Aldagai Anitzeko Funtzioak
|
|
- Ἀνδρομάχη Διαμαντόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Aldagai Anitzeko Funtzioak
2 Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x y Beraz, bi aldagaien (x eta y aldagaien) menpekoa da S eta hori honela adieraz genezake: S = S(x,y)
3 Bi aldagaiko funtzioak 2. Adibidea: v 0 hasierako abiaduraz eta horizontearekiko ϕ angeluz jaurfkitako proiekflaren distantzia, R, hurrengo formulaz adierazten da (airearen erresistentzia kontutan ez hartuta): R = v 0 2 sin2ϕ g non g grabitatearen azelerazioa den, eta konstantetzat hartzen denez, R = R(v 0, ϕ)
4 Bi aldagaiko funtzioak Definizioa: x eta y bi aldagai independenteen (x,y) bikote bakoitzari balio bakarra ematen dion araua, f, x eta y aldagaien funtzioa deitzen da, f(x,y). Definizioa: x eta y balioen (x,y) bikoteek, zeintzuetarako f(x,y) funtzioa definituta dagoen, multzo bat osatzen dute. Multzo horri funtzioaren definizio- eremu edo existenzi eremu deritzogu.
5 Bi aldagaiko funtzioak Funtzioaren definizio- eremua geometrikoki adieraz daiteke. (x,y) bikote bakoitzari OXY planoan dagokion puntua egokitzen badiogu, orduan definizio- eremua izango da OXY planoko zafa (edo plano bera oso- osorik). Definizio- eremuko puntu bat inguratzen dituen gainontzeko puntu guzfak definizio- eremukoak ere badira, puntu hori barne- puntua deitzen da.
6 Bi aldagaiko funtzioak Puntu baten inguruan, bai definizio eremukoak, bai definio- eremukoak ez diren puntuak daudenean, muga- puntua deitzen zaio. Barne- puntuz soilik eratutako eremua, eremu irekia deituko dugu. Muga- puntu guzfak definizio- eremukoak ba dira, eremu horri itxia deituko diogu.
7 Bi aldagaiko funtzioak Definizio- eremuak bornatuak edo ez bornatuak izan daitezke. C konstante posifboa exisftzen bada, non eremuaren edozein puntuaren, (x,y), eta koordenatu- jatorriaren, (0,0), arteko distantzia C baino txikiago den, definizio- eremu horri bornatu deituko diogu: x 2 + y 2 < C
8 Bi aldagaiko funtzioak 1. Adibidea: Aurkitu f (x, y) = 2x y, funtzioaren definizio- eremua. x eta y hautazko balio guzfetarako definituta dago funtzioa. Hortaz, bere definizio- eremua OXY plano osoa da. 2. Adibidea: Aurkitu f (x, y) = 1 x 2 y 2, funtzioaren definizio- eremua. Funtzioa kalkulatu daiteke soilik errokizuna posifbo (edo zero) denean. Beraz, definizio- eremua izango da jatorrian zentratuta dagoen eta 1 erradioa duen zirkulua: x 2 + y 2 1
9 Bi aldagaiko funtzioak 3. Adibidea: Aurkitu f (x, y) = ln( x + y), funtzioaren definizio- eremua. funtzioa exisftzeko x+y balioak posifboa izan behar du (ezin da 0 izan). Hortaz, definizio- eremua x+y>0 baldintza betetzen duten (x,y) puntuek osatzen dute. Hau da, definizio- eremua y=- x zuzenaren gainefk dagoen planoerdia izango da, zuzena bera kenduta.
10 n aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak n aldagai independenteen menpekoak dira: Adibidea: x, y eta z aldeak dituen paralelepipedo baten V bolumena, V, honela kalkulatzen da: V = x y z Beraz, hiru aldagaien (x, y eta z aldagaien) menpekoa da V eta hori honela adieraz genezake: V = V(x,y,z)
11 n aldagaiko funtzioak Definizioa: x 1, x 2,, x n n aldagai independenteen (x 1, x 2,, x n ) n- kote bakoitzari balio bakarra ematen dion araua, f, x 1, x 2,, x n aldagaien funtzioa deitzen da, f(x 1, x 2,, x n ). Definizioa: x 1, x 2,, x n balioen (x 1, x 2,, x n ) n- koteek, zeintzuetarako f(x 1, x 2,, x n ) funtzioa definituta dagoen, multzo bat osatzen dute. Multzo horri funtzioaren definizio- eremu edo existenzi eremu deritzogu.
12 Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa f(x,y), bi aldagaiko funtzio baten definizio - eremua OXY planoan dago. Eremu horren puntuetafk eta plano horrekiko z=f(x,y) koordenatu berfkalak hartuta lortzen da holako f(x,y) funtzioaren grafikoa hiru dimentsiotan, hau da, OXYZ espazioan.
13 Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa
14 Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa 1. Adibidea: f (x, y) = x 2 + y 2 +1, funtzioaren grafikoa hau da:
15 Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa 2. Adibidea: f (x, y) = y + 2, funtzioaren grafikoa hau da:
16 Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa 3. Adibidea: f (x, y) = y 2 x 2, funtzioaren grafikoa hau da:
17 Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala f(x,y) funtzioaren aldagai indenpendenteak x eta y dira, eta bietako edozein aldatuz, funtzioa aldatu egiten da. Demagun x aldagaiaren Δx gehikuntza dugula, z= f(x,y) funtzioaren gehikuntza x- rekiko z- ren gehikuntza partziala deituko dugu eta idatziko dugu Δ x z eta honela kalkulatuko dugu: Δ x z = f ( x + Δx, y) f ( x, y)
18 Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala Era berean, y aldagaiaren Δy gehikuntza badugu, funtzioaren gehikuntza y- rekiko z- ren gehikuntza partziala deituko dugu eta idatziko dugu Δ y z eta honela kalkulatuko dugu: Δ y z = f ( x, y + Δy) f ( x, y) Berriz, bi aldagaietan, aldi berean, gehikuntzak ba ditugu, z- ren funtzioaren gehikuntzari totala deituko diogu, eta idatziko dugu Δz eta honela kalkulatuko dugu: Δz = f ( x + Δx, y + Δy) f ( x,y)
19 Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala Kontuan hartu behar dugu, kasu orokorrean, hau dugula: hurrengo adibide honetan egiaztatzen den bezala: z = f x, y Δz Δ x z + Δ y z ( ) = xy Δ x z = ( x + Δx)y xy = yδx Δ y z = x( y + Δy) xy = xδy Δz = ( x + Δx) ( y + Δy) xy = xδy + yδx + ΔxΔy
20 Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala Edozein aldagai- kopurutarako funtzioaren gehikuntza total eta partzialak era berean kalkulatzen dira. Honela, u=f(x,y,z) hiru aldagaiko funtziorako hauxe dugu: Δ x u = f x + Δx, y,z ( ) f x, y,z ( ) Δ y u = f ( x, y + Δy,z) f ( x, y,z) Δ z u = f ( x, y,z + Δz) f ( x, y,z) Δu = f ( x + Δx, y + Δy,z + Δz) f ( x, y,z)
21 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Datozen kontzeptuak azaltzeko, bi aldagaiko funtzioak, f(x,y), aztertuko ditugu, zeren eta hiru edo aldagai gehiagoko funtzioen azterketak berdintsu izango bait ziren eta, ikuspegi prakfkofk, problema korapilatu baino ez du egiten.
22 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Lehenik eta behin (x 0,y 0 ) puntu baten ingurunea definituko dugu: ( x x ) y y 0 ( ) 2 < r desberdintza egiaztatzen duten puntu guzfen multzoa, r erradiodun (x 0,y 0 ) puntuaren ingurunea izango da; hots, r erradiodun eta (x 0,y 0 ) zentrudun zirkulu barnean dauden puntu guzfen multzoa.
23 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna f(x,y) funtzioak (x 0,y 0 ) puntuaren ingurune batean propietate bat betetzen duela esaten dugunean, zera adierazi nahi dugu: (x 0,y 0 ) puntuan zentrua duen zirkulu bat exisftzen dela, non zirkulu horren puntu guzfetan propietate hori egiaztatzen den. Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna azaldu baino lehen, azter dezagun aldagai anitzeko funtzioaren limitearen kontzeptua.
24 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Definizioa: (x,y) puntua (x 0,y 0 ) punturantz doanean, A zenbakia f(x,y) funtzioaren limitea dela esango dugu, baldin eta edozein ε > 0 zenbakirako r > 0 zenbakia exisfzen bada, non (x,y) - (x 0,y 0 ) < r desberdintza egiaztatzen duten puntu guzfetarako f(x,y)- A < ε betetzen den. Hala bada, honela adieraziko dugu: lim x x0 y y 0 f (x, y) = A
25 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Aurreko definizioa, sinbolikoki adierazia, honela berridatz daiteke: lim x x 0 y y 0 f (x, y) = A ε > 0, r > 0 / (x, y) (x 0,y 0 ) < r f (x, y) A < ε Definizioak ez du zehazten zein (x,y) puntufk hasi behar den (x 0,y 0 ) puntura joaten. (x,y) puntua inguruko edozein izan daiteke. Gainera ez du esaten zein bidefk joan behar den (x 0,y 0 ) punturantz; bidea aukeran dago. Bide guzfetafk limitearen balio bera lortu beharko genuke; bestela ez dago f(x,y) funtzioaren limiteaz hitzegiterik (x 0,y 0 ) puntuan.
26 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Adibidea: f (x, y) = 2xy x 2 + y 2 funtzioa puntu guzfetan definituta dago, (0,0) puntuan izan ezik. Halere, puntu horretan limiterik egon liteke. Demagun puntu horretara hurbiltzen garela y=kx zuzenafk (non k konstantea zuzenaren malda den). Orduan: lim 2xy x 0 x 2 + y = lim 2kx 2 2 x 0 x 2 + k 2 x = lim 2k 2 x 0 1+ k = 2k 2 1+ k 2 y 0 beraz, limitea ez da exisftzen (0,0) puntuan zeren eta balio desberdinak erdiesten baifra k desberdinetarak (jatorrira gerturatuz zuzen desberdinetafk).
27 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Definizioa: Bedi f(x,y) funtzioaren definizio- eremuko (x 0,y 0 ) puntu bat. f funtzioa (x 0,y 0 ) puntuan jarraia dela esango dugu baldin eta ondorengo berdintza betetzen bada: lim f (x, y) = f (x,y ) 0 0 x x 0 y y 0
28 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Aurreko formula honela ere berridatz daiteke: lim f (x 0 + Δx,y 0 + Δy) = f (x 0,y 0 ) Δx 0 Δy 0 (non x = x 0 + Δx eta y = y 0 + Δy diren) edo honela ere bai: lim [ f (x + Δx, y + Δy) f (x, y ) ] = 0 Δx 0 Δy 0 Baina, funtzioaren gehikuntza totala. Δz = f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) f (x 0,y 0 ) da z=f(x,y)
29 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna BestaldeFk, Δρ = ( Δx) 2 + ( Δy) 2, desplazamendu txiki bat hartuta (x 0,y 0 ) puntuaren inguruan, funtzioaren jarraitasuna puntu horretan honela ere idatz daiteke: lim Δz = 0 Δρ 0 Eremu bateko puntu bakoitzean f jarraia bada, orduan eremu horretan f jarraia dela esango dugu.
30 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Definizioa: f funtzioa (x 0,y 0 ) puntuan jarraia ez bada, puntu horri funtzioaren etengune deritzo. Ezjarraitasunak (etenguneak) arrazoi desberdinengafk ager daitezke: 1. (x 0,y 0 ) puntuan limitea egon daiteke, baina puntu horretan funtzioa definituta ez badago, funtzioak etengune bat izango du. Ezjarraitasun mota hau ekidigarria da. (Funtzioa definituz puntu horretan limitearen balioaz).
31 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna 2. (x 0,y 0 ) puntuan limiterik ez badago, funtzioa ere ezin da jarraia izan.( f (x, y) = adibidearekin gertatzen zen bezala.) 2xy x 2 + y 2 3. (x 0,y 0 ) puntuan limitea badago eta puntu hori definizio- eremukoa bada, baina, bertan, funtzioaren balioa, f(x 0,y 0 ), limitearen berdina ez denean, etengunea ere izango da.
32 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Adibidea: z = f (x, y) = x 2 + y 2 funtzioa jarraia da bere definizo- eremu osoan, hau da, OXY plano osoan: Δz = Beraz [( x + Δx) 2 + ( y + Δy) 2 ( x 2 + y 2 )] = 2xΔx + 2yΔy + Δx lim Δz = 0 Δx 0 Δy 0 ( ) 2 ( ) 2 + Δy
33 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Eremu itxi eta bornatu batean jarraia den aldagai anitzeko funtzio baten bi propietate azalduko ditugu: (Tarte batean jarraia den aldagai bakardun funtzioaren propietateen analogoak dira.)
34 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna 1. Propietatea: f(x,y, ) aldagai anitzeko funtzioa definizio- eremu itxi eta bornatu batean jarraia bada, eremu horretan badaude gutxienez bi puntu (x 0,y 0, ) eta (x 0,y 0, ), non eremuaren puntu guzfetarako: f (x 0, y 0, ) f (x, y, ) eta f (x 0, y 0, ) f (x, y, ) f(x 0,y 0, ) funtzioaren maximoa deitzen dugu, M, eta f(x 0,y 0, ) funtzioaren minimoa, m. Esan bezala, M eta m horiek agertuko zaizkigu gutxienez bi puntutan.
35 Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna 2. Propietatea: f(x,y, ) aldagai anitzeko funtzioa definizio- eremu itxi eta bornatu batean jarraia bada eta M eta m funtzioaren balio maximoa eta minimoa badira, bitarteko µ edozein baliorako, m µ M, badago gutxienez (x*,y*, ) puntua non beteko den. f (x*, y*, ) = µ Korolario: 2.propietate honen korolario bat zera da: f(x,y, ) aldagai anitzeko funtzioa definizio- eremu itxi eta bornatu batean jarraia bada eta bertan bai balio posifboak bai negafboak hartzen baditu, eremuaren barnean egongo da gutxienez punturen bat non f(x,y, ) = 0 izango den.
36 Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Definizioa: Δ x z gehikuntza partzialaren eta Δx gehikuntzaren arteko zafduraren limitea, Δx zerorantz doanean, z=f(x,y) funtzioaren x- rekiko deribatu partziala deitzen dugu eta honela idazten dugu: z x = lim Δ z x Δx 0 Δx = lim Δx 0 f (x + Δx, y) f (x, y) Δx
37 Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Beste idazkerak ere erabiltzen ohi dira: z' x, f ' x (x,y), f x, x f (x,y) (a,b) puntu zehatz bateko x- rekiko deribatu partziala honela idatz dezakegu: z x (a,b ) = lim Δ xz Δx 0 Δx = lim Δx 0 f (a + Δx,b) f (a,b) Δx
38 Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Definizioa: Δ y z gehikuntza partzialaren eta Δy gehikuntzaren arteko zafduraren limitea, Δy zerorantz doanean, z=f(x,y) funtzioaren y- rekiko deribatu partziala deitzen dugu eta honela idazten dugu: z y = lim Δ z y Δy 0 Δy = lim Δy 0 f (x, y + Δy) f (x, y) Δy
39 Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Beste idazkerak ere erabiltzen ohi dira: z' y, f ' y (x,y), f y, y f (x,y) (a,b) puntu zehatz bateko x- rekiko deribatu partziala honela idatz dezakegu: z y (a,b ) = lim Δ yz Δy 0 Δy = lim Δx 0 f (a,b + Δy) f (a,b) Δy
40 Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Deribatu partzialak kalkulatzerakoan, aldagai bat aldatu eta bestea(k) konstante mantentzen da (dira). Horrela, bi aldagaiko f(x,y) funtzio baten x- rekiko deribatu partziala kalkulatzeko, y konstante mantenduko dugu, eta soilik x- ren funtzioa den f(x,y=kte)- ren deribatu arrunta kalkulatuko dugu.
41 Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Halaber, bi aldagaiko f(x,y) funtzio baten y- rekiko deribatu partziala kalkulatzeko, y konstante mantentzen da, eta soilik x- ren funtzioa den f(x=kte,y)- ren deribatu arrunta kalkulatzen da. 1. Adibidea: z = x 2 sin y z x = 2x sin y ; z y = x 2 cos y
42 Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak 2. Adibidea: z = x y z x = yx y 1 ; z y = x y ln x 3.Adibidea: f (x, y,z,t) = x 2 + y 2 + xtz 3 f x = 2x + tz3 ; f y = 2y ; f z = 3xtz2 ; f t = xz3
43 Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa g(x) f (x,b) = g(x) f ' x (a,b) = g'(a)
44 Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa Aurreko irudian ikus dezakegu z = f(x,y) funtzioaren grafoa (gainazala espazioan). Mozten badugu gainazal hori y=b planoaz lortzen dugu kurba bat, z=f(x,b), gainazalean. Kurba hau irudikatu daiteke z=g(x) funtzioa bezala, non aldagai independente bakarra x den. Aldagai bakardun g(x) honen deribatu arrunta x=a puntuan da, hain zuzen, jatorrizko bi aldagaiko f(x,y)- ren deribatu partziala x- rekiko (a,b) puntuan: d dx f (x,b) x =a = d dx g(x) x =a = g(a + Δx) g(a) lim Δx 0 Δx = lim Δx 0 f (a + Δx,b) f (a,b) Δx = x f (x, y) (a,b)
45 Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa Era berean ulertzen da hurrengo beste funtzio baten deribatu partziala y- rekiko (x 0,y 0 ) puntuan. d dy f (x 0,y) y =y 0 = lim f (x 0,y 0 + Δy) f (x 0,y 0 ) Δy 0 Δy = x f (x, y) (x 0,y 0 )
46 Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa z = f (x, y) f y ( x0,y 0 ) x 0 y 0 x = x 0 planoa
47 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Gogora dezagun z=f(x,y) funtzioaren gehikuntza totalaren definizioa: ( ) f ( x,y) Δz = f x + Δx, y + Δy adierazpen hau honela ere berridatz daiteke: Δz = [ f ( x + Δx, y + Δy) f ( x, y + Δy) ] + f ( x, y + Δy) f ( x, y) non bigarren parentesi karratua agertzen [ ] zitzaigun ere deribatu partzialaren definizioan: z y = f ' (x, y) = lim y Δy 0 f (x, y + Δy) f (x, y) Δy
48 Gehikuntza totala eta diferentzial totala funtzioaren y- rekiko deribatu partzial hori exisftzen bada (x, y) eta (x,y+δy) puntuen tartean, Lagrangeren teoremaren arabera egon behar du honelako y* puntu bat (gutxienez bat): f ( x, y + Δy) f ( x,y) = f ' y (x,y*) Δy non: y y* y + Δy
49 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Era berean argudiatu genezake lehengo adierazpenaren lehenengo parentesiarekin, suposatuz funtzioaren x- rekiko deribatu partziala exisftzen dela (x+δx, y+δy) eta (x,y+δy) puntuen tartean: f ( x + Δx, y + Δy) f ( x, y + Δy) = f ' x (x*,y + Δy) Δx non: x x* x + Δx
50 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Lortu ditugun azkeneko bi adierazpen hauek, hasierako gehikuntza totalaren ekuazioan ordezkatuz: Δz = f ' x (x*, y + Δy) Δx + f ' y (x, y*) Δy Orain, Δx eta Δy gehikuntzen zeroranzko limiteak hartuz: lim f ' (x*, y + Δy) = f ' (x, y), lim f ' (x, y*) = f ' x x y y Δx 0 Δx 0 Δy 0 Δy 0 (x, y)
51 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Ondorengo ekuazioan lortzen den, dz, balio honi deitzen zaio z=f(x,y) funtzioaren diferentziala edo diferentzial totala: dz = f ' x (x, y) dx + f ' y (x, y) dy = f f dx + x y dy Diferentzial totalaren balio hau da gehikuntza totalaren balioaren hurbilpen lineala, Δx eta Δy gehikuntzak infinitesimalak direnean.
52 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Hurrengo adibidean egiaztatu daitezke nola diferentzial totalaren eta gehikuntza totalaren balioak desberdinak diren, Δx eta Δy gehikuntzak infinitesimalak ez badira.
53 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Adibidea: Kalkulatu z=xy funtzioaren diferentzial total eta gehikuntza totala (2,3) puntuan, Δx=0.1 eta Δy =0.2 direnean. Difentzialak emandako hurbilpen lineala : δz = z x δx + z x Benetako gehikuntza totala : Δz = ( x + Δx) ( y + Δy) xy = xδy + yδx + ΔxΔy Δz = = 0.72 δy = yδx + xδy = = 0.7
54 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Aldagai anitzeko f(x 1, x 2,, x n ) funtzioa badugu eta (x 1, x 2,, x n ) puntuan deribatu partzialak jarraiak badira, puntu horretako difentzial totala hau da: dz = f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n
55 Gehikuntza totala eta diferentzial totala Adibidea: Kalkulatu hurrengo u(x,y,z) funtzioaren difentzial totala: u = e x 2 +y 2 sin 2 z u x = 2 2xex +y 2 sin 2 z ; u y = 2 2yex +y 2 sin 2 z ; u z = 2 ex +y 2 2sinzcosz = e x 2 +y 2 sin2z du = 2e x 2 +y 2 sinz( x sinzdx + y sinzdy + coszdz)
56 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Demagun z=f(u,v) funtzioan u eta v aldagaiak, x eta y aldagai independenteen funzfoak direla: u=ϕ(x,y) eta v=ψ(x,y). Honelakoetan esaten da z, x- ren eta y- ren funtzio konposatua dela: z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)] Adibidea: z = u 3 v 3 + u +1 ; u = x 2 + y 2 ; v = e x +y +1 orduan ( ) 3 ( e x +y +1) 3 + x 2 + y 2 +1 z = x 2 + y 2
57 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Behin z, x eta y aldagaien funtzio bezala dugun, kalkula ditzakegu z- ren deribatu partzialak bai x- rekiko, bai y- rekiko. Dena den, horiek ere kalkula genitzake u eta v ordezkatu gabe. Azter dezagun nola: Demagun z=f(u,v), u=ϕ(x,y) eta v=ψ(x,y) funtzioen deribatu partzialak jarraiak direla. x aldagaiak Δx gehikuntza badu (y aldagaia aldatu gabe), orduan bai u, bai v biak aldatuko dira eta haien gehikuntza partzialak Δ x u eta Δ x v izango dira. u eta v aldatzen direnez, z ere aldatuko da eta aldaketa honi Δ x z deituko diogu eta hurrengo hau baieztatzen da: Δ x z = z u Δ u + z x v Δ v + α Δ u + α Δ v x 1 x 2 x non α 1 eta α 2, biak, anulatuko diren Δ x u, Δ x v 0 izango direnean
58 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Orain Δx gehikuntzaz zaftzen badugu: Δ x z Δx = z u Δ x u Δx + z v Δ x v Δx + α 1 Δ x u Δx + α 2 Δ x v Δx eta honen zeroranzko limitea hartzen badugu: lim Δ z x Δx 0 Δx = z x ; lim Δ u x Δx 0 Δx = u x ; lim Δ v x Δx 0 Δx = v x lim α = 1 Δx 0 Δ x u 0 Δ x v 0 eta, ondorioz : lim α 1 = 0 ; Δx 0 z x = z u lim α 2 = Δ x u 0 Δ x v 0 u x + z v lim α 2 = 0 v x
59 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Era berean kalkulatuko genuke z- ren deribatu partziala y- rekiko, x aldagaia konstante mantenduz eta y- ren gehikuntza baten bidez: z y = z u u y + z v v y
60 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Hurrengo funtzioekin kalkulatu z- ren deribatu partzialak x- rekiko eta y- rekiko: z = ln( u 2 + v) ; u = e x +y 2 ; v = x 2 + y u x = 2 ex +y z u = ; v x = 2x 2u u 2 + v = 2e x +y e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y z x = 2e x +y e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y 2 2 e x +y 2 + ; z v = 1 u 2 + v = 1 e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y 1 2x = 2 ( ) + x 2 + y e 2 x +y 2 x + e 2 ( x +y 2 ) ( ) + x 2 + y e 2 x +y 2
61 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala u y = 2 2yex +y ; v y =1 z y = 2e x +y e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y 2 2ye x +y ( ) + x 2 + y e 2 x +y 2 = 1+ 4ye2 x +y 2 ( ) e 2 x +y 2 ( ) + x 2 + y
62 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Noski, aldagai anitzeko funtzioen konposatuen kasuisfka oso zabala izan daiteke. Adibidez, w=f(z,u,v,s) z, u, v eta s aldagaien funtzioa bada, eta aldagai bakoitza x eta y aldagaien funtzioak badira, orduan: w x = w z w y = w z z x + w u z y + w u u x + w v u y + w v v x + w s v y + w s s x s y
63 Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala z=f(x,y,u,v) x, y, u eta v aldagaien funtzioa bada, eta y, u eta v aldagaiak x aldagai bakardun funtzioak badira, orduan, z bera izango da x aldagai bakardun funtzioa eta, beraz, honela kalkula genezake bere deribatu totala (deribatu arrunta, ez partziala) x- rekiko: dz dx = z x Baina x x x x + z y y x + z u u x + z v v x =1 denez eta y, u eta v soilik x ren funtzioak direnez : dz dx = z x + z y dy dx + z u du dx + z v dv dx non, noski, dz dx z x
64 Funtzio konposatuaren deribatua. Adibidez: Deribatu totala z = x 2 + y ; y = sin x dz dx = z x + z y dy dx = 2x y cos x = 2x sin x cos x
65 Funtzio inplizituen deribatua Problema honen azalpenean, aldagai bakardun funtzio inplizitua aztertuz hasiko gara: Bedi y x- ren aldagai bakardun funtzioa, F(x,y)=0 ekuazioaren bidez inplizituki definitua. Suposa dezagun F(x,y), F x (x,y) eta F y (x,y) funtzio jarraiak direla definizio- eremuan eta F y (x,y) 0 (x,y) puntuan. Hala bada, puntu horretan x- ren y funtzioaren deribatua honela kalkula daiteke: y' x (x) = F' x (x, y) F' y (x, y) Frogapena : F(x, y) = 0 F x + F y dy dx = 0 dy dx = F x F y
66 Funtzio inplizituen deribatua Adibidez: Kalkulatu hurrengo funtzioa inplizituaren y- ren deribatua x- rekiko: e y e x + xy = 0 F x = ex + y ; dy dx = F x F y F y = ey + x = ex y e y + x
67 Funtzio inplizituen deribatua Metodoa erabili daiteke F(x,y,z)=0 funtzio inplizitoekin ere, non z=f(x,y) bi aldagaiko funtziotzat hartzen den eta heuren deribatu partzialak x eta y- rekiko kalkulatu nahi diren: u = F(x, y,z) = 0 0 = u x = F x + F z z x = F x F z = F' x F' z ; z x = F' x +F' z z y = z x F y F z ; 0 = u y = F y + F z = F' y F' z z y = F' y +F' z z y
68 Funtzio inplizituen deribatua Era inplizituko hurrengo funtzioa erabiliz, kalkulatu z- ren deribatu partzialak x eta y- rekiko: e z + x 2 y + z + 5 = 0 F(x, y,z) = e z + x 2 y + z + 5 F' x = 2xy ; F' y = x 2 ; F' z = e z +1 z x = 2xy e z +1 ; z y = x 2 e z +1 zuzenean ere funtzio inplizitutik z ( x ez + x 2 y + z + 5) = 0 e z x + 2xy + z x = 0 z x = 2xy e z +1
69 Ordena goreneko deribatu partzialak z = f(x,y) funtzioaren deribatu partzialak kalkulatzean, f x eta f y, hauek ere, orokorrean, x eta y aldagaien funtzioak izango dira. Lehenengo deribatu partzial hauek ere deribagarriak badira, heuren deribatu partzialak ere kalkula daitezke: f x (x,y)- ren deribatu partziala x eta y- rekiko eta f y (x,y)- renak ere bai (guzfra lau). Hauei deitzen zaie f- ren bigarren (ordenako) deribatu partzialak: '' f xx '' f xy '' f yx '' f yy ' = f x x = x = f ' x y = y = f ' y x = x = f ' y y = y z x = 2 z x 2 z x = 2 z y x z y = 2 z x y z y = 2 z y 2 (lehen x rekiko, gero y rekiko) (lehen y rekiko, gero x rekiko)
70 Ordena goreneko deribatu partzialak Bigarren deribatu hauek ere, orokorrean, x eta y aldagaien funtzioak izango dira eta deribagarriak badira, kalkula daitezke hirugarren ordenako deribatu partzialak (guzfra zortzi): 3 z x 3 ; 3 z y x 2 ; 3 z x y x ; 3 z y 2 x ; 3 z x 2 y ; 3 z y x y ; 3 z x y ; 3 z 2 y 3
71 Ordena goreneko deribatu partzialak Orokorrean n- garren ordenako deribatu partzialak (n- 1)garren ordenako deribatuen deribatu partzialak dira. Adibidez: n- garren ordenako deribatua da non, lehen (n- p) aldiz y- rekiko, eta gero p bider x- rekiko deribatu den. n z x p y n p
72 Ordena goreneko deribatu partzialak Adibidea: Kalkulatu 4 u z y x 2 deribatu partziala. u = z 2 e x +y 2 funtzioaren u x = z2 e x 2 +y 2 u x = 2 z2 e x 2 +y 3 u y x = 2yz 2 e x 2 +y 4 u 2 z y x = 2 2 4yzex +y
73 Ordena goreneko deribatu partzialak 2 f 2 f Ikusten dugunez x y eta y x desberdinak izan zitezkeen. Dena den, hurrengo teoremak azaltzen digun zein baldintzatan berdinak diren: Teorema: z = f(x,y) eta beraren deribatu partzialak, f x, f y, f xy eta f yx (x,y) puntuaren ingurune batean definituta eta jarraiak badira, ingurune horretan, hurrengo berdintza baieztatzen da: 2 f x y = 2 f y x ( '' '' f yx = f ) xy
74 Ordena goreneko deribatu partzialak Teorema hedatu daiteke ordena goreneko deribatu partzialetara: n f x p y = n f n p y n p x p n f x p y eta n p n f y n p x p biak jarraiak badira Eta bi baino aldagai gehiagorekin ere, deribatu partzialen ordena edozein izan daiteke, hurrengo adibidean ikusten den bezala:
75 Ordena goreneko deribatu partzialak Adibidea: u = e xy sinz izanik, kalkulatu 3 u x y z eta 3 u y z x u z = exy cosz 2 u y z = xexy cosz u x = yexy sinz 2 u z x = yexy cosz 3 u x y z 3 u y z x = ( 1+ xy)e xy cosz = ( 1+ xy)e xy cosz
DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )
DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak
Διαβάστε περισσότεραANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna
Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x
Διαβάστε περισσότερα3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos
3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia
Διαβάστε περισσότερα= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.
1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi
Διαβάστε περισσότεραEUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA
EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako
Διαβάστε περισσότερα9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak
9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin
Διαβάστε περισσότερα7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i
7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela
Διαβάστε περισσότεραI. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa
I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN
Διαβάστε περισσότεραARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten
Διαβάστε περισσότερα(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n
5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA: Ekuazio diferenzialak
4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................
Διαβάστε περισσότεραBanaketa normala eta limitearen teorema zentrala
eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza
Διαβάστε περισσότερα1 Aljebra trukakorraren oinarriak
1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra
Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................
Διαβάστε περισσότεραZinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa
Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015
MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika
Διαβάστε περισσότερα7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k
7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a
Διαβάστε περισσότερα10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a
1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa
Διαβάστε περισσότερα2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA
2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten
Διαβάστε περισσότερα1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...
Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 2: dinamika eta estatika
Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1
Διαβάστε περισσότεραInekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak
5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen
Διαβάστε περισσότερα1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.
1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)
PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:
Διαβάστε περισσότεραTrigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK
Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
Διαβάστε περισσότεραHidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean
Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu
Διαβάστε περισσότεραDBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x
Διαβάστε περισσότερα1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak
1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)
Διαβάστε περισσότεραFuntzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK
Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia
MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK
Διαβάστε περισσότερα6. GAIA: Oinarrizko estatistika
6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................
Διαβάστε περισσότερα9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.
9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak
Διαβάστε περισσότεραEREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA
AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.
Διαβάστε περισσότεραHasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa
1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten
Διαβάστε περισσότεραMakina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.
Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia
Διαβάστε περισσότερα5. GAIA Solido zurruna
5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)
Διαβάστε περισσότερα10. GAIA Ingurune jarraituak
10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,
Διαβάστε περισσότεραPoisson prozesuak eta loturiko banaketak
Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune
Διαβάστε περισσότεραZirkunferentzia eta zirkulua
10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak
Διαβάστε περισσότεραAURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7
AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak
6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md
LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science
Διαβάστε περισσότεραERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea
ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Indar zentralak
4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:
Διαβάστε περισσότεραHirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea
Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste
Διαβάστε περισσότερα7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa
7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.
Διαβάστε περισσότεραEmaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043
KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c
ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE
Διαβάστε περισσότεραEstatistika deskribatzailea Excel-en bidez
Estatistika deskribatzailea Excel-en bidez Marta Barandiaran Galdos Mª Isabel Orueta Coria EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso
Διαβάστε περισσότερα9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko
9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua
Διαβάστε περισσότερα2. GAIA Higidura erlatiboa
2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko
Διαβάστε περισσότεραTEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak
TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad
Διαβάστε περισσότεραUhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.
1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen
Διαβάστε περισσότερα4. Hipotesiak eta kontraste probak.
1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa
Διαβάστε περισσότεραFisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2
Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,
Διαβάστε περισσότερα1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak
1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta
Διαβάστε περισσότεραdu = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA
. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA.. TERMODINAMIKAREN LAN-ARLOA Energi eraldaketak aztertzen dituen jakintza-adarra termodinamika da. Materia tarteko den prozesuetan, natural
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10
Διαβάστε περισσότερα3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:
3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak
Διαβάστε περισσότεραEkuazioak eta sistemak
4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste
Διαβάστε περισσότερα6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana
6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak
Διαβάστε περισσότεραLANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa
Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa
Διαβάστε περισσότεραOxidazio-erredukzio erreakzioak
Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/
Διαβάστε περισσότερα1. Oinarrizko kontzeptuak
1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili
Διαβάστε περισσότερα4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK
4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale
Διαβάστε περισσότεραOREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA
GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en
Διαβάστε περισσότεραPROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA
PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA Unai Iriarte Velaso EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren
Διαβάστε περισσότεραGAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK)
GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK) Recart Barañano, Federico Pérez Manzano, Lourdes Uriarte del Río, Susana Gutiérrez Serrano, Rubén EUSKARAREN
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren
Διαβάστε περισσότεραDiamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:
1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta
Διαβάστε περισσότεραOrdenadore bidezko irudigintza
Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea
Διαβάστε περισσότεραFISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak
1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura
Διαβάστε περισσότεραJose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak
HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak
Διαβάστε περισσότερα1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)
UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko
Διαβάστε περισσότεραUNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA
1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa
Διαβάστε περισσότεραZenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK
Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00
ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. I. ebazkizuna Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00 Makina bateko erregai-kontsumoa (litrotan) eta ekoizpena (kilotan) jaso dira ordu batzuetan
Διαβάστε περισσότεραMate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.
Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo
Διαβάστε περισσότεραDokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:
Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren
Διαβάστε περισσότεραElementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.
Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar
Διαβάστε περισσότερα1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?
1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia
Διαβάστε περισσότεραDINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea
DINAMIKA c Ugutz Gartaonanda Antsoateg Ingenartza Mekankoa Sala Gastezko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herrko Unbertstatea 2000/2001 kasturtea Índce 1. SARRERA 3 2. INDARRAK 3 3. ERREFERENTZIA SISTEMA DINAMIKAN.
Διαβάστε περισσότεραLOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA
Lotura kobalenteetan ez-metalen atomoen arteko elektroiak konpartitu egiten dira. Atomo bat beste batengana hurbiltzen denean erakarpen-indar berriak sortzen dira elektroiak eta bere inguruko beste atomo
Διαβάστε περισσότεραFisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula
Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako
Διαβάστε περισσότεραGIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1
BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak
Διαβάστε περισσότεραEREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK
EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,
Διαβάστε περισσότεραBatxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E
Batxilergorako materialak Logika sinbolikoa Peru Urrutia Bilbao ISBN: 9788445729267 9 788445 729267 Salneurria: 4 E Euskara Zerbitzua Ikasmaterialak Gabirel Jauregi Bilduma Batxilergorako materialak Logika
Διαβάστε περισσότεραMagnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9
Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak
Διαβάστε περισσότεραEGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK
1. GAIA 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK Definizioak 1.1.1 MakinaetaMekanismoa 1.1.2 MailaedoElementua 1.1.3 PareZinematikoa 1.1.4 KateZinematikoa
Διαβάστε περισσότεραEREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA
EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA Datu orokorrak: Elektroiaren masa: 9,10 10-31 Kg, Protoiaren masa: 1,67 x 10-27 Kg Elektroiaren karga e = - 1,60 x 10-19 C µ ο = 4π 10-7 T m/ampere edo 4π
Διαβάστε περισσότεραI. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua
I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua 1 Eranskina: Konbinatoria 2 Probabilitate kontzeptua 2.1 Laplaceren erregela 2.2 Maiztasun-ikuspuntua 2.3 Ikuspuntu subjektiboa 3 Gertakizunen aljebra 3.1 Aurkako
Διαβάστε περισσότερα6.1. Estatistika deskribatzailea.
6. gaia Ariketak. 6.1. Estatistika deskribatzailea. 1. Zerrenda honek edari-makina baten aurrean dauden 15 bezerok txanpona sartzen duenetik edaria atera arteko denbora (segundotan neurtuta) adierazten
Διαβάστε περισσότεραARIKETAK (I) : KONPOSATU ORGANIKOEN LOTURAK [1 5. IKASGAIAK]
Arikk-I (1-5 Ikasgaiak) 1 ARIKETAK (I) : KPSATU RGAIKE LTURAK [1 5. IKASGAIAK] 1.- 3 6 formula molekularreko 8 egitur-formula marraztu. 2.- Azido bentzoiko solidoararen disolbagarritasuna urn honako hau
Διαβάστε περισσότερα