(y ) 2... motako gairik agertzen. Definizioa. Lehenengo mailako ekuazio diferentzial lineala honela idatz daiteke: dy + p(x)y = q(x), dx
20 16 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. non p(x) eta q(x) funtzio jarraituak diren y(x)-ren definizio eremuan. Hona hemen ekuazio horiek ebazteko metodoa. Goiko ekuazio lineala ondoko eran ere idatz daiteke: (p(x)y q(x))dx + dy = 0. Ekuazio hori zehatza izateko, zera bete behar da: M(x, y) = p(x)y q(x) M y = p(x) N(x, y) = 1 N x = 0. Orduan, bi kasu gerta daitezke. Bata, p(x) = 0 izatea. Kasu honetan, ekuazioa zehatza izango litzateke bai eta normala ere; beraz, integratu baino ez genuke egin beharko. Bestea, p(x) 0 izatea; kasu honetan, µ = µ(x) faktore integratzaile bat bilatuko dugu, ekuazio lineala zehatz bihurtzeko. Beraz: µ(x)(p(x)y q(x))dx + µ(x)dy = 0, Ekuazio hori zehatza izateko, honako hau bete behar da: M(x, y) = µ(x)(p(x)y q(x)) M y = µ(x)p(x) N(x, y) = µ(x) N x = µ (x), µ (x) = µ(x)p(x) izanik. Hau da: dµ(x) dx = µ(x)p(x) dµ = p(x)dx ln µ = µ p(x)dx µ(x) = e p(x)dx faktore integratzailea izango da. Behin faktorea kalkulatuta, ekuazio zehatzeko y = y(x) emaitza kalkulatuko dugu. Orokorrean ere egin dezakegu: e p(x)dx (p(x)y q(x))dx + e p(x)dx dy = 0 e p(x)dx dy (p(x)y q(x)) + e dx = 0 e p(x)dx p(x)y + e p(x)dx y = e p(x)dx q(x)
21 Bernoulli-ren ekuazioa. 17 d ( ) e p(x)dx y = e p(x)dx q(x). dx Eta, integratuz, zera lortuko dugu: e p(x)dx y = e p(s)ds q(x)dx + K y = e p(x)dx ( ) e p(s)ds q(x)dx + K (4.1) Beraz, ekuazio lineal bat ebatzi behar dugunean ondoko urratsei jarraitu behar diegu: (1) µ = µ(x) faktore integratzailea bilatzea. (2) Lortutako ekuazio zehatza ebaztea. Edonola ere, (4.1) formula zuzena ere erabil dezakegu y = y(x) kalkulatzeko adibidea. Askatu y + 2xy = 2xe x2 ekuazio lineala. Ebazpena. (1) p(x) = 2x p(x)dx = x 2 µ(x) = e x2. (2) Emandako ekuazioa faktore integratzaileaz biderkatzen dugu eta, gero, lorturiko ekuazio zehatza ebazten dugu: e x2 y + e x2 2xy = e x2 2xe x2 d ( ) e x2 y = 2x dx Eta, integratuz, zera lortzen dugu: e x2 y = 2xdx = x 2 + K y = y(x) = e x2 (x 2 + K). Egiaztatu (4.1) formula zuzenean erabiliz ere, emaitza berbera ondorioztatzen dela. Ariketa. Kalkulatu y + 1 x y = 3x ekuazioaren soluzioa. (Em.: y = x 2 + K x. )
22 18 4. gaia. Ekuazio diferentzialak Bernoulli-ren ekuazioa. Ekuazio diferentziala honelakoa bada: y + p(x) y = q(x) y n, non p(x) eta q(x) funtzio jarraituak diren y = y(x) funtzioaren definizioeremuan eta n 0, n 1 (bestela lineala da), orduan Bernoulli-ren ekuazio deitzen da. Baina ekuazio hori lehenengo ordenako ekuazio lineal bihur daiteke, z = y 1 n aldagai-aldaketa eginez adibidea. Askatu xy + y = y 2 ln x ekuazio diferentziala. Ebazpena. x-rekin zatituz, zera dugu: y + 1 x y = ln x x y2, (4.2) beraz, Bernoulli-ren ekuazio diferentziala da, n = 2 izanik. Izan bedi z = y 1 2 = y 1, orduan y = 1/z, eta x-rekiko deribatuz gero, y = z /z 2 dugu. Hori (4.2) ekuazioan ordeztuz, zera lortzen da: z z xz = ln x xz 2 z z x = ln x x, zeina ekuazio lineala baita. Ondorioz, p(x) = 1/x, q(x) = ln x x dira; beraz: p(x)dx = dx x = ln x e p(x)dx = e ln x = 1 e ln x = 1 x. Eta e p(x)dx 1 q(x)dx = x ( ln x x )dx = Gainera, e p(x)dx = e ln x = x. Orain, (4.1) formula aplikatuz, ondokoa dugu: ( ln x + 1 z = x x ) + K = ln x Kx y = ln x ln x + 1 dx = + K x2 x 1 ln x Kx.
23 F funtzioa soilik x, y, y aldagaien mendekoa denean. 19 Ariketa. Kalkulatu y + y = xy 3 ekuazioaren soluzioa. ( Em.: y 2 = x ) Ke2x, hau da, y = ± x Ke2x 4.7. Bigarren ordenako ekuazioak. Ordenamurrizketa. Ordena handiko ekuazioetan, F (x, y, y,..., y (n) ) = 0, ekuazioaren ordena txikiagotu egin daiteke F funtzioaren egituraren arabera. Atal honetan, eredu fisikoetan askoetan agertzen den n = 2 kasua aztertuko dugu batez ere, hau da, F (x, y, y, y ) = 0 ekuazio diferentzialak; baina ikusiko dugun guztia n > 2 den kasuetan ere aplika daiteke. Bi kasu aztertuko ditugu: bata, y mendeko aldagaia agertzen ez denekoa, eta bestea, x aldagai askea agertzen ez denekoa F funtzioa soilik x, y, y aldagaien mendekoa denean. Kasu honetan, F (x, y, y ) = 0 ekuazio bat dugu. Egoera honetan, y (x) = p(x) aldagai-aldaketa erraza burutuko dugu ekuazioa bigarren ordenatik lehenengo ordenara murrizteko, izan ere, y (x) = p (x). Ondorioz, ekuazioa honako gisa honetan idatz daiteke p funtzio ezezagunaren funtzioan: F (x, p, p ) = 0. Orain, ekuazioa lehenengo ordenako ekuazio diferentziala da; horren soluzioa p(x) funtzioa izango da, eta, y (x) = p(x) denez, p(x) integratu baino ez dugu egin behar, benetako y(x)-ren adierazpena lortzeko adibidea. Askatu xy iv y = 0. Ebazpena. n > 2 motako kasu bat da, baina teknika antzekoa da. F (x, y, y iv ) = 0 ekuazioan y, y eta y -ek parte hartzen ez dutenez, aurreko metodoa erabil daiteke. Egoera honetan y (x) = p(x) aldagai aldaketa erraza burutuko dugu ekuazioa laugarren ordenatik lehenengo ordenara murrizteko. Aldagai aldaketa hori erabiliko dugu honako aldagai banatuetako ekuazio baliokide hau lortzeko: xp p = 0 dp p = dx dp dx x p = x ln p = ln x + K 1
24 20 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. p(x) = K 1 x. Jarraian, p(x) funtzioa hiru aldiz integratuko dugu, y(x) soluzioa lortzeko: y = K 1 x dx = K 1 2 x2 + K 2, ( ) y K1 = 2 x2 + K 2 dx = K 1 6 x3 + K 2 x + K 3, ( ) K1 y = 6 x3 + K 2 x + K 3 dx = K 1 24 x4 + K 2 2 x2 + K 3 x + K 4 Konstanteak bilduz, y(x) = K 1 x 4 + K 2 x 2 + K 3 x + K 4 dugu. Ariketa. Kalkulatu xy y = 3x 2 ekuazioaren soluzioa. ( Em.: y(x) = x 3 + K 1 2 x 2 + K 2 ) F funtzioan x aldagai askea agertzen ez denean. Kasu honetan, F (y, y, y ) = 0 ekuazio bat dugu. Mota honetako ekuazioak askatzeko, lehenengoz y = p ordezkapena burutuko dugu, eta, gero y aldagai asketzat hartuko dugu. Orain, p = p(y), y-ren menpeko funtziotzat har dezakegu, x ez baita ekuazioan agertzen. Orain, x-rekiko deribatuak y eta p-ren bidez adieraziko dira: y = dy dx = p(y) y = dp(y) dx = dp(y) dy dy dx = p (y) p(y) F (y, p, p p) = 0 lehenengo ordenako ekuazioa askatuko dugu, eta p(y)- ren adierazpena lorturko dugu, eta, bukatzeko, y = p(y) lehenengo ordenako ekuazioa askatuko dugu adibidea. Askatu y + (y ) 2 = 2e y. Ebazpena. Ekuazioan x ez dagoenez y = p(y), y = p(y) p (y) aldagai aldaketa erabiliko dugu, y + (y ) 2 = 2e y pp + p 2 = 2e y p + p = 2e y p 1 Hala, Bernoulli-ren ekuazioa lortuko dugu. Beraz, z = p 1 ( 1) = p 2 aldagai-aldaketa eginez edo baliokideki p = z 1/2, ondorioz p =
25 Funtzio linealki askeak, eta wronskiarra. 21 z 1/2 z /2, orduan p + p = 2e y p 1 ekuazioa dz dy + 2z = 4e y ekuazio lineala bihurtzen da, non µ(y) faktore integratzailea honako hau den: µ(y) = e 2dy = e 2y. Orain, ekuazio lineala µ(y)-rekin biderkatuz, zehatza bihurtzen da, eta, ondorioz, zera lortzen da: d dy (e2y z) = 4e y e 2y z = 4e y dy = 4e y + K 1. Hortaz, ekuazio linealaren soluzioa z = 4e y + K 1 e 2y da. Baina, z = p 2 denez gero, Bernoulli-ren ekuazioaren soluzioa y = p(y) = ± 4e y + K 1 e 2y da. Amaitzeko, p(y) = dy dx = ± 4e y + K 1 e 2y dugunez, zera ondorioztatzen da: dy 4e y + K 1 e = 2y ±1dx Azkenik, y = ln((±x + K 2 ) 2 + K 1 ) dugu. 4ey + K 1 2 = ±x + K 2. Ariketa. Kalkulatu y + a 2 y = 0 ekuazioaren soluzioa. ( 2K1 ) Em.: y(x) = sin(±ax + ak 2 ). a 4.8. n. ordenako ekuazio linealak Funtzio linealki askeak, eta wronskiarra. Izan bitez y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) funtzioak (a, b) tartean definituak. Baldin eta x (a, b) puntu guztietan honako berdintza hau bete dadin: α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) α n y n (x) = 0 α 1 = α 2 =... = α n = 0 izan behar badute, orduan funtzio horiei linealki askeak (linealki independenteak) esaten zaie; beste era batera esanda, y i (x) funtzio bakoitza ezin da besteen konbinazio linealaz adierazi. Jakina denez, aurreko berdintzan α i 0 existituko balitz (adibidez α 1 0), orduan y 1 = α 2 α 1 y 2 (x) α n α 1 y n (x) genuke, hau da, y 1 (x) funtzioa besteen konbinazio linealaren bidez eraiki ahal izango genuke. Adibidez, honako 3 funtzio multzo hauek linealki askeak dira: B 1 = {1, x, x 2, x 3,..., x n };
26 22 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. B 2 = {1, e x, e 2x, e 3x,..., e mx }; eta B 3 = {1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,..., sin px, cos px}. Izan bedi {y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)} funtzio multzoa C n 1 (a, b) klaseko funtzio multzo bat (hots, y i guztiak n 1 bider deribagarriak dira (a, b) definizio-eremuan, deribatuak jarraituak izanik). Funtzioak eta horien deribatuek osatzen duten ondorengo determinanteari wronskiar deritzo, eta haren balioak funtzio multzoaren askatasun linealari buruzko informazio zehatza emango digu. y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) W (y 1, y 2,..., y n ) =. y (n 1) 1 (x) y (n 1) (x)... y n (n 1) (x) adibidea. {e K 1x, e K 2x, e K 3x } funtzio multzoaren wronskiarra honako hau da: e K 1x e K 2x e K 3x W (e K1x, e K2x, e K3x ) = K 1 e K 1x K 2 e K 2x K 3 e K 3x K1e 2 K 1x K2e 2 K 2x K3e 2 K 3x = (K 2 K 1 )(K 3 K 1 )(K 3 K 2 )e (K 1+K 2 +K 3 )x 4.1. teorema. Baldin {y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)} funtzio sistemaren wronskiarra nulua ez bada (W (y 1, y 2,..., y n ) 0 bada), orduan funtziosistema linealki askea izango da. Adibidez, {e x, e 2x, e x } funtzio multzoa linealki askea da, baina {x, x 2, 3x x 2 } ez da linealki askea (egiaztatu) Koefiziente konstantedun ekuazio lineal homogeneoak. Definizioa. hau dugula: Demagun honako ekuazio diferentzial lineal homogeneo a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n y = 0 non a 0,..., a n konstante errealak diren, ekuazio horri koefiziente konstantedun ekuazio lineal homogeneo deitzen zaio.
27 Koefiziente konstantedun ekuazio lineal homogeneoak. 23 Horren soluzioa bilatzeko, y(x) = e λx motako funtzioen artean bilatuko dugu, λ parametro ezezaguna izanik. Hautaketa horren ondorioz, zera dugu: y(x) = e λx, y (x) = λe λx, y (x) = λ 2 e λx,..., y (n) (x) = λ n e λx eta, ordezkatu ondoren ekuazioak honako itxura hau izango du: a 0 λ n e λx +a 1 λ n 1 e λx +...+a n e λx = (a 0 λ n +a 1 λ n a n )e λx = 0. e λx beti hertsiki positiboa denez, λ konstanteak honako baldintza hau bete behar du: R(λ) = a 0 λ n + a 1 λ n a n = 0. Azken berdintza horri ekuazio karakteristiko deritzogu, eta haren erroek (λ 1, λ 2,..., λ n ) ekuazio linealaren soluzioa eraikitzeko balioko digute. Ekuazio karakteristikoaren erroen sailkapena egin behar dugu orain: (a) λ 1, λ 2,..., λ n errealak eta desberdinak dira. Orduan {e λ 1x, e λ 2x,..., e λ nx } soluzio-multzoa funtzio-sistema askea izango da; ondorioz, ekuazio lineal homogenoaren soluzio orokorra K 1, K 2,..., K n hautazko konstanteez osatutako honako funtzio hau izango da: y h (x) = K 1 e λ 1x + K 2 e λ 2x K n e λ nx adibidea. Askatu y y 2y = 0. Ebazpena. Lehendabizi ekuazio karakteristikoa idatziko dugu: R(λ) = λ 3 λ 2 2λ = 0. Haren erroak λ 1 = 0, λ 2 = 2 eta λ 3 = 1 dira. Erro guztiak errealak eta desberdinak direnez, soluzioa hautazko hiru konstanteen funtziopean idatz dezakegu: y(x) = K 1 e 0x + K 2 e 2x + K 3 e x = K 1 + K 2 e 2x + K 3 e x. Ariketa. Kalkulatu y 3y + 2y = 0 ekuazioaren soluzioa. (Em.: y(x) = K 1 e x + K 2 e 2x.)
28 24 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. (b) Erro errealak dira, baina batzuk errepikatuta daude. Hau da: λ 1 = λ 2 =... = λ j = λ. Orduan, {e λx, xe λx, x 2 e λx,..., x j 1 e λx, e λj+1x,..., e λnx } soluzio multzoa funtzio-sistema askea izango da; ondorioz, ekuazio lineal homogeneoaren soluzio orokorra K 1, K 2,..., K n hautazko konstanteez osatutako funtzio hau izango da: y h (x) = K 1 e λx +K 2 xe λx +...+K j x j 1 e λx +K j+1 e λ j+1x +...+K n e λ nx adibidea. Askatu y iv y 3y + 5y 2y = 0. Ebazpena. Lehendabizi ekuazio karakteristikoa idatziko dugu: R(λ) = λ 4 λ 3 3λ 2 + 5λ 2 = 0. Horren erro bakuna λ 1 = 2 da, baina beste erroa, λ 2 = 1, anizkoitza da (anizkoiztasuna=3). Orduan, atal honi dagokion ekuazio motakoa da; beraz, honela eraikiko dugu soluzioa: y(x) = K 1 e 2x + K 2 e x + K 3 xe x + K 4 x 2 e x. Ariketa. Kalkulatu y 4y 3y + 18y = 0 ekuazio diferentzialaren soluzioa. (Em.: y(x) = K 1 e 2x + K 2 e 3x + K 3 xe 3x.) (c) Erro konplexu desberdinak. Hau da: λ 1 = α 1 + iβ 1, λ 2 = α 1 iβ 1, λ 3 = α 2 + iβ 1, λ 4 = α 2 iβ 2,.. λ 2n 1 = α n + iβ n, λ 2n = α n iβ n. Baldin α 1 +iβ 1 ekuazio karakteristikoaren erroa bada, orduan haren konjokatua ere, α 1 iβ 1, erroa izango da; beraz, e (α 1+iβ 1 )x eta e (α 1 iβ 1 )x soluzioak linealki askeak izango dira, eta, zenbaki konplexuen ezaugarrien ondorioz <1> funtzio horien honako bi konbinazio lineal hauek ekuazio diferentzial linealaren soluzio linealki <1> Euler-en formula: e iβ = cos β + i sin β. Beraz: e α+iβ = e α e iβ = e α (cos β + i sin β).
29 Koefiziente konstantedun ekuazio lineal homogeneoak. 25 askeak izango dira (wronskiarraren bidez froga daiteke): 1 ( ) e (α 1+iβ 1 )x + e (α 1 iβ 1 )x = e α1x cos β 1 x 2 eta 1 ( ) e (α 1+iβ 1 )x e (α 1 iβ 1 )x = e α1x sin β 1 x. 2i Ondorioz, hona hemen soluzio linealki askeen multzoa: {e α1x sin β 1 x, e α1x cos β 1 x, e α2x sin β 2 x, e α2x cos β 2 x,..., e αnx sin β n x, e αnx cos β n x}. Ekuazio lineal homogeneoaren soluzio orokorra, hortaz, K 1, K 2,..., K 2n hautazko konstanteez osatutako honako funtzio hau izango da: y h (x) = K 1 e α1x sin β 1 x+k 2 e α1x cos β 1 x+...+k 2n 1 e αnx sin β n x+ +K 2n e αnx cos β n x adibidea. Askatu y 4y + 6y 4y = 0. Ebazpena. Lehendabizi ekuazio karakteristikoa idatziko dugu: R(λ) = λ 3 4λ 2 + 6λ 4 = 0. λ 1 = 2 ekuazioaren erro erreala da, baina beste erroak konplexuak eta bakunak dira; izan ere, λ 2 = 1 + i eta λ 3 = 1 i. Orduan, atal honetako baldintzapean gaude, eta soluzioa honako batugai hauetaz osatuta dago: y(x) = K 1 e 2x + K 2 e x sin x + K 3 e x cos x. Ariketa. Kalkulatu y 6y +25y = 0 ekuazioaren soluzioa. (Em.: y(x) = K 1 e 3x sin 4x + K 2 e 3x cos 4x.) (d) Erro konplexuak dira, baina batzuk j bider errepikatuak. Hau da: α 1 ± iβ 1 = α 2 ± iβ 2 =... = α j ± iβ j = α ± iβ, α j+1 ± iβ j+1,..., α n ± iβ n α ± iβ erro konjokatuek j anizkoiztasuna dute polinomio karakteristikoan. Ondorioz, soluzio askeen multzoa honako hau da:
30 26 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. { e (α+iβ)x, e (α iβ)x, xe (α+iβ)x, xe (α iβ)x,..., x j 1 e (α+iβ)x, x j 1 e (α iβ)x, e (α j+1+iβ j+1 )x, e (α j+1 iβ j+1 )x,..., e (α n+iβ n } )x, e (α n iβ n )x Aurreko (c) ataleko zenbaki konplexuen konbinazio linealak erabiliz, honako soluzio multzo hau eraikiko dugu: { e αx sin βx, e αx cos βx, xe αx sin βx, xe αx cos βx,..., x j 1 e αx sin βx, x j 1 e αx cos βx, } e αj+1x sin β j+1 x, e αj+1x cos β j+1 x,..., e αnx sin β n x, e αnx cos β n x Ekuazio lineal homogeneoaren soluzio orokorra K 1, K 2,..., K 2n hautazko konstanteez osatutako honako funtzio hau izango da: y h (x) =K 1 e αx sin βx + K 2 e αx cos βx+ K 3 xe αx sin βx + K 4 xe αx cos βx K 2j 1 x j 1 e αx sin βx + K 2j x j 1 e αx cos βx+ K 2j+1 e α j+1x sin β j+1 x + K 2j+2 e α j+1x cos β j+1 x K 2n 1 e α nx sin β n x + K 2n e α nx cos β n x adibidea. Askatu y iv 4y + 8y 8y + 4y = 0. Ebazpena. Lehendabizi ekuazio karakteristikoa idatziko dugu: R(λ) = λ 4 4λ 3 + 8λ 2 8λ + 4 = 0. Horren erroak konplexuak eta anizkoitzak dira, λ 1 = 1+i, λ 2 = 1 i eta anizkoiztasuna=2. Beraz, soluzioa sail honi dagokio, eta lau hautazko konstanteen menpekoa da: y(x) = K 1 e x sin x + K 2 e x cos x + K 3 xe x sin x + K 4 xe x cos x Koefiziente konstantedun ekuazio lineal osoak. Orain aurreko ekuazioen orokorpena aztertuko dugu, hots, berdintzaren eskuineko gaia desberdin zero den kasua.
31 Koefiziente konstantedun ekuazio lineal osoak. 27 Definizioa. Izan bitez a 0, a 1,..., a n konstanteak eta f(x) 0. Honako adierazpen honi koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial lineal oso deritzogu: a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n y = f(x). Baldin y h (x) ekuazio homogeneoaren soluzio orokorra bada, eta y p (x) ekuazio osoaren soluzio partikular bat, hau da: eta a 0 y (n) h a 0 y (n) p + a 1 y (n 1) h a n y h = 0 + a 1 y (n 1) p a n y p = f(x), orduan y(x) = y h (x) + y p (x) ekuazio osoaren soluzioa izango da. Hona hemen egiaztapena: a 0 (y (n) h (a 0 y (n) h + y p (n) ) + a 1 (y (n 1) h + y p (n 1) ) a n (y h + y p ) = + a 1 y (n 1) h 0 + f(x) = f(x) a n y h ) + (a 0 y (n) p + a 1 y (n 1) p a n y p ) = Hortaz, ekuazio osoaren soluzio orokorra honela bilatuko dugu. Lehenengoz, atalean ikusi dugun moduan, ekuazio homogeneoaren soluzio orokorra, y h (x), aurkituko dugu, eta, gero, ekuazio osoaren soluzio partikular bat: y p (x). Bi adierazpen horien baturarekin ekuazio osoaren soluzio orokorra lortuko dugu, hots, y(x) = y h (x) + y p (x). Ekuazio osoaren soluzio partikularra f(x) gai ez-homogeneoaren menpean dago. Funtzio horren egiturak honako eredu honen antza badu, orduan soluzioa bilatzeko bide sistematikoari jarraitu diezaiokegu. Baldin funtzioa f(x) = e αx (P n (x) cos βx + Q m (x) sin βx) motakoa bada (non P n (x) eta Q m (x), hurrenez hurren, n. eta m. mailako polinomioak diren), orduan soluzioaren egitura honako hau izango da: y p (x) = x s e αx (P k (x) cos βx + Q k (x) sin βx), non P k (x) eta Q k (x) osagaiak k. mailako polinomio ezezagunak diren (k = max{n, m}) eta s berretzailea λ = α + iβ erroaren anizkoiztasuna R(λ) polinomioan. R(λ)-ren erroa λ = α + iβ ez bada, s = 0 izango da. Hona hemen gerta daitezkeen kasu guztiak: (1) f(x) = P n (x) denean, α = 0 eta β = 0. Beraz, λ = 0 + 0i = 0. Ondorioz, (a) R(0) 0 bada, s = 0 izango da, eta y p = P n (x) izango dugu.
32 28 4. gaia. Ekuazio diferentzialak. (b) R(0) = 0 bada, s 0 izango da, eta y p = x s P n (x) izango dugu. (2) f(x) = e αx P n (x) denean, α 0 eta β = 0. Beraz, λ = α + 0i = α. Ondorioz, (a) R(α) 0 bada, s = 0 izango da, eta y p = e αx P n (x) izango dugu. (b) R(α) = 0 bada, s 0 izango da, eta y p = x s e αx P n (x) izango dugu. (3) f(x) = P n (x) cos βx + Q m (x) sin βx denean, α = 0 eta β 0. Beraz, λ = 0 + βi = βi. Ondorioz, (a) R(βi) 0 bada, s = 0 izango da, eta y p = P k (x) cos βx + Q k (x) sin βx izango dugu, non k = max{n, m} den. (b) R(βi) = 0 bada, s 0 izango da, eta y p = x s (P k (x) cos βx + Q k (x) sin βx) izango dugu, non k = max{n, m} den. (4) f(x) = e αx (P n (x) cos βx + Q m (x) sin βx) denean, α 0 eta β 0. Beraz, λ = α + βi. Ondorioz, (a) R(α+βi) 0 bada, s = 0 izango da, eta y p = e αx (P k (x) cos βx+ Q k (x) sin βx) izango dugu, non k = max{n, m} den. (b) R(α+βi) = 0 bada, s 0 izango da, eta y p = x s e αx (P k (x) cos βx+ Q k (x) sin βx) izango dugu, non k = max{n, m} den adibidea. Aurkitu y 6y + 9y = 25e x sin x ekuazioaren soluzio orokorra. Ebazpena. (i) y h (x) kalkulatuko dugu (ekuazio homogeneoaren soluzio orokorra). Kasu honetan zera dugu: R(λ) = λ 2 6λ + 9 = 0. Ekuazio karakteristiko horrek λ 1 = λ 2 = 3 erro anizkoitz bakarra du, eta anizkoiztasuna=2 da. Beraz: y h (x) = K 1 e 3x + K 2 xe 3x.
33 Koefiziente konstantedun ekuazio lineal osoak. 29 (ii) Orain, y p (x) kalkulatuko dugu (ekuazio osoaren soluzio partikular bat). Kasu honetan f(x) = 25e x sin x denez, (4) kasuan gaude: α = 1, β = 1, P n (x) = 0, Q m (x) = 25. Baina, R(1 + i) 0, hau da, 1 + i ez da ekuazio karakteristikoaren erroa; beraz, s = 0 da. Gainera, k = max{0, 0} = 0. Ondorioz, soluzio partikularra gisako honetakoa izango da: y p (x) = e x (A cos x + B sin x). A eta B-ren balioak kalkulatzeko, y p (x) eta bere deribatuak hartuko ditugu: y p(x) = e x( (A + B) cos x + (B A) sin x ) eta ekuazio osoan ordezkatuko ditugu: y p (x) = e x (2B cos x 2A sin x), 25e x sin x = y 6y + 9y = e x ((3A 4B) cos x + (4A + 3B) sin x). Honako sistema hau bete behar denez: { 3A 4B = 0 4A + 3B = 25, A = 4, B = 3 balioak lortzen dira. Hortaz, hona hemen soluzio partikular bat: y p (x) = e x (4 cos x + 3 sin x) (iii) Orduan, ekuazio osoaren soluzio orokorra zera da: y(x) = y h (x) + y p (x) = K 1 e 3x + K 2 xe 3x + e x (4 cos x + 3 sin x). Oharra. Baldin eta f(x) gai ez-homogeneoaren egitura funtzio batzuen batura bada: f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) f l (x), orduan ekuazio osoaren soluzio partikularra f i (x) funtzioei dagozkien soluzio partikularren batura izango da, hau da, y p (x) = y p,1 (x) + y p,2 (x) y p,l (x), non a 0 y (n) p,i +a 1y (n 1) p,i +...+a n y p,i = f i (x) betetzen den, i = 1, 2,..., l.
DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )
DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak
Διαβάστε περισσότερα9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak
9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin
Διαβάστε περισσότεραAldagai Anitzeko Funtzioak
Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x
Διαβάστε περισσότερα= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.
1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi
Διαβάστε περισσότερα7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i
7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela
Διαβάστε περισσότεραANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna
Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015
MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika
Διαβάστε περισσότεραBanaketa normala eta limitearen teorema zentrala
eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza
Διαβάστε περισσότερα1 Aljebra trukakorraren oinarriak
1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,
Διαβάστε περισσότερα3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos
3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia
Διαβάστε περισσότεραARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten
Διαβάστε περισσότεραEUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA
EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako
Διαβάστε περισσότερα(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n
5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S
Διαβάστε περισσότερα10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a
1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa
Διαβάστε περισσότεραPoisson prozesuak eta loturiko banaketak
Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune
Διαβάστε περισσότεραDBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x
Διαβάστε περισσότεραEkuazioak eta sistemak
4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste
Διαβάστε περισσότερα7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa
7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.
Διαβάστε περισσότεραI. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa
I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua
Διαβάστε περισσότεραInekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak
5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen
Διαβάστε περισσότεραZinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa
Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 2: dinamika eta estatika
Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1
Διαβάστε περισσότερα1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.
1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore
Διαβάστε περισσότερα1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak
1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)
Διαβάστε περισσότερα7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k
7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a
Διαβάστε περισσότεραHidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean
Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten
Διαβάστε περισσότερα2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA
2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia
MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK
Διαβάστε περισσότερα9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko
9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral
Διαβάστε περισσότεραHirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea
Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste
Διαβάστε περισσότερα5. GAIA Solido zurruna
5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)
PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra
Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................
Διαβάστε περισσότερα4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK
4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale
Διαβάστε περισσότεραPROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA
PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA Unai Iriarte Velaso EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren
Διαβάστε περισσότερα6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana
6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak
Διαβάστε περισσότερα6. GAIA: Oinarrizko estatistika
6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c
ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE
Διαβάστε περισσότεραTEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak
TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Indar zentralak
4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:
Διαβάστε περισσότερα4. Hipotesiak eta kontraste probak.
1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa
Διαβάστε περισσότεραHasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa
1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten
Διαβάστε περισσότερα2011 Kimikako Euskal Olinpiada
2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu
Διαβάστε περισσότεραEmaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043
KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo
Διαβάστε περισσότεραdu = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA
. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA.. TERMODINAMIKAREN LAN-ARLOA Energi eraldaketak aztertzen dituen jakintza-adarra termodinamika da. Materia tarteko den prozesuetan, natural
Διαβάστε περισσότεραEstatistika deskribatzailea Excel-en bidez
Estatistika deskribatzailea Excel-en bidez Marta Barandiaran Galdos Mª Isabel Orueta Coria EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso
Διαβάστε περισσότεραAURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7
AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa
Διαβάστε περισσότερα3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:
3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak
Διαβάστε περισσότερα5 Hizkuntza aljebraikoa
Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu
Διαβάστε περισσότερα10. GAIA Ingurune jarraituak
10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,
Διαβάστε περισσότεραDiamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:
1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta
Διαβάστε περισσότεραMakina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.
Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραFisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2
Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,
Διαβάστε περισσότεραOrdenadore bidezko irudigintza
Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak
6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten
Διαβάστε περισσότεραLANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa
Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa
Διαβάστε περισσότερα1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...
Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren
Διαβάστε περισσότεραFuntzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK
Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren
Διαβάστε περισσότερα1. Oinarrizko kontzeptuak
1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili
Διαβάστε περισσότεραJose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak
HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak
Διαβάστε περισσότεραEREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA
AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.
Διαβάστε περισσότεραGaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma)
Termodinamika Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Erreakzio kimikoetako transformazio energetikoak. Espontaneotasuna 1. Energia eta erreakzio kimikoa. Prozesu exotermikoak
Διαβάστε περισσότεραZirkunferentzia eta zirkulua
10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md
LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science
Διαβάστε περισσότεραTrigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK
Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
Διαβάστε περισσότεραEREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK
EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,
Διαβάστε περισσότερα2. GAIA Higidura erlatiboa
2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa
HELBURUAK: HELBURUAK: mekanismoaren mekanismoaren sintesiaren sintesiaren kontzeptua kontzeptuaeta eta motak motaklantzea. Hiru Hiru Dimentsio-Sintesi motak motakezagutzea eta eta mekanismo mekanismo erabilgarrienetan,
Διαβάστε περισσότεραDokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:
Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren
Διαβάστε περισσότεραMate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.
Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...
Διαβάστε περισσότεραProba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20
Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen
Διαβάστε περισσότεραOREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA
GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en
Διαβάστε περισσότεραEremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak
Jakintza-arloa: Fisika Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak Egilea: JON URRESTILLA URIZABAL Urtea: 2003 Zuzendaria: Unibertsitatea: ANA ACHUCARRO JIMÉNEZ UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-139-6 Hitzaurrea
Διαβάστε περισσότεραERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea
ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa
Διαβάστε περισσότεραKANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.
EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,
Διαβάστε περισσότερα9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.
9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00
ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. I. ebazkizuna Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00 Makina bateko erregai-kontsumoa (litrotan) eta ekoizpena (kilotan) jaso dira ordu batzuetan
Διαβάστε περισσότεραOxidazio-erredukzio erreakzioak
Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/
Διαβάστε περισσότερα1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak
1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta
Διαβάστε περισσότερα(5,3-x)/1 (7,94-x)/1 2x/1. Orekan 9,52 mol HI dago; 2x, hain zuzen ere. Hortik x askatuko dugu, x = 9,52/2 = 4,76 mol
KIMIKA 007 Ekaina A-1.- Litro bateko gas-nahasketa bat, hasiera batean 7,94 mol hidrogenok eta 5,30 mol iodok osatzen dutena, 445 C-an berotzen da eta 9,5 mol Hl osatzen dira orekan, erreakzio honen arabera:
Διαβάστε περισσότεραKONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA
eman ta zabal zazu Euskal Herriko Unibertsitatea Informatika Fakultatea Konputagailuen rkitektura eta Teknologia saila KONPUTGILUEN TEKNOLOGIKO LBORTEGI KTL'000-00 Bigarren parteko dokumentazioa: Sistema
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK
4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa
Διαβάστε περισσότερα1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?
1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia
Διαβάστε περισσότεραMikel Lizeaga 1 XII/12/06
0. Sarrera 1. X izpiak eta erradiazioa 2. Nukleoaren osaketa. Isotopoak 3. Nukleoaren egonkortasuna. Naturako oinarrizko interakzioak 4. Masa-defektua eta lotura-energia 5. Erradioaktibitatea 6. Zergatik
Διαβάστε περισσότεραERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA
ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE PROBA MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA Modulua MATEMATIKA Oinarrizko Prestakuntza -. maila Erdi Mailako heziketa-zikloetarako
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται
Διαβάστε περισσότεραFISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak
1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura
Διαβάστε περισσότεραZenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK
Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien
Διαβάστε περισσότερα2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK
2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK Gaur egun, dispositibo elektroniko gehienak erdieroale izeneko materialez fabrikatzen dira eta horien ezaugarri elektrikoak dispositiboen funtzionamenduaren oinarriak dira.
Διαβάστε περισσότεραDeixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei,
Deixia Jardunera edo gogora ekarritako erreferente bat (izaki, leku zein denbora) seinalatzen duen elementu linguistiko bat da deixia. Perpausaren ia osagai guztiek dute nolabaiteko deixia: Orduan etxe
Διαβάστε περισσότερα